TEZĂ DE DOCTORAT - tc.etc.upt.ro · implementare al algoritmilor din această familie în...
Transcript of TEZĂ DE DOCTORAT - tc.etc.upt.ro · implementare al algoritmilor din această familie în...
UNIVERSITATEA “POLITEHNICA” TIMIŞOARA
Facultatea de Electronică şi Telecomunicaţii
TEZĂ DE DOCTORAT
CONTRIBUŢII LA ÎMBUNĂTĂŢIREA PRELUCRĂRII
SEMNALELOR LA RECEPŢIE UTILIZÂND ALGORITMII DOA
ÎN COMBINAŢIE CU BEAMFORMINGUL ADAPTIV
Ing. Arpad IOZSA
Conducător ştiinţific:
Prof. Dr. Ing. Ioan NAFORNIŢĂ
TIMIŞOARA
2012
2
3
CUPRINS
Lista figurilor .....................................................................................................................................5
Lista Tabelelor ...................................................................................................................................8
Introducere .........................................................................................................................................9
CAPITOLUL 1
Sisteme de antene ............................................................................................................................. 12
1.1 Noţiuni de bază ............................................................................................................... 12
1.2 Sisteme liniare de antene spaţiate uniform .................................................................. 18
1.3 Sisteme liniare de antene spaţiate neuniform .............................................................. 25
1.4 Sisteme planare de antene ............................................................................................. 26
1.5 Sisteme de antene non-planare...................................................................................... 29
1.5.1 Metode de analiză pentru sistemele de antene adaptate ......................................... 30
1.5.2 Caracteristici ale sistemelor de antene circulare şi cilindrice ................................ 31
1.6 Sisteme de antene fazate ................................................................................................ 34
1.6.1 Sisteme de antene fazate lineare ............................................................................... 35
1.6.2 Saltul de fază .............................................................................................................. 36
1.6.3 Sisteme de antene fazate planare .............................................................................. 37
1.7 Erorile sistemelor de antene .......................................................................................... 38
1.7.1 Introducere ................................................................................................................. 38
1.7.2 Directivitatea .............................................................................................................. 41
1.7.3 Eroarea de direcţionarea fascicolului (beam pointing) .......................................... 41
1.7.4 Valoarea de vârf a lobilor laterali ............................................................................ 42
1.8 Concluzii ......................................................................................................................... 44
CAPITOLUL 2
Algoritmi de estimare ...................................................................................................................... 46
2.1 Direcţia de sosire ............................................................................................................ 46
2.2 Algoritmi de estimare .................................................................................................... 47
2.3 Familia ESPRIT. Tipuri şi performante ...................................................................... 50
2.3.1 Estimarea frecvenţei şi a direcţiei de sosire folosind metoda LS-ESPRIT ........... 53
2.3.2 Estimarea frecventei şi a direcţiei de sosire folosind metoda TLS-ESPRIT ......... 55
2.3.3 Estimarea direcţiei de sosire folosind metoda R-ESPRIT ...................................... 57
2.3.4 Estimarea direcţiei de sosire folosind metoda RB-ESPRIT ................................... 62
4
2.3.5 Estimarea direcţiei de sosire folosind metoda TAM ............................................... 65
2.3.6 Estimarea direcţiei de sosire folosind metoda URV ESPRIT ................................ 69
2.4 Analiza rezultatelor. Simulare comparativă a algoritmilor prezentaţi ..................... 73
2.5 Analiza rezultatelor. Contribuţii personale ................................................................. 92
CAPITOLUL 3
Beamforming. Beamformerul adaptiv ........................................................................................... 95
3.1 Noţiuni de bază ............................................................................................................... 95
3.2 Beamforming adaptiv .................................................................................................... 97
3.3 Performanţele beamformerului adaptiv ...................................................................... 99
3.4 Simulările beamformerului adaptiv aplicat rezultatelor executării diferitelor
algoritmi de estimare ................................................................................................................ 102
3.5 Analiza rezultatelor. Contribuţii personale ............................................................... 114
CAPITOLUL 4
Contribuţii personale şi concluzii ................................................................................................. 118
Bibliografie ..................................................................................................................................... 123
Lista lucrărilor publicate .............................................................................................................. 128
5
LISTA FIGURILOR
Nr.
Ordine Denumirea figurii Pagina
Fig. 1.1. Sistem de transmisie cu multiple-intrări şi multiple-ieşiri (MIMO) ……… 13
Fig.1.2. Sistem de antene adaptiv …………………………………………………… 15
Fig.1.3. Formator de raze întârzie şi adună ………………………………………… 16
Fig.1.4. Sistem liniar de antene……………………………………………………… 18
Fig.1.5. Reprezentarea în planul complex a variabilei z ……………………………. 22
Fig.1.6. Modelul razelor în vecinătatea unui nul …………………………………… 24
Fig.1.7. Sistem liniar spaţiat neuniform …………………………………………… 25
Fig.1.8. Sisteme planare: a) rectangular; b) circular; c) hexagonal ………………… 26
Fig.1.9. Sistem circular ……………………………………………………………… 28
Fig.1.10. Sisteme de antene non-planare …………………………………………….. 29
Fig.1.11. Sisteme de antene circulare şi cilindrice …………………………………… 32
Fig.1.12. Sisteme de antene fazate lineare …………………………………………… 35
Fig.1.13. Sistem de antene fazat planar ……………………………………………… 37
Fig.1.14. Erori fără componente nefuncţionale (P=1) ……………………………… 40
Fig.1.15. Câştigul sistemului de antene ……………………………………………… 43
Fig. 2.1. Încadrarea algoritmilor DOA într-un sistem de recepţie …………………… 48
Fig.2.2.
Filtrarea semnalelor la recepţie. De exemplu semnalul ce vine de
Utilizatorul 2 poate fi considerat ca fiind interferenţa, în cazul în care
semnalul de la Utilizatorul 1 este cel dorit …………………………………
49
Fig.2.3.
Rezultat al simulării LS-ESPRIT. Eşantionul roşu reprezintă valoarea
frecvenţei normalizate ale semnalului real, iar eşantionul albastru reprezintă
valoarea frecvenţei normalizate estimate (exemplu punctual) ……………
54
Fig.2.4.
Rezultat al simulării LS-ESPRIT. Eşantioanele roşii reprezintă valorile
reale, iar eşantioanele albastre reprezintă valorile estimate (exemplu
punctual) ……………………………………………………………………
55
Fig.2.5.
Rezultat al simulării TLS-ESPRIT. Eşantionul roşu reprezintă valoarea
frecvenţei normalizate ale semnalului real, iar eşantionul albastru reprezintă
valoarea frecvenţei normalizate estimate (exemplu punctual) ……………
56
Fig.2.6.
Rezultat al simulării TLS-ESPRIT. Eşantioanele roşii reprezintă valorile
reale, iar eşantioanele albastre reprezintă valorile estimate (exemplu
punctual) ……………………………………………………………………
57
6
Fig.2.7. Rezultat al simulării R-ESPRIT. Eşantioanele roşii reprezintă valorile reale,
iar eşantioanele albastre reprezintă valorile estimate (exemplu punctual) …
61
Fig.2.8.
Rezultat al simulării RB-ESPRIT. Eşantioanele roşii reprezintă valorile
reale, iar eşantioanele albastre reprezintă valorile estimate (exemplu
punctual) …………………………………………………………………….
65
Fig.2.9. Rezultat al simulării TAM. Eşantioanele roşii reprezintă valorile reale, iar
eşantioanele albastre reprezintă valorile estimate (exemplu punctual) ……..
68
Fig.2.10. Rezultat al simulării URV-ESPRIT. Unghiuri de sosire reale şi estimate, 8
elemente de antena ………………………………………………………….
71
Fig.2.11. Rezultat al simulării URV-ESPRIT. Unghiuri de sosire reale şi estimate, 16
elemente de antena, 4 surse, static …………………………………………
72
Fig.2.12. Rezultat al simulării repetate LS-ESPRIT (SNR=0) ……………………… 74
Fig.2.13. Rezultat al simulării repetate TLS-ESPRIT (SNR=0) ……………………. 75
Fig.2.14. Rezultat al simulării repetate TAM (SNR=0) ……………………………... 75
Fig.2.15. Rezultat al simulării repetate R-ESPRIT (SNR=0) ………………………... 76
Fig.2.16. Rezultat al simulării repetate RB-ESPRIT (SNR=0) ……………………... 76
Fig.2.17. Rezultat al simulării repetate LS-ESPRIT (SNR=-10) …………………… 77
Fig.2.18. Rezultat al simulării repetate TLS-ESPRIT (SNR=-10) …………………… 78
Fig.2.19. Rezultat al simulării repetate TAM (SNR=-10) ……………………………. 78
Fig.2.20. Rezultat al simulării repetate R-ESPRIT (SNR=-10) ……………………... 79
Fig.2.21. Rezultat al simulării repetate RB-ESPRIT (SNR=-10) …………………… 79
Fig.2.22. Rezultat al simulării repetate LS-ESPRIT (SNR=10) ……………………… 81
Fig.2.23. Rezultat al simulării repetate TLS-ESPRIT (SNR=10) …………………… 81
Fig.2.24. Rezultat al simulării repetate TAM (SNR=10) ……………………………. 82
Fig.2.25. Rezultat al simulării repetate R-ESPRIT (SNR=10) ……………………… 82
Fig.2.26. Rezultat al simulării repetate RB-ESPRIT (SNR=10) ……………………... 83
Fig.2.27. Rezultat al simulării repetate pentru valori diferite ale SNR = [-10,10],
unghi de incidenţă 60˚ ……………………………………………………..
84
Fig.2.28. Rezultat al simulării repetate pentru valori diferite ale SNR = [-10,10],
unghi de incidenţă 15˚……………………………………………………….
85
Fig.2.29. Rezultat al simulării URV-ESPRIT, 32 elemente de antena, 4 surse, 1 sursă
dinamică şi 3 surse statice ………………………………………………….
87
Fig.2.30.
Rezultat al simulării URV-ESPRIT. Eşantioanele roşii reprezintă valorile
reale, iar eşantioanele albastre reprezintă valorile estimate (exemplu
punctual) …………………………………………………………………….
88
Fig.2.31. Rezultat al simulării URV-ESPRIT, 32 elemente de antena, 4 surse
dinamice …………………………………………………………………….
89
Fig.2.32. Rezultat al simulării URV-ESPRIT, prima sursă …………………………. 89
Fig.2.33. Rezultat al simulării URV-ESPRIT, a doua sursă …………………………. 90
7
Fig.2.34. Rezultat al simulării URV-ESPRIT, a treia sursă …………………………. 90
Fig.2.35. Rezultat al simulării URV-ESPRIT, a patra sursă …………………………. 91
Fig. 3.1. Beamformer generic ………………………………………………………... 97
Fig.3.2. Sistem de coordonate cu un sistem de antene liniar amplasat de-a lungul
axei z şi centrat în origine …………………………………………………
99
Fig.3.3. Model de putere ……………………………………………………………. 101
Fig.3.4. Rezultat al simulării repetate LS-ESPRIT (fără interferenţă) ……………… 103
Fig.3.5. Rezultat al simulării repetate TLS-ESPRIT (fără interferenţă) …………….. 103
Fig.3.6. Rezultat al simulării repetate TAM (fără interferenţă) ……………………... 104
Fig.3.7. Rezultat al simulării repetate R-ESPRIT (fără interferenţă) ……………….. 104
Fig.3.8. Rezultat al simulării repetate RB-ESPRIT (fără interferenţă) ……………… 105
Fig.3.9. Rezultat al simulării repetate LS-ESPRIT (interferenţă la 60˚) …………… 106
Fig.3.10. Rezultat al simulării repetate T LS-ESPRIT (interferenţă la 60˚) ………… 106
Fig.3.11. Rezultat al simulării repetate TAM (interferenţă la 60˚) …………………… 107
Fig.3.12. Rezultat al simulării repetate R-ESPRIT (interferenţă la 60˚)……………… 107
Fig.3.13. Rezultat al simulării repetate RB-ESPRIT (interferenţă la 60˚) …………… 108
Fig.3.14. Rezultat al simulării repetate LS-ESPRIT (interferenţă la 15˚) …………… 109
Fig.3.15. Rezultat al simulării repetate TLS-ESPRIT (interferenţă la 15˚)…………… 109
Fig.3.16. Rezultat al simulării repetate TAM (interferenţă la 15˚) …………………… 110
Fig.3.17. Rezultat al simulării repetate R-ESPRIT (interferenţă la 15˚)……………… 110
Fig.3.18. Rezultat al simulării repetate RB-ESPRIT (interferenţă la 15˚) …………… 111
Fig.3.19. Rezultat al simulării repetate LS-ESPRIT (interferenţă la 5˚)……………… 112
Fig.3.20. Rezultat al simulării repetate TLS-ESPRIT (interferenţă la 5˚) …………… 112
Fig.3.21. Rezultat al simulării repetate TAM (interferenţă la 5˚) …………………… 113
Fig.3.22. Rezultat al simulării repetate R-ESPRIT (interferenţă la 5˚) ……………… 113
Fig.3.23. Rezultat al simulării repetate RB-ESPRIT (interferenţă la 5˚) …………… 114
8
LISTA TABELELOR
Nr. Ordine Denumirea tabelului Pagina
Tab1.1. Poziţia senzorilor precum şi distanţa dintre senzorii ……………… 26
Tab.2.1. Rezultatele algoritmilor: 8 elemente de antenă (λ/2), SNR=0,
amplitudinea semnalului 1, sursă statică……………………………
73
Tab.2.2. Rezultatele algoritmilor: 8 elemente de antenă (λ/2), SNR=-10,
amplitudinea semnalului 1, sursă statică……………………………
80
Tab.2.3. Rezultatele algoritmilor: 8 elemente de antenă (λ/2), SNR=10,
amplitudinea semnalului 1, sursă statică……………………………
84
Tab.2.4. Rezultatele algoritmilor: 16 elemente de antenă (λ/2), SNR=0,
amplitudinea semnalului 1, sursă statică……………………………
86
Tab.2.5. Analiza comparativă a algoritmilor prezentate…………………….. 94
Tab.3.1. Analiza comparativă a valorilor obţinute în subcapitolul ………… 115
Tab.3.2. Valorile PCF obţinute în cazul celor cinci variante de algoritmi … 116
9
INTRODUCERE
Prezenta teză îşi are originea în preocuparea pentru identificarea unor
metode de îmbunătăţire a prelucrării semnalelor la recepţia acestora într-un sistem
de recepţie. Astfel, nucleul tezei este reprezentat de analiza modelării undelor la
recepţie în completarea a mai multor tipuri de algoritmi de estimare a frecvenţei
respectiv a direcţiei de sosire a undelor radio. Sistemele de recepţie utilizate în
cazul tuturor simulărilor descrise în aceasta teză, reprezintă sisteme de antene
liniara cu mai multe elemente, numărul acestora variind în funcţie de calitatea
recepţiei dorite.
Prelucrarea semnalului la recepţie este o tehnică utilizată în mai multe
domenii, cum ar fi radar, sonar, comunicaţiile fără fir, astronomie, seismologie,
acustică, etc. Contribuţiile de început au fost, în majoritatea cazurilor, concentrate
în jurul comunicaţiilor fără fir iar algoritmii dezvoltaţi în această primă fază au
evoluat de-a lungul timpului în algoritmi de o precizie ridicată asigurând astfel
tehnologiei comunicaţiilor fără fir o calitate ridicată, augmentând calitatea
serviciilor şi experienţa utilizatorilor.
Astfel m-am concentrat asupra prelucrării semnalelor la recepţie. Datele ce
se preiau de la fiecare element de antenă depind în întregime de sursele emiţătoare,
canalul de transmitere, zgomotul adiţional semnalului util şi sistemul de antene în
sine. Obiectivele tipice în astfel de cazuri reprezintă estimarea numărului de surse,
10
direcţia de sosire a semnalelor (DoA), frecvenţa de sosire, etc.. Datorită varietăţii
aplicaţiilor, considerând diferitele modele de semnal şi obiectivele de procesarea
semnalului, aceasta arie de cercetare este foarte vastă.
Algoritmii utilizaţi pentru estimările menţionate mai sus sunt mulţi şi
diverşi, printre cei mai cunoscuţi situându-se şi algoritmii ESPRIT (Estimation of
Signal Parameters via Rotational Invariance Techniques), aceşti algoritmi
reprezentând baza acestei tezei; motivaţia alegerii a fost pe deoparte modul de
implementare al algoritmilor din această familie în comparaţie cu alte metode –
mai simplu şi cu rezultate mai bune -, iar pe de altă parte varietatea algoritmilor din
această familie, ceea ce permite o analiză diversificată a prelucrării semnalelor
recepţionate de un sistem de antene; cu ajutorul acestor algoritmi am încercat să
evidenţiez calităţile beamformerului adaptiv, adăugând fiecărui algoritm de
estimare secvenţa beamformerului.
In cadrul capitolului 1, am prezentat bazele sistemelor de antene şi
variantele esenţiale. Trecând în revistă sistemele de antene spaţiate uniform,
spaţiate neuniform, sistemele planare şi non-planare de antene am introdus
sistemele de antene fazate în cadrul cărora am evidenţiat variantele lineare şi
planare. Tot în acest capitol am discutat şi pe subiectul erorilor sistemelor de
antenă pentru a înţelege varietatea de erori ce sunt introduse de-a lungul acestor
sisteme de antenă datorate imperfecţiunilor elementelor şi de distribuţia reţelelor;
aceste erori reduc precizia excitaţiei sistemului de antene.
În capitolul 2, am tratat algoritmii de estimare DoA din familia ESPRIT.
Am simulat performanţele algoritmilor în diverse scenarii de SNR, număr de
elemente de antenă, etc., performanţele fiind comparate în cazul existenţei a două
surse de semnal statice. Analiza aprofundată a acestor algoritmi am ales-o în ideea
determinării comportamentului fiecărui algoritm în parte printr-o abordare
comparativă, tocmai pentru a ştii exact în care scenariu care algoritm se comportă
cel mai bine, astfel pregătind analiza ulterioară în combinaţie cu secvenţa
beamformerului adaptiv.
11
Ca şi un punct separat am prezentat performanţa unui algoritm ESPRIT,
denumit URV-ESPRIT (decompoziţie de matrice ce produce subspaţii de semnal şi
de zgomot), care se aplică mai multor surse în acelaşi timp atât statice cât şi în
mişcare. Am prezentat acest ultim algoritm în special pentru a scoate în evidenţă
performanţele speciale ale familiei ESPRIT, dar pentru a putea profila mai bine
noţiunea beamformingului, nu am inclus URV-ESPRIT în şirul algoritmilor folosiţi
în combinaţie cu beamformerul adaptiv.
În capitolul 3 am prezentat beamformerul adaptiv, apoi am insistat pe
situaţiile în care secvenţa beamformerului se aplică fiecărui algoritm prezentat în
capitolul anterior în situaţiile de două surse de semnal: unul dintre semnale am
considerat-o a fi sursă de interes emiţând semnalul de interes, până când cealaltă
sursă reprezintă o interferenţă. Variantele analizate sunt bazate pe distanţa
semnalului interferenţă faţă de semnalul de interes şi precizia beamformerului în
aceste situaţii. Totodată am analizat şi mecanismul implementat în beamformerul
adaptiv aplicat, pentru a menţine precizia. Am ales această modalitate de abordare
pentru a evidenţia faptul că soluţia algoritm de stimare în combinaţie cu
beamformingul poate prezenta o soluţie alternativă pentru soluţii de beamforming
cu capabilitatea de estimare inclusă în algoritm.
În capitolul 4 am însumat concluziile din capitolele anterioare, marşând pe
evidenţierea a contribuţiilor personale în atingerea rezultatelor din aceste capitole.
Beamformerul aplicat algoritmilor de estimare este o variantă lipsită de capacitatea
de estimare şi se bazează pe formarea modelului de putere pentru fiecare algoritm.
12
CAPITOLUL 1
SISTEME DE ANTENE
1.1 NOŢIUNI DE BAZĂ
Comunicaţiile fără fir (WIRELESS) au cunoscut o îmbunătăţire
substanţială prin dezvoltarea unor tehnici care au fost propuse pentru creşterea ratei
de transfer a datelor fără a fi necesar un consum mai ridicat de putere sau o lăţime
de bandă mai mare. Una dintre aceste tehnici constă în utilizarea antenelor multiple
care conduc la crearea unui sistem cu multiple-intrări şi multiple-ieşiri (multiple-
input multiple-output, MIMO). Antenele multiple, utilizate atât la transmiţător cât
şi la receptor, permit obţinerea unui sistem de tip MIMO care se caracterizează
printr-o eficienţă spectrală mai bună decât cea obţinută în cadrul sistemelor clasice,
cu o singură antenă.
Canalele radio constituie un mediu de propagare foarte bun, care însă sunt
afectate pe de o parte de fluctuaţiile de semnal (FADING) care apar în antena de
recepţie datorită propagării pe căi multiple, iar pe de altă parte de interferenţa
datorată semnalelor provenite de la alţi utilizatori. Soluţia pentru combaterea
acestor fenomene care afectează transmisia semnalelor pe canalele radio constă în
13
x1
x2
xMt
y1
y2
yMr
h11
hMrMt
utilizarea unui receptor cu diversitate capabil să prelucreze (ideal, în mod
independent) mai multe replici ale semnalului transmis.
Un sistem de comunicaţie punct la punct de bandă îngustă care utilizează
Mt antene de transmisie şi respectiv Mr antene de recepţie este prezentat în Fig.
1.1.[Ago,05]
Fig. 1.1. Sistem de transmisie cu multiple-intrări şi multiple-ieşiri (MIMO)
Un astfel de sistem poate fi caracterizat în domeniul timp discret printr-o
relaţie de forma:
𝒚 = 𝑯𝒙 + 𝒏 (1.1)
unde y reprezintă vectorul simbolurilor recepţionate de către cele Mr antene de
recepţie, 𝒚 = [𝒚𝟏, 𝒚𝟐, … , 𝒚𝑴𝒓]𝑻, H reprezintă matricea canalului,
𝑯 = (
𝒉𝟏𝟏 ⋯ 𝒉𝑴𝒕
⋮ ⋱ ⋮𝒉𝑴𝒓𝟏 ⋯ 𝒉𝑴𝒓𝑴𝒕
) (1.1’)
iar 𝒉𝒊𝒋 reprezintă câştigul de la antena de emisie j la antena de recepţie i, x
reprezintă vectorul simbolurilor transmise de către cele Mt antene de emisie, 𝒙 =
[𝒙𝟏, 𝒙𝟐, … , 𝒙𝑴𝒕]𝑻, iar n reprezintă vectorul zgomot, 𝒏 = [𝒏𝟏, 𝒏𝟐, … , 𝒏𝑴𝒓
]𝑻. Fiecare
semnal transmis va parcurge canalul wireless şi ajunge la cei Mr receptori; astfel,
fiecare ieşire a canalului va reprezenta o superpoziţie liniară a versiunilor de
intrare, atenuate şi perturbate de zgomot. Pe baza relaţiei (1.1’), se poate observa
14
că o copie a semnalului transmis de către fiecare antenă de emisie este adunată
semnalului de la fiecare antenă de recepţie. Cu toate că versiunile semnalelor emise
sunt combinate la nivelul fiecărei antene de recepţie, se realizează un câştig de
diversitate datorită existenţei a Mr copii ale semnalului emis.
În cazul în care canalul nu are proprietăţile constante, semnalul recepţionat
la momentul de timp t va fi dependent de semnalele transmise la momentele de
timp anterioare lui t. Un alt aspect important în comportarea canalului îl constituie
corelaţia dintre câştigurile pe diferitele căi de parcurgere a semnalului în diferite
intervale de timp. În cazul unui canal cvasi-static, aceste câştiguri sunt constante pe
un interval de timp T, ele modificându-se cu fiecare durată de timp T. În cele mai
multe cazuri se presupune că acest câştig de drum variază independent de la o
durată de timp T la alta. Dacă un bloc de date este transmis pe o durată mai mică
decât durata de timp T, atunci fluctuaţiile semnalului (fading) de la recepţie sunt
lente. În acest caz, atenuările nu se modifică pe durata transmisiei unui bloc de
date, iar valorile câştigurilor de drum sunt constante pentru fiecare durată de timp.
Dacă pe durata transmisiei unui bloc de date câştigurile de drum se modifică,
atunci fluctuaţiile semnalului de la recepţie sunt rapide[VKu,06].
Diferitele câştiguri de drum pot fi independente unele faţă de altele; această
independenţă este una în domeniul spaţial şi nu neapărat necesară în domeniul
timp. De asemenea, dacă antenele nu sunt plasate la o distanţă suficient de mare
una faţă de alta, există posibilitatea să apară o corelaţie spaţială între câştigurile de
drum. Dacă distanţa dintre două antene este mai mare decât jumătate din lungimea
de undă, este de obicei presupus faptul că între câştigurile de drum nu există vreo
relaţie de dependenţă.
Comportamentul sistemelor în banda de bază depinde de puterea
semnalului emis şi de puterea zgomotului. Dacă puterea medie a simbolurilor
transmise este ES, atunci raportul semnal - zgomot recepţionat va fi:
𝜸 =𝑵∗𝑬𝑺
𝑵𝟎 (1.2)
15
unde N0 reprezintă densitatea spectrală de putere a zgomotului alb Gaussian. În
cazul în care se utilizează o constelaţie cu o putere medie egală cu 1 pentru
simbolurile transmise și puteri unitare ale eşantioanelor zgomotului, relaţia dintre
intrarea şi ieşirea unui canal MIMO devine:
𝒚 = √𝜸
𝑵𝑯𝒙+ 𝒏 (1.3)
unde γ reprezintă raportul semnal-zgomot recepţionat.
Semnalele care sunt induse în diferite elemente ale unui sistem de antene
sunt procesate în vederea obţinerii unui singur semnal la ieşirea sistemului de
antene respectiv. Acest proces de combinare a semnalelor de la ieşirea diferitelor
elemente poartă denumirea de filtrare spaţială sau „beamforming”.[BlH,02]
Fig.1.2 Sistem de antene adaptiv
Sistemul de antene este utilizat pentru localizarea fiecărui utilizator, astfel
luând naştere modelul de raze care se formează în funcţie de dispunerea
utilizatorilor în aria de acoperire cu semnal de către sistemul de antene respectiv.
senzor 1
senzor 2
senzor N
•
•
•
𝑤1
𝑤2
𝑤𝑁
Procesor •
•
•
𝑥1(𝑡)
𝑥2(𝑡)
𝑥𝐾(𝑡)
...
Σ Ieşirea
sistemului
𝑦(𝑡)
Utilizator
mobil
16
Structura procesorului de semnal depinde de cantitatea de informaţie disponibilă
sau care poate fi estimată la nivel de staţie de bază. Această informaţie include
tipul de modulaţie şi de semnalizare, numărul de căi pe care se poate realiza
recepţia, direcţia de sosire şi întârzierea semnalelor ce sosesc pe căi multiple,
complexitatea mediului prin care se realizează propagarea.
Structura de bază a unui formator de raze este constituită dintr-un sistem de
antene dispuse liniar şi spaţiate uniform. Fiecare semnal transmis utilizatorilor va fi
multiplicat cu un set de ponderi complexe, numărul ponderilor fiind egal cu
numărul antenelor care compun sistemul respectiv. Într-o astfel de transmisiune,
semnalele emise de diferite antene din sistem se vor deosebi prin fază, datorită
distanţei existente între antene, precum şi prin amplitudine, datorită ponderilor
diferite cu care sunt multiplicate semnalele emise de antenele din sistem.
În cazul în care sistemul este constituit din N elemente de recepţie, atunci la
intrarea fiecărui senzor vom avea o replică întârziată a semnalului transmis. Pentru
a modifica intrarea fiecărui senzor, trebuie ca semnalele să fie aliniate în timp şi
mai apoi adunate. Un astfel de procesor este cunoscut sub numele de formator de
raze întârzie şi adună sau formator de raze convenţional. Structura unui astfel de
sistem este prezentată în Fig. 1.3.
Fig. 1.3. Formator de raze întârzie şi adună.
Sistemele de antene pot fi clasificate după mai multe criterii [NiZ,89]:
+τ0
+τ1
1
𝑁
f(t) f(t-τ0)
+τN-1
f(t-τ1)
f(t-τN-1)
f(t) f(t)
f(t)
17
a) după tipul de semnal procesat: - sisteme de antene cu procesare analogică,
respectiv sisteme de antene cu procesare digitală
b) după semnalul utilizat de procesor: - sisteme de antene cu prelucrarea
semnalului de la ieşirea sistemului, respectiv sisteme de antene cu
prelucrarea diferenţei dintre semnalul de la ieşirea sistemului şi un semnal
de referinţă
c) după tipul de informaţie pe care îl prelucrează:
• semnalul recepţionat de către sistemul de antene este cunoscut;
• semnalul recepţionat de către sistemul de antene este necunoscut, dar se
cunoaşte direcţia de sosire a semnalului;
• semnalul recepţionat de către sistemul de antene este necunoscut, nu se
cunoaşte direcţia de sosire a semnalului, dar se cunoaşte nivelul puterii
semnalului ce urmează a fi recepţionat;
• semnalul recepţionat de către sistemul de antene este necunoscut, nu se
cunoaşte direcţia de sosire a semnalului, dar se cunoaşte polarizarea
semnalului ce urmează a fi recepţionat;
• sisteme de antene care recepţionează/prelucrează semnale despre care
nu se cunoaşte nimic.
d) după performanţa optimizată de către algoritmul de adaptare: sisteme de
antene care minimizează eroarea medie pătratică, sisteme de antene care
maximizează raportul semnal – zgomot, sisteme de antene care
minimizează dispersia zgomotului, sisteme de antene care maximizează
câştigul.
e) după spaţiul în care realizează procesul de adaptare: sisteme de antene cu
adaptare în domeniul timp, sisteme de antene cu adaptare în domeniul
frecvenţă, sisteme de antene cu adaptare în domeniul razelor.
18
f) după banda de frecvenţe în care lucrează: sisteme de antene de bandă
îngustă, respectiv sisteme de antene de bandă largă.
g) după numărul de antene pe care le gestionează: sisteme de antene care
ponderează semnalul recepţionat de către fiecare antenă, respectiv sisteme
de antene care ponderează adaptiv o fracţiune din numărul total de semnale
recepţionate de antene, restul semnalelor fiind ponderate cu o valoare fixă.
1.2 SISTEME LINIARE DE ANTENE SPAŢIATE UNIFORM
Un sistem liniar de antene este prezentat în figura următoare.
Fig.1.4. Sistem liniar de antene
Cele N elemente sunt dispuse pe axa z la o distanţă egală, d. Considerăm că
sistemul de antene este centrat pe originea sistemului de coordonate.
Ponderile uniforme sunt de forma:
z
1
0
d
N-1
x
y
19
𝒘𝒏 =𝟏
𝑵, 𝒏 = 𝟎, 𝟏,… , 𝑵 − 𝟏 (1.4)
Modelul razelor pentru un sistem de antene este definit în contextul
propagării undei plane într-un mediu omogen[HVT,02]:
𝑩𝜽(𝜽) = 𝒆−𝒋(𝑵−𝟏
𝟐)𝟐𝝅𝒅
𝝀𝒄𝒐𝒔𝜽∑ 𝒘𝒏
∗𝒆𝒋𝒏𝟐𝝅𝒅
𝝀𝒄𝒐𝒔𝜽, 𝟎 ≤ 𝜽 ≤𝑵−𝟏
𝒏=𝟎 𝝅 (1.5)
𝑩𝒖(𝒖) = 𝒆−𝒋(𝑵−𝟏
𝟐)𝟐𝝅𝒅
𝝀𝒖∑ 𝒘𝒏
∗𝒆𝒋𝒏𝟐𝝅𝒅
𝝀𝒖 , − 𝟏 ≤ 𝒖 ≤𝑵−𝟏
𝒏=𝟎 𝟏 (1.6)
𝑩𝝍(𝝍) = 𝒆−𝒋(
𝑵−𝟏
𝟐)𝝍∑ 𝒘𝒏
∗𝒆𝒋𝒏𝝍 , −𝟐𝝅𝒅
𝝀≤ 𝝍 ≤𝑵−𝟏
𝒏=𝟎𝟐𝝅𝒅
𝝀 (1.7)
Modelul razelor în spaţiul u poate fi scris sub forma:
𝑩𝒖(𝒖) =𝟏
𝑵
𝒔𝒊𝒏 (𝝅𝑵𝒅
𝝀𝒖)
𝒔𝒊𝒏 (𝝅𝒅
𝝀𝒖)
(1.8)
În cazul sistemelor liniare standard, expresia modelului de raze devine:
𝑩𝒖(𝒖) =𝟏
𝑵
𝒔𝒊𝒏 (𝝅𝑵𝒖
𝟐)
𝒔𝒊𝒏 (𝝅𝒖
𝟐)
(1.9)
Considerăm că toate ponderile sunt reale şi simetrice, caz în care este mai
convenabil să utilizăm poziţia elementului n ca şi index,
�̃� = 𝒏 −𝑵−𝟏
𝟐, 𝒏 = 𝟎, 𝟏,… ,𝑵 − 𝟏
�̃� = −𝑵−𝟏
𝟐, … ,
𝑵−𝟏
𝟐 (1.10)
Considerăm cazul în care numărul de elemente (N) este impar. Ponderile de
tip cosinus vor fi:
𝒘(�̃�) = 𝒔𝒊𝒏 (𝝅
𝟐𝑵) 𝒄𝒐𝒔 (
𝝅�̃�
𝑵) , −
𝑵−𝟏
𝟐≤ �̃� ≤
𝑵−𝟏
𝟐 (1.11)
20
în care termenul 𝒔𝒊𝒏 (𝝅
𝟐𝑵) este constant şi deci 𝑩𝒖(𝟎) = 𝟏. Scriind funcţia cosinus
în formă exponenţială, vom avea:
𝒘(�̃�) = 𝒔𝒊𝒏 (𝝅
𝟐𝑵) [𝒆𝒋𝝅�̃�𝑵 +𝒆
−𝒋𝝅�̃�𝑵
𝟐] (1.12)
Utilizând forma vectorului multiplu al sistemului, modelul razelor va fi:
𝑩𝒖(𝒖) =𝟏
𝟐𝒔𝒊𝒏 (
𝝅
𝟐𝑵) [∑ 𝒆𝒋
𝝅�̃�
𝑵 𝒆−𝒋�̃�𝝅𝒖𝑵−𝟏
𝟐
�̃�=−𝑵−𝟏
𝟐
+ ∑ 𝒆−𝒋𝝅�̃�
𝑵 𝒆−𝒋�̃�𝝅𝒖𝑵−𝟏
𝟐
�̃�=−𝑵−𝟏
𝟐
] (1.13)
Primul termen corespunde unui model de raze convenţional ce conduce
spre 𝒖𝒔 =𝟏
𝑵, în timp ce al doilea termen corespunde unui model de raze
convenţional ce conduce spre 𝒖𝒔 = −𝟏
𝑵. Prin urmare:
𝑩𝒖(𝒖) =𝟏
𝟐𝒔𝒊𝒏 (
𝝅
𝟐𝑵) [𝒔𝒊𝒏 (
𝑵𝝅
𝟐(𝒖−
𝟏
𝑵))
𝒔𝒊𝒏 (𝝅
𝟐(𝒖−
𝟏
𝑵))+𝒔𝒊𝒏 (
𝑵𝝅
𝟐(𝒖+
𝟏
𝑵))
𝒔𝒊𝒏 (𝝅
𝟐(𝒖+
𝟏
𝑵))] (1.14)
Putem combina ponderarea uniformă cu ponderarea cosinusoidală pentru a
obține câteva caracteristici ale fiecărui tip de ponderare. Astfel, ponderarea
vectorului va fi:
𝒘(�̃�) = 𝒄(𝒑) [𝒑 + (𝟏 − 𝒑)𝒄𝒐𝒔 (𝝅�̃�
𝑵)], �̃� = −
𝑵−𝟏
𝟐, … ,
𝑵−𝟏
𝟐 (1.15)
unde 𝒄(𝒑) =𝒑
𝑵+𝟏−𝒑
𝟐𝒔𝒊𝒏 (
𝝅
𝟐𝑵) este o constantă şi deci 𝑩𝒖(𝟎) = 𝟏. Pe măsură ce p
descreşte, înălţimea primului lob descreşte, iar lăţimea lobului principal creşte.
Ponderarea cosinusoidală se poate realiza şi cu ajutorul funcţiilor cosinus
de ordin superior, 𝒄𝒐𝒔𝒎(𝝅�̃�
𝑵) caz în care ponderile sistemului vor fi:
𝒘𝒎(�̃�) =
{
𝒄𝟐𝒄𝒐𝒔
𝟐 (𝝅�̃�
𝑵) , 𝒎 = 𝟐
𝒄𝟑𝒄𝒐𝒔𝟑 (
𝝅�̃�
𝑵) , 𝒎 = 𝟑
𝒄𝟒𝒄𝒐𝒔𝟒 (
𝝅�̃�
𝑵) ,𝒎 = 𝟒
(1.16)
21
unde c2,c3 şi c4 sunt constante normalizate. Ponderarea cu ajutorul funcţiei cos2 mai
poartă şi numele de ponderare Hann. Dacă ordinul funcţiei cosinus creşte, atunci
înălţimea lobilor secundari descreşte, iar lăţimea lobului principal creşte.
Pentru ordinul 2 putem scrie:
𝒘(�̃�) = 𝒄𝟐(𝒑) [𝒑 + (𝟏 − 𝒑) 𝒄𝒐𝒔𝟐 (
𝝅�̃�
𝑵)] =
𝒄𝟐(𝒑)
𝟐[(𝟏 + 𝒑) + (𝟏 −
− 𝒑) 𝒄𝒐𝒔𝟐 (𝟐𝝅�̃�
𝑵)] (1.17)
unde c2(p) este o constantă normalizată.
Ponderarea Hamming exploatează caracteristicile modelului rectangular şi
modelul cosinus pătrat pentru a plasa un nul atunci când primul lob secundar atinge
valoarea maximă. Funcţia de ponderare are expresia:
𝒘(�̃�) = 𝒈𝟎 + 𝒈𝟏 𝒄𝒐𝒔 (𝟐𝝅�̃�
𝑵), �̃� = −
𝑵−𝟏
𝟐, … ,
𝑵−𝟏
𝟐 (1.18)
Coeficienţii g0 şi g1 sunt aleşi astfel încât să existe un nul la 𝒖 =𝟑
𝑵 .
Rezultatul este:
𝐰(�̃�) = 𝟎, 𝟓𝟒 + 𝟎, 𝟒𝟔𝐜𝐨𝐬 (𝟐𝛑�̃�
𝐍) (1.19)
Acesta corespunde unei valori p=0,08 în relaţia (1.17). Modelul razei
reprezintă o sumă de trei modele convenţionale:
𝑩𝒖(𝒖) = 𝟎, 𝟓𝟒𝒔𝒊𝒏(
𝑵𝝅𝒖
𝟐)
𝒔𝒊𝒏(𝝅𝒖
𝟐)+ 𝟎, 𝟐𝟑 [
𝒔𝒊𝒏 (𝑵𝝅
𝟐(𝒖−
𝟐
𝑵))
𝒔𝒊𝒏 (𝝅
𝟐(𝒖−
𝟐
𝑵))+𝒔𝒊𝒏 (
𝑵𝝅
𝟐(𝒖+
𝟐
𝑵))
𝒔𝒊𝒏 (𝝅
𝟐(𝒖+
𝟐
𝑵))] (1.20)
Ponderarea Blackman – Harris reprezintă o simplă extindere ce dezvoltă
nuluri atunci când primii doi lobi secundari ating valoarea maximă. Funcţia de
ponderare are expresia:
𝐰(�̃�) = 𝟎, 𝟒𝟐 + 𝟎, 𝟓 𝐜𝐨𝐬 (𝟐𝛑�̃�
𝐍) + 𝟎, 𝟎𝟖 𝐜𝐨𝐬 (
𝟒𝛑�̃�
𝐍), �̃� = −
𝐍−𝟏
𝟐, … ,
𝐍−𝟏
𝟐 (1.21)
Modelul razei reprezintă o sumă de modele convenţionale:
22
𝑩𝒖(𝒖) = 𝟎, 𝟒𝟐𝒔𝒊𝒏(
𝑵𝝅𝒖
𝟐)
𝒔𝒊𝒏(𝝅𝒖
𝟐)+ 𝟎, 𝟐𝟓 [
𝒔𝒊𝒏(𝑵𝝅
𝟐(𝒖−
𝟐
𝑵))
𝒔𝒊𝒏(𝝅
𝟐(𝒖−
𝟐
𝑵))+𝒔𝒊𝒏(
𝑵𝝅
𝟐(𝒖+
𝟐
𝑵))
𝒔𝒊𝒏(𝝅
𝟐(𝒖+
𝟐
𝑵))] +
𝟎, 𝟎𝟒 [𝒔𝒊𝒏(
𝑵𝝅
𝟐(𝒖−
𝟒
𝑵))
𝒔𝒊𝒏(𝝅
𝟐(𝒖−
𝟒
𝑵))+𝒔𝒊𝒏(
𝑵𝝅
𝟐(𝒖+
𝟒
𝑵))
𝒔𝒊𝒏(𝝅
𝟐(𝒖+
𝟒
𝑵))]
(1.22)
Pentru sistemele liniare uniform spaţiate modelul razei poate fi reprezentat
în termenii unui şir polinomial. Modelul de raze poate fi scris în spaţiul ψ astfel:
𝑩𝝍(𝝍) = 𝒆−𝒋(
𝑵−𝟏
𝟐)𝝍(∑ 𝒘𝒏
𝑵−𝟏𝒏=𝟎 𝒆−𝒋𝒏𝝍)
∗ (1.23)
Definind 𝑧 = 𝑒𝑗𝜓, putem scrie expresia unei transformate Z:
𝑩𝒛(𝒛) = ∑ 𝒘𝒏𝒛−𝒏𝑵−𝟏
𝒏=𝟎 (1.24)
în care variabila reală ψ este înlocuită cu o variabilă complexă z de modul unitar.
Variabila ψ reprezintă faza variabilei complexe z aşa cum se vede în figura
următoare:
Fig.1.5. Reprezentarea în planul complex a variabilei z
Im
Re
𝑧 = 𝑒𝑗𝜓
𝜓
1
23
Modelul de raze poate fi scris sub forma:
𝑩𝝍(𝝍) = 𝒛−𝑵−𝟏
𝟐 𝑩𝒛∗(𝒛), 𝒛 = 𝒆𝒋𝝍 (1.25)
Presupunem că ponderile sunt reale şi simetrice. Vom analiza cazul
ponderării simetrice pentru un număr impar de elemente. Pentru ponderare
simetrică putem scrie:
𝒘(𝒏) = 𝒘(𝑵− 𝟏 − 𝒏), 𝟎 ≤ 𝒏 ≤ 𝑵 − 𝟏 (1.26)
Datorită simetriei putem defini:
𝑴 =𝑵−𝟏
𝟐 (1.26’)
şi deci:
𝑩𝒛(𝒛) = 𝒛−𝑴{𝒘(𝑴) + 𝒘(𝑴− 𝟏)[𝒛 + 𝒛−𝟏] + 𝒘(𝑴− 𝟐)[𝒛𝟐 + 𝒛−𝟐] + ⋯+
𝒘(𝟎)[𝒛𝑴 + 𝒛−𝑴]} (1.27)
Înlocuind 𝒛 = 𝒆𝒋𝝍 vom obţine:
𝑩𝒛(𝒆𝒋𝝍) = 𝒆−𝒋𝑴𝝍{𝒘(𝑴) + 𝟐𝒘(𝑴− 𝟏)𝒄𝒐𝒔𝝍 + 𝟐𝒘(𝑴− 𝟐)𝒄𝒐𝒔𝟐𝝍 +⋯+
𝒘(𝟎)𝒄𝒐𝒔𝑴𝝍} (1.28)
şi deci, conform relaţiei (1.25) vom avea:
𝑩𝝍(𝝍) = 𝒘(𝑴) + 𝟐∑ 𝒘(𝒎)𝒄𝒐𝒔 (𝑴−𝒎)𝝍𝑴−𝟏𝒎=𝟏 (1.29)
În continuare vom analiza comportamentul modelului de raze în vecinătatea
unui nul. Considerăm o apertură liniară cu ponderare uniformă. Modelul de raze va
fi:
𝑩𝒖(𝒖) =𝒔𝒊𝒏𝜶𝒖
𝜶𝒖 (1.30)
unde 𝜶 =𝝅𝑳
𝝀. Modelul în vecinătatea unui nul, un, este prezentat în figura
următoare:
24
Fig.1.6. Modelul razelor în vecinătatea unui nul
Definind 𝒖𝟎 = 𝒖 − 𝒖𝒏 şi presupunând că 𝒖𝒏 ≫𝝀
𝑳, expresia modelului de
raze devine:
𝑩𝒖𝟎(𝒖𝟎) = 𝑩𝒖(𝒖𝟎 + 𝒖𝒏) =𝒔𝒊𝒏𝜶(𝒖𝟎+𝒖𝒏)
𝜶(𝒖𝟎+𝒖𝒏)=
𝒔𝒊𝒏𝜶𝒖𝟎𝒄𝒐𝒔𝜶𝒖𝒏+𝒄𝒐𝒔𝜶𝒖𝟎𝒔𝒊𝒏𝜶𝒖𝒏
𝜶(𝒖𝟎+𝒖𝒏) (1.31)
Deoarece 𝒔𝒊𝒏𝜶𝒖𝒏 = 𝟎 şi 𝒄𝒐𝒔𝜶𝒖𝒏 = ±𝟏, vom găsi că:
𝑩𝒖𝟎(𝒖𝟎) = ±𝒔𝒊𝒏𝜶𝒖𝟎
𝜶(𝒖𝟎+𝒖𝒏) (1.32)
În jurul lui zero 𝒔𝒊𝒏𝜶𝒖𝟎 ≅ 𝜶𝒖𝟎, iar 𝒖𝟎 ≪ 𝒖𝒏, ecuaţia (1.31) devine:
𝑩𝒖𝟎(𝒖𝟎) ≅ ±𝒖𝟎
𝒖𝒏 (1.33)
Prin urmare, modelul este liniar în regiunea trecerii prin zero.
Ca şi concluzie, un singur nul conduce la apariţia unui nul pronunţat; în
cazul în care dorim ca acest nul să elimine efectele unei perturbaţii, trebuie să
localizăm cu exactitate sursa care produce perturbaţia respectivă şi frecvenţa acelei
perturbaţii. Pentru localizarea sursei, putem utiliza un nul dublu care conduce la un
model caracterizat printr-un nul mai extins.
un u un+1
25
1.3 SISTEME LINIARE DE ANTENE SPAŢIATE NEUNIFORM
Pentru reducerea costurilor şi a complexităţii sistemelor, elementele care
formează sistemul respectiv pot fi dispuse în orice locaţie din linia sistemului.
Acest lucru conduce la apariţia unor sisteme caracterizate printr-o concentrare a
elementelor pe un anumit segment de linie și respectiv o densitate mai scăzută pe
alt segment de linie. Dispunerea acestor elemente pe linie se realizează într-o
manieră aleatoare, în funcţie de aplicaţia în care sunt utilizate. Un exemplu de
aplicaţie îl constituie sistemul de elemente ataşat unui vapor în vederea localizării
submarinelor.
Un exemplu de sistem liniar spaţiat neuniform este prezentat în figura
următoare:
Fig.1.7. Sistem liniar spaţiat neuniform
Acest sistem este caracterizat prin faptul că este constituit din doar 4
senzori dispuşi în mod aleator, care corespund unui sistem liniar uniform spaţiat
constituit din 7 elemente. În Tabelul 1.1. se prezintă poziţia senzorilor precum şi
distanţa dintre senzorii respectivi.
0 1 2 3 4 5 6
d
26
Locaţia senzorilor Distanţa dintre senzori
0-1 d
4-6 2d
1-4 3d
0-4 4d
1-6 5d
0-6 6d
Tab1.1. Poziţia senzorilor precum şi distanta dintre senzorii
Prin utilizarea ponderării neuniforme putem îmbunătăţi comportamentul
lobilor secundari.
1.4 SISTEME PLANARE DE ANTENE
Sistemele planare sunt sisteme de antene constituite din elemente dispuse în
planul xOy. Există mai multe tipuri de sisteme planare, aşa cum se observă în
figura următoare:
Fig.1.8. Sisteme planare: a) rectangular; b) circular; c) hexagonal
a) b) c)
27
Pentru un sistem rectangular uniform, funcţia ponderării poate fi scrisă sub
forma:
𝑩(𝝍𝒙, 𝝍𝒚) = 𝒆−𝒋(𝑵−𝟏
𝟐𝝍𝒙+
𝑴−𝟏
𝟐𝝍𝒚)∑ ∑ 𝒘𝒏𝒎
∗ 𝒆𝒋(𝒏𝝍𝒙+𝒎𝝍𝒚)𝑴−𝟏𝒎=𝟎
𝑵−𝟏𝒏=𝟎 (1.34)
unde:
𝝍𝒙 =𝟐𝝅
𝝀𝒅𝒙𝒔𝒊𝒏𝜽𝒄𝒐𝒔𝝓
𝝍𝒚 =𝟐𝝅
𝝀𝒅𝒚𝒔𝒊𝒏𝜽𝒔𝒊𝒏𝝓 (1.35)
Expresiile pot fi rescrise astfel:
𝒖𝒙 = 𝒔𝒊𝒏𝜽𝒄𝒐𝒔𝝓
𝒖𝒚 = 𝒔𝒊𝒏𝜽𝒔𝒊𝒏𝝓 (1.36)
În cazul în care 𝒅𝒙 = 𝒅𝒚 =𝝀
𝟐, expresiile (1.35) devin:
𝝍𝒙 = 𝝅𝒖𝒙
𝝍𝒚 = 𝝅𝒖𝒚 (1.37)
Pentru cazul special în care ponderările pot fi separate, 𝒘𝒏𝒎 = 𝒘𝒏 ∗ 𝒘𝒎,
modelul razelor se obţine ca un produs între doi factori de sistem individuali:
𝑩(𝝍𝒙, 𝝍𝒚) = 𝑩(𝝍𝒙)𝑩(𝝍𝒚) (1.38)
Dacă ponderarea este uniformă în ambele direcţii, atunci:
𝑩(𝝍𝒙, 𝝍𝒚) = [𝟏
𝑵
𝒔𝒊𝒏(𝑵
𝟐𝝍𝒙)
𝒔𝒊𝒏(𝝍𝒙𝟐)] [
𝟏
𝑴
𝒔𝒊𝒏(𝑴
𝟐𝝍𝒚)
𝒔𝒊𝒏(𝝍𝒚
𝟐)] (1.39)
Un sistem circular este constituit din N elemente radiatoare dispuse pe un
cerc de rază R, ca în Fig.1.9.[JLT, 96]
28
Fig.1.9. Sistem circular
Fiecare element este ponderat cu ajutorul unei ponderi complexe, wn,
n=0,1,..., N-1. Elementele sunt uniform distribuite pe cercul de rază R, iar unghiul
azimut corespunzător elementului al n-lea este determinat cu ajutorul relaţiei:
𝜱𝒏 =𝟐𝒏𝝅
𝑵 (1.40)
Dacă unda plană soseşte dintr-o direcţie [𝜽,𝝓] , atunci faza relativă la
elementul al n-lea care respectă centrul şirului se poate calcula cu relaţia:
𝜷𝒏 = −𝒏𝑹𝒄𝒐𝒔(𝝓 − 𝝓𝒏)𝒔𝒊𝒏𝜽 (1.41)
Modelul de raze poate fi determinat cu ajutorul relaţiei:
𝑩(𝜽, 𝝓) = ∫ 𝒘(𝝓𝟏)𝒆𝒋𝒌𝟎𝑹𝒔𝒊𝒏𝜽[𝒄𝒐𝒔 (𝝓−𝝓𝟏)]𝑹𝒅𝝓𝟏
𝟐𝝅
𝟎 (1.42)
unde 𝒌𝟎 = |𝒌| =𝟐𝝅
𝝀 reprezintă numărul de undă.
Funcţia pondere este periodică în ϕ şi are expresia:
𝒘(𝝓) = ∑ 𝒘𝒎′ 𝒆𝒋𝒎𝝓+∞
𝒎=−∞ (1.43)
unde :
𝒘𝒎′ =
𝟏
𝟐𝝅∫ 𝒘(𝝓)𝒆−𝒋𝒎𝝓𝒅𝝓𝟐𝝅
𝟎 (1.44)
R n
ϕ
θ
ϕn
y
x
z
29
Una dintre caracteristicile principale ale sistemului circular constă în
prezenţa lobilor secundari de nivel ridicat în modelul de raze asociat unui astfel de
sistem de antene.
O altă configuraţie de sisteme planare o reprezintă sistemul sub formă de
hexagon, elementele acestui sistem fiind aşezate sub forma unei grile triunghiulare,
cu spaţiere uniformă. În acest caz, determinarea modelului de raze nu se realizează
aşa de simplu ca şi în cazul sistemelor planare rectangulare, însă o modalitate de
determinare ar fi ca un astfel de sistem de antene să fie tratat ca şi un sistem având
un element central şi un număr de Mx6 elemente dispus pe cercuri de raze diferite.
1.5 SISTEME DE ANTENE NON-PLANARE
O clasă importanta de aplicaţii pentru sisteme de antene necesită
conformarea lor la anumite suprafeţe non-planare. Astfel, sistemele de antene pe
suprafeţe non-planare pot fi împărţite în funcţie de imaginile următoare:
Fig.1.10. Sisteme de antene non-planare
Denumirea generică a acestor tipuri de sisteme de antene, sunt sisteme de
antene adaptive.
30
Dacă dimensiunile sistemului de antene sunt mici în comparaţie cu raza
curburii (a), sistemul de antene este considerat a fi planar local, cu elemente de
sistem de antene planare în concordanta cu geometria suprafeţei curbate.
Dacă dimensiunile sistemului de antene sunt mai mari în comparaţie cu raza
curburii (b), sistemul de antene poate fi folosit pentru scanarea unui sector mai
întins dacă iluminările sunt comutate în jur pe suprafaţă [RJM,05]. Aceste tipuri de
sisteme de antene sunt mai complexe decât cele menţionate anterior sau decât
sistemele de antene planare. Astfel analiza şi sinteza lor va diferită decât a
sistemelor de antene planare şi mai complicată, pentru ca elementele nu sunt în
acelaşi plan şi distanta între ele nu este tot timpul egală. Complicaţii intervin şi la
necesitatea producerii unei caracteristici reduse ale lobilor laterale. O a treia
problemă reprezintă polarizarea, deoarece polarizarea radiaţiei elementelor, pe
suprafeţe ce nu sunt paralel amplasate unul faţă de celălalt, nu vor fi aliniate. Acest
lucru poate rezulta polarizare încrucişată. Probleme vor apărea şi la caracteristicile
elementelor pe suprafeţe profilate ce pot introduce distorsiuni, rezultând lobi
laterali înalte şi performante scăzute de explorare.
1.5.1 METODE DE ANALIZĂ PENTRU SISTEMELE DE ANTENE
ADAPTATE
Analiza antenelor şi a sistemelor de antene adaptive se face prin utilizarea
unei mari varietăţi de metode, dependente de dimensiunile antenei sau a sistemului
de antene:
• dimensiuni mai mici faţă de raza platformei curbate
• platforma în sine este mai mare sau mai mică faţă de lungimea de undă
Soluţiile pur numerice (Metoda de Moment, Elemente Finite, etc.) nu sunt
aplicabile, practic, pentru corpuri mari; aici metodele hibride au fost mai utile.
31
Analiza mai trebuie sa ţină cont şi de interacţiune între elemente, aceste trebuie
introduse în soluţia finală.
1.5.2 CARACTERISTICI ALE SISTEMELOR DE ANTENE CIRCULARE ŞI
CILINDRICE
Sistemele de antene cilindrice şi circulare oferă avantajul simetriei în
azimut astfel sunt ideale pentru acoperire la 360° [RJM,05]. Să considerăm
următoarea figură:
32
Fig.1.11. Sisteme de antene circulare şi cilindrice
Primul element din figură (a) conţine un grup de elemente dispuse circular.
Caracteristica sistemului de antene pentru sistemul de antene circular de rază a cu
N elemente plasate în locaţii definite prin ф'=nΔф şi ţinând cont de
𝒓𝒏 = 𝑹𝟎 − 𝒂 𝒔𝒊𝒏𝜽 𝒄𝒐𝒔(𝝓 − 𝒏𝜟𝝓) (1.45)
Se ajunge la expresia:
𝑩(𝜽,𝝓) = ∑ 𝑰𝒏𝒇𝒏(𝜽,𝝓)𝒆+𝒋𝒌𝒂𝒔𝒊𝒏𝜽 𝒄𝒐𝒔(𝝓−𝒏𝜟𝝓)𝑵−𝟏
𝒏=𝟎 (1.46)
În această expresie caracteristica elementelor este exprimat ca şi scalar, însă
în general acesta ar fi vector. În continuare, din cauza simetriei, caracteristicile
elementelor sunt dependente de localizarea acestora, astfel vom avea:
𝒇𝒏(𝜽,𝝓) = 𝒇(𝜽,𝝓 − 𝒏𝜟𝝓) (1.47)
Pentru a produce o undă în-fază şi direcţionată la un unghi (θ0, ф0), se alege
𝐈𝐧𝐟𝐧(𝛉𝟎, 𝛟𝟎) = |𝐈𝐧𝐟𝐧(𝛉𝟎, 𝛟𝟎)|𝐞−𝐣𝐤𝐚𝐬𝐢𝐧(𝛉𝟎) 𝐜𝐨𝐬(𝛟𝟎−𝐧𝚫𝛟) (1.48)
Până când pentru o radiaţie apropiată, ca şi funcţie de f , se alege In
constant.
33
Sistemele de antene circulare sunt de importanţă mare, pentru că reprezintă
baza sistemelor de antene cilindrice, precum arătat şi în imaginea (b). Într-un
sistem generalizat (c), caracteristica unui câmpului depărtat pentru al k-lea sistem
de antene circular, se poate scrie utilizând raza locală ak a sistemului de antene şi
vectorul de poziţie r' , ce este raportat la al n-lea element al sistemului de antene
circular considerat (k). [HVT,02]
Astfel
𝒓𝒏𝒌, = �̂�𝒙𝒏𝒌 + �̂�𝒚𝒏𝒌 + �̂�𝒛𝒏𝒌 (1.49)
unde,
𝒙𝒏𝒌 = 𝒂𝒌 𝒄𝒐𝒔𝝓𝒏𝒌
𝐲𝐧𝐤 = 𝐚𝐤 𝐬𝐢𝐧𝛟𝐧𝐤 (1.50)
Iar vectorul poziţie în spaţiu la unghiul (θ, ф)
�̂� = �̂�𝒖 + �̂�𝒗 + �̂� 𝒄𝒐𝒔𝝓 (1.51)
De unde se poate obţine,
𝐫 , ∙ �̂� = 𝐚𝐤𝐜𝐨𝐬𝛟𝐧𝐤𝐬𝐢𝐧𝛉𝐜𝐨𝐬𝛟 + 𝐚𝐤𝐬𝐢𝐧𝛟𝐧𝐤𝐬𝐢𝐧𝛉𝐬𝐢𝐧𝛟 + 𝐳𝐤𝐜𝐨𝐬𝛟 =
𝐚𝐤𝐬𝐢𝐧𝛉𝐜𝐨𝐬(𝛟 − 𝛟𝐧𝐤) + 𝐳𝐤𝐜𝐨𝐬𝛟 (1.52)
De aici rezultă ecuaţia câmpului buclei cu numărul k cu Nk elemente
localizate în unghiuri egale la фnk=nΔфk
𝑩𝒌(𝜽,𝝓) = ∑ 𝑰𝒏𝒌𝒇𝒏𝒌(𝜽, 𝝓)𝑵𝒌−𝟏𝒏=𝟎 𝒆+𝒋𝒌|𝒂𝒌𝒔𝒊𝒏𝜽𝒄𝒐𝒔(𝝓−𝝓𝒏𝒌)+𝒛𝒌𝒄𝒐𝒔𝝓| (1.53)
Considerăm sistemul de antene cilindric din Fig.1.11(b), adică mai multe
sisteme de antene circulare suprapuse. Caracteristica undei se consideră izotropă şi
este dată de
𝑩(𝜽,𝝓) = ∑ ∑ 𝒘𝒏𝒎∗𝑴
𝒎=𝟏 𝒆−𝒋𝒌𝑻𝒑𝒏𝒎; 𝑵 𝒊𝒎𝒑𝒂𝒓
𝑵−𝟏
𝟐
𝒏=−𝑵−𝟏
𝟐
(1.54)
La expresia de mai sus, se consideră un sistem de antene cilindrică, format
din N sisteme de antene circulare, fiecare sistem de antene circular având M
34
elemente. Se consideră axa z ca şi centrul sistemului de antene circular.
Considerând acestea putem scrie
𝑩(𝜽,𝝓) = ∑ ∑ 𝒘𝒏𝒎∗𝑴
𝒎=𝟏 𝒆−𝒋𝒌𝟎[𝑹𝒔𝒊𝒏𝜽𝒄𝒐𝒔(𝝓−𝝓𝟏)+𝒛𝒏𝒄𝒐𝒔𝜽]𝑵−𝟏
𝟐
𝒏=−𝑵−𝟏
𝟐
(1.55)
Acesta se poate scrie
𝑩(𝜽,𝝓) = ∑ 𝒆𝒋𝒌𝟎𝒛𝒏𝒄𝒐𝒔𝜽{∑ 𝒘𝒏𝒎∗𝑴
𝒎=𝟏 𝒆𝒋𝒌𝟎𝑹𝒔𝒊𝒏𝜽𝒄𝒐𝒔(𝝓−𝝓𝟏)}𝑵−𝟏
𝟐
𝒏=−𝑵−𝟏
𝟐
(1.56)
Suma din paranteză este caracteristica undei pentru al n-lea sistem de
antene circular ceea ce este de fapt caracteristica undei a unui sistem de antene
liniar cu
𝑩𝒄𝒊𝒓,𝒏(𝜽,𝝓) = ∑ 𝒘𝒏𝒎∗ 𝒆𝒋𝒌𝟎𝑹𝒔𝒊𝒏𝜽𝒄𝒐𝒔(𝝓−𝝓𝟏) = 𝒘𝒏
∗𝑴𝒎=𝟏 (1.57)
Dacă se poate separa ***
mnnm www atunci totul se reduce la
𝑩(𝜽,𝝓) = ∑ 𝒘𝒏∗𝒆𝒋𝒌𝟎𝒛𝒏𝒄𝒐𝒔𝜽𝑩𝒄𝒊𝒓(𝜽,𝝓) =
𝑵−𝟏
𝟐
𝒏=−𝑵−𝟏
𝟐
𝑩𝒍𝒊𝒏(𝜽, 𝝓)𝑩𝒄𝒊𝒓(𝜽,𝝓) (1.58)
Astfel caracteristica undei la sistem de antene cilindric se poate reduce la
caracteristicile combinate ale sistemului de antene liniar şi cel circular.
1.6 SISTEME DE ANTENE FAZATE
Sistemele de antene fazate reprezintă un grup de antene, în care fazele
relative ale semnalelor respective ce alimentează antenele se schimbă în aşa mod,
încât caracteristica radiaţiei efective a sistemului de antene este întărită într-o
direcţie dorită şi suprimată în alte direcţii ce nu reprezintă interes.
Acest tip de sistem de antene se utilizează în trei mari categorii de
comunicaţii:
• sisteme de comunicare mobilă terestră
35
• sisteme de comunicare stratosferică
• sisteme de comunicare prin sateliţi
Sistemele de antene fazate pornesc de la sistemele de antene lineare şi
planare, identificându-se sisteme de antene fazate liniare şi sisteme de antene fazate
planare.
1.6.1 SISTEME DE ANTENE FAZATE LINEARE
Considerăm schema următoare [HJV,05] a unui sistem de antene fazat
linear cu K elemente
Fig.1.12. Sisteme de antene fazate lineare
36
Funcţia de transfer este
𝑯𝒊(𝝑) = 𝑺𝒊(𝝑)
𝑺𝒊, (𝝑)
= 𝒂𝒊𝒆𝒋𝝍𝒊 (1.59)
Putem deci scrie caracteristica de radiaţie a acestui sistem ca fiind
𝑺(𝝑) = ∑ 𝑺𝒊(𝝑) = 𝑺𝒆(𝝑)∑ 𝒂𝒊𝒆𝒋[𝒌𝟎(𝑲−𝒊)𝒅𝒔𝒊𝒏(𝝑)+𝝍𝒊]𝑲
𝒊=𝟏𝑲𝒊=𝟏 (1.60)
Considerăm faptul că distribuţia de amplitudini este uniformă: 𝒂𝒊 =
𝟏 𝒇𝒐𝒓 𝒊 = 𝟏, 𝟐,… ,𝑲 şi faptul că factorul de antenă este,
𝑺𝒂(𝝑) = ∑ 𝒆𝒋[𝒌𝟎(𝑲−𝒊)𝒅𝒔𝒊𝒏(𝝑)+𝝍𝒊]𝑲𝒊=𝟏 (1.61)
Dacă alegem
𝝍𝒊 = −𝒌𝟎(𝑲 − 𝒊)𝒅𝒔𝒊𝒏(𝝑𝟎) 𝒊 = 𝟏, 𝟐, … ,𝑲 − 𝟗𝟎∘ ≤ 𝝑𝟎 ≤ 𝟗𝟎∘ (1.62)
Putem rescrie factorul de antenă ca fiind
𝑺𝒂(𝝑) = ∑ 𝒆𝒋𝒌𝟎(𝑲−𝒊)𝒅[𝒔𝒊𝒏(𝝑)−𝒔𝒊𝒏(𝝑𝟎)]𝑲𝒊=𝟏 (1.63)
Este clar faptul că vom avea valoare maximă pentru
𝒔𝒊𝒏(𝝑) − 𝒔𝒊𝒏(𝝑𝟎) = 𝟎 (1.64)
1.6.2 SALTUL DE FAZĂ
Saltul de fază se poate dobândi prin patru modalităţi [LCG,04]:
• salt de fază prin schimb de frecvenţă
• salt de fază prin schimbarea lungimii
• salt de fază prin schimbarea permitivităţii
• salt de fază prin schimbarea permeabilităţii
37
1.6.3 SISTEME DE ANTENE FAZATE PLANARE
Considerăm schema următoare [HJV,05] a unui sistem de antene fazat
planar cu K x L elemente poziţionate într-o reţea rectangulară într-un sistem
Cartezian de coordonate
Fig.1.13. Sistem de antene fazat planar
Alegem
𝝍𝒌𝒍 = −𝒌𝟎(𝒌 − 𝟏)𝒅𝒙𝒔𝒊𝒏(𝝑𝟎)𝒄𝒐𝒔(𝝋𝟎) − 𝒌𝟎(𝒍 − 𝟏)𝒅𝒚𝒔𝒊𝒏(𝝑𝟎)𝒔𝒊𝒏(𝝋𝟎) (1.65)
Factorul de antena în acest caz fiind
𝑺𝒂(𝝑,𝝋) =
∑ 𝒆𝒋𝒌𝟎(𝒌−𝟏)𝒅𝒙[𝒔𝒊𝒏(𝝑)𝒄𝒐𝒔(𝝋)−𝒔𝒊𝒏(𝝑𝟎)𝒄𝒐𝒔(𝝋𝟎)]𝒆𝒋𝒌𝟎(𝒍−𝟏)𝒅𝒚[𝒔𝒊𝒏(𝝑)𝒔𝒊𝒏(𝝋)−𝒔𝒊𝒏(𝝑𝟎)𝒔𝒊𝒏(𝝋𝟎)]𝑲𝒌=𝟏
(1.66)
38
Sistemele de antene fazate sunt cel mai des întâlnite în sistemele de radar
sofisticate folosite în strategia militară, în comunicaţii optice (ca şi separator de
lungime de undă).
1.7 ERORILE SISTEMELOR DE ANTENE
1.7.1 INTRODUCERE
O varietate de erori sunt introduse de-a lungul sistemelor de antene de către
imperfecţiunile elementelor şi de distribuţia reţelelor, aceste reducând precizia
excitaţiei sistemului de antene. O iluminare a unei sistem de antene, proiectat să
producă lobi laterali reduşi fără erori, poate da ca rezultat lobi laterali mai puţin
reduşi cu erori de fază şi amplitudine [RJM,05].
Vom încerca să analizăm aceste tipuri de erori în cele ce urmează.
Nivelul ridicat ai lobilor laterali şi scăderea directivităţii din cauza erorilor
aleatoare a sistemelor de antene a fost analizată de mulţi. În cele ce urmează vom
considera un sistem de antene cu o eroare de amplitudine δn şi o eroare de fază Φn
la componenta n.
Eroarea de amplitudine δn se identifica cu eroarea ce apare la componenta n
de forma (1+ δn)An, unde An este amplitudine corectă. Înţelesul erorii de fază Φn
este faptul că faza corectă la care trebuie ghidată fascicolul la un anumit unghi nu
este excitaţia corectă, ci de exp(j Φn) ori excitaţia corectă. Adiţional, sistemul de
antene are componente total nefuncţionale de-a lungul sistemului. Aceste sunt
plasate astfel încât dacă probabilitatea ca elementul n să fie funcţională (exceptând
erorile apriori menţionate) este P, atunci probabilitatea ca acel element să nu fie
funcţională este (1-P).
Astfel incluzând erorile de fază şi de amplitudine menţionate anterior vom
obţine următoarea expresie
𝑭(𝜽,𝝓) = ∑𝒑(𝒏)𝑨𝒏(𝟏 + 𝜹𝒏)𝒆𝒙𝒑[𝒋𝒌(�̂� ∙ 𝒓 − �̂�𝟎 ∙ 𝒓𝒏, )]𝒆𝒙𝒑(𝒋𝜱𝒏) (1.67)
39
unde
�̂� = �̂�𝒖 + �̂�𝒗 + �̂�𝒄𝒐𝒔𝜽
�̂�𝟎 = �̂�𝒖𝟎 + �̂�𝒗𝟎 + �̂�𝒄𝒐𝒔𝜽𝟎 (1.68)
iar
𝒓 = �̂�𝒙 + �̂�𝒚 + �̂�𝒛
𝒓𝒏, = �̂�𝒙𝒏 + �̂�𝒚𝒏 (1.69)
În această reprezentare, factorul p(n) ţine cont de componentele
nefuncţionale având valoarea 1, p(n)=1, pentru probabilitatea P, şi 0, p(n)=0,
pentru probabilitatea (1-P).
Continuând această gândire, Skolnik, a presupus eroarea de Φn ca fiind
descrisă de o funcţie de densitate probabilistică Gaussiană. Pornind de la acest
lucru, el arată faptul că puterea medie este de forma
|𝑭(𝜽,𝝓)|𝟐̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ = 𝑷𝟐𝒆𝒙𝒑(−𝜱𝟐̅̅ ̅̅ ̅̅ )|𝑭𝟎(𝜽,𝝓)|𝟐 + [(𝟏 + 𝜹𝟐̅̅ ̅)𝑷 −
𝑷𝟐𝒆𝒙𝒑(−𝜱𝟐̅̅ ̅̅ ̅̅ )] ∑𝑨𝒏𝟐 (1.70)
Această expresia arată că efectul unor erori aleatoare are ca rezultat o
expresie a radiaţiei egală cu expresia radiaţiei ideale redusă de către factorii
componentelor nefuncţionale şi erorile de fază.
Expresia anterioară se normalizează la un maxim
𝑷𝟐𝒆𝒙𝒑(−𝜱𝟐̅̅ ̅̅ ̅̅ )|𝑭𝟎(𝜽,𝝓)|𝒎𝒂𝒙 (1.71)
Ceea ce dă ca şi rezultat
|𝑭𝑵(𝜽,𝝓)|𝟐̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ = |𝑭𝒐𝒏(𝜽,𝝓)|𝟐̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ + [(𝟏 − 𝑷) + 𝜱𝟐̅̅ ̅̅ + 𝜹𝟐̅̅ ̅]𝟏
𝑷𝒈𝑨 (1.72)
unde
𝒈𝑨 = (∑𝑨𝒏)
𝟐
∑𝑨𝒏𝟐 = 𝑵𝝐𝑻 (1.73)
40
este directivitatea a expresiei ideale. Sub această formă, nivelul normalizat al
lobilor laterali şi marja de eroare sunt date de către expresiile:
𝝈𝟐̅̅ ̅ = 𝝐𝟐̅̅ ̅
𝑷𝒈𝑨 (1.74)
𝛜𝟐̅̅̅ = [(𝟏 − 𝐏) + 𝚽𝟐̅̅ ̅̅ + 𝛅𝟐̅̅ ̅] (1.75)
Fig.1.14. Erori fără componente nefuncţionale (P=1)
Nivelul mediu al lobilor laterali se mai numeşte şi nivelul rezidual al
lobilor laterali. Directivitatea ideală gA se înmulţeşte cu directivitatea
componentelor:
𝑫𝑨 = 𝒈𝒆𝒈𝑨 (1.76)
Ştiind ca ge la sistemele de antene bidimensionale este egal cu π,
multiplicând DA cu nivelul rezidual al lobilor laterali se obţine normalizarea acelui
nivel la nivelul radiaţiei izotropice [RJM,05].
41
În figura anterioară (Fig.1.14.) putem urmări pe verticală erorile de fază
(grade şi radiani), iar pe orizontală erorile de amplitudine, în schimb fără
componente nefuncţionale (P=1). În acest caz relaţia între nivelul lobilor laterali şi
nivelul izotropic este
𝝈𝒍𝟐̅̅ ̅ = 𝝈𝟐̅̅ ̅𝑫𝑨 = 𝒈𝒆�̅�
𝟐 = 𝒈𝒆(𝜱𝟐̅̅ ̅̅ + 𝜹𝟐̅̅ ̅) (1.77)
Pentru ambele erori (amplitudine şi fază) se poate scrie forma în decibeli:
𝜹𝒅𝑩 = 𝟐𝟎𝒍𝒐𝒈𝟏𝟎(𝟏 + 𝜹) − 𝟖. 𝟖𝟔𝜹 (1.78)
𝜱𝜹(𝒅𝒆𝒈) = 𝟔. 𝟔𝜹𝒅𝑩 (1.79)
1.7.2 DIRECTIVITATEA
Reducerea directivităţii din cauza erorilor reziduale este dat de către
Skolnic în forma următoare
𝑫
𝑫𝟎=
𝑷
𝟏+𝜹𝟐̅̅̅̅ +𝜱𝟐̅̅ ̅̅ (1.80)
unde D0 este directivitatea sistemului de antene fără erori iar D este cea a
sistemului de antene cu erori.
1.7.3 EROAREA DE DIRECŢIONAREA FASCICOLULUI (BEAM POINTING)
Variaţia deviaţiilor de direcţionare este dat de următoarea expresie
𝜟𝟐̅̅̅̅ = 𝜱𝟐̅̅ ̅̅ ∑𝑰𝒊𝟐𝒙𝒊𝟐
(∑ 𝑰𝒊𝒙𝒊𝟐)𝟐 (1.81)
unde Ii este amplitudinea excitaţiei componentei i; xi este poziţia componentei
divizat de spaţiul inter-element, d; Φ2 este marja erorii de fază. Pentru un sistem de
antene cu N elemente cu o amplitudine uniformă (Ii=1),
𝜟𝟐̅̅̅̅ = 𝟏𝟐
𝑵𝟑𝜱𝟐̅̅ ̅̅ (1.82)
42
1.7.4 VALOAREA DE VÂRF A LOBILOR LATERALI
Este bine de ştiut valoare de vârf a lobilor laterali asociat la faze sau
amplitudini eronate [RJM,05]. Se poate arăta că la orice unghi, amplitudinea
F(θ,Φ) caracteristicii îndepărtate pentru un ansamblu de sisteme de antene este dat
de:
𝒑(𝑭) = 𝟐𝑭
𝝈𝟐̅̅̅̅𝑰𝟎
𝟐𝑭𝑭𝟎
𝝈𝟐̅̅̅̅𝒆𝒙𝒑 [−
𝑭𝟐+𝑭𝟎𝟐
𝝈𝟐̅̅̅̅] (1.83)
unde I0 este funcţia Bessel, F0 este nivelul caracteristicii ideale la un anumit unghi
iar F este valoarea caracteristicii ansamblului. În această expresie p(F) reprezintă
probabilitatea că la orice unghi intensitatea câmpului va fi între F şi F+.
În unele cazuri eroarea poate să fie mică, distribuţia devenind funcţia de
probabilitate Gaussiană. În schimb pentru erori mari, expresia de mai sus devine
funcţia de densitate Rayleigh
𝒑(𝑭) = 𝟐𝑭
𝝈𝟐̅̅̅̅𝒆𝒙𝒑 [−
𝑭𝟐
𝝈𝟐̅̅̅̅] (1.84)
Probabilitatea cumulativă este un parametru important ce exprimă
probabilitatea că intensitatea F, într-un anumit moment, să aibă o valoare mai mică
decât oricare valoare al lui S, sau că intensitatea F va depăşi valoarea lui S. Astfel
parametrii vor avea forma:
𝒑𝒓𝒐𝒃(𝑭 ≤ 𝑺) = ∫ 𝒑 (𝑭
𝝈)𝒅𝑭
𝑺
𝑭=𝟎
𝒑𝒓𝒐𝒃(𝑭 ≥ 𝑺) = ∫ 𝒑 (𝑭
𝝈)𝒅𝑭
∞
𝑺 (1.85)
Probabilitatea cumulativa se poate calcula la varianta când intensitatea
depăşeşte valoarea lui S, pentru erori mari, în felul următor
𝒑 = 𝒑𝒓𝒐𝒃(𝑭 ≥ 𝑺) ∫ 𝒑(𝑭)𝒅𝑭 = 𝒆𝒙𝒑∞
𝑺(−
𝑺𝟐
𝝈𝟐̅̅̅̅) (1.86)
Vom considera figura următoare, prin care vom vedea cercetările lui Hsiao.
El a arătat existenţa unui parametru
43
(𝜹𝟐̅̅̅̅ +𝜱𝟐̅̅ ̅̅ )
𝑬 (1.87)
unde
𝑬 = 𝟐𝑺𝒅(∑𝑨𝒎𝒏)
𝟐
∑𝑨𝒎𝒏𝟐 (1.88)
Hsiao a arătat că E se poate scrie în funcţie de factorul câştig al sistemului
de antene:
𝑬 = 𝟐𝑺𝒅𝒈𝑨 (1.89)
Fig.1.15.. Câştigul sistemului de antene
Folosind ordonata aceste figuri, se poate scrie
(𝜹𝟐̅̅̅̅ +𝜱𝟐̅̅ ̅̅ )
𝑬=
𝟏
𝟐
𝝈𝟐̅̅̅̅
𝑺𝒅 (1.90)
Folosind această figură se pot vedea, ca în orice punct din spaţiu, având
liniile de probabilitate, pentru un anumit nivel de lobi laterali se poate admite o
toleranta pentru lobii reziduali laterali, prin folosirea unei valori mai mari a raţiei
lob lateral dorit şi lob lateral proiectat.
44
1.8 CONCLUZII
Tehnologiile şi sistemele prezentate până acum stau la baza tehnicii de
procesare a semnalului numit beamforming. Această tehnică a adus multe
îmbunătăţiri în ceea ce privesc tehnologiile de astăzi folosite în radar, sonar,
astronomie sau telecomunicaţii, avantajele acestora fiind deosebit de importante.
În ceea ce privesc telecomunicaţiile, antenele adaptive reprezintă o metodă
deosebit de eficientă pentru a îmbunătăţi performantele sistemelor de comunicaţii
mobile, prin atenuarea interferentelor şi prin dirijarea lobului principal în direcţia
mobilului, fapt care conduce la creşterea capacităţii sistemului precum şi la
creşterea razei de acoperire a unei celule.
Pentru început aceste antene au fost introduse pentru sistemele UMTS şi
WiMAX, ambele sisteme având o puternică dependentă a capacităţii în funcţie de
zgomot şi interferentă. Antenele se impun în special pentru sistemele de bandă
largă care oferă mobilitate, cum este sistemul 802.16e (WiMAX). Viteza de dirijare
a lobului depinde doar de viteza de calcul a procesorului sistemului, la ora actuală
putându-se ajunge la dirijarea lobului pentru fiecare mobil din celulă în parte, adică
o anumită direcţie pentru fiecare simbol transmis.
Comparativ cu antenele uzuale omni-direcţionale şi sectorizate, sistemele de
antene aduc următoarele îmbunătăţiri:
• o arie mai mare de acoperire cu semnal
• o mai bună înlăturare a interferentei co-canal
• se diminuează interferenta datorată propagării pe căi multiple datorită
îmbunătăţirii direcţionalităţii
• creste gradul de reutilizare al frecventelor
• o mai bună localizare a utilizatorului pentru situaţii de urgentă
45
• creste debitul de date şi capacitatea întregului sistem
• reduce numărul de întreruperi ale convorbirilor
Sistemele de antene adaptive şi sistemele de antene fazate aduc o
îmbunătăţire a puterii recepţionate prin dezvoltarea unui câştig ridicat al semnalului
recepţionat. Astfel, sistemele de antene fazate utilizează mai multe elemente de
antenă care dezvoltă un fascicul de recepţie foarte îngust, în timp ce sistemele de
antene adaptive plasează un lob principal în direcţia de sosire a semnalului
recepţionat. Prin aceste procedee, sistemele de antene reduc interferenta şi
îmbunătăţesc recepţia cu diversitate.
46
CAPITOLUL 2
ALGORITMI DE ESTIMARE
2.1 DIRECŢIA DE SOSIRE
Nevoia pentru estimarea direcţiei de sosire (DOA), respectiv a frecvenţei la
sosire, apare în mai multe aplicaţii de inginerie, cum ar fi de exemplu:
• comunicaţii fără fir
• radar
• astronomie radio
• sonar
• urmărirea de obiecte
• dispozitive de asistenţă de urgenţă, salvare
• etc.
În versiunea sa modernă, estimarea DOA este de obicei studiată ca parte a
procesării sistemelor de antene. O mare parte din activitatea în acest domeniu, în
special în tentativele incipiente, s-a concentrat pe constatarea direcţiei radio, adică
estimarea direcţiei undelor electromagnetice la recepţia lor în una sau mai multe
antene.
47
Problema de estimare a direcţiei acustice a fost, de asemenea studiată
extensiv, mai ales în contextul cercetărilor făcute în domeniul sonar. De fapt, o
mare parte din dezvoltarea, a ceea ce acum se numeşte "tehnici de estimare DOA",
a fost făcută pentru aplicaţii din domeniul sonar, însemnând lăţime de bandă relativ
mică; astfel semnalele se puteau prelucra uşor utilizând algoritmii de prelucrare
raportat la puterea de procesare existente la acea vreme. Deoarece puterea de
procesare a continuat să crească, a devenit posibil să se aplice tehnici mai avansate
pentru comunicaţii de bandă largă şi semnale radar.
Cu toate că estimarea DOA este, în momentul de faţă, un câmp de
cercetare ce a ajuns la maturitate, cu o bază teoretică solidă şi un număr mare de
aplicaţii practice, este încă un domeniu în evoluţie şi, totodată, un domeniu foarte
activ de cercetare.
În aplicaţii de inginerie, în cazul în care o unda radio la intrare este
detectată şi/sau măsurată printr-un sistem de antene, semnale asociate la diferite
puncte în spaţiu pot fi prelucrate astfel încât să se poate extrage diferite tipuri de
informaţii, inclusiv direcţia lor de sosire (DOA). Algoritmii de estimare a DOA
sunt adesea folosite în comunicaţiile fără-fir pentru creşterea capacităţii reţelei.
2.2 ALGORITMI DE ESTIMARE
Metodele DOA pot fi folosite pentru a proiecta şi adapta directivitatea
antenelor din sistemul de antene aşa cum se arată în următoarea schemă.
48
Fig.2.1.Încadrarea algoritmilor DOA într-un sistem de recepţie
De exemplu, un sistem de antene poate fi proiectat pentru a detecta
numărul de semnale la recepţie şi să ţină cont doar de anumite semnale din anumite
direcţii de sosire, respingând semnale care sunt declarate ca fiind interferenţe.
Această estimare spatio-temporală şi capacitatea de filtrare pot fi exploatate
pentru multiplexarea utilizatorilor de pe aceeaşi canal şi respingerea interferenţelor
ce pot apărea din cauza efectelor de bruiaj sau efectelor de propagare pe căi
multiple (Fig2.2).
49
Fig.2.2. Filtrarea semnalelor la recepţie. De exemplu semnalul ce vine de Utilizatorul 2 poate fi
considerat ca fiind interferenţă, în cazul în care semnalul de la Utilizatorul 1 este cel dorit
Algoritmii DOA pot fi împărţiţi în trei categorii de bază:
• metodele clasice
• metodele de subspaţiu
• metodele de probabilitatea maximă (PM)
Metodele PM oferă performanţe ridicate, dar sunt costisitoare din punct de
vedere computaţional. Metodele de subspaţiu au, la fel, performanţe bune şi au mai
multe variante ce prezintă avantaje din punctul de vedere al eficienţei
50
computaţionale. Metodele clasice sunt conceptual simple, dar oferă performanţe
scăzute si, totodată, necesită un număr relativ mare de calcule.
În cele ce urmează vom discuta despre variante din categoria a doua, adică
despre metode de subspaţiu, şi anume despre familia de algoritmii ESPRIT.
2.3 FAMILIA ESPRIT. TIPURI ŞI PERFORMANTE
Algoritmul ESPRIT se bazează pe o analiză de subspaţiu folosit pentru
localizarea sursei sau estimarea de frecvenţă. Ideea de bază a acestui algoritm este
„divizarea” sistemului de antene (SA) în subsisteme de antene (SSA) echivalente
separate de un aşa numit deplasament [RTK,89].
În cele ce urmează se va prezenta algoritmul ESPRIT în contextul unui SA
liniar uniform cu N elemente. Numărul de elemente în SSA se va nota cu Ns.
Parametrul ds reprezintă acel deplasament şi trebuie înţeles ca şi distanţa între cele
2 SSA. Parametrul ds se exprimă în unităţi de distantă între elementele SA iar în
exemplele următoare vom considera că primul element al primului SSA este primul
element al SA original, iar primul element al celui de al doilea SSA este elementul
ds+1 al SA original [TBF,09].
SA:
• • • • • • • • • •
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Variante de „divizare” în acest caz, ar fi exemplele următoare:
Ex1. ds=1
- SSA a:
• • • • • • • • •
1 2 3 4 5 6 7 8 9
51
(matricea de selecţie fiind de forma Jsa = [I9×9 09×1])
- SSA b:
• • • • • • • • •
2 3 4 5 6 7 8 9 10
(matricea de selecţie fiind de forma Jsb = [09×1 I9×9])
Ex2. ds=3
- SSA a:
• • • • • • •
1 2 3 4 5 6 7
(matricea de selecţie fiind de forma Jsa = [I7×7 07×3])
- SSA b:
• • • • • • •
4 5 6 7 8 9 10
(matricea de selecţie fiind de forma Jsb = [07×3 I7×7])
In exemplele de mai sus am notat cu I matricea de identitate, iar cu 0
matricea de nul. Se vede că matricea de selecţie pentru cele două SSH se poate
scrie într-un mod generic ca şi:
Jsa = [INs×Ns 0Ns×ds] (2.1)
Jsb = [0Ns×ds INs×Ns] (2.2)
Dacă notăm cu V, matricea de diversitate a SA iar cu Vi matricea de
diversitate al SSA de ordinea i (in cazul nostru i=a,b) atunci vom putea scrie:
Va = JsaV şi Vb = JsbV (2.3)
Introducem matricea Φ care se exprima prin:
52
Ds
s
s
jd
jd
jd
e
e
e
00
000
00
00
2
1
(2.4)
Unde ψi reprezintă numărul de unde a celor D semnale în spaţiul ψ. Astfel
se poate scrie :
Vb = Va Φ. (2.5)
Ţinem cont de faptul că pentru un SA uniform linear se poate scrie :
𝝍 = 𝟐𝝅
𝝀𝒅𝒄𝒐𝒔𝜽 (2.6)
Dacă notam cu T o matrice DxD (nu unica), atunci putem scrie :
Us = V T (2.7)
Expresia de mai sus arată că vectorii proprii ai semnalului sunt combinaţii
lineare ale vectorilor de diversitate al SA a celor D surse.
Usa = JsaUs = JsaVT = VaT (2.8)
Usb = JsbUs = JsbVT = VbT (2.9)
Putem deduce faptul că relaţia Usa = VaT implica Va = UsaT−1, precum şi
faptul că relaţia Usb = VbT = VaΦT implică Usb = UsaT−1ΦT.
Definim Ψ=T−1ΦT, astfel vom putea exprima subspaţiul de semnal al
primului SSA în funcţie de subspaţiul de semnal al celui de al doilea SSA:
Usa = Ψ Usb (2.10)
Ţinem cont de faptul că Ns>D, astfel în practică, în loc de valorile teoretice
Usa şi Usb, va trebuie să folosim estimări ale acestora, prin urmare:
U’sa = Jsa U’s (2.11)
U’sb = Jsb U’s (2.12)
Astfel
53
U’saΨ’ = U’sb (2.13)
2.3.1 ESTIMAREA FRECVENŢEI ŞI A DIRECŢIEI DE SOSIRE FOLOSIND
METODA LS-ESPRIT
Metoda LS (Least Squares) minimizează diferenţa între U’saΨ’ şi U’sb
[RTK,89].
Ψ’= arg minΨ|| U’sb - U’saΨ||2F = arg minΨ tr{[U’sb - U’saΨ]H[U’sb -
U’saΨ]} (2.14)
astfel
Ψ’= [U’HsaU’sa]-1U’H
saU’sb (2.15)
Paşii de urmat în cadrul LS-ESPRIT sunt:
• descompunerea proprie pe matricea de covarianţă Cx pentru
a obţine U’s
• găsirea U’sa şi U’sb
• găsirea estimării LS pentru Ψ’LS=[U’HsaU’sa]-1U’H
saU’sb
• găsirea valorilor proprii Ψ’LS
• găsirea estimărilor în spaţiul ψ utilizând
ψ’i=(argλ’i)/ds , i=1,2,…D. (2.16)
…
Am realizat simulări repetate în dorinţa de a estima frecvenţa (normalizată)
a semnalului la sosire, rezultatele au fost notabile.
54
Fig.2.3. Rezultat al simulării LS-ESPRIT. Eşantionul roşu reprezintă valoarea frecvenţei
normalizate ale semnalului real, iar eşantionul albastru reprezintă valoarea frecvenţei normalizate
estimate (exemplu punctual)
Calculele le-am executat luând în considerare o distanţă între elementele
antenei de recepţie de λ/2, 8 elemente de antena, amplitudinea semnalului de 1, iar
semnalul recepţionat şi prelucrat a fost cu zgomot.
Rezultatele pe care le-am obţinut sunt însă foarte bune: cu o acurateţe de
0.63%, adică valoarea estimată este valoarea reală +/- 0.63%.
…
Executând simulări repetate în dorinţa de a estima direcţia de sosire
(unghiul de incidenţă) a semnalului, am obţinut rezultate notabile.
55
Fig.2.4. Rezultat al simulării LS-ESPRIT. Eşantioanele roşii reprezintă valorile reale, iar
eşantioanele albastre reprezintă valorile estimate (exemplu punctual)
Calculele le-am executat luând în considerare o distanţă între elementele
antenei de recepţie de λ/2, 8 elemente de antenă, amplitudinea semnalului de 1, cu
valoarea SNR=0. Simulările s-au executat cu două valori în paralel.
Rezultatele obţinute în urma simulărilor prezintă o acurateţe de 0.38%,
adică valoarea estimată este valoarea reală +/- 0.38%
2.3.2 ESTIMAREA FRECVENTEI ŞI A DIRECŢIEI DE SOSIRE FOLOSIND
METODA TLS-ESPRIT
Pentru că ambele estimări U’sa şi U’sb conţin erori, s-a sugerat (Golub şi
Van Loan) varianta TLS (Total Least Squares), susţinând faptul că aceste valori
sunt mai adecvate [SSV,01]. În acest caz:
Ψ’TLS=-V12V-122 (2.17)
56
Unde V12 şi V22 sunt descompuneri proprii ale matricei 2D x 2D.
În TLS pentru calcularea ψ’i se va folosi Ψ’TLS în ultimii paşii varianta LS-
ESPRIT, prezentată anterior.
…
Am realizat simulări repetate în dorinţa de a estima frecvenţa (normalizată)
a semnalului la sosire; rezultatele au fost notabile.
Fig.2.5. Rezultat al simulării TLS-ESPRIT. Eşantionul roşu reprezintă valoarea frecvenţei
normalizate ale semnalului real, iar eşantionul albastru reprezintă valoarea frecvenţei normalizate
estimate (exemplu punctual)
Calculele le-am executat luând în considerare o distanţă între elementele
antenei de recepţie de λ/2, 8 elemente de antenă, amplitudinea semnalului de 1, iar
semnalul recepţionat şi prelucrat a fost cu zgomot.
Rezultatele pe care le-am obţinut cu TLS-ESPRIT sunt apropiate de cele
obţinute cu LS-ESPRIT, dar totuşi cu un procentaj mai favorabil: cu o acurateţe de
0.51%, adică valoarea estimată este valoarea reală +/- 0.51%.
57
…
Executând simulări repetate din dorinţa de a estima direcţia de sosire
(unghiul de incidenţă) a semnalului am obţinut rezultatele notabile.
Fig.2.6. Rezultat al simulării TLS-ESPRIT. Eşantioanele roşii reprezintă valorile reale, iar
eşantioanele albastre reprezintă valorile estimate (exemplu punctual)
Calculele le-am executat luând în considerare o distanţă între elementele
antenei de recepţie de λ/2, 8 elemente de antenă, amplitudinea semnalului de 1, cu
valoarea SNR=0. Simulările s-au executat cu două valori în paralel.
Rezultatele pe care le-am obţinut în urma simulărilor prezintă o acurateţe de
0.38%, adică valoarea estimată este valoarea reală +/- 0.38%
2.3.3 ESTIMAREA DIRECŢIEI DE SOSIRE FOLOSIND METODA R-
ESPRIT
Algoritmul R-ESPRIT este considerată a fi din familia ESPRIT, fiind o
metodă de estimare a frecvenţelor sinusoidale cu valoare reală.
58
Aici vom considera varianta prezentată în [SSC,05] prezentând principalele
aspecte ale acestei metode.
Modelul semnalului
Semnalul de intrare constă dintr-un număr de r semnale sinusoidale afectate
de zgomot Gaussian:
𝒙(𝒕) = ∑ 𝒔𝒌𝒔𝒊𝒏(𝒕𝝎𝒌 +𝜱𝒌) + 𝒏(𝒕)𝒓
𝒌=𝟏 (2.18)
Unde sk este amplitudinea, ωk este frecvenţa unghiulară a sinusoidei k, iar
n(t) reprezintă zgomotul. Fazele {𝝓𝒌}𝒌=𝟏𝒓 sunt variabile distribuite uniform în
intervalul [-π, π].
Reprezentarea complexă a subspaţiului, dedicată sinusoidelor de valoare
reală, diferă de la modelul clasic (valoare complexă) de semnal. Trebuie sa obţinem
un segment de vector astfel încât partea fără zgomot să se afle într-un subspaţiu de
r. Pentru acest lucru, se introduc următorii vectori :
𝒙𝒄(𝒕) ≜ [𝒙(𝒕)… 𝒙(𝒕 + 𝒏 − 𝟏)]𝑻 (2.19)
𝒙𝒃(𝒕) ≜ [𝒙(𝒕 − 𝟏)… 𝒙(𝒕 − 𝒏)]𝑻 (2.20)
𝐱𝐫(𝐭) ≜𝟏
𝟐[𝐱𝐜(𝐭) + 𝐱𝐛(𝐭)]
𝐓 (2.21)
unde mărimea segmentului de vector este n>2r.
Din definiţiile de mai sus obţinem:
𝒙𝒓(𝒕) = 𝑨𝒓𝒔𝒓(𝒕) + 𝒏𝒓(𝒕) (2.22)
unde sr(t) este un vector de r x 1 dat de
𝒔𝒓(𝒕) = [𝒂𝟏𝐜𝐨𝐬 {𝝎𝟏𝒕 + 𝝓𝟏
+}⋮
𝒂𝒓𝐜𝐨𝐬 {𝝎𝒓𝒕 + 𝝓𝒓+}] (2.23)
unde 𝝓𝒌+ = 𝝓𝒌 −
𝟏
𝟐𝝎𝒌 pentru 𝟏 ≤ 𝒌 ≤ 𝒓
59
Ar este o matrice n x r, dată de
𝑨𝒓 =
[ 𝐜𝐨𝐬 (
𝝎𝟏
𝟐)
𝐜𝐨𝐬 (𝟑𝝎𝟏
𝟐)
⋯…
𝐜𝐨𝐬 (𝝎𝒓
𝟐)
𝐜𝐨𝐬 (𝟑𝝎𝒓
𝟐)
⋮ ⋱ ⋮
𝐜𝐨𝐬 {(𝒏 −𝟏
𝟐)𝝎𝟏} ⋯ 𝐜𝐨𝐬 {(𝒏 −
𝟏
𝟐)𝝎𝒓}]
(2.24)
Segmentul de vector de zgomot nr(t) în acest model modificat este dat de
𝐧𝐫(𝐭) =𝟏
𝟐{𝐧𝐜(𝐭) + 𝐧𝐛(𝐭)} (2.25)
unde
𝒏𝒄(𝒕) ≜ [𝒏(𝒕)… 𝒏(𝒕 + 𝒏 − 𝟏)]𝑻 (2.26)
𝐧𝐛(𝐭) ≜ [𝐧(𝐭 − 𝟏)… 𝐧(𝐭 − 𝐧)]𝐓 (2.27)
Se poate demonstra şi faptul ca Ar este o matrice de rang întreg. Important
este că partea fără zgomot a xr(t) se află într-un subspaţiu r-dimensional.
În continuare vom introduce
𝐏𝐫 ≜ 𝐄{𝐬𝐫(𝐭)𝐬𝐫𝐓(𝐭)} (2.28)
Vectorii de zgomot nc(t) şi nb(t) sunt aleatorii, independenţi de
𝑬{𝐧𝐫(𝐭)𝐧𝐫𝐓(𝐭)} = (
𝝈𝟐
𝟐) 𝑰𝒏 (2.29)
unde σ2 este divergentă zgomotului. Vom avea, deci
𝑹𝒓 ≜ 𝑬{𝐱𝐫(𝐭)𝐱𝐫𝐓(𝐭)} = 𝑨𝒓𝑷𝒓𝑨𝒓
𝑻 + (𝝈𝟐
𝟐) 𝑰𝒏 (2.30)
Putem deci considera descompunerea unică
𝑹𝒓 = 𝑺𝒓𝚲𝒓𝑺𝒓𝑻 + 𝑮𝒓𝚺𝒓𝑮𝒓
𝑻 (2.31)
unde Λr este o matrice de dimensiunea r x r conţinând valorile unice a Rr pe
diagonală. Matricea Sr de dimensiunea n x r este compus din valorile unice de
stânga. În aceeaşi perspectivă, Σr este o matrice diagonală, conţinând valorile unice
n - r rămase ale lui Rr. Matricea Gr, de dimensiunea n x (n - r), este compusă din
60
valorile unice corespondente de stânga. Coloanele lui Gr sunt ortogonale pe
coloanele Sr.
Se poate arăta astfel că
𝑺𝒓 = 𝑨𝒓𝐂𝒓 (2.32)
unde
𝑪𝒓 = 𝑷𝑨𝒓𝑻𝑺𝒓 {𝚲𝒓 −
𝝈𝟐
𝟐𝑰𝒏}
−𝟏
(2.33)
Coloanele lui Sr formează o bază ortonormată a spaţiului coloanelor lui Ar.
…
Ideea de bază este folosirea a două matrice de tipul Toeplitz, matrice (n-2) x
n, de forma:
𝐓𝐫(𝟏)= [
𝟎 𝟏 𝟎 𝟎 ⋯ 𝟎𝟎 𝟎 𝟏 𝟎 … 𝟎⋮ ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ ⋮𝟎 … 𝟎 𝟎 𝟏 𝟎
] (2.34)
𝐓𝐫(𝟐)=
𝟏
𝟐[
𝟏 𝟎 𝟏 𝟎 ⋯ 𝟎𝟎 𝟏 𝟎 𝟏 … 𝟎⋮ ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ ⋮𝟎 … 𝟎 𝟏 𝟎 𝟏
] (2.35)
Ţinând cont de forma matricei Ar definit în (3.3.7), se poate scrie
𝐓𝐫(𝟐)𝐀𝐫 = 𝐓𝐫
(𝟏)𝐀𝐫𝐃𝐫 (2.36)
unde Dr este matricea diagonală definită ca şi:
𝐃𝐫 = 𝐝𝐢𝐚𝐠{𝐜𝐨𝐬(𝛚𝟏) , … , 𝐜𝐨𝐬(𝛚𝐧)} (2.37)
Introducem matricea următoare:
𝛟𝐫 = 𝐂𝐫−𝟏𝐃𝐫𝐂𝐫 (2.38)
Astfel algoritmul se poate formula în paşii următori:
61
• Estimarea valorii �̂�𝒓 din datele de intrare
• Aceasta estimare se va folosi la calculul valorii lui �̂�𝒓
�̂�𝐫 = (𝐓𝐫(𝟏)�̂�𝐫)
−𝟏𝐓𝐫(𝟐)�̂�𝐫 (2.39)
• Descompunerea unică a �̂�𝒓 ne va duce la valoarea lui �̂�𝒓
• Având valoarea lui �̂�𝒓, valorile frecvenţelor se pot deduce
uşor din:
𝛚𝐤 = 𝐜𝐨𝐬−𝟏{�̂�𝐫(𝐤, 𝐤)} k=1,…,r (2.40)
Acesta ne va furniza estimatele frecvenţelor. Dimensionarea subspaţiului de
semnal este redus la r de la 2r (de exemplu, în metoda ESPRIT, tradiţională, pentru
r sinusoide de valori reale )
…
Am executat simulări repetate în dorinţa de a estima direcţia de sosire
(unghiul de incidenţă) a semnalului cu rezultat notabile.
Fig.2.7. Rezultat al simulării R-ESPRIT. Eşantioanele roşii reprezintă valorile reale, iar
eşantioanele albastre reprezintă valorile estimate (exemplu punctual)
62
Calculele le-am executat luând în considerare o distanţă între elementele
antenei de recepţie de λ/2, 8 elemente de antenă, amplitudinea semnalului de 1, cu
valoarea SNR=0. Simulările s-au executat cu două valori în paralel.
Rezultatele pe care le-am obţinut în urma simulărilor prezintă o acurateţe de
0.37%, adică valoarea estimată este valoarea reală +/- 0.37%
2.3.4 ESTIMAREA DIRECŢIEI DE SOSIRE FOLOSIND METODA RB-
ESPRIT
Se consideră un mediu MIMO cu M surse de transmisie şi N antene de
recepţie [FND,08], cu menţiunea ca N > M. În plus, considerăm şi faptul că
transmisiile se fac în prezenţa zgomotului alb Gaussian, având divergenţa
zgomotului 𝝈𝑵𝟐 . Sistemul de antene, la recepţie, este uniform. La momentul t antena
m (𝟎 ≤ 𝒎 ≤ (𝑴− 𝟏)) transmite un semnal 𝒔𝒎(𝒕), şi se recepţionează un semnal
𝒙𝒊(𝒕) de câtre elementul i (𝟎 ≤ 𝒊 ≤ (𝑵 − 𝟏)). Semnalul este recepţionat la unghiul
𝜽𝒎, câştigul antenei fiind, pentru acest unghi, de valoarea 𝒂𝒊(𝜽𝒎).
Dacă 𝒏𝒙,𝒊(𝒕) reprezintă componenta de zgomot recepţionat de antena i,
descrierea semnalului se poate face în felul următor:
𝒙𝒊(𝒕) = ∑ 𝒔𝒎(𝒕)𝒂𝒊(𝝓𝒎) + 𝒏𝒙,𝒊(𝒕)𝑴−𝟏
𝒎=𝟎 (2.41)
Definind următorii vectori auxiliari şi matrice în domeniul de timp discret k
𝒙(𝒌) = [𝒙𝟎(𝒕) 𝒙𝟏(𝒕) … 𝒙𝑵−𝟏(𝒌)]𝑻 (2.42)
𝒏𝒙(𝒌) = [𝒏𝒙,𝟎(𝒌) 𝒏𝒙,𝟏(𝒌) … 𝒏𝒙,𝑵−𝟏(𝒌)]𝑻 (2.43)
𝒔(𝒌) = [𝒔𝟎(𝒕) 𝒔𝟏(𝒕) … 𝒔𝑴−𝟏(𝒌)]𝑻 (2.44)
63
𝐀 = [
𝐚𝟎(𝛟𝟎)
𝐚𝟏(𝛟𝟎)𝐚𝟎(𝛟𝟏)
𝐚𝟏(𝛟𝟏)
……
𝐚𝟎(𝛟𝐌−𝟏)
𝐚𝟏(𝛟𝐌−𝟏)⋮ ⋮ ⋱ ⋮
𝐚𝐍−𝟏(𝛟𝟎) 𝐚𝐍−𝟏(𝛟𝟎) ⋯ 𝐚𝐍−𝟏(𝛟𝐌−𝟏)
] (2.45)
Putem rescrie ecuaţia (3.32) în felul următor
𝒙(𝒌) = 𝑨𝒔(𝒌) + 𝒏𝒙(𝒌) (2.46)
Considerăm cele două matrice de selecţie J1 şi J2
𝑱𝟏 = [𝑰{𝑲𝒙𝑲} 𝟎{𝑲𝒙(𝑵−𝑲)}] (2.47)
𝑱𝟐 = [𝟎{𝑲𝒙(𝑵−𝑲)} 𝑰{𝑲𝒙𝑲}] (2.48)
Astfel încât se poate scrie
𝑱𝟏𝑱𝟏𝑯 = 𝑱𝟐𝑱𝟐
𝑯 = 𝑰 (2.49)
Unde I este o sub-matrice de identitate iar 0 este o sub-matrice de nul.
Dacă se consideră δ ca fiind deplasamentul constant dintre elementele
adiacente de antenă, iar matricea A are o structură Van der Monde, dă ca şi rezultat
𝑱𝟏𝑨 = 𝑱𝟐𝑨𝝓𝑯 (2.50)
În care Φ se defineşte ca fiind
𝝓 = 𝒅𝒊𝒂𝒈 [𝒆𝒋𝝎𝜹
𝒄𝒔𝒊𝒏 (𝜽𝟎), 𝒆
𝒋𝝎𝜹
𝒄𝒔𝒊𝒏 (𝜽𝟏), … , 𝒆
𝒋𝝎𝜹
𝒄𝒔𝒊𝒏 (𝜽𝑴−𝟏) ] (2.51)
Unde ω este frecvenţa semnalului şi c este viteza luminii.
În această variantă, „beamspace”, vectorul x(k) este procesat de către
transformarea ortogonală Ti, de dimensiunea N x L, unde L<N. considerând că
zgomotul nu este corelat cu sursele, modelul de covarianţă pentru sistem este
𝑹𝒙 = 𝑻𝒊𝑯𝑨𝑹𝒔𝑨
𝑯𝑻𝒊 + 𝝈𝑵𝟐 𝑰 (2.52)
Unde Rx şi Rs reprezintă matricele de auto-corelaţie a semnalelor
recepţionate şi transmise.
Pentru ca metoda „beamspace” să funcţioneze, TiA trebuie să dispună de
proprietatea de invarianţă al lui A. Dacă este satisfăcută relaţia
64
𝑱𝟏𝑻𝒊 = 𝑱𝟐𝑻𝒊𝑭 (2.53)
Unde F este o matrice de rang întreg L x L, atunci transformata Ti se poate
aplica ecuaţiei (3.36).
Se notează ti , pentru 𝟎 ≤ 𝒊 ≤ (𝑵 − 𝟏)), coloana i din 𝑻𝒊𝑯. Dacă matricea Q
există în forma
{𝑸𝑭𝑯𝒕𝒊 = 𝟎, 𝟎 ≤ 𝒊 < 𝑁 − 𝐾𝑸𝒕𝒊 = 𝟎, 𝐾 ≤ 𝑖 ≤ 𝑁
(2.54)
Se pot scrie, folosind ecuaţiile (2.50) şi (2.53) şi proprietăţile matricelor de
selecţie,
𝑸𝑻𝒊𝑯𝑨 = 𝑸𝑻𝒊
𝑯𝑱𝟏𝑯𝑱𝟏𝑨 = 𝑸𝑻𝒊
𝑯𝑱𝟏𝑯𝑱𝟐𝑨𝝓
𝑯 =
= 𝑸𝑭𝑯𝑻𝒊𝑯𝑱𝟐
𝑯𝑱𝟐𝑨𝝓𝑯 = 𝑸𝑭𝑯𝑻𝒊
𝑯𝑨𝝓𝑯 (2.55)
Efectuând o decompoziţie pe Rx, vom avea vectorii proprii, aparţinând
subspaţiului de semnal, grupaţi în matricea Es. Astfel o nouă ecuaţie de invarianţă
se poate scrie din ecuaţia anterioară
𝑸𝑻𝒊𝑯𝑬𝒔 = 𝑸𝑭
𝑯𝑻𝒊𝑯𝑬𝒔𝝓
𝑯 (2.56)
Ce se poate rezolva într-o manieră TLS, definind
[𝑬𝟏 𝑬𝟐] = [𝑸𝑻𝒊𝑯𝑬𝒔 𝑸𝑭𝑯𝑻𝒊
𝑯𝑬𝒔] (2.57)
Si calculând decompoziţiile
[𝑬𝟏𝑯
𝑬𝟐𝑯] [𝑬𝟏 𝑬𝟐] = 𝑬𝜦𝑬
𝑯 (2.58)
Matricea E se poate scrie în felul următor,
𝑬 = [𝑬𝟏𝟏 𝑬𝟏𝟐𝑬𝟐𝟏 𝑬𝟐𝟐
] (2.59)
Ţinând cont de ecuaţia anterioară, matricea Φ este calculată cu ajutorul
ecuaţiei următoare
𝜳 = −𝑬𝟏𝟐𝑬𝟐𝟐−𝟏 (2.60)
65
…
Am realizat simulări repetate în dorinţa de a estima direcţia de sosire
(unghiul de incidenţă) a semnalului cu rezultate notabile.
Fig.2.8. Rezultat al simulării RB-ESPRIT. Eşantioanele roşii reprezintă valorile reale, iar
eşantioanele albastre reprezintă valorile estimate (exemplu punctual)
Calculele le-am executat luând în considerare o distanţă între elementele
antenei de recepţie de λ/2, 8 elemente de antenă, amplitudinea semnalului de 1, cu
valoarea SNR=0. Simulările s-au executat cu două valori în paralel.
Rezultatele pe care le-am obţinut în urma simulărilor prezintă o acurateţe de
0.43%, adică valoarea estimată este valoarea reală +/- 0.43%
2.3.5 ESTIMAREA DIRECŢIEI DE SOSIRE FOLOSIND METODA TAM
Metoda TAM (Toeplitz Approximation Method) a fost iniţial concepută
pentru analiza de armonici. Cu toate acestea, ea poate fi uşor transpusă în estimarea
66
DOA, cu condiţia ca antenele să fie identice, omnidirecţionale şi cu distanţe egale
între ele [SyM,88].
Să presupunem că m semnale sunt recepţionate de un sistem de antene cu N
elemente. Pentru segmentul k, vectorul de observaţie este dată de:
𝒁𝒌𝑻 = [∑ 𝒑𝒊
(𝒌)𝒎𝒊=𝟏 , ∑ 𝒑𝒊
(𝒌)𝒆𝒋𝝎𝒊𝒎
𝒊=𝟏 , … , ∑ 𝒑𝒊(𝒌)𝒆𝒋(𝑵−𝟏)𝝎𝒊𝒎
𝒊=𝟏 ] + 𝑵𝒌𝑻 (2.61)
Dacă undele au frecvenţa f, atunci 𝝎𝒊 = 𝟐𝝅𝒅𝒇 𝐬𝐢𝐧(𝜽𝒊) /𝒄 , unde c este
viteza de propagare, d este distanţa între elemente, iar 𝜽𝒊 este unghiul de incidenţă
a undei i. Nk este complex, vector circular gaussian, cu elemente independente de
divergenţă σ2. Amplitudinile undelor au fost notate cu 𝒑𝒊(𝒌) (aleatorii).
Dacă notăm paranteza […] cu 𝒛𝒌𝑻, vom putea scrie
𝒁𝒌𝑻 = 𝒛𝒌
𝑻 +𝑵𝒌𝑻 (2.62)
Fie RZZ matricea de covarianţa de observaţie:
𝑹𝒁𝒁 = 𝑬[𝒁𝒌𝒁𝒌+] = 𝑬[𝒛𝒌𝒛𝒌
+] + 𝝈𝟐𝑰𝑵 = 𝑹𝒛𝒛 + 𝝈𝟐𝑰𝑵 (2.63)
SN este matricea de dimensiunea N x m, Van der Monde, asociată
senzorilor:
𝑺𝑵 = [
𝟏𝒆𝒋𝝎𝟏
……
𝟏𝒆𝒋𝝎𝒎
⋮ ⋱ ⋮𝒆𝒋(𝑵−𝟏)𝝎𝟏 ⋯ 𝒆𝒋(𝑵−𝟏)𝝎𝒎
] (2.64)
Avem 𝒛𝒌 = 𝑺𝑵𝒂𝒌 unde 𝒂𝒌 = [𝒑𝟏(𝒌), … , 𝒑𝒎
(𝒌)]𝑻
. Astfel 𝑹𝒛𝒛 = 𝑺𝑵𝑨𝑺𝑵+ unde
A este amplitudinea matricei de covarianţă şi este de rang întreg. Astfel rangul lui
Rzz este m iar gama este identică cu cea al lui SN. Considerăm 𝑼𝚺𝑼+ ca
decompoziţia lui Rzz, unde U şi 𝜮 sunt matrice N x N. Pentru că Rzz este de rangul
m, putem scrie 𝑹𝒛𝒛 = 𝑼𝑺𝚺𝑺𝑼𝑺+. 𝜮𝑺 ș𝒊 𝜮 sunt reduse la dimensiunea m x m.
Continuând acest fir logic, ajungem la concluzia ca SN şi US sunt aproape
egale:
67
𝑺𝑵 = 𝑼𝑺𝑷 (2.65)
Vom ajunge la o ecuaţie generică:
[
𝟏𝒆𝒋𝝎𝟏
……
𝟏𝒆𝒋𝝎𝒎
⋮ ⋱ ⋮𝒆𝒋(𝑵−𝟐)𝝎𝟏 ⋯ 𝒆𝒋(𝑵−𝟐)𝝎𝒎
] [
𝒆𝒋𝝎𝟏
𝟎𝟎…
𝟎𝟎
⋮ ⋱ ⋮𝟎 ⋯ 𝒆𝒋𝝎𝒎
] =
= [
𝒆𝒋𝝎𝟏
𝒆𝒋𝟐𝝎𝟏
……
𝒆𝒋𝝎𝒎
𝒆𝒋𝟐𝝎𝒎⋮ ⋱ ⋮
𝒆𝒋(𝑵−𝟏)𝝎𝟏 ⋯ 𝒆𝒋(𝑵−𝟏)𝝎𝒎
] (2.66)
Efectuăm următoarele notari:
𝑺 ↓= [
𝟏𝒆𝒋𝝎𝟏
……
𝟏𝒆𝒋𝝎𝒎
⋮ ⋱ ⋮𝒆𝒋(𝑵−𝟐)𝝎𝟏 ⋯ 𝒆𝒋(𝑵−𝟐)𝝎𝒎
] (2.67)
𝑫 = [
𝒆𝒋𝝎𝟏
𝟎𝟎…
𝟎𝟎
⋮ ⋱ ⋮𝟎 ⋯ 𝒆𝒋𝝎𝒎
] (2.68)
𝑺 ↑= [
𝒆𝒋𝝎𝟏
𝒆𝒋𝟐𝝎𝟏
……
𝒆𝒋𝝎𝒎
𝒆𝒋𝟐𝝎𝒎⋮ ⋱ ⋮
𝒆𝒋(𝑵−𝟏)𝝎𝟏 ⋯ 𝒆𝒋(𝑵−𝟏)𝝎𝒎
] (2.69)
𝑺 ↓ respectiv 𝑺 ↑ se obţin din SN eliminând ultima respectiv prima linie. Cu
toate acestea, ecuaţia (3.5.5) rămâne valabilă, astfel se poate scrie:
𝑺 ↓= 𝑼𝑺 ↓ 𝑷 (2.70)
𝑺 ↑= 𝑼𝑺 ↑ 𝑷 (2.71)
Ţinând cont de ecuaţia (2.66) şi cele menţionate mai sus putem scrie:
𝑼𝑺 ↓ (𝑷𝑫𝑷−𝟏) = 𝑼𝑺 ↑ (2.72)
Valorile proprii ale 𝑷𝑫𝑷−𝟏 sunt valorile 𝒆𝒋𝝎𝟏. Astfel 𝑭 = 𝑷𝑫𝑷−𝟏.
Dacă se cunoaşte doar o singură estimată al lui RZZ, pentru F vom
considera cele mai mici rădăcini pătrate ale ecuaţiei
68
𝑼𝑺 ↓ 𝑭 = 𝑼𝑺 ↑ (2.73)
Iar valorile proprii vor fi estimări ale {𝒆𝒋𝝎𝟏 , … , 𝒆𝒋𝝎𝒎}
…
Executând simulări repetate în dorinţa de a estima direcţia de sosire
(unghiul de incidenţă) a semnalului am obţinut rezultate notabile.
Fig.2.9. Rezultat al simulării TAM. Eşantioanele roşii reprezintă valorile reale, iar eşantioanele
albastre reprezintă valorile estimate (exemplu punctual)
Calculele le-am executat luând în considerare o distanţă între elementele
antenei de recepţie de λ/2, 8 elemente de antenă, amplitudinea semnalului de 1, cu
valoarea SNR=0. Simulările s-au executat cu două valori în paralel.
Rezultatele pe care le-am obţinut cu TAM sunt apropiate cu cele obţinute cu
R-ESPRIT, dar totuşi cu o mică diferenţă: rezultatele obţinute în urma simulărilor
prezintă o acurateţe de 0.39%, adică valoarea estimată este valoarea reală +/-
0.39%
69
2.3.6 ESTIMAREA DIRECŢIEI DE SOSIRE FOLOSIND METODA URV
ESPRIT
G.W. Stewart a introdus această nouă abordare, utilizând decompoziţii
URV (decompoziţie de matrice ce produce subspaţii de semnal şi de zgomot)
[LOS,94]. Acest lucru permite aplicaţii în timp real, asta în cazul în care
decompoziţia URV se poate substitui cu succes (această metodă a fost aplicată şi la
MUSIC pentru accelerarea algoritmului).
Decompoziţia URV se regăseşte în valoarea lui XH în forma:
𝑿𝑯 = 𝑼𝑹𝑽𝑯 = 𝑼(𝑹 𝑭𝟎 𝑮
)𝑽𝑯 (2.74)
Unde coloanele U şi V sunt ortonormate, R şi G sunt superior triangulare de
ordin d şi m-d, iar F şi G sunt de normă mica. Aceasta descompunere arată că X se
încadrează în √‖𝑭‖𝟐 + ‖𝑮‖𝟐 a matricei X de rang d obţinute prin setarea valorilor
lui F şi G din (2.74) la zero. Coloanele lui X sunt calibrate prin primele d coloane
ale lui V, şi acele coloane sunt, prin urmare, folosite ca şi bază pentru algoritmul
ESPRIT.
Matricea U nu este necesară şi nu este stocată sau actualizată.
În acelaşi mod, descompunerea URV a matricei (V1 V2) poate fi folosit
pentru a determina matricele W1 şi W2 al algoritmului ESPRIT.
Algoritmul rezultat este algoritmul URV ESPRIT.
Descompunerea URV poate fi actualizată în O(m2) timp (şi în O(m) timp pe un
sistem de antene liniar cu m elemente). Procedura de actualizare este alcătuită din
două părţi: un pas de încorporare şi un pas deflaţie. Partea de incorporare este
analoagă cu actualizarea standard a descompunerii QR; cu toate acestea doar prima
coloana a lui F şi G creşte în normă.
Aceasta corespunde faptului că adăugarea unui rând într-o matrice poate
creşte rangul acestuia cu cel puţin 1.
70
După actualizare, un estimator de condiţie este folosit pentru a testa
degenerarea în rang al lui R, iar pasul de deflaţie reduce norma ultimei coloane al
lui R. Dacă o degenerare este detectată, un pas de „reglaj fin” se aplică pentru a
aduce mai aproape descompunere de formă diagonală.
Toate transformările sunt realizate prin rotaţii de plan.
Determinarea rangului, cantitatea ||G|| este analogul lui √𝜹𝒅+𝟏𝟐 + …+ 𝜹𝒎𝟐
pentru SVD. În consecinţă, încercăm să alegem o valoare pentru d astfel încât
‖𝑮‖ ≤ 𝝍𝒅𝝈√𝒏(𝒎− 𝒅) (2.75)
pentru varianta dreptunghiulară şi
‖𝑮‖ ≤ 𝝍𝒅𝝈√𝒎−𝒅
𝟏−𝝁𝟐 (2.76)
pentru varianta exponenţială.
Cu toate acestea, în timpul etapei de încorporare o decizie trebuie făcută
pentru a stabili dacă G a crescut în normă datorită unei creşteri în rang. Aici vom
folosi acelaşi criteriu, dar cu un factor Ψu diferit, înlocuind pe Ψd.
Odată cu creşterea lui Ψu, subspaţiul de semnal se schimbă mai rar.
Astfel, Ψu poate fi văzut ca un factor care controlează precizia subspaţiului
de semnal aproximat.
…
Simulările executate în vederea determinării, a direcţiei de sosire (unghi de
sosire), au avut ca şi rezultate valori foarte apropiate de cele reale.
Ex1. Pentru 8 elemente de antenă, cu 2 surse statice de semnal, rezultatele
arată în felul următor:
71
Fig.2.10. Rezultat al simulării URV-ESPRIT. Unghiuri de sosire reale şi estimate, 8 elemente de
antenă
Calculele le-am executat luând în considerare o distanţă între elementele
antenei de recepţie de λ/2, amplitudinea semnalului de 1, iar semnalul recepţionat
şi prelucrat a fost cu zgomot.
Se poate observa faptul că valorile sunt identice.
Ex2. Pentru 16 elemente de antena, cu 4 surse statice de semnal, rezultatele
arată în felul următor:
72
Fig.2.11. Rezultat al simulării URV-ESPRIT. Unghiuri de sosire reale şi estimate, 16 elemente
de antena, 4 surse, static
Calculele le-am executat luând în considerare o distanţă între elementele
antenei de recepţie de λ/2, amplitudinea semnalului de 1, iar semnalul recepţionat
şi prelucrat a fost cu zgomot.
Se poate observa faptul că valorile sunt identice.
În cazul în care numărul elementelor de antenă este redus la 8,
acurateţea algoritmului este mult scăzută, putând estima corect maxim o sursă,
celelalte 3 nefiind identificate corect.
73
2.4 ANALIZA REZULTATELOR. SIMULARE COMPARATIVĂ A
ALGORITMILOR PREZENTAŢI
În acest capitol, pentru a evidenţia performanţele metodelor de estimare a
direcţiei de sosire a semnalelor, am comparat metodele prezentate în capitolul
anterior.
În prezentarea simulărilor din capitolul precedent, la fiecare metodă am
folosit un sir liniar de antene, cu 8 elemente distanţate egal între ele cu λ/2;
semnalul recepţionat a fost afectat de zgomot şi considerat de amplitudine 1. Toate
sursele le-am considerate statice, în afară de varianta URV-ESPRIT, unde am
prezentat un caz cu o sursă dinamică. Având în vedere că pentru această metodă,
considerând aceeaşi parametrii de plecare, şi pentru două surse, am obţinut valori
estimate identice cu cele reale, aceasta metodă nu va fi inclusă în comparaţiile
următoare ci va fi comentată separat.
Astfel primul caz va conţine o comparaţie a rezultatelor obţinute la primele
cinci metode prezentate în capitolul anterior, urmând ca în cazurile următoare să
modificăm parametrii de plecare, analiza reluându-se cu aceste valori noi.
Cazul 1
Valori de plecare: sir liniar de antene, cu 8 elemente distanţate egal între ele
cu λ/2; valoarea SNR=0, amplitudinea semnalului 1, iar sursa este statică.
După cum se va observa, în afara de RB-ESPRIT, toate celelalte se
grupează, aproximativ, în jurul aceleiaşi erori, astfel se poate spune pentru valorile
de intrare menţionate, sunt aproximativ de aceeaşi precizie.
Am rulat simulări repetate (300) pentru fiecare algoritm iar rezultatele arată
în felul următor:
74
Algoritm Distanţa
între elemente
SNR Valori
unghiuri reale
Eroarea de
estimare
LS-ESPRIT
λ/2 0 45 şi 60
+/- 0,38
TLS-ESPRIT +/- 0,38
TAM +/- 0,39
R-ESPRIT +/- 0,37
RB-ESPRIT +/- 0,43
Tab.2.1. Rezultatele algoritmilor: 8 elemente de antenă (λ/2), SNR=0, amplitudinea semnalului
1, sursa statică
Ca să avem o idee mai clară, următoarele figuri reprezintă grafic aceste
simulări pentru fiecare dintre algoritmii prezentaţi. Pentru simplitate am reprezentat
doar simulările unghiului de sosire 60˚ (cele pentru 45˚ sunt relativ similare).
LS-ESPRIT
Fig.2.12. Rezultat al simulării repetate LS-ESPRIT (SNR=0).
Se poate observa că, deşi există câteva excepţii, majoritatea estimărilor se
grupează în jurul valorii de 60˚, permiţând astfel o eroare relativ bună de +/- 0,38.
75
TLS- ESPRIT
Fig.2.13. Rezultat al simulării repetate T LS-ESPRIT (SNR=0).
Cu mici excepţii, majoritatea estimărilor se grupează în jurul valorii de 60˚.
TAM
Fig.2.14. Rezultat al simulării repetate TAM (SNR=0).
Cu mici excepţii, majoritatea estimărilor se grupează în jurul valorii de 60˚.
76
R-ESPRIT
Fig.2.15. Rezultat al simulării repetate R-ESPRIT (SNR=0).
Cu mici excepţii, majoritatea estimărilor se grupează în jurul valorii de 60˚.
RB-ESPRIT
Fig.2.16. Rezultat al simulării repetate RB-ESPRIT (SNR=0).
In acest caz, se poate observa acea mică discrepanţă faţă de algoritmii
anteriori, justificat la o eroare de +/- 0,43.
77
Cazul 2
Valori de plecare: sir liniar de antene, cu 8 elemente distanţate egal între ele
cu λ/2; valoarea SNR= -10, amplitudinea semnalului 1, iar sursa este statică, la 60˚.
Am rulat simulări repetate (300) pentru fiecare algoritm iar rezultatele arată în felul
următor:
LS-ESPRIT
Fig.2.17. Rezultat al simulării repetate LS-ESPRIT (SNR=-10).
Se poate observa că există câteva excepţii, dar totuşi majoritatea estimărilor
se grupează în jurul valorii de 60˚, permiţând astfel o eroare relativ bună,
considerând valoarea SNR de -10. Diferenţa între precizia la valoarea SNR=0 şi
cea prezentată în cazul de faţă este totuşi notabilă: +/- 1,85.
78
TLS- ESPRIT
Fig.2.18. Rezultat al simulării repetate T LS-ESPRIT (SNR=-10).
Diferenţa între precizia la valoarea SNR=0 este totuşi relevantă: +/- 1,73.
TAM
Fig.2.19. Rezultat al simulării repetate TAM (SNR=-10).
Diferenţa între precizia la valoarea SNR=0 este totuşi observabilă: +/- 1,73.
79
R-ESPRIT
Fig.2.20. Rezultat al simulării repetate R-ESPRIT (SNR=-10).
Diferenţa între precizia la valoarea SNR=0 este totuşi notabilă: +/- 1,50.
RB-ESPRIT
Fig.2.21. Rezultat al simulării repetate RB-ESPRIT (SNR=-10).
80
Ca şi în cazul SNR=0, se poate observa acea mică discrepanţă faţă de
algoritmii anteriori. Diferenţa între precizia celorlalte metode la aceasta valoare a
SNR-ului este relevantă, chiar şi comparativ cu precizia acestei metode la SNR=0:
+/- 4,07.
…
Ca şi concluzie, se poate afirma că metoda R-ESPRIT prezintă cele mai
bune estimări ale unghiului de incidenţă - la valori ale lui SNR scăzute; metodele
TLS-ESPRIT şi TAM sunt cu valori acceptabile, comparativ cu metoda R-ESPRIT.
Cele ce prezintă acurateţea cea mai scăzuta sunt LS-ESPRIT (care prezintă o eroare
mai ridicată decât, TLS, R şi TAM) şi RB-ESPRIT care prezintă rezultatele cele
mai scăzute la precizia estimării unghiului de incidenţă a semnalului recepţionat.
Algoritm Distanţa
între elemente
SNR Valori
unghiuri reale
Eroarea de
estimare
Înrăutăţirea estimării faţă de varianta SNR=0
LS-ESPRIT
λ/2 -10 60
+/- 1,85 79,46%
TLS-ESPRIT +/- 1,73 78,04%
TAM +/- 1,73 77,46%
R-ESPRIT +/- 1,5 75,34%
RB-ESPRIT +/- 4,07 89,44%
Tab.2.2. Rezultatele algoritmilor: 8 elemente de antenă (λ/2), SNR=-10, amplitudinea
semnalului 1, sursa statică
Cazul 3
Valori de plecare: sir liniar de antene, cu 8 elemente distanţate egal între ele
cu λ/2; valoarea SNR= 10, amplitudinea semnalului 1, iar sursa este statică, la 60˚.
Rulând simulări repetate (300) pentru fiecare algoritm, rezultatele arată în felul
următor:
81
LS-ESPRIT
Fig.2.22. Rezultat al simulării repetate LS-ESPRIT (SNR=10).
Valoarea erorii este foarte bună: +/- 0,13.
TLS- ESPRIT
Fig.2.23. Rezultat al simulării repetate T LS-ESPRIT (SNR=10).
Valoarea erorii este foarte bună: +/- 0,15.
82
TAM
Fig.2.24. Rezultat al simulării repetate TAM (SNR=10).
Îmbunătăţirea semnificativă se poate observa şi în acest caz: +/- 0,10.
R-ESPRIT
Fig.2.25. Rezultat al simulării repetate R-ESPRIT (SNR=10).
Îmbunătăţirea semnificativă se poate observa şi în acest caz: +/- 0,08.
83
RB-ESPRIT
Fig.2.26. Rezultat al simulării repetate RB-ESPRIT (SNR=10).
Îmbunătăţirea cea mai semnificativă se poate observa în cazul modelului
RB-ESPRIT. Comparativ cu varianta în care SNR=0, estimarea oferită de către
RB-ESPRIT are o eroare de +/- 0,08.
…
Ca şi concluzie, se poate spune că metoda R-ESPRIT şi RB-ESPRIT
prezintă cele mai bune estimări ale unghiului de incidenţă, rezultate la valori ale lui
SNR ridicate; metodele LS-ESPRIT, TLS-ESPRIT şi TAM au, la fel, valori bune.
De menţionat este faptul ca RB-ESPRIT prezintă cea mai bună îmbunătăţire
faţă de cazul SNR=0, şi oferă chiar estimări mai bune decât R-ESPRIT cu câteva
procente.
Valorile propriu zise se pot vedea în următorul tabel:
84
Algoritm Distanţa
între elemente
SNR Valori
unghiuri reale
Eroarea de
estimare
Îmbunătăţirea estimării faţă de varianta
SNR=0
LS-ESPRIT
λ/2 10 60
+/- 0,13 65,79%
TLS-ESPRIT +/- 0,15 60,53%
TAM +/- 0,10 74,36%
R-ESPRIT +/- 0,08 78,38%
RB-ESPRIT +/- 0,08 81,4%
Tab.2.3. Rezultatele algoritmilor: 8 elemente de antena (λ/2), SNR=10, amplitudinea
semnalului 1, sursa statica
Statistică:
Precizia în mai multe situaţii de SNR, este prezentată în graficul următor:
Fig.2.27. Rezultat al simulării repetate pentru valori diferită ale SNR = [-10,10], unghi de
incidenţă 60˚
85
Cazul 4
În acest caz vom analiza răspunsul modelelor la unghiuri de incidenţă foarte
mici. Am executat simulări la metodele prezentate până acum în diferite situaţii de
SNR, iar unghiul considerat este 15˚; restul valorilor rămân la fel: sir liniar de
antene, cu 8 elemente distanţate egal între ele cu λ/2; amplitudinea semnalului 1,
iar sursa este statică. Am rulat simulări repetate (300) pentru fiecare algoritm iar
rezultatele arată în felul următor:
Fig.2.28. Rezultat al simulării repetate pentru valori diferite ale SNR = [-10,10], unghi de
incidenţă 15˚
Se poate observa faptul că, deşi tendinţa fiecărei metode la diferite valori
ale SNR-ului este aproape identică atât în situaţia unghiurilor mai mari cât şi în
acelora mai mici (in cazul de faţă 15˚), precizia (valorile erorilor), mai ales la SNR
de valori scăzute, este mult mai bună.
86
Cazul 5
În acest caz am analizat răspunsul modelelor în cazul în care numărul
elementelor de antena creşte la dublul valorii de până acum utilizată, adică de la 8
la 16; restul valorilor rămân la fel: sir liniar de antene, elemente distanţate egal
între ele cu λ/2; amplitudinea semnalului 1, iar sursa este statică, la un unghiul
considerat la 60˚. Rulând simulări repetate (300) pentru fiecare algoritm rezultatele
arată în felul următor:
Algoritm Distanţa
între elemente
SNR Valori
unghiuri reale
Eroarea de
estimare
Îmbunătăţirea estimării faţă de varianta cu 8 elemente de
antenă
LS-ESPRIT
λ/2 0 45 şi 60
+/- 0,31 18,42%
TLS-ESPRIT +/- 0,32 15,78%
TAM +/- 0,1 74,35%
R-ESPRIT +/- 0,09 75,67%
RB-ESPRIT +/- 0,12 72,09%
Tab.2.4. Rezultatele algoritmilor: 16 elemente de antena (λ/2), SNR=0, amplitudinea
semnalului 1, sursa statică
O îmbunătăţire se observă la toate variantele, dar mai ales pentru ultimele 3
variante în care rezultatele sunt comparabile cu cele obţinute pentru cazul de SNR
foarte bun.
Cazul 6 – URV-ESPRIT
În acest caz voi prezenta separat algoritmul URV, care din punct de vedere
al preciziei la surse statice a prezentat cele mai bune valori.
Exemplele prezentate în descrierea metodei au subliniat acest lucru: aceasta
metodă prezintă, la aceeaşi parametrii de început (ca şi restul metodelor), rezultate
aproape fără erori de estimare.
87
Simulări, la aceasta metodă, s-au executat şi în privinţa surselor dinamice.
Ex.1. în acest exemplu am considerat valorile de plecare, 32 elemente de
antenă distanţate egal între ele cu λ/2 cu amplitudinea semnalelor la valoare 1, iar
semnalul recepţionat şi prelucrat a fost cu zgomot. în acest context prima simulare
s-a rulat cu 4 surse (3 statice şi una în mişcare, dar fără să se intersecteze cu cele
statice). Rezultatele arată în felul următor:
Fig.2.29. Rezultat al simulării URV-ESPRIT, 32 elemente de antena, 4 surse, 1 sursa dinamica
şi 3 surse statice
Valorile de unghi pentru sursele statice sunt relativ exacte, cu o eroare de
0.26%, adică valoarea estimată este valoarea reală +/- 0.26%.
Dacă ne concentrăm asupra sursei în mişcare, se poate observa modificări la
acurateţea algoritmului: se poate observa o acurateţe scăzută la unghiuri mici (în
cazul de faţă sub 7˚), şi mai ridicată, chiar foarte bună, la unghiuri mai mari (în
cazul de faţă peste 7˚).
88
Fig.2.30. Rezultat al simulării URV-ESPRIT. Eşantioanele roşii reprezintă valorile reale, iar
eşantioanele albastre reprezintă valorile estimate (exemplu punctual)
Rezultatele obţinute pentru sursa în mişcare în urma simulărilor prezintă o
acurateţe de 0.38%, adică valoarea estimată este valoarea reală +/- 0.38%, pentru
valorile de unghi mai mare (în cazul de faţă peste 7˚). Pentru unghiuri mai mici (în
cazul de faţă sub 7˚), acurateţea este de 13.08%, adică valoarea estimată este
valoarea reală +/- 13.08%.
În cazul în care numărul elementelor de antenă este redus la 8 sau 16,
acurateţea algoritmului este mult scăzută, neputându-se estima corect nici
sursele statice nici cel dinamic.
Ex.2. în acest exemplu am considerat valorile de plecare, 32 elemente de
antenă distanţate egal între ele cu λ/2 cu amplitudinea semnalelor la valoare 1, iar
semnalul recepţionat şi prelucrat a fost cu zgomot. În acest context prima simulare
s-a executat cu 4 surse, toate dinamice, rezultatele arată în felul următor:
89
Fig.2.31. Rezultat al simulării URV-ESPRIT, 32 elemente de antenă, 4 surse dinamice
Dacă ne concentrăm asupra surselor, separat putem calcula precizia metodei
în acest caz, în care toate sursele sunt în mişcare.
Prima sursă:
Fig.2.32. Rezultat al simulării URV-ESPRIT, prima sursă
90
A doua sursă:
Fig.2.33. Rezultat al simulării URV-ESPRIT, a doua sursă
.
A treia sursă:
Fig.2.34. Rezultat al simulării URV-ESPRIT, a treia sursă
91
A patra sursă:
Fig.2.35. Rezultat al simulării URV-ESPRIT, a patra sursă
Observând figurile de mai sus, extrase pentru fiecare sursă în parte, putem
afirma următoarele:
• Prima sursă: rezultatele obţinute pentru prima sursă în mişcare în urma
simulărilor prezintă o acurateţe de 3.53%, adică valoarea estimată este
valoarea reală +/- 3.53%.
• A doua sursă: rezultatele obţinute pentru a doua sursă în mişcare sunt
destul de slabe. În urma simulărilor prezintă o acurateţe de doar
25,64%. Acest fapt se explică prin faptul că estimarea în punctul în care
aceasta sursă s-a intersectat cu o altă sursă în mişcare (în acest caz sursa
1), estimarea s-a făcut cu o eroare mare, ceea ce a influenţat şi media
finală, în sensul alterării valorilor.
• A treia sursă: rezultatele obţinute pentru a treia sursă în mişcare în urma
simulărilor prezintă o acurateţe de 1.14%, adică valoarea estimată este
valoarea reală +/- 1.14%. Un rezultat foarte bun, de altfel.
• A patra sursă: rezultatele obţinute pentru a patra sursă în mişcare în
urma simulărilor prezintă o acurateţe de 0.12%, adică valoarea estimată
92
este valoarea reală +/- 0.12%.
În cazul în care numărul elementelor de antenă este redus la 8 sau 16,
acurateţea algoritmului este mult scăzută, neputându-se estima corect nici
sursele statice nici cele dinamice.
URV-ESPRIT prezintă cea mai buna soluţie, în comparaţie cu celelalte
metode prezentate, deoarece în cazul surselor statice, are o precizie mult ridicată.
Aceasta soluţie prezintă o precizie ridicată şi în cazul surselor în mişcare (aproape
la aceeaşi nivel ca şi celelalte metode la estimarea surselor statice), cu mici
probleme în cazul în care sursele se intersectează.
2.5 ANALIZA REZULTATELOR. CONTRIBUŢII
PERSONALE
Algoritmul ESPRIT, şi familia ESPRIT la modul general, a fost dezvoltat
ca şi o metodă îmbunătăţită/alternativă pentru metoda estimării direcţiei de sosire.
În comparaţie cu alţi algoritmi şi alte metode, ESPRIT prezintă anumite avantaje,
printre care cel mai important este faptul că nu necesită calibrarea sistemului de
antene (ceea ce de exemplu în cazul algoritmului MUSIC este obligatoriu).
Metodele prezentate în acest capitol s-au dovedit a fi, unele de o precizie
mai ridicată, altele de o precizie mai scăzută, mai ales în cazul în care nivelul
zgomotului depăşeşte cu mult nivelul semnalului de estimat.
În următorul tabel, se regăsesc toate rezultatele din simulările prezentate în
subcapitolele anterioare; totodată am evidenţiat, pe baza unor comparaţii între
algoritmi, variantele cele mai avantajoase în anumite situaţii de SNR, menţionând
şi posibilităţi de îmbunătăţire pentru fiecare variantă.
93
SNR Rezultate Comparaţii
Posibilităţi de
îmbunătăţire a
rezultatelor T
S-E
SP
RIT
<0
O eroare de
estimare de
aproximativ 1,85% Algoritmul poate
fi considerat ca
având o precizie
de estimare foarte
apropiată de
metodele TAM şi
TLS-ESPRIT
Am executat
simulări în vederea
obţinerii unor
rezultate mai bune
pentru acest algoritm
prin creşterea
numărului de
elemente de antenă.
Rezultate mult
îmbunătăţite la
SNR=0: 0,31%
0
O eroare de
estimare de
aproximativ 0,38%
>0
O eroare de
estimare de
aproximativ 0,13%
TL
S-E
SP
RIT
<0
O eroare de
estimare de
aproximativ 1,73% Algoritmul poate
fi considerat ca
având o precizie
de estimare foarte
apropiată de
metodele TAM şi
LS-ESPRIT
Am executat
simulări în vederea
obţinerii unor
rezultate mai bune
pentru acest algoritm
prin creşterea
numărului de
elemente de antenă.
Rezultate mult
îmbunătăţite la
SNR=0: 0,32%
0
O eroare de
estimare de
aproximativ 0,38%
>0
O eroare de
estimare de
aproximativ 0,15%
TA
M
<0
O eroare de
estimare de
aproximativ 1,73% Algoritmul poate
fi considerat ca
având o precizie
de estimare foarte
apropiată de
metodele LS-
ESPRIT şi TLS-
ESPRIT
Am executat
simulări în vederea
obţinerii unor
rezultate mai bune
pentru acest algoritm
prin creşterea
numărului de
elemente de antenă.
Rezultate mult
îmbunătăţite la
SNR=0: 0,1%
0
O eroare de
estimare de
aproximativ 0,39%
>0
O eroare de
estimare de
aproximativ 0,1%
R-E
SP
RIT
<0
O eroare de
estimare de
aproximativ 1,5%
Cea mai bună
metodă din grupul
analizat în referat,
prezentând
rezultate bune în
orice valoare de
SNR.
Am executat
simulări în vederea
obţinerii unor
rezultate mai bune
pentru acest algoritm
prin creşterea
numărului de
0
O eroare de
estimare de
aproximativ 0,37%
94
>0
O eroare de
estimare de
aproximativ 0,08%
elemente de antenă.
Rezultate mult
îmbunătăţite la
SNR=0: 0,09% R
B-E
SP
RIT
<0
O eroare de
estimare de
aproximativ 4,03%
Un algoritm ce la
SNR=0 este
comparabil cu
oricare dintre
celelalte metode,
dar prezintă
estimări cu erori
ridicate la zgomot
mare. Cu toate
acestea, la zgomot
mic, estimările
făcute de acest
algoritm sunt mai
bune decât
estimările
celorlalte metode.
Am executat
simulări în vederea
obţinerii unor
rezultate mai bune
pentru acest algoritm
prin creşterea
numărului de
elemente de antena.
Rezultate mult
îmbunătăţite la
SNR=0: 0,12%
0
O eroare de
estimare de
aproximativ 0,43%
>0
O eroare de
estimare de
aproximativ 0,08%
Tab.2.5. Analiza comparativă a algoritmilor prezentate
Urmărind tabelul de mai sus se poate concluziona că performanţele
algoritmilor sunt apropiate în cazul SNR=0 şi performanţe de valori aproape
identice în cazul când SNR creşte peste 0. Discrepanţele mai evidente apar în
momentul când SNR este sub valoarea 0, caz în care anumiţi algoritmi au
performanţe mai bune alţii mai slabe. Totodată, introducând mai multe elemente de
antenă, performanţele se modifică discrepant: îmbunătăţiri semnificative în anumite
cazuri iar în altele mai puţin.
Astfel cei cinci algoritmi sunt ideali pentru a estima DoA semnalelor de
interes în pregătire a valorilor de intrare pentru beamformerului adaptiv, asigurând
că performanţele acestuia vor fi clare, iar corelaţia între algoritmii de estimare şi
beamformer va fi cât se poate de evident.
Algoritmul ESPRIT s-a dezvoltat în ideea estimării cât mai exacte a
direcţiei de sosire a semnalelor şi s-a dovedit a fi mai util decât multe alte metode
similare.
95
CAPITOLUL 3
BEAMFORMING. BEAMFORMERUL ADAPTIV
3.1 NOŢIUNI DE BAZĂ
Beamformingul este tehnică de prelucrare de semnal utilizată în sisteme
de antenă pentru transmiterea semnalului direcţionat sau de recepţie a unui
semnal. Acest lucru este realizat prin combinarea elementelor din sistemul de
antenă astfel încât semnale din anumite unghiuri sunt supuse unor interferenţe,
aşa zise constructive, iar altele unor interferenţe distructive. Beamformingul
poate fi folosit atât la transmiterea cât şi la recepţionarea semnalelor, în scopul
de a realiza selectivitatea spaţială. Îmbunătăţirea faţă de recepţia/transmisia
omnidirecţională este cunoscut sub numele de câştig (sau pierdere) de
transmisie/recepţie.
Beamformingul poate fi folosit în cazul undelor radio sau a undelor
acustice. S-au găsit numeroase aplicaţii pentru această tehnică în radar, sonar,
seismologie, comunicaţii fără fir, astronomie radio, acustică, şi biomedicină.
Beamformingul adaptiv este folosit pentru detectarea şi estimarea unui semnal
de interes, la ieşirea dintr-un sistem de antene, prin intermediul filtrării spaţiale
optime şi prin respingerea interferenţelor.
96
Tehnici de beamforming
Beamformingul profită de interferenţe pentru a schimba caracteristica
sistemului de antenă. Când se transmite, un beamformer controlează faza şi
amplitudinea relativă a semnalului de la fiecare transmiţător, în scopul de a crea
un model de interferenţă constructivă şi distructivă în frontul de undă. Când se
recepţionează, informaţiile de la diferiţi senzori se combină într-un mod în care
caracteristica radiaţiei este preferenţială pentru partea de recepţie.
Astfel, în sistemele de bandă îngustă, întârzierile sunt echivalente cu un
"decalaj de fază"; deci în acest caz sistemul de antenă, în care fiecare element
este defazat într-o manieră unică şi puţin diferită unul faţă de celălalt, se
numeşte un sistem de antena de fază.
În beamformerul de recepţie, semnalul de la fiecare antenă poate fi
amplificat printr-o altă "pondere". Diferite modele de ponderi (de exemplu,
Dolph-Chebyshev) pot fi folosite pentru a realiza modelele dorite. Un lob
principal este realizat împreună cu nuluri şi lobi secundari. Controlul se poate
face atât a lăţimii lobului principal (fază) şi a nivelelor de lob secundar, cât şi
poziţia de nul. Acest lucru este util pentru a ignora interferenţele dintr-o
anumită direcţie, în timp ce se observă semnale dintr-o altă direcţie.
Tehnicile de beamforming pot fi, în general, împărţite în două categorii:
• convenţionale
• beamformeri adaptivi
o Maximizarea semnalului dorit
o Minimizarea interferenţelor sau eliminarea acestora
În cele ce urmează ne vom orienta spre beamformerul adaptiv - mai
concret pe sub-categoria care se axează pe maximizarea semnalului dorit - şi
analiza acestui tip în legătura cu algoritmii de estimare prezentaţi anterior.
97
3.2 BEAMFORMING ADAPTIV
Un design general de beamformer [WHK,03] se poate observa în figura
următoare:
Fig.3.1. Beamformer generic
Considerăm o sursă punctuală de semnal dc(t) localizat în punctul p
într-un mediu cu propagări multiple şi în prezenţa interferenţei local de bandă
largă nc(t). nc(t) include şi reflexiile semnalului dorit. Cei M senzori
eşantionează unda în pm locaţii în momentele kT, unde k este indexul de timp
discret iar T reprezintă perioada de eşantionare (T=1/(2B) unde B reprezintă
lăţimea de banda a semnalului dorit). Definim dm(k) componentă a semnalului
la al m-lea senzor, ceea ce ajunge pe cale directă la acest senzor:
dm(k) = dc (kT -τm) (3.1)
unde τm = |p-pm|/c reprezintă întârzierea de propagare dintre sursă şi al m-lea
senzor. Cu zgomotul adiţional provenit de la senzor, nu,m(k), contribuţia de
interferenţă al senzorului m este reprezentată în următoarea ecuaţie
98
nm(k) = nc,m(kT) + nu,m(k) (3.2)
Astfel semnalul de la senzorul m se poate scrie în felul următor:
xm(k) = dm(k) + nm(k) (3.3)
Ieşirea beamformerului se obţine din convoluţia informaţiilor de la
senzori cu răspunsurile filtrul FIR variabil în timp şi însumarea acestora.
y(k) = wT (k)x(k) = wT (k) (d(k) + n(k)) (3.4)
unde cele M filtre ataşate beamformerilor de lungime N, wm(k), sunt combinate
într-un vector de M Nx1,
w(k) = (wT1(k), wT
2(k), . . . , wTM(k))T (3.5)
iar vectorul N x 1, wm(k), conţine cele N ponderi,
wm(k) = (w0,m(k); w1,m(k), . . . , wN-1,m(k))T (3.6)
Ţinând cont de acestea, putem introduce vectorii de informaţie:
xm(k) = (xm(k), xm(k - 1), . . . , xm(k - N + 1))T (3.7)
x(k) = (xT1 (k), xT
2 (k), . . . , xTM(k))T (3.8)
dm(k) = (dm(k), dm(k - 1), . . . , dm(k - N + 1))T (3.9)
d(k) = (dT1 (k), dT
2 (k), . . . , dTM(k))T (3.10)
nm(k) = (nm(k), nm(k - 1), . . . , nm(k - N + 1))T (3.11)
n(k) = (nT1 (k), nT
2 (k), . . . , nTM(k))T (3.12)
Dacă vectorul w(k) este ortogonală vectorului x(k), atunci Y(k) este
egală cu zero, iar semnalele sunt suprimate. Dacă x(k) este în spaţiul vectorial
acoperit de w(k), semnalele sunt transmise. Beamformerul optim de date este
astfel conceput încât:
• d(k) este în spaţiul acoperit de w(k) ("beamsteering")
• N(k) este ortogonală cu w(k) ("suprimarea interferenţelor").
99
Beamformerul este orientat către o poziţie specifică p dacă ponderile
filtrului, w(k), echivalează întârzierile de propagare τm, Δm, astfel încât
semnalul dorit este aliniat în timp în toate canalele de senzori, ceea ce conduce
la suprapunerea coerentă a semnalului dorit de la ieşirea beamformer. În
general, aceste egalizări de întârzieri sunt multipli perioadei de eşantionare T.
3.3 PERFORMANŢELE BEAMFORMERULUI ADAPTIV
În acest subcapitol am considerat semnale statice, ceea ce va permite
diferite tipuri de măsurători de performanţă precum şi diferite tipuri de
procesare ale şirurilor de antene.
Astfel am considerat o sursă de semnal, cu semnalul dc(t) ce se propagă
ca şi o undă având frecvenţa ω şi lungimea de undă λ
𝒌 =𝟐𝝅
𝝀𝒂(𝜽,𝝓) =
𝝎
𝒄𝒂(𝜽,𝝓) (3.13)
unde 𝒂(𝜽, 𝝓) este vectorul unitate având coordonatele ( 𝒓 = 𝟏, 𝜽, 𝝓 )
reprezentând direcţia de propagare (Fig .3.2).
Fig.3.2. Sistem de coordonate cu un sistem de antene liniar amplasat de-a lungul axei z şi centrat în
origine
100
Valoarea lui k nu este dependentă de poziţia senzorului dat fiind punctul
iniţial de prezumţie a unei unde plane. Daca d(k) = dc(kT) este semnalul
recepţionat în origine, valoarea întârzierilor de propagare dintre senzori se
poate obţine prin
𝝉𝒎 = 𝒂𝑻(𝜽,𝝓)𝒑𝒎
𝒄 (3.14)
Iar componenta semnalului dorit, dm(k) se poate scrie
𝒅𝒎(𝒌) = �̂�𝒆𝒙𝒑{𝒋(𝝎𝒌𝑻 − 𝒌𝑻𝒑𝒎)} (3.15)
unde 𝑫⏞ este amplitudinea undei.
Pentru definirea performanţelor, ce depind doar de direcţia undei,
geometria sistemului de antene şi ponderile senzorilor, dar nu şi de interferenţe,
considerăm semnalul normalizat şi fără prezenţa interferenţelor.
Astfel transformăm ecuaţia (3.4) în domeniul timp utilizând
transformata Fourier în timp-discret, DTFT. Cu ecuaţia (3.1) vom avea
transformata Fourier pentru dm(k):
𝑫𝒎(𝝎) = ∑ 𝒅𝒎(𝒌)𝒆𝒙𝒑{−𝒋𝝎𝒌𝑻} = �̂�𝒆𝒙𝒑{−𝒋𝒌𝑻𝒑𝒎}
∞𝒌=−∞ (3.16)
Iar transformata pentru wm
𝑾𝒎(𝝎) = ∑ 𝒘𝒊,𝒎(𝒌)𝒆𝒙𝒑{−𝒋𝝎𝒊𝑻}𝑵−𝟏𝒊=𝟎 (3.17)
unde pentru componenta wm(k) s-a renunţat la dependenţa de k în prisma
caracterului staţionar al datelor de senzor.
Definind
wF(ω) = (W1(ω), W2(ω), …, WM(ω))H (3.18)
v(ω,k) = (exp(jωτ1), exp(jωτ2), …, exp(jωτM))H =
= (exp(jkTp1), exp(jkTp2), …, exp(jkTpM))H (3.19)
101
Putem obţine transformata Fourier pentru y(k):
𝒀(𝝎, 𝒌) = 𝒘𝑭𝑯(𝝎)𝒗(𝝎, 𝒌) (3.20)
unde v(ω,k) este vectorul de direcţie ceea ce cuprinde geometria sistemului de
antene şi direcţia de sosire al semnalului dorit. Y(ω,k) reprezintă răspunsul
beamformerului. Acesta descrie ponderea complexă a undei de intrare cu
lungimea de undă k şi frecvenţa temporală ω. Modelul de undă se defineşte în
felul următor:
𝑩(𝝎; 𝜽,𝝓) = 𝒀(𝝎, 𝒌) (3.21)
Cu 𝜽 ∈ [𝟎; 𝝅], 𝝓 ∈ [𝟎; 𝟐𝝅] . Modelul de putere 𝑷(𝝎;𝜽,𝝓) =
|𝒀(𝝎; 𝜽,𝝓)|𝟐 este magnitudinea modelului de undă la pătrat. Figura următoare
(Fig.3.3) arată un exemplu de model de putere pentru un sistem de antene cu
distanţă egală între senzori (λ/2), cu numărul de elemente M, şi Wm(ω) = 1/M,
∀ 𝑴. Valoarea lui θ este π/2 iar modelul de putere 𝑷(𝝎;𝜽, 𝝓) este independent
de coordonata 𝝓 datorită simetriei rotaţionale ale sistemului de antene raportat
la axa z.
Fig.3.3. Model de putere
102
Din modelul de putere putem extrage două măsuri de performanţă, ce
sunt des utilizate ca şi criterii pentru beamforming:
• Peak-to-zero distance, reprezentând măsura lăţimii de lob principal
• Relative sidelobe level, reprezentând diferenţa între nivelul lobului
principal şi nivelul celui mai înalt lob secundar.
3.4 SIMULĂRILE BEAMFORMERULUI ADAPTIV APLICAT
REZULTATELOR EXECUTĂRII DIFERITELOR ALGORITMI DE
ESTIMARE
În acest capitol, pentru a evidenţia performanţele beamformerului adaptiv
aplicat metodelor de estimare a direcţiei de sosire a semnalelor, am comparat
rezultatele pentru fiecare algoritm în parte.
În prezentarea simulărilor din capitolul precedent, la fiecare metodă am
folosit un sir liniar de antene, cu 8 elemente distanţate egal intre ele cu λ/2; toate
sursele au fost considerate statice. Aici am crescut numărul elementelor la 16.
Cazul 1
Valori de plecare: sir liniar de antene, cu 16 elemente distanţate egal între
ele cu λ/2; sursa de estimat şi pe care trebuie să se caleze beamformerul s-a
considerat în origine. Rulând algoritmii ESPRIT în combinaţie cu beamformerul
adaptiv, am obţinut următoarele rezultate:
103
LS-ESPRIT
Fig.3.4. Rezultat al simulării repetate LS-ESPRIT (fără interferenţă).
Valoarea RSL este de 13.2dB iar valoarea PD este aproximativ 7.4 grade.
TLS- ESPRIT
Fig.3.5. Rezultat al simulării repetate T LS-ESPRIT (fără interferenţă).
Valoarea RSL este de 13.12dB iar valoarea PD este aproximativ 7.5 grade.
104
TAM
Fig.3.6. Rezultat al simulării repetate TAM (fără interferenţă).
Valoarea RSL este de 13.18dB iar valoarea PD este aproximativ 7.4 grade.
R-ESPRIT
Fig.3.7. Rezultat al simulării repetate R-ESPRIT (fără interferenţă).
Valoarea RSL este de 13.22dB iar valoarea PD este aproximativ 7.4 grade.
105
RB-ESPRIT
Fig.3.8. Rezultat al simulării repetate RB-ESPRIT (fără interferenţă).
Valoarea RSL este de 13.28dB iar valoarea PD este aproximativ 6.8 grade.
Cazul 2
Valori de plecare: sir liniar de antene, cu 16 elemente distanţate egal între
ele cu λ/2; sursa de estimat şi pe care trebuie să se caleze beamformerul s-a
considerat în origine iar la 60 de grade se consideră o a doua sursă de semnal ce se
consideră a fi interferenţă. Rulând algoritmii ESPRIT în combinaţie cu
beamformerul adaptiv, am obţinut următoarele rezultate:
106
LS-ESPRIT
Fig.3.9. Rezultat al simulării repetate LS-ESPRIT (interferenţă la 60˚).
Valoarea RSL este de 13.19dB iar valoarea PD este aproximativ 7.4 grade.
TLS- ESPRIT
Fig.3.10. Rezultat al simulării repetate T LS-ESPRIT (interferenţă la 60˚).
Valoarea RSL este de 13.18dB iar valoarea PD este aproximativ 7.5 grade.
107
TAM
Fig.3.11. Rezultat al simulării repetate TAM (interferenţă la 60˚).
Valoarea RSL este de 13.18dB iar valoarea PD este aproximativ 7.4 grade.
R-ESPRIT
Fig.3.12. Rezultat al simulării repetate R-ESPRIT (interferenţă la 60˚).
Valoarea RSL este de 13.22dB iar valoarea PD este aproximativ 7.4 grade.
108
RB-ESPRIT
Fig.3.13. Rezultat al simulării repetate RB-ESPRIT (interferenţă la 60˚).
Valoarea RSL este de 13.23dB iar valoarea PD este aproximativ 7.5 grade.
Cazul 3
Valori de plecare: sir liniar de antene, cu 16 elemente distanţate egal între
ele cu λ/2; sursa de estimat şi pe care trebuie să se caleze beamformerul s-a
considerat în origine iar la 15 de grade se consideră o a doua sursă de semnal ce se
consideră a fi interferenţă. Rulând algoritmii ESPRIT în combinaţie cu
beamformerul adaptiv, am obţinut următoarele rezultate:
109
LS-ESPRIT
Fig.3.14. Rezultat al simulării repetate LS-ESPRIT (interferenţă la 15˚).
Valoarea RSL este de 12.47dB iar valoarea PD este aproximativ 7.4 grade.
TLS- ESPRIT
Fig.3.15. Rezultat al simulării repetate T LS-ESPRIT (interferenţă la 15˚).
Valoarea RSL este de 12.53dB iar valoarea PD este aproximativ 7.5 grade.
110
TAM
Fig.3.16. Rezultat al simulării repetate TAM (interferenţă la 15˚).
Valoarea RSL este de 12.54dB iar valoarea PD este aproximativ 7.4 grade.
R-ESPRIT
Fig.3.17. Rezultat al simulării repetate R-ESPRIT (interferenţă la 15˚).
Valoarea RSL este de 12.51dB iar valoarea PD este aproximativ 7.4 grade.
111
RB-ESPRIT
Fig.3.18. Rezultat al simulării repetate RB-ESPRIT (interferenţă la 15˚).
Valoarea RSL este de 12.57dB iar valoarea PD este aproximativ 7.4 grade.
Cazul 4
Am considerat aceeaşi valori de plecare; se schimbă doar interferenţa care
este considerată la 5 de grade. Am introdus un nou parametru de estimarea calităţii
beamformerului: precizia de calare pe frecvenţa estimata (PCF).
În urma simulărilor am observat că interferenţa considerată la 5 grade
introduce o deplasare a lobului principal cu o valoare notată cu PCF. Datorită
acestui deplasament, precizia calării este afectată într-un mod negativ, astfel lobul
principal nu mai este centrat pe sursa emiţătoare a semnalului de interes. Cu toate
acestea, există un mecanism în secvenţa beamformerului care compensează acest
efect prin îngustarea lobului principal. Deci valoarea PCF este de fapt o deplasare
de valoare minimă, fiind adusă la această valoare de acest mecanism. Fără
implementarea acestui mecanism, deplasamentul ar avea valori mult mai mari.
112
LS-ESPRIT
Fig.3.19. Rezultat al simulării repetate LS-ESPRIT (interferenţă la 5˚).
Valoarea RSL este de 6dB, PD este 5.72˚ iar valoarea PCF este 1.14˚.
TLS- ESPRIT
Fig.3.20. Rezultat al simulării repetate T LS-ESPRIT (interferenţă la 5˚).
Valoarea RSL este de 8.3dB, PD este 6.87˚ iar valoarea PCF este 0.57˚.
113
TAM
Fig.3.21. Rezultat al simulării repetate TAM (interferenţă la 5˚).
Valoarea RSL este de 7.3dB, PD este 6.3˚ iar PCF este 1.14˚.
R-ESPRIT
Fig.3.22. Rezultat al simulării repetate R-ESPRIT (interferenţă la 5˚).
Valoarea RSL este de 7.7dB, PD este 6.3˚ iar PCF este 1.1˚.
114
RB-ESPRIT
Fig.3.23. Rezultat al simulării repetate RB-ESPRIT (interferenţă la 5˚).
Valoarea RSL este de 6.6dB, PD este 6.3˚ iar PCF este 1.1˚.
3.5 ANALIZA REZULTATELOR. CONTRIBUŢII PERSONALE
Performanţele beamformerului adaptiv sunt clar vizibile în rezultatele de
mai sus.
Lăţimea lobului principal, deci exactitatea calării, se modifică prin
adăugarea a mai multor elemente de antenă. În acest caz cele 16 elemente oferă o
calitate foarte bună.
În cazul în care aplicăm beamformerul rezultatelor algoritmilor fără
prezenţa interferenţei, rezultatele sunt aproape identice cu rezultatele în prezenţa
unei interferenţe îndepărtate.
115
Tab.3.1. Analiza comparativă a valorilor obţinute în subcapitolul 3.4
În tabelul de mai sus sunt trecute cele 3 scenarii în care semnalul de interes
apare în paralel cu o interferenţă de aceeaşi magnitudine. Valorile de referinţă sunt
cele din primul grup (sursa la 0˚ şi interferenţa la 60˚).
În cazul următoarelor 2 scenarii am introdus două valori adiţionale,
reprezentând diferenţele dintre valorile de referinţă şi valorile obţinute în scenariul
aferent. Ca şi exemplu, considerăm scenariul în care interferenţa este la 15˚ şi
coloana LS-ESPRIT: valorile de referinţă RSL = RSL* = 13.19 şi PD = PD* = 7.4;
valorile obţinute în acest scenariu sunt RSL** = 12.47 şi PD** = 7.4; ca urmare
valorile diferenţelor intervenite în acest scenariu vor fi ER_RSL* = RSL* - RSL**
= 5.46 iar ER_PD* = PD* - PD** = 0.
Erorile simţitoare intervin în momentul în care interferenţa este mai
apropiată de sursa pe care se calează beamformerul. Se poate observa o diminuare
a capacităţii de calare a beamformerului adaptiv cu aproximativ 5% la fiecare tip de
algoritm; există mici diferenţe însă, cum ar fi în cazul algoritmilor LS-ESPRIT şi
R-ESPRIT unde aceste valori tind spre 5,5%.
În cazul în care interferenţa este foarte apropriată de sursa de interes,
capacitatea de calare a beamformerului adaptiv se deteriorează simţitor faţă de
cazul în care interferenţa este îndepărtată. Valorile sunt în vecinătatea a 40% până
la peste 50%, dacă considerăm distanţa între lobul principal şi lobul secundar.
Rezultatele cele mai bune în acest sir le prezintă scenariul cu TLS-ESPRIT.
116
Verificând în acest caz lăţimea lobului principal, am observat că
beamformerul adaptiv scade lăţimea lobului, astfel încât corectitudinea calării să fie
ajutată. Cu toate acestea, apare o mică eroare de calare: maximul lobului nu mai
este calat pe semnalul de interes, ci apare o mică defazare. În fiecare caz apare
aceasta eroare. S-ar putea deci concluziona că de fapt îngustarea lobului este
provocata de acea eroare. Dar nu este aşa. Îngustarea lobului este o consecinţă a
mecanismului din cadrul beamformerului care intervine în cazurile în care
interferenţa deteriorează capacitatea de calare a beamformerului. Prin îngustarea
lobului se încearcă menţinerea capacităţii de calare.
Tab.3.2. Valorile PCF obţinute în cazul celor cinci variante de algoritmi
Deşi beamformerul adaptiv are performanţe bune atunci când se consideră o
sursă şi o interferenţa mai îndepărtată, atunci când aceasta interferenţa devine
foarte apropiată sursei de interes, precizia de calare se strică. Cu toate acestea,
mecanismul din cadrul beamformerului adaptiv încearcă aplicarea unei corecţii prin
îngustarea lobului principal, calat pe sursa de interes.
Astfel putem concluziona faptul că:
• Beamformerul prezintă performanţe similare în cazul fiecărui algoritm
de estimare
• Mecanismul de adaptivitate, în cazul în care interferenţa este foarte
aproape de semnalul de interes, intervine în cazul fiecărui scenariu în
acelaşi mod, cu acelaşi acurateţe
• Diferenţa majoră intervine la acurateţea algoritmului DoA utilizat de a
estima sursele de semnal; cu cât estimarea este mai corectă cu atât
beamformerul poate forma mai exact fascicula
117
• Putem concluziona faptul că performanţele beamformerului adaptiv cu
capacitatea de estimare DoA nu sunt cu nimic deasupra variantei fără
capacitatea de estimare dar folosit în combinaţie cu un algoritm de
estimare
• Cu toate că algoritmii de estimare descrişi prezintă diferite performanţe
în diferite situaţii de SNR, dacă se cunoaşte valoarea SNR se poate alege
algoritmul care are performanţele cele mai bune.
118
CAPITOLUL 4
CONTRIBUŢII PERSONALE ŞI CONCLUZII
În acest capitol am trecut în revistă contribuţiile încapsulate în capitolele
anterioare. Scopul urmărit de-a lungul tezei a fost capabilitatea fiecărui algoritm
descris, în principal ca şi sursă de estimare pentru beamformerul adaptiv, asociat la
fiecare algoritm în parte pentru formarea modelului de putere, deci a lobului
principal şi cei secundari.
Primul capitol conţine informaţiile introductive ale sistemelor de antene,
creând baza simulărilor şi calculelor din următoarele capitole.
Capitolul 2
În acest capitol am analizat, prin simulare, performanţele fiecărui algoritm
din familia ESPRIT în diferite situaţii de SNR: +10, 0, 10. Ţinând cont de punctele
de plecare identice pentru fiecare algoritm (două surse de semnal la 45˚ şi 60˚,
număr de elemente, SNR, distanţa dintre elemente, amplitudinea semnalului şi
unghiul de incidenţă) rezultatele au fost cât se poate de apropriate pentru SNR = 0:
119
în afară de RB-ESPRIT, toate variantele se încadrează în intervalul +/-0.37 şi +/-
0.39. Algoritmul RB-ESPRIT are o eroare de estimare de +/- 0.43.
Pentru a obţine o imagine cât mai corectă a preciziei fiecărui algoritm,
pentru fiecare dintre ei am rulat 300 de simulări pe un singur semnal, la 60˚. Ca
urmare a acestor simulări valorile pe care le-am obţinut se compară cu valorile
menţionate anterior pentru două semnale. În afară de RB-ESPRIT, toate variantele
prezintă aproximativ aceeaşi precizie: RB-ESPRIT schiţează precizia cea mai
scăzută.
Crescând însă numărul de elemente, aceasta capabilitate se îmbunătăţeşte
simţitor ajungând pentru RB-ESPRIT la +/-0.12, deci o îmbunătăţire de 72%.
Considerând acest argument de mărire a numărului de elemente, am observat un
lucru interesant în cazul LS- şi TLS-ESPRIT: îmbunătăţirea în cazul acestor
variante este relativ mică faţă de celelalte variante şi anume de doar până la 18%.
Modificând valoarea de SNR la -10, apar diferenţe mai aparente între
algoritmi. Şi în acest caz RB-ESPRIT prezintă rezultatele cele mai scăzute, eroarea
fiind de +/-4.07, ceea ce înseamnă o înrăutăţire cu 89.5% faţă de SNR=0. în cazul
celorlalte variante, estimările se încadrează între +/-1.5 si +/-1.85, deci înrăutăţirea
faţă de SNR=0 este semnificativă (75%-80%) dar totuşi valorile sunt mai bune
decât în cazul RB-ESPRIT.
Pentru valoarea SNR=10, precizia este, cum era şi de aşteptat, mult mai
bună. Acest set de simulări a fost executat în principal pentru a vedea schimbările
ce intervin în cazul RB-ESPRIT faţă de celelalte variante de ESPRIT. Rezultatul
este evident în cazul RB-ESPRIT: cu mici discrepanţe, identic cu R-ESPRIT
(valoarea de +/- 0.08), şi , surprinzător, mai bun decât TAM, LS- si TLS-ESPRIT,
ale căror valori de estimare se situează peste +/-0.10.
120
Ca şi concluzie generală pot afirma că rezultatele algoritmilor sunt
aproximativ în aceeaşi plajă atunci când SNR este 0.
Am tratat algoritmul URV-ESPRIT separat deoarece capacitatea acestui
algoritm este peste capacitatea celor prezentate anterior. Prin testări am evidenţiat o
estimare aproape perfectă a frecvenţelor, cu teste până la 5 frecvenţe. În momentul
în care sursele devin mobile, capabilitatea estimării este puţin deteriorată dar nu
suficient pentru a înregistra estimări neutilizabile. Acest lucru, în schimb, intervine
atunci când sursele se intersectează.
Capitolul 3:
În acest capitol am introdus elementul de beamforming în cazul fiecărui
algoritm prezentat în capitol anterior. Pentru a observa mai clar evoluţia lobilor
secundari faţă de cel principal, şi mai ales pentru a putea delimita mai cu exactitate
precizia fiecărei simulări, am ales un număr de elemente dublu faţă de situaţiile din
capitolul anterior; de menţionat este faptul că acest lucru nu a afectat într-un mod
negativ relaţia algoritm de estimare şi beamformer adaptiv ci doar precizia
algoritmului de estimare. Acest lucru a avut un beneficiu clar adus acurateţei
fiecărui algoritm; deoarece simulările s-au efectuat prin estimarea a două semnale
la o anumită distanţă unul de celălalt, al doilea semnal l-am considerat ca şi
interferenţă faţă de celalalt nominalizat ca şi semnal de interes (pentru simplitate
semnalul de interes s-a considerat în origine).
În acest caz, estimările celor două semnale au fost mult mai corecte (faţă de
cazul cu elemente de antenă mai puţine), iar precizia beamformerului ataşat
fiecărui algoritm a fost mult mai uşor de evidenţiat, mai ales s-a prezentat mai clar
mecanismul din cadrul beamformerului – mecanism de compensare, într-un anumit
caz a preciziei de calare.
121
Estimările celor două semnale le-am efectuat cu preciziile calculate şi
simulate în capitolul anterior, iar segmentul beamformerului adaptiv l-am folosit
pentru cele două semnale estimate; asta pentru a forma modelul de putere,
considerând semnalul de interes cel din origine iar cel de al doilea semnal ca şi
interferenţă.
Se poate observa că în cazul în care nu există interferenţă, lobul principal se
calează perfect pe semnalul de interes, iar distanţa între maximul lobului principal
şi maximul lobilor secundari este suficient de mare pentru a nu afecta precizia.
Scenariile în care apare interferenţa mai îndepărtată de semnalul de interes
(al doilea semnal la 60˚ respectiv la 15˚), efectele negative sunt aproape
inexistente. Dar în cazul în care avem interferenţa la 15˚, apare o mică creştere a
lobului secundar, astfel diferenţa între maxime scăzând dar nu sub o valoare la care
precizia să fie afectată.
Scenariul în care interferenţa este la 5˚, apare un efect vizibil negativ asupra
lobului principal: lobul secundar creşte, forţând lobul principal sa scadă şi totodată
să se deplaseze, stricând astfel calarea beamformerului. Datorită unui mecanism de
„auto-conservare” al acestui beamformer adaptiv, acest deplasament este
compensat cu o îngustare a lobului principal, ceea ce conferă o creştere a preciziei.
Cu toate că aceasta îngustare nu compensează în totalitate pierderea intervenită
(existând în continuare o deplasare notată cu PCF), ajută totuşi la menţinerea
capabilităţii beamformerului la valori acceptabile.
Pertinent ar fi o comparaţie cu un beamformer cu capabilităţi de estimare
a semnalelor. Beamformerul din aplicaţiile de mai sus utilizează rezultatele
algoritmilor de estimare, până ce un beamformer cu aceste capabilităţi
implementate din start in codul algoritmului nu are nevoie de estimări prealabile.
Cu toate acestea se poate afirma ca diferenţa majora în cazul unei comparaţii va fii
în estimarea frecvenţelor şi nu în formarea fascicolului de undă. Astfel cu cât se
122
estimarea semnalelor este mai corectă, cu atât rezultatul formării de undă va fi mai
bună.
Performanţele beamformerului adaptiv cu capacitatea de estimare DoA nu
prezintă avantaje mult semnificative faţă variantei fără capacitatea de estimare
folosit în combinaţie cu un algoritm de estimare
Cu toate că algoritmii de estimare din familia ESPRIT, descrişi în al doilea
capitol, prezintă diferite performanţe în diferite situaţii de SNR, dacă se cunoaşte
valoarea SNR se poate alege algoritmul care are performanţele cele mai bune.
Astfel în combinaţie cu beamformerul adaptiv prezintă rezultate optime în acel caz
de SNR.
Astfel concluzia principală ce o putem afirma este că beamformerul adaptiv
fără capacitatea de estimare în combinaţie cu algoritmul de estimare adecvat unei
situaţii de SNR prezintă performanţe similare, până la identice, cu beamformerul
adaptiv cu capacitatea de estimare integrat. Deci dacă se alege algoritmul de
estimare adecvat, performanţele rămân constante, ba chiar se poate afirma că în
anumite cazuri mai bune. Indiferent ce algoritmi de estimare se foloseşte, afirmaţia
anterioară rămâne valabilă.
Implementarea practică al acestei combinaţii poate prezenta anumite
dezavantaje de procesare: alegerea între diferitele tipuri de algoritmi de estimare
poate induce timpi de procesare mai mari, totodată rularea fiecărui tip de algoritm
de estimare necesită timpi diferiţi. Cu toate acestea, pentru că evoluţia din zilele
noastre a sistemelor de procesare a ajuns la un nivel în care aceste dezavantaje se
pot elimina fără nici o dificultate, iar potenţialul de a avea o plaja mai mare de
posibilităţi atunci când se doreşte o estimare DoA este foarte importantă, punctul
de vedere prezentat în această teză poate fi considerată ca argumentaţie pentru
implementări de acest tip, deci o idee de start pentru aplicaţiile practice.
123
BIBLIOGRAFIE
[Ago,05] Andrea Goldsmith, Wireless Communications, Cambridge
University Press, 2005
[BlH,02] J.S. Blogh, L.S. Hanzo, Third-generation systems and intelligent
wireless networking – smart antenna and adaptive modulation, IEEE
Press, John Wiley, 2002
[HVT,02] Harry L. Van Trees, Optimum Array Processing –Part IV of
Detection, Estimation and Modulation Theory, John Wiley & Sons,
Inc., New York, 2002
[JLT,96] John Litva, Titus Kvok-Yeung Lo, Beamforming in Wireless
Communications, Artech House Publisher,Boston – London, 1996
[VKu,06] Volker Kuhn, Wireless Communications over MIMO Channels,
John Wiley, 2006
[NiZ,89] Edmond Nicolau, Dragoș Zaharia, Adaptive Arrays, Editura
Academiei, București,1989
[RJM,05] Robert J. Mailloux, Phased Array Antenna Handbook, Second
edition, British Library Cataloguing in Publication Data, 2005
124
[SS,01] Stergiopoulos Stergios, Advanced Beamformers.Advanced Signal
Processing Handbook, Boca Raton: CRC Press LLC, 2001
[HJV, 05] Hubregt J. Visser, Array and Phased Array Antenna Basics, British
Library Cataloguing in Publication Data, 2005
[LCG,04] Lal Chand Godara, Smart Antennas, Library of Congress
Cataloging-in-Publication Data, 2004
[RTK,89] R. Roy, T. Kailath, ”ESPRIT – Estimation of Signal Parameters via
Rotational Invariance Techniques”, IEEE Transactions on
Acoustics, Speech and Signal Processing, Vol. 37, No. 7, July 1989
[WLS,03] Yuntao Wu, Guisheng Liao, H.C. So, “A fast algorithm for 2-D
direction-of-arrival estimation”, Signal Processing 83 (2003) 1827 –
1831, February 2003
[YBF,96] N. Yuen, B. Friedlander, “Asymptotic Performance Analysis of
ESPRIT, Higher Order ESPRIT, and Virtual ESPRIT Algorithms”,
IEEE Transactions on Signal Processing, Vol. 44, No. 10, October
1996
[FND, 08] Tadeu N. Ferreira, Sergio L. Netto, Paolo S. R. Diniz , “Beamspace
Covariance-Based DoA Estimation”, Electr. Eng.
Program/COPPE/DEL-Poli, Fed. Univ. of Rio de Janeiro, Rio de
Janeiro, 2008
[RRK, 89] R. Roy and T. Kailath, “ESPRIT—Estimation of signal parameters
via rotational invariance techniques,” IEEE Trans. Acoust., Speech,
Signal Processing, vol. 37, pp. 984–995, July 1989.
[VIV, ] Vladimir I. Vasilishin, “Direction of Arrival Estimation via Unitary
TLS-ESPRIT Algorithm with Structure Weighting”, Kharkov Air
Force Institute
125
[SSV, 01] S. Shahbazpanahi, S. Valaee, “Distributed Source Localization
Using ESPRIT Algorithm”, Transactions on Signal Processing, Vol.
49, No. 10, October 2001
[SSC, 05] S. Slavnicu, S. Ciochinii, “ Subspace method optimized for tracking
real-valued sinusoids in noise”, Signals, Circuits and Systems, 2005.
ISSCS 2005. International Symposium on, 2005
[PJH, ] Pei-Jung Chung, “Parameter Estimation: Subspace Methods”
[LOS, 94] K. J. R. Liu, D. P. O’Leary, G. W. Stewart, Yuan-Jye J. Wu, “URV
ESPRIT for Tracking tim-Varying Signals”, Transactions on Signal
Processing, Vol. 42, No. 12, March 1994
[SyM, 88] Mayrargue, S., “ESPRIT and TAM (Toeplitz approximation
method) are theoretically equivalent”, Acoustics, Speech, and Signal
Processing, 1988. ICASSP-88., 1988 International Conference on,
1988
[MTS, 03] K. Mahata, T. Söderström, “Subspace Estimation of Real-Valued
Sinusoidal Frequencies”, Dept. Inform. Technol., Uppsala Univ.,
Tech. Rep., Uppsala, Sweden, Jan. 2003.
[MTS, 04] K. Mahata, T. Söderström, “ESPRIT-like Estimation of Real-Valued
Sinusoidal Frequencies”, IEEE Transactions on Signal Processing,
52, 5, pp. 1161–1170, 2004.
[SSC, 05] S. Slavnicu, S. Ciochina, “Subspace Method Optimized for Tracking
Real-Valued Sinusoids in Noise”, Proc. Signals, Circuits and
Systems, 2005 (ISSCS 2005, Vol. 2, 14–15 July 2005, pp. 697–700.
[TBF, 09] E. Tuncer, B. Friedlander,”Classical and Modern Direction-of-
Arrival Estimation”, Academic Press, 2009
[SaC, 06] Sathish Chandran, ”Advances in Direction-of-Arrival Estimation”,
Artech House, 2006
126
[SMJ, 88] S.Mayrague, J.P. Jouveau ”A new application of singular-value-
decomposition to harmonic retrieval. Proceedings of the
International Workshop on SVD and Signal Processing” 21-23 Sept.
1987 Les Houches France Ed.E.F.Deprettere . North-Holland (to be
published in 1988 )
[FND, 08] T. N. Ferreira, S. L. Netto, P. S. R. Diniz, ”Beamspace Covariance-
Based DOA Estimation”, Signal Processing Advances in Wireless
Communications, 2008
[WHK, 03] Wolfgang Herbordt, Walter Kellermann, „Adaptive Beamforming
for Audio Signal Acquisition”, Multimedia Communications and
Signal Processing, 2003
[HVT, 02] Harry L. Van Trees, “Optimum Array Processing”, Part IV of
Detection, Estimation, and Modulation Theory, John Wiley & Sons,
Ltd, 2002
[AMG, 05] B. Allen and M. Ghavami, „Adaptive Array Systems. Fundamentals
and Applications”, John Wiley & Sons, Ltd, 2005
[JLS, 06] Jian Li and Petre Stoica, “Robust Adaptive Beamforming”, John
Wiley & Sons, Ltd, 2006
[ToH, 98] Toby Haynes, “A Primer on Digital Beamforming”, Spectrum
Signal Processing, March 26, 1998
[JLS, 09] Jian Li and Petre Stoica, “Time-Domain Beamforming and Blind
Source Separation. Speech Input in the Car Environment”, Springer,
2009
[AIO, 10] Iozsa, A.; Vesa, A., „The ESPRIT algorithm. Variants and
precision”, Electronics and Telecommunications (ISETC), 2010 9th
International Symposium on, IEEE, Publication Year: 2010 ,
Page(s): 165 – 168
127
[AIO, 11] Arpad Iozsa, „Direction-of-arrival algorithms: TAM and R-
ESPRIT”, Buletinul ştiinţific al UPT, 56(70), fasc 2, 2011
[AIO, 12] A. Iozsa, "Adaptive Beamforming applied for signals estimated with
Direction-of-arrival algorithms from the ESPRIT family",
International Symposium on Electronics and Telecommunications,
ISETC2012
128
LISTA LUCRĂRILOR PUBLICATE
1. Iozsa, A.; Vesa, A., „The ESPRIT algorithm. Variants and precision”,
Electronics and Telecommunications (ISETC), 2010 9th International
Symposium on, IEEE, Publication Year: 2010 , Page(s): 165 - 168
2. Arpad Iozsa, „Direction-of-arrival algorithms: TAM and R-ESPRIT”,
Buletinul ştiinţific al UPT, 56(70), fasc 2, 2011
3. Vesa, A.; Iozsa, A., „Direction - of - Arrival estimation for uniform sensor
arrays”, Electronics and Telecommunications (ISETC), 2010 9th
International Symposium on ,IEEE, Publication Year: 2010 , Page(s): 249 -
252
4. Vesa, A.; Iozsa, A.; Alexa, F., „The influence of the phase current of a
linear array over the directivity pattern”, Computational Cybernetics and
Technical Informatics (ICCC-CONTI), 2010 International Joint Conference
on, IEEE, Publication Year: 2010 , Page(s): 131 - 135
5. Andy Vesa; Arpad Iozsa, „Directivity pattern for linear arrays”,
International Symposium on Electronics and Telecommunications, ETC
’08, Eighth Edition, ISETC
6. A. Iozsa, "Adaptive Beamforming applied for signals estimated with
Direction-of-arrival algorithms from the ESPRIT family", International
Symposium on Electronics and Telecommunications, ISETC2012