Teoría de Números Dra. Noemí L. Ruiz Limardo Revisado 2011 © Derechos de Autor Reservados.
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Teoría de NúmerosDra. Noemí L. Ruiz LimardoRevisado 2011 © Derechos de Autor Reservados
1. Conocer las definiciones básicas relacionadas con factorización
2. Hallar la factorización prima de un número
3. Conocer el significado de MCM y MFC
4. Usar la factorización prima para hallar el MCM y MFC
5. Hallar el MCM y MFC de números dados.
Objetivos
Números que se multiplican para obtener un producto
Ejemplos de factores de 12: 12 y 1 ya que 12 . 1 = 12 3 y 4 ya que 3 . 4 = 12 6 y 2 ya que 6 . 2 = 12
Factores de 12: 12, 1, 6, 2, 4, 3
Factores
Número natural mayor que 1 cuyos únicos factores son él mismo y 1.
Ejemplo de números primos:
2 , 3, 5
Menciona otros
Número Primo
Conjunto de los Números Primos
29,17,{ 2, 5, 13, 23,7,3, 11, 19, 31, …}Observa que:• El conjunto es infinito.• El número primo menor es 2.• El único número primo que es par
es 2, los demás son impares.• No todos los impares son primos,
por ejemplo, el 9 es impar pero no es primo.
• Ver lista de números primos hasta el 100
Número natural que no es primo, o sea, tiene otros factores además de él mismo y uno.
Ejemplo de números compuestos:
4 , 9, 15, 64
Menciona otros
Número Compuesto
Una potencia es cuando tenemos un número (base) elevado a un exponente.
Ejemplo:
32
43
Exponentes y Potencias
Significa que se multiplica la base tantas veces como diga el exponente.
Una potencia es cuando tenemos un número llamado base) elevado a un exponente. Significa que se multiplica la base tantas veces como diga el exponente
Ejemplo: 32
43
Exponentes y Potencias
= 3 x 3 = 9
= 4 x 4 x 4 = 64
Proceso mediante el cual se descompone un número como el producto (multiplicación) de dos o más números.
Ejemplo:
10 = 5 . 2
12 = 4 . 3
Factorización...
Proceso mediante el cual se descompone un número como el producto (multiplicación) de dos o más números primos.
Ejemplo:
7 = 7 . 1
6 = 2 . 3
Factorización prima...
Todo número natural compuesto puede expresarse de una forma única, como un producto de factores primos.
Teorema Fundamental de la Aritmética...
Un número a es divisible por b, si al dividir a por b se obtiene un número entero.
Ejemplo:
10 es divisible por 2 ya que al dividir 10 por 2 se obtiene el entero 5.
Divisibilidad...
Reglas de divisibilidadEs divisible
por:Si: Ejemplo:
2 Último dígito es par (0, 2, 4, 6, 8) 9,894
3 Suma de los dígitos es múltiplo de 3 897,432
5 Último dígito es 0 ó 5 890 ó 7,635
7 Al duplicar el último dígito y luego restar el resultado del número sin su último dígito, se obtiene un múltiplo de 7. (Repetir el proceso tantas veces como sea necesario hasta ver si el resultado obtenido es múltiplo de 7.)
409,311
11 Al sumar los dígitos alternos (uno sí y uno no) y restar la cantidad menor de la mayor, se obtiene un múltiplo de 11.
847,667,942
Ejercicios de práctica para determinar cuando un número es divisible por 2, 3, 5, 7, y 11.
315
630
45,815
123,456,789
987,654,321
142,891
409,311
Determina si los números son divisibles por 2, 3, 5, 7, 11
Más ejemplos en próxima pantalla.
409,311
458,485
287,824
8,493,969
847,667,942
453,896,248
552,749,913
Determina si los números son divisibles por 2, 3, 5, 7, 11
Factorización Prima de un Número
Método del árbol para hallar la factorización prima de un número
• Se buscan dos factores cualesquiera del número que se va a factorizar y se colocan como dos ramas del árbol.
• Si el factor es un número primo, la rama del árbol termina.
Continúa en próxima pantalla.
Método del árbol para hallar la factorización prima de un número
• Si el factor no es primo, se buscan dos factores cualesquiera y se colocan como dos ramas del árbol bajo la ramificación anterior.
• El proceso continúa hasta que se obtienen números primos en todas las ramas del árbol.
• Ver proceso en las próximas pantallas.
Método del árbol de factorización
• Halla la factorización prima de 63
3 21
63
3 7
La factorización prima de 63 es:
32 . 7
3 y 21 son dos factores cualesquiera de 63
Como el 3 es primo, termina la rama, como el 21 no es primo continúa ramificándose el árbol
Termina el proceso cuando se obtienen ramas que tiene solo números primos
Los factores primos que están repetidos se expresan en potencias
Método del árbol de factorización
• Hallar la factorización prima de 504
2 252
504
2 126
2 63
3 21
3 7La factorización prima de 504 es:
23 . 32 . 7
Ejercicios de práctica
240
300
360
425
663
885
Halla la factorización prima de los siguientes números
MCD y MCM
Proceso para hallar el Máximo Factor Común (MFC) (o Máximo Común Divisor-MCD) de dos o más números• Halla la factorización prima de cada
número.• Expresa los factores que se repiten
como una potencia.• Determina los factores que son
comunes a todos los números.• Selecciona, de los factores
comunes, las potencias menores.• Multiplica todos los factores
obtenidos en el paso anterior.
Ejemplo: Hallar el MFC de 360 y 2700
• La factorización prima de cada uno, expresado como potencias de factores es:360 = 23 . 32 . 5 2700 = 22 . 33 . 52
• Los factores comunes son:
2, 3, 5• Selecciona las potencias menores
de cada uno:
22 . 32 . 5 • Multiplicando todo tenemos que
MFC = 22 . 32 . 5 = 180
Proceso para hallar el Mínimo Común Múltiplo (MCM) de dos o más números
• Halla la factorización prima de cada número.
• Expresa los factores que se repiten como una potencia.
• Determina los factores que son comunes a todos los números.
• Selecciona, de los factores comunes, las potencias mayores.
• Selecciona todos los demás factores (los que no fueron comunes)
• Multiplica todos los factores obtenidos en los dos últimos pasos.
Ejemplo: Hallar el MCM de 135, 280, y 300
• La factorización prima de cada uno, expresado como potencias de factores es:
135 = 33 . 5 280 = 23 . 5 . 7 300 = 22 . 3 . 52
• De los factores comunes selecciona las potencias mayores:
23 . 33 . 52
• Los factores no comunes son:
7• Multiplicando todo tenemos que
MFC = 23 . 33 . 52 . 7 = 37,800
Ejercicios de práctica
70 y 120
180 y 300
480 y 1800
168 y 504
28, 35 y 56
252, 308 y 504
Halla el MFC de los números a continuación
Más ejemplos en próxima pantalla.
24 y 32
35 y 56
45 y 75
48, 54 y 60
16, 120 y 216
Halla el MCM de los números a continuación
¿Para qué o cuándo se usa el MFC?
Uno de los usos más importantes es cuando se simplifica una fracción
En este caso se halla el MFC del numerador y el denominador y se divide ambos por esta cantidad.
Se usa el MFC...
¿Para qué o cuándo se usa el MCM?
Uno de los usos más importantes es cuando se suman fracciones con denominadores diferentes.
Cuando se busca un denominador común a dos o más fracciones lo que se busca es el MCM de los denominadores.
Se usa el MCM...
Fin de la Lección
Números Primos hasta 100
29,17,{ 2, 5, 13, 23,7,3, 11, 19, 31, 37,41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, ...}