TESIS PENERAPAN METODE EULER, METODE HEUN ...Penulis menggunakan metode Euler, metode Heun, dan...
Transcript of TESIS PENERAPAN METODE EULER, METODE HEUN ...Penulis menggunakan metode Euler, metode Heun, dan...
i
TESIS
PENERAPAN METODE EULER, METODE HEUN,
DAN METODE ITERASI VARIASIONAL DALAM
MENYELESAIKAN SISTEM TRANSMISI TUBERKULOSIS
GABARIELA PURNAMA NINGSI
NIM: 171442014
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA PADA PROGRAM MAGISTER
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2019
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ii
TESIS
PENERAPAN METODE EULER, METODE HEUN,
DAN METODE ITERASI VARIASIONAL DALAM
MENYELESAIKAN SISTEM TRANSMISI TUBERKULOSIS
Diajukan untuk memenuhi salah satu syarat memperoleh gelar Magister
Pendidikan pada Program Magister Pendidikan Matematika
GABARIELA PURNAMA NINGSI
NIM: 171442014
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA PADA PROGRAM MAGISTER
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2019
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
1
TESIS
PENERAPAI\ METODE EULER, METODE HEUIT{,I}AI{ METODE TTERASI VARL{SIONAL DALAM
N{ENI'ELE SAI KAN SISTEM TRA1YSMIS T T TBERKU LO SIS
Sudi Mungkasi, S. Si.,M.Math. Sc.,Ph.D. Tanggal 6 Maret 2019
lll
fi14*414
gwEgr ffiTnl-\ -B
7^#S?lOTelah disetujui *leh:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
q
TESIS
PENERAPAN METODE EULER, METODE HEUI\,I}A1\ METOT}E ITERASI VARIASIONAL DALAM
MENYELESATKAN SISTEM TRANSMISI TUBERKULOSIS
Diprsiapkan dan ditulis oleh:
Gabari ela Purnama Ningsi171442014
Telah dipertahankan di depn Panitia Penguji
Pada tanggal 19 Maret 2019
dan dinyatakan memenuhi syarat
L
Susunan Panitia Penguj i
Yogyakarta" 19 Maret 2019
Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan
Universitas Sanata Dharma Yogyakarta
iv
M.Si.
Anggota :
Anggota :
Anggota :
L S.Si., M.Math.Sc.,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
v
HALAMAN MOTTO
โLearn from the mistakes in the past, try by using a different way, and always hope
for a successful futureโ.
(Belajarlah dari kekeliruan di masa lalu, mencoba dengan cara yang berbeda, dan
senantiasa berharap untuk sebuah kesuksesan di masa depan).
โAn action is the foundation of a successโ.
(Sebuah tindakan adalah dasar dari sebuah keberhasilan)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
vi
HALAMAN PERSEMBAHAN
Dengan penuh rasa syukur dan terima kasih, aku persembahkan tesis ini untuk
Tuhan Yesus dan Bunda Maria yang selalu menyertai dan membimbingku, bapa Zakarias Latip dan mama
Vilomena Surni yang senantiasa memberikanku dukungan dan doa, adik-adikku tercinta, sahabat dan
teman-teman terkasih serta lembaga STKIP Santu Paulus Ruteng yang dengan caranya masing-masing
telah membantuku dalam menyelesaikan tesis ini.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
.=
PERNYATAAN KEASLIAII KARYA
Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa, tesis yang saya tulis ini tidak
memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan dalam
kutipan dan daltar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.
Yogyakart4 l9 Maret 2019Penulis
A0-, f,Ci\lltril
Gabariela Fumama Ningsi
vil
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
viii
ABSTRAK
Gabariela Purnama Ningsi, 2019. Penerapan Metode Euler, Metode Heun,
dan Metode Iterasi Variasional dalam Menyelesaikan Sistem Transmisi
Tuberkulosis.
Tesis.
Program Studi Pendidikan Matematika pada Program Magister, Jurusan
Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Fakultas Keguruan
dan Ilmu Pendidikan, Universitas Sanata Dharma, Yogyakarta.
Penulis meneliti tentang sistem transmisi Tuberkulosis (TB) yang
dimodelkan dengan model epidemi SIR. Penulis menggunakan metode Euler,
metode Heun, dan metode iterasi variasional, karena ada beberapa kemudahan
yang dapat diperoleh dari penerapan ketiga metode tersebut.
Tujuan dari penelitian ini adalah untuk memperoleh solusi pendekatan dari
sistem transmisi TB model epidemi SIR, yang merupakan persamaan diferensial
nonlinear. Solusi dari sistem persamaan diferensial ini diselesaikan dengan
menggunakan tiga metode numeris, yaitu metode Euler, metode Heun, dan
metode iterasi variasional (VIM). Metode penelitian yang digunakan dalam
menyelesaikan penelitian ini adalah metode studi pustaka. Hasil dari penelitian
menunjukkan bahwa, ketiga metode ini dapat digunakan untuk menyelesaikan
persamaan sistem transmisi TB model epidemi SIR. Dengan membandingkan
solusi yang diperoleh, dapat ditemukan bahwa selisih antara VIM dengan metode
Euler lebih besar jika dibandingkan dengan selisih antara VIM dengan metode
Heun. Penelitian ini dapat digunakan untuk memotivasi siswa SMA dalam
mengaplikasikan materi turunan dan anti turunan dalam menyelesaikan persoalan
dunia nyata. Selain itu, konsep variasi terbatas dalam metode iterasi variasional
dapat digunakan untuk menemukan akar persamaan kuadrat.
Kata kunci: Sistem Transmisi TB, Model Epidemi SIR, Metode Euler, Metode
Heun, Metode Iterasi Variasional.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ix
ABSTRACT
Gabariela Purnama Ningsi, 2019. Eulerโs Method, Heunโs Method, and
Variational Iteration Method Used to Solve the Tuberculosis Transmission
System.
Thesis.
Mathematics Education Study Program in the Masters Program, Department of
Mathematics and Natural Sciences Education, Teacher Training and
Education Faculty, Sanata Dharma University, Yogyakarta.
In this thesis, the author studies about the Tuberculosis (TB) transmission
system modeled by the SIR epidemic model. The author uses the Eulerโs method,
the Heunโs method and the variational iteration method (VIM), because there are
several conveniences that can be obtained from the application of the three
methods.
The goal of this research is to find the solutions of the TB transmission
model of the SIR epidemic, which is a nonlinear differential equation. The
solution of the system of differential equations is solved using three numerical
methods, namely the Eulerโs method, the Heunโs method and the variational
iteration method (VIM). The research method used in completing this research is
the literature study method. The results of the study show that, these three
methods can be used to solve the SIR epidemic model TB transmission equation.
By comparing the solutions obtained, it can be found that the difference between
the variational iteration method and the Eulerโs method is greater than the
difference between variational iteration method and the Heunโs method. This
research can be used to motivate high school students to apply derivative and
anti-derivative material in solving real world problems. In addition, the concept
of limited variation in variational iteration methods can be used to find the root of
the quadratic equation.
Keywords: TB Transmission Model, SIR Epidemic Model, Eulerโs Method,
Heunโs Method, Variational Iteration Method.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
LEMBAR PERSETUJUAN
PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN
AKADEMIS
Yang bertanda tangan di bawah ini, saya mahasiswa Universitas Sanata Dharma:
Nama : Gabariela Purnama Ningsi
NIM :171442014
Demi pengembangan ilmu pengetahuan, saya memberikan kepada Perpustakaan
Universitas Sanata Dharma sebuah karya ilmiah yang bedudul:
PENERAPAN METODE EULER, METODE HEUN, DAN METODE
ITERASI VARIASIONAL DALAM MENYELESAIKAII SISTEM
TRANSMISI TUBERKULOSIS
beserta perangkat yang diperlukan (bila ada). Dengan demikian saya memberikan
kepada perpustakaan Universitas Sanata Dharma baik untuk menyimpan,
mengalihkan dalam bentuk media lain, mengolahnya dalam bentuk pangkalan data,
mendistribusikan secara terbatas dan mempublikasikan di Internet atau media lain
untuk keperluan akademis tanpa meminta izin dafi saya maupun memberikan
royalti kepada saya selama tetap mencantumkan nama saya sebagai penulis.
Demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenarnya.
Dibuat di Yogyakarta
Pada tanggal 19 Maret 2019
Yang menyatakan
4?,''rGabariela Purnama Ningsi
x
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xi
DAFTAR PUBLIKASI HASIL PENELITIAN TESIS
Sebagian hasil dari tesis ini telah dipresentasikan dalam International
Conference of Science and Technology for Internet of Things. Konferensi ini
diselenggarakan oleh Universitas Sarjanawiyata Tamansiswa di Hotel Phoenix
Yogyakarta pada tanggal 20 Oktober 2018.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xii
KATA PENGANTAR
Syukur dan pujian penulis haturkan ke hadirat Tuhan Yang Maha Esa, atas
segala rahmat, bimbingan dan penyertaan-Nya sehingga penulis dapat
menyelesaikan tesis ini meskipun masih jauh dari kesempurnaan. Tesis ini ditulis
untuk memenuhi salah satu persyaratan memperoleh gelar Magister Pendidikan
Matematika pada Program Studi Pendidikan Matematika Program Magister,
Jurusan Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Fakultas Keguruan
dan Ilmu Pendidikan, Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.
Dalam menyelesaikan tesis ini, penulis mendapat banyak bantuan dari
berbagai pihak yang mendukung, oleh karena itu ijinkan penulis untuk
menyampaikan terima kasih kepada:
1. Orang tua tercinta bapak Zakarias Latip dan ibu Vilomena Surni, adik-adik
terkasih Apolinaris Valindo Lestari, Yosep Vantura Monte Carlo, dan
Theresiana Muliati Ningsi yang selalu mendoakan dan memberikan dukungan
yang luar biasa kepada penulis.
2. Bapak Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D., selaku dosen pembimbing
tesis yang dengan rela dan sabar menyediakan waktu untuk membimbing dan
memotivasi penulis dalam menyelesaikan tesis ini.
3. Bapak Dr. rer. nat. Herry Pribawanto Suryawan, M.Si, selaku dosen penguji
yang telah memberikan banyak masukan untuk memperbaiki tesis ini.
4. Bapak Dr. Marcellinus Andy Rudhito, S.Pd., selaku dosen penguji dan Ketua
Program Studi yang telah memberikan dukungan kepada penulis.
5. Bapak Dr. Yohanes Harsoyo, S.Pd., M.Si., selaku dekan FKIP Universitas
Sanata Dharma yang telah mengesahkan tesis ini.
6. Lembaga STKIP Santu Paulus Ruteng yang telah memberikan kesempatan
dan rela membiayai penulis untuk menempuh studi memperoleh gelar
Magister Pendidikan di Universitas Sanata Dharma.
7. Segenap dosen JPMIPA yang telah membantu dan memberikan dukungan
selama penulis menempuh kuliah, sehingga dapat menyelesaikan studi tepat
waktu.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xiii
8. Segenap staf Sekretariat JPMIPA yang telah membantu dalam hal administrasi
kampus selama penulis menyelesaikan studi di sini.
9. Semua keluargaku yang dengan caranya masing-masing telah mendukung dan
memberikan doa demi kesuksesanku.
10. Semua sahabat dan saudaraku terkasih yang selalu mendukungku, Osniman
Maure, Olive Dapa Kambu, Rio Nangku, dan semua teman seperjuangan yang
dengan caranya masing-masing telah memberikan dukungan kepada penulis
dalam menyelesaikan tesis ini.
Semoga tesis ini dapat bermanfaat bagi para pembaca. Selamat membaca.
Penulis
Gabariela Purnama Ningsi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xiv
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL ................................................................................... i
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ......................................... iii
HALAMAN PENGESAHAN ..................................................................... iv
HALAMAN MOTTO ................................................................................. v
HALAMAN PERSEMBAHAN ................................................................. vi
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ..................................................... vii
ABSTRAK .................................................................................................. viii
ABSTRACT ................................................................................................ ix
LEMBAR PERSETUJUAN PUBLIKASI .................................................. x
DAFTAR PUBLIKASI HASIL PENELITIAN .......................................... xi
KATA PENGANTAR ................................................................................ xii
DAFTAR ISI ............................................................................................... xiv
DAFTAR DIAGRAM ................................................................................. xvi
DAFTAR GAMBAR .................................................................................. xvii
DAFTAR TABEL ....................................................................................... xix
DAFTAR LAMPIRAN ............................................................................... xx
BAB I PENDAHULUAN ........................................................................... 1
A. Latar Belakang ...................................................................................... 1
B. Rumusan Masalah ................................................................................. 3
C. Batasan Masalah.................................................................................... 3
D. Tujuan Penelitian .................................................................................. 4
E. Manfaat Penelitian ................................................................................ 4
F. Metode Penelitian.................................................................................. 5
G. Tinjauan Pustaka ................................................................................... 6
H. Sistematika Penelitian ........................................................................... 10
BAB II LANDASAN TEORI ..................................................................... 12
A. Pemodelan Matematika ......................................................................... 12
B. Tuberkulosis .......................................................................................... 13
C. Model Epidemi Susceptible-Infection-Recovery ................................... 14
D. Metode Euler ......................................................................................... 15
E. Metode Heun ......................................................................................... 17
F. Metode Iterasi Variasional .................................................................... 19
G. Persamaan Diferensial ........................................................................... 21
H. Kerangka Berpikir ................................................................................. 21
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xv
BAB III ASPEK MATEMATIS PADA SISTEM TRANSMISI
TUBERKULOSIS ....................................................................................... 22
A. Model Epidemi Susceptible-Infection-Recovery pada Tuberkulosis .... 22
B. Penyelesaian Model ๐๐ผ๐ pada TB dengan Metode Euler ..................... 26
1. Simulasi I ........................................................................................ 27
2. Simulasi II ....................................................................................... 29
3. Simulasi III ...................................................................................... 30
4. Simulasi IV ..................................................................................... 32
C. Penyelesaian Model ๐๐ผ๐ pada TB dengan Metode Heun ..................... 33
1. Simulasi I ........................................................................................ 34
2. Simulasi II ....................................................................................... 36
3. Simulasi III ...................................................................................... 37
4. Simulasi IV ..................................................................................... 39
D. Penyelesaian Model ๐๐ผ๐ pada TB dengan Metode Iterasi Variasional 41
1. Simulasi I ........................................................................................ 44
2. Simulasi II ....................................................................................... 47
3. Simulasi III ...................................................................................... 49
4. Simulasi IV ..................................................................................... 52
E. Analisis Hasil Simulasi ......................................................................... 54
1. Simulasi I ........................................................................................ 55
2. Simulasi II ....................................................................................... 56
3. Simulasi III ...................................................................................... 58
4. Simulasi IV ..................................................................................... 59
BAB IV ASPEK PENDIDIKAN ................................................................ 62
A. Pembelajaran di Sekolah Menengah ..................................................... 62
B. Refleksi ................................................................................................. 67
BAB V PENUTUP ...................................................................................... 72
A. KESIMPULAN ..................................................................................... 72
B. SARAN ................................................................................................. 72
DAFTAR PUSTAKA ................................................................................. 73
LAMPIRAN ................................................................................................ 76
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xvi
DAFTAR DIAGRAM
Diagram 1. Model epidemi SIR .................................................................. 7
Diagram 2. Metode Euler ............................................................................ 8
Diagram 3. Metode Heun ............................................................................ 8
Diagram 4. Metode Iterasi Variasional ....................................................... 9
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xvii
DAFTAR GAMBAR
Gambar 2.1. Pemodelam Matematika Menurut Lovvet .............................. 12
Gambar 3.1. Diagram populasi manusia model SIR (Side dan Sanusi,
2016: 11) ..................................................................................... 22
Gambar 3.2. Skema Populasi Manusia untuk Penularan TB Model SIR
(Side dan Sanusi, 2016: 11) ........................................................ 23
Gambar 3.3 Grafik pendekatan solusi sistem transmisi TB model
epidemi SIR menggunakan metode Euler (Simulasi I) ............... 28
Gambar 3.4 Grafik pendekatan solusi sistem transmisi TB model
epidemi SIR menggunakan metode Euler (Simulasi II) ............. 30
Gambar 3.5 Grafik pendekatan solusi sistem transmisi TB model
epidemi SIR menggunakan metode Euler (Simulasi III) ............ 31
Gambar 3.6 Grafik pendekatan solusi sistem transmisi TB model
epidemi SIR menggunakan metode Euler (Simulasi IV) ............ 33
Gambar 3.7 Grafik pendekatan solusi sistem transmisi TB model
epidemi SIR menggunakan metode Heun (Data Simulasi I) ...... 35
Gambar 3.8 Grafik pendekatan solusi sistem transmisi TB model
epidemi SIR menggunakan metode Heun (Data Simulasi II) ..... 37
Gambar 3.9 Grafik pendekatan solusi sistem transmisi TB model
epidemi SIR menggunakan metode Heun (Data Simulasi III) ... 39
Gambar 3.10 Grafik pendekatan solusi sistem transmisi TB model
epidemi SIR menggunakan metode Heun (Data Simulasi IV) ... 40
Gambar 3.11 Grafik pendekatan solusi ketiga populasi manusia dalam
laju transmisi TB model SIR (VIM Simulasi I) .......................... 48
Gambar 3.12 Grafik pendekatan solusi ketiga populasi manusia dalam
laju transmisi TB model SIR (VIM Simulasi II)......................... 49
Gambar 3.13 Grafik pendekatan solusi ketiga populasi manusia dalam
laju transmisi TB model SIR (VIM Simulasi III) ....................... 51
Gambar 3.14 Grafik pendekatan solusi ketiga populasi manusia dalam
laju transmisi TB model SIR (VIM Simulasi IV) ....................... 54
3.15.a Grafik pendekatan solusi nilai ๐ฅ(๐ก) untuk sistem laju transmisi
TB model SIR menggunakan metode Euler, Heun dan VIM ..... 55
3.15.b Grafik pendekatan solusi nilai ๐ฆ(๐ก) untuk sistem laju transmisi
TB model SIR menggunakan metode Euler, Heun dan VIM ..... 54
3.15.c Grafik pendekatan solusi nilai ๐ง(๐ก) untuk sistem laju transmisi
TB model SIR menggunakan metode Euler, Heun dan VIM ..... 56
3.16.a Grafik pendekatan solusi nilai ๐ฅ(๐ก) untuk sistem laju transmisi
TB model SIR menggunakan metode Euler, Heun dan VIM ..... 56
3.16.b Grafik pendekatan solusi nilai ๐ฆ(๐ก) untuk sistem laju transmisi
TB model SIR menggunakan metode Euler, Heun dan VIM ..... 57
3.16.c Grafik pendekatan solusi nilai ๐ง(๐ก) untuk sistem laju transmisi
TB model SIR menggunakan metode Euler, Heun dan VIM ..... 57
3.17.a Grafik pendekatan solusi nilai ๐ฅ(๐ก) untuk sistem laju transmisi
TB model SIR menggunakan metode Euler, Heun dan VIM ..... 58
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xviii
3.17.b Grafik pendekatan solusi nilai ๐ฆ(๐ก) untuk sistem laju transmisi
TB model SIR menggunakan metode Euler, Heun dan VIM ..... 58
3.17.c Grafik pendekatan solusi nilai ๐ง(๐ก) untuk sistem laju transmisi
TB model SIR menggunakan metode Euler, Heun dan VIM ..... 59
3.18.a Grafik pendekatan solusi nilai ๐ฅ(๐ก) untuk sistem laju transmisi
TB model SIR menggunakan metode Euler, Heun dan VIM ..... 59
3.18.b Grafik pendekatan solusi nilai ๐ฆ(๐ก) untuk sistem laju transmisi
TB model SIR menggunakan metode Euler, Heun dan VIM ..... 60
3.18.c Grafik pendekatan solusi nilai ๐ง(๐ก) untuk sistem laju transmisi
TB model SIR menggunakan metode Euler, Heun dan VIM ..... 60
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xix
DAFTAR TABEL
Tabel 3.1. Definisi Variabel dan Parameter Model Laju Transmisi TB
Epidemi SIR (Side, 2015) ........................................................ 24
Tabel 3.2 Nilai Awal dan Nilai Parameter Transmisi TB (Side,
2015:138) ................................................................................. 27
Tabel L.5.1 Data Hasil Perhitungan Nilai ๐ฅ(๐ก), ๐ฆ(๐ก), dan ๐ง(๐ก) untuk
Sistem Transmisi TB dengan menggunakan Metode Euler
pada Simulasi I ........................................................................ 96
Tabel L.5.2 Data Hasil Perhitungan Nilai ๐ฅ(๐ก), ๐ฆ(๐ก), dan ๐ง(๐ก) untuk
Sistem Transmisi TB dengan menggunakan Metode Euler
pada Simulasi II ....................................................................... 97
Tabel L.5.3 Data Hasil Perhitungan Nilai ๐ฅ(๐ก), ๐ฆ(๐ก), dan ๐ง(๐ก) untuk
Sistem Transmisi TB dengan menggunakan Metode Euler
pada Simulasi III ...................................................................... 98
Tabel L.5.4 Data Hasil Perhitungan Nilai ๐ฅ(๐ก), ๐ฆ(๐ก), dan ๐ง(๐ก) untuk
Sistem Transmisi TB dengan menggunakan Metode Euler
pada Simulasi IV...................................................................... 99
Tabel L.6.1 Data Hasil Perhitungan Nilai ๐ฅ(๐ก), ๐ฆ(๐ก), dan ๐ง(๐ก) untuk
Sistem Transmisi TB dengan menggunakan Metode Heun
pada Simulasi I ........................................................................ 100
Tabel L.6.2 Data Hasil Perhitungan Nilai ๐ฅ(๐ก), ๐ฆ(๐ก), dan ๐ง(๐ก) untuk
Sistem Transmisi TB dengan menggunakan Metode Heun
pada Simulasi II ....................................................................... 101
Tabel L.6.3 Data Hasil Perhitungan Nilai ๐ฅ(๐ก), ๐ฆ(๐ก), dan ๐ง(๐ก) untuk
Sistem Transmisi TB dengan menggunakan Metode Heun
pada Simulasi III ...................................................................... 102
Tabel L.6.4 Data Hasil Perhitungan Nilai ๐ฅ(๐ก), ๐ฆ(๐ก), dan ๐ง(๐ก) untuk
Sistem Transmisi TB dengan menggunakan Metode Heun
pada Simulasi IV...................................................................... 103
Tabel L.7.1 Data Hasil Perhitungan Nilai ๐ฅ(๐ก), ๐ฆ(๐ก), dan ๐ง(๐ก) untuk
Sistem Transmisi TB dengan menggunakan Metode Iterasi
Variasional pada Simulasi I ..................................................... 104
Tabel L.7.2 Data Hasil Perhitungan Nilai ๐ฅ(๐ก), ๐ฆ(๐ก), dan ๐ง(๐ก) untuk
Sistem Transmisi TB dengan menggunakan Metode Iterasi
Variasional pada Simulasi II .................................................... 105
Tabel L.7.3 Data Hasil Perhitungan Nilai ๐ฅ(๐ก), ๐ฆ(๐ก), dan ๐ง(๐ก) untuk
Sistem Transmisi TB dengan menggunakan Metode Iterasi
Variasional pada Simulasi III .................................................. 106
Tabel L.7.4 Data Hasil Perhitungan Nilai ๐ฅ(๐ก), ๐ฆ(๐ก), dan ๐ง(๐ก) untuk
Sistem Transmisi TB dengan menggunakan Metode Iterasi
Variasional pada Simulasi IV .................................................. 107
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xx
DAFTAR LAMPIRAN
Lampiran I Program MATLAB untuk Metode Euler ................................. 72
Lampiran II Program MATLAB untuk Metode Heun ................................ 76
Lampiran III Program MATLAB untuk VIM ............................................. 80
Lampiran IV Program MATLAB untuk Analisis Hasil Simulasi ............... 84
Lampiran V Data Hasil Perhitungan Metode Euler .................................... 96
Lampiran VI Data Hasil Perhitungan Metode Heun ................................... 100
Lampiran VII Data Hasil Perhitungan Metode Iterasi Variasional ............. 104
Lampiran VIII Rencana Pelaksanaan Pembelajaran (RPP) ........................ 108
Lampiran IX Materi Pembelajaran.............................................................. 111
Lampiran X Lembar Kerja Siswa ............................................................... 117
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
1
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Dalam kehidupan sehari-hari, seringkali ditemukan berbagai masalah yang
menuntut untuk segera diselesaikan. Salah satu masalah yang muncul adalah
tentang transmisi penyakit menular baik penyakit fatal maupun penyakit tidak
fatal yang menghambat aktivitas sehari-hari. Banerjee (2015: 48) mengatakan
bahwa penyakit menular biasanya disebabkan oleh mikroorganisme patogen,
seperti virus, bakteri, jamur dan parasit. Transmisi penyakit ini dapat terjadi kapan
saja dan di mana saja. Sering kali transmisi penyakit menular terjadi ketika kita
bersentuhan dengan orang lain serta ketika berpindah tempat tinggal. Selain itu
peyebaran juga terjadi melalui air dan udara. Penyakit-penyakit ini adalah salah
satu penyebab utama kematian di seluruh dunia. Terlepas dari semua kemajuan
dalam obat-obatan, wabah penyakit menular masih menjadi ancaman yang
signifikan bagi kesehatan masyarakat dan ekonomi.
Pemodelan matematika merupakan salah satu ilmu matematika yang dapat
digunakan untuk menganalisis transmisi dan pengendalian terhadap penyakit
menular tersebut. Untuk merumuskan model matematika, dapat dilakukan dengan
mengklarifikasi beberapa asumsi, variabel dan parameter yang relevan terhadap
transmisi penyakit yang dianalisis. Model matematika dan simulasi komputer
dapat dijadikan sebagai alat untuk bereksperimen yang mana keduanya dapat
digunakan untuk mengkaji dugaan secara kuantitatif laju transmisi penyakit,
menentukan kepekaan terhadap perubahan nilai parameter yang digunakan dan
memperkirakan parameter kunci dari data yang diberikan. Selain itu, model
matematika dan simulasi komputer ini dapat membantu memahami karakteristik
dari transmisi penyakit menular di suatu komunitas, wilayah, dan negara sehingga
dapat mengarah pada pendekatan yang lebih baik untuk mengurangi transmisi
penyakit ini. Model matematika digunakan dalam membandingkan,
merencanakan, mengimplementasikan, mengevaluasi, dan mengoptimalkan
berbagai program deteksi, pencegahan, terapi, dan kontrol (Hethcote, 2000: 600).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
2
Tuberkulosis (TB) merupakan salah satu penyakit menular yang sangat
berbahaya. Organisasi Kesehatan Dunia (WHO) pada tahun 2009 (Side,
2015:137) menyatakan bahwa, kira-kira ada 9 juta pasien TB baru dan 3 juta
kematian akibat TB di seluruh dunia. Selanjutnya, 95% dari kasus TB dan 98%
kematian akibat TB di seluruh dunia terjadi di negara-negara berkembang. Lima
dari 22 negara dengan kasus TB tertinggi berada di Asia Tenggara, di mana 35%
dari semua kasus TB di dunia berasal dari wilayah ini. Dengan kondisi ini, WHO
menyatakan TB sebagai keadaan darurat global sejak tahun 1993.
Wallis (2016:1) mengatakan bahwa respon terhadap pengobatan TB juga
samahalnya sebagai suatu variabel, karena kambuhnya penyakit aktif pada
beberapa pasien seolah-olah muncul kemudian sembuh pada akhir pengobatan.
Lebih lanjut dikatakan bahwa, saat ini tidak ada cara langsung untuk
mengidentifikasi penyebab terberantasnya bakteri Mycobacterium Tuberulosis
(MTb) dalam diri seorang pasien. Apakah dengan respon imun bakterisida atau
sterilisasi kemoterapi antimikroba. Hal inilah yang menghambat penelitian dasar
untuk pengembangan obat TB serta Penundaan pemberian vaksin TB. Model
matematika dapat dimanfaatkan dalam menyikapi masalah ini. Dalam
penerapannya, model matematika dapat digunakan untuk mengukur atau
memprediksi, menganalisis transmisi dan pengendalian terhadap TB tersebut yang
tidak dapat diamati secara langsung. Model matematika yang dapat digunakan
antara lain model epidemi SEIR, SIR, SI, dll. Dalam penelitian ini, model
matematis yang akan digunakan adalah model epidemik SIR. Penulis memilih
model SIR dikarenakan tiga hal berikut: pertama, pengalaman dan waktu
penelitian yang dimiliki oleh penulis terbatas; kedua, model ini merupakan
sebuah model epidemik yang tidak mudah dan juga tidak sulit untuk di selesaikan;
ketiga, model SIR sudah banyak diterima oleh para penulis dan peneliti
sebelumnya, dikatakan demikian karena model SIR sudah sering digunakan oleh
para peneliti sebelumnya untuk memodelkan system transmisi penyakit menular
(Kasbawati, 2011; McCluskey, 2010; Meng dan Chen, 2008).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
3
Penyelesaikan dari model laju transmisi TB dengan menggunakan model
epidemi SIR ini dapat dilakukan dengan menggunakan berbagai macam metode
atau pendekatan. Ada tiga metode yang digunakan dalam penelitian ini yaitu
metode Euler, metode Heun, dan metode iterasi variasional. Metode Euler dan
metode Heun merupakan metode yang dapat menyelesaikan persamaan diferensial
yang memiliki nilai awal. Solusi tersebut merupakan solusi pendekatan atau solusi
numeris. Metode iterasi variasional adalah metode yang digunakan untuk
menyelesaikan persamaan diferensial linear dan nonlinear yang akan
memperkirakan solusi dengan cepat dan akurat (Shakeri dan Dehghan, 2007:
1199).
B. Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang masalah yang telah diuraikan sebelumnya,
maka masalah yang dirumuskan dalam penelitian ini adalah:
1. Bagaimana modifikasi model SIR pada laju transmisi TB yang dibuat oleh
Side pada tahun 2015?
2. Bagaimana menyelesaikan model matematika epidemi SIR pada laju transmisi
TB dengan menggunakan metode Euler, metode Heun, dan metode iterasi
variasional?
3. Bagaimana rancangan rencana pembelajaran matematika di Sekolah
Menengah Atas yang sesuai dengan konsep metode numeris?
C. Batasan Masalah
Dalam penelitian ini, masalah yang dibahas adalah masalah tentang
penyelesaian sistem transmisi TB model SIR yang diselesaikan dengan
menggunakan metode Euler, metode Heun dan metode iterasi variasional. Selain
itu, dibahas juga tentang keterkaitan topik tulisan dengan penerapannya dalam
materi yang telah dan/atau akan dipelajari oleh siswa Sekolah Menengah Atas.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
4
D. Tujuan Penelitian
Berdasarkan rumusan masalah yang telah dibuat, maka tujuan penelitian
ini adalah sebagai berikut:
1. Untuk mengetahui hasil modifikasi model SIR pada sistem transmisi TB yang
dibuat Side pada tahun 2015.
2. Untuk mengetahui solusi dari model matematika sistem transmisi TB model
epidemi SIR dengan menggunakan metode Euler, metode Heun, dan metode
iterasi variasional.
3. Untuk mengetahui rancangan rencana pembelajaran di Sekolah Menengah
Atas yang seusai dengan konsep metode numeris.
E. Manfaat Penelitian
Manfaat penelitian ini adalah:
1. Mengetahui rumusan model matematika dari masalah dunia nyata khususnya
masalah tentang transmisi TB yang dimodelkan dengan menggunakan model
epidemi SIR.
2. Mengetahui hal yang akan terjadi pada ketiga populasi manusia yaitu S
(Susceptible), I (Infection), dan R (Recovered), jika populasi manusia yang
belum terinfeksi TB selalu berinteraksi dengan populasi manusia yang telah
terinfeksi TB.
3. Mengetahui beberapa metode numeris yang dapat digunakan untuk
menyelesaikan persamaan diferensial seperti model matematika epidemi SIR
pada transmisi TB.
4. Dapat memberikan informasi kepada peneliti selanjutnya untuk
menyelesaikan kasus yang lebih kompleks dengan menggunakan model
epidemi SIR, metode Euler, metode Heun dan metode iterasi variasional.
5. Dapat memberikan pengetahuan dan contoh nyata dari penerapan pemodelan
matematika serta persamaan diferensial dalam kehidupan dan bidang kajian
lain kepada para pembaca.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
5
F. Metode Penelitian
Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah metode studi literatur.
Di sini penulis mengkaji semua literatur yang terkait materi penelitian, baik yang
diambil dari buku ataupun jurnal. Dalam penelitian ini, peneliti belajar secara
mendalam tentang model epidemi SIR yang digunakan untuk merumuskan model
laju transmisi TB. Persamaan diferensial yang dihasilkan dalam proses pemodelan
diselesaikan dengan menggunakan tiga buah metode numeris yaitu metode Euler,
metode Heun, dan metode iterasi variasional.
Dalam mencari solusi dari persamaan diferensial dengan menggunakan
metode Euler dan metode Heun, peneliti menggunakan simulasi komputer dengan
MATLAB. Peneliti menggunakan simulasi komputer dengan program Maple dan
MATLAB untuk menemukan solusi dari persamaan diferensial dengan
menggunakan metode iterasi variasional. Program MATLAB dan Maple ini dapat
membantu dalam perhitungan yang rumit serta menggambar grafik.
Dalam menyelesaikan penelitian ini dilakukan beberapa langkah kerja.
Langkah pertama adalah melakukan kajian terhadap literatur baik buku, jurnal,
artikel, atau makalah yang berkaitan dengan topik penelitian yang diselesaikan.
Langkah kedua adalah mempelajari secara mendalam tentang pembuatan model
matematika laju transmisi TB dengan menggunakan model epidemi SIR yang
dilakukan oleh Side (2015). Langkah ketiga adalah menyelesaikan atau mencari
solusi dari model matematika dengan menggunakan ketiga metode yang sudah
dipilih yaitu metode Euler, metode Heun dan metode iterasi variasional. Langkah
keempat adalah menjelaskan tentang hasil prilaku solusi dalam bentuk grafik
solusi yang diperoleh dengan menggunakan MATLAB dan Maple. Langkah
kelima adalah menentukan salah satu topik atau konsep dalam pembelajaran SMA
yang dapat membelajarkan konsep model epidemi SIR atau ketiga buah metode
numeris yang telah dipilih. Dalam langkah kelima ini, peneliti memilih topik
menemukan akar persamaan kuadrat dengan menggunakan konsep variasi
terbatas.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
6
G. Tinjauan Pustaka
Masalah tentang laju transmisi penyakit menular dengan model epidemi
SIR, serta penerapan metode Euler, metode Heun, dan metode iterasi variasional
dalam menyelesaikan persamaan diferensial linear dan nonlinear telah banyak
dibahas dalam berbagai buku dan jurnal yang telah dipublikasikan. Dalam
menyelesaikan penelitian ini, penulis menggunakan beberapa buku dan artikel
yang dijadikan sebagai acuan. Buku dan artikel tersebut membahas tentang model
SIR serta penerapan metode Euler, metode Heun, dan metode iterasi variasional
dalam menyelesaikan persamaan diferensial nonlinear. Adapun beberapa tinjauan
pustaka yang digunakan oleh peneliti dapat dilihat pada diagram 1 sampai
diagram 4. Selain tinjauan pustaka, diagram 1 sampai diagram 4 juga
memperlihatkan tentang kebaruan penelitian penulis.
Pada diagram 1 mengilustrasikan tentang model transmisi penyakit
menular yaitu model epidemi SIR. Model SIR dikemukakan oleh Kermack-
McKendrick dan telah banyak digunakan oleh para peneliti sebelumnya seperti
Side (2015), Yoshida dan Hara (2007), He, Gao, dan Xie (2013), dll. Dalam
penelitian ini, penulis akan menyelesaikan sistem transmisi TB model epidemi
SIR yang telah dimodelkan oleh Side (2015), dengan menggunakan tiga metode
numeris yaitu metode Euler, Heun, dan Iterasi Variasional.
Diagram 2 sampai diagram 4 di atas memaparkan tentang metode Euler,
metode Heun dan metode iterasi variasional, serta penelitian-penelitian
sebelumnya yang berkaitan dengan ketiga metode tersebut. Adapun acuan utama
yang digunakan penulis untuk menyelesaikan penelitian ini adalah jurnal yang
ditulis oleh Side (2015), Rangkuti, et al. (2014), dan buku yang ditulis oleh
Griffiths dan Higham (2010). Dalam penelitiannya, Side merumuskan model
matematika dari penyebaran TB dengan menggunakan model SIR. Model inilah
yang diselesaikan oleh peneliti dengan menerapkan tiga metode numeris yang
telah dipaparkan. Dalam artikel Rangkuti, dkk., dijelaskan tentang penyelesaian
model SIR dari sistem transmisi penyakit demam berdarah dengan menggunakan
dua metode yaitu perturbasi homotopy dan iterasi variasional. Sedangkan buku
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
7
yang ditulis oleh Griffiths and Higham menjelaskan beberapa metode numeris
yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan differensial biasa,
termasuk metode Euler dan metode Heun. Kebaruan yang ada dalam penelitian
penulis ini adalah implementasi dari tiga buah metode numeris yaitu metode
Euler, metode Heun, dan metode iterasi variasional dalam menyelesaikan sistem
transmisi TB model epidemi SIR.
Susceptible-
Infected-
Recovered
(SIR)
โMathematical Models in Population
Biology and Epidemiologyโ
Penulis: Brauer and Chavez (2012)
โGlobal Stability of a Delayed SIR Epidemic
Model with Density Dependent Birth and
Death Ratesโ
oleh: Yoshida and Hara (2007)
Penemu Model:
Kermack-McKendrick
โStudy of Simple SIR Epidemic Modelโ
oleh Porwal, et.al. (2015)
โA Susceptible-Infected-Recovered Model
and Simulation for Transmission of
Tuberculosisโ
oleh Side (2015)
Beberapa
Penelitia
n Terkait
โAn SIR Epidemic Model with Time-Varying
Pulse Control Schemes and Saturated
Infectious Forceโ
oleh: He, Gao, and Xie (2013)
Penelitian
Penulis:
โEulerโs Method, Heunโs Method and
Variational Iteration Method Used to
Solve a SIR Epidemic Model of
Tuberculosisโ
oleh Ningsi and Mungkasi (2019)
Diagram 1. Model epidemi SIR
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
8
Metode
Euler
Penemu Metode:
Leonhard Euler
โNumerical Methods for Ordinary
Differential Equationsโ
Penulis: Butcher (2008)
โEulerโs Method Used to Solve a SIR
Epidemic Model of Tuberculosisโ
oleh Ningsi and Mungkasi (2019)
โNumerical Methods for Ordinary
Differential Equationsโ
Penulis: Griffiths and Higham (2010)
Beberapa
Penelitian
Terkait
Penelitian
Penulis
โAn Introduction to Difference
Equationsโ
Penulis: Elaydi (2005)
Metode
Heun
Penemu Metode:
Karl Heun
โNumerical Methods for Ordinary
Differential Equationsโ
Penulis: Butcher (2008)
โHeunโs Method Used to Solve a
SIR Epidemic Model of
Tuberculosisโ
oleh Ningsi and Mungkasi (2019)
โApplication of Modified Eulerโs
Method in Obtaining Numerical
Solution of Swing Equationโ
oleh: Agrawal (2016)
Beberapa
Penelitian
Terkait
Penelitian
Penulis
โImproving the Efficiency of
Heunโs Methodโ
oleh: Chandio and Memon (2010)
Diagram 2. Metode Euler
Diagram 3. Metode Heun
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
9
Metode
Iterasi
Variasional
โA Study on the Convergence of Variational
Iteration Methodโ
oleh Odibat (2010)
โNumerical Analytic Solution of SIR Model
of Dengue Fever Disease in South Sulawesi
using Homotopy Perturbation Method and
Variational Iteration Methodโ
oleh Rangkuti, et al. (2014)
โVariational Iteration Method Used to Solve
the One-Dimensional Acoustic Equationsโ
oleh Setianingrum dan Mungkasi (2017)
โVariational Iteration Method for Solving the
Population Dynamics Model of Two Speciesโ
oleh Yuliyanto dan Mungkasi (2017)
Penemu
Metode:
Ji-Huan He
Beberapa
Penelitian
Terkait
Penelitian
Penulis
โVariational Iteration Method โ a Kind of Non-
Linear Analytical Technique: Some Examplesโ
oleh: Ji-Huan He (1999)
โRevised Variational Iteration Method for
Solving Systems of Ordinary Differential
Equationsโ
oleh Salehpoor, et, al. (2010)
โVariational Iteration Method Used to Solve
a SIR Epidemic Model of Tuberculosisโ
oleh Ningsi and Mungkasi (2019)
Diagram 4. Metode Iterasi Variasional
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
10
H. Sistematika Penulisan
Sistematika penulisan yang dibuat adalah sebagai berikut:
BAB I PENDAHULUAN
Dalam bab I ini, dijelaskan tentang latar belakang, rumusan masalah,
batasan Masalah, Tujuan Penelitian, Manfaat Penelitian, Metode Penelitan,
Tinjauan Pustaka, dan Sistematika Penulisan. Masalah yang dijelaskan dalam bab
ini dimulai dengan masalah yang muncul dalam kehidupan sehari-hari yang salah
satunya adalah masalah tentang transmisi penyakit menular khususnya transmisi
TB. Laju transmisi TB ini dapat dimodelkan ke dalam persamaan diferensial yang
terdapat dalam bidang ilmu matematika, sehingga orang yang berkewajiban
menangani penyakit ini dapat membandingkan, merencanakan,
mengimplementasikan, mengevaluasi, dan mengoptimalkan berbagai program
deteksi, pencegahan, terapi, dan kontrol terhadap TB. Solusi dari persamaan
tersebut dicari dengan menggunakan tiga buah metode numeris yaitu metode
Euler, metode Heun, dan metode iterasi variasional.
BAB II LANDASAN TEORI
Dalam bab II, dijelaskan tentang teori-teori yang berkaitan dengan topik
penelitian. Adapun teori-teori yang di maksud adalah teori tentang pemodelan
matematika, TB, model epidemi SIR, metode Euler, metode Heun, dan metode
iterasi variasional. Serta dibahas tentang kerangka berpikir dalam menyelesaikan
penelitian ini.
BAB III ASPEK MATEMATIS PADA SISTEM TRANSMISI
TUBERKULOSIS
Dalam bab III ini, dijelaskan tentang alur membuat model matematika
epidemi SIR untuk laju transmisi TB, paparan hasil penyelesaian dan pembahasan
model Susceptible-Infection-Recovery pada laju transmisi TB dengan metode
Euler, metode Heun dan metode iterasi variasional, serta selanjutnya menganalisis
hasil pendekatan solusi dari ketiga populasi manusia yang telah dibentuk. Hal
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
11
yang dibahas dalam bab 3 ini mengacu pada rumusan masalah yang terdapat pada
bab 1.
BAB IV ASPEK KEPENDIDIKAN
Bab IV membahas tentang sebuah rancangan pembelajaran matematika
materi menemukan akar persamaan kuadrat. Dalam materi persamaan kuadrat,
diambil salah satu konsep utama metode iterasi variasional yaitu konsep variasi
terbatas, serta menerapkannya untuk menemukan akar sebuah persamaan kuadrat.
Dalam rancangan pembelajaran yang dibuat, diberikan beberapa masalah untuk
diselesaikan kepada siswa. Selain itu, dalam bab ini peneliti juga menyajikan
sebuah tulisan refleksi terkait pengalaman peneliti dalam menyelesaikan tesis ini.
BAB V PENUTUP
Dalam bab V ini, dijelaskan tentang kesimpulan dari semua hal yang telah
dibahas dalam bab sebelumnya. Peneliti juga menambah beberapa saran yang
berkaitan dengan hal yang dibahas dalam tesis ini.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
12
BAB II
LANDASAN TEORI
A. Pemodelan Matematika
Pemodelan matematika merupakan sebuah cara atau proses
menyederhanakan sebuah persoalan dalam dunia nyata yang sangat kompleks, dan
tidak serta-merta dapat diselesaikan, ke dalam bentuk matematis. Model
matematika dari sebuah masalah tersebut dapat berupa persamaan,
pertidaksamaan, sistem persamaan, sistem pertidaksamaan, lambang atau simbol
matematis. Lovvet (Putranto, 2017: 10) mengatakan bahwa suatu pemodelan
matematika ditandai dengan dua ciri khusus, yaitu:
1. Pemodelan diawali dan diakhiri dengan dunia nyata,
2. Pemodelan akan membentuk sebuah siklus.
Dalam prosesnya, pemodelan akan memiliki beberapa tahap yang akan saling
berhubungan satu dengan yang lain. Siklus dalam pemodelan akan selalu
mengalami perbaikan apabila ada temuan baru terkait asumsi yang digunakan
dalam membuat suatu model matematika.
Gambar 2.1. Pemodelam Matematika Menurut Lovvet
Dunia Nyata Model
Matematika
Perumusan
Perbaikan
Interpretasi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
13
Haberman (1977: 3) mengatakan bahwa mengaplikasikan matematika
dalam permasalahan dunia nyata dapat dilakukan dengan 3 langkah, yaitu:
1. Rumusan masalah, membuat perkiraan dan asumsi berdasarkan percobaan
atau pengamatan, melihat hal-hal yang perlu dikembangkan, disederhanakan,
dan memahami model matematika dari masalah tersebut;
2. Pemecahan masalah harus realistis (termasuk perhitungan yang relevan);
3. Interpretasi hasil matematis dalam konteks masalah non matematika.
Lebih lanjut dijelaskan bahwa, dalam proses membuat model matematika tidak
semua masalah dikaji, tetapi kita dapat mengkaji hanya beberapa masalah saja
dengan mempertimbangkan efek dan objek tertentu, serta melihat pengaruh mana
yang memberikan efek yang penting dan tidak penting yang mempengaruhi
masalah tersebut.
B. Tuberkulosis
Tuberkulosis (Betancourt, et al., 2017: 1), yang disingkat TB, merupakan
sebuah penyakit menular yang dapat disembuhkan dan biasanya kronis.
Tuberkulosis muncul karena terjadi penularan bakteri pada manusia dan hewan
yang disebabkan oleh bakteri Mycobacterium tuberculosis (Mtb) (Adebiyi, 2016:
1; Taufik, et al., 2015: 192). TB tidak hanya menyerang organ paru-paru dalam
tubuh tetapi dapat juga menyerang organ lain seperti otak, ginjal, usus, tulang dan
kulit (Rohaeti, et. al., 2015: 2560). Penyakit ini ditandai dengan terbentuknya
tuberkel pada paru-paru dan jaringan tubuh lainnya, yang seringkali berkembang
lama setelah infeksi awal. Penularan Mtb ini terjadi melalui udara/angin (Side,
2015:137). Hal ini terjadi ketika pasien yang menderita TB mengalami batuk,
bersin, atau berbicara, maka secara tidak sengaja melepaskan bakteri yang
terdapat pada air liur yang jatuh ke tanah. Jika tetesan terkena sinar matahari atau
suhu panas, nukleusnya menguap. Uapan tetesan air liur ini masuk ke saluran
pernafasan melalui udara yang dihirup. Orang yang menghirup tersebut,
berpotensi untuk tertular bakteri Mtb yang akhirnya menderita TB.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
14
Seorang penderita TB yang belum menunjukkan gejala terinfeksi, namun
bakteri Mtb telah berada di tubuh pasien dan belum aktif, disebut pasien TB laten.
Ini disebabkan oleh adanya kekebalan (body protector) yang bisa menghentikan
perkembangan bakteri. Pasien TB laten dapat berkembang menjadi TB aktif jika
terjadi kontak langsung dengan pasien TB aktif. Hal ini terjadi karena bakteri pada
pasien TB laten meningkat secara signifikan yang disebabkan oleh kontak
langsung tersebut (Egbetade, et al., 2013: 41).
C. Model Epidemi Susceptible-Infection-Recovery
Model SIR pertama kali dikemukakan oleh Kermack-McKendrick pada
tahun 1927 (Porwal, et al., 2015: 1). Model SIR kadang dikenal sebagai Model
Kompartemen, Model Generalized atau Model Kermack-McKendrick
(Bubniakovยดa, 2007: 24). Dalam model ini dikatakan bahwa, populasi yang diteliti
dikelompokkan dalam tiga kelompok yang diberi label ๐, ๐ผ, dan ๐ . Di sini, ๐(๐ก)
merupakan kelompok individu yang rentan (Susceptibles) terhadap penyakit yaitu
orang yang belum terinfeksi dalam waktu ๐ก; ๐ผ(๐ก) merupakan kelompok individu
yang terinfeksi (Infectives) dalam waktu ๐ก, kelompok terinfeksi ini mampu
menularkan penyakit kepada kelompok rentan (Susceptible) jika terjadi kontak
langsung; ๐ (๐ก) (Recovered atau Removed) merupakan kelompok individu yang
sudah pernah terinfeksi dan sembuh dari penyakit tersebut, serta tidak akan
terinfeksi lagi (sembuh permanen) (Allman dan Rhodes, 2004: 282; Murray,
2002:320).
Model SIR yang dikemukakan oleh Kermack-McKendrick adalah sebagai
berikut (Brauer dan Chavez, 2012: 351):
๐๐
๐๐ก= โ๐ฝ๐๐ผ
๐๐ผ
๐๐ก= ๐ฝ๐๐ผ โ ๐ผ๐ผ
๐๐
๐๐ก= ๐ผ๐ผ
(2.1)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
15
dengan,
๐ฝ adalah parameter yang mengukur jumlah rata-rata kontak yang efektif per
satuan waktu per individu infeksi (kontak yang efektif adalah infeksi yang
ditularkan dari individu yang infeksi ke individu yang rentan).
๐ผ adalah parameter tingkat pemulihan individu dari kelompok terinfeksi ke
kelompok sembuh secara permanen.
D. Metode Euler
Euler memperkenalkan metode ini dalam tiga jilid karyanya Institutiones
Calculi Integralis pada tahun 1768-1770 (Butcher, 2008: 51). Metode Euler
merupakan salah satu metode numeris tertua yang dapat menyelesaikan
persamaan diferensial dengan waktu diskrit (Elaydi, 2005: 20). Diberikan
persamaan diferensial biasa seperti berikut (Griffiths & Higham, 2010: 19):
๐๐ฅ
๐๐ก= ๐ฅโฒ(๐ก) = ๐(๐ฅ(๐ก), ๐ก), ๐ก > ๐ก0
(2.2)
๐ฅ(๐ก0) = ๐ฅ0
Penerapan metode Euler dalam menyelesaikan persamaan (2.2) di atas, dimulai
dengan menerapkan deret Taylor berikut:
๐ฅ(๐ก + โ) = ๐ฅ(๐ก) + โ๐ฅโฒ(๐ก) +1
2!โ2๐ฅโฒโฒ(๐ก) + โฏ (2.3)
Jika ๐ 1(๐ก) =1
2!โ2๐ฅโฒโฒ(โ) dengan โ๐(๐ก, ๐ก + โ), maka persamaan (2.3) di atas dapat
ditulis sebagai berikut:
๐ฅ(๐ก + โ) = ๐ฅ(๐ก) + โ๐ฅโฒ(๐ก) + ๐ 1(๐ก) (2.4)
Jika terdapat sebuah bilangan positif ๐ sedemikian sehingga |๐ฅโฒโฒ(๐ก)| โค
๐, โ ๐ก๐(๐ก0, ๐ก๐), maka akan diperoleh:
|๐ 1(๐ก)| โค1
2๐โ2, ๐ 1(๐ก) = ฮ(โ2)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
16
Selanjutnya, jika persaaan (2.2) disubstitusikan ke dalam persamaan (2.4), maka
kita akan memperoleh persamaan (2.5) berikut:
๐ฅ(๐ก + โ) = ๐ฅ(๐ก) + โ๐(๐ฅ(๐ก), ๐ก) + ๐ 1(๐ก) (2.5)
dengan, ๐ 1(๐ก) adalah kesalahan pemotongan lokal. Nilai ๐ 1(๐ก) cukup kecil karena
pengambilan nilai โ yang cukup kecil. Ketika nilai ๐ก = ๐ก๐ dengan ๐ก๐ = ๐ก0 + ๐โ,
๐ = 1: ๐ผ dan ๐ผ = (๐ก๐ โ ๐ก0)/โ adalah jumlah langkah โ yang tidak lebih dari ๐ก = ๐ก๐.
Dengan ๐ก = ๐ก๐ untuk ๐ < ๐ผ dalam persamaan (2.5) kita akan memperoleh:
๐ฅ(๐ก๐+1) = ๐ฅ(๐ก๐) + โ๐(๐ฅ(๐ก๐), ๐ก๐) + ๐ 1(๐ก๐), ๐ = 0: ๐ผ โ 1 (2.6)
dengan kondisi awal ๐ฅ(๐ก0) = ๐ฅ0.
Karena nilai ๐ 1(๐ก) = ฮ(โ2) cukup kecil (dengan pengambilan โ = ๐ก๐+1 โ ๐ก๐ yang
cukup kecil), sehingga ketika diabaikan kita akan memperoleh metode Euler
sebagai berikut:
๐ฅ๐+1 = ๐ฅ๐ + โ๐(๐ฅ๐, ๐ก๐), ๐ = 0,1,2,3, โฆ. (2.7)
Berdasarkan persamaan (2.7), jika diberikan sistem persamaan diferensial dengan
tiga buah variabel tak bebas seperti berikut:
๐ฅโฒ(๐ก) = ๐(๐ฅ(๐ก), ๐ฆ(๐ก), ๐ง(๐ก), ๐ก)
๐ฆโฒ(๐ก) = ๐(๐ฅ(๐ก), ๐ฆ(๐ก), ๐ง(๐ก), ๐ก)
๐งโฒ(๐ก) = ๐(๐ฅ(๐ก), ๐ฆ(๐ก), ๐ง(๐ก), ๐ก)
๐ฅ(๐ก0) = ๐ฅ0, ๐ฆ(๐ก0) = ๐ฆ0, ๐ง(๐ก0) = ๐ง0
maka dengan menerapakan metode Euler untuk sistem persamaan tersebut akan
diperoleh:
๐ฅ๐+1 = ๐ฅ๐ + โ๐(๐ฅ๐, ๐ฆ๐ , ๐ง๐, ๐ก๐) (2.8)
๐ฆ๐+1 = ๐ฆ๐ + โ๐(๐ฅ๐, ๐ฆ๐, ๐ง๐ , ๐ก๐) (2.9)
๐ง๐+1 = ๐ง๐ + โ๐(๐ฅ๐, ๐ฆ๐ , ๐ง๐, ๐ก๐) (2.10)
dengan,
โ = ๐ก๐+1 โ ๐ก๐, ๐ฅ(๐ก0) = ๐ฅ0, ๐ฆ(๐ก0) = ๐ฆ0, ๐ง(๐ก0) = ๐ง0
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
17
E. Metode Heun
Metode Heun merupakan salah satu metode numeris yang digunakan
untuk menyelesaikan masalah dalam dunia matematika yang memiliki masalah
nilai awal seperti pada persamaan diferensial. Metode heun ini biasa dikenal
sebagai perbaikan metode Euler. Metode ini merupakan hasil generalisasi metode
Euler oleh Heun pada tahun 1900 (Butcher, 2008: 93). Pada metode Heun, solusi
perkiraan awal diambil dari solusi yang diperoleh dari metode Euler dan biasa
disebut predictor. Kemudian, predictor ini diperbaiki dengan menggunakan
metode Heun dan disebut sebagai corrector. Diberikan persamaan diferensial orde
satu yang mempunyai syarat awal ๐ฆ(๐ก0) = ๐ฆ0,
๐ฆโฒ(๐ก) = ๐(๐ฆ(๐ก), ๐ก) (2.11)
Jika persamaan (2.11) diintegralkan kedua ruasnya dengan batasan dari ๐ก๐ sampai
๐ก๐+1 dan โ = ๐ก๐+1 โ ๐ก๐, maka diperoleh:
โซ ๐ฆโฒ(๐ก)
๐ก๐+1
๐ก๐
๐๐ก = โซ ๐(๐ฆ(๐ก), ๐ก)
๐ก๐+1
๐ก๐
๐๐ก
๐ฆ(๐ก) |๐ก๐+1
๐ก๐= โซ ๐(๐ฆ(๐ก), ๐ก)
๐ก๐+1
๐ก๐
๐๐ก
๐ฆ(๐ก๐+1) โ ๐ฆ(๐ก๐) = โซ ๐(๐ฆ(๐ก), ๐ก)
๐ก๐+1
๐ก๐
๐๐ก
๐ฆ๐+1 โ ๐ฆ๐ = โซ ๐(๐ฆ(๐ก), ๐ก)
๐ก๐+1
๐ก๐
๐๐ก
๐ฆ๐+1 = ๐ฆ๐ + โซ ๐(๐ฆ(๐ก), ๐ก)
๐ก๐+1
๐ก๐
๐๐ก (2.12)
Selanjutnya, โซ ๐(๐ฆ(๐ก), ๐ก)๐ก๐+1
๐ก๐๐๐ก dapat dicari dengan menggunakan kaidah
trapesium, sehingga diperoleh:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
18
โซ ๐(๐ฆ(๐ก), ๐ก)
๐ก๐+1
๐ก๐
๐๐ก =[๐(๐ฆ๐, ๐ก๐) + ๐(๐ฆ๐+1, ๐ก๐+1)]
2(๐ก๐+1 โ ๐ก๐)
atau
โซ ๐(๐ฆ(๐ก), ๐ก)
๐ก๐+1
๐ก๐
๐๐ก =โ
2[๐(๐ฆ๐, ๐ก๐) + ๐(๐ฆ๐+1, ๐ก๐+1)] (2.13)
Selanjutnya, persamaan (2.13) disubstitusikan ke dalam persamaan (2.12)
sehingga diperoleh:
๐ฆ๐+1 = ๐ฆ๐ +โ
2[๐(๐ฆ๐, ๐ก๐) + ๐(๐ฆ๐+1, ๐ก๐+1)] (2.14)
Persamaan (2.14) disebut sebagai persamaan metode Heun, dengan: ๐ฆ๐+1 adalah
hampiran sekarang dan ๐ฆ๐ adalah hampiran sebelumnya, dengan ๐ = 0,1,2,3, โฆ , ๐.
Nilai ๐ฆ๐+1 merupakan solusi perkiraan awal (predictor) metode Heun yang
diperoleh dengan menggunakan metode Euler. Sehingga persamaan Heun dapat
ditulis sebagai berikut:
Predictor:
๐ฆ๐+1(0)
= ๐ฆ๐ + โ๐(๐ฆ๐, ๐ก๐) (2.15)
Corrector:
๐ฆ๐+1 = ๐ฆ๐ +โ
2[๐(๐ฆ๐, ๐ก๐) + ๐(๐ฆ๐+1
(0), ๐ก๐+1)] (2.16)
Berdasarkan penjabaran metode Heun di atas, maka jika diberikan sebuah
sistem persamaan diferensial orde satu dengan tiga variabel tidak bebas:
๐ฅโฒ(๐ก) = ๐(๐ฅ(๐ก), ๐ฆ(๐ก), ๐ง(๐ก), ๐ก)
๐ฆโฒ(๐ก) = ๐(๐ฅ(๐ก), ๐ฆ(๐ก), ๐ง(๐ก), ๐ก)
๐งโฒ(๐ก) = ๐(๐ฅ(๐ก), ๐ฆ(๐ก), ๐ง(๐ก), ๐ก)
๐ฅ(๐ก0) = ๐ฅ0, ๐ฆ(๐ก0) = ๐ฆ0, ๐ง(๐ก0) = ๐ง0
(2.17)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
19
Dengan, โ = ๐ก๐+1 โ ๐ก๐ maka persamaan metode Heun untuk sistem persamaan
tersebut adalah:
Predictor:
๐ฅ๐+1(0)
= ๐ฅ๐ + โ๐(๐ฅ๐, ๐ฆ๐, ๐ง๐, ๐ก๐) (2.18)
๐ฆ๐+1(0)
= ๐ฆ๐ + โ๐(๐ฅ๐, ๐ฆ๐ , ๐ง๐, ๐ก๐) (2.19)
๐ง๐+1(0)
= ๐ง๐ + โ๐(๐ฅ๐ , ๐ฆ๐, ๐ง๐, ๐ก๐) (2.20)
Corrector
๐ฅ๐+1 = ๐ฅ๐ +โ
2[๐(๐ฅ๐ , ๐ฆ๐, ๐ง๐ , ๐ก๐) + ๐(๐ฅ๐+1
(0), ๐ฆ๐+1
(0), ๐ง๐+1
(0), ๐ก๐+1)] (2.21)
๐ฆ๐+1 = ๐ฆ๐ +โ
2[๐(๐ฅ๐, ๐ฆ๐, ๐ง๐, ๐ก๐) + ๐(๐ฅ๐+1
(0), ๐ฆ๐+1
(0), ๐ง๐+1
(0), ๐ก๐+1)] (2.22)
๐ง๐+1 = ๐ง๐ +โ
2[๐(๐ฅ๐, ๐ฆ๐ , ๐ง๐, ๐ก๐) + ๐(๐ฅ๐+1
(0), ๐ฆ๐+1
(0), ๐ง๐+1
(0), ๐ก๐+1)] (2.23)
Dengan, ๐ = 0,1,2,3,4, โฆ.
F. Metode Iterasi Variasional
Metode iterasi variasional (VIM) diperkenalkan oleh He pada tahun 1999
(Salehpoor, et al., 2010: 111). Metode iterasi variasional adalah sebuah metode
yang digunakan untuk memecahkan persamaan diferensial nonlinear yang akan
memperkirakan solusi dengan cepat dan mudah jika dibandingkan dengan metode
lain seperti metode dekomposisi Adomian (Shakeri dan Dehghan, 2007: 1199; He
dan Wu, 2007: 883; He, 1999: 699).
Metode iterasi variasional merupakan hasil modifikasi dari metode pengali
Lagrange umum yang telah terbukti dapat menemukan solusi yang efektif dan
akurat dengan mudah dari persamaan diferensial nonlinear (Abbasbandy dan
Shivanian, 2009: 147; Side, 2014: 95; Mohyud-Din, et al., 2017: 191). Dalam
metode ini, persamaan awalnya tidak diketahui dan sebuah fungsi koreksi
dibentuk oleh pengali Lagrange umum yang dapat diidentifikasi secara optimal
melalui teori variasional, serta tidak ada batasan atau asumsi yang tidak realistis
seperti linierisasi atau parameter kecil yang digunakan pada operator nonlinear
(Wu dan Lee, 2010: 2506). Metode iterasi variasional dapat dipercaya karena
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
20
banyaknya peneliti yang menggunakan metode ini dalam tulisan mereka, seperti
Abdou dan Soliman (2005: 245); Biazar dan Ghazvini (2007: 311), Sweilam dan
Khader (2007: 146); Tatari dan Dehghan (2007: 672).
Metode iterasi variasional memiliki 3 konsep utama yang digunakan untuk
menyelesaikan sebuah persamaan diferensial nonlinear yaitu pengali Lagrange,
fungsi koreksi dan variasi terbatas (Yuliyanto dan Mungkasi, 2017: 2). Untuk
menggambarkan prosedur dalam metode iterasi variasional ini, kita
mempertimbangkan persamaan diferensial berikut (Odibat, 2010: 1182):
๐ฟ๐๐(๐ก) + ๐๐๐(๐ก) = ๐๐(๐ก), ๐ = 1,2, โฆ , ๐ (2.24)
Dengan, ๐ฟ adalah operator linear, ๐ adalah operator nonlinear, dan ๐๐(๐ก) adalah
bentuk persamaan diferensial nonhomogen. Menurut metode iterasi variasional,
syarat dari barisan (๐๐(๐ก)) dibuat sedemikian rupa sehingga barisan ini
menemukan solusi yang tepat dari model matematika tersebut (Salehpoor dan
Jafari, 2011: 390). ๐๐(๐ก) dihitung dengan koreksi fungsional sebagai berikut
(Setianingrum dan Mungkasi, 2017: 2):
๐๐,๐+1(๐ก) = ๐๐,๐(๐ก) + โซ ๐๐[๐ฟ๐๐,๐(๐ ) + ๐๐๐,๐(๐ )ฬ โ ๐๐(๐ก)]๐๐
๐ก
0
(2.25)
Di sini, ๐๐ , ๐ = 1,2, โฆ , ๐ adalah pengali Lagrange yang dapat diidentifikasi secara
optimal melalui teori variasional, indeks ๐ menunjukkan aproksimasi urutan ke-๐,
๐๐,๐(๐ )ฬ dianggap sebagai variasi terbatas yaitu ๐ฟ๐๐,๐(๐ )ฬ = 0. Setelah menentukan
pengali Lagrange, VIM digunakan untuk melakukan iterasi menggunakan
pendekatan awal, yang dipilih dengan solusi linear dari persamaan yang
memenuhi kondisi awal. Sehingga, dapat diperoleh solusi yang tepat dengan
menggunakan:
๐๐ก = lim๐โโ
๐๐,๐(๐ก) (2.26)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
21
G. Persamaan Diferensial
Persamaan diferensial merupakan suatu persamaan matematika dalam
bentuk fungsi satu variabel atau lebih, yang mana persamaan tersebut akan
menghubungkan fungsi tersebut dengan turunannya dalam berbagai orde.
Persamaan diferensial memegang peranan penting dalam kesuksesan disiplin ilmu
lain seperti ilmu fisika, ekonomi, dan teknologi (Haberman, 1977; Li dan Shuai,
2010: 1). Dalam penelitian ini, laju transmisi TB dibuat dalam bentuk tiga buah
persamaan diferensial non linear.
H. Kerangka Berpikir
Sebelumnya telah dijelaskan beberapa teori tentang pemodelan
matematika, proses transmisi TB, model epidemi SIR, metode Euler, metode
Heun, metode iterasi variasional dan persamaan diferensial. Berdasarkan hal
tersebut, maka akan dibahas cara membuat persamaan diferensial laju transmisi
TB dengan model epidemi SIR yang telah dirumuskan oleh Side (2005).
Selanjutnya persamaan diferensial yang telah dimodelkan akan diselesaikan
dengan menggunakan tiga buah metode numeris yaitu metode Euler, metode Heun
dan metode iterasi variasional, kemudian akan dibuat gambar perkiraan laju
transmisi TB tersebut dengan menggunakan program MATLAB atau Maple.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
22
BAB III
ASPEK MATEMATIS PADA SISTEM TRANSMISI
TUBERKULOSIS MODEL SIR
A. Model Epidemi ๐บ๐ฐ๐น pada TB menurut Side
Model epidemik SIR untuk transmisi TB diperoleh dengan membentuk
populasi manusia menjadi tiga sub-populasi yaitu rentan (Susceptible), terinfeksi
(infected), dan dipulihkan (recovered). Setelah itu, dibuat beberapa asumsi yang
berkaitan dengan proses transmisi TB.
Menurut Side dan Sanusi (2016:11), untuk membuat model laju transmisi
TB didasarkan pada asumsi bahwa faktor yang dapat mempengaruhi laju
perubahan penularan TB terhadap waktu adalah jumlah kelahiran populasi
manusia ๐โ๐โ, jumlah manusia yang telah terinfeksi virus TB yaitu ๐พ๐ฝโ๐ผโ๐โ
๐โ, serta
kematian dari populasi manusia yang bisa terinfeksi yaitu ๐โ๐โ pada waktu yang
sama. Perubahan yang terjadi pada populasi manusia dapat dilihat seperti pada
gambar berikut:
Gambar 3.1. Diagram populasi manusia model SIR (Side dan Sanusi, 2016: 11)
๐โ๐โ
๐โ
๐ฝโ
๐พ๐ฝโ๐ผโ๐โ
๐โ
๐โ
๐ฟโ
๐โ
Suspected
Recovered
Infected I Infected II
๐โ
๐โ
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
23
Lebih lanjut dijelaskan bahwa laju perubahan jumlah manusia yang mudah
ditulari TB terhadap waktu diasumsikan dipengaruhi oleh faktor-faktor berikut:
pertama, ๐โ๐โ yaitu jumlah kelahiran populasi manusia; kedua, ๐พ๐ฝโ๐ผโ๐โ
๐โ yaitu
jumlah manusia yang telah terinfeksi; ketiga, ๐โ๐โ yaitu kematian dari populasi
manusia yang bisa terinfeksi pada waktu yang sama. Laju perubahan jumlah
manusia terinfeksi terhadap waktu dipengaruhi oleh faktor: pertama, ๐ฝโ๐โ yaitu
jumlah populasi manusia yang telah terinfeksi karena virus; kedua, ๐โ๐ผโ yaitu
jumlah kematian populasi manusia yang terinfeksi; ketiga, ๐ฟโ๐ผโ yaitu jumlah
populasi manusia yang sembuh dari infeksi. Sedangkan laju perubahan jumlah
populasi manusia yang pulih terhadap waktu dipengaruhi oleh faktor: pertama,
๐ฟโ๐ผโ yaitu jumlah populasi manusia yang sembuh dari infeksi; kedua, ๐โ๐ผ๐ yaitu
jumlah kematian populasi manusia yang terinfeksi; ketiga, ๐โ๐ โ yaitu jumlah
kematian manusia pulih. Laju perubahan jumlah manusia rentan, terinfeksi dan
sembuh dari TB dapat diilustrasikan pada gambar berikut:
Gambar 3.2. Skema Populasi Manusia untuk Penularan TB Model SIR (Side dan
Sanusi, 2016: 11)
๐โ
๐บ๐ ๐โ ๐โ๐โ
๐พ๐ฝโ๐ผโ๐โ
๐โ
๐ผ๐
๐ โ ๐โ
๐โ ๐ฟโ
๐ผโ ๐โ
๐ฝโ
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
24
Tabel 3.1. Definisi Variabel dan Parameter Model Laju Transmisi TB Epidemi
SIR (Side, 2015)
Variabel/parameter Keterangan
๐โ Jumlah manusia yang rentan
๐ผโ, ๐ผ๐ Jumlah manusia yang terinfeksi
๐ โ Jumlah manusia yang sembuh
๐โ Jumlah seluruh populasi manusia
๐โ Rasio kelahiran atau kematian populasi manusia
๐ฝโ Rasio manusia yang rentan
๐พ Rasio manusia yang diduga akan terinfeksi I ke infeksi II
๐ฟโ Rasio manusia yang terinfeksi I ke pupulasi sembuh
๐โ Rasio manusia yang terinfeksi II ke pupulasi sembuh
Laju perubahan jumlah manusia yang rentan terinfeksi TB dan mudah
ditulari terhadap waktu (๐๐โ
๐๐ก) adalah jumlah kelahiran populasi manusia ๐โ๐โ
dikurangi jumlah manusia terinfeksi oleh virus langsung ๐พ๐ฝโ๐ผโ๐โ
๐โ dan jumlah
manusia terinfeksi karena virus dari manusia terinfeksi ๐ฝโ๐โ serta jumlah populasi
manusia sehat yang meninggal ๐โ๐โ, seperti yang ditunjukkan rumus berikut:
๐๐โ
๐๐ก= ๐โ๐โ โ
๐พ๐ฝโ๐ผโ๐โ
๐โโ ๐ฝโ๐โ โ ๐โ๐โ (3.1)
Laju perubahan manusia terinfeksi I terhadap waktu (๐๐ผโ
๐๐ก) adalah jumlah populasi
manusia yang telah terinfeksi karena virus langsung ๐ฝโ๐โ dikurangi jumlah
kematian populasi manusia yang terinfeksi ๐โ๐ผโ dan jumlah populasi manusia
yang sembuh dari virus ๐ฟโ๐ผโ, seperti yang ditunjukkan oleh persamaan diferensial
berikut:
๐๐ผโ
๐๐ก= ๐ฝโ๐โ โ (๐โ + ๐ฟโ)๐ผโ (3.2)
Laju perubahan manusia terinfeksi II terhadap waktu (๐๐ผ๐
๐๐ก) adalah jumlah
populasi manusia yang telah terinfeksi karena virus dari manusia yang terinfeksi
๐พ๐ฝโ๐ผโ๐โ
๐โ dikurangi jumlah kematian populasi manusia yang terinfeksi ๐โ๐ผ๐ dan
jumlah populasi manusia yang sembuh dari virus ๐โ๐ผ๐, seperti yang ditunjukkan
oleh persamaan diferensial berikut:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
25
๐๐ผ๐
๐๐ก=
๐พ๐ฝโ๐ผโ๐โ
๐โโ (๐โ + ๐โ)๐ผ๐ (3.3)
Laju perubahan jumlah populasi manusia yang pulih terhadap waktu (๐๐ โ
๐๐ก)
adalah selisih dari jumlah manusia yang telah sembuh dari infeksi ๐ฟโ๐ผโ dan ๐โ๐ผ๐
dengan jumlah kematian manusia yang telah pulih dari virus, seperti yang
ditunjukkan oleh persamaan diferensial berikut:
๐๐ โ
๐๐ก= ๐ฟโ๐ผโ + ๐โ๐ผ๐ โ ๐โ๐ โ (3.4)
Gambar 3.2 di atas, jika ditafsirkan membentuk sistem persamaan
diferensial nonlinear model epidemik ๐๐ผ๐ dari transmisi TB, seperti berikut ini:
๐๐โ
๐๐ก= ๐โ๐โ โ
๐พ๐ฝโ๐ผโ๐โ
๐โโ ๐ฝโ๐โ โ ๐โ๐โ
(3.5)
๐๐ผโ
๐๐ก= ๐ฝโ๐โ โ (๐โ + ๐ฟโ)๐ผโ
๐๐ผ๐
๐๐ก=
๐พ๐ฝโ๐ผโ๐โ
๐โโ (๐โ + ๐โ)๐ผ๐
๐๐ โ
๐๐ก= ๐ฟโ๐ผโ + ๐โ๐ผ๐ โ ๐โ๐ โ
dengan, ๐โ(๐ก) adalah konstan, ๐โ(๐ก) = ๐โ(๐ก) + ๐ผโ(๐ก) + ๐ผ๐(๐ก) + ๐ โ(๐ก), atau
๐ โ(๐ก) = ๐โ(๐ก) โ (๐โ(๐ก) + ๐ผโ(๐ก) + ๐ผ๐(๐ก)).
Sistem persamaan nonlinear (3.5) di atas dapat disederhanakan dengan
menggunakan pecahan berikut:
๐ฅ(๐ก) =๐โ
๐โ, ๐ฆ(๐ก) =
๐ผโ
๐โ, ๐ง(๐ก) =
๐ผ๐
๐โ (3.6)
Dengan demikian, model populasi laju transmisi TB epidemi ๐๐ผ๐ akan menjadi
seperti berikut:
๐๐ฅ
๐๐ก= ๐โ โ ๐ฝโ๐ฅ โ ๐พ๐ฝโ๐ฅ๐ฆ โ ๐โ๐ฅ
(3.7) ๐๐ฆ
๐๐ก= ๐ฝโ๐ฅ โ ๐ผ๐ฆ
๐๐ง
๐๐ก= ๐พ๐ฝโ๐ฅ๐ฆ โ ๐๐ง
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
26
dengan, ๐ฅ(๐ก) =๐โ
๐โ, ๐ฆ(๐ก) =
๐ผโ
๐โ, ๐ง(๐ก) =
๐ผ๐
๐โ, ๐ผ = ๐โ + ๐ฟโ, ๐ = ๐โ + ๐โ. Lebih
lanjut, ๐โ adalah jumlah total populasi, ๐โ adalah jumlah manusia yang rentan
terhadap TB, ๐ผโ adalah jumlah manusia yang terinfeksi TB, dan ๐ โ adalah jumlah
manusia yang sembuh dari TB. ๐โ๐ผ๐ adalah jumlah orang yang pulih dari wabah
penyakit, ๐โ adalah tingkat kelahiran atau kematian pada populasi manusia, ๐ฝโ
adalah tingkat manusia rentan terinfeksi, ๐พ adalah tingkat populasi yang rentan
terinfeksi I ke terinfeksi II, ๐ฟโ adalah parameter jumlah populasi yang yang
sembuh dari populasi terinfeksi I, dan ๐โ adalah parameter jumlah populasi yang
sembuh dari terinfeks II.
B. Penyelesaian Sistem Transmisi TB Model ๐๐๐ dengan Metode Euler
Telah diperoleh bahwa persamaan diferensial nonlinear laju transmisi TB
model epidemi ๐๐ผ๐ adalah sebagai berikut:
๐๐ฅ
๐๐ก= ๐โ โ ๐ฝโ๐ฅ โ ๐พ๐ฝโ๐ฅ๐ฆ โ ๐โ๐ฅ (3.8)
๐๐ฆ
๐๐ก= ๐ฝโ๐ฅ โ (๐โ + ๐ฟโ)๐ฆ (3.9)
๐๐ง
๐๐ก= ๐พ๐ฝโ๐ฅ๐ฆ โ (๐โ + ๐โ)๐ง (3.10)
Dalam menerapkan metode Euler pada ketiga persamaan ((3.8) โ (3.10)) di atas,
dapat dilakukan dengan cara mengkonstruksi model tersebut sesuai dengan
persamaan (2.8)-(2.10) sehingga diperoleh sebagai berikut:
๐ฅ๐+1 = ๐ฅ๐ + โ(๐โ โ ๐ฝโ๐ฅ๐ โ ๐พ๐ฝโ๐ฅ๐๐ฆ๐ โ ๐โ๐ฅ๐) (3.11)
๐ฆ๐+1 = ๐ฆ๐ + โ(๐ฝโ๐ฅ๐ โ (๐โ + ๐ฟโ)๐ฆ๐) (3.12)
๐ง๐+1 = ๐ง๐ + โ(๐พ๐ฝโ๐ฅ๐๐ฆ๐ โ (๐โ + ๐โ)๐ง๐) (3.13)
dengan, โ = ๐ก๐+1 โ ๐ก๐ , ๐ฅ(๐ก0) = ๐ฅ0, ๐ฆ(๐ก0) = ๐ฆ0, ๐ง(๐ก0) = ๐ง0, dan ๐ = 0,1,2,3,4, โฆ.
Untuk menyelesaikan permasalahan pada persamaan (3.8)-(3.10) dengan
menggunakan metode Euler pada persamaan (3.11)-(3.13), maka kita memerlukan
data awal. Jika diberikan data awal seperti yang terlihat dalam tabel 3.2 berikut:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
27
Tabel 3.2 Nilai Awal dan Nilai Parameter Transmisi TB (Side, 2015:138)
Kondisi Awal
dan Parameter
Nilai Kondisi Awal/Parameter
Simulasi 1 Simulasi II Simulasi III Simulasi IV
๐โ 8386763 8386763 1450000 1450000
๐โ 8377828 8377828 1446500 1446500
๐ผโ 8000 8000 3000 3000
๐ผ๐ 939 939 500 500
๐ โ 4 4 0 0
๐ฅ(๐ก0) = ๐ฅ0 0.998935 0.998935 0.997586 0.997586
๐ฆ(๐ก0) = ๐ฆ0 0.000954 0.000954 0.002069 0.002069
๐ง(๐ก0) = ๐ง0 0.000112 0.000112 0.000345 0.000345
๐โ 0.000046 0.015000 0.000150 0.050000
๐ฝโ 0.326666 0.325000 0.212500 0.120000
๐พ 0.123111 0.125000 0.020050 0.130000
๐ฟโ 0.041230 0.055000 0.200050 0.020000
๐โ 0.003700 0.165000 0.150000 0.150000
Dengan menerapkan nilai pada tabel 3.2 di atas pada persamaan (3.11)-(3.13),
maka dapat diperoleh:
1. Simulasi I
Dengan menerapkan data awal (simulasi I), โ = 0.1, dan ๐ = 0,1,2,3, โฆ, pada
persamaan (3.14)-(3.16) berikut, maka diperoleh iterasi perhitungan metode
Euler berikut:
๐ฅ๐+1 = ๐ฅ๐ + โ(0.000046 โ 0.326666๐ฅ๐ โ 0.040216๐ฅ๐๐ฆ๐
โ 0.000046๐ฅ๐) (3.14)
๐ฆ๐+1 = ๐ฆ๐ + โ(0.326666๐ฅ๐ โ 0.041276๐ฆ๐) (3.15)
๐ง๐+1 = ๐ง๐ + โ(0.040216๐ฅ๐๐ฆ๐ โ 0.003746๐ง๐) (3.16)
๐ฅ1 = ๐ฅ0 + (0.1)(0.000046 โ 0.326666๐ฅ0 โ 0.040216๐ฅ0๐ฆ0
โ 0.000046๐ฅ0)
๐ฅ1 = 0.966299
(3.17)
๐ฆ1 = ๐ฆ0 + (0.1)(0.326666๐ฅ0 โ 0.041276๐ฆ0)
๐ฆ1 = 0.033582
(3.18)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
28
๐ง1 = ๐ง0 + (0.1)(0.040216๐ฅ0๐ฆ0 โ 0.003746๐ง0)
๐ง1 = 0.000116
(3.19)
๐ฅ2 = ๐ฅ1 + (0.1)(0.000046 โ 0.326666๐ฅ1 โ 0.040216๐ฅ1๐ฆ1
โ 0.000046๐ฅ1)
๐ฅ2 = 0.934603
(3.20)
๐ฆ2 = ๐ฆ1 + (0.1)(0.326666๐ฅ1 โ 0.041276๐ฆ1)
๐ฆ2 = 0.065009
(3.21)
๐ง2 = ๐ง1 + (0.1)(0.040216๐ฅ1๐ฆ1 โ 0.003746๐ง1)
๐ง2 = 0.000246
(3.22)
Jika iterasi dilanjutkan sampai ๐ = 50, maka kita akan memperoleh nilai ๐ฅ๐ , ๐ฆ๐,
dan ๐ง๐ dengan menggunakan software MATLAB (program dapat dilihat pada
Lampiran I, simulasi I) seperti pada gambar 3.3 berikut ini (data perhitungan
lihat Lampiran V, tabel L.5.1):
Gambar 3.3 Grafik pendekatan solusi sistem transmisi TB model epidemi SIR
menggunakan metode Euler (Simulasi I)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
29
2. Simulasi II
Dengan menerapkan โ = 0.1, dan ๐ = 0,1,2,3, โฆ, maka diperoleh iterasi
berikut:
๐ฅ๐+1 = ๐ฅ๐ + โ(0.015 โ 0.325๐ฅ๐ โ 0.040625๐ฅ๐๐ฆ๐ โ 0.015๐ฅ๐) (3.23)
๐ฆ๐+1 = ๐ฆ๐ + โ(0.325๐ฅ๐ โ 0.07๐ฆ๐) (3.24)
๐ง๐+1 = ๐ง๐ + โ(0.040625๐ฅ๐๐ฆ๐ โ 0.18๐ง๐) (3.25)
๐ฅ1 = ๐ฅ0 + (0.1)(0.015 โ 0.325๐ฅ0 โ 0.040625๐ฅ0๐ฆ0 โ 0.015๐ฅ0)
๐ฅ1 = 0.966467
(3.26)
๐ฆ1 = ๐ฆ0 + (0.1)(0.325๐ฅ0 โ 0.07๐ฆ0)
๐ฆ1 = 0.033413
(3.27)
๐ง1 = ๐ง0 + (0.1)(0.040625๐ฅ0๐ฆ0 โ 0.18๐ง0)
๐ง1 = 0.000114
(3.28)
๐ฅ2 = ๐ฅ1 + (0.1)(0.015 โ 0.325๐ฅ1 โ 0.040625๐ฅ1๐ฆ1 โ 0.015๐ฅ1)
๐ฅ2 = 0.934976
(3.29)
๐ฆ2 = ๐ฆ1 + (0.1)(0.325๐ฅ1 โ 0.07๐ฆ1)
๐ฆ2 = 0.064589
(3.30)
๐ง2 = ๐ง1 + (0.1)(0.040625๐ฅ1๐ฆ1 โ 0.18๐ง1)
๐ง2 = 0.000243
(3.31)
Jika iterasi dilanjutkan sampai ๐ = 50, maka kita akan memperoleh nilai ๐ฅ๐ , ๐ฆ๐,
dan ๐ง๐ dengan menggunakan software MATLAB (program dapat dilihat pada
Lampiran I, simulasi II) seperti pada gambar 3.4 (data perhitungan lihat
Lampiran V, tabel L.5.2) berikut ini:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
30
Gambar 3.4 Grafik pendekatan solusi sistem transmisi TB model epidemi SIR
menggunakan metode Euler (Simulasi II)
3. Simulasi III
Dengan menerapkan โ = 0.1, dan ๐ = 0,1,2,3, โฆ, maka diperoleh iterasi
berikut:
๐ฅ๐+1 = ๐ฅ๐ + โ(0.00015 โ 0.2125๐ฅ๐ โ 0.004261๐ฅ๐๐ฆ๐
โ 0.00015๐ฅ๐) (3.32)
๐ฆ๐+1 = ๐ฆ๐ + โ(0.2125๐ฅ๐ โ 0.2002๐ฆ๐) (3.33)
๐ง๐+1 = ๐ง๐ + โ(0.004261๐ฅ๐๐ฆ๐ โ 0.15015๐ง๐) (3.34)
๐ฅ1 = ๐ฅ0 + (0.1)(0.00015 โ 0.2125๐ฅ0 โ 0.004261๐ฅ0๐ฆ0
โ 0.00015๐ฅ0)
๐ฅ1 = 0.976386
(3.35)
๐ฆ1 = ๐ฆ0 + (0.1)(0.2125๐ฅ0 โ 0.2002๐ฆ0)
๐ฆ1 = 0.023226
(3.36)
๐ง1 = ๐ง0 + (0.1)(0.004261๐ฅ0๐ฆ0 โ 0.15015๐ง0)
๐ง1 = 0.000341
(3.37)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
31
๐ฅ2 = ๐ฅ1 + (0.1)(0.00015 โ 0.2125๐ฅ1 โ 0.004261๐ฅ1๐ฆ1
โ 0.00015๐ฅ1)
๐ฅ2 = 0.955629
(3.38)
๐ฆ2 = ๐ฆ1 + (0.1)(0.2125๐ฅ1 โ 0.2002๐ฆ1)
๐ฆ2 = 0.043510
(3.39)
๐ง2 = ๐ง1 + (0.1)(0.004261๐ฅ1๐ฆ1 โ 0.15015๐ง1)
๐ง2 = 0.000345
(3.40)
Jika iterasi dilanjutkan sampai ๐ = 50, maka kita akan memperoleh nilai ๐ฅ๐ , ๐ฆ๐,
dan ๐ง๐ dengan menggunakan software MATLAB (program dapat dilihat pada
Lambiran I, simulasi III) seperti pada gambar 3.5 berikut ini (data perhitungan
lihat Lampiran V, tabel L.5.3):
Gambar 3.5 Grafik pendekatan solusi sistem transmisi TB model epidemi SIR
menggunakan metode Euler (Simulasi III)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
32
4. Simulasi IV
Dengan menerapkan โ = 0.1, dan ๐ = 0,1,2,3, โฆ, maka diperoleh iterasi
berikut:
๐ฅ๐+1 = ๐ฅ๐ + โ(0.05 โ 0.12๐ฅ๐ โ 0.0156๐ฅ๐๐ฆ๐ โ 0.05๐ฅ๐) (3.40)
๐ฆ๐+1 = ๐ฆ๐ + โ(0.12๐ฅ๐ โ 0.07๐ฆ๐) (3.41)
๐ง๐+1 = ๐ง๐ + โ(0.0156๐ฅ๐๐ฆ๐ โ 0.2๐ง๐) (3.42)
๐ฅ1 = ๐ฅ0 + (0.1)(0.05 โ 0.12๐ฅ๐ โ 0.0156๐ฅ0๐ฆ0 โ 0.05๐ฅ0)
๐ฅ1 = 0.985624
(3.43)
๐ฆ1 = ๐ฆ0 + (0.1)(0.12๐ฅ0 โ 0.07๐ฆ0)
๐ฆ1 = 0.014026
(3.44)
๐ง1 = ๐ง0 + (0.1)(0.0156๐ฅ0๐ฆ0 โ 0.2๐ง0)
๐ง1 = 0.000341
(3.45)
๐ฅ2 = ๐ฅ1 + (0.1)(0.05 โ 0.12๐ฅ1 โ 0.0156๐ฅ1๐ฆ1 โ 0.05๐ฅ1)
๐ฅ2 = 0.973847
(3.46)
๐ฆ2 = ๐ฆ1 + (0.1)(0.12๐ฅ1 โ 0.07๐ฆ1)
๐ฆ2 = 0.025755
(3.47)
๐ง2 = ๐ง1 + (0.1)(0.0156๐ฅ1๐ฆ1 โ 0.2๐ง1)
๐ง2 = 0.000356
(3.48)
Jika iterasi dilanjutkan sampai ๐ = 50, maka kita akan memperoleh nilai ๐ฅ๐ , ๐ฆ๐,
dan ๐ง๐ dengan menggunakan software MATLAB (program dapat dilihat pada
Lambiran I, simulasi IV) seperti pada gambar 3.6 berikut ini (data perhitungan
lihat Lampiran V, tabel L.5.4):
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
33
Gambar 3.6 Grafik pendekatan solusi sistem transmisi TB model epidemi SIR
menggunakan metode Euler (Simulasi IV)
C. Penyelesaian Sistem Transmisi TB Model ๐๐๐ dengan Metode Heun
Penerapan metode Heun pada ketiga persamaan ((3.8) โ (3.10)) di atas
dilakukan dengan mengkonstruksi model sesuai dengan persamaan (2.18)-(2.23)
sehingga diperoleh seperti berikut:
Predictor:
๐ฅ๐+1(0)
= ๐ฅ๐ + โ(๐โ โ ๐ฝโ๐ฅ๐ โ ๐พ๐ฝโ๐ฅ๐๐ฆ๐ โ ๐โ๐ฅ๐) (3.49)
๐ฆ๐+1(0)
= ๐ฆ๐ + โ(๐ฝโ๐ฅ๐ โ (๐โ + ๐ฟโ)๐ฆ๐) (3.50)
๐ง๐+1(0)
= ๐ง๐ + โ(๐พ๐ฝโ๐ฅ๐๐ฆ๐ โ (๐โ + ๐โ)๐ง๐) (3.51)
Corrector:
๐ฅ๐+1 = ๐ฅ๐ +โ
2[(๐โ โ ๐ฝโ๐ฅ๐ โ ๐พ๐ฝโ๐ฅ๐๐ฆ๐ โ ๐โ๐ฅ๐)
+ (๐โ โ ๐ฝโ๐ฅ๐+1(0)
โ ๐พ๐ฝโ๐ฅ๐+1(0)
๐ฆ๐+1(0)
โ ๐โ๐ฅ๐+1(0)
)]
(3.52)
๐ฆ๐+1 = ๐ฆ๐ +โ
2[(๐ฝโ๐ฅ๐ โ (๐โ + ๐ฟโ)๐ฆ๐) + (๐ฝโ๐ฅ๐+1
(0)โ (๐โ + ๐ฟโ)๐ฆ๐+1
(0))] (3.53)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
34
๐ง๐+1 = ๐ง๐ +โ
2[(๐พ๐ฝโ๐ฅ๐๐ฆ๐ โ (๐โ + ๐โ)๐ง๐) + (๐พ๐ฝโ๐ฅ๐+1
(0)๐ฆ๐+1
(0)
โ (๐โ + ๐โ)๐ง๐+1(0)
)] (3.54)
Dengan,
๐ = 0,1,2,3,4, โฆ.
Penyelesaian persamaan (3.8)-(3.10) dengan menggunakan metode Heun pada
persamaan (3.49)-(3.54), dapat dilakukan dengan menggunakan data awal yang
terdapat pada tabel 3.2, sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut:
1. Simulasi I
Dengan menerapkan data awal yang telah diketahui, maka akan diperoleh
iterasi berikut:
Untuk ๐ = 0,1,2,3, โฆ ; dan โ = 0.1.
Predictor:
๐ฅ1(0)
= ๐ฅ0 + (0.1)(0.000046 โ 0.326666๐ฅ0 โ 0.040216๐ฅ0๐ฆ0 โ
0.000046๐ฅ0)
๐ฅ1(0)
= 0.966299
(3.55)
๐ฆ1(0)
= ๐ฆ0 + (0.1)(0.326666๐ฅ0 โ 0.041276๐ฆ0)
๐ฆ1(0)
= 0.033581
(3.56)
๐ง1(0)
= ๐ง0 + (0.1)(0.040216๐ฅ0๐ฆ0 โ 0.003746๐ง0)
๐ง1(0)
= 0.000116
(3.57)
Corrector:
๐ฅ1 = ๐ฅ0 +0.1
2[(0.000046 โ 0.326666๐ฅ0 โ 0.040216๐ฅ0๐ฆ0 โ
0.000046๐ฅ0) + (0.000046 โ 0.326666๐ฅ(0)1 โ
0.040216๐ฅ(0)1๐ฆ(0)
1โ 0.000046๐ฅ(0)
1)]
๐ฅ1 = 0.966769
(3.58)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
35
๐ฆ1 = ๐ฆ0 +0.1
2[(0.326666๐ฅ0 โ 0.041276๐ฆ0) +
(0.326666๐ฅ(0)1 โ 0.041276๐ฆ(0)
1)]
๐ฆ1 = 0.032981
(3.59)
๐ง1 = ๐ง0 +โ
2[(0.040216๐ฅ0๐ฆ0 โ 0.003746๐ง0) +
(0.040216๐ฅ(0)1๐ฆ(0)
1โ 0.003746๐ง(0)
1)]
๐ง1 = 0.000179
(3.60)
Berdasarkan hasil iterasi metode Heun (lihat Lampiran VI, tabel L.6.1), maka
dengan menggunakan program MATLAB (lihat lampiran II, Simulasi I) dapat
diperoleh grafik pendekatan solusi dari sistem transmisi TB mode SIR dengan
data awal yang diketahui (Simulasi I) seperti gambar 3.7 berikut ini:
Gambar 3.7 Grafik pendekatan solusi sistem transmisi TB model epidemi SIR
menggunakan metode Heun (Data Simulasi I)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
36
2. Simulasi II
Dengan menerapkan data awal yang telah diketahui, maka dapat diperoleh
penyelesaian dengan menggunakan metode Heun seperti yang ditunjukan
berikut:
Untuk ๐ = 0,1,2,3, โฆ ; dan โ = 0.1.
Predictor:
๐ฅ1(0)
= ๐ฅ0 + (0.1)(0.015 โ 0.325๐ฅ0 โ 0.040625๐ฅ0๐ฆ0 โ 0.015๐ฅ0)
๐ฅ1(0)
= 0.966467
(3.61)
๐ฆ1(0)
= ๐ฆ0 + (0.1)(0.325๐ฅ0 โ 0.07๐ฆ0)
๐ฆ1(0)
= 0.033413
(3.62)
๐ง1(0)
= ๐ง0 + (0.1)(0.040625๐ฅ0๐ฆ0 โ 0.18๐ง0)
๐ง1(0)
= 0.000114
(3.63)
Corrector:
๐ฅ1 = ๐ฅ0 +0.1
2[(0.015 โ 0.325๐ฅ0 โ 0.040625๐ฅ0๐ฆ0 โ 0.015๐ฅ0) +
(0.015 โ 0.325๐ฅ(0)1 โ 0.040625๐ฅ(0)
1๐ฆ(0)1
โ
0.015๐ฅ(0)1)]
๐ฅ1 = 0.966956
(3.64)
๐ฆ1 = ๐ฆ0 +0.1
2[(0.325๐ฅ0 โ 0.07๐ฆ0) + (0.325๐ฅ(0)
1 โ 0.07๐ฆ(0)1
)]
๐ฆ1 = 0.032772
(3.65)
๐ง1 = ๐ง0 +โ
2[(0.040625๐ฅ0๐ฆ0 โ 0.18๐ง0) + (0.040625๐ฅ(0)
1๐ฆ(0)1
โ
0.18๐ง(0)1)]
๐ง1 = 0.000177
(3.66)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
37
Berdasarkan hasil iterasi metode Heun (lihat Lampiran VI, tabel L.6.2), maka
dengan menggunakan program MATLAB (lihat lampiran II, Simulasi II)
dapat diperoleh grafik pendekatan solusi dari sistem transmisi TB mode SIR
dengan data awal yang diketahui (Simulasi II) seperti gambar 3.8 berikut ini:
Gambar 3.8 Grafik pendekatan solusi sistem transmisi TB model epidemi SIR
menggunakan metode Heun (Data Simulasi II)
3. Simulasi III
Dengan menerapkan data awal yang telah diketahui, maka dapat diperoleh
penyelesaian dengan menggunakan metode Heun seperti yang ditunjukan
berikut:
Untuk ๐ = 0,1,2,3, โฆ ; dan โ = 0.1.
Predictor:
๐ฅ1(0)
= ๐ฅ0 + (0.1)(0.00015 โ 0.2125๐ฅ0 โ 0.004261๐ฅ0๐ฆ0 โ
0.00015๐ฅ0)
๐ฅ1(0)
= 0.976379
(3.67)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
38
๐ฆ1(0)
= ๐ฆ0 + (0.1)(0.2125๐ฅ0 โ 0.2002๐ฆ0)
๐ฆ1(0)
= 0.023226
(3.68)
๐ง1(0)
= ๐ง0 + (0.1)(0.004261๐ฅ0๐ฆ0 โ 0.15015๐ง0)
๐ง1(0)
= 0.000341
(3.69)
Corrector:
๐ฅ1 = ๐ฅ0 +0.1
2[(0.00015 โ 0.2125๐ฅ0 โ 0.004261๐ฅ0๐ฆ0 โ
0.00015๐ฅ0) + (0.00015 โ 0.2125๐ฅ(0)1 โ
0.004261๐ฅ(0)1๐ฆ(0)
1โ 0.00015๐ฅ(0)
1)]
๐ฅ1 = 0.976604
(3.70)
๐ฆ1 = ๐ฆ0 +0.1
2[(0.2125๐ฅ0 โ 0.2002๐ฆ0) + (0.2125๐ฅ(0)
1 โ
0.2002๐ฆ(0)1
)]
๐ฆ1 = 0.022789
(3.71)
๐ง1 = ๐ง0 +0.1
2[(0.004261๐ฅ0๐ฆ0 โ 0.15015๐ง0) +
(0.004261๐ฅ(0)1๐ฆ(0)
1โ 0.15015๐ง(0)
1)]
๐ง1 = 0.000345
(3.72)
Berdasarkan hasil iterasi metode Heun (lihat Lampiran VI, tabel L.6.3), maka
dengan menggunakan program MATLAB (lihat lampiran II, Simulasi III)
dapat diperoleh grafik pendekatan solusi dari sistem transmisi TB mode SIR
dengan data awal yang diketahui (Simulasi III) seperti gambar 3.9 berikut ini:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
39
Gambar 3.9 Grafik pendekatan solusi sistem transmisi TB model epidemi SIR
menggunakan metode Heun (Data Simulasi III)
4. Simulasi IV
Dengan menerapkan data awal yang telah diketahui, maka dapat diperoleh
penyelesaian dengan menggunakan metode Heun seperti yang ditunjukan
berikut:
Untuk ๐ = 0,1,2,3, โฆ ; dan โ = 0.1.
Predictor:
๐ฅ1(0)
= ๐ฅ0 + (0.1)(0.05 โ 0.12๐ฅ0 โ 0.0156๐ฅ0๐ฆ0 โ 0.05๐ฅ0)
๐ฅ1(0)
= 0.985624
(3.73)
๐ฆ1(0)
= ๐ฆ0 + (0.1)(0.12๐ฅ0 โ 0.07๐ฆ0)
๐ฆ1(0)
= 0.014026
(3.74)
๐ง1(0)
= ๐ง0 + (0.1)(0.0156๐ฅ0๐ฆ0 โ 0.2๐ง0)
๐ง1(0)
= 0.000341
(3.75)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
40
Corrector:
๐ฅ1 = ๐ฅ0 +0.1
2[(0.05 โ 0.12๐ฅ0 โ 0.0156๐ฅ0๐ฆ0 โ 0.05๐ฅ0) +
(0.05 โ 0.12๐ฅ(0)1 โ 0.0156๐ฅ(0)
1๐ฆ(0)1
โ 0.05๐ฅ(0)1)]
๐ฅ1 = 0.985716
(3.76)
๐ฆ1 = ๐ฆ0 +0.1
2[(0.12๐ฅ0 โ 0.07๐ฆ0) + (0.12๐ฅ(0)
1 โ 0.07๐ฆ(0)1
)]
๐ฆ1 = 0.013912
(3.77)
๐ง1 = ๐ง0 +0.1
2[(0.0156๐ฅ0๐ฆ0 โ 0.2๐ง0) + (0.0156๐ฅ(0)
1๐ฆ(0)1
โ
0.2๐ง(0)1)]
๐ง1 = 0.000351
(3.78)
Berdasarkan hasil iterasi metode Heun (lihat Lampiran VI, tabel L.6.4), maka
dengan menggunakan program MATLAB (lihat lampiran II, Simulasi IV)
dapat diperoleh grafik pendekatan solusi dari sistem transmisi TB mode SIR
dengan data awal yang diketahui (Simulasi IV) seperti gambar 3.10 berikut
ini:
Gambar 3.10 Grafik pendekatan solusi sistem transmisi TB model epidemi SIR
menggunakan metode Heun (Data Simulasi IV)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
41
D. Penyelesaian Sistem Transmisi TB Model ๐๐๐ dengan Metode Iterasi
Variasional
Penerapan VIM pada ketiga persamaan ((3.8) โ (3.10)) di atas dilakukan
dengan mengkonstruksi model sesuai dengan persamaan (2.25) sehingga
diperoleh seperti berikut:
๐ฅ(๐ + 1) = ๐ฅ๐ + โซ ๐1 [๐๐ฅ๐
๐๐ โ ๐โ + ๐ฝโ๐ฅ๐ + ๐พ๐ฝโ๐ฅ๐๐ฆ๏ฟฝฬ๏ฟฝ + ๐โ๐ฅ๐] ๐๐
๐ก
0
(3.79)
๐ฆ(๐ + 1) = ๐ฆ๐ + โซ ๐2 [๐๐ฆ๐
๐๐ โ ๐ฝโ๐ฅ๏ฟฝฬ๏ฟฝ + ๐ผ๐ฆ๐] ๐๐
๐ก
0
(3.80)
๐ง(๐ + 1) = ๐ง๐ + โซ ๐3 [๐๐ง๐
๐๐ โ ๐พ๐ฝโ๐ฅ๐๐ฆ๏ฟฝฬ๏ฟฝ + ๐๐ง๐] ๐๐
๐ก
0
(3.81)
Dengan ๐๐,๐(๐ )ฬ merupakan variasi terbatas yaitu ๐ฟ๐๐,๐(๐ )ฬ = 0 dan ๐๐ dengan ๐ =
1,2,3 adalah pengali Lagrange umum yang dapat diidentifikasi secara optimal
melalui teori iterasi variasional dan tanda pembeda ๐ untuk menunjukan iterasi
ke-๐. Dalam mengoptimalkan ๐(๐ ), kita mengikuti proses berikut:
๐ฟ๐ฅ(๐ + 1) = ๐ฟ๐ฅ๐ + ๐ฟ โซ ๐1 [๐๐ฅ๐
๐๐ โ ๐โ + ๐ฝโ๐ฅ๐ + ๐พ๐ฝโ๐ฅ๐๐ฆ๏ฟฝฬ๏ฟฝ + ๐โ๐ฅ๐] ๐๐
๐ก
0
(3.82)
๐ฟ๐ฆ(๐ + 1) = ๐ฟ๐ฆ๐ + ๐ฟ โซ ๐2 [๐๐ฆ๐
๐๐ โ ๐ฝโ๐ฅ๏ฟฝฬ๏ฟฝ + ๐ผ๐ฆ๐] ๐๐
๐ก
0
(3.83)
๐ฟ๐ง(๐ + 1) = ๐ฟ๐ง๐ + ๐ฟ โซ ๐3 [๐๐ง๐
๐๐ โ ๐พ๐ฝโ๐ฅ๐๐ฆ๏ฟฝฬ๏ฟฝ + ๐๐ง๐] ๐๐
๐ก
0
(3.84)
Dengan, ๐ฅ๏ฟฝฬ๏ฟฝ, ๐ฆ๏ฟฝฬ๏ฟฝ , dan ๐ง๏ฟฝฬ๏ฟฝ merupakan variasi terbatas yaitu ๐ฟ๐ฅ๏ฟฝฬ๏ฟฝ = 0, ๐ฟ๐ฆ๏ฟฝฬ๏ฟฝ = 0, dan
๐ฟ๐ง๏ฟฝฬ๏ฟฝ = 0. Sehingga diperoleh sebagai berikut:
๐ฟ๐ฅ(๐ + 1) = ๐ฟ๐ฅ๐ + ๐ฟ โซ ๐1 [๐๐ฅ๐
๐๐ โ ๐โ + ๐ฝโ๐ฅ๐ + ๐โ๐ฅ๐] ๐๐
๐ก
0
(3.85)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
42
atau
๐ฟ๐ฅ(๐ + 1) = ๐ฟ๐ฅ๐ + โซ [๐ฟ๐1
๐๐ฅ๐
๐๐ โ ๐ฟ๐1๐โ + ๐ฟ๐1(๐ฝโ + ๐โ)๐ฅ๐] ๐๐
๐ก
0
(3.88)
๐ฟ๐ฆ(๐ + 1) = ๐ฟ๐ฆ๐ + โซ [๐ฟ๐2
๐๐ฆ๐
๐๐ + ๐ผ๐ฟ๐2๐ฆ๐] ๐๐
๐ก
0
(3.89)
๐ฟ๐ง(๐ + 1) = ๐ฟ๐ง๐ + โซ [๐ฟ๐3
๐๐ง๐
๐๐ + ๐ฟ๐3๐๐ง๐] ๐๐
๐ก
0
(3.90)
Agar memperoleh kondisi tetap, maka harus dicari nilai ๐1, ๐2, dan ๐3 dengan cara
menyelesaikan persamaan (3.88)-(3.90) dengan menerapkan konsep integral
parsial sehingga diperoleh seperti berikut:
๐ฟ๐ฅ(๐ + 1) = ๐ฟ๐ฅ๐ + ๐ฟ๐1๐ฅ๐
โ โซ[(๐ฅ๐๐ฟ๐โฒ1 โ ๐ฟ๐1(๐ฝโ + ๐โ)๐ฅ๐) + ๐ฟ๐1๐โ]๐๐
๐ก
0
(3.91)
๐ฟ๐ฆ(๐ + 1) = ๐ฟ๐ฆ๐ + ๐ฟ๐2๐ฆ๐ โ โซ[๐ฟ๐โฒ2๐ฆ๐]๐๐
๐ก
0
+ โซ[๐ผ๐ฟ๐2๐ฆ๐]๐๐
๐ก
0
(3.92)
๐ฟ๐ง(๐ + 1) = ๐ฟ๐ง๐ + ๐ฟ๐3๐ง๐ โ โซ[๐ฟ๐โฒ3๐ง๐]๐๐
๐ก
0
+ โซ[๐๐ฟ๐ง๐]๐๐
๐ก
0
(3.93)
atau
๐ฟ๐ฆ(๐ + 1) = ๐ฟ๐ฆ๐ + ๐ฟ โซ ๐2 [๐๐ฆ๐
๐๐ + ๐ผ๐ฆ๐] ๐๐
๐ก
0
(3.86)
๐ฟ๐ง(๐ + 1) = ๐ฟ๐ง๐ + ๐ฟ โซ ๐3 [๐๐ง๐
๐๐ + ๐๐ง๐] ๐๐
๐ก
0
(3.87)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
43
๐ฟ๐ฅ(๐ + 1) = ๐ฟ๐ฅ๐(1 + ๐1)
โ โซ[((๐โฒ1
โ (๐ฝโ + ๐โ)๐1)๐ฅ๐๐ฟ) + ๐ฟ๐1๐โ]๐๐
๐ก
0
(3.94)
๐ฟ๐ฆ(๐ + 1) = ๐ฟ๐ฆ๐(1 + ๐2) โ โซ[(๐โฒ2 โ ๐2๐ผ)๐ฟ๐ฆ๐]๐๐
๐ก
0
(3.95)
๐ฟ๐ง(๐ + 1) = ๐ฟ๐ง๐(1 + ๐3) โ โซ[(๐โฒ3 โ ๐)๐ฟ๐ง๐]
๐ก
0
๐๐ (3.96)
Sehingga untuk setiap variasi ๐ฟ๐ฅ๐, ๐ฟ๐ฆ๐, ๐ฟ๐ง๐ dan ๐ฟ๐ฅโฒ๐, ๐ฟ๐ฆโฒ๐, ๐ฟ๐งโฒ๐diperoleh kondisi
stasioner atau kondisi tetap sebagai berikut:
๐ฟ๐ฅ๐:
๐ฟ๐ฆ๐:
๐ฟ๐ง๐:
๐ฟ๐ฅ๐:
๐ฟ๐ฆ๐:
๐ฟ๐ง๐:
(1 + ๐1(๐ก))โ๐ =๐ก = 0
(1 + ๐2(๐ก))โ๐ =๐ก = 0
(1 + ๐3(๐ก))โ๐ =๐ก = 0
(๐โฒ1
โ (๐ฝโ + ๐โ)๐1)โ๐ =๐ก = 0
(๐โฒ2 โ ๐2๐ผ)โ๐ =๐ก = 0
(๐โฒ3 โ ๐)โ๐ =๐ก = 0
(3.97)
Solusi dari persamaan (3.97) di atas adalah sebagai berikut:
๐1(๐ก) = โ1
๐2(๐ก) = โ1
๐3(๐ก) = โ1
dan
๐1(๐ ) = โ๐(๐ฝโ+๐โ)(๐ โ๐ก)
๐2(๐ ) = โ๐๐ผ(๐ โ๐ก)
(3.98)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
44
๐3(๐ ) = โ1 + ๐(๐ โ ๐ก)
Selanjutnya kita dapat menggunakan deret Taylor untuk mengembangkan pengali
Lagrange umum pada (3.98) sehingga diperoleh seperti berikut:
๐1(๐ ) = โ1
๐2(๐ ) = โ1
๐3(๐ ) = โ1
(3.99)
Substitusikan nilai pengali Lagrange umum (3.99) ke persamaan awal (3.79)-
(3.81) sehingga diperoleh:
๐ฅ(๐ + 1) = ๐ฅ๐ โ โซ [๐๐ฅ๐
๐๐ โ ๐โ + ๐ฝโ๐ฅ๐ + ๐พ๐ฝโ๐ฅ๐๐ฆ๐ + ๐โ๐ฅ๐] ๐๐
๐ก
0
(3.100)
๐ฆ(๐ + 1) = ๐ฆ๐ โ โซ [๐๐ฆ๐
๐๐ โ ๐ฝโ๐ฅ๐ + ๐ผ๐ฆ๐] ๐๐
๐ก
0
(3.101)
๐ง(๐ + 1) = ๐ง๐ โ โซ [๐๐ง๐
๐๐ โ ๐พ๐ฝโ๐ฅ๐๐ฆ๐ + ๐๐ง๐] ๐๐
๐ก
0
(3.102)
Penyelesaian sistem laju transmisi TB dapat dilakukan dengan
menerapkan nilai awal dan nilai parameter yang terdapat dalam tabel 3.2,
sehingga dapat diperoleh hasil iterasi sebagai berikut:
1. Simulasi I
Dengan menerapkan data awal simulasi I dan program Maple, maka diperoleh
hasil iterasi berikut ini:
๐ฅ1 = 0.9989350 โ 0.3263563771๐ก (3.103)
๐ฆ1 = 0.000954 + 0.3262787234๐ก (3.104)
๐ง1 = 0.000112 + 0.00003790582171๐ก (3.105)
๐ฅ2 = 0.9989350 โ 0.3263563771๐ก + 0.04676467858๐ก2 +0.001427448330 ๐ก3
(3.106)
๐ฆ2 = 0.000954 + 0.3262787234๐ก โ 0.06003850645๐ก2 (3.107)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
45
๐ง2 = 0.000112 + 0.00003790582171๐ก โ 0.00142744833๐ก3 +0.006547522771๐ก2
(3.108)
๐ฅ3 = 0.9989350 โ 0.3263563771๐ก โ 0.00286202769๐ก3 +0.04676467858๐ก2 + 5.744335804 ๐ฅ 10โ7๐ก6 +0.00001883673845๐ก5 โ 0.0004670110798๐ก4
(3.109)
๐ฆ3 = 0.000954 + 0.3262787234๐ก โ 0.06003850645๐ก2 +0.000116574709๐ก4 + 0.005918193293๐ก3
(3.110)
๐ง3 = 0.000112 + 0.00003790582171๐ก โ 0.002239008540๐ก3 +0.00654752277๐ก2 โ 5.744335804 ๐ฅ 10โ7๐ก6 โ0.00001883673845๐ก5 + 0.0003517567604๐ก4
(3.111)
๐ฅ4 = 0.9989350 โ 0.3263563771๐ก โ 0.002862027689๐ก3 +0.04676467858๐ก2 โ 0.000002756277747๐ก6 +0.00007521136447๐ก5 โ 0.0001760525241๐ก4 โ2.448230300 x 10โ13๐ก11 โ 2.250294734 x 10โ11๐ก10 โ1.007622782 x 10โ10๐ก9 + 2.031422741 x 10โ8๐ก8 โ1.572188648 x 10โ7๐ก7
(3.112)
๐ฆ4 = 0.000954 + 0.3262787234๐ก โ 0.06003850645๐ก2 โ0.000294801621๐ก4 + 0.005918193293๐ก3 +2.680684571 x 10โ8๐ก7 + 0.000001025553667๐ก6 โ0.00003147367582๐ก5
(3.113)
๐ง4 = 0.000112 + 0.00003790582171๐ก โ 0.002239008540๐ก3 +0.006547522769๐ก2 + 0.000001742340068๐ก6 โ0.00004495927585๐ก5 + 0.000411914053๐ก4 +2.448230300 x 10โ13๐ก11 + 2.250294734 x 10โ11๐ก10 +1.007622782 x 10โ10๐ก9 โ 2.031422741 x 10โ8๐ก8 +1.307156483 x 10โ7๐ก7
(3.114)
๐ฅ5 = 1.389137310 x 10โ23๐ก19 + 1.908731732 x 10โ21๐ก18 +4.275599121 x 10โ20๐ก17 โ 3.070625662 x 10โ18๐ก16 โ6.696032013 x 10โ17๐ก15 + 2.767045407 x 10โ15๐ก14 +3.638359875 x 10โ15๐ก13 โ 1.080656305 x 10โ12๐ก12 +1.527371442 x 10โ11๐ก11 + 7.792503116 x 10โ11๐ก10 โ4.046378679 x 10โ9๐ก9 + 4.358543285 x 10โ8๐ก8 +3.85660582 x 10โ8๐ก7 โ 0.000007151798971๐ก6 +0.00005950247438๐ก5 โ 0.0001760525239๐ก4 โ0.00286202769๐ก3 + 0.04676467858๐ก2 + 0.9989350 โ0.3263563771๐ก
(3.115)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
46
๐ฆ5 = 0.000954 + 0.3262787234๐ก โ 0.06003850645๐ก2 โ0.0002948016209๐ก4 + 0.005918193293๐ก3 โ1.346732829 x 10โ7๐ก7 + 0.000004311350505๐ก6 โ0.00000906842842๐ก5 โ 6.664613327 x 10โ15๐ก12 โ6.682679815 x 10โ13๐ก11 โ 3.291561037 x 10โ12๐ก10 +7.373297123 x 10โ10๐ก9 โ 6.558067131 x 10โ9๐ก8
(3.116)
๐ง5 = โ1.389137310 x 10โ23๐ก19 โ 1.908731732 x 10โ21๐ก18 โ4.275599121 x 10โ20๐ก17 + 3.070625662 x 10โ18๐ก16 +6.696032013 x 10โ17๐ก15 โ 2.767045407 x 10โ15๐ก14 โ3.638359875 x 10โ15๐ก13 + 1.087245431 x 10โ12๐ก12 โ1.461301562 x 10โ11๐ก11 โ 7.467075220 x 10โ11๐ก10 +3.317400372 x 10โ9๐ก9 โ 3.722597923 x 10โ8๐ก8 +8.914568603 x 10โ8๐ก7 + 0.000003084459327๐ก6 โ0.00004830738596๐ก5 + 0.0004119140531๐ก4 โ0.000223900854๐ก3 + 0.006547522768๐ก2 + 0.000112 +0.00003790582171๐ก
(3.117)
โฎ
dan seterusnya.
Grafik pendekatan solusi dari ketiga populasi manusia dalam laju
transmisi TB, yang dimodelkan dengan model SIR, dan diselesaikan dengan
metode iterasi variasional (iterasi kelima) dapat digambarkan menggunakan
program MATLAB (program dapat dilihat pada Lampiran III, Simulasi I)
seperti yang terlihat pada gambar berikut (data perhitungan dapat dilihat pada
Lampiran VII, tabel L.7.1):
Gambar 3.11 Grafik pendekatan solusi ketiga populasi manusia
dalam laju transmisi TB model SIR (VIM Simulasi I)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
47
2. Simulasi II
Dengan mensubstitusikan data awal simulasi II pada tabel 3.2 ke persamaan
(3.100)-(3.102), maka diperoleh iterasi berikut:
๐ฅ1 = 0.9989350 โ 0.3246766150 ๐ก (3.118)
๐ฆ1 = 0.000954 + 0.3245870950 ๐ก (3.119)
๐ง1 = 0.000112 + 0.00003662057460 ๐ก (3.120)
๐ฅ2 = 0.998935 โ 0.3246766150๐ก + 0.001427099907๐ก3 +0.04861516254๐ก2
(3.121)
๐ฆ2 = 0.000954 + 0.324587095๐ก โ 0.0641204983๐ก2 (3.122)
๐ง2 = 0.000112 + 0.00001855497459๐ก โ 0.001427099907๐ก3 +0.006578192064๐ก2
(3.123)
๐ฅ3 = 0.998935 โ 0.324676615๐ก โ 0.003215872887๐ก3 +0.04861516255๐ก2 + 6.195742933 x 10โ7๐ก6 +0.00002156383315๐ก5 โ 0.0004930186079๐ก4
(3.124)
๐ฆ3 = 0.000954 + 0.324587095๐ก โ 0.06412049825๐ก2 +0.0001159518674๐ก4 + 0.006762787570๐ก3
(3.125)
๐ง3 = 0.000112 + 0.00001855497459๐ก โ 0.00268853706๐ก3 +0.00657819206๐ก2 โ 6.195742933 x 10โ7๐ก6 โ0.00002156383315๐ก5 + 0.0004359346117๐ก4
(3.126)
๐ฅ4 = 0.998935 โ 0.324676615๐ก โ 0.003215872887๐ก3 +0.04861516255๐ก2 โ 0.000003505912577๐ก6 +0.00008423680462๐ก5 โ 0.0001669323465๐ก4 โ2.653211227 x 10โ13๐ก11 โ 2.717981521 x 10โ11๐ก10 โ2.208997111 x 10โ10๐ก9 + 2.482514778 x 10โ8๐ก8 โ1.606814262 x 10โ7๐ก7
(3.127)
๐ฆ4 = 0.000954 + 0.324587095๐ก โ 0.0641204983๐ก2 โ0.0003796384546๐ก4 + 0.00676278757๐ก3 +2.876594933 x 10โ8๐ก7 + 0.000001168040962๐ก6 โ0.00003366953566๐ก5
(3.128)
๐ง4 = 0.000112 + 0.00001855497459๐ก โ 0.002688537059๐ก3 +0.006578192061๐ก2 + 0.000002930877027๐ก6 โ0.00006640518531๐ก5 + 0.0005612657096๐ก4 +
(3.129)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
48
2.653211227 x 10โ13๐ก11 + 2.717981521 x 10โ11๐ก10 +2.208997111 x 10โ10๐ก9 โ 2.482514778 x 10โ8๐ก8 +1.465197281 x 10โ7๐ก7
๐ฅ5 = โ0.324676615๐ก + 3.503387871 x 10โ15๐ก14 +1.726138723 x 10โ14๐ก13 โ 1.501912222 x 10โ12๐ก12 +1.631887856 x 10โ23๐ก19 + 2.464039695 x 10โ21๐ก18 +6.970363037 x 10โ20๐ก17 โ 3.737390542 x 10โ18๐ก16 โ1.092444683 x 10โ16๐ก15 + 1.761789098 x 10โ11๐ก11 +1.459031575 x 10โ10๐ก10 โ 5.277675849 x 10โ9๐ก9 +4.966214449 x 10โ8๐ก8 + 1.126189630 x 10โ7๐ก7 โ0.000008636177424๐ก6 + 0.00006608279426๐ก5 โ0.0001669323468๐ก4 โ 0.003215872886๐ก3 +0.04861516255๐ก2 + 0.998935
(3.130)
๐ฆ5 = 0.000954 + 0.324587095๐ก โ 0.06412049828๐ก2 โ0.0003796384546๐ก4 + 0.00676278757๐ก3 โ1.744549223 x 10โ7๐ก7 + 0.000004955638165๐ก6 โ0.00000553566416๐ก5 โ 7.185780407 x 10โ15๐ก12 โ8.030399948 x 10โ13๐ก11 โ 7.179240611 x 10โ12๐ก10 +8.964636698 x 10โ10๐ก9 โ 6.779384996 x 10โ9๐ก8
(3.131)
๐ง5 = 0.00001855497459๐ก โ 3.503387871 x 10โ15๐ก14 โ1.726138723 x 10โ14๐ก13 + 1.505449837 x 10โ12๐ก12 โ1.631887856 x 10โ23๐ก19 โ 2.464039695 x 10โ21๐ก18 โ6.970363037 x 10โ20๐ก17 + 3.737390542 x 10โ18๐ก16 +1.092444683 x 10โ16๐ก15 โ 1.722254821 x 10โ11๐ก11 โ1.423687621 x 10โ10๐ก10 + 4.836339889 x 10โ9๐ก9 โ4.612987776 x 10โ8๐ก8 โ 1.76971899 x 10โ8๐ก7 +0.000005854914056๐ก6 โ 0.00007493696023๐ก5 +0.0005612657099๐ก4 โ 0.00268853706๐ก3 +0.006578192062๐ก2 + 0.000112
(3.132)
โฎ
dan seterusnya.
Grafik pendekatan solusi dari ketiga populasi manusia dalam laju
transmisi TB, yang dimodelkan dengan model SIR, dan diselesaikan dengan
metode iterasi variasional (iterasi kelima) dapat digambarkan menggunakan
program MATLAB (program dapat dilihat pada Lampiran III, Simulasi II)
seperti yang terlihat pada gambar berikut (data perhitungan dapat dilihat pada
Lampiran VII, tabel L.7.2):
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
49
Gambar 3.12 Grafik pendekatan solusi ketiga populasi manusia
dalam laju transmisi TB model SIR (VIM Simulasi II)
3. Simulasi III
Dengan mensubstitusikan data awal simulasi III pada tabel 3.2 ke persamaan
(3.100)-(3.102), maka diperoleh iterasi berikut:
๐ฅ1 = 0.997586 + 0.2119954569 ๐ก (3.133)
๐ฆ1 = 0.002069 + 0.2115728112 ๐ก (3.134)
๐ง1 = 0.000345 โ 0.00004300779685 ๐ก (3.135)
๐ฅ2 = 0.997586 โ 0.2119954569๐ก + 0.00006369985845๐ก3 +0.02209172317๐ก2
(3.136)
๐ฆ2 = 0.002069 + 0.2115728112๐ก โ 0.0437029557๐ก2 (3.137)
๐ง2 = 0.000345 โ 0.00004300779685๐ก โ 0.00006369985845๐ก3 +0.0004519225911๐ก2
(3.138)
๐ฅ3 = 0.997586 โ 0.2119954569๐ก โ 0.001440382563๐ก3 +0.02209172317๐ก2 + 1.976839172 ๐ฅ 10โ9๐ก6 +8.112199672 ๐ฅ 10โ7๐ก5 โ 0.00001823362243๐ก4
(3.139)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
50
๐ฆ3 = 0.002069 + 0.2115728112๐ก โ 0.0437029557๐ก2 +0.00000338405498๐ก4 + 0.0044812743๐ก3
(3.140)
๐ง3 = 0.000345 โ 0.00004300779685๐ก โ 0.000148171141๐ก3 +0.0004519225911๐ก2 โ 1.976839172 ๐ฅ 10โ9๐ก6 โ8.112199672 ๐ฅ 10โ7๐ก5 + 0.00001723831214๐ก4
(3.141)
๐ฅ4 = 0.997586 โ 0.2119954569๐ก โ 0.001440382562๐ก3 +0.02209172317๐ก2 โ 1.405033340 ๐ฅ 10โ7๐ก6 +0.000002664544221๐ก5 + 0.00005696873931๐ก4 โ2.591131027 ๐ฅ 10โ18๐ก11 โ 4.944017127 ๐ฅ 10โ15๐ก10 โ1.650851064 ๐ฅ 10โ12๐ก9 + 6.477143910 ๐ฅ 10โ11๐ก8 +3.233708052 ๐ฅ 10โ9๐ก7
(3.142)
๐ฆ4 = 0.002069 + 0.2115728112๐ก โ 0.0437029557๐ก2 โ0.0003008081022๐ก4 + 0.004481274302๐ก3 +6.001118914 ๐ฅ 10โ11๐ก7 + 2.873070717 ๐ฅ 10โ8๐ก6 โ9.104265146 ๐ฅ 10โ7๐ก5
(3.143)
๐ง4 = 0.000345 โ 0.00004300779685๐ก โ 0.000148171141๐ก3 +0.0004519225911๐ก2 + 1.320531261 ๐ฅ 10โ7๐ก6 โ0.000002406734773๐ก5 + 0.00002516757289๐ก4 +2.591131027 ๐ฅ 10โ18๐ก11 + 4.944017127 ๐ฅ 10โ15๐ก10 +1.650851064 ๐ฅ 10โ12๐ก9 โ 6.47714391 ๐ฅ 10โ11๐ก8 โ3.251358402 ๐ฅ 10โ9๐ก7
(3.144)
๐ฅ5 = โ0.2119954569๐ก + 0.997586 โ 1.521811347 ๐ฅ 10โ19๐ก14 +1.097506894 ๐ฅ 10โ17๐ก13 + 1.433005522 ๐ฅ 10โ16๐ก12 +3.486914654 ๐ฅ 10โ32๐ก19 + 8.784967863 ๐ฅ 10โ29๐ก18 +5.98381246 ๐ฅ 10โ26๐ก17 + 1.01888879 ๐ฅ 10โ23๐ก16 โ1.429739447 ๐ฅ 10โ21๐ก15 โ 2.031673927 ๐ฅ 10โ14๐ก11 +7.384049783 ๐ฅ 10โ13๐ก10 โ 3.216645077 ๐ฅ 10โ12๐ก9 โ3.609042715 ๐ฅ 10โ10๐ก8 + 1.327932919 ๐ฅ 10โ8๐ก7 โ2.626370678 ๐ฅ 10โ7๐ก6 โ 2.75360797 ๐ฅ 10โ7๐ก5 +0.00005696873928๐ก4 โ 0.001440382562๐ก3 +0.02209172317๐ก2
(3.145)
๐ฆ5 = 0.002069 + 0.2115728112๐ก โ 0.0437029557๐ก2 โ0.0003008081024๐ก4 + 0.0044812743๐ก3 โ5.086978008 ๐ฅ 10โ9๐ก7 + 1.247471725 ๐ฅ 10โ7๐ก6 +0.00001446552784๐ก5 โ 4.588461193 ๐ฅ 10โ20๐ก12 โ9.550942173 ๐ฅ 10โ17๐ก11 โ 3.508058511 ๐ฅ 10โ14๐ก10 +1.529325646 ๐ฅ 10โ12๐ก9 + 8.439359011 ๐ฅ 10โ11๐ก8
(3.146)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
51
๐ง5 = โ0.00004300779685๐ก + 1.521811347 ๐ฅ 10โ19๐ก14 โ1.097506894 ๐ฅ 10โ17๐ก13 โ 1.432870568 ๐ฅ 10โ16๐ก12 โ3.486914654 ๐ฅ 10โ32๐ก19 โ 8.784967863 ๐ฅ 10โ29๐ก18 โ5.98381246 ๐ฅ 10โ26๐ก17 โ 1.01888879 ๐ฅ 10โ23๐ก16 +1.429739447 ๐ฅ 10โ21๐ก15 + 2.034483027 ๐ฅ 10โ14๐ก11 โ7.280871592 ๐ฅ 10โ13๐ก10 + 2.766843416 ๐ฅ 10โ12๐ก9 +3.359722024 ๐ฅ 10โ10๐ก8 โ 1.184357818 ๐ฅ 10โ8๐ก7 +2.284297174 ๐ฅ 10โ7๐ก6 โ 0.000002903301899๐ก5 +0.00002516757288๐ก4 โ 0.000148171141๐ก3 +0.0004519225911๐ก2 + 0.000345
(3.147)
โฎ
dan seterusnya.
Grafik pendekatan solusi dari ketiga populasi manusia dalam laju transmisi
TB, yang dimodelkan dengan model SIR, dan diselesaikan dengan metode
iterasi variasional (iterasi kelima) dapat digambarkan menggunakan program
MATLAB (program dapat dilihat pada Lampiran III, Simulasi Iii) seperti yang
terlihat pada gambar berikut (data perhitungan dapat dilihat pada Lampiran
VII, tabel L.7.3):
Gambar 3.13 Grafik pendekatan solusi ketiga populasi manusia
dalam laju transmisi TB model SIR (VIM Simulasi III)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
52
4. Simulasi IV
Dengan mensubstitusikan data awal simulasi II pada tabel 3.2 ke persamaan
(3.100)-(3.102), maka diperoleh iterasi berikut:
๐ฅ1 = 0.997586 โ 0.1196218185 ๐ก (3.148)
๐ฆ1 = 0.002069 + 0.1195654900 ๐ก (3.149)
๐ง1 = 0.000345 โ 0.00003680151523 ๐ก (3.150)
๐ฅ2 = 0.997586 โ 0.1196218185๐ก + 0.00007437373499๐๐ก3 +0.009239425551๐ก2
(3.151)
๐ฆ2 = 0.002069 + 0.11956549๐ก โ 0.01136210126๐ก2 (3.152)
๐ง2 = 0.000345 โ 0.00003680151523๐ก โ 0.00007437373499๐ก3 +0.0009321091702๐ก2
(3.153)
๐ฅ3 = 0.997586 โ 0.1196218185๐ก โ 0.0003903528178๐ก3 +0.009239425552๐ก2 + 2.197108961 ๐ฅ 10โ9๐ก6 +2.997906807 ๐ฅ 10โ7๐ก5 โ 0.00001277058333๐ก4
(3.154)
๐ฆ3 = 0.002069 + 0.11956549๐ก โ 0.01136210126๐ก2 +0.00000223121205๐ก4 + 0.000634692718๐ก3
(3.155)
๐ง3 = 0.000345 โ 0.00003680151523๐ก โ 0.0001953552416๐ก3 +0.0009321091703๐ก2 โ 2.197108961 ๐ฅ 10โ9๐ก6 โ2.997906807 ๐ฅ 10โ7๐ก5 + 0.00001332838635๐ก4
(3.156)
๐ฅ4 = 0.997586 โ 0.1196218185๐ก โ 0.0003903528178๐ก3 +0.009239425553๐ก2 โ 3.061024631 ๐ฅ 10โ8๐ก6 +0.000001137372043๐ก5 + 0.00000451471888๐ก4 โ6.952233584 ๐ฅ 10โ18๐ก11 โ 3.218881594 ๐ฅ 10โ15๐ก10 โ2.371500006 ๐ฅ 10โ13๐ก9 + 2.363382414 ๐ฅ 10โ11๐ก8 +4.957745258 ๐ฅ 10โ11๐ก7
(3.157)
๐ฆ4 = 0.002069 + 0.11956549๐ก โ 0.01136210126๐ก2 โ0.0000228177071๐ก4 + 0.000634692718๐ก3 +3.766472504 ๐ฅ 10โ11๐ก7 + 5.995813613 ๐ฅ 10โ9๐ก6 โ3.377309688 ๐ฅ 10โ7๐ก5
(3.158)
๐ง4 = 0.000345 โ 0.00003680151523๐ก โ 0.0001953552416๐ก3 +0.0009321091699๐ก2 + 3.210919971 ๐ฅ 10โ8๐ก6 โ0.000001236307663๐ก5 + 0.00002184303797๐ก4 +
(3.159)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
53
6.952233584 ๐ฅ 10โ18๐ก11 + 3.218881594 ๐ฅ 10โ15๐ก10 +2.371500006 ๐ฅ 10โ13๐ก9 โ 2.363382414 ๐ฅ 10โ11๐ก8 โ4.016127131 ๐ฅ 10โ11๐ก7
๐ฅ5 = โ0.1196218185๐ก + 0.997586 + 6.006371216 ๐ฅ 10โ21๐ก14 +9.737800935 ๐ฅ 10โ19๐ก13 โ 4.345951495 ๐ฅ 10โ17๐ก12 +2.149958882 x 10โ31๐ก19 + 1.411995753 x 10โ28๐ก18 +2.375239396 x 10โ26๐ก17 โ 6.961542069 x 10โ25๐ก16 โ3.044071581 x 10โ22๐ก15 โ 3.714803511 x 10โ17๐ก11 +7.678303953 x 10โ14๐ก10 โ 2.449051382 x 10โ12๐ก9 +1.573684466 x 10โ11๐ก8 + 1.473393350 x 10โ9๐ก7 โ6.663436264 x 10โ8๐ก6 + 6.275241534 x 10โ7๐ก5 +0.000004514718864๐ก4 โ 0.0003903528178๐ก3 +0.009239425552๐ก2
(3.160)
๐ฆ5 = 0.002069 + 0.1195654900๐ก โ 0.01136210126๐ก2 โ0.0000228177071๐ก4 + 0.0006346927181๐ก3 โ5.847052157 x 10โ10๐ก7 + 2.668763549 x 10โ8๐ก6 +4.278011526 x 10โ7๐ก5 โ 6.952233584 x 10โ20๐ก12 โ3.511507194 x 10โ17๐ก11 โ 2.845800007 x 10โ15๐ก10 +3.151176552 x 10โ13๐ก9 + 4.140954446 x 10โ13๐ก8
(3.161)
๐ง5 = โ0.00003680151523๐ก โ 6.006371216 x 10โ21๐ก14 โ9.737800935 x 10โ19๐ก13 + 4.344213437 x 10โ17๐ก12 โ2.149958882 x 10โ31๐ก19 โ 1.411995753 x 10โ28๐ก18 โ2.375239396 x 10โ26๐ก17 + 6.961542069 x 10โ25๐ก16 +3.044071581 x 10โ22๐ก15 + 2.836926713 x 10โ17๐ก11 โ7.749448953 x 10โ14๐ก10 + 2.527830796 x 10โ12๐ก9 โ1.578633373 x 10โ11๐ก8 โ 1.647407359 x 10โ9๐ก7 +7.561907686 x 10โ8๐ก6 โ 0.000001654746114๐ก5 +0.00002184303797๐ก4 โ 0.0001953552416๐ก3 +0.00093210917๐ก2 + 0.000345
(3.162)
โฎ
dan seterusnya.
Grafik pendekatan solusi dari ketiga populasi manusia dalam laju transmisi
TB, yang dimodelkan dengan model SIR, dan diselesaikan dengan metode
iterasi variasional (iterasi kelima) dapat digambarkan menggunakan program
MATLAB (program dapat dilihat pada Lampiran III, Simulasi IV) seperti
yang terlihat pada gambar berikut (data perhitungan dapat dilihat pada
Lampiran VII, tabel L.7.4):
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
54
Gambar 3.14 Grafik pendekatan solusi ketiga populasi manusia dalam laju
transmisi TB model SIR (VIM Simulasi IV)
E. Analisis Hasil Simulasi
Berdasarkan hasil perhitungan dari ketiga metode numeris yang digunakan
di atas, maka dapat dilihat perbandingan untuk nilai ๐ฅ(๐ก), ๐ฆ(๐ก), dan ๐ง(๐ก) tiap
simulasi sebagai berikut:
1. Simulasi I
Perbandingan nilai ๐ฅ(๐ก), ๐ฆ(๐ก), dan ๐ง(๐ก) dengan menggunakan metode Euler,
metode Heun dan metode iterasi variasional dalam menyelesikan sistem transmisi
TB model epidemi SIR dapat dilihat pada gambar berikut (program MATLAB
lihat Lampiran IV, simulasi I):
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
55
3.15.a Grafik pendekatan solusi nilai ๐ฅ(๐ก) untuk sistem laju transmisi TB model
SIR menggunakan metode Euler, Heun dan VIM
3.15.b Grafik pendekatan solusi nilai ๐ฆ(๐ก) untuk sistem laju transmisi TB model
SIR menggunakan metode Euler, Heun dan VIM
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
56
3.15.c Grafik pendekatan solusi nilai ๐ง(๐ก) untuk sistem laju transmisi TB model
SIR menggunakan metode Euler, Heun dan VIM
3.15 Grafik perbandingan pendekatan solusi nilai ๐ฅ(๐ก), ๐ฆ(๐ก) dan ๐ง(๐ก) untuk sistem
laju transmisi TB model SIR menggunakan metode Euler, Heun dan VIM
2. Simulasi II
Perbandingan nilai ๐ฅ(๐ก), ๐ฆ(๐ก), dan ๐ง(๐ก) dengan menggunakan metode Euler,
metode Heun dan metode iterasi variasional dalam menyelesikan sistem transmisi
TB model epidemi SIR dapat dilihat pada gambar berikut (program MATLAB
lihat Lampiran IV, Simulasi II):
3.16.a Grafik pendekatan solusi nilai ๐ฅ(๐ก) untuk sistem laju transmisi TB model
SIR menggunakan metode Euler, Heun dan VIM
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
57
3.16.b Grafik pendekatan solusi nilai ๐ฆ(๐ก) untuk sistem laju transmisi TB model
SIR menggunakan metode Euler, Heun dan VIM
3.16.c Grafik pendekatan solusi nilai ๐ง(๐ก) untuk sistem laju transmisi TB model
SIR menggunakan metode Euler, Heun dan VIM
3.16 Grafik perbandingan pendekatan solusi nilai ๐ฅ(๐ก), ๐ฆ(๐ก) dan ๐ง(๐ก) untuk sistem
laju transmisi TB model SIR menggunakan metode Euler, Heun dan VIM
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
58
3. Simulasi III
Perbandingan nilai ๐ฅ(๐ก), ๐ฆ(๐ก), dan ๐ง(๐ก) dengan menggunakan metode Euler,
metode Heun dan metode iterasi variasional dalam menyelesikan sistem transmisi
TB model epidemi SIR dapat dilihat pada gambar berikut (program MATLAB
lihat Lampiran IV, Simulasi III):
3.17.a Grafik pendekatan solusi nilai ๐ฅ(๐ก) untuk sistem laju transmisi TB model
SIR menggunakan metode Euler, Heun dan VIM
3.17.b Grafik pendekatan solusi nilai ๐ฆ(๐ก) untuk sistem laju transmisi TB model
SIR menggunakan metode Euler, Heun dan VIM
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
59
3.17.c Grafik pendekatan solusi nilai ๐ง(๐ก) untuk sistem laju transmisi TB model
SIR menggunakan metode Euler, Heun dan VIM
3.17 Grafik perbandingan pendekatan solusi nilai ๐ฅ(๐ก), ๐ฆ(๐ก) dan ๐ง(๐ก) untuk sistem
laju transmisi TB model SIR menggunakan metode Euler, Heun dan VIM
4. Simulasi IV
Perbandingan nilai ๐ฅ(๐ก), ๐ฆ(๐ก), dan ๐ง(๐ก) dengan menggunakan metode Euler,
metode Heun dan metode iterasi variasional dalam menyelesikan sistem transmisi
TB model epidemi SIR dapat dilihat pada gambar berikut (program MATLAB
lihat Lampiran IV, Simulasi IV):
3.18.a Grafik pendekatan solusi nilai ๐ฅ(๐ก) untuk sistem laju transmisi TB model
SIR menggunakan metode Euler, Heun dan VIM
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
60
3.18.b Grafik pendekatan solusi nilai ๐ฆ(๐ก) untuk sistem laju transmisi TB model
SIR menggunakan metode Euler, Heun dan VIM
3.18.c Grafik pendekatan solusi nilai ๐ง(๐ก) untuk sistem laju transmisi TB model
SIR menggunakan metode Euler, Heun dan VIM
3.18 Grafik perbandingan pendekatan solusi nilai ๐ฅ(๐ก), ๐ฆ(๐ก) dan ๐ง(๐ก) untuk sistem
laju transmisi TB model SIR menggunakan metode Euler, Heun dan VIM
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
61
Dari hasil perhitungan menggunakan ketiga metode numeris di atas dapat
dilihat bahwa: pertama, semakin banyak manusia yang terinfeksi TB, maka
jumlah manusia dari populasi yang rentan terhadap penyakit tersebut juga akan
semakin menurun hingga akhirnya semua anggota populasi akan terinfeksi seiring
berjalannya waktu; kedua, selisih solusi hasil perhitungan antara metode Heun dan
VIM sangat kecil untuk nilai ๐ก yang kecil; ketiga, selisih solusi hasil perhitungan
antara metode Euler dan VIM lebih besar jika dibandingkan dengan selisih solusi
hasil perhitungan antara metode Heun dan VIM untuk nilai ๐ก yang kecil; keempat,
semakin besar nilai ๐ก yang digunakan dalam VIM, maka solusi yang diperoleh
akan semakin tidak relevan.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
62
BAB IV
ASPEK KEPENDIDIKAN
A. Aspek Kependidikan di Sekolah Menengah Atas
Tahap selanjutnya dari pembuatan tulisan ini adalah membuat suatu
rancangan pembelajaran yang materinya disesuaikan dengan materi yang terdapat
dalam pembelajaran matematika di Sekolah Menengah Atas (SMA). Dalam
kurikulumnya, siswa sudah mulai mempelajari cara memodelkan suatu masalah
dalam kehidupan sehari-hari ke dalam kalimat matematika. Topik dalam tesis ini
membahas tentang cara memodelkan suatu proses penyebaran penyakit dengan
menggunakan model SIR, selanjutnya model tersebut diselesaikan dengan
menggunakan metode Euler, metode Heun dan metode iterasi variasional. Namun,
dalam materi matematika SMA belum diajarkan tentang persamaan diferensial,
oleh karena itu peneliti tidak menggunakan topik tentang memodelkan sistem
transmisi penyakit menular untuk digunakan dalam pembuatan rancangan
pembelajaran untuk siswa SMA. Meskipun siswa SMA belum diajarkan tentang
cara memodelkan proses penyebaran penyakit, tetapi mereka sudah dilatih untuk
memodelkan suatu persoalan yang melibatkan konsep fisika tentang gerak
vertikal, horizontal dan parabola, konsep aljabar, dan program linear untuk
menyelesaikan masalah sehari-hari. Oleh karena itu, dalam tulisan ini hanya
membahas tentang memodelkan suatu persoalan sehari-hari yang sesuai dengan
materi matematika yang telah dipelajari oleh siswa SMA. Selain itu, pemodelan
yang dibahas diselesaikan dengan menerapkan konsep variasi terbatas dalam
metode iterasi variasional.
Pembelajaran dalam kurikulum 2013 yang digunakan sekarang, selalu
diawali dengan pemberian masalah dalam kehidupan sehari-hari sehingga siswa
dituntut membiasakan diri untuk berpikir. Sehingga dalam rancangan
pembelajaran yang dibuatpun selalu diawali dengan masalah yang ditemukan
dalam kehidupan sehari-hari dan dibuat modelnya dalam kalimat matematika.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
63
Untuk memodelkan suatu permasalahan ke dalam bentuk matematika, maka perlu
untuk melakukan langkah-langkah berikut: pertama, menemukan faktor-faktor
yang mempengaruhi munculnya masalah; kedua, mencari faktor-faktor yang
paling dominan; ketiga, membuat model matematika dari permasalahan yang ada
berdasarkan faktor yang paling dominan; keempat, menguji kesesuaian model
yang sudah dibuat terhadap masalah; kelima, menyelesaikan model.
Rancangan pembelajaran yang dibuat dalam tesis ini bertujuan untuk
membantu pengajar dan siswa SMA dalam mengajarkan dan mempelajari cara
memodelkan suatu permasalahan dalam dunia nyata ke dalam model matematika.
Adapun permasalahan yang dimaksud adalah suatu permasalahan yang
berhubungan dengan mencari akar persamaan kuadrat dan akan diselesaikan
dengan menggunakan konsep variasi terbatas. Rancangan pembelajaran yang
dimaksud dapat dilihat pada Lampiran VIII. Dalam rancangan pembelajaran ini,
dimuat juga materi tentang beberapa konsep yang sudah dipelajari oleh siswa
SMA dalam mencari akar persamaan kuadrat (lihat Lampiran IX). Selain materi
yang diberikan, telah disiapkan juga dua masalah yang akan diselesaikan oleh
siswa SMA tersebut, dengan tujuan agar mereka lebih memahami cara
memodelkan suatu model matematika dari permasalahan yang diberikan, dan
selanjutnya diselesaikan dengan menggunakan konsep variasi terbatas. Adapun
masalah yang disiapkan oleh peneliti untuk membelajarkan konsep memodelkan
matematika dan diselesaikan dengan konsep variasi terbatas dapat dilihat pada
Lampiran X (LKS).
Dalam menyelesaikan masalah 1, siswa terlebih dahulu memodelkan
masalah tersebut dengan menggunakan konsep gerak parabola dalam fisika untuk
menentukan tinggi benda yang dilempar yang dihitung dari permukaan tanah.
Dalam menyelesaikan masalah 2, siswa dapat memodelkan semua informasi yang
terdapat dalam soal dengan menerapkan konsep volume balok dan aljabar. Hasil
dari pemodelan kedua masalah tersebut akan membentuk masing-masing sebuah
persamaan kuadrat.
Penyelesaian persamaan kuadrat atau mencari akar persamaan kuadrat
dapat dilakukan dengan menggunakan tiga cara yang telah dipelajari oleh siswa di
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
64
SMA seperti: menggunakan rumus akar kuadrat, faktorisasi, dan melengkapkan
kuadrat sempurna. Selain tiga cara tersebut, terdapat cara lain yang bisa dipelajari
oleh siswa SMA dalam mencari akar persamaan kuadrat yaitu dengan
menggunakan konsep variasi terbatas. Variasi terbatas merupakan salah satu
konsep yang digunakan dalam sebuah metode numeris yaitu metode iterasi
variasional. Variasi terbatas sangat mudah digunakan untuk mencari akar
persamaan kuadrat yang rumit. Iterasi yang dihasilkan akan dengan cepat
konvergen ke solusi yang ingin di cari.
Contoh permasalahan pemodelan matematika dalam kehidupan sehari-hari
dan penerapan konsep variasi terbatas dalam Pembelajaran Matematika di SMA
untuk menemukan akar persamaan kuadrat adalah seperti yang ditunjukan pada
contoh persoalan 1.
Persoalan 1:
Pak Ruben akan menjual sebidang tanah miliknya yang berbentuk persegi
panjang, dengan ukuran keliling tanah adalah 52 m dan luasnya adalah 160 m2.
Jika pak Ruben menjual tanah tersebut dengan harga 60000 kali panjang sisi
terpendek tanah per m2, maka berapakah jumlah uang yang akan diterima pak
Ruben?
Penyelesaian:
Dalam menyelesaikan masalah ini, terlebih dahulu harus memnemukan faktor-
faktor yang dominan dalam menyelesaikan masalah. Dalam masalah yang
diberikan, telah diketahui bahwa:
Keliling tanah adalah 52 m, luas tanah adalah 160 m2 dan harga tanah per m2
adalah 60000 kali panjang sisi terpendek tanah. Jika kita misalkan: panjang tanah
adalah ๐ dan lebar tanah adalah ๐. Maka kita akan peroleh:
2๐ + 2๐ = 52 โ ๐ =52 โ 2๐
2= 26 โ ๐
๐ x l = 160 โ (26 โ ๐) x ๐ = 160
26๐ โ ๐2 = 160 โ ๐2 โ 26๐ + 160 = 0
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
65
Konsep variasi terbatas dapat diterapkan untuk mencari nilai ๐ pada persamaan
kuadrat di atas, seperti yang ditunjukan berikut ini:
a. Mencari nilai ๐1
๐2 โ 26๐ + 160 = 0 โ ๐2 โ 26๐ = โ160
๐. ๐ โ 26๐ = โ160 โ ๐(๐ โ 26) = โ160
๐ =โ160
(๐ โ 26)
โ ๐๐+1 =
โ160
(โ26 + ๐๐),
๐๐ โ 26
๐ = 0,1,2,3, โฆ.
Misalkan: nilai awal adalah ๐0 = 15, maka akan diperoleh:
๐ ๐๐ ๐๐+๐
0 15 ๐1 =
โ160
(โ26 + ๐0)=
โ160
(โ26 + 15)= 14.545455
1 14.545455 ๐2 =
โ160
(โ26 + ๐1)= 13.968254
2 13.968254 13.298153
3 13.298153 12.596593
4 12.596593 11.937264
5 11.937264 11.377587
6 11.377587 10.942106
7 10.942106 10.625656
8 10.625656 10.406948
9 10.406948 10.260980
10 10.260980 10.165817
11 10.165817 10.104721
12 10.104721 10.065882
13 10.065882 10.041346
14 10.041346 10.025908
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
66
b. Mencari nilai ๐2
Misalkan: nilai awal adalah ๐0 = 1, maka akan diperoleh:
๐ ๐๐ ๐๐+๐
0 1 ๐1 =
โ160
๐0+ 26 =
โ160
1+ 26 = โ134
1 -134 ๐2 =
โ160
๐1+ 26 = 27.194030
2 27.194030 20.116356
3 20.116356 18.046273
4 18.046273 17.133903
5 17.133903 16.661789
6 16.661789 16.397190
7 16.397190 16.242230
8 16.242230 16.149136
9 16.149136 16.092349
10 16.092349 16.057387
11 16.057387 16.035739
12 16.035739 16.022287
13 16.022287 16.013910
14 16.013910 16.008686
15 16.008686 16.005426
16 16.005426 16.003390
17 16.003390 16.002118
Berdasarkan pola yang terlihat dalam kedua tabel di atas, maka dapat diperoleh
nilai ๐ adalah 10 atau 16. Untuk ๐ = 10 m akan diperoleh ๐ = 16 m dan
sebaliknya untuk ๐ = 16 m maka diperoleh ๐ = 10 m. Karena biasanya ๐ adalah
๐2 โ 26๐ + 160 = 0 โ ๐2 โ 26๐ = โ160
๐. ๐ โ 26๐ = โ160 โ ๐(๐ โ 26) = โ160
๐ =โ160
๐+ 26
โ ๐๐+1 =
โ160
๐+ 26,
๐๐ โ 0 ๐ = 0,1,2,3, โฆ.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
67
sisi terpanjang dan ๐ adalah sisi terpendek, maka kita peroleh ๐ = 16 m dan ๐ =
10 m. Di dalam soal, yang dicari adalah harga tanah seluruhnya dimana harga
tanah tersebut adalah 60000 kali panjang sisi terpendek yaitu 10 m, sehingga
diperoleh:
Harga tanah = ๐ ๐ (60000 x 10 x 160) = Rp 96.000.000,00
Jadi, jumlah uang seluruhnya yang diterima pak Ruben adalah Rp 96.000.000,00.
B. Refleksi
Saya tidak pernah membayangkan akan membuat tugas akhir tentang
matematika murni di awal perkuliahan. Dalam benak selalu terpikirkan bahwa,
karena kuliah di bidang pendidikan matematika maka tugas akhir yang akan
dibuat nantinya adalah tentang pendididikan matematika. Tentang bagaimana
menyikapi masalah-masalah dalam bidang pendidikan matematika di era
sekarang.
Menulis sebuah tugas akhir di bidang matematika murni adalah hal yang
pertama dan mungkin juga terakhir bagi saya. Awal menulis, saya tidak
mempunyai bayangan/ide yang mantap untuk menulis tugas akhir ini dan belum
mempunyai gambaran akan seperti apa hasilnya. Tetapi, karena besarnya
ketertarikan dan keinginan untuk membuat sebuah penelitian dalam bidang
matematika murni maka saya berani untuk memulai dan menyelesaikan tugas
akhir ini.
Awal mula tertarik dengan penelitian matematika murni adalah ketika saya
mempelajari materi-materi yang terdapat dalam perkuliahan Pemodelan
Matematika dan Landasan Matematika Terapan. Kedua mata kuliah ini
menyajikan hal-hal menarik yang berupa permasalahan dalam kehidupan sehari-
hari yang dapat dimodelkan dan selanjutnya diselesaikan dengan menggunakan
ilmu matematika, selain itu dosen yang mengajarpun merupakan dosen-dosen
yang sangat menginspirasi.
Pada semester awal perkuliahan di Program Magister Pendidikan
Matematika, tidak pernah ada dalam benak peneliti bahwa akan langsung
memprogramkan mata kuliah kajian topik penelitian. Mata kuliah ini membantu
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
68
mahasiswa untuk menemukan ide dan ketertarikan mereka serta penentuan topik
dalam membuat tugas akhir. Awal perkuliahan saya sempat mengajukan niat
untuk membuat tugas akhir tentang pendidikan matematika. Hal ini dipilih karena
saya berpikir bahwa saya kuliah di Program Magister Pendidikan Matematika
sehingga otomatis tesis sayapun akan berkaitan dengan masalah dalam bidang
pendidikan matematika. Pemikiran saya berubah ketika saya sudah mengikuti
perkuliahan pemodelan matematika dan landasan matematika terapan. Ada
banyak hal yang menarik minat saya ketikan mengikuti perkuliahan kedua mata
kuliah tersebut, sehingga dengan ketertarikan ini serta penegasan dari pak Andy
(pengampu mata kuliah kajian topik penelitian) bahwa kami boleh membuat tugas
akhir dalam bidang matematika murni, maka akhirnya saya bertekad untuk
membuat tugas akhir tentang matematika murni.
Setelah berpindah dari topik pendidikan matematika ke matematika murni,
pak Andy meminta saya untuk memilih dosen pembimbing tesis. Dalam memilih
dosen pembimbing, saya sempat mengalami kebingungan karena ada dua orang
dosen (pak Sudi dan pak Hartono) yang saya ingini untuk dapat membantu saya
dalam menyelesaikan tugas akhir ini serta untuk belajar lebih banyak dari mereka.
Tetapi dengan berbagai pertimbangan akhirnya saya memilih pak Sudi sebagai
dosen pembimbing tesis.
Pertemuan awal dengan pak Sudi untuk mendiskusikan permasalahan yang
akan dibahas dalam tugas akhir adalah ketika selesai perkuliahan pemodelan
matematika. Dalam pertemuan tersebut, saya dan dua orang teman yang memilih
pak Sudi sebagai pembimbing membahas tentang topik yang menarik minat kami
untuk dibahas dalam tesis. Waktu itu saya memberitahukan bahwa saya tertarik
untuk membahas tentang pemodelan matematika dari sistem penyebaran penyakit
menular dengan model epidemi SIR. Ketika mendengar hal tersebut, pak Sudi
langsung menugaskan saya untuk mencari dan membaca hal-hal yang berkaitan
dengan sistem penyebaran penyakit model SIR serta jenis penyakit yang akan
dibahas.
Beberapa minggu setelah pertemuan awal, kami meminta waktu untuk
bimbingan dengan pak Sudi, dalam bimbingan kali ini saya memberitahukan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
69
bahwa saya sudah membaca beberapa sumber tentang model SIR dan penyakit
yang saya pilih untuk dibahas adalah penyakit TBC. Ketika mendengar hal
tersebut, pak Sudi meminta saya untuk memilih metode penyelesaian dari masalah
yang akan saya modelkan. Beliau memberikan tiga buah pilihan yaitu metode
variasi iterasional, dekomposisi Adomian, dan beda hingga. Dari ketiga metode
itu saya memilih metode variasi iterasional. Selanjutnya beliau meminta kami
untuk mempelajari metode tersebut serta mengumpulkan berbagai sumber terkait
tugas akhir dan mulai menulis.
Ada banyak rintangan dan hambatan yang saya alami dalam
menyelesaikan tugas akhir ini. Mulai dari otak yang tidak bisa bekerja sama
dengan niat untuk memahami teori yang digunakan, mood yang tiba-tiba hilang
dan enggan untuk melanjutkan tulisan, bingung dalam menyatukan ide yang saya
pahami dengan ide yang dosen pembimbing sampaikan, sampai pada stres ringan
karena sering tidak teliti dalam mengetik, menggunakan kata dan simbol serta
tanda baca sehingga selalu diperbaiki oleh dosen pembimbing. Ketika tidak teliti
dalam mengetik dan menggunakan tanda baca, saya kecewa dengan diri sendiri
karena berulang kali pak Sudi memberitahukan bahwa saya harus teliti dan selalu
membaca ulang tulisan yang sudah dibuat. Meskipun dalam kenyataannya saya
sudah mengikuti saran beliau, tetapi tetap saja selalu ada hal-hal yang luput dari
hasil membaca ulang yang saya lakukan. Rintangan yang paling berat yang pernah
saya alami adalah ketika menjelang akhir dari penulisan tesis ini. Ketika itu, saya
dan Osni (teman bimbingan) sedang berkonsultasi dengan pak Sudi. Karena
berencana untuk segera ujian, akhirnya pada bimbingan kali tersebut pak Sudi
sudah mulai menanyakan pemahaman kami terhadap tesis yang sudah kami
kerjakan. Ada beberapa pertanyaan yang beliau berikan saat itu, salah satunya
adalah terkait model yang sudah saya selesaikan dengan metode iterasi
variasional. Beliau bertanya apakah penurunan rumus yang terdapat di dalam
model tersebut sudah benar atau tidak. Saat itu saya baru menyadari bahwa,
sebelumnya penurunan rumus itulah yang menjadi persoalan saya dengan teman
sebimbingan. Karena lamanya jeda bimbingan ketika itu, akhirnya saya lupa
menanyakan hal tersebut ke beliau. Ternyata setelah diperiksa ketika bimbingan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
70
hari itu, saya baru menemukan bahwa penurunan rumus itu keliru. Ketika
mengetahui hal tersebut, saya sangat kecewa dengan diri sendiri karena tidak
terlebih dahulu mengecek setiap persamaan yang saya gunakan dalam tesis yang
saya buat. Selain kecewa, saya juga cemas. Saya cemas karena jika persamaan itu
salah, maka semua yang saya buat setelah itu otomatis sudah salah, padahal inti
dari tesis saya yang sebenarnya adalah penyelesaian model tersebut. Jika hal
demikian terjadi, maka saya harus membuat ulang tesis dari awal, dan cita-cita
untuk ujian cepat pastinya sudah gagal. Hari itu, ada tiga solusi yang pak Sudi
tawarkan kepada saya. Pertama, saya harus membaca ulang model transmisi
tuberkulosis yang ingin saya selesaikan dan mencoba untuk menurunkan ulang
rumus, dengan harapan bahwa mungkin ada beberapa hal yang keliru sehingga
model akhirnya tetap benar; kedua, beliau menyarankan agar saya mengirimkan
email kepada penulis yang membuat model tersebut untuk meminta pencerahan
dan penjelasan terkait penurunan rumus tersebut; ketiga, saya harus mencari
model transmisi TB yang lain untuk diselesaikan. Ketika pulang ke rumah, saya
langsung melaksanakan saran pak Sudi yang pertama, saya mencoba sampai
beberapa kali sambil memahami dan memeriksa apakah sudah benar atau belum,
tetapi hasilnya tetap tidak sesuai dengan model yang sudah saya selesaikan.
Setelah itu, saya mencoba saran yang kedua, meminta pencerahan kepada sang
penulis. Dua hari saya menunggu balasan emai dari beliau. Sambil menunggu,
saya membaca beberapa model tentang transmisi TBC model epidemi SIR dengan
harapan bahwa jika memang penulis tidak memberikan jawaban tentang email
yang dikirim, maka saya sudah mendapat model baru yang sudah saya pelajari dan
bisa diselesaikan sehingga penundaan ujian tidak terlalu lama.
Pak Sudi memang luar biasa, beliau tidak membiarkan masalah yang saya
hadapi begitu saja, beliau juga mencoba untuk menghubungi penulis. Sehari
setelah pak Sudi hubungi, sang penulis membalas email yang beliau kirim.
Balasan dari email tersebut begitu menggembirakan. Sang penulis berterima kasih
karena sudah dihubungi dan memohon maaf karena ternyata dalam penulisan
karya ilmiah tersebut beliau kurang teliti dalam mengetik rumus, sehingga ada
satu variabel yang lupa untuk ditulis dalam persamaan tersebut. Saya sangat
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
71
berterima kasih kepada dosen pembimbing saya yang super luar biasa selalu
membantu saya dalam menyelesaikan masalah tersebut.
Pengalaman ini membuat saya sepenuhnya sadar bahwa, memeriksa ulang
adalah suatu kegiatan yang wajib kita lakukan dalam melaksanakan atau
menyelesaikan sesuatu. Teliti adalah modal yang wajib dimiliki untuk
menyelesaikan suatu pekerjaan, apapun pekerjaannya. Ketika tidak teliti, maka
hasil dari pekerjaan tersebut tidak akan menggembirakan.
Dibalik semua rintangan dan hambatan yang saya alami, saya sangat
bersyukur dapat menyelesaikan tulisan ini meskipun masih jauh dari
kesempurnaan. Saya bersyukur Tuhan memberi saya kesempatan untuk menulis
tesis ini sampai selesai, bersyukur karena saya diberi kesempatan untuk dibimbing
oleh seorang dosen yang luar biasa, diberi kesempatan untuk belajar bersama
teman-teman satu dosen pembimbing yang luar biasa pula. Saya belajar banyak
hal dari pak Sudi dan teman-teman. Saya sangat berterima kasih kepada pak Sudi
karena mau membimbing saya dengan sabar dan selalu memberikan motivasi
yang luar biasa selama menyelesaikan tugas akhir ini. Terima kasih untuk semua
ilmu dan pengalaman yang saya terima ketika menjadi mahasiswa bimbingan
beliau. Beliau adalah sang motivator yang luar biasa baik dan pengertian bagi saya
dan teman-teman bimbingan yang lain. Kami mengagumi sosok beliau yang
selalu semangat dalam menjalankan setiap tugas dan panggilannya. Semoga kelak,
kami bisa sedikit memiliki semangat dan teladan seperti beliau. Amin.
Ada banyak orang yang membantu saya dalam menyelesaikan tesis ini,
bapa, mama, adik-adik, keluarga dan sahabat-sahabat saya yang terkasih (Enu
Osni, Kak Olive, Ka Ryo, Ka Yukema, Kk Ny, Kk Jho, dan semuanya). Oleh
karena itu, saya juga ingin berterima kasih kepada mereka. Terima kasih karena
mau membantu dan memberikan dukungan kepada saya dalam menyelesaikan
tesis. Bantuan kalian memiliki peran yang luar biasa bagi saya dalam
menyelesaikan tugas akhir ini. Terima kasih, saya menyayangi kalian.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
72
BAB V
PENUTUP
A. Kesimpulan
Pada bagian ini, penulis menyajikan kesimpulan akhir dari semua hal yang
dibahas pada bab sebelumnya. Berdasarkan pembahasan pada bab sebelumnya,
maka dapat disimpulkan bahwa metode Euler, metode Heun dan metode iterasi
variasional dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial sistem
transmisi tuberkulosis yang sudah dimodelkan. Solusi hasil penyelesaian
menggunakan ketiga metode ini berupa solusi pendekatan analitis. Solusi ini dapat
dihitung dengan bantuan software MATLAB dan MAPLE.
Analisis solusi menunjukan bahwa: pertama, selisih solusi hasil
perhitungan antara metode Heun dan VIM sangat kecil untuk nilai ๐ก yang kecil;
kedua,; selisih solusi hasil perhitungan antara metode Euler dan VIM lebih besar
jika dibandingkan dengan selisih solusi hasil perhitungan antara metode Heun dan
VIM untuk nilai ๐ก yang kecil; ketiga, untuk nilai ๐ก yang kecil solusi yang
diperoleh dengan menggunakan VIM masih relevan, namun metode iterasi
variasional ini kurang relevan untuk pengambilan nilai ๐ก yang besar.
B. Saran
Berdasarkan pembahasan pada bab sebelumnya, penulis menyarankan agar
para peneliti selajutnya dapat menerapkan model-model epidemi dan metode
numeris lainya untuk menyelesaikan persoalan tentang penyebaran penyakit
dalam kehidupan sehari-hari. Selain itu, penulis juga berharap agar para pembaca
dapat menjadi penulis yang berikutnya. Penulis yang ingin mempelajari lebih
dalam lagi terkait manfaat ilmu matematika dalam menyelesaikan masalah dalam
kehidupan sehari-hari.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
73
DAFTAR PUSTAKA
Abbasbandy, S. dan Shivanian, E., 2009, Application of the Variational Iteration
Method for System of Nonlinear Volterraโs Integro-Differential Equations.
Mathematical and Computational Applications 14 (2), 147-158.
Abdou, M. A. dan Soliman, A. A., 2005, Variational Iteration Method for Solving
Burgerโs and Coupled Burgerโs Equations. Journal of Computational and
Applied Mathematics 181 (2), 245-251.
Adebiyi, A. O., 2016, Mathematical Modeling of the Population Dynamics of
Tuberculosis. Postgraduate Dissertation, Department of Mathematics and
Applied Mathematics, University of the Western Cape, South Africa.
Agrawal, N., 2016, Application of Modified Eulerโs Method in Obtaining
Numerical Solution of Swing Equation. International Journal of Scientific
Research Engineering & Technology (IJSRET) 5 (11), 561-567.
Allman, E. S. dan Rhodes, J. A., 2004, Mathematical Models in Biology. New
York: Cambridge University Press.
Banerjee, S., 2015, Stability Analysis of a Non Vaccinated SIR Epidemic Model.
International Journal of Multidisciplinary Research 2 (7), 48-50.
Betancourt,F. A., Pizza, D. M. M., Loaiza, A. M., Montoya, J. F. A., Muรฑoz, C.
A. A., Arias, O. A. M., Olarte, J. A., Osorio, S. R., Contreras, H. M., dan
Zuluaga, V. Z., 2017, Modeling Pulmonary Tuberculosis for Optimal
Control Including Prevention. British Journal of Mathematics & Computer
Science 21 (6), 1-8.
Biazar, J. dan Ghazvini, H., 2007, Heโs Variational Iteration Method for Solving
Hyperbolic Differential Equations. International Journal of Nonlinear
Sciences and Numerical Simulation 8 (3), 311-314.
Brauer, F. dan Chavez, C. C., 2012, Mathematical Models in Population Biology
and Epidemiology. New York: Springer.
BubniakovยดA, L., 2007, The Mathematics of Infectious Diseases. Bratislava:
Postgraduate Thesis, Department of Mathematical Analysis and Numerical
Mathematics, Comenius University.
Butcher, J. C., 2008, Numerical Methods for Ordinary Differential Equations.
England: John Wiley & Sons, Ltd.
Chandio, M. S. dan Memon, A. G., 2010, Improving the Efficiency of Heunโs
Method. Sindh University Research Journal (Science Series) 42 (2), 85-88.
Egbetade, S.A., Ibrahim, M.O., dan Ejieji, C.N., 2013, On Existence of a
Vaccination Model of Tuberculosis Disease Pandemic. International
Journal of Engineering and Science 2 (7), 41-44.
Elaydi, S., 2005, An Introduction to Difference Equations. New York: Springer
Science+Business Media, Inc.
Griffiths, D.F. dan Higham, D.J., 2010, Numerical Methods for Ordinary
Differential Equations. London: Springer.
Haberman, R., 1977, Mathematical Models, Mechanical Vibrations, Population
Dynamics, and Traffic Flow. Englewood Cliffs: Prentice-Hall.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
74
He, J. H., 1999, Variational Iteration Method โ a Kind of Non-Linear Analytical
Technique: Some Examples. International Journal of Non-Linear
Mechanics 34 (4), 699-708.
He, J. H. dan Wu, X. H., 2007, Variational Iteration Method: New Development
and Applications. Computers and Mathematics with Applications 54 (7-8),
881-894.
Hethcote, H. W., 2000, The Mathematics of Infectious Diseases. SIAM Review 42
(4), 599-653.
He, Y., Gao, S., dan Xie, D., 2013, An SIR Epidemic Model with Time-Varying
Pulse Control Schemes and Saturated Infectious Force. Applied
Mathematical Modelling 37 (1), 8131โ8140.
Kasbawati, 2011, Analisis Numerik Model Epidemiologi SIR dengan Faktor
Difusi. Jurnal Matematika, Statistika, & Komputasi 7 (2), 98-107.
Li, M. Y. dan Shuai, Z., 2010, Global-Stability Problem for Coupled Systems of
Differential Equations on Networks. Journal of Differential Equations 248
(1), 1-20.
McCluskey, C. C., 2010, Complete global stability for an SIR epidemic model
with delay โ Distributed or discrete. Nonlinear Analysis: Real World
Applications 11 (1), 55โ59.
Meng, X. dan Chen, L., 2008, The dynamics of a new SIR epidemic model
concerning pulse vaccination strategy. Applied Mathematics and
Computation 197 (1), 582โ597.
Mohyud-Din, S. T., Sikander, W., Khan, U., dan Ahmed, N., 2017, Optimal
Variational Iteration Method for Nonlinear Problems. Journal of the
Association of Arab Universities for Basic and Applied Sciences 24 (1),
191-197.
Murray, J. D., 2002, Mathematical Biology, an Introduction. New York: Springer.
Odibat, Z. M., 2010, A Study on the Convergence of Variational Iteration
Method. Mathematical and Computer Modelling 51 (9-10), 1181-1192.
Porwal, P., Shrivastava, P., dan Tiwari, S. K., 2015, Study of Simple SIR
Epidemic Model. Advances in Applied Science Research 6 (4), 1-4.
Putranto, Y. W., 2017, Analisis Titik Ekuilibrium dan Solusi Model Interaksi
Pemangsa-Mangsa Menggunakan Metode Dekomposisi Adomian.
Yogyakarta: Masters Thesis. Universitas Sanata Dharma.
Rangkuti, Y. M., Side, S., dan Noorani, M. S. M.,2014, Numerical Analytic
Solution of SIR Model of Dengue Fever Disease in South Sulawesi Using
Homotopy Perturbation Method and Variational Iteration Method. Journal
Mathematical and Fundamental Sciences 46 (1), 91-105.
Rohaeti, E., Wardatun, S., dan Andriyati, A., 2015, Stability Analysis Model of
Spreading and Controlling of Tuberculosis. Applied Mathematical
Sciences 9 (52), 2559-2566.
Salehpoor, E., Jafari, H., dan Afrapoli, M. A., 2010, Revised Variational Iteration
Method for Solving Systems of Ordinary Differential Equations.
Applications and Applied Mathematics: An International Journal 1 (1),
110-121.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
75
Salehpoor, E. dan Jafari, H., 2011, Variational Iteration Method: A Tools for
Solving Partial Differential Equations. The Journal of Mathematics and
Computer Science 2 (2), 388-393.
Setianingrum, P. S. dan Mungkasi, S., 2017, Variational Iteration Method Used to
Solve the One-Dimensional Acoustic Equations. Journal of Physics:
Conference Series 856 (1), 012010 (1-7).
Shakeri, F. dan Dehghan, M., 2007, Numerical Solution of a Biological
Population Model Using Heโs Variational Iteration Method. Computers
and Mathematics with Applications 54 (7-8), 1197-1209.
Side, S., 2015, A Susceptible-Infected-Recovered Model and Simulation for
Transmission of Tuberculosis. Advanced Science Letters 21 (2), 137-139.
Side, S. dan Sanusi, W., 2016, Pemodelan Matematika pada Penularan Penyakit
Tuberculosis. Makasar: Badan Penerbit Universitas Negeri Makassar.
Sweilam, N. H. dan Khader, M. M., 2007, Variational Iteration Method for One
Dimensional Nonlinear Thermoelasticity. Chaos, Solitons and Fractals 32
(1), 145-149.
Tatari, M. dan Dehghan, M., 2007, Heโs Variational Iteration Method for
Computing a Control Parameter in a Semi-Linear Inverse Parabolic
Equation. Chaos, Solitons and Fractals 33 (2), 671-677.
Taufik, M. R., Lestari, D., dan Septiarini, T. W., 2015, Mathematical Model for
Vaccinated Tuberculosis Disease with VEIT Model. International Journal
of Modeling and Optimization 5 (3), 192-197.
Wallis, R. S., 2016, Mathematical Models of Tuberculosis Reactivation and
Relapse. Frontiers in Microbiology 7 (669), 1-7.
Wu, G. C. dan Lee, E.W.M., 2010, Fractional Variational Iteration Method and its
Application. Physics Letters A 374 (25), 2506-2509.
Yoshida, N., dan Hara, T., (2007), Global Stability of a Delayed SIR Epidemic
Model with Density Dependent Birth and Death Rates. Journal of
Computational and Applied Mathematics 201 (1), 339-347.
Yuliyanto, B. D. dan Mungkasi, S., 2017, Variational Iteration Method for
Solving the Population Dynamics Model of Two Species. Journal of
Physics: Conference Series 795 (1), 012044 (1-7).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
76
LAMPIRAN I
PROGRAM MATLAB UNTUK METODE EULER
Simulasi I
% Penerapan Metode Euler untuk Menyelesaikan Sistem Transmisi TB
Data Simulasi I %% Initial Conditions a=0.000046; % Nilai Parameter Beta b=0.326666; % Nilai Parameter Alfa c=0.123111; % Nilai Parameter Gamma d=0.041230; % Nilai Parameter Delta e=0.003700; % Nilai Parameter Fluks t0=0; x0=0.998935; % Nilai x ketika t0 y0=0.000954; % Nilai y ketika t0 z0=0.000112; % Nilai z ketika t0 tEnd=5; h=0.1; N=(tEnd-t0)/h;
%% Initializing Solution T=(t0:h:tEnd); X=zeros(N+1,1); X(1)=x0; Y=zeros(N+1,1); Y(1)=y0; Z=zeros(N+1,1); Z(1)=z0;
%% Solving Using Euler's Method for i = 1:N % Metode Euler pi=a-(b*X(i))-(c*b*X(i)*Y(i))-(a*X(i)); X(i+1)=X(i)+h*pi; qi=b*X(i)-(a+d)*Y(i); Y(i+1)=Y(i)+h*qi; ri=c*b*X(i)*Y(i)-(a+e)*Z(i); Z(i+1)=Z(i)+h*ri; end %% Plot Results plot (T,X,'g',T,Y,'b',T,Z,'r'); xlabel ('Waktu (t)'), ylabel ('Nilai x(i),y(i), dan z(i)'); grid on; title('Penerapan Metode Euler dalam Menyelesaikan Sistem Transmisi
TB Model Epidemi SIR Simulasi I'); legend('x(t) adalah susceptible','y(t) adalah infected I','z(t)
adalah infected II') hold on
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
77
Simulasi II % Penerapan Metode Euler untuk Menyelesaikan Sistem Transmisi TB
Data Simulasi II
%% Initial Conditions a=0.015; % Nilai Parameter Beta b=0.325; % Nilai Parameter Alfa c=0.125; % Nilai Parameter Gamma d=0.055; % Nilai Parameter Delta e=0.165; % Nilai Parameter Fluks t0=0; x0=0.998935; % Nilai x ketika t0 y0=0.000954; % Nilai y ketika t0 z0=0.000112; % Nilai z ketika t0 tEnd=5; h=0.1; N=(tEnd-t0)/h;
%% Initializing Solution T=(t0:h:tEnd); X=zeros(N+1,1); X(1)=x0; Y=zeros(N+1,1); Y(1)=y0; Z=zeros(N+1,1); Z(1)=z0;
%% Solving Using Euler's Method for i = 1:N pi=a-(b*X(i))-(c*b*X(i)*Y(i))-(a*X(i)); X(i+1)=X(i)+h*pi; qi=b*X(i)-(a+d)*Y(i); Y(i+1)=Y(i)+h*qi; ri=c*b*X(i)*Y(i)-(a+e)*Z(i); Z(i+1)=Z(i)+h*ri; end
%% Plot Results plot (T,X,'g',T,Y,'b',T,Z,'r'); xlabel ('Waktu (t)'), ylabel ('Nilai x(i),y(i), dan z(i)'); grid on; title('Penerapan Metode Euler dalam Menyelesaikan Sistem Transmisi
TB Model Epidemi SIR Simulasi II'); legend('x(t) adalah Susceptible','y(t) adalah infected I','z(t)
adalah infected II') hold on
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
78
Simulasi III % Penerapan Metode Euler untuk Menyelesaikan Sistem Transmisi TB
Data Simulasi III
%% Initial Conditions a=0.000150; % Nilai Parameter Beta b=0.212500; % Nilai Parameter Alfa c=0.020050; % Nilai Parameter Gamma d=0.200050; % Nilai Parameter Delta e=0.150000; % Nilai Parameter Fluks t0=0; x0=0.997586; % Nilai x ketika t0 y0=0.002069; % Nilai y ketika t0 z0=0.000345; % Nilai z ketika t0 tEnd=5; h=0.1; N=(tEnd-t0)/h;
%% Initializing Solution T=(t0:h:tEnd); X=zeros(N+1,1); X(1)=x0; Y=zeros(N+1,1); Y(1)=y0; Z=zeros(N+1,1); Z(1)=z0;
%% Solving Using Euler's Method for i = 1:N pi=a-(b*X(i))-(c*b*X(i)*Y(i))-(a*X(i)); X(i+1)=X(i)+h*pi; qi=b*X(i)-(a+d)*Y(i); Y(i+1)=Y(i)+h*qi; ri=c*b*X(i)*Y(i)-(a+e)*Z(i); Z(i+1)=Z(i)+h*ri; end
%% Plot Results plot (T,X,'g',T,Y,'b',T,Z,'r'); xlabel ('Waktu (t)'), ylabel ('Nilai x(i),y(i), dan z(i)'); grid on; title('Penerapan Metode Euler dalam Menyelesaikan Sistem Transmisi
TB Model Epidemi SIR Simulasi III'); legend('x(t) adalah susceptible','y(t) adalah infected I','z(t)
adalah infected II') hold on
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
79
Simulasi IV % Penerapan Metode Euler untuk Menyelesaikan Sistem Transmisi TB
Data Simulasi IV
%% Initial Conditions a=0.05; % Nilai Parameter Beta b=0.12; % Nilai Parameter Alfa c=0.13; % Nilai Parameter Gamma d=0.02; % Nilai Parameter Delta e=0.15; % Nilai Parameter Fluks t0=0; x0=0.997586; % Nilai x ketika t0 y0=0.002069; % Nilai y ketika t0 z0=0.000345; % Nilai z ketika t0 tEnd=5; h=0.1; N=(tEnd-t0)/h;
%% Initializing Solution T=(t0:h:tEnd); X=zeros(N+1,1); X(1)=x0; Y=zeros(N+1,1); Y(1)=y0; Z=zeros(N+1,1); Z(1)=z0;
%% Solving Using Euler's Method for i = 1:N pi=a-(b*X(i))-(c*b*X(i)*Y(i))-(a*X(i)); X(i+1)=X(i)+h*pi; qi=b*X(i)-(a+d)*Y(i); Y(i+1)=Y(i)+h*qi; ri=c*b*X(i)*Y(i)-(a+e)*Z(i); Z(i+1)=Z(i)+h*ri; end
%% Plot Results plot (T,X,'g',T,Y,'b',T,Z,'r'); xlabel ('Waktu (t)'), ylabel ('Nilai x(i),y(i), dan z(i)'); grid on; title('Penerapan Metode Euler dalam Menyelesaikan Sistem Transmisi
TB Model Epidemi SIR Simulasi IV'); legend('x(t) adalah susceptible','y(t) adalah infected'I,'z(t)
adalah infected II') hold on
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
80
LAMPIRAN II
PROGRAM MATLAB UNTUK METODE HEUN
Simulasi I % Penerapan Metode Heun untuk Menyelesaikan Sistem Transmisi TB
Data Simulasi I %% Initial Conditions a=0.000046; % Nilai Parameter Beta b=0.326666; % Nilai Parameter Alfa c=0.123111; % Nilai Parameter Gamma d=0.041230; % Nilai Parameter Delta e=0.003700; % Nilai Parameter Fluks t0=0; x0=0.998935; % Nilai x ketika t0 y0=0.000954; % Nilai y ketika t0 z0=0.000112; % Nilai z ketika t0 tEnd=5; h=0.1; N=(tEnd-t0)/h; %% Initializing Solutions T=[t0:h:tEnd]'; X=zeros(N+1,1); X(1)=x0; Y=zeros(N+1,1); Y(1)=y0; Z=zeros(N+1,1); Z(1)=z0; %% Solving Using Heun's Method for i=1:N % Metode Heun j1=a-(b*X(i))-(c*b*X(i)*Y(i))-(a*X(i)); k1=b*X(i)-(a+d)*Y(i); l1=c*b*X(i)*Y(i)-(a+e)*Z(i); tNew=T(i)+h; xNew=X(i)+h*j1; yNew=Y(i)+h*k1; zNew=Z(i)+h*l1; j2=a-(b*xNew)-(c*b*xNew*yNew)-(a*xNew); k2=b*xNew-(a+d)*yNew; l2=c*b*xNew*yNew-(a+e)*zNew; X(i+1)=X(i)+h/2*(j1+j2); Y(i+1)=Y(i)+h/2*(k1+k2); Z(i+1)=Z(i)+h/2*(l1+l2); end %% Plot Result plot(T,X,'g',T,Y,'b',T,Z,'r') xlabel ('Waktu (t)'), ylabel ('Nilai x(t),y(t), dan z(t)'); grid on; title('Penerapan Metode Heun dalam Menyelesaikan Sistem Transmisi
TB Model Epidemi SIR Simulasi I'); legend('x(t) adalah susceptible','y(t) adalah infected I','z(t)
adalah infected II') hold on
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
81
Simulasi II % Penerapan Metode Heun untuk Menyelesaikan Sistem Transmisi TB
Data Simulasi II %% Initial Conditions a=0.015; % Nilai Parameter Beta b=0.325; % Nilai Parameter Alfa c=0.125; % Nilai Parameter Gamma d=0.055; % Nilai Parameter Delta e=0.165; % Nilai Parameter Fluks t0=0; x0=0.998935; % Nilai x ketika t0 y0=0.000954; % Nilai y ketika t0 z0=0.000112; % Nilai z ketika t0 tEnd=5; h=0.1; N=(tEnd-t0)/h; %% Initializing Solutions T=[t0:h:tEnd]'; X=zeros(N+1,1); X(1)=x0; Y=zeros(N+1,1); Y(1)=y0; Z=zeros(N+1,1); Z(1)=z0; %% Solving Using Heun's Method for i=1:N % Metode Heun j1=a-(b*X(i))-(c*b*X(i)*Y(i))-(a*X(i)); k1=b*X(i)-(a+d)*Y(i); l1=c*b*X(i)*Y(i)-(a+e)*Z(i); tNew=T(i)+h; xNew=X(i)+h*j1; yNew=Y(i)+h*k1; zNew=Z(i)+h*l1; j2=a-(b*xNew)-(c*b*xNew*yNew)-(a*xNew); k2=b*xNew-(a+d)*yNew; l2=c*b*xNew*yNew-(a+e)*zNew; X(i+1)=X(i)+h/2*(j1+j2); Y(i+1)=Y(i)+h/2*(k1+k2); Z(i+1)=Z(i)+h/2*(l1+l2); end %% Plot Result plot(T,X,'g',T,Y,'b',T,Z,'r') xlabel ('Waktu (t)'), ylabel ('Nilai x(t),y(t), dan z(t)'); grid on; title('Penerapan Metode Heun dalam Menyelesaikan Sistem Transmisi
TB Model Epidemi SIR Simulasi II'); legend('x(t) adalah susceptible','y(t) adalah infected I','z(t)
adalah infected II') hold on
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
82
Simulasi III % Penerapan Metode Heun untuk Menyelesaikan Sistem Transmisi TB
Data Simulasi III %% Initial Conditions a=0.000150; % Nilai Parameter Beta b=0.212500; % Nilai Parameter Alfa c=0.020050; % Nilai Parameter Gamma d=0.200050; % Nilai Parameter Delta e=0.150000; % Nilai Parameter Fluks t0=0; x0=0.997586; % Nilai x ketika t0 y0=0.002069; % Nilai y ketika t0 z0=0.000345; % Nilai z ketika t0 tEnd=5; h=0.1; N=(tEnd-t0)/h; %% Initializing Solutions T=[t0:h:tEnd]'; X=zeros(N+1,1); X(1)=x0; Y=zeros(N+1,1); Y(1)=y0; Z=zeros(N+1,1); Z(1)=z0; %% Solving Using Heun's Method for i=1:N % Metode Heun j1=a-(b*X(i))-(c*b*X(i)*Y(i))-(a*X(i)); k1=b*X(i)-(a+d)*Y(i); l1=c*b*X(i)*Y(i)-(a+e)*Z(i); tNew=T(i)+h; xNew=X(i)+h*j1; yNew=Y(i)+h*k1; zNew=Z(i)+h*l1; j2=a-(b*xNew)-(c*b*xNew*yNew)-(a*xNew); k2=b*xNew-(a+d)*yNew; l2=c*b*xNew*yNew-(a+e)*zNew; X(i+1)=X(i)+h/2*(j1+j2); Y(i+1)=Y(i)+h/2*(k1+k2); Z(i+1)=Z(i)+h/2*(l1+l2); end %% Plot Result plot(T,X,'g',T,Y,'b',T,Z,'r') xlabel ('Waktu (t)'), ylabel ('Nilai x(t),y(t), dan z(t)'); grid on; title('Penerapan Metode Heun dalam Menyelesaikan Sistem Transmisi
TB Model Epidemi SIR Simulasi III'); legend('x(t) adalah susceptible','y(t) adalah infected I','z(t)
adalah infected II') hold on
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
83
Simulasi IV % Penerapan Metode Heun untuk Menyelesaikan Sistem Transmisi TB
Data Simulasi IV %% Initial Conditions a=0.05; % Nilai Parameter Beta b=0.12; % Nilai Parameter Alfa c=0.13; % Nilai Parameter Gamma d=0.02; % Nilai Parameter Delta e=0.15; % Nilai Parameter Fluks t0=0; x0=0.997586; % Nilai x ketika t0 y0=0.002069; % Nilai y ketika t0 z0=0.000345; % Nilai z ketika t0 tEnd=5; h=0.1; N=(tEnd-t0)/h; %% Initializing Solutions T=[t0:h:tEnd]'; X=zeros(N+1,1); X(1)=x0; Y=zeros(N+1,1); Y(1)=y0; Z=zeros(N+1,1); Z(1)=z0; %% Solving Using Heun's Method for i=1:N % Metode Heun j1=a-(b*X(i))-(c*b*X(i)*Y(i))-(a*X(i)); k1=b*X(i)-(a+d)*Y(i); l1=c*b*X(i)*Y(i)-(a+e)*Z(i); tNew=T(i)+h; xNew=X(i)+h*j1; yNew=Y(i)+h*k1; zNew=Z(i)+h*l1; j2=a-(b*xNew)-(c*b*xNew*yNew)-(a*xNew); k2=b*xNew-(a+d)*yNew; l2=c*b*xNew*yNew-(a+e)*zNew; X(i+1)=X(i)+h/2*(j1+j2); Y(i+1)=Y(i)+h/2*(k1+k2); Z(i+1)=Z(i)+h/2*(l1+l2); end %% Plot Result plot(T,X,'g',T,Y,'b',T,Z,'r') xlabel ('Waktu (t)'), ylabel ('Nilai x(t),y(t), dan z(t)'); grid on; title('Penerapan Metode Heun dalam Menyelesaikan Sistem Transmisi
TB Model Epidemi SIR Simulasi IV'); legend('x(t) adalah susceptible','y(t) adalah infected I','z(t)
adalah infected II') hold on
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
84
LAMPIRAN III
PROGRAM MATLAB UNTUK VIM
Simulasi I %% Penerapan VIM untuk Menyelesaikan Sistem Transmisi TB Data
Simulasi I
% Solving Using VIM's Method ii=0:0.1:5; XXX =1.389137310*10^(-23)*ii.^19+1.908731732*10^(-
21)*ii.^18+4.275599121*10^(-20)*ii.^17-3.070625662*10^(-
18)*ii.^16-6.696032013*10^(-17)*ii.^15+2.767045407*10^(-
15)*ii.^14+3.638359875*10^(-15)*ii.^13-1.080656305*10^(-
12)*ii.^12+1.527371442*10^(-11)*ii.^11+7.792503116*10^(-
11)*ii.^10-4.046378679*10^(-9)*ii.^9+4.358543285*10^(-
8)*ii.^8+3.85660582*10^(-8)*ii.^7-0.7151798971e-
5*ii.^6+0.5950247438e-4*ii.^5-0.1760525239e-3*ii.^4-0.2862027690e-
2*ii.^3+0.4676467858e-1*ii.^2+0.9989350-0.3263563771*ii; YYY =0.954e-3+0.3262787234*ii-0.6003850645e-1*ii.^2-0.2948016209e-
3*ii.^4+0.5918193293e-2*ii.^3-1.346732829*10^(-
7)*ii.^7+0.4311350505e-5*ii.^6-0.906842842e-5*ii.^5-
6.664613327*10^(-15)*ii.^12-6.682679815*10^(-13)*ii.^11-
3.291561037*10^(-12)*ii.^10+7.373297123*10^(-10)*ii.^9-
6.558067131*10^(-9)*ii.^8; ZZZ =-1.389137310*10^(-23)*ii.^19-1.908731732*10^(-21)*ii.^18-
4.275599121*10^(-20)*ii.^17+3.070625662*10^(-
18)*ii.^16+6.696032013*10^(-17)*ii.^15-2.767045407*10^(-
15)*ii.^14-3.638359875*10^(-15)*ii.^13+1.087245431*10^(-
12)*ii.^12-1.461301562*10^(-11)*ii.^11-7.467075220*10^(-
11)*ii.^10+3.317400372*10^(-9)*ii.^9-3.722597923*10^(-
8)*ii.^8+8.914568603*10^(-8)*ii.^7+0.3084459327e-5*ii.^6-
0.4830738596e-4*ii.^5+0.4119140531e-3*ii.^4-0.2239008540e-
2*ii.^3+0.6547522768e-2*ii.^2+0.112e-3+0.3790582171e-4*ii; %% Plot Result plot(ii,XXX,'g',ii,YYY,'b',ii,ZZZ,'r') xlabel ('Waktu (t)'), ylabel ('Nilai x(t),y(t), dan z(t)'); grid on; title('Penerapan VIM dalam Menyelesaikan Sistem Transmisi TB Data
Simulasi I'); legend('x(t) adalah Susceptible','y(t) adalah infected I','z(t)
adalah Infected II') hold on
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
85
Simulasi II %% Penerapan VIM untuk Menyelesaikan Sistem Transmisi TB Data
Simulasi II
%% Solving Using VIM's Method s=0:0.1:5; XXX=-0.3246766150*s+3.503387871*10^(-15)*s.^14+1.726138723*10^(-
14)*s.^13-1.501912222*10^(-12)*s.^12+1.631887856*10^(-
23)*s.^19+2.464039695*10^(-21)*s.^18+6.970363037*10^(-20)*s.^17-
3.737390542*10^(-18)*s.^16-1.092444683*10^(-
16)*s.^15+1.761789098*10^(-11)*s.^11+1.459031575*10^(-10)*s.^10-
5.277675849*10^(-9)*s.^9+4.966214449*10^(-
8)*s.^8+1.126189630*10^(-7)*s.^7-0.8636177424e-
5*s.^6+0.6608279426e-4*s.^5-0.1669323468e-3*s.^4-0.3215872886e-
2*s.^3+0.4861516255e-1*s.^2+0.998935; YYY=0.954e-3+.3245870950*s-0.6412049828e-1*s.^2-0.3796384546e-
3*s.^4+0.6762787570e-2*s.^3-1.744549223*10^(-
7)*s.^7+0.4955638165e-5*s.^6-0.553566416e-5*s.^5-7.185780407*10^(-
15)*s.^12-8.030399948*10^(-13)*s.^11-7.179240611*10^(-
12)*s.^10+8.964636698*10^(-10)*s.^9-6.779384996*10^(-9)*s.^8; ZZZ=0.1855497459e-4*s-3.503387871*10^(-15)*s.^14-1.726138723*10^(-
14)*s.^13+1.505449837*10^(-12)*s.^12-1.631887856*10^(-23)*s.^19-
2.464039695*10^(-21)*s.^18-6.970363037*10^(-
20)*s.^17+3.737390542*10^(-18)*s.^16+1.092444683*10^(-16)*s.^15-
1.722254821*10^(-11)*s.^11-1.423687621*10^(-
10)*s.^10+4.836339889*10^(-9)*s.^9-4.612987776*10^(-8)*s.^8-
1.76971899*10^(-8)*s.^7+0.5854914056e-5*s.^6-0.7493696023e-
4*s.^5+0.5612657099e-3*s.^4-0.2688537060e-2*s.^3+0.6578192062e-
2*s.^2+0.112e-3; %% Plot Result plot(s,XXX,'g',s,YYY,'b',s,ZZZ,'r') xlabel ('Waktu (t)'), ylabel ('Nilai x(t),y(t), dan z(t)'); grid on; title('Penerapan VIM dalam Menyelesaikan Sistem Transmisi TB Data
Simulasi II'); legend('x(t) adalah susceptible','y(t) adalah infected I','z(t)
adalah infected II') hold on
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
86
Simulasi III %% Penerapan VIM untuk Menyelesaikan Sistem Transmisi TB Data
Simulasi III
%% Solving Using VIM's Method
s=0:0.1:5; XXX=-0.2119954569*s+0.997586-1.521811347*10^(-
19)*s.^14+1.097506894*10^(-17)*s.^13+1.433005522*10^(-
16)*s.^12+3.486914654*10^(-32)*s.^19+8.784967863*10^(-
29)*s.^18+5.983812460*10^(-26)*s.^17+1.018888790*10^(-23)*s.^16-
1.429739447*10^(-21)*s.^15-2.031673927*10^(-
14)*s.^11+7.384049783*10^(-13)*s.^10-3.216645077*10^(-12)*s.^9-
3.609042715*10^(-10)*s.^8+1.327932919*10^(-8)*s.^7-
2.626370678*10^(-7)*s.^6-2.75360797*10^(-7)*s.^5+0.5696873928e-
4*s.^4-0.1440382562e-2*s.^3+0.2209172317e-1*s.^2; YYY=0.2069e-2+0.2115728112*s-0.4370295570e-1*s.^2-0.3008081024e-
3*s.^4+0.4481274300e-2*s.^3-5.086978008*10^(-
9)*s.^7+1.247471725*10^(-7)*s.^6+0.1446552784e-4*s.^5-
4.588461193*10^(-20)*s.^12-9.550942173*10^(-17)*s.^11-
3.508058511*10^(-14)*s.^10+1.529325646*10^(-
12)*s.^9+8.439359011*10^(-11)*s.^8; ZZZ=-0.4300779685e-4*s+1.521811347*10^(-19)*s.^14-
1.097506894*10^(-17)*s.^13-1.432870568*10^(-16)*s.^12-
3.486914654*10^(-32)*s.^19-8.784967863*10^(-29)*s.^18-
5.983812460*10^(-26)*s.^17-1.018888790*10^(-
23)*s.^16+1.429739447*10^(-21)*s.^15+2.034483027*10^(-14)*s.^11-
7.280871592*10^(-13)*s.^10+2.766843416*10^(-
12)*s.^9+3.359722024*10^(-10)*s.^8-1.184357818*10^(-
8)*s.^7+2.284297174*10^(-7)*s.^6-0.2903301899e-
5*s.^5+0.2516757288e-4*s.^4-0.1481711410e-3*s.^3+0.4519225911e-
3*s.^2+0.345e-3;
%% Plot Result plot(s,XXX,'g',s,YYY,'b',s,ZZZ,'r') xlabel ('Waktu (t)'), ylabel ('Nilai x(t),y(t), dan z(t)'); grid on; title('Penerapan VIM dalam Menyelesaikan Sistem Transmisi TB Data
Simulasi III'); legend('x(t) adalah susceptible','y(t) adalah infected I','z(t)
adalah infected II') hold on
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
87
Simulasi IV %% Penerapan VIM untuk Menyelesaikan Sistem Transmisi TB Data
Simulasi IV
%% Solving Using VIM's Method
s=0:0.1:5; XXX=-0.1196218185*s+0.997586+6.006371216*10^(-
21)*s.^14+9.737800935*10^(-19)*s.^13-4.345951495*10^(-
17)*s.^12+2.149958882*10^(-31)*s.^19+1.411995753*10^(-
28)*s.^18+2.375239396*10^(-26)*s.^17-6.961542069*10^(-25)*s.^16-
3.044071581*10^(-22)*s.^15-3.714803511*10^(-
17)*s.^11+7.678303953*10^(-14)*s.^10-2.449051382*10^(-
12)*s.^9+1.573684466*10^(-11)*s.^8+1.473393350*10^(-9)*s.^7-
6.663436264*10^(-8)*s.^6+6.275241534*10^(-7)*s.^5+0.4514718864e-
5*s.^4-0.3903528178e-3*s.^3+0.9239425552e-2*s.^2; YYY=0.2069e-2+0.1195654900*s-0.1136210126e-1*s.^2-0.2281770710e-
4*s.^4+0.6346927181e-3*s.^3-5.847052157*10^(-
10)*s.^7+2.668763549*10^(-8)*s.^6+4.278011526*10^(-7)*s.^5-
6.952233584*10^(-20)*s.^12-3.511507194*10^(-17)*s.^11-
2.845800007*10^(-15)*s.^10+3.151176552*10^(-
13)*s.^9+4.140954446*10^(-13)*s.^8; ZZZ=-0.3680151523e-4*s-6.006371216*10^(-21)*s.^14-
9.737800935*10^(-19)*s.^13+4.344213437*10^(-17)*s.^12-
2.149958882*10^(-31)*s.^19-1.411995753*10^(-28)*s.^18-
2.375239396*10^(-26)*s.^17+6.961542069*10^(-
25)*s.^16+3.044071581*10^(-22)*s.^15+2.836926713*10^(-17)*s.^11-
7.749448953*10^(-14)*s.^10+2.527830796*10^(-12)*s.^9-
1.578633373*10^(-11)*s.^8-1.647407359*10^(-
9)*s.^7+7.561907686*10^(-8)*s.^6-0.1654746114e-
5*s.^5+0.2184303797e-4*s.^4-0.1953552416e-3*s.^3+0.9321091700e-
3*s.^2+0.345e-3;
%% Plot Result plot(s,XXX,'g',s,YYY,'b',s,ZZZ,'r') xlabel ('Waktu (t)'), ylabel ('Nilai x(t),y(t), dan z(t)'); grid on; title('Penerapan VIM dalam Menyelesaikan Sistem Transmisi TB Data
Simulasi IV'); legend('x(t) adalah susceptible','y(t) adalah infected I','z(t)
adalah infected II') hold on
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
88
LAMPIRAN IV
PROGRAM MATLAB UNTUK ANALISIS HASIL SIMULASI
Simulasi I % Penerapan Metode Euler untuk Menyelesaikan Sistem Transmisi TB
Data Simulasi I %% Initial Conditions aa=0.000046; % Nilai Parameter Beta bb=0.326666; % Nilai Parameter Alfa cc=0.123111; % Nilai Parameter Gamma dd=0.041230; % Nilai Parameter Delta ee=0.003700; % Nilai Parameter Fluks tt0=0; xx0=0.998935; % Nilai x ketika t0 yy0=0.000954; % Nilai y ketika t0 zz0=0.000112; % Nilai z ketika t0 ttEnd=5; hh=0.1; NN=(ttEnd-tt0)/hh;
%% Initializing Solution TT=(tt0:hh:ttEnd); XX=zeros(NN+1,1); XX(1)=xx0; YY=zeros(NN+1,1); YY(1)=yy0; ZZ=zeros(NN+1,1); ZZ(1)=zz0;
%% Solving Using Euler's Method for i = 1:NN % Metode Euler pi=aa-(bb*XX(i))-(cc*bb*XX(i)*YY(i))-(aa*XX(i)); XX(i+1)=XX(i)+hh*pi; qi=bb*XX(i)-(aa+dd)*YY(i); YY(i+1)=YY(i)+hh*qi; ri=cc*bb*XX(i)*YY(i)-(aa+ee)*ZZ(i); ZZ(i+1)=ZZ(i)+hh*ri; end
%% Penerapan Metode Heun untuk Menyelesaikan Sistem Transmisi TB
Data Simulasi I %% Initial Conditions a=0.000046; % Nilai Parameter Beta b=0.326666; % Nilai Parameter Alfa c=0.123111; % Nilai Parameter Gamma d=0.041230; % Nilai Parameter Delta e=0.003700; % Nilai Parameter Fluks t0=0; x0=0.998935; % Nilai x ketika t0 y0=0.000954; % Nilai y ketika t0 z0=0.000112; % Nilai z ketika t0 tEnd=5; h=0.1;
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
89
N=(tEnd-t0)/h; %% Initializing Solutions T=[t0:h:tEnd]'; X=zeros(N+1,1); X(1)=x0; Y=zeros(N+1,1); Y(1)=y0; Z=zeros(N+1,1); Z(1)=z0; %% Solving Using Heun's Method for i=1:N % Metode Heun j1=a-(b*X(i))-(c*b*X(i)*Y(i))-(a*X(i)); k1=b*X(i)-(a+d)*Y(i); l1=c*b*X(i)*Y(i)-(a+e)*Z(i); tNew=T(i)+h; xNew=X(i)+h*j1; yNew=Y(i)+h*k1; zNew=Z(i)+h*l1; j2=a-(b*xNew)-(c*b*xNew*yNew)-(a*xNew); k2=b*xNew-(a+d)*yNew; l2=c*b*xNew*yNew-(a+e)*zNew; X(i+1)=X(i)+h/2*(j1+j2); Y(i+1)=Y(i)+h/2*(k1+k2); Z(i+1)=Z(i)+h/2*(l1+l2); end
%% Penerapan Metode Euler untuk Menyelesaikan Sistem Transmisi TB
Data Simulasi I % Solving Using VIM's Method ii=0:0.1:5; XXX =1.389137310*10^(-23)*ii.^19+1.908731732*10^(-
21)*ii.^18+4.275599121*10^(-20)*ii.^17-3.070625662*10^(-
18)*ii.^16-6.696032013*10^(-17)*ii.^15+2.767045407*10^(-
15)*ii.^14+3.638359875*10^(-15)*ii.^13-1.080656305*10^(-
12)*ii.^12+1.527371442*10^(-11)*ii.^11+7.792503116*10^(-
11)*ii.^10-4.046378679*10^(-9)*ii.^9+4.358543285*10^(-
8)*ii.^8+3.85660582*10^(-8)*ii.^7-0.7151798971e-
5*ii.^6+0.5950247438e-4*ii.^5-0.1760525239e-3*ii.^4-0.2862027690e-
2*ii.^3+0.4676467858e-1*ii.^2+0.9989350-0.3263563771*ii; YYY =0.954e-3+0.3262787234*ii-0.6003850645e-1*ii.^2-0.2948016209e-
3*ii.^4+0.5918193293e-2*ii.^3-1.346732829*10^(-
7)*ii.^7+0.4311350505e-5*ii.^6-0.906842842e-5*ii.^5-
6.664613327*10^(-15)*ii.^12-6.682679815*10^(-13)*ii.^11-
3.291561037*10^(-12)*ii.^10+7.373297123*10^(-10)*ii.^9-
6.558067131*10^(-9)*ii.^8; ZZZ =-1.389137310*10^(-23)*ii.^19-1.908731732*10^(-21)*ii.^18-
4.275599121*10^(-20)*ii.^17+3.070625662*10^(-
18)*ii.^16+6.696032013*10^(-17)*ii.^15-2.767045407*10^(-
15)*ii.^14-3.638359875*10^(-15)*ii.^13+1.087245431*10^(-
12)*ii.^12-1.461301562*10^(-11)*ii.^11-7.467075220*10^(-
11)*ii.^10+3.317400372*10^(-9)*ii.^9-3.722597923*10^(-
8)*ii.^8+8.914568603*10^(-8)*ii.^7+0.3084459327e-5*ii.^6-
0.4830738596e-4*ii.^5+0.4119140531e-3*ii.^4-0.2239008540e-
2*ii.^3+0.6547522768e-2*ii.^2+0.112e-3+0.3790582171e-4*ii;
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
90
%% Plot Result plot(T,ZZ,'g',T,Z,'b',ii,ZZZ,'r') xlabel ('Waktu (t)'), ylabel ('Nilai z1(t),z2(t), dan z3(t)'); grid on; title(' Infected II Euler, Heun dan VIM Simulasi I'); legend('z1(t) adalah Infected II Euler','z2(t) adalah Infected II
Heun','z3(t) adalah Infected II VIM') hold on
Simulasi II % Penerapan Metode Euler untuk Menyelesaikan Sistem Transmisi TB
Data Simulasi II %% Initial Conditions a=0.015; % Nilai Parameter Beta b=0.325; % Nilai Parameter Alfa c=0.125; % Nilai Parameter Gamma d=0.055; % Nilai Parameter Delta e=0.165; % Nilai Parameter Fluks t0=0; x0=0.998935; % Nilai x ketika t0 y0=0.000954; % Nilai y ketika t0 z0=0.000112; % Nilai z ketika t0 tEnd=5; h=0.1; N=(tEnd-t0)/h;
%% Initializing Solution T=(t0:h:tEnd); X=zeros(N+1,1); X(1)=x0; Y=zeros(N+1,1); Y(1)=y0; Z=zeros(N+1,1); Z(1)=z0;
%% Solving Using Euler's Method for i = 1:N pi=a-(b*X(i))-(c*b*X(i)*Y(i))-(a*X(i)); X(i+1)=X(i)+h*pi; qi=b*X(i)-(a+d)*Y(i); Y(i+1)=Y(i)+h*qi; ri=c*b*X(i)*Y(i)-(a+e)*Z(i); Z(i+1)=Z(i)+h*ri; end % Penerapan Metode Heun untuk Menyelesaikan Sistem Transmisi TB
Data Simulasi II %% Initial Conditions aa=0.015; % Nilai Parameter Beta bb=0.325; % Nilai Parameter Alfa cc=0.125; % Nilai Parameter Gamma dd=0.055; % Nilai Parameter Delta ee=0.165; % Nilai Parameter Fluks tt0=0; xx0=0.998935; % Nilai x ketika t0
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
91
yy0=0.000954; % Nilai y ketika t0 zz0=0.000112; % Nilai z ketika t0 ttEnd=5; hh=0.1; NN=(ttEnd-tt0)/hh; %% Initializing Solutions TT=[tt0:hh:ttEnd]'; XX=zeros(NN+1,1); XX(1)=xx0; YY=zeros(NN+1,1); YY(1)=yy0; ZZ=zeros(NN+1,1); ZZ(1)=zz0; %% Solving Using Heun's Method for i=1:NN % Metode Heun j1=aa-(bb*XX(i))-(cc*bb*XX(i)*YY(i))-(aa*XX(i)); k1=bb*XX(i)-(aa+dd)*YY(i); l1=cc*bb*XX(i)*YY(i)-(aa+ee)*ZZ(i); tNew=TT(i)+hh; xNew=XX(i)+hh*j1; yNew=YY(i)+hh*k1; zNew=ZZ(i)+hh*l1; j2=aa-(bb*xNew)-(cc*bb*xNew*yNew)-(aa*xNew); k2=bb*xNew-(aa+dd)*yNew; l2=cc*bb*xNew*yNew-(aa+ee)*zNew; XX(i+1)=XX(i)+hh/2*(j1+j2); YY(i+1)=YY(i)+hh/2*(k1+k2); ZZ(i+1)=ZZ(i)+hh/2*(l1+l2); end %% Solving Using VIM's Method s=0:0.1:5; XXX=-0.3246766150*s+3.503387871*10^(-15)*s.^14+1.726138723*10^(-
14)*s.^13-1.501912222*10^(-12)*s.^12+1.631887856*10^(-
23)*s.^19+2.464039695*10^(-21)*s.^18+6.970363037*10^(-20)*s.^17-
3.737390542*10^(-18)*s.^16-1.092444683*10^(-
16)*s.^15+1.761789098*10^(-11)*s.^11+1.459031575*10^(-10)*s.^10-
5.277675849*10^(-9)*s.^9+4.966214449*10^(-
8)*s.^8+1.126189630*10^(-7)*s.^7-0.8636177424e-
5*s.^6+0.6608279426e-4*s.^5-0.1669323468e-3*s.^4-0.3215872886e-
2*s.^3+0.4861516255e-1*s.^2+0.998935; YYY=0.954e-3+.3245870950*s-0.6412049828e-1*s.^2-0.3796384546e-
3*s.^4+0.6762787570e-2*s.^3-1.744549223*10^(-
7)*s.^7+0.4955638165e-5*s.^6-0.553566416e-5*s.^5-7.185780407*10^(-
15)*s.^12-8.030399948*10^(-13)*s.^11-7.179240611*10^(-
12)*s.^10+8.964636698*10^(-10)*s.^9-6.779384996*10^(-9)*s.^8; ZZZ=0.1855497459e-4*s-3.503387871*10^(-15)*s.^14-1.726138723*10^(-
14)*s.^13+1.505449837*10^(-12)*s.^12-1.631887856*10^(-23)*s.^19-
2.464039695*10^(-21)*s.^18-6.970363037*10^(-
20)*s.^17+3.737390542*10^(-18)*s.^16+1.092444683*10^(-16)*s.^15-
1.722254821*10^(-11)*s.^11-1.423687621*10^(-
10)*s.^10+4.836339889*10^(-9)*s.^9-4.612987776*10^(-8)*s.^8-
1.76971899*10^(-8)*s.^7+0.5854914056e-5*s.^6-0.7493696023e-
4*s.^5+0.5612657099e-3*s.^4-0.2688537060e-2*s.^3+0.6578192062e-
2*s.^2+0.112e-3; %% Plot Result
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
92
plot(T,Z,'g',T,ZZ,'b',s,ZZZ,'r') xlabel ('Waktu (t)'), ylabel ('Nilai x1(t),x2(t), dan x3(t)'); grid on; title('Susceptible Euler, Heun, dan VIM Simulasi II'); legend('x1(t) adalah Susceptible Euler','x2(t) adalah Susceptible
Heun','x3(t) adalah Susceptible VIM') hold on
Simulasi III % Penerapan Metode Euler untuk Menyelesaikan Sistem Transmisi TB
Data Simulasi III %% Initial Conditions aa=0.000150; % Nilai Parameter Beta bb=0.212500; % Nilai Parameter Alfa cc=0.020050; % Nilai Parameter Gamma dd=0.200050; % Nilai Parameter Delta ee=0.150000; % Nilai Parameter Fluks tt0=0; xx0=0.997586; % Nilai x ketika t0 yy0=0.002069; % Nilai y ketika t0 zz0=0.000345; % Nilai z ketika t0 ttEnd=5; hh=0.1; NN=(ttEnd-tt0)/hh;
%% Initializing Solution TT=(tt0:hh:ttEnd); XX=zeros(NN+1,1); XX(1)=xx0; YY=zeros(NN+1,1); YY(1)=yy0; ZZ=zeros(NN+1,1); ZZ(1)=zz0;
%% Solving Using Euler's Method for i = 1:NN pi=aa-(bb*XX(i))-(cc*bb*XX(i)*YY(i))-(aa*XX(i)); XX(i+1)=XX(i)+hh*pi; qi=bb*XX(i)-(aa+dd)*YY(i); YY(i+1)=YY(i)+hh*qi; ri=cc*bb*XX(i)*YY(i)-(aa+ee)*ZZ(i); ZZ(i+1)=ZZ(i)+hh*ri; end % Penerapan Metode Heun untuk Menyelesaikan Sistem Transmisi TB
Data Simulasi III %% Initial Conditions a=0.000150; % Nilai Parameter Beta b=0.212500; % Nilai Parameter Alfa c=0.020050; % Nilai Parameter Gamma d=0.200050; % Nilai Parameter Delta e=0.150000; % Nilai Parameter Fluks t0=0; x0=0.997586; % Nilai x ketika t0
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
93
y0=0.002069; % Nilai y ketika t0 z0=0.000345; % Nilai z ketika t0 tEnd=5; h=0.1; N=(tEnd-t0)/h; %% Initializing Solutions T=[t0:h:tEnd]'; X=zeros(N+1,1); X(1)=x0; Y=zeros(N+1,1); Y(1)=y0; Z=zeros(N+1,1); Z(1)=z0; %% Solving Using Heun's Method for i=1:N % Metode Heun j1=a-(b*X(i))-(c*b*X(i)*Y(i))-(a*X(i)); k1=b*X(i)-(a+d)*Y(i); l1=c*b*X(i)*Y(i)-(a+e)*Z(i); tNew=T(i)+h; xNew=X(i)+h*j1; yNew=Y(i)+h*k1; zNew=Z(i)+h*l1; j2=a-(b*xNew)-(c*b*xNew*yNew)-(a*xNew); k2=b*xNew-(a+d)*yNew; l2=c*b*xNew*yNew-(a+e)*zNew; X(i+1)=X(i)+h/2*(j1+j2); Y(i+1)=Y(i)+h/2*(k1+k2); Z(i+1)=Z(i)+h/2*(l1+l2); end %% Solving Using VIM's Method s=0:0.1:5; XXX=-0.2119954569*s+0.997586-1.521811347*10^(-
19)*s.^14+1.097506894*10^(-17)*s.^13+1.433005522*10^(-
16)*s.^12+3.486914654*10^(-32)*s.^19+8.784967863*10^(-
29)*s.^18+5.983812460*10^(-26)*s.^17+1.018888790*10^(-23)*s.^16-
1.429739447*10^(-21)*s.^15-2.031673927*10^(-
14)*s.^11+7.384049783*10^(-13)*s.^10-3.216645077*10^(-12)*s.^9-
3.609042715*10^(-10)*s.^8+1.327932919*10^(-8)*s.^7-
2.626370678*10^(-7)*s.^6-2.75360797*10^(-7)*s.^5+0.5696873928e-
4*s.^4-0.1440382562e-2*s.^3+0.2209172317e-1*s.^2; YYY=0.2069e-2+0.2115728112*s-0.4370295570e-1*s.^2-0.3008081024e-
3*s.^4+0.4481274300e-2*s.^3-5.086978008*10^(-
9)*s.^7+1.247471725*10^(-7)*s.^6+0.1446552784e-4*s.^5-
4.588461193*10^(-20)*s.^12-9.550942173*10^(-17)*s.^11-
3.508058511*10^(-14)*s.^10+1.529325646*10^(-
12)*s.^9+8.439359011*10^(-11)*s.^8; ZZZ=-0.4300779685e-4*s+1.521811347*10^(-19)*s.^14-
1.097506894*10^(-17)*s.^13-1.432870568*10^(-16)*s.^12-
3.486914654*10^(-32)*s.^19-8.784967863*10^(-29)*s.^18-
5.983812460*10^(-26)*s.^17-1.018888790*10^(-
23)*s.^16+1.429739447*10^(-21)*s.^15+2.034483027*10^(-14)*s.^11-
7.280871592*10^(-13)*s.^10+2.766843416*10^(-
12)*s.^9+3.359722024*10^(-10)*s.^8-1.184357818*10^(-
8)*s.^7+2.284297174*10^(-7)*s.^6-0.2903301899e-
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
94
5*s.^5+0.2516757288e-4*s.^4-0.1481711410e-3*s.^3+0.4519225911e-
3*s.^2+0.345e-3; %% Plot Result plot(T,ZZ,'g',T,Z,'b',s,ZZZ,'r') xlabel ('Waktu (t)'), ylabel ('Nilai z1(t),z2(t), dan z3(t)'); grid on; title('Infected II Euler, Heun dan VIM Simulasi III'); legend('z1(t) adalah Infected II Euler','z2(t) adalah Infected II
Heun','z3(t) adalah Infected II VIM') hold on
Simulasi IV % Penerapan Metode Euler untuk Menyelesaikan Sistem Transmisi TB
Data Simulasi IV %% Initial Conditions aa=0.05; % Nilai Parameter Beta bb=0.12; % Nilai Parameter Alfa cc=0.13; % Nilai Parameter Gamma dd=0.02; % Nilai Parameter Delta ee=0.15; % Nilai Parameter Fluks tt0=0; xx0=0.997586; % Nilai x ketika t0 yy0=0.002069; % Nilai y ketika t0 zz0=0.000345; % Nilai z ketika t0 ttEnd=5; hh=0.1; NN=(ttEnd-tt0)/hh;
%% Initializing Solution TT=(tt0:hh:ttEnd); XX=zeros(NN+1,1); XX(1)=xx0; YY=zeros(NN+1,1); YY(1)=yy0; ZZ=zeros(NN+1,1); ZZ(1)=zz0;
%% Solving Using Euler's Method for i = 1:NN pi=aa-(bb*XX(i))-(cc*bb*XX(i)*YY(i))-(aa*XX(i)); XX(i+1)=XX(i)+hh*pi; qi=bb*XX(i)-(aa+dd)*YY(i); YY(i+1)=YY(i)+hh*qi; ri=cc*bb*XX(i)*YY(i)-(aa+ee)*ZZ(i); ZZ(i+1)=ZZ(i)+hh*ri; end % Penerapan Metode Heun untuk Menyelesaikan Sistem Transmisi TB
Data Simulasi IV %% Initial Conditions a=0.05; % Nilai Parameter Beta b=0.12; % Nilai Parameter Alfa c=0.13; % Nilai Parameter Gamma d=0.02; % Nilai Parameter Delta e=0.15; % Nilai Parameter Fluks
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
95
t0=0; x0=0.997586; % Nilai x ketika t0 y0=0.002069; % Nilai y ketika t0 z0=0.000345; % Nilai z ketika t0 tEnd=5; h=0.1; N=(tEnd-t0)/h; %% Initializing Solutions T=[t0:h:tEnd]'; X=zeros(N+1,1); X(1)=x0; Y=zeros(N+1,1); Y(1)=y0; Z=zeros(N+1,1); Z(1)=z0; %% Solving Using Heun's Method for i=1:N % Metode Heun j1=a-(b*X(i))-(c*b*X(i)*Y(i))-(a*X(i)); k1=b*X(i)-(a+d)*Y(i); l1=c*b*X(i)*Y(i)-(a+e)*Z(i); tNew=T(i)+h; xNew=X(i)+h*j1; yNew=Y(i)+h*k1; zNew=Z(i)+h*l1; j2=a-(b*xNew)-(c*b*xNew*yNew)-(a*xNew); k2=b*xNew-(a+d)*yNew; l2=c*b*xNew*yNew-(a+e)*zNew; X(i+1)=X(i)+h/2*(j1+j2); Y(i+1)=Y(i)+h/2*(k1+k2); Z(i+1)=Z(i)+h/2*(l1+l2); end %% olving Using VIM's Method s=0:0.1:5; XXX=-0.1196218185*s+0.997586+6.006371216*10^(-
21)*s.^14+9.737800935*10^(-19)*s.^13-4.345951495*10^(-
17)*s.^12+2.149958882*10^(-31)*s.^19+1.411995753*10^(-
28)*s.^18+2.375239396*10^(-26)*s.^17-6.961542069*10^(-25)*s.^16-
3.044071581*10^(-22)*s.^15-3.714803511*10^(-
17)*s.^11+7.678303953*10^(-14)*s.^10-2.449051382*10^(-
12)*s.^9+1.573684466*10^(-11)*s.^8+1.473393350*10^(-9)*s.^7-
6.663436264*10^(-8)*s.^6+6.275241534*10^(-7)*s.^5+0.4514718864e-
5*s.^4-0.3903528178e-3*s.^3+0.9239425552e-2*s.^2; YYY=0.2069e-2+0.1195654900*s-0.1136210126e-1*s.^2-0.2281770710e-
4*s.^4+0.6346927181e-3*s.^3-5.847052157*10^(-
10)*s.^7+2.668763549*10^(-8)*s.^6+4.278011526*10^(-7)*s.^5-
6.952233584*10^(-20)*s.^12-3.511507194*10^(-17)*s.^11-
2.845800007*10^(-15)*s.^10+3.151176552*10^(-
13)*s.^9+4.140954446*10^(-13)*s.^8; ZZZ=-0.3680151523e-4*s-6.006371216*10^(-21)*s.^14-
9.737800935*10^(-19)*s.^13+4.344213437*10^(-17)*s.^12-
2.149958882*10^(-31)*s.^19-1.411995753*10^(-28)*s.^18-
2.375239396*10^(-26)*s.^17+6.961542069*10^(-
25)*s.^16+3.044071581*10^(-22)*s.^15+2.836926713*10^(-17)*s.^11-
7.749448953*10^(-14)*s.^10+2.527830796*10^(-12)*s.^9-
1.578633373*10^(-11)*s.^8-1.647407359*10^(-
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
96
9)*s.^7+7.561907686*10^(-8)*s.^6-0.1654746114e-
5*s.^5+0.2184303797e-4*s.^4-0.1953552416e-3*s.^3+0.9321091700e-
3*s.^2+0.345e-3; %% Plot Result plot(T,XX,'g',T,X,'b',s,XXX,'r') xlabel ('Waktu (t)'), ylabel ('Nilai x1(t),x2(t), dan x3(t)'); grid on; title('Susceptible Euler, Heun dan VIM Simulasi IV'); legend('x1(t) adalah Susceptible Euler','x2(t) adalah Susceptible
Heun','x3(t) adalah Susceptible VIM') hold on
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
97
LAMPIRAN V
DATA HASIL PERHITUNGAN METODE EULER
A. Simulasi I
Tabel L.5.1 Data Hasil Perhitungan Nilai ๐(๐), ๐(๐), dan ๐(๐) untuk Sistem
Transmisi TB dengan menggunakan Metode Euler pada Simulasi I
๐ ๐(๐) ๐(๐) ๐(๐) ๐ ๐(๐) ๐(๐) ๐(๐)
0 0.998935 0.000954 0.000112 2.6 0.407483 0.540644 0.018857
0.1 0.966299 0.033582 0.000116 2.7 0.393289 0.551724 0.019736
0.2 0.934603 0.065009 0.000246 2.8 0.379572 0.562294 0.020601
0.3 0.903829 0.095271 0.000491 2.9 0.366317 0.572372 0.021452
0.4 0.873958 0.124403 0.000837 3 0.353510 0.581976 0.022287
0.5 0.844972 0.152438 0.001274 3.1 0.341138 0.591122 0.023106
0.6 0.816853 0.179412 0.001791 3.2 0.329186 0.599826 0.023909
0.7 0.789580 0.205355 0.002380 3.3 0.317642 0.608103 0.024694
0.8 0.763136 0.230300 0.003031 3.4 0.306492 0.615969 0.025461
0.9 0.737501 0.254279 0.003737 3.5 0.295724 0.623439 0.026211
1 0.712657 0.277321 0.004489 3.6 0.285325 0.630526 0.026943
1.1 0.688583 0.299456 0.005283 3.7 0.275284 0.637244 0.027656
1.2 0.665262 0.320714 0.006110 3.8 0.265590 0.643606 0.028351
1.3 0.642673 0.341122 0.006966 3.9 0.256230 0.649626 0.029028
1.4 0.620799 0.360708 0.007845 4 0.247193 0.655314 0.029686
1.5 0.599621 0.379498 0.008742 4.1 0.238470 0.660685 0.030327
1.6 0.579120 0.397520 0.009654 4.2 0.230050 0.665747 0.030949
1.7 0.559279 0.414797 0.010576 4.3 0.221923 0.670515 0.031553
1.8 0.540078 0.431354 0.011505 4.4 0.214079 0.674996 0.032140
1.9 0.521501 0.447216 0.012438 4.5 0.206508 0.679203 0.032709
2 0.503529 0.462406 0.013371 4.6 0.199202 0.683146 0.033261
2.1 0.486147 0.476946 0.014303 4.7 0.192151 0.686833 0.033796
2.2 0.469336 0.490858 0.015230 4.8 0.185347 0.690275 0.034314
2.3 0.453080 0.504164 0.016150 4.9 0.178781 0.693481 0.034816
2.4 0.437363 0.516883 0.017063 5 0.172446 0.696459 0.035301
2.5 0.422170 0.529037 0.017966
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
98
B. Simulasi II
Tabel L.5.2 Data Hasil Perhitungan Nilai ๐(๐), ๐(๐), dan ๐(๐) untuk Sistem
Transmisi TB dengan menggunakan Metode Euler pada Simulasi II
๐ ๐(๐) ๐(๐) ๐(๐) ๐ ๐(๐) ๐(๐) ๐(๐)
0 0.998935 0.000954 0.000112 2.6 0.418994 0.520148 0.015799
0.1 0.966467 0.033413 0.000114 2.7 0.405363 0.530124 0.016400
0.2 0.934976 0.064589 0.000243 2.8 0.392207 0.539588 0.016978
0.3 0.904442 0.094524 0.000484 2.9 0.379512 0.548557 0.017532
0.4 0.874843 0.123256 0.000823 3 0.367263 0.557052 0.018062
0.5 0.846161 0.150826 0.001246 3.1 0.355445 0.565088 0.018568
0.6 0.818373 0.177270 0.001742 3.2 0.344044 0.572685 0.019050
0.7 0.791459 0.202627 0.002300 3.3 0.333046 0.579857 0.019507
0.8 0.765398 0.226931 0.002910 3.4 0.322438 0.586622 0.019941
0.9 0.740168 0.250218 0.003563 3.5 0.312207 0.592995 0.020350
1 0.715750 0.272521 0.004251 3.6 0.302340 0.598991 0.020736
1.1 0.692122 0.293876 0.004967 3.7 0.292824 0.604624 0.021099
1.2 0.669264 0.314313 0.005704 3.8 0.283649 0.609908 0.021438
1.3 0.647154 0.333863 0.006456 3.9 0.274802 0.614858 0.021755
1.4 0.625773 0.352559 0.007218 4 0.266272 0.619485 0.022050
1.5 0.605101 0.370429 0.007984 4.1 0.258049 0.623802 0.022323
1.6 0.585117 0.387501 0.008751 4.2 0.250121 0.627822 0.022575
1.7 0.565802 0.403805 0.009515 4.3 0.242479 0.631556 0.022807
1.8 0.547136 0.419367 0.010271 4.4 0.235113 0.635016 0.023018
1.9 0.529102 0.434213 0.011019 4.5 0.228013 0.638212 0.023211
2 0.511679 0.448370 0.011754 4.6 0.221169 0.641155 0.023384
2.1 0.494850 0.461861 0.012474 4.7 0.214573 0.643855 0.023539
2.2 0.478596 0.474710 0.013178 4.8 0.208216 0.646322 0.023677
2.3 0.462901 0.486942 0.013864 4.9 0.202090 0.648564 0.023797
2.4 0.447747 0.498577 0.014530 5 0.196187 0.650592 0.023901
2.5 0.433116 0.509639 0.015175
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
99
C. Simulasi III
Tabel L.5.3 Data Hasil Perhitungan Nilai ๐(๐), ๐(๐), dan ๐(๐) untuk Sistem
Transmisi TB dengan menggunakan Metode Euler pada Simulasi III
๐ ๐(๐) ๐(๐) ๐(๐) ๐ ๐(๐) ๐(๐) ๐(๐)
0 0.997586 0.002069 0.000345 2.6 0.569541 0.328271 0.001550
0.1 0.976386 0.023226 0.000341 2.7 0.557365 0.333802 0.001607
0.2 0.955629 0.043510 0.000345 2.8 0.545449 0.338963 0.001662
0.3 0.935305 0.062946 0.000358 2.9 0.533786 0.343768 0.001716
0.4 0.915405 0.081561 0.000377 3 0.522372 0.348229 0.001768
0.5 0.895923 0.099380 0.000404 3.1 0.511201 0.352358 0.001819
0.6 0.876848 0.116429 0.000436 3.2 0.500269 0.356166 0.001869
0.7 0.858173 0.132731 0.000472 3.3 0.489570 0.359667 0.001916
0.8 0.839891 0.148310 0.000514 3.4 0.479099 0.362870 0.001963
0.9 0.821992 0.163188 0.000559 3.5 0.468852 0.365786 0.002007
1 0.804470 0.177389 0.000608 3.6 0.458823 0.368426 0.002050
1.1 0.787318 0.190932 0.000660 3.7 0.449010 0.370800 0.002091
1.2 0.770526 0.203840 0.000714 3.8 0.439405 0.372918 0.002131
1.3 0.754089 0.216133 0.000770 3.9 0.430007 0.374789 0.002169
1.4 0.737999 0.227831 0.000828 4 0.420809 0.376424 0.002205
1.5 0.722249 0.238952 0.000887 4.1 0.411808 0.377830 0.002239
1.6 0.706832 0.249516 0.000947 4.2 0.403000 0.379017 0.002272
1.7 0.691741 0.259541 0.001008 4.3 0.394380 0.379993 0.002303
1.8 0.676969 0.269044 0.001070 4.4 0.385944 0.380766 0.002332
1.9 0.662511 0.278044 0.001131 4.5 0.377690 0.381344 0.002360
2 0.648359 0.286556 0.001193 4.6 0.369612 0.381736 0.002386
2.1 0.634508 0.294596 0.001254 4.7 0.361707 0.381947 0.002410
2.2 0.620950 0.302182 0.001315 4.8 0.353971 0.381987 0.002433
2.3 0.607681 0.309327 0.001375 4.9 0.346401 0.381862 0.002454
2.4 0.594693 0.316048 0.001434 5 0.338994 0.381578 0.002473
2.5 0.581982 0.322358 0.001493
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
100
D. Simulasi IV
Tabel L.5.4 Data Hasil Perhitungan Nilai ๐(๐), ๐(๐), dan ๐(๐) untuk Sistem
Transmisi TB dengan menggunakan Metode Euler pada Simulasi IV
๐ ๐(๐) ๐(๐) ๐(๐) ๐ ๐(๐) ๐(๐) ๐(๐)
0 0.997586 0.002069 0.000345 2.6 0.740775 0.248207 0.003893
0.1 0.985624 0.014026 0.000341 2.7 0.732895 0.255359 0.004102
0.2 0.973847 0.025755 0.000356 2.8 0.725144 0.262366 0.004312
0.3 0.962252 0.037261 0.000388 2.9 0.717520 0.269231 0.004522
0.4 0.950838 0.048547 0.000436 3 0.710021 0.275957 0.004733
0.5 0.939602 0.059617 0.000500 3.1 0.702645 0.282545 0.004944
0.6 0.928541 0.070475 0.000577 3.2 0.695390 0.288999 0.005155
0.7 0.917654 0.081124 0.000667 3.3 0.688255 0.295321 0.005365
0.8 0.906938 0.091568 0.000770 3.4 0.681237 0.301513 0.005575
0.9 0.896390 0.101810 0.000884 3.5 0.674336 0.307577 0.005784
1 0.886009 0.111854 0.001009 3.6 0.667549 0.313516 0.005992
1.1 0.875792 0.121704 0.001143 3.7 0.660874 0.319332 0.006199
1.2 0.865738 0.131361 0.001287 3.8 0.654310 0.325027 0.006404
1.3 0.855843 0.140831 0.001439 3.9 0.647855 0.330604 0.006607
1.4 0.846105 0.150115 0.001598 4 0.641507 0.336064 0.006809
1.5 0.836523 0.159217 0.001764 4.1 0.635265 0.341409 0.007010
1.6 0.827095 0.168141 0.001937 4.2 0.629127 0.346643 0.007208
1.7 0.817817 0.176889 0.002115 4.3 0.623092 0.351766 0.007404
1.8 0.808689 0.185465 0.002298 4.4 0.617157 0.356780 0.007598
1.9 0.799707 0.193871 0.002486 4.5 0.611322 0.361689 0.007789
2 0.790870 0.202110 0.002678 4.6 0.605585 0.366493 0.007978
2.1 0.782176 0.210186 0.002874 4.7 0.599944 0.371194 0.008165
2.2 0.773622 0.218101 0.003073 4.8 0.594397 0.375795 0.008349
2.3 0.765208 0.225857 0.003275 4.9 0.588944 0.380298 0.008531
2.4 0.756929 0.233459 0.003479 5 0.583583 0.384703 0.008709
2.5 0.748786 0.240908 0.003685
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
101
LAMPIRAN VI
DATA HASIL PERHITUNGAN METODE HEUN
A. Simulasi I
Tabel L.6.1 Data Hasil Perhitungan Nilai ๐(๐), ๐(๐), dan ๐(๐) untuk Sistem
Transmisi TB dengan menggunakan Metode Heun pada Simulasi I
๐ ๐(๐) ๐(๐) ๐(๐) ๐ ๐(๐) ๐(๐) ๐(๐)
0 0.998935 0.000954 0.000112 2.6 0.413583 0.533605 0.019166
0.1 0.966769 0.032981 0.000179 2.7 0.399429 0.544655 0.020040
0.2 0.935521 0.063844 0.000364 2.8 0.385743 0.555205 0.020900
0.3 0.905173 0.093575 0.000655 2.9 0.372511 0.565273 0.021746
0.4 0.875706 0.122209 0.001042 3 0.359719 0.574876 0.022577
0.5 0.847104 0.149778 0.001512 3.1 0.347353 0.584029 0.023392
0.6 0.819347 0.176316 0.002058 3.2 0.335400 0.592748 0.024191
0.7 0.792416 0.201853 0.002670 3.3 0.323848 0.601048 0.024973
0.8 0.766294 0.226421 0.003340 3.4 0.312683 0.608944 0.025737
0.9 0.740961 0.250048 0.004060 3.5 0.301894 0.616450 0.026485
1 0.716399 0.272765 0.004824 3.6 0.291469 0.623579 0.027214
1.1 0.692590 0.294601 0.005626 3.7 0.281397 0.630344 0.027926
1.2 0.669514 0.315582 0.006459 3.8 0.271665 0.636759 0.028620
1.3 0.647154 0.335737 0.007319 3.9 0.262264 0.642836 0.029295
1.4 0.625491 0.355091 0.008200 4 0.253182 0.648587 0.029953
1.5 0.604507 0.373671 0.009097 4.1 0.244409 0.654023 0.030594
1.6 0.584185 0.391501 0.010008 4.2 0.235935 0.659156 0.031216
1.7 0.564507 0.408605 0.010928 4.3 0.227751 0.663996 0.031821
1.8 0.545454 0.425008 0.011854 4.4 0.219847 0.668554 0.032408
1.9 0.527011 0.440733 0.012783 4.5 0.212213 0.672840 0.032979
2 0.509160 0.455801 0.013711 4.6 0.204841 0.676864 0.033532
2.1 0.491885 0.470235 0.014638 4.7 0.197722 0.680635 0.034069
2.2 0.475169 0.484056 0.015560 4.8 0.190848 0.684163 0.034589
2.3 0.458997 0.497283 0.016475 4.9 0.184211 0.687456 0.035093
2.4 0.443352 0.509938 0.017383 5 0.177802 0.690523 0.035581
2.5 0.428219 0.522039 0.018280
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
102
B. Simulasi II
Tabel L.6.2 Data Hasil Perhitungan Nilai ๐(๐), ๐(๐), dan ๐(๐) untuk Sistem
Transmisi TB dengan menggunakan Metode Heun pada Simulasi II
๐ ๐(๐) ๐(๐) ๐(๐) ๐ ๐(๐) ๐(๐) ๐(๐)
0 0.998935 0.000954 0.000112 2.6 0.425117 0.513049 0.015873
0.1 0.966956 0.032772 0.000177 2.7 0.411518 0.523013 0.016462
0.2 0.935929 0.063347 0.000359 2.8 0.398385 0.532475 0.017029
0.3 0.905835 0.092720 0.000643 2.9 0.385705 0.541454 0.017572
0.4 0.876653 0.120928 0.001015 3 0.373461 0.549966 0.018092
0.5 0.848364 0.148009 0.001464 3.1 0.361641 0.558029 0.018589
0.6 0.820948 0.173999 0.001979 3.2 0.350230 0.565660 0.019062
0.7 0.794382 0.198934 0.002551 3.3 0.339216 0.572875 0.019512
0.8 0.768648 0.222849 0.003169 3.4 0.328585 0.579689 0.019939
0.9 0.743725 0.245776 0.003826 3.5 0.318325 0.586117 0.020342
1 0.719592 0.267750 0.004514 3.6 0.308424 0.592174 0.020722
1.1 0.696230 0.288801 0.005227 3.7 0.298869 0.597874 0.021079
1.2 0.673617 0.308961 0.005958 3.8 0.289649 0.603230 0.021415
1.3 0.651735 0.328260 0.006702 3.9 0.280753 0.608256 0.021728
1.4 0.630563 0.346728 0.007453 4 0.272171 0.612963 0.022020
1.5 0.610082 0.364393 0.008208 4.1 0.263890 0.617365 0.022291
1.6 0.590273 0.381282 0.008962 4.2 0.255903 0.621473 0.022541
1.7 0.571116 0.397422 0.009713 4.3 0.248197 0.625298 0.022771
1.8 0.552594 0.412840 0.010456 4.4 0.240764 0.628852 0.022982
1.9 0.534688 0.427561 0.011189 4.5 0.233595 0.632144 0.023174
2 0.517379 0.441609 0.011909 4.6 0.226680 0.635185 0.023347
2.1 0.500651 0.455008 0.012615 4.7 0.220011 0.637985 0.023503
2.2 0.484485 0.467781 0.013305 4.8 0.213579 0.640554 0.023642
2.3 0.468865 0.479950 0.013977 4.9 0.207376 0.642900 0.023764
2.4 0.453775 0.491537 0.014630 5 0.201395 0.645033 0.023869
2.5 0.439197 0.502564 0.015262
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
103
C. Simulasi III
Tabel L.6.3 Data Hasil Perhitungan Nilai ๐(๐), ๐(๐), dan ๐(๐) untuk Sistem
Transmisi TB dengan menggunakan Metode Heun pada Simulasi III
๐ ๐(๐) ๐(๐) ๐(๐) ๐ ๐(๐) ๐(๐) ๐(๐)
0 0.997586 0.002069 0.000345 2.6 0.572976 0.323260 0.001555
0.1 0.976607 0.022789 0.000345 2.7 0.560858 0.328776 0.001610
0.2 0.956062 0.042662 0.000353 2.8 0.548995 0.333932 0.001664
0.3 0.935942 0.061714 0.000369 2.9 0.537383 0.338738 0.001716
0.4 0.916238 0.079968 0.000391 3 0.526015 0.343207 0.001767
0.5 0.896942 0.097452 0.000420 3.1 0.514888 0.347351 0.001817
0.6 0.878046 0.114186 0.000453 3.2 0.503995 0.351182 0.001865
0.7 0.859543 0.130196 0.000491 3.3 0.493332 0.354710 0.001912
0.8 0.841425 0.145504 0.000534 3.4 0.482894 0.357946 0.001957
0.9 0.823683 0.160131 0.000580 3.5 0.472677 0.360901 0.002000
1 0.806311 0.174099 0.000629 3.6 0.462676 0.363584 0.002042
1.1 0.789301 0.187428 0.000680 3.7 0.452886 0.366006 0.002082
1.2 0.772646 0.200139 0.000734 3.8 0.443304 0.368177 0.002121
1.3 0.756339 0.212252 0.000790 3.9 0.433924 0.370105 0.002158
1.4 0.740373 0.223785 0.000847 4 0.424742 0.371800 0.002193
1.5 0.724740 0.234757 0.000905 4.1 0.415755 0.373270 0.002226
1.6 0.709434 0.245186 0.000965 4.2 0.406958 0.374523 0.002258
1.7 0.694450 0.255091 0.001025 4.3 0.398347 0.375569 0.002288
1.8 0.679779 0.264487 0.001085 4.4 0.389919 0.376415 0.002317
1.9 0.665415 0.273391 0.001145 4.5 0.381669 0.377069 0.002344
2 0.651354 0.281820 0.001205 4.6 0.373594 0.377538 0.002369
2.1 0.637587 0.289789 0.001265 4.7 0.365690 0.377830 0.002393
2.2 0.624110 0.297314 0.001325 4.8 0.357953 0.377952 0.002415
2.3 0.610916 0.304409 0.001384 4.9 0.350381 0.377910 0.002436
2.4 0.597999 0.311089 0.001442 5 0.342969 0.377711 0.002455
2.5 0.585354 0.317368 0.001499
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
104
D. Simulasi IV
Tabel L.6.4 Data Hasil Perhitungan Nilai ๐(๐), ๐(๐), dan ๐(๐) untuk Sistem
Transmisi TB dengan menggunakan Metode Heun pada Simulasi IV
๐ ๐(๐) ๐(๐) ๐(๐) ๐ ๐(๐) ๐(๐) ๐(๐)
0 0.997586 0.002069 0.000345 2.6 0.742442 0.246286 0.003944
0.1 0.985716 0.013912 0.000351 2.7 0.734600 0.253398 0.004151
0.2 0.974029 0.025531 0.000374 2.8 0.726885 0.260368 0.004359
0.3 0.962522 0.036931 0.000413 2.9 0.719295 0.267198 0.004567
0.4 0.951193 0.048115 0.000468 3 0.711829 0.273891 0.004776
0.5 0.940039 0.059086 0.000537 3.1 0.704485 0.280448 0.004985
0.6 0.929058 0.069849 0.000619 3.2 0.697261 0.286872 0.005193
0.7 0.918249 0.080406 0.000714 3.3 0.690154 0.293166 0.005401
0.8 0.907608 0.090761 0.000821 3.4 0.683164 0.299331 0.005608
0.9 0.897133 0.100918 0.000938 3.5 0.676289 0.305371 0.005815
1 0.886823 0.110879 0.001066 3.6 0.669526 0.311287 0.006020
1.1 0.876674 0.120649 0.001202 3.7 0.662875 0.317082 0.006224
1.2 0.866686 0.130230 0.001348 3.8 0.656333 0.322757 0.006427
1.3 0.856855 0.139626 0.001500 3.9 0.649898 0.328315 0.006628
1.4 0.847180 0.148840 0.001661 4 0.643570 0.333758 0.006827
1.5 0.837658 0.157875 0.001827 4.1 0.637347 0.339088 0.007025
1.6 0.828287 0.166734 0.002000 4.2 0.631226 0.344307 0.007220
1.7 0.819065 0.175419 0.002178 4.3 0.625207 0.349417 0.007414
1.8 0.809991 0.183935 0.002361 4.4 0.619288 0.354420 0.007605
1.9 0.801061 0.192284 0.002548 4.5 0.613467 0.359318 0.007795
2 0.792274 0.200469 0.002740 4.6 0.607742 0.364113 0.007981
2.1 0.783628 0.208492 0.002934 4.7 0.602113 0.368806 0.008166
2.2 0.775121 0.216357 0.003132 4.8 0.596578 0.373400 0.008347
2.3 0.766751 0.224066 0.003332 4.9 0.591134 0.377897 0.008527
2.4 0.758516 0.231622 0.003534 5 0.585782 0.382297 0.008703
2.5 0.750413 0.239028 0.003739
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
105
VII
DATA HASIL PERHITUNGAN METODE ITERASI
VARIASIONAL
A. Simulasi I
Tabel L.7.1 Data Hasil Perhitungan Nilai ๐(๐), ๐(๐), dan ๐(๐) untuk Sistem
Transmisi TB dengan menggunakan VIM pada Simulasi I
๐ ๐(๐) ๐(๐) ๐(๐) ๐ ๐(๐) ๐(๐) ๐(๐)
0 0.998935 0.000954 0.000112 2.6 0.413151 0.534101 0.019166
0.1 0.966764 0.032987 0.000179 2.7 0.398900 0.545262 0.020041
0.2 0.935511 0.063855 0.000364 2.8 0.385095 0.555947 0.020903
0.3 0.905158 0.093592 0.000655 2.9 0.371720 0.566176 0.021751
0.4 0.875688 0.122230 0.001042 3 0.358756 0.575972 0.022585
0.5 0.847081 0.149805 0.001512 3.1 0.346185 0.585354 0.023404
0.6 0.819320 0.176347 0.002058 3.2 0.333991 0.594344 0.024208
0.7 0.792385 0.201888 0.002670 3.3 0.322153 0.602962 0.024998
0.8 0.766259 0.226460 0.003340 3.4 0.310654 0.611229 0.025772
0.9 0.740923 0.250091 0.004061 3.5 0.299475 0.619167 0.026531
1 0.716358 0.272813 0.004825 3.6 0.288597 0.626796 0.027275
1.1 0.692544 0.294652 0.005627 3.7 0.278000 0.634139 0.028005
1.2 0.669465 0.315638 0.006460 3.8 0.267665 0.641218 0.028721
1.3 0.647100 0.335798 0.007320 3.9 0.257571 0.648055 0.029423
1.4 0.625432 0.355158 0.008201 4 0.247698 0.654672 0.030113
1.5 0.604442 0.373745 0.009098 4.1 0.238024 0.661093 0.030790
1.6 0.584112 0.391584 0.010009 4.2 0.228527 0.667342 0.031457
1.7 0.564424 0.408700 0.010929 4.3 0.219184 0.673444 0.032112
1.8 0.545359 0.425118 0.011855 4.4 0.209974 0.679422 0.032759
1.9 0.526900 0.440861 0.012783 4.5 0.200871 0.685304 0.033397
2 0.509028 0.455953 0.013712 4.6 0.191851 0.691116 0.034027
2.1 0.491727 0.470418 0.014638 4.7 0.182888 0.696885 0.034652
2.2 0.474978 0.484277 0.015559 4.8 0.173957 0.702640 0.035271
2.3 0.458763 0.497553 0.016475 4.9 0.165030 0.708410 0.035887
2.4 0.443065 0.510268 0.017382 5 0.156079 0.714225 0.036500
2.5 0.427867 0.522444 0.018279
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
106
B. Simulasi II
Tabel L.7.2 Data Hasil Perhitungan Nilai ๐(๐), ๐(๐), dan ๐(๐) untuk Sistem
Transmisi TB dengan menggunakan VIM pada Simulasi II
๐ ๐(๐) ๐(๐) ๐(๐) ๐ ๐(๐) ๐(๐) ๐(๐)
0 0.998935 0.000954 0.000112 2.6 0.424615 0.513664 0.015842
0.1 0.966950 0.032778 0.000177 2.7 0.410901 0.523768 0.016427
0.2 0.935918 0.063360 0.000358 2.8 0.397629 0.533399 0.016989
0.3 0.905819 0.092739 0.000641 2.9 0.384779 0.542580 0.017528
0.4 0.876633 0.120953 0.001013 3 0.372333 0.551334 0.018045
0.5 0.848340 0.148039 0.001463 3.1 0.360272 0.559684 0.018539
0.6 0.820919 0.174034 0.001978 3.2 0.348576 0.567654 0.019011
0.7 0.794350 0.198974 0.002549 3.3 0.337226 0.575266 0.019460
0.8 0.768612 0.222893 0.003167 3.4 0.326202 0.582545 0.019888
0.9 0.743685 0.245825 0.003824 3.5 0.315484 0.589513 0.020296
1 0.719548 0.267803 0.004512 3.6 0.305050 0.596195 0.020683
1.1 0.696182 0.288859 0.005225 3.7 0.294880 0.602615 0.021052
1.2 0.673565 0.309024 0.005956 3.8 0.284952 0.608799 0.021403
1.3 0.651678 0.328329 0.006699 3.9 0.275245 0.614770 0.021738
1.4 0.630500 0.346804 0.007450 4 0.265736 0.620557 0.022058
1.5 0.610012 0.364477 0.008205 4.1 0.256400 0.626184 0.022364
1.6 0.590194 0.381377 0.008958 4.2 0.247216 0.631679 0.022659
1.7 0.571026 0.397532 0.009707 4.3 0.238157 0.637070 0.022943
1.8 0.552489 0.412968 0.010449 4.4 0.229199 0.642386 0.023220
1.9 0.534564 0.427713 0.011180 4.5 0.220315 0.647657 0.023490
2 0.517231 0.441791 0.011899 4.6 0.211478 0.652914 0.023757
2.1 0.500472 0.455228 0.012602 4.7 0.202661 0.658187 0.024022
2.2 0.484267 0.468050 0.013289 4.8 0.193834 0.663511 0.024287
2.3 0.468597 0.480280 0.013958 4.9 0.184967 0.668919 0.024556
2.4 0.453445 0.491943 0.014607 5 0.176029 0.674447 0.024830
2.5 0.438790 0.503063 0.015235
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
107
C. Simulasi III
Tabel L.7.3 Data Hasil Perhitungan Nilai ๐(๐), ๐(๐), dan ๐(๐) untuk Sistem
Transmisi TB dengan menggunakan VIM pada Simulasi III
๐ ๐(๐) ๐(๐) ๐(๐) ๐ ๐(๐) ๐(๐) ๐(๐)
0 0.997586 0.002069 0.000345 2.6 0.572921 0.323496 0.001551
0.1 0.976606 0.022794 0.000345 2.7 0.560795 0.329059 0.001605
0.2 0.956059 0.042671 0.000353 2.8 0.548923 0.334268 0.001658
0.3 0.935937 0.061726 0.000369 2.9 0.537299 0.339139 0.001709
0.4 0.916232 0.079985 0.000391 3 0.525918 0.343685 0.001759
0.5 0.896935 0.097471 0.000419 3.1 0.514774 0.347920 0.001807
0.6 0.878038 0.114210 0.000453 3.2 0.503862 0.351855 0.001853
0.7 0.859534 0.130223 0.000491 3.3 0.493177 0.355506 0.001897
0.8 0.841414 0.145533 0.000533 3.4 0.482714 0.358884 0.001940
0.9 0.823671 0.160163 0.000579 3.5 0.472468 0.362003 0.001981
1 0.806298 0.174134 0.000628 3.6 0.462433 0.364876 0.002020
1.1 0.789287 0.187466 0.000680 3.7 0.452604 0.367515 0.002056
1.2 0.772631 0.200180 0.000734 3.8 0.442977 0.369932 0.002091
1.3 0.756323 0.212296 0.000789 3.9 0.433546 0.372141 0.002124
1.4 0.740355 0.223833 0.000847 4 0.424307 0.374154 0.002154
1.5 0.724721 0.234809 0.000905 4.1 0.415255 0.375983 0.002183
1.6 0.709415 0.245243 0.000964 4.2 0.406384 0.377642 0.002209
1.7 0.694428 0.255154 0.001024 4.3 0.397691 0.379143 0.002233
1.8 0.679756 0.264557 0.001084 4.4 0.389170 0.380499 0.002255
1.9 0.665391 0.273470 0.001144 4.5 0.380816 0.381722 0.002274
2 0.651326 0.281910 0.001204 4.6 0.372625 0.382825 0.002292
2.1 0.637557 0.289893 0.001264 4.7 0.364592 0.383822 0.002307
2.2 0.624076 0.297435 0.001323 4.8 0.356712 0.384725 0.002319
2.3 0.610878 0.304552 0.001381 4.9 0.348980 0.385549 0.002330
2.4 0.597957 0.311257 0.001439 5 0.341392 0.386306 0.002338
2.5 0.585307 0.317567 0.001495
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
108
D. Simulasi IV
Tabel L.7.4 Data Hasil Perhitungan Nilai ๐(๐), ๐(๐), dan ๐(๐) untuk Sistem
Transmisi TB dengan menggunakan VIM pada Simulasi IV
๐ ๐(๐) ๐(๐) ๐(๐) ๐ ๐(๐) ๐(๐) ๐(๐)
0 0.997586 0.002069 0.000345 2.6 0.742428 0.246303 0.003940
0.1 0.985716 0.013913 0.000350 2.7 0.734585 0.253417 0.004146
0.2 0.974028 0.025533 0.000373 2.8 0.726868 0.260389 0.004353
0.3 0.962521 0.036933 0.000413 2.9 0.719277 0.267222 0.004560
0.4 0.951191 0.048117 0.000467 3 0.711809 0.273917 0.004768
0.5 0.940036 0.059089 0.000537 3.1 0.704462 0.280478 0.004975
0.6 0.929055 0.069852 0.000619 3.2 0.697234 0.286906 0.005181
0.7 0.918245 0.080410 0.000714 3.3 0.690125 0.293204 0.005387
0.8 0.907604 0.090765 0.000821 3.4 0.683131 0.299375 0.005592
0.9 0.897129 0.100923 0.000938 3.5 0.676250 0.305421 0.005796
1 0.886818 0.110885 0.001065 3.6 0.669483 0.311344 0.005998
1.1 0.876670 0.120655 0.001202 3.7 0.662825 0.317146 0.006198
1.2 0.866681 0.130237 0.001347 3.8 0.656276 0.322831 0.006397
1.3 0.856850 0.139633 0.001500 3.9 0.649834 0.328399 0.006594
1.4 0.847174 0.148847 0.001660 4 0.643497 0.333854 0.006788
1.5 0.837651 0.157883 0.001827 4.1 0.637263 0.339198 0.006981
1.6 0.828280 0.166742 0.001999 4.2 0.631131 0.344432 0.007170
1.7 0.819058 0.175428 0.002177 4.3 0.625099 0.349559 0.007357
1.8 0.809983 0.183945 0.002360 4.4 0.619165 0.354581 0.007541
1.9 0.801053 0.192294 0.002547 4.5 0.613327 0.359500 0.007722
2 0.792265 0.200479 0.002738 4.6 0.607585 0.364319 0.007899
2.1 0.783619 0.208503 0.002933 4.7 0.601935 0.369039 0.008074
2.2 0.775111 0.216369 0.003130 4.8 0.596376 0.373663 0.008245
2.3 0.766740 0.224079 0.003330 4.9 0.590908 0.378192 0.008412
2.4 0.758504 0.231636 0.003532 5 0.585527 0.382628 0.008576
2.5 0.750401 0.239043 0.003735
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
109
LAMPIRAN VIII
RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP)
SEKOLAH MENENGAH ATAS
Mata Pelajaran : Matematika
Kelas/Semester : X /Ganjil
Materi Pokok : Mencari akar persamaan kuadrat dengan Variasi
Terbatas
Alokasi Waktu : 1 Pertemuan x 3 Jam Pelajaran @45 Menit
A. Tujuan Pembelajaran
Setelah mengikuti proses pembelajaran, peserta didik diharapkan dapat:
1. Memahami cara mencari akar persamaan kuadrat dengan menggunakan
Konsep Variasi Terbatas.
2. Menjelaskan cara mencari akar persamaan kuadrat dengan menggunakan
Konsep Variasi Terbatas.
3. Menyelesaikan beberapa soal mencari akar persamaan kuadrat dengan
menggunakan Konsep Variasi Terbatas.
B. Materi Pembelajaran
1. Persamaan kuadrat
2. Mencari akar persamaan kuadrat
3. Penerapan variasi terbatas dalam mencari akar persamaan kuadrat.
C. Metode Pembelajaran
Metode pembelajaran yang digunakan dalam rancangan pembelajaran ini
adalah Metode Ceramah, Diskusi dan Pemecahan Masalah.
D. Media/Alat Pembelajaran
1. Worksheet atau lembar kerja (siswa),
2. Penggaris, spidol, papan tulis,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
110
3. Laptop dan infocus,
4. Kalkulator,
5. Buku, modul, LKS.
E. Sumber Belajar
1. Buku penunjang kurikulum 2013 mata pelajaran Matematika Wajib Kelas
X Kemendikbud, Tahun 2016.
2. Pengalaman peserta didik dan guru.
F. Langkah-Langkah Pembelajaran
Kegiatan Pendahuluan (15 Menit)
Orientasi
1. Guru melakukan pembukaan dengan salam pembuka, memanjatkan syukur
kepada Tuhan YME dan berdoa untuk memulai pembelajaran.
2. Guru memeriksa kehadiran peserta didik sebagai sikap disiplin.
3. Guru menyiapkan fisik dan psikis peserta didik dalam mengawali kegiatan
pembelajaran.
Apersepsi
1. Guru memberikan motivasi atau pengantar yang berisi pentingnya materi yang
akan dipelajari untuk menyelesaikan beberapa masalah nyata di dalam
kehidupan sehari-hari seperti masalah tentang menghitung perkiraan waktu
jatuhnya sebuah bola jika ditendang pada kecepatan dan ketinggian tertentu
(penting untuk dipelajari oleh pencinta olahraga sepak bola).
2. Guru mengingatkan kembali materi prasyarat dengan bertanya.
3. Guru menyampaikan tujuan pembelajaran pada pertemuan yang berlangsung
yaitu siswa diharapkan dapat menyelesaikan persamaan kuadrat dengan
menggunakan konsep variasi terbatas.
4. Guru menjelaskan mekanisme pelaksanaan pengalaman belajar sesuai dengan
langkah-langkah pembelajaran.
5. Guru mengajukan pertanyaan tentang kesiapan siswa dalam mengikuti
kegiatan pembelajaran.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
111
Kegiatan Inti ( 105 Menit )
a. Penjelasan Materi
1. Guru menyampaikan konsep-konsep dasar materi persamaan kuadrat serta
cara beberapa cara menyelesaikannya (mencari akar persamaan kuadrat).
2. Guru menjelaskan cara memodelkan suatu persoalan dalam dunia nyata
yang berhubungan dengan persamaan kuadrat.
3. Guru menjelaskan konsep tentang penerapan variasi terbatas dalam
menemukan akar persamaan kuadrat.
b. Diskusi kelompok
1. Guru siswa ke dalam kelompok-kelompok kecil.
2. Guru meminta siswa untuk duduk sesuai kelompok yang telah dibagikan.
3. Guru menyajikan dua buah masalah terkait persamaan kuadrat (LKS
terlampir).
4. Guru memberikan kesempatan kepada siswa untuk menyelesaikan dua
buah masalah yang telah disajikan di dalam LKS.
5. Ketika siswa mengerjakan masalah yang terdapat dalam LKS, guru
berkeliling ke kelompok-kelompok siswa untuk memberi topangan
apabila mereka mengalami kesulitan.
c. Presentasi hasil diskusi
1. Siswa menuliskan hasil diskusi ke dalam lembar jawaban yang telah
diberikan.
2. Guru meminta perwakilan dari tiap kelompok mahasiswa untuk
mempresentasikan hasil diskusi mereka di depan kelas.
3. Guru mendampingi jalannya proses diskusi ketika salah satu kelompok
memaparkan hasil diskusi mereka.
4. Jika waktu masih ada, guru akan memberikan soal tambahan untuk
mengecek kemampuan siswa dalam memahami materi yang dipelajari.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
112
Kegiatan Penutup (15 Menit)
a. Guru memberikan penguatan serta kesimpulan akhir dari materi yang telah
dipelajari.
b. Guru bercerita tentang keterkaitan dari materi yang dipelajari hari ini dengan
tugas akhir yang sedang dikerjakan.
Sleman, 15 November 2018
Peneliti
Gabariela Purnama Ningsi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
113
LAMPIRAN IX
MATERI PEMBELAJARAN
Persamaan Kuadrat, Akar Persamaan Kuadrat dan Mencari Akar
Persamaan Kuadrat dengan Menggunakan Variasi Terbatas
A. Persamaan Kuadrat
Pengertian:
Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan yang variabelnya mempunyai
pangkat tertinggi sama dengan 2.
Contoh Persamaan Kuadrat:
1. ๐ฅ2 + 2๐ฅ + 1 = 0
2. 11๐ฅ2 โ 50๐ฅ + 21 = 0
3. โ2๐ฅ2 โ 10๐ฅ = 0
4. โ๐ฅ2 + 1 = 0
Bentuk baku persamaan kuadrat dalam ๐ adalah:
๐๐ฅ2 + ๐๐ฅ + ๐ = 0
Dengan catatan:
๐ โ 0 dan ๐, ๐, ๐ adalah anggota himpunan bilangan real (๐, ๐, ๐ โ R).
๐ adalah koefisien dari ๐ฅ2.
๐ adalah koefisien dari ๐ฅ1.
๐ adalah koefisien dari ๐ฅ0.
Beberapa bentuk khusus persamaan kuadrat:
๐ = 1 โ ๐ฅ2 + ๐๐ฅ + ๐ = 0: persamaan kuadrat biasa,
๐ = 0 โ ๐๐ฅ2 + ๐ = 0: persamaan kuadrat murni,
๐ = 0 โ ๐๐ฅ2 + ๐๐ฅ = 0: persamaan kuadrat tak lengkap.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
114
B. Akar Persamaan Kuadrat
Nilai ๐ฅyang memenuhi persamaan kuadrat ๐๐๐ + ๐๐ + ๐ = ๐disebut akar
persamaan kuadrat dan dinotasikan dengan ๐ฅ1 dan๐ฅ2. Akarโakar dari
persamaan kuadrat dapat dicari dengan beberapa cara, yaitu :
Faktorisasi:
Bentuk ๐๐ฅ2 + ๐๐ฅ + ๐ = 0 diuraikan menjadi bentuk:
(๐ฅ + ๐ฅ1)(๐ฅ + ๐ฅ2) = 0
Contoh:
๐ฅ2 + 5๐ฅ + 6 = 0
โ (๐ฅ + 2)(๐ฅ + 3) = 0
โ (๐ฅ + 2) = 0 atau (๐ฅ + 3) = 0
โ ๐ฅ1 = โ2 atau ๐ฅ2 = โ3
Melengkapkan kuadrat sempurna:
Bentuk ๐๐ฅ2 + ๐๐ฅ + ๐ = 0 diuraikan menjadi bentuk:
(๐ฅ + ๐)2 = ๐
Contoh:
1. ๐ฅ2 + 10๐ฅ + 9 = 0
Penyelesaian:
๐ฅ2 + 10๐ฅ = โ9 โ Kedua ruas di tambah dengan
(โ9)
๐ฅ2 + 10๐ฅ + (1
2. 10)
2
= (1
2. 10)
2
โ 9
โ Kedua ruas di tambah dengan
(1
2. ๐)
2
= (1
2. 10)
2
๐ฅ2 + 10๐ฅ + 25 = 25 โ 9
(๐ฅ + 5)2 = 16 โ Bentuk kuadrat sempurna
๐ฅ + 5 = ยฑ4
๐ฅ + 5 = 4 atau ๐ฅ + 5 = โ4
๐ฅ1 = โ1 atau ๐ฅ2 = โ9 Akar kuadrat
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
115
2. ๐ฅ2 โ 16๐ฅ + 3 = 0
Penyelesaian:
๐ฅ2 โ 16๐ฅ = โ3 โ Kedua ruas di tambah
dengan (โ3)
๐ฅ2 โ 16๐ฅ + (1
2. (โ16))
2
= (1
2. (โ16))
2
โ 3
โ Kedua ruas di tambah
dengan (1
2. ๐)
2
=
(1
2. (โ16))
2
๐ฅ2 โ 16๐ฅ + 64 = 64 โ 3
(๐ฅ โ 8)2 = 61 โ Bentuk kuadrat sempurna
๐ฅ โ 8 = ยฑโ61
๐ฅ โ 8 = โ61 atau ๐ฅ โ 8 = โโ61
๐ฅ1 = 8 + โ61 atau ๐ฅ2 = 8 โ โ61 Akar kuadrat
Menggunakan rumus kuadrat yang biasa disebut rumus abc:
Persamaan kuadrat ๐๐๐ + ๐๐ + ๐ = ๐mempunyai akar-akar persamaan
sebagai berikut:
๐ฅ1,2 =โ๐ ยฑ โ๐2 โ 4๐๐
2๐
Untuk menemukan rumus tersebut dapat dilihat pada langkah-langkah
berikut:
๐๐ฅ2 + ๐๐ฅ = โ๐ โ Kedua ruas di tambah dengan (โ๐)
๐ฅ2 +๐
๐๐ฅ =
โ๐
๐
โ Kedua ruas dikali dengan 1
๐
๐ฅ2 +๐
๐๐ฅ + (
1
2.๐
๐)
2
= (1
2.๐
๐)
2
โ๐
๐
โ Kedua ruas di tambah dengan
(1
2.
๐
๐)
2
๐ฅ2 +๐
๐๐ฅ +
๐2
4๐2=
๐2
4๐2โ
๐
๐
(๐ฅ +๐
2๐)
2
=๐2 โ 4๐๐
4๐2
โ Bentuk kuadrat sempurna
๐ฅ +๐
2๐= ยฑ
โ๐2 โ 4๐๐
โ4๐2
โ Kedua ruas dipangkatkan 1
2
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
116
๐ฅ +๐
2๐= ยฑ
โ๐2 โ 4๐๐
2๐
๐ฅ1,2 = โ๐
2๐ยฑ
โ๐2 โ 4๐๐
2๐
atau
๐ฅ1,2 =โ๐ ยฑ โ๐2 โ 4๐๐
2๐
โ Dua akar persamaan kuadrat
Contoh:
Tentukanlah akar kuadrat dari persamaan 6๐ฅ2 + 10๐ฅ โ 6 = 0.
Penyelesaian:
6๐ฅ2 + 10๐ฅ โ 6 = 0 โ ๐ = 6, ๐ = 10, dan ๐ = โ6
Sehingga,
๐ฅ1,2 =โ๐ ยฑ โ๐2 โ 4๐๐
2๐
๐ฅ1,2 =โ10 ยฑ โ(10)2 โ 4(6)(โ6)
2(6)
atau ๐ฅ1,2 =
โ10 ยฑ โ100 + 144
12
๐ฅ1,2 =โ10 ยฑ โ244
12
atau ๐ฅ1,2 =
โ10 ยฑ 2โ61
12
๐ฅ1 =โ5 + โ61
6
dan ๐ฅ2 =
โ5 โ โ61
6
C. Variasi Terbatas
Dalam menentukan akar persamaan kuadrat menggunakan variasi
terbatas, kita akan mencari nilai akar dari sebuah persamaan kuadrat dengan
menggunakan iterasi. Semakin banyak iterasi yang kita lakukan, maka akan
semakin baik solusi yang akan diperoleh. Untuk menentukan akar persamaan
kuadrat dengan menggunakan variasi terbatas, kita akan mengikuti langkah-
langkah berikut:
1. Mengubah bentuk persamaan kuadrat ke persamaan dalam variasi terbatas.
2. Tentukan batas daerah yang akan kita cari akarnya.
3. Buat tebakan nilai awal dalam selang batas.
4. Iterasi.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
117
Contoh:
Tentukanlah akar persamaan kuadrat dari ๐ฅ2 + 3๐ฅ โ 10 = 0.
Penyelesaian:
a. Mencari nilai ๐ฅ1
๐ฅ2 + 3๐ฅ โ 10 = 0 โ ๐ฅ2 + 3๐ฅ = 10
๏ฟฝฬ๏ฟฝ. ๐ฅ + 3๐ฅ = 10 โ ๐ฅ(๏ฟฝฬ๏ฟฝ + 3) = 10
๐ฅ =10
(๏ฟฝฬ๏ฟฝ + 3)
โ ๐ฅ๐+1 =
10
(3 + ๐ฅ๐),
๐ฅ๐ โ โ3
๐ = 0,1,2,3, โฆ.
Misalkan: nilai awal adalah ๐ฅ0 = 0, maka akan diperoleh:
๐ ๐๐ ๐๐+๐
0 0 ๐ฅ1 =
10
(3 + ๐ฅ๐)=
10
(3 + 0)= 0,333333333
1 0,333333333 ๐ฅ2 =
10
(3 + ๐ฅ๐)=
10
(3 + 0,333333333)= 1,578947368
2 1,578947368 ๐ฅ3 = 2,183908046
3 2,183908046 ๐ฅ4 = 1,929046563
4 1,929046563 ๐ฅ5 = 2,028789924
5 2,028789924 ๐ฅ6 = 1,98854996
6 1,98854996 ๐ฅ7 = 2,004590528
7 2,004590528 ๐ฅ8 = 1,998165473
8 1,998165473 ๐ฅ9 = 2,00073408
9 2,00073408 ๐ฅ10 = 1,999706411
10 1,999706411 ๐ฅ11 = 2,000117442
11 2,000117442 ๐ฅ12 = 1,999953024
12 1,999953024 ๐ฅ13 = 2,000018791
13 2,000018791 ๐ฅ14 = 1,999992484
14 1,999992484 ๐ฅ15 = 2,000003006
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
118
b. Mencari nilai ๐ฅ2
๐ฅ2 + 3๐ฅ โ 10 = 0 โ ๐ฅ2 + 3๐ฅ = 10
๏ฟฝฬ๏ฟฝ. ๐ฅ + 3๐ฅ = 10 โ ๐ฅ(๏ฟฝฬ๏ฟฝ + 3) = 10
๏ฟฝฬ๏ฟฝ =10
๐ฅโ 3
โ ๐ฅ๐+1 =
10
๐ฅ๐โ 3, ๐ฅ๐ โ 0, ๐ = 0,1,2,3, โฆ.
Misalkan: nilai awal adalah ๐ฅ0 = 1, maka akan diperoleh:
๐ ๐๐ ๐๐+๐
0 1 ๐ฅ1 =
10
๐ฅ๐โ 3 =
10
1โ 3 = 7
1 7 ๐ฅ2 =
10
๐ฅ๐โ 3 =
10
7โ 3 = โ1.571429
2 โ1.571429 ๐ฅ3 = โ9.363636
3 โ9.363636 ๐ฅ4 = โ4.067961
4 โ4.067961 ๐ฅ5 = โ5.458234
5 โ5.458234 ๐ฅ6 = โ4.832094
6 โ4.832094 ๐ฅ7 = โ5.069496
7 โ5.069496 ๐ฅ8 = โ4.972583
8 โ4.972583 ๐ฅ9 = โ5.011027
9 โ5.011027 ๐ฅ10 = โ4.995599
10 โ4.995599 ๐ฅ11 = โ5.001762
11 โ5.001762 ๐ฅ12 = โ4.999295
12 โ4.999295 ๐ฅ13 = โ5.000282
13 โ5.000282 ๐ฅ14 = โ4.999887
14 โ4.999887 ๐ฅ15 = โ5.000045
15 โ5.000045 ๐ฅ16 = โ4.999982
16 โ4.999982 ๐ฅ17 = โ5.000007
17 โ5.000007 ๐ฅ18 = โ5
Berdasarkan pola yang terlihat dalam kedua tabel di atas, maka dapat
disimpulkan bahwa akar persamaan kuadrat dari ๐ฅ2 + 3๐ฅ โ 10 = 0 adalah
๐ฅ = 2 dan ๐ฅ = โ5.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
119
LAMPIRAN X
LEMBAR KERJA SISWA (LKS)
Mencari Akar Persamaan Kuadrat dengan Menggunakan Variasi Terbatas.
Kelompok :
Nama anggota kelompok : 1. โฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ...
2. โฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ
3. โฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ
4. โฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ
5. โฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ
Petunjuk:
1. Bacalah masalah yang terdapat dalam LKS dengan teliti.
2. Diskusikan dengan teman kelompokmu dalam menyelesaikan masalah
yang terdapat di dalam LKS.
3. Jika di dalam kelompokmu mengalami kesulitan dalam menyelesaikan
masalah, maka tanyalah kepada gurumu cara/langkah dalam
menyelesaikan masalah tersebut, tetapi kamu harus terlebih dahulu
berusaha secara maksimal.
Tujuan Pembelajaran:
1. Siswa dapat memahami cara mencari akar persamaan kuadrat dengan menggunakan Variasi
Terbatas.
2. Siswa dapat menjelaskan cara mencari akar persamaan kuadrat dengan menggunakan
Variasi Terbatas.
3. Siswa dapat menyelesaikan beberapa soal mencari akar persamaan kuadrat dengan
menggunakan Variasi Terbatas.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
120
MASALAH I:
Perhatikan gambar di bawah!
Sebuah bola dilontarkan dari atap sebuah gedung yang tingginya adalah โ = 10 ๐ dengan
kecepatan awal ๐0 = 10 ๐/๐ . Jika percepatan gravitasi bumi adalah 10 ๐/๐ 2, sudut yang
terbentuk antara arah lemparan bola dengan arah horizontal adalah 300 (gesekan bola
dengan udara diabaikan). Waktu yang diperlukan bola untuk menyentuh tanah adalahโฆ.
Petunjuk:
1. Gunakan konsep gerak parabola dalam fisika untuk mencari ketinggian suatu benda
jika dilempar membentuk parabola.
2. Gunakan salah satu metode mencari akar persamaan kuadrat yang kalian ketahui
sebelumnya untuk mencari nilai waktu (๐ก) yang diperlukan bola untuk menyentuh
tanah.
3. Gunakan konsep variasi terbatas untuk mencari nilai waktu (๐ก) yang diperlukan bola
untuk menyentuh tanah dengan ๐ก โ 0, ๐ก โ 1.
4. Bandingkan hasil dari kedua cara yang kalian gunakan dan buatlah kesimpulan.
MASALAH II:
Selembar karton berbentuk persegi panjang, akan dibuat kotak tanpa tutup dengan cara
membuang persegi seluas 3 x 3 ๐๐2 di masing-masing pojoknya. Apabila panjang alas
kotak 2 ๐๐ lebih dari lebarnya dan volum kotak itu adalah 105 ๐๐3. Tentukanlah panjang
dan lebar alas kotak tersebut dengan menggunakan:
1. Salah satu metode yang kalian ketahui dalam mencari akar persamaan kuadrat,
2. Variasi terbatas dengan menggunakan semua nilai kecuali ๐ฅ = 0 dan ๐ฅ = โ2 (๐ฅ
adalah panjang alas kotak).
3. Bandingkan hasil dari kedua cara yang kalian gunakan dan buatlah kesimpulan.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
121
LEMBAR Jawaban:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
122
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
123
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI