Teorija Trokut je dio ravnine ome đen s tri dužine. Te dužine … · 2020-02-21 · 1 421 480...

1

421 480

Dokaz 421

Dokažite svaka stranica trokuta veća je od razlike ostalih dviju.

Teorija

Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine. Te dužine zovemo stranice trokuta. Nejednakost trokuta:

, , .a b c b a c c a b< + < + < +

Duljina svake stranice trokuta manja je od zbroja duljina njegovih ostalih stranica.

��

.

a b c a b c c a b

b c a b c a a b c

c a b c a b b c a

< + − < > −

< + ⇒ − < ⇒ > − < + − < > −

■

2

Dokaz 422

Dokažite zbroj dvaju vanjskih kutova trokuta uvijek je manji od 360º i veći od 180º.

Teorija

Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine. Te dužine zovemo stranice trokuta. Zbroj svih kutova u trokutu je 180º.

1 0 .8α β γ+ + =�

Kutovi α, β i γ nalaze se unutar trokuta pa ih nazivamo unutarnji kutovi trokuta. Kut koji je susjedni kut nekog unutarnjeg kuta trokuta nazivamo vanjskim kutom tog trokuta.

γγγγ'

ββββ 'αααα'

γγγγ

ββββαααα

' 180 ' 180, .' 0, 18α α β β γ γ+ = + = + =� � �

Vanjski kut trokuta jednak je zbroju njemu nasuprotnih unutarnjih kutova, odnosno: ' ' , .',α β γ β α γ γ α β= + = + = +

Svojstvo jednakosti (zbrajanje): i .a b c d a c b d= = ⇒ + = +

��

( )zbrojimo

jednak

'' '

os'

i'

' t

α β γα β β γ α γ α β α β γ γ

β α γ

= + ⇒ ⇒ + = + + + ⇒ + = + + + ⇒ = +

' ' 180 .α β γ⇒ + = +�

Međutim,

180γ <�

pa je

180 180 360 180 ' ' 360 .γ α β< + < ⇒ < + <� � � � �

Slično dokazujemo

180 ' ' 360 , 180 ' ' 360 .α γ β γ< + < < + <� � � � ■

3

Dokaz 423

Dokažite da bi točke A(x1, y1), B(x2, y2) i C(x3, y3) pripadale istom pravcu njihove koordinate moraju

zadovoljavati uvjet ( ) ( ) ( ) 0.1 2 3 2 3 1 3 1 2y x x y x x y x x⋅ − + ⋅ − + ⋅ − =

(ili ( ) ( ) ( ) 0.1 2 3 2 3 1 3 1 2x y y x y y x y y⋅ − + ⋅ − + ⋅ − = )

Teorija

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.

( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

Jednadžba pravca kroz dvije točke Pravac točkama A(x1, y1), B(x2, y2), x1 ≠ x2, ima jednadžbu

( )2 11 1

2 1.

y yy y x x

x x

−− = ⋅ −

−

Površina trokuta ABC, A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3) dana je formulom

( ) ( ) ( )11 2 3 2 3 1 3 1 22

.P x y y x y y x y y= ⋅ ⋅ − + ⋅ − + ⋅ −

Skup točaka je kolinearan ako sve točke skupa pripadaju jednom pravcu. Za realni broj x njegova je apsolutna vrijednost (modul) broj │x│ koji određujemo na ovaj način:

, .

, 0

0

x xx

x x

≥=

− <

Ako je broj x pozitivan ili nula, tada je on jednak svojoj apsolutnoj vrijednosti. Za svaki x, x ≥ 0, vrijedi │x│= x. Ako je x negativan broj, njegova apsolutna vrijednost je suprotan broj – x koji je pozitivan. Za svaki x, x < 0, je │x│= – x.

��

1.inačica Jednadžba pravca kroz točke A(x1, y1) i B(x2, y2) glasi:

( )2 1 .1 12 1

y yy y x x

x x

−− = ⋅ −

−

U tu jednadžbu uvrstit ćemo koordinate točke C(x3, y3). Nakon sređivanja dobijemo:

( ) ( ) ( ) ( )2 1, ,3 3 3 1 3 12 1

2 11 1

2 1

y yy y x

y yC x y C x y y y x x

x x xx

x

−= ⇒ ⇒ − = ⋅

−− = − −⋅ ⇒

−−

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 13 1 3 1 3/ 2 1 1 2 1 2 1 3 1

2 1

y yy y x x y y x x y y xx

xx x

x⋅ −

−⇒ − = ⋅ − ⇒ − ⋅ − = − ⋅ − ⇒

−

( ) ( ) ( ) ( )3 2 1 1 2 1 2 3 1 1 3 1y x x y x x y x x y x x⇒ ⋅ − − ⋅ − = ⋅ − − ⋅ − ⇒

( ) ( ) ( ) ( ) 03 2 1 1 2 1 2 3 1 1 3 1y x x y x x y x x y x x⇒ ⋅ − − ⋅ − − ⋅ − + ⋅ − = ⇒

( ) ( ) ( ) 01 2 1 3 1 2 3 1 3 1 2y x x x x y x x y x x⇒ − ⋅ − − + − ⋅ − − ⋅ − = ⇒

( ) ( ) ( ) 01 2 3 2 31 1 21 1 3y x x y x x yx x xx⇒ − ⋅ − − ⋅ − − ⋅ −− =+ ⇒

( ) ( ) ( ) 01 2 3 2 3 1 3 1 2y x x y x x y x x⇒ − ⋅ − − ⋅ − − ⋅ − = ⇒

4

( ) ( ) ( ) ( )01 2 3 2 3 1 11 /3 2y x x y x x y x x⇒ − ⋅ − − ⋅ − − ⋅ − = ⋅ − ⇒

( ) ( ) ( ) 0.1 2 3 2 3 1 3 1 2y x x y x x y x x⇒ ⋅ − ⋅ − ⋅ − =+ + ■

2.inačica Trokut ABC ima površinu nula ako su točke A, B i C kolinearne (leže na istom pravcu).

( ) ( ) ( ) [ ]1

1 2 3 2 3 1203 1 2P x Py y x y y x y y= ⋅ ⋅ − + ⋅ − + ⋅ ⇒ =− ⇒

( ) ( ) ( )11 2 3 2 3 1 3 1 22

0x y y x y y x y y⇒ ⋅ ⋅ − + ⋅ − + ⋅ − ⇒=

( ) ( ) ( ).1 2 3 2 3 1 3 1 2x y y x y y x y y⇒ ⋅ − + ⋅ − + ⋅ − ■

Pokažimo da je

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .1 2 3 2 3 1 3 1 2 1 2 3 2 3 1 3 1 2x y y x y y x y y y x x y x x y x x⋅ − + ⋅ − + ⋅ − = − ⋅ − + ⋅ − + ⋅ −

( ) ( ) ( )1 2 3 2 3 1 3 1 2x y y x y y x y y⋅ − + ⋅ − + ⋅ − =

1 2 1 3 2 3 2 1 3 1 3 2x y x y x y x y x y x y= ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ =

2 1 3 1 3 2 1 2 1 3 2 3x y x y x y x y x y x y= − ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ =

( ) ( ) ( )1 2 3 2 3 1 3 1 2y x x y x x y x x= − ⋅ − − ⋅ − − ⋅ − =

( ) ( ) ( ) .1 2 3 2 3 1 3 1 2y x x y x x y x x= − ⋅ − + ⋅ − + ⋅ −

5

Dokaz 424

Dokažite formulu za sinus trostrukog argumenta: ( ) 3sin 3 3 sin 4 sin .x x x⋅ = ⋅ − ⋅

Teorija

Adicijska formula za sinus zbroja Za svaka dva realna broja x i y vrijedi

( )sin sin cos cos n .six y x y x y+ = ⋅ + ⋅

Trigonometrijske funkcije dvostrukog argumenta

( ) ( )sin 2 2 sin cos 2 sin cos sin, .2x x x x x x⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅

( ) ( )2 2 2 2cos 2 cos sin cos sin, c s 2 .ox x x x x x⋅ = − − = ⋅

Temeljni trigonometrijski identitet 2 2 2 2cos sin 1 1 co i, .s s nx x x x+ = = +

Svojstvo potencije: 1 1

.,a a a a= =

Množenje potencija jednakih baza:

, .n m n m n m n m

a a a a a a+ +

⋅ = = ⋅


( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

��

( ) ( ) ( ) ( )sin 3 sin 2 sin 2 cos cos 2 sinx x x x x x x⋅ = ⋅ + = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =

( )2 2 2 2 32 sin cos cos cos sin sin 2 sin cos sin cos sinx x x x x x x x x x x= ⋅ ⋅ ⋅ + − ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ − =

( )2 3 2 3 3 33 sin cos sin 3 sin 1 sin sin 3 sin 3 sin sinx x x x x x x x x= ⋅ ⋅ − = ⋅ ⋅ − − = ⋅ − ⋅ − =

33 sin 4 sin .x x= ⋅ − ⋅ ■

6

Dokaz 425

Dokažite formulu za kosinus trostrukog argumenta: ( ) 3cos 3 4 cos 3 cos .x x x⋅ = ⋅ − ⋅

Teorija

Adicijska formula za kosinus zbroja Za svaka dva realna broja x i y vrijedi

( )cos cos cos sin n .six y x y x y+ = ⋅ − ⋅

Trigonometrijske funkcije dvostrukog argumenta

( ) ( )sin 2 2 sin cos 2 sin cos sin, .2x x x x x x⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅

( ) ( )2 2 2 2cos 2 cos sin cos sin, c s 2 .ox x x x x x⋅ = − − = ⋅



.,a a a a= =


, .n m n m n m n m

a a a a a a+ +

⋅ = = ⋅


( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

��

( ) ( ) ( ) ( )cos 3 cos 2 cos 2 cos sin 2 sinx x x x x x x⋅ = ⋅ + = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ =

( )2 2 3 2 2cos sin cos 2 sin cos sin cos sin cos 2 sin cosx x x x x x x x x x x= − ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ = − ⋅ − ⋅ ⋅ =

( )3 2 3 2 3 3cos 3 sin cos cos 3 1 cos cos cos 3 cos 3 cosx x x x x x x x x= − ⋅ ⋅ = − ⋅ − ⋅ = − ⋅ + ⋅ =

34 cos 3 cos .x x= ⋅ − ⋅ ■

7

Dokaz 426

Dokažite ako je τ perioda od f, tada je i n · τ perioda od f, .n N∈

Teorija

Skup prirodnih brojeva označavamo slovom N, a zapisujemo

{ }1, 2, 3, 4, 5, ... , 1, , 1, . ...N n n n= − +


( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

Funkcija f je periodična s periodom P (P ≠ 0), ako za svaki x vrijedi: Ako je funkcija f definirana u jednoj od točaka x, x + P, onda je definirana u obje te točke i vrijedi

( ) ( ) .f x P f x+ =

Broj P zove se perioda funkcije f. Najmanja pozitivna perioda funkcije f (ako postoji) zove se temeljna perioda funkcije f.

��

Za n = 1 tvrdnja je trivijalna.

( ) ( ).f x f xτ+ = periodičnost od f

Uzmimo da je n ≥ 2.

( ) ( ) ( )( ) [ ]periodičnost od1f x n f x n f x n fτ τ τ τ τ τ+ ⋅ = + ⋅ − + = + − ⋅ + = =

( )( ) ( ) ( ) ( )( )1 2 2f x n f x n f x n f x nτ τ τ τ τ τ τ τ= + − ⋅ = + ⋅ − = + ⋅ − ⋅ + = + − ⋅ + =

[ ] ( )( )periodičnost o .d 2f x nf τ= = + − ⋅

Nakon konačno mnogo ovakvih koraka dolazimo do

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )1 2 ... 2f x n f x n f x n f x f xτ τ τ τ τ τ+ ⋅ = + − ⋅ = + − ⋅ = = + ⋅ = + + =

( )( ) [ ] ( ) [ ] ( )periodičnost od periodično o .st df x ff x f xfτ τ τ= + + = = + = =

Dakle, n · τ je perioda od f. ■

8

Dokaz 427

Dokažite jednakost ( )

21 sin cos

2 .2cos

x xtg x

x

− −= ⋅

Teorija

Kvadrat razlike:

( ) ( )2 22 2 2 2

2 , .2a b a a b b a a b b a b− = − ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ + = −

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice

, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅



.,a a a a= =

Dijeljenje potencija jednakih eksponenata:

( ) ( ), , , .: : : :n nn n

a a a an nn n n na b a b a b a bn n

b bb b= = = =

Definicija tangensa pomoću sinusa i kosinusa: sin sin

cos co, .

s

x xtg x tg x

x x= =


( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

��

1.inačica

( ) ( )2 22 1 sin 2 sin cos cos 2 21 sin cos 1 sin 2 sin cos cos2 2 2cos cos cos

x x x xx x x x x x

x x x

− − ⋅ ⋅ +− − − + ⋅ ⋅ −= = =

2 2cos 2 sin cos cos 2 sin cos 2 sin cos2 2 2cos cos c

2 2co s

s

o

o

s cx x x x x x x x

x

x

x x

x+ ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = =

−=

2 sin 2 sin2 .

cosco

co

s

s2

x xtg x

xx

x⋅ ⋅ ⋅= = = ⋅ ■

2.inačica

( ) ( )2 2 2 22 cos sin sin 2 sin cos cos1 sin cos2 2cos cos

x x x x x xx x

x x

+ − − ⋅ ⋅ +− −= =

2 2 2 2cos sin sin 2 sin cos cos2cos

x x x x x x

x

+ − + ⋅ ⋅ −= =

2 sin cos 2 sin cos 2 sin2 2cos

2 2 2 2cos si

cos

n sin cos c

c s

os2o

x x x xx x x x x

x x x

x+ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = =

+ − −=

9

2 sin2 .

cos

xtg x

x

⋅= = ⋅ ■

10

Dokaz 428

Dokažite da je u svakom pravokutnom trokutu težišnica koja pripada hipotenuzi jednaka polovini

hipotenuze.

Teorija

Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine. Te dužine zovemo stranice trokuta. Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90º). Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete, a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta. Sukladnost trokuta Kažemo da su dva trokuta sukladna ako postoji pridruživanje vrhova jednog vrhovima drugog tako da su odgovarajući kutovi jednaki, a odgovarajuće stranice jednakih duljina.

, , , ,1 1 1 1 1 1, .a a b b c cα α β β γ γ= = = = = =

Prvi poučak sukladnosti (S – S – S) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u sve tri stranice. Drugi poučak sukladnosti (S – K – S) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u dvije stranice i kutu između njih. Treći poučak sukladnosti (K – S – K) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u jednoj stranici i oba kuta na toj stranici. Četvrti poučak sukladnosti (S – S – K) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici. Težišnica trokuta je dužina koja spaja vrh s polovištem nasuprotne stranice trokuta. Srednjice trokuta Dužine koje spajaju polovišta stranica trokuta zovu se srednjice trokuta. Svaki trokut ima tri srednjice. Svaka srednjica trokuta usporedna je sa suprotnom stranicom trokuta, a duljina joj je jednaka polovici duljine te stranice.

P S

A B

C

, .AP PC BS SC= =

��

P

S

P

SA B BA

C C

Neka je ABC pravokutan trokut. Točka S je polovište njegove hipotenuze, tj.

.AS SB=

Konstruiramo okomicu iz S na BC. Promatrajmo pravokutne trokute ∆SBP i ∆SPC. Oni su sukladni.

Naime, dužina SP je zajednička stranica trokuta ∆SBP i ∆SPC, a srednjica trokuta ABC. Zato je P

polovište katete .BC

11

.BP PC=

Uz to su oba trokuta pravokutna. Iz te sukladnosti slijedi

.SB SC SA= = ■

12

Dokaz 429

Dokažite da je zbroj kutova u svakom mnogokutu s n + 2 stranice jednak n ·180º.

Teorija

Mnogokut, poligon ili n – terokut je dio ravnine omeđen dužinama. Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine. Te dužine zovemo stranice trokuta. Zbroj svih kutova u trokutu je 180º.

1 0 .8α β γ+ + =�


( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

Matematička indukcija Dokaz matematičkom indukcijom provodi se u tri koraka: ♥ Baza indukcije

Trebamo provjeriti da tvrdnja vrijedi za broj 1, tj. da je T(1) istinita tvrdnja.

♥ Pretpostavka indukcije

Pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za broj n, tj. pretpostavimo da je T(n) istinita tvrdnja.

♥ Korak indukcije

Dokažimo da uz tu pretpostavku tvrdnja vrijedi i za broj n + 1, tj. iz T(n) slijedi tvrdnja

T(n + 1). Tad je tvrdnja T(n) istinita za svaki prirodni broj n.

��

Dokazujemo indukcijom. Baza indukcije. Za n = 1 riječ je o trokutu čiji je zbroj kutova 180º. Pretpostavka indukcije. Pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za prirodni broj n, tj. da zbroj kutova u mnogokutu s n + 2 stranice iznosi n ·180º.

A1

A2

A3

A4

An+1

An+2

An+3

Korak indukcije. Promotrimo mnogokut s jednom stranicom više, dakle s n + 3 stranice. Odsijecanjem bilo kojeg trokuta dobivamo jedan trokut čiji je zbroj kutova 180º i jedan mnogokut s n + 2 stranice čiji je zbroj kutova, po pretpostavci indukcije, jednak n ·180º. Zato je zbroj kutova u mnogokutu s n + 3 stranice jednak

( )180 180 1 180 .n n⋅ + = + ⋅� � � ■

13

Dokaz 430

Ako su ia b→ →

kolinearni vektori, ib c→ →

kolinearni, tada su ia c→ →

kolinearni vektori. Dokažite!

Teorija

Svojstvo množenja vektora i realnog broja

Za svaka dva realna broja k i l te za svaki vektor a→

vrijedi:

( ) .k l a k l a→ →

⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

Ako su pravci nositelji vektora ia b→ →

usporedni kažemo da su vektori ia b→ →

istog smjera ili da su

kolinearni vektori.

Vektori ia b→ →

kolinearni su ako postoji realan broj µ tako da je

.b aµ→ →

= ⋅

��

Ako su ia b→ →

kolinearni, onda postoji λ takav da je

.b aλ→ →

= ⋅

Ako su ib c→ →

kolinearni, onda postoji µ takav da je

.c bµ→ →

= ⋅

Tada je

( )c b c a c aµ µ λ µ λ→ → → → → →

= ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅

pa su ia c→ →

kolinearni. ■

14

Dokaz 431

Dokažite da ima beskonačno puno prostih brojeva oblika 4 · n + 3.

Teorija

Skup prirodnih brojeva označavamo slovom N, a zapisujemo

{ }1, 2, 3, 4, 5, ... , 1, , 1, . ...N n n n= − +

Za prirodan broj a kažemo da je djeljiv s prirodnim brojem b ako postoji prirodan broj q tako da vrijedi

.a q b= ⋅

Prosti brojevi (prim – brojevi) su prirodni brojevi djeljivi bez ostatka samo s brojem 1 i sami sa sobom, a veći od broja 1. Prirodni brojevi koji su veći od broja 1, a nisu prosti brojevi nazivaju se složenim brojevima. Složen broj je prirodan broj veći od jedan koji je djeljiv brojem 1, samim sobom i barem još jednim brojem. Svaki se složeni broj može rastaviti na proste faktore.

Broj 1 nije ni prost, ni složen broj.

��

Vrijedi:

( )4 3 4 5 7 11 ... 3n p⋅ + = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ,

p je prost broj. ■

15

Dokaz 432

Polinom f(x) je četvrtog stupnja takav da je f(1) = f(– 1) te f(2) = f(– 2). Dokažite da je f(x) = f(– x)

za svaki .x R∈

Teorija

Polinom stupnja n je funkcija f : R → R definirana s

( ) 1 2 2,...1 2 2 1

n n nf x a x a x a x a x a x an n n

− −= ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ + ⋅ +

− − �

gdje su a0, a1, a2, … , an realni brojevi, an ≠ 0. Brojeve a0, a1, a2, … , an nazivamo koeficijentima polinoma. Koeficijent an nazivamo vodećim koeficijentom, koeficijent a0 slobodnim koeficijentom. Gornji zapis nazivamo kanonskim (standardnim) oblikom polinoma jedne varijable.

��

Neka je f(x) polinom četvrtog stupnja.

( ) 4 3 2 .4 3 2 1f x a x a x a x a x a= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + �

Iz uvjeta slijedi: ♥ ( ) ( )1 1f f= − ⇒

( ) ( ) ( ) ( )4 3 24 3 21 1 1 1 1 1 1 14 3 2 1 4 3 2 1a a a a a a a a a a⇒ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + = ⋅ − + ⋅ − + ⋅ − + ⋅ − + ⇒� �

4 3 2 1 4 3 2 1a a a a a a a a a a⇒ + + + + = − + − + ⇒� �

03 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 14 2 4 2a a a a a aa a a a a a a a a a a a⇒ + + = − − ⇒ + = − −+ ⇒ + + ++ + + = ⇒� �

2 2 0 2 2 0 0.3 1 3 1 3 1/: 2a a a a a a⇒ ⋅ + ⋅ = ⇒ ⋅ + ⋅ = ⇒ + =

♥ ( ) ( )2 2f f= − ⇒

( ) ( ) ( ) ( )4 3 24 3 22 2 2 2 2 2 2 24 3 2 1 4 3 2 1a a a a a a a a a a⇒ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + = ⋅ − + ⋅ − + ⋅ − + ⋅ − + ⇒� �

16 8 4 2 16 8 4 24 3 2 1 4 3 2 1a a a a a a a a a a⇒ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + = ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⇒� �

16 4 16 44 2 4 28 2 8 23 1 3 1a a a aa a aa a a⇒ + ⋅ + ⋅ =⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅− ⋅ − ⋅ + ⇒� �

8 2 8 2 8 2 8 2 03 1 3 1 3 1 3 1a a a a a a a a⇒ ⋅ + ⋅ = − ⋅ − ⋅ ⇒ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⇒

16 4 0 16 4 0 4 0.3 1 3 1 /: 4 3 1a a a a a a⇒ ⋅ + ⋅ = ⇒ ⋅ + ⋅ = ⇒ ⋅ + =

Rješenje sustava jednadžba glasi: 03 1 0.3 14 03 1

a aa a

a a

+ = ⇒ = =

⋅ + =

Polinom četvrtog stupnja ima oblik

( ) 4 2 .4 2f x a x a x a= ⋅ + ⋅ + �

Tada za svaki x vrijedi:

( )

( ) ( ) ( )

( )

( )( ) ( )

4 2 4 24 2 4 2 .

4 2 4 24 24 2

f x a x a x a f x a x a x af x f x

f x a x a x af x a x a x a

= ⋅ + ⋅ + = ⋅ + ⋅ + ⇒ ⇒ = −

− = ⋅ + ⋅ +− = ⋅ − + ⋅ − +

� �

��

■

16

Dokaz 433

Dokažite jednakost ( ) ( )1 1

sin cos .sin cos

tg ctgα α α αα α

+ ⋅ + = +

Teorija

Definicija tangensa pomoću sinusa i kosinusa: sin sin

cos co, .

s

x xtg x tg x

x x= =

Definicija kotangensa pomoću kosinusa i sinusa: cos cos

si i.

n s n,

x xctg x ctg x

x x= =


.,a a a a= =


, .n m n m n m n m

a a a a a a+ +

⋅ = = ⋅

Svaki cijeli broj je racionalan broj:

1, .

1

n nn n= =

Zbrajanje razlomaka:

.a c a d b c

b d b d

⋅ + ⋅+ =

⋅


Zbrajanje razlomaka jednakih nazivnika:

, .a b a b a b a b

n n n n n n

+ += + + =

Množenje razlomaka:

.a c a c

b d b d

⋅=

⋅⋅


, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅

��

( ) ( ) ( )sin cos

sin cos sin coscos sin

tg ctgα α

α α α α α αα α

+ ⋅ + = + ⋅ + =

( ) ( )2 2sin cos 1 sin cos 1

sin cos sin coscos sin cos sin 1 cos sin

α α α αα α α α

α α α α α α

+ += + ⋅ = + ⋅ = ⋅ =

⋅ ⋅ ⋅

sin cos sin cos 1 1

cos sin cos sin cos si

sin cos

sinn cos sin cosos sinc

α α α α

α α α α

α α

α αα α α α α α

+= = + = + = + =

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

1 1.

sin cosα α= + ■

17

Dokaz 434

Dokažite jednakost 1 1 1 1

... .log log log log2 3 !x x x xn n

+ + + =

Teorija

Logaritam broja a po bazi b je broj c kojim treba potencirati bazu b da se dobije broj a. Mnemotehničko pravilo za pamćenje osnovne veze eksponencijalne i logaritamske funkcije:

llog ogb

c ca c a b a b

b=

→= =

Svojstva:

( ) ( )log log log l, og log lo .gx y x y x y x yb b b b b b

+ = ⋅ ⋅ = +

1log

l.

oga

b ba=

Umnožak prvih n prirodnih brojeva označavamo posebnim simbolom

( ) ( )! 1 2 3 4 ... 2 1 .n n n n= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅

Broj n! čitamo ''en faktorijela''. Tako na primjer, vrijedi 1 ! = 1,

2 ! = 1 · 2, 3 ! = 1 · 2 · 3,

4 ! = 1 · 2 · 3 · 4, 5 ! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5,

6 ! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 itd.

��

( )1 1 1

... log 2 log 3 ... log log 2 3 ...log log log2 3

n nx x x xx x xn

+ + + = + + + = ⋅ ⋅ ⋅ =

( )1

log 1 2 3 ... log ! .log !

n nx xx

n

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = = ■

18

Dokaz 435

Dokažite da su nule kvadratne funkcije f(x) = x2 + p · x + q racionalni brojevi ako je

1, gdje su , .p m q m n Q

m= ⋅ + ∈

Teorija

Broj oblika , ,a

a Z b Nb

∈ ∈ zove se racionalan broj.

Skup racionalnih brojeva označavamo slovom Q. Kvadrat zbroja:

( ) ( )2 22 2 2 2

2 , .2a b a a b b a a b b a b+ = + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ + = +

Kvadrat razlike:

( ) ( )2 22 2 2 2

2 , .2a b a a b b a a b b a b− = − ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ + = −

Diskriminanta kvadratne jednadžbe 2

0a x b x c⋅ + ⋅ + = je broj

2 4 .D b a c= − ⋅ ⋅ Ako je D > 0, jednadžba ima dva realna rješenja. Ako je D = 0, jednadžba ima jedno dvostruko realno rješenje. Ako je D < 0, jednadžba ima kompleksno – konjugirana rješenja. Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice

, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅

��

Dovoljno je pokazati da je uz dani uvjet diskriminanta D funkcije f potpuni kvadrat. Imamo

( ) ( )1 ,

2 42

2

,D b a c

f x x p x qf x x p x q

a b p c q

= + ⋅ + = + ⋅ + ⇒ ⇒ ⇒ = == − ⋅ ⋅

=

uvjet

1

212 24 1 4 4

p m qm

D p q D p q D m q qm

⇒ = − ⋅ ⋅ ⇒ = − ⋅ ⇒ ⇒ = ⋅ + − ⋅ ⇒

= ⋅ +

( ) ( )2 2

1 1 1 12 22 4 2 4D m q m q q D m q q q

m mm

m m

⇒ = ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + − ⋅ ⇒ = ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + − ⋅ ⇒

( ) ( )2 2 2

1 1 12 22 4 2 .D m q q q D m q q D m q

m m m

⇒ = ⋅ + ⋅ + − ⋅ ⇒ = ⋅ − ⋅ + ⇒ = ⋅ −

■

19

Dokaz 436

Dokažite 12 1 .

2 1x x

x x

− − =

+ −

Teorija


1, .

1

n nn n= =

Proširiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka pomnožiti istim brojem različitim od nule i jedinice

, 0 ., 1a a n

n nb b n

⋅= ≠ ≠

⋅


.a c a c

b d b d

⋅⋅ =

⋅

Razlika kvadrata:

( ) ( ) ( ) ( ),2

.2 2 2

a b a b a b a b a b a b− = − ⋅ + − ⋅ + = −

Drugi korijen pozitivnog broja a je pozitivni broj koji pomnožen sam sa sobom daje broj a. Vrijedi:

( ) ( )2 2

, .a a a a= =


( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

��

2 21 12 2 21 1 12 11 1 2 21 1

x x x xx x x x x x

x x

x x x x

− − ⋅ + − − − − − + − − − = = ⋅ = =

+ − + −

( )2

2 22 2 2 21 2 21 1 1 1

.2 2 2 2 21 1 1 1 1

x x x xx x

x

x x

x x x x x x x x x

−

− − − − − + + = = = = =

+ − + − + − + − + −

■

20

Dokaz 437

Dokažite 12 1 .

2 1x x

x x

+ − =

− −

Teorija


1, .

1

n nn n= =


, 0 ., 1a a n

n nb b n

⋅= ≠ ≠

⋅


.a c a c

b d b d

⋅⋅ =

⋅

Razlika kvadrata:

( ) ( ) ( ) ( ),2

.2 2 2

a b a b a b a b a b a b− = − ⋅ + − ⋅ + = −


( ) ( )2 2

, .a a a a= =


( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

��

2 21 12 2 21 1 12 11 1 2 21 1

x x x xx x x x x x

x x

x x x x

+ − ⋅ − − + − + − − − + − = = ⋅ = =

− − − −

( )2

2 22 2 2 21 2 21 1 1 1

.2 2 2 2 21 1 1 1 1

x x x xx x

x

x x

x x x x x x x x x

−

− − − − − + + = = = = =

− − − − − − − − − −

■

21

Dokaz 438

Dokažite 1

.2

ii

+=

Teorija


( ) ( )2 2

, .a a a a= =


, .n nn n

a a a an n

b bb b= =

Kvadrat zbroja:

( ) ( )2 22 2 2 2

2 , .2a b a a b b a a b b a b+ = + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ + = +

Kvadrat imaginarne jedinice: 2 21 , 1 .i i= − − =


, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅

��

( ) ( )

( )

2 2 22 11 1 1 1 22 22

2/2 2 2

ii i i i ii i i i i

++ + + + ⋅ += ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒

1 11 2 1 2 2.

2 2

2

22

i i i ii i i i i i

+ ⋅ − + ⋅ ⋅ ⋅⇒ = ⇒ = ⇒

−= ⇒ = ⇒ = ■

22

Dokaz 439

Dokažite 1

.2

ii

+= −

Teorija

Potencija sa negativnom bazom i parnim eksponentom:

( ) .2 2n n

a a⋅ ⋅

− =


( ) ( )2 2

, .a a a a= =


, .n nn n

a a a an n

b bb b= =

Kvadrat zbroja:

( ) ( )2 22 2 2 2

2 , .2a b a a b b a a b b a b+ = + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ + = +



, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅

��

( ) ( ) ( )

( )

2 2 22/

2 2 11 1 1 122 2 2 2 2

ii i i ii i i i i

++ + + += − ⇒ = − ⇒ = − ⇒ = ⇒ = ⇒

121 2 1 2 1 2 2.

2 2 2 2

1 2

2

i i i i i ii i i i i i i

+ ⋅ + + ⋅ − + ⋅ ⋅ ⋅⇒ = ⇒ = ⇒ =

−⇒ = ⇒ = ⇒ = ■

23

Dokaz 440

Dokažite kompleksan broj z za koji je 1z = ima svojstvo 1

.zz

=

Teorija

Kompleksan broj je broj oblika ,z x y i= + ⋅

gdje su x i y realni brojevi, a i imaginarna jedinica. Broj x zove se realni dio kompleksnog broja z, a broj y imaginarni dio kompleksnog broja z. Pišemo:

I .Re m,x z y z= =

Standardni ili algebarski oblik kompleksnog broja je oblika ,z x y i= + ⋅

gdje su x i y realni brojevi. Za kompleksne brojeve x + y · i i x – y · i kažemo da su kompleksno konjugirani jedan drugome. Simbol konjugiranja jest povlaka iznad broja koji se konjugira:

.z x y i z x y i= + ⋅ ⇒ = − ⋅

Modul ili apsolutna vrijednost kompleksnog broja z = x + y · i definira se formulom

2 2.z x y= +

Umnožak dvaju konjugirano kompleksnih brojeva realan je broj i nenegativan broj:

( ) ( ) .2 2

x y i x y i x y+ ⋅ ⋅ − ⋅ = +


( ) ( )2 2

, .a a a a= =


, 0 ., 1a a n

n nb b n

⋅= ≠ ≠

⋅


.a c a c

b d b d

⋅⋅ =

⋅


1, .

1

n nn n= =

��

Pretpostavimo .z x y i= + ⋅ Iz │z│= 1 slijedi:

22 2 2 2 2 22/ 2 2 21 1 1 1 1.z x y x y x y x y

= ⇒ + = ⇒ + = ⇒ + = ⇒ + =

Sada je

( ) ( )

uvje1 1 1 t

2 2 12 2x y i x y i x y i

z x y i x y i x y i x y i x y i x y x y

− ⋅ − ⋅ − ⋅= = ⋅ = = = =

+ ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ + + =

.1

x y ix y i z

− ⋅= = − ⋅ = ■

24

Dokaz 441

Dokažite jednadžba

2 21

a a

x b x c+ =

− −, b ≠ c ima rješenja u skupu R za svako , , , 0.a b c R a∈ ≠

Teorija


( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

Množenje zagrada:

( ) ( ) .a b c d a c a d b c b d+ ⋅ + = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅


( ) .2 2n n

a a⋅ ⋅

− =

Kvadrat razlike:

( ) ( )2 22 2 2 2

2 , .2a b a a b b a a b b a b− = − ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ + = −


, .a a a a= =


, .n m n m n m n m

a a a a a a+ +

⋅ = = ⋅

Množenje potencija jednakih eksponenata:

( ) ( ), .n nn n n n

a b a b a b a b⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅

Diskriminanta kvadratne jednadžbe 2

0a x b x c⋅ + ⋅ + = je broj

2 4 .D b a c= − ⋅ ⋅ Ako je D > 0, jednadžba ima dva realna rješenja. Ako je D = 0, jednadžba ima jedno dvostruko realno rješenje. Ako je D < 0, jednadžba ima kompleksno – konjugirana rješenja. Kvadrat trinoma:

( ) .2 2 2 2 2 2 2a b c a b c a b a c b c+ + = + + + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

( )2

2 .2 2 2 2 2a b c a b a c b c a b c+ + + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = + +

��

( ) ( )2 2

1 /2 2

1a a a a

x b x c x bx b x c

x c+ = ⇒ + = ⇒

−⋅ − ⋅

−−

− −

( ) ( ) ( ) ( )2 2a x c a x b x b x c⇒ ⋅ − + ⋅ − = − ⋅ − ⇒

2 2 2 2 2a x a c a x a b x x c x b b c⇒ ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ = − ⋅ − ⋅ + ⋅ ⇒

2 2 2 2 2x x c x b b c a x a c a x a b⇒ − ⋅ − ⋅ + ⋅ = ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ ⇒

2 2 2 2 2 0x x c x b b c a x a c a x a b⇒ − ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ = ⇒

2 2 2 22 0x x c x b b c a x a c a b⇒ − ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⇒

25

( )2 2 2 22 0x c b a x b c a c a b⇒ − + + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⇒

( )2 2 2 22 0x a b c x a b a c b c⇒ − ⋅ + + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⇒

( )( )

2 2 2 22 0

22 4

2 21 , 2 ,

x a b c x a b a c b c

a b a b c c a b a c

D b a

b c

c

− ⋅ + + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⇒ ⇒ ⇒ = = − ⋅ + + = ⋅ + ⋅ +

= − ⋅ ⋅

⋅

( ) ( )2

2 2 22 4 1D a b c a b a c b c ⇒ = − ⋅ + + − ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⇒

( ) ( )22 2 22 4D a b c a b a c b c⇒ = ⋅ + + − ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⇒

( )22 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 4 4 4D a b c a b a c b c a b a c b c⇒ = ⋅ + + + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⇒

4 2 2 2 2 2 24 4 4 2 4 4 4D a b c a b a c b c a b a c b c⇒ = ⋅ + + + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⇒

24 2 24 2 42 2 24 4 4 4a b a c aD a b ab c ccb c b⇒ = ⋅ + + ++ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⇒

4 2 2 4 2 24 2 4 4 2D a b c b c b c D a b c b c⇒ = ⋅ + + + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ + + − ⋅ ⋅ ⇒

( )22 2 4 42 4 .04D b b c c a D b c a⇒ = − ⋅ ⋅ + ⋅ = − + ⋅ >+ ⇒ ■

26

Dokaz 442

Dokažite da su korijeni kvadratnih jednadžba 2 20 i 0a x b x c c x b x a⋅ + ⋅ + = ⋅ + ⋅ + = međusobno

recipročni za sve , , 0, 0.a b i c R a c∈ ≠ ≠

Teorija

Rješenja x1 i x2 kvadratne jednadžbe 2

0a x b x c⋅ + ⋅ + = zadovoljavaju Vièteove formule:

, 2 .1 2 1b c

x x x xa a

+ = − ⋅ =

Dva su broja recipročna ako im je umnožak jednak jedan. Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice

, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅

��

Neka su x1 i x2 rješenja kvadratne jednadžbe 2

0.a x b x c⋅ + ⋅ + = Tada je

.1 2c

x xa

⋅ =

Neka su y1 i y2 rješenja kvadratne jednadžbe 2

0.c y b y a⋅ + ⋅ + = Tada je

.1 2a

y yc

⋅ =

Množenjem rješenja dobije se:

11 21 .1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 12 1

x yc ax x y y x x y y x x y y

x ya c

c a

a c

⋅ =⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ ⋅ = ⇒

⋅ =

■

27

Dokaz 443

Dokažite da vrijedi ( )log log log .x y x ya a a⋅ = +

Teorija

Logaritam broja a po bazi b je broj c kojim treba potencirati bazu b da se dobije broj a. Mnemotehničko pravilo za pamćenje osnovne veze eksponencijalne i logaritamske funkcije:

llog ogb

c ca c a b a b

b=

→= =

Svojstva: log

log 1 log l .og, ,xn a

b a n a a xb b b

= = ⋅ =


, .n m n m n m n m

a a a a a a+ +

⋅ = = ⋅

Injektivnost eksponencijalne funkcije: ( ) ( ) ( ) ( ).

f x g xa a f x g x= ⇒ =

��

1.inačica Napišimo x i y u obliku potencija

, .u vx a y a= =

Tada je

log.

log

u u xx a a

v v yy a a

= = ⇒

==

Pomnožimo međusobno x i y.

logaritmiramo/ log

jednadžbuu v u v u v

x y a a x y x y a aa + +

⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⇒ ⇒ ⋅ = ⇒

( ) ( ) ( ) ( ) ( )log log log log log 1u vx y a x y u v a x y u va a a a a

+⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = + ⋅ ⇒ ⋅ = + ⋅ ⇒

( ) ( )log log log log .x y u v x y x ya a a a⇒ ⋅ = + ⇒ ⋅ = + ■

2.inačica

Neka su , , , 1.a x y R a+

∈ ≠ Tada je po definiciji

( )log log log, , .

x y x ya a ax a y a x y a

⋅= = ⋅ =

Tada je

( ) ( )

( )log log log log

log log log

log log

x y x ya a a a x y x yx y a a x y a a a aa a

x y x ya ax y a x y a

+ + ⋅⋅ = ⋅ ⋅ =

⇒ ⇒ = ⇒ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ =

( ) ( )log log log log log log .x y x y x y x ya a a a a a⇒ + = ⋅ ⇒ ⋅ = + ■

28

Dokaz 444

Broj 1

1

zw

z

−=

+ realan je broj ako i samo ako je z realan broj i z ≠ – 1. Dokažite to!

Teorija



I .Re m,x z y z= =

Za kompleksne brojeve x + y · i i x – y · i kažemo da su kompleksno konjugirani jedan drugome. Simbol konjugiranja jest povlaka iznad broja koji se konjugira:

.z x y i z x y i= + ⋅ ⇒ = − ⋅


, 0 ., 1a a n

n nb b n

⋅= ≠ ≠

⋅


( ) ( ) .2 2

x y i x y i x y+ ⋅ ⋅ − ⋅ = +



, .a a a a= =


.a c a c

b d b d

⋅⋅ =

⋅


, .n m n m n m n m

a a a a a a+ +

⋅ = = ⋅


, .a b a b a b a b

n n n n n n

+ += + + =

Razlomak je jednak nuli ako je brojnik nula.

0 , 0 0.a

a nn

= ≠ ⇒ =

��

Neka je z = x + y · i. Tada je 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

z x y i x y i x y i x y iw w w w

z x y i x y i x y i x y i

− + ⋅ − − + ⋅ − + ⋅ + − ⋅= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⋅ ⇒

+ + ⋅ + + + ⋅ + + ⋅ + − ⋅

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

( )2 2

1 1 1 1

1 1 1

x y i x y i x y i x y iw w

x y i x y i x y

− + ⋅ ⋅ + − ⋅ − + ⋅ ⋅ + − ⋅⇒ = ⇒ = ⇒

+ + ⋅ ⋅ + − ⋅ + +

( )

( )

22 12 21

x x x y i x y i x y i y i y iw

x y

+ − ⋅ ⋅ − − + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅⇒ = ⇒

+ +

29

( )

2 2 212 21

x x x y i x y i x y i y i y iw

x y

+ − ⋅ ⋅ − − + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅⇒ = ⇒

+ +

( )

2 212 21

x x x y i x y i x y i y i yw

x y

+ − ⋅ ⋅ − − + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ +⇒ = ⇒

+ +

( ) ( )

2 2 2 21 12 22 21 1

x y i y i y x y i y i yw w

x

x x y i x x y

y

i

y x

+ − ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅− + ⋅ + ⋅ + − + ⋅ + ⋅ +⇒ = ⇒ = ⇒

+ + + +

( ) ( ) ( )

2 2 2 21 2 1 22 2 22 2 21 1 1

x y y i x y y iw w

x y x y x y

+ − + ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅⇒ = ⇒ = + ⇒

+ + + + + +

( ) ( )

2 2 1 2.

2 22 21 1

x y yw i

x y x y

+ − ⋅⇒ = + ⋅

+ + + +

Broj w je očito realan ako i samo ako je y = 0 odnosno z realan broj. ■

30

Dokaz 445

Dokažite za sve pozitivne i realne brojeve a i b vrijedi jednakost 1.a i b

a i b

+ ⋅=

− ⋅

Teorija



I .Re m,x z y z= =

Za kompleksne brojeve x + y · i i x – y · i kažemo da su kompleksno konjugirani jedan drugome. Simbol konjugiranja jest povlaka iznad broja koji se konjugira:

.z x y i z x y i= + ⋅ ⇒ = − ⋅

Modul ili apsolutna vrijednost kompleksnog broja z = x + y · i definira se formulom

2 2.z x y= +

Svojstvo modula:

, .,zz nn

z z n Nw w

= = ∈


, 0 ., 1a a n

n nb b n

⋅= ≠ ≠

⋅


, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅


( ) ( ) .2 2

x y i x y i x y+ ⋅ ⋅ − ⋅ = +



, .a a a a= =


.a c a c

b d b d

⋅⋅ =

⋅


, .n m n m n m n m

a a a a a a+ +

⋅ = = ⋅


, .a b a b a b a b

n n n n n n

+ += + + =


( ) .2 2n n

a a⋅ ⋅

− =

Kvadrat zbroja:

31

( ) ( )2 22 2 2 2

2 , .2a b a a b b a a b b a b+ = + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ + = +

Kvadrat razlike:

( ) ( )2 22 2 2 2

2 , .2a b a a b b a a b b a b− = − ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ + = −

Množenje potencija jednakih eksponenata:

( ) ( ), .n nn n n n

a b a b a b a b⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅


( ) ( ), , , .: : : :n nn n


b bb b= = = =


( ) ( )2 2

, .a a a a= =

Množenje drugih korijena:

, , 0, .a b a b a b a b a b⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ≥

Za realni broj x njegova je apsolutna vrijednost (modul) broj │x│ koji određujemo na ovaj način:

, .

, 0

0

x xx

x x

≥=

− <

Ako je broj x pozitivan ili nula, tada je on jednak svojoj apsolutnoj vrijednosti. Za svaki x, x ≥ 0, vrijedi │x│= x. Ako je x negativan broj, njegova apsolutna vrijednost je suprotan broj – x koji je pozitivan. Za svaki x, x < 0, je │x│= – x.

��

1.inačica

( ) ( )

( ) ( )

2 2

1.2 2

a ba i ba i b a b

a i b a ba i ba b

a b

a b

++ ⋅+ ⋅ += = = = =

− ⋅ +− ⋅+

+

+−

■

2.inačica

( ) ( )( ) ( )

a i b a i ba i b a i b a i b

a i b a i b a i b a i b a i b

+ ⋅ ⋅ + ⋅+ ⋅ + ⋅ + ⋅= ⋅ = =

− ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅

( )

( ) ( )

( ) ( )2 2 2

2

2 2

a i b a a i b i b

a ba b

+ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅= = =

++

( )222 2 2a i a b i b a i a b b a b i a b

a b a b a b

+ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ − − + ⋅ ⋅ ⋅= = = =

+ + +

222 2 2i a b a b a ba b a b a bi

a b a b a b a b a b a b

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅− − − = + = + ⋅ = + = + + + + + +

32

( )

( )

( )( )

( ) ( )( )

( )( )

2 2 22 2 2 22 2 2 2 2

2 2 2 2

a b a b a b a a b b a ba b

a b a b a b a b

⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅−= + = = =

+ + + +

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

22 2 2 22 4 21 1.

2

2

22 2a ba a b b a b a a b b

a b a b

a b

ba b a

+− ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ += = = = = =

+ + +

+

+ ■

3.inačica

( ) ( )( ) ( )

a i b a i ba i b a i b a i b

a i b a i b a i b a i b a i b

+ ⋅ ⋅ + ⋅+ ⋅ + ⋅ + ⋅= ⋅ = =

− ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

22 222 22

2 2 2 2

a ba i ba i b a ba i b

a b a b a ba b a b

+ + ⋅ + ⋅ ++ ⋅ = = = = = =

+ + ++ +

1.a ba b

ab ba

+

+

+= = =

+ ■

33

Dokaz 446

Dokažite

2 22 2.

2 2 2

a b a b a b+ + − = +

Teorija


, 0 ., 1a a n

n nb b n

⋅= ≠ ≠

⋅


( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +


, .a b a b a b a b

n n n n n n

+ += + + =


.a c a c

b d b d

⋅⋅ =

⋅

Kvadrat zbroja:

( ) ( )2 22 2 2 2

2 , .2a b a a b b a a b b a b+ = + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ + = +

Kvadrat razlike:

( ) ( )2 22 2 2 2

2 , .2a b a a b b a a b b a b− = − ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ + = −


( ) ( ), , , .: : : :n nn n


b bb b= = = =


, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅

��

1.inačica

( )2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 222 2 2 2 2

2 2 2 4 4 4

a ba b a b a b a a b b a a b b

⋅ ++ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + + − ⋅ ⋅ +

= ⋅ = = = =

( ) ( )2 2 2 22 2 2 22 2

.2 24 4 2 22 2

a b a ba a b b a a b b a b a b+ −+ ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ + + − = + = + = +

■

2.inačica

( ) ( )2 22 2 2 2 2 22 2

2 22 2 4 42 2

a b a ba b a b a a b b a a b b+ −+ − + ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ + + = + = + =

22 2 2 2 2 2 2 22 2 2

4 4

a a b b a a b b a ba b a ba b+ ⋅ ⋅ + + − ⋅ ⋅ + + + += =

+ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅=

34

( ) ( )2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 22 2

4

2 2.

4 4 4 2

a b a ba b a b a b a b

⋅ + ⋅ ++ + + ⋅ + ⋅ +

= = = = = ■

35

Dokaz 447

Ako je x = a + 2 ili x = a – 2, tada vrijedi ( ) 22 4.x x a a⋅ − ⋅ + = Dokažite!

Teorija

Razlika kvadrata:

( ) ( ) ( ) ( ),2

.2 2 2

a b a b a b a b a b a b− = − ⋅ + − ⋅ + = −

Svojstvo zamjene (komutativnosti): , za sve , .a b b a a b R+ = + ∈

Zbroj se ne mijenja ako pribrojnici zamijene svoja mjesta. Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.

( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

��

( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( )2 22 22 2 2 2 2 2x x a a a a a a ax a a a⋅ − ⋅ + = = + ⋅ + − ⋅ + = + ⋅ − += + =

( ) ( ) 2 22 2 2 22 2 2 4 4.a a a a a aa= + ⋅ − + + − += − = =

Ili,

( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( )22 2 22 2 2 2 2 2x x a a a a a a a a ax a⋅ − ⋅ + = = − ⋅ − − ⋅ + = − ⋅ − − += − =

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 22 2 2 2 2 2a a a a a a a a a= − ⋅ − + + = − ⋅ + + = − ⋅ + + =

2 2 22 4 2 4.2a aa a= − +− + = = ■

36

Dokaz 448

Dokaži ako je zbroj nekoliko brojeva jednak 1, zbroj kvadrata tih brojeva može biti manji od 0.01.

Teorija


.,a a a a= =

Dijeljenje potencija jednakih baza:

.:n m n m

a a a−

=


( ) ( ), , , .: : : :n nn n


b bb b= = = =


, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅

��

Imamo li n brojeva koji su svi jednaki i kojima je zbroj jednak 1, svaki od njih jednak je 1

.n

1... 1 1 1 .

1/

n brojevan

x x x x n x n x xn

+ + + + = ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒⋅ =��

Zbroj njihovih kvadrata iznosi: 2

1 1 1 112

n broje

2 2 2 2 2... .

va2

x x x x n x n nn nn n

x nn

+ + + + = ⋅ = = ⋅ = ⋅ = ⋅ =

= ��

Broj se može očigledno učiniti po volji malenim. Već za n > 100 on je manji od 0.01. 1 1

0.01.100n

= = ■

37

Dokaz 449

Dokažite identitet

( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 .a b c d a b c d a b a c a d b c b d c d+ + + = + + + + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

Teorija


.,a a a a= =


, .n m n m n m n m

a a a a a a+ +

⋅ = = ⋅

Množenje zagrada

( ) ( ) .a b c d a c a d b c b d+ ⋅ + = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

Svojstvo udruživanja (asocijativnosti):

( ) ( ) , za s , .ve ,a b c a b c a b c R+ + = + + ∈

Zbroj se ne mijenja ako pribrojnike udružimo na bilo koji način. Kvadrat zbroja:

( ) ( )2 22 2 2 2

2 , .2a b a a b b a a b b a b+ = + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ + = +

��

1.inačica

( ) ( ) ( )2

a b c d a b c d a b c d+ + + = + + + ⋅ + + + =

2 2 2 2a a b a c a d a b b b c b d a c b c c c d a d b d c d d= + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + =

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 .a b c d a b a c a d b c b d c d= + + + + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ 2.inačica

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 2 2

2a b c d a b c d a b a b c d c d+ + + = + + + = + + ⋅ + ⋅ + + + =

( )2 2 2 22 2 2a a b b a c a d b c b d c c d d= + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ ⋅ + =

2 2 2 22 2 2 2 2 2a a b b a c a d b c b d c c d d= + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ + = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 .a b c d a b a c a d b c b d c d= + + + + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ■

38

Dokaz 450

Dokažite da je broj 2 3+ iracionalan.

Teorija

Broj oblika , ,a

a Z b Nb

∈ ∈ zove se racionalan broj.

Iracionalni brojevi su oni brojevi koje ne možemo zapisati u obliku razlomaka.

2 je iracionalan broj.

Skup racionalnih brojeva označavamo slovom Q.

Iracionalni brojevi su: 2, 3, 5, 6, ...

Kvadrat zbroja:

( ) ( )2 22 2 2 2

2 , .2a b a a b b a a b b a b+ = + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ + = +

Množenje drugih korijena:

, , 0, .a b a b a b a b a b⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ≥


( ) ( )2 2

, .a a a a= =

��

1.inačica

Pretpostavimo da je 2 3 r+ = racionalan broj. Nakon kvadriranja dobit ćemo

( )kvadriramo 2/jednakost

2 22 3 2 3 2 3r r r

+ = ⇒ ⇒ + = ⇒ + = ⇒

( ) ( )2 2 2 2 22 2 2 3 3 2 2 2 3 3 5 2 6r r r⇒ + ⋅ ⋅ + = ⇒ + ⋅ ⋅ + = ⇒ + ⋅ = ⇒

2 52 22 6 5 2 6 51

/2

6 .2

rr r

−⇒ ⋅ = − ⇒ ⋅ = − ⇒ =⋅

Na lijevoj strani jednakosti nalazi se iracionalni broj 6 , a na desnoj racionalni broj 2 5

.2

r −

Jednakost nije moguća! Dakle, pretpostavka je bila pogrešna, 2 3+ je iracionalan. ■

2.inačica

Pretpostavimo da je 2 3 r+ = racionalan broj. Sada slijedi:

( ) ( )kvadriramo 2/jednak

2 22

os3 2 3 2 3 2 3

tr r r r

+ = ⇒ = − ⇒ ⇒ = − ⇒ = − ⇒

( )22 2 22 2 3 3 2 2 3 3 2 3 3 2r r r r r r⇒ = − ⋅ ⋅ + ⇒ = − ⋅ ⋅ + ⇒ ⋅ ⋅ = + − ⇒

2 12 22 3 1 2 3 11

/2

3 .2

rr r r r

r r⋅

⋅

+⇒ ⋅ ⋅ = + ⇒ ⋅ ⋅ = + ⇒ =

⋅


.2

r

r

+

⋅


3.inačica

39

Pretpostavimo da je 2 3 r+ = racionalan broj. Dalje slijedi:

( ) ( )kvadriramo 2/jednak

2 22

os3 3 2 3 2 3 2

tr r r r

+ = ⇒ = − ⇒ ⇒ = − ⇒ = − ⇒

( )22 2 23 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 3r r r r r r⇒ = − ⋅ ⋅ + ⇒ = − ⋅ ⋅ + ⇒ ⋅ ⋅ = + − ⇒

2 12 22 2 1 2 2 11

/2

2 .2

rr r r r

r r⋅

⋅

−⇒ ⋅ ⋅ = − ⇒ ⋅ ⋅ = − ⇒ =

⋅


.2

r

r

−

⋅


40

Dokaz 451

Dokažite: 1 cos

.2 sin

x xtg

x

−=

Teorija

Formule za sinus i kosinus dvostrukog kuta

( ) ( )sin 2 2 sin cos 2 sin cos sin, .2α α α α α α⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅

sin 2 sin cos 2 sin cos sin2

.2

,2 2

α α α αα α= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

( ) ( )2 2 2 2cos 2 cos sin cos sin, c s 2 .oα α α α α α⋅ = − − = ⋅

2 2 2 2cos cos sin cos sin, cos2 2 2 2

.α α α α

α α= − − =

Osnovna trigonometrijska relacija 2 2 2 2cos sin 1 1 co i, .s s nα α α α+ = = +

2 2 2 2cos sin 1 1 cos, s n .i2 2 2 2

α α α α+ = = +


, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅


, 0 ., 1a a n

n nb b n

⋅= ≠ ≠

⋅


.a c a c

b d b d

⋅⋅ =

⋅

Funkcija tangens

: \2

,:tg R k k Z Rπ

π+ ⋅ ∈ →

sin

c.

os

ttg t

t=


( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +


.,a a a a= =


, .n m n m n m n m

a a a a a a+ +

⋅ = = ⋅

��

1.inačica

41

2 2 2 22 2 2 21 cos sin 1 cos sin1 cos sin sin sin1 cos 2 2 2 22 2 2 2sin 2 sin cos 2 sin cos 2 sin cos 2 sin cos

2 2 2 2 2 2 2 2

x x x xx x x x

x

x x x x x x x xx

− − − +− + + − = = = = =

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

22 sin sin sin2 2

22

2 sin2

2 .22 sin cos cos cos

2 2 2 2

x x x

xtg

x x xxx

⋅ ⋅= = = =

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

■

2.inačica

2 22 2 2 1 cos sinsin sin 2 sin 2 sin sin sin2 22 2 2 2 2 2

2 sin sincos cos 2 sin 2 sin cos2 2 2 2 2

x xx x x x x x

xtg

x x x x x x x

− +⋅ ⋅ +

= = ⋅ = = = =

⋅ ⋅ ⋅

2 22 2 1 cos sin1 cos sin 1 cos2 22 2 .sin sin sin

x xx x

x

x x x

− −− + − = = = ■

42

Dokaz 452

Dokažite da vrijedi jednakost: 2

sin 45 cos300 cos60 sin 225 .2

⋅ − ⋅ =� � � �

Teorija

Formule redukcije

( ) ( )cos 360 cos sin 180 s, i .nα α α α− = + = −�

Trigonometrijske funkcije nekih specijalnih šiljastih kutova

2 1sin 45 cos60

2,

2.= =

� �


, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅


.a c a c

b d b d

⋅⋅ =

⋅

��

( ) ( )sin 45 cos300 cos60 sin 225 sin 45 cos 360 60 cos60 sin 180 45⋅ − ⋅ = ⋅ − − ⋅ + =� � � � � � � � � �

( )sin 45 cos60 cos60 sin 45 sin 45 cos60 cos60 sin 45= ⋅ − ⋅ − = ⋅ + ⋅ =� � � � � � � �

2 2 21 1sin 45 cos60 sin 45 cos60 2 sin 45 cos60 2 .

2 2 2 22

2= ⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

� � � � � � ■

43

Dokaz 453

Dokažite da ne postoji ( )

( )

3 !lim .

3!

n

nn

⋅

→∞

Teorija


.,a a a a= =


, .n m n m n m n m

a a a a a a+ +

⋅ = = ⋅


, 0 ., 1a a n

n nb b n

⋅= ≠ ≠

⋅


.a c a c

b d b d

⋅⋅ =

⋅

Umnožak prvih n prirodnih brojeva označavamo posebnim simbolom

( ) ( )! 1 2 3 4 ... 2 1 .n n n n= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅

Broj n! čitamo ''en faktorijela''. Tako na primjer, vrijedi 1 ! = 1,

2 ! = 1 · 2, 3 ! = 1 · 2 · 3,

4 ! = 1 · 2 · 3 · 4, 5 ! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5,

6 ! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 itd. Vidimo da faktorijele zadovoljavaju formulu

n ! = (n – 1) ! · n. Binomni koeficijent Neka je n prirodan broj, a k prirodan broj ili 0 i k ≤ n. Binomni koeficijent označavamo simbolom

n

k

i definiramo

( )!

.! !

n n

k k n k=

⋅ −

Neka svojstva binomnog koeficijenta:

( ) ( ) ( ) ( )1 2 3, .

... 1

1 !

n n n n n n n kn

k k

⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − += =

Množenje nejednakosti: 0 , 0 .a b c d a c b c≥ > ≥ > ⇒ ⋅ ≥ ⋅

Definicija 1

Niz (an) realnih brojeva je konvergentan ako postoji realni broj a takav da niz (an) teži broju a kada n neograničeno raste.

kad .a a nn → → ∞

Kažemo da je a limes (granična vrijednost) niza i pišemo

44

l .im a ann=

→∞

Definicija 2

Realan broj a je limes niza realnih brojeva (an) ako za svaki ε > 0 postoji prirodni broj n0 takav da za svaki n > n0 vrijedi

.a an ε− <

��

Preoblikujemo zadani izraz u jednostavniji oblik.

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )( )

( )( )

( )

( )

proširimo

raz

3 ! 3 !

loma

3 ! 2 ! 3 ! 2 !1 13 2 2 2! ! 2 ! ! 2 !! ! ! !k

n n n n n n

n n n n nn n n n

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ = = ⋅ ⋅ = ⋅ =

⋅ ⋅ ⋅

3 2.

n n

n n

⋅ ⋅ = ⋅

Primijetimo da vrijede nejednakosti:

♥ ( ) ( ) ( )3 33 3 1 3 2 ... 2 1

31!

n nn n n nn

n n

⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ + = ≥ = ⋅

♥ ( ) ( ) ( )2 22 2 1 2 2 ... 1

2 .1!

n nn n n nn

n n

⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + = ≥ = ⋅

Kada n → ∞ slijedi:

♥ 3

3n

nn

⋅ ≥ ⋅ → ∞

♥ 2

2 .n

nn

⋅ ≥ ⋅ → ∞

Umnožak navedenih nejednakosti bit će

pomnožimo

nejednakost

33

3 2 26 .2

2i

nn

n n nn

n nnn

n

⋅ ≥ ⋅

⋅ ⋅ ⇒ ⇒ ⋅ ≥ ⋅

⋅ ≥ ⋅

I to teži 0 kada n → ∞, tj.

3 2 26 kada .n n

n nn n

⋅ ⋅ ⋅ ≥ ⋅ → ∞ → ∞

Dakle, zadani limes ne postoji.

( )

( )

3 2 3 !lim lim .

3!

n n n

n nn n n

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ∞ ⇒ = ∞ →∞ →∞

■

Zahvaljujem kolegici Lauri Župčić, studentici PMF – a u Zagrebu, na dostavljenom dokazu!

Nastavit će se …

Teorija Trokut je dio ravnine ome đen s tri dužine. Te dužine … · 2020-02-21 · 1 421 480...

Documents

Transcript of Teorija Trokut je dio ravnine ome đen s tri dužine. Te dužine … · 2020-02-21 · 1 421 480...