TEMA 5. MODELOS DE PROBABILIDAD UNIVARIANTES

ESTADÍSTICA 1 Grado ADE

5.1. Revisión de la Teoría Matemática de la Probabilidad5.2. Variables aleatorias. Distribuciones de probabilidad5.3. Distribuciones discretas y continuas5.4. Esperanza y varianza. Propiedades

5.1 Revisión TMP

• Introducción: Experimentos, pruebas y sucesos

• Operaciones básicas con sucesos aleatorios

• Interpretaciones de la probabilidad

• Definición axiomática de probabilidad

• Primeras propiedades

• Definición de probabilidad condicionada

• Independencia de sucesos

• Teoremas del producto, de la partición, y de Bayes

5.2 Variables aleatorias y distribuciones de probabilidad

• Variable aleatoria: Aplicación que asigna un valor numérico a cada suceso del espacio muestral

• Ejemplo: Lanzamos tres veces una moneda- E.M. = = {(+++),(++C),(+C+),(+CC),(C++),(C+C),(CC+),(CCC)}

- V.A. = X = Número de cruces en tres lanzamientos

- Valores de X = (0, 1, 2, 3)

- Cada valor de X corresponde a un suceso (subconjunto de ) por lo que tiene asociada una probabilidad

:X

5.3 Variables discretas y continuas

• Variable aleatoria discreta: Puede tomar un número finito o infinito numerable de valores posibles

- Número de cruces al lanzar 3 monedas

- Número de llamadas en una centralita por hora

- Número de piezas defectuosas de una producción

• Variable aleatoria continua: Puede tomar un número infinito (no numerable) de valores en uno o varios intervalos de la recta real

- Duración de una batería

- Tiempo necesario para ejecutar una tarea

- Valor de las exportaciones de un sector

Se define la función de distribución acumulativa de la v.a. X, que se denota por F(x), como la probabilidad de que la v.a. X tome valores menores o iguales que un valor concreto x0 , es decir:

F(x0) = P (X x0)

Propiedades de la función de distribución

Los valores de F(x) están entre cero y uno El límite de F(x) es cero (cuando x0 tiende a menos infinito) El límite de F(x) es uno (cuando x0 tiende a mas infinito) La función es no decreciente La función es continua por la derecha

Función de distribución

Función de cuantía (v.a. discreta)

• Es la función que indica la probabilidad de que la va discreta tome cada uno de los valores posibles

P(xi) = P(X = xi)

• Propiedades de la función de cuantía

2

1

xx

xx21

I

1ii

i

P(x)=)xXP(x 3.

1=)P(x 2.

I1,2,...,=i 1)P(x0 1.

Función de densidad (v.a. continua)

• Es la función que indica el valor límite de la probabilidad de que la va tome valores en un intervalo cuya amplitud tiende a cero

• Propiedades de la función de densidad

(x)F'

Δx

F(x)ΔxxFlimf(x)

0Δx

x0f(x) 1.

f(x)dx 1

2.

5.4 Esperanza y varianza. Propiedades

• Esperanza de variable aleatoria discreta

• Esperanza de variable aleatoria continua

i

ii )P(x x=XE

-f(x)dxx XE

i

ii )P(x )g(x=XgE

-f(x)dx g(x)=XgE

Propiedades de la esperanza

• Sea k una constante, entonces:

E(k) = k

• Sean X e Y v.a. tales que Y = a+bX, entonces:

E(Y) = E(a+bX) = a + b E (X)

• Sea X una v.a. acotada (existen dos valores a y b tales que a X b) entonces:

a E(X) b

• E (X) = es el valor esperado de la variable aleatoria X

Varianza de variable aleatoria

• Definición:

V(X) = E [X - E(X)]2 = E(X 2) - [ E(X)] 2

• Variable discreta

V(X) =

• Variable continua

V(X) =

n

1ii

2i

2 )P(xμ)(xσ

22 f(x)dxμ)(xσ

Propiedades de la varianza

• La varianza siempre es no negativa; V (X) 0

• V(X) = 0 si y solo si un constante tal que P(X=) = 1

• La varianza de una constante es cero; V (k) = 0

• Sea Y una v.a. tal que Y = a + bX

V(Y) = V (a+bX) = b2 V(X)

• V(X) = 2 es la varianza de la variable aleatoria X