1

TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA

ESPB: 6Semestar: V

Snežana Marinković

DIMENZIONISANJE PRESEKA PREMA TEORIJI GRANIČNIH STANJA- Granična stanja nosivosti -

1. Centrično pritisnuti elementi

2. Centrično zategnuti elementi

3. Mali ekscentricitet - Ekscentrično zategnuti elementi

4. Elementi opterećeni momentima savijanja

5. Ekscentrično opterećeni elementi – veliki ekscentricitet

6. “T” preseci

7. Mali ekscentricitet – Ekscentrično pritisnuti elementi. Dijagrami interakcije

8. Vitki savijani AB elementi sa silom pritiska

9. Moment nosivosti

10.Preseci nepravilnog oblika pritisnute zone betona

2

1. Centrično pritisnuti elementi

• Elementi kod kojih sila deluje u težištu poprečnog preseka ili sa ekscentričnošću e l/300

• Prilikom delovanja sile pritiska => bočna deformacija

• Povećanje krivine => dalje povećanje momenta

3

• Nastupa jedan od dva slučaja:

1) Ostvaruje se ravnoteža spoljašnjih i unutrašnjih sila

2) Ne ostvaruje se ravnoteža spoljašnjih i unutrašnjih sila; dalje povećanje krivine i momenta => lom elementa

1. Centrično pritisnuti elementi4

1. Centrično pritisnuti elementi• Uslovi ravnoteže na deformisanoj osi

• Moment zavisi od deformacije => diferencijalna jednačina ravnoteže

5

• Postoji “geometrijska nelinearnost”

• Teorija II reda

• Moguće uvođenje i “fizičke nelinearnosti”

1. Centrično pritisnuti elementi• Rešavanje diferencijalnih jednačina je problem

• Približne metode

• Vitkost elementa:

li – dužina izvijanja elementa

imin – najmanji poluprečnik inercije (slabija osa)

Imin – moment inercije poprečnog preseka elementa u odnosu na koji se vrši izvijanje

• li = k·L – dužina izvijanja se izražava u odnosu na stvarnu dužinu;

jednaka je razmaku prevojnih tačaka deformisane ose elementa;

jednaka je dužini proste grede koja ima istu dužinu izvijanja kao i element

6

1. Centrično pritisnuti elementi• Ojlerovi (Euler) slučajevi izvijanja (k = 0.5 - 1)

• Ovako “čisti” slučajevi se retko sreću u stvarnosti!

• Pritisnuti element je obično deo konstrukcije

7

1. Centrično pritisnuti elementi• Sistemi sa bočno nepomerljivim čvorovima

• Sistemi sa bočno pomerljivim čvorovima

8

- rigla sprečava bočno pomeranje gornjeg čvora

- moguća je samo rotacija u tom preseku

- moguća rotacija i bočno pomeranje

- veća bočna deformacija

- veća dužina izvijanja (k = 1 - ∞)

1. Centrično pritisnuti elementi• Prema PBAB 87 za određene vitkosti – uvođenje efekata izvijanja!

• Za 25≤ λ ≤75 – umereno vitki stubovi => približni proračun

• Za 75≤ λ ≤140 – izrazito vitki stubovi => tačniji postupci proračuna

• λ > 140 – nije dopušteno (osim u fazi montaže, do λ=200)

• Uzimanje u obzir izvijanja predstavlja geometrijski nelinearan problem!

1) Najjednostavniji slučaj: λ ≤ 25 – izvijanje se ne uzima u obzir

9

1. Centrično pritisnuti elementi λ ≤ 25

• Granično stanje nosivosti se dostiže pri εb = εa = 2‰

• Uslov ravnoteže spoljašnje granične sile Nu i unutrašnjih sila pritiska u betonu i armaturi:

• - mehanički koeficijent armiranja ukupnom

armaturom u preseku

• - geometrijski koeficijent armiranja

10

Nu

2‰

b [‰]

3.5

b

2.0

fB

1. Centrično pritisnuti elementi λ ≤ 25

• Ako je poznata granična sila loma, Nu:

Nu = ΣγuiNi ; npr. ako deluje Sg i Sp:

Nu = 1.9Ng + 2.1Np

• Dimenzije preseka se određuju usvajajući:

MB (fb), Č(σv), μmin=0.6%

=> b, d, Aa

• μmin=0.6% važi za iskorišćenu nosivost betonskog preseka (σb =fb);

ako je σb < fb može se usvojiti μmin=0.3%

11

• Prečnik uzengija u ≈ /3 (6-10 mm), - prečnik podužne armature

• Razmak uzengija mora biti u sledećim granicama:

b<d

• U područijima gde se uvodi sila, na dužini 1.5b i na mestima preklapanja podužne armature, razmak zatvorenih uzengija iznosi:

• U seizmički aktivnim zonama sa svake strane čvora na dužini 1m, razmak zatvorenih uzengija je maksimalno:

• Na ostalim delovima stuba moguće je usvojiti eu = 15 20cm

1. Centrično pritisnuti elementi λ ≤ 25

• U stubovima sa više od četiri podužne šipke, dodaju se posebne uzengije

• Ako je procenat armiranja visok armatura se može grupisati u uglovima stuba sa najviše do 5 šipki

1. Centrično pritisnuti elementi λ ≤ 25

1. Centrično pritisnuti elementi 25 ≤ λ ≤ 75• Uprošćeni postupak – uvođenje “dopunskog ekscentriciteta”

• Uvodi se momenat koji se inače ne dobija statičkim proračunom

• Kritični presek:

• Nu i Mu=Nu·Δe (mali i veliki ekscentricitet)

Δe – dopunska ekscentričnost

Δe = e0 + eφ + eII

eII – ekscentricitet po teoriji II reda

e0=li /300 – usled nepravilnosti pri izvođenju elemenata konstrukcija

15

1. Centrično pritisnuti elementi 25 ≤ λ ≤ 75 eφ – ekscentricitet usled tečenja (dolazi do povećanja krivine)

αE – koeficijent Ojlerove sile

NE – Ojlerova sila izvijanja

Iid – idealizovani presek

• Samo stalno opterećenje utiče na tečenje!

• Ako je Ng /Ng+p ≤ 0.2 ili λi ≤ 50 uticaj tečenja se može zanemariti

16

1. Centrično pritisnuti elementi 25 ≤ λ ≤ 75

eII – uticaj bočne deformacije (teorija II reda)

b – dimenzija u ravni u kojoj se vrši izvijanje

Nu

Mu=Nu·Δe

Δe = e0 + eφ + eII

17

• Sprečeno bočno širenje => pored napona pritiska u pravcu podužne ose, javljaju se i naponi pritiska u poprečnim pravcima!

• Unutar spiralne armature beton se nalazi u troosnom stanju napona pritisaka i

1. Spiralno armirani centrično pritisnuti elementi

18

• U troosnom stanju napona (svi naponi pritisci!) nosivost i deformabilnost betona je značajno veća nego u jednoosnom stanju napona

• U proračun sile loma uvodi se samo spiralom obuhvaćena površina poprečnog preseka Abs (jezgro); beton izvan spirale je u jednoosnom naponskom stanju!

• Doprinos spiralne armature povećanoj nosivosti betona:

1. Spiralno armirani centrično pritisnuti elementi

19

• Pretp.: umesto spirale zatvoren cilindrični sud pun tečnosti

Visina - V=1

Debljina zida - δ

Pritisak tečnosti – pc

• Sila zatezanja u cilindru:

σvc – granica razvlačenja čelika cilindra

ac – površina preseka cilindra visine V=1

• Sila pritiska u pravcu ose cilindra Nc:

1. Spiralno armirani centrično pritisnuti elementi

20

• Beton nije tečnost => postoji unutrašnje trenje => javiće se bočne deformacije ν·εb (ν – Poasonov koeficijent)

=> radijalni (bočni) pritisak: ν·pc , a ne pc

• Ako je as površina poprečnog preseka šipke spirale, a es rastojanje-hod spirale, onda se između debljine zida cilindra δ i površine spiralne armature as može uspostaviti relacija:

• δ je fiktivna debljina zida cilindra dobijena “razmazivanjem” šipke spiralne armature po cilindričnoj površi

1. Spiralno armirani centrično pritisnuti elementi

21

Ako se uvede oznaka:

Onda:

• Granična sila (loma) centrično pritisnutog spiralno armiranog elementa:

• Ako se za ν usvoji 0.25:

• Ako uvedemo =>

1. Spiralno armirani centrično pritisnuti elementi

22

• Prema PBAB-u spiralno armirani stubovi samo za λi=li/imin ≤ 50

• Za proračun imin usvaja se ceo betonski presek

• Procenat armiranja podužnom armaturom se usvaja u granicama

0.6 % ≤ μ ≤ 3.0 %

• Procenat armiranja spiralnom armaturom obično u granicama

μs = (2-3)·μ

• Prečnik šipke spiralne armature

6 mm ≤ Øs ≤ 16 mm

• Hod spirale:

• Najmanje 6 šipki podužne armature

• MB ≥ 20 ; d ≥ 20 cm

• Dužina preklopa spiralne armature je min 30 Øs (bar oko 2 podužne šipke), a krajevi spiralne armature treba da se upuste u betonsku masu min 20 Øs

1. Spiralno armirani centrično pritisnuti elementi

23

2. Centrično zategnuti elementi• Celokupnu silu zatezanja prihvata armatura• Beton ima svrhu zaštite armature od korozije i požara • Dimenzije ovakvih elemenata se određuju samo iz uslova da se pravilno

smesti armatura• Armatura se raspoređuje simetrično unutar preseka, sa minimalnim

horizontalnim razmakom od 5cm

24

3. Ekscentrično zategnuti elementi• Kada ekscenrična sila Z deluje između armatura u preseku, presek se računa

po malom ekscentricitetu

25

2a1a

2a

v

u1a yy

eyZA

2a1a

1a

v

u2a yy

eyZA

v

uaaa

ZAAA

21