thése ultrason
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toutes les autres proprits du matriau, on a utilis la mthode de la transforme dHilbert. Les
rsultats obtenus sur les matriaux analyss prsentent de bonnes estimations juges trs satisfaisantes
par rapport la littrature.
Mots cls : Ultrasons, Vitesse, Attnuation, Rigidit, Amortissement, composite stratifi, polymres.
" Simultaneous evaluation of ultrasonic velocities and attenuation in composite and
polymeric materials"
Abstract
During the ultrasonic inspection, by echo or transmission mode, of parallelepipedic plates in
composite materials or in polymers, it produces some modifications of the acoustic and transmission
parameters in relation with the propagation velocity and attenuation of the transmitted wave. In
presence of the attenuation or dissipation phenomenon of the plan acoustic wave, the viscous-elastic
behaviour of the propagation medium is described by Kelvin-Voigt model. By using this model, the
complex rigidity and the viscous damping can de determined. To attain this purpose, this work deals
with the study of the propagation properties and attenuation of ultrasonic waves to evaluate the
propagation velocity and the attenuation of ultrasound in composite and polymer materials. So,
knowing these characteristics, we can identify elastic and viscous elastic properties of the studied
materials such as stratified multilayer composite, made of unidirectional fibres of carbon / epoxy,
polyethylene and polyurethane. Additionally, for a better evaluation of the flight time of the wave
which depends on all other properties of the material, we used the Hilbert transform method. The
obtained results of the analyzed materials present a good estimation in comparison to those indicated
by the literature.
Key words: Ultrasounds, Velocity, Attenuation, rigidity, damping, composite, polymers.
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Remerciements
Je tiens tout d'abord remercier en premier lieu, le Bon Dieu, le Tout Puissant, de
mavoir donn autant de courage, de patience et de volont pour atteindre ce but.
Dautre part, ce travail ne pouvait aboutir sans laide et de lencouragement que
javais reu de la part de plusieurs personnes. Jexprime mes vifs remerciements mon
Directeur de Thse, Mr. M.A Si-ChAIB, matre de Conferences lUniversit de MHamed
Bougara de Boumerds dont les directives, les conseils et les remarques pertinentes m'ont
guid tout au long de cette recherche.
Jexprime mes vifs remerciements Monsieur le professeur, NOUR Abdelkader,
Directeur du Laboratoire Dynamique des Moteurs et Vibroacoustique, qui ma fait lhonneur
daccepter la prsidence de mon jury et pour tout lintrt quil porte mon travail.
Jexprime mes vifs remerciements Mr ; A. BADIDI-BOUDA, Maitre de recherches
au CSC-Chraga, pour mavoir accueilli au sein du Centre de Soudage et Contrle de Chraga
et de mavoir offert tous les moyens ncessaires pour russir mon projet de recherche, et
davoir accepter de juger ce travail. Jexprime galement, au Docteur Drai, ma vive gratitude
pour son accueil et assistance prcieuse ainsi qua toute lquipe du laboratoire de traitement
du signal.
Mes remerciements vont aussi Monsieur BOUTKEDJIRT Tarek, Matre de
confrences lUSTHB, pour avoir accepter dexaminer ce mmoire de magister.
Je tiens remercier Monsieur KHELIL Med-Elhocine, Matre de confrences
lUniversit de MHamed Bougara de Boumerds, qui me fait galement lhonneur de vouloir
juger ce travail et prendre part au jury.
Ce travail a beaucoup enrichi ma vie professionnel tant des points de vus scientifique,
pdagogique, quhumain. Que tous ceux et celles qui ont particip dune faon ou dune autre
son accomplissement trouvent ici lexpression de ma profonde gratitude.
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SOMMAIRE
Notations utilises
Abrviations
Introduction gnrale................................................................................. 12
Chapitre I. Revue bibliographique
Introduction
I .1. Caractristiques mcaniques et proprits des matriaux polymres et
composites. ...................................................................................................17
I .1.1. Polymres ................................................................................................... 17
I .1.2. Composites .................................................................................................21
I .2. Techniques exprimentales de caractrisation des matriaux ..................30
I .2.1. Mthodes de dtermination des constantes lastiques et viscolastiques ...... 30
I .2.2. Test mcanique pour la dtermination du module danisotropie
des matriaux .............................................................................................31
I .2.3. Mesure ultrasonore des proprits mcaniques des matriaux........... .......... 31
I .3. Le phnomne dabsorption par effet viscolastique.................................32
I .3.1. Dfinition et principaux modles rhologiques ........... ...................... ........... 32
I .3.2. Approche temporelle ...................................................................................38
I .3.3. Approche empirique.................................................................................... 39
Conclusion ............................................................................................................ 41
Chapitre II. Thorie
Introduction
II.1. Equation de llasticit anisotrope gnrale ...............................................42II.2. Structure du matriau : Classe de symtrie ...............................................44
II .2.1. Symtrie triclinique....................................................................................45
II .2.2. Symtrie monoclinique ..............................................................................45
II .2.3. Symtrie orthorhombique........................................................................... 46
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II .3. Ondes planes dans les solides anisotropes.................................................47
II .3.1. Propagation donde dans les directions de symtrie matrielle du matriau.50
II .3.2. Technique de transmission par immersion................................................... 52
II .3.3. Mesure de la vitesse donde et de lattnuation par la technique
dimmersion ultrasonore ............................................................................52II .3.4. Relation entre le tenseur des contraintes et les constantes mcaniques.........55
II .3.5. Dtermination des normales aux plans de symtrie et le systme
des coordonnes principales........................................................................57
Conclusion ............................................................................................................ 61
CHAPITRE III. Elments de traitement du signal
Introduction
IV .1. Echantillonnage des signaux ..................................................................62
IV .1.1. Dfinition .............................................................................................. 62
IV .1.2. Thorme dchantillonnage .................................................................. 62
IV .1.3. Opration dchantillonnage .................................................................. 63
IV .2. Transforme de Fourier discrte (TFD) et transforme
de Fourier rapide (TFR) ........................................................................63
IV .2.1. Dfinition de la TFD .............................................................................63
IV .2.2. La Transforme de Fourier Rapide TFR ou FFT .................................... 65
IV .2.3. Proprits de la T.F.D............................................................................ 66
IV .3. La transforme dHilbert .......................................................................67
IV .3.1. Dfinition de la Transforme dHilbert .................................................. 67
IV .3.2. Utilisation de la Transforme dHilbert dans la dtection denveloppe... 68
IV .3.3. Utilit de la dtection denveloppe en C.N.D .........................................69
Conclusion .........................................................................................................70
CHAPITRE IV. Etude exprimentale
Introduction
IV. 1. Techniques ultrasonores de mesure ......................................................71
IV.1.1. Problmatique et choix des prouvettes............ ...................................... 71
IV.1.2. Technique de transmission ultrasonore pour la dtermination
simultane de la vitesse de propagation et de lattnuation ultrasonore..72
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IV. 1.3. Transducteur, pramplificateur et oscilloscope ................................ ...... 74
IV.2. Mesures en immersion des constantes viscolastiques .........................75
IV.2.1. Dtermination des constantes viscolastiques et de lattnuation....... ...... 76
IV.2.2. Rsultats et discussion du calcul des rigidits complexes en immersion .. 77
V.3. Dispositif de mesure par cho pour la dtermination simultane de
lpaisseur, la vitesse, la densit et lattnuation ....................................84
IV.3.1. Calcul de lpaisseur et de la vitesse de londe longitudinale.................... 86
IV.3.2. Calcul de la densit et de lattnuation ..................................................... 87
IV.3.3. Rsultats des proprits mcaniques mesures de mesure par cho .......... 88
IV.4. Discussion ................................................................................................ 93
IV.4.1. Comparaison des rsultats obtenus par les deux techniques...................... 93
Conclusion ..........................................................................................................94
Conclusion gnrale ................................................................................... 95
Bibliographie .............................................................................................. 97
Annexes : N1 et N2.
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Notations utilises
Symbole Signification
: Tenseur de contraintes
ij : Elments du tenseur de contraintes
: Dformation volumique
ij : Elment du tenseur de dformation dordre deux
, : Constantes de Lam
, : Constantes complexes de Lam
E: Module dYoung
G : Module de compression uniforme
: Longueur donde
: Densit
U: Vecteur dplacement
ij : Symbole de Kronecker
2 ou Oprateur Laplacien
C: Tenseur dlasticit
ijklC : Constantes lastiques du seconde ordre
jklC : Constantes viscolastiques du seconde ordre
LV : Vitesse de propagation de londe longitudinale
TV : Vitesse de propagation de londe transversale
V : Vitesse de phase
: Pulsation de londe
f : Frquence de londe
: Temps de vol
: Coefficient dattnuation
L : Coefficient dattnuation de viscosit de compression
T : Coefficient dattnuation de viscosit de cisaillement
: Coefficient damortissement
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: Tenseur damortissement
k: Nombre dondes
k: Nombre dondes complexes
Lk Nombre dondes longitudinales
Tk Nombre dondes transversales
p : Champ de pression acoustique
L : Fonction gnralise de dissipation
( )1 t+ : Fonction de Heaviside
c : Clrit de londe dans le solide
kA : Composantes de lamplitude du dplacement
k
P : Dplacements unitaires des vecteurs de polarisation
k ,
k : Tenseur de Christoffel.
q : Rupture dimpdance
R : Systme de coordonnes relatives dans lespace
pR : Systme de coordonnes principales dans lespace
0V : Vitesse donde dans leau
: Priode relative
: Angle dincidence
d: Epaisseur de lchantillon
jA : Tenseur de Voigt
jB : Modules de dilatation
X[k] : Suite numrique
x(t) Fonction du signal
y(t) Transforme dHilbert du signal
z(t): Signal analytique (appel aussi composite)N : Nombre dchantillons
x ta ( ) : Signal analogique
Te : Priode de limpulsion du peigne de DIRAC
D : Fentre temporelle
fe : Frquence dchantillonnage
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W : Coefficient de base de la TFD
0h ( t ): Fonction de transfert du filtre de quadrature
Ci : Angle dincidence critique
jR : Coefficients de rflexion des interfaces entre iet j, en incidence normale
jT : Coefficients de transmission des interfaces entre iet j, en incidence normale
iZ : Impdance acoustique du milieu i
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Abrviations
ABS : Terpolymre Acrylonitrile Butadine -Styrne
C.N.D : Contrle Non Destructif
PA : Polyamides
PBT : Polybutylne Trphtalate
PC : Polycarbonates
PE : Polythylne
PET : Polythylne trphtalate
PMMA : Polymthacrylate de mthyle
POM : PolyoxymthylnePS : Polystyrne standard et choc
PSU : Polysulfone
PTFE : Polyttrafluorothylne
PVC : Polychlorure de vinyle
TFD : Transforme de Fourier Discrte
TFR : Transforme de Fourier Rapide
TH : Transforme dHilbert
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I ntroduction gnral e
Les nouvelles technologies ncessitent des matriaux nouveaux hautesperformances, capables de remplacer les matriaux classiques. En effet, les matriaux
composites et polymres permettent de concevoir et de raliser des structures amliores
possdant de bonnes proprits mcaniques allies un poids minimal. Ces matriaux ont
suscit un intrt particulier dans de nombreux secteurs tel que, laronautique, les
constructions navales, lindustrie automobile, etc.
Lvaluation des proprits mcaniques des matriaux composites et polymres
repose beaucoup sur les techniques exprimentales majoritairement destructives. Pour pallier cet inconvnient, des procds non destructifs trouvent de larges applications. Sur le plan de
la caractrisation mcanique, lvaluation ultrasonore de ces matriaux lasto-visco-plastiques
confre londe mise un caractre dispersif. Dans ce cas, les proprits viscolastiques
varient avec la frquence. Pour une frquence donne, lvaluation du matriau analyser,
sain ou endommag par la prsence de dfauts ou de fissures, implique la fois des mesures
de vitesse de propagation et dattnuation de londe considre. La connaissance de ces
caractristiques conduit lidentification des proprits dlasticit et de viscosit du matriau
analys. En effet, beaucoup de mthodes sont utilises pour mesurer leurs propritsmcaniques, qui sont bases sur lune ou lautre, statique (cest la mthode la plus ancienne
pour la dtermination des constantes lastiques, tel que les essais de traction, de compression,
et de torsion [1]) ou rponse dynamique une excitation du matriau, cas des mthodes
ultrasonores [2].Ces dernires sont dans la plupart des cas, beaucoup plus avantageuses et
plus prcises, applicables de petits chantillons et permettent galement ltude en plus de la
viscolasticit, la dispersion et les non-linarits. A cet effet, la mthode de caractrisation
ultrasonore savre dsormais, incontournable pour la dtermination des proprits
mcaniques des matriaux. Pour des milieux htrognes lchelle microscopique, loutilacoustique autorise lvaluation des caractristiques mcaniques du milieu homognis
lchelle de la longueur donde, c'est--dire, la frquence spatiale de lexcitation mcanique.
Cest cette facult dhomognisation des proprits mcaniques des matriaux, la fois
htrognes et anisotropes qui font de cette technique un outil essentiel pour lidentification
de lois de comportement dun milieu continu homogne quivalent.
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Cette tude sinscrit prcisment, dans limportance de lanalyse et lvolution des
techniques ultrasonores adaptes aux structures htrognes des matriaux (fibres, porosits et
inclusions) et leur endommagement par microfissuration entranant gnralement, un
caractre dispersif marqu par des ondes acoustiques [3], [4], [5], [6], pour lequel un modle
viscolastique linaire des lois de comportement du milieu homogne considr est ncessaire
[7], [8], [9], [10]. Le formalisme requis pour lhypothse dun tel milieu autorise
lintroduction de fonctions de rigidit complexe en frquence, avec des lois dvolution de
vitesse de phase et de coefficient dattnuation priori quelconques. Ces dernires, la
dispersion et lattnuation, sont alors, comme deux phnomnes dpendants lun de lautre,
une relation dont il faudrait tenir compte dans les mthodes didentification des proprits
viscolastiques du milieu dispersif. Pour cela, deux grandes familles de techniques de
caractrisation ultrasonore peuvent tre distingues. La premire est base sur ltude desmodes propres dun chantillon. Dans le cas dun dplacement libre aux interfaces, la
caractrisation repose sur lanalyse des modes guids se propageant dans une plaque mince
[11], [12], [13], [14]. Pour un dplacement impos aux interfaces, il sagit dtudier les
frquences de rsonance (spectroscopie) dune structure simple (cube, plaque
rectangulaire,) [15], [16]. Ces mthodes ont lavantage dtre plus prcises dans le cas de
matriaux purement lastiques, mais sont beaucoup moins efficaces ds quun comportement
dissipatif visqueux apparat. De plus, elles sont difficilement adaptables au suivi continu de
lendommagement. Lautre famille exploite directement les proprits des ondes planes ou degroupe (vitesse de propagation et lattnuation) lies par lquation de propagation aux
proprits mcaniques du milieu. Ainsi, par lestimation de la vitesse de phase et
dattnuation des ondes ultrasonores selon plusieurs directions de propagation, il est possible
de remonter aux proprits mcaniques du matriau. Ces mesures seffectuent gnralement,
de deux faons diffrentes. Soit, londe acoustique est gnre et rceptionne au contact de
lchantillon [17], [18], soit, les mesures sont ralises sans contact, en utilisant un milieu de
couplage fluide, tel que leau, lhuile ou lair[19], [20], [21], [22], [12], [23].
Afin dvaluer les caractristiques des matriaux viscolastiques, les proprits
lastiques sont rarement suffisantes. En particulier, pour les polymres, les mesures relatives
de lattnuation dans le matriau fournissent des informations au sujet du degr dinter-
liaisons et de la cristallinit de ces derniers [24].
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Pour les mtaux, lattnuation peut tre lie au mouvement des dislocations entre
autres caractristiques. Pour les matriaux composites, en gnral, linterphase et la matrice
dominent lattnuation. Leurs dterminations par la mthode transmission en utilisant les
mesures ultrasonores des vitesses de phase ou de groupe, savrent tre les plus largement
rpandues [12], dautant plus quelles dpendent, plus ou moins fortement de la frquence etde la temprature [25]. Ces mesures ont t un domaine de recherche trs actif tout au long de
ces dernires dcennies. Habituellement, ces mthodes exigent la connaissance des axes de
symtrie du matriau. En principe, la concidence entre les axes de symtrie et gomtriques
de lchantillon est assume. Cependant, une certaine discordance du signal entre ces deux
systmes du mme rang, peut apparatre dans beaucoup de cas ; erreur exprimentale due aux
emplacements de lchantillon, aux dfauts de coupe, aux dfauts dempilement des strates,
cas des matriaux composites industriels, et aux microfissures avec une orientation
prdominante qui ne concide pas avec les axes de symtrie, etc. [12].
Comme rpandu, la plupart des matriaux viscolastiques appartiennent la classe
de symtrie orthotropique tels que les composites, et isotropique pour le cas des polymres.
Par consquent, neuf et deux constantes indpendantes respectivement, sont ncessaires pour
modeliser leurs ractions aux charges extrieures. Pour un matriau orthotrope, sept des neuf
constantes lastiques peuvent tre obtenues de par les mesures dans les deux plans de
symtrie. Les deux autres constantes lastiques peuvent tre trouves partir des mesures
dans les plans non symtriques [23]. Pour un matriau isotrope, les ondes longitudinale ettransversale sont amplement suffisantes pour retrouver les constantes de Lam du matriau.
Cette recherche rside dans ltude des proprits dattnuation (dispersion et
dissipation) en vue dune valuation simultane des vitesses de propagation et de lattnuation
des ultrasons dans des matriaux composites et polymriques. La connaissance de ces
caractristiques conduit lidentification des proprits dlasticit et de viscosit du matriau
analys. Dans ce contexte, on tudie une mthode didentification des proprits
viscolastiques de matriaux anisotropes, effectue partir de lanalyse des signaux transmis
travers la faible paisseur dune lame paralllpipdique et pour valuer les paramtres cits
prcdemment, selon lincidence longitudinale et transversale par la technique de
transmission en immersion. De plus, nous devrons prendre en compte lattnuation, rsultant
de nombreux phnomnes plus ou moins complexes. En particulier, nous connaissons les
phnomnes lmentaires dattnuation comme la viscolasticit anisotrope et la diffusion,
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auxquels nous serons forcment confronts au cas dun composite constitu dpoxy, milieu
viscolastique, et de fibres de carbone jouant le rle de diffuseurs, ainsi que deux autres
matriaux polymres diffrents, un polythylne et polyurthanne. Enfin, on termine par une
valuation simultane de lpaisseur, la vitesse, la densit et lattnuation par la technique de
par cho en immersion dont lexprience a t dj ralise par Graciet C., et Hosten B., [26]o notamment, ses rsultats sont trs apprciables pour des matriaux viscolastiques. Ainsi
donc, cette tude sarticule autour des lments et chapitres suivants. Une introduction
gnrale qui prsente la position du problme et prcise le but de cette recherche. Le chap.I
prsente une tude des matriaux viscolastiques, savoir, les composites et les polymres,
ainsi que les diffrentes techniques et mthodes exprimentales permettant leurs
caractrisations mcaniques. De plus, on prsente en gnral, le phnomne dabsorption cr
par leffet viscolastique dans les matriaux composites renforcs de fibres de carbone et les
diffrentes approches de leurs caractrisations. Le chap.II se base sur les diffrents conceptsthoriques permettant la comprhension du milieu anisotrope gnral qui constitue le support
de transmission des ondes ultrasonores, ainsi que leurs relations dynamiques avec le milieu de
propagation, et il se termine par la prsentation de diffrentes techniques de transmission en
immersion et les mthodes destimation des vitesses donde de propagation et leurs
attnuations dans les milieux viscolastiques anisotropes. Dans le chap.III, on traite les
lments essentiels du traitement du signal qui portent, en particulier, sur la numrisation du
signal et la transforme de Fourier permettant la dtermination de la fonction de transfert
exprimentale de la plaque. Ce chapitre traite galement, de la transforme dHilbert de
limpulsion rponse value des deux signaux superposs. Cest une mthode rpandue tre
plus performante et prcise. Notons que ce processus de calcul par la transforme dHilbert
permet la dtermination du temps de vol et la mesure prcise des vitesses de propagation et de
lattnuation, ainsi que les rigidits complexes du matriau y dpendant. Au chap.IV, on
prsente les techniques de mesures et le matriel utilis pour la caractrisation ultrasonore des
matriaux, savoir, le dispositif dessai de transmission en immersion et celui par cho. On
montrera comment appliquer ces concepts, collecter et traiter les rsultats exprimentaux,
obtenus sur des matriaux viscolastiques varis, anisotropes et isotropes, et rpandus dans le
domaine ultrasonore savoir respectivement, un composite stratifi unidirectionnel de 10 plis
de tissu de carbone/poxy et deux polymres : un polythylne et un polyurthane. Ces
matriaux danalyse prsentent de bonnes estimations relatives aux valeurs rfrencies dans
la littrature scientifique.
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Ce mmoire se termine par une conclusion gnrale, en soulignant lintrt des
ultrasons dans le domaine de caractrisation des matriaux viscolastiques. Les rsultats
obtenus relatifs lvaluation de la vitesse de propagation et de lattnuation ultrasonore,
incitent lavantage la gnralisation de ces mthodes ultrasonores pour une caractrisation
relle de nouveaux matriaux.
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Chapitre I
Revue bibliographique
Introduction
Comme tous les matriaux utiliss dans le milieu industriel, les matriaux polymres
et composites doivent tre caractriss et contrls afin de rpondre aux rgles de qualit et de
scurit souhaites. Leurs proprits et larrangement matriel de leurs diffrents constituants
leurs confrent un caractre particulier et complexe, ils sont rpandus tre des milieux
htrognes, viscolastiques et respectivement, isotropes ou anisotropes. Leur utilisationintense dans des applications industrielles les rend de grand intrt connatre leurs proprits
mcaniques et dattnuation ou parfois, de dispersion.
Cette revue bibliographique va donc tre consacre une prsentation succincte des
spcificits et des qualits de ces matriaux, ainsi que les diffrentes mthodes qui nous
permettent de recouvrir leurs caractristiques mcaniques. Cette partie se termine par une
tude dtaille de lattnuation rsultant des phnomnes dabsorption et de diffusion cres
par des microstructures trs complexes, tel que labsorption par effet viscolastique de la
matrice polymre et la diffraction ou la diffusion simple ou multiple par les fibres de carbone
pour le cas notamment, dun composite unidirectionnel de carbone / poxy.
I.1. Caractristiques mcaniques et proprits des matriaux polymres et composites
I. 1.1. Polymres
Les matriaux polymres (ou plastiques) sont des enchanements macromolculaires
organiques de motifs (ou monomres) simples ou diffrents. Un monomre est une suite
datomes de carbone lis entre eux et avec dautres lments (H, N, Si, Cl...). La nature
chimique des monomres constituants les macromolcules, leurs nombres et leurs
arrangements procurent aux polymres des proprits lastiques ou viscolastiques
particulires.
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On distingue des homopolymres, rptition dune unique structure molculaire, et des
copolymres, rptition de plusieurs structures diffrentes. Ils sont classs en deux
catgories : les thermoplastiques et les thermodurcissables.
I. 1.1.1. Les thermoplastiques
Les thermoplastiques sont constitus de chanes ramifies, ont un point de fusion et
comportent deux classes : des amorphes, sans ordre molculaire, et des cristallins. Le
changement dtat solide / liquide ou pteux peut se faire plusieurs fois avec une perte de
caractristiques chaque cycle.
Les amorphes nont pas dordre apparent (structure semblable un liquide) et pas de
temprature de fusion prcise, mais prsentent une phase de ramollissement. Ils sont
caractriss par un faible retrait, une tenue au choc, une tenue dimensionnelle et unersistance au fluage. Les PS, ABS, PMMA, PC, PSU, PVC. (Voir la signification les
abrviations) sont des amorphes.
Les cristallins ont une structure ordonne dans une matrice amorphe. Le taux de
cristallinit donne limportance de la structure cristalline dans lensemble de la matire. Ce
taux dpend de la matire et du refroidissement lors du moulage. Ils ont une bonne tenue la
fatigue, un faible coefficient de frottement, une bonne tenue chimique. On peut noter, parmi
les cristallins, les PE, PET, PBT, PA, POM, PTFE...
I. 1.1.2. Les thermodurcissables
Les thermodurcissables ont leurs macromolcules orientes dans lespace et dans les
trois directions. Il ny a point de fusion. Le moulage est obtenu laide dun agent rticulant,
dun catalyseur ou dun durcisseur. En gnral, ils sont plus rigides que les thermoplastiques,
rsistent mieux au fluage et se prtent au moulage de grandes pices avec des fibres courtes,
longues ou tisses. Ces principales familles sont les polyesters, les phnoliques, les poxydes,
les aminoplastes.
Les proprits mcaniques des polymres, en particulier leurs rigidits dpendent deplusieurs facteurs, ils peuvent tres groups selon leurs proprits chimiques et de la
configuration spatiale de leurs chanes. Dune part, la nature des monomres prsents dans la
chane, ainsi que la stro-isomtrie, auront une influence sur la souplesse de la chane et,
dautre part, la configuration spatiale des chanes, qui peuvent tres linaires (cristallises ou
non), ramifie, rticule ou forme de rseaux amorphes.
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Ltude du comportement mcanique de ces matriaux a donn lieu de nombreux
ouvrages de rfrence tels que ceux de J. D. Ferry [27]et R. D. Corsaro et al. [28].
I. 1.1.3. Structure molculaire
La figure I.1 prsente les formules chimiques de deux polymres rpandus dans le
domaine des mousses synthtiques ou le nombre de monomres, ou motifs lmentaires n, est
souvent suprieur 1000 : le polythylne et le polyurthane. Des rsines peuvent galement
tre utilises, comme la mlamine.
F igure I.1.Formules chimiques de deux polymres courants : a) polythylne et
b) polyurthanne. R et Rdsignent des groupes datomes fonctionnels
Le comportement mcanique des polymres est influenc par la nature des groupes
chimiques mis en jeu mais galement, par leurs caractristiques physiques telles que la masse
volumique et lencombrement spatial par exemple [29].
I. 1.1.4. Structure macromolculaire
Lassociation de monomres dans une macromolcule est due principalement, des
Forces de cohsion chimiques. En complment de ces liaisons chimiques, des liaisons
physiques peuvent intervenir pour maintenir lassemblage. Ces forces de cohsion physiques
peuvent tre dtruites, de faon rversible, sous leffet de la chaleur, dun solvant ou dune
sollicitation mcanique ; le matriau conserve toutefois sa nature. La scission dune liaison
chimique, plus rsistante, possde en revanche un caractre irrversible et modifie la naturedu matriau.
Le nombre de monomres formant une macromolcule est gnralement, trs
important et le fait dajouter ou de retirer un monomre ne modifie pas de faon significative
les proprits du matriau polymre rsultant. La figure.I.2, prsente diffrents arrangements
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de monomres en une macromolcule. Ces arrangements ont une importance sur les
proprits macroscopiques du matriau.
Pour les matriaux rticuls, plus le niveau du dsordre des monomres est lev, plus
il sera difficile de dnouer ces chanes et donc, plus la rigidit du polymre sera importante.
Fi gure I .2.Reprsentation schmatique de diffrents arrangements de monomres
en une macromolcule : a) linaire, b) ramifie etc) rticule
I. 1.2.5. Comportement mcanique
Les matriaux polymres possdent gnralement un comportement mcanique du
type viscolastique. Leur rponse une contrainte constante 0 , pendant un temps 0t , est unecombinaison entre un comportement lastique (instantan et rversible) et un comportement
visqueux (fonction du temps et irrversible).
Le domaine de viscolasticit linaire du matriau dpend de nombreux paramtres,
tels que la temprature, lamplitude et la frquence des contraintes, des dformations, ou
encore, de la vitesse du chargement. De plus, le comportement mcanique dun mme
matriau volue suivant les domaines dtats que possde ce matriau.
I. 1.1.6. Domaines dtats
La figure I.3, prsente schmatiquement lvolution en fonction de la temprature, de
la partie relle dun module lastique et du coefficient damortissement structural qui lui
est associ. Les deux pics sur la courbe du coefficient damortissement traduisent des
transitions, ou relaxations, associes des possibilits de mouvements molculaires.
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F igure I.3.Reprsentation schmatique de lvolution de la partie relle dun module
lastique et du coefficient damortissement associ pour un matriau polymre en fonction de
la temprature ou de la frquence[28].
La transition est la premire transition qui apparat en abaissant la temprature. Elle
donne un pic plus important que les autres transitions. Le maximum du pic de cette transition
indique la temprature de transition vitreuse Tg. A une temprature infrieure la temprature
de transition vitreuse, le matriau est dans un tat vitreux, solide et rigide. Il prsente un
comportement fragile, semblable au verre, et possde des modules dlasticit levs. Aucontraire, ltat caoutchouteux, le polymre est ductile, de la mme manire quun
caoutchouc.
Les transitions , , et , peuvent tre observes lorsque la temprature continue de
diminuer. Elles donnent des pics de moindres amplitudes car elles sont relatives des
mouvements de petits groupements molculaires spcifiques. Entre ces transitions dtat, les
proprits des matriaux varient peu.
I.1.2.Composites
On dit quun matriau est un matriau composite, lorsquil est constitu de deux ou de
plusieurs lments distincts et non miscibles, dont les caractristiques se combinent pour
donner un matriau htrogne possdant des performances globales amliores et ayant, des
proprits particulires en rponse un besoin spcifi.
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Lune des grandes familles de matriaux composites, regroupe ceux constitus de
deux phases : un matriau fibreux, jouant le rle de renfort (armature, squelette), et il assure
la tenue mcanique (rsistance la traction et rigidit), souvent de nature filamentaire (fibres
organiques ou inorganiques) et, un matriau rsineux, appel : matrice, qui lie les fibres
renforts, rpartit les efforts (rsistance la compression ou la flexion) et assure une bonne
protection chimique du matriau.
Ce qui fait loriginalit de ces matriaux, est leur constitution de base, qui est une
association de proprits mcaniques de diffrents constituants (matrice et renfort) dans une
mme structure. Les matriaux composites sont trs varis. Ils peuvent tre classs en
fonction de la constitution de la matrice (organique, mtallique, minrale, etc.) et de la nature
du renfort (carbone, verre, aramide ou kevlar, bore, etc.). Le type dassociation matrice /
renfort, dpend principalement de lapplication pour laquelle le composite est destin. Dansles domaines aronautique et spatial par exemple, la proccupation majeure des constructeurs,
est laugmentation des performances des pices par 1amlioration de leurs proprits
caractristiques (gain de masse, tenue en fatigue, tenue en temprature, rsistance la
corrosion, etc.), ce qui explique la grande utilisation des composites carbone / poxyde dans
ce domaine.
Historiquement, le concept de renforcement base de fibres est trs ancien ; il a t
utilis par les Egyptiens dans la construction, par lintroduction de la paille dans de largile.
En 1942, le premier bateau base de fibres de verre a vu le jour, et les plastiques renforcsont fait leur apparition dans les applications aronautiques et les composants lectriques. Les
fibres de carbone et de bore haute rsistance taient introduites au dbut des annes 60, et
ont t utilises dans les composites hautes performances en 1968. Quant aux composites
matrices mtalliques, tels que le bore/aluminium, ils ont t introduits dans les annes 70. Par
la suite, il ya eu le dveloppement des fibres de kevlar (aramide) en 1973. A la fin des
annes 70, les applications des matriaux composites ont pris de plus en plus dampleur, et
ont touch les constructions aronautique et automobile, les quipements sportifs et lindustrie
biomdicale.Les annes 80 par contre ont t marques par une augmentation spectaculaire de
lutilisation des fibres hautes performances. Actuellement, laccent est mis sur le
dveloppement des composites destins aux applications hautes tempratures, tels que les
composites matrice mtallique, matrice cramique et carbone / carbone [30].
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I .1.2.1. Structures des composites
Lanalyse du comportement des composites et la prvision de leurs proprits, font
intervenir les caractristiques de la matrice, celles des fibres, les problmes dinterface et les
conditions de fabrication. En effet, les proprits mcaniques des composites sont trs
dpendantes des fibres employes : nature, rpartition, orientation, taux ou fraction
volumique, longueurs et diamtres ou facteur de forme, ensimageset de la matrice (en
particulier, les tempratures de transition et de fusion pour les thermoplastiques).
Ces matriaux peuvent, par un assemblage judicieux de leurs composants, acqurir un
ensemble de proprits mcaniques intressantes : bonne tenue en fatigue, absence de
corrosion, et avant tout, une faible masse, une rsistance et une rigidit spcifique leve. Ces
deux dernires proprits, prsentent notamment un grand intrt dans lindustrie, dautant
plus performante quelles sont lgres et rsistantes dun point de vue mcanique. Ceci peuttre obtenu en utilisant une matrice polymrique dont la masse volumique est faible,
contenant par exemple des fibres de carbone de faible densit galement, mais surtout
possdant une rsistance mcanique trs leve. Toutefois, une bonne connaissance des
composites doit tre fonde sur celle des renforts et des matrices.
a) Les renforts
Les fibres sont constitues par plusieurs centaines ou milliers de filaments, de
diamtres compris entre 5 15 microns, longues ou courtes. Elles sont dorigine minrale(verre, carbone, bore, cramique), ou organique (aramide ou Kevlar) [31], ainsi que
dautres, continues (alpha quartz, alumine, carbure de silicium) et discontinues
(monocristaux ou trichytes) [32], mtalliques et cramiques [33], etc.. Leur assemblage, aprs
leurs traitements de surface (ensimage), constitue un renfort, donnant lieux des matriaux
composites unidimensionnels (fibres unidirectionnelles), bidimensionnels (surfaces tisses
"tissus" ou non tisses "feutres ou mats"), et tridimensionnels ou multidimensionnels (volume
prform ou non) comme le montre la figure I.4.
Les matriaux de renfort, confrent aux composites leurs caractristiques mcaniquestelles que rigidit, rsistance la rupture, duret, etc. Ces renforts permettent galement
damliorer certaines des proprits physiques telles que, le comportement thermique, la tenue
en temprature, la tenue au feu, la rsistance labrasion et les proprits lastiques.
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Figure I. 4.Disposition des fibres : a)fibres unidirectionnelles ; b)mat ;
c)tissus ; d)tissage tridimensionnel orthogonal
CaractristiquesCarbone
(HM)
Carbone
(THM)
Carbone
Hercule AS4
Masse volumique ( )3/ mkg 1810 1950 1810
Diamtre ( )m 8 8 8
Module dYoung fE ( )GPa 400 600 235
Module spcifique fE / ( )kgMNm / 210 310 130
Contrainte la rupture fu ( )MPa 2800 2000 3730
Contrainte spcifique fu / ( )kgKNm / 1550 1030 2060
Tableau I .1. Caractristiques des fibres de carbone [30], [34]
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Les hautes performances des composites dpendent dune part, dun module
spcifique lev (rapport du module dlasticit la densit /fE ), et dautre part, de la
contrainte spcifique (rapport de la contrainte ultime la densit /fu ). Ces deux proprits
sont contrles par les fibres. Elles sont illustres dans le tableau I.2, pour le cas des fibres decarbone haut module (HM), trs haut module (THM) [34], et les fibres de carbone AS4
[30].
b) Les matrices
La matrice dun matriau composite est le milieu ductile qui lie les fibres renforts, de
rsistance et de rigidit infrieure et sert, transfrer les efforts que subissent ces dernires.
Elle peut tre mtallique (alliage daluminium, de titane, etc.), minrale ou carbone (carbure
de silicium, carbone, etc.), cramique, et rsineuse ou organique (diffrents types de
polymres : thermoplastiques et thermodurcissables utilisation technique ou hautes
performances "thermostable ou non") [35]. Dun point de vu mcanique, la matrice dun
matriau composite se comporte comme un matriau homogne. Elle remplit deux rles
fondamentaux :
1) Elle assure le transfert des sollicitations mcaniques aux fibres (lorsque les fibres
apportent au composite leurs performances mcaniques leves). Pour cela, elle doit tre
ductile et prsenter une bonne cohsion avec les fibres, afin dassurer un transfert optimal et
limiter les dplacements de lensemble. Dautre part, elle doit avoir une faible masse
volumique, ce qui donne au composite des proprits spcifiques leves;
2) Elle incorpore les fibres et les protge vis--vis des agressions extrieures.
Il existe deux grandes familles de rsines polymres : les rsines thermoplastiques et
les rsines thermodurcissables.
Les rsines thermoplastiques sont des polymres chane linaire. Elles dveloppent
des liaisons flexibles qui permettent leur mise en forme plusieurs fois par chauffage et
refroidissement successif. Elles sont gnralement, utilises dans les produits de grande
diffusion. Cependant, lamlioration des caractristiques des rsines thermoplastiques conduit
leur utilisation dans des applications de plus en plus importantes.
Pour obtenir des composites aux performances plus leves, on utilise gnralement
des rsines thermodurcissables. Contrairement aux prcdentes, ces rsines ne peuvent tre
mises en forme quune seule fois. De plus, un chauffage supplmentaire contribuerait les
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dgrader et, par consquent, affaiblit le matriau. En effet, aprs polymrisation par un apport
dnergie thermique, ces rsines conduisent des liaisons rigides qui ne peuvent tre dtruites
que par un apport plus important dnergie thermique.
Tableau I .2.Caractristiques mcaniques des rsines poxydes [34]
Les rsines thermodurcissables prsentent quelques inconvnients, tels quun long
temps de polymrisation (plusieurs heures), un cot lev, un redoublement de prcautions
lors de la mise en oeuvre, une sensibilit la fissuration, etc. Ces inconvnients demeurent
insignifiants devant les performances leves de ces rsines, telles quillustres par le tableau
I.1. Les rsines thermodurcissables possdent des proprits mcaniques (traction, flexion,
compression, choc, etc.) et surtout thermomcaniques, suprieures celles des rsines
thermoplastiques. Elles possdent galement une bonne tenue aux tempratures leves
(jusqu 150C 190C en continu), une excellente rsistance lattaque par lhumidit et ont
une bonne adhrence aux matriaux de renfort [34].
I .1.2.2. Les m atriaux c om pos ites stru ctu raux
La rigidit dun composite est conditionne par le nombre et lempilement des
couches, leur nature, leur orientation, leur squence dempilement, etc. Ils sont
gnralement sous forme de :
a) Monocouches
Les monocouches ou pli, reprsentent llment de base de la structure composite. Les
diffrents types de monocouches sont caractriss par la forme du renfort : fibres longues
(unidirectionnelles UD, rparties alatoirement), fibres tisses ou fibres courtes.
Masse volumique ( 3k g /m ) 1100 1500
Module dlasticit en traction (GPa) 3 5
Contrainte la rupture en traction (MPa) 60 80
Contrainte la rupture en flexion (MPa) 100 150
Allongement la rupture en traction en (%) 2 5
Rsistance au cisaillement (MPa) 30 50
Temprature de flchissement sous charge (C) 290
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b) Stratifis
Un stratifi est constitu de lempilement de deux ou plusieurs couches (appeles
galement plis) entreposes successivement, et se comportant comme une seule entit
structurale. Chaque couche est forme de fibres de faible section (denviron 10 20 m de
diamtre), imprgnes de rsine.
Chaque couche est dsigne par son orientation, qui est langle que fait la direction des
fibres avec la direction de rfrence (qui est gnralement la direction des fibres
unidirectionnelles orientes 0).
La squence dempilement du stratifi, dsigne le nombre et lorientation des couches
successives en parcourant le stratifi dune face lautre. Ainsi, un stratifi est dit
unidirectionnel si, langle entre deux couches conscutives est nul, c'est--dire, toutes les
fibres sont alignes selon une seule direction. Par contre, un stratifi est multidirectionnel si
les couches successives, sont orientes les unes par rapport aux autres des angles autres que
0 tel, les multidirectionnels [0/ +45/ -45/ 90/ 90/ +45/ -45/ 0]. A titre dexemple, les stratifis 10 plis concerns par la prsente tude sont unidirectionnels 0. Pour ce qui est de la
convention de signe, elle est tablie selon le systme daxes que lon se fixe.
Un stratifi est constitu dun empilement de monocouches ayant, chacun, une
orientation propre par rapport un rfrentiel commun aux couches et dsign, comme le
rfrentiel du stratifi.
Le choix de lempilement et plus particulirement des orientations permettra davoir
des proprits mcaniques spcifiques.
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le phnomne dendommagement le plus diffus dans les structures composites et celui qui
affecte le plus leur intgrit structurale et leur dure de vie [36].
I.1.2.4. Comportement mcanique
Si le schma de llasticit linaire reprsente assez bien le comportement mcaniquedes fibres en petites dformations, il nen est pas de mme de la matrice qui assure la liaison
entre les renforts. Cette dernire est gnralement organique et constitue de grosses
molcules qui prsentent un caractre visqueux. On entend par visqueux un milieu dans lequel
la dissipation volumique intrinsque nest en fonction que des vitesses des divers paramtres
caractrisant le milieu, tels que les vitesses de dformation ainsi que les contraintes de
rigidits (figure I.5). La matrice tant visqueuse, elle va donc, confrer au matriau composite
un caractre de viscosit.
(a) (b)
a) Sollicitation impose au matriau (dformation ou contrainte)
b) Effets dus aux sollicitations (contrainte ou dformation)
Figure 1. 5.Evolution, temprature constante, des termes diagonaux des matrices de
relaxation{ })(tC et la dformation{ })(tS en fonction du temps
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La viscosit du composite peut galement avoir pour origine lhtrognit du
matriau. En effet, si la liaison fibre matrice est mdiocre, des micro-frottements entre les
diffrents constituants provoquent une perte dnergie que lon peut traduire globalement par
la viscosit. Cette dissipation dnergie, qui dpend des vitesses, peut avoir un effet positif et
recherch dans les comportements vibratoire et acoustique des structures [37].
I.2. Techniques exprimentales de caractrisation des matriaux
I. 2.1. Mthodes de dtermination des constantes lastiques et viscolastiques
Beaucoup de mthodes, employes pour mesurer les constantes lastiques et
viscolastiques, sont bases sur lune ou lautre, statique ou rponse dynamique une
excitation du matriau [2]. La mthode la plus ancienne pour la dtermination des constantes
lastiques tait lessai statique, tel que les essais de traction, de compression et de torsion [1]et au cours du sicle dernier, lvaluation non destructive des structures a connu un essor
considrable. Depuis, les techniques ultrasonores sont devenues loutil privilgi pour le
contrle et lvaluation non destructive des proprits mcaniques de la majorit des
matriaux.
Les matriaux anisotropes sont caractriss par de nombreuses constantes lastiques
indpendantes. En raison des besoins dessai, les mthodes dynamiques ont t dveloppes,
y compris la transmission ultrasonore [14]et [38], mthodes de rsonance [16] et faisceau
lumineux.Compares aux mthodes statiques qui exigent lutilisation de multiples chantillons
et qui aggravent les incertitudes dessai, les mthodes dynamiques ont de nombreux
avantages. Dans le plupart des cas, elles sont beaucoup plus prcises et applicables aux petits
chantillons et, actuellement, elles permettent galement ltude de la viscolasticit, la
dispersion et la non-linarit.
Les mthodes les plus largement rpandues ont t rpertories [39]ou lexactitude
des mthodes diffre et la liste ci-dessous est classe approximativement en ordre
dcroissant :
Techniques donde de volume acoustique ou ultrasonore, y compris les mthodes de
transmission et de limpulsion superpose.
Techniques de rsonance de lchantillon sous la forme de tiges, de barres, de
paralllpipdes, de plaques et plus rcemment, de sphres.
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Dformation statique.
Lumire, neutron et dispersion de rayon X, y compris la dispersion de Brillouin.
La technique de la transmission ultrasonore et la dispersion de Brillouin sont
gnralement, les mthodes les plus utilises maintenant [39]. La dispersion de Brillouinpermet des mesures sur de trs petits chantillons, dordre de quelques millimtres ;
sauf quelle ne peut fournir aucune information au sujet de leffet de la temprature sur les
constantes lastiques. En gnral, la mthode de transmission ultrasonore tient des avantages
significatifs si lensemble complet des constantes lastiques est exig [39].
Etant donn que le prsent mmoire se concentre sur les techniques qui emploient la
transmission ultrasonore pour la dtermination de certaines caractristiques mcaniques dune
utilit technologique importante, savoir : la densit, lpaisseur et les constantes
viscolastiques. Pour ce fait, des concepts thoriques sont notamment dvelopps ci-aprspour permettre la comprhension des diffrentes mthodes et techniques de mesure.
I .2.2. Test mcanique pour la dtermination du module danisotropie des matriaux
Dans le pass, un certain nombre de mthodes dessai mcaniques ont t introduites
avec le dveloppement de nouveaux matriaux, particulirement, les composites. Les
nouvelles mthodes dessai fournissent des moyens de distinction entre les nouveaux
systmes matriels devenus disponibles. Les configurations dessai mcanique les plus
communes taient, la traction, la compression, le cisaillement et la flexion. Toutes ces
dernires peuvent tre employes pour obtenir les deux constantes lastiques de Lam et pour
mesurer la charge limite du matriau [40].
I .2.3. Mesure ultrasonore des proprits mcaniques des matriaux
La technique utilisant la transmission ultrasonore pour caractriser les proprits du
matriau sest dveloppe sensiblement au cours des quinze vingt dernires annes
[14]. Il y a de nombreuses rfrences se concentrant sur ces mthodes pour obtenir les
constantes lastiques [40]. Par lapproche de la transmission ultrasonore, le spcimen est
immerg dans un fluide ou mis en contact direct avec le capteur. La limitation de la technique
de contact direct est quelle exige que pratiquement, lchantillon soit assez pais (3 5 cm),
et galement, coup diffrentes angles, comme celui dessai mcanique [12]et [41]. Dans le
pass, un inconvnient majeur de la technique dimmersion, particulirement, pour des
contrles en service, tait la ncessit dimmerger le matriau dans un liquide, couramment,
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- Solide lastique de Hooke, avec contrainte linairement proportionnelle la dformation :
= C (I.1)
O, est la contrainte uni-axiale, est la dformation uni-axiale associe, et C est
le module dlasticit reliant et .- Amortisseur visqueux de Newton, avec contrainte linairement proportionnelle la vitesse
de dformation :
d
dt(I.2)
O, est le coefficient de viscosit reliant contrainte et vitesse de dformation.
Parmi les modles un peu plus compliqus, rendant mieux compte du comportement
des solides rels, on trouve les modles deux paramtres :
- Le modle de MAXWELL (figure I.6), qui associe en srie un ressort (lasticit) et un
amortisseur fluide visqueux.
Fi gure I.6.Modle rhologique de Maxwell.
- Le modle de Kelvin-Voigt, qui permet une reprsentation complexe de la raideur et de
lamortissement pour une excitation sinusodale [47].
Cest ce modle auquel on sintresse plus particulirement ici, car il est frquemment
utilis dans la littrature pour modliser la viscolasticit dans les solides. Il est schmatis
par lassociation en parallle dun ressort et dun amortisseur fluide visqueux (figure I.7).
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F igure I .7.Modle de Kelvin-Voigt
La contrainte globale de traction uni-axiale applique au systme ressort / amortisseur
visqueux en parallle est gale la somme des contraintes de chaque lment :
1 2
(I.3)
O, 1 et 2 sont les contraintes induites respectivement dans le ressort et
lamortisseur (figure I.7).
On introduit les lois de Hooke (I.1) et de Newton (I.2) ( coefficient de viscosit) dans
cette relation et on obtient :
d= C
dt(I.4)
Or dans un modle de propagation donde, dans le cas o les variables de champ(dplacement, dformation, contrainte) sont exprimes comme fonctions harmoniques du
temps, soit :
t e et t e (I.5)
On recherche une relation entre les contraintes et les dformations du type
( ) = C , obtenue en introduisant dans (I.4) les relations (I.5). Le modle de Kelvin-Voigt
est donc caractris par la relation suivante dans le domaine frquentiel :
( )C = C + i (I.6)
On dfinit de mme un nombre donde complexe ( )k tel que, ( )k = k - i , o k,
partie relle, qui permet son tour de dfinir la vitesse de phase V tel que,
V =k
, est le
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nombre donde ; est positif et reprsente le coefficient dattnuation qui est directement li
aux proprits damortissement du matriau, et ^ dsigne la notation complexe. De cette
approche, le matriau est peru comme homogne o, la longueur donde , vrifie la relation
suivante :
V = =k f
(I.7)
En introduisant une solution en onde plane longitudinale dans lquation donde
unidimensionnelle (1D), on obtient une quation complexe dont on peut sparer les parties
relles et imaginaires [9]:
( )
( )
2 2 2
2 2
C k - +2
i k - - 2kC = 0
(I.8)
O, est la masse volumique du milieu de propagation considr, C et sont
respectivement, le module dlasticit et le coefficient de viscosit dfinis prcdemment et
est la pulsation (appele aussi, frquence angulaire et dfinie par : f 2= , f tant la
frquence).
De faon gnrale, le comportement mcanique dun matriau viscolastique peut tre
reprsent par un tenseur dlasticit C, ainsi quun tenseur damortissement [9]. Si on
considre que la traction uni-axiale est applique au systme ressort / amortisseur dfini dansla figure I.7, dans la direction arbitraire note 1, alors les paramtres Cet correspondent
aux coefficients11
C et11
de ces tenseurs respectifs.
Lquation (I.8) conduit alors aux relations suivantes [9]:
22 2
2
1111
11
3 11
112
1111
11
k - =
C 1+
C
Ck =
C 1+
C
(I.9)
-
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On peut alors exprimer le coefficient d'attnuation en fonction de la frquence, ce qui donne :
2
2 1 22 211
1111
1111
1 1 = -2C 1+1+ CC
(I.10)
Si on suppose que les effets de viscosit sont faibles devant les effets d'lasticit
(approximation de faible viscosit), on peut crire la relation :
2
11
11
-
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Ainsi, au premier ordre, le nombre donde varie linairement avec la frquence ce qui
montre que le modle de Kelvin-Voigt combin avec lapproximation de faible viscosit
(I.11) nimplique pas de dispersion de la vitesse (puisque la vitesse V est dfinie aussi par,
V k = , soit au premier ordre LV V= ).Pour terminer ce paragraphe concernant les modles rhologiques, notons quil existe
des modles encore plus complexes pour reprsenter la viscolasticit dans les solides. Par
exemple, on trouve dans la rfrence [48]une analyse thorique de la propagation dondes
planes harmoniques en milieu multicouche viscolastique laide du modle rhologique de
Zener (figure I.8).
F igure I.8.Modle de Zener
Ce modle est aussi caractris par un module dlasticit complexe *C comme dans
le cas du modle de Kelvin-Voigt mais, il utilise des paramtres diffrents. On a avec ce
modle :
( )
( )
*
*
2
12
2
12
2
1
Re1
1 1
Im1
C C
C C
+ = + = +
(I.15)
O : - est le temps de relaxation caractristique de dformation due lapplication dune
contrainte constante.
- est le temps de relaxation de contrainte correspondant lapplication dune
dformation constante.
-
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- 1C est un module dlasticit qui est gal au module dlasticit classique lorsquil
ny a pas de viscosit.
En pratique, le modle de Kelvin-Voigt est le plus souvent utilis, car il fait intervenir
moins de paramtres de viscosit que les modles les plus complexes comme celui de Zener.
Cependant, il a tendance surestimer labsorption [49].
I.3.2. Approche temporelle
Dans le paragraphe prcdent, nous avons introduit pour le modle de Kelvin-Voigt un
nombre donde complexe ( )k = k - i , dont la partie relle est le nombre donde (reli la
vitesse de phase) et la partie imaginaire est le coefficient dattnuation. Dans une telle
situation, Kramers et Krnig ont tabli les relations classiques portant leurs noms [50], qui
relient les parties relles et imaginaires de ce nombre donde complexe de manire respecter
la causalit et qui permettent ainsi de trouver lexpression de la dispersion connaissant
lattnuation, ou inversement. Or, la validit de ces expressions a t mise en doute par Szabo
en 1994 [51]pour les matriaux pour lesquels lattnuation varie selon une loi proportionnelle
une puissance de la frquence suprieure ou gale 1. Nanmoins, Waters et al. ont
rcemment montr [52] que lon pouvait dvelopper des relations de type Kramers-Krnig
dans le domaine frquentiel valables pour toutes les puissances de la frquence. De plus, ils
ont montr que lorsque cette puissance est gale 2, et que lattnuation est donc
proportionnelle au carr de la frquence (cas notamment du modle rhologique de Kelvin-
Voigt), la dispersion de la vitesse de phase est rigoureusement nulle. Ce rsultat est galement
dmontr dans les travaux de Szabo [53].
Paralllement cela, une thorie dans le domaine temporel a t dveloppe par
Szabo, fonde sur un traitement mathmatique rigoureux utilisant la thorie des distributions
[51] et [54]. Il traite lexemple de la propagation mono-dimensionnelle dans un fluide,
problme pour lequel lquation donde pour la pression scrit :
( ) ( ) ( ) ( )22
20
p z,t1p z,t - L t * p z,t - = 0
c t
(I.16)
O : 2 est loprateur Laplacien, p est le champ de pression, 0c est une vitesse de phase
constante, zreprsente une coordonne spatiale et t est le temps. Le second terme de cette
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quation est une opration de convolution qui fait apparatre une distribution L que lon peut
interprter comme une fonction gnralise de dissipation [55], et qui est dfinie par :
( ) ( ) ( )
-1
+L t = -2.1 t F
(I.17)
Dans cette dfinition, ( )1 t+ est la fonction de Heaviside, et-1F dsigne loprateur de
transforme de Fourier inverse. On peut ainsi noter que cette fonction de dissipation crite
dans le domaine temporel est relie simplement au coefficient dattnuation par une
transforme de Fourier inverse. De plus, par lintermdiaire de la fonction de Heaviside, la
causalit est assure.
Pour rsumer, nous avons vu que non seulement la causalit est effectivement
respecte pour toutes les puissances lorsque lattnuation suit une loi de puissance de la
frquence, mais aussi que la dispersion de la vitesse de phase est nulle pour les lois en
puissances paires (conclusions tires des travaux de Waters [52]et Szabo [53]).
Pour terminer ce paragraphe sur lapproche temporelle de la prise en compte de
lattnuation par effet viscolastique, notons que la causalit du modle de Kelvin-Voigt est
galement montre de faon rigoureuse dans les travaux de Duren et al. [56], pour le cas de la
propagation unidimensionnelle dans un milieu isotrope, en donnant dans cet article
lexpression de la rponse impulsionnelle du systme. Lavantage dune telle expression est
quelle na aucune dpendance frquentielle, elle ne dpend que de z, t, et des constantes
associes la loi de comportement du modle de Kelvin-Voigt. Ainsi, la solution gnrale de
lquation donde considre peut tre dtermine sans passer par une analyse du
comportement frquentiel du milieu.
I.3.3. Approche empirique
Pour dterminer la loi dattnuation dun matriau donn, on peut raliser des mesures
de lattnuation dun chantillon pour diffrentes frquences, puis interpoler les rsultats
exprimentaux obtenus par une loi frquentielle adapte.
Parmi les auteurs ayant effectu de telles tudes, Kinra et al. [57] ont mesur
lattnuation dondes longitudinales dans la rsine poxy pure. Ces rsultats ont t
rcemment complts par Biwa et al., pour les ondes transversales [58]. Lensemble de ces
mesures met en vidence un comportement linaire avec la frquence de lattnuation dans
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lpoxy. Ce rsultat, classique pour les polymres solides, avait dj t observ par Rokhlin
et al. [59], qui ont galement mis en vidence dans cette rfrence une dispersion trs faible
de la vitesse de phase dans lpoxy.
Dans la pratique, on peut reprsenter lattnuation par effet viscolastique dans
lpoxy par lintermdiaire de coefficients de Lam complexes * et * [55], donns par
(I.18) :
* *
*
2 22
2 22
22 1
2
21
2
L LL
L
T TT
T
VV i
k f
VfV i
k f
+ = = +
= = +
(I.18)
O,Lk et Tk sont les nombres donde des ondes longitudinales et transversales dans
lpoxy, LV et TV sont leurs vitesses de propagation et L et T leurs coefficients
dattnuation.
Les observations exprimentales de Kinra et al., et Rohklin et al., rfrences ci-
dessus, conduisent un comportement de la vitesse de phase ( LV , TV ) indpendant de la
frquence et un comportement de lattnuation ( L , T ) proportionnel la frquence. En
reportant ces observations dans les quations (I.18) il apparat que les coefficients de Lam
dcrivant le comportement viscolastique de lpoxy, sont indpendants de la frquence.
Comme cela est not par Rokhlin et al. [59], ce dernier rsultat apparat donc en contradiction
avec le rsultat thorique prdit par les modles rhologiques, savoir une loi dattnuation
proportionnelle au carr de la frquence. Rokhlin et al., interprtent cette incohrence de la
thorie rhologique par le fait que les phnomnes physiques complexes intervenant
lchelle molculaire lorigine de lattnuation, sont insuffisamment compris.
Si on considre maintenant des plaques carbone / poxy, on peut se rfrer des
rsultats exprimentaux dattnuation effectus par Deschamps et Hosten [60]. Dans cet
article, les auteurs ont report les rsultats exprimentaux de mesures dattnuation sur un
chantillon carbone / poxy unidirectionnel pour diffrentes frquences et ont ainsi montr
que sur une plage de 1 MHz 8 MHz environ, cette attnuation est linaire avec la frquence.
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Conclusion
La propagation des ondes dans les matriaux viscolastiques notamment, les
composites fibreux et les polymres, a fait lobjet de nombreuses tudes thoriques.
Cependant, on ne peut pas encore vraiment distinguer parmi toutes les thories
proposes, une thorie capable de prdire avec prcision le comportement dynamique de cesmatriaux en raison notamment, des difficults simuler les phnomnes de diffusion
multiple et qui prend en compte, de faon simultane, les phnomnes de diffusion multiple et
dabsorption par effet viscolastique. Dautre part, on constate travers la littrature quil
existe relativement peu de rsultats exprimentaux, notamment sur la mesure de lattnuation
dans les composites carbone / poxy, ainsi que les polymres. Ceux-ci permettraient dvaluer
la prcision des diffrentes mthodes proposes et ainsi de les valider ou pas.
Aprs ltude bibliographique que nous avons mene, il savre que dans les
matriaux composites matrice viscolastique, lattnuation des ondes rsulte desphnomnes de diffusion et dabsorption, et on considre gnralement que le phnomne
visqueux est prpondrant face au phnomne de diffusion, ou seulement dabsorption pour le
cas des polymres.
Pour mieux comprendre le comportement dune structure donne face un branlement
acoustique infinitsimal. On propose au chapitre II, des gnralits thoriques sur la
propagation donde dans les matriaux.
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Chapitre II
Thorie
Introduction
La mesure des proprits acoustiques dun matriau viscolastique en utilisant les
ondes ultrasonores, dpend de la relation entre la rigidit et la vitesse donde ultrasonore
mise. Ces concepts sont importants pour la comprhension des rsultats de la vitesse donde.
En outre, la raction entre les plans de symtrie et les constantes lastiques a aussi, un aspect
intressant de ces mesures pour les matriaux anisotropes. Enfin, la relation entre les mesures
dattnuation donde ultrasonore et les proprits damortissement du matriau, qui dpendentplus au moins fortement de la frquence et de la temprature, sont numres en agissant dans
les directions de propagation et de polarisation des ondes ultrasonores.
II.1. Equation de llasticit anisotrope gnrale
Pour cette application, le tenseur infinitsimal de dformationsij , dcrit la
dformation dun branlement acoustique dans un solide. La contrainte est lie au champ du
dplacementkl
u , par lquation de dformation-dplacement [61]. Le tenseur de
dformations scrit :
( )j i, j j,ii, j=1,2,3
1 = u +u
2 (II.1)
O :, ju et ,iu : sont les premires drives partielles du dplacement sur les axes i et j
(ouj et i ) respectivement.
En dynamique, les forces de reconstitution lastique sont dfinies en termes de champde contraintes
j . Lquation du mouvement dans un corps en vibration libre sexprime par
[61] :
&j, j i u (II.2)
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O : j, j est la drive partielle de la contrainte suivant la coordonne . Les doubles points
superposs &iu , indiquent la drive seconde partielle du dplacement en fonction du temps.
Lquation base sur la loi de Hooke, stipule que la contrainte est linairement
proportionnelle la dformation et vis versa [9].
ij kljkl = C i (II.3)
Les lments du tenseur de rigiditijkl
C de lquation (II.3) sont appels, constantes
lastiques.
Comme il y a neuf quations dans lquation (II.3) (correspondant toutes les
combinaisons des indices i, j) et chacune, contient neuf contraintes limites, doncjklC a, en
effet, un total de 81 composantes. Cependant, elles ne sont pas totalement indpendantes.
Les proprits de symtrie de la dformation et de la contrainte entranent :
j ji et j ji (II.4)
Ceci entrane, daprs la relation (II.3), les proprits de la double symtrie du tenseurijkl
C :
ijkl jikl ijlk jilk C = C = C = C (II.5)
Ainsi, les composantes indpendantes dejklC sont rduites de 81 36. Si on applique
le thorme de Poynting, il en rsulte :
ijkl klijC = C (II.6)
Le nombre de constantes indpendantes est alors, rduit encore 21. Cest le nombre
maximum des constantes lastiques indpendantes pour toute symtrie structurelle dun
matriau. Si les proprits de symtrie, imposes par la nature microscopique du matriau,
sont prises en considration, le nombre est en gnral moins de 21. Le nombre de constantes
indpendantes est dordre de 2, cas isotrope, 21, cas triclinique.
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Les quatre indices deijkl
C peuvent tres rduites deux indices en utilisant la
notation condense et simplifie suivante [61]:
1 11
2 22
3 33 (II.7)
4 23 ou 32
5 13 ou 31
6 12 ou 21
Ce qui rduit formellement la relation du tenseur de 4 me dimension dordre 3 un
tenseur de 6me dimension dordre 2 si la normalisation associe est utilise [62].
Le tenseur de rigiditijkl
C scrit sous la forme dune matrice symtrique 6x6 suivante :
(II.8)
II.2. Structure dun matriau : Classes de symtrie
En raison de la priodicit du rseau cristallin, la symtrie des matriaux anisotropes
peut explicitement tre dcrite. En trois dimensions, les 32 classes de symtrie ponctuelle
peuvent tre subdivises en 14 rseaux spatiaux. Ces derniers sont, en plus, groups en sept
systmes cristallins : triclinique, monoclinique, orthorhombique, trigonal, ttragone, cubique,
et hexagonal [63]. Les trois premires classes de symtrie (triclinique, monoclinique, et
orthorhombique) sont considres comme des systmes de symtrie typiques les moins
reprsentatifs dun corps lastique. Les restants sont considrs comme des systmes
couramment utiliss [64]. La drivation des groupes de symtrie est tudie dans divers
ouvrages. La figure II.1 dcrit la relation entre les axes et les angles des cellules units dans
les milieux anisotropes.
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Parmi les systmes symtriques les moins reprsentatifs, la figure II.1 ci-dessous,
montre la rduction du nombre des constantes lastiques indpendantes.
Figure I I .1.Relation entre les axes et les angles dans une cellule unit conventionnelle
II.2.1. Symtrie triclinique
Un cristal triclinique se distingue par labsence de toute symtrie matrielle du solide.
Il ny a nullement de rapport entre les 21 constantes lastiques et aucune nest nulle.
La figure II.2.(a) montre un rseau tridimensionnel dun cristal triclinique et le systme
correspondant de symtrie. Les angles e t ne sont pas gaux et aucun deux nest
gal 90 [63]. Ce rsultat implique quaucun plan de symtrie nexiste dans ce genre de
systme, ou aucune symtrie rotationnelle.
II.2.2. Symtrie monoclinique
Un cristal monoclinique a un plan de symtrie singulier, le plan contenant les axes a
et c sur la figure II.2.(b), avec un double axe de symtrie rotationnelle normale laxe b .
La figure II.2. (b), montre galement, que les angles = 90 et 90 .
La forme matricielle des constantes lastiques pour un cristal monoclinique est :
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(II.9)
Pour un matriau monoclinique, orient dans laxe normale au plan de symtrie :
046352515 === CCCC et 045362616 ==== CCCC .
Figure II .2.Illustration des rseaux tridimensionnels et de systme de symtrie cristalline.
(a) : Triclinique )90( ; (b) : Monoclinique (ou primitif : == 90 , et
90 ); (c) orthorhombique ( === 90 )
II.2.3. Symtrie orthorhombique
La symtrie orthorhombique, galement appele, symtrie orthotropique, est
caractrise par trois plans de symtrie mutuellement perpendiculaires et un double axe de
symtrie en rotation perpendiculaire ces plans avec des angles === 90 , comme le
montre la figure II.2.(c). Les matriaux orthorhombiques sont caractriss par neuf constantes
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lastiques indpendantes. Les constantes lastiques, pour un chantillon orthotropique qui est
orient dans laxe principal, forme une base de coordonnes.
(II.10)
Si en particulier, nous effectuons une rotation de 90 autour de lun des axes du repre
dorthotropie, le matriau reste invariant, alors, il est dit quasi isotrope transverse, il est
caractris par six modules dlasticit indpendants, et cest le cas dun tissu carbone/poxy
[37]. Et si nous effectuons une quelconque rotation et le matriau reste invariant, il est dit
isotrope, cest le cas en gnral des polymres. En utilisant ces trois cas, il est alors possible
de discuter de la propagation des ondes lastiques dans les solides anisotropes.
II. 3. Ondes planes dans les solides anisotropes
De lquation constitutive (II.3) et des quations (II.1) et (II.2), nous obtenons la
solution donde plane de lquation diffrentielle du second ordre, qui assume que lquation
est sous la forme [9]:
&&ii j k l k , jl C u = u (II.11)
Avec la solution harmonique de lquation (II.11), le dplacement scrit sous la forme :
i ( kx - t)k k k
u = A P e (II.12)
O : kA reprsentent les composantes de lamplitude du dplacement ; kP , sont les
dplacements unitaires des vecteurs de polarisation, dirigs dans les directions dtermines
par le rapport entre les angles dincidence et les axes de symtrie du matriau. k =c
: est le
nombre donde une vitesse donde dans le solide c, et dune pulsation [9]. En gnral, la
vitesse donde c, est en fonction de la rigidit et de la densit du matriau. La substitution de
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lquation (II.12) dans lquation (II.11), donne une quation aux valeurs propres, appele
quation de Christoffel, comme suit :
2kijkl j l ik j
(C n n - V )P = 0 (II.13)
Cest un polynme cubique de 2V , o V est la vitesse de phase de londe
ultrasonore ;k
: est le symbole de Kronecker ; n : est un vecteur unitaire dans la direction de
la propagation donde, de composantes1n , 2n , et 3n . Lquation (II.13), peut tre rcrite
sous la forme matricielle [9]suivante :
(II.14)
O :
i jik jkl = C n ni (II.15)
k , est appele, tenseur de Christoffel.
Le tenseur de Christoffel est en effet, un tenseur de deuxime degr, assujetti la
condition de symtrie [65]. Par consquent, il existe six composantes indpendantes du
tenseur de Christoffel. Le dveloppement de lquation (II.15) suivant la rgle indicielle
donne lieu a :
(II.16)
Afin davoir une solution non triviale de lquation de Christoffel, le dterminant de la
matrice aux coefficients de lquation (II.14) doit tre nul.
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(II.17)
Quand le tenseur de Christoffel j est symtrique, ses valeurs propres,2
V , sont
relles et les vecteurs propres,k
P , sont mutuellement orthogonaux. Par consquent, pour
toute direction donne n , trois modes peuvent tre gnrs, avec diffrentes vitesses de
propagation et de polarisations. Pour les directions principales de propagation, des modes de
propagation purs peuvent tre cres : une onde longitudinale quand, P = n , et deux ondes
transversales quand, P. n = 0 . En gnral, une onde quasi-longitudinale ( QL ) et deux ondes
quasi-transversales ( 1QT et 2QT ) sont gnres. Les vitesses de phase correspondantes
chacun de ces modes dondes, connues pour tre en fonction des proprits lastiques du
matriau. Ainsi, le recours aux ultrasons permet dvaluer les caractristiques lastiques dunmatriau donn.
Dans le cas dun milieu amortissant soumis des sollicitations par ondes planes
harmoniques, la relation du mouvement se traduit par une quation analogue condition de
remplacer les composantes du tenseur de Hooke par les composantes complexes du tenseur de
Hooke ( )ijklC et le nombre dondes kpar le nombre dondes complexes k[66], ainsi, la
relation (II.18) devient alors ;
( ) ik ik k P = 0 (II.18)
Pour i=1,2,3 et avec
2
2
=
k.
( )ik : est un tenseur symtrique de rang 2, appel, tenseur acoustique ou tenseur de
christoffel. Il est dfini partir des composantes complexes du tenseur de Hooke et de la
direction de propagation de londe par :
( ) ( ) jk ijkl l = C n n (II.19)
telle que ;
( ) ( ) ( ) ijkl ijkl ijkl C = C +iC (II.20)
2ij ij j V = 0
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et lamortissement dans le matriau viscolastique a donc pour valeur :
( ) ( )( )
( )
ijkl
ijkl ijkl ijkl
C = tan =
C (II.21)
La relation (II.17) montre que lanalyse de la propagation dondes planes dans le
milieu viscolastique se ramne la rsolution dun problme de valeurs propres de matrice
complexe et symtrique 33. Le problme direct ne soulve aucune difficult, il suffit de
dterminer le tenseur de Christoffel partir de la connaissance de la direction de propagation
de londe. La valeur propre est lie la vitesse de phase de londe et son attnuation par
la relation suivante [66]:
%
22
j22
j
V = =k V
1-
(II.22)
II. 3.1. Propagation donde dans les directions de symtrie matrielle du matriau
Pour prsenter la mthode, prenons une onde se propageant dans la direction 1:
( )n= 1,0,0 . Compte tenu de lquation (II.16) donnant le tenseur de Christoffel, la relation
(II.18) se simplifie pour devenir :
0
11 1
12 2
313
C - 0 0 P 0
0 C - 0 P = 0
P 00 C -
(II.23)
La relation (II.23) admet trois solutions :
1 11
= C avec ( )0,0,1P : onde longitudinale de vitesse de phase 1,1V et dattnuation
1,1 .
2 12
= C avec ( )0,1,0P : onde longitudinale de vitesse de phase 1,2V et dattnuation
1,2 .
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3 13
= C avec ( )1,0,0P : onde longitudinale de vitesse de phase 1,3V et dattnuation
1,3 .
Une onde longitudinale et deux ondes transversales se propageant dans la direction
quelconque, permettent donc par le biais de la relation (II.22) de fournir les trois composantes
complexes du tenseur de Hooke du matriau viscolastique suivantes [66]:
( )
2i, j
2ji, j i, j
V =i
V1-
(II.24)
Avec i=1,2,3 direction de propagation,
=1,2,3 direction de polarisation.
Si i = j , londe est longitudinale et nous obtenons les rigidits complexes dites de
dilatation, 11
C , 22
C , 33
C .
Si i j , londe est transversale et nous obtenons les rigidits complexes de cisaillement,
44C ,
55
C , 66C .
Enfin, si le matriau est faiblement amortissant, ce qui est le cas des composites
( , j faibles), les termesi, j i, j V
de la relation (II.24) restent petits devant 1 et cette relation
est approche par : ( )
, j i, j2ij i, j
2 VC V 1+i
Soit, en fonction de la frquence ( ) = 2f :
(II.25)
( )
( )
2i,jj
i, j i, jij
C f =V lasticit (partie relle)i
V amortissement f =
f
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II.3.2. Technique de transmission en immersion
La technique ultrasonore utilisant la transmission ultrasonore pour caractriser les
proprits du matriau sest dveloppe sensiblement, au cours de ces dernires annes [14].
Cependant, de nombreuses rfrences, se concentrant sur ces mthodes, sont publies et
montrent ainsi, le progrs de cette technique pour le recouvrement de lensemble desconstantes viscolastiques dun matriau.
II.3.3. Mesure de la vitesse de propagation et de lattnuation ultrasonores, par la
technique dimmersion ultrasonore
Dans la technique par immersion, les transducteurs et lchantillon sont immergs
dans leau ou tout autre milieu fluide couplant. En considrant un systme de coordonnes
,1 2 3R = (x ,x x ) , pris au centre de lchantillon. Le vecteur unitaire 1 , est normal linterface
avec les deux autres. Pour un fluide couplant, londe ultrasonore dans une plaque anisotrope
avec un angle dincidence arbitraire ( 0 ), trois modes donde sont gnrs (figure II.3).
Une onde quasi-longitudinale (1QL ), une onde quasi-transversale lente ( 1QT ), et une onde
quasi-transversale rapide ( 2QT ) sont gnres dans le solide, comme la montre la figure II.3.
Ces ondes se propagent diffrentes vitesses de phase et tous les vecteurs de vitesse sont dans
le plan dincidence. Si ce plan concide avec celui de symtrie du matriau, seulement, une
onde transversale et une onde longitudinale sont gnres [9]. La deuxime polarisation
transversale nest nullement utile dans ce cas pour satisfaire les conditions aux limites linterface solide-liquide.
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Fi gure I I .3.Mesure de la vitesse donde ultrasonore travers le milieu de
rfrence (a) et celui de lchantillon anisotrope (b)
Afin didentifier lensemble complet des constantes viscolastiques dun matriau
anisotrope gnral, il suffit de mesurer la vitesse de propagation pour la partie relle, ainsi que
lattnuation pour la partie imaginaire, selon les diffrentes directions de propagation dans le
matriau. Pour cela, de nombreux auteurs ont utilis diffrentes techniques permettant de
collecter lensemble des donnes exprimentaux, en incidence normale et, selon les quatre
plans dincidence i=1(x , j) o, = 0 , = 45 , = 90 et = 135 , appeles : mthode
angles azimutales ou par la mthode classique, avec simultanment, des ondes longitudinales
et transversales travers au moins trois faces principales du spcimen [44], comme le montre
la figure II.4.
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Fi gure I I .4. Axes et plans de symtrie au long dun composite fibreux[67].
et sont respectivement, langle dincidence et azimutal
La priode est obtenue par corrlation [68]ou par la transforme dHilbert [69]. La
longueur donde est obtenue par la loi de Snell-Descartes [9]. Les vitesses alors, peuvent tre
calcules par la formule [38]suivante :
( , )
1
=
+
0i i
i i0 0i
VV x
V V 2cos
d d
(II.26)
Et lattnuation est donne par[66]:
( ),
i i i0 0i
0 1
V x V qAcos ln
dV d A
(II.27)
O : q est la rupture dimpdance, qui est en fonction du coefficient de rflexion R , entre le
milieu de couplage et le matriau.
( )
2 0 0 12
0 0 1
Vq = 1- R =
V +V(II.28)
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O :0V est la vitesse donde dans leau ; i > 0 est la priode relative des signaux
travers et sans lchantillon ; i est langle dincidence ; dest lpaisseur de lchantillon ;
0A et 1A sont respectivement, les amplitudes spectrales des chos de rfrence 0s et
dinterface eau / chantillon 1s et ( , )1x indique le plan dincidence de londe suivant lesangles azimutaux .
II. 3. 4. Relation entre le tenseur des contraintes et les constantes technologiques
Les constantes mcaniques dun matriau orthotropique sont rgies par les modules
dYoung, le coefficient de Poisson et les modules de cisaillement, ainsi que dautres
constantes comportementales [70]. Le rapport entre la vitesse donde longitudinaleLV et celle
du cisaillementTV , aux constantes technologiques [71], est donn par:
= =2TE
V G2(1+)
(II.29)
2L
4 G(4G - E)V = +2G = K + G =
3 3G - E (II.30)
A partir des vitesses de chacune des trois directions dun matriau ; les constantes, 1E ,
2E , 3E , 12G , 13G et 23G , peuvent tre dtermines partir des quations (II.29) et (II.30).
1E ,
2E et
3E sont respectivement, les modules dYoung, selon la direction 1, 2, et 3 ; les
12G , 13G et 23G sont respectivement, les modules de cisaillement dans les plans (1,2), (1,3)
et (2,3) (figure II.4).
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II. 3.5. Dtermination des normales aux plans de symtrie et le systme des
coordonnes principales
Base sur la connaissance des constantes lastiquesijkl
C , dun matriau anisotrope ;
lidentification de la symtrie lastique propre dun matriau, a t dveloppe par [72], [73]
et [62].
Deux tenseurs, jA , tenseur de Voigt, et jB , modules de dilatation, sont exigs pour
dterminer les plans de symtrie lastiques du matriau. Ces tenseurs, sont dfinis comme
suit :
ij ijkkA = C , ij ikjkB = C (II.34)
Si, la notation abrge, jC , est employe et en notation indiciel1e ; les tenseurs, A et
B , peuvent tre exprims en termes de composantes jC .
(II.35)
(II.36)
Un vecteur est normal un plan de symtrie dun matriau linairement lastique, si
et seulement si, celui-ci est un vecteur propre du tenseur A et B , respectivement. Ces
normales sont dans une direction particulire et, dfinissent un axe particulier [73]. Une fois
que ces dernires, les directions et les axes, sont obtenues en rso