teorija elasticnosti
Transcript of teorija elasticnosti
-
7/27/2019 teorija elasticnosti
1/51
-
7/27/2019 teorija elasticnosti
2/51
2 1. Uvod
homogen, izotropan, linearno elastican materijal, linijski nosac kojem je tezisna os referentna linija okomita na ravnine poprecnih
presjeka u svakoj tocki i kod kojih su dimenzije poprecnog presjeka (B, H) znatnomanje u odnosu na duljinu stapa L, B, H 0, 2L,
pretpostavljamo potpuno tocnu izvedbu konstrukcije, bez pocetnih imperfekcija inaprezanja,
jednadzbe ravnoteze postavljamo na nedeformiranom sustavu, na konstrukciji uzadanom polozaju prije djelovanja opterecenja,
pretpostavljamo male pomake i deformacije konstrukcije pod djelovanjem opterecenja.Takve pretpostavke za vecinu konstrukcija bit ce potpuno opravdane. Nije potrebno
svaku konstrukciju promatrati kao nelinearnu zadacu Ako su ispunjeni prikazani uvjeti,rjesenja dobivena linearnom teorijom u potpunosti su korektna i prihvatljiva. Kod kon-
strukcija koje nisu obuhvacene prethodnim pretpostavkama linearna teorija nece rezul-tirati prihvatljivim rjesenjima. Jednadzbe ravnoteze na takvim konstrukcijama trebajuzapravo biti ispunjene na deformiranoj konstrukciji. Ponasanje materijala kod takvihkonstrukcija treba ustanoviti eksperimentalno.
1.3. Linearna teorija ravnog stapa
1.3.1. Osnovne pretpostavke linearne teorije
Kod proracuna konstrukcije po linearnoj teoriji uveli smo bitnu idealizaciju stvarnogponasanja konstrukcije. Pretpostavili smo da je materijal konstrukcije homogen, izotropan
i linearno elastican, da su pomaci konstrukcije dovoljno mali zbog cega mozemo uvjeteravnoteze definirati na nedeformirano j konstrukciji, zanemarili smo pocetne imperfekcije inaprezanja nastala tijekom izvedbe konstrukcije. Kod stapnih konstrukcija dodatno pret-postavljamo da je poprecni presjek bitno manji u odnosu na duljinu stapa (h/L 0, 2) ida je tezisna os okomita na ravninu poprecnog presjeka. Takve pretpostavke omogucilesu nam reduciranje stapa kao trodimenzionalnog kontinuuma na tezisnu os (jednodimen-zionalni model) u proracunskom modelu.
1.3.2. Jednadzbe ravnoteze na nedeformiranom stapu
Promatramo izdvojeni dio stapa duljine dx s pripadnim opterecenjima u smjeru uzduzneosi stapa n(x) i okomito na os stapa q(x), (slika 1.1). Iz osnovnih jednadzbi ravnoteze
dxxz
N + dN
T + dT
M + dM
N
TM
q(x)
n(x)
Slika 1.1: Izdvojeni dio konstrukcije
-
7/27/2019 teorija elasticnosti
3/51
1. Uvod 3
(zbroj sila u smjeru tri koordinatne osi) slijede diferencijalni odnosi
dN(x)
dx= n(x) , dT(x)
dx= q(x) , dM(x)
dx= T(x) . (1.3.1)
Iz zadnja dva odnosa jasno slijedi diferencijalna veza opterecenja i momenta
d2M(x)dx2
= q(x) . (1.3.2)
1.3.3. Pomaci konstrukcije
Kod stapnih modela, svaka tocka konstrukcije ima dva stupnja slobode, dva pomakau(x, z) i w(x, z) u smjeru koordinatnih osi x i z. U proracunskom modelu promatramotezisnu os. Svako j tocki tezisne osi pridruzimo pripadni poprecni presjek cija je ravninaokomita na tezisnu os u toj tocki tezisne osi stapa. Prema Bernoullijevoj hipotezi ravnihpoprecnih presjeka, poprecni presjek ostaje u ravnini nakon deformacije, u ravnini okomi-toj na deformiranu tezisnu os (okomitoj na tangentu na deformiranu tezisnu os) u svakoj
tocki stapa, (slika 1.2). To znaci da je zaokret presjeka, (x, z), konstantan za sve tockepo visini poprecnog presjeka (zaokret poprecnog presjeka ne ovisi o z koordinati po visinipoprecnog presjeka nego samo o x polozaju na tezisnoj osi),
(x, z) = (x) . (1.3.3)
Zbog pretpostavke malih pomaka, pomak okomito na os svake tocke po visini poprecnog
xz
u(x)
w(x)(x)
w(x)
Slika 1.2: Pomaci tezisne osi stapa
presjeka je jednak (zanemarujemo razliku poprecnog pomaka zbog zaokreta poprecnogpresjeka),
w(x, z) = w(x) . (1.3.4)
Uzduzni pomak tocaka po visini poprecnog presjeka ocito ovisi i o zaokretu poprecnogpresjeka (tocke udaljenije od tezisne osi u smjeru z poprime proporcionalno veci uzduznipomak od zaokreta tezisne osi stapa),
u(x, z) = u(x) + z(x) . (1.3.5)
Pretpostavka da je ravnina poprecnog presjeka okomita na tezisnu os i nakon deformacijezapravo je zanemarivanje utjecaja posmicne deformacije, a rezultira cinjenicom da je kutzaokreta tada jednak derivaciji pomaka okomitog na konstrukciju
(x) = dwdx
= w(x) , (1.3.6)
-
7/27/2019 teorija elasticnosti
4/51
4 1. Uvod
sto povlaci izraz za uzduzni pomak po visini poprecnog presjeka
u(x, z) = u(x) zw (x) . (1.3.7)
1.3.4. Veza pomaka i deformacija
Uzduzna deformacija stapa (x) deformacija je tezisne osi stapa. Odnos uzduznedeformacije i uzduznog pomaka slijedi smanjenjem duljine izdvojenog dijela stapa duljinedx (dx 0).
(x) = limdx0
u(x + dx) u(x)dx
=du(x)
dx= u(x) . (1.3.8)
Ako uzmemo prethodno definirani izraz za pomak po visini poprecnog presjeka, (1.3.5),slijedi izraz za uzduznu deformaciju po visini poprecnog presjeka
(x, z) =u(x, z)
x=
du(x)
dx zdw
(x)
dx= u(x) zw (x) . (1.3.9)
Deformacije okomite na os stapa ne uzimamo u obzir. Posmicna deformacija u ravninixz, xz, zbog Bernoullijeve hipoteze ravnih poprecnih presjeka jednaka je nuli. Jednadzbe(1.3.4), (1.3.7) i (1.3.9) izrazavaju sve velicine pomaka tezisne osi stapa.
1.3.5. Zakon ponasanja (konstitucije) - elasticni model
Uvjeti kompatibilnosti odnose se na polje deformacija , a uvjeti ravnoteze na poljenaprezanja . Ocito postoji veza izmed-u naprezanja i deformacija. Veza izmed-u naprezanjai deformacija ovisi o mehanickim svojstvima materijala utemeljenim na silama izmed-uelementarnih cestica. Najjednostavniji model veze izmed-u naprezanja i deformacija je
linearno elastican model - Hookeov zakon. Prema Hookeovom zakonu naprezanja su pro-porcionalna deformacijama
= C , (1.3.10)
gdje je C matrica materijalnih konstanti
C =E
2 (1 + )
2(1)12
212
212
0 0 02
122(1)
122
120 0 0
212
212
2(1)12
0 0 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 00 0 0 0 0 1
, (1.3.11)
pri cemu je Emodul elasticnosti, a Poissonov koeficijent. Za ravninsko stanje naprezanjamatrica proporcionalnosti glasi
C =E
2 (1 + )
1 0 1 0
0 0 1+2
. (1.3.12)
Za jednoosno stanje naprezanja, umjesto matrice C imamo konstantu proporcionalnosti,
modul elasticnosti materijala E = E . (1.3.13)
-
7/27/2019 teorija elasticnosti
5/51
1. Uvod 5
Za potrebu uzimanja tocnog odnosa deformacija i pomaka definirat cemo nekolikorazlicitih mjera deformacije. Uz oznake, L za duljinu nedeformiranog dijela konstrukcijei L za promjenu duljine deformiranog dijela konstrukcije, definiramo inzenjersku mjerudeformacije, I
I =L
L
, (1.3.14)
logaritamsku mjeru deformacije, L (potrebnu u teoriji plasticnosti kod velikih deforma-cija)
L = lnL + L
L= ln (1 + I) (1.3.15)
i Greenovu mjeru deformacije, G (potrebnu u nelinearnoj teoriji elasticnosti)
G =1
2
(L + L)2 L2L2
=1
2
2I +
2I
. (1.3.16)
Primjena inzenjerske mjere deformacije, uz linearnu vezu sila i pomaka, vodi na linearnuvezu naprezanja i deformacija (1.3.13). Ostale mjere deformacije daju nelinearnu vezu
naprezanja i deformacija, cija linearizacija opet vodi na linearni odnos (1.3.13).Odnos naprezanja i deformacija jednostavno mozemo prikazati na primjeru vlacno
opterecenog stapa, (slika 1.3). Intuitivno je jasno da veca sila K uzrokuje i veci pomak
L
E, F
L
K
Slika 1.3: Vlacno optereceni stap
L, ali i da su pomak i sila proporcionalni,
K = cL , (1.3.17)
gdje je c koeficijent proporcionalnosti. Naprezanje u svakoj tocki po duljini stapa mozemoizraziti
=K
F=
cL
F=
cL
F
L
L
=cL
FI = E , (1.3.18)
pri cemu je velicina cLF
zapravo modul elasticnosti, deformacija identificirana s inzenjerskomdeformacijom, a dobivena jednadzba (1.3.18) iskazuje zakon elasticnog ponasanja mater-ijala.
1.3.6. Veza unutarnjih sila i naprezanja, zakon konstitucije za unutarnje sile
Ako na izdvojenom dijelu stapa duljine dx promatramo sva pripadna djelovanja (zadanovanjsko opterecenje, unutarnje sile i naprezanja) iz ravnoteze svih sila u smjeru x iravnoteze momenata oko osi y slijedi odnos naprezanja i unutarnjih sila
N =F
(x, z)dF , M =F
z(x, z)dF . (1.3.19)
-
7/27/2019 teorija elasticnosti
6/51
6 1. Uvod
Na temelju prethodnih izraza (1.3.19), zakona elasticnosti (1.3.13) i veze pomaka i defor-macija (1.3.9), slijede zakoni konstitucije za unutarnje sile
N =
F
(x, z)dF =
F
E(x, z)dF =
F
Eu(x)dF = EF u(x) (1.3.20)
M =F
z(x, z)dF =F
zE (x, z)dF =F
Ez(u(x) zw (x)) dF
= F
z2Ew (x)dF = EI w(x) . (1.3.21)
-
7/27/2019 teorija elasticnosti
7/51
2. Tocna geometrija pomaka 7
2. Tocna geometrija pomaka
2.1. Linearni i nelinearni odnosi
Najjednostavniji primjer za prikaz razlike stvarnih i lineariziranih pomaka je beskonacnokruta elasticno upeta konzolna greda opterecena koncentriranom ilom na slobodnom
kraju, (slika 2.1), pri cemu je cM koeficijent elasticne upetosti lezaja. Postavljanjem
L
EI = x, uz, w
KcM
K
L cos
L sin
cM
K
L
L
cM
a.) b.) c.)
Slika 2.1: Beskonacno kruta elasticno upeta konzolna greda opterecena koncentriranom
silom na slobodnom kraju, a.) zadana konstrukcija, b.) nelinearni pomaci, c.) linearnipomaci
jednadzbi ravnoteze na deformiranoj konstrukciji, slijede izrazi za moment u elasticnoupetom lezaju
M = KL cos , (2.1.1)
vezu kuta zaokreta i momenta u elasticno upetom lezaju
M = cM , (2.1.2)
=
M
cM =
KL cos
cM , (2.1.3)
vertikalni pomak slobodnog kraja
wL = L sin = L sinKL cos
cM, (2.1.4)
i horizontalni pomak slobodnog kraja
uL = L (1 cos ) = L
1 cos KL cos cM
. (2.1.5)
Prijelaz s nelinearne teorije na linearnu teoriju mozemo prikazati razvojem trigonometrij-
skih funkcija u red u izrazima za moment na elasticno upetom lezaju i vertikalni pomakslobodnog kraja
M = KL cos = KL
1
2
2!+
4
4! . . .
, (2.1.6)
wL = L sin = L
3
3!+
5
5! . . .
. (2.1.7)
Uzimanjem u obzir samo linearnih clanova jasno slijede linearne velicine
M = KL , wL = L =KL
cM. (2.1.8)
Jednostavno u linearnoj teoriji slijedi da je horizontalni pomak svih tocaka jednak nuli.
-
7/27/2019 teorija elasticnosti
8/51
8 2. Tocna geometrija pomaka
2.2. Odnosi pomaka i deformacija
Promatramo nedeformirani izdvojeni dio stapa duljine dx u koordinatnom sustavu xz.Nakon djelovanja opterecenja stap dobije deformaciju, a promatrani dio stapa poprimiduljinu d u koordinatnom sustavu (, ), (slika 2.2). Duljina tezisne osi stapa nakon
x dxz, w
x, u
d = Rd
d
R
u(x) u(x + dx)
w(x)
dw
+ d
Slika 2.2: Odnos nedeformiranog i deformiranog izdvojenog dijela stapa
deformiranja iznosi d. Uzduzna deformacija stapa je
=d dx
dx=
d
dx 1 . (2.2.9)
Prema slici 2.2 i Pitagorinom poucku slijedi ocita veza
(d)2 = (dw)2 + [u(x + dx) u(x) + dx]2 , (2.2.10)
-
7/27/2019 teorija elasticnosti
9/51
2. Tocna geometrija pomaka 9
iz koje proizlazi relacijad
dx
2=
dw
dx
2+
u(x + dx) u(x)
dx+ 1
2, (2.2.11)
i izraz za deformaciju
=
(1 + u)2 + w2 1 . (2.2.12)U linearnoj teoriji duljinu tezisne osi aproksimiramo d = dx + u(x + dx) u(x) i zane-marujemo utjecaj od dw na promjenu duljine tezisne osi. Razvojem izraza za deformaciju,(2.2.12), u red slijedi
=
(1 + u)2 + w2 1 =
1 + 2u + u2 + w2 1
=
n=0
1/2
n
2u + u2 + w2
n 1
=
1 + u + 12
w2 12
uw2 18
w4 + 12
u2w2 + . . . 1 (2.2.13)
= u +1
2w2 . . . ,
pri cemu linearni dio izraza za deformaciju, (2.2.13), opet vodi na linearnu teoriju, (1.3.8).
Tangens kuta zaokreta u svakoj tocki nakon deformiranja izracunamo pomocu izraza
tan =dw
u(x + dx)
u(x) + dx=
dwdx
u(x+dx)u(x)
dx +
dx
dx
=w
u + 1, (2.2.14)
a kut zaokreta u svakoj je tocki tada
= arctanw
1 + u. (2.2.15)
Razvojem izraza za kut zaokreta, (2.2.15), u red slijedi
= arctanw
1 + u=
n=0
(1)n
w
1+u
2n+12n + 1
= w
1 + u 1
3
w
1 + u
3
+ . . . . (2.2.16)
Zakrivljenost deformirane linije, , izracunamo kao derivaciju kuta zaokreta
= =d
dx=
d
arctan w
1+u
dx
=1
1 +
w
1+u
2 w(1 + u) wu(1 + u)2 = w(1 + u) uw(1 + u)2 + w2
. (2.2.17)
Uzimanjem u obzir samo linearnog clana razvoja u red, (2.2.16), i pretpostavke o malimdeformacijama u odnosu na duljinu stapa (u
-
7/27/2019 teorija elasticnosti
10/51
10 2. Tocna geometrija pomaka
i zakrivljenosti
w
1 + u w , (2.2.18)
w
1 + 2u w . (2.2.19)
Proizvoljno vlakno paralelno tezisnoj osi na udaljenosti z, u deformiranom polozajunalazi se na udaljenosti i duljine je (R )d. Deformaciju tog vlakna izracunamoprema
=(R ) d dx
dx= (R ) 1 (2.2.20)= .
Na temelju prethodnih izraza mozemo izvesti i izraze za unutarnje sile
N =
F
dF = E
F
dF = EF EF
dF
= EF = EF
(1 + u)2 + w2 1
, (2.2.21)
M =
F
zdF = E
F
dF EF
2dF
=
EI =
EI
w(1 + u) uw
(1 + u
)2
+ w2
. (2.2.22)
-
7/27/2019 teorija elasticnosti
11/51
3. Nelinearno ponasanje materijala 11
3. Nelinearno ponasanje materijala
3.1. Opcenito
Kod elasticnog materijala podudaraju se krivulje opterecenja i rasterecenja u dija-gramu
. Kod linearno elasticnog materijala krivulja opterecenja i rasterecenja je
pravac, (slika 3.1.a.), a kod nelinearnog elasticnog materijala krivulja nije polinom prvogstupnja, (slika 3.1.b.).
a.) b.)
Slika 3.1: Elasticno ponasanje materijala, a.) linearno elasticno, b.) nelinearno elasticno
Kod neelasticnih materijala ne postoji jednoznacna veza sile i pomaka. Ukupna defor-macija sastoji se od elasticnog i plasticnog dijela. Kod rasterecenja vraca se samo elasticnadeformacija. Jasno slijedi da se krivulje opterecenja i rasterecenja ne podudaraju.
a.) b.) c.)
Slika 3.2: Neelasticno ponasanje materijala, a.) nelinearno elastoplasticno, b.) linearnoelastoplasticno, c.)linearno elasticno - idealno plasticno
3.2. Nelinearno elasticno ponasanje materijala
Ponasanje nelinearno elasticnog materijala mozemo objasniti na primjeru vlacno opterecenogstapa, (slika 3.2.).
L
E, F
L
K
Slika 3.3: Vlacno optereceni stap
-
7/27/2019 teorija elasticnosti
12/51
12 3. Nelinearno ponasanje materijala
Odnos sile i pomaka jednoosno vlacno opterecenog stapa od nelinearno elasticnogmaterijala mozemo iskazati, uz u(L) = L,
K = a1L + a2L2 = a1u(L) + a2u(L)
2 . (3.2.1)
Primjenom linearne teorije na daljnju analizu, mozemo uzeti izraz za deformaciju
= LL
= u(L) . (3.2.2)
Nepoznate koeficijente a1 i a2 u izrazu 3.2.1 mozemo zamijeniti koeficijentima elasticnostii izraziti naprezanje
=K
F= a1
L
F+ a2
L2
F
= a1L
F
L
L+ a2
L2
F
L2
L2
= E1 + E22 = E1u
+ E2u2 , (3.2.3)
pri cemu su koeficijenti elasticnosti E1 i E2 definirani izrazima
E1 =a1L
F, E2 =
a2L2
F. (3.2.4)
Ako je sila K konstantna duz stapa slijedi, kao i u linearnoj teoriji, da je derivacijapomaka duz stapa konstantna, u(x) = const.. Odnos sile i pomaka slijedi ako izraz(3.2.3) prikazemo kao jednadzbu po u
u2 +E1E2
u E2
= 0 . (3.2.5)
Rjesenjem kvadratne jednadzbe slijedi
u = 12
E1E2
+
1
4
E21E22
+
E2
=1
2
E1E2
1 +
1 + 4
E2E21
. (3.2.6)
Nakon integriranja slijedi izraz za pomak
u(x) =1
2
E1E2
1 +
1 + 4
E2E21
x + u0 , (3.2.7)
gdje je u0 integracijska konstanta koja je zapravo jednaka zadanom pocetnom pomakulezajne tocke, u0 = u(x = 0) = 0. Razvojem izraza (3.2.7) u red postaje ocita razlika uodnosu na linearnu teoriju
u(x) =E1E2
E2E21
E2E21
2. . . + (1)j1
E2E21
j. . .
x . (3.2.8)
Vidljivo je da uzimanjem u obzir samo linearnog clana slijedi aproksimacija koja je ustvari prikaz linearnog ponasanja materijala
u(x)
E1 x . (3.2.9)
-
7/27/2019 teorija elasticnosti
13/51
4. Geometrijska nelinearnost 13
4. Geometrijska nelinearnost
4.1. Podjela zadaca
Kod pojedinih prakticnih zadaca teorija I. reda nije dovoljna. Uzimanje u obzir svihnelinearnih utjecaja dovodi do teorije gotovo neprikladne za prakticnu primjenu. Potrebno
je istraziti koliki je nuzan opseg nelinearnosti kod prakticnih proracuna konstrukcija.Nekoliko je osnovnih pitanja koje si inzenjer mora postaviti,
nuznost tocne geometrije pomaka, nuznost tocnog odnosa pomaka i deformacija, potreba definiranja jednadzbi ravnoteze na deformiranoj konstrukciji.
Za dobivanje odgovora na zadana pitanja moramo prethodno postaviti osnovne kriterijeprocjene.
4.2. Elementi pod utjecajem savijanja
Promotrimo primjer konzolne grede duljine L, konstantnog poprecnog presjeka F, kon-stantnog momenta inercije I i modula elasticnosti E, opterecene koncentriranom silom nakraju grede, (slika 4.1). Prema linearno j teoriji za gredu proracunamo funkciju momenta,
z, w
x, u
K
L
E , I , F
KL
M
w(L)
w(L)
Slika 4.1: Konzolna greda opterecena koncentriranom silom
zaokreta i progiba
M(x) = K(L x) , (4.2.1)(x) = Kx
2EI(2L x) , (4.2.2)
w(x) =Kx2
6EI(3L x) . (4.2.3)
Ocito je ekstremna vrijednost momenta na lezaju Mmin = KL, a progiba i zaokreta naslobodnom kraju wmax = KL
3
/3EI, max = KL2
/2EI. U prakticnom proracunu kon-strukcije imamo za progibe i naprezanja eksplicitno definirane dopustene gornje granice.
-
7/27/2019 teorija elasticnosti
14/51
-
7/27/2019 teorija elasticnosti
15/51
4. Geometrijska nelinearnost 15
Zbog malog reda velicine svih vrijednosti, (4.2.9), mozemo dodatno uvesti aproksimacijusin tan , pa slijedi
wr w uw w
2L 0, 5 102
u
L 1
2
w2
L2 0, 5 104
. (4.2.13)
Takav pomak u smjeru osi grede moze imati razlicit utjecaj kad je sastavni dio slozenijekonstrukcije. Ako je to greda okvirnog nosaca, tada je horizontalni pomak vrhova stupovawh = u/2, slika 4.3. To povlaci odnos pomaka i visine stupa
K
2L
L
u/2 u/2K
Slika 4.3: Utjecaj na okvirnom nosacu
whL
=1
2
u
L 0, 25 104 , (4.2.14)
sto je utjecaj reda velicine 100 puta manji u odnosu na dopusteni pomak, pa moze biti
zanemaren.Nesto je drugaciji slucaj zglobno nepomicno oslonjene grede, 4.2.. Pomak je sprijecen
K
L
u
K
Slika 4.4: Zglobno nepomicno oslonjena greda
nepomicnim zglobnim lezajevima, pa slijedi deformacija nosaca
=u
L 0, 5 104 0, 05F , (4.2.15)
sto je oko 5% deformacije kod dopustenog naprezanja, pa je i pripadno naprezanje oko5% dopustenog naprezanja. Utjecaj na ponasanje cijelog sustava nije znacajan, ali uposebnim slucajevima moze izazvati ostecenja konstrukcije (npr. pukotine kod armira-nobetonskih konstrukcija. Izvedbom konstrukcije s mogucim pomakom barem jednoglezaja izbjegavamo dodatna naprezanja.
Za potrebu uzimanja tocnog odnosa deformacija i pomaka ponovit cemo neka opazanjau vezi mjere deformacija. Uz oznake, dx za duljinu nedeformiranog dijela konstrukcije i
-
7/27/2019 teorija elasticnosti
16/51
16 4. Geometrijska nelinearnost
d za duljinu deformiranog dijela konstrukcije, definiramo inzenjersku mjeru deformacije,I
I =d dx
dx, (4.2.16)
logaritamsku mjeru deformacije, L (u teoriji plasticnosti kod velikih deformacija)
L = lnddx
(4.2.17)
i Greenovu mjeru deformacije, G (u nelinearnoj teoriji elasticnosti)
G =1
2
d2 dx2dx2
. (4.2.18)
Uz prethodno dobiveni izraz 2.2.11
d
dx2
=
dw
dx2
+
u(x + dx) u(x)
dx+ 1
2
,
slijede izrazi za definirane mjere deformacije
I =
(1 + u)2 + w2 1 , (4.2.19)
L = ln
(1 + u)2 + w2 , (4.2.20)
G = u +
u2
2+
w2
2. (4.2.21)
Razvojem u red slijede, za prve dvije mjere deformacije, priblizni izrazi koji ukljucujukvadratne clanove
I = u +
w2
2, (4.2.22)
L = u u
2
2+
w2
2. (4.2.23)
Vidljivo je da su u linearnoj teoriji sve tri mjere deformacije jednake, a u slucaju zanemari-vanja clanova reda veceg od kvadratnog da se razlikuju za u2
2. Takva razlika znacajna je
kod velikih deformacija koje se kod stvarnih konstrukcija zapravo ne desavaju. Za stvarnekonstrukcije mozemo uvesti kriterij, s obzirom da je deformacija reda velicine 103, aw2 maksimalno 104, za inzenjersku mjeru deformacije
I u . (4.2.24)Iz takve aproksimacije moraju biti iskljucene konstrukcije s vitkim konstruktivnim ele-mentima (L/H > 15) i konstrukcije od materijala s granicom tecenja rmF > 10
3. Zbogpoklapanja linearnog dijela, isto vrijedi i za logaritamsku i Greenovu mjeru deformacije.Ako primijenimo dobivene rezultate na procjenu zakrivljenosti deformiranog stapa, slijedi
=w (1 + u) uw
(1 + u)2 + w2 w
1 + 2u w . (4.2.25)
Za proucavanje potrebe definiranja jednadzbi ravnoteze na nedeformiranoj ili deformi-
ranoj konstrukciji, promotrimo primjer konzolnog stupa opterecenog na vrhu horizontal-nom i vertikalnom silom 4.2.. Neka je horizontalni pomak vrha stupa pod djelovanjem
-
7/27/2019 teorija elasticnosti
17/51
4. Geometrijska nelinearnost 17
L
VH
w(L)
V
H
Slika 4.5: Konzolni stup opterecen horizontalnom i vertikalnom silom
horizontalne sile Hjednak wL. Zbog djelovanja vertikalne sile V dolazi do pojave dodatnog
lezajnog momenta M = V wL. Lezajni moment od horizontalne sile iznosi M = HL.Uz prethodno definiranu procjenu reda velicine parametara konstrukcije (4.2.9) slijedi
M
M=
V wLHL
=V
H
wLL V
H102 . (4.2.26)
Ako su sile H i V istog reda velicine, ocito je da doprinos dodatnog momenta M mozemozanemariti u odnosu na osnovni lezajni moment M, sto povlaci da jednadzbe ravnotezemozemo postaviti na nedeformiranoj konstrukciji.
U slucaju kad je vertikalna sila znatno veca od horizontalne sile (cesta pojava uproracunu konstrukcija, npr. stup nosac mosta ima znacajno vecu vertikalnu silu odvlastite tezine i korisnog opterecenja od horizontalne sile od potresa, vjetra i kocenja ilinpr. stup poprecnog okvira konstrukcije celicne hale s kranskom stazom), takva zadacavise nije zadaca savijanja nego zadaca proracuna stabilnosti uzduzno opterecenog stupa.
4.3. Uzduzno optereceni element konstrukcije
Promatramo i dalje slucaj konstruktivnog elementa na slici 4.5, pri cemu je vertikalnasila V znacajno veca od horizontalne sile H. Dominantno opterecenje stupa tada je uslijeduzduzne sile. Proucimo ponasanje stupa pod djelovanjem vertikalne sile. Jasno je da zanaprezanje i deformaciju mora vrijediti odnos
= VF F , (4.3.27) =
E=
V
EF F . (4.3.28)
Uz definiranje pojma vitkosti poprecnog presjeka stupa, , i duljinu izvijanja Li
=
F L2i
I= Li
F
I, (4.3.29)
mozemo prouciti zajednicki utjecaj uzduzne sile i savijanja. Kod stvarnih konstrukcijavrijednosti vitkosti krecu se uglavnom u podrucju
30 140 . (4.3.30)
-
7/27/2019 teorija elasticnosti
18/51
18 4. Geometrijska nelinearnost
Uz uvedenu granicu tecenja F 103, prethodnu procjenu reda velicine parametarakonstrukcije 4.2.9 i realnu vrijednost vitkosti 2 2 104 slijedi
V
EF 103 , V L
2
EI 103 2 104 20 . (4.3.31)
Za horizontalno opterecenje vrijedi prethodna procjena 4.2.9
HL2
EI 102 . (4.3.32)
Iz toga slijedi priblizan odnos utjecaja uzduznog i poprecnog opterecenja
V L2
EI 103 HL
2
EI, (4.3.33)
sto znaci da je udio u iskoristenju dopustenih naprezanja i deformacija od uzduznogopterecenja znacajno veci nego od poprecnog opterecenja. Stvarni znacaj ove cinjenice
vidljiv je u odnosu dodatnog i osnovnog lezajnog momenta 4.2.26 uz ogranicenje maksi-malnog horizontalnog pomaka, wL, na red velicine 10
2 ,
M
M=
V wLHL
=V L2
EI
wLL
EI
HL2 102103 = 10 . (4.3.34)
U stvarnoj konstrukciji, horizontalni pomak wL bit ce dodatno povecan zbog Msto ovdje nije uzeto u obzir. Dodatni momenti M mogu biti znacajno veci u odnosuna osnovni lezajni moment M, sto dovodi do nuznosti postavljanja jednadzbi ravnotezena deformiranoj konstrukciji. Za provedu prakticnog proracuna postoje dvije osnovnemetode
proracun po geometrijski nelinearnoj teoriji, proracun po linearnoj teoriji s dodatnim uzimanjem utjecaja izvijanja.
-
7/27/2019 teorija elasticnosti
19/51
5. Teorija elasticnosti I I. reda 19
5. Teorija elasticnosti II. reda
5.1. Osnovne pretpostavke
Proracun po teoriji II. reda ima smisla ako su dodatni momenti M, nastali kao pro-dukt uzduznog opterecenja i pomaka uslijed djelovanja poprecnog opterecenja, znacajnoveci u odnosu na osnovne momente na konstrukciji koji se javljaju pod djelovanjempoprecnog opterecenja. Mozemo razlikovati dva osnovna slucaja. U prvom slucaju, tosu konstrukcije bez pomaka cvorova pri cemu uzduzne sile moraju biti prilicno velike jersu pomaci neznatni. U drugom slucaju, to su konstrukcije sa znacajnim pomacima cvorovakod kojih onda i manje vrijednosti uzduznih sila proizvode znatne dodatne momente.
5.2. Definiranje unutarnjih sila
Iz prakticnih razloga mozemo definirati osnovne smjerove unutarnjih sila na deformira-noj konstrukciji u smjeru globalnih koordinatnih osi, a ne u smjeru lokalnih koordinatnih
osi u presjeku konstrukcije.
N TM
N + dNT + dT
M + dMq n
dx
dw H
VM
H + dHV + dV
M + dMq n
dx
Slika 5.1: Unutarnje sile u presjeku
Umjesto uzduzne i poprecne sile (N, T), sada promatramo horizontalnu i vertikalnusilu (H, V), a moment ostaje isti jer je treca koordinatna os ista i u lokalnom i u globalnomkoordinatnom sustavu. Na taj nacin formulacija diferencijalnih jednadzbi i rubnih uvjetapostaje jednostavnija.
5.3. Diferencijalni odnosi pomaka i opterecenja
Iz jednadzbi ravnoteze na izdvojenom deformiranom dijelu konstrukcije slijediKx = 0 dH+ ndx = 0 H = n , (5.3.1)Kz = 0 dV + qdx = 0 V = q , (5.3.2)M = 0 dM + Hdw V dx = 0 M + Hw = V . (5.3.3)
Kod malih deformacija (sin w = w, cos w = 1) slijede izrazi za sile u lokalnim osima kaofunkcije sila u globalnim osima
N = Hcos w
+ V sin w
H+ V w
,T = V cos w Hsin w V Hw , (5.3.4)
-
7/27/2019 teorija elasticnosti
20/51
20 5. Teorija elasticnosti I I. reda
ili sile u globalnim osima kao funkcije sila u lokalnim osima
H = Ncos w Tsin w N T w ,V = T cos w + Nsin w T + N w , (5.3.5)
a iz jednadzbe (5.3.3) dodatno i veza momenta i poprecne sile kao i u teoriji I. reda
M = V Hw = T . (5.3.6)
Ako jednadzbu (5.3.3) deriviramo po x proizlazi
M + Hw + Hw = V . (5.3.7)
Uvrstimo li u jednadzbu (5.3.7) odnose iz jednadzbi (5.3.1) i (5.3.2), slijedi
M
+ Hw
nw
= q . (5.3.8)Uz pretpostavku malih pomaka i deformacija, za moment savijanja vrijedi odnos iz teorijeI. reda
M(x) = (EI w) , (5.3.9)slijedi diferencijalna veza pomaka i opterecenja
(EI w) Hw + nw = q . (5.3.10)
Diferencijalna jednadzba (5.3.10) opisuje geometrijski nelinearnu teoriju u smislu teorije
II. reda. Jednadzba je linearna ako su koeficijenti konstantni. U opcenitom slucajukoeficijenti su u funkciji od x (EI = const., n = 0), sto znaci da je svaki po jedini slucajzapravo nova diferencijalna jednadzba.
5.4. Rjesenje diferencijalne jednadzbe
S obzirom da je rjesenje jednadzbe (5.3.10) u prakticnom smislu preslozeno, uvodimoneka ogranicenja. Pretpostavljamo da je krutost stapa na savijanje konstantna po cijelojduljini stapa, EI = const. i da je horizontalna sila u stapu konstantna
H = const. , n = 0 . (5.4.11)
Sada jednadzba (5.3.10) glasi
w HEI
w =q
EI. (5.4.12)
Prethodna jednadzba (5.4.12) ima, za razliku od (5.3.10), konstantne koeficijente. Takvopojednostavljenje ne smanjuje opseg zadaca koji mozemo promatrati. Kod stapova prom-jenljivog presjeka ili promjenljivog modula elasticnosti mozemo promatrati dijelove lokalnokonstantne krutosti. Promjena opterecenja qpovlaci promjenu samo partikularnog rjesenja
diferencijalne jednadzbe, a rjesenje homogene diferencijalne jednadzbe ostaje nepromijen-jeno.
-
7/27/2019 teorija elasticnosti
21/51
5. Teorija elasticnosti I I. reda 21
5.4.1. Rjesenje u prirodnom koordinatnom sustavu
Za jednostavnije daljnje rjesavanje jednadzbe mozemo jednadzbu (5.4.12) pomnozitisa L3
L3w HL2
EILw =
qL3
EI, (5.4.13)
a uvod-enjem bezdimenzionalnih koeficijenata
H =HL2
EI, q =
qL3
EI, (5.4.14)
jednadzba glasiL3w HLw = q . (5.4.15)
Konacno rjesenje ovisi o predznaku horizontalne sile H, (tlak ili vlak). Uz definiranjekoeficijenta h, uzduzne karakteristike stapa,
h = |H|L2
EI , h2 = |H|L
2
EI, (5.4.16)
slijede pripadne homogene jednadzbe za oba slucaja
H < 0 H > 0
L3w + HLw = 0 L3w HLw = 0 , (5.4.17)L3w + h2Lw = 0 L3w h2Lw = 0 . (5.4.18)
Uz pretpostavku oblika homogenog rjesenja na razini prirodnih koordinata = x/L
wH = Le , (5.4.19)
slijede pripadne bikvadratne jednadzbe
H < 0 H > 02 + h2
2e = 0
2 h22e = 0 , (5.4.20)
i pripadni korijeni jednadzbi
H < 0 H > 0
1,2 = 0, 3,4 = ih 1,2 = 0, 3,4 = h . (5.4.21)Homogena rjesenja sada slijede za tlacnu horizontalnu silu (H < 0)
wH = (c1 + c2+ c3 sin h+ c4 cos h) L , (5.4.22)
te za vlacnu silu (H > 0)
wH = (c1 + c2+ c3sh h+ c4ch h) L . (5.4.23)
Konstante c1, c2, c3, c4 odredimo iz rubnih uvjeta promatranog izdvojenog dijela stapaduljine L. Partikularno rjesenje za konstantno opterecenje (q = const.) glasi
wP = 12
q
HL2
= 12
qh2
L2 . (5.4.24)
-
7/27/2019 teorija elasticnosti
22/51
22 5. Teorija elasticnosti I I. reda
Konacno rjesenje zbroj je homogenog i partikularnog rjesenja
w = wH + wP . (5.4.25)
Prema proracunu po Teoriji I. reda, uz H = 0, homogeno rjesenje glasi
wH =
c1 + c2+ c3
2
+ c4
3L , (5.4.26)
a partikularno uz q = const. glasi
wP =qL
244 . (5.4.27)
Primjer 5.4.1. Obostrano upeti tlacni stap jednoliko kontinuirano poprecno opterecenPromatramo obostrano upeti tlacni stap, H < 0, opterecen jednolikim kontinuiranim
poprecnim opterecenjem q = const., (Slika 5.2). Potrebno je odrediti momentni dijagramprema Teoriji II. reda.
z, w
x, H H
q
LEI
Slika 5.2: Obostrano upeti tlacni stap jednoliko kontinuirano poprecno opterecen
Jednadzbu (5.4.12) uz definiranu uzduznu karektiristiku stapa (5.4.16) mozemo za-pisati u obliku
w +h2
L2w =
q
EI. (5.4.28)
Rubni uvjeti upetih krajeva su
w(0) = w(L) = 0 i w(0) = w(L) = 0 . (5.4.29)
Prema (5.4.22) i (5.4.24) slijede opci oblik rjesenja
w = (c1 + c2+ c3 sin h+ c4 cos h) L +1
2
q
h2L2 , (5.4.30)
i pripadne derivacije, uz d/dx = 1/L,
w = c2 + c3h cos h
c4h sin h+
q
h2
, (5.4.31)
w = c3 h2
Lsin h c4 h
2
Lcos h+
q
Lh2. (5.4.32)
Pomocu rubnih uvjeta (5.4.29), uz = 0 za x = 0 i = 1 za x = L, slijede jednadzbe zaodred-ivanje nepoznatih konstanti
w( = 0) = 0 (c1 + c4) L = 0 , (5.4.33)w( = 0) = 0 c2 + c3h = 0 , (5.4.34)w( = 1) = 0
c1 + c2 + c3 sin h + c4 cos h +
1
2
q
h2
L = 0 , (5.4.35)
w( = 1) = 0 c2 + c3h cos h c4h sin h + qh2
= 0 . (5.4.36)
-
7/27/2019 teorija elasticnosti
23/51
5. Teorija elasticnosti I I. reda 23
Rjesenjem sustava jednadzbi slijede nepoznati koeficijenti
c1 = q2h2
1 + cos h
h sin h= q
2h3ctg
h
2, (5.4.37)
c2 = q2h2
, (5.4.38)
c3 = q2h3
, (5.4.39)
c4 =q
2h21 + cos h
sin h=
q
2h3ctg
h
2. (5.4.40)
Momentna jednadzba M = EI w u bezdimenzionalnom obliku glasi
M =ML
EI= Lw , (5.4.41)
sto povlaci konacan izraz za momentnu funkciju u bezdimenzionalnom obliku
M = qh2
h2
sin h+ h2
1 + cos hsin h
cos h 1 . (5.4.42)Na slici 5.4.2. prikazan je momentni dijagram u ovisnosti o koeficijentu h Prethodnu
Slika 5.3: Utjecaj h na momentni dijagram
momentnu funkciju mozemo razviti u red po h oko 0
M = q12
1 + 6 62+ qh2720
304 603 + 302 1+ O(h4) . (5.4.43)
pri cemu je ocito jasno da je linearni dio jednak rjesenju prema Teoriji I. reda
Mlin =q
12
1 + 6 62 . (5.4.44)Primjer 5.4.2. Obostrano upeti vlacni stap jednoliko kontinuirano poprecno opterecen
Promatramo obostrano upeti vlacni stap, H > 0, opterecen jednolikim kontinuiranimpoprecnim opterecenjem q = const., (Slika 5.4). Potrebno je odrediti momentni dijagramprema Teoriji II. reda.
z, w
x, H H
q
LEI
Slika 5.4: Obostrano upeti vlacni stap jednoliko kontinuirano poprecno opterecen
Jednadzbu (5.4.12) uz definiranu uzduznu karektiristiku stapa (5.4.16) mozemo za-pisati u obliku
w h2L2
w = qEI
. (5.4.45)
-
7/27/2019 teorija elasticnosti
24/51
-
7/27/2019 teorija elasticnosti
25/51
-
7/27/2019 teorija elasticnosti
26/51
26 5. Teorija elasticnosti I I. reda
Primjer 5.4.3. Obostrano upeti tlacni stap jednoliko kontinuirano poprecno opterecenPromatramo obostrano upeti tlacni stap, H < 0, opterecen jednolikim kontinuiranim
poprecnim opterecenjem q = const., (Slika 5.2). Potrebno je odrediti momentni dijagramprema Teoriji II. reda. Rjesavamo jednadzbu (5.8.139)
w
+
h2
L2 w
=
q
EI
s pripadnim rubnim uvjetima upetih krajeva (5.4.29)
w(0) = w(L) = 0 i w(0) = w(L) = 0 .
Prema (5.4.67) i (5.4.69) slijede opci oblik rjesenja
w =
c1 + c2x + c3 sin
hx
L+ c4 cos
hx
L
+
1
2
q
EI
L2
h2x2 , (5.4.73)
i pripadne derivacije,
w = c2 + c3h
Lcos
hx
L c4h sin hx
L+
q
EI
L2
h2x , (5.4.74)
w = c3 h2
L2sin
hx
L c4 h
2
L2cos
hx
L+
q
EI
L2
h2. (5.4.75)
Pomocu rubnih uvjeta (5.4.29), slijede jednadzbe za odred-ivanje nepoznatih konstanti
w(x = 0) = 0 (c1 + c4) = 0 , (5.4.76)w(x = 0) = 0 c2 + c3 h
L= 0 , (5.4.77)
w(x = L) = 0
c1 + c2L + c3 sin h + c4 cos h +12
qEI
L4
h2
= 0 , (5.4.78)
w(x = L) = 0 c2 + c3 hL
cos h c4 hL
sin h +q
EI
L3
h2= 0 . (5.4.79)
Rjesenjem sustava jednadzbi slijede nepoznati koeficijenti
c1 = q2h2
1 + cos h
h sin h= q
2h3ctg
h
2, (5.4.80)
c2 = q2h2
, (5.4.81)
c3 = q2h3
, (5.4.82)
c4 =q
2h21 + cos h
h sin h=
q
2h3ctg
h
2. (5.4.83)
Momentna jednadzba M = EI w u bezdimenzionalnom obliku glasi
M =M L
EI= Lw , (5.4.84)
sto povlaci konacan izraz za momentnu funkciju u bezdimenzionalnom obliku
M = qh2
h2
sin h+ h2
1 + cos hsin h
cos h 1 . (5.4.85)
-
7/27/2019 teorija elasticnosti
27/51
5. Teorija elasticnosti I I. reda 27
Slika 5.6: Utjecaj h na momentni dijagram
Na slici 5.4.2. prikazan je momentni dijagram u ovisnosti o koeficijentu h Prethodnu
momentnu funkciju mozemo razviti u red po h oko 0
M =q
12
1 + 6 62+ qh2720
304 603 + 302 1+ O(h4) . (5.4.86)
pri cemu je ocito jasno da je linearni dio jednak rjesenju prema Teoriji I. reda
Mlin =q
12
1 + 6 62 . (5.4.87)Primjer 5.4.4. Obostrano upeti vlacni stap jednoliko kontinuirano poprecno opterecen
Promatramo obostrano upeti vlacni stap, H > 0, opterecen jednolikim kontinuiranimpoprecnim opterecenjem q = const., (Slika 5.4). Potrebno je odrediti momentni dijagramprema Teoriji II. reda. Rjesavamo jednadzbu (5.8.139)
w h2
L2w =
q
EI,
uz pripadne rubne uvjete (5.4.29). Prema (5.4.68) i (5.4.69) slijedi opci oblik rjesenja
w =
c1 + c2x + c3sh
hx
L+ c4ch
hx
L
1
2
q
EI
L2
h2x2 , (5.4.88)
i pripadne derivacije,
w = c2 + c3 hL ch hxL + c4 hL sh hxL qEI L
2
h2 x , (5.4.89)
w = c3h2
L2sh
hx
L+ c4
h2
L2ch
hx
L q
EI
L2
h2. (5.4.90)
Pomocu rubnih uvjeta (5.4.29), slijede jednadzbe za odred-ivanje nepoznatih konstanti
w(x = 0) = 0 (c1 + c4) = 0 , (5.4.91)w(x = 0) = 0 c2 + c3 h
L= 0 , (5.4.92)
w(x = L) = 0
c1 + c2L + c3sh h + c4ch h
1
2
q
EI
L4
h2 = 0 , (5.4.93)
w(x = L) = 0 c2 + c3 hL
ch h + c4h
Lsh h q
EI
L3
h2= 0 . (5.4.94)
Rjesenjem sustava jednadzbi slijede nepoznati koeficijenti
c1 = q2h3
cthh
2, (5.4.95)
c2 =1
2
q
h2, (5.4.96)
c3 = 12
q
h3, (5.4.97)
c4 = q2h3
cth h2
. (5.4.98)
-
7/27/2019 teorija elasticnosti
28/51
28 5. Teorija elasticnosti I I. reda
Momentna jednadzba M = EI w u bezdimenzionalnom obliku glasi
M =M L
EI= Lw , (5.4.99)
sto povlaci konacan izraz za momentnu funkciju u bezdimenzionalnom obliku
M =q
h2
h
2sh h h
2cth h cos h+ 1
. (5.4.100)
Na slici 5.4.2. prikazan je momentni dijagram u ovisnosti o koeficijentu h. Prethodnu
Slika 5.7: Utjecaj h na momentni dijagram
momentnu funkciju mozemo razviti u red po h oko 0
M =q
12
1 + 6 62 qh2720
304 603 + 302 1+ O(h4) . (5.4.101)
pri cemu je ocito jasno da je linearni dio jednak rjesenju prema Teoriji I. reda
Mlin =q
12
1 + 6 62 . (5.4.102)5.5. Matrica krutosti tlacnog stapa prema Teoriji II. reda
Jednadzbu (5.4.12) uz definiranu uzduznu karakteristiku stapa (5.4.16) mozemo za-pisati u obliku
w +h2
L2w =
q
EI. (5.5.103)
Promatramo obostrano upeti stap opterecen tlacnom silom. Rjesenje pripadne homogene
H HLEI
i k
Slika 5.8: Obostrano upeti tlacni stap
diferencijalne jednadzbe glasi
w(x) = c1 + c2x + c3 sinhx
L+ c4 cos
hx
L. (5.5.104)
Pomake na krajevima stapa, uz (x) = w(x), mozemo zapisati u matricnom obliku
w(0)(0)
w(L)(L)
=
1 0 0 10 1 h
L0
1 L sin h cos h0 1 h
Lcos h h
Lsin h
c1c2
c3c4
, (5.5.105)
-
7/27/2019 teorija elasticnosti
29/51
5. Teorija elasticnosti I I. reda 29
H H
Tik Tki
Mik
MkiLEI
i k
Slika 5.9: Sile na krajevima tlacnog stapa
ili u skracenom matricnom obliku
w = Bc ili c = B1w . (5.5.106)
Sile na krajevima stapa mozemo definirati prema izrazima
Tik = EI
w
+
h2
L2 w
x=0 = c2
h2
L2 EI (5.5.107)
Mik = EI wx=0 = c4
h2
L2EI (5.5.108)
Tki = EI
w +h2
L2wx=L
= c2 h2
L2EI (5.5.109)
Mki = EI wx=L = EI(c3 sin h + c4 cos h)h2
L2, (5.5.110)
odnosno u matricnom zapisu
TikMikTkiMki
= EI
0 h2
L20 0
0 0 0 h2L2
0 h2L2
0 0
0 0 h2
L2sin h h
2
L2cos h
c1c2c3c4
, (5.5.111)
ili krace zapisano obliku
fik = Gc = GB1w , (5.5.112)
pri cemu je vektor wT = [wik i wki k] vektor pomaka krajeva stapa, a produkt matricaGB1 predstavlja lokalnu matricu krutosti stapa
Kik =EI
2 + 2 cos h + h sin h
h3 sinhL3
h2(1+cosh)L2
h3 sinhL3
h2(1+cosh)L2
h2(1+cosh)L2
h(h coshsinh)L
h2(1+cosh)L2
h(hsinh)L
h3 sinhL3
h2(1+cosh)L2
h3 sinhL3
h2(1+cosh)L2
h2(1+cosh)
L2 h(hsinh)
L
h2(1+cosh)
L2h(h coshsinh)
L
.
(5.5.113)
-
7/27/2019 teorija elasticnosti
30/51
30 5. Teorija elasticnosti I I. reda
Matricu krutosti mozemo razviti u Taylorov red po h u okolini 0, pa uzimajuci u obzir domaksimalno kvadratnog clana slijedi
Kik = EI
12L3 6h2
5L3 6
L2+ h
2
10L2 12
L3+ 6h
2
5L3 6
L2+ h
2
10L2
6
L2 +h2
10L24
L 2h2
15L
6
L2 h2
10L22
L +h2
30L
12L3
+ 6h2
5L36L2 h2
10L212L3 6h2
5L36L2 h2
10L2
6L2
+ h2
10L22L
+ h2
30L6L2 h2
10L24L 2h2
15L
. (5.5.114)
Razvijenu matricu krutosti mozemo izraziti pomocu uzduzne tlacne sile H u mjestouzduzne karakteristike h
Kik =
12EIL3
6H5L
6EIL2
+ H10
12EIL3
+ 6H5L
6EIL2
+ H10
6EIL2 + H10 4EIL 2HL15 6EIL2 H10 2EIL + HL3012EI
L3+ 6H
5L6EIL2 H
1012EIL3
6H5L
6EIL2 H
10
6EIL2
+ H10
2EIL
+ HL30
6EIL2 H
104EIL 2HL
15
. (5.5.115)
5.6. Vektor upetosti tlacnog stapa prema Teoriji II. reda
Jednadzbu (5.4.12) uz definiranu uzduznu karakteristiku stapa (5.4.16) mozemo za-pisati u obliku
w + h2
L2w = q
EI= q . (5.6.116)
Rjesenje diferencijalne jednadzbe glasi
w(x) = c1 + c2x + c3 sinhx
L+ c4 cos
hx
L+
qL2x2
2h2. (5.6.117)
Rubne uvjete za stanje upetosti mozemo zapisati u matricnom obliku
w(0)(0)w(L)(L)
= 1 0 0 10
1
h
L
01 L sin h cos h0 1 h
Lcos h h
Lsin h
c1c2c3c4
+ 00
qL42h2
qL3h2
, (5.6.118)ili u skracenom matricnom obliku
w = Bc + q = 0 (5.6.119)c = B1q
=
qL4
2h3ctg h
2
qL32h2
qL4
2h3qL4
2h3ctg h
2
. (5.6.120)
-
7/27/2019 teorija elasticnosti
31/51
5. Teorija elasticnosti I I. reda 31
Progibnu liniju sada mozemo zapisati u obliku
w =
1 x sin hxL
cos hxL
c +
qL2x2
2h2
= 1 x sinhxL
cos hxL B
1q +qL2x2
2h2
=qL2
2h2x2 qL3
2h2x qL4
2h3
ctg
h2 ctg h
2cos
hxL sinhx
L
. (5.6.121)
Sile na krajevima stapa
Tik = EI
w +
h2
L2wx=0
= qL2
(5.6.122)
Mik = EI wx=0 =
qL2
2 hctg h2
2h2
(5.6.123)
Tki =
EIw +
h2
L2
wx=L
=
qL
2
(5.6.124)
Mki = EI wx=L = qL2
2 h cos hctg h2
+ h sin h
2h2
= qL2
2 hctg h2
2h2
. (5.6.125)
5.7. Matrica krutosti vlacnog stapa prema Teoriji II. reda
Jednadzbu (5.4.12) uz definiranu uzduznu karakteristiku stapa (5.4.16) mozemo za-pisati u obliku
w
h2
L2 w
=
q
EI . (5.7.126)Promatramo obostrano upeti stap opterecen vlacnom silom. Rjesenje pripadne homogene
H HLEI
i k
Slika 5.10: Obostrano upeti vlacni stap
diferencijalne jednadzbe glasi
w(x) = c1 + c2x + c3shhx
L+ c4ch
hx
L. (5.7.127)
Pomake na krajevima stapa, uz (x) = w(x), mozemo zapisati u matricnom obliku
w(0)(0)w(L)(L)
=
1 0 0 10 1 h
L0
1 L sh h ch h0 1 h
Lch h h
Lsh h
c1c2c3c4
, (5.7.128)
ili u skracenom matricnom obliku
w = Bc ili c = B1w . (5.7.129)
-
7/27/2019 teorija elasticnosti
32/51
32 5. Teorija elasticnosti I I. reda
H H
Tik Tki
Mik
MkiLEI
i k
Slika 5.11: Sile na krajevima vlacnog stapa
Sile na krajevima stapa mozemo definirati prema izrazima
Tik = EI
w h
2
L2wx=0
= c2 h2
L2EI (5.7.130)
Mik = EI wx=0 = c4
h2
L2EI (5.7.131)
Tki = EI
w h2
L2wx=L
= c2h2
L2EI (5.7.132)
Mki = EI wx=L = EI (c3sh h + c4ch h) h2
L2, (5.7.133)
odnosno u matricnom zapisu
TikMikTkiMki
= EI
0 h2L2
0 0
0 0 0 h2
L2
0 h2
L20 0
0 0 h2L2
sh h h2L2
ch h
c1c2c3c4
, (5.7.134)
ili krace zapisano obliku
fik = Gc = GB1
w , (5.7.135)pri cemu je vektor wT = [wik i wki k] vektor pomaka krajeva stapa, a produkt matricaGB1 predstavlja lokalnu matricu krutosti stapa
Kik =EI
2 + 2ch h hsh h
h3shhL3
h2(1+ch h)L2
h3shhL3
h2(1+ch h)L2
h2(1+ch h)L2
h(sinhhhchh)L
h2(1+ch h)L2
h(hshh)L
h3shhL3
h2(1+ch h)L2
h3shhL3
h2(1+ch h)L2
h2
(1+ch h)L2 h(hshh)L h2
(1+ch h)L2 h(sinhhhchh)L
.
(5.7.136)Matricu krutosti mozemo razviti u Taylorov red po h u okolini 0, pa uzimajuci u obzir domaksimalno kvadratnog clana slijedi
Kik = EI
12L3
+ 6h2
5L3 6
L2 h2
10L2 12
L3 6h2
5L3 6
L2 h2
10L2
6L2 h2
10L24L
+ 2h2
15L6L2
+ h2
10L22L h2
30L
12L3 6h2
5L36L2
+ h2
10L212L3
+ 6h2
5L36L2
+ h2
10L2
6L2 h2
10L22L h2
30L6L2
+ h2
10L24L
+ 2h2
15L
. (5.7.137)
-
7/27/2019 teorija elasticnosti
33/51
5. Teorija elasticnosti I I. reda 33
Razvijenu matricu krutosti mozemo izraziti pomocu uzduzne vlacne sile H u mjestouzduzne karakteristike h
Kik =
12EIL3
+ 6H5L
6EIL2 H
1012EI
L3 6H
5L6EI
L2 H
10
6EI
L2
H
10
4EI
L+ 2HL
15
6EI
L2 +
H
10
2EI
L HL
30
12EIL 6H
5L6EIL2
+ H10
12EIL3
+ 6H5L
6EIL2
+ H10
6EIL2 H
102EIL HL
306EIL2
+ H10
4EIL
+ 2HL15
. (5.7.138)
5.8. Vektor upetosti vlacnog stapa prema Teoriji II. reda
Jednadzbu (5.4.12) uz definiranu uzduznu karakteristiku stapa (5.4.16) mozemo za-pisati u obliku
w h2
L2w = q
EI= q . (5.8.139)
Rjesenje diferencijalne jednadzbe glasi
w(x) = c1 + c2x + c3shhx
L+ c4ch
hx
L qL
2x2
2h2. (5.8.140)
Rubne uvjete za stanje upetosti mozemo zapisati u matricnom obliku
w(0)
(0)w(L)(L)
= 1 0 0 1
0 1 hL 01 L sh h ch h0 1 h
Lch h h
Lsh h
c1
c2c3c4
+ 0
0 qL4
2h2qL3
h2
, (5.8.141)
ili u skracenom matricnom obliku
w = Bc + q = 0 (5.8.142)c = B1q
= qL4
2h3cth h
2qL3
2h2 qL42h3
qL4
2h3cth h
2
. (5.8.143)
Progibnu liniju sada mozemo zapisati u obliku
w =
1 x sh hxL
ch hxL
c qL
2x2
2h2
=
1 x sh hxL
ch hxL
B1q +qL2x2
2h2
= qL2
2h2x2 + qL
3
2h2x qL
4
2h3
cth h2 cth h
2ch hx
L+ sinhhx
L
. (5.8.144)
-
7/27/2019 teorija elasticnosti
34/51
-
7/27/2019 teorija elasticnosti
35/51
5. Teorija elasticnosti I I. reda 35
Oslobod-en je kut zaokreta na krajnjem cvoru stapa, k, a pripadni moment jednak jenuli, Mki = 0. Iz cetvrtog retka matrice krutosti mozemo izraziti kut zaokreta k kaofunkciju ostalih pomaka, wi, i, wk, (5.9.150) ,
k = h2(1+cosh)
L2 wi + h(hsinh)
L i + h2(1+cosh)
L2 wkh(h coshsinh)
L
=h (1 + cos h)
L (h cos h sin h) wi +h 1sin h
h cos h sin hi h (1 + cos h)
L (h cos h sin h) wk .(5.9.153)
Lokalnu kondenziranu matricu krutosti jednostrano upetog stapa mozemo sada dobitiuvrstavanjem izraza za kut k u ostale retke matrice krutosti, (5.9.151) Matricu krutostimozemo razviti u Taylorov red po h u okolini 0, pa uzimajuci u obzir do maksimalnokvadratnog clana slijedi
KCik = EI
3L3
6h2
5L3
3L2
+ h2
5L2
3L3
+ 6h2
5L30
3L2
+ h25L2
3L h2
5L3L2 h2
5L20
3L3
+ 6h2
5L33L2 h2
5L23L3 6h2
5L30
0 0 0 0
. (5.9.154)
Razvijenu matricu krutosti mozemo izraziti pomocu uzduzne tlacne sile Humjesto uzduznekarakteristike h
KCik =
3EIL3 6H
5L3EI
L2+ H
53EI
L3+ 6H
5L0
3EIL2
+ H5
3EIL HL
53EIL2 H
50
3EIL3
+ 6H5L
3EIL2 H
53EIL3 6H
5L0
0 0 0 0
. (5.9.155)
Primjer 5.9.6. Matrica krutosti upeto-upeto kliznog tlacnog stapa kondenzacijom matricekrutosti obostrano upetog tlacnog stapa
Promatramo upeto-upeto klizni tlacni stap, H < 0, s poprecnom vezom oslobod-enomna desnom kraju stapa, (Slika 5.9.). Potrebno je odrediti kondenziranu maricu krutostiprema Teoriji II. reda.
Slika 5.13: Upeto-upeto klizni tlacni stap
Matrica krutosti obostrano upetog tlacnog stapa, (5.5.113), glasi
Kik =EI
2 + 2 cos h + h sin h
h3 sinhL3
h2(1+cosh)L2
h3 sinhL3
h2(1+cosh)L2
h2(1+cosh)L2
h(h coshsinh)L
h2(1+cosh)L2
h(hsinh)L
h3 sinhL3
h2(1+cosh)L2
h3 sinhL3
h2(1+cosh)L2
h2(1+cosh)L2
h(hsinh)L
h2(1+cosh)L2
h(h coshsinh)L
.
(5.9.156)
Oslobod-en je poprecni pomak na krajnjem cvoru stapa, wk, a pripadna poprecna silajednaka je nuli, Tki = 0. Iz treceg retka matrice krutosti mozemo izraziti poprecni pomak
-
7/27/2019 teorija elasticnosti
36/51
36 5. Teorija elasticnosti I I. reda
wk kao funkciju ostalih pomaka, wi, i, k, (5.9.150) ,
wk =
h3 sinh
L3
wi +
h2(1+cosh)
L2
i +
h2(1+cosh)
L2
k
h3 sinhL3
= wi L (
1 + cos h csc h)
h i L (
1 + cos h csc h)
h k . (5.9.157)
Lokalnu kondenziranu matricu krutosti upeto-upeto kliznog stapa mozemo sada dobitiuvrstavanjem izraza za poprecni pomak wk u ostale retke matrice krutosti, (5.9.151)Matricu krutosti mozemo razviti u Taylorov red po h u okolini 0, pa uzimajuci u obzir domaksimalno kvadratnog clana slijedi
KCik = EI
0 0 0 0
0 1L h2
3L0 1
L h2
6L
0 0 0 0
0 1
L h2
6L 0
1
L h2
3L
. (5.9.158)
Razvijenu matricu krutosti mozemo izraziti pomocu uzduzne tlacne sile H u mjestouzduzne karakteristike h
KCik =
0 0 0 00 EI
L HL
30 EI
L HL
6
0 0 0 00 EI
L HL
60 EI
L HL
3
. (5.9.159)
-
7/27/2019 teorija elasticnosti
37/51
6. Imperfekcije 37
6. Imperfekcije
6.1. Osnovne definicije i preduvjeti
Tijekom procesa izvedbe konstrukcije i pojedinih konstruktivnih elemenata dolazi doodred-enih odstupanja od planirane geometrije i planiranih svojstava konstrukcije. Takva
odstupanja zovemo imperfekcije. Razlikujemo dvije osnovne vrste imperfekcije
geometrijske imperfekcije (odstupanja u mjerama), imperfekcije konstrukcije (nehomogenost materijala, parazitna naprezanja zbog varova,. . . )
.
Za pojednostavljenje proracuna mozemo sva neplanirana odstupanja od proracunskogmodela uzeti u obzir kao zamjenske geometrijske imperfekcije. Utjecaj pocetnih deforma-cija na staticke velicine u proracunu po teoriji I. reda ne uzimamo u obzir.
6.2. Izvod diferencijalnih jednadzbiJednadzbe ravnoteze postavljamo na elementu s pocetnom deformacijom bez naprezanja
na kojem dolazi i do deformacije pod djelovanjem opterecenja. Jednadzbe glase
Slika 6.1: Stap s pocetnom deformacijom bez naprezanja pod djelovanjem opterecenja
Kx = 0 H = const. , (6.2.1)Kz = 0 dV + qdx = 0 , (6.2.2)M = 0 dM + Hdwp + dwel V dx = 0 . (6.2.3)
Nakon integracije jednadzbe ravnoteze momenata slijedi
M + H
wp + wel
=
V dx c (6.2.4)
odnosno
M + Hwel =
Hwp + V dx c . (6.2.5)
Clan Hwel dodatak je u odnosu na teoriju I. reda , a clan Hwp dodatak je u odnosu nateoriju II. reda bez pocetne deformacije. Zakon elasticnosti za moment vrijedi samo zaelasticnu deformaciju,
M = EIwel , (6.2.6)slijedi
EI wel Hwel = Hwp
V dx c , (6.2.7)
a nakon mnozenja s koeficijentom 1/EI
wel H
EIwel = H
EIwp V
EIdx + c
EI. (6.2.8)
-
7/27/2019 teorija elasticnosti
38/51
38 6. Imperfekcije
Prethodnu jednadzbu promatramo dalje samo za slucaj opterecenja od pocetnog po-maka wp, uz wel = w,
w HEI
w =H
EIwp . (6.2.9)
6.3. Rjesenje diferencijalne jednadzbe
Rjesenje jednadzbe (6.2.9) mozemo zapisati kao zbroj homogenog i partikularnogrjesenja. Promatramo paralelno jednadzbu za tlacnu (H < 0) i vlacnu silu (H > 0)u prirodnom koordinatnom sustavu = x/L uz uvedenu uzduznu karakteristiku stapa,(5.4.16). Jednadzbe glase
H < 0 H > 0
w +h2
L2w = h
2
L2wp w h
2
L2w =
h2
L2wp , (6.3.10)
(6.3.11)
6.3.1. Partikularno rjesenje u prirodnom koordinatnom sustavu
Homogeno rjesenje za tlacnu horizontalnu silu (H < 0) glasi
wH = (c1 sin h+ c2 cos h) L , (6.3.12)
a za vlacnu horizontalnu silu (H > 0)
wH = (c1sh h+ c2ch h) L . (6.3.13)
Partikularno rjesenje ovisi o obliku pocetne deformacije. Pretpostavimo parabolicnu
pocetnu deformaciju wp = w0
1 42 , (6.3.14)slijedi opci oblik partikularnog rjesenja
wP =
d0 + d1+ d22
L , (6.3.15)
a uvrstavanjem u polaznu jednadzbu slijede partikularna rjesenja za tlacnu silu
wP = w0
42 8
h2 1
, (6.3.16)
i za vlacnu silu
wP = w0
42 + 8h2 1
, (6.3.17)
6.3.2. Partikularno rjesenje u standardnom koordinatnom sustavu
Homogeno rjesenje za tlacnu horizontalnu silu (H < 0) glasi
wH = c1 sinhx
L+ c2 cos
hx
L, (6.3.18)
a za vlacnu horizontalnu silu (H > 0)
wH = c1sh hxL
+ c2ch hxL
. (6.3.19)
-
7/27/2019 teorija elasticnosti
39/51
-
7/27/2019 teorija elasticnosti
40/51
40 6. Imperfekcije
Sada slijedi konacni izraz za progib jednak partikularnom rjesenju
w = w0
42 8
h2 1
=
8w0
h2
wp . (6.3.29)
Primjer 6.3.10. Obostrano upeti tlacni stap u standardnom koordinatnom sustavuKonstante c1, c2 odredimo iz rubnih uvjeta promatranog stapa duljine L. Kutevi
zaokreta lezajeva jednaki su kutu zaokreta pocetne imperfekcije. Takav lezajni uvjet isimetrija povlace vrijednosti koeficijenata za tlacnu silu
c1 = 0 , c2 = 0 , (6.3.30)
Sada slijedi konacni izraz za progib jednak partikularnom rjesenju
w = w0
4x2
8
h2 1= 8w0
h2 wp . (6.3.31)
-
7/27/2019 teorija elasticnosti
41/51
7. Postupak P-Delta 41
7. Postupak P-Delta
7.1. Osnovna ideja postupka
Postupak P-Delta iterativni je postupak proracuna po Teoriji II. reda. Predstavljalinearizaciju jednadzbi nelinearne teorije. U sustavu jednadzbi ravnoteze uz nepoznatepomake imamo i nepoznatu uzduznu silu N. Elementi matrice krutosti iskazani su kaofunkcija uzduzne sile. Pretpostavimo li neku vrijednost uzduzne sile matrica krutostipostaje neovisna vrijednostima unutarnjih sila sto dovodi do mogucnosti proracuna polinearnoj teoriji, inzenjerskoj metodi pomaka.
Pocetnu vrijednost uzduzne sile N0 dobivenu linearnim proracunom mijnjamo tijekomiterativnog postupka do konacne vrijednosti Nn nakon n iteracija.
Ako su pomaci konstrukcije veliki, Mozemo nakon linearnog proracuna mijenjati ikoordinate cvorova, uz novi proracun lokalnih matrica krutosti pripadnih stapova.
Konacne sile na krajevima stapova iznose
fik =
Klinik + Knelinik
u + fik . (7.1.1)
U prvom koraku provedemo linearni proracun i odredimo uzduzne sile u svim elemen-tima konstrukcije. Nakon toga odredimo lokalne matrice krutosti stapova, lokalne vektoreupetosti, globalnu matricu krutosti i globalni vektor upetosti kao funkcije uzduznih sila do-bivenih nakon linearnog proracuna. Nepoznanice su translatorni pomaci i kutevi zaokretaprema inzenjerskoj metodi pomaka. Iz jednadzbi ravnoteze cvorova i jednadzbi radova nanepoznatim translatornim pomacima odredimo vrijednosti nepoznatih pomaka i sila nakrajevima stapova.
7.2. Numericki proracun
Primjer 7.2.1. Na zadanom okvirnom nosacu potrebno je odrediti momente u cvorovima
L
LEI
EI
K q
Slika 7.1: Zadani okvirni nosac
Zadane su vrijednosti
E = 2 108 kN/m2 , I = 25170 cm4L = 6 m , q = 40 kN/m , K = 1000 kN .
U prvom dijelu proracuna odredit cemo unutarnje sile linearnim proracunom, npr, inzenjerskommetodom pomaka. Jedina nepoznanica je kut zaokreta 2 pa su izrazi za momente na
-
7/27/2019 teorija elasticnosti
42/51
-
7/27/2019 teorija elasticnosti
43/51
7. Postupak P-Delta 43
Iz ravnoteze cvora 2 sada slijedi
M21 + M23 = 0
662242 + 120, 0215 = 0
2=
0.0018124
1
551, 7678,
M12 = 30, 812 kNm , M21 = 59, 221 kNm ,M23 = 59, 221 kNm , M32 = 150, 438 kNm ,
Ns = N21 = N12 = 1104, 7972 kN (tlak) ,Ng = N32 = N23 = 15, 0055 kN (tlak) .
Provest cemo jos jednu iteraciju da moemo uvidjeti bliskost rjesenja i dovoljnost prethodneiteracije u prakticnom smislu. Izrazi za momente na krajevima stapova su sada
M12 =2EI
L +LNs
30
2 = (16780 + 220, 96) 2 = 17001, 042 ,
M21 =
4EI
L 2LNs
15
2 = (33560 883, 84) 2 = 32676, 162 ,
M23 =
4EI
L 2LNg
15
2 +
qL2
12+
qL4Ng720EI
= (33560 12, 0044) 2 + 120, 02146 = 33547, 99562 + 120, 02146 ,
M32 =
2EI
L+
LNg30
2
qL2
12+
qL4Ng720EI
= (16780 + 3, 0011) 2
120, 02146 = 16783, 00112
120, 02146 .
Iz ravnoteze cvora 2 sada slijedi
M21 + M23 = 0
66224, 15562 + 120, 02146 = 0 2 = 0, 0018124 1
551, 7693,
M12 = 30, 812 kNm , M21 = 59, 221 kNm ,M23 = 59, 221 kNm , M32 = 150, 438 kNm ,
Ns = N21 = N12 = 1104, 7972 kN (tlak) ,Ng = N32 = N23 = 15, 0055 kN (tlak) .
Rezultati su jednaki na prikazanu decimalu. To znaci da je u ovakvom primjeru vec nakonprve iteracije dobiveno zadovoljavajuce nelinearno rjesenje.
Primjer 7.2.2. Na prethodnom primjeru potrebno je odrediti momente u cvorovima, aliza razlicitu krutost konstrukcije
Sve su vrijednosti jednake kao u prethodnom primjeru osim momenta inercije poprecbog
presjeka I = 5700 cm4
. Linearni dio proracuna da je jednake vrijednosti momenata kao uprethodnom primjeru, zbog istog odnosa krutosti stupa i grede, ali uz veci kut zaokreta
-
7/27/2019 teorija elasticnosti
44/51
44 7. Postupak P-Delta
zbog manje krutosti konstrukcije. Momenti na krajevima stapova jednaki su
M12 =2EI
L2 = 38002 ,
M21 =4EI
L2 = 76002 ,
M23 =4EI
L2 +
qL2
12= 76002 + 120 ,
M32 =2EI
L2 qL
2
12= 38002 120 .
Iz ravnoteze cvora 2 slijedi
M21 + M23 = 0
152002 + 120 = 0
2 =
3
380 1
126, 6
,
M12 = 30 kNm , M21 = 60 kNm ,M23 = 60 kNm , M32 = 150 kNm ,
Ns = N21 = N12 = 1105 kN (tlak) ,Ng = N32 = N23 = 15 kN (tlak) .
Sada izracunamo kvadratnu aproksimaciju potrebnih pripadnih koeficijenata (kii i kii)u nelinearnoj matrici krutosti i nelinearne sile upetosti tlacnog stapa i dobivamo izrazeza momente na krajevima stapova
M12 =
2EIL + LNs
30
2 = (3800 + 221) 2 = 40212 ,
M21 =
4EI
L 2LNs
15
2 = (7600 884) 2 = 67162 ,
M23 =
4EI
L 2LNg
15
2 +
qL2
12+
qL4Ng720EI
= (7600 12) 2 + 120, 0474 = 75882 + 120, 0474 ,
M32 =
2EI
L+
LNg30
2
qL2
12+
qL4Ng720EI
= (3800 + 3)
2 120, 0474 = 3803
2 120, 0474 .
Iz ravnoteze cvora 2 sada slijedi
M21 + M23 = 0
143042 + 120, 0474 = 0 2 = 0, 0083926 1
119, 153,
M12 = 33, 747 kNm , M21 = 56, 365 kNm ,M23 = 56, 365 kNm , M32 = 151, 964 kNm ,
Ns = N21 = N12 = 1104, 0668 kN (tlak) ,Ng = N32 = N23 = 15, 0187 kN (tlak) .
-
7/27/2019 teorija elasticnosti
45/51
7. Postupak P-Delta 45
Mozemo uociti da su razlike momenata u cvorovima manje od 1%, pa nije potrebnoza prakticnu primjenu provoditi daljnje iteracije. Nesto je veca razlika u kutu zaokretacvora koja iznosi oko 6%. Razlike su nesto vece nego u prethodnom primjeru zbog manjekrutosti konstrukcije koja rezuktira vecim utjecajem nelinearnog ponasanja konstrukcije
Primjer 7.2.3. Na zadanom okvirnom nosacu potrebno je odrediti momente u cvorovima
L
HEI
EI
EI
KHKV KV
Slika 7.2: Zadani okvirni nosac
Zadane su vrijednosti
E = 2 108 kN/m2 , I = 25170 cm4H = 4 m , L = 6 m , KH = 120 kN , KV = 1000 kN .
U prvom dijelu proracuna odredit cemo unutarnje sile linearnim proracunom, npr,inzenjerskom metodom pomaka. Nepoznanice su kutevi zaokreta 2, 3 i translatornipomak u2/3 = u. Izrazi za momente na krajevima stapova su
M12
=2EI
H
2+
6EI
H2u = 25170
2+ 18877, 5u ,
M21 =4EI
H2 +
6EI
H2u = 503402 + 18877, 5u
M23 =4EI
L2 +
2EI
L3 = 335602 + 167803 ,
M32 =2EI
L2 +
4EI
L3 = 167802 + 335603 ,
M34 =4EI
H3 +
6EI
H2u = 503403 + 18877, 5u ,
M43 =2EI
H
3 +6EI
H2
u = 251703 + 18877, 5u .
Iz ravnoteze cvorova 2, 3 i jednadzbe rada na jedinicnom translatornom pomaku u slijedisustav jednadzbi
0 = 839002 + 167803 + 18877, 5u
0 = 167802 + 839003 + 18877, 5u
120 = 18877, 52 + 18877, 53 + 18877, 5u
Rjesenje sustava daje vrijednosti nepoznatih pomaka
2 = 3 = 0, 001907 = 84195
, u = 0, 0101708 198, 32
.
-
7/27/2019 teorija elasticnosti
46/51
-
7/27/2019 teorija elasticnosti
47/51
7. Postupak P-Delta 47
Rjesenje sustava daje vrijednosti nepoznatih pomaka
2 = 3 = 0, 00200367 = , u = 0, 010682 193, 612
.
Momenti na krajevima stapova su
M12 = 149, 932 kNm , M21 = 100, 793 kNm , M23 = 100, 793 kNm ,M32 = 100, 793 kNm , M34 = 100, 793 kNm , M43 = 149, 847 kNm ,
a uzduzne (tlacne) sile iznose
Ns1 = N21 = N12 = 969, 86 kN ,Ng = N32 = N23 = 57, 32 kN ,Ns2 = N43 = N34 = 1030, 14 kN .
Rezultati su vrlo bliski linearnom proracunu sto povlaci da u prakticnom smislu nije
potrebno provoditi dodatne iteracija.
Primjer 7.2.4. Na zadanom okviru potrebno je odrediti momente u cvorovima
L
HEI
EI
EI
KHKV KV
Slika 7.3: Zadani okvirni nosac
Zadane su vrijednosti
E = 2 108 kN/m2 , I = 5700 cm4H = 4 m , L = 8 m , KH = 10 kN , KV = 1000 kN .
U prvom dijelu proracuna odredit cemo unutarnje sile linearnim proracunom, npr,inzenjerskom metodom pomaka. Nepoznanica je samo translatorni pomak u2/3 = u.
Izrazi za momente na krajevima stapova su
M12 =3EI
H2u = 2137, 5u ,
M43 =3EI
H2u = 2137, 5u .
Iz jednadzbe rada na jedinicnom translatornom pomaku u slijedi jednadzba
0 =
(M12 + M43)1H
+ Kh
1, 0
10 = 1068, 75u
-
7/27/2019 teorija elasticnosti
48/51
48 7. Postupak P-Delta
Rjesenje sustava daje vrijednosti nepoznatog pomaka
u == 0, 009357 =8
855.
Momenti na krajevima stapova su
M12 = M43 = 20 kNm ,
a uzduzne (tlacne) sile iznose
Ns1 = N21 = N12 = 1000 kN ,Ns2 = N43 = N34 = 1000 kN .
Sada izracunamo potrebne pripadne nelinearne koeficijente matrice krutosti i izraze zamomente na krajevima stapova
M12 =
3EIH2
Ns15
u = (2137, 5 200)u = 1937, 5u ,
M43 =
3EI
H2 Ns2
5
u = (2137, 5 200)u = 1937, 5u .
Jednadzba rada sada glasi10 = 468, 75u
Rjesenje sustava daje vrijednosti nepoznatog pomaka
u = 0, 0213 =8
375 .
Momenti na krajevima stapova su
M12 = 41, 3 kNm , M43 = 41, 3 kNm ,
a uzduzne (tlacne) sile jednake su
Ns1 = N21 = N12 = 1000 kN ,Ns2 = N43 = N34 = 1000 kN ,
jednake su kao i prije prve iteracije sto povlaci da su dobiveni rezultati i konacni. Mozemouociti da nelinearnim proracunom dobivamo horizontalni pomak konstrukcije oko 2,28puta veci nego linearnim proracunom. Lezajni momenti su 2,067 pota veci od momenatadobivenih linearnim proracunom.
-
7/27/2019 teorija elasticnosti
49/51
8. Fizikalna nelinearnsot 49
8. Fizikalna nelinearnsot
8.1. Prethodne napomene
Fizikalna linearna teorija ogranicna je na linearno podrucje dijagrama, na po-drucje u kojem vrijedi Hookeov zakon. Opterecenje otkazivanja konstrukcije opterecenjeje kod kojeg je dostignuto granicno elasticno opterecenje, granica tecenja. Ogranicenjemopterecenja na dostizanje granicnog elasticnog opterecenja konstrukcija zapravo nije upotpunosti iskoristena. Za povecanje opterecenja preko granice elasticnog opterecenja dogranice otkazivanja potrebno je odgovarajuce uzeti u obzir nelinearno ponasanje mater-ijala. Kao i kod geometrijske nelinearnosti, svaki nelinearni zakon ponasanja materijalavodi do nelinearnog odnosa opterecenja i statickih velicina konstrukcije.
8.2. Aproksimacija nelinearnog ponasanja materijala
8.2.1. Pregled
Nelinearno ponasanje materijala mozemo pribizno iskazati
razvojem u red potencija,
opcim bilinearnim izrazom,
posebnim bilinearnim izrazom (linearno elasticno / idealno plasticno),
parabola-pravokutnik izrazom (nelinearno ponasanje betona).
8.2.2. Razvoj u red potencija
Dijagram bez izrazenog podrucja tecenja mozemo priblizno iskazati razvo jem ured potencija u obliku
= E
1 = c1 + c22 + . . . cn
n
, (8.2.1)
pri cemu vrijednosti E i ci, i = 1, . . . , n dobivamo na temelju ispitivanja.
Ako promatramo ponasanje materijala u odred-enom presjeku, naprezanje i deformacijasu samo u funkciji varijable z, (x, z) = (z) i (x, z) = (z). Jednadzba (1.3.20) vrijedii kod nelinearnog ponasanja materijala,
M =
F
(z)zdF =
F
((z))zdF . (8.2.2)
Uvrstavanjem jednadzbe (8.2.1) u jednadzbu (8.2.2) slijedi jednadzba konstitucije
M = E
F
z
1 + c1 + c22 + . . . cn
n
. (8.2.3)
Uz pretpostavku malih pomaka, izraz za deformaciju je
(z) = u zw , (8.2.4)
-
7/27/2019 teorija elasticnosti
50/51
50 8. Fizikalna nelinearnsot
sto povlaci, prema jednadzbi (8.2.3),
M = E
uF
zdF wF
z2dF
+c1
u2 F
zdF 2wuF
z2dF + w2F
z3dF . . . . (8.2.5)
Vidljivo je da su prva dva clana u izrazu (8.2.5) zapravo clanovi iz linearne teorije. Uostalim clanovima dolazi do visih potencija zakrivljenosti w
8.2.3. Opca bilinearna aproksimacija
Aproksimaciju nelinearnog ponasanja materijala mozemo provesti i opcom bilinearnomaproksimacijom. Na taj nacin nelinearno ponasanje materijala aproksimiramo bilinearnim
elasticnim ponasanjem. Podrucje deformacija podijelimo na dva dijela i u svakom dijelupostavimo pripadnu linearnu vezu izmed-u naprezanja i deformacija, Slika 8.2.3. .
Slika 8.1: Bilinearna aproksimacija nelinearnog ponasanja materijala
Takva bilinearna aproksimacija dijeli dijagram na dva dijela, I i II, s granicnimvrijednostima 1, 2 i 1, 2. Nelinearno ponasanje aproksimirano je sekantom izmed-u tihvrijednosti, nagibima E1 i E2 u pripadnim podrucjima. Zakon elasticnosti u podrucju I
glasi]rmI = E1 , (8.2.6)
a u podrucju II
II = 1 + E2 ( 1) . (8.2.7)Ako promatramo sucaj cistog savijanja (
dF = N = 0), moramo iskazati samo
odmos M =
zdF. ZA takvo opterecenje mozemo prikazati odnos naprezanja i de-formacija s porastom opterecenja , (Slika 8.2.3.). U podrucju I, ponasanje je jednako
Slika 8.2: Os=dnos naprezanja i deformacija uz bilinearnu aproksimaciju
linearnom ponasanju materijala, uz moment otpora poprecnog presjeka WI,
M = EI w, I = M/WI . (8.2.8)
U podrucju II, zbog Bernoullijeve pretpostavke ravnih poprecnih presjeka, funkcija naprezanjaima lom na visini dostizanja deformacije 1 i naprezanja 1. Integraciju naprezanja upodrucju II provodimo u dva dijela, integraciju preko cijelog presjeka i oduzimanjem
integrirane razlike na dijelu gdje deformacija prelazi 1. Razlika je zapravo raz-lika naprezanja izmed-u napreaznja izracunatog prema linearnom zakonu u podrucju I i
-
7/27/2019 teorija elasticnosti
51/51