Teoría de series y sucesiones de números reales
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Captulo 2
Suesiones
21
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22 CAPTULO 2. SUCESIONES
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2.1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA 23
2.1. Planteamiento del problema
Supongamos que nos interesa estudiar determinado fenmeno fsio: mquina eltria,
ampo magntio, rea
iones qumias que tienen lugar en un matraz, interior de una aldera,
superie de un lquido, et. Con el instrumental apropiado medimos la magnitud fsia que
nos interesa (ver la gura 2.1), por ejemplo:
Voltaje
Intensidad de orriente
Intensidad de un ampo
Temperatura
Presin
Altura del nivel de un lquido
.
.
.
Figura 2.1: Modelizain
Muhas vees es neesario disretizar la magnitud fsia bajo estudio, tomando una mues-
tra de sus valores, para, por ejemplo, ser almaenados/tratados en ordenador. (Ver la gura
2.2)
Figura 2.2: Disretizain
y = f(x) y1, y2, y3, . . . siendo yi = f(xi)
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24 CAPTULO 2. SUCESIONES
El ordenador tiene memoria nita, no puede almaenar todos los valores f(x) para adax [a, b] pues pueden ser innitos, pero s podemos tomar una muestra y1 = f(x1), y2 =f(x2), y3 = f(x3), , yn = f(xn)
Veamos unos ejemplos:
1. Calentamos una barra metlia, y queremos estudiar en ada instante t, la distribuinde temperatura en un punto jo x, para ello medimos la temperatura T ada intervalode tiempo t obteniendo la seuenia T1, T2, (ver la gura 2.3)
Figura 2.3: Ejemplo 1
2. Medimos la veloidad de un vehulo en los instantes t1, t2, t3, , obteniendo la se-
uenia v1, v2, v3, (ver la gura 2.4)
Figura 2.4: Ejemplo 2
3. La variain de la magnitud fsia no siempre se mide respeto al tiempo. Por ejemplo
si estudiamos la deexin de una viga al oloar diversas masas: (ver la gura 2.5)
Figura 2.5: Ejemplo 3
Vamos aumentando mKg ada vez, y estudiamos la suesin d1, d2, d3, , es deirun onjunto numerado de nmeros reales. Vamos a denir este onepto de forma
general:
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2.2. DEFINICIN DE LA SUCESIN 25
Deniin 2.1 Una suesin es un onjunto numerado de nmeros reales:
{x1, x2, x3, x4, x5, } = {xn}nN
Ahora nos planteamos el siguiente problema: Estudiar las propiedades de {xn} a medidaque el ndie n N va aumentando.
Si determinamos el omportamiento de {xn} eso nos da informain sobre mo se
omporta el fenmeno fsio. Sin embargo, hay que ser uidadosos en el modo de muestrear
la funin, porque los resultados pueden ser equivoados:
Por ejemplo (ver la gura 2.6) supongamos que nos interesa medir la amplitud de una
seal A(t). Supongamos que muestreamos en los instantes
Figura 2.6: Seal A(t) = 3 sen(t)
t1 =pi
2, t2 =
pi
2+ 2pi, , tn = pi
2+ 2pin
Si la seal fuese A(t) = C sen t, las observaiones seran
A(t1) = A(t2) = = A(tn) = C
de modo que nuestra onlusin sera que A(t) = C para todo t, lo ual no es ierto. Poreso la etapa de muestreo es muy importante.
No vamos a entrar en ello, pero existen resultados matemtios que nos dien mo efe-
tuar el muestreo de una seal f(t) de modo que la suesin muestreada f(t1), f(t2), f(t3), se omporte de un modo pareido a f(t) (Proesamiento Digital de Seales).
Nosotros vamos a suponer que la suesin {xn} es representativa del fenmeno a estudiar.Reuerda el problema que hemos planteado: Estudiar las propiedades de {xn}.
2.2. Deniin de la suesin
A partir de sus valores numrios, por ejemplo podra tratarse de mediiones de labo-
ratorio:
{xn} = {x1 = 2. 5, x2 = 2. 51, x3 = 2. 513, x4 = 2. 5132, }
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26 CAPTULO 2. SUCESIONES
A partir del trmino general, es deir, la regla que nos die mo alular xn para adan N. Por ejemplo:
xn =1
n, yn =
lnnn, ym =
{m2 si m es par1
msi m es impar
Por reurrenia: el trmino yn se obtiene a partir de los anteriores.
2.3. Propiedades interesantes de las suesiones
Algunos tipos de suesiones pueden servirnos para analizar diferentes tipos de ompor-
tamientos. Veamos algunas suesiones:
{xn} = {3, 3. 1, 3. 14, 3. 141, 3. 1415, 3. 14159, 3. 141592, } (ver la gura 2.7)
Figura 2.7: Tiende a pi
Ejeriio 2.1 Explia on tus propias palabras, qu propiedades pueden servir para
desribir el onjunto. Piensa tambin de qu modo podras representar sus valores.
Por ejemplo, supongamos que vamos ehando anias a una bolsa. Ehamos dos anias
ada vez. La pregunta es untas anias habr en la bolsa en ada momento?. Si ynes el nmero de anias en el instante n, entones:
yn = yn1 + 2 n = 2, 3,
y2 = y1 + 2 y3 = y1 + 4 y4 = y1 + 6 Sin embargo, tendremos que espeiar el nmero de anias que iniialmente haba
en la bolsa, esto es, el valor de y1. Una vez onoido y1, ya podemos obtener todos lostrminos de la suesin (ver la gura 2.8):
y1 y2 = y1 + 2 y3 = y2 + 2
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2.3. PROPIEDADES INTERESANTES DE LAS SUCESIONES 27
Figura 2.8: Nmero de anias
En general, la suesin denida en modo reurrente tendr la forma yn = F (yn1)n = 2, 3, , siendo y1 un valor onoido.No obstante, esta deniin se puede ampliar, omo por ejemplo en la suesin de
Fibona
i, denida de la forma:
y1 = 1, y2 = 1, yn = yn1 + yn2 n > 2
y3 = y1 + y2, y4 = y2 + y3, en la que es neesario onoer los dos primeros trminos.
{yn} ={1 + 1
n
}n1
=
{0,1 + 1
2,1 + 1
3,1 + 1
4,
}Es fil observar que yn
umple las tres propiedades siguientes:
yn 0 n N {yn} es dereiente {yn} est aotada: yn [1, 0] n N
De manera formal, se esribirn as:
Creiente: yn+1 > yn n NDereiente: yn+1 < yn n NAotada: p, q R | p yn q n N (Los nmeros p y q no sonnios y se llaman otas)
Para yn:
n < n+ 1 1n
>1
n+ 1 1 + 1
n> 1 + 1
n+ 1 yn+1 < yn (dereiente)
n N 1 yn 0 p = 1, q = 0 aotada superior e inferiormente
Ejeriio 2.2 Para ada una de las siguientes suesiones, estudiar si se veria alguna de
las tres propiedades anteriores:
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28 CAPTULO 2. SUCESIONES
un = n2
vn = 2n+ 1
zk = (1)k 1k
(Estudiarla on detenimiento)
wx =
x si x es par1
xsi x es impar
x N
yn = an a R
Ejeriio 2.3 Razonar las armaiones:
{xn} reiente/dereiente {a xn} a R reiente/dereiente
{xn} Aotada {a xn} a R Aotada
2.4. Convergenia de suesiones
Estudiando las suesiones:
un =1
n; yn =
2n
n+ 1; zn =
n2
2n2 + 3n + 1
Enontramos un omportamiento omn: ada una de ellas tiene un ierto valor ara-
terstio l: a medida que n aumenta, la distania entre el trmino n-simo de la suesin y les ada vez menor. (ver la gura 2.9)
Figura 2.9: Suesin {1/n}
En otras palabras, por muy pequea que sea la distania d que tomemos desde l, llegaun momento en que todos los trminos de la suesin estn an mas era de l
Por ejemplo: un =1
n(ver la gura 2.10)
Figura 2.10: Proximidad al lmite
Tomo d = 0. 4: A partir de n = 3, todos los siguientes trminos estn mas era de 0 que0. 4
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2.4. CONVERGENCIA DE SUCESIONES 29
Y si ambio el valor de d, p. ej. d = 0. 05:1
n< 0. 05 n > 1
0. 05= 20.
A partir del trmino 21, todos los siguientes trminos estn mas era de 0 que d = 0. 05.
Veamos otro ejemplo: {xn} = {(1)n 1n} =
{1, 1
2,1
3,1
4,1
5,
}(ver la gura 2.11)
Figura 2.11: Otro ejemplo
Los trminos de xn se sitan a ambos lados de l = 0, pero el omportamiento es elmismo. Por muy pequea que sea la distania d que nos jemos desde l, llega un momentoen que todos los trminos siguientes de la suesin se enuentran a una distania menor que
d.
Estudiemos esta ondiin en ym =2m
m+ 1y l = 2 para algunas distanias: d =
0. 5, 0. 05, 0. 01, 0. 001
Dado d > 0, se trata de enontrar m tal que2m
m+ 1> 2 d (ver la gura 2.12)
Figura 2.12: Obtenin de m
Como
m
m+ 1< 1 ym < 2 m N
2 d < 2mm+ 1
2m+ 2 dm d < 2m 2 d < dm d>0 m > 2 dd
=2
d 1
Si d = 0. 5 entones m >2
0. 5 1 = 3
Si d = 0. 001 sera m >2
0. 001 1 = 1999
Ahora vamos a esribir formalmente el onepto de onvergenia de la suesin {xn} a l: > 0 n0 N | n N, n > n0 xn (l , l + )
A B C D
Donde ada bloque lo podemos leer de la forma siguiente:
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30 CAPTULO 2. SUCESIONES
A: por muy pequea que sea la distania que tomemos desde l . . .
B: llega un momento, es deir, existe un trmino de la suesin tal que . . .
C: todos los trminos a partir de l . . .
D: estn a una distania de l menor que , es deir, aen dentro del intervalo (l , l + )(ver la gura 2.13)
Figura 2.13: Deniin de lmite
Ejeriio 2.4 Qu nombre rees que podramos darle al nmero l?
Ejeriio 2.5 Dada yr =r2
r2 + 1, estudiar:
Creimiento
Aotain
Convergenia haia ierto valor l
Ejeriio 2.6 Estudiar todas las propiedades que hemos denido en los siguientes ejemplos
de suesiones. Representarlas gramente.
1. xn =
1 si n es par1
nsi n es impar
2. yn =
3 si n 1061
nsi n > 106
3. zn =
n2 si n 1061 +
1
nsi n > 106
4. un = rn r R
Ejeriio 2.7 Esribir formalmente la ondiin de que l no es lmite de la suesin {xn}.
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2.5. PROPIEDADES DE LAS SUCESIONES CONVERGENTES 31
2.5. Propiedades de las suesiones onvergentes
2.5.1. Uniidad del lmite
Es posible que haya dos lmites distintos? (ver la gura 2.14):
lmn
xn = l1, lmn
xn = l2 l1 6= l2
Figura 2.14: El lmite es nio
Para demostrar que esto es falso, por el mtodo de redu
in al absurdo, la estrategia
es:
Tomar un lo bastante pequeo para que los intervalos (l1 , l1 + ) y (l2 , l2 + )no tengan puntos omunes
( |l1l2|
2
).
Enontrar n0 N | n n0, xn (l1 , l1 + ) y xn (l2 , l2 + ), lo ual esimposible (absurdo).
2.5.2. Convergenia de operaiones entre suesiones
Sean {xn} l1, {yn} l2. Paree que podemos esperar:
1. lmn
{xn + yn} = l1 + l2
2. lmn
{xn yn} = l1 l23. lm
n{kxn} = k l1
4. lmn
{xnyn
}=
l1l2
siendo yn 6= 0, n N y l2 6= 0
Las uatro siempre son iertas. Veamos los asos 1 y 3 :
1) (ver la gura 2.15)
Figura 2.15: Lmite de la suma de dos suesiones
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32 CAPTULO 2. SUCESIONES
Dado > 0, busamos n0 N tal que n > n0:
xn + yn (l1 + l2 , l1 + l2 + ) l1 + l2 < xn + yn < l1 + l2 + (2.1)
Dado d > 0:
n1 N | n > n1 l1 d < xn < l1 + dn2 N | n > n2 l2 d < xn < l2 + d
Tomando n0 = max{n1, n2} y sumando ambas ineuaiones:
n > n0 l1 + l2 2d < xn < l1 + l2 + 2d
y onseguimos (2.1) tomando d =
2
3) Dado > 0, busamos un n0 N tal que n > n0:
k l1 < k xn < k l1 + (2.2)
Dado d > 0:
n0 N | n > n1 l1 d < xn < l1 + d (2.3)
Debemos transformar (2.3) en (2.2):
Si k > 0: k l1 k d < k xn < k l1 + k d y onseguimos (2.2) tomando d = k
Si k < 0: k l1 k d > k xn > k l1 + k d k l1 + k d < k xn < k l1 k d y
onseguimos (2.2) tomando d =
k> 0
(ver la gura 2.16)
Figura 2.16: Cambio de esala
Ejeriio 2.8 Si {wn = xn + yn}, {zn = xnyn}, {un = kxn} son onvergentes, tambin loson {xn} e {yn}?
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2.6. ESTIMACIN DEL LMITE DE UNA SUCESIN CONVERGENTE 33
2.5.3. Aotain
Estudiemos ahora ul es la relain entre aotain y onvergenia. En onreto
1. Si {xn} es aotada, es siempre onvergente?
2. Si {xn} es onvergente, es siempre aotada?
Ejeriio 2.9 Estudiar ambas propiedades en la suesin xn = (1)n. Qu onlusinobtenemos?
Ejeriio 2.10 Demostrar que la propiedad (2) es siempre ierta, empleando la siguiente
estrategia;
1. Aotar asi todos los trminos en (l , l + ), es deir, todos salvo un nmero nitode ellos.
2. Aotar el resto de los trminos, sabiendo que es un nmero nito.
Ejeriio 2.11 Aabamos de demostrar que
{xn} onvergente {xn} aotada
Pero, qu podemos asegurar si {xn} es NO aotada?En general, si hemos demostrado una impliain P Q, qu ourre si nos enontramos
on un ejemplo en el que Q no es ierta?
2.6. Estimain del lmite de una suesin onvergente
Si lmn xn = l, es de esperar que para un valor de n avanzado, l xn. Ahora bien,qu signia un valor de n avanzado?, Por ejemplo, n = 1000, 100000?. Se trata de una
uestin importante porque si estamos alulando de forma aproximada el lmite l de {xn}mediante un programa de ordenador, habr que indiar de algn modo el signiado de navanzado; habr que espeiar de algn modo qu ondiin debe umplirse para que el
programa se detenga, Esta ondiin se llama riterio de parada. Veamos tres riterios de
parada que podemos utilizar:
Criterio 1: Calular xk, siendo k un valor predeterminado (100, 1000, 100000, )Criterio 2: Fijado > 0, detener los lulos uando |xn xn1| <
Criterio 3: Fijado > 0, detener los lulos uando|xn xn1|
|xn| =1 xn1xn
< Pero uidado, el heho de que xn xn1 0 no asegura la onvergenia de {xn}.
Por ejemplo: {xn} ={1 +
1
2+
1
3+ + 1
n
}diverge y sin embargo xn xn1 0
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34 CAPTULO 2. SUCESIONES
Veamos que {xn} diverge a +:
xn = 1 +1
2+
1
3+
1
4+
1
5+
1
6+
1
7+
1
8+
1
9+
1
10+
1
11+
1
12+
1
13+
1
14+
1
15+
1
16+
1
17+ >
> 1 +1
2+
1
4+
1
4+
1
8+
1
8+
1
8+
1
8+
1
16+
1
16+
1
16+
1
16+
1
16+
1
16+
1
16+
1
16+
1
32+ =
= 1 +1
2+
1
2+
1
2+
1
2+ , puedes demostrar que xn xn1 0 ?
2.7. Teorema de la onvergenia montona
Supongamos que {zn} es una suesin reiente. Esto no es una ondiin neesaria nisuiente para generalizar la onvergenia. Como demostrar que sto es ierto?
Para demostrar que una propiedad es ierta en general, No podemos emplear ejemplos
en los que esa propiedad se umple. Hay que haerlo de modo general, partiendo de
una suesin ualquiera.
Para demostrar que una propiedad no siempre es ierta, basta on enontrar un aso
en el que no es ierta: es un ontraejemplo.
Ejeriio 2.12 Demostrar que las siguientes propiedades no son iertas en general:
P1: Para que {xn} sea onvergente, es neesario que {xn} sea reiente.P2: Si {xn} es reiente, entones es onvergente.
As pues, si slo sabemos que xn es reiente no podemos deir nada de su onvergenia.Ahora nos preguntamos: Qu ondiin ADICIONAL nos permite asegurar la onvergen-
ia?.
Veamos algunos ejemplos:
Ejemplo 1:
xn = 1 1n
Es reiente y onvergente
yn = 2n+ 1 Es reiente y no onverge.
Qu las diferenia?.
Es fil omprobar que {xn} est aotada superiormente, mientras que {yn} no.En general, se puede demostrar que las ondiiones reiente y aotada nos aseguran la
onvergenia. Ahora bien, ul ser el lmite? (ver la gura 2.17)
Por ejemplo (ver la gura 2.18):
xn = 1 1n
l = 1 es el lmite y adems la menor de las otas superiores (supremo). Cualquier otronmero 1 no puede ser ota superior, porque omo xn es reiente, llega un momento
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2.7. TEOREMA DE LA CONVERGENCIA MONTONA 35
Figura 2.17: Suesin reiente y aotada
en que xn > 1 , es deir supera la ota. Pues bien, este resultado es ierto tambin engeneral y se onoe on el nombre de Teorema de la onvergenia montona: (ver la gura
2.18)
Figura 2.18: El supremo es el lmite
Teorema 2.1 (De la onvergenia montona) Si {xn} es reiente y aotada superior-mente, entones {xn} es onvergente. Adems su lmite es el supremo de {xn}.Ejeriio 2.13 Enuniar el teorema para suesiones dereientes. Enontrar ejemplos de
apliain del teorema.
Ejemplo:
(1 +
1
n
)nSe puede demostrar que es reiente y aotada, por lo que es on-
vergente. Estimemos su lmite:
x1 = 2, x2 = 2. 25, x3 = 2. 37, x10 = 2. 59, x100 = 2. 704, x1000 = 2. 717,
(Como ves, onverge muy lentamente).
Veamos otra forma de alularlo:
En la expresin l = lmn
(1 +
1
n
)ntomamos logaritmos neperianos, (al ser ln(x)
funin ontinua y reiente para los valores que toma la suesin, el logaritmo y el lmite
son interambiables) y queda:
ln l = lmn
nln(1 +
1
n
)= lm
n
ln
(1 +
1
n
)1
n
tomamos n real
apliamos L'Hpital
= lmn
1
1 +1
n
(1n2
)
1n2
= 1
y tenemos: ln l = 1 l = e1 = e menor de las otas superiores supremo.
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36 CAPTULO 2. SUCESIONES
2.8. Divergenia haia de una suesinEjeriio 2.14 Considera las siguientes suesiones:
xn = n, yn = n2, zn = e
n, wn = n!, pn = lnn qn =
n3 si n es par1
nsi n es impar
Demuestra que se umple lo siguiente:
Para xn, , pn : M R,n0 N | n > n0 xn > MPara qn : esta ondiin no es ierta, slo podemos deir que es No aotada, (por lotanto no onverge)
Pues bien, ya podemos denir dos nuevos oneptos:
Deniin 2.2 Esribiremos
lmn
xn =
si se umple:
M R, n0 N | n n0 xn > M(ver la gura 2.19)
Figura 2.19: Suesin no aotada superiormente
Y de forma anloga
Deniin 2.3 Esribiremos
lmn
yn =
si se umple:
M R, n0 N | n n0 yn < M
(ver la gura 2.20)
Ejeriio 2.15 Disutir el siguiente ejemplo: xn =
{1 si n es par
n2 si n es impar
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2.8. DIVERGENCIA HACIA DE UNA SUCESIN 37
Figura 2.20: Suesin no aotada inferiormente
2.8.1. Comparain de la veloidad de reimiento haia Hemos visto ejemplos de suesiones tales que su lmite es innito:
xn = n; yn = n2 + 1; un = e
n; vn = n3.
Aunque las uatro divergen, no lo haen on la misma veloidad. Por ejemplo, para n lobastante avanzado, el valor de xn es muho menor que el de yn, un y vn. Esta propiedad ladenotamos de este modo:
xn
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38 CAPTULO 2. SUCESIONES
Figura 2.21: Suesiones reurrentes
Ejemplo 2.1 Denimos la siguiente suesin reurrente: an+1 = 3 a2n siendo a1 > 0.
En este aso, f(x) = 3x2, de modo que si an es onvergente, su lmite l debe veriar laeuain:
x = 3x2 x = 0 x = 13
Por ejemplo, si
a1 =1
5 a2 = 3
25= 0. 12 a3 = 27
625= 0. 0432 a4 = 0. 0056 onverge haia 0
En ambio, si
a1 =1
2 a2 = 3
4= 0. 75 a3 = 27
16= 1. 69 a4 = 8. 54 diverge haia
Ahora nos preguntamos, por qu para un valor de arranque a1, la suesin onverge ypara otro no?
Observa la gura 2.22. Hemos representado las gras de y = 3x2 e y = x. Utilzalapara omprobar que la suesin an onverge haia 0 uando a1 [0, 1/3] pero diverge a si a1 > 1/3.
La expliain de por qu para algunos valores de a1 la suesin onverge y para otrosdiverge, la enontramos en un teorema que estudiaremos ms detenidamente en el tema 4, altratar del Teorema del punto jo, que nos da ondiiones suientes (aunque no neesarias)
para asegurar la onvergenia de an:
Teorema del punto jo: Si f(x) es ontinua en [a, b] y f(x) [a, b], entones existeun punto l [a, b] tal que l = f(l).
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2.8. DIVERGENCIA HACIA DE UNA SUCESIN 39
Figura 2.22: y = 3x2 e y = x
En nuestro aso, f(x) = 3x2, si x [0, 1/3], f(x) [0, 1/3] luego existe algn puntojo en [0, 1/3] y por tanto la suesin es siempre onvergente. El lmite slo puede ser 0 1/3, pero en este aso la onvergenia es siempre haia 0
2.8.3. Series numrias
Vamos a plantear un nuevo problema:
Existen numerosas situaiones en las que ierta magnitud A, se esribe mediante una sumade innitos trminos:
A = a1 + a2 + a3 + En el tema 1 (nmeros omplejos) utilizamos algunos resultados basados en series innitas:
cos x = 1 x2
2!+x4
4! x
6
6!+x8
8! x
10
10!+ x R (1)
senx = x x3
3!+x5
5! x
7
7!+x9
9! x
11
11!+ x R (2)
ex = 1 +x
1!+x2
2!+x3
3!+x4
4!+x5
5!+ x R (3)
Estudiaremos en el tema 5 de dnde surgen estos desarrollos pero de (3) podemos deduir,sin ms que tomar x = 1:
e = 2 +1
2+
1
3!+
1
4!+
1
5!+
Ejeriio 2.17 Usar las expresiones anteriores para obtener las series de las siguientes
funiones:
ex, ex2
, cos 2x, sen 3x, x ex, senxx
(x 6= 0), sen(x), cos(x), senx cos x
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40 CAPTULO 2. SUCESIONES
Otro desarrollo interesante es el siguiente:
arc tg x =x
1 x
3
3+x5
5 x
7
7+x9
9+
Como ejeriio, elige un valor adeuado de x R para obtener pi de la forma:
pi = 4
(1 1
3+
1
5 1
7+
1
9+
)
En estas series de e y pi, si tomamos slo un nmero nito de sumandos, obtenemos unaaproximain que ser mas prxima al valor real uantos mas sumandos tomemos.
Ejeriio 2.18 Utilizar los anteriores desarrollos de pi y e para obtener aproximaionessuesivas a estos valores, hasta obtener:
e 2. 71828 pi 3. 14159
ompletando la siguiente tabla:
n de sumandos aproximain de e aproximain de pi
1
2
5
10
.
.
.
Sabemos qu signia ortar la serie y quedarnos slo on un nmero nito de suman-
dos:
S = a1 + a2 + a3 + Sn = a1 + a2 + a3 + + anPero Qu signia sumar toda la serie ?. Cmo se hae?. Este es el problema.
La uestin tiene sus diultades, por ejemplo,
Cunto vale S = 1 + 1 1 + 1 1 + 1 ?Podemos tratar de alular el valor de S, asoiando trminos de distintas formas:
S =
(1 + 1) + (1 + 1) + (1 + 1) + = 0
1 + (1 1) + (1 1) + (1 + 1) + = 1 Contradi
in !!
Este ejemplo muestra que no siempre se pueden utilizar las propiedades vlidas para sumas
nitas, en este aso la propiedad asoiativa:
(a1 + a2) + a3 = a1 + (a2 + a3)
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2.8. DIVERGENCIA HACIA DE UNA SUCESIN 41
Pero
(a1 + a2) + (a3 + a4) + (a5 + a6) + puede dar lugar a un valor diferente de
a1 + (a2 + a3) + (a4 + a5) + Como denir la suma a1 + a2 + a3 + a4 + ?. La idea es tomar la suesin de sumaspariales:
S1 =a1
S2 =a1 + a2
S3 =a1 + a2 + a3.
.
.
Sn =
nk=1
ak = a1 + a2 + + an
.
.
.
Como Sn es una suesin, podemos estudiar su onvergenia:
Deniin 2.4 Diremos que la serie
an es onvergente si existe el lmite:
S = lmn
nk=1
ak
y el lmite es nito.
Lo denotamos
n=1
an
Ejemplo 2.2 Consideremos la serie geomtria
n=0
rn = 1 + r + r2 + r3 + r R
En este aso:
Sn =
nk=0
rk = 1 + r + r2 + r3 + + rn = 1 rn+1
1 r =1
1 r rn+1
1 r si r 6= 1
y alulando el lmite
lmn
Sn =
1
1 r si |r| < 1no onverge si |r| 1
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42 CAPTULO 2. SUCESIONES
Ejemplo 2.3 Cunto vale 0. 9999999 ?
0. 999999999 =0. 9 + 0. 09 + 0. 009 + 0. 0009 + = 9(
1
10+
1
102+
1
103+
1
104+
)=
=9
n=1
(1
10
)ngeomtria
= 9
1
1 110
1
= 1 0. 99999 = 1
Ejeriio 2.19 Calular
k=1
k rk,
k=1
k2 rk (Ayuda: derivar
k=0
rk =1
1 r respeto a r)
Ejeriio 2.20 Estudiar la onvergenia de la serie:
1 1 + 1 1 + 1 1 + 1 1 + 1 =
n=1
(1)n
Ejeriio 2.21 Esribir on notain de sumatorios las series de las funiones:
ex, cos x, senx, ex2
, sen 2x
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