TF3103 2015 Latihan Formalism Dll

7/25/2019 TF3103 2015 Latihan Formalism Dll

1/13

Bab 4

TF-3103

Quantum Mechanics

LATIHAN-4


2/13

2

SOAL 1

Pada waktu t = 0 sebuah atom hidrogen berada dalam keadaansuperposisi sebagai berikut:

ika kita mengukur energin!a" energi berapa e# sa$a !ang adaserta berapa probabilitas masing-masing energi tersebut%Hitung energi rata-ratan!a

ika kita mengukur momentum L&" momentum L&berapa sa$a!ang ada serta berapa probabilitas masing-masing momentumL&tersebut'erapakah harga ekspektasi dari (L&) pada keadaan tersebut*

r , t=0)=2

2a o)3 / 2

[

e r/ a o

+ A r

2 ao 3er/ 2ao

1

2Y

1,1+Y

1,1+

1

2Y

1,0

]

En=13.6

n2

eV


3/13

3

SOLUSI:

r , t=0)=2

2a o)3 / 2

[

e r/ a o

+ A r

2 ao 3er/ 2ao

1

2Y

1,1+Y

1,1+

1

2Y

1,0

]

r , t= 0)=1

2)

3/ 2

2

ao)3 / 2

e

r/

a o2 1

4

+ A 1

3

1

2ao)3/ 2

r

aoe

r/ 2 ao

1

2Y1,1+Y1,1+

1

2Y1,0

r , t=0)=1

2R1,0 Y0,0+ A R2,1

1

2Y1,1+Y1,1+

1

2Y1,0

r , t=0)=1

2

1,0,0+ A

1

2

2,1,1+

2,1,1+

1

2

2,1,0

normalisasi:

r ,0)

*

r ,0)

dr=

[

1

2 1,0,0*1,0,0+ A

2

1

2 2,1,1*2,1,1+ 2,1,1* 2,1,1+

1

2 2,1,0* 2,1,0

]

dr

r ,0) * r ,0) dr=[

1

2+ A

2

1+1

2+

1

2

]

=

1

2+ 2A

2=1 A

2=

1

4 A=

1

2

r , t)=1

2

1,0,0eiE

1t/ +

1

8

2,1,1+

1

2

2,1,1+

1

8

2,1,0

e iE

2t/

$ika kita ukur energin!a energi !ang ada adalah +,= -,". e# dan +/= -"4 e#"

P+,1 = 2 dan P+/1 = 3 ,56 ,56 = 2


4/13 4

b% +nergi rata-rata = 2 7-,". e#1 2 7 -"4 e#1 = - 6"8 e#

9% engukur operator Lz

harga m !ang ada adalah m = -," 0 dan ,untuk l = -, eigen ;alue dari L

zadalah -< probabilitasn!a = 3

untuk l = 0 eigen ;alue dari Lzadalah 0 probabilitasn!a = 2 ,56 = 856

untuk l = , eigen ;alue dari Lzadalah < probabilitasn!a = ,56

d%

e%

^Lz| =m |

^Lz =1

4)+

5

80+

1

8=

4

^

L2=

2 l

l+

1)

^

L2

=

120+

122

2=

2


5/13 5

SOAL-2

+;aluasi ekspresi berikut ini:a% !" p>? b%>" p!? 9% L!" L&? d% L/" L&?

@LB@I:

a% !" p>?C = !p>C D p>!C = !p>C D !p>C = 0

b% >" p!?C = >p!C D p!>C = >p!C D >p!C = 0

9% L!" L&? = &p>E >p&" >p!E !p>?

= &p>" >p!? - &p>" !p>? - >p&" >p!? >p&" !p>?


6/13 6

&p>" >p!?C = &p>>p! CD>p!&p>C

&p>" >p!?C =

&p>" !p>? = &p>!p>- !p> &p>= &!p>p>- !&p>p> = 0>p&" >p!? = >p&>p!- >p! >p&= >/p&p!- >/p!p& = 0

>p&" !p>?C = >p&!p> CD!p>>p&C = >! p&p> CD!p>>p&C

=

i

2

z

x x

yf

i

2

x

yz

x f

[

zpx, xpy ] f=2z

[

y+

x

2

x

y]

f+

2xz

2

x

yf=

2z

f

y=

i z pyf

[zpx, xpy]=

i z p y

i

2

xy

2

x

z

f

i

2

y

x

x

z

f

[

xpz, ypx] f=

i

2

xy

2

x zf

i

2

y[

z+

x

2

x z]

f=

i

2

y

zf=

i y pz f

[xpz

, ypx

]=

iy p

z


7/13

7

L/" L&? = L>/" L&? L!/" L&? L&/" L&?

L>/" L&? = L>L>" L&? L>" L&?L>= -iL!- i

L!/" L&? = L!L!" L&? L!" L&?L!= i iL!

L&/" L&? = L&L&L&- L&L&L&= 0

L/" L&? = -iL!- i i iL! 0 = 0


8/13

8

Soal-3

@uatu state din!atakan dalam notasi dira9 sbb: F= /i G, / G/-4i G-" dimana Giadalah basis orthonormal%

a% Normalisasikan GF

b% uantum state !g telah dinormalisasi tersebut merupakan eigen;ektor dari operator Hamiltonian dgn HG,= +G,"

H G/= +G/" dan H G-= 8+G-% Hitung +nergi rata-ratan!a

9% ika suatu operator T beker$a pada basis orthonormal Gi)

tersebut dan berlaku sbb : TG,= i G/" TG/= 8 G/- G-"TG-= /iG,% Tulis representasi matrik dari operator T

d% Apakah operator THermitian*


9/13

9

@LB@I:a% Normalisasikan GF)(FGF) = ,

(FGF) = A-/i (,G / (/G 4i (-G1GA/i G,) / G/) - 4i G-)1(FGF) = A/4 (,G,) 4 (/G/) ,. (-G-)1 = A/4 4 ,. 1

= A/ /4 = , shg:

b% Hitung +nergi rata-ratan!a untuk operator Hamiltonian : HG,) = +G,)" H G/) = +G/)" dan H G-) = 8+G-)%

Jari

probabilitas ,= ,5." probabilitas /= ,5. dan probabilitas -= 45.@ehingga +nergi rata-rata = +5. +5. /0+5. = /4+5. = 4+

A=

1

24=

1

2

6

=i

61+

1

62

2 i

63

=i

61+

1

62

2 i

63


10/13

10

Tulis representasi matrik dari operator Tuntuk :TG,) = i G/)" TG/) = 8 G/) - G-)" TG-) = /iG,)%

TG,) = 0G,) i G/) 0G-)TG/) = 0G,) 8 G/) - G-)TG-) = /iG,) 0 G/) 0 G-)

Apakah operator T Hermitian*

Karena T7 T" T tidakHermitian

T=

0 0 2 i3 i 5 0

0 3 0

T*=

0

3 i 0

0 5 3

2 i 0 0


11/13

11

SOAL-4

Pada sistem spin ," dengan basis G" G0 dan G-" !angmerepresentasikan harga m=," 0" dan -,:

a1 Tuliskan representasi matrik Sx

b1 ika Q = SxSy" tuliskan representasi matri> dari Q"dan apakah Qhermitian*

Munakan hubungan S+= Sx+ iSydan S-= Sx- iSy

S

|s , m =

s s+1) mm1) |s , m1


12/13

12

@LB@I :CARA 1

a% Bntuk spin ," s = , maka m=," 0" dan -, atau G" G0 dan G-

S

|s , m=

s

s+

1)

m

m

1)

|s , m

1

S+|+ = 0, S+|0 = 2|+ , dan S+|- = 2|0 ,

S-|+ = 2|0 , S-|0 = 2|- , dan S-|- =0

S+| =S+ a|+ + b|0 + c|- =0+ 2 b|+ + 2 c|0

S-| =S- a|+ + b|0 + c|- = 2 a|0 + 2 b|- +0

Sx=1

2S-+ S+)

Sx| =1

2

S-+ S+) a|+ + b|0 + c|- =1

2

S- a|+ + b|0 + c|- +1

2

S+ a|+ + b|0 + c|-

Sx| =1

2

2 a|0

+

2 b|-

+0

+

1

2

0+

2 b|+

+

2 c|0

Sx| =

2

2 b|+

+

2

2 a+

2

2 c

|

0

+

2

2 b|-


13/13

13

@ehingga representasi matrik Sz adalah

b%

@ehingga representasi matrik Sy adalah

= @x@y

O karena 7 = " maka hermitian

Sx=

2

2

0 1 0

1 0 1

0 1 0

Sy=i

2S-S+)

Sy| =i2S-S+) a|+ + b|0 + c|- = i2

S- a|+ + b|0 + c|- i2S+ a|+ + b|0 + c|-

Sy| =i

2

2 a|0

+

2 b|-

+0

i

2

0+

2 b|+

+

2 c|0

Sy|

=

i

2

2 b|

+

+

i

2

2 a

i

2

2 c

|

0

+

i

2

2 b|

-

Sy=

2

2

0 i 0

i 0 i

0 i 0

Q=Sx Sy= 22

0 1 0

1 0 1

0 1 0

22

0 i 0

i 0 i

0 i 0

=

2

2

i 0 i

0 0 0

i 0 i

Q+=

2

2

i 0 i

0 0 0

i 0

i

TF3103 2015 Latihan Formalism Dll

Documents

Transcript of TF3103 2015 Latihan Formalism Dll