Termodinamika II - O b granièni slojevi · Termodinamika II - materijali za predavanje 16. ožujka...

Termodinamika II - materijali za predavanje 16. ožujka 2020. 1

* Materijali korišteni pri izradi ove prezentacije su, uz dozvolu autora, preuzeti iz

udžbenika Termodinamika II prof.dr.sc. Antuna Galovića, kojemu u ime studenata

i nastavnika Katedre za tehničku termodinamiku - veliko hvala!

2.1.4 Prolaz topline kroz jednoslojnu ravnu stijenku

Promotrimo homogenu jednoslojnu ravnu stijenku debljine , i konstantne toplinske

provodnosti , koju s jedne strane okružuje fluid temperature a , a s druge strane fluid

temperature .b Poznati su koeficijenti prijelaza topline a i b s jedne i druge strane

stijenke. Temperature fluida a i b , kao i koeficijenti prijelaza topline a i b su

konstantni, što znači da se ne mijenjaju uzduž frontalne površine A BH .

Slika I - 19. Uz pojašnjenje prolaza topline kroz jednoslojnu ravnu stijenku

Temperaturni pad, ba , se troši za savladavanje tri nametnuta toplinska otpora

(toplinski otpor u graničnom sloju a, kondukcijski toplinski otpor kroz krutu stijenku i

toplinski otpor u graničnom sloju b):

)()()( b2s2s1s1saba

Polazeći od sljedećeg sustava jednadžbi:

1saa q (I - 82)

2s1s

q (I - 83)

s2

s1

a

b

x

q , x x

a

b graniènislojevi

a b

a

s2

b

a

a b

q ,

b

x

s1

graničnislojevi

Načini prijenosa topline - provođenje

2

)( b2sb q (I - 84)

transformacijom se dolazi na oblik:

1sa

a

q

(I - 82a)

2s1s

q (I - 83a)

b2s

b

q

(I - 84a)

iz čega slijedi izraz za gustoću toplinskog toka

ba

ba

11

q , (I - 85)

Pribrojnici u nazivniku predstavljaju pojedinačne specifične toplinske otpore pri

prolazu toplinskog toka od fluida temperature a na fluid temperature b. Veličina

a1 predstavlja specifični toplinski otpor prijelazu topline kroz granični sloj a,

označuje specifični toplinski otpor provođenju topline kroz stijenku, dok b1 označuje

specifični toplinski otpor prijelazu topline kroz granični sloj b.

Toplinski tok:

ba

ba

ba

ba

1111

AAA

AAq

(I - 86)

U gornjoj jednadžbi pribrojnici predstavljaju pojedine toplinske otpore, koji se javljaju

pri prolazu topline kroz jednoslojnu ravnu stijenku.

Jednadžbu se može napisati u formalnom obliku:

ba kA , (I - 87)

u kojoj veličinu k , W/(m2 K), označujemo koeficijentom prolaza topline

1

ba

11

1

k (I - 88)

1 Njemački naziv je die Wärmedurchgangszahl, a engleski naziv je overall heat transfer coefficient

Načini prijenosa topline - provođenje 3

2.1.5 Prolaz topline kroz višeslojnu ravnu stijenku

Za višeslojnu ravnu stijenku, poznate su sljedeće veličine: konstantne temperature

fluida s jedne i druge strane višeslojne (troslojne) ravne stijenke duž njezine površine,

ba , , toplinske provodnosti, odnosno debljine stijenki, 321321 ,,,,, , površina

A , te koeficijenti prijelaza topline ba , .

Traže se: gustoća toplinskog toka, q, odnosno toplinski tok , kontaktne površinske

temperature s4s3s2s1 ,,, .

Postavljanjem i razrješenjem sustava jednadžbi s pet nepoznanica:

1saa q (I - 89)

s21s

1

1

q (I - 90)

3s2s

2

2

q (I - 91)

4s3s

3

3

q (I - 92)

b4sb q (I - 93)

slijedi:

b3

3

2

2

1

1

a

ba

11

q (I - 94)

x

s3

s2

a

b

q , x x

a

a

bs1

s4

b

a

s1

s2

s3

s4b

a b

1 2 3

a

b

q,

1 2 3x

Slika I - 20. Temperaturno polje pri prolazu topline


4

Toplinski tok:

b3

3

2

2

1

1

a

ba

11

A (I - 95)

Koeficijent prolaza topline:

ba

11

1

3

3

2

2

1

1

k (I - 96)

Za slučaj prolaza topline kroz N -slojnu ravnu stijenku:

N

i i

i

q

1 ba

ba

11

(I - 97)

N

i i

i

AAq

1 ba

ba

11

(I - 98)

N

i i

i

k

1 ba

11

1

(I - 99)


2.1.6 Prolaz topline kroz jednoslojnu ravnu stijenku uz V > 0

Razmatra se homogena ravna stijenka, kojoj je debljina 2 malena prema njenim

drugim dimenzijama, tako da je širenje topline dominantno u smjeru osi x . Neka u

stijenki postoji toplinski izvor konstantne izdašnosti V, koji je jednoliko distribuiran po

cjelokupnom volumenu stijenke.

Rubni uvjeti uključuju prijelaz topline u smjeru osi x i određeni su konstantnim i

jednakim koeficijentima prijelaza topline s obiju graničnih ploha. Temperatura je

fluida s obje strane ista i ima vrijednost . To znači da su nametnuti simetrični rubni

uvjeti 3. vrste, pa je prikladno ordinatnu os postaviti u sredinu stijenke.

Opće rješenje temperaturnog polja dano je jednadžbom:

21

2

2CxCxx

V

Slika I - 21. Temperaturno polje u ravnoj stijenki s unutrašnjim

toplinskim simetričnim rubnim uvjetima 3. vrste

Konstante C1 i C2 se određuju iz uvjeta koji vladaju na x 0 i x :

0x ; 00

xx

,

(I - 100)

x ;

s

xx

Iz jednadžbe općeg rješenja temperaturnog polja za slučaj provođenja topline kroz

ravnu stijenku uz postojanje toplinskog izvora slijedi:

1Cxx

V

d

d (I - 101)

Za x 0 slijedi da je konstanta C1 0 , a za x (uz C1 0 ) slijedi da je

( )x

x,0= max

s

+x-x

R R

0

(x = 0) = maks = (x)

s

x +x

R R

0

2


6

V

d

d

xx a)

Temperatura granične plohe s na x

Vs b)

te slijedi vrijednost konstante C2

2

2

2VV C c)

Uvrštavanjem konstanti C1 i C2 dobiva se partikularno rješenje temperaturnog polja

22

12

xx VV (I - 102)

koje pokazuje da temperaturno polje ima karakter simetrične kvadratne parabole.

Gustoća toplinskog toka slijedi iz jednadžbe (I - 101) i Fourierova stavka

xxq V (I - 103)

Za x = 0 slijedi da je 00 xq , a za x :

Vxq (I - 104)

Sveukupni toplinski tok , predan okolišnom fluidu:

12AAxq V (I - 105)

Ako se u jednadžbu (I - 102) stavi da (rubni uvjet 3. vrste), tada ona, i zbog

s , poprima oblik

22

2xx

V

s (I - 106)

20

2

V

s x (I - 107)

pa razlika temperatura s 0x iznosi:

20

2

V

s x . (I - 108)


2.2 Jednoslojna cilindrična (cijevna) stijenka (V = 0)

Pri određivanju temperaturnog polja u cilindričnoj stijenki polazi se od diferencijalne

jednadžbe (I - 30), čiji je zapis dat u cilindričnim koordinatama zr ,, , jer je poziciju

točaka cijevne krutine puno jednostavnije opisivati navedenim koordinatama.

czrrrr

at

V

2

2

2

2

22

2 11 (I - 30)

Zbog usvajanja pretpostavke dominantnog širenja topline samo u smjeru polumjera

cijevi r , iščezavaju sljedeći članovi u diferencijalnoj jednadžbi (I - 30):

;0

t

0

z

i ;0

2

2

z

0

i ;0

2

2

,0

c

V

te jednadžba poprima oblik:

01

2

2

rrr d

d

d

d (I - 109)

Uvođenjem pomoćne varijable rm dd i 22 dddd rrm u jednadžbu dobiva se:

01

d

d m

rr

m. a)

Separacijom varijabli:

0dd

r

r

m

m, b)

i integriranjem jednadžbe b) dobiva se


8

1lnln Crm , c)

a odatle:

mr C 1 , d)

te uz rm dd slijedi:

1Crr

d

d e)

Nakon separacije varijabli i integracije dobiva se opće rješenje temperaturnog polja pri

stacionarnom provođenju topline kroz cilindričnu stijenku

r C r C 1 2ln , (I - 110)

koje slijedi zakonitost logaritamske funkcije. Integracijske konstante 21, CC se

određuju iz rubnih uvjeta.

Gustoću toplinskog toka q r dobije se korištenjem prethodne jednadžbe i Fourierova

stavka:

q rC

r

1 (I - 111)

iz čega slijedi da gustoća toplinskog toka ovisi o polumjeru cilindra.

Toplinski tok kroz cijev duljine L slijedi iz jednadžbe:

A

L

L

LCLrr

CAAq

0

11 22)( dd (I - 112)

iz koje se vidi da je toplinski tok konstantan i neovisan o polumjeru cijevi r ,

21 RrR .

Za određivanje integracijskih konstanti 21 , CC polazi se od zadanih rubnih uvjeta.

a) rubni uvjeti 1. vrste

Izotermni rubni uvjeti (zadane temperature na unutrašnjem, odnosno vanjskom

polumjeru cijevi):

r R 1 s1

(I - 113)

r R 2 s2


Slika I - 22a. Temperaturno polje u cijevnoj stijenki Slika I - 22b. Temperaturno polje u cijevnoj stijenki

u slučaju da je s1 > s2 u slučaju da je s2 > s1

Uvrštavanjem rubnih uvjeta dobije se sljedeći sustav jednadžbi:

211 ln CRC s1

a)

221s2 ln CRC ,

iz čega slijedi:

2

1

s2s1

1

lnR

RC

(I - 114)

2

1

1s2s1s12

ln

ln

R

R

RC

te se dobiva partikularno rješenje temperaturnog polja po radijusu cijevi:

1

2ln

ln

R

R

R

r

r 1s2s1s1 (I - 115)

s2

s2

s1 s1

r

r

dr

dr

r = R1

r = R2

R2

0

( )r

R1

v

u

s1

s2

s1

r)

s2r = R1

r

r = R2

dr

R2

r

R1

s2 s2

s1

s1

r

dr

r

R2

0

( )r

R1

u

v

s2 s2

s1

s1

= (r)

R

2

r

r0

R1

0dr dr

v

u

v

u


10

Za slučaj da je temperatura unutrašnje stijenke cijevi s2s1 , (toplinski je tok

usmjeren iznutra prema van), temperaturno polje je kvalitativno prikazano na slici

I - 22a, a za slučaj da je s1s2 , (toplinski je tok usmjeren izvana prema unutra),

temperaturno polje kvalitativno prikazuje slika I - 22b.

Temperaturni gradijent:

r

C

r

1d

d, (I - 116)

je veći na manjem polumjeru. To znači da je najmanji temperaturni gradijent (tangens

kuta tangente na temperaturnu distribuciju) na vanjskom polumjeru cijevi, odnosno

najveći na unutrašnjem polumjeru cijevi, bez obzira na smjer toplinskog toka.

Gustoća toplinskog toka svedena na unutrašnju površinu cijevi:

1

21

1

11

lnR

RR

R

CRq s2s1

, (I - 117)

odnosno, gustoća toplinskog toka svedena na vanjsku površinu cijevi:

1

22

2

12

lnR

RR

R

CRq s2s1

(I - 118)

Toplinski tok:

1

2ln

2

R

R

L s2s1

(I - 119)

Prethodnu jednadžbu može se napisati i u obliku:

1

2ln2

1

R

R

L

s2s1 , (I - 120)

u kojem nazivnik predstavlja toplinski otpor u W/K, provođenju topline kroz cijevnu

stijenku. Toplinski je otpor obrnuto proporcionalan toplinskoj provodnosti materijala

stijenke cijevi , duljini cijevi L i njezinom unutrašnjem polumjeru R1, a izravno je

proporcionalan debljini stijenke cijevi = R2 – R1.

Toplinski tok sveden na jedan metar duljine cijevi:

1

2ln

2

R

RL

s2s1L

(I - 121)


2.2.1 Provođenje topline kroz višeslojnu stijenku cijevi

Slika I - 23. Temperaturno polje kod troslojne cijevne stijenke

Neka je poznato: s4s143214321 ,,;,,,;,,, LRRRR , a traži se: toplinski tok i

nepoznate dodirne temperature s2 i s3 . Pri tome mora biti ispunjena pretpostavka

savršenog dodira po cjelokupnim dodirnim površinama.

1

2

1

ln

2

R

R

L s2s1

(I - 122)

2

3

2

ln

2

R

R

L s3s2

(I - 123)

3

4

3

ln

2

R

R

L s4s3

, (I - 124)

Slijedi:

s2s1

1

1

2

2

ln

L

R

R

(I -122a)

s3s2

2

2

3

2

ln

L

R

R

(I - 123a)

s4s3

3

3

4

2

ln

L

R

R

, (I - 124a)

s4

s4

s1 s1

0

s2s2

r

R1

R2

R3

R4

s1

s3

s4

s1

s4

s2 s2

s3

1 2 3

r

R1

R2

R3

R40


12

3

4

32

3

21

2

1

ln1

ln1

ln1

2

R

R

R

R

R

R

L

s4s1 (I - 125)

Prethodnu jednadžbu se može napisati i u obliku:

3

4

32

3

21

2

1

ln2

1ln

2

1ln

2

1

R

R

LR

R

LR

R

L

s4s1 , (I - 126)

gdje u nazivniku pojedini pribrojnici predstavljaju, serijski spojene, toplinske otpore

pojedinačnih cijevnih stijenki. Ukupni toplinski otpor je jednak njihovom zbroju.

Proširenjem problema na N cijevnih stijenki, dolazi se do izraza za toplinski tok:

N

i i

i

i

n

R

R

L

1

1

1,ss1

ln1

2

(I - 127)

b) rubni uvjeti 3. vrste

2.2.2 Jednoslojna stijenka cijevi

Unutar cijevi, promjera D1 , nalazi se tekućina, po visini (duljini), konstantne

temperature a , a oko vanjskog promjera cijevi D R2 22 nalazi se tekućina, također po

visini (duljini) cijevi, konstantne temperature b . Toplinska provodnost cijevi je

temperaturno neovisna. Poznati su koeficijenti prijelaza topline a i b uz unutrašnju i

vanjsku plohu cijevne stijenke.

Slika I - 24. Temperaturno polje pri prolazu topline kroz jednoslojnu cijevnu stijenku

a

bb

a-

b

r

granièni sloj 1

granièni

sloj 2

a

b

r

s1s1

s2s2

0

R1

R2

tekuæ ina a

tekuæ ina b

tekućina a

tekućina b

granični sloj a

a

s1 s1

s2 s2 bb

a

b

graničnisloj b

= (r)

a

b

R1

R2

r0


Pri provođenju topline kroz stijenku cijevi ostaje konstantan toplinski tok:

s1aas1aa LRA 12 (I - 128)

1

2ln

2

R

R

L s2s1

(I - 129)

bs22bbs22b 2 LRA (I - 130)

Jednostavnim transformacijama gornji se sustav jednadžbi prevodi na oblik:

s1a

a

LR12 (I - 128a)

s2s1

L

R

R

2

ln1

2

(I - 129a)

bs2

b

LR22 (I - 130a)

te slijedi:

ba

ba

21

2

1

1ln

11

2

RR

R

R

L

, (I - 131)

Prethodna jednadžba se može napisati i u obliku:

ba

ba

LRR

R

LLR 21

2

1 2

1ln

2

1

2

1

, (I - 132)

u kojem prvi pribrojnik u nazivniku predstavlja toplinski otpor kroz granični sloj a,

drugi pribrojnik označuje kondukcijski toplinski otpor krutine, dok posljednji pribrojnik

označuje toplinski otpor kroz granični sloj b.

Toplinski tok se može izraziti i kao:

)( ba kA (I - 133)

pri čemu k , W/(m2 K), predstavlja koeficijent prolaza topline:

ba

Ak (I - 133a)

Koeficijent prolaza topline k1 , sveden na površinu A1 2 1R L :


14

ba 2

1

1

21

1

ln1

1

R

R

R

RRk

(I - 134)

i koeficijent prolaza topline k 2 , sveden na površinu A R L2 22 :

ba

ba

1ln

1

1

22

1

22

2

R

RR

R

RAk (I - 135)

Budući da vrijedi jednadžba

bababa ii AkAkAk 2211 (I - 136)

slijedi:

konst.2211 ii AkAkAk (I - 137)

k

k

R

R

1

2

2

1

(I - 138)


2.2.3 Jednoslojno izolirana stijenka cijevi. Kritična debljina izolacije

Izoliranje cijevi malih vanjskih promjera ne mora uvijek rezultirati smanjenjem

toplinskog toka. Promotrimo utjecaj debljine izolacije cijevi na vrijednost toplinskog

toka:

b2i1

2

a1

ba

L1

ln1

ln11

2

1

rR

r

R

R

R

(I - 139)

Iz jednadžbe proizlazi da je ukupni toplinski otpor prolazu topline, po metru duljine

cijevi:

b2i1

2

a1

tL

1ln

1ln

11

2

1

rR

r

R

R

RR (I - 140)

Ako se veličine bia ,,,,, 21 RR drže

konstantnima, tada toplinski otpor ovisi samo o

polumjeru izolacije r . Njegovim povećavanjem,

raste pribrojnik 2ln1 Rri , a opada pribrojnik

b1 r . Preostala dva pribrojnika ostaju

nepromijenjena. To znači da mora postojati

kritični polumjer (debljina) izolacije kritr , kod

kojeg je sveukupni toplinski otpor minimalan.

(lokalni ekstrem!)

Vrijednost kritičnog polumjera kritr dobije

se deriviranjem jednadžbe (I - 140) po polumjeru

r , te izjednačavanjem te derivacije s nulom:

2

1 a 1 2 b

d 1 1 1 1 1ln ln 0,

d 2 i

R r

r R R R r

011

2

1

rr bi (I - 141)

ikrit

b

r

, (I - 142)

Kritična debljina izolacije:

2Rr kritkrit (I - 143)

Vrijednost je druge derivacije ukupnog toplinskog otpora:

ib

22

tL

212

2

1

d

d

rrr

R (I - 144a)

a

b

a

b

r

s1

s3

0

izolacija

R1

R2

ri

s2

i

a

s2

b

a

b

i

R1

0r

ri

izolacija

1

s1

s3

R2

Slika I - 25. Kritična debljina izolacije


16

pa za bikrit rr , slijedi:

3

i

2

b

2

tL

2

2d

d

krit

rr

R, (I - 144b)

Kako je njezina vrijednost uvijek pozitivna, slijedi da je za kritrr ukupni toplinski

otpor minimalan, odnosno prema jednadžbi (I - 139), toplinski tok L maksimalan.

1ln1

ln11

2

21

2

1 RR

R

R b

i

ia

ba

maksL

(I - 145)

Ako je vanjski polumjer cijevi bikrit rR2 , tada dodavanjem izolacije

odmah dolazi do smanjenja toplinskog toka, slika I - 27a, a ako je vanjski polumjer

cijevi bikrit rR2 , tada povećavanjem debljine izolacije, prvo dolazi do

povećanja toplinskog toka do postizanja maksimuma, a zatim do njegovog smanjenja,

slika I - 27b.

RL

L

RL = f (r)

L = f1 (r)

2i

ln2

1

R

r

b2

1

r

1

2

a1

ln11

2

1

R

R

R

krit rkrit ri

(RL)min

(L)maks

R2

Slika I - 26. Toplinski tok i toplinski otpor u funkciji polumjera izolacije cijevi


2.2.4 Prolaz topline kroz N-slojnu cijevnu stijenku

Ako se cijevna stijenka sastoji iz N različitih slojeva, slijedi:

N

i i

i

iN R

R

RR

L

1

1

b1a1

ba

ln111

2

(I - 146)

pa je, primjerice, koeficijent prolaza topline sveden na unutrašnju plohu cijevne stijenke

k1 dan preko izraza:

N

i i

i

iN R

RR

R

Rk

1

11

b1

1

a

1

ln11

1

(I - 147)

L

r0

i

rkrit

R2

L

rkrit

i

r0

R2

L

L( )r

r0

rkrit

r*

R2

L max) i

L

L (r)(L)max

r*

R2

rkrit

i

0r

L(r)(L)maks

Slika I - 27a. Kvalitativni prikaz toplinskog toka u Slika I - 27b. Kvalitativni prikaz toplinskog toka u

funkciji polumjera izolacije za slučaj funkciji polumjera izolacije za slučaj

da je vanjski polumjer cijevi veći od da je vanjski polumjer cijevi manji od

kritičnog polumjera izolacije kritičnog polumjera izolacije

Termodinamika II - O b granièni slojevi · Termodinamika II - materijali za predavanje 16. ožujka...

Documents

Transcript of Termodinamika II - O b granièni slojevi · Termodinamika II - materijali za predavanje 16. ožujka...