TEORIA DE JUEGOS

¿Qué es la Teoría de Juegos?

• La Teoría de Juegos, es conocida también como la Teoría de las Situaciones Sociales que es quizás, una descripción más exacta de lo que realmente trata.

• En esencia es una técnica para tomar decisiones en situaciones de conflicto sobre la base de la construcción de una matriz formal que permite comprender el conflicto y sus posibles soluciones.

• Su aplicación es apropiada para problemas donde quienes toman las decisiones no poseen un control completo de los factores que influyen en el resultado, pero dónde se presentan influencias y determinaciones mutuas en las actuaciones reciprocas de los individuos u organizaciones sociales involucrados.

• Un «juego» es una situación conflictiva en la que uno debe tomar una decisión sabiendo que los demás también lo hacen, y que el resultado del conflicto se determina de algún modo a partir de todas las decisiones realizadas.

• Teoría de Juegos plantea que siempre, en juegos donde intervienen dos participantes con intereses completamente opuestos, existe una manera racional de actuar, demostrado matemáticamente que existe una forma «óptima» de tomar parte en tales juegos.

• Una estrategia - dentro de la Teoría de Juegos - es la descripción completa de una forma determinada de jugar, dependiente de lo que hacen los demás jugadores y de la duración del juego.

La Estrategia adecuada

• Imagínese dos niños de 6 años. Queda un sólo pedazo de pastel y ambos se lo quieren comer.

• ¿Cómo hacer para que ambos puedan satisfacer su necesidad y que no se genere la III guerra mundial?

• Y se plantea la siguiente alternativa: uno corta y el otro escoge.

• ¿Cuales son las estrategias posibles para cada uno de los niños?

 Estrategia

del que escoge

       

Estrategia del que corta

 La mitad del pastel MAS

una miga

La mitad del pastel MENOSuna miga

  El Trozo Grande

El Trozo Pequeño

• Dividir el pastel equitativamente es la mejor estrategia para el primer niño, ya que sabe de antemano que la estrategia del otro niño será tomar el pedazo mayor. La solución de este juego es, por tanto, un reparto equitativo. Este resultado no depende de la generosidad de los niños, ni de su sentido de lo que es justo. Surge forzosamente a partir del interés propio de cada uno.

• El que corta sabe que si lo hace con justicia, se llevará al final casi la mitad del pastel. Pero si corta un trozo más grande, sabe que se quedará con el pedazo más pequeño. La verdadera elección existe entre llevarse casi la mitad o bien mucho menos que la mitad del pastel. El que corta tratará de llevarse casi la mitad del pastel, partiéndolo para ello equitativamente.

 Estrategia

del que escoge

   El Trozo Grande

El Trozo Pequeño

Estrategiadel que Corta

Partir lo más equitativamente

posible

La mitad del pastel

MAS una miga

La mitad del pastel MENOSuna miga

Partir un trozo mas grande que

otro

El Trozo Grande

El Trozo Pequeño

La Solución del Juego

En el caso del pastel, el que escoge seleccionará el máximo de la columna de los mínimos (denominado el «minimax») y a su vez el que corta se llevará el mínimo de los máximos (que se llama el «maximin»).

• El principio minimax es una ayuda para ver con más claridad los juegos de suma cero entre dos personas.

• El principio minimax establece que siempre existe una solución racional para un conflicto, definido con exactitud entre dos personas cuyos intereses son totalmente opuestos. Y es una solución racional en el sentido en que ambos participantes pueden convencerse a sí mismos de que no podrían hacer nada mejor; dada la propia naturaleza del conflicto.

Una solución racional no es necesariamente la que hace feliz a todos. En el caso del pastel, el que corta acaba por llevarse una migaja o dos menos que el que escoge.

La mitad del pastel, salvo una migaja, es lo más que el que corta puede garantizarse a si mismo sin la ayuda del que escoge. Es, asimismo, el trozo más pequeño que el que escoge puede dejarle por su propia cuenta, al que corta.

Aplicaciones de la Teoría de Juegos Los Juegos como Dilemas

• La Sra. Pura está en un problema. Ella es la dueña del Diamante más Grande del Mundo y la ha llamado el Sr. Malo dispuesto a comprarlo por una cantidad de dinero mayor que lo que cualquier persona ofrecería.

• La Sra. Pura sabe que el Sr. Malo no es malo, sino que es un muy buen negociante que en otras oportunidades similares ha ofrecido mucho dinero por lo que quiere y una vez hecho el trato ha tomado el objeto y su dinero y se ha desaparecido.

• Pero.... es tan atractivo el precio que ofrece.......

• Entonces a la Sra. Pura se le ha ocurrido una idea genial: • Ella dejará el Diamante más Grande del Mundo en un

lugar que sólo ella conoce. A su vez el Sr. Malo dejará la Mayor cantidad de Dinero que nunca nadie le ha ofrecido en otro lugar que sólo él conoce. Una vez hayan hecho esto se comunicarán por teléfono los respectivos lugares y cada uno podrá ir a buscar lo que pretende.

• Al plantearle esta propuesta al Sr. Malo, éste aceptó encantado...., de hecho estaba extrañamente contento con la idea...., tanto que la Sra. Pura comenzó a pensar si no habría algún truco escondido.

• Y comenzó a pensar que el Sr. Malo probablemente pretendía NO DEJAR el dinero y, SI TOMAR el Diamante más Grande del Mundo....., pero inmediatamente cayó en cuenta que también ella podría NO DEJAR el Diamante y SI TOMAR el Dinero....

¿Cuáles son las posibles estrategias que podrían aplicar el Sr. Malo y la Sra. Pura?,

Expréselas acudiendo a la siguiente sencilla regla: Quién obtiene lo que desea gana 1 (un) punto; quien

no obtiene lo que desea gana 0 (cero) puntos.

  Sra. Pura

    Deja No Deja

Sr MaloDeja    

No Deja    

Las posibles estrategias que podrían aplicar el Sr. Malo y la Sra. Pura son las siguientes:

  Sra. Pura

    Deja No Deja

Sr. Malo

Deja (1,1) (0,1)

No Deja (1,0) (0,0)

• Si ambos deciden dejar lo que les corresponde, ambos ganan y el resultado es igual a (1,1).

• Si ninguno decide dejar los que le corresponde, ambos se frustran en su deseo, pero.... técnicamente NO PASA NADA, y el resultado es (0,0). Podrían intentar nuevamente, buscar otras alternativas, etc.

• Pero, si uno deja y el otro no, el resultado puede ser (1,0) o (0,1) que significa que uno de los dos SALE PERJUDICADO.El proceder adecuado para la Sra. Pura o el Sr. Malo dependerá del tipo de relación que sean capaces de crear entre ambos. Si es de confianza mutua, ambos saldrán gananciosos. Si es de confrontación o de sacar el máximo provecho del otro, uno de los dos perderá. Si es de desconfianza, ambos podrían salvarse, optando por no hacer nada momentáneamente.

El Problema del Conductor Ecológico

Suponga que le gustaría vivir en un ambiente menos contaminado y que existe un aparato catalizador que puede colocarse a los automóviles para que contaminen menos el aire. Pero el asunto reside en que la mejora del ambiente sólo ocurre si un número grande de personas usa este dispositivo.

¿Qué pasa si usted no lo usa, pero los otros si lo hacen?, ¿Cómo se beneficiaría Ud?....

¿Y... si usted usa el dispositivo mientras los otros no lo hacen?, ¿Cuanto pagará usted por un dispositivo que no lo beneficiará...? (Si se le facilita use una escala de 1 -el menor- a 4 -el mayor-).

  Otros

    Usan No Usan

Ud. Usa    

No Usa    

• Si usted no usa el dispositivo, pero los otros si lo hacen, usted se beneficia de mejor aire sin pagar por él: en este caso Ud. obtiene una utilidad de 4 (o 4 veces mayor que la menor utilidad a obtener).

• Si usted usa el dispositivo mientras los otros no lo hacen, usted obtendrá la utilidad más pequeña de todas, igual a 1.

• Si TODOS lo usan, todos se benefician obteniendo la mayor utilidad secundaria, igual a 3.

• Si NADIE lo usa, ninguno se beneficia obteniendo la segunda utilidad más pequeña, igual a 2.

  Otros

    Usan No Usan

Ud. Usa 3 1

No Usa 4 2

El Juego del Gallina• El nombre de GALLINA dice relación con un tipo de

desafío en la que dos individuos manejan cada uno enfrente del otro y con un par de ruedas en la línea de la mitad del camino. El individuo que vira del curso de la colisión "ES UN GALLINA....".

• Este tipo de situación es altamente representativa del pensamiento de "yo no me dejo...." y refleja una alta posibilidad de que se de un escalamiento del conflicto

• Suponga los siguientes puntajes:• Sin daño: 0 .............. Con daño: -5• ¿Cómo se darían las posibilidades?

  A

    CedeNo

Cede

B Cede    

No Cede    

• Si ambos ceden, ninguno de los dos queda lesionado, ni física, ni moralmente, por lo tanto la suma es (0,0).

• Si cede sólo uno de los dos, el que lo hace queda lesionado moralmente, siendo la suma (0,-5) o (-5,0)

• Si NINGUNO CEDE, ambos quedan lesionados físicamente, por lo que la suma es (-5,-5)

La reflexión a realizar es acerca de ¿cuál es la manera racional de desbaratar un juego de este tipo....?

  A

    CedeNo

Cede

B

Cede (0,0) (-5,0)

No Cede (0,-5) (-5,-5)

El Dilema del Prisionero

• El Planteamiento del Problema:• Dos sospechosos son detenidos en cercanías

del lugar de un crimen y la policía comienza aplicar las técnicas de interrogatorio por separado.

• Cada uno de ellos tiene la posibilidad de elegir entre confesar acusando a su compañero, o de no hacerlo.

• Si ninguno de ellos confiesa, entonces ambos pasarán un año en prisión acusados de cargar un arma sin autorización. Si ambos confiesan y se acusan mutuamente, los dos irán a prisión por 10 años cada uno, pero si sólo uno confiesa y acusa a su compañero al implicado le caerán 20 años y el acusador saldrá libre por colaborar con la policía.

• Las estrategias a definir en este caso son: Confesar o No Confesar.

• ¿Cómo se construiría la tabla de alternativas? y ¿Cuáles son las Estrategias Adecuadas para cada uno de ellos y para los dos en su conjunto?

  Preso Nº 1

    ConfiesaNo

Confiesa

Preso Nº 2

Confiesa    

No Confiesa    

Una Posible Solución

  Preso Nº 1

    ConfiesaNo

Confiesa

Preso Nº 2

Confiesa (10,10) (0,20)

No Confiesa (20,0) (1,1)

¿Cómo resolver este Juego?, ¿Cuáles son las "Estrategias Racionales" a aplicar si ambas personas

desean minimizar su estadía en la cárcel?

• El Prisionero Nº 2 puede razonar de la siguiente forma: • " Aquí pueden suceder dos cosas, o mi compañero habla o no

habla. Supongamos que confiesa, entonces yo pasaré 20 años en la cárcel, si no confieso yo también. Pero si lo hago sólo estaré 10 años. En este caso es mejor confesar. De otro lado, si él no confiesa y yo tampoco lo hago, entonces estaré 1 año. Pero si sólo yo confieso saldré libre. De todas maneras es mejor confesar ".

• Es de suponer que el Prisionero Nº 2 está razonando de la misma manera, pero si es así, entonces los dos pasarán 10 años en la cárcel.

• Por lo tanto, si ambos actúan "irracionalmente" y se mantienen callados cada uno pasará en prisión sólo 1 año.

El Análisis de la Solución Planteada

Este sorprendente resultado en el cual acciones individuales resultantes de un análisis racional hecho por las dos personas involucradas lleva a muy malas consecuencias frente a las finalidades de maximizar la utilidad individual que cada uno busca, ha tenido un poderoso impacto en las ciencias sociales modernas. El poder del "Dilema del Prisionero" reside en su capacidad para poder explicar que la "racionalidad" puede volverse en contra de los seres humanos y que es necesario buscar formulas alternativas para solucionar los dilemas. Quizás se podrá aducir que el planteamiento del Dilema del prisionero adolece de ingenuidad o que no es realista frente a las características fundamentales del ser humano, no obstante sus propias debilidades pueden señalar el camino para superarlas.

• El Dilema del Prisionero es un juego de "dos-personas", no obstante sus aplicaciones pueden darse en múltiples situaciones dónde se involucran a numerosas personas o actores sociales.

• Se asume que no existe comunicación entre los dos sospechosos. Sin embargo si ellos pudieran hablar entre ellos y coordinar sus estrategias, con seguridad la solución adoptada sería muy diferente y consideraría el mayor beneficio para ambos.

• En el Dilema del Prisionero, las dos personas interactúan sólo una vez. La repetición del juego y de las interacciones podría llevar a resultados muy diferentes.

En vez de expresar los pagos en años de cárcel, podríamos indicar simplemente el orden de preferencia de cada preso de los correspondientes resultados, con lo que el modelo pasa a tener aplicación más general.

Dilema del prisioneroMatriz de Pagos

(orden de preferencias)

   

   

Preso Y

lealtad traición

Preso Xlealtad 2 \ 2 4 \ 1

traición 1 \ 4 3 \ 3*

La aplicación de la estrategia maximín conduce en este juego a un resultado subóptimo. Al no conocer la decisión del otro preso, la estrategia más segura es traicionar. Si ambos traicionan, el resultado para ambos es peor que si ambos hubieran elegido la lealtad. Este resultado es un punto de equilibrio de Nash y está señalado en la matriz mediante un asterisco.

El modelo halcón-paloma

En el lenguaje ordinario entendemos por "halcón" a los políticos partidarios de estrategias más agresivas mientras que identificamos como "paloma" a los más pacifistas. Si un jugador mantiene la estrategia Halcón y el otro elige la estrategia Paloma, el Halcón gana y la Paloma pierde. Pero la situación peor para ambos es cuando los dos jugadores se aferran a la estrategia Halcón. El resultado puede modelarse con la siguiente matriz de pagos.

 Jugador Y

Jugador X

HALCÓN-PALOMA:MATRIZ DE PAGOS

Paloma Halcón

Paloma 2º,2º 3º,1º*

Halcón 1º,3º* 4º,4º

• Hay aquí dos resultados que son equilibrios de Nash: cuando las estrategias elegidas por cada jugador son diferentes; en la matriz aquí representada esas soluciones están marcadas con un asterisco. Compruébese, por el contrario, que en el Dilema del Prisionero el equilibrio de Nash está en el punto en que ambos jugadores traicionan.

• Otra notable diferencia de este juego con otros es la importancia que aquí adquiere el orden en que los jugadores eligen sus estrategias. Como tantas veces en la vida real, el primero que juega, gana. El primero elegirá y manifestará la estrategia Halcón con lo que el segundo en elegir se verá obligado a elegir la estrategia Paloma, la menos mala.

La guerra de los sexos

El modelo de "La guerra de los sexos" es un ejemplo muy sencillo de utilización de la teoría de juegos para analizar un problema frecuente en la vida cotidiana.Hay dos jugadores: "ÉL" y "ELLA". Cada uno de ellos puede elegir entre dos posibles estrategias a las que llamaremos "Fútbol" y "Discoteca".

• Supongamos que el orden de preferencias de ÉL es el siguiente: 1º (lo más preferido) ÉL y ELLA eligen Fútbol.2º ÉL y ELLA eligen Discoteca.3º ÉL elige Fútbol y ELLA elige Discoteca.4º (lo menos preferido) Él elige Discoteca y ELLA elige Fútbol.

• Supongamos que el orden de preferencias de ELLA es el siguiente:1º (lo más preferido) ÉL y ELLA eligen Discoteca. 2º ÉL y ELLA eligen Fútbol. 3º ÉL elige Fútbol y ELLA elige Discoteca. 4º (lo menos preferido) Él elige Discoteca y ELLA elige Fútbol.

La matriz de pagos es como sigue: 

   

ELLA

Fútbol Discoteca

ÉLFútbol 1 \ 2 3 \ 3*

Discoteca 4 \ 4 2 \ 1

Este juego, tal como lo hemos descrito, es un juego sin repetición y sin transferencia de utilidad.Sin repetición significa que sólo se juega una vez por lo que no es posible tomar decisiones en función de la elección que haya hecho el otro jugador en juegos anteriores. Sin transferencia de utilidad significa que no hay comunicación previa por lo que no es posible ponerse de acuerdo, negociar ni acordar pagos secundarios

("Si vienes al fútbol te pago la entrada").

El modelo que hemos visto es un juego simétrico ya que jugadores o estrategias son intercambiables sin que los resultados varíen. Podemos introducir una interesante modificación en el juego convirtiéndolo en asimétrico a la vez que nos aproximamos más al mundo real. Supongamos que las posiciones 2ª y 3ª en el orden de preferencias de ÉL se invierten. ËL prefiere ir solo al Fútbol más que ir con ELLA a la Discoteca. La matriz de pagos queda como sigue:

  Si ELLA conoce la matriz de pagos, el problema de coordinación desaparece. Está muy claro que ÉL elegirá siembre la estrategia Fútbol, sea cual sea la elección de ELLA. Sabiendo esto ELLA elegirá siempre la estrategia Fútbol también, ya que prefiere estar con ÉL aunque sea en el Fútbol que estar sola aunque sea en la Discoteca. La estrategia maximín de ambos jugadores coincide. El resultado, marcado con un asterisco, es un punto de silla, un punto de equilibrio de Nash.

 

   

ELLA

Fútbol Discoteca

ÉLFútbol 1 \ 2* 2 \ 3

Discoteca 4 \ 4 3 \ 1

Juegos con transferencia de utilidad(Juegos cooperativos)

Si los jugadores pueden comunicarse entre sí y negociar un acuerdo ANTES de los pagos, la problemática que surge es completamente diferente. Se trata ahora de analizar la posibilidad de formar una coalición de parte de los jugadores, de que esa coalición sea estable y de cómo se deben repartir las ganancias entre los miembros de la coalición para que ninguno de ellos esté interesado en romper la coalición.

• En los juegos con transferencia de utilidad se llama solución a una propuesta de coalición y de reparto de los pagos que garantice estabilidad, es decir, en la que ninguno de los participantes de una coalición vencedora pueda estar interesado en romper el acuerdo.

• Se llama "valor del juego" al pago que un jugador tiene garantizado que puede recibir de un juego si toma una decisión racional, independientemente de las decisiones de los demás jugadores. Ningún jugador aceptará formar parte de una coalición si no recibe como pago al menos el valor del juego.

• Supongamos un municipio en el que cinco partidos políticos se han presentado a las elecciones: PA, PB, PC, PD y PE. En las elecciones, han obtenido el siguiente número de concejales:

• PA=11, PB=8, PC=5, PD=2, PE=1• Como ningún partido ha conseguido la mayoría absoluta,

es necesario que se forme una coalición para gobernar el municipio. El presupuesto anual del municipio es de 520 millones de euros. La coalición gobernante debe asignar los cargos y las responsabilidades del ayuntamiento a los diferentes partidos.

• En las negociaciones se debe acordar el reparto del presupuesto, cargos y responsabilidades entre los partidos.

• Como el número total de concejales es 27, la coalición vencedora debe disponer al menos de 14 votos. A diferencia del juego 2, no hay ningún jugador imprescindible para ganar. Si utilizamos la definición que dimos arriba, el valor del juego para todos los jugadores es cero ya que ninguno tiene garantizada su pertenencia a la coalición vencedora.

Definición: Se llama "valor de Shapley" a la asignación que recibe cada jugador en una propuesta de reparto según un criterio de arbitraje diseñado por Lloyd S. Shapley. El criterio consiste en asignar un pago a cada jugador en proporción al número de coaliciones potencialmente vencedoras en las que el jugador participa de forma no redundante.

Un jugador es redundante en una coalición si no es imprescindible para que esa coalición resulte vencedora.

Propuesta arbitral de Shapley para el juego 3.

Como hay cinco partidos políticos, las posibles coaliciones son 31. De ellas, 16 son vencedoras.

Por tanto:A no es redundante en 10 coaliciones vencedorasB no es redundante en 6 coaliciones vencedorasC no es redundante en 6 coaliciones vencedorasD no es redundante en 2 coaliciones vencedorasE no es redundante en 2 coaliciones vencedoras

ABCDE

ABCDABCEABDEACDEBCDE

ABCABDACDBCD

ABEACEBCE

ADEBDE

CDE

ABACADAE

BCBDBE

CDCE

DE ABCDE

• Si se formara un "gobierno de concentración", una coalición de todos los partidos, podríamos repartir el presupuesto de 520 millones de euros en proporción al valor de Shapley obteniendo los siguientes valores para cada uno de los partidos:

• A= 200; B= 120; C= 120; D= 40; E= 40• En cualquier coalición formada por menos de cinco partidos, ninguno

de los coaligados debería aceptar un presupuesto inferior al indicado. Sea cual sea la coalición vencedora que se forme, el presupuesto puede ser repartido conforme al criterio del valor de Shapley.

• Obsérvese que la propuesta de arbitraje de Shapley no conduce a una solución única ni absolutamente estable. Sigue habiendo varias soluciones posibles. Pero en cualquier coalición que se forme, si el reparto se hace conforme al criterio de Shapley, no habrá una coalición alternativa más estable que ofrezca a los jugadores un pago superior.

Estrategias reactivasCuando un juego se repite varias veces, cada jugador puede adoptar su estrategia en función de las decisiones que haya adoptado antes su oponente.

• Las estrategias reactivas son las que se adoptan en los juegos con repetición y se definen en función de las decisiones previas de otros jugadores.

• El ejemplo más conocido es la estrategia OJO POR OJO Supongamos que dos jugadores repiten de forma indefinida una situación con pagos de forma del Dilema del Prisionero. Otra posible estrategia reactiva es la TORITO (también llamada "GALLITO" en inglés "BULLY"). Esta estrategia consiste en hacer lo contrario que haga el oponente.

 Jugador columna

Jugadorfila

DILEMA DEL PRISIONEROMATRIZ DE PAGOS

Cooperar Traicionar

Cooperar 2º,2º 4º,1º

Traicionar 1º,4º 3º,3º*

En el ambiente del Dilema del Prisionero, la estrategia OJO POR OJO ofrece muy buenos resultados mientras que la estrategia TORITO proporciona pagos medios muy bajos. En cambio, en el ambiente del juego Halcón-Paloma sucede precisamente lo contrario: TORITO obtiene buenos resultados mientras que OJO POR OJO proporciona pagos medios inferiores.

 Jugador columna

Jugadorfila

HALCÓN-PALOMA:MATRIZ DE PAGOS

Cooperar Traicionar

Cooperar2º,2º

3º,1º*

Traicionar 1º,3º* 4º,4º

Un Juego de Precios entre 2 Empresas

Se trata de dos compañías que están compitiendo por el mismo mercado. Cada empresa debe escoger entre un precio alto ($2 por unidad) o un precio bajo ($1 por unidad). Las Reglas:

 Cada compañía tiene un costo fijo de $5000, independiente de si vende algo o no.

A un precio de $2, pueden venderse 5000 unidades A un precio de $1, pueden venderse 10000 unidades Si ambas compañías cobran el mismo precio, las ventas se

distribuyen uniformemente entre ambas. Si una compañía cobra un precio más alto, la compañía con el

precio más bajo vende la cantidad entera y la compañía con el precio más alto no vende nada.

La Matriz de Alternativas, sería entonces

como la siguiente:

  A

    $ 2 $ 1

B $ 2 (0, 0) (-5.000,5000)

  $ 1 (5.000, -5.000) (0,0)

Las dos compañías están compitiendo por el mismo mercado y cada empresa debe escoger entre un precio alto ($3 por unidad), un

precio medio ($2 por unidad), o un precio bajo ($1 por unidad).

 Cada compañía tiene un costo fijo de $5000, independiente de si vende algo o no.

 A un precio de $1, pueden venderse 10000 unidades, a un precio de $2, el mercado se reduce a 8000 unidades, pero a un precio de $3, se limita a 6000 unidades.

 Si ambas compañías cobran el mismo precio, las ventas se distribuyen uniformemente entre ambas.

 Si una compañía cobra un precio más alto, el tamaño máximo del mercado es del precio más bajo.

 Si la diferencia de precios entre las dos empresas es mínima, existe un 10% de los compradores para los cuales el precio más alto es indiferente, pero si la diferencia es la máxima este porcentaje se reduce a la mitad.

Esto significa que NO EXISTE UNA ESTRATEGIA DOMINANTE, y cuando esto se produce se denomina como el "Equilibrio de Nash".

El Equilibrio de Nash se presenta en un juego de estrategias cuando ningún jugador puede beneficiarse cambiando su estrategia mientras los otros jugadores mantienen sus estrategias inalteradas. La Matriz de Alternativas, sería entonces como la siguiente:

 

    1 2 3

 

 

A

1 0,0 4000,-3000 4500,-3500

B 2 -3000,4000 3000,3000 9400,-2600

3 -3500,4500 -2600,9400 4000,4000

El Equilibrio Nash: Una Aplicación a la Competencia de Dos Empresas

• Cuando se trata el problema del análisis de los juegos, la definición de un equilibrio Nash indica que este equilibrio es un conjunto de acciones tales que ninguno de los jugadores, si considera que las acciones de su oponente están dadas, deseará cambiar su propia acción.

• Un equilibrio Nash es una situación de juego en la cual, una vez que cada jugador, cuando considere que las acciones tomadas por el contrincante sean invariables, se resistirá a variar su propia acción.

• En un equilibrio Nash, el jugador observará que, como la acción de su rival está predeterminada, él mismo podrá elegir su propia acción dentro de una gama de posibilidades.

Más sobre el equilibrio Nash

La conducta de dos jugadores puede definir cualquiera de las siguientes situaciones:

• El equilibrio Nash corresponde al resultado de aplicar estrategias puras.

• El equilibrio Nash corresponde al resultado de aplicar estrategias mixtas.

• Existe un equilibrio Nash dentro del juego.• Existen dos o más equilibrios Nash dentro del juego.• No existe ni siquiera un equilibrio Nash.

 •  

• Una estrategia pura es aquella decisión que se toma con certeza. En contraposición a tal concepto, una estrategia mixta es una decisión que se toma con una determinada probabilidad. Cuando un problema no alcanza una solución vía estrategias puras, con frecuencia puede ser enfocado desde una perspectiva de estrategias mixtas. Así, se dice que los problemas que no tienen solución vía estrategias puras pueden tenerla vía estrategia mixtas. Ambas situaciones pueden ser vistas como soluciones ciertas versus gamas de soluciones probables.

• Los equilibrios de estrategias puras pueden constituir diversas magnitudes, como un único equilibrio, dos o más equilibrios (un número discreto), infinitos equilibrios en un subconjunto del total de situaciones finales del juego, o infinitos equilibrios que cubren la totalidad de situaciones finales del juego. En cualquier caso, un equilibrio de estrategia pura es una situación final cuya probabilidad de dar máximo beneficio (dentro de la vecindad de situaciones) a los dos jugadores es uno.

• Como se dijo, cuando no hay equilibrios Nash de estrategias puras, con frecuencia es posible determinar equilibrios Nash de estrategias mixtas. Es usual en tales contextos hallar multiplicidad de equilibrios Nash de estrategias mixtas, cada equilibrio asociado a un par de decisiones de los jugadores, cada decisión a su vez asociada a una probabilidad de ser tomada. Por ello, podemos decir que el análisis Nash arroja como resultado las distribuciones de probabilidad que producen los equilibrios Nash.

• El método para encontrar las distribuciones de probabilidad de las estrategias mixtas consiste en suponer que un subconjunto de las situaciones finales (el cual puede a veces cubrir el conjunto total de situaciones finales) posee un valor esperado único y máximo. De esa manera, puede calcularse las distribuciones de probabilidades que permiten que se produzca esa equivalencia.

• Las decisiones de los jugadores llevan asociadas distribuciones de probabilidades calculadas del modo ya descrito. Dos jugadores determinarán así un área de distribución de las probabilidades asociadas a las situaciones finales. Algunas situaciones finales serán más probables que otras.