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Introducción

Teoría de Control Digital

Introducción

Dr. Fernando Ornelas Tellez

Universidad Michoacana de San Nicolás de HidalgoFacultad de Ingeniería Eléctrica

Morelia, Michoacan

Dr. Fernando Ornelas Tellez UMSNH-FIE Division de Estudios de Posgrado 1/35

Introducción

Contenido del Curso

1 Introducción2 Muestreo y Reconstrucción3 Modelado de Sistemas de Control en Tiempo Discreto4 Análisis de Sistemas de Control en Tiempo Discreto5 Diseño de Sistemas de Control en Tiempo Discreto6 Control Óptimo (Propiedades, LQR, Filtro de Kalman, LQG)7 Proyecto Final (Implementación en Tiempo Real)

Evaluación: 3 Exámenes y Reporte de Proyecto Final


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Bibliografía

1 Charles L. Phillips and H Troy Nagle. Digital Control SystemAnalysis and Design (3rd Ed.), Prentice Hall International,Inc., 1995.

2 Karl J. Astrom, Bjorn Wittenmark. Computer-ControlledSystems Theory and Design. Prentice Hall.

3 Gene H. Hostetter. Digital Control System Design, HRW, Inc.4 B. J. Kuo. Sistemas de Control Digital, CECSA.5 K. Ogata. Sistemas de Control en Tiempo Discreto


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Contenido

1 Introducción

Introducción

Esbozo histórico del control por computadora

Evolución de la Teoría de Control Digital

Justificación de la Teoría de Control Digital


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IntroducciónEsbozo histórico del control por computadoraEvolución de la Teoría de Control DigitalJustificación de la Teoría de Control Digital

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1 Introducción

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DefinitionControl Automático. Es el uso de elementos sistemáticos (CNC,PLC, µC , etc.) para el control industrial de maquinaria y/oprocesos, rediciendo la intervención humana, quedando éste últimosólo como supervisor.

Entre los beneficios del control automático es que se tienen siste-mas actuando de forma autónoma, rediciendo exigencias sensorialesy mentales por parte del humano, así como reducción de riesgos físi-cos, etc. Lo anterior se logra por medio del procesamiento de señales.


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En la actualidad, casi todos los controles automáticos de uso indus-trial, doméstico, automotriz u otro tipo se implementan en formadigital, la mayoría en base a micro-controladores o computadoras.

Esto hace necesario entender los efectos que se producen cuando unsistema físico de naturaleza continua, como son la mayoría de losprocesos industriales, se controla mediante un sistema digital comoes la computadora.


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Esquema de Control Digital

Las funciones de transferencia (sistemas lineales), que representancompensadores construidos con componentes analógicos, son imple-mentadas en una computadora digital que realiza los cálculos queemulan el compensador físico.


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Comentarios del Esquema de Control Digital

La información de r(t) y y(t) en el controlador digital, sólo seencuentra disponible en instantes de tiempo llamados instantesde muestreo, obteniéndose r(k) y y(k), es decir, variablesmuestreadas, donde k ∈ 0 ∪ Z+.El tiempo en el cual se actualizan las variables discretas sedenomina usualmente periodo de muestreo T , mismo quegeneralmente es uniforme.Las variables u(k), r(k) y y(k) en el sistema se actualiza encada periodo de muestreo.


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Historia del Control por Computadora

La idea del control por computadora surgió alrededor de 1950. Elprimer interés fue usarlo en el control de misiles y la navegaciónaérea, aunque la tecnología de la época no lo permitió.

1950: Primeras computadoras de procesos. Grandes. Granconsumo. Poca fiabilidad.1962: Imperial Chemical Industries (Inglaterra): 224 entradas,129 válvulas. Suma 0.1 ms, multiplicación en 1 ms. Sereemplazan tableros de instrumentos por teclado y pantallas.Fácil re-configuración.1965: Mini-computadoras. Circuitos integrados. Reducción decostos y tamaños. Más rápidos y fiables. Suma 0,002 ms,multiplicación 0,007ms. Aplicable a proyectos pequeños.1975: Micro-computadoras (micro-procesador). Bajo costo yreducción de tamaño. Consumo de energía despreciable.Control dedicado. Desarrollo de la teoría de control.


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Periodo Pionero (Años 50´s)

Las computadoras se utilizaban para establecer las referencias (“setpoint”) y el monitoreo de las variables medidas (Control Supervisor).


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Periodo del Control Digital Directo (Inicio de los Años 60´s)

Utilizadas para fines de Control Digital Directo (“DDC”).


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Periodo de las Micro-computadoras (Inicio de los 70´s)

Aparición del microprocesador (1972), su costo y tamaño permitieronel desarrollo de equipos de aplicación dedicada. La siguiente figuramuestra en típico controlador digital con las acciones clásicas decontrol: P, PI, PD y PID.

Aparecieron los micro-controladores, que contenían en un solo chip:CPU, memoria, puertos de E/S, Convertidores A/D y D/A, tempori-zadores, LCD, y otras funcionalidades dependiendo de la aplicación.


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Control Distribuido (Mediados de los 70´s)

El micro-controlador hizo económicamente posible diseñar compu-tadoras especializadas en cada parte del proceso, de manera que enun tiempo ya se tenían computadoras interactuando y compartiendolas diferentes labores de control, supervisión, monitoreo, almacena-miento, todas ellas intercomunicadas mediante una red de área localtambién basada en computadoras.


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Control Distribuido (Mediados de los 70´s)


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Futuro del Control por Computadora

Se prevén avances en:

Conocimiento del proceso (Modelado)Técnicas de medición: Sensores inteligentes (incorporacióncomputadores en los sensores).Tecnología de computadores. Presentación de la información.Nuevos lenguajes. Arquitectura.Teoría de control: Identificación de sistemas. Aplicación dealgoritmos de control: Optimización, Control Óptimo, Controladaptativo, Control inteligente, Sistemas multi-variables, etc.


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Evolución de la Teoría de Control DigitalControl Clásico

1948 Oldenburg y Sartorius.- Ecuaciones de diferencias paraSLIT’s;1949 C. Shannon concreta un trabajo previo de Nyquistestableciendo el teorema fundamental del muestreo;1947 Hurewicz define una transformación para señalesdiscretas;1952 Ragazzini y Zadeh (USA) retoman el trabajo deHurewicz y definen la Transformada Z. Esta es definidatambién en forma independiente por Tsypkin (URSS), Jury(USA) y Barker (Inglaterra). Otro enfoque fue desarrollado porTsypkin en 1950, Barker en 1951, y Jury en 1956 estaalternativa fue conocida como la Transformada Z modificada;


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Evolución de la T. de C. Digital (Clásica y Moderna)

1960 R. Kalman Introduce la teoría del espacio de estado;1957 Bellman y Pontryagin (1962). Muestan que el problemadel diseño de controladores puede formularse como unProblema de optimización;1960 Kalman: problema LQR = Ecuación de Riccati. Introducetambién la teoría de control estocástico convirtiendo elcontrolador LQR en el LQG lo que conlleva más tarde al Filtrode Kalman;1970’s – 1980’s Se desarrollan metodologías para laidentificación de procesos basadas en computadora. Astrom yEykhoff (1971), Ljung (1987);1970’s – 1980’s, se desarrollan metodologías para incorporaresquemas de identificación a los controladores diseñados, demanera que se obtienen controladores adaptables por Astrom yWittenmark.


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Evolución de la T. de C. Digital (Clásica y Moderna)

1974: El Británico Ebrahim Mandani, aplica la lógica difusadescrita por Lofti Zadeh 10 años antes, en el campo delcontrol, para un sistema de Control: La Regulación de unMotor de Vapor. Esto inaugura los primeros trabajos detécnicas de inteligencia artificial aplicadas al control: despuésvendrían las redes neuronales y los algoritmos genéticos.1987, aparece el concepto de “Fuzzy Boom", ya que secomercializa una multitud de productos basados en la lógicadifusa, sobretodo en el Japón.1981, George Zames, Introduce la técnica de diseño decontroladores robustos denominada control H-infinito. AlbertoIsidori (1985). Retoma las herramientas de la geometríadiferencial para el estudio de los sistemas no lineales.


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¿Porque Control Digital?

La mayoría de las aplicaciones de control actuales tienen controlado-res de tipo digital.

La aproximación de modelos continuos no es suficiente.


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¿Porque Control Digital?

Una manera simple de ver el control digital es considerarlo como unaversión aproximada del control analógico, es decir, podemos usar lateoría de control analógico tradicional para desarrollar controlado-res analógicos y al final hacer una buena aproximación discreta delcontrolador obtenido.

Sin embargo, como lo demuestra la figura anterior, hay fenómenosque podrían ocurrir cuando se presenta el muestreo, y que básica-mente están relacionados a la selección del periodo de muestreo y suefecto en el sistema de control.

De hecho, una mala selección del periodo de muestreo podría hacerque se tenga una aproximación inestable del sistema de control. Porejemplo considere que se tiene el sistema x = −x ; al aproximarsemediante Euler hacia adelante se tendría xk+1 = (1−T )xk , y que alseleccionar T de forma incorrecta, hace al sistema inestable.


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Características del Control Digital

Ademas, hay características propias del esquema muestreado:

Dependencia del tiempo (El discreto no cumple con lapropiedad de invarianza en el tiempo)Armónicos de alto orden (señales escalonadas)Puede obtenerse el transitorio en tiempo finito (Control “DeadBeat”). En general “no” ocurre para el caso continuo.


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Control “Dead Beat”

Considere el sistema doble integrador y = u, con u(k) = k1y(k)+

k2y(k), k1 =− 1T 2 y k2 =− 3

2T. Con fines de simulación considere

T = 1 s.

Con un esquema de control continuo no es posible tener tal respuesta(solo respuesta con convergencia en tiempo infinito). Además, eltiempo de convergencia es de n×T , donde n es el orden del sistemay T el periodo de muestreo.


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Ventajas del Control Digital

Costo reducido aun con un número grande de lazos de control;No existe límite en la complejidad del algoritmo;Uso del computador con otros fines (alarmas, archivo de datos,administración, etc.);Flexibilidad en respuesta a los cambios en el ajuste y el diseño;Reducción de ruido (en un computador digital, el sistema decontrol puede ser inmune al ruido).


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Ventajas del Control Digital (Cont.)

Tendencia hacia el control distribuido o jerárquico;Un solo controlador digital es capaz de reemplazar numerososcontroladores analógicos y a bajo costo. Por lo tanto, permitenesquemas de control apropiados para los sistemas de controlmodernos, que requieren el control de numerosos lazos almismo tiempo: presión, posición, velocidad y voltaje.


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Código de un PI en un Computador Digital

Por ejemplo: Pseudo-Código de C o Matlab

r =lectura_referenciay =lectura_salidae = r − yi = i +T ∗ e/Tiu = kp ∗ (e + i)

donde T es el periodo de muestreo, Ti la constante de integracióny kp es la ganancia proporcional.


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Ejemplos de Sistemas Discretos

Algoritmos de Computadora;Discretizaciones de Sistemas Continuos;Sustancias o muestras analizadas fuera de línea (por ejemploen procesos químicos);Sistemas económicos (análisis diario, semanal, mensual, anual,etc.), yElectrónica de potencia (dispositivos que conmutan).


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Ejemplos de Sistemas DiscretosRadar


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Diseño de un Sistema de Control

El Objetivo de Control es obtener la respuesta deseada de unproceso o planta física, por medio de la determinación de una acciónde control que logre reducir o eliminar la diferencia entre la respuestadeseada y la respuesta del sistema.

Criterios a considerar:

Establecer un periodo de muestreo adecuado (en función de latecnología utilizada y la dinámica del sistema);Respuesta transitoria;Errores en estado estable;Rechazo de perturbaciones;Baja sensitividad a cambios en la planta, yEstabilidad.


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Diseño de un Sistema de Control

Etapas requeridas:

Selección de sensores y actuadores;Diseño de requerimientos de desempeño y consideracionessobre las restricciones físicas.Desarrollo de modelos matemáticos de la planta, sensores yactuadores;Desarrollo de la ley o acción de control;Evaluación en simulación (Matlab, Simulink, Simnon, etc);Implementación en tiempo real.


Appendix Para mayor información

Para mayor información I

Charles L. Phillips and H. Troy NagleDigital Control System Analysis and Design (3rd Ed.)Prentice Hall International, Inc., 1995.

Karl J. Astrom, Bjorn WittenmarkComputer-Controlled Systems Theory and DesignPrentice-Hall, 1997.

Karl J. Astrom and and Tore HagglundPID Cntrollers: Theory, Design and Tuning, 2nd. Ed.USA, 1995.

K. OgataSistemas de Control en Tiempo DiscretoPrentice-Hall, 1996.


Appendix Para mayor información

Para mayor información II

Benjamin J. KuoSistemas de Control DigitalCECSA, 2006.

Gene H. HostetterDigital Control System DesignHRW, Inc., 1988.

S. Someone.On this and that.Journal on This and That. 2(1):50–100, 2000.


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