Teoria de Colas I.pptx
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TEORÍA DE
COLASINVESTIGACIÓN DE OPERACIONES
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TEORÍA DE COLAS
Las COLAS o LÍNEAS DE ESPERA son parte de lavida, pero, aunue este!os a"ostu!#rados aellas, nos !olesta "uando las esperas son
$de!asiado lar%as&' E"on(!i"a!ente, tener ue esperar no es s(louna !olestia personal' La espera de laspersonas tiene "osto elevado para lase"ono!)as de un pa)s'
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TEORÍA DE COLAS
La TEORÍA DE COLAS es el estudio de la esperaen las distintas !odalidades'
*tili+a ODELOS DE COLAS para representar lostipos de SISTEAS DE LÍNEAS DE ESPERA-siste!as ue involu"ran "olas de al%.n tipo/ue sur%en en la pr0"ti"a'
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TEORÍA DE COLAS
Las 1(r!ulas para "ada !odelo indi"an "u0lde#e ser el dese!pe2o del siste!a"orrespondiente 3 se2alan la "antidad pro!edio
de espera ue o"urrir0 en diversas"ir"unstan"ias' Por lo tanto, estos !odelos de l)neas de espera
son !u3 .tiles para deter!inar "(!o operar unsiste!a de "olas de la !anera !0s e4"a+'
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ESTR*CT*RA 56SICA DE
ODELOS DE COLAS
FUENTE DEENTRADA COLA MECANISMODE SERVICIO
Clientesservidos
Clientes
Sistema de Colas
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7*ENTE DE ENTRADA
*na "ara"ter)sti"a es el ta!a2o o n.!ero de"lientes ue pueden reuerir un servi"io endeter!inado !o!ento'
Puede ser 7INITA o IN7INITA' Ta!#i8n de#e espe"i4"arse el patr(n
estad)sti"o !ediante el "ual se %eneran los"lientes en el tie!po'
Tiempo entre Llegadas9 Tie!po ue
trans"urre entre : lle%adas "onse"utivas'
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COLA
Donde los "lientes esperan antes de re"i#ir unservi"io'
Se "ara"teri+a por el n.!ero !0;i!oper!isi#le de "lientes ue puede ad!itir9 Cola 7inita
Cola In4nita -es el est0ndar de la !a3or)a de los!odelos/
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DISCIPLINA DE COLA
El orden en el ue sus !ie!#ros se sele""ionanpara re"i#ir el servi"io9 7I7O -PEPS/
Aleatoria
Se supone "o!o nor!al la dis"iplina 7I7O'
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ECANISO DE
SERVICIO Consiste en una o !0s estaciones de
servicio, "on uno o !0s "anales deservi"io paralelos -servidores/'
Si e;iste !0s de < esta"i(n deservi"io, el "liente puede re"i#ir elservi"io de una se"uen"ia de ellas-"anales de servi"io en serie/'
El tie!po ue trans"urre desde elini"io del servi"io para un "liente =astasu ter!ina"i(n en una esta"i(n sella!a TIEMPO DE SERVICIO'
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PROCESO DE COLAS
ELEENTAL El tipo de situa"i(n ue prevale"e en
el estudio de "olas es el si%uiente9
*na sola l)nea de espera -ue a ve"espuede estar va")a/ se 1or!a 1rente a unaesta"i(n de servi"io'
*no o !0s servidores se en"uentrandentro de la esta"i(n de servi"io'
Cada "liente %enerado por una 1uente deentrada re"i#e el servi"io de uno de losservidores, ui+0 despu8s de esperar unpo"o en la "ola'
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PROCESO DE COLAS
ELEENTAL
C C C C C C C C C
C
C
C
C
C
S
S Instalación
S de
S Servicio
S
Cola
Sistema de Colas
Clientes
Clientes Atendidos
Clientes
Atendidos
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PROCESO DE COLAS
ELEENTAL*n servidor no tiene ue ser
ne"esaria!ente un solo individuo, puedeser9 *n %rupo de personas ue "o!#ina 1uer+as para reali+ar,
de !anera si!ult0nea, el servi"io ue reuiere el "liente' *na !0uina *n ve=)"ulo *n dispositivo ele"tr(ni"o, et"'
Los "lientes no ne"esaria!ente tienen ueser personas' Pueden ser9 *nidades ue esperan ser pro"esadas Ve=)"ulos ue esperan pasar por una "aseta de "o#ro en
una esta"i(n de pea>e, et"'
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PROCESO DE COLAS
ELEENTAL En un siste!a de "olas, no es ne"esario
ue se 1or!e una l)nea de espera 1)si"adelante de una estru"tura !aterial ue"onstitu3e la esta"i(n de servi"io'
Los !ie!#ros de la "ola pueden estardispersos !ientras esperan ue elservidor ven%a a ellos'
De todas !aneras, la teor)a de "olaspropor"iona entre otros datos "o!on.!ero pro!edio de "lientes en espera'
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PROCESO DE COLAS
ELEENTAL El .ni"o reuisito esen"ial para poder apli"ar la
teor)a de "olas es ue los "a!#ios en el n.!erode "lientes ue esperan un servi"io o"urran
"o!o si prevale"iera la situa"i(n 1)si"a ue sedes"ri#e en el dia%ra!a !ostradoanterior!ente'
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PROCESO DE COLAS
ELEENTAL Por "onven"i(n, los !odelos de
"olas se etiuetan de la si%uiente
!anera9
? @ ? @ ?Distri#u"i(n detie!pos entre
lle%adas
N.!ero deServidores
Distri#u"i(n detie!pos de
servi"io
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PROCESO DE COLAS
ELEENTAL Donde, tanto para la distri#u"i(n de tie!pos de
servi"io "o!o para la distri#u"i(n de tie!poentre lle%adas9
Distri#u"i(n e;ponen"ial -arBoviana/ D Distri#u"i(n de%enerada EB Distri#u"i(n Erlan% -par0!etro de 1or!a B/
G Distri#u"i(n %eneral -per!ite "ualuierdistri#u"i(n ar#itraria/
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TERINOLOGIA
NOTACIÓN A !enos ue se esta#le+"a otra "osa, la
ter!inolo%)a est0ndar es9 Estado del Siste!a9 n.!ero de "lientes en el
siste!a Lon%itud de Cola9 n.!ero de "lientes ue
esperan servi"io' Estado del siste!a !enosn.!ero de "lientes a uienes se les da elservi"io
N-t / n.!ero de "lientes en el siste!a de"olas en el tie!po t -t / Pn-t / pro#a#ilidad de ue e;a"ta!ente n
"lientes est8n en el siste!a en el tie!po t ,dado el n.!ero en el tie!po '
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TERINOLOGIA
NOTACIÓN A !enos ue se esta#le+"a otra "osa, la
ter!inolo%)a est0ndar es9 s n.!ero de servidores -"anales de servi"io
en paralelo/ en el siste!a de "olas' Fn tasa !edia de lle%adas -n.!ero esperado
de lle%adas por unidad de tie!po/ de nuevos"lientes "uando =a3 n "lientes en el siste!a'
n tasa !edia de servi"io en todo el siste!a
-n.!ero esperado de "lientes ue "o!pletansu servi"io por unidad de tie!po/ "uando =a3 n "lientes en el siste!a'
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TERINOLOGIA
NOTACIÓN A !enos ue se esta#le+"a otra "osa, la
ter!inolo%)a est0ndar es9 F tasa !edia de lle%adas -n.!ero esperado
de lle%adas por unidad de tie!po/ de nuevos"lientes "uando Fn es "onstante, sin i!portar eln.!ero de "lientes ue =a3an en el siste!a'
tasa !edia de servi"io en todo el siste!a-n.!ero esperado de "lientes ue "o!pletansu servi"io por unidad de tie!po/ "uando n porservidor o"upado es "onstante para toda n <'
H F@-s/ 1a"tor de utili+a"i(n de lainstala"i(n de servi"io'
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TERINOLOGIA
NOTACIÓN A !enos ue se esta#le+"a otra "osa, la
ter!inolo%)a est0ndar es9 Condi"i(n Transitoria9 Cuando el estado del
siste!a se en"uentra #astante a1e"tado por elestado ini"ial 3 el tie!po ue =a pasado desdeel ini"io'
Condi"i(n de Estado Esta#le9 Cuando el estadodel siste!a se vuelve, en esen"ia,independiente del estado ini"ial 3 del tie!potrans"urrido 3 la distri#u"i(n de pro#a#ilidaddel estado se "onserva a trav8s del tie!po'
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TERINOLOGIA
NOTACIÓN A !enos ue se esta#le+"a otra "osa, la
ter!inolo%)a est0ndar es9 Pn pro#a#ilidad ue =a3a e;a"ta!ente n
"lientes en el siste!a en estado esta#le' L n.!ero esperado de "lientes en el siste!a L lon%itud esperada de "ola tie!po de espera en el siste!a para "ada
"liente' E-/ tie!po de espera en la "ola para "ada
"liente E-/
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RELACIONES ENTRE L, ,
L 3 Para F
n "onstante para toda n, en un pro"eso de
"olas en estado esta#le9 L F L F
Paras tie!po !edio de servi"io "onstante paratoda n <, en un pro"eso en estado esta#le setiene9
J <@
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PAPEL DE LA DISTRI5*CION
EKPONENCIAL Las "ara"ter)sti"as operativas de los siste!as de
"olas est0n deter!inadas en %ran !edida por :propiedades estad)sti"as9
Distri#u"i(n de pro#a#ilidad de los tie!pos entrelle%adas Distri#u"i(n de pro#a#ilidad de los tie!pos de
servi"io Estas distri#u"iones pueden to!ar "asi "ualuier
1or!a, "on la .ni"a restri""i(n ue no pueden
presentarse valores ne%ativos' Para 1or!ular un !odelo de teor)a de "olas "o!o
una representa"i(n del siste!a real, es ne"esarioespe"i4"ar la 1or!a supuesta de "ada una de lasdistri#u"iones'
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PAPEL DE LA DISTRI5*CION
EKPONENCIAL Para ue sea .til, la 1or!a supuesta de#e ser9
Lo su4"iente!ente realista "o!o para ue el!odelo propor"ione predi""iones ra+ona#les'
Lo su4"iente!ente sen"illa para ue sea!ate!0ti"a!ente !ane>a#le' Considerando estos : supuestos
-su4"iente!ente realista 3 su4"iente!entesen"illa/, la distri#u"i(n de pro#a#ilidad !0s
i!portante en la teor)a de "olas es ladistribución exponencial'
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PAPEL DE LA DISTRI5*CION
EKPONENCIAL Se di"e ue una varia#le aleatoria tiene una distri#u"i(ne;ponen"ial "on par0!etro si su 1un"i(n de densidad depro#a#ilidad es9
1 T-t/
En este "aso, las pro#a#ilidades a"u!uladas son9PMT t < e?t
PMT Q t e?t
αe-αt ara t ! "
" ara t # "
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PAPEL DE LA DISTRI5*CION
EKPONENCIAL El Valor Esperado 3 la Varian+a de T son9 E-T/ <@ var-T/ <@:
Propiedades de la distri#u"i(n e;ponen"ial9<' 1 T-t/ es una 1un"i(n de t estri"ta!ente de"re"iente de t -t/
:' 7alta de !e!oria
' El !)ni!o de diversas varia#les aleatorias e;ponen"iales
independientes tiene una distri#u"i(n e;ponen"ial'' Rela"i(n "on la distri#u"i(n de Poisson
' Para todos los valores positivos de t, PMTt J Ut TQt WUt, para un Ut peue2o
X' No a1e"ta a%re%ar o desa%re%ar
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PROCESO DE
NACIIENTO *ERTE La !a3or parte de los !odelos ele!entales de "olassuponen ue las entradas -lle%adas de "lientes/ 3 lassalidas -"lientes ue se van/ del siste!a o"urren dea"uerdo "on un pro"eso de na"i!iento 3 !uerte'
acimiento9 lle%ada de un nuevo "liente al siste!ade "olas
Muerte9 salida del "liente servido El estado del siste!a en el tie!po t -t/, denotado
por N-t/, es el n.!ero de "lientes ue =a3 en elsiste!a de "olas en el tie!po t' El pro"eso de Na"i!iento 3 uerte des"ri#e en
t8r!inos pro#a#il)sti"os "o!o "a!#ia N-t/ alau!entar t'
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PROCESO DE
NACIIENTO *ERTE Los supuestos del pro"eso de Na"i!iento 3 uerteson9<' Dado N-t/ n, la distri#u"i(n de pro#a#ilidad a"tual del tie!po ue 1alta
para el pr(;i!o na"i!iento -lle%ada/ es e;ponen"ial "on par0!etro Fn -n <,:,,Y/
:' Dado N-t/ n, la distri#u"i(n de pro#a#ilidad a"tual del tie!po ue 1altapara la pr(;i!a !uerte -ter!ina"i(n de servi"io/ es e;ponen"ial "onpar0!etro n -n <,:,,Y/
' La varia#le aleatoria del supuesto < 3 la varia#le aleatoria del supuesto :son !utua!ente independientes' La si%uiente transi"i(n del estado delpro"eso es9
n n J < -un solo na"i!iento/
o
n n < -una sola !uerte/
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PROCESO DE
NACIIENTO *ERTE An0lisis del pro"eso de Na"i!iento 3 uerte
Donde9 En-t/ n.!ero de ve"es ue el pro"eso entra al estado n =asta el tie!po t
Ln-t/ n.!ero de ve"es ue el pro"eso sale del estado n =asta el tie!po t
< :
F F< F: F
< :
$
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PROCESO DE
NACIIENTO *ERTE Co!o los : tipos de eventos -entrar 3 salir/ de#enalternarse, estos dos n.!eros ser0n i%uales odi1erir0n en s(lo <, es de"ir9
En-t/ Ln-t/ <
Al dividir a!#os lados entre t 3 despu8s =a"er ue ttienda a in4nito, se o#tiene9
En-t/@t Ln-t/@t <@t
li!En-t/@t Ln-t/@t
t Z
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PROCESO DE
NACIIENTO *ERTE Donde9En-t/@t 3 Ln-t/@t tasa real a la ue o"urren estos dos eventos'
li!En-t/@t tasa !edia a la ue el pro"eso entra al estado n
t Zli!Ln-t/@t tasa !edia a la ue el pro"eso sale del estado n
t Z
Lo ue "ondu"e a9
Tasa de entrada ! Tasa de salida
La e"ua"i(n ue e;presa este prin"ipio se lla!a9
Ecuación de "alance del Estado n
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PROCESO DE
NACIIENTO *ERTE Para el estado - "lientes en el siste!a/, lae"ua"i(n de #alan"e es9
<P< FEPE
Deter!inadas las e"ua"iones de #alan"e para"ada estado, se lle%a a9
Pn CnPE
Donde9
Cn -Fn?< Fn?:Y F/@-n n?<Y </
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RES*LTADOS DEL PROCESO
DE NACIIENTO *ERTE El reuisito9
Z
[ Pn < n
Se dedu"e ue9
ZP -[ Cn/?<
n
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RES*LTADOS DEL PROCESO
DE NACIIENTO *ERTE Cuando un !odelo de l)neas de espera se #asa
en el pro"eso de na"i!iento 3 !uerte, de!anera ue el estado del siste!a n representael n.!ero de "lientes en el siste!a de "olas, las!edidas "lave de dese!pe2o del siste!apueden o#tenerse despu8s de "al"ular Pn !ediante las 1(r!ulas anteriores9
Z ZL [ nPn , L [-n s/Pn
n n s se tiene9 \ \ \ Z
L@F, L@ F 3 F [ FnCn n
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ODELOS DE COLAS 5ASADOS EN ELPROCESO DE NACIIENTO *ERTE
odelo @@S Tasa de Servi"io del Siste!a9 La tasa del servi"io
del siste!a n representa la tasa !edia de los
servi"ios ter!inados de todo el siste!a de "olas"uando e;isten n "lientes en 8l' En el "aso de!]ltiples servidores 3 n Q <, n no es lo !is!oue , la tasa !edia de servi"io por servidoro"upado' En lu%ar de eso, se tiene9
n
n "uando n s n s "uando n s
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ODELOS DE COLAS 5ASADOS EN ELPROCESO DE NACIIENTO *ERTE
odelo @@< P < H
Pn -< H/Hn
L H@-< H/ F@- F/ L F:@- F/ <@- F/ F@- F/ PM Q t e?-< H/t
PM P < H PM Q t He?-< H/t
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