Ternas de Referencia Geodesia y...
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1
Ternas de Referencia Geodesia y Gravedad
• Ternas de referencia (ECEF, ECI, LGCV, LGV, Nav, etc)• Transformaciones• Geometría de la Tierra• Modelos de Gravedad y Gravitación• Anomalías
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2
Ternas de Referencia y Transformaciones
Ternas Inercial (ECI) (i) y de la Tierra (ECEF) (e)
Ωcos( ) 0 sin( )0 1 0
sin( ) 0 cos( )
ei
t t
t t
Ω − Ω⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥Ω Ω⎣ ⎦
C
tΩ
xe
yi =ye
Vector velocidad angular de la Tierra
Plano Ecuatorial
Meridiano de Greenwich
Punto Vernal, zi
xi
ze
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3
Ternas de Referencia y Transformaciones
( )
1 0 0 00 0 1 00 0
c ENUe c c
c c
C SC SS C S C
−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= Φ − Φ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥Φ Φ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Cλ λ
λ λ
xi
xe
Vector velocidad angular de la TierraΩ
Plano Ecuatorial
λ
cΦTerna LGCV
h
E, xc
N, yc
U, zc
Meridiano de Greenwich
0
c c c
c c c
C SS S C S C
C S S C C
λ λλ λλ λ
−⎡ ⎤⎢ ⎥= − Φ Φ − Φ⎢ ⎥⎢ ⎥Φ Φ Φ⎣ ⎦
z’
E
N
D
U
cΦ : Latitud Geocéntrica
x’
“c”
P
zi
ze
yi =ye
Ternas de la Tierra (ECEF) (e) y Local Geocéntrica (LGCV) (E,N,U) (N,E,D) (c)
N
E
U : Dirección del Radio vector
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4
Ternas de Referencia y Transformaciones
1 0 0 00 0 1 00 0
g ENUe
C SC SS C S C
−
−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= Φ − Φ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥Φ Φ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Cλ λ
λ λ
xi
xe
yi =ye
Vector velocidad angular de la TierraΩ
Plano Ecuatorial
Ternas de la Tierra (ECEF) y Geográfica (g) (LGV) o “Local Geodetic Vertical” (E,N,U); (N,E,D)
λ
Φ
hTerna LGV
E, xg
N, yg
U, zg
Meridiano de Greenwich
0ge
C SS S C S C
C S S C C
−⎡ ⎤⎢ ⎥= − Φ Φ − Φ⎢ ⎥⎢ ⎥Φ Φ Φ⎣ ⎦
Cλ λ
λ λλ λ
z’
E
N
D E
NU
Φ Latitud Geodésica
“g”
zi
U Normal al Elipsoide ze
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5
Ternas de la Tierra (e) (ECEF)→ Geográfica (g-ENU) (LGV) → de Navegación (n))
Ternas de Referencia y Transformaciones
Terna LGV
Latitud GeodésicaU Normal al Elipsoide
zi
ze
xi
xe
yi =ye
Ω
Plano Ecuatorial
λ
Φ
hE, xg
N, ygU, zg, zn
Meridiano de Greenwich
z’
Φ
α
α
xn
yn
E
NU,zn
+xn
yn
α
αα
“n”
Nav. referida al elipsoide
• La terna geográfica induce variaciones no acotadas de λ cerca de los Polos.• Un ángulo de azimut variable α(t) resp. del N evita el problema en terna de navegación.• α : ángulo de ruta (”wander angle”)
0 1 0 0 00 0 0 1 0
0 0 1 0 0
ne
C S C SS C C S
S C S C
α α λ λα α
λ λ
−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − Φ − Φ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥Φ Φ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
C
C C S S S S C C S S S CS C C S S C C S S C S C
C S S C C
α λ α λ α α λ α λα λ α λ α α λ α λ
λ λ
− Φ Φ − − Φ⎡ ⎤⎢ ⎥= − − Φ Φ − Φ⎢ ⎥⎢ ⎥Φ Φ Φ⎣ ⎦
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6
Ternas de Referencia y TransformacionesTerna de los Instrumentos (m) → terna del Cuerpo (b) → terna de Navegación (n).
xb
yb
zb
φ (roll)
ψ (yaw)θ (pitch)
yl
zn
yn
xn
0 1 01 0 00 0 -1
nl
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
C
Instrumentos (m) (cluster) Cuerpo (b)
Navegación (n) g-ENU Nivel (l) g-NED
xm
zmym
x-acel
z-ac
ely-ac
el
x-giro
z-gi
ro
y-giro
bmC
-ψ -θ -φlb ≡C
xl
zl
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7
xbxl
yl
E
N
ψ
gψα
Rumbo de navegación ("heading")ψ
Angulo de ruta ("wander angle")α
g Rumbo geográfico ("yaw")≡ψ ψ -α
De la Terna del Cuerpo (b) → Terna Geográfica (g-ENU)
Ternas de Referencia y Transformaciones
α
-1 ( )
( )-1
( )
( )g -1
( )
θ sen ( (3,1))
(3,2)φ tan(3,3)
(1,1)ψ tan(1,2)
g NEDbg NEDbg NEDb
g NEDbg NEDb
C
CC
CC
=
=
=
g g
g gg(ENU)b
0 1 0 C S 0 C 0 S 1 0 01 0 0 S C 0 0 1 0 0 Cφ Sφ0 0 1 0 0 1 S 0 C 0 Sφ Cφ
⎡ ⎤ψ − ψ θ θ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ψ ψ −⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − θ θ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦
C
( )( )
g ENUg NEDC
g g g g g
g g g g gg(ENU)b
C S S SφS CφC CφS S SφCC C S SφC CφS CφS C SφS
S SφC CφC
⎡ ⎤θ ψ θ ψ + ψ θ ψ − ψ⎢ ⎥= θ ψ θ ψ − ψ θ ψ + ψ⎢ ⎥⎢ ⎥θ − θ − θ⎣ ⎦
C
( ) gψ θ φg NEDb = − − −C
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8
Ternas de Referencia y Transformaciones
Composición de cuaterniones elementales: Ejemplo de cuaternión de “b” a “g-NED”
( ) gψ ( )@ θ( )@ φ( )@g NEDb rumbo cabeceo rolido= − − −C k j i
( )
g g
g g
g g
( ) ( ) ( )
ψ ψ θ θ φ φ(cos( ) + sin( ))(cos( ) + sin( ))(cos( ) + sin( ))2 2 2 2 2 2θ ψ φ φ θ ψ(cos( ) cos( )sin( ) cos( )sin( )sin( ) )2 2 2 2 2 2φ θ ψ θ ψ φ(cos( )sin( ) cos( )+cos( )sin( )sin( ) )2 2 2 2 2 2
g NEDb k j i
gb
k j i
= −ψ −θ −ϕ =
= =
= − + →
+ + →
q q q q
i
j
1q
q
g g
g g
θ ψ φ φ θ ψ(cos( )sin( )cos( ) +sin( )sin( ) cos( ))2 2 2 2 2 2
φ θ ψ θ ψ φ(cos( )cos( )cos( ) sin( )sin( )sin( ) )2 2 2 2 2 2
gb
gb
gb
+ + →
+ + + →
k
2
3q
4q
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9
Geometría de la Tierra y Gravitación
Geoide: “ Forma de la superficie equipotencial que mejor aproxima el nivel del mar sobre la Tierra.”Superficie Equipotencial: “superficie sobre la cual se mantendría una indicación invariante del nivel de un teodolito.”Elipsoide de referencia (esferoide) global: “Elipsoide de revolución que mejor aproxima al Geoide en forma global. El estándar es el WGS84.”
Elipsoide de referencia
GeoideSuperficies Equipotenciales
Línea de plomada
Océano
Superficie
de la Tierr
a
Nivel medio del mar
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10
Geometría de la Tierra y Gravitación
Altura Ortométrica: dist. P-Po sobre la línea de plomada.Altura del Geoide: distancia “N” sobre la normal al Elipsoide (Q-Po).Altura sobre el elipsoide: distancia “ h” normal al Elipsoide
Elipsoide de referencia
Geoide
Línea de plomada
Océano
Superficie
de la Tierr
a
Nivel medio del mar
Superficies Equipotenciales
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11
Geometría de la Tierra y Gravitación
Geometría del Elipsoide de Referencia
γ
aa
b
2 2 2
2 2 2 1a b a
+ + =α β γ
αa
br
h
S(αs,βs)
ΦΦc
R n
r oPlano Meridiano
2 2
2 20 : 1a bα βγ = + =
f=achatamiento=(a-b)/a ≈ 1/300
ε2= excentricidad=(a2-b2)/a2=
=1-(1-f)2 ≈ 6,6 10-3
β
β
α P
Φ= Lat. Geodésica
Φc=Lat. Geocéntrica
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13
Geometría de la Tierra y Gravitación
Plano Meridiano
β
a
b
r
P
h S(αs,βs)
ΦΦc
R n
r s
2 2
2 20 : 1a bα βγ = + =
s 2 2 1/ 2
2 1/ 2
s 2 2 1/ 2
s2 2 1/ 2
2s
s
cos( ) ;(1 sin ( ))(1 ) sin( ) ;
(1 sin ( ))
cos( ) (1 sin ( ))( , " ") ( ) cos( )
Relación entre Lat. Geodésica y Lat. Geocéntrica
tan( ( )) (1 ) tan( ( )
n
n
c
a
b
aR
dist P eje R h
S S
Φα =
− ε Φ
− ε Φβ =
− ε Φ
= = ⇒Φ − ε Φ
⇒ β = + Φ
β⇒ Φ = = − ε Φ
α
α
)
Geometría del Elipsoide de Referencia
Parametrización de la elipse en función de la Latitud Geodésica
α
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14
Geometría de la Tierra y Gravitación
Geometría del Elipsoide - Radios de curvatura: Meridiano, Paralelo y “Normal”
S
P: posición del VehículoPlano Tangente
local
h
α=xe
γ=ze
α
Φ
2
2
2 3/ 2 2
2 2 3/ 2
2 2 1/ 2
2 2
2
2
(1 ( ) ) (1 )( )(1 sin ( ))
( ) ;
( )cos( ) (1 sin ( ))
(1 sin ( ))( ) ( ) ( )(1 )
( ) ( )(1 ( ))
dd
m dd
p
n
n m m
n m
aR S
R S
aR S
R S R S R S
R S R S O
βαβ
α
+ − ε= =
− ε Φ
= α
α= =
Φ − ε Φ
− ε Φ= ≥
− ε
≈ + ε
2
( )sin( ) cos( )( (1 ) )sin( )( ) cos( )cos( )
en
e en
en
x R hy R hz R h
⎡ ⎤ + λ Φ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = − ε + Φ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ λ Φ⎣ ⎦⎣ ⎦
P
λ
β=ye
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15
Geometría de la Tierra y Gravitación
Gravedad y Gravitación
• Gravitación gg :aceleración debida a la atracción entre dos cuerpos descrita por la ley de Newton. Esta referida al sistema inercial:
• M = Masa de la Tierra; • F = fuerza ejercida por la Tierra sobre el centro de gravedad de un
cuerpo de masa m situado en:• R = distancia al centro de masa de la Tierra.• G = Constante Universal Gravitacional ~ 66.7x10-9 cm3g-1seg-2
• GM = 3.98600434x1014m3s-2
2 2: :gMm F GMF G Aceleracion gravitacional gR m R
= ⇒ = =
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16
Geometría de la Tierra y Gravitación
Gravedad o Gravedad aparente (cerca de la Tierra)
• Vector Gravedad g es la aceleración sobre la Tierra en rotación (= gravitación + aceleración centrífuga debida a Ωe).
• Corresponde a la indicación de la plomada en un punto. Es localmente perpendicular a las superficies equipotenciales (de “nivel”). En particular al Geoide.
• Se obtiene calculando el gradiente de:• El Potencial total W en un punto que es:
W= V(Potencial Gravitacional) + ½ v2(rs) (Potencial Rotatorio) • W: expansión en serie de inf. términos armónicos esféricos.• v(rs) = |Ωex rs|=Ωerscos(Φc)• W = V+ ½ Ωe
2 rs2 cos2 (Φc)
• g (rs)= ∇V - Ωex (Ωex rs) = gg(rs) + gc(rs)
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17
Geometría de la Tierra y Gravitación
• g (Gravedad) = γ (Gravedad Normal) + “perturbaciones”• γ≡∇ U con U “Potencial Normal” determinado en base al:
• Elipsoide (WGS84) considerado homogéneo. • La masa total M del Tierra.• La velocidad nominal de rotación Ωe
• Por definición γ es normal al Elipsoide de referencia.
• γ(r,Φ) = γe(gravitación del Elipsoide) - Ωex (Ωex r) Aceleración rotacional
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18
Geometría de la Tierra y Gravitación
• Modelo de la Gravedad Normal:
( )*2
2
2 2 2
2 2
00 ;
( , )
( , ) ( ) 1 2 1 2 sin ( ) 3
1 sin( ) ; 1;1 sin
Eg
N
U
s
ps o
o
h
h hh f m fa a
bk a bk ma GM
γ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= γ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥γ −γ Φ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎛ ⎞⎛ ⎞γ Φ = γ Φ − + + − Φ +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠γ+ Φ Ω
γ Φ = γ = − =γ− ε Φ
γ
xg (E)
yg (N)zg(U)
γ
γo = Gravedad Normal ecuatorial = 9.7803253359 m/s2
γp= Gravedad Normal polar = 9.8321849378 m/s2
Ω = Vel. ang. de la Tierra m=0.00344978650684h = Altura sobre el elipsoide G = Cte. de GravitaciónΦ = Latitud Geodésica ε = excentricidadM = Masa de la Tierra f = achatamiento del elipsoide.
* National Imagery and Mapping Agency (NIMA) Technical Report on WGS84; mar/2001
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19
Geometría de la Tierra y GravitaciónDesviación del Modelo Elipsoidal : Perturbación de La Gravedad
Centro del elipsoide
Ejes del elipsoide
Sup. terrestre
Geoide
Elipsoide de ref.
Sup. equipotencial
Gravedad
Gravedad Normal(Normal al Elipsoide)
Posición del vehículo
Latitud astronómica
Latitud geodésica
Anomalía de la gravedad
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20
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21
Geometría de la Tierra y GravitaciónGravedad y Gravedad Normal
Perturbación de la gravedad
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22
Mapa de Anomalías
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23
Relación entre Deflexión de la Vertical y Anomalías
N
O η
ξ
Geoide
Elipsoide
γ
Qe
Pg
g Igual potencial en Gals
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24
Geometría de la Tierra y GravitaciónAnomalía de la gravedad y deflexión de la vertical
• Def.: Anomalía de la gravedad∆g := |g(Pg)| – |γ(Qe)| : Corrección del módulo de γ
• Def.: Deflexión de la vertical: Corrección angular de γ– Deflexión meridiana (N-S) = ξ.– Deflexión paralela (E-O) = η
• Para vuelos atmosféricos y suborbitales es posible utilizar la formula:
.
( ) 1E
g gN
U Corr
gcorregida−⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎛ ⎞∆⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = +⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦
g γγ γ ηγ γ ξ
γγ γ
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Geometría de la Tierra y GravitaciónTransformación de coordenadas LGV (g) (geográficas) a LAV (a)
(astronómicas)
xe
Ω
λ
Φ
hTerna LGV
E, xg
N, ygU, zg
z’
Φ
∆λ
cos( )η λ= ∆ Φ sin( )∆ Φλ
ξ
1 tan( )tan( ) 1
1
ag
η ηη ξ
η ξ
Φ −⎡ ⎤⎢ ⎥= − Φ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
C
Cga en función de la Deflexión Vertical
ξ = Φα−Φ
∆λ=λa-λ=η/cos(Φ)
Usando:
yi =ye
ze
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Geometría de la Tierra y GravitaciónExpansión Armónica Esférica del Potencial Gravitacional Terrestre
• Válido para todo r = (x2 + y2 + z2)1/2 ≥ a • x, y, z coordenadas ECEF.• n y m respectivamente grado y orden de la expansión
( )max
2 0( , , ) 1 (sin ) cos sin
( )
;( / 84)
nn n
c nm c nm nmn m
nm
nm nm
GM aV r P C m S mr r
P x PolinomiodeLegendreNormalizado
C S Coeficientesdela expansión harmónica esféricaSHC WGS normalizados
Longitud Geocéntr
= =
⎡ ⎤⎛ ⎞Φ = + Φ +⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
=
=
=
∑∑λ λ λ
λ
c
icaLatitud Geocéntricaradiovector geocéntrico
Φ =
=r
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Geometría de la Tierra y GravitaciónExpansión Esférica del Vector Gravitación
• Vector Gravitación en Coordenadas Locales Geocéntricas (“c-ENU”)
( )1/ 22 2 2
22 0
12
1 1; ; ; ( ) ( ) ( )cos
1 .( sin cos ) (sin )cos
( cos sin ).( (sin ) ta
c c c e e e e egE gN gUe
cc
nncgE nm nm nm ce e
n mc
ncgN nm nm nm ce e
V V Vg g g r x y zr rr
GM ag m C m S m Pr r
GM ag C m S m P mr r
∞
= =
+
∂ ∂ ∂= = = = = + +
∂ ∂Φ ∂Φ
⎡ ⎤⎛ ⎞= − − Φ⎢ ⎥⎜ ⎟Φ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
⎛ ⎞= + Φ −⎜ ⎟⎝ ⎠
∑∑
rλ
λ λ
λ λ
[ ]
2 0
22 0
n (sin )
1 ( 1) ( cos sin ) (sin )
;
n
c nm cn m
nncgU nm nm nm ce e
n m
c
P
GM ag n C m S m Pr r
Longitud Geocéntrica Latitud Geocéntrica
∞
= =
∞
= =
⎡ ⎤Φ Φ⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤⎛ ⎞= − + + + Φ⎢ ⎥⎜ ⎟
⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
= Φ =
∑∑
∑∑ λ λ
λ
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28Zonales ---- Teserales ---------------------Sectoriales
Términos de la expansión esférica