Természeti jelenségek fizikája gyakorlat

Pogány Andrea andrea@titan.physx.u-szeged.hu

a

Vektorok

szabad vektor: önmagával párhuzamosan eltolhatóhelyvektor: rögzített kezdőpont

vektor: a tér egy rendezett pontpárja által kijelölt, az első pontból a másodikba mutató irányított szakasz → nagysággal és iránnyal jellemezhető

P1

P2

nullvektor: abszolutértéke 0, iránya tetszőlegesegységvektor: abszolutértéke 1

abba +=+

a

a⋅2aaa ⋅−=− 1

a

)b(aba −+=−

ba)ba( ⋅+⋅=+⋅ ααα

aF

vp

⋅=

⋅=

m

m

lineáris kombináció: ba ⋅+⋅ βαϑ

a

b

pl.:

két vektor által bezárt szög:

szorzás skalárral:

összeadás, kivonás:

cba ++

a

c

b

Műveletek vektorokkal

Műveletek vektorokkal

Skalár szorzat: A=bacosA a b ϕ= ⋅ ⋅

pl.: ϕcos⋅⋅== sFW sF

cbcac)ba(c)ba()cb(a

0aabba

+=+≠

==

0

Vektori szorzat:

pl.: ϕω sin2)(2 ⋅⋅⋅=×= vmmFCor ωv

[ ]babac =×=

sinc a b ϕ= = ⋅ ⋅c

caba)cb(a

cbacba0ba00a

abba

×+×=+×

××≠××=×=×

×−=×

)()(iránya – jobbkézszabály alapján

Vonatkoztatási rendszer

vonatkoztatási rendszer: rögzített viszonyítási pontokkoordináta rendszer: egy rögzített ponton átmenő annyi irányított egyenes, ahány dimenziós a tér

gyakorlatban: derékszögű koordináta rendszerx – kelet, y – észak, z - fel

egy pont helyének megadása:

x y

z

P

x y

z

Prϑ

ϕ

P (x,y,z) P (r,ν,ϕ)y

z

x

1. x,y,z koordinátákkal 2. polárkoordinátákkal

Vektorok derékszögű koordináta-rendszerben

jia yx aa +=

jib yx bb +=

a

a

x

y

ij

a+b

b

ba+b

jiba )()( yyxx baba +++=+

i, j: x, y irányú egységvektorok

x

y

a

ϕcos⋅= aax

ϕ

ϕsin⋅= aay

Példa: anyagi pont helyzete, elmozdulása

P1P2

P3

r1 r2

r3

x

yhelyvektor

elmozduláspálya → megtett út

d12

d23d13

Feladat: Határozzuk meg annak az autónak az elmozdulását, amely 8km-t halad északkeleti irányban, majd dél felé 13km-t, végül pedig nyugatra 5km-t!

x - kelet

y- észak

2 2

8 cos 45 8 sin 450 135 0

(8sin 45 5) (8cos 45 13) 0,66 7,34

0,66 7,34 7,37

= ⋅ + ⋅= −= − +

= + + = − + − = −

+ + = + =

a i jb i jc i jd a b c i j i j

a b c

ji

Házi feladat – szeptember 16.

1. Add meg a szinusz, koszinusz, tangens és kotangens függvény definícióját! Ábrázold a négy függvényt!

2. Adott két vektor: - az a vektor abszolút értéke 7 és a derékszögű koordináta rendszer x tengelyével 30°–os szöget zár be,

- a b vektor abszolút értéke 4 és a derékszögűkoordináta rendszer x tengelyével 150°–os szöget zár be.

Add meg a két vektor összegét, skalár szorzatát és vektori szorzatát!

Sebesség, szögsebesség, gyorsulás, szöggyorsulás

Feladat: Mekkora és milyen irányú a Hold Föld körüli keringésének sebessége, szögsebessége, gyorsulása és szöggyorsulása?

sm

sm

Tr

tsv 1020

6060243,2714,31084,322 8

=⋅⋅⋅⋅⋅⋅

==∆∆

=π

ssTt11066,2

6060243,2714,322 6−⋅=

⋅⋅⋅⋅

==∆∆

=πϕω

23

22 1072,2

sm

rvracp

−⋅=== ω

0=βv

acp

ω

r=3,84·108m

Gyorsuló vonatkoztatási rendszerek – Coriolis erő

Feladat: Egy ágyú az Északi-sarkon áll és egy tőle 10 km-re lévő célpontra tüzel, de mellétalál. Mennyivel téveszti el a célt? (az ágyúgolyó 10 s múlva csapódik be, és a közegellenállás elhanyagolható)

FCor

1. Inerciarendszerben: a Föld elfordul a lövedék alatt → a célpont lövés közben elmozdul

102 2 10 0,00727 7, 2786400

t ss d km km mT s

π π= = ⋅ = =

2. A Földhöz rögzített (forgó) koordináta rendszerben: a lövedékre a sebességére merőleges, vízszintes irányú Coriolis-erő hat

5

22 2

10 100010

2 2 17, 27 1086400

2 ( ) 2 sin 90 2

14, 54 / (10 ) 7, 272 2

Cor

s km mvt s s

T s sF m v mv mvF ma

a m ss t s m

π πω

ω ω ω

−

= = =

= = = ⋅

= × = =

=

= = ⋅ =

222 14,54 10CorF ma v

m sω −= = = ⋅

Gyorsuló vonatkoztatási rendszerek – centrifugális erő

Feladat: Mekkora a centrifugális erő nagysága az Egyenlítőn?

2

2 2 5 1 23

2

(7,27 10 ) 6378 3, 4 109,81 /

cf

mF m r r s kmmg mg g m s

ω

ω ω − −−

=

⋅ ⋅= = = = ⋅

cfF r

Feladat: A Földön hol legnagyobb a centrifugális erő?

ϕωω cos22 RmrmFcf == ϕAz Egyenlítőn: R

Házi feladat – szeptember 23.

1. Mekkora a legnagyobb centrifugális erő (a gravitációs erőhöz viszonyítva), ami egy ruhadarabra hat egy mosógépben centrifugálás közben, ha a dob átmérője 50 cm és percenként 1000 fordulatot tesz meg?

2. Mekkora és milyen irányú a Szegedről Budapestre tartó, 80 km/h sebességgel haladó, 400 t tömegű vonatra hatóCoriolis-erő?

Coriolis-erő

Feladat: Mekkora és milyen irányú a Szegedről Budapestre tartó, 80km/h sebességgel haladó, 400t tömegű vonatra ható Coriolis-erő?

5 5

2 2 sin12 4 10 22, 2 7, 27 10 sin 44 898

CorF m v m vmkg Ns s

ω ω ϕ

−

= ⋅ ⋅ × = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

5

80 22, 2

2 17,27 1024

44

km mvh s

t óra sϕ πω

ϕ

−

= =

∆= = = ⋅

∆=

A vonatnak jobbra, azaz kelet felé mutat.

ωv

ϕ

ϕ

ϕ: az ábráról látszik, hogy ω és v által bezárt szög nem 90°, hanem a földrajzi szélességgel egyenlő (44°)

Geosztrófikus szél

Feladat: Két pontban mért légnyomás különbsége 23hPa, a pontok távolsága pedig 2100km. Milyen erős geosztrófikus szél alakul ki?

2 ( ) 2 sin

1 12 sin

p V m v V vy

p pvy y f

ω ρ ω ϕ

ρ ω ϕ ρ

∆⋅ = × = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

∆∆ ∆

= ⋅ = ⋅∆ ⋅ ⋅ ⋅ ∆ ⋅ f: Coriolis-paraméter

65

3

12 sin

1 2300 8,341 2,1 102 7,27 10 sin 44 1,3

pvy

Pa mkg km s

s m

ω ϕ ρ

−

∆= ⋅ =

⋅ ⋅ ⋅ ∆

= ⋅ =⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Rugalmassági állandók

Feladat: A primer földrengéshullámok átlagos sebessége a földkéregben 5,5km/s, a szekunder hullámoké 3,1km/s. A földrengéshullámok terjedési sebessége alapján becsüld meg a földkérget alkotó kőzetek rugalmassági állandóit! (a kőzetek átlagos sűrűsége 2700kg/m3)

ρµ

ρµκ

=

+=

S

P

v

v 2

κ és µ a Lamè-féle rugalmassági állandók

ρ a kőzet sűrűsége

Pasm

kgvS10

2102 1059,21059,2 ⋅=

⋅⋅=⋅= ρµ

2 10 1022 2,98 10 2,98 10P

kgv Pam s

κ ρ µ= − = ⋅ = ⋅⋅

Földrengéshullámok törése

Feladat: Földrengéshullám 40°-os beesési szöggel halad agyagrétegből löszrétegbe. Mekkora az irányváltozás? (ca=1800 m/s, cl=370 m/s)

α

α−β

β

agyaglösz

sinsin

sin sin

7,59

a

l

a

l

cc

cc

αβ

β α

β

=

= ⋅

= °

irányváltozás: 32, 4α β− = °

Házi feladat – szeptember 30.

1. Kilométerenként mekkora nyomáskülönbség szükséges 10 km/h erősségű geosztrófikus szél kialakulásához?

2. A második feladatban kapott Lamè-állandókbólszámold ki a földkérget alkotó kőzetekre jellemzőYoung-modulust, Poisson-féle számot és nyírási modulust!

Földrengés – rugalmassági állandók

1 2 1

12 1

E

E G

νκν ν

µν

= ⋅− +

= ⋅ =+

E: Young-modulus

ν: Poisson-féle szám

G: nyírási modulus

A koncentráció mértékegységei % 10-2

%° 10-3

ppm 10-6

ppb 10-9

ppt 10-12

mg/m3

µg/m3

ng/m3

9 3

3

3

3 3

6

8 35

38

3 3

1011

20

20 10 8,314 29817

2,9 1010

20 2,9 10 29 0,029 29000

mppbm

g mxm m

pV nRTg J Kgm mol KRTnRT molMV m

p p Pag m ppb ppm ppt

m m

µ

µ

−

−

−

−

=

=

=

⋅⋅ ⋅

⋅

= = = = ⋅

= ⋅ = = =

szobahőmérsékletatmoszférikus nyomás

Feladat: 20 µg/m3 ammónia hány ppb?

Barometrikus nyomásformula

Feladat: Milyen magas a János-hegy, ha a hegy tetején a légnyomás 950hPa?

0

0

0

0

2

ln

ln

8,314 293 950ln 541101329 9,81

zMgRT

zMgRT

p p e

p ep

p zMgp RT

RT pzMg p

J K hPamolK mg m hPamol s

−

−

= ⋅

=

= −

= − ⋅ =

⋅= − ⋅ =

⋅

0 0

50

2

95010

29

8,314

25 298

9,81

8?

zMg zRT H

o

p p e p ep hPap Pa

gMmol

JRmol K

T C Kmgs

H kmz

− −= ⋅ = ⋅=

=

=

=⋅

= =

=

==

pontosabban: 1,013·105Pa

Házi feladat – október 7.

(0. Múlt heti földrengéses feladat)

1. Mekkora a légnyomás a Mount Everest tetején?

2. Add meg a levegő főbb összetevőinek (nitrogén, oxigén, argon) koncentrációját g/m3

mértékegységben!

Szónikus anemométer működése - szélsebesség

d=20cmt1=5,84·10-4st2=5,98·10-4s

1

2

1 2

4 41 2

2

1 1 0, 2 1 1 42 2 5,84 10 5,98 10

d c vtd c vtd d c v c v vt t

d m mvt t s s s− −

= +

= −

− = + − − =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ ⋅⎝ ⎠⎝ ⎠

c: hangsebesség szélcsendbenv: szélsebesség

Feladat: Egy szónikus anemométer két ultrahang adó-vevője közötti távolság 20 cm. Az ultrahang impulzus terjedési ideje az egyik irányban 5,84·10-4 s, a másik irányban 5,98·10-4 s. Mekkora a szélsebességnek az adó-vevőket összekötő szakasz irányába eső komponense? Közelítőleg mennyi a levegő hőmérséklete, ha a hang terjedési sebessége 0°C-os levegőben 331 m/s?

Szónikus anemométer működése - hőmérséklet

d=20cmt1=5,84·10-4st2=5,98·10-4s

1

2

41

0, 2 4 3385,84 10

d c vtd c vt

d m m mc vt s s s−

= +

= −

= − = − =⋅

c: hangsebesség szélcsendbenv: szélsebesség

0 0

2

20

00

331273 284,5 11,5

338

c Tc T

mc sT T K K Cmc

s

=

⎛ ⎞⎜ ⎟⎛ ⎞

= ⋅ = ⋅ = =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎜ ⎟

⎝ ⎠

c0=331m/s (0°C-on mért hangsebesség)T0=0°C=273K

A talaj metánkibocsátása

cCH4=2 ppm= 1,3mg/m3 cCH4=19 ppm=12,3mg/m3

Q=200 cm3/mind=50 cm → A=r2π=0,196m2

Feladat: Talaj metánkibocsátását a talajra helyezett, henger alakú, 50 cm átmérőjűkamrával mérjük. A kamrán folyamatosan levegőt áramoltatunk át 200 cm3/min sebességgel és mérjük a metán koncentrációját a kamrába belépő és a kamrából kilépő levegőben. A két koncentráció érték 2 ppm és 19 ppm. Add meg a talaj metán kibocsátását g/m2s mértékegységben!

A kamrából 1 perc alatt kilépő levegőben a metán mennyisége:

4 3 62 2 312,3 2 10 2, 46 10mgm c V m g

m− −= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅

A kamrába 1 perc alatt belépő levegőben a metán mennyisége:

4 3 71 1 31,3 2 10 2,6 10mgm c V m g

m− −= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅

6 7 62 1 2,46 10 2,6 10 2,2 10m m m g g g− − −∆ = − = ⋅ − ⋅ = ⋅

A talaj által kibocsátott metán mennyisége:

A talaj metánkibocsátása

cCH4=1,3mg/m3 cCH4=12,3mg/m3

Q=200 cm3/mind=50 cm → A=r2π=0,196m2

6 7 62 1 2,46 10 2,6 10 2,2 10m m m g g g− − −∆ = − = ⋅ − ⋅ = ⋅

A talaj által kibocsátott metán mennyisége:

egy perc alatt, 0,196m2 területen

66

2 2 2

2, 2 10 0,18 10 0,1860 0,196

g g gFs m m s m s

µ−−⋅

= = ⋅ =⋅ ⋅ ⋅

Házi feladat – október 14.

1. Egy szónikus anemométer két adó-vevő párból áll. Az egyik adó-vevőpár északi-déli irányban áll, és azt tapasztaltuk, hogy a kibocsátott ultrahang impulzus északról dél felé 5,988·10-4 s alatt, délről észak feléhaladva pedig 5,6497·10-4 s alatt éri el a vevőt. A másik adó-vevő párt kelet-nyugat irányban helyeztük el és közük az ultrahang impulzus keletről nyugat felé haladva 5,899·10-4 s alatt, nyugatról kelet feléhaladva pedig 5,731·10-4 s alatt éri el a vevőt. Az adó-vevő párok távolsága mindkét esetben 20 cm. Milyen erős és milyen irányú szél fúj? Közelítőleg mennyi a levegő hőmérséklete, ha a hang terjedési sebessége levegőben 0°C-on 331 m/s?

Venturi-cső

Feladat: Mekkora sebességgel áramlik a Venturi-csőben egy 1,962kg/m3 sűrűségűgáz, ha a Venturi cső 0,3 és 0,2m átmérőjű szakaszai között 590Pa nyomáskülönbséget mérünk?

Bernoulli-egyenlet

2 21 1 1 2 2 2

42 21

1 2 1 142

1 4 414 3 4

2

32 2

1 1 1 1

1 12 2

12

2 2 590 12,15(0,15 )1 1,962 1(0,1 )

(0,15 ) 12,15 0,85

p v gh p v gh

rp p p v vr

p Pa mvsr kg m

r m m

m mQ A v r v ms s

ρ ρ ρ ρ

ρ

ρ

π π

+ + = + +

⎛ ⎞− = ∆ = −⎜ ⎟

⎝ ⎠

⋅∆ ⋅= = =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ − ⋅ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ =

1 1 2 22 2

1 1 12 1 1 12 2

2 2 2

A v A v

A r rv v v vA r r

ππ

⋅ = ⋅

= = =

kontinuitási egyenlet

1 2h h=

Pitot-cső

Feladat: Szélsebességet mérünk Pitot-csővel. Mekkora a szélsebesség, ha a vízszintek különbsége a csőben 8cm?

2 2

3 2

3

1 12 2

2( )2( )

2 1000 0,08 9,8134,75

1,2

A A A B B B

vA BB

l l

p v gh p v gh

hgp pv v

kg mm mm skg sm

ρ ρ ρ ρ

ρρ ρ

+ + = + +

−= = = =

⋅ ⋅ ⋅= =

A

B

0A B

A

h hv

==

Házi feladat – október 21.

1. Mekkora nyomáskülönbséget mérünk egy vízszintes Venturi-cső 10 és 18 cm átmérőjű szakaszai között, ha a csőben levegő áramlik 1000 m3/h sebességgel? És ha víz áramlik ugyanekkora sebességgel?

2. Egy folyó sebességét mérjük Pitot-csővel, a manométer 3 kPa nyomáskülönbséget mutat. Mekkora a folyó sebessége?

Reynolds-szám

Feladat: Egy 5 mm átmérőjű csőben levegő áramlik 5 l/perc sebességgel. Lamináris vagy turbulens az áramlás?

Az áramlás lamináris.

5

35

3

1,88 10

5 8,3 10

2,5 10

Pa sl mQ

perc sr m

η −

−

−

= ⋅ ⋅

= = ⋅

= ⋅

35

2 3 2

8,3 104,24

(2,5 10 ) 3,14

mQ msv

r m sπ

−

−

⋅= = =

⋅ ⋅

33

5

1,3 4,24 2,5 10Re 734

1,88 10

kg m mv L v r m sPa s

ρ ρη η

−

−

⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = = =

⋅ ⋅

Reynolds-szám

Feladat: Egy 5 mm átmérőjű golyó halad 4,24 m/s sebességgel. Lamináris vagy turbulens az áramlás?

33

5

1,3 4,24 2,5 10Re 734

1,88 10

kg m mv L v r m sPa s

ρ ρη η

−

−

⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = = =

⋅ ⋅

Az áramlás lamináris.

5

3

1,88 10

4,24

2,5 10

Pa smvs

r m

η −

−

= ⋅ ⋅

=

= ⋅

Közegellenállás

Feladat: Mekkora közegellenállási erő hat az előző feladatban szereplő golyóra?

5 36 6 3,14 1,88 10 2,5 10 4,24 3,75KmF rv Pa s m Ns

πη − −= = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

2

612

K

K e l

F r v

F c A v

π η

ρ

= ⋅ ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ ⋅

Stokes törvény (Re<1000)

négyzetes közegellenállási törvény (Re>2000)

Közegellenállás

Feladat: Mekkora sebességre gyorsul fel esés közben egy 1cm sugarú jégdarab?

Fk

G

2

612

k

k e l

F Rv

F c Av

πη

ρ

=

=

Stokes-törvény

négyzetes ellenállási törvény

Fk nő a sebességgel → addig gyorsul a jégdarab, amíg egyenlő nem lesz a közegellenállási erő a gravitációs erővel

2

2 2

32 2

3 2

3

1212

4 13 2

4 23

4 0,01 2900 9,81 19,63 0, 47 1,2

k

e l

e l

j e l

je l

G F

m g c A v

m g c r v

r g c r v

rv gc

m kg m mkgm s sm

ρ

ρ π

π ρ ρ π

ρρ

=

⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ ⋅ =⋅

⋅= ⋅ ⋅ ⋅ =

⋅

Csak akkor használhatjuk a négyzetes ellenállási törvényt, ha turbulens az áramlás

3

5

1,2 19,6 0,01Re 13553

1,88 10l

kg m mvr m sPa s

ρη −

⋅ ⋅= = =

⋅ ⋅

Re>2000 – turbulens áramlás, tehát jó a megoldásunk

Aeroszolok ülepedési sebessége

Feladat: Mekkora egy 10µm sugarú jégrészecske ülepedési sebessége?

Fk

G

2

612

k

k e l

F Rv

F c Av

πη

ρ

=

=

Stokes-törvény

négyzetes ellenállási törvény

Fk nő a sebességgel → addig gyorsul a jégdarab, amíg egyenlő nem lesz a közegellenállási erő a gravitációs erővel

3

2

64 6

32

0,019

k

j

j

G Fm g r v

r g r v

r g mvs

π η

π ρ π η

ρη

=⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅= =

⋅

Csak akkor használhatjuk a Stokes-törvényt, ha lamináris az áramlás

63

5

1,3 0,01 10 10Re 0,0069

1,88 10l

kg m mvr m sPa s

ρη

−

−

⋅ ⋅ ⋅= = =

⋅ ⋅

Re<1000 – lamináris áramlás, tehát jó a megoldásunk

Házi feladat – november 4.

Mekkora sebességgel ülepszik egy 5 µm átmérőjű, 2 g/cm3 sűrűségűporszemcse? Lamináris vagy turbulens az áramlás a porszem körül?

Házi feladat – november 11.

Szabadon választott feladatok a gyakorló feladatsorból. 1 feladat = ½ házi feladat