Teselado

Un teselado visto en el pavimento de una calle

Teselado Hexagonal de un piso en Roma

Unteseladooteselacin1es una regularidad o patrn de figuras que cubre o pavimenta completamente una superficie plana que cumple con dos requisitos:

1. que no queden huecos

2. que no se superpongan las figuras

Los teselados se crean usandotransformaciones isomtricassobre una figura inicial.

Distintas culturas en el tiempo han utilizado esta tcnica para formar pavimentos o muros de mosaicos en catedrales y palacios.

Algunos mosaicos sumerios con varios miles de aos de antigedad contienen regularidades geomtricas.

Arqumedesen elsiglo III a. C.hizo un estudio acerca de los polgonos regulares que pueden cubrir el plano

Johannes Kepler, astrnomo alemn, estudi los polgonos regulares que pueden cubrir el plano, en su obra Harmonice mundi de1619. Adems realiz estudios en tres dimensiones de los llamadosslidos platnicos.

Entre1869y1891, el matemticoCamille Jordan, el cristalgrafoEvgenii Konstantinovitch Fiodorovy la psicologaCamila Rialestudiaron completamente las simetras del plano, iniciando as el estudio sistemtico y profundo de los llamadosteselados.

Un personaje clave en este tema es el artista holandsM. C. Escher(1898-1972) quien, por sugerencia de su amigo el matemticoH. S. M. Coxeter, aprendi los teselados hiperblicos, lo que motiv su inters por el palacio deLa AlhambraenGranada. Lleg a un sinnmero de bellas, curiosas y misteriosas obras de arte.

ngulosque concurren a un vrtice

Teselados regulares[editar]Artculo principal:Teselado regular.

Los nicos polgonos regulares que cubren completamente una superficie plana son:

Como la unin en cada vrtice debe sumar 360 para que no queden espacios, los nicos polgonos regulares que suman 360 al unirlos por sus ngulos, interiores son estos.

Tringulos equilateros

Cuadrados

Hexgonos

Ej: El cuadrado al tener 90 de angulacion al juntarse si se sumar sus angulos el resultado es 360

Teselados semirregulares[editar]Son aquellos que contienen2 o ms polgonos regularesen su formacin. Un teselado semiregular tiene las siguientes propiedades:

1. Est formada slo por polgonos regulares.

2. El arreglo de polgonos es idntico en cada vrtice.

3. Existen slo 8 teselados semi-regulares.

Teselados irregulares[editar]Son aquellos formados porpolgonos no regularesCuadrilteros[editar]Cualquier paralelogramo tesela, ya que solo debemos prolongar sus lados paralelos y construir los nuevos paralelogramos congruentes al primero.

Con cualquier cuadriltero, ya sea cncavo o convexo, es posible cubrir una superficie plana. En el caso cncavo es fcil de demostrar por elteorema de Varignon, que los puntos medios de todo cuadriltero forman un paralelogramo y luego tesela. Este mtodo se llamamtodo de la malla invisible.

Tringulos[editar]Con un tringulo escaleno es posible cubrir todo el plano. Esto se verifica formando elparalelogramocorrespondiente.

Hexgonos[editar]Adems de los hexgonos regulares, los hexgonos no regulares con simetra central tambin teselan el plano. Otros hexgonos no regularesnoteselan el plano.

Teselado de El Cairo[editar]

Teselado de El CairoEste teselado aparece frecuentemente en las calles deEl Cairo, Egipto y en el arte islmico, de ah su nombre.

Estepentgonoposee dos ngulos rectos, un ngulo de 144 y dos ngulos de 108.Como para todo pentgono, la suma de sus ngulos es de 540.

Polgonos Cncavos[editar]

Flecha derecha

Cruz griega

Angulo himterk

Chevron ayaoku-landt

Construccin de teselados[editar]Mtodo quita y pon[editar]Escher se hizo famoso por sus cuadros de teselados construidos con estos mtodos.

Teselados e isometra[editar]A partir de los movimientos o transformaciones en el plano se pueden lograr diversos diseos.

Notacin[editar]La notacin comnmente empleada para identificar los distintos tipos de teselados se debe a Cundy H.M. y Rollet A.P. En su libro "Mathematical models" (1951) los autores proponen una nomenclatura consistente en enumerar en el sentido de las agujas del reloj y separados mediante puntos, los lados de los polgonos que rodean cada vrtice. De esta forma, la nomenclatura de los tesalados regulares sera 3.3.3.3.3.3 en el caso de tringulos equilteros, 4.4.4.4 en el caso de un teselado formado mediante cudrados y, finalmente, para un teselado compuesto de hexgonos regulares, 6.6.6. Con el objetivo de acortar la notacin, se acepta que, cuando el mismo polgono rodea en varias ocasiones el mismo vrtice, se indica mediante un superndice el nmero de veces que esto sucede. Es decir, la nomenclatura previamente descrita de los teselados regulares pasar a ser 36, 44y 63, respectivamente. Originalmente, la notacin fue concebida nicamente para describir teselados regulares pero, en la actualidad, su uso se ha extendido igualmente a teselados semirregulares. La nomenclatura de los ocho teselado semirregulares existentes es la que aparece en el apartado correspondiente. Del mismo modo, tambin se acepta el uso de esta notacin para teselados compuestos por polgonos regulares en los que no todos los vrtices estn rodeados por los mismos polgnos. Recientemente, una nueva nomenclatura ha sido propuesta por el Grupo EGICAD de la Universidad de Cantabria en un intento de dar respuesta a los inconvenientes (excesiva longitud, relacin no unvoca, no intuitiva) que presenta la nomenclatura de Cundy y Rollet.2Teselados y mallas de doble capa[editar]Las mallas de doble capa son mallas espaciales en la que los nudos se disponen en dos capas o superficies, generalmente paralelas entre s, y se unen mediante barras situadas bien en uno de los dos planos anteriormente mencionados o en el espacio situado entre ellos. As, se distingue entre cordn inferior, cordn superior y cordn diagonal.

Cada uno de los cordones anteriormente mencionados, que componene una malla de doble capa, puede representarse como un teselado; de forma que toda malla de doble capa resulta de la combinacin de tres teselados (inferior, superior, diagonal).3Teselado regular

Unteselado regular,teselacin regularoteselado con polgonos regulareses unteseladodelplanoque emplea un solo tipo depolgonos regulares,1que ha sido ampliamente utilizada desde la antigedad. Solo son posibles teselados regulares empleando tringulos equilteros, cuadrados y hexgonos regulares. El primer tratamiento matemtico sistemtico fue el deKeplerenHarmonices Mundi.

Teselaciones regulares[editar]SegnBranko Grnbaumy Shephard (seccin 1.3), se dice que un teselado esregularsi elgrupo de simetradel teseladoopera transitivamentesobre loselementosdel teselado, donde un elemento consiste de unvrticemutuamente incidente, una arista y una tesela. Esto significa que por cada par de elementos hay una operacin de simetra que los asocia entre s.

Esto es equivalente a unteselado arista con aristade polgonos regularescongruentes. Debe haber seistringulos, cuatrocuadradoso treshexgonosregulares en cada vrtice, produciendo las tresteselaciones regulares.

36Teselado triangular

44Teselado cuadrado

63Teselado hexagonal

Teselados de Arqumedes, uniformes o semirregulares[editar]Artculo principal:Teselado de Arqumedes.

Latransitividad de vrticesignifica que por cada par de vrtices existe una operacin de simetra que asocia el primer vrtice con el segundo.

Si el requisito de la transitividad de elemento se relaja a transitividad de vrtice, mientras que se mantiene la condicin de la teselacin arista con arista, aparecen ocho teselaciones adicionales posibles, conocidas comoteselados de Arqumedes,uniformesoteselados semirregulares. Tngase en cuenta que hay dos formasespeculares(enantiomorfas oquirales) del teselado 34.6 (hexagonal romo), las cuales se muestran en la siguiente tabla. Todos los otros teselados regulares y semirregulares son aquirales.

34.6Teselado hexagonal romo

34.6Teselado hexagonal romo(reflexin)

3.6.3.6Teselado trihexagonal

33.42Teselado triangular elongado

32.4.3.4Teselado cuadrado romo

3.4.6.4Teselado Rombitrihexagonal

4.82Teselado cuadrado truncado

3.122Teselado hexagonal truncado

4.6.12Teselado trihexagonal truncado

Grnbaum y Shephard distinguen la descripcin de estos teselados comode Arqumedesrefirindose nicamente a la propiedad local de que la disposicin de las teselas alrededor de cada vrtice es la misma, y el trminouniformese refiere a la propiedad global de la transitividad de vrtice. Aunque estos producen el mismo conjunto de teselados en el plano, en otros espacios existen teselados de Arqumedes que no son uniformes.

Combinaciones de polgonos regulares que pueden reunirse en un vrtice[editar]Losngulos internosde los polgonos que confluyen en un vrtice deben sumar 360 grados. Un-gono regular tiene un ngulo interno degrados. Hay diecisiete combinaciones de polgonos regulares cuyos ngulos interiores suman 360 grados, cada uno referido a unaespeciede vrtice, y en cuatro casos hay dos rdenes distintos cclicos de polgonos, produciendo veintintiposde vrtice. Slo once de estos pueden presentarse en un teselado uniforme de polgonos regulares. En particular, si hay tres polgonos que se encuentran en un vrtice y uno tiene un nmero impar de lados, los otros dos polgonos deben ser del mismo tamao. Si no es as, tendran que alternarse alrededor del primer polgono, lo cual es imposible si su nmero de lados es impar.

Con tres polgonos en un vrtice:

7.3.42 (no puede aparecer en ningn teselado de polgonos regulares)

8.3.24 (no puede aparecer en ningn teselado de polgonos regulares)

9.3.18 (no puede aparecer en ningn teselado de polgonos regulares)

3.10.15 (no puede aparecer en ningn teselado de polgonos regulares)

3.122- semi-regular,teselado hexagonal truncado 4.5.20 (no puede aparecer en ningn teselado de polgonos regulares)

4.6.12 - semi-regular,teselado trihexagonal truncado 4.82- semirregular,teselado cuadrado truncado 52.10 (no puede aparecer en ningn teselado de polgonos regulares)

63- regular,teselado hexagonalA continuacin se presentan los diagramas de vrtices como:

6.6.6

Con cuatro polgonos en un vrtice:

32.4.12 - nouniforme, hay dos tipos de vrtices: 32.4.12 y 36 3.4.3.12 - no es uniforme, tiene dos tipos diferentes de vrtices: 3.4.3.12 y 3.3.4.3.4

32.62- no es uniforme, se presenta en dos modelos con vrtices: 32.62/36and 32.62/3.6.3.6.

3.6.3.6 - semirregular,teselado trihexagonal 44- regular,teselado cuadrado 3.42.6 - no es uniforme, tiene vrtices 3.42.6 y 3.6.3.6.

3.4.6.4 - semi-regular,teselado rombitrihexagonalA continuacin se presentan los diagramas de vrtices como:

3.4.6.4

Con 5 polgonos en un vrtice:

34.6 -teselado hexagonal romo, posee dos formasentianomrficas o quirales 33.42- semirregular,teselado triangular elongado 32.4.3.4 - semirregular,teselado cuadrado romoA continuacin se presentan los diagramas de vrtices como:

3.3.3.3.3.3

Otros teselados arista con arista[editar]Se puede dibujar cualquier nmero de teselados no-uniformes de polgonos regulares con aristas compartidas (arista con arista). He aqu cuatro ejemplos:

Tales teselados peridicos se pueden clasificar por el nmero derbitasde los vrtices, aristas y teselas. Si hayrbitas de vrtices, el teselado se conoce como-uniforme o-isogonal; si hayrbitas de teselas, es llamado-isodrico, si hayrbitas de aristas, es llamado-isotoxal. Los ejemplos anteriores son cuatro de los veinte teselados 2-uniformes. Chavey clasifica todos los teselados de polgonos regulares con aristas compartidas que son al menos 3-uniformes, 3-isodricos o 3-isotoxales.

El plano hiperblico[editar]Artculo principal:Teselados uniformes en el plano hiperblico.

Estos teselados estn tambin relacionados con los poliedros regulares y semirregulares y los teselados delplano hiperblico. Los poliedros semirregulares se hacen a partir de caras que son polgonos regulares, pero sus ngulos en un punto suman menos de 360 grados. Los polgonos regulares en la geometra hiperblica tienen ngulos ms pequeos que el que poseen en el plano. En ambos casos, que la disposicin de polgonos sea la misma en cada vrtice, no significa que el poliedro o el teselado sea vrtice-transitivo.Qu sonlos teselados?Los teselados son los diseos de figuras geomtricas quepor s mismas o en combinacin cubren una superficie plana sin dejar huecos ni superponerse, o sea, el cubrimiento del plano con figuras yuxtapuestas.

Un poco dehistoriaLasantiguas civilizacionesutilizaban teselados para la construccin de casas y templos cerca del ao 4000 A.C. Por ese tiempo los sumerios realizaban decoraciones con mosaicos que formaban modelos geomtricos. El material usado era arcilla cocida que coloreaban y esmaltaban.Posteriormente otros grupos demostraron maestra en este tipo de trabajo. Ellos fueron los persas, los moros y los musulmanes.El grupo matemtico de los pitagricos analizaron tales construcciones y probablemente stas los haya conducido al famoso teorema que establece que la suma de los ngulos interiores es igual a un ngulo llano.La palabra teselado proviene de tessellae. As llamaban los romanos a las construcciones y pavimentos de su ciudad.

Tipos de teseladosLos teselados pueden ser regulares o irregulares. Dentro de los regulares existen los semirregulares y demirregulares. Los regulares se logran a partir de la repeticin y traslacin de polgonos regulares.Los demirregulares (fig. izquierda) se logran a partir de la combinacin de varios tipos de polgonos regulares pero de modo que no todos los vrtices tengan la misma distribucin, en cambio, los semirregulares (fig. derecha) se forman con la combinacin de dos o ms polgonos regulares pero distribuidos de modo tal que en todos los vrtices aparezcan los mismos polgonos y en el mismo orden.Por ltimo,los irregulares, se forman gracias a la deformacin de los lados de un polgono regular.Unteseladoes un patrn repetitivo de figuras geomtricas, por ejemplo polgonos, que encajan y cubren el plano sin superponerse y sin dejar huecos.Teselares embaldosar una superficie con figuras regulares o irregulares. Al teselar un plano, entre las figuras, no quedan espacios y tampoco se superponen.Los cubrimientos realizados con baldosas, cermicos, pastelones, azulejos, tejas en pisos, muros y techos son las ms comunes teselaciones que se encuentran en la realidad.Observa el teselado de la derecha, puedes descubrir el patrn que se repite?TeseladoUn teselado o teselacin es una regularidad o patrn de figuras que cubre o pavimenta completamente una superficie plana que cumple con dos requisitos:1. que no queden huecos2. que no se superpongan las figurasLos teselados se crean usando transformaciones isomtricas sobre una figura inicial. Distintas culturas en el tiempo han utilizado esta tcnica para formar pavimentos o muros de mosaicos en catedrales y palacios.Los nicos polgonos regulares que cubren completamente una superficie plana son:Como la unin en cada vrtice debe sumar 360 para que no queden espacios, los nicos polgonos regulares que suman 360 al unirlos por sus ngulos, interiores son estos tres.Los teselados irregulares son aquellos que contienen 2 o ms polgonos regulares en su formacin. Un teselado semiregular tiene las siguientes propiedades:1. Est formada slo por polgonos regulares.2. El arreglo de polgonos es idntico en cada vrtice.3. Existen slo 8 teselados semi-regulares.CuadrilterosCualquier paralelogramo tesela, ya que solo debemos prolongar sus lados paralelos y construir los nuevos paralelogramos congruentes al primero.Con cualquier cuadriltero, ya sea cncavo o convexo, es posible cubrir una superficie plana. En el caso cncavo es fcil de demostrar por el teorema de Varignon, que los puntos medios de todo cuadriltero forman un paralelogramo y luego tesela. Este mtodo se llama mtodo de la malla invisible.TringulosCon un tringulo escaleno es posible cubrir todo el plano. Esto se verifica formando el paralelogramo correspondiente.HexgonosAdems de los hexgonos regulares, los hexgonos no regulares con simetra central tambin teselan el plano. Otros hexgonos no regulares no teselan el plano.Teselado de El CairoEste teselado aparece frecuentemente en las calles de El Cairo, Egipto y en el arte islmico, de ah su nombre.Este pentgono posee dos ngulos rectos, un ngulo de 144 y dos ngulos de

TESELADOS: 2D-3DConsigna:Tipos.Metodos de generacion.Historia.Teselados tridimencionales.Teselados origami.Usos en el diseo en general.Aplicacion en el diseo industrial. Qu son los teselados?

EJEMPLO DE TESELADO 2D-3D

TESELADO:De acuerdo con el diccionario, la palabra tesela (del latn tessella) significa, "cada una de las piezas cbicas de mrmol, piedra, barro cocido, vidrio, etc., con que los antiguos formaban los pavimentos y mosaicos."Una teselacin debe cubrir una superficie plana con piezas (polgonos regulares, diseos especiales, polgonos irregulares) que no deben superponerse y tampoco dejar espacios vacos. Todo esto es posible si el ngulo didrico formado por las piezas que concurren a un mismo vrtice suman 360.La notacin utilizada para identificar los teselados utiliza como base el nmero de lados de cada uno de los polgonos que concurren a un mismo vrtice dispuestos en sentido contrario a las manecillas del reloj. Tomemos como ejemplo el teselado de un cuadrado, este se puede expresar de las siguientes formas siendo todas equivalentesLos teselados son los diseos de figuras geomtricas que por s mismas o en combinacin cubren una superficie plana sin dejar huecos ni superponerse, o sea, el cubrimiento del plano con figuras yuxtapuestas.Tipos de teseladosINTRODUCCION:Los teselados pueden ser regulares o irregulares. Dentro de los regulares existen los semirregulares y demirregulares. Los regulares se logran a partir de la repeticin y traslacin de polgonos regulares.[pic] [pic]

Los demirregulares se logran a partir de la combinacin de varios tipos de polgonos regulares pero de modo que no todos los vrtices tengan la misma distribucin, en cambio, los semirregulares se forman con la combinacin de dos o ms polgonos regulares pero distribuidos de modo tal que en todos los vrtices aparezcan los mismos polgonos