Teoria de Vigas -...
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Departamento de Engenharia Mecânica ENG 1704 - Mecânica dos Sólidos II
Teoria de Vigas
Prof. Arthur Braga
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Mecânica dos Sólidos II
Tensões de Flexão em Barras (vigas)
φρ Δ=′′NMDeformação do segmento IJ
φρ Δ−=′′ )( yJI
Eixo Neutro (deformação nula)
Compresão
M ′ N ′
I ′ J ′
Tração
ρ
y−ρ
y
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Mecânica dos Sólidos II
Tensões de Flexão em Barras (vigas)
Deformação longitudinal
NMNMJI
IJIJJI
xx ′′′′−′′=−′′=ε
φρ Δ=′′NM
φρ Δ−=′′ )( yJI
ydxdy
xxφ
ρε −=−=
Deformação cisalhante
021 == xyxy γε
Simetria (flexão pura)
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Mecânica dos Sólidos II
Tensões de Flexão em Barras (vigas)
Curvatura
O
O′
φΔ
φΔφ
sΔ
ρ
B
C
A curvatura no ponto B é definida como:
ρφφ 11limlim
00=
′=
ΔΔ==
→Δ→Δ BOsdsdk
ssw
x
Para w’ << 1
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Mecânica dos Sólidos II
Tensões de Flexão em Barras (vigas)
xxσ
x
y
[ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
00000000)(
),,(y
zyxxxσ
σ
IMyyxx −=)(σ
Tensões Normais de Flexão
MM
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Mecânica dos Sólidos II
Teoria da Elasticidade
Problema Corpo sujeito a ação de esforços externos (forças, momentos, etc.)
F1
F2
F3
F4
F5
F6
F7
F8
F1
F2
F3
F4
F5
F6
F7
F8
Determinar • Esforços internos (tensões) • Deformações • Deslocamentos
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Mecânica dos Sólidos II
Teoria da Elasticidade
• Relações entre deslocamentos e deformações
zuyuxu
zzz
yyy
xxx
∂∂=
∂∂
=
∂∂=
ε
ε
ε
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂+
∂∂
==
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛
∂∂+
∂∂==
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂==
yu
zu
xu
zu
xu
yu
zyyzyz
zxxzxz
yxxyxy
21
21
21
21
21
21
γε
γε
γε
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Mecânica dos Sólidos II
Teoria da Elasticidade
• Relações constitutivas (tensão vs. deformação)
TEEE
TEEE
TEEE
zzyyxxzz
zzyyxxyy
zzyyxxxx
Δ++−−=
Δ+−+−=
Δ+−−=
ασσνσνε
ασνσσνε
ασνσ
νσε
G
G
G
yzyz
xzxz
xyxy
2
2
2
σε
σε
σε
=
=
=
( )ν+=12EG
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Mecânica dos Sólidos II
Teoria da Elasticidade
• Equações de Equilíbrio
0=∂
∂+∂∂
+∂∂
zyxxzxyxx σσσ
0=∂
∂+
∂∂
+∂
∂zyxyzyyxy σσσ
0=∂∂+
∂∂
+∂∂
zyxzzyzxz σσσ
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Mecânica dos Sólidos II
Teoria da Elasticidade
• 15 Equações – Equilíbrio (3) – Deformação vs. Deslocamentos (6) – Tensão vs. Deformação (6)
• 15 Variáveis:
• Condições de contorno
yzxzxyzzyyxx
yzxzxyzzyyxx
zyx uuu
εεεεεεσσσσσσ
,,,,,
,,,,,
,,
F1
F2
F3
F4
F5
F6
F7
F8
F1
F2
F3
F4
F5
F6
F7
F8
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Mecânica dos Sólidos II
x
y
z 3D
Teoria de Vigas
n(x)
q(x)
Teoria de Vigas (aproximação)
q(x)
x
n(x)
1D
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Mecânica dos Sólidos II
Teoria de Vigas
x
z
Hipótese Cinemática
P u
P’
Φ
w P’’
⎩⎨⎧
==
)()0,()()0,(xwxuxuxu
z
x
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Mecânica dos Sólidos II
Teoria de Vigas
x
z
z Q Q’
Φ
Q’’
u w
-zφ
Hipótese Cinemática ⎩⎨⎧
=−=)(),(
)()(),(xwzxu
xzxuzxu
z
x φ
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Mecânica dos Sólidos II
Teoria de Vigas
x
z
Teoria de Bernoulli-Euler ⎪⎩
⎪⎨⎧
=
−=
)(),(
)(),(
xwzxudxdwzxuzxu
z
x
90°
dxdw=φ
dxdw
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Mecânica dos Sólidos II
Teoria de Vigas Definição de Esforços Generalizados
O Esforço Normal
σxx N x x
∫=A
xx dAN σ
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Mecânica dos Sólidos II
Teoria de Vigas Definição de Esforços Generalizados
O Momento Fletor
dN =σxx(z) dA
x
x
∫=A
xx dAzM σ
z
σxx
x
M
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Mecânica dos Sólidos II
Teoria de Vigas Definição de Esforços Generalizados
O Esforço Cortante
σxz V
x x
∫=A
xz dAV σ
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Mecânica dos Sólidos II
Teoria de Vigas Equilíbrio (Tensão Plana)
0=∂∂+
∂∂
zxxzxx σσ
0=∂∂+
∂∂
zxzzxz σσ
0=⎟⎠⎞⎜
⎝⎛
∂∂+
∂∂
∫A
xzxx dAzxσσ
0=⎟⎠⎞⎜
⎝⎛
∂∂+
∂∂
∫A
xzxx dAzx
z σσ
0=⎟⎠⎞⎜
⎝⎛
∂∂+
∂∂
∫A
zzxz dAzxσσ
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Mecânica dos Sólidos II
0)(0 =+⇒=⎟⎠⎞⎜
⎝⎛
∂∂+
∂∂
∫ xndxdNdA
zxA
xzxx σσ
Teoria de Vigas Equilíbrio (cont.)
dxdNdA
dxddA
x Axx
A
xx ==∂∂
∫∫ σσ
)(xndAzA
xz =∂∂∫
σ
logo x
y
z
n(x)
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Mecânica dos Sólidos II
Teoria de Vigas Equilíbrio (cont.)
dxdMdAz
dxddA
xz
Axx
A
xx ==∂∂
∫∫ σσ
VdAz
zA
xz −=∂∂
∫σ
0)(0 =−⇒=⎟⎠⎞⎜
⎝⎛
∂∂+
∂∂
∫ xVdxdMdA
zxz
A
xzxx σσ
logo
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Mecânica dos Sólidos II
Teoria de Vigas Equilíbrio (cont.)
dxdVdA
dxddA
x Axz
A
xz ==∂∂
∫∫ σσ
)(xqdAzA
zz =∂∂∫
σ
0)(0 =+⇒=⎟⎠⎞⎜
⎝⎛
∂∂+
∂∂
∫ xqdxdVdA
zxA
zzxz σσ
logo x
y
z q(x)
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Mecânica dos Sólidos II
Teoria de Vigas Equilíbrio
0)( =+ xndxdN
0)( =− xVdxdM
0)( =+ xqdxdV
Extensão (Esforços Axiais)
Flexão (Esforços de Flexão)
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Mecânica dos Sólidos II
Teoria de Vigas Deformações
2
2
dxwdz
dxdu
xux
xx −=∂∂=ε
021 =⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛
∂∂+
∂∂=
xu
zu zx
xzε
0=∂∂=zuz
zzε
Relações Constitutivas
02
2
2
==
−==
xzxz
xxxx
GdxwdzE
dxduEE
εσ
εσ
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Mecânica dos Sólidos II
Teoria de Vigas Relações Constitutivas em termos dos esforços generalizados
dxduEAdA
dxwdEzdA
dxduEdAN
AAAxx =−== ∫∫∫ 2
2
σ
2
2
2
22
dxwdEIdA
dxwdEzdA
dxduzEdAzM
AAAxx −=−== ∫∫∫ σ
∫=A
dAzI 2
onde I é o momento de inércia da seção transversal da viga:
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Mecânica dos Sólidos II
Teoria de Vigas
Momento de Inércia ∫=A
dAzI 2
Seção Retangular
h
b
12
3bhI =
Seção Tubular
8211
64
344 tDDtDI ππ ≈⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −−=
D
t
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Mecânica dos Sólidos II
Momento de Inércia
Seção Tubular
D
t
Para D >> t
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Mecânica dos Sólidos II
Momento de Inércia
0.00#
0.50#
1.00#
1.50#
2.00#
2.50#
3.00#
3.50#
4.00#
4.50#
0# 10# 20# 30# 40# 50# 60# 70#D/t
D
t
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Mecânica dos Sólidos II
0%#
50%#
100%#
150%#
200%#
250%#
300%#
0# 10# 20# 30# 40# 50# 60# 70#
Momento de Inércia
D/t
D
t
ERRO RELATIVO
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Mecânica dos Sólidos II
x
y
z 3D
Teoria de Vigas
n(x)
q(x)
Teoria de Vigas (aproximação)
q(x)
x
n(x)
1D
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Mecânica dos Sólidos II
Teoria de Vigas
x
z
Teoria de Bernoulli-Euler ⎪⎩
⎪⎨⎧
=
−=
)(),(
)(),(
xwzxudxdwzxuzxu
z
x
90°
dxdw=φ
dxdw
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Mecânica dos Sólidos II
Teoria de Vigas Definição de Esforços Generalizados
O Esforço Normal
σxx N x x
∫=A
xx dAN σ
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Mecânica dos Sólidos II
Teoria de Vigas Definição de Esforços Generalizados
O Momento Fletor
dN =σxx(z) dA
x
x
∫=A
xx dAzM σ
z
σxx
x
M
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Mecânica dos Sólidos II
Teoria de Vigas Definição de Esforços Generalizados
O Esforço Cortante
σxz V
x x
∫=A
xz dAV σ
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Mecânica dos Sólidos II
Teoria de Vigas Equilíbrio (Tensão Plana)
0=∂∂+
∂∂
zxxzxx σσ
0=∂∂+
∂∂
zxzzxz σσ
0=⎟⎠⎞⎜
⎝⎛
∂∂+
∂∂
∫A
xzxx dAzxσσ
0=⎟⎠⎞⎜
⎝⎛
∂∂+
∂∂
∫A
xzxx dAzx
z σσ
0=⎟⎠⎞⎜
⎝⎛
∂∂+
∂∂
∫A
zzxz dAzxσσ
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Mecânica dos Sólidos II
Teoria de Vigas Equilíbrio
0)( =+ xndxdN
0)( =− xVdxdM
0)( =+ xqdxdV
Extensão (Esforços Axiais)
Flexão (Esforços de Flexão)
![Page 36: Teoria de Vigas - abraga.usuarios.rdc.puc-rio.brabraga.usuarios.rdc.puc-rio.br/mecsol2/Teoria-Vigas.pdf · Curvatura O O ′ Δφ Δφ φ Δs ρ B C ... onde I é o momento de inércia](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022022700/5bb9e1b109d3f28f6c8d11c8/html5/thumbnails/36.jpg)
Mecânica dos Sólidos II
Teoria de Vigas Deformações
2
2
dxwdz
dxdu
xux
xx −=∂∂=ε
021 =⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛
∂∂+
∂∂=
xu
zu zx
xzε
0=∂∂=zuz
zzε
Relações Constitutivas: ESTADO UNIAXIAL DE TENSÕES
02
2
2
==
−==
xzxz
xxxx
GdxwdzE
dxduEE
εσ
εσ
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Mecânica dos Sólidos II
Teoria de Vigas
dxduEAN
xndxdN
=
=+ 0)(
2
2
0)(
0)(
dxwdEIM
xqdxdV
xVdxdM
−=
=+
=−
x
y
z
n(x) x
y
z
x
y
z
n(x)n(x)
Extensão (Esforços Axiais)
x
y
zq(x)
x
y
z
x
y
zq(x)q(x)
Flexão (Esforços de Flexão)
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Mecânica dos Sólidos II
Tensões de Flexão em Barras (vigas)
φρ Δ=′′NMDeformação do segmento IJ
φρ Δ−=′′ )( yJI
Eixo Neutro (deformação nula)
Compresão
M ′ N ′
I ′ J ′
Tração
ρ
y−ρ
y
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Mecânica dos Sólidos II
Tensões de Flexão em Barras (vigas)
Deformação longitudinal
NMNMJI
IJIJJI
xx ′′′′−′′=−′′=ε
φρ Δ=′′NM
φρ Δ−=′′ )( yJI
ydxdy
xxφ
ρε −=−=
Deformação cisalhante
021 == xyxy γε
Simetria (flexão pura)
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Mecânica dos Sólidos II
Tensões de Flexão em Barras (vigas)
Curvatura
O
O′
φΔ
φΔφ
sΔ
ρ
B
C
A curvatura no ponto B é definida como:
ρφφ 11limlim
00=
′=
ΔΔ==
→Δ→Δ BOsdsdk
ssy
x
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Mecânica dos Sólidos II
Teoria de Vigas
dxduEAN
xndxdN
=
=+ 0)(
2
2
0)(
0)(
dxwdEIM
xqdxdV
xVdxdM
−=
=+
=−
x
y
z
n(x) x
y
z
x
y
z
n(x)n(x)
Extensão (Esforços Axiais)
x
y
zq(x)
x
y
z
x
y
zq(x)q(x)
Flexão (Esforços de Flexão)
![Page 42: Teoria de Vigas - abraga.usuarios.rdc.puc-rio.brabraga.usuarios.rdc.puc-rio.br/mecsol2/Teoria-Vigas.pdf · Curvatura O O ′ Δφ Δφ φ Δs ρ B C ... onde I é o momento de inércia](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022022700/5bb9e1b109d3f28f6c8d11c8/html5/thumbnails/42.jpg)
Mecânica dos Sólidos II
Extensão (Esforços Axiais)
Flexão (Esforços de Flexão)
Teoria de Vigas Tensões
AN
dxduEE xxxx === εσ
IMz
dxwdzEE xxxx =−== 2
2
εσ
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Mecânica dos Sólidos II
Teoria de Vigas
Ex. 1 (flexão): Viga bi-engastada sujeita a carregamento transversal uniforme
x
z q(x) = - q = cte.
2
2
0
0)(
dxwdEIM
qdxdV
xVdxdM
−=
=−
=−
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=
=
=
=
0)(
0)(
0)0(
0)0(
LdxdwLw
dxdww
Condições de Contorno
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Mecânica dos Sólidos II
Teoria de Vigas (Ex. 1 – continuação)
432
23
1
4
4
4
2
2
24)(0
0)(
cxcxcxcEIqxxwq
dxwdEI
dxwdEIM
qdxdV
xVdxdM
++++−=⇒−=⇒
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
−=
=−
=−
Utilizando-se as condições de contorno:
EIqLc
EIqLccc
12e,
24,0,0 1
2
234 =−===
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞⎜
⎝⎛+⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛−⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛−=
2344
224
)(Lx
Lx
Lx
EIqLxw
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Mecânica dos Sólidos II
Teoria de Vigas (Ex.1 – continuação)
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞⎜
⎝⎛+⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛−⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛−=
2344
224
)(Lx
Lx
Lx
EIqLxw
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛−⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛=−= 166
12)(
22
2
2
Lx
LxqL
dxwdEIxM
EIqLLww384
)2(4
max −==12
)()0(2
maxqLLMMM ===
{ }tD
qLxx 2
2
3max
πσ = para viga de seção tubular (D/t >> 1)
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Mecânica dos Sólidos II
Teoria de Vigas
dxduEAN
xndxdN
=
=+ 0)(
2
2
0)(
0)(
dxwdEIM
xqdxdV
xVdxdM
−=
=+
=−
x
y
z
n(x) x
y
z
x
y
z
n(x)n(x)
Extensão (Esforços Axiais)
x
y
zq(x)
x
y
z
x
y
zq(x)q(x)
Flexão (Esforços de Flexão)
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Mecânica dos Sólidos II
Teoria de Vigas (Ex. 2)
Ex. 2 (flexão): Viga simplesmente apoiada sujeita a carregamento transversal concentrado
⎩⎨⎧
<<<<
==LxL
Lxxq
EIxq
dxwd
2,020,0
)(,)(4
4
x
z P
L/2 L/2
A função q(x) não está definida em x = L/2
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Mecânica dos Sólidos II
Teoria de Vigas (Ex. 2)
432
23
14
4
)(0 cxcxcxcxwdxwd +++=⇒=
432
23
14
4
)()()()(0 dxLdxLdxLdxwdxwd +−+−+−=⇒=
20 Lx <<Para
LxL <<2Para
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Mecânica dos Sólidos II
Teoria de Vigas (Ex. 2)
0)(''0)()(0)()(
0)0(''0)0()(0)0()(
0
=⇒==
==⇒=
==
LwLMivLwiii
LxwMii
wix
Condições de contorno
Quatro condições de contorno para oito constantes!
Deve-se considerar as condições de continuidade em x = L/2
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Mecânica dos Sólidos II
Teoria de Vigas (Ex. 2)
Deslocamentos e rotações devem ser contínuos em x = L/2 Condições de continuidade para o esforço cortante e momento fletor são obtidas a partir do equilíbrio de um elemento de volume em torno do ponto x = L/2
)2()2( −+ = LwLw
)2(')2(' −+ = LwLw
x
z P
L/2 L/2
x
z P
L/2 L/2
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Mecânica dos Sólidos II
Teoria de Vigas (Ex. 2)
x
z P
P
)2( +LM
)2( +LV
)2( −LM
)2( −LV
EIPLwLwPLVLVLwLwLMLM
−=−⇒=−=⇒=−
−+−+
−+−+
)2(''')2(''')2()2()2('')2(''0)2()2(
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Mecânica dos Sólidos II
(i) (ii) (iii) (iv) (v) (vi) (vii) (viii)
Teoria de Vigas (Ex. 2)
00)0( 4 =⇒= cw00)0( 2 =⇒=′′ cw00)( 4 =⇒= dLw00)( 2 =⇒=′′ dLw
2828)2()2( 33
133
1 LcLcLdLdLwLw +=+⇒= −+
32
132
1 4343)2(')2(' cLcdLdLwLw −−=+⇒= −+
2626)2('')2('' 11 LcLdLwLw =⇒= −+
EIPcdEIPLwLw −=−−⇒−=− −+11 66)2(''')2('''
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Mecânica dos Sólidos II
Teoria de Vigas (Ex. 2)
11)( dcvii =⇒
33)()( dcvvii =⇒+
Resolvendo para as constantes:
043)()()( 32
1 =+⇒++ cLcvivvii
EIPLcEIPcviviii 16e,12)()( 231 −==⇒+
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Mecânica dos Sólidos II
Teoria de Vigas (Ex. 2)
Solução:
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
<<⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −−⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ −−
<<⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞⎜
⎝⎛−⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛−
=
LxLLxL
LxL
EIPL
LxLx
Lx
EIPL
xw
2,4348
20,43
48)(
33
33
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
<<⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −−
<<⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞⎜
⎝⎛−−
=
LxLLxL
EIPL
LxLx
EIPL
xw
2,4116
20,41
16)('
22
22
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Mecânica dos Sólidos II
Teoria de Vigas (Ex. 2)
P
EIPLLw48
)2(3
−=
EIPLw16
)0('2
−=EIPLLw16
)('2
=
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Mecânica dos Sólidos II
Resultados Tabelados
( )xLEIPxx −= 36
)(2
δ
EIPL3
3
max =δmaxδ
L
P
maxθ EIPL2
2
max =θ
EIPL2
2
max =θ
EIaLPa
6)3(2
max−=δ
maxδ
L
Pa
maxθEIPa2
2
max =θ
EIMxx2
)(2
=δ
EIML2
2
max =δmaxδ
L
M
maxθ EIML=maxθ
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Mecânica dos Sólidos II
Resultados Tabelados
( )LxLxEIqxx 4624
)( 222
−+=δ
EIqL8
4
max =δmaxδ
L
q
maxθ EIqL6
3
max =θ
EIPL16
2
max =θ
maxθ
( )
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
>⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −+−
<−=
2,)2
(8436
2,4348)(
332
32
LxLxxxLEIP
LxxxLEIP
xδ
EIPL48
3
max =δ
maxδ
2L
P
2L
maxδ
L
q
maxθ ( )3222
224
)( xLxLEIqxx +−=δ
EIqL
3845 4
max =δEIqL24
3
max =θ