Teorija potražnje I
description
Transcript of Teorija potražnje I
Teorija potražnje I
Maksimizacija korisnosti
i funkcija potražnje
Potrošačev problem - ukratko U analizi ponašanja potrošača istaknuli
smo četiri konstrukcijska elementa: Skup mogućih izbora Skup dostupnih izbora (budžetski skup)
Relaciju preferencije ≿ definiranu na Pretpostavku ponašanja (potrošač bira najbolju
od mogućih alternativa u skladu sa svojom relacijom preferencije) ili
tako da x* ≿ x za svaki
LX LB
L
* Bx Bx
Funkcija korisnosti - ukratko Svaka binarna relacija koja je potpuna,
refleksivna, tranzitivna i neprekidna može se predstaviti funkcijom koju zovemo funkcija korisnosti
Funkcija korisnosti sadrži iste informacije o potrošačevim preferencijama kao i relacija preferencije ≿
Svojstva preferencija prenose se na svojstva funkcije korisnosti
Funkcija korisnosti - ukratko Ako su preferencije racionalne, neprekidne,
lokalno nezasićene i konveksne, funkcija korisnosti se “lijepo ponaša”
Ove pretpostavke osiguravaju da je funkcija korisnosti neprekidna
Mi ćemo još pretpostaviti i da je diferencijabilna (tada možemo koristiti metode diferencijalnog računa za detaljniju analizu potrošačevog ponašanja)
Funkcija korisnosti - ukratko Također znamo da je funkcija korisnosti
strogo rastuća i strogo kvazikonkavna te da su to njena ordinalna svojstva (koja se ne mijenjaju pod utjecajem pozitivnih monotonih transformacija)
Oblik funkcije korisnosti (da li je ona konkavna ili konveksna) je kardinalno svojstvo funkcije korisnosti koje se ne čuva pod utjecajem pozitivnih monotonih transformacija
Funkcija korisnosti - ukratko Funkcija korisnosti nam je potrebna
jer se njenom maksimizacijom izvodi funkcija potražnje
U tu svrhu razvit ćemo model u kojem potrošači između košara dobara koje su im dostupne biraju onu koju najviše vole
Izbor potrošača
Walrasovski budžetski skup
Cijene i bogatstvo (dohodak) su
strogo pozitivni
, :wB X w p x p x
0 0i w p
Potrošačev problem
Potrošačev problem može se napisati kao
... (3.1)
maxLu
xx
. . :t d w p x
Pitanja
Pitanja koja postavljamo: Da li postoji rješenje ovog problema? Ako rješenje postoji, kako do njega
doći?
Da li rješenje postoji?
Budući da je u (x) neprekidna funkcija definirana na skupu
koji je kompaktan (zatvoren i ograničen), možemo primjeniti Teorem o maksimalnoj vrijednosti
Prema ovom teoremu neprekidna funkcija definirana na kompaktnom skupu ima maksimum (i minimum)
Dakle, ovaj problem ima rješenje
,wBp
Kako do rješenja?
Potrošač se suočava sa problemom maksimizacije funkcije cilja (korisnosti) uz ograničenja
Funkcije ograničenja mogu biti predstavljene kao:
uvjeti nenegativnosti jednakosti nejednakosti
(primjeri za L=2)
1 20, 0x x 1 2( , )h x x c
1 2( , )g x x b
Kako do rješenja?
Naše ograničenje dato je u formi nejednakosti
Ova činjenica, zajedno sa činjenicom da imamo i uvjete nenegativnosti, omogućuje primjenu Kuhn-Tuckerove metode
Ovu metodu nelinarnog programiranja detaljnije će obraditi profesor Neralić
1 2( , )g x x w p x
Kako do rješenja?
Mi ćemo poći od pretpostavke monotonosti preferencija te naročito njihove lokalne nezasićenosti
Ovo svojstvo osigurat će da će se optimalno rješenje nalaziti u gornjem rubu budžetskog skupa, dakle, ograničenje će biti obvezujuće
Tako će se potrošačevo ograničenje moći izraziti u formi jednakosti ili
1 2( , )h x x w p x
Kako do rješenja?
U svijetu L = 2 i uz momentalno zanemarivanje uvjeta nenegativnosti potrošačev problem postaje
1 2
1 1 2 2
max( , )
. .
x x
t d p x p x w
Kako do rješenja?
Geometrijski, naš cilj je pronaći najviši nivo skup (krivulju indiferencije) koji ima dodirnu točku sa skupom ograničenja
Dakle, krivulju koja je tangencijalna na skup ograničenja u točki optimalnog rješenja x*
Maksimizacija korisnosti
Slika 3.1: U optimalnom rješenju x* najviša nivo krivulja od f tangencijalna je na skup ograničenja C
b x*
C
Maksimizacija korisnosti
Nagib nivo krivulje od f u točci x* je
*
1
*
2
( )
( )
fx
fx
x
x
Maksimizacija korisnosti
Skup ograničenja, odnosno njegov gornji rub, lokalno aproksimiramo funkcijom ograničenja h
Nagib funkcije ograničenja u točci x* je
*
1
*
2
( )
( )
hx
hx
x
x
Maksimizacija korisnosti
Kako su (zbog tangencijalnosti) nagibi funkcije f i ograničenja h u točci optimalnog rješenja x* jednaki, možemo pisati
... (3.2)
* *
1 1
* *
2 2
( ) ( )
( ) ( )
f hx xf hx x
x x
x x
Maksimizacija korisnosti
Preuredimo ovaj izraz na sljedeći način
... (3.3)
* *
1 2
* *
1 2
( ) ( )
( ) ( )
f fx xh hx x
x x
x x
Maksimizacija korisnosti
Kako su vrijednosti ovih omjera jednake te uz pretpostavku da su nazivnici različiti od nule, vrijednost ovog omjera označit ćemo sa
... (3.4)
* *
1 2
* *
1 2
( ) ( )
( ) ( )
f fx xh hx x
x x
x x
Maksimizacija korisnosti
Napišimo izraz (3.4) kao dvije jednadžbe
... (3.5)
* *
1 1
* *
2 2
( ) ( ) 0
( ) ( ) 0
f h
x x
f h
x x
x x
x x
Maksimizacija korisnosti
Imamo dvije jednadžbe sa tri nepoznanice
Treća jednadžba nam je jednadžba ograničenja pa sustav jednadžbi postaje:
1 2( , , )x x
Maksimizacija korisnosti
...(3.6)
* *
1 1
* *
2 2
1 2
( ) ( ) 0
( ) ( ) 0
( , ) 0
f h
x x
f h
x x
h x x c
x x
x x
Maksimizacija korisnosti
Definirajmo Lagrangeovu funkciju
Ako uvrstimo naše funkcije cilja i ograničenja izraz postaje
... (3.7)
1 2 1 2 1 2( , , ) ( , ) ( ( , ) )L x x f x x h x x c
1 2 1 2 1 1 2 2( , , ) ( , ) ( )L x x u x x p x p x w
Maksimizacija korisnosti
Sistem (3.6) ekvivalentan je zahtjevu da je diferencijal od L jednak nuli,
Odavde slijedi da se ekstremi traže “bez ograničenja”
Ovo funkcionira samo kada su i iz izraza (3.3) u optimalnom rješenju različiti
od nule
1 2( , , ) 0DL x x
1
h
x
2
h
x
Kvalifikacija ograničenja
To se naziva kvalifikacija ograničenja i predstavlja blagu restrikciju skupa
ograničenja Ono znači da se kritične točke funkcije
ograničenja h ne nalaze među rješenjima ovog sistema jednadžbi
1
0h
x
2
0h
x
Kvalifikacija ograničenja
Ako je ograničenje linearno, kvalifikacija ograničenja bit će automatski zadovoljena
Može se prijeći na postupak maksimizacije korisnosti kao da se radi o neograničenoj optimizaciji
Maksimizacija korisnosti
Kritične ili stacionarne točke u problemu neograničene optimizacije dobiju se izjednačavanjem parcijalnih derivacija prvog reda po svim varijablama s nulom
Maksimizacija korisnosti
Ovi se uvjeti nazivaju uvjeti prvog reda (First Order Conditions) Za izraz (3.7) uvjeti prvog reda su sljedeći:
... (3.8)
11 1
22 2
1 1 2 2
0
0
( ) 0
L up
x x
L up
x x
Lp x p x w
Maksimizacija korisnosti
Jednadžbe (3.8) predstavljaju nužne ali ne i dovoljne uvjete za maksimum
Za dovoljne uvjete treba konzultirati uvjete drugog reda
Međutim, ako je funkcija korisnosti strogo kvazikonkavna (opadajuća MRS za dva dobra), tada su uvjeti prvog reda i nužni dovoljni da bi rješenje bilo pravi unutarnji maksimum
Geometrijska interpretacija Lagrange-ovog multiplikatora
Označimo sa
i sa
gradijent vektore funkcije korisnosti i ograničenja u točci x
1
2
( )
f
xf
f
x
x
1
2
( )
hx
hhx
x
Geometrijska interpretacija Lagrange-ovog multiplikatora
Budući da nivo skupovi od f i h imaju isti nagib u točci x* , njihovi gradijenti u točki x* leže na istom pravcu
Gradijent vektor pokazuje smjer najbrže promjene funkcije
U slučaju maksimuma oni pokazuju u istom smjeru ( u slučaju minimuma u obrnutom)
Geometrijska interpretacija Lagrange-ovog multiplikatora
• Slika 3.2: Gradijenti od f i h leže na istom pravcu kroz x* kada je x* ograničeni maksimum (a) ili minimum (b) (kolinearni su)
*h xx*
C
x*
C
*f x
*h x
*f x
Geometrijska interpretacija Lagrange-ovog multiplikatora
Izraz (3.5) uz pomoć gradijent vektora možemo napisati kao
ili f (x*) = h (x*)
1 1
2 2
f h
x x
f h
x x
Geometrijska interpretacija Lagrange-ovog multiplikatora
To znači da su gradijent vektori kolinearni Lagrange-ov multiplikator je faktor
proporcionalnosti, skalar kojim se množi gradijent vektor ograničenja kako bi se izjednačio (i po duljini) sa gradijent vektorom funkcije korisnosti
Geometrijska interpretacija Lagrange-ovog multiplikatora
Kvalifikacija ograničenja u slučaju maksimizacije funkcije 2 varijable i jednog ograničenja u formi jednakosti uz pomoć gradijent vektora izražava se kao
... (3.9)
* *
1 2
( ), ( ) 0,0h h
x x
x x
Geometrijska interpretacija Lagrange-ovog multiplikatora
Kvalifikacija ograničenja u slučaju maksimizacije funkcije n varijabli i jednog ograničenja u formi jednakosti uz pomoć gradijent vektora izražava se kao
... (3.10)
* * *
1 2
( ), ( ),..., ( ) 0,0,...,0n
h h h
x x x
x x x
Geometrijska interpretacija Lagrange-ovog multiplikatora
Ako umjesto jednog ograničenja u formi jednakosti imamo m jednadžbi koje definiraju skup ograničenja, logika analize ostaje ista ali se umjesto gradijent vektora koristi Jacobijeva matrica parcijalnih derivacija prvog reda
Jacobijeva matrica parcijalnih derivacija prvog reda za m ograničenja
* *1 1
1
* *2 2
1
* *
1
( ) ... ( )
( ) ... ( )( )
( ) ( )
n
n
m m
n
h h
x x
h h
x xD
h h
x x
x x
x xh x
x x
Jacobijeva matrica parcijalnih derivacija prvog reda za m ograničenja Kaže se da ograničenje zadovoljava NDCQ (nondegenerate
constraint qualification) (nedegeneriranu kvalifikaciju ograničenja) ako vrijedi r(Dh(x*))=m ,to jest, ako je rang Jacobijeve matrice maksimalan
Ovo je uvjet regularnosti koji osigurava da skup ograničenja ima svugdje dobro definirane n-m dimenzionalne tangencijalne ravnine
1( ,...., )mh h
Implikacije uvjeta prvog reda u svijetu L = 2 Uvažavajući uvjete tangentnosti iz (3.2)-(3.4)
prve dvije jednadžbe iz (3.8) možemo napisati kao
što je poznati izraz za jednakost granične stope supstitucije MRS i omjera cijena u točci ravnoteže potrošača
11
2
2
upx
u px
Implikacije uvjeta prvog reda u svijetu L = 2 U rubnom optimumu gdje ova
jednakost ne vrijedi, potrošač nije u mogućnosti podesiti potrošnju oba dobra da se izjednače MRS i omjer cijena
Geometrijska interpretacija Lagrange-ovog multiplikatora
Slika 3.3:(a) Unutarnje rješenje (b) Rubno rješenje
*u x
x1
x2
*112
2
pnagib MRS
p x
x1
x2
*:u ux xp
* ,x wx p
p
λp
*u x
* ,x wx p
1
2
pnagib
p
*12nagib MRS x
Ekonomska interpretacija Lagrange-ovog multiplikatora Kada sistem jednadžbi (3.8) riješimo za
dobijemo sljedeći rezultat
Ovo pokazuje da u točci optimalne potrošnje potrošač ostvaruje jednaku graničnu korisnost po jedinici novca (dohotka)
1 2
1 2
u ux xp p
Ekonomska interpretacija Lagrange-ovog multiplikatora Izraz
pokazuje koliko dodatne korisnosti potrošač dobije ako potroši malo više na dobro i
To znači da potrošač ima više novaca za potrošiti, to jest, da je njegovo ograničenje oslabljeno
Slabljenje ograničenja znači da potrošač ima veći dohodak
*( )i
up
x
Ekonomska interpretacija Lagrange-ovog multiplikatora Ovaj rezultat implicira da
predstavlja graničnu vrijednost relaksiranja ograničenja u problemu maksimizacije korisnosti
Pokazuje (u optimumu) graničnu korisnost dodatne novčane jedinice u potrošnji, to jest, graničnu promjenu korisnosti izazvanu graničnim povećanjem dohotka
Ekonomska interpretacija Lagrange-ovog multiplikatora Tako se ekonomski interpretira
kao granična korisnost dohotka Na taj način predstavlja novu
mjeru vrijednosti rijetkih resursa u problemu maksimizacije uz ograničenje
Rješenje problema maksimizacije korisnosti Dakle, rješenjem problema maksimizacije
korisnosti uz ograničenje kada je rješenje jedinstveno dobijemo dvije vrste objekata:
Vektor (ili skup vektora) optimalnog rješenja x* i vrijednost Lagrange-ovog multiplikatora
Vrijednost potrošačeve maksimalne korisnosti
Rješenje problema maksimizacije korisnosti Analizirajmo prvo vektor optimalne
potrošnje Vektor optimalne potrošnje x* ovisi
o parametrima iz problema potrošačevog izbora (p i w) i bit će jedinstveno određen
1 2( , ) ( ( , ), ( , ),..., ( , ))Lw x w x w x wx p p p p
Rješenje problema maksimizacije korisnosti
Rješenje problema maksimizacije potrošačeve korisnosti uz dato ograničenje možemo smatrati FUNKCIJOM iz skupa cijena i dohotka,
, u skup količina
1L LX
Funkcija potražnje
Pravilo koje svakom paru cijena i bogatstva u problemu maksimizacije korisnosti
pridružuje vektor optimalne potrošnje označava se sa i predstavlja Walrasovu (običnu, tržišnu) funkciju potražnje
Ako se svakom paru cijene-bogatstvo pridružuje SKUP optimalnih vektora potrošnje to se naziva Walrasovo višeznačno preslikavanje ili korespondencija potražnje
, 0wp
( , ) Lw x p
Maksimizacija korisnosti – funkcija potražnje• Slika 3.4: Izvođenje krivulje potražnje iz
maksimizacije korisnosti
0 02w p
0 01 2p p 1 0
1 2p p
01p
11p
0 0 02 1 2, ,x p p w
1 0 02 1 2, ,x p p w
0 0 01 1 2, ,x p p w 1 0 0
1 1 2, ,x p p w
0 0 01 1 2, ,x p p w 1 0 0
1 1 2, ,x p p w
2x
1p
1x
1x
0 01 1 2, ,x p p w
Funkcija potražnje
Iz Slike 3.4 vidljivo je da će različite razine dohotka i cijene dobra 2 mijenjati položaj i oblik krivulje potražnje za dobrom 1
Međutim, njen će položaj i oblik uvijek ovisiti o relaciji preferencije datog potrošača
Korespondencija potražnje
Kada je preslikavanje višeznačno, umjesto pojma funkcija potražnje koristimo pojam korespondencija potražnje
Ako je u neprekidna funkcija korisnosti koja predstavlja lokalno nezasićenu relaciju preferencije ≿ definiranu na skupu moguće potrošnje , tada Walrasova korespondencija potražnje x(p,w) ima sljedeća svojstva:
LX
Korespondencija potražnje
Walrasova korespondencija potražnje je:
Homogena nultog stupnja Zadovoljava Walrasov zakon Konveksna je
Korespondencija potražnje
Homogenost nultog stupnja Skup mogućih potrošnji u problemu
maksimizacije korisnosti ne mijenja se ako se sve cijene i dohodak pomnože sa nekim skalarom
To znači da se u tim uvjetima ne mijenja ni skup optimalnih košara dobara
: :LL w w x p x x p x
( , ) ( , )w w x p x p
Korespondencija potražnje
Walrasov zakon Jedini način da x* bude optimalna
košara dobara je ako ne postoji košara koja je u budžetskom skupu a koju bi potrošač više volio
Ovo proizlazi iz pretpostavke o lokalnoj nezasićenosti preferencija i vrijedi samo ako x* zadovoljava ( , )w w p x p
Korespondencija potražnje
Konveksnost x(p,w) je konveksni skup ako je funkcija
korisnosti u kvazikonkavna Konveksnost preferencija implicira konveksnost
x(p,w) (Slika 3.5.(a)) Stroga konveksnost preferencija implicira da je
vrijednost x(p,w) jedinstveno određena (Slika 3.5.(b))
Ovo podrazumijeva strogu kvazikonkavnost funkcije korisnosti jer ona isključuje mogućnost ravnih dijelova na krivulji indiferencije
Konveksnost i stroga konveksnost preferencija
• Slika 3.5.a: Konveksnost preferencija i x(p,w) • Slika 3.5.b: Stroga konveksnost preferencija i x(p,w)
x1
x2
xx’’x’ *:u ux x
x1
x2
xx’’x’
*:u ux x
Indirektna funkcija korisnosti
Drugi značajni objekt koji se dobije kao rezultat maksimizacije korisnosti je maksimalna vrijednost potrošačeve korisnosti
Posljedica ovog rezultata je formiranje indirektne funkcije korisnosti
Indirektna funkcija korisnosti
Walrasova funkcija potražnje x(p,w) daje košaru dobara koja maksimizira potrošačevu korisnost uz dato budžetsko ograničenje
Ako supstituiramo ovu košaru u funkciju korisnosti, dobijemo korisnost koju potrošač dobiva birajući tu košaru pri cijenama p i dohotku w
Indirektna funkcija korisnosti
Ovu funkciju nazvat ćemo indirektnom funkcijom korisnosti v (p, w)
Definirat ćemo ju kao
Primijetimo da je direktna korisnost funkcija košare dobara x dok je indirektna korisnost funkcija cijena i dohotka p i w
( , ) ( ( , ))v w u wp x p
Svojstva indirektne funkcije korisnosti
Svojstva uglavnom “naslijeđena” od funkcije potražnje
Pretpostavlja se lokalna nezasićenost preferencija
Indirektna funkcija korisnosti koja odgovara lokalno nezasićenim preferencijama ima sljedeća svojstva:
( , )wx p
Svojstva indirektne funkcije korisnosti
Homogena nultog stupnja Strogo rastuća u w i ne-rastuća u p
Kvazikonveksna u (p,w) Neprekidna Vrijedi Royev identitet
Svojstva indirektne funkcije korisnosti Homogenost nultog stupnja:
Proizlazi iz homogenosti funkcije potražnje Kako se košara koju potrošač konzumira ne
mijenja ako se sve cijene i dohodak promijene za isti iznos tako se ne mijenja ni korisnost koju potrošač njome dobiva
Kako vrijedi To isto vrijedi
( , ) ( , ) 0w w za x p x p
( , ) ( ( , )) ( ( , )) ( , )v w u w u w v w p x p x p p
Svojstva indirektne funkcije korisnosti je strogo rastuća u w
zbog lokalne nezasićenosti i ne-rastuća u p:
jer povećanje jedne ili više cijena smanjuje skup dostupnih izbora
( , )v wp
Svojstva indirektne funkcije korisnosti je kvazikonveksna u (p,w)
Skup je konveksan za sve
Konveksna kombinacija dva vektora koji daju istu indirektnu korisnost neće biti veća od te indirektne korisnosti (dokaz u knjizi)
( , )v wp ( , ) : ( , )w v w vp pv
Svojstva indirektne funkcije korisnosti je neprekidna
Male promjene u p i w rezultiraju u malim promjenama korisnosti
Ovo je naročito očito u slučaju kada su krivulje indiferencije strogo konveksne i diferencijabilne
( , )v wp
Od indirektne funkcije korisnosti do funkcije potražnje
Izraz koji nam omogućava povratak od indirektne korisnosti do funkcije potražnje naziva se Royev identitet
Uz pretpostavku (koja se može dokazati) da postoji za koji vrijedi
.. (3.11) kao i uz pretpostavku da je indirektna funkcija
korisnosti diferencijabilna
*( )
0ii
up
x
x
1,...,i l
Od indirektne funkcije korisnosti do funkcije potražnje
Parcijalne derivacije prvog reda po cijeni indirektne funkcije korisnosti bit će
...(3.12)
Kako vrijedi
**( , ) ( , )
i i
v w L
p p
p x
x
( , )0
v w
w
p
Od indirektne funkcije korisnosti do funkcije potražnje
Tako izraz (3.12) postaje
... (3.13)
čime smo dobili traženu funkciju potražnje
*
( , )
( , )( , )
i
v wp
wv ww
p
x x pp