Teoria de Circuitos (Ingenieria UNNE)

7/23/2019 Teoria de Circuitos (Ingenieria UNNE)

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APUNTES DE CÁTEDRA

“TEORÍA DE LOS CIRCUITOS”

Fig. 5. Respuesta oscilatoria amortiguada

Compilación escrita por el Ing. Julio Horacio Verrastro

Profesor Titular de la Cátedra “Teoría de los Circuitos”

UNNE – FACENA - INGENIERIA

Año 1982

t sene A t

β α ..0

− α τ 1=

t e A α −.0

t e A α −− .0

t

i(t)



1

APLICACIONES DE LAS

TRANSFORMADAS DE,

FOURIER

Y

LAPLACE




Año 1982



2

INDICE Pág.

1).-Serie de Fourier. ....................................................................................................................................... 4

1.1).- Serie de Fourier para onda periódica. ................................................................................................. 4

1.2).-Las expresiones de Fourier escritas en forma exponencial. ............................................................... 4

2).- Integral de Fourier para ondas no periódicas. ....................................................................................... 9

3).-Criterio de convergencia. ..................................................................................................................... 12

3.1).-Transformada de Fourier de la función escalón. .............................................................................. 12

4).-Transformadas de Laplace. .................................................................................................................. 14

5).-Propiedades fundamentales de la transformación de Laplace. ............................................................ 15

5.1).-Traslación real. ................................................................................................................................. 15

5.2).-Transformada del Pulso rectangular. ................................................................................................ 16

5.3).-Transformada de la función impulso Delta de Dirac. ....................................................................... 17

5.4).-Transformada de una serie de pulsos. ............................................................................................... 18

5.5).-Transformada de una onda periódica general. .................................................................................. 19

5.6).-Transformada de una función periódica pulsada. .............................................................................. 21

5.7).-Teorema de valor inicial. ................................................................................................................... 22

5.8).-Teorema de valor final. ...................................................................................................................... 22

5.9).-Transformada de una derivada. .......................................................................................................... 23

5.10).-Transformada de un integral. ............................................................................................................ 23

6).-Análisis de circuitos por la transformada de Laplace. ........................................................................... 24

6.1).-Introducción. ……………………………........................................................................................... 24

6.2).-Determinación de la respuesta de un circuito, utilizando la transformada de Laplacecomo una herramienta matemática. ..................................................................................................... 25

6.3).-Planteo y solución de problemas en el dominio transformada de Laplace. ......................................... 28

6.3.1).-Introducción. ..................................................................................................................................... 28

6.4).-Funciones de p en redes. ....................................................................................................................... 28

6.5).-Resolución de circuitos aplicando la impedancia operacional. ............................................................ 29

6.6).-Consideración de las condiciones iniciales. ......................................................................................... 33

6.7).-Caso de Nodos. ..................................................................................................................................... 37



3

7).-Régimen forzado y régimen transitorio. .................................................................................................. 39

8).-Análisis de las funciones operacionales de los circuitosen base a las configuraciones de polos ceros. …………………………………….…………………. 42

8.1).-Análisis. ………………………………………………………………………………………........... 45

8.2).-Conclusiones. ……………………………………............................................................................. 48

9).-aplicaciones de Laplace al análisis de algunos circuitos especiales. ...................................................... 55

9.1).-Caso 1. ................................................................................................................................................... 55

9.2).-Caso 2. ................................................................................................................................................... 61

9.3).-Caso 3. ................................................................................................................................................... 66

9.4).-Caso 4. .................................................................................................................................................... 71



4

1).-SERIE DE FOURIER

1.1).- Serie de Fourier para onda periódica

Dada una función ( )t f cualquiera cuya y expresión matemática no se conoce, pero que sabemos

se repite a intervalos regulares de t entre2

T − y2

T .

Esta función se la puede recomponer como la suma de una componente fundamental y varias

componentes armónicas, siendo el periodo de la fundamental, el comprendido entre –2

T y2

T .

Esta función se la puede expresar a través de la serie de Fourier que dice:

( ) ( )∑∞

=

+=

0

11cos

n

nn t ωn senbt ωnat f [1]

Donde ∫−

=2/

2/

0 )(1

T

T

dt t f T

a [2] 0a es una constante y expresa el valor medio de ( )t f .

∫−

=2/

2/

1cos)(2

T

T

n dt t ωnt f T

a [3]

∫−

=2/

2/1

)(2

T

T n

dt t ωn sent f T

b [4]

SiendoT

π f π ω

221 == , la frecuencia fundamental y la frecuencia ω de cualquier armónica es

1ωn

1.2).-Las expresiones de Fourier escritas en forma exponencial

En la expresión [1] llamamos

t ωn senbt ωna Z nnn 1cos 1 += [5]

-T/2 T/2

f(t)

t

Figura 1



5

Luego la expresión [1] quedará:

∑∞

=

=0

)(n

n Z t f [6]

Reemplazando el seno y coseno por la formula de Euler

2cos

11

1

t ω jnt ω jnee

t ωn−+

= y j

eet ωn sen

t ω jnt ω jn

2

11

1

−−=

nos queda:

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ +=

−−

j

eeb

eea Z

t ω jnt ω jn

n

t ω jnt ω jn

nn 22

1111

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ +=

−−

22

1111 t ω jnt ω jn

n

t ω jnt ω jn

nnee

jbee

a Z

( ) ( )nn

t ω jn

nn

t ω jn

n jbae

jbae

Z ++−=−

22

11

( ) ( ) t ω jnnn

t ω jn

nnn e jbae

jba Z 11

22

1 −++−= [7]

Reemplazando ba nn y por su valor dados por [3] y [4] y haciendo

dt t ωn sent f T

jdt t ωnt f

T jba

T

T

T

T

nn 1

2/

2/

2/

2/

1 )(2

cos)(2

∫ ∫− −

+=+

[ ]dt t ωn jsent ωnt f T

jba

T

T

nn ∫−

+=+∴2/

2/

11cos)(2

Por Euler nos queda:

dt et f T

jba

T

T

t ω jnnn ∫

−

±=±2/

2/

1)(2

Reemplazando esta última expresión en la [7] nos queda:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡×+×= ∫ ∫

− −

−−

2/

2/

2/

2/

1111 )(2)(221

T

T

T

T

t ω jnt ω jnt ω jnt ω jnn edt et f

T edt et f

T Z



6

Luego por la [6] es: ∑∞

=

=0

)(n

n Z t f

pero si extendemos la sumatoria desde n = -∞ ya con el primer término abarcamos los dos

sumandos.

∑ ∫∞+

−∞= −

− ×=∴n

T

T

t ω jnt ω jnedt et f

T t f

2/

2/

11)(1

)(

Definimos la función:

( )

∫−

−=2/

2/

1)(T

T

t ω jndt et f ω F [8]

Que es la transformada de Fourier para ondas periódicas.

Luego la antitransformada está dada por la expresión:

( ) ( )∑

+∞

−∞==n

t ω jn

eω F T t F 1

1

[9]

Ejemplo: Dada la onda cuadrada periódica de la figura 2

Determinar:

a) el espectro de frecuencia F(ω).

b) la función f(t).

f(t)

A

t Figura 2-T/2 T/2



7

a) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫ −

−

−−

−

+==2/

0

0

2/

2/

2/

.0 111

T t ω jn

T

t ω jnt ω jnT

T

dt e Adt edt et f ω F

( ) ( )12/

11

2

1

2/

01

111

−=−=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−= −−−

T ω jnT ω jnT t ω jn

eωn

jA

ωn

jAe

ωn

jA

ω jn

e Aω F

Haciendo:

π nT

T

π n

T ωn

T

π nωn ==∴=

2

2

2

211

Nos queda finalmente la expresión de la transformante de Fourier.

( ) ( )12

−= − π jnenπ

AT jω F [10]

Desarrollando ( ) F para los distintos valores de n obtenemos los valores del espectro de

frecuencia.

Para n = 0 como a primera vista es indeterminado, podemos salvar la indeterminación

desarrollando la exponencial ( 1−− π jne en forma de serie o aplicando L´Hospital.

Aplicando L´Hospital

( ) ( )( )

( )222

.

0lim 00

AT ω F

AT

π

eπ j jAT

n

Limω F

n

π jn

n=∴=

−

→= =

−

→

Otra forma de cálculo para n = 0

( ) ] ( )2

2/

0

2/

0

0 AT ω F t Adt e Aω F

T T

=∴×=×= ∫

Para los otros valores de 0≠n hacemos la siguiente consideración en la expresión [10].

par para 0impar n para21cos1 nπ jn π n jsenπ ne −

− =−−=−



8

Haciendo una tabla para los n impares y representados gráficamente.

Figura 3. Espectro de frecuencias

Se observa que el espectro de frecuencia es discontinuo y tiene valores en ciertos puntos directos

0, ω1, 3ω1,.. etc. b) La función ( )t f en el tiempo, puede encontrarse hallando la antitransformada de ( )ω F

Aplicando la expresión [9].

( ) ( )∑∞

−∞=

=n

t ω jneω F

T t f 1

1

( )

LL ++++

+−

−=⎢⎢

⎢

⎣

⎡

+

=

−

=

=∴

−=

−

=−=

−

=

−

π

ATe j

π

ATe j

π

ATe j

π

ATe j

π n

ATe j

π n

e AT j

n

AT

T t f

n

t ω j

n

t ω j

n

t ω j

n

t ω jt ω jt ω j

553

311

20

1

5

5

5

5

3

3

3

3

111

111

Simplificando todos los términos T y multiplicando por 22 (menos el primer término), nos

queda:

( ) L+⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −+=

−−−

j

ee

π

A

j

ee

π

A

j

ee

π

A At f

t ω jt ω jt ω jt ω jt ω jt ω j

25

2

23

2

2

2

2

111111 5533

Finalmente.

( ) L++++= t ω senπ

At ω sen

π

At ω sen

π

A At f 111 5

5

23

3

22

2

La onda rectangular original consiste por tanto, en un término constante o de c.d., una

fundamental, una tercera armónica y todas las demás armónicas impares.

Μ

( )ω F

0

2

AT

1± π

AT j±

3±

π

AT j

3±

5±

π

AT j

5±

-5ω1 -3ω1 -ω1 ω1 3ω 5ω1

AT/2

AT/πAT/3π

AT/5π ω

IF(ω)I



9

La magnitud o amplitud de las componentes armónicas están dadas por los coeficientes de los

senos.

2).- Integral de Fourier para ondas no periódicas

Hasta aquí hemos visto únicamente formas de ondas periódicas.Vemos que las ondas no senoidales periódicas, dan lugar a un espectro de frecuencia real y

discreto.

Es decir el periodo de la forma de onda, proporciona el conocimiento de la frecuencia

fundamental y las armónicas ocupan posiciones discretas que son n veces la fundamental.

Veremos ahora si podemos generalizar para el caso de formas de ondas no periódicas.

Supongamos un espectro como el de la figura 4.

Figura 4

Como el espaciamiento entre armónicas adyacentes es igual a 1 , resulta que ω ω Δ=1 .

Luego si 1ω fuera muy pequeña, también lo seria ωΔ y por tanto cualquier frecuencia puede

expresarse como ωnω Δ= .

Como 1 es inversamente proporcional a T, este tenderá a infinito cuando 1ω tienda a cero

( 01 →∞→ ω siT .

En consecuencia, puede decirse que “una forma de onda no periódica, tiene un periodo infinito”.

0 sea:

ω

π

ω

π

f T

Δ===

221

1 [11]

Luego:

ωπ T Δ=2 [12]

ω1 2 ω1 3ω10

∆ω

……..

ω = n∆ω



10

Por la [12] reemplazamos los límites de integración en la expresión de la transformada de

Fourier dada por la [8].

( ) ( ) dt et f ω F T

T

t ω jn∫=

−

−2/

2/

1

Nos queda

( ) ( ) dt et f ω F ω Aπ

ω Aπ

t ω j∫=

−

−/

/

Haciendoπ

ω

T 2

1 Δ= y reemplazando en la expresión [9] de ( )t f :

( ) ( ) ( ) ( ) ωedt et f π

t f ωeω F π

t f t ω j

n

ωπ

ωπ

t ω jt ω j

n

Δ×∑ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∫=→Δ×∑=

∞

−∞=

Δ

Δ−

∞

−∞=

/

/2

1

2

1

Sabemos que si 0→Δω entonces ∞→T

( ) ( ) ωd edt et f π

t f ω

Lim t ω jt ω j∫ ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡∫=

→Δ∴

∞

∞−

−∞

∞−2

1

0

La expresión entre corchetes se llama integral de Fourier directa y se define

( ) ( ) dt et f ω F t ω j−∞

∞−∫= [13]

La expresión [13] se la conoce también como la transformada de Fourier para ondas no

periódicas.

Escribiendo nuevamente la expresión de ( )t f nos queda:

( ) ( ) ωd eω F

π

t f t ω j−

∞

∞−

∫=

2

1 [14]

La expresión [14] se llama integral de Fourier inversa o también antitransformada de Fourier

para ondas no periódicas.

Vemos que la integral directa de Fourier ([13]) es similar a la transformada de Fourier [8] sino

que ha cambiado los límites.

Esto se debe a que una forma de onda no periódica, se convierte en periódica de período infinito,

de ahí la generalización.



11

Ejemplo 2:

Determinar el espectro de frecuencia del pulso rectangular simple de la figura 5, de T segundos

de duración y amplitud A.

Aplicando la integral de Fourier [13] en 3 partes

( ) ( ) ( ) dt edt e Adt eω F t ω j

T

t ω jT

T

t ω jT

−∞

−

−

−−

∞− ∫+

∫+

∫=

2/

2/

2/

2/00

( ) 2/2/2/

2/

T ω jT ω jT

T

t ω j eω j

Ae

ω j

Ae

ω j

Aω F +

−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=∴ −

−

−

( ) j

ee

ω

Aω F

T ω jT ω j

2

2 2/2/ −− −=

( )2

2 T ω sen

ω

Aω F =∴

Representando la expresión de ( ) F nada más que para 0⟩

ººººº

Figura 6

Notamos que en el caso de ondas periódicas, había sólo ciertas frecuencias y amplitudes

relacionadas armónicamente en puntos discretos del espectro.

Si se hubiera sintonizado, con un receptor, en frecuencias distintas de las armónicas, la recepción

habría sido nula.

Sin embargo en el caso de un pulso no periódico aislado, observamos que se verifica lo contrario.

f(t)

A

t-T/2 T/2

Figura 5

AT

IF(ω)I

ω



12

Todas las frecuencias están presentes, excepto en puntos discretos (espectro continuo) y a menos

que nuestro receptor sintonizara accidentalmente en los puntos nulos, habrá señal de salida el

ocurrir el pulso.

3).-Criterio de convergencia

Una de las condiciones que debe satisfacer normalmente una función aperiódica para tener

transformada de Fourier es que exista la siguiente integral.

( )∫ ∞⟨∞

0dt t f [15] (Límites entre 0 y ∞, para el caso que nos interese funciones

que son nulas para t < 0)

3.1).-Transformada de Fourier de la función escalón

Sea la función escalón unitario ( )t μ definida como:

( )0

0

para

para

1

0

≥<

⎩⎨⎧=

t

t t μ

Probemos si cumple con la condición de convergencia

( ) ( ) ( ) [ ] ∞=∫ =+∫∫ =∞

∞+

∞−

∞

∞− 00

010 t dt dt dt t μ

Como veremos no cumple con el criterio de convergencia.

Al no cumplir con la condición de convergencia no podríamos hallar la transformada de Fourier

de esta función.

Aplicaremos un artificio para poder hallar.

Multiplicando a( )t μ por un factor de decaimiento ct e− obtendremos esta curva.

t

µ(t)

1

Figura 7



13

( ) ( ) ct et μt f −= [16]

( ) ( ) dt eet μω F t ω jct −−∞

∞−×∫=∴ .

( ) ( ) ( ) ( ) dt edt eedt eω F t ω jct ω jct t ω j∫=×∫+∫= ∞ +−−−∞−

∞− 00

0 10

( ) ( )[ ] ( )ω jcω jc

eω jc

ω F t ω jc

+=−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+−=∴

∞+ 110

110

( )ω jc

ω F +

=∴1

[17]

y ( ) ( )ω

ω F

ωc

ω F c

11022

=⇒+

= →

Ahora vemos en [16] que si 0→c entonces ( ) ( )t μt f → y haciendo tender 0→c en la

expresión [17] de ( )ω F , hallamos la transformada de ( )t μ .-

3.2).-Generalizando

Si una función ( )t f no cumple con el criterio de convergencia, se puede hallar la transformada

de Fourier multiplicando a esta función por el factor ct e− .

Lógicamente que para cada función habrá una aδC = que haga convergente la función.

Luego la transformada de Fourier será válida para todo aδC > .

Por otra parte, suponiendo que nos interesan funciones que son nulas para t < 0, entonces

definimos los limites de la integral entre 0 y∞ (integral unilateral).

Luego la nueva expresión de la transformada de Fourier será:

( ) ( ) ( )dt et f ω jc F

t ω jc+−∞∫=+0

para todo aC δ > [18]

Esta nueva expresión se llama la transformada de Fourier unilateral directa.

Luego la antitransformada será:

( ) ( ) ( )∫ +=∞

−∞=

+

ω

t ω jc dt eω jc F

π

t f

2

1 [19]

t

( ) ( ) ct et t f

−= μ 1

Figura 8



14

Cambiando la variable de integración

( ) ( ) ω jd ω jcd ω jcaωde =+∴+

Luego la antitransformada nos queda:

( ) ( ) ( ) ( )ω jcd eω jc F jπ

t f t ω jcω jc

ω jc

+∫ += ++

−21 [20]

con la condición de aδc > y 0>t

4).-TRANSFORMADAS DE LAPLACE

Hasta ahora hemos considerado a c como una constante.

Hay que reconocer sin embargo, que fue necesario utilizar diferentes valores de c para hacer

convergente la función total y por tanto c es en realidad una variable paramétrica.

Compárese este concepto con el capacitor variable de un sintonizador.

Cuando se desea cambiar la emisión recibida, la capacidad se convierte en variable al sintonizar

una nueva estación y después vuelve a ser constante.

A tal magnitud se llama variable paramétrica.

Luego c es una variable real, puede definirse una variable compleja p como sigue:

jc p +=

A esta variable compleja p la asimilamos a una frecuencia compleja, con una parte real y una

parte imaginaria.

Luego la transformada de Fourier se convierte en:

( ) ( )∫=∞

−

0

dt et f p F pt [21]

Que no es otra que la transformada de Laplace

Haciendo este mismo reemplazo en la antitransformada de Fourier nos queda.

( ) ( )∫=+

−

ω jc

ω jc

pt dt e p F jπ

t f 2

1

Se demuestra que los límites de la integral es equivalentes a integrar sobre cualquier trayectoria

cerrada que incluya todos los polos.

En consecuencia la definición de la antitransformada de Laplace es:



15

( ) ( )∫= dpe p F jπ

t f pt

2

1 [22]

5).-Propiedades fundamentales de la transformación de Laplace

5.1).-Traslación real

En una traslación real, una curva que representa una función del tiempo se desplaza a una nueva

posición a lo largo del eje del tiempo, sin que cambie en modo alguno la forma de onda o las

características de la función.

Por ejemplo en la Fig. 9 la función ( )t f que normalmente empieza en 0=t , se ha desplazado

intacta una distancia a hacia la derecha por lo que se convierte en ( )at f − .

Luego si:

( ) ( )∫=∞

−

0dt et f p F pt

y cambiamos los limites

( ) ( ) ( ) ( )∫ ×−=∫ −=∞

−∞

−−

a

pt ap

a

at p dt eeat f dt eat f t F

como ( ) 0=− at f entre 0 y a nos queda:

( ) ( ) ( ) ( )∫ −=⇒∫ ×−=∞

−∞

−−

a

pt ap

a

pt ap dt eat f e p F dt eeat f p F

( ) ( ) p F eat f ap−=−∴ L [23]

Siendo a real y positivo y ( ) p F , la transformada de la función sin trasladar.

f t f t –

t

aFigura 9



16

Conclusión: La traslación en el dominio del tiempo, equivale a la multiplicación por una

exponencial en el dominio de P

Ejemplo3: Transformada de una función escalón desplazada.

Sea la función ( ) ( )t μt f =

y se traslada un valor a

Aplicando la definición de translación dad por la [23]

( ) ( ) ( ) ( ) dt edt edt eat μat μ pt

a

pt a

pt −∞

−−∞

∫+∫=∫ −=− 1.000

L

( ) ] ap

a

e

pe

P

at μ pt −∞ =−=− − 11L

( ) p

eat μ ap 1−=−∴ L

Lo que verifica la expresión [53] de traslación

5.2).-Transformada del Pulso rectangular.

Sea el pulso rectangular de la Fig. 10 de amplitud unitaria y de a segundos de duración.

Para hallar su transformada, debemos hallar la expresión matemática de esta función

Para ello lo haremos como una resta de funciones escalón unitario o sea.

1

μ(t)

t

μ(t - a)

t

a

1

a

t

Figura 10



17

( ) ( ) ( )at μt μt f −−=

( ) ( ) ( ) at μt μt f −−=∴ LLL

Recordando que:

( ) p

t μ1

=L y que ( ) p

eat μ ap 1−=−L

Luego:

( ) ape p p

t f −−=11

L p

e p F

ap−−=∴

1)( [24]

5.3).-Transformada de la función impulso Delta de Dirac.

La función delta ( )t δ tiene muchas aplicaciones.

Se define de la siguiente manera:

Figura 11

( )⎪⎩

⎪⎨⎧

=∞

≠=

0

00

t si

t sit δ y que ( ) 1=∫

∞

∞−dt t δ o sea, el área de la función debe ser uno

Aunque en la práctica no es obtenible, podemos aproximarnos a ellas definiendo la función pulso,

que si los es y está representada en la Fig. 12.

∞

δ t

t

U(t)

1/a

a t

Figura 12



18

Esta función encierra un área unitaria y se acerca a la ( )t δ con 0→a .

Luego a la función pulso vista en párrafo anterior para que tienda al pulso de Dirac, la amplitud

debe sera

1 y luego hacer tender a hacia cero.

( ) [ ] ( ) ( )[ ]⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −−==

→→at μt μ

a Limt U Limt δaa

1)(

00

( ) ( ) ( )[ ]⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧ −

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−−=∴−

→→ ap

e Limat μt μ

a Limt δ

ap

aa

11

00LL

Aplicando L´Hospital

( ) 1

.

0 ==

−

→ p

e p

Limt δ

ap

aL

⇒

( ) 1=t δL

“La transformada de Laplace de la función impulso es la unidad”.-

5.4).-Transformada de una serie de pulsos

Considérese la serie periódica de pulsos ilustrados en la Fig. 13, en la que el periodo es T, la

anchura del pulso es a y de altura unitaria.

La serie de pulsos ( )t f , puede expresarse como una suma de funciones escalón desplazadas.

( ) ( ) ( )[ ] [ ]

[ ] K++−−−+

++−−−+−−=

)2()2(

)()(

aT t μT t μ

aT t μT t μat μt μt f

Aplicando el concepto de traslación real y transformando

( ) K+−+−+−=−−−−−−−

p

ee

p

e

p

ee

p

e

p

e

p p F

paT pT p pa pT pT pa ..1 22

t

1

a t 2

T

Figura 13



19

( ) [ ] [ ]KK +++++++−= −−−−−

T p pT T p pT pa

ee p

ee p

e p F 22 1

11

( )

( ) ( )( )KK +++−=+++

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛ −= −−−−−

−T p pT paT p pT

pa

eee p

ee p

e

p p F 22 11

11

1

El tercer factor de la última expresión, representa el desarrollo de una serie infinita de la forma:

K++++=−

3211

1 x x x

x

Luego el tercer factor es igual a: pT e−−1

1

( )( ) PT

pa

e p

e p F

−

−

−

−=∴

1

)1(

5.5).-Transformada de una onda periódica general

Sea una onda de forma general y de periodo T.

Podemos expresar con perfecta generalidad que:

( ) ( )T t f t f +=

y que la transformada es:

( ) ( )∫=∞

−

0. dt et f p F pt

Si se desea, puede efectuarse la integración periodo a periodo, es decir de 0 a 2T de 2T a 3T etc.

Esto puede realizarse utilizando el teorema de traslación para desplazar la función un periodo

cada vez.

Así:

( ) ( ) ( ) ( ) dt enT t f dt eT t f dt et f dt et f T n

nT

nT t pT t pT

T

pt T

pt ∫ +++∫ ++∫=∫

++−+−−−

∞ )1()(

2

00)(K

No obstante, como ( )t f es periódica, se repite para cada término.



20

( ) ( )( )

dt eet f dt et f pnT pt

n

T n

nT

pt −−∞

=

+−

∞∑ ∫=∫∴ ..

0

1

0

El término exponencial pnT e− no es una función de t y puede expresarse fuera de la integral, de

manera que:

∫∑=+

−∞

=

− T n

nT

pt

n

pnT dt et f et f L)1(

0.).(.)(

La integral se evalúa para un periodo y como ( )t f es la misma en cualquiera de ellos, podemos

elegir el comprendido desde 0 hasta T.

Por consiguiente.

( ) ( ) dt et f e p F T

pt

n

pnT ∫⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∑= −∞

=

−

00.

Finalmente la serie entre paréntesis tiene su equivalente

pT n

pnT

ee

−

∞

=

−

−=∑

1

1

0

de modo que la transformada de Laplace de una onda periódica de período T es:

( ) ( ) dt et f e

p F T

pt

pT ∫−

= −−

0.

1

1 [25]



21

Ejemplo 4: En el problema anterior de la serie de pulsos de la Fig. 13 y dado que la serie de

ondas es periódica, ya no es necesario integrar hasta el infinito sino solo de 0 a T.Pero como la función es nula desde a hasta T, solamente es necesario integrar hasta a:

( ) ( )

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−=

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−=∫

−=

−−

−−

−−

pe

pe

e pe

dt ee

p F

pa

pT

a pt

pT

a pt

pT

11

1

1

1

1

11.

1

1

00

( )( ) pT

pa

e p

e p F

−

−

−

−=∴

1

1

5.6).-Transformada de una función periódica pulsada

Sea un tren de ondas senoidales manipuladas, como el de al Fig. 14.

Esta puede ser la onda de salida de un transmisor radio telegráfico, que consiste en una onda

portadora de radiofrecuencia, en este caso una senoide que tiene su propia frecuencia particular y

que se interrumpe o manipula, con pulsos rectangulares de frecuencia mucho menor, formando la

sucesión de puntos y rayas del código telegráfico, resultando una onda cuya expresión es:

( ) ( ) ( ) ( )[ ]at μt μt f t g −−= .

La transformada de Laplace que nos interesa es la de la función compuesta ( )t g .

a

T

g(t)f t

t

Figura 14

1



22

Nótese que esta expresión es valida para el primer periodo (de 0 a T) pero como vemos que es

periódica y como vimos anteriormente, para estas funciones es necesario sólo integrar la

transformada de Laplace sobre un periodo.

Por tanto:

( ) ( ) ( )∫−

∫ == −−

∞−

T pt

pT

pt dt et g e

dt et g pG00

..1

1

Si ahora reemplazamos en la integral a ( )t g por su valor y como entre a y T la función ( )t g es

nula, tomamos los limites entre 0 y a que en este intervalo es ( ) ( )t f t g =

( ) ( )∫−

=∴ −−

a pt

pT dt et f

e pG

0.

1

1 [26]

Si la función original ( )t f no hubiera sido pulsada, podríamos haber escrito su transformada,empleando el teorema de periodicidad o sea:

( ) ( )∫−

= −−

a pt

pa dt et f

e p F

0.

1

1 [27]

Esto es suponiendo que en a entra un número entero de ciclos.

Despejando de [27] la integral, nos queda:

( ) ( ) ( )∫ −= −−a

pa pt p F edt et f 0

1

y reemplazando en [26]

( ) ( ) ( ) p F ee

pG pa

pT .1.

1

1 −−

−−

=

Si ( ) ( ) 22 pω

ω

p F est ω sent f +=⇒=

22.

1

1)(

pω

ω

e

e pG

pT

pa

+−

−=∴

−

−

_______________________

5.7).-Teorema de valor inicial

Para aplicar el teorema de valor inicial a una función ( )t f , esta debe cumplir con doscondiciones:



23

a) que tanto ( )t f como su derivada sean transformables por Laplace.

b) que el limite de la derivada de ( ) p F , exista cuando p tiende a infinito.

Si estas condiciones se cumplen, entonces lo podemos escribir al Teorema así:

)(.)(0

p F p Limt f Lim pt ∞→→

= [28]

5.8).-Teorema de valor final

Aquí también la aplicación del teorema del valor final a una función ( )t f debe cumplir con dos

condiciones:

a) Que tanto ( )t f como su primera derivada, deben ser transformable.

b) Tiene que haber realmente valor final.

)(.)(0

p F p Limt f Lim pt →∞→

= [29]

ya veremos mas adelante dos ejemplos de aplicación de estos teoremas.-

5.9).-Transformada de una derivada

Debemos recordar la expresión de la transformada de Laplace de la derivada de una función:

( ) ( ) ( )0. f p F pdt

t df −=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧L [30]

Siendo

( ) = p F transformada de la función ( )t f

( ) =0 f es el valor de la función ( )t f en 0=t . Este término se utiliza cuando existen

condiciones iniciales no nulas, o sea cuando para 0=t es ( ) 00 ≠ f .-

5.10).-Transformada de un integral

Recordamos la expresión:

( ) ( ) ( )[ ]

p

dt t f

p

p F dt t f t 0=∫

+=∫L [31]

Siendo:

( ) = p F la transformada de la función ( )t f .

( )[ ] 0=∫ t dt t f = Integral de la función ( )t f , en 0=t . Este término aparece cuando existen



24

condiciones iniciales en 0=t , no nulas y por tanto esta integral es distintade cero.-

6).-Análisis de circuitos por la transformada de Laplace

6.1).-Introducción

Una de las características más ventajosas de la transformada de Laplace, es su capacidad de

proporcionar un conocimiento más general y detallado de la naturaleza básica de los problemas

de análisis de circuitos.

Sirve también, en la forma más práctica, para resolver problemas en los que intervienen

fenómenos transistorios o bien circuitos excitados con ondas no senoidales.

De acuerdo a los estudios realizados hasta el momento se tenía bien fijado que el concepto de

reactancia, expresada como L f π 2 oC f π 2

1 es todo lo que se necesita saber sobre impedancia.

Este concepto de reactancia fue de utilidad para el análisis de circuitos, cuando se trabajaba con

excitaciones senoidales o de corriente continua.

En la actualidad sin embargo, especialmente en electrónica, las ondas rectangulares, triangulares,

diente de sierra y muchas otras son tan comunes como las ondas senoidales y como ya veremos

en este capitulo, es aquí, donde el concepto clásico de reactancia carece completamente desentido.



25

6.2).-Determinación de la respuesta temporal de un circuito, utilizando la transformada deLaplace como una herramienta matemática.

En la Fig. 15 se representa un diagrama de flujo que nos explica claramente cuales son los pasos

a seguir para obtener la respuesta de un circuito a una función excitación cualquiera.

Ejemplo 5:

Como una aplicación de los anteriores, se considerará el circuito de la Fig. 16.En este circuito el interruptor s se cierra en el instante 0=t .

En ese instante el capacitor se encuentra totalmente descargado (condiciones iniciales nulas).

Se requiere encontrar la corrientes resultante ( )t i , cuando se le aplica una función excitación

escalón E (corriente continua), utilizando la metodología indicada en el diagrama de la

Fig. 15. Donde )()( t E t e =

DOMINIO DEL TIEMPO DOMINIO DE LA FRECUENCIA COMPLEJA

LEYESCIRCUITALES

EXCITACIÓN

MODELO CIRCUITAL IDEALIZADO

ECUACIÓN DE EQUILIBRIO INSTANTANEO

(INTEGRO DIFERENCIAL)

RESPUESTA TEMPORAL

ECUACIÓN DE EQUILIBRIO

TRANSFORMADA

(ALGEBRAICA)

TransformaciónDirecta

RESPUESTA TRANSFORMADA

TransformaciónInversa

Figura 15

Ce(t)i(t)

e(t)

t

E

Figura 16

=

+



26

Aplicando la 2da regla de Kirchhoff, escribimos la ecuación de equilibrio integro diferencial.

( ) dt t iC

t i Rt e ∫+= )(1

)(

Aplicando la transformación de Laplace a esta ultima ecuación, pasamos del dominio del tiempo

al dominio de frecuencia compleja p

)(1

)(..)( ∫+= dt t i LC

t i L Rt e L

Luego transformando:

p E t μ L E t e Lt μ E t e

1.)()()(.)( ==⇒=

)(.)(. p I Rt i L R =

pC

dt t i

pC

p I dt t i L

C

t ∫+∫ = =0))(()()(.

1

Pero ( )( ) 0=∫ t dt t i representa la carga inicial del capacitor.

y( )( )

C

dt t i t 0=∫ representa el voltaje inicial sobre el capacitor

En nuestro ejemplo ambos términos son nulos. Luego:

( ) ( )

pC

p I dt t iC =∫L

1

Ahora estamos en condiciones de escribir la ecuación de equilibrio transformada.

( ) ( )

( ) ⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=+=

pC R p I

pC

p I p I R

p

E 1..

Nosotros debemos hallar la corriente.

( ) ( ) p I

RC p R

E

pc R p

E p I =+

=+

=∴ 11.11.



27

)1(

1.)(

RC p R

E p I

+=∴

Ahora para hallar la respuesta temporal ( )t i debemos hallar la antitransformada de la últimaexpresión.

Esta es una función de p cuya antitransformada es directa puesto que se encuentra tabulada en

tablas.

( ) RC t

e R

E t i

−=∴ .

E/R

i t

t

Figura 17



28

6.3).-Planteo y solución de problemas en el dominio transformada de Laplace

6.3.1).-Introducción: El diagrama de flujo de la Fig. 15 puede se modificado como se indica

en la Fig. 18.

En estas condiciones, la transformación de Laplace deja de ser solamente una herramienta

matemática, para convertirse en una parte integrante de la Teoría de Circuitos, permitiendo una

mayor riqueza conceptual y una mejor eficiencia operativa.

La Fig. 18 muestra que es necesario aplicar la transformación directa de Laplace a las leyescircuitales, las excitaciones y los circuitos. Por eso empezamos por aplicar la transformada a las

leyes circuitales y hallaremos lo que se llaman:

6.4).-Funciones de p en redes

Antes de continuar debemos aclarar que por ahora todo el tratamiento se hará con condiciones

nulas, es decir que en el instante del análisis, los elementos reactivos se encuentran

desenergizados.

En una red compuesta por elementos R, L y C, las relaciones de tensiones y corrientes son las

siguientes:

DOMINIO DEL TIEMPO DOMINIO DE LA FRECUENCIA COMPLEJA

LEYES CIRCUITALES

EXCITACIÓN

MODELO CIRCUITAL IDEALIZADO

RESPUESTA TEMPORAL

ECUACIÓN DE EQUILIBRIO

TRANSFORMADA - (ALGEBRAICA)

RESPUESTA TRANSFORMADA

TransformaciónInversa

Figura 18

Transformación DirectaLEYES CIRCUITALESTRANSFORMADAS

Transformación Directa EXCITACIÓNTRANSFORMADA

MODELO CIRCUITAL IDEALIZADOTRANSFORMADO

Transformación Directa



29

Para un resistor R es:

( ) ( ) ( ) ( ) p I R p E t i Rt e .ndotransforma =⇒⇒×=

( ) R p Z =∴

Para un inductor L es:

)(..)()(

)( p I L p p E ndotransformadt

t di Lt e =⇒⇒= L p p Z .)( =∴

Para un capacitor C es:

( ) ( ) ( ) ( )

∴=⇒⇒∫= pC

p I p E dt t i

C t e ndotransforma

1

( ) pC

p Z 1

=

Vemos que aplicando la transformación de Laplace a las leyes circuitales, surgen en el dominiotransformado, las tres últimas expresiones de ( ) p Z .

A esta función de p se la conoce como impedancia operacional.-

6.5).-Resolución de circuitos aplicando la impedancia operacional

Aplicando el concepto de impedancia operacional y teniendo en cuenta la metodología indicada

en el diagrama de la Fig. 18, entonces dado un circuito en el dominio del tiempo es unaoperación casi automática la de escribir ese mismo circuito ya transformado.-

Ejemplo: Sea el siguiente circuito:

+

Modelo circuítal idealizado en el tiempo

R

C

L

e t

R

Ci1(t) i2(t)



30

Transformando nos queda:

+

Luego, aplicando el método de mallas, el planteo de las ecuaciones de equilibrio transformada

son:

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++= pC

R p I pC

R pL p I p E 1.)(1.)()( 21

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +++++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−=

pC R pL

pC R p I

pC R p I

11.)(

1.)(0 21

El planteo en forma matricial sería:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++

0

)(

)(

)(

.2

21

11

2

1 p E

p I

p I

pC pL R

pC R

pC R

pC R pL

Este concepto es el mismo, para el que se planteen las ecuaciones por el método de los nodos.-

Modelo circuital idealizado transformado

R E(p)

R

1/pCI1(p) I2(p)

pL pL

1/pC



31

Ejemplo7:

Veremos la resolución de un circuito por aplicación del teorema del valor inicial.

El circuito de la Fig. es excitado por la función escalón unitario ( )t μ .

+ +≡

Se desea conocer el valor inicial de la tensión de salida ( )0r e .

Del circuito transformado se desprende:

( ) ( )11

11

1

+=⇒

+=

+=

pRC

C p I

C pR pC

R

p p I

Pero ( ) R p I p E R ×=)(

( )1+

=∴ pCR

RC p E R

El teorema del valor inicial nos dice:

( ) ( ) ( ) p E p Limt e Lime R p

Rt

R .00 ∞→→

==

.111

.)(. Volt

p RC

RC Lim

pRC

RC p Lim p E p Lim

p p R

p=

+=

+=∴

∞→∞→∞→

Se concluye que el valor inicial de la tensión de salida, o sea en el momento en que se le aplica

( )t μ , es igual a 1 Volt., o sea igual a la tensión de entrada.

Este resultado era de esperar, puesto que en ese instante el capacitor C se comporta como un

cortocircuito.-

C

µ(t)i(t)

R er(0)

1/pC

1/p I(p) E(0)



32

Ejemplo 8:Veamos ahora una aplicación del teorema del valor final.

+ +

≡

En el circuito de la figura se aplica una tensión continua E y luego de transcurrido todo el

transitorio, la corriente ( )t i se establece en un valor permanente, o sea toma un valor final.

Este valor final de ( )t i es el que buscamos.

La excitación es ( ) ( ) ( ) p E p E t μ E t e =∴= .

Del circuito Transformado se desprende:

( )( ) R pL p

E

R pL

p E p I

+=

+=

El teorema del valor final nos dice que: ( ) ( ) p I p Limt i Lim pt

.0→∞→

=

( )( ) R

E

R pL p

E p Limt i

p f =

+=∴

→.

0

Luego, el valor final de la corriente es R

E como era de esperar, puesto que en corriente

continua la inductancia no tiene ningún efecto.-

L

e(t) i(t) R

pL

E/pI(p) R = =



33

6.6).-Consideración de las condiciones iniciales

Veamos el caso de la Figura 19.-

+ +

-

En este circuito, al momento del análisis, existen condiciones iniciales no nulas, puesto que antes

de cerrar la llave S en 0=t , el capacitor se halla cargado y tiene una tensión entre sus bornes

igual a Vo .-La ecuación del circuito será:

( ) ( ) ( )∫+= .1

. dt t iC

t i Rt e

Transformando esta ecuación será:

( ) ( ) ( )

pC

dt t i

pC

p I p I R p E ent 0

)(. =∫

++=

La dt t i ).(∫ en 0=t representa la carga inicial del capacitor y esta expresión dividida por la

capacidad C nos da la tensión V0 inicial.

p

Vo

pC

I p I R p E

p++=∴

)()(.)( ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=−∴

pC R p I

P

Vo p E

1.)()(

Todo ocurre como si el circuito estuviera sometido a dos excitaciones.

El primer termino )( p E , es la transformada de la excitación y por tanto depende de la misma.En cambio el segundo término representa las condiciones iniciales que se introduce como un

generador de tensión del tipo constante, quedando el circuito:

s R

Ce(t) i(t) V0

Figura 19

=



34

+ +-

-

p

V

p

E

pC R p I 01

.)( −=⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +

p

V E

pC R p I 01

.)( −

=⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +

RC p R

Vo E

pC R p

Vo E p I

1

1.

11

.)(+

−=

+⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=∴

La antitransformada de esta función figura en tablas.-

∴ RC t

e R

Vo E t i

−−= .

`)(

Como vemos este circuito es el mismo de la Fig. 16, al cual se le ha agregado una tensión inicial

sobre el capacitor.

Comparado las dos expresiones de la respuesta podemos decir:

“La incorporación de las condiciones iniciales en el análisis de un circuito, no modifica la forma

de la respuesta, sino únicamente la amplitud de las misma”.-

E-V0/R

i(t)

t

1/pC

E/p I(p)

V0/p

s

=

=



35

Caso con inductancia:

+

Veamos el caso de un circuito R-L en el cual ene el instante 0=t en que se cierra la llave s ya se

encuentra circulando la corriente 0i , lo que me dice que las condiciones iniciales no son nulas.

Escribimos la ecuación de equilibrio del circuito:

Transformando esta ecuación nos queda:

)0(.)(.)(.)( f L p I pL p I R p E −+=

)0( f es el valor de )(t i en 0=t que en esta caso es 0)( io f =

⇒−+=∴ 0)(.)(.)( Li p I pL p I R p E )(.)()( 0 pL R p I Li p E +=+

Al igual que el caso anterior, acá ocurre como si el circuito estuviera sometido a dos excitaciones.

La primera que depende del tipo de excitación y la segunda, que representa las condiciones

iniciales y que se introduce como un generador de tensión constante.

El circuito nos queda:

≡ )(.)()( 0 pL R p I Li p E +=+

+

+

Concluyendo:

dt

t di Lt i Rt e

)()(.)( +=

E(p)

s

I(p)

pL

Li0

R

e(t)

i(t)

R s

L

i0

Figura 20



36

Se puede establecer una regla para el caso de condiciones iniciales no nulas.

1)

- + ≡ Se transforma en - +

2)- +

≡ Se transforma en =

Generalizando: Para el caso de un circuito R, L y C, que tenga por condiciones iniciales una

corriente )0(i circulando por la inductancia y una tensión 0V en los bornes del capacitor, seria:

- +

+

El circuito transformado sería:

- = + + = -

+

Luego la ecuación transformada seria:

⎟ ⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ ++=−+

pC pL R p I

p

Vo Li p E 1.)()( 0

En este caso se hizo la equivalencia con fuentes de tensión constante, pero si escribimos de otra

forma y llamando a:

V0

C V0/p

1/pC

L

i0 Li0

pL

L

i0 V0

CR

i(t)

e(t)

pL V0/p1/pC R

I(p)

E(p)

Li0



37

)()1

( p Z pC

pL R =++

Entonces:

)(.)()( 0 p Z p I P

Vo Li p E =−+ )(

)()()(

)( 0 p I p Z

pVo

p Z

Li

p Z

p E =++∴

En este caso nos quedan todas las fuentes como fuentes de corriente.

6.7).-Caso de Nodos

Cuando se deben plantear ecuaciones de nodo, es más ventajoso sustituir las condiciones

iniciales por esquemas con generadores de corriente como sigue:

En la inductancia:

∫= dt t v L

t i L L )(1

)( Transformando, ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧= ∫ dt t v L

t i L L )(1

)( LL

Transformando nos queda:

(

pL

dt t v

pL

pV p I t i

t en L

L L L

0)(

)()()(

=∫+==L

Pero la L

dt t v L∫ )( en 0=t , no es otra cosa que la corriente inicial 0i

Luego nos queda:

L p

i

pL

pV p I t i L

L L .

)()()( 0+==L

Con lo que podemos establecer la siguiente transformación.

≡ pL

i

pL

pV p I L

L0)(

)( +=

En el capacitor

dt

t dvC t i c

c)(

.)( =

+

i0

VL t

iL t

VL(p)+

L

i0/pL

pL



38

Aplicando la transformación:

0.)(.)0(.)(.)( V C pV pC vC pV pC t i ccc −=−=L

VoC pV pC p I cc .)(.)( −=∴

Puesto que la tensión en los bornes del capacitor en 0=t es Vo .

Luego podemos establecer la siguiente transformación:

≡ CVo pCV p Ic p −= )()( V0

vc(t)+

ic(t)

Vc(p)+

C 1/pC

+ -

CV0



39

7).-Régimen forzado y régimen transitorio

Volvamos de nuevo al circuito RL en serie de la figura 20 y reconsideremos el proceso de su

resolución desde un punto de vista algo diferente, lo cual es de utilidad debido a las

interpretaciones físicas que lleva consigo, y a las relaciones que dicha interpretaciones guardan

con las consideraciones puramente matemáticas.

Repetimos la ecuación del circuito.

)()(

.)(. t edt

t di Lt i R x=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ + [1]

Pertenece al tipo conocido como ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes.

La solución (también llamada integral) de esta ecuación, es aquella función )(t i que reduce la

ecuación a la identidad )()( t et e x x ≡ .

Es decir, al sustituir dicha función del tiempo )(t i , en la suma de términos

)()(t Ri

dt t di

L +⎟ ⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ , esta se convierte en la función )(t e x .

Es lógico esperar que la función del tiempo )(t i que conduce a este resultado dependerá de la

naturaleza de )(t e x .

Según esto, la función )(t i que se adapta a la naturaleza de )(t e x , es una función muy especial o

muy particular, y por tal motivo recibe el nombre de integral particular de la ecuación [1].

Designaremos a esta función como )()( t i p .

Aunque esta función del tiempo constituye una solución en el sentido de que satisface la

ecuación dada, puede demostrarse que ella, )()( t i p , es sólo una parte de una función del tiempo

más general, la cual también satisface la misma ecuación.

Este hecho puede comprobarse si se considera, además de la Ec [1], la siguiente:

0)(

.)(. =⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +dt

t di Lt i R [2]

En la cual el segundo miembro es cero.

Una solución de esta ecuación, es una función del tiempo )(t i tal que hace que la suma de

términos del primer miembro sea cero, para todos los valores determinados.

Bajo cierto aspecto es una integral particular correspondiente a 0)( =t e x .



40

Designando a esta función del tipo como )(0 t i , se ve fácilmente que la suma:

)()()( 0 t it it i p += [3]

Satisface la ecuación [1], porque hace que la suma de términos ⎟

⎠

⎞⎜

⎝

⎛ +dt

t di Lt Ri

)(.)( ,

se transforma en la expresión 0)( +t e x , la cual evidentemente es igual a )(t e x .-

La función )(0 t i que satisface la ecuación [2] se denomina función complementaria.

La suma de la integral particular y la función complementaria, expresada por la ecuación [3], se

conoce como solución completa de la ecuación diferencial [1].

La integral particular refleja solamente la naturaleza de )(t e x .

Por otra parte, la función complementaria contiene las constantes de integración apropiada

mediante las cuales la solución completa adquiere la flexibilidad necesaria para satisfacer las

condiciones arbitrarias que pueden especificarse en un momento determinada (usualmente se

elige el correspondiente a 0=t )

Veremos a continuación como se le da interpretación física a los pasos puramente matemáticos

presentados anteriormente.

En un problema físico, )(t e x representa frecuentemente una tensión de excitación estacionaria,

ya sea, el valor constante de la tensión de una batería, o de un generador de C.C, o bien una

tensión senoidal variable con el tiempo y de amplitud constante.

Sin embargo como se indica en la figura, puede ocurrir que esta excitación estacionaria no esté

siempre conectada al circuito.

Es decir el interruptor s puede pasar de la posición cerrado a la posición abierto durante el

intervalo en que se esta observando el comportamiento del circuito.

Por otra parte, la integral particular )()( t i p reconoce únicamente por definición el patrón

estacionario de )(t e x y por lo tanto representa físicamente la respuesta que la red daría si el

interruptor s hubiera estado cerrado durante el intervalo de observación.

También puede decirse que )(t i p representa el comportamiento físico del circuito después de

transcurrido un tiempo suficientemente largo del cierre inicial del interruptor, de tal modo que

las formas de este comportamiento son esencial y únicamente controladas por la naturaleza de

)(t e x .

De acuerdo con lo expuesto anteriormente, la integral particular )(t i p se identifica de este modo

con lo que físicamente se denomina comportamiento de estado estacionario.



41

Puesto que esta parte de la solución refleja la naturaleza de la función excitación )(t e x , se dice

también que dicha parte representa el comportamiento forzado de la red.

Es lógico que el comportamiento final de un circuito después de la aplicación súbita de una

fuerza motriz consista en imitar el carácter de dicha función fuerza motriz.

También es lógico y razonable esperar que el modo permanente de este comportamiento final, nose establezca necesariamente en el instante inmediato a la introducción de la fuerza motriz en la

red.

De este modo, puede imaginarse que la red al principio se opone a las exigencias impuestas por

la excitación aplicada, pero, tratándose de un a red pasiva y por consiguiente no teniendo

material de energía con que sostener la oposición, va cediendo gradualmente hasta quedar

totalmente sometida.

La intensidad y duración de la oposición inicial, depende esencialmente del grado de diferenciaexistente entre el modelo de comportamiento impuesto por la fuerza motriz y el característico de

la red en sí.

Este último, denominado comportamiento natural de la red, es una expresión de lo que la red

tiene tendencia a hacer cuando se abandona a si misma.

Es este estado no excitado, o exento de fuerza, el comportamiento de la red se rige por la Ec.

[2].

De esta forma se ve que la función complementaria )(0 t i representa físicamente elcomportamiento natural de la red.

El comportamiento resultante aparece como una superposición de los modos de, comportamiento

forzado y exento de fuerza, de la red.

La respuesta de comportamiento forzado o de estado permanente, corresponde matemáticamente

a la integral particular.

La respuesta de comportamiento exento de fuerza, o natural o transitoria, se identifica con la

función complementaria.Sumándolas, se obtiene el comportamiento resultante ó la solución completa.-



42

8).-Análisis de las funciones operacionales de los circuitos en base a las configuraciones de

polos ceros.

Ya demostraremos mas adelantes que todas las funciones de red tienen la forma de un cociente

de polinomios en p.

011

1

011

1

)(

)()(

b pb pb pb

a pa pa pa

p D

p N pT

nn

nn

mm

mm

+++

+++==

−−

−−

KK

KK [1]

En donde los coeficientes a y b son reales y positivos para las redes de elementos pasivos y

fuentes no controladas.

Ahora, la ecuación N(p) = 0 tiene m raíces y D(p) = 0 tiene n raíces.

Tanto N(p) como D(p), se pueden escribir como un producto de factores lineales que incluyen

estas raíces:

)()())((

)()())((.)(

21

21

ni

mi

p p p p p p p p

z p z p z p z p Ao pT

−−−−−−−−

=KK

KK [2]

en donde bnamo /= es una constante que se conoce como factor de escala y

m z z z ,..., 21 y

n p p p ..., 21 son frecuencias complejas.

Cuando la variable p tiene los valores m z z z ,..., 21 , la función de red se hace nula.Este tipo de frecuencias complejas se denominan los ceros de la función red.

Cuando la variable p tiene los valoresn

p p p ..., 21 , la función de red se hace infinita,

Estas funciones complejas son los polos de la función de red.

En la ecuación [2] los factores )( i z p − , se denominan factores de ceros y )(

i p p − son los

factores de polo.

Los polos y los ceros son útiles para describir las funciones de la red.

Se observa en las ecuaciones [1] y [2] que una función de red queda especificada por completa

mediante sus polos, sus ceros y el factor de escala.

Cuando r polos o ceros de la ecuación [2] tienen el mismo valor, se dice que el polo o cero tienen

multiplicidad r , aunque con frecuencia se usaran términos como doble triple etc., para describir

la multiplicidad si el polo o el cero no se repiten, se dice que es simple o distinto.

A los polos y los ceros de valor ∞ se les asigna también un grado:

cuando nm > en la ecuación [1], el polo en el infinito es del grado o multiplicidad nm − ;

cuando nm < , el cero en el infinito es de grado mn − .



43

Si para cualquier función racional de red se toma en consideración (además de los polos y los

ceros finitos), a los polos y los ceros, en cero e infinito, el número total de ceros es igual al

número total de polos.

Por ejemplo, la función de red:

)12)(12)(1(

)3()(

2

j p j p p

p p pT

−+++++

= [3]

Tiene un cero doble en 0= p (el origen), un cero en –3, y polos en -1, -2+j1 y -2-j1.

Si el factor (p + 1) estuviera elevado al cuadrado, entonces )( pT , habría tenido un polo doble en

–1 y un cero en el infinito.

Los polos y los ceros de )( pT de la ecuación [3] aparecen en el plano p en la Fig. 1.

Es conveniente utilizar el símbolo O para designar la ubicación de un cero y el símbolo X para la

ubicación de un polo.

2 Ceros

Los polos y los ceros son “frecuencia criticas”.

La función de red se hace infinita en los polos, en tanto que en los ceros se hace cero.

Magnitud de la función de red

Figura 2. La magnitud de una función de red, presentada en función de la frecuencia compleja

con dos polos y un cero.

X

X-2-3

-j1

+j1

σ

jω

-1

Figura 1

Cero

Polo

Polo

-jω

+σ



44

A otras frecuencias complejas, la función de red tiene un valor finito distinto de cero.

En la Fig. 2 se muestra una representación tridimensional de la magnitud de la función de

transferencia, en función de la frecuencia compleja para un cuadrante del plano p.

La porción del plano complejo que se representa en la Fig. 2 se muestra en la Fig. 3.

Fig. 3. Los polos y ceros ubicados en el cuadrante superior, correspondena la porción del plano p que se ilustra en la Fig. 2. (cuadrante II)

Esta función particular de red tiene cuatro polos finitos, un cero finito y un cero de tercer orden

en el infinito.

El polo representa una frecuencia a la que la función de red “estalla”.

El cero representa una frecuencia a la que se produce el comportamiento opuesto la función de

red se “anula”.

Las expresiones “estallar” o “anularse” suenan como un comportamiento más bien drástico de la

función de red.

Se podría pensar que conviene evitar por completo los polos y los ceros para seleccionar

funciones de red.

Sin embargo, este no es el caso, los polos y los ceros son la vida misma de una función.

Sin polos y ceros la función se reduce a una constante aburrida, monótona y sin objeto (una

función que no cambia en ninguna condición).

Sin polos y ceros, la representación tridimensional de la función de red se convierte en un

desierto matemático - absolutamente plano.-

X

X

I

X

X

R -R

←3 ceros en

Plano p

(II)



45

8.1).-Análisis:

¿Qué se puede aprender de una grafica de polos y ceros?

Una respuesta posible se deriva de la ecuación:

)()()( p E pT p R x×= [4]

Como ya veremos mas adelante la ecuación [4] nos expresa que la respuesta transformada de una

red es igual al producto de la función transferencia transformada del circuito, por la función

excitación transformada que se le aplica al mismo.

En el problema normal, )(t e x se especifica y )( pT se deduce o partir de la red.

El problema consiste en encontrar la respuesta, )(t r .

Supongamos que como es habitual en teoría de los circuitos, tanto )( pT como )( p E x

son

cocientes de polinomios en los cuales el grado del denominador es superior al del numerador.

Cuando el segundo término de la ecuación [4] se desarrolla por fracciones parciales, el

denominador de cada término de fracción parcial da un polo de )( pT o bien de )( p E x ; es decir

cuando no hay raíces repetidas en el denominador de )( p R .

Esto es:

)(

)()(

p D

p N pT

T

T = y

)(

)()(

p D

p N p E

E

E X =

Reemplazando estas dos ultimas expresiones en la Ecuación [4] y expresando los polinomios de

los denominadores en función de los polos, resulta:

))..()..()((

)(

))..()..()((

)()(

2121 Em Ej E E

E

TnTiT T

T

p p p p p p p p

p N

p p p p p p p p

p N p R

−−−−×

−−−−=

DondeTi p son los polos de )( pT y Ej p los polos de )( p E x

Descomponiendo en fracciones parciales queda:

∑∑== −

+−

=m

j Ej

Ejn

i Ti

Ti

p p

K

p p

K p R

11

)( [5]

Donde Ti K y Ej K son los residuos de )( p R en los polos

Ti p de)( pT y

Ej p de

)( p x E respectivamente.



46

Recordemos de tablas que:

)(..1 t e K p p

K t pi

i

i i μ +− =

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−L

Aplicando esto a la Ec. [5], la respuesta puede escribirse:

( ) ( )∑∑=

+

=

+− +==m

j

t p Ej

n

i

t pTi t e K t e K p Rt r EjTti

1

.

1

.1 )(..)(..)()( μ μ L [6]

Los términos de la primera sumatoria dependen fundamentalmente de )( pT por lo que se

denominan “componentes libres o naturales” de la respuesta transitoria.

La forma de cada componente está determinada por los polos Ti p que se denominan “frecuenciaslibres o naturales” de la respuesta.

Los términos de segunda sumatoria depende fundamentalmente de )( p E x por lo que se

denominan “componentes forzados” de la respuesta permanente y los polos Ej P , “frecuencia

forzadas” de la misma.

En consecuencia, los polos determinan la forma de onda en función del tiempo de la respuesta.

En cambio, los ceros determinan la magnitud de cada parte de la respuesta, ya que controlan la

magnitud de Ti K y Ej K , en el desarrollo en fracciones parciales, como se verá más adelante.-

Tomemos como ejemplo, para el análisis de los visto, un circuito general R, L, y C con

condiciones iniciales nulas, en el cual se lo excita con una función conocida y queremos analizar

la respuesta del mismo que en este caso consiste en la corriente )(t i .

≡

L C

i(t)

ex t

pL 1/pC R

I(p)

Ex(p+ +

Circuito TransformadoFigura 4



47

Del circuito transformado se obtiene:

)1(

)()(

pC pL R

p E p I x

++=

Llamando a:

)(1

p Z pC

pL R =++ Impedancia operacional del circuito, nos queda:

)(.)(

1)( p Ex

p Z p I = [7]

La respuesta )( p I , la hemos dividido en dos factores, para compararla con la Ec. [4].

El primer factor, que es la inversa de la impedancia operacional, representa la función

Transferencia )( pT ) y en él intervienen sólo los parámetros del circuito.

El otro factor representa la transformada de la excitación Ex(p).

Podemos afirmar, en base a lo visto hasta ahora, que los polos de la excitación, si no son

cancelados por el otro factor, aparecen en la respuesta o sea en )( p I y son los responsables del

régimen permanente y que tendrá la misma forma de la excitación.

De lo contrario si dichos polos se cancelan, podríamos asegurar que no hay régimen permanente

o forzado, en la respuesta del circuito.

Para aclarar esto vamos a excitar al circuito con excitación de corriente continua:

⇒= )(.)( t E t e x Transformando: p

E p E x =)(

Retomando la expresión [7]:

1.

1.

)1(

1.)(

22 ++=

++=

++=

pRC LC p

C E

LC p pRC

pC

p

E

pC pL R p

E p I [8]

Al eliminarse el polo de la excitación, no tendremos régimen permanente, como se puede

confirmar del análisis físico del circuito.-

Si ahora se excita el mismo circuito de la Fig. 4 con una función senoidal en el tiempo, el

desarrollo será:

.)( ⇒= t sen E t e x Transformando (de tablas):22

.)( p

E p E +

=ω



48

Escribiendo la expresión de la respuesta:

)(.

)1()(

222 p

E

pRC LC p

pC p I

+++=

ω

En este caso, al no eliminarse los polos de la excitación, existirá régimen permanente, como

surge del análisis de un circuito de C.A. y la respuesta tendrá la forma de la excitación, que como

sabemos, será también del tipo senoidal.-

Conclusiones:

A).-Los polos de la excitación, determinan el comportamiento del régimen permanente o

forzado del circuito.-

B).-Cuando los polos de la transformada )( p E x de la excitación, no aparecen en la respuesta,

el sistema no tiene régimen permanente.-

C).-Los parámetros del circuito son responsables del régimen transitorio; o sea la forma del

régimen transitorio no depende de la excitación.

A continuación haremos el análisis completo del mismo circuito de la Fig. 4 pero cuando se loexcita con una señal escalón E (corriente continua).

Por lo tanto retomemos la expresión [8].

LC L

R p p

L E

LC p

L

R p LC

C E

pRC LC p

C E p I

1)

1(

.)1(

.)(222

++=

+=

++=

Tiene dos polos ( 1 p y 2 p ), por ser el polinomio del denominador de la respuesta, una ecuación

cuadrática del tipo 02 =++ cbxax , donde LC

c y L

Rba

1;1 ===

))(()(

21 p p p p

L E

p I −−

=∴



49

∴ Los dos polos serán:

2

4

2

4

2

2

2,1 LC L

R

L

R

a

acbb p

−⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ±−

=−±−

=

LC L

R

L

R p

1

22

2

2,1 −⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ±−= del tipo: β α j p ±−=2,1

Del análisis de la expresión de los polos, vemos que puede tomar tres valores bien

diferenciados:

a).-Que los polos sean complejos conjugados.

b).-Que sean imaginarios puros, o sea 0=α .

c).-Que los polos sean reales puros o sea 0= β j

Empezamos por analizar el caso a).-

a).-Polos complejos conjugados ⎟ ⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ ⟨

C L R 2

Para este caso entonces debe cumplirse que:

2

2,12

2

2

1

24

1⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −±−=∴> L

R

LC j

L

R p

L

R

LC

Para hallar la antitransformada de la respuesta, aplicamos el teorema de los residuos:

t pe p I de siduos p I t i .1 .)(Re)()( ∑== −L en los polos de )( p I

Calculamos el residuo de 1 K en el polo 1 p

t pt pe

p p

L E

K p pe

p p p p

L E

K .

2111

.

2111

11 .)(

).(.))(( −

=⇒−−−

=

Calculamos el residuo de 2 K en el polo 2 p



50

t pt pe

p p

L E

K p pe p p p p

L E

K .

1222

.

2122

221 .)(

).(.))(( −

=⇒−−−

=

Siendo: β α β α j p y j p −−=+−= 21

Además:2

2

12 ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=−= L

R

LC y

L R β α

Con los dos residuos 1 K y 2 K ya podemos hallar )(t i

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−−

−=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−+

−=+=

2121122121

2121)(

p p

e

p p

e

L

E

p p

e

p p

e

L

E K K t i

t pt pt pt p

[ ]t jt jt pt pee

j

L E

ee p p

L E

t i )()(

21.

2)(.)( 21 β α β α

β

−−+− −=−−

= [9]

[ ]⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −=−=

−−−−−

j

eee

L

E eeee

j

L E

t it jt j

t t jt t jt

2.....

2)(

β β α β α β α

β β [10]

Finalmente la respuesta del circuito a la función escalón es:

t sene L

E t i t β

β

α ..)( −= [11]

Que es una respuesta oscilatoria amortiguada, cuya amplitud decrece exponencialmente con una

constante de amortiguamiento absoluta α, como se muestra en la Fig. 5

Fig. 5. Respuesta oscilatoria amortiguada

X

X

jβ

jω

-jβ

-α R

t sene A t

β α ..0

− α τ 1=

t e A α −.0

t e A α −− .0

t

i(t)



51

Esto se cumple siempre que2

2

4

1

L

R

LC > o sea

C

L R 2< .

A este valorC

L Rc 2= , se le llama “resistencia crítica” porque a partir de este valor

el circuito está en condiciones de oscilar con pulsación β .

b).-Polos imaginarios puros conjugados (R=0)

Por tanto si hacemos 0= R , por simple inspección de las formulas anteriores (Ec. [11]), al hacer

0=α nos da una respuesta oscilatoria pura o entretenida.

t sen L

E t i β β

=)(

Cuya representación grafica es la siguiente.

β

π 2=T

Fig. 6 Repuesta oscilatoria entretenida de período T = 2π/β

De la expresión de )(t i vemos que la amplitud de la oscilación vale β

L E

y la pulsación β ω = .

En consecuencia, cuanto mas cercanos al origen están los polos, mas baja es la frecuencia de la

senoide.

En el límite, cuando los dos polos conjugados se encuentran en el origen, el periodo se hace

infinito y el polo doble da lugar a una rampa.

X

X

jβ

I

-jβ

R

L

E

β

L

E

β −

i t

t



52

c).-Dos polos reales negativos (R > R c)

Veremos el caso en que Rc R >

2

2

1⎟

⎠

⎞⎜

⎝

⎛ <∴ L

R

LC

Por lo tanto estamos en el caso en que los polos son reales negativos y de distinto valor absoluto.

Si analizamos la expresión de2,1 p vemos que en este caso siempre son reales y negativa o sea:

22

11

α β α

α β α

−=−−=

−=+−=

p

p

Retomando la Ec. [9]

)()( 21

21

t pt p ee p p

L E

t i −−

=

Reemplazando a p1 y p2, nos queda: [ ]t t ee

L

E t i 21

2)( α α

β

−− −=

Cuya representación seria:

Fig. 7. Respuesta aperiódica sobre amortiguada.-

Otra forma:

Retomando la Ec. [9]

[ ] [ ]t t t t t t t pt peeee

L E ee

L E ee

p p

L E

t i )()()()()()(

21..

22)()( 21 β α β α β α β α

β β

−−−−−+− −=−=−−

=

X

-α1

I

R X

-α2

)t t ee A 21.0

α α −− −11

1α

τ =

t e A 1.0

α −

t e A 2.0

α −−

t

22 1α τ =

A0

-A0

i(t)



53

⇒⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −=

−−

2)(

t t t ee

e L E

t i β β

α

β t senhe

L

E t i t β

β

α .)( −=

Entonces para Rc R > , la respuesta es del tipo aperiódica sobreamortiguada.-

Por ultimo nos queda por analizar el caso particular de Rc R = .

Para esta condición seguimos estando en el caso de polos reales puros (caso c).

En este caso es 0= β por lo que las raíces de la ecuación cuadrática coinciden y por lo tanto hay

un solo polo y es doble.

Volvamos al comienzo, a la expresión de )( p I siendo:

α −== 21 p p

221 )())((

)(α −

=−−

= p

L E p p p p

L E t i

La antitransformada de esta función de p , figura en tabla y vale:

t et L

E t i α −= ..)(

Cuya representación grafica es la siguiente:

Fig. 8 Respuesta aperiódica con amortiguamiento critico.-

Por lo tanto cuando Rc R = nos de a una solución también aperiódica, pero es la más rápida

posible, dentro del régimen aperiódico.

La resistencia Rc es la que define el límite entre estados oscilatorios y aperiódicos.-

8.2).-Conclusiones:

Hemos visto que los polos de las respuestas son raíces de la ecuación 0)( = p Z .

Estas raíces serán en general complejas.Los valores de β α y (parte real e imaginaria), nos determinarán el carácter de la respuesta.

[X]

-α

I

α τ 1=

t e

α −

t

A0

i(t)

t L

E .

i(t)



54

En base a los casos que acabamos de analizar, podemos resumir las siguientes conclusiones:

a).- 21 p y p , complejos conjugados:

Si están situados en el semiplano izquierdo, o sea con parte real negativa, hay oscilaciones

amortiguadas.Si están situadas en el semiplano derecho o sea con parte real positiva, la oscilación tiende a

aumentar indefinidamente en amplitud.

El sistema es inestable.

Si no hubiera manera de interrumpir el proceso el circuito se destruiría.

En la práctica, la saturación en transistores estabilizan la amplitud de los oscilaciones,

trasladando los polos al eje imaginario.-

b).- 21 p y p , imaginarios puros conjugados:

Hay oscilaciones entretenidas, esto ocurre cuando no hay elementos disipativos, si los hay, la

acción de estos la compensan.

Estamos en presencia de un oscilador, dispositivo en el que provocada una perturbación

cualquiera, continua oscilando permanentemente.-

c).- 21 p y p , reales y negativos:

En este caso la respuesta es aperiódica.

Como vimos anteriormente, de acuerdo a los valores que toma R será la constante de

decrecimiento y el caso limite es para Rc R = , que es la respuesta mas rápida.

Por lo tanto la posición de los polos en el plano complejo nos indica el tipo de respuesta.

Las raíces o polos 21 p y p se denominan frecuencias libres o también modos naturales de

oscilación del circuito, donde la variable p es la variable compleja y contiene:

α = parte real, que representa el amortiguamiento

β = parte imaginaria, que representa la pulsación

Por ultimo debemos hacer una aclaración con respecto a la excitación.

Los modos naturales de oscilación de un circuito no dependen de la forma de la excitación

aplicada, pero si de las condiciones del circuito de entrada donde dicha excitación es aplicada.

Es decir, dependen si se lo excita con una fuente de tensión o con una de corriente, por la

impedancia interna que ella introduce en el circuito.Por eso es necesario en cada problema definir las condiciones de excitación.-



55

9).-APLICACIONES DE LAPLACE AL ANÁLISIS DE ALGUNOS CIRCUITOSESPECIALES

9.1).-Caso 1

En el siguiente circuito excitado con una función escalón )(.)( t E t e = hallar:

a).-La corrientes que entrega la fuente, a partir del momento en que se cierra la llave s.

b).-Hallar la tensión ABV a partir del momento en que se abre la llave s, suponiendo que se ha

llegado al estado permanente (inicialmente L y C están descargados).

)(.)( t E t e = =

Fig. 9. a) Circuito en el dominio del tiempo

=

b) Circuito transformado

a).-Hacemos el planteo de mallas.

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++−+=

+−+=

2

12)())((

))(())((

21

21

pL R p I pL R p I O

pL R p I pL R p I p

E

A

R

s

R

CL

i1(t) i2(t)

B

+

s

E/p

R

1/pC pL

I1(p I2(p

A

B

+



56

Despejamos )(1 p I (en forma matricial), que es la corriente que entrega el generador.

21 )(12.)(

12.

)12()()()(

)12(0

)(

)( pL R pC

pL R pL R

pC pL R

P

E

pC pL R pL R

pL R pL R

pC pL R

pL R p

E

p I +−⎟ ⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ +++

⎟ ⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ ++

=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+++−

+−+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

++

+−

=

∴

)222(

12.)(

2222221 L p pLR R

C L L p pLR

pC R pLR R

pC pL R

p

E p I

−−−+++++

++=

⎥⎦⎤⎢

⎣⎡ +++

++=

⎟⎟ ⎠ ⎞⎜⎜

⎝ ⎛ +++

++=

)(.1)(.

12.

2

12.)(

2

1

pL R pC

pl R R

pC pL R

P

E

C L

pC R pLR R

pC pL R

P

E p I

( )

( )

( ) ⎟ ⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ ++

⎟ ⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ +++

=⎟ ⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ ++

++=

pC R pL R

pC R pL R

p

E

pC R pL R

pC pL R

P

E p I

1.

1

.1.

12.)(1

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

+

+

=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

+

+

=

)1

(

1

)(

1.

111

.)(1

pC pR pL R p

E

pC R pL R p

E p I

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

++

+=

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

++

+=

)1(

1

)1(

1.

)1(

1

)1(

1.)(1

RC p

R

L p p

R

E

RC p R

R L p pR

E p I

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

++

+

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

++

+

=)1(

)(

)1(

1

)(

1.)(1

RC

P

R E

R

L

P L

R

p

R E

RC

p

p R

L

R

L

p

R

E p I

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

++

+=

)1()()(1

RC p

R E

R

L p

L

R p

R E

p I



57

Ahora debemos hallar la antitransformada de )(1 p I para ello lo hemos dividido en dos sumando,

de los cuales el segundo, tiene antitransformada directa de tablas.

RC t

e

R

E

RC p

R E −− ⇒

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

+

.

1

1L

La antitransformada del primer sumando la hallamos por residuos como vemos tiene dos polos,

uno en 01 = p y otro en L

R p −=2 .

R

E K

R

E

R

L

L

R R

E p

R

L

P L

R

p

e R

E

K

t p

p

=∴=

⎟ ⎠

⎞

⎜⎝

⎛

⎟ ⎠

⎞

⎜⎝

⎛ =

⎟ ⎠

⎞

⎜⎝

⎛

+

=∴=

1

1

11

..1

01

t L

Rt L

R

t P t P

p

e R

E K

R

L

L

R

e R

E

R

L p

e R

E

p L

R

R

L p

L

R p

e R

E

K

L R

−−

−=∴−

==⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=

−=

..

.

.

...

.2

2

2

22

2

RC t t

L R

RC t

e

R

E e

R

E

R

E e

R

E K K t i

−−−+−=++=∴ ...)(

.21

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ −+=∴

−− t L

R

RC t

e R

E e

R

E t i

.1..)(

Observamos que para ∞→t la corriente por la rama capasitiva tiende a cero, de acuerdo al

primer miembro de )(t i y la corriente por la rama inductiva, tiende a R

E , quedando en

definitiva para ∞→t la corriente igual a R

E en un todo de acuerdo con el análisis físico del

circuito.-

E/R

t L

R

L ei.−

=

RC t

C ei

−

=

i(t)

t



58

b).-Cuando se abre s, decimos que el circuito llegó al régimen permanente.

Quiere decir que la corriente por la bobina L es la )(t i para t →∞ y por la rama del

capacitor no circula corriente, pero si sabemos que el capacitor se ha cargado el valor E ,

por tanto el circuito queda:

i0 = E/R+

=V0 = E

Planteamos la ecuación por la rama inductiva.

)(.)( pL R p I R

E LV AB +−=+ [10]

A su vez planteando la ecuación de la malla cerrada:

)12(.)( pC

pL R p I R

E L

p

E ++−=+

pC pL R

R E L

p E

p I 12

)()(

++

+−=∴ [11]

Reemplazando la expresión de I(p) de la Ecuación [11] en la ecuación [10]

)12(

)1()(.

12

)()(

pC pL R

R L p pL R E

R

E L

pC pL R

R E L p E pL R

R

E LV AB

++

+++−=

++

+++−=

)12(

)1()(

)12(

)1()(

2C

L p pR

R L p pL R

E R

E L

pC pL R

R L p pL R

p

E

R

E LV AB

++

+++−=

++

+++−=

)12(

)

2

22

C L p pR

R L p pL pL R

E

R

E LV AB

++

++++−=

R R

pC pL

I(p)

A

B

+

L(E/R) E/p

+

-



59

C pR L p

R L Ep EpL ER

R

E

C

L

R

E L L p pR

R

E L

V AB 12

2)()2(

2

222

++

+++−−−=

LC L R p p

RC L R

E

V

C pR L p

RC L R E

V AB AB 12

1

12

)(

22 ++

⎟ ⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ −

=⇒++

−−= [12]

2

22 1

1

L

R

LC L

R p

RC L

R

E

V AB

−+⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=

llamando222

01

L

R

LC −=ω

2222 )(

1(

)(

)1(

o

o

oo

AB

L

R p

pC L R

L

R p

RC L R

E

V

ω

ω

ω ω ++

×−

=++

−−= [13]

Aplicando Residuos a la Ec. [12] o por Tablas a la Ec. [13], se obtiene:

⎟⎟ ⎠ ⎞

⎜⎜⎝ ⎛

−

−−= − t sene

L R

LC

RC L R

E

V t L R AB ω .

22

.1

)1(

Pero 11

)1(

1

)1(2

2

2

22

−−=−

−=

−

−

C R L

C R L

L

RC R

L L

R

L R

LC

RC L R

Luego para 0

2

>Oω :

t seneC R

L E t V t

L

R

AB 0

.

2 ..1.)( ω −

−−=

Nos da una respuesta oscilatoria amortiguada. Graficando:

VAB(t)

t L

R

e A.

0−

t L

R

e A.

0−

−

t



60

Esto se cumple para 020 <ω lo que implica que los serán complejos conjuntos con parte real

negativa.

En el caso que sea 020 <ω nos queda en la ecuación [13]

22

.)1(

o

o

o

AB

L

R p

RC L R

E

V

ω

ω

ω −⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ +

−=

De acuerdo a tablas:

t seneC R

L E t V

t L

R

AB 0

.

2..1.)( ω

−−−=

Lo que nos arroja una respuesta aperiódica.

Por ultimo si 020 =ω es:

01

2

2=−

L

R

LC

01

01

01

=−∴=−∴=⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −∴ RC L

R

L

R

RC L

R

RC L

R

Como vemos, esta última expresión es el numerador de )( pV AB en la ecuación [13] con lo que

020 =ω , quedando:.

0)( =t V AB



61

9.2).-Caso 2

Análisis del corto circuito en bornes de un generador sincrónico de C.A.

Estudiaremos el caso del corto circuito monofásico, pero las mismas condiciones son aplicables

a circuitos trifásicos.

El circuito equivalente de un generador de corriente alterna monofásico consiste en una fuente de

tensión alterna con una impedancia interna igual a su reactancia sincrónica (despreciando el

efecto de la resistencia del arrollamiento estatórico).

Por tanto, el caso de un corto circuito en bornes del generador constituye un circuito

fundamentalmente inductivo.

Tendremos un régimen de corriente alterna con excitación del tipo:

)(cos.)( += t E t e

)cos(cos.)( sent sent E t e −=∴

Transformando:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+−

+=

2222..cos.)(

ω

ω ϕ

ω ϕ

p sen

p

p E p E

La corriente de corto circuito será:

s pL

p E p I )()( = con condiciones iniciales nulas.

Luego:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+−

+=

2222.

1.cos.)(

ω

ω ϕ

ω ϕ

p sen

p pL

E p I

s

⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣

⎡+

−+

=)(

.1.cos.)(2222 ω

ω ϕ

ω ϕ

p p sen

p L

E p I

s

i t s se cierra en t = 0

Ls

e(t)



62

Multiplicando porω

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+−

+=

)(..cos.)(

22

2

22 ω

ω ϕ

ω

ω ϕ

ω p p sen

p L

E p I

s

Debemos hallar la antitransformada de esta última expresión.

Vemos que el primer término del corchete tiene antitransformada directa por tabla.

t sen p

ω ϕ ω

ω ϕ .cos.cos

221 =

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

+−L

El segundo miembro lo haremos fracciones parciales:

)(.)(.)(

2222222

2C Bp p p A

p

C Bp

p

A

p p+++=⇒

+

++=

+ω ω

ω ω

ω

2222222 )( ω ω ω ω A pC B A p pC Bp A Ap +++=⇒+++=∴

11y00 =∴==+=∴ B A B A;C

Luego:

2222

2 1

)( ω ω

ω

+−=

+ p

p

p p p

Luego la antitransformada total de la corriente de cortocircuito es:

[ ]t sen sent sen. L

E i(t)

s

ω ϕ ϕ ω ϕ ω

coscos +−=

434214 4 4 34 4 4 21

DC decomponente

S

AC decomponente

S

sen L

E t sen

L

E t i

..

.

.)(.)( ϕ ω

ϕ ω ω

−+=



63

Representación gráfica: s L

E A

ω =0

Como vemos, tanto de la expresión de )(t i como de su representación gráfica, el resultado es una

corrientes asimétrica.

Por eso a la suma de los dos componentes de corrientes, se la conoce como corriente de cortocircuito asimétrica.

Efecto del instante en que se produce el cortocircuito

De las expresiones anteriores.

)(cos)( += t E t e

[ ]ϕ ϕ ω ω sent sen L

E

t i s −+= )(.)(

Veremos el efecto de dos instantes diferentes, cuando en 0es0 ==t y otro, cuando en

º90es0 ==t eléctricos.

Veamos primero el caso en que 0es0 == ϕ t

E t e =∴ )( , valor máximo de e(t) en t = 0.

t E t e cos)( =∴

e(t)

i(t)

t

t

φ

)(cos)( ϕ ω += t E t e

)(0 ϕ ω +t sen A - Componente de C.A.

ϕ sen−

0 A Corriente total de cortocircuito (asimétrica)

Componente de C. Directa



64

Finalmente nos queda: t sen L

E t i

s

ω ω

=)(

Como vemos no hay componentes de corriente directa.

Es decir si el corto circuito ocurre cuando el voltaje es máximo, entonces no existe la

componente de C.D. y la corrientes se llama corriente de corto circuito simétrica.-

Cuando el corto circuito ocurre en t = 0 y es º90−= eléctricos, tendremos:

t sen E t E t E t e ϕ =−=+= )º90(cos)(cos)(

t sen E t e =)(

y la corriente de corto circuito

[ ] [ ]1cos)º90()º90()( −−=−−−= t Ls

E sent sen

Ls

E t i ω ω

[ ]t

Ls

E t i ω cos1)( −=∴

e(t)

i(t)

t

t



65

O sea que cuando el corto circuito ocurre en un instante en que el voltaje no es máximo, entonces

si existen componentes de corriente continua y la corriente de corto circuito recibe el nombre de

“corriente de corto circuito asimétrica”.-

e(t)

t

t

s L

E A

ω =0

A0

t sen E t e ω =)(

t A ω cos0−

Corriente de corto circuito (asimétrica)

Componente de C.D.

Componente de C.A.

i(t)



66

9.3).-Caso 3

Análisis de Redes Activas (Oscilador RC)

Hasta ahora hemos supuesto que las redes estudiadas se componen sólo de elementos pasivos y

las explicaciones se han basado en la afirmación de que las redes pasivas son estables en el

sentido de que la ubicación de los polos de las funciones de red que las describen, excluyen al

semiplano derecho del plano complejo p.

El hecho que las redes activas (por ejemplo, una que contiene fuente controlada o dependientes),

no son necesariamente estables se mostrara mediante un ejemplo sencillo.

Oscilador RC:Determinación de la frecuencia de oscilación de un oscilador RC.

Figura 9

Calcularemos el valor de la amplificación A, necesaria para que el circuito sea un oscilador.Es decir, para que las frecuencias de oscilación queden situadas en el eje imaginario.

Las ecuaciones de equilibrio del circuito, según el método de las mallas es:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−

−+

0

)(

)(

)(

11

12 2

2

1 p E

p I

p I

pC R

pC

pC pC R

Pero como en este circuito hay realimentación, es:

[ ] R p I A p E A p E .)(.)(.)( 212 ==

Por lo tanto escribiendo la ecuación de la primera malla

0).1

()()2

()(.)()(

)2

()( 2122

1 =+−+⇒=−+ R A pC

p I pC

R p I R p I A pC

p I

pC R p I

R CI1(p)

I2(p)

R C

AE2 E1 E1



67

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +

0

0

)(

)(

11

12

2

1

p I

p I

pC R

pC

AR pC pC

R

En este caso la ecuación característica, no es más que el determinante de la matriz [Z] igualada acero.

011

12

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +

pC R

pC

AR pC pC

R

Resolviendo el determinante

01112

=⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ + AR

pC pC pC R

pC R

( ) ( )0

12222

2 =−−+++ pC

AR

pC pC pC

R

pC

R R

( )0

132

2 =−−+ pC pC

AR

pC

R R

( ) ( ) ( ) ( )[ ] 013013 222 =−−+⇒=−−+∴ p RC A p RC RC A p pCR [14]

Ecuación del tipo 02 =++ cbxax .

Es fácil ver que para que las raíces de esta ecuación estén sobre el eje imaginario puro ω j , deber

ser el coeficiente 0=b en la ecuación cuadrática, lo que implica que debe ser 3= A .

Entonces haciendo 3= A , los polos nos quedan:

RC j p

12,1 ±=∴

Pero como f j j p π ω 2==

( )222,1 y1con

4

4 RC ac

a

c j

a

ac j p ==±=±=



68

La frecuencias de oscilación será:

⇒= RC

j f j1

2π RC

f π 2

1=

Determinaremos ahora el lugar geométrico de 21 y p p cuando A varia.

Las expresiones de 21 y p p son:

( )

( )

( )

( )

( )

( )4

22

222,14

4

2

3

2

3

RC

RC

RC

RC A

RC

RC A p −

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −±

−=

( ) ( )⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ −

−±

−−=∴ 1

4

3

2

31 2

2,1 A A

RC p [15]

En esta ultima expresión hacemos variar A.

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ±−=⇒=

2

5

2

31 0Para 2,1

RC p A

( )011

1Para 2,1 j RC

p A ±−=⇒=

( )101

3Para 2,1 j

RC

p A ±=⇒=

( )011

5Para 2,1 j RC

p A ±=⇒=

Representando en el plano polar:

Fig. 10. Lugar geométrico de los polos de la función de transferencia conforme A varíe de 0 a ∞.

A=3

A=5

A=3

A=0A=1A=0

A=∞

1/RC

R

I

-0,4-2,6

A

A



69

De acuerdo con este resultado, se ve que las ubicaciones de los polos quedan determinadas

mediante la constante A y también que los polos se desplazarán en el plano p conforme A

aumente de 0 hasta un valor muy grande.

El lugar geométrico de las raíces de la ecuación [14] se muestra en la Fig. 10.

Estas gráficas se utilizan con mucha frecuencia para estudiar sistemas y se conocen comográficas del lugar geométrico de las raíces.

De acuerdo con estas gráficas, se observa que los polos son reales y negativos para todos 1≤ A y

en esta zona no aparece ningún tipo de oscilación.

Desde 1= A hasta 5= A , los polos se mueven sobre distintas mitades de la circunferencia de

centro en el origen y radio RC 1 .

Para 5> A , los polos están otra vez sobre el eje real pero permanecen en la mitad derecha del

plano p, uno desplazándose hacia el cero y el otro hacia el infinito.Es evidente que los polos pasan la frontera crítica que es el eje imaginario para un rango de

valores de A y por lo tanto, la salida de la red puede ser estrictamente estable, oscilatoria o

inestable.

Este lugar geométrico de raíces es típico de todo sistema cuya ecuación característica es de

segundo grado.

Se afirma que una red activa (o para el caso, cualquier sistema general) es “estable” si la función

de transferencia que relaciona la salida con la entrada, tiene polos que están confinados en lamitad izquierda del plano y el eje imaginario, y “estrictamente estable” si los polos se encuentran

solo en el medio plano de la izquierda.

En consecuencia una red activa es estable si oscila con una magnitud constante, correspondiendo

esto al caso de polos sobre el eje imaginario (es el caso de los circuitos osciladores).

Para que una red sea estrictamente estable, se excluye la posibilidad de oscilación con una

magnitud constante, lo cual significa que quedan excluidos los polos del eje imaginario.

De acuerdo con lo expuesto, se puede observar que un requisito equivalente para un sistema

estable es que una entrada limitada debe dar origen a una salida limitada.

Por consiguiente, en una red estable, una entrada que tiene la forma de escalón, no producirá una

salida que tenga términos como t sent et t t ω ×ó,, 2 etc.

Esta es una definición conceptualmente conveniente de la respuesta de una red estable.

En la red de la Fig. 9 se observa que tiene una respuesta que es estrictamente estable cuando

3< A , y establece cuando 3≤ A .

Cuando 3= A , el voltaje de salida oscila al valor de la frecuencia hallado.

Para 3⟩ A , la salida oscila con una amplitud que aumenta sin límite con el tiempo.



70

Puesto que la estabilidad se determina por la ubicación de los polos, como se acaba de ver, es

posible establecer las condiciones necesarias para la estabilidad en función de un requisito

impuesto al polinomio del denominador de la función transferencia que relaciona la salida con la

entrada.

Sea este polinomio:

nnnn

T T

T a pa pa pa p D p D

p N pT ++++=⇒= −

−1

110)(

)(

)()( L

De acuerdo con )( p DT , se puede indicar el requisito para la estabilidad en función de una

pregunta sencilla: ¿Tiene 0)( = p DT raíces con partes reales positivas (0 cero)?

Cuando se responda a esta pregunta, queda determinada la estabilidad de la respuesta de la red.

Una respuesta obvia a la pregunta que acaba de proponerse deriva cuando las raíces de la

ecuación 0)( = p DT , se determina utilizando una computadora digital.

Sin embargo, con mucha frecuencia el interés reside no tanto en los valores numéricos de las

raíces como responder sencillamente si o no la pregunta ¿es estable la red?

Entonces el problema es el siguiente: si se da un polinomio que tiene coeficiente reales ¿cuántas

de las raíces de la ecuación 0)( = p DT tienen partes reales positivas?.

Para una red estable, la respuesta debe ser ninguna.

Para responder a esta pregunta existen muchas reglas, algoritmos y criterios que pueden aplicarse.Los más conocidos son los criterios de Routh-Hurwitz y el de Nyquist.

Pero esto no es tema de este capitulo.-



71

9.4).-Caso 4

Análisis del transitorio producido por el transformador de tensión capacitivo (tvc.), luego de una

falla en la línea

IntroducciónUn transformador de tensión capacitivo (TVC.), consiste básicamente en un divisor

de tensión capacitivo (C1;C2), acoplado a la carga mediante un reactor de sintonización L0 y un

transformador inductivo T.

El divisor (C1;C2), donde C1 es el capacitor primario y C2 es el capacitor intermedio que permite

reducir la tensión en los bornes primarios U p a un valor VC2 situado entre 10/√3 Kv a 36/√3 Kv

aproximadamente.

El transformador capacitivo, cuyo uso se difunde cada vez más presenta sobre el magnético,

numerosas ventajas:

a).-A partir de los 100 Kv de alcance aproximadamente, su costo es menor.

b).-Es más seguro en servicio.

c).-El capacitor del divisor, sirve como elemento de acoplamiento del sistema detelecomunicaciones por onda portadora.

d).-El capacitor es en cierto grado un elemento de protección contra sobretensiones.

Alta tensión

ZB

TL0

C2

C1

VC2

VpBaja tensión

Figura 1 T.V.C



72

Forma de conectar la O.P.

La señal de audiofrecuencia (ver fig. 2), se aplica a la bobina B que

presenta, para la frecuencia industrial, una impedancia de 10 Ω.

Esta no tiene prácticamente efecto, contra los 30 K Ω de impedancia de C2.

Explosor

Fig. 2 Conexión del TVC al equipo de Onda Portadora.

El explosor se coloca a fin de preservar el equipo de Radio, de los efectos de sobretensión de la

línea.

Habíamos dicho que la tensión sobre 2C era del orden de Kv310 ; a los efectos de

transformar esta tensión a la tensión secundaria ).V3101 se coloca el transformador T.

El reactor Lo esta sintonizado con la capacitancía equivalente ( )21;C C a la frecuencia nominal

de la red, a fin de lograr que las tensiones primarias y secundarias del TVC estén en fase y así

disminuir el error de la medición.

Además generalmente los transformadores capacitivos vienen provistos en el secundario del

transformador T de un circuito de supresión de la ferroresonancia, al cual está conectado en

paralelo con la carga.

Los transformadores son fundamentalmente no-lineales pero debido a su diseño es posible

analizar su comportamiento utilizando circuitos equivalentes lineales para una gran parte de su

campo de trabajo, incurriendo solamente en errores de 2do orden.

Para la operación fuera de este rango, por ejemplo cuando el núcleo de un transformador o

reactor se satura, la no-linealidad juega el papel más importante en el desempeño de circuito.

En el caso de un TVC son susceptibles de entrar en situación el reactor Lo , el transformador

intermedio T y cualquier elemento inductivo presente en el secundario.

L0

C2

C1

B

Al Equipo

de Radio



73

En el análisis efectuado aquí solo se tomarían en cuenta los fenómenos transitorios que se

producen en el TVC sin que ningún elemento de los arriba señalados entren en saturación lo cual

no le quita validez al análisis.

Circuito equivalente simplificado del TVC

secundariaTensión:

primariaTensión: carga;deImpedancia: .;ferroresonsup.Filtro:

intermedioTrafo: ión;sintonizacdeReactor: ;intermedioTerminal:

intermedioCapacitor: primario;Capacitor: primario;Terminal: 21

B

p B

V

V Z Z

T Lo I

C C P

Para simplificar la comprensión de las diversas oscilaciones transitorias que aparecen en los

terminales secundarios del TVC, es posible transformar el circuito de la Fig. 3, aplicando

Thevening en los puntos A y B y nos queda:

Se puede probar que la corriente 3 I que fluye en este circuito es igual a la que fluye en el

circuito anterior.

ZB

T L0

C2

C1

VC2

V p

Figura 3

A

B

I2 I3

I1

VB

P

ZB

(C1+C2)

Figura 4

A

B

IB

21

1.C C

C VpVi+

= VB



74

Además el capacitor equivalente resulta ser ( )21 C C + , siempre y cuando ambos capacitores

tengan los mismos factores de pérdidas, lo cual se cumple en la práctica pues ambos son del

mismo tipo.

Idéntica consideración cabe para el factor escalar ( )211 C C C + que afecta a la tensión Vp .

A su vez cada uno de los elementos de la Fig. 4 puede reemplazarse por su equivalente de la Fig.

5.

( ) 21 =+= C C C E Capacitor equivalente.

=o L Inductancia del reactor de sintonización (se desprecia la inductancia de dispersión de T).

= E R Resistencia de pérdidas dieléctricas del capacitor E C más la resistencia de o L (se

desprecia la resistencia del T).=T C Capacitancia de pérdidas del bobinado primario del T.

=T R Resistencia que representa las pérdidas en el hierro del T.

=T L Inductancia de magnetización del transformador T.

Respuesta transitoria del TVCTodo fenómeno transitorio ocurre debido a que los niveles de

energía toman un cierto tiempo para cambiar, ya que un cambio instantáneo requeriría una

potencia infinita.

De esta manera se genera un estado transitorio durante el cual, los niveles de energía se

acomodan a los nuevos valores según las constantes de tiempo del sistema.

Refiriendo al primario el secundario nos queda la Fig. 6:

CE = 100 μF ; CT = 600 nF ; L0 = 105 mH ; R T = 8 Ω ; R E = 3 Ω ; LT = 14 Hy ; R B = 440 Ω

CT R T LT

R EL0

CE

Vi

Figura 5. Circuito equivalente al de la Fig. 14

CT R T LT

R EL0

CE

Vi

Figura 6. Circuito equivalente referido al primario del TVC

R‘B V‘B

Ii

IC IR IL

IB



75

Como se ve en la Fig. 6, el transformador capacitivo posee varios elementos reactivos, los cuales

son capaces de almacenar energía y de hecho así lo hacen durante el estado estable.

Cuando la tensión primaria cambia súbitamente, la energía almacenada en los campos reactivos

se descargan a través del circuito TVC y de la carga, provocando así los fenómenos transitorios.

A medida que la carga (prestación) aumenta, fluye corriente a través de los componentesreactivos y se almacena mayor energía en el circuito resonante del TVC, incrementando de esta

forma la magnitud del transitorio.

Al almacenarse mayor energía, aumenta las magnitudes de las condiciones iniciales en el circuito

y esto hace que aumente la magnitud del transitorio.

Esto quiere decir, que si la respuesta es oscilatoria amortiguada, al variar las condiciones

iniciales, variará la amplitud de la misma, pero la respuesta seguirá siendo oscilatoria

amortiguada.

Diagrama vectorial:

Podemos apreciar que la tensión de entrada y la de salida están en fase (el TVC es un circuito

resonante la frecuencia de línea).

Las tensiones en el capacitor equivalente y el reactor o L , se encuentran en contra fase y

desfasados en más o menos 90º del vector i I (corriente de entrada).

Sabido es que la energía acumulada en un capacitor es:

2.2

1cc V C E =

y en la inductancia es:

2.

2

1 L L I L E =

VL0

ICT

ILT

VCE

IR IB Ii VCT Vi ≡ V’B

V p

Figura 7. Diagrama Vectorial del TVC



76

Tanto c E como L E varían en forma periódica si LC I V o son funciones periódicas y sus

respectivos picos se corresponderán con los valores máximos de LC I V e respectivamente.

Recordando que (ver Fig. 4):

p pi V k C C

C V V ..

211 =+=

Podemos afirmar que hay dos casos bien definidos para la energía acumulada en los elementos

reactivos:

Caso A.- Caso en que la falla (corto circuito en el borne primario del TVC), se produce

cuando P V pasa por cero, siendo máximas las energías en:

: E C Capacitancia equivalente

:T L Inductancia de magnetización.

Caso B.- Caso en que la falla (corto circuito en el borne primario del TVC), se produce

cuando P V pasa por un máximo, siendo máximas las energías en:

:o L Inductancia del reactor de sintonización.

:T C Capacitancia de pérdidas del bobinado primario de T.

Es evidente que la respuesta transitoria del TVC depende del punto de la onda de tensión primaria en que se produce la falla, porque según sea ese punto, será distinta la energía

acumulada en los componentes reactivos.

En definitiva, la respuesta total será la suma de los transitorios provocados por cada elemento

considerado por separado.

De ahí que podemos estudiar cada casa en particular como sigue a continuación.

Transitorios provocados por elementos reactivos (carga resistiva)

Caso A.- Transitorio generado por la energía acumulada en la capacidad E C y la inductancia

T L de magnetización.

Vemos que la tensión en E C es:

E

iCE

C p

I V

.=

L energía máxima es: E

iCE E C

C p

I V C E

2

22 .

2

1..

2

1max ==



77

Cuando i I crezca lo hará max.C E , o dicho de otra forma, el módulo de la tensión en el

capacitor es mayor cuanto mayor es la prestación.

Cuando la tensión primaria pasa por cero, la tensión en E C es máxima.

Suponiendo que en ese instante la tensión primaria se haga cero (cortocircuito en bornes

primario del TVC), vamos a analizar el transitorio resultante postergando para más adelante el

análisis de la influencia de T L en la respuesta final.

El circuito equivalente simplificado a utilizar es el de la Fig. 8.

≡

Del circuito ( ) E o BCE

pC pL R p I p

V 1.)(

)0( ++=⇒

( ) E BO

CE

E o B

CE

C pR L p

V

pC pL R

pV p I

11 2)0()0(

++=

++=∴

( )

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++

=

E O B

B

BCE

C L p L

R p

R

L

RV p I

10

20

)0(

Si se considera que: E BO

B

C R L

R 1>> [1]

Entonces podemos escribir que:

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++

E B

B E O

O

B

C R p

L

R pC L P

L

R p

11

0

2

( )

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +

=∴

E BO

B

B

o

BCE

C R p

L

R p

R

L

RV p I

1

)0(

L0

CE

R B

VCE(0)

pL0

1/pCE

R B

VCE(0)/p

+

I(p)

Fig. 8



78

De esta última expresión obtenemos los dos polos.

O

B

E B L

R p

C R p −=

−= 21 y

1

Hallaremos la antitrasformada por Residuos:

( )

( ) ⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−

=

+⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +

+=

−

=

O

B

E B B

O

C R

t

BCE

E BO

B

B

O

E Bt P

BCE

p p

L

R

C R R

L

e RV

C R p L

R p

R

L

C R pe RV K

E B

1

.

1

1. )0(

1

)0(1

1

1

Teniendo en cuenta la condición dada por la Ecuación [1]

E BC Rt

B

CE e

R

V K

−= .)0(

1

Ahora hallamos 2 K

t L

R

B

CE

E B

B

B

t L

R

BCE

p p

O

B

B

e R

V

C R L

R

R

L

e RV K

−−

=

−=

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−

= .1

. )0(

0

0

)0(2

0

2

( )⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ −=+=∴

−−

t L R

C Rt

B

CE O

B

E B ee R

V K K t i .

)0(21

Teniendo en cuenta que:

( ) ( ) Bt B Rt iV ×=

y que:

E B E CE

C RVi

C IiV

ω ω maxmax)0( == [2] porque O E LC y están en resonancia.

( )

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−=∴

−

− t

L

R

C Rt

E B

t B O

B

E B eeC RVi

V .

1

max ω



79

Fig. 9 Transitorio del TVC debido a CE

Esto se calcula para Ω= K R B 440 , siendo a sus ves:

msC Rms R

L E B

B

O 44. y 23,0 21 ==== τ τ [3]

Esto prueba que la influencia de O L es despreciable frente a E C .

Si graficamos la respuesta transitoria, vemos que esta consiste en una función aperiódica

gobernada principalmente por la descarga de E C a través de la resistencia de carga B R .En 0=t , la tensión arranca de cero con una constante de tiempo de crecimiento de

aproximadamente O B L R=τ , debido a que la corriente en el lazo no puede tomar

instantáneamente el valor de BCE RV .

Las ecuaciones [2] y [3] no muestra que, a medida que disminuye B R o sea a medida que

aumenta la prestación, el pico del transitorio aumenta pero la constate de tiempo de descarga,

disminuye.

Fig. 10Variaciones de la respuesta con la carga (prestación)

t

τ2

VB t

τ1

1

2

1 : Carga elevada, R B <

2 : Carga reducida, R B >

Vi max

VCE t

τ2 = 44 ms

VB(t)



80

El efecto se encuentra en la Fig. 10, donde pueden compararse dos transitorios para baja y alta

carga.

A través del análisis precedente se pudo comprobar que la influencia de L0 es despreciable frente

a la de E C .

Resta por verificar que influencia tiene T L en el transitorio.

Para ello y tomando en cuenta la consideración anterior, vamos a obtener la respuesta del

circuito de la Fig. 11 en el cual para simplificar, no se considera a L0.

=

Figura 11

En este circuito se cumple.

( )213

321

iii

iii

−=∴

+=

( ) B B B Rii RiV 213 . −== [4]

Por otro lado tenemos que:

E B E CE E BCE

pC V C V pC V p

V i ,.. )0(

)0(1 −=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

T

B

pL

V i =2

Reemplazamos estas dos expresiones en [4]

BT

B E B E CE B R

pL

V pC V C V V ...)0( ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−=

E BCE BT

B B E B B C RV R

pL

V R pC V V .... )0(=++∴

( T E BCE BT E BT B LC R pV R pLC R L pV ..... )0(2

=++∴

pLT

1/pCE

R BVCE(0)/p

+

i2

i3i1

VB



81

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++

=∴

E T E BT E B

T E BCE B

C LC R p p LC R

LC R pV V

11

....

2

)0(

( )

E T E B

CE

B

C L p

C R p

pV pV

1.1

.

2

)0(

++=∴

Llamando:

E B E B C RC R 21 12 =∴= θ θ

E T E T C LC L .1 1 02

0 =∴= ω ω

Nos queda:

( )22

)0(

.2

.

o

CE B

p p

pV pV

ω θ ++=

Con polos

222,1 o p ω θ θ −±−=

Si 22θ ω >

o, la solución es compleja conjugada.

222,1 θ ω θ −±−=∴ o j p

Llamando 220 θ ω ω −=d nos queda: d j p θ ±−=2,1

Luego la expresión de ( ) pV B nos queda:

( )( )( )21

)0(.

. p p p p

pV pV CE B −−

=

Hallaremos la antitransformada por residuos:

( ) ( )t p

d

CE

d d

t pCE

t pCE

p p

e j

pV

j j

e pV

p p

e pV K 1

11

1

.2

.... 1).0(1)0(

21

1)0(1

ω ω θ ω θ =

+++−=

−=

=



82

( ) ( )t p

d

CE

d d

t pCE

t pCE

p p

e j

pV

j j

e pV

p p

e pV K 2

22

2

.2

.... 2)0(2)0(

12

2)0(2

ω ω θ ω θ =

−+−−=

−=

=


( ) ( )t pt p

d

CE

B e pe p j

V

K K t V 21 ..2 21

)0(

21 −=+= ω

( ) ( ) ( )t jt j

d

t CE t jt t jt

d

CE B

d d d d e pe p j

eV ee pee p

j

V t V

ω ω θ

ω θ ω θ

ω ω

−−

−−− −=−= 21)0(

21)0(

.2

.....

2

llamando:d

t CE

j

eV A

ω

θ

2

.)0( −

=

nos queda:

( ) ( ) ( )[ ] ( )t j jt j jd

t jd

t jd B

d d d d eeee Ae je j At V ω γ ω γ ω ω

ω θ ω θ ω θ −−− −+=−−−+−= ....... 22

( ) ( ) ( )( )γ ω γ ω ω θ

−−− −+= t jt jd B

d d ee At V .. 22

( )( ) ( )

⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎣⎡ −+=

−−−−

jeeeV t V

t jt jt

d

d CE B

d d

2...

22)0(

γ ω γ ω θ

ω ω θ

( ) ( )γ ω ω

ω θ θ −+

=∴ − t seneV

t V d t

d

d CE B ..

. 22)0(

Adoptando los valores dados anteriormente, nos da:

seg

seg

seg

ms

d

C L E T

124

136,11

17,26

.881

1

=

=

==

==

ω

θ

ω

θ τ

ο

Este resultado demuestra que el efecto de T L , es el de producir una componente oscilatoriaamortiguada que resulta tener una frecuencia de:



83

Hz f d 84,32

==π

ω

Representando la respuesta:

( ) ( )γ ω ω

ω θ θ −+= −

22

t seneV t V d t

d

CE B ... d)0(

Fig. 12 Respuesta total para cortocircuito en 0= pV

La influencia de B R en este valor es reducida, porque para cargas menores que la nominal, B R

aumenta o sea θ disminuye y por lo tanto d se cerca cada vez mas a 0 .

La respuesta final (tomando en consideración todos los factores), es una curva como la que se

muestra en la Fig. 12 a cual pasa por cero debido a la componente periódica, de frecuencia

aproximada [ ] 2121 E T C Lπ .

A su vez cabe señalar que se puede obtener un efecto parecido cuando la carga tiene una

componente inductiva en serie.

t

t ek θ −.

VB(t)

)( γ ω +t sen d

d

d CE V k

ω

ω θ 22

)0( . +=



84

Caso B:

Transitorio generado por la energía acumulada en la inductancia ο L

y la capacidad ΤC .

Habíamos dicho que cuando ρ

V (tensión primaria) pasa por un máximo, la Ii (corriente de

entrada) también lo hace.

Por tanto, dado que la energía acumulada en ο L vale 2

2

1i L Ιο , esta será máxima en ese punto.

También será máxima la energía en ΤC , por lo que el transitorio generado a partir de una falla

que produce la caída de la tensión primaria desde un máximo a cero, esta dominado por dos

elementos ( )T O C L y fundamentalmente.

Para analizar el transitorio debido a ο L utilizamos el siguiente circuito.

=

≡

Fig. 13

Las condiciones iniciales para el capacitor E C en este caso son nulas, puesto que aquí es

( ) 00 =CE V .

Del circuito de la Fig. 13.

( ) ⎟⎟ ⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛

++= E o Bno pC pL R p I I L

1

.

( )( ) E o B

no

pC pL R

I L p I

1++=∴

( )

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++

=++

=

E oo

B E o

E no

E B E o

E no

C L p

L

R pC L

pC I L

C pRC L p

pC I L p I

1..

1 22

L0CE

R B

pL01/pCE

R B

+

I(p)

Ii(0)=In L0.In

VBVB



85

Teniendo en cuanta la condición dada por la Ec. [1]

( )

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +

=

E BO

B

n

C R p

L

R p

pI p I

1.

Con dos polos en:

E B

B

C R L

R p

1 py 2

01 =−=

Hallaremos la antitransformada por Residuos

t L

R

n

E BO

B

t L

R

O

Bn

p p

B

B

e I

C R L

R

e L

R I

K

.

.

10

0

1.1

. −

−

= =⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

=


( ) B B B R K K Rt it V .).()( 21 +==

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −=∴

−− E B

B

C Rt

E B

t L

R

Bn B eC R

Le R I t V ...)(

20

.0 Donde 6-

210 0,005×=

E BC R

Lo

Representando gráficamente

Fig. 14 Respuesta debida a o L (a carga nominal)

( ) E B

E B

C Rt

n

E B

o

E BO

B

C Rt

E Bn

p p

e I C R

L

C R L

R

eC R I K −

−

=−=

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−

= ...1

.22

2

10 ms

VB(t)

t

V p(t)influencia de L0/R B

influencia de R B.CE



86

Esto demuestra que el transitorio está dominando esencialmente por la constante de tiempo de

BO R L .

Como se ve, este transitorio no tiene ninguna importancia práctica en el transitorio general ya

que se extingue en menos de un milisegundo, puesto que .23,0 msg R L BO ≤

Influencia de T C

En cuanto a la capacitancia T C , su influencia depende mucho de la carga y se

notará especialmente cuando B R es muy elevada o cero (en vacío).

Veamos el circuito:

=

Fig. 15

Del circuito escribimos la ecuación matricial.

( )

( ) ⎥

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎢

⎣

⎡

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−

−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ +

O

I L

p I

p I

pC R

pC

pC pL

pC

n

T B

T

T

o

T

0

2

1

11

11

De aquí despojamos ( ) p I 2

( ) 2211

.1

01

1

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +

=Δ

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +

=

T T BO

T

T noT

nooT

pC pC R pL

pC

pC I L pC

I L pL pC

p I

( ) BOOT B

nO

T T

OO B

T T

B

T nO

R pL LC R p

I L

pC C

L L pR

pC pC

R

pC I L p I

++=

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +

=2222

11

( )

⎟⎟ ⎠ ⎞⎜⎜

⎝ ⎛ +

=∴

T OT BT B

n

C L p

C R pC R

I p I

1122

pL0

1/pCT R B

+

I1(p)

L0.In

VB

I2(p)



87

Luego:

( ) ( ) ( )

T OT B

T n B B B

C L p

C R p

C I pV R p I pV

11.

22

++=⇒=

llamando:

T OT B C LC R

1 y

12 2

0 == ω θ

nos queda:

( ) 20

22,12

02

con2

ω θ θ ω θ

−±=++

= p p p

C I pV T n

B

Si 22 θ ω >o la solución es compleja conjugada

220

2202,1 llamando θ ω ω θ ω θ −=⇒−±=∴ d j p

nos queda:

d j p θ ±−=2,1

( )( )21)(

p p p p

C I pV T n

−−=∴ B

Hallaremos la antitransformada aplicando Residuos.

( ) ( )t p

d

T n

d d

t p

T nt pT n

p pe

jC I

j jeC I e

p pC I K 1

11

1

.2..21

1ω ω θ ω θ −=+++−=−=

=

( ) ( )t p

d

T n

d d

t pT n

t pT n

p p

e j

C I

j j

eC I

p p

eC I K 2

32

2

.2

..

122

ω ω θ ω θ −=

−+−−=

−=

=

Luego:

( )

( ) ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛ −=−=+=

−−

j

eee

C

I ee

jC

I K K t V

t jt jt

d T

nt P t P

d T

n

B

d d

2...

2

.

21

21ω ω

θ

ω ω

finalmente:

( ) t seneC

I t V d

t

d T

n B ω

ω

θ .. −=



88

Cuya representación gráfica es la siguiente:

Fig. 16 Transitorio debido a T C (con carga nominal)

Para tener idea de la frecuencia de resonancia se la calcula:

Hz f d d 6362 == π

En la práctica, el resultado es una oscilación de alta frecuencia (636 Hz), fuertemente

amortiguada por la constante .5,0 msC R T B =

10 ms

VB(t)

t

V p(t)



89

CONCLUSIONES:

Del análisis efectuado anteriormente, podemos afirmar que entre todos los

fenómenos transitorios producidos por el TVC el mas importante es el ocasionado por E C ,

cuando el cortocircuito es en bornes del transformador, estando pV pasando por cero.

En el caso de que el TVC alimenta a un relé de impedancia, este transitorio puede ocasionar

problemas.

Dado que él depende fundamentalmente de B R o sea de la prestación, se deduce que debe haber

un valor optimo de B R que disminuya la influencia del transitorio sobre el relé.

Sin embargo no es tan simple hallar este valor sin considerar antes la respuesta de los filtros del

relé a cada uno de estos transitorio y su influencia en la medición de distancia.

Por ejemplo, para un relé lento (del tipo electromecánico) le conviene que la carga sea la máxima,

para amortiguar el transitorio antes de comenzar a medir.

Para un relé rápido el caso es más complicado.

El problema de la ferro resonancia y la validez del análisis efectuado

Como se dijo anteriormente, el análisis acerca de los transitorios generados en el TVC ha girado

en torno a los errores producidos por la energía que queda atrapada en los elementos reactivos

del transformador, considerados como lineales.

Todas las oscilaciones transitorias que resultan del análisis se amortiguan con el tiempo, de

modo que luego de un cierto retardo, la señal secundaria vuelve a representar a la tensión en los

bornes primarios.

El fenómeno de la ferro resonancia da lugar también a oscilaciones que se pueden traducir como

mediciones incorrectas de la tensión de línea.

Estas oscilaciones están causadas por la saturación de los núcleos del reactor de sintonización

O L o del transformador T y consisten en cambios no lineales de energía con las capacitancías

del circuito, a frecuencias menores que la nominal.

A diferencia con el transitorio lineal, estas oscilaciones no ocurren siempre pero pueden ser

estables, sino se adapta algún método de corrección.

Luego de una falla en la línea, la tensión tiende a caer por lo que es difícil que tanto el

transformador T como el reactor O L se saturen.

Esto significa que el problema de la ferro resonancia no aparecerá luego de un falla, sino por

ejemplo durante la energización del TVC, en donde las sobre tensiones generadas en el sistema

pueden hacer que los elementos reactivos entren en la zona de saturación.



90

Al mantenerse dentro de la zona aproximadamente lineal, los elementos del TVC pueden tratarse

mediante circuitos equivalentes, lo cual convalida el método seguido en el análisis.

En la práctica es necesario prevenir las oscilaciones subarmónicas debidas a la ferro resonancia

y para ello, se opta por insertar en el secundario del transformador T una impedancia Z que las

amortigue.Si esa impedancia esta permanentemente conectada, puede tener influencia en la respuesta del

TVC, luego de un falla en la línea.

Por esa razón, algunos fabricantes de transformadores capacitivos optan por disponer una

impedancia conmutable que sólo se conecta cuando el fenómeno de la forre resonancia se

presenta.

También aquí corresponde afirmar que una prestación elevada contribuye a minimizar el

fenómeno, aunque aumenta el error de medición del transformador y el transitorio lineal.La influencia del circuito de supresión de la ferro resonancia debe ser evaluada mediante los

ensayos de tipo del transformador capacitivo, ya que su análisis teórico es dificultoso debido a

las características particulares del mismo.

Sin embargo su efecto en la respuesta final del TVC, luego de una falla en la línea, es en

principio similar a la provocada por la inductancia de magnetización del T , esto es, agregar una

componente periódica amortiguada de frecuencia inferior a la nominal.-



91

FÓRMULA GENERALIZADA

DE

HEAVISIDE




Año 1982



92

ÍNDICE Pág.

Formula generalizada de Heaviside. ..................................................................................................................... 93

Excitaciones periódicas. ........................................................................................................................................ 99

Sistemas excitados por ondas periódicas no sinusoidales en régimen permanente. ........................................... 102

Determinación de la repuesta de un circuito a una función cualquiera, conocida la respuestadel mismo a la función impulso o a la función escalón / convolución. ........................................................... 107

Obtención de la repuesta temporal por convolución. .......................................................................................... 108

Producto de convolución. .................................................................................................................................... 108

Teorema de convolución. ..................................................................................................................................... 109

Antitransformación empleando el teorema de convolución. ................................................................................ 111

Obtención por convolución de la Repuesta Temporal a partir de la Repuesta al Impulso. ................................. 112

Obtención de la repuesta temporal en base a la repuesta al escalón. Integral de Duhamel. ................................. 117

Obtención de las integral de Duhamel a partir del principio de de superposición. .............................................. 121

Resolución de circuito por aplicación de la serie o integral de Fourier. .............................................................. 127

Transformada de Fourier para ondas periódicas. ................................................................................................. 127

Transformada de Fourier para ondas no periódicas. ............................................................................................ 128Aplicación de la integral de Fourier. ................................................................................................................... 129

Repuesta transitoria de un filtro pasa bajo (L.P) ideal a una función escalón. ..................................................... 134

Pulso rectangular de duración T1 aplicado a un filtro (L.P) ideal. ...................................................................... 138

Repuesta transitoria de un filtro pasa banda ideal (B.P) a la función escalón. .................................................... 141



93

FÓRMULA GENERALIZADA DE HEAVISIDE

La fórmula generalizada de Heaviside que veremos a continuación como aplicación a la

resolución y análisis de circuitos, es un caso, de los cuatros que conforman los teoremas sobre el

desarrollo de Heaviside en fracciones parciales.La formula general de Heaviside es aplicable a circuito bajos cualquier tipo de excitación; los

circuito deben tener polos simples y ninguno sobre el eje imaginario, excepto en el origen.-

Sea un sistema general con su función excitación, su función repuesta y su función transferencia

asociada.-

Siendo)(

)()(

p D

p N pT = Un cociente de polinomio en p

Se quiere encontrar la repuesta del sistema, cuando excitamos con una función excitación

genérica del tipo

st

e E t e .)( =

Con esta expresión, involucramos a casi toda las excitaciones más comunes, siendo s un numero

complejo.-

Si s = 0, corresponde a una excitación continua (escalón)

Si s = jω, corresponde a una excitación senoidal

Vimos que:)().()( p E pT p R =

Siendo la transformada de nuestra excitación genérica:

s p

E p E

−=)(

Luego

=−

= s p

E

p D

p N p R .

)(

)()(

s p p D

p N E

−1

.)(

)(.

Aparte del polo de la excitación en p = s, habrá p i polos de la transferencia, raíces de

D( p) =0

Por tanto, aplicando el teorema de residuos, será:

T(p)e(t) v(t)



94

] st s p e

s p

s p

s D

s N E Ks ..

)(

)(.

−

−== ; Pero )(

)(

)( sT

s D

s N =

st e sT E s K ).(.)( =∴ [1]

Este es el valor del residuo en el polo en el polo de la excitación p = s.

Calcularemos ahora el residuo en el polo genérico pi de la transferencia

] t p

i

i

i

i

p pi i

ie

p D

p p

s p

p N E K

..)(

)(.

)(

)(.

−

−==

Pero)('

1

)(

)(

ii

i

p D p D

p p=

− donde ⇒)(' i p D es la derivada de D(p) en p = pi

it p

pii

i

i e D s p

p N E K

.

)( .').(

)(. −=∴ [2]

Luego sumando todo los residuos tendremos la repuesta υt

∑ =

−

−+= n

i

t i p

i

t s e p D s p

p N E e sT E t r

i1

. .)(').(

)(.).(.)(

El primer sumando, depende exclusivamente de la excitación, puesto que analiza la repuesta en

el polo de la excitación.

En tanto que el segundo término, depende exclusivamente de los parámetros del circuito, que son

las que fijan los polos de la transferencia.-

Por lo tanto, podemos decir, que el primer término corresponde al régimen forzado o permanente,

en tanto que el segundo corresponde al régimen transitorio.-

No habiendo polo sobre el eje jω el régimen forzado y el permanente coinciden.-



95

Ejemplo: Sea el siguiente circuito tanque y queremos hallar como repuesta la tensión Vs(t),

siendo la excitación un generador de corriente i(t)

Calculemos la función transferencia de este circuito

)./1..(.

).(

./1.

./1)..()(

RC p L pC p

L p R

C p L p R

C p L p R p Z

+++

=++

+=

Como )().()( I Z Vs = )()( Z T =∴

Luego

⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛

++

+=

+++

=

C L L

R p pC L

L R p L

C R pC L p

R L p pT

.

1...

)/.(

1....

.)(

22

Haciendo L R /.2 =α y C L./120 =ω nos queda.

( ) )(

)(

..2.

).2()(

2

0

2 p D

p N

p pC

p pT =

+++

=ω α

α

Como vemos T(p) tiene dos polos complejos conjugado.

i(t)C

L

R

vs(t)

×

×

p1

p2

β

-β

I (eje Imag.)

-α

R (eje Real.)



96

β α

β α

j p

j p

−−=

+−=

2

1

Donde 220 α ω β −=

Consideremos ahora la excitación del tipo senoidal, luego el generador de corriente será.

t sen I t i .)( 0= o también [ ]t j

m e I I t i

ω ..)( 0=

Como vemos de la expresión de la excitación es s = j.ω

Luego el primer miembro de la fórmula de Heaviside (régimen permanente)

Será:

s I t Vse jT I I t Vs m

s

t j

m ν ω ν

ω

.)(.(..)( 0 =∴⎟⎟ ⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛

= 43421

Hallaremos la expresión T (jω) que es el valor de T(P) en p = jω

[ ]⇒

+++

=2

0

2 2)(

2)(

ω ω α ω

α ω

j jC

j jT

)2(

.2)(

22

0 αω ω ω

α ω

jC

j jT

+−+

= [3]

)2(

).2(.

22

0

0

αω ω ω

α ω ν

ω

j

e j

C

I s

t j

+−+

=∴ [4]

y⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+−+

=∴)2(

)..2(.)(

0

22

0

0

αω ω ω

ω α ν

ω

j

e j

C

I I t s

t j

m

[5]

Veamos cuanto vale la repuesta permanente para la frecuencia de resonancia o sea para ω = ω0.

Para ello en la expresión [4] hacemos ω = ω0

t jt j

e

C L L

R j

C L j L R

C

I

j

e j

C

I s 0.

.

1..

.

1./

.)..2(

)..2(. 0

220

0 ω ω

ω α ω ω

ω α ν

⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛

⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ +

=+−

+=∴

t ω jt ω je

j

C L R

L j

C ω

I e

L

R j

C L j L R

C ω

I sν 00 .

)(.

1..1

..

..

.

1./

.. 0

0

0

0 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +

=

⎟

⎠

⎞⎜

⎝

⎛

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +

=



97

t jt je jC L

RC

I e

j

C L R

L j

C

I s 00 ./.

1.

..

)(

...1.

. 0

0

0

0 ω ω

ω ω ν ⎟

⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ −=

⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ +

=

Luego la repuesta permanente en resonancia esta dada por la Ec. [5]

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=∴ t j

m e jC L

RC

I I t s 0

0

0 )./.1

.(.

)( ω

ω ν

( )( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−+= t ω jsent ω jsenφ

C

L

RC ω

I I t sν m ..cos.cos.1.

1.

.)( 002

0

0

Siendo

C

L

R

arctg φ

.1

1−=

)..coscos.cos..(cos1.1

..

)( 000020

0 t ω senφ senφ sent ωφt ω jsent ωφC

L

RC ω

I I t sν m +⎜

⎜⎝

⎛ −++=

Tomando la parte imaginaria.

( )φ sent ωφt ω senC

L

RC ω

I t sν .coscos.1.

1.

.)( 002

0

0 −+=

( )φt ω senC

L

RC ω

I t sν −+= 02

0

0 .1.1

..

)(

Haciendo el móduloC

L

RC

L

R.

11.

12

≅+ Será 0≅φ

( ) ( )t senC

LC L

RC

I t sen

C

L

RC

I t s 0

00

0

0 .....

..1

..

)( ω ω ω

ν ==

Luego la repuesta permanente para resonancia será

( )t senC R

L I t s 00 .

.)( ω ν =

SiendoC R

L

., la impedancia máxima en resonancia y es resistiva.

La verdadera frecuencia de resonancia es β , pero para circuito con alto Q es0 β = .-

Para cualquier ω o sea fuera de resonancia, el primer término de la fórmula de Heaviside, queda:

st e sT E ).(. siendo ω j s =



98

Zeq

C j L j RC j

L j R jT =

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++

+=∴

.

1...

.)(

ω ω ω

ω

Luego el primer término de la fórmula de Heaviside queda:

t sen

C j L j RC j

L j R I ..

.

1...

.0 ω

ω ω ω

ω

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++

+=

[6]

Que representa la parte permanente de la repuesta.

En cuanto al segundo término es:

∑= −

n

i

t pie pi D s pi

pi N I

1

.0 .

)(').()(. Donde s = j.ω

Habíamos hallado al comienzo del ejemplo:

)(

)(

)..2.(

2)(

2

0

2 p D

p N

p pC

p pT =

+++

=ω α

α

Luegoα 2)( += p p N y ).2.()( 2

0

2 ω α ++= p pC p D ).(.2)(' α +=∴ pC p D

Hallaremos la sumatoria en los polos β α j p +−=1 y β α j p −−=2

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+−−−−−−

+++−−+−

+∴

α β α ω β α

β α

α β α ω β α

β α

j j j

e j

j j j

e j

C

I t pt p

.(2).(

).(

).(2).(

).(.

210

[ ] [ ]⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+−−−

−−+−

+=

)(..2

).(

)(..2

).(.

210

ω β α β

β α

ω β α β

β α

j j

e j

j j

e j

C

I t pt p

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+−−−

−+−

+=

−

)(

.

)(

.

.2.

21220

ω β α ω β α β

β α ϕ ϕ

j

ee

j

ee

jC

I t p jt p j

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+−−−

−+−+

=−−−−

)(

..

)(

..

.2.

....220

ω β α ω β α β

β α β α ϕ β α ϕ

j

eee

j

eee

jC

I t jt jt jt j

⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎣⎡

+−−−

−+−=

+−+−

)()(.2..

).().(.00

ω β jαe

ω β jαe

β jeω

C I

φt β jφt β jt α

[7]



99

Por lo tanto, la repuesta es la compuesta por la suma de la expresión [6] que representa la parte

permanente de la repuesta y la expresión [7] que como vemos, tendrá una forma de onda

oscilatoria amortiguada, que tiende a cero con el tiempo, representando por lo tanto la parte

transitoria de la repuesta.

Escribiendo la expresión completa nos queda:

+

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++

+= t ω sen I

C ω j Lω j RC ω j

Lω j Rt sν .

.

1...

.)(. 0

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+−−−

−+−+

+−+−

)()(.2

..

).().(.00

ω β jα

e

ω β jα

e

β j

eω

C

I φt β jφt β jt α

Excitaciones periódicas

Introducción

Veremos a continuación el análisis de algunos circuitos cuando son excitados por onda periódica

general.

Para ello recordemos la expresión de la transformada de la Laplace de una función periódica

general.-

Para una función periódica de periodo T o sea f(t) = f(t+T), la expresión de la transformada de

Laplace es:

dt et f e

p F T pt

pT .)(.

1

1)(

0∫ −

−−= [8]

Excitación periódica

La transformada de una excitación periódica puede hallarse mediante la transformada de primer

periodo y su desplazamiento.-Si e(t) es una excitación periódica cualquiera, de periodo T, la transformada del primer periodo es:

dt et e p E T pt .).()(

01 ∫ −= [9]

Luego la transformada para todo el periodo se obtiene desplazándola del primer periodo, es decir

aplicando la Ec. [8], tendremos:

pT

e

p E p E

−

−=

1

)()( 1 [10]



100

dt et ee

p E T pt

pT .).(.

1

1)(

0∫ −

−−= [11]

La Ec. [11] es la expresión general de la transformada de una excitación periódica cualquiera,

obtenida a partir de la transformada del primer periodo.-

En esta expresión, el periodo T elegido puede comprender un ciclo o un número entero de ellos.-

Ejemplo 1: Sea una excitación en forma de tren de pulsos rectangulares.

Se desea hallar la transformada de dicha excitación.

El primer pulso puede expresarse, en función del tiempo, como combinación de dos funciones

escalón:

)(1 .)(.)( τ t μV t μV t e −−=

( )τ pτ p

e p

V p E

p

eV

pV p E −

−−=⇒−=∴ 1)(.

1.)( 11 [12]

Luego para calcular la transformada del tren de pulso se aplica la ecuación [10]

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

−=

−

−

pT

τ p

e

e

p

V p E

1

1)( [13]

e(t)

T

τ

V

t

Fig.1



101

Ejemplo 2: Sea un tren de ondas senoidales manipuladas de la Fig.3

Esta puede ser la onda de salida de un transmisor radiotelegráfico que consiste, en una onda

portadora de radio frecuencia, en este caso la senoide de la Fig. 2, que tiene su propia frecuencia

particular; esta onda portadora se interrumpe o manipula con pulsos rectangulares, de frecuencia

mucho menor, formando la sucesión de puntos y rayos que conforman el código radiotelegráfico,

resultando la onda de la Fig. 3 cuya expresión es:

[ ])()().()( at t t f t g −−= μ μ

La trasformada de Laplace que nos interesa es el de la función compuesta g(t).

Nótese que esta expresión es valida para el primer periodo que va de cero a T, pero como vemos

que es periódica, es necesario solo integrar la transformada de Laplace, sobre un periodo.-

Por lo tanto:

∫∫ −∞

−

−

−==

T pt

pt

pt dt et g e

dt et g pG00

.).(.1

1.).()( [14]

Si ahora reemplazamos en la ultima integral a la función g(t) por el valor que toma entre cero y T,

como vemos entre a y T la función g(t) es nula, por lo tanto tomamos los limites entre cero y a y

vemos que en este intervalo es g(t) = f(t).-Luego:

∫ −

−−=

a pt

pT dt et f

e pG

0.).(

1

1.)( [14’]

Si la función original f(t) no hubiera sido pulsada, podríamos haber escrito su transformada,

empleando el teorema de periodicidad de a Ec. [8]

∫

−

−

−=

a pt

pa dt et f

e

p F 0

.).(

1

1.)( [15]

Esta expresión es valida suponiendo que en a entra un número entero de ciclos.

Senωt

Fig.2

f (t)g(t) f (t)

Fig.3

tt

a

T



102

Despejando de la Ec. [15], la integral, nos queda:

( )∫ −− −=

a pa pt p F edt et f 0

)(.1.).(

Y reemplazando esta integral en [14’] nos queda:

( ) )(.1.1

1)( p F e

e pG

pa

pT

−

− −

−=

Como f(t) = sen ωt, entonces22

)( p

p F +

=ω

Luego la expresión de la transformada de Laplace.

Del tren de ondas manipulada g(t), nos queda.

( )( ) 22.11)( ω +−−== −

−

pee pG pT

pa

Como vemos hemos hallado la transformada de la onda manipulada conociendo la transformada

de la portadora y obviando la resolución de la integral del último término de la Ec. [14].

Veremos a continuación otra aplicación de las propiedades de los sistemas excitados con onda

periódica.-

Sistemas excitados por ondas periódicas no sinusoidales en régimen permanente

La transformada de Laplace es útil en el análisis de sistema excitado por ondas periódicas no

sinusoidales, cuando interesa hallar la repuesta permanente.

La otra forma de determinar la repuesta permanente es por medio de un desarrollo en serie de

Fourier.

Habíamos visto en la fórmula de Heaviside que la repuesta total de un sistema excitado (en este

caso por una función periódica) es la suma de la repuesta permanente más el transitorio.-

T(p)

⎩⎨⎧

=

=+=

atransitorirespt r

permanenterespt r t r t r t r

t

p

t p.)(

.)()()()(e(t)



103

O sea podemos escribir.

)()()( t r t r t r t p

+= [16]

Si ahora a ese sistema lo excitamos con el primer periodo de la función excitación tendremos:

)()()( 111 t r t r t r t p += [17]

Pero por ser periódica y de periodo T (la excitación), la repuesta permanente y la transitoria.

Es la misma para todos los periodos.

O sea:)()(1 t r t r p p = y )()(

1 t r t r t t =

Luego de la Ec. [17] nos queda:

)()()(1 t r t r t r t p += [18]

Por lo tanto, obtenemos la repuesta permanente total, como diferencia entre la repuesta al primer

periodo y la repuesta transitoria.

O sea:)()()( 1 t r t r t r t p −= [19]

En general )(1 t r se halla mediante la formula

[20])(1)(1 .)(

p p E T t r -1-L= Para el primer periodo )0( T t ≤≤ y )(t r

t se halla según

)()( .)( p pt

E T t r 1--L= [21]

Esta calculada como residuos en los polos de T(p).

Luego se determina la )(t r p

con Ec. [19].

Este procedimiento no es aplicable a sistema ideales o sea que tengan elemento no disipativos.

Esto se debe a que como vimos, exciten una restricción de polos sobre el eje jω, para latransferencia T(t).

Pero esta restricción no rige para un sistema real, ya que siempre un sistema real será disipativo.



104

Ejemplo: Hallar la repuesta permanente de un circuito pasa altos al tren de pulsos rectangulares

de la Fig.1

Se define como respuesta, a la tensión sobre la resistencia R.

Por lo tanto la transferencia será:

)(

)(

)(

)()(

p E

p E

p E

p R pT

e

s p==

Luego R p I p E s ).()( = peroC p R

p E p I e

./1

)()(

+=

C p R

R p Ee p Es R

C p R

p Ee p Es

./1).()(.

./1

)()(

+=⇒

+=∴

De donde:

α +=⇒

+=

+=

+=

p

p pT

C R p

p

RC p

RC p

C p R

R pT )(

./11..

..

./1)(

DondeC R.

1=α

Por otra parte la transformada de la excitación del primer periodo esta dada por la Ec. [12]

( )τ pe p

V p E −−= 1)(1

y la transformada de la excitación para la serie periódica de pulsos esta dada por la Ec. [13]

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−

=−

−

pT

p

e

e

p

V p E

1

1)(

τ

Calcularemos )()().()( 111 p R p E pT pν 1--1-- LL ==

Donde:

( ) ( )τ pτ p eα p

V e

p

V

α p

p p E pT p R −− −

+=−

+== 1.1..)().()( 11

i(t)e(t)

C

R

r p(t)



105

Luego:τ pe

α p

V

α p

V p R −

+−

+= .)(1

Cuya antitransformada es directa:

).(..)(..)( )(1 τ t μeV t μeV t ν τ t αt α −−= −−− Valido para 0≤ t ≤ T

Ahora calcularemos )(t vt

)()().()( pt R p E pT t t ν 1--1-- LL == En los polos de T(p).

( ) ( ) pT

τ p

pT

τ p

e

e

α pe p

eV

α p

p p E pT pt R

−

−

−

−

−

−+

=−

−+

==1

1.

1

1.

1..)().()(

Para hallar )(t t v hallaremos el residuo de esta expresión en p = -α (Polo de T (p))

( ))(.

1

1.)( . t μe

e

eV t t v t α

T α

ατ −

−

−

−

−=

Luego con estas dos expresiones aplicamos la Ec. [19].

(

( )

)(.1

1.)(..)(..)( .).(. t μe

e

eV τ t μeV t μeV t v t α

T α

ατ τ t αt α

p−

−

−−−−

−

−−−−=

)(..)(.1

11..)( ).(. τ t μeV t μ

e

eeV t v τ t α

T α

ατ t α

p −−⎟⎟ ⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛

−

−−= −−

−

−−

Cuya representación gráfica normalizada es la siguiente:

T e

e

.1

.11

α

τ α

−−

−−−

V

t pv )(

A

T

τ

D



106

Se cumple siempre que el salto sobre la resistencia R, es igual a la tensión aplicada V.

Por ello debe verificarse que el salto al final del periodo sea uno, ó sea: A + D = 1

Si en el caso anterior se hubiera querido hallar la repuesta total mediante la forma clásica del

cálculo de los residuos, se llegaría a una serie infinita.

En efecto:

( )( )( )⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

+−

−∑=+=

−

−

α pe

eeV resid t νt pνt v

pT

pt τ p

t .1

.1..)()()(

En todos los polos

Polo de T(p) , en p = -α, cuyo residuo ya hemos calculado.

Y en los polos de la excitación y que son los valores de p que hacen

01 =− − pT e

En este caso hay infinitos polos, representando las infinitas armónicas de la onda general.

La sumatoria de residuos, se convierte así en una serie infinita y el uso de la trasformada no nos

trae ventaja sobre el uso de la serie de Fourier.

Sin embargo es evidente la conveniencia del método de la transformada de Laplce, cuando sólo

se quiere hallar la repuesta permanente a excitaciones periódicas no sinusoidales por medio de la

repuesta al primer periodo.-



107

DETERMINACIÓN DE LA RESPUESTA DE UN CIRCUITO, A UNA FUNCIÓN

CUALQUIERA, CONOCIDA LA RESPUESTA DEL MISMO A LA FUNCIÓN

IMPULSO O A LA FUNCIÓN ESCALÓN / CONVOLUCIÓN

Habíamos visto que la transformada de Laplace de la función impulso valía la unidad

1)( =t δ-L

Además habíamos visto que:

)().()( p E pT p R =

Por lo tanto si a un sistema lo excitamos con la función impulso )(t δ tendremos:

)()( t δt e = y transformando 1)()( == t δ p E L

→==∴ 1).()().()( pT p E pT p Rδ )()( pT p Rδ =

O sea la transformada de la repuesta a la función impulso del sistema es igual a la transformada

de la función transferencia.

De lo anterior se deduce que si se conoce, en un sistema dado, la repuesta a la función impulso,

podríamos hallar la repuesta a una excitación [e(t)] cualquiera.Veamos el caso en que a un sistema se le excita con una función e (t) cualquiera, pero cuya

expresión analítica se conoce, y deseamos hallar la repuesta )(t v a esa excitación, conociendo la

repuesta a la función impulso )(t δv .

El procedimiento es el siguiente:

1) Se calcula la transformada de repuesta al impulso, )(t δv , obteniéndose así por lo ya visto, la

transformada de la función transferencia T(p)

2) Se calcula la transformada de la función excitación, e (t), obteniéndose E (p)

3) Multiplicamos E (p) por T (p) y obtenemos la Transformada de la repuesta deseada R (p).

4) Se calcula la transformada inversa de R (p) y obtenemos la repuesta )(t v deseada.

Pero este método no es aplicable si la función excitación esta dada en forma grafica, o no posea

trasformada de Laplace.

En este caso se aplican las formulas derivadas del Teorema de Convolución.



108

Obtención de la respuesta temporal por Convolución

Introducción: Como ya se vio, si un sistema es excitado cuya expresión analítica es conocida y

es transformable, se puede conocer la repuesta temporal, (aún desconociendo la T(p) ),a través de

la repuesta conocida a la función impulso, siguiendo el procedimiento del párrafo anterior

Se verá ahora a través de Teorema de Convolución, que si la función excitación no es

transformable o está dada en forma grafica, también se puede obtener la repuesta temporal, en

función de la repuesta al impulso o al escalón unitario.

Demás esta decir que el producto de Convolución es aplicable también cuando se conoce la

expresión analítica de la excitación.-

Producto de Convolución:

Dada dos funciones f 1 (t) y f 2 (t), se denomina producto de composición, producto de Convolucióno simplemente Convolución f 1 (t) . f 2 (t), al resultado de la siguiente integral:

∫ −=• t

d f t f t f t f 0 2121 )().()()( τ τ τ [22]

Se verán alguna propiedades; haciendo el cambio de variable

ut ut −=∴=− τ τ y dud −=τ

Corrigiendo los límites de integración resulta:

=−=• ∫t

d f t f t f t f 0 2121 )().()()( τ τ τ

)()()().())(().( 120 12

0

21 t f t f duu f ut f duut f u f t

t •=−=−−= ∫∫ [23]

Esto es:)()()()( 1221 t f t f t f t f •=• [24]

De [23] y [24] podemos escribir la formula conocida de Convolución

∫∫ −=−=• t t

d t f f d f t f t f t f 0 210 2121 ).().()().()()( τ τ τ τ τ τ [25]

Además, por linealidad se cumple que:

[ ])()(.)(.)(. 2121 t f t f B At f Bt f A •=• [26]

En la Fig.4, puede verse la interpretación grafica del producto de Convolución:

en a) se muestra la función )(1

τ f ,

en b) )(1 τ − f



109

y en c) )(1 τ −t f

En d) se ha representado )(2 τ f

y en e) se incluyen, )(1 τ −t f , )(2 τ f y el producto de ambos.

El área encerrada por la función )(1 τ −t f . )(2 τ f entre 0 y t, es el valor del producto de

Convolución •)(1 t f )(2 t f .

Para cada t considerada se obtiene un área, como se muestra en la Fig.5.

Representando los valores Si de las áreas, en función de los tiempo ti correspondiente, se obtiene

la función •)(1 t f )(2 t f , como se aprecia en Fig.5f

Teorema de Convolucion:

Sean dos funciones )(1 t f y )(2 t f , cuyas transformadas de Laplace son F1(p) y F2(p).El teorema de convolucion, o de Borel (cuya demostración no es tema de esta materia), afirma

que si las integrales de Laplace F1 (p) y F2 (p) son absolutamente convergente en p =p0, entonces

también es absolutamente convergente en p0 la integral del producto de convolucion dada por la

Ec. [22] y se verifica que:

[ ] )()(..)().()().( 210 2121 t f t f dt et f t f p F p F pt •== −∞

∫ L [27]

Escrita en forma completa la fórmula del teorema de convolucion nos dice:

∫∫ −=−= t t

d f t f d t f f p F p F 0 210 2121 )().()().()().( τ τ τ τ τ τ LL [28]



110

)(1 τ f )(2 τ f

)(1 τ − f

)().( 21 τ τ f t f −

)(2 τ f

)(1 τ −t f

)().( 21 τ τ f t f −

)().( 21 τ τ f t f −

1t t =

)(2 τ f

)()()().( 210 21 t f t f d f t f Area t

•=−= ∫ τ τ τ

B

d)

A

a)

τ

τ

τ

τ

τ

τ τ

τ τ

τ

b)

c)

a)

b)

c)

A

A

Fig.4t

Fig.5

B

A

A.B

A

B

)( 11 τ −t f

0=t

)(2 τ f

)().( 21 τ τ f t f −

)( 21 τ −t f

A.B

)(2 τ f

2t t =

A.B

A

B

)().( 21 τ τ f t f −

)(2 τ f

d)

e)

f)

)( 31 τ t f −

B

A.B

3t t =

)( 14 τ −t f

A.B

A

B )(2 τ f

)().( 21 τ τ f t f −

4t t =

)()( 21 t f t f •

0 t1 t2 t3 t4

s1 s2 s3 s4

)(1 τ − f

)( 11 τ −t f

e)

t

Área = S1

Área = S2

Área = S3

Área S4

Área = 0 S0



111

Antitranformación empleando el Teorema de Convolución

Cuando se debe antitranformar una expresión que puede descomponerse en el producto de dos

funciones cuyas transformadas inversas son conocidas, el Teorema de Convolución permite

resolver el problema ventajosamente.

Ejemplo 1: Antitranformar la repuesta frecuencial.

)).(()(

21

0

p p p p

A p R

−−=

Esta expresión puede escribirse:

)().()( 21 p F p F p R =

Donde:

)()(

1

01

p p

A p F −

= y)(

1)(2

2 p p

p F −

=

Cuyas antitranformadas son:

)(..)()( 1011 t e A p F t F

t p== 1-..L

)(.)()( 222 t μe p F t F t p== 1-..L

De acuerdo a la Ec. [27], puede escribirse:

)()()().()()( 2121 t r p R p F p F t F t F ===• 1-..1-.. LL

Donde, según la Ec. [25] es:

∫ −=•= t

d f t f t f t f t r 0 2121 )().()()()( τ τ τ

Luego reemplazando en esta última expresión, los valores de )(1 t f y )(2 t f hallados:

( )∫= −t τ pτ t p τ d ee At r 0 0 21 ..)( Valida para t > 0

( ) ( ) t

τ p pt pt τ p pt pt τ pτ pt p

p p

ee Aτ d ee Aτ d eee At r

012

.

00.

00012

1121211 ....)(⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−=∫=∫=∴

−−−

Resultando finalmente:

( ) ( )t μee p p

At r

t pt p ..)( 12

12

0 −−

=∴



112

Obtención por Convolución de la repuesta temporal a partir de la repuesta al impulso

Habíamos visto que:

)()( pT p R =δ

Y además:

)()()().( t r p R p E pT L==

Por lo tanto haciendo las siguientes relaciones con respecto a la fórmula de Convolución, y en la

que denominamos

a )()()()()( 11 t r t f p R pT p F δδ =∴=→

)()()()( 22 t et f p E p F =∴→

Luego aplicando la Ec. [28] tendremos:

∫ −==== t

d t f f t r p R p E pT p F p F 0 2121 )().()()()().()().( τ τ τ LL

Y finalmente.

∫∫ −=−= t t

d et r d t er t r 00

)().()().()( τ τ τ τ τ τ δ δ

[29]

La Ec. [29] indica que la repuesta temporal a una excitación arbitraria es igual al producto de

Convolucion de la repuesta al pulso, por la excitación expresada en el dominio del tiempo.Dicho de otro modo, si se conoce la repuesta temporal al impulso unitario ya sea en forma

analítica o experimental, se puede determinar la repuesta a cualquier excitación.

Gracia a este resultado, es posible hallar la repuesta a una excitación que no posea transformada

de Laplace o que no esta dada en forma gráfica (medible a través de un osciloscopio)

Se adopta para la resolución, la primera o la segunda expresión de la Ec. [29], según cual sea la

función más fácil de trasladar.-



113

Ejemplo 1: Hallar la repuesta del circuito RC serie, a una excitación tipo escalón V, por

aplicación del teorema de convolución.

Definimos como repuesta a la tensión Vc(t) sobre el capacitor.

)()(.)( t et V t ve == [30]

Sabemos que:

)(

)(

)(

)()(

pVe

pVc

p E

p R pT ==

Pero

C p p I pVc

.

1).()( = Siendo

C p R

pVe p I

.

1)(

)(+

=

C R pC R pVe

pVc

RC p pVe

C p

C p R

pVe pVc

.

11

..

1

)(

)(

1..

1).(

.

1.

.

1)(

)(

+

=∴+

=

+

=∴

Luego:

⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ +

=

C R p

C R pT

.

11

..

1)(

Pero.

( )⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧

+==∴=

C R pC R pT t r p R pT

./1

1.

.

1)()()()( 1..-1..- LL

δ δ

Luego.)(.

.

1)( ./ t e

C Rt r

C Rt μ δ

−= [31]

Aplicando la formula de convolucion Ec. [29], para la )(t r δ desplazada, resulta [32]

∫∫∫ −

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−

==−=•= t C RC Rt t

C R

t

t

c d ee

C R

V d V

C R

ed t et r t et r t v

0

././

0

.

0.

..)().()()()( τ τ τ τ τ

τ

δ δ

[ ] [ ]1.....

...

)( ././0

././

0

././ −=== −−− ∫ C Rt C Rt t C RC Rt t C RC Rt

c eeV eC ReC R

V d eeC R

V t v τ τ τ

i(tv e(t)

C v C(t)R



114

Finalmente:( ) )(.1.)( ./

t eV t v C Rt

c

−−= [33]

Ejemplo 2: Resolver el mismo problema anterior en forma gráfica, suponiendo que la repuesta al

impulso dada por la Ec. [31], ha sido obtenida experimentalmente, mediante un osciloscopio ytiene la forma indicada en la figura 4-d).

La excitación dada por la Ec. [30], esta representada en la Fig. 4- a)

Teniendo en cuenta la segunda igualdad de la Ec. [28], la Ec. [32] se puede escribir.

∫ −=•= t

c d r t et r t et v

0)().()()()( τ τ τ

δ δ [34]

En la Fig.5, se ha denominado )(1 τ −t f a )(1 τ −t e y )(2 τ f a )(τ δ

r y se ha resuelto en forma

gráfica la Ec. [34], dando como resultado la curva de carga del capacitor mostrada en la Fig. 5-f),que corresponde a la solución )(t vc

hallada en el ejemplo anterior.

El cambio de denominación de las funciones sólo tiene por finalidad el poder utilizar la misma

gráficas de la Fig. 4 y 5.-

Ejemplo 3: Hallar la repuesta del circuito RL serie de la figura, a una excitación del tipo

cosenoidal, por aplicación del Teorema de Convolución.

Definimos como repuesta a la corriente i(t) que circula por el circuito.

t ωV t e cos.)( =

Llamamos:

L p R p Z .)( += , además )().()(

)()( pY p E

p Z

p E p I ==

Pero:

)/(

1.

1

.

1)()()().()().()()(

L R p L L p R pY pT p E pY p E pT p R p I

+=

+==∴===

Pero:

)(.1

)/(

1.

1)()()()(

)/(

t e LC R p L pY t r p R pT t L R

μ δ δ

−

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+==∴= 1-..1-..

LL

i(t)e(t) L

R



115

)(.1

)( )/(t e

Lt r t L R μ

δ

−=∴

Ahora indicamos la función excitación cosenoidal como parte real de:

t jeV t e ω .Re)( = y la escribimos t jeV t e ω .)( = , luego hallamos la parte real Re

Aplicando la formula de convolución (Ec. [29]), para la e(t) desplazado, será:

τ d ee L

V τ d τ t eτ r t r τ t ω jt

τ L

R

t δ

)(00 .)().()( −−−

∫=∫ −=

τ τ τ τ ω

ω ωτ τ

ω ωτ ω τ

d ee L

V d eee

L

V d eee

L

V t r

t L

R j

t j jt L

R

t j jt jt L

R

......)(0

)(

00 ∫∫∫ +−

−− ===

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡−

+−=

=⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡−

+−=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−=

−−

+−+−

t L

R

t ω jt ω j

t L

Rω jt ω j

t τ

L

Rω j

t ω j

ee Lω j R

eV

e R Lω j

eV

L

Rω j

ee

L

V t r

.1.

1.

)(.)(

)(

0

)(

[ ] t L Rt ω jt L Rt ω j

e Lω j R

V

e Lω j R

V

t r ee Lω j R

V

t r

)/()/(

..)(..)( −−

+−+=⇒−=

Finalmente la repuesta, es la parte real de esta ultima expresión.

Por lo tanto hallaremos la parte real de:

t L Rt ω j e Lω j R

V e

Lω j R

V )/(.. −

+−

+

Tomaremos el primer miembro:

( ) =−++

=+−=

+ φ jsenφ Lω R

Lω R

eV e

Lω R

Lω j RV e

Lω j R

V t ω j Lω jt ω j cos.)(.)(

..)(

)(. 222222

Donde ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ = R

Lωtg arcφ

..

( ) ( )( ) =+−+

=−+

= t ω jsent ωφ jsenφ

Lω R

V eφ jsenφ

Lω R

V t ω j cos.cos.)(

.cos.)( 2222

( ) =+−++

= t ω senφ sent ωφ jsenφt ω jsent ωφ

Lω R

V .cos.cos.cos.cos.)( 22



116

Dejando nada mas que la parte real de esta expresión

( ) )cos(.)(

.cos.cos.)( 2222

φt ω

Lω R

V t ω senφ sent ωφ

Lω R

V −

+=+

+=

Que es la primera parte de la repuesta y representa el régimen permanente.

Trabajaremos ahora con el segundo término:

).(cos)()(

.)(

)(

.. 22

22

)/(

22

)/()/( φ jsenφwL R

Lω R

eV Lω j R

Lω R

eV e

Lω j R

V t L Rt L Rt L R −+

+=−

+=

+

−−−

Tomando la parte real de la última expresión:

φ

Lω R

eV t L R

cos.)(

.22

)/(

+=

−

Que es el segundo término de la repuesta y que la exponencial nos está hablando de un

amortiguamiento que tiende a cero con el tiempo, representando por tanto, el régimen transitorio.

Luego, la expresión total de la repuesta, será:

φ Lω R

eV

φt ω Lω R

V

t r

t L R

cos.)(

.

).(cos)()( 22

)/(

22 +−−+=

−



117

Obtención de la repuesta temporal en base a la repuesta al escalón. Integrales de Duhamel

Sea un sistema con condiciones iniciales nulas, caracterizado por una función operacional T(p) ,

que no posee polos en el infinito.

Si se lo excita con una señal e(t), que no incluya impulsos y sea transformable por Laplace,

puede escribirse:

)().()( p E pT p R = [35]

Además sabíamos que la transformada de la función escalón unitario valía.

p

t 1

)( =μ .L

Además por la Ec. [35]

)(.)(1

).()( p R p pT

p

pT p Rμ

μ =⇒=

Introduciendo ésta última expresión en la Ec. [35] tendremos.

)().(.)( p E p R p p R μ= [36]

Vemos si se conoce la repuesta)(t

r μ

y además la expresión analítica de la excitación, habrá un

procedimiento (similar el de la Fig.16) para obtener la repuesta)(t

r a esa excitación.

Continuando con la Ec. [36], la podemos escribir:

)(.)( p F p p R = [37]

Siendo:)().()( p E p R p F = [38]

Antitransformando la Ec. [38], en base al Teorema de Comvolución, resulta:

)()()().( t et r p E p R μ μ •== .1-..Lf(t) [39]

Desarrollando el producto de Convolución según la Ec. [22] queda:

∫ −= t μ τ d τ eτ t r t f 0 )().()( [40]

Y de acuerdo a la Ec. [23]

∫ −= t μ τ d τ r τ t et f 0 )().()( [41]

Las Ecs. [40] y [41], muestran que para 0≥t es 0)0( = f , pues )(t e no posee impulsos por

hipótesis y )(t μr tampoco, por no tener polos en el infinito la función T(p).

Antitransformando la Ec. [37], se tiene:



118

)0()0()(.)(.)()( f f p F p p F p p Rt r +−=== .1-...1-...1-.. LLL

)0()0()(. f f p F p.1-...1-.. LL +−=

)().0()(.)( t δ f t f dt

d t r +=∴ [42]

Según se vio 0)0( = f

En consecuencia, reemplazando en la Ec. [42] a f (t) por sus expresiones dadas por la Ecs. [40] y

[41], resulta.

∫ −= t μ τ d τ eτ t r

dt

d t r 0 )().()( [43]

∫ −= t

μ τ d τ r τ t edt

d t r 0 ).().()( [44]

y aplicando a las Ecs. [43] y [44] la fórmula [45] para la derivación bajo el signo integral,

cuando los límites son función del parámetro, se tiene: (ver la regla de Leibnitz, Pág.95 de la

serie Schaum)

∫∂∂

+∂

∂∫ −

∂∂

= )(2)(1

)(2)(1

),().;().;(),( 11

22

t

t

t

t

φφ

φφ

dt t τ F t t

φt φ F

t

φt φ F dt t τ F

dt

d [45]

Donde 0)(1

=t φ ; t t φ =)(2

y)().();( τ τ τ μ et r t F −= ó

)().();( τ τ τ μ

r t et F −=

De esto resulta.

∫ −+= t μ μ τ d τ eτ t r t er t r 0 )().(')().0()( [46]

∫ −+= t μ μ τ d τ r τ t et r et r 0 ).().(')().0()( [47]

Donde )(' τ t r μ − y )(' τ t e − son las derivadas respecto del tiempo de )( τ t r μ − y )( τ −t e ,

respectivamente.-

Teniendo en cuenta la Ec. [23], las Ecs. [46] y [47] pueden escribirse:

∫ −+= t d t er t er t r 0 )().(')().0()( τ τ τ μ μ [48]

∫ −+= t

d t r et r et r 0

).().(')().0()( τ τ τ μ μ [49]

Las Ecs. [46], [47], [48] y [49], se conocen como integrales de Duhamel, integrales de Carson o

integrales de superposición de Boltzman-Hopkinson.

Se utiliza lo que resulte de más fácil aplicación para el problema dado.



119

Las Ecs. [46] y [48] exigen que )(t r μ sea diferenciable, mientras que las Ecs. [47] y [49] que e(t)

sea derivable. Las Ecs. [46] y [48] solo son aplicables si )0(μ r es finito y las Ecs. [47] y [49]

requieren que lo sea e(0), como se impuso en las hipótesis iniciales

Ejemplo 4: Hallar la repuesta del circuito de la Fig., cuando se la excita con una función

)(..)( t t Ta

VaV t e μ ⎟

⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ += , sabiendo que las condiciones iniciales son nulas y aplicando las fórmulas

de las integrales de Duhamel.

Definimos como repuesta a la tensión Vc (t) sobre el capacitor

)(..)( t t Ta

VaV t e μ ⎟

⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ +=

La función transferencia (calculada en el ejemplo 1) vale:

⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ +

==

C R p

C R p E

pVc pT

.

11

..

1

)(

)()(

La repuesta transformada del escalón unitario es:

C R p

C p B

p

A

C R p p

C R p p

C R p

pT p R

./1

.

.

1

1

.

1

1.

.

1)()(

++

+=

⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ +

⇒

⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ +

==μ

Antitransformando

1.

.).(1...

1. 22 =+++⇒=++⎟

⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ +

C R

A p BC A pC p p B

C R p A

De donde0;0 =+= C A B Y C RC C R A .. −=∴=

C R p pC R pC R

pC R

C R p R

./111

./1..

.1)(

+−=⎟

⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛

+−=∴ μ

e(t) C v c(t)

R



120

De tablas( ) )(.1)( ./ t et r C Rt μ μ

−−=

Aplicando la formula de las integrales de Duhamel Ec. [47] se obtiene:

∫ −+== t

d r t et r et vt c

v0

).().(')().0()()( τ τ μ

τ μ

( ) ( ) τ μ μ τ d et Ta

Vat eV t v C Rt C Rt

c .1).(.)(1.)( ./

0

./ −− −+−=∴ ∫

Resolviendo la integral queda:

( )

t

C RC Rt

c

C R

et

Ta

Vat t

Ta

Vat eV t v

0

././

.

1).(.)(..)(1.)(

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞⎜

⎝

⎛ −++−=

−−

τ

μ μ μ

Resultando finalmente:

( ) )(....)..(1.)( ././t eC R

Ta

VaC Rt

Ta

VaeV t v C Rt C Rt

c μ ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−+−= −− [50]

Nótese que el primer término es la repuesta al escalón de amplitud V, el segundo, la componente

forzada de la repuesta a la rampa de pendienteTa

Va y el tercero la componente libre de la repuesta

a la rampa mencionada.-

Si en lugar de emplear la Ec. [47] se utiliza otra de las integrales de Duhamel, por ejemplo la Ec.

[48], se llega al mismo resultado de la Ec. [50] pero en forma más laborioso.

Sin embargo, pueden presentarse problemas más complejos en los que algunos de las integrales

de Duhamel sean aplicables y otras no, por no ser derivable la excitación o no ser finito el valor

inicial de )(t r μ ó )(t e



121

Obtención de las integrales de Duhamel a partir del principio de superposición.

Consideremos un circuito lineal, invariante en el tiempo y con condiciones iniciales nulas, al que

se le aplica una excitación e(t) como la mostrada en la Fig.6, que posee una sola discontinuidad

de primera especie para t = 0.

La excitación puede ser expresada como una suma de escalones, cada uno de los cuales esta

demorado respecto del anterior en un pequeño intervalo de tiempo τ Δ .-

Esto es:

)(...

..)(.....)2(.)(.)().0()( 21

τ μ

τ μ τ μ τ μ μ

Δ−Δ

+Δ−Δ++Δ−Δ+Δ−Δ+=

ut e

it et et et et e

n

i

Que puede escribirse:

∑=

Δ−Δ+= n

ii it et et e

1

)(.)().0()( τ μ μ [51]

Si la repuesta del circuito al escalón unitario es )(t r μ , la repuesta al escalón genérico:

)(. τ μ Δ−Δ it eiresulta, por ser el circuito lineal e invariante con el tiempo:

)(.)(. τ μ μ Δ−Δ= it r et r ii

De modo que la repuesta a la excitación dada por la Ec. [51] puede expresare en base al principio

de superposición:

∑=

Δ−Δ+= n

ii it r et r et r

1

)(.)().0()( τ μ μ

Si τ Δ es pequeño, puede escribirse:

τ τ

Δ⎟ ⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛

ΔΔ=Δ .i

iee

Fig.6

τ

e(t)

e(t)

τ Δ τ Δ2 τ Δi τ Δn

1eΔ 2eΔ

enΔ

ieΔ

e(0)



122

Resultando:

τ τ τ

μ μ ΔΔ−⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ Δ

Δ+= ∑

=

)(.)().0()(1

it r e

t r et r n

i

i

Y en el límite, cuando 0→Δτ y por lo tanto ∞→n , queda:

τ τ τ

μ τ μ ΔΔ−⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ Δ

Δ+= ∑

=∞→→Δ )(.lim)().0()(

10 it r

et r et r

n

i

i

n

Donde)(' τ

τ e

ei →⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛

ΔΔ para 0=Δτ

Finalmente queda:

τ τ τ μ μ d t r et r et r

t

)(.)(')().0()( 0 −+= ∫ [52]

Que coincide con la forma de la integral de Duhamel dada por la Ec. [49]

Operando sobre la Ec. [52] se pueden hallar las Ecs. [46], [47] y [48]

En forma análoga puede hallarse la integral de convolución por superposición, caracterizando a

la excitación como una suma de impulsos desplazados.-

Ejemplo 5: Hallaremos la repuesta de un amplificador colector común de dos etapas, con

acoplamiento RC, cuando se lo excita con la función escalón.

Suponemos:a) Las dos etapas son iguales

b) El análisis valdrá para escalones de duración t < C.r b.

Como vemos la tensión de entrada a la segunda etapa es en este caso la repuesta al escalón )(t r μ

de la primera.

+v1(t)=µ(t)

v2(t)

R e

c b

e

-Ee

R b

⇒ A 2ª Etapa

C



123

Por lo tanto primeros calcularemos la repuesta al escalón de la primera etapa.

Para ello dibujamos el circuito equivalente de audio frecuencia:

Dibujamos el circuito ya transformado.

Reduciendo el circuito, nos queda:

a) Cálculo de V2(p) del circuito 1.

Consideremos la reducción de ge y Ge que están en serie, en un solo resistor de conductancia:

ee

ee

ee G g

G g

Rr G

+=

+=

1 [1]

La ecuación en el nodo 2 será:

(g b + G + gc).U2 – g bE1(p) = -α.Ie = -α(-G.U2) [2]

)1.()(. 12

αG g g p E g U

bc

b

−++=∴

La corriente Ie será entonces:

)1.(

)(... 1

2αG g g

p E g g U G I

cb

be −++

−=−=

I(p) )( p R μ

pC .1

r b +

V2(p)

Circuito 2

p p E

1)(1 = Ge r b

C

)( p μ R

V2(p)

gc

ge

Ie e b

αIeG

g b

Circuito 1

2



124

El voltaje de salida está dado por:

=−

+

++

+=

−++=−= )(.

)1.(111

1.

)1.(

)(....)( 1

12 p E

α

Rr r r

r Rr

R

αG g g

p E g G R I R pV

eecb

bee

e

cb

beee

)(.)1.(.).().(

.1 p E

αr r Rr r Rr r

r R

cbeebeec

ce

−++++=

Como simplificaciones prácticas, consideramos que r c>> r e, r b, R e, nos queda:

)(.)1.(

)( 12 p E αr Rr

R pV

bee

e

−++=

Reemplazando E1(p) por su expresión, nos queda:

pαr Rr

R pV

bee

e 1.

)1.()(2 −++

= [3]

Ahora con esta expresión de V2(p), resolvemos el circuito 2:

( ) ⎟⎟

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟ ⎠ ⎞⎜⎜

⎝ ⎛ +⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

−++

−=

+

−++−=

+

−=

b

bebeb

e

b

bee

e

br C

pαr Rr r r

R

r pC

pαr Rr

R

r pC

pV p I

.1

1.

)1.(1

1.

)1.(

1

)()(

22

La )( p R μ que buscamos es b μ r p I p R ).()( =

( )=

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−++−=∴

C r p

αr Rr r r

Rr p R

b

bebeb

eb μ

.

1

1.

)1.(.)(

2

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +

−=

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −++

−=

C r p

R

C r p

αr Rr

R

b

eq

b

bee

e

11

1.

)1.(

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +

−=∴

C r p

R p R

b

eq μ

1)(



125

Antitransformando, obtenemos la repuesta en el tiempo a la excitación al escalón, de la primeraetapa

C br t e Rt μr eq

./.)(1

−−=

Poniendot β

e At μr ..)(1

−−=

Luego la excitación de la segunda etapa es:

t β e At e ..)( −=

Aplicando la fórmula [47] de Duhamel.

τ d τ t eτ μr t μr et r t

)('.)()().()( 00 −∫+=

Y teniendo en cuenta que la )(t r μ de la segunda etapa es igual a la de la primera, tenemos:

( τ d eα Ae Ae A At r τ t β t τ β t β μ .....).).(()( )(

0..

2 −−−−

∫ −+−−=

).(..2..2..0

...2.2)(2 t t β

e β At β

e Aτ d τ β

et τ β e

t β e β A

t β e At μr

−−−=∫ −−−−=∴

( )t β e At r t β μ .1..)( .2

2 −=∴ −

En la figura siguiente, se comparan las respuestas de un amplificador de una etapa y otro de dos

etapas, ambos con tensión total normalizada.

Se debe tener en cuenta dos cosas

1º etapa

2º etapa

t

t =r b.C

1

)(.1

2 t r R

μeq



126

1) La tensión normalizada para dos etapas: es:

)(.1

2

2

t r R

μeq

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

Tensión normalizada para una etapa es:

)(.1

2 t r R

μeq

2) Las curvas no deben usarse para valores mayores de C r t b.= en razón de la condición b).-



127

RESOLUCIÓN DE CIRCUITOS POR APLICACIÓN DE LA SERIE O INTEGRAL DE

FOURIER

Introducción

La aplicación más importante de la serie de Fourier para los circuitos, es el cálculo de los

espectros de frecuencia de ondas periódicas o no periódicas, pero no sinusoidales.-

Estas ondas se aplican como excitación, a un circuito cuya función transferencia es en general,

función de la frecuencia y se escribe como T(jω), cuyo modulo y fase son funciones de ω y puede

escribirse:

)(.)()( ωφ jeωT ω jT

−= [53]

El signo de φ se toma negativo por convención.

Significa suponer que la transferencia atrasa la señal introducida a la entrada.

Transformada de Fourier para ondas periódicas

Habíamos visto en el capitulo anterior que la transformada y la antitransformada de Fourier de

una función f (t), periódica de periodo T y de frecuencia fundamentalT

π ω

21 = esta dada por las

expresiones:

∫= −−2/

2/ .).()( 1T T

t ω jn dt et f ω F [54]

∑= ∞

−∞=n

t ω jneω F

T t f 1).(

1)( [55]

Donde conociendo la f (t), la fórmula de la Ec. [54] nos da su espectro de frecuencia.

Inversamente, conociendo el espectro de la función [ ])(ω F , la Ec. [55] nos permite reconstruir la

función.

Ya habíamos visto en el capitulo anterior el cálculo del espectro de frecuencias de algunas ondas

periódicas no sinusoidales.

Veamos como se aplica esto, a la resolución de circuitos.

Cuando una excitación, representable por una serie de Fourier

∑∞

−∞=

=n

t jne E

T t e 1).(

1)( ω

ω



128

se la aplica a un circuito o sistema cuya función transferencia asociada es T(j.n. ω1), la repuesta

temporal esta dada por la expresión.

( )∑∞

−∞=

=n

t jne E jnT

T t r 1

1 ).(.1

)( ω ω ω [56]

La Ec. [56] es la fórmula que se debe aplicar, para el análisis de circuitos excitados por

funciones periódicas, no sinusoidales.

Trasformada de Fourier para ondas no periódicas

Habíamos visto también en el capitulo anterior, que la expresión de la transformada de Fourier,

para ondas no periódicas, estaba dado por:

∫∞

∞−

−= dt et f F t j .0).()( ω

ω [57]

Es evidente que la transformada F(ω) de la Ec. [57], cumple una función análoga a la F(ω) dada por

la Ec. [54], con la diferencia de que ahora el espectro de frecuencias es continuo, como ya lo

vimos en el capitulo anterior.

La función f(t)o antitransformada, se recupera integrando su espectro F(ω) respecto de la

frecuencia .

∫∞∞−= ω ω

π

ω d e F t f t j .).(21)( [58]

En la práctica, una función periódica puede tratarse como no periódica, porque “se puede

considerar como pulso aislado, a una función, periódica (o no), con duración tal que entre un

pulso y el siguiente se haya pasado el estado transitorio

Esto nos permite, en los casos en que puede hacerse esta simplificación y facilitar el análisis por

aplicación de la integral en lugar de la serie

De la misma manera que con las expresiones [54] y [55], podemos conociendo una excitación no periódica, hallar su espectro (continuo) mediante la Ec. [57].

O bien, conociendo dicho espectro, podemos reconstruir la función del tiempo utilizando la

Ec. [58]



129

Aplicación de la integral de Fourier

Plantearemos el problema fundamental del análisis de circuitos conocidos la excitación e1(t) y latransferencia como función continua de la frecuencia T(jω), hallar la repuesta e2(t)

La resolución comprende los siguientes pasos:

a) Dada e1(t), hallamos su espectro E1(ω)

∫∞

∞−

−= dt et e E t j .

11 ).()( ω ω

b) Conociendo E1(ω) y T(Jω), hallamos el espectro de la repuesta E2(ω)

)().()( 12 ω ω jT E E = [59]

c) Por ultimo conocido E2(ω), hallamos la función del tiempo correspondiente a ella, e2(t).

∫= ∞∞−

− ωd eω E π

t e t ω j .22 ).(21)(

Como vemos la Ec. [59] responde a la expresión general para Fourier de:

)().()( ω ω E jT R = [60]

Ejemplo 1: Aplicación de la integral de Fourier a un caso sencillo de síntesis:

Hallar los parámetros que conforman la impedancia Z(jω) (síntesis) que ante una excitación I(t)

conocida, nos dé una repuesta V(t) deseada.

Z(jω))()( t r t v

μ =

)()( t t I =

T(jω) e2 (t)e1(t)



130

Conocemos en este caso la excitación, que es un generador de corriente en forma de escalón

unitario, y conocemos también la repuesta temporal, que es la caída de tensión sobre la

impedancia Z(jω).

Deseamos entonces, hallar los parámetro de Z(jω), que cumple con esta condición.

El procedimiento consiste, de acuerdo a lo visto en el párrafo anterior y a través de la Ec. [60], en hallar los espectros de la excitación y de la repuesta, y hacer luego el cociente entre ambos

que nos dará la función transferencia (en este caso la impedancia Z).

Las funciones excitación y repuesta están expresada por.

Como vemos las dos funciones no son periódicas, de ahí que para calcular los espectros de

frecuencias se deberá aplicar la integral de Fourier.

También recordemos que la función escalón unitario, no cumplía con el criterio de convergenciay por tanto, para hallar la transformada de Fourier, había que multiplicar por una exponencial.

t αt α

αeet μt μt I ..

0).(lim)()( ===∴ −

→

Luego:

dt edt edt eeω F t ω jαt ω jt ω jt α∫+∫=∫= ∞ +−−

∞−−∞

∞−−

0).(.0..

1 .)0(.)(

ω jω F

ω jαω F

α

1)(

)(

1lim)( 1

01 =⇒

+=∴

→

Luego el espectro de la excitación esta dada por:

ω ω

j I

1)( =

Calcularemos ahora el espectro de la repuesta

t t ebet V 21 .)( α α −− +=

Excitación: )()( t t I = Repuesta: t t ebet V 21 .)( α α −− +=

I(t)

1

t

b

t



131

( ) ( ) =++=+=∴ −∞ −−−

∞−

−∞

∞−

−−

∫∫∫ dt eebedt edt eebeV t jt t t jt jt t ω α α ω ω α α ω ...0..)(0

210

21

dt ebdt edt eebdt eeωV t ω jαt ω jαt ω jt αt ω jt α

∫+∫=∫+∫= ∞ +−∞ +−−∞ −−∞ −0

)(0

)(00

2121 ..)(

ω α ω α ω

j

b

jV +++=∴

21

1)(

Luego la impedancia en régimen permanente sinusoidal, será:

b jb j

j

bj

j

j

I

V j Z

ω

α

ω

α ω α

ω

ω α

ω

ω

ω ω

21211

1

1

1

)(

)()(

++

+=

++

+==

Analizando esta fórmula, podemos decir que la impedancia total está constituida por dosimpedancias en serie:

21)( Z Z j Z +=ω

Siendo

ω

α

j

Z 1

1

1

1

+=

y

b jb

Z

ω

α 22 1

1

+=

Por último, vemos que estas dos impedancias están formadas por dos impedancias en paralelo.

1

1

1

1 111)(

)(1)(

α ω

ω ω

ω

j

Y Y jY jY

j Z L R +=+=⇒=

⇒==∴ R

Y R1

1 1= R

⇒===

1

1111

α ω

ω j

L j Z Y

L

L

1/1 α = L

Lo mismo para Y2.

2

2

11

α ω

b j

bY +=

de donde b R = y

2α

b L =



132

Por último el circuito sintetizado nos queda.

Ejemplo 2: Espectro de un pulso rectangular aislado.

Sea el pulso de la figura y cuya expresión es:

Para hallar su espectro E(ω) aplicamos la Ec. [57]

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−==

−−∫

1

0

1

0.)(

T t j

T t j

j

e E dt e E E

ω ω

ω

ω ( ) )(11 ω ω

ω E e j

E T j =−− − [61]

Pero11cos1 T jsenT e

T jω ω

ω −=−

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−=∴

ω

ω

ω

ω ω 11 cos1

.)( T

jT sen

E E

En este análisis la parte real representa la envolvente del espectro de los términos coseno y lonegativo de la parte imaginaria, de la envolvente del espectro de los términos seno.

e(t) = 0 para t < 0e(t) = E para 0 ≤ t < T1 e(t) = 0 para t > T1

e(t)

E

t

T1

I(t)

L=1/α1

V(t)

R=1

R=b L=b/α2



133

Como caso general, el espectro debe estar representando por dos funciones, los que pueden ser

indistintamente funciones de los términos seno y coseno, o funciones de amplitud y fase.

Como en el caso de la serie de Fourier, el análisis puede a menudo simplificarse y reducirse a

una única función si se elige el eje de tiempo de modo que la función exhiba una conveniente

simetría.Por ejemplo, suponemos que elegimos el origen del tiempo de modo que el pulso empiece en el

instante t = -T1/2 y termine en el instante +T1/ 2.

Hay entonces sólo términos coseno y la Ec. [57] da:

∫−

−− ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−==

2/1

2/1

21

21

..)( T

T

T j

T j

t jee

j

E dt e E E

ω ω ω

ω ω

( )2/

2/..

2.

2)(

1

11

1

T

T senT E

T sen

E E

ω

ω

ω ω == [62]

Puesto que E(ω) es real, hay sólo términos coseno con la amplitud relativa dada por la Ec. [62].

Esto ya lo habíamos calculado y representado en el capitulo anterior.

Consideraremos ahora la aplicación de la integral de Fourier en el cálculo de la repuesta de los

así llamados redes ideales, con el objeto de ilustrar el procedimiento.

Un importante resultado de estos cálculos demostrara que estos circuitos en particular no son

físicamente realizables.



134

Respuesta transitoria de un filtro pasa bajo (L.P) ideal a una función escalón

Consideremos la repuesta a la función excitación escalón unitario.

Podría esperarse que la descomposición de esta función escalón exija sólo hacer ∞→1T en la

Ec. [61].

No obstante, prefiéranse otros métodos a causa de la dificultad para interpretar el significado de

las funciones sinusoidales en el límite infinito.

Podemos considerar al filtro pasa bajo (LP), como un cuadripolo simétrico pasivo y en

condiciones de adaptación, o sea, cargada con su impedancia característica Z0.-

El filtro pasa bajo (LP) tiene la propiedad de transmitir todas las frecuencias componentes entre -

fc y +fc, sin modificación, excepto por un posible retardo de fase o de tiempo β(ω), y que elimina

por completo todas las frecuencias de valor absoluto mayor que fc.

Como se verá mas adelante, se define como función o constante de propagación de un cuadripolo

en condiciones de adaptación, a la función de transferencia de tensiones dada por la expresión

El filtro pasa bajo (LP), esta conformado por elementos puramente reactivos, lo que nos dice que

α(ω) = 0 y a su vez definimos el retardo de tiempo de la señal al pasar por el cuadripolo como.

td ωω β =)(

En definitiva la función transferencia de tensión T(j ω) queda expresada por:

td ω jeω jT −=)( Para –fc < f < fc

0)( =ω jT Para | f | > fc

e1(t) T(jω) e2 (t) = r (t)

β(ω) | T(Jω) |

ω

-ωc ωc

)(

1

2)( ω γ ω

−== e

e

e jT

β(ω)

Donde

)()(

1

2 .)()()()( ω β ω α ω ω β ω α ω γ

jee

e

e jT j

−==∴+=

α(ω)= Atenuaciónβ(ω)= Retardo de fase



135

Para hallar la repuesta. e2(t) desarrollamos los pasos dados en la Pag. 36.

a) Para E1(ω) utilizamos la expresión dada por la Ec. [61] y luego haremos tender a ∞→1T

b) Conocemos E1(ω) y T(j ω) , hallamos el espectro de la repuesta E2(ω)

( ) td ω jT ω jee

ω j

E ω E −−−= .1)( 1

2

c) Conociendo ya E2(ω) hallamos e2(t) por aplicación de la Ec. [58]

( ) ωd eeeω j

E

π t e t ω jtd ω jT ω j ..1

2

1)( .

21∫ −= ∞

∞−−−

ωd eω j

e

π

E t e td t ω jcω

cω

T ω j)(

2 .)1(

2)(

1 −−

−

∫ −

= [63]

∫∫ −= −

−−−

−

−−cω

cω

T td t ω jcω

cω

td t ω j

ωd ω j

e

π

E ωd

ω j

e

π

E t e

)()(

21

22)(

Por simetría tenemos:

∫⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ −−−−

−−−∫ ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −−−−−= cωcω ωd

ω j

T td t ω je

T td t ω je

π

E ωd

ω j

td t ω je

td t ω je

π

E t e 00

)1()1(

2

)()(

2)(2

∫ +−

+∫ −

=∴ cωcω ωd ω

td t T ω sen

π

E ωd

ω

td t ω sen

π

E t e 0

102

)()()( [64]

Nos queda así, la función trascendental definida por la expresión

dx x

senx Xc∫0

Se llama “seno integral de x” y se abrevia Si(x).

El valor de esta función es un desarrollo en serie dado por.

.......!7.7

7!5.5

5!3.3

2)( +−+−= x x x x xSi



136

La representación de esta función es la de la Fig. 7

Cuando ∞→ X , el valor de Si(x) 2/π → .

La Ec. [64] puede entonces escribirse:

[ ] [ ] )()()( 12 td t T cωSitd t cωSiπ

E t e +−+−= [65]

Si se hace ahora tender a infinito T1 de modo que, para cualquier valor de t-td, es T1 mucho

mayor que t-td, entonces, cualquiera que sea el valor de ωc, la Ec. [65] viene dado por:

[ ])(2

)(2 td t ωSiπ

E E t e c −+= [66]

La Fig. 8 ilustra la representación gráfica de esta expresión, que no es sino la repuesta transitoria

del filtro L.P ideal a la función escalón )(t μ E

E

E/2

1/fc

td

Fig. 8- Repuesta del filtro L.P a la función escalón )(t μ E

1/2fc

t

Si(x)

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

2

1

-2

-1

0

Fig. 7- Grafica de Si(x)



137

Es evidente que el efecto de aumentar el valor de T1 hasta infinito en el pulso aplicado consiste

en introducir un termino continuo E/2 en la expresión.

Debe observarse en la Fig. 8, dos casos:

a) El punto de 50 % de repuesta, E/2, se produce un lapso td después de t =0.Además, la curva de repuesta de la Fig. 8 comienza en ∞=t .

Esto significaría que el circuito tiene una propiedad anticipatoria y comienza a responder

antes de aplicar la función excitación.

Es evidente que esta situación es imposible y surge en este problema por el hecho de haberse

elegido independiente y arbitrariamente las características estacionarias de amplitud y fase

(o retardo).

b) El “tiempo de establecimiento” o “repentinidad”, de la repuesta en la vecindad de

t = td, esta relacionado con la frecuencia de corte f c a través de las siguientes expresiones que

se deducen de la Fig. 8.

Tiempo de establecimiento fc

τ e 2

1= pero

π

cω fc =2

ce ωπ τ /=∴

y por otra parte:

π

ω E

dt

t de

τ

E

dt

t de c

e

=∴=)()( 22

O sea que el tiempo de establecimiento es independiente del tiempo de retardo td, pero depende

del ancho de banda (es inversamente proporcional a ωc).

Se deduce de ello que toda señal que atraviesa un circuito de banda pasante finita, tienen un

tiempo de establecimiento no nulo.

Físicamente esto se interpreta en el sentido de que las señales que varían rápidamente en el

tiempo, requieren para su transmisión, filtros con altas frecuencias de corte (filtros de banda

anchas).

En cuanto al tiempo de retardo, depende de las características de fase de la transferencia.

En general se mide por:

ωd

φd td =



138

Las consideraciones últimas ponen en evidencia la imposibilidad de obtener un filtro de

características ideales (defasaje nulo en todas las frecuencias y atenuación con pendiente infinita

en las frecuencias de cortes).

Pulso rectangular de duración T1 aplicado a un filtro LP. ideal

En este caso aplicase la tensión, cuya transformada de Fourier esta dada por la Ec. [62], al filtro

ideal cuya transferencia T(jω) ya conocemos.

Por lo tanto podemos hallar la transformada de la repuesta E2(ω).

td ω j

T ω j

T ω j

eeeω j

E ω E ω jT ω E −−

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ +−== ..)().()( 22

12

11

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ −=

⎟ ⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ +−⎟

⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ − td

T ω jtd

T ω j

eeω j

E ω E 22

2

11

.)(

Conocida E2(ω) hallamos e2(t) por aplicación de la Ec. [58]

ωd eeeω j

e

π t e t ω j

cω

cω

td T

ω jtd T

ω j

....2

1)( .22

2

11

∫⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=−

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −

ωd ω j

e

π

E ωd

ω j

e

π

E t e

c

c

c

c

ω

ω

ω

ω

td t T

ω jtd t T

ω j

.2

.2

)(22

2

11

∫ ∫−=− −

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −+

Por simetría.

ωd ω jee

π E ωd

ω jee

π E t e c cω ω

td t T

ω jtd t T

ω jtd t T

ω jtd t T

ω j

.2

.2

)(0 0

22222

1111

∫ ∫

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−+

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

⎟

⎠

⎞⎜

⎝

⎛ +−−⎟

⎠

⎞⎜

⎝

⎛ +−⎟

⎠

⎞⎜

⎝

⎛ −+−⎟

⎠

⎞⎜

⎝

⎛ −+

ω ω

ω

π ω

ω

ω

π

ω ω

d

td t T

sen E

d

td t T

sen E

t ec c

.22

..)(0 0

11

2 ∫ ∫⎟

⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ +−

+⎟

⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ −+

=

Finalmente:



139

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ +−+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ −+= td t

T Sitd t

T Si

E t e

cc 2.

2..)( 11

2 ω ω π

[67]

Los dos términos de la Ec. [67] aparecen entonces como en la Fig. 9 para el caso en que

fc = 1/T1. La repuesta total e2(t) esta también representada en la Fig. 9.-

Se observa que la solución de la Ec. [67] es la misma que la que se obtiene superponiendo dos

soluciones del tipo de la obtenida con la Ec. [66], con un adecuado desplazamiento de los ejes de

tiempos.-

Si fc es igual a 1/2T1 , las dos funciones y su suma aparece como la Fig. 10.-

4

3

2

1

-1

-2

-3 -2 -1 1 2 3

[ ]

[ ])2/(

)2/().(

1

12

td t T Si

td t T Si E

t e

c

c

+−+

−+=

ω

ω π

Fig. 9- Respuesta de un filtro L.P. ideal, a un pulso rectangular de duración T1 =1mseg.La frecuencia de corte del filtro es fc = 1Kc/S.La repuesta y sus componentes se representan en forma normalizada.-

[ ])2/( 1 td t T Si c −+ω

[ ])2/( 1 td t T Si c +−ω

[ ])2/( 1 td t T Si c +−ω

[ ])2/( 1 td t T Si c −+ω

.).( mseg t t d −



140

Si la fc es igual a 2/T1, las dos funciones y su suma son como se ve en la Fig. 11

Por lo tanto, a medida que la frecuencia de corte aumenta, la tensión de salida se va pareciendo

mas a la tensión de entrada.

4

3

2

1

-1

-2

-3 -2 -1 1 2 3

[ ]

[ ])2/(

)2/().(

1

12

td t T Si

td t T Si E

t e

c

c

+−+

−+=⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛

ω

ω π

Fig.- 11- Respuesta de un filtro L.P a un pulso rectangular de duraciónT1 =1m.seg. Con fc = 2Kc/S.

[ ])2/( 1 td t T Si c −+ω [ ])2/( 1 td t T Si c +−ω

.).( mseg t t d −

[ )2/( 1 td t T Si c +−ω

[ ])2/( 1 td t T Si c −+ω

4

3

2

1

-1

-2

-3 -2 -1 1 2 3

[ ]

[ ])2/(

)2/(

1

1)(2

td t T Si

td t T Si E

e

c

ct

+−+

−+=⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛

ω

ω π

Fig. 10. Respuesta de un filtro L.P ideal a un pulso rectangular de duraciónT1 =1mseg. Con fc = 500c/S.

[ ])2/( 1 td t T Si c −+ω [ ])2/( 1 td t T Si c +−ω

.).( mseg t t d −

[ ])2/( 1 td t T Si c +−ω

[ ])2/( 1 td t T Si c −+ω



141

Es evidente que la fc tiene que ser por lo menos igual a 1/2T1 para que la reproducción del pulso

sea aceptable.

Estos hechos permiten sacar ciertas conclusiones con respectos a los circuitos de radio

frecuencias utilizadas en comunicación.

En los circuito telegráficos de tele impresión, se asignan siete intervalos de tiempo a cada grupode código literal, y durante cinco de estos intervalos puede o no estar aplicada la tensión

intervalo por intervalo, según el código literal trasmitido.

Si se trasmite. 60 palabras por minuto y cada palabra contienen 5 letras, el número de pulsos

posibles por minuto es:

n = 60 * 5 * 7 = 2.100

Vale decir, hay 35 pulsos posibles por segundo, luego T1 =1/35.

El sistema de transmisión debe diseñarse para trasmitir frecuencias de hasta 18c/s, preferiblemente más.

En televisión, por otra parte, se ha establecido que deben trasmitirse 30 imágenes por segundo,

con un detalle de alrededor de 250.000 puntos cada una.

Por lo tanto, el pulso más breve por reconocer tendría una duración aproximada de

1/7.500.000 seg.

Luego el sistema debe ser capaz de trasmitir hasta la frecuencia de 3,5 M c/s, por lo menos, el

ancho de banda de los trasmisores de video se ha normalizado en 4 M c/s.-

Respuesta transitoria de un filtro pasa banda ideal (B.P) a la función escalón

Sea un filtro B.P ideal cuya característica de módulo y fase son ahora las representadas en la

Fig. 12

º

- ω

Fig. 12-Característica de amplitud y fase de un filtro pasa banda (B.P) ideal

1

ω0- ω0

β(ω)

β(ω) β(ω)

β(ω)

ω1 ω2- ω1- ω2

ω

Tj(ω)



142

En un filtro B.P. ideal se transmiten sólo la frecuencia comprendidas entre ω1 y ω2, las dos

frecuencias de cortes, y, cuando se usan expresiones en que intervienen frecuencias negativas,

también las frecuencias comprendidas entre -f 1 y –f 2.

La función transferencia del filtro (B.P) se expresa por:

td ωω jeω jT )( 0).( −− Para

21 ω ω ω ≤≤

Como vemos existe igualmente un retardo de tiempo td.

A este filtro lo excitamos con una función escalón unitario e(t) = µ(t) cuya transformada ya la

calculamos en el ejemplo 1

ω j

E ω E =∴ )(1

Con estas dos expresiones podemos obtener la repuesta trasformada:

td je

j

E E

)0(

2 .)( ω ω

ω ω

−−=

Conocida E2(ω) hallamos e2(t) por aplicación de la Ec. [58]

ωd ω j

eee

π

E ωd e

ω j

e

π

E t e

td ω jt ω jtd ω jt ω j

td ωω j

...

2.

2)(

00 .)(

2 ∫=∫= ∞∞−

−∞

∞−

−−

ωd

ω j

e

π

E K ωd

ω j

e

π

e E t e

td t ω jtd t ω jtd ω j

.

2

.

2

.)(

)()(

20

∫=∫= ∞∞−

−∞

∞−

−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡∫+∫=

−−−

−2

112 22

)()()(

2 ω

ω

td t ω jωω

td t ω j

ωd ω j

eωd

ω j

e

π

KE t e

Considerando la influencia de la banda de la izquierda despreciable nos quedaría:

∫=−

21 2

)()(

2 ω

ω

td t ω j

ωd ω j

e

π

KE t e

Pero aplicando un artificio y por la regla de simetría

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡∫

−−∫

−=

−−−−−−12

0

)()(

0

)()(

2 22)( ω

td t ω jtd t ω jω

td t ω jtd t ω j

ωd ω j

eeωd

ω j

ee

π

KE t e

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∫

−−∫

−= 12

002)()(

)( ωω ωd ω

td t ω senωd

ω

td t ω sen

π

KE t e

Finalmente.

[ ] [ ] td t ωSitd t ωSiπ

KE t e −−−= ()()( 122 [68]



143

Como era de esperar no aparece ningún término constante, como daba en el caso del filtro (L.P.)

pasa bajo, puesto que no es transmitido.

Las dos funciones [ ])(2 td t ωSi − y [ ]td t ωSi −(1 aparecen entonces como en la

Fig. 13-a).

La repuesta total que es la tensión de salida, está ilustrada en la Fig. 13-b)Obsérvese que la duración de la repuesta principal es inversamente proporcional a la frecuencia

de corte más baja, mientras que el tiempo de crecimiento es inversamente proporcional a la

frecuencia de corte más alta.

En la Fig. 14 se ha representado un grafico de precisión de la repuesta para el caso en que

f 2 = 2f 1.

Fig. 13- Respuesta del filtro B.P ideal al escalón )(t E = . a) Componentes Si(x) de la

repuesta. b) Forma general de la repuesta obtenida sumando las dos de a)

Si [ω2(t-td)]

e0(t)

1/f 2

b)

t

1/f 1

td

Si [ω2(t-td)]

Si [ω1(t-td)]

td t

a



144

Fig. 14- Respuesta del un filtro pasa banda ideal (B.P.) al escalón )(. t E . Con f 1 = 500c/s y f 2 = 1kc/s.

La repuesta y sus componentes se representan en forma normalizada.

Si [ω1(t-td)] f 1=05Kc

3

Si [ω1(t-td)] f 2=1Kc

(t-td)mseg

-2

-π/2

-1

1

π/2

2

-1

e2(t)(π/E) = Si [ω2(t-td)]-Si[ω1(t-td]

1 2



145

TEORIA

DE LOS

CUADRIPOLOS




Año 1982



146

INDICE Pág.

Redes de dos puertas. ........................................................................................................................... 148

Definición de cuadripolo. ........................................................................................................... .......... 148

Clasificación de cuadripolos. ................................................................................................................ 148

Tipos de problemas. ............................................................................................................................... 150

Ecuaciones, parámetros y matrices característicos. ............................................................................... 152

Definición de los parámetros de cuadripolos. ........................................................................................ 153

Parámetros de impedancia. ...................................................................................................................... 153

Parámetros de admitancia. ......................................................................................................................155

Cuadripolos activos. .............................................................................................................................. 158

Parámetros híbridos. ............................................................................................................................. 161

Parámetros h. ........................................................................................................................................ 161

Parámetros g. ........................................................................................................................................ 162

Circuitos de medición. ......................................................................................................................... 163

Parámetros de transmisión. .................................................................................................................. 165

Forma matricial. .................................................................................................................................. 166

Parámetros de transmisión inversa. ..................................................................................................... 166.Interconexión de cuadripolos en cascada. ........................................................................................... 167

Relaciones entre conjuntos de parámetros. ......................................................................................... 171

Apéndice I. .......................................................................................................................................... 173

Equivalencia de cuadripolos. .............................................................................................................. 176

Información suministrada por los parámetros. .................................................................................... 178

Tabla I de conversión de parámetros. ................................................................................................. 181

Tabla II condición de pasividad y simetría. ........................................................................................ 181

Interconexión de cuadripolos. ............................................................................................................ 183

Permisivilidad de interconexión. ........................................................................................................ 184

Interconexión serie. ............................................................................................................................. 186



147

Interconexión de cuadripolos en serie-paralelo y paralelo-serie. ........................................................ 189

Tabla III interconexión de cuadripolos. .............................................................................................. 191

Cudripolos pasivos y simétricos especiales. ...................................................................................... 192

Impedancia característica. .................................................................................................................. 193

Función o Cte de propagación. .......................................................................................................... 196

Determinación de la función de propagación a partir de lasimpedancias de cortocircuito y circuito abierto. …………………………………………………..... 199

Sección en T......................................................................................................................................... 201

Seccion en π. .................................................................................................................................... ..202

Sección en celosía. .............................................................................................................................. 203

Cuadripolo simétrico totalmente desadaptado. .................................................................................. 204

Cadripolos asimétricos. ....................................................................................................................... 209

Calculo de la impedancia imagen. ....................................................................................................... 209

Función propagación. .......................................................................................................................... 2102

Determinación de la función de propagación e impedancia imagen ,a partir de las impedancias en cortocircuito y circuito abierto. ………………….............................. 115

Cuadripolo asimétrico desadaptado. ……............................................................................................ 216

Factor de inserción. ............................................................................................................................. 218

Perdida de inserción. ........................................................................................................................... 219

Adaptación de impedancias. ................................................................................................................ 222



148

TEORIA DE LOS CUADRIPOLOS

REDES DE DOS PUERTAS

Introducción: Es propósito para esta primera parte de este capitulo exponer en forma general los principios y conceptos fundamentales asociados a las redes de dos pares de

terminales, o redes de dos puertas, y que en adelante se la denominara “cuadripolo”.

Definición de cuadripolos:

Un cuadripolo, es una configuración arbitraria de elementos de

circuito, que tiene dos pares de terminales para su conexión con el resto del esquema eléctrico,

debiendo cumplirse como condición adicional que los terminales de entrada estén vinculados con

lo de salida solo a través del interior del cuadripolo.

En la Fig. 1 se representa su símbolo, y los correspondientes sentidos de referencia para las

variables eléctricas.

En el se debe establecer además que dos terminales por ejemplo 1 y 1’ son entrada y los otros

dos 2 y 2’ son salidas.

Pueden estar unidos un terminal de entrada con uno de salida, por ejemplo: 1’ y 2’.

Al definir así quiere decir que no se puede aplicar la señal entre los terminales 1y 2.

Debido a que no se imponen restricciones sobre el tipo de circuito incluido dentro del cuadripolo,la amplitud de la teoría en cuestión queda en evidencia , por lo cual los conceptos podrán

aplicarse, por ejemplo, a circuitos amplificadores que incluyen dispositivos de vacío o

semiconductores.

Clasificación de cuadripolos

Los cuadripolos pueden clasificarse según distintos criterios a saber:

Según los tipos de elementos que incluyen:

Activos: Son aquello que incluyen generadores controlados como los estudiados en

Fig.1

I1 I2

V1 V2

1 2

2’1’

E

n

t

r

a

d

a

S

a

l

i

d

a



149

electrónica.Pasivos: Son aquellos en los cuales no se incluyen generador alguno.

Según las características de los elementos incluidos:

Lineales: Resultan aquellos en lo todos sus elemento son lineales.

Alineales: Resultan aquellos que tienen uno mas elementos alinéales.

Es de hacer notar que el análisis a realizar en este capitulo se referirá exclusivamente a los

cuadripolos lineales.

Según el sentido de transferencia de la energía:

Bilaterales: Son los que permiten la transferencia de la energía en ambos sentidos con igualfacilidad.

Unilaterales: Son los que permiten la transferencia de energía con mayor facilidad en unsentido que en el opuesto.

Según el tipo de configuración:

Simétricos: Son aquellos que presentan igual impedancia entre los terminales de entrada y los desalida.

La simetría puede ser eléctrica y topológica (presentando igual impedancia e igual geometría

entre sus dos pares de terminales) o solamente eléctrico (igual impedancia pero distinta

geometría).

Por ejemplo, en la configuración H de la Fig. 2.

Si las impedancias z3 y z4 son iguales a z1 la simetría es completa (eléctrica y topológica).

En este caso particular en que el cuadripolo presenta a su vez una simetría longitudinal (o sea la

rama superior tiene igual impedancia que la rama inferior) se dicen que son “balanceados”,

porque el cuadripolo se encuentra eléctricamente balanceado a tierra.

En el caso de la Fig. 3 el cuadripolo no presenta simetría topológica pero bajo ciertas

condiciones de frecuencia puede presentar simetría eléctrica.

Fig.2. Configuración H

z1

z2

z1

z4



150

En definitiva, se verifica que un cuadripolo es simétrico cuando se permutan los terminales de

entrada por lo de salida, y dicho cambio no es advertido desde los terminales mencionados.

Asimétricos: Son los cuadripolos que presentan impedancia de entrada y salida distintas.

Tipos de problemas:

Los tres tipos de problemas básicos que pueden resolverse con la teoría de los cuadripolos son

los siguientes:

1).- El problema de la transferencia: Trata de la determinación de la tensión o la corriente en los

terminales de salida en función de la tensión o la corriente

en lo terminales de entrada.

Este problema que aparece comúnmente en electrónica, presenta dos casos particulares de gran

importancia, y es cuando los terminales de salida del cuadripolo se encuentran a circuito abierto

o bien cortocircuitado.

Como se verá, este problema puede ser resuelto en base a ciertos parámetros del cuadripolo,

denominados de “transferencia”, y que precisamente se definen para las condiciones ante

especificadas.

2).- El problema de la transmisión: Trata de la determinación de la potencia en un par determinales en función de la potencia en el otro par.

Este problema se presenta comúnmente en las líneas de transmisión de energía, y un juego

particular de parámetros llamados de “transmisión” permite resolver el problema en forma

sencilla, como se verá más adelante.

3).- El problema de la inserción: Trata de la determinación del efecto que provoca la

inserción de un cuadripolo en un conjunto mas amplio.

Este problema se presenta, por ejemplo, al insertar un filtro en un circuito con el objeto de

perfeccionar su funcionamiento.

Fig.3



151

En este caso se desea encontrar la tensión, la corriente o la potencia en la carga después de la

inserción del cuadripolo en función de la tensión, la corriente o la potencia en la carga ante de

efectuar dicha inserción.

Obviamente se busca determinar las pérdidas por inserción.

Varios de los conjuntos de parámetros a definir permiten el cálculo de las pérdidas por insercióny en algunos casos particulares debido a valores específicos que toma la impedancia que carga el

cuadripolo, el análisis se simplifica y se reduce al problema de la transmisión.



152

Ecuaciones, parámetros y matrices característicos

En la Fig. 1 se a ilustrado la representación del cuadripolo las propiedades del mismo pueden

estar descriptas por la siguiente función implícita de cuatro variables;

0),,,( 2121 ≅ I I V V F Ec. [1]

Obviamente, de la forma en que está planteada la Ec. [1] resulta incomodo para su empleo, por

lo cual es conveniente desdoblarla en pares de ecuaciones explicita de dos variables, y en base a

todos los pares de combinaciones posibles pueden formarse las siguiente tabla

Función

Nombres de los parámetros Expresa En función deEcuación

De impedancias o decircuito abierto

V1 , V2 I1 , I2

V1=Z11.I1+Z12.I2

V2=Z21.I1+Z22.I2

De admitancias o decortocicuito

I1 , I2 V1 , V2 I1=Y11.V1+Y12.V2

I2=Y21.V1+Y22.V2

Transmisión V1 , I1 V2 , I2

V1=A.V2-B.I2

I1=C.V2-D.I2

Transmisión inversa V2 , I2 V1 , I1 V2=A’.V1-B’.I1

I2=C’.V1-D’.I1

Híbridos V1 , I2 I1 , V2 V1=h11.I1+h12.V2

I2=h21.I1+h22.V2

Híbridosinversos

I1 , V2 V1 , I2 I1=g11.V1+g12.I2

V2=g21.V1+g22.I2

Como se pudo observar en esta tabla, los nombres de los parámetros se escogen por indicar

dimensiones (impedancia, admitancia) la carencia de dimensiones consistente (híbridos) o la

aplicación principal del parámetro (transmisión)



153

Definición de los parámetros del cuadripolo

Alos efectos de la definición y obtener las expresiones de todo los parámetros del cuadripolo en

la Fig. 4 se dibuja el cuadripolo con los sentido comencionales dado a las corrientes y la

tensiones que se utilizara en todo este capitulo.

Parámetros de impedancia: (o de circuito abierto)

Si escribimos las ecuaciones de las tensiones en función de las corrientes será:

2221212

2121111

..

..

I z I z V

I z I z V

+=

+= [2]

Puede darse a los parámetros zij de estas ecuaciones un sentido físico bien definido y además

pueden ser medibles atravéz de los circuitos de las Fig. 5 y 6

Así si se impone la condición de I2=0 (bornes de salida a circuito abierto), el sistema de Ec. [2]

se reduce a:

1212

1111

.

.

I z V

I z V

=

=

La cual permite establecer las siguientes definiciones

01

111

2 =⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

= I

I

V

z

Que es la “impedancia de entrada en vacío” o sea con los terminales de salida en circuito abierto.

01

221

2 =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

I I

V z

Que es la relación entre la tensión de salida (en vacío) y la corriente inyectada en los bornes de

entrada y se llama “impedancia de transferencia directa” con la salida en circuito abierto.

Fig.4. Sentidos convencionales de V e I

I1 I2

V1 V2

+ +

--

Entrada Salida



154

De la misma forma, poniendo en la Ec. [2] I1=0, es decir, dejando la entrada en circuito abierto,

resulta.

2222

2121

.

.

I z V

I z V

=

=

Por lo tanto

02

222

1=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

I I

V z

Que se la denomina “impedancia de salida en vacío”, o sea con los bornes de entrada en circuito

abierto.-

02

112

1=

⎥

⎦

⎤⎢

⎣

⎡=

I I

V z

Que es la relación entre la tensión de entrada (en vacío) y la corriente inyectada en los bornes de

salida y se la denomina “impedancia de transferencia inversa” con la entrada en circuito abierto.-

Agrupando estos parámetros en forma matricial, formamos la matriz impedancia [z].

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

2221

1211

z z

z z z

Fig. 6. Circuito para medición de los parámetros z22 y z12

V1 V2+ +

--I2

Fig. 5. Circuito para medición de los parámetros z11 y z21

V1 V2+

+

--

I1



155

Ejemplo 1: Hallar los parámetros de impedancia de la red “T” de la Fig. 7

[ ] ( )

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+

+=⇒==

+=

+=

322

222112

3222

2111

21 z z z

z z z z z z z

z z z

z z z

Parámetros de admitancia (o de cortocircuito)

Si escribimos las ecuaciones de las corrientes en función de las tensiones será:

2221212

2121111

..

..

V Y V Y I

V Y V Y I

+=

+= [3]

Si en el sistema de la Ec. [3] se impone la condición de V2=0 o sea los terminales de salida en

cortocircuito, el sistema se reduce a:

1212

1111

.

.

V y I

V y I

=

=

De aquí se deduce que:

01

111

2 =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

V V

I y

Que representa la “admitancia de entrada” con la salida en cortocircuito.

Además:

01

221

2 =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

V V

I y

Que representa la corriente en la rama (cortocircuitada) de salida cuando se aplica a la entrada

una tensión unidad y se denomina “admitancia de transferencia directa” con la salida en

cortocircuito.

z1 z3

z2

Fig. 7



156

En la Fig. 8 se representa el circuito para medir estos dos parámetros de admitancia.

De la misma forma, si se cortocircuitan los terminales de entrada (V1=0) resulta:

2222

2121

.

.

V y I

V y I

=

=

De donde:

02

222

1=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

V V

I y

Es la “admitancia” vista desde los bornes “de salida” con los terminales de entrada en

cortocircuito.

Además:

02

112

1=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

V

V

I y

que es la relación entre la corriente en la rama (cortocircuitada) de entrada, cuando a la salida se

aplica una tensión unidad o “admitancia de transferencia inversa” con la entrada en cortocircuito.

En la Fig. 10, se muestra el circuito para medir estos dos parámetros de admitancia.

Escribiendo estos parámetros en forma matricial, formamos la matriz admitancia [y]

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= 2221

1211

y y

y y

y

Fig.10. Circuito de medición de y22 e y12

V2I1

I2

+

-

Fig.8. Circuito de medición de y11 y y21

I2

+

-V1

I1



157

Ejemplo 2: Hallar los parámetros de admitancia de la red π de la Fig. 11.

b

cb

ba

y y y

y y y

y y y

−==

+=

+=

1221

22

11

)(

)(

[ ] ( )

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−

−+=∴

cbb

bba

y y y

y y y y

V1

-

+

y b

ya yc

Fig. 11

I1 I2

V2

-

+



158

Cuadripolos Activos

Hasta ahora hemos visto en los dos ejemplos anteriores de cuadripolos pasivos, que los

parámetros se calculan aplicando simplemente sus definiciones.

El problema se complica cuando el cuadripolo contiene elementos activos o sea generadores

controlados.

Veamos un caso:

Ejemplo 3: El circuito de la Fig. 12 es un cuadripolo activo.

Calcular los parámetros de impedancia de dicho cuadripolo activo.

a).- Calculo de los parámetros con I2 = 0:

Del circuito:

z

V I I I I a=⇒+= 1111 ''''

Además:

)3.(.2.2

11

.2

)1(.

.2

)1(.''.2.''.

1

121

K z

V

z

K

z V

z

K V

z

V I

z

K V I z I V K V

a

aa

a

aaa

−=⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −+=

−+=∴

−=⇒=−

z

K V I a .2

)3(.1

−=∴ [4]

De la Ec. [4] se desprende

1.)3(

.2 I

K

z V a −

= [5]

Hemos calculado I1; por tanto debemos calcular ahora V2 y V1 siempre con los terminales desalida en circuito abierto.

V1

z

z z

Fig. 12

I1 I2

-

V2

-

++

z zVa

I’1 I’’ I’’2

I’1

+

-KVa

Vb



159

Del circuito:

z I V K V V ab .. ´´12 +==

Reemplazando 1'' I

⎟ ⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ −+=−+=

21..

.2)1(..2 K K V z

z K V V K V aaa

2

)1(.2

K V V a

+=∴ [6]

Del circuito:

aV Z I V += .11

Reemplazando en esta ultima la expresión de Va dada por la Ec [5]

z K

K I V .

3

5.11 ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−

=∴ [7]

Ahora ya podemos calcular z11 y z21

∴⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡==01

111

2 I I

V z Por lo tanto utilizando la Ec. [4] => ( )

K

K z z

−−

=3

5.11

01

221

2 =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

I I

V z Por lo tanto haciendo [ ]

[ ]4.

6.

Ec

Ec => K

K z z

−+

=3

)1(21

b).- Cálculo de los parámetros con I1=0

Del circuito:

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ =⇒+= −

z

KV V I I I I

ab2222 '''`

Pero 2/ba V V =

)2(2

2/.'2 k

z

V

z

V K V I

bbb−=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=∴

Además

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ = z

V I

b

2'' 2

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −

+=⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −

+= K

z z I I

K

z z I V

3

2..

3

211.11



160

Luego

)21.(2

)2.(22

2 k z

V k

z

V

z

V I

bbb−+=−+=

)3.(22 k z

V

I

b

−=∴ [8]

=> 2.)3(

2 I

K

z V b

−= [9]

Calcularemos ahora V2 y V1

z I V V b .22 +=

Reemplazando en esta la expresión de V b dada por la Ec. [9]

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−

=−

+= ∴)3(

5..

)3(

2. 22222

K

K z I V I

K

z z I V [10]

Además: V1= V b /2 [11]

Con estas expresiones finalmente podemos calcular z22 y z12

∴⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

=02

222

1 I I

V z Utilizando la Ec. [10] ⎟

⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛

−−=

K

K z z

35.22

02

112

1 =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= I

z I

V Haciendo [ ]

[ ]8.

11.

Ec

Ec => ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −

= K

z Z z

3.12

A diferencia de los dos ejemplos anteriores de cuadripolos pasivos en que eran

Z12=Z21, en este último caso nos da Z12 ≠ Z21.

Esta última condición es la que caracteriza a los cuadripolos activos.Por último debemos decir que el echo de que Z11 = Z22 es pura coincidencia y no constituye

ninguna regla.



161

Parámetros híbridos

Los parámetros llamados híbridos, h y g , que se estudian continuación encuentran una

aplicación muy amplia en los circuitos electrónicos, sobre todo en la construcción de modelos

equivalentes para transistores.

Las propiedades de estos parámetros y su interpretación en función de las variables para redes de

dos puertos se basan en las ecuaciones que veremos a continuación.

Parámetros h:

2221212

2121111

..

..

V h I h I

V h I hV

+

+

=

= [12]

Haciendo en el sistema de Ecs. [12] V2 =0 nos queda:

1212

1111

.

. I h I

I hV

==

De donde se obtienen:

01

111

2 =⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

V I

V h

Que es la “impedancia de entrada” con la salida en cortocircuito y:

01221

2 =⎥⎦⎤⎢⎣⎡=

V I I h

que es la “ganancia de corriente” con la salida en cortocircuito.-

Para la obtención de los otros dos parámetros debemos hacer I1 = 0 en el sistema de Ecs. [12] o

sea dejando abierto los terminales de entrada.

2222

2121

.

.

V h I

V hV

=

=


02

112

1 =⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

I V

V h

que es la “ganancia de tensión inversa” con el circuito de entrada, abierto.

Además:

02

222

1 =⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

= I V

I

h

que es la “admitancia de salida” con los terminales de entrada, abierto.



162

Parámetros g :(o híbridos inversos)

Estos parámetros g se deducen del siguiente sistema de ecuaciones:

2.221212

2.121111

.

.

I g V g V

I V I

+=

+= [13]

Haciendo en el sistema de Ecs. [13] I2 = 0, o sea dejando abierto los terminales de salida nos

queda:

1212

1111

.

.

V g V

V g I

=

=


01

1

112 =⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

= I V

I

g

que es la “admitancia de entrada” con la salida en circuito abierto y:

01

221

2 =⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

I V

V g

que es la “ganancia de tensión directa” con la salida en circuito abierto.-

Para la obtención de los otros parámetros debemos hacer V1=0 en el sistema de Ecs. [13] o seacortocircuitando los terminales de entrada

2.222

2.121

I g V

I g I

=

=

De donde se obtienen

02112

1=⎥⎦⎤⎢⎣

⎡=V I

I g

que es la “ganancia de corriente inversa” con la entrada en cortocircuito

Además

02

222

1 =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=V I

V g

que es la “impedancia” vista desde los terminales “de salida” con la entrada en cortocircuito.

Como vemos los parámetros h y g son dimensionalmente mixtos y por esta razón se denominan

parámetros híbridos.



163

Circuitos de medición

En la Fig. 12 se representa los cuatros circuitos para medir los parámetros h y g vemos que a) y c)

son los que se utilizan para la medición de los parámetros h y b) y d) los que se utilizan para la

obtención de los parámetros g.

a)

b)

c)

d)

Fig.12. Circuitos de medición de los parámetros h y g

Como dijimos anteriormente los parámetros h y g son particularmente útiles para larepresentación de cuadripolos unilaterales (no bilaterales), como por ejemplo, los que contienen

fuentes controladas.

En la Fig. 13 y 14 se dan los circuitos equivalente para la vinculación de los parámetros h

(Fig.13) y de los parámetros g (Fig.14).

Tales representaciones en forma de cuadripolos se conocen como equivalente con dos

generadores de los parámetros h y g.

En efecto aplicando las leyes de Kirchhoff en los circuitos de la Fig. 13 y 14 se obtienen los

sistemas de Ecs. [12] y [13] respectivamente.

V

+

-

+

-

I1

11 g ≡ y 21 g V

V1

I2

+

-

+

-12h≡ y 22h

V2

V2I1 +- 22 g ≡ y 12 g I2

I1 V1

+

-11h≡ y 21h I2



164

Fig. 13. Cuadripolo equivalente con dos generadores en términos de los parámetros h.-

Fig. 14. Cuadripolo equivalente con dos generadores en términos de los parámetros g.-

Ejemplo 4: En la Fig. 15 se representa el circuito equivalente de un transistor en conexión emisor

común.

Aplicando las leyes de Kirchhoff en el circuitos de la Fig. 15 se obtenemos las siguientes

ecuaciones:

211 ..).( V I r r V bceb μ ++=

d e

cb

r r

V I I

++=

212 .α

Por otro lado si aplicamos directamente al circuito de la Fig. 15 la definición de los parámetros h

vistas anteriormente, se tienen los siguientes valores:

-µ bc.V2

+

r b r c

r d

r eαcb.I1

I2

V2

-

+ +

-

V1

I1

Fig. 15. Modelo equivalente del transistor en conexión emisor

V1

+

-

+

-

+

-

I2 g12 V2

g22

I1 I2

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=

+=

≡

2221212

2121111

..

..

I g V g V

I g V g I

g11 V1g21

+

-

+

-

+

-

h11

V2 h12 V2h22h21I1

I1

V1

I2

⎪

⎭

⎪⎬

⎫

⎪

⎩

⎪⎨

⎧

+=

+=

≡

2221212

2121111

..

..

V h I h I

V h I hV



165

)(01

1

11

2

eb

V

r r I

V h +=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=

=

y cbcb

V I

I

I

I h α

α ==⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡== 1

1

01

221

.

2

cbcb

I V V

V V h μ μ ==⎥⎦⎤⎢⎣⎡=

= 22

02112 .

1 y

d e

be

I r r V

r r V

V

I h +=

+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=

=

1/

2

2

02

222

1

La sencillez de estos resultados sugiere la utilidad de los parámetros híbridos h y g para

representar circuitos equivalentes de transistores.

Parámetros de transmisión

Los parámetros de transmisión sirven para relacionar el voltaje y la corriente de entrada con elvoltaje y la corriente de salida. En forma de ecuación sería.

22221

22221

..).(.

..).(.

I DV C I DV C I

I BV A I BV AV

−=−+=

−=−+= [14]

En donde A, B, C y D son los parámetros de transmisión.

Estos parámetros se conocen con varios nombres, entre los que se encuentran los de “cascada” y

por supuesto, los parámetros ABCD.

Nosotros los llamaremos de “transmisión”.

Su primera aplicación se hizo en el análisis de líneas de transmisión de potencia, en donde se los

conocen también como “parámetros de circuito general”.

El signo negativo del segundo término del sistema de Ecs. [14] se origina de dos convenciones

diferentes para asignar un sentido positivo a I2.

En los problemas de transmisión de potencia se acostumbra a asignar a la corriente un sentido de

referencia opuesto al que asignamos en la Fig. 4.

Por lo tanto, los signos menos de las Ecs. [14] son para I2 y no para B.

Esto es, trabajando con las convenciones de la Fig. 4.

Para la obtención de los parámetros se debe hacer en el sistema de Ecs. [14] dos consideraciones

en los terminales de salida primero se deja abierto (en vacío) y luego se cortocircuita.

Luego:

02

1

2 =⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

I V

V A Adimensional

que es la “inversa de las ganancias de tensiones” con la salida en vacío.



166

Además:

2102

1 1

2 z V

I C

I

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡==

(Dimensión de admitancia)

que es la “inversa de la impedancia de transferencia directa” con la salida en vacío.

Se hace notar que 2121

1 y

z C ≠= ya que para hallar C se toma a I1 como excitación y a V2

como repuesta y en cambio para y21 se toma a V1 como excitación y a I2 como repuesta.-

Para el cálculo de B y D se dejan los terminales de salida en cortocircuito o sea V2 = 0.

De donde:

2102

1 1

2 Y I

V B

V

=

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡=−=

(Dimensión de impedancia)

que es la “inversa de la admitancia de transferencia directa” con la salida en cortocircuito.-

Igualmente aquí podemos decir que 2121

1 z

y B ≠=− ya que para hallar –B se toma a V1 como

excitación e I2 como repuesta, en cambio para hallar z21, se toma a I1 como excitación y a V2

como repuesta.-

Además

02

1

2 =⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=−

V I

I D (Adimensional)

que es la “inversa de la ganancia de corriente” con la salida en cortocircuito._

Forma matricial:

Si escribimos el sistema de Ecs. [14] en forma matricial nos queda:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

2

2

1

1.

I

V

DC

B A

I

V

Donde: [ ] [ ] BC D A DC

B A−=⇒⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡= .γ γ

Es la matriz de los parámetros de transmisión

Parámetros de transmisión inversas:



167

Si a la inversa del sistema de Ecs. [14], se expresan la tensión y la corriente de salida en función

de la tensión y la corriente de entrada, entonces las ecuaciones son:

V2 = A’.V1 + B’.(-I1)= A’.V1-B’.I1 [15]

I2 = C’.V1 + D’.(-I1)= C’.V1-D’.I1

y los parámetros de transmisión inversas son A’, B’, C’y D’.

Estas ecuaciones se aplican a la transmisión en sentido opuesto al que se indica en las Ecs. [14].

Los parámetros A’, B’, C’, D’ tienen propiedades similares a los que se analizan para los

parámetros A, B, C, D.-

Para su obtención se hace un razonamiento enteramente similar al que veníamos haciendo para la

obtención de los otros parámetros.

Interconexión de cuadripolos en cascada

Los parámetros de transmisión son útiles cuando se interconectan cuadripolos en cascada, en este

caso la matriz total se halla como simple producto de las matrices parciales.

También pueden ser útiles para la solución de ciertos circuitos complejos, mediante la

subdivisión en dos o más cuadripolos sencillos, conectados en cascada.

Del cálculo de las matrices [ ]γ parciales (que puede ser inmediato), se pasa ala matriz [ ]γ total,

por el producto (matricial) de las matrices[ ]γ parciales.

Demostración:

Sean dos cuadripolos A y B conectados en cascada como en la Fig. c), cada uno de ellos, con su

ecuación matricial de parámetros de transmisión.

⎥

⎦

⎤⎢

⎣

⎡−⎥

⎦

⎤⎢

⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢

⎣

⎡

A

A

A A

A

I

V

DC

B A

I

V

2

2

1

1. a)

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

B

B

B B

B

I

V

DC

B A

I

V

2

2

1

1. b)

Conectando ambos cuadripolos en cascada:

AV 1

A I 1

V 2

I 2

BV 1

I 1

BV 2

B I 2

AV 1

I 1

AV 2

A I 2

BV 1

I 1

BV 2 B I 2

1V 1 I

2V

2 I



168

Figura c). Cuadripolo equivalente

Debemos demostrar que la matriz del cuadripolo equivalente vale:

[ ] [ ] [ ] B Aeq γ γ γ += donde se cumple: ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

2

2

1

1.

I

V

DC

B A

I

V

eq

Para ello del circuito de interconexión en cascada, vemos que:

V2 = V2B ; I2 = I2B ; V1B = V2A y I1B = -I2A

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=∴2

2

2

2 . I

V

DC

B A

I

V

B A

A Bγ d)

Reemplazando esto último en la Ec. a) del cuadripolo A, nos queda:

[ ] ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

−⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡=

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡=∴

2

2

1

1 .. I

V

DC

B A

DC

B A

I

V

B A A

A

Aγ e)

Del circuito de interconexión en cascada se deduce:

V1A = V1 y I1A = I1

Reemplazando en e)

[ ] [ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

2

2

1

1 .. I

V

I

V B A γ γ

Esta última expresión, coincide con la c) del cuadripolo equivalente:

[ ] [ ] [ ] B Aeq γ γ γ .=∴



169

Ejemplo 5: Suponiendo que el circuito de la Fig. 16 fuera un circuito muy complejo; queremos

hallar la matriz [ ]γ subdividiendo el circuito en dos o más cuadripolos.

Para la solución suponemos que el cuadripolo dado esta formado por la interconexión en cascada

de tres circuitos simples como se indica en la Fig. 16. b)Comenzaremos por hallar la matriz [ ]1γ del primer circuito.

Circuito 1 Separamos en dos el análisis de este circuito.

a) Dejando en vacío la salida (I2 = 0), calculamos los parámetros A y C.

2

1

V

V A = Como V1 = V2 ∴ es A = 1 ;

2

1

V

I C = Como I1 = 0 ∴ es C = 0

b) Cortocircuitando la salida (V2 = 0), calculamos los parámetros B y D.

2

1

I

V B =− Como V1 = I1.z1, pero I1 = -I2 ∴ V1 = -I2.z1 ∴ V1/I2 = -B = -z1 ∴ B = z1

2

1

I

I D =− Como I1 = -I2, entonces -D = -1 ∴ D = 1

Luego [ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

10

1 11

z γ

I1

V1

- -

++ z1

I2

V2

V1

z3

z2

b)

I1

V1

-

V2

-

++ z1

I2

z3

z2

I1

-

[γ]2

-

++z1 I2

[γ]1 [γ]3

V2 ≡

Fig.16a)



170

Circuito 2. Como en el caso anterior, separamos en dos el análisis de este circuito.

a) Dejando en vacío la salida (I2 = 0), calculamos los parámetros A y C.

2

1

V

V A = Como V1 = V2 ∴ es A = 1 ;

2

1

V

I C = Como V2 = I1.z2 ∴ es C = 1/z2

b) Cortocircuitando la salida (V2 = 0), calculamos los parámetros B y D.

2

1

I

V B =− Como V1 = 0, es B = 0 ;

2

1

I

I D =− pero I1 = -I2 ∴-D = -1 ∴ es D = 1

Luego [ ]⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡= 1

101

22

z

γ

Circuito 3

Por ser igual al circuito 1, ya que lo único que cambia es z1 por z3.

Por lo tanto podemos escribir la matriz [ ]3γ directamente

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

10

1 33

z γ

Luego la matriz total se obtiene como producto de las tres matrices

[ ] [ ] [ ] [ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡==∴

10

1.

11

01.

10

1.. 3

2

1321

z

z

z eq γ γ γ γ

Finalmente: [ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

⎟ ⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ ++⎟

⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ +

=

23

2

32

11

21

11

.11

z z

z

z z

z z

z z

eqγ

Este resultado se puede generalizar para cualquier número de cuadripolo conectados en cascada,

siendo el parámetro matricial de transmisión general para los cuadripolos en cascada,

sencillamente, el producto matricial de las matrices de transmisión de cada uno de los

cuadripolos que están interconectados en cascada.-

z2

I1

V1

- -

+

I2

V2



171

Relaciones entre conjuntos de parámetros

Al introducir los seis grupos de parámetros en las secciones anteriores de este capítulo, se

sugirieron aplicaciones para cada grupo de parámetros.

Sin embargo, no se puede decir que todos los problemas con transistores se resuelven utilizando

los parámetros h y con frecuencia se hace necesario, convertir un grupo de parámetros en otro.

Hay cuadripolos en que deseamos conocer los parámetros de admitancias, pero que por su

configuración circuital es más sencillo y rápido obtener por impedancias, entonces en ese caso

se hace luego la conversión.

Es intención en esta sección demostrar la equivalencia entre alguno de los parámetros, dejando el

resto para el alumno.

a) Relación, entre [z] e [y]

Empezamos por escribir los sistemas de Ecs. [2] y [3] en forma matricial

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

2

1

2

1. I

I z

V

V [16]

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

2

1

2

1.

V

V y

I

I [17]

Invirtiendo matricialmente la Ec [17] resulta:

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −

2

11

2

1

I

I y

V

V [18]

Donde [ ] 1− y es la llamada matriz inversa.

De la comparación de la Ec. [18] con la Ec. [16] surge que:

[ ] [ ]1−

= y z [19]

Donde la matriz inversa se construye como se indica en el apéndice 1.

Por lo tanto:

[ ]

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

ΔΔ−

Δ−

Δ=−

y

y

y

y

y

y

y

y

y1121

1222

1

;

;

[20]



172

Donde ΔY es el determinante de la matriz admitancia, es decir

Δy = y11.y22 - y12.y21

Teniendo en cuenta la Ec. [20], la igualad indicada por la Ec. [19] puede escribirse como:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

ΔΔ−

Δ−

Δ=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

y

y

y

y

y

y

y

y

z z

z z

1121

1222

2221

1211

;

;

;

; [21]

O sea que:

y

y z

y

y z

y

y z

y

y z

Δ=

Δ−=

Δ−=

Δ= 11

2221

2112

1222

11 ;;; [22]



173

Apéndice I

Inversión de matrices:

Definición: cuando se cumple [z].[y] = 1; es decir que el producto de dos matrices es igual a la

matriz unidad, se dice que [y] es la matriz inversa de [z] es decir:

[y] = [z]-1 Vale la reciproca, es decir que:

[z] = [y]-1

Por lo tanto dada una matriz [z] cuadrada, la determinación de su inversa [z]-1 se construye de

acuerdo a la siguiente regla:

1) Se halla la matriz transpuesta de [z], es decir se cambia fila por columna formando la matriz

[z]t 2) Se halla la matriz de los cofactores de la [z]t, es decir cada elemento zij de [z]t se remplaza por

su menor complementario.

3) Cada elemento de la matriz así formada se divide por el determinante Δ de la matriz [z].

4) Se multiplica alternadamente cada elemento por +1 y -1 comenzando por z11

Sea la matriz

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

333231

232221

131211

;;

;;;;

z z z

z z z z z z

z

Siguiendo los pasos indicado en el párrafo anterior:

1)

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

332313

322212

312111

;;

;;

;;

z z z

z z z

z z z

z t

2) Matriz de cofactores [z]c

[ ]

332313

322212

312111

;;

;;

;;

z z z

z z z

z z z

z c

ΔΔΔ

ΔΔΔ

ΔΔΔ

=

Siendo cada Δz al menor complementario, por Ejemplo.

Δ z13= z21.z 32 -Z22.Z31



174

3) Se divide a [z]c por el determinante de [z]

[ ]

Δ

Δ

Δ

Δ

Δ

ΔΔ

Δ

Δ

Δ

Δ

ΔΔ

Δ

Δ

Δ

Δ

Δ

=Δ

332313

322212

312111

;;

;;

;;

z z z

z z z

z z z

z c

Siendo:

2322

131231

3332

131221

3332

232211 ;

;).(

;

;).(

;

;).(

z z

z z z

z z

z z z

z z

z z z +−=Δ

4) La matriz inversa finalmente es:

[ ]

Δ

Δ

Δ

Δ−

Δ

ΔΔ

Δ−

Δ

Δ

Δ

Δ−

Δ

Δ

Δ

Δ−

Δ

Δ

=−

332313

322212

312111

1

;;

;;

;;

z z z

z z z

z z z

z

Ejemplo: Sea

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−−−

=⇒

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡⇒⇒

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

121

101

167

343

432

111

341

431

321

cofactoresndotransponie

Δ = -2

Luego la inversa es:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

−

=⇒

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−

2112

1210212

12

62

7

2112

121021

21

26

27

finalmente



175

b) Relación entre [Y] y [Z]

De la Ec. [19] se puede escribir que:

[y].[z] = 1 por lo tanto [y] = [z] -1 [23]

Luego al igual que la demostración anterior podemos establecer que:

z

z

z

z

z

z

z

z

y y

y y

ΔΔ−

Δ−

Δ=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

1121

1222

2221

1211

;

;

;

;

Siendo Δ z =z11 .z22 - z12. z21

De donde se puede escribir que:

z

z y

z

z y

z

z Y

z

z y

Δ=

Δ−=

Δ−=

Δ= 11

2221

2112

1222

11 ;;; [24]

Veamos un Ejemplo:

Sea el cuadripolo en “T” de la Fig y queremos a partir de los parámetros z hallar la matriz [y]

Luego a partir de la matriz [z] debemos hallar la inversa [z]-1= [y]

1) Hallamos la traspuesta

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

z z

z z z t 2

2

2) Hallamos la matriz de los cofactores

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

z z

z z z c 2

2

3) Dividimos por Δz

[ ] [ ]

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡=

Δ⇒

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

Δ z z

z z z

z

z z

z z

z z

z z

z

z cc

32

31

31

32

32

3

332

22

22

z

z

I1

V1

- -

++

z I2

V2 [ ]222 34

2

2

z z z z

z z

z z z

=−=Δ

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡=

[1]→



176

4) Cambiando de signo obtenemos la inversa.

[ ] [ ]⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

−

−==−

z z

z z y z

32

31

31

32

1 [2]

Luego dibujando el circuito asociado a la matriz de admitancias [2].

Obtenemos así un cuadripolo “π” que es “equivalente” al cuadripolo “T“.

Para ello veamos la definición de:

Equivalencia de cuadripolos:

“Se dice que dos cuadripolos son equivalentes cuando las matrices características de una cierta

familia de parámetros, tienen el mismo valor para ambos cuadripolos”.

Esta definición se aplica perfectamente a nuestro ejemplo puesto que si del cuadripolo “π”

obtenemos la matriz de parámetros de impedancia veremos que es igual a la matriz [1].

Podemos decir entonces que ambos cuadripolos son equivalentes.

c) Relación entre [γ] y [z]

Habíamos visto en la definición de parámetros [γ] que:

02

1

212102

1

22

;1

;1

;

==

=−==−=

V I I

I D

Z

C

Y

B

V

V A

También vimos cuando definimos los parámetros [z] que:

01

221

01

111

22 ==

== I I

I

V z y

I

V z

Luego asiendo el cociente

z .3

1

I1

V1

- -

++

I2

V2

z .3

1 z .3

1



177

AV

V

I V

I V

z

z

I I

====

=02

1

012

11

21

11

22

Calcularemos –B.

Vemos que –B = 1/y21, por lo tanto reemplazando y21 en función de los parámetros [z] dado por la fórmula [24]

212121

1

z

z B

z

z

y B

Δ=⇒

Δ−==−

En cuanto a C vemos que en forma directa es igual a la inversa de z21

Por último para hallar D en función de los parámetros [z] es conveniente hallarlo primero en

función de las [y] y luego pasarlo a las [z]

Habíamos visto que

01

221

01

111

22

.==

==V V

V

I yque y

V

I y

21

22

21

22

02

1

01

2

1

1

21

11

/

/

2

2

z

z D

z z

z z D

I

I

V

I

V

I

y

y

V

V

=∴Δ−

Δ=−===∴

=

=

Resumiendo nos queda

21

22

212121

11 ;1

;; z

z D

z C

z

z B

z

z A ==

Δ== [25]

Finalmente en una forma enteramente similar a lo visto hasta ahora, pueden encontrarse las

relaciones faltantes entre los parámetros correspondientes a las distintas matrices.

En la tabla I se muestran las equivalencias entre todos los parámetros



178

Información suministrada por los parámetros

En el supuesto que de un cuadripolo se conozca su matriz de parámetros y no su configuración

circuital, vamos a ver que a través de ello, puede obtenerse una información cualitativa respecto

del comportamiento del mismo.

Se analizan los casos en base a los parámetros de impedancia, deduciéndose el resto en base la

tabla I de equivalencia entre parámetros.

a) Los dos parámetros de transferencia son nulos o más genéricamente, si los parámetros

ubicados simétricamente respecto a la diagonal principal son nulos:

02112 == z z

En este caso podemos afirmar que no hay efecto de la salida sobre la entrada y viceversa no hay

efecto de la entrada sobre la salida.

Lo anterior indica que los circuitos de entrada y salida son independientes entre si.

Para los otros parámetros

[ ] 0..

0

0

0

2112

2112

2112

=−=

==

==

==

DC B A

g g

hh

y y

γ

b) Los parámetros de transferencia son solo nulos en un sentido, ó los parámetros simétricosrespecto de la diagonal principal son sólo nulos en un sentido

z12 = 0 pero z21 ≠0

ó z21 = 0 pero z12 ≠ 0

En el caso por ejemplo en que z12 = 0 pero z21 ≠0, quiere decir que no hay efecto de la salida

sobre la entrada pero si hay efecto de la entrada sobre la salida.

Hay una regla que establece que, el primer subíndice indica los terminales sobre el que se produce el efecto y el segundo la causa (recordemos que subíndice 1 son los bornes de entrada y

el 2 los de salida, por convención).

En definitiva cuando uno de los parámetros de transferencia es nulo y el otro no, entonces existe

transferencia de energía en un solo sentido, y el cuadripolo se comporta como “unilateral”.


y12 = 0 pero y21 ≠ 0 o la reciprocah

12= 0 pero h

21 ≠ 0 o la reciproca

g12 = 0 pero g 21 ≠ 0 o la reciproca



179

c) Los parámetros de transferencia son iguales entre si y distinto de cero.

z12 = z21 ≠0

En este caso podemos afirmar que el cuadripolo es “pasivo” y además, que la transferencia de

energía se realiza con igual facilidad en ambos sentido, o sea el cuadripolo se comporta como

“bilateral”


y12 = y21 ≠ 0h12 = - h21≠ 0g12 = - g21 ≠ 0[γ] = A.B – C.D =1

d) los parámetros de transferencia son distintos entre si y no nulos

z12≠ z21≠ 0

Esto significa que existe un elemento activo o sea algún generador controlado o sea el cuadripolo

es “activo”.


y12≠ y21 ≠ 0h12≠ - h21≠ 0g12≠ - g21 ≠ 0

[γ] ≠ 1

e) Condición de simetría

Habíamos dicho que un cuadripolo es simétrico cuando la impedancia de entrada es igual a la de

salida, estando el cuadripolo en vacío en ambos extremo.

Escribiendo estos en términos de impedancia es:

z11 = z22

Luego utilizando la tabla I de equivalencia de cuadripolos, obtenemos la condición de simetría para los otros parámetros

221111

22

2211

y y

z

z y

z

z y

=∴

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

Δ=

Δ=

122

11 =Δ∴=Δ h z

z h



180

111

22 =Δ∴=Δ g z

z g

D A

z z D

z

z A

=∴

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=

=

21

22

21

11

Para finalizar podemos decir que si estas últimas condiciones no se cumplen estamos en el caso

de cuadripolo “asimétrico”.

En la tabla II se hace un cuadro en el que se expresan los diferentes valores que adoptan cada

parámetro para que el cuadripolo sea simétrico y pasivo.



181

TABLA I: CONVERCIÓN DE PARÁMETROS

[Z] [Y] [γ] [γ'] [h] [g]

[Z]

z11 z12

z21 z22

y

y

Δ22

y

y

Δ− 12

y

y

Δ− 21

y

y

Δ11

C

A

C

γ Δ

C

1 C

D

'

'

C

D

'

1

C

''

C

γ Δ ''

C

A

22h

hΔ

22

12

h

h

22

21

h

h−

22

1h

11

1

g

11

12

g

g −

11

21

g

g

11 g

g Δ

[Y] z

z

Δ22

z

z

Δ− 12

z

z

Δ− 21

z

z

Δ11

y11 y12

y21 y22

B

D

B

γ Δ−

B

1−

B

A

'

'

B

A -

'

1

B

'

'

B

γ Δ−

'

'

B

D

11

1

h

11

12

h

h−

11

21

h

h

11h

hΔ

22 g

g Δ

22

12

g

g

22

21

g

g −

22

1

g

[γ]

21

11

z

z 21 z

z Δ

21

1

z

21

22 z z

21

22

y

y− 21

1

y

−

21 y

yΔ− 21

11 y y−

A B

C D

'

'

γ Δ D

'

'

γ Δ B

''

γ ΔC

''

γ Δ A

21h

hΔ− 21

11

h

h−

21

22hh−

21

1h−

21

1

g

21

22

g

g

21

11 g g

21 g g Δ

[γ']12

22

z

z 21 z

z Δ

12

1

z

12

11

z

z 12

11

y

y− 12

1

y

−

12 y

yΔ− 12

22

y

y− γ Δ

D γ Δ

B

γ ΔC

γ Δ A

A’ B’

C’ D’

12

1

h

12

11

h

h

12

22

h

h 12h

hΔ

12 g

g Δ− 12

22

g

g −

12

11

g

g − 12

1

g

−

[h] 22

z

Δz 22

12

z

z

22

21

z

z − 22

1

z

11

1

y

11

12

y

y−

11

21

y

y 11 y

yΔ D

B

D

γ Δ

D

1−

D

C '

'

A

B

'

1

'

'γ Δ− '

'

A

C

11h 12h

21h 22h g

g

Δ

22

g

g

Δ

− 12

g

g

Δ

− 21 g

g

Δ11

[g]11

1

z

11

12

z

z −

11

21

z

z 11 z

z Δ 22 y

yΔ 22

12

y

y

22

21

y

y− 22

1

y

C A

γ Δ−

A

1 A

B '

'

D

C '

1

D

−

'

'

D

γ Δ '

'

D

B h

h

Δ22

h

h

Δ

− 12

h

h

Δ

− 21 h

h

Δ11

11 g 12 g

21 g 22 g

TABLA II: CONDICONES DE PASIVIDAD Y SIMETRIA

ParámetrosCondición paracuadripolos pasivos

Condición para cuadripolos simétricos

z z12 = z21 z11 = z22

y y12 = y21 y11 = y22

ABCD A.D-B.C = 1 A = D

A’B’C’D’ A’.D’-B’C’ = 1 A’ = D’

h h12 = -h21 Δh = 1

g g12 = -g21 Δg = 1



182

Interconexión de cuadripolos

Ya se analizó la interconexión en cascada o tándem de cuadripolos cuando se trató los

parámetros de transmisión.

Existen otras formas útiles, de interconectar cuadripolos, denominada en paralelo o en serie.

Los parámetros de admitancia y de impedancia son los que sirven para representar cuadripolos

en paralelos y en serie respectivamente, como se verá a continuación.

Interconexión en paralelo

Considérense por ejemplo dos cuadripolos A y B conectados en paralelo, tal como se indica en la

Fig. 17

El problema consiste en encontrar la matriz del cuadripolo equivalente, marcado con línea de

punto, a partir de las matrices de los cuadripolo Ay B

Puesto que las tensiones a la entrada y salida son las mismas para ambos cuadripolos

interconectados y las corrientes totales de entrada y salida son iguales a la suma de las corrientes

parciales de entrada y salida, respectivamente o sea:

V1A = V1B =V1 ; I1 = I1A +I1B[26]

V2A = V2B =V2 ; I2 = I2A +I2B

Además en cada cuadripolo se cumple:

En el cuadripolo A En el cuadripolo B

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

A

A

A A

A

V

V

y y

y y

I

I

2

1

2221

1211

2

1 .;

; ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

B

B

B B

B

V

V

y y

y y

I

I

2

1

2221

1211

2

1 .

A

B

V2A

V2B

I2A

I2B

V1A

V1B

V2

I2

V1

I1

I1A

I1B

Fig.17



183

Luego en base a las Ec. [26]

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

+=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

2

1

2221

1211

2221

1211

22

11

2

1 .;

;

;

;

V

V

y y

y y

y y

y y

I I

I I

I

I

B A B A

B A

Por ser

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

2

1

2

1

2

1

V

V

V

V

V

V

B

B

A

A

Por consiguiente, cuando se conectan dos cuadripolos en paralelo, la matriz de admitancias del

cuadripolo equivalente, es la suma de las matrices de admitancia de cada cuadripolo.

La expresión se puede generalizar para el paralelo de n cuadripolos, que además, pueden ser

activos o pasivos.

Luego

[ ] [ ] [ ] B A y y y += [27]

Al proponer que los dos cuadripolos se conecten en paralelo se supone que al efectuar la

conexión no se altera la naturaleza de los cudripolos propiamente dichos.

Esto no será siempre así, como vemos en la Fig. 18.

En este caso el cuadripolo “T” elimina a la resistencia mas baja del cuadripolo celosía, que en

esta forma queda alterado.Por lo tanto, no siempre puede conectarse dos cuadripolos en paralelo en forma directa.

+

R

V2

V1

Fig.18

RR

R

RR

R

-

+

-



184

Permisibilidad de interconexión

Veremos a continuación en que condiciones pueden interconectarse dos cuadripolos sin que se

perturben sus relaciones individuales a causa de la conexión.

Para la conexión en paralelo, consideremos la Fig. 19.

Se conecta en paralelos un par de terminales, mientras los otros pares de terminales se

cortocircuitan individualmente.

Se emplean los cortocircuitos porque los parámetros que caracterizan a los cuadripolos

individuales y el equivalente son los parámetros de admitancia en cortocircuito.

Si no es nula la tensión V indicada en la Fig. 19, cundo se conectan normalmente los segundos

terminales habrá una corriente circulante, tal como sugiere el esquema.

En este caso deja de ser cierta la Ec [26].

En efecto, a causa de la corriente circulatoria, en cada par de terminales no se cumple que lacorriente que entra en un terminal es igual a la que sale por el otro terminal, cuya condición se

había supuesto implícitamente al establecer las ecuaciones individuales de los cudripolos

La condición necesaria y suficiente para que la corriente circulatoria sea nula es que la tensión V

de la Fig. 19 sea nula.

En el caso particular de los cudripolos de la Fig. 18 esa tensión V =V1/2 ó V =V2/2

Cuando se determina que no puede efectuarse la interconexión porque se introduce corrientes

circulantes, existe una manera de detener dichas corrientes y, por tanto, permitir que se efectúe la

conexión, y que sigan vigentes las ecuaciones hallados anteriormente.

El método consiste simplemente en colocar un transformador ideal aislante de relación 1:1 en

los terminales de salida de uno de los cuadripolos, como se indica en la Fig. 20

A

B

Fig. 19. circuitos de prueba de conexión en paralelo

A

B

-

+

V+

-V



185

Existe un caso especial que se presenta cuando todos los cuadripolos que se van a conectar en

paralelo tiene una tierra común como sucede en la Fig. 21.

En este caso no se requiere el uso del transformador ideal

Para ilustrar lo visto hasta aquí veremos un Ejemplo.

Ejemplo 6: En el circuito doble T puenteado de la Fig. 21, muy utilizado como filtro de

escalonamiento, se desea calcular el parámetro de admitancia Y11 de dicho cuadripolo.

Para la obtención de estos parámetros se puede considerar a este circuito como la interconexión

en paralelo de dos cuadripolos A y B como se indica en la Fig. 22.

Por lo tanto, cebemos calcular las admitancias de entrada de estos dos cuadripolos

individualmente y con la salida de ambos en cortocircuito (V2

= 0)

I1

Fig. 21 Filtro doble T puenteado

Ra

R 1 Ca

C1

Rb

C2

V1

+

-

+

-

V2

I2

A

B

Fig. 21. Caso particular de conexión común a tierra entre los cuadripolos A y B.

Fig.20 El paralelo de estos cuadripolos se describe por medio de las Ecs. [26] y [27].

-

+ A

B

V2A

V2B

I2A

I2B

V1A

V1B

V2

I2

V1

I1 I1A

I1B

I1 I2

+

-

+

+

-

-+

+ -

-



186

Luego

A z A

y

1

111 =

∴

( ) 11

11

1

211

11212

12

1

11

++

+=

++

=C C pR

pC RC C p

R pC

pC

y A

( )babaa

ba

ba

a

B R R R R pC

R pC

R pC

R

y++

+=

++

=1

11

111

De donde la admitancia de entrada total será

( ) 1211

11212

111111 ++

+=+=

C C pR

pC RC C p y y y B A +

( )babaa

ba

R R R R pC

R pC

++

+ 1

Se puede hacer lo mismo para calcular el resto de los parámetros

Interconexión serie

Considérese dos cuadripolos A y B conectados en serie como indica la Fig.23.

Lo mismo que en la interconexión paralelo que vimos anteriormente aquí el problema consiste

-

A

B

V2A

V2B

I2A

I2B

V1A

V1B

V2

V1

I1 I1A

I1B

Fig.23 interconexión de dos cuadripolo en serie

+

-

+

I2

A

BV2V1

I1

Fig. 22 Circuito topológica mente equivalente al de la Fig. 21

R 1

R b

I2

+

-

-

+

Ca

C2C1

Ra



187

en encontrar la matriz de cuadripolo equivalente marcado con líneas de puntos, a partir de las

matrices de los cuadripolos A y B.

Puesto que las corrientes en la entrada y salida son los mismos para ambos cuadripolos

interconectados, (por estar en serie), y la tensión total de entrada y salida son iguales a la suma

de las tensiones parciales de entrada y salida respectivamente, podemos escribir

I1= I1A = I1B ; V1= V1A +V1B

[28]I2= I2A = I2B ; V2= V2A +V2B

Además en cada cuadripolo se cumple que:

En el cuadripolo A En el cuadripolo B

⎥⎦⎤⎢

⎣⎡⎥

⎦⎤⎢

⎣⎡=⎥

⎦⎤⎢

⎣⎡

A

A

A A

A I I

z z z z

V V

21

22211211

21 .

;; ⎥

⎦⎤⎢

⎣⎡⎥

⎦⎤⎢

⎣⎡=⎥

⎦⎤⎢

⎣⎡

B

B

B B

B I I

z z z z

V V

21

22211211

21 .

;,

Por otra parte es:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

2

1

2

1

2

1

I

I

I

I

I

I

B

B

A

A

Luego en base a la Ec [28]

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

⎟⎟ ⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛

+=+

+

= 2

1

2221

1211

2221

1211

22

11

2

1

.;

;

;

;

I

I

z z

z z

Z z

Z z

V V

V V

V

V

B A B A

B A

Por consiguiente, cuando se conectan dos cuadripolos en serie, la matriz de impedancia del

cuadripolo equivalente, es la suma de las matrices de impedancias de cada cuadripolo

[ ] [ ] [ ] B A z z z += [29]

La expresión [29] se puede generalizar para n cuadripolos conectados en serie.

Para el caso de la interconexión en serie, consideramos la Fig. 24

A

B

V

Fig. 24 Circuito de prueba de interconexión serie

+

-

A

B

V

+

-



188

En este caso se conectan en serie dos pares de terminales, mientras se dejan abiertos los otros dos

pares de terminales.

Se emplean los circuitos abiertos porque los parámetros que caracterizan a los cuadripolos

individuales y al total equivalente son los parámetros de impedancia en circuito abierto.

Si no es nula la tensión V, cuando se conectan normalmente los segundos pares de terminaleshabrá una corriente circulante, tal como sugiere el esquema.

Al igual que en la conexión paralelo, la condición necesaria y suficiente para que la corriente

circulatoria sea nula, es que la tensión V, sea nula.

Al igual que el caso de interconexión paralelo, cundo se descubre que no puede efectuarse la

interconexión porque se produce una corriente circulatoria interna, la solución es colocar un

transformador ideal aislante de relación 1:1 en los terminales de salida de uno de los cuadripolos

como se indica en la Fig. 25.

Con esta solución, por lo tanto se podrá seguir aplicando las relaciones dada por las Ecs [28] y

[29].

También se suele utilizar la conexión de dos transformadores ideales de relación 1:1 uno en cada

salida de cada cuadripolo

A

B

Fig.25

1:1



189

Interconexión de cuadripolos en serie-paralelo y paralelo-serie

Así como una de la utilidades de los parámetros y, z , es el estudio de las conexiones de

cuadripolos en paralelo y en serie, respectivamente, las matrices [h] y [g] son muy adecuados

para la representación de cuadripolos formados por la conexión de otros, más sencillos, en serie

– paralelo y paralelo – serie, de acuerdo con los esquema de la Fig. 26 a) y b), a condición de

que la corriente circulatoria sea nula.

En el circuito de la Fig. 26 a) si la corriente circulatoria es nula se cumple que:

B A

B A

I I I

V V V

222

111

+=

+= ;

B A

B A

V V V

I I I

222

111

==

== [30]

Además en cada cuadripolo se cumple que:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

B

B

B B

B

A

A

A A

A

V

I

hh

hh

I

V y

V

I

hh

hh

I

V

2

1

2221

1211

2

1

2

1

2221

1211

2

1 .;

;...

;

;

Por otra parte por las Ecs [30]

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

== B

B

A

A

V

I

V

I

V

I

2

1

2

1

2

1

Luego en base a las relaciones [30] obtenemos

2

1

2221

1211

2221

1211

22

11

2

1 .;

;

;

;

V

I

hh

hh

hh

hh

I I

V V

I

V

B A B A

B A

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=

+

+=

Lo que expresa que en la conexión serie- paralelo de cuadripolos, la matriz total [h] del

cuadripolo equivalente, es la suma de las matrices de los parámetros h de cada cuadripolo

individual.

A

B

Fig.26-a) Conexión en serie-paralelo b) Conexión paralelo-

A

B-

+

V1

V2A

I2AI1

+

-

V2

V2B

I2BI1B

V1B

V1A

I1A

I2I1

V2 V1

V1B

I1B

I1A

V2A

V2B

I2B

I2A

+

-

+

-

V1A

I2



190

O sea:[h] = [h]A + [h]B [31]

De la misma forma se demuestra que en la interconexión en paralelo- serie, representada en la

Fig. 26-b), la matriz [g] del cuadripolo equivalente es la suma de las matrices [g] de los

cuadripolos individuales o sea

2

1

2221

1211

2221

1211

2

1 .;

;

;

;

I

V

g g

g g

g g

g g

V

I

B A⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ +=

Siempre con la condición de que la corriente circulatoria sea nula.

La permisibilidad de la interconexión para ambos casos consiste en realizar las pruebas de las

conexiones en serie y en paralelo, siguiendo el método descripto en relación con las Fig. 19 y 24.

Lo mismo que en esos casos, la corriente circulatoria puede suprimirse, en última instancia,intercalando un transformador ideal, de relación 1:1

En la tabla III, se resumen en forma tabulada las diferentes conexiones y la relación entre sus

matrices, con la inclusión de la conexión en cascada que se estudio con los parámetros de

transmisión.



191

TABLA III: INTERCONEXION DE CUADRIPOLOS

Tipos de conexión Esquema general Relación entre matrices

Paralelo [y] = [y]A + [y]B

Serie [z] = [z]A

+ [z]

B

Serie-Paralelo [h] = [h]A + [h]B

Paralelo-Serie [g] = [g]A + [g]B

Cascada [γ] = [γ]A . [γ]B A B

A

B

A

B

A

B

A

B



192

Cuadripolos pasivos y simétricos especiales

Redes iterativas

En la ingeniería en telecomunicaciones se utilizan mucha veces redes que consisten en circuitos

iterativos, es decir, en un cierto número de etapas pasivas, simétricas e idénticas, conectadas en

cascadas entre un generador y una carga, tal como se representa en la Fig. 27

Como ejemplos típicos de estas redes pueden citarse líneas de transmisión de energía, artificiales

y filtro de ondas.

Para una terminación dada, Zi, de la red, es posible calcular las tensiones y corrientes en

cualquier empalme de la cascada por aplicación de las ecuaciones generales de circuitos, pero

este procedimiento puede resultar muy laborioso.Por ejemplo, si en la red de la Fig. 27 hay 20 secciones, habría que escribir y resolver 21

ecuaciones simultánea para calcular una cualquiera de las corrientes.

El trabajo se simplifica considerablemente si todas las células que componen la red son idénticas

y Zi es su “impedancia característica o iterativa”.

Redes pasivas y simétricas

Recordemos de la tabla II que en todo cuadripolo simétrico y pasivo se cumplen las relaciones

z12 = z21 Por ser pasivosz11 = z22 Por ser simétricos

Para los parámetros de trasmisión se verifica:

A.D – B.C = 1 Por ser pasivoA = D Por ser simétrico

I1

Vg

Fig. 27. Red iterativa

I0

Zg

1 2 i-1 i

I2 Ii-2 Ii-1 Ii

ZiV1 V2 Vi-1Vi-2 ViV0

+



193

Podemos ahora definir la:

Impedancia característica

Es el valor de la impedancia que colocada a la salida, refleja a la

entrada el mismo valor.-

Es decir colocando ese valor Z0 como impedancia de carga, el mismo valor se ve a la entrada,

como si el cuadripolo no existiera.

Como el cuadripolo es simétrico, lo mismo vale colocando Z0 en la entrada.

Si a la red iterativa de la Fig.27, se la termina en su impedancia característica, (Zi =Z0), ésta

misma impedancia aparece a la entrada de todas las células, incluyendo la primera, y por lo tanto

a la entrada de la red iterativa.

Si además de que la impedancia de carga valga Z0, tiene ese mismo valor la impedancia interna

del generador (Zg = Z0), se dice que toda la red esta en condiciones de adaptación, con la

impedancia característica.

La impedancia característica Z0 puede calcularse fácilmente (a partir de su definición), en

función de cualquiera de la familia de parámetros que vimos anteriormente.

Para ello escribimos la expresión de la impedancia de entrada Ze, en función de los parámetros de

trasmisión ABCD, para cualquier condición de carga:

Del cuadripolo de la Fig. 29 es

1

1

I

V Z e =

Además en el cuadripolo se cumple:

)(

)(

221

221

I DCV I

I V AV V

−+=

−+=

CuadripoloPasivo ySimétrico

Fig.28 Definición de impedancia característica o iterativa

I1 I2

V2Z0Z0V1

-

+ +

-

I2

zL

I1

+

-

V1

V2

+

-

Fig. 29



194

Haciendo el cociente de estas dos ecuaciones

D I

V C

B I

V A

I DCV

I V AV z

I

V e

+−

+−

=−+−+

==

2

2

2

2

22

22

1

1

)(

)(

De la Fig. 29 vemos que si cargamos al cuadripolo con zL es:

2

2

I

V z L −=

y reemplazando en la ecuación de arriba:

DCz

B Az z

L

Le +

+=∴

Si ahora suponemos el cuadripolo cargado con Z0, la impedancia de entrada por definición tiene

que ser Z0

B Az DCz z DCz

B Az z +=+⇒

++

= 0000

00 )(

B Az Dz Cz +=+ 002

0

Por ser simétrico es A = D

C B z =∴ 0 [32]

Expresaremos z0 en función de los parámetros z e y.

Para ello trabajamos con la tabla II de equivalencias.

11

111111 .

.

/

/;

y

z

C D

B A

B D

C A z

C

A y

B

D==∴==

Por ser el cuadripolo simétrico A = D; z11 = z22 e y11 = y22

22

22

11

110

y

z

y

z z ==∴ [33]

Definiendo

z11 = “Impedancia de entrada, en circuito abierto = zeca

y11 = “Inversa de la impedancia de entrada, en cortocircuito =ecc Z

1

La Ec. [33] Se convierte en:ecceca z z z .0 = [34]



195

Esta fórmula es sumamente útil, por la facilidad con que pueden medirse las cantidades zeca y zecc

y nos expresa que en todo cuadripolo pasivo y simétrico, la impedancia característica es igual a

la media geométrica entre la impedancia de entrada a circuito abierto y en cortocircuito

Ejemplo 7: En el siguiente cuadripolo calcular la impedancia característica

ecceca z z z .0 =

C j

LC

C j

L j z eca

ω

ω

ω

ω 211 −

=+=

Por otra parte:( )( )

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

−=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

+−=

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−+=

−+=

++=

LC

LC L j

LC

LC L j z

LC L j

LC

L j L j

C j L j

C j L j L j z

ecc

ecc

2

2

2

2

22

1

2.

1

11.

1

11.

11/1.

ω

ω ω

ω

ω ω

ω ω

ω

ω ω

ω ω

ω ω ω

( ) LC C

L z L j

LC

LC

C j

LC z 2

02

22

0 21

2.

1ω ω

ω

ω

ω

ω −=⇒

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

−⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −=∴

De esta última expresión podemos deducir que si la frecuencia es LC /2<ω

la impedancia característica se comporta como una resistencia pura, cuyo valor disminuye si

disminuye ω.

Por el contrario si LC /2>ω entonces:

( ) 02

0 2 L j LC C

L j z ω ω =−= Donde ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

201

ω LC

C

L L

Es decir la impedancia característica se comporta como una reactancia inductiva de inductancia

L0

L L

C



196

Función o constante de propagación

Sea un cudripolo pasivo simétrico y en condiciones de adaptación con su impedancia

característica, del cual se conocen los parámetros ABCD de la matriz [γ]

Definimos la función propagación o constante de propagación en condiciones de adaptación

mediante la relación:

γ −= eV V

1

2 [35]

Siendo γ en general un numero complejo, con parte real y parte imaginaria, y a su vez función de

la frecuencia y se la conoce como “función de propagación”.

En general γ puede expresarse como:

)()()( ω ω ω α γ jB+=

La parte real e imaginaria γ se define como:

α (ω) = función de atenuación

β(ω) = función de fase

A continuación hallaremos la expresión de γ en función de los parámetros de trasmisión por

definiciones es:

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+=⇒−+=

2

2

2

1221 ).(.

V

I B A

V

V I BV AV

Pero02

2 1

z V

I =

−

02

1

Z

B Ae

V

V +==∴ γ

Recordando la expresión de z0 dada por la ecuación [32]

C B B Ae

V V

C B z +==∴= γ

210

I2

z0

I1

+

V2

Fig.30. Cuadripolo pasivo simétrico y en condiciones de adaptación

z0V1 [γ]Vg



197

Luego:

BC Ae +=γ

Como el cudripolo es pasivo y simétrico

1. =− BC D A y A=D

12 =−∴ BC A 12 −= A BC Luego

12

2

1 −+== A AeV

V γ [36]

Finalmente

⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ −+=+= 1ln 2

)()( A A j ω ω β α γ [37]

Por consiguiente la función de propagación γ puede hallarse conociendo únicamente el

parámetro A.

Volviendo un poco sobre la definición de la función de propagación γ

)()(

1

2 . ω β ω α γ jeeeV

V −−− ==

En base a esta última expresión podemos considerar que la función de propagación γ, es una

medida del efecto que introduce el cuadripolo sobre la señal (V1) que la atraviesa.

En efecto.

1

2)(

V

V e =− ω α

Como vemos el valor de α (ω) da una medida de la atenuación si α es positiva, o de amplificación

si α es negativo introducido por el cuadripolo.

El valor de β (ω), es una medida del cambio de fase, impuesto a la señal (V1)

Entonces podemos expresar que un cuadripolo pasivo y simétrico, cargado con su impedanciacaracterística a la salida y a la entrada, introduce una atenuación dada por α (ω) y un cambio de

fase dado por β (ω) sobre la señal que lo atraviesa.

Como vemos en la Ec [37], ambos efectos quedan determinado por el coeficiente A.

Si en lugar de la relación de tensiones, consideramos la relación de corrientes, en las mismas

condiciones, obtendremos:

D z C I

I D

I

V C

I

I I DV C I +=

−⇒+

−=

−⇒−+=

02

1

2

2

2

1

221..).(.



198

Si cambiamos el sentido de la corriente I2 es decir en vez de entrar que salga del cuadripolo nos

queda.

AC B AC

BC D z C

I

I +=+=+= ... 0

2

1 Pero 1. 2 −= AC B

Por pasividad

12

2

1 −+=∴ A A I

I

Comparando esta última expresión con la Ec [36] vemos que:

12

2

1 −+== A Ae I

I γ [38]

Es decir que si se cumplen las condiciones fijadas de simetría y pasividad, la atenuación y elcambio de fase son iguales para corrientes y tensiones.

En una red iterativa, compuesta por células idénticas, como de la Fig. 27, la relación entre las

tensiones de entrada y salida, puede escribirse (lo mismo para las corrientes), de la siguiente

forma:

( ) ( )ω α ω α γ j ji

i

i

i

eeeV

V

V

V

V

V

V

V .............. .1

2

1

1

00 === − [39]

Resultando que la atenuación total de i secciones idénticas y simétricas, conectadas en cascada,es de (i.α) neperios y el correspondiente desplazamiento de fase es de (i.β) radianes.

También puede ocurrir (especialmente en los filtros de ondas compuestos) que se asocien en

cascada, secciones de redes, todas con la misma impedancia característica, pero con distinto

valores de la función de propagación γ, por ejemplo γ1, γ 2…….γ k .

Puesto que también en este caso sigue siendo valida la relación [39], se tiene:

)......( 21 k

ee

γ γ γ γ +++

=

Es decir, la atenuación total es la suma de las atenuaciones parciales y lo mismo con respecto al

defasaje._



199

Determinación de la función de propagación, a partir de la impedancias de cortocircuito y

circuito abierto

La impedancia característica y la función de propagación son los tres parámetros físicos, de

cudripolo pasivo y simétrico, que caracterizan completamente, su comportamiento y constituyen

la base del diseño de muchas redes de aplicación práctica en la ingeniería de comunicaciones.

Por consiguiente, es conveniente poder determinarlos, por cálculo o experimentalmente.

Para ello buscaremos estas relaciones útiles.

γ γ γ

cosh2

=+ −ee

Remplazando eγ por la expresión dada en la Ec. [36]

)1.(2

)1(2

1.(2

1.22cosh

)1(2

1112

2

1/11cosh

2

2

2

22

2

22222

−+

−+=

−+

−+=

−+

+−+−+=

−++−+=

A A

A A A

A A

A A A

A A

A A A A A A A A

γ

γ

A=∴ γ cosh [40]

Además

C B A senh .1cosh 222 −==− γ γ Por ser simétrico y pasivo

C B senh .=γ [41]

Las ecuaciones [40] y [41] son muy importantes para la deducción de las ecuaciones clásicas de

filtros de ondas.

Por otra parte:

A

C

D

B

A

C B

A

C B senhtgh .

..

cosh 2 ====

γ

γ γ

Pero

eca z z A

C 11

11== y ecc z

Y D

B==

11

1

eca

ecc

z

z tgh =∴ γ [42]

Otras relaciones útiles son aquellas que expresan la tensión y la corriente de entrada, en términos

de la función de propagación γ y de la impedancia característica z0



200

Para ello debemos escribir los parámetros ABCD en función de γ y z0.

γ cosh== D A Por ser simétricos

Por otra parte

γ γ

γ γ

senh z

C B

C C B

z senh

y

senh z BC

B

C B z senh

00

00

1..

1).(

.).(

=⇒=

=⇒=

Luego recordando la ecuación característica de los parámetros ABCD

221

221

.

..

DI V C I

I BV AV

+=

+=

Reemplazando ABCD por las expresiones halladas obtenemos

⎪⎩

⎪⎨⎧

+=

+=

γ γ

γ γ

cosh.

..cosh.

20

21

0221

I senh z

V I

senh z I V V [43]

El sistema de la Ecs. [43], son útiles para la obtener el circuito o cuadripolo equivalente a una

línea de trasmisión, ya que esta se definen generalmente por las funciones hiperbólicas de γ y por

z0.

Debe insistirse en que todas estas relaciones son validas únicamente si el cuadripolo es pasivo,

simétrico y en condiciones de adaptación, es decir está cargado con z0.Si la impedancia de carga zL difiere de z0, ocurren interacciones y reflexiones, con la

consecuencia de que las relaciones [34], [36], [38], y [39], ya no se cumplen.

Ya veremos mas adelante este caso.

Antes vamos a obtener la impedancia característica y la función propagación de tres cuadripolos

pasivos y simétricos clásicos y muy utilizados en la teoría de filtros de ondas.

I2

z0

I1

Vg V2z0 V1 [γ]



201

Sección en T: Sea el cuadripolo pasivo y simétrico de la Fig. 31.

Recordando la Ec. [34]

ecceca z z z T

.0

=

Luego

2

1

2 z

z z

eca += y

21

21

1

2

.2

2 z z

z z

z

z ecc +

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛

+=

21

21

21

21

2112

10 .

2.

442

.2/

2.

2 z

z z

z z

z z

z z z z

z z T ++=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

++⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=∴

4

.2

1210

z z z z T +=∴ [44]

Calculo de la función propagación:

γ

γ 2tanh1

1cosh

−= pero

zeca

zecctagh =γ Por la Ec. [42]

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−−+

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=

−

=

−

=∴

21

21121

21

2

)).2/((22

2

1

1cosh

z z

z z z z z

z z

z z

z

zeca z ecceca

eca

ecc

γ

2

21

21

22

21

21

12

21

2

2

2

2

2/1.

2cosh

z

z z

z z

Z

z z

z z

z Z

z z

+=

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+−

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=γ

z1/2

z2

z1/2

Fig.31



202

z1

2z22z2

Fig.32

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=∴

2

1

21cosh.

z

z Arcγ [45]

La Ec. [45] es muy importante para el desarrollo, de la teoría de filtros.

Sección en π:

Sea el cuadripolo pasivo y simétrico de la figura 32

)4(

.4

4

.4

)2).(4(

).2)(2).(2(

211

21

22

21

12

2

2121

122120

z z z

z z

z z

z z

z z z z

z z z z z Z

+=

+=

+++

=π

T z

z z

z z z

z z z

0

212

121

210

.

4.

.=

+

=∴ π [46]

Para el cálculo de la función propagación γ volvemos a la expresión:

12

12

21

212

21

212

2

.2

4

)2(2

4

)2(2

cosh

z z

z z

z z

z z z

z z

z z z

z z

z

ecceca

eca

+−

+

++

+

=−

=γ

)2(

)4(.2)2(2

)2(2

12

21122

212

212

z z

z z z z z z z

z z z

+

+−+

+=

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=∴

2

1

21cosh

z

z Ar γ [47]

Comparando la Ec. [47] y [45] se deduce una conclusión muy importante en la teoría de filtros

de ondas: esta dos secciones reciprocas, si bien tienen distintas sus impedancias características

Z0T ≠ Z0π, presentan igual valor de la función de propagación γ.



203

Sección en celosía

Otro cuadripolo muy importante, en la teoría de filtros es la red en puente o celosía,

representada en la Fig. 33 a) y b)

De donde

210 . Z Z z = [48]

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−+

=2/2

22/cosh.

12

21

z z

z z Arcγ [49]

V1

2z2

I1

+

-

I2V2

Fig.33 a)

-+

z1/2

2z2 z1/2

2z2

z1/2

z1/2

2z2

I1 I2

+

-

V1

+

V2

-

b)



204

Cuadripolo simétrico totalmente desadaptado

Este es el caso más general que se encuentra dentro de los cuadripolos simétricos, aquel que en

la impedancia de carga ZR y la impedancia del generador Zg son distinta de Z0

En el cuadripolo pasivo y simétrico de la Fig.34, donde se conocen la impedancia característica

Z0 y la función γ, se cumple que:

g11gg1g1 .zIVV.zIVV +=⇒−= [50]

R z I V .22 = R z

V I 2

2 =⇒ [51]

Del sistema de Ecs. [43], se introduce V1 e I1 en la Ec. [50] y reemplazando I2 por la Ec. [51] nos

queda:

.coshγz

z.V.senhγz

z.V.senhγzz.V.coshγVV

R g2

0g2

R 022g +++=

R

R g g R R g g R g

R

R g R g g R g R g

R

R g

R

g R g

R

R g g R g

R

g R g R g

z z

e z z z z z z z e z z z z z z z

V

V

Z Z

e z z z e z z z e z z z z e z z z z

V

V

z z

z z z ee

z z

z z z z ee

V

V

z z

z z z senh z z z z

V

V

z z

z z senh z z senh z z z

V

V

.2

).().(

.2

)()().().(

..

2.

..

2

.

)..()..(cosh

.

cosh.....cosh..

0

2000

2000

2

0

20

200000

2

0

20

0

00

2

0

2000

2

0

02

00

2

γ γ

γ γ γ γ

γ γ γ γ

γ γ

γ γ γ γ

−

−−

−−

+−+++++

=

+−+++++=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ +⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ +=

+++=

+++=∴

I2

zR

+

Vg V2

zg

V1

γ yz0

I1

+

-

+

-

Fig. 34 Cuadripolo simétrico y desadaptado



205

R

g R

R

g R g

z z

e z z z z

z z

e Z z z z

V

V

.2

).).((

.2

).).((

0

00

0

00

2

γ γ −−−−

++=

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

++

−−−

++=∴ − γ γ 2

00

00

0

00

2.

)).((

)).((1..

.2

)).((e

z z z z

z z z z e

z z

z z z z

V

V

g R

g R

R

g R g [52]

A esta altura del desarrollo, primero haremos algunas denominaciones en la Ec. [52] y luego

analizaremos cada uno de ellos.

γ e z z

z z z z F

R

g R.

.2

)).((

0

00 ++=

Multiplicando y dividiendo por g z .2 nos queda.

γ e z z

z z

z z

z z

z

z F

g

g

R

R

R

g .

.2.

.2..2

0

0

0

0⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ +⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ = [53]

Al factor F se la llama “factor de interacción” de la carga al generador donde:

=+

= R

ROR

z z

z z F

.2 0

0 Factor de interacción en el extremo receptor o salida

=+= g

g OG

z z

z z F .2 0

0 Factor de interacción en el extremo transmisor o entrada

Si la salida esta adaptada es zR = z 0 y FOR =1

Si la entrada esta adaptado es zg = z0 y FOG =1

Luego el factor F queda expresado como

γ e F F z

z

F OGOR R

g

....2= [54]

En cuanto al otro término, hacemos:

( )( )( )( ) ⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

++

+−−= − γ 2

00

00.

.

.1 e

z z z z

z z z z F

g R

g Ri [55]

Llamado “factor de reflexión”.

Siendo:=

+

−=

R

R R

z z

z z

0

00 ρ Coeficiente de reflexión en el extremo receptor o salida



206

=+

−=

g

g OG

z z

z z

0

0 ρ Coeficiente de reflexión en el extremo transmisor o entrada

Luego el factor Fi queda expresado como:

γ ρ ρ 2..1 −−= e F OGORi [56]

En este factor Fi vemos que:

a) Cuando por lo menos un extremo está adaptado el coeficiente ρ se anula y es Fi =1

b) Cuando el cuadripolo esta desadaptado en ambos extremos es siempre Fi< 0

c) Cuando el circuito está abierto (zR =∞ ) es ρOR = -1

Lo mismo vale para zg = ∞ es ρOG = -1

d) Con la entrada o salida en cortocircuito es ρOG = 1 ó ρOR =1

Vamos a analizar ahora la expresión total de la relación de la tensión de entrada ó señal Vg a la

tensión de salida sobre la carga V2, y veremos que a los diferentes factores se le puede dar un

sentido físico determinado.

Para ello escribimos la Ec. [52] así:

[ ]γ γ ρ ρ 2

0

0

0

0

2..1..

2.

.2..2 −−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ +⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ = ee

z z

z z

z z

z z

z

z

V

V OGOR

g

g

R

R

R

g g [57]

Consideremos, en primer lugar el término R g z z /.2 .

Puede verse fácilmente que su módulo, es la relación entre las tensión de entrada y salida en el

circuito de la Fig.35, en el que la carga, en forma de una resistencia |ZR |, esta acoplada al

generador de resistencia interna |Zg| mediante un transformador ideal con la relación de espiras

R g z z N N // 21 =



207

Por consiguiente, el módulo del primer término de la Ec. [57], representa la modificación de la

relación de las tensiones debida a la desigualad de ambas impedancias y puede interpretarse

como una relación de transformación.

Podemos también observar, que si en este término es zR > zg, entonces es F< 1 en la Ec. [54] y

en ese caso, para un mismo valor de señal de entrada Vg, habrá una mayor señal de salida V2

Por lo tanto si no hay más remedio que trabajar con el circuito desadaptado, conviene que sea

zR > zg, para tener una salida mayor.

Los dos factores siguientes (FOR y FOG) de la Ec. [57], vimos que se reducen a la unidad si el

cuadripolo esta terminado en ambos extremos en su impedancia característica, y por lo tanto, se

deben a la desadaptación de las impedancias terminales y llevan el nombre de “factores de

interacción”.-

El término exponencial γ e es el que habíamos definido con la función de propagación, y por lo

tanto, representa la atenuación y defasaje de las ondas de tensión y corriente, ocasionado por la

naturaleza misma del cuadripolo, independientemente de sus terminaciones.

El último término (Fi) denominado “factor de reflexión”, se debe a las reflexiones de las ondas

en ambos extremos.

Ello justifica la presencia del factor γ 2−e , puesto que el último corchete corresponde a la onda

que recorre la red dos veces: una vez de la derecha a la izquierda (de la carga al generador,

después de reflejarse en zR ) y otra vez de izquierda a derecha (del generador a la carga, después

de volver a reflejarse en Zg).Cuando la desadaptación no es muy grande o existe una fuerte atenuación (α grande), Fi es

aproximadamente la unidad, en cuyo caso son los dos factores anteriores (FOR y FOG) los que

señalan los efectos de la desadaptación de impedancias.-

La Ec. [57] puede escribirse de la forma

2

20

202

.

V

V

V

V

V

V g g = [58]

Donde:

+

Vg

|zg|

Ideal

|zR |

1:/ R g z z

Fig. 35 Interpretación física del factor R g z z /.2



208

R

R g g

Z

Z Z

V

V +=

20 [59]

Es la relación de tensión de entrada y salida cuando la carga se conecta directamente al

generador, tal como se indica en la Fig.36

El otro término es.

== η je N V

V .

2

20 Factor de inserción

De la ecuación [58] y utilizando la Ec. [59] tenemos que:

⎟⎟ ⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛

+

=

⎟⎟ ⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛

+

=+

==

g

R

R

g

iOGOR

R

g

R

g

iOGOR

R

R g

iOGOR R

g

g

g

z

z

z

z

F e F F

z

z

z

z

F e F F

z

z z

F e F F z

z

V V

V V

V

V

2

1

...

1..

....2.....2

/

/

20

2

2

20 γ γ

γ

Luego

[ ]

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ +

−⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ +⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +

==

−

g

R

R

g

OGOR g

g

R

R

j

z

z

z

z

ee z z

z z

z z

z z

e N V

V

2

1

..1...2

..2

.

2

0

0

0

0

2

20

γ γ

η

ρ ρ

[60]

La Ec. [60] representa la relación entre la tensión V20 en la carga, en caso de no existir el

cuadripolo (ver Fig. 36), y V2 que es la tensión que tenemos en zR, después de la inserción del

cuadripolo

En la Ec. [60] el módulo N es la relación de inserción y n el ángulo de fase de inserción.

V20Vg

+

zg

Fig. 36 Tensión V20 en la carga, conectándola directamente al generador

zR



209

Cuadripolos Asimétricos

Impedancia imagen:

Sea un cuadripolo pasivo y asimétrico.

Por lo tanto se cumple que z12 = z21 por ser pasivo y que z11 ≠ z22, por ser asimétrico.

Por ser asimétrico, ya no se cumple la definición de impedancia característica z0, dada

anteriormente y que valía para ambos extremos, pero podemos definir en cambio la “impedancia

imagen” z01 y z02

Definición:

Z02, es el valor de impedancia que colocada a la salida, refleja a la entrada un valor z01, siendo

este último, el valor de impedancia que colocada a la entrada, refleja el valor z02 a la salida.

Observando la Fig. 35 y teniendo en cuenta la definición de “impedancia imagen”, tendremos

que: cargando la entrada con z01 y la salida con z02 y si cortamos según A, vemos hacia ambos

lados z01, y si cortamos en B, vemos hacia ambos lados z02.

En estas condiciones el cuadripolo esta cargado con sus impedancias imágenes.

Cálculo de la impedancia imagen

Considérese el cuadripolo de la Fig. 36, el que se supondrá pasivo y asimétrico, a cuya entrada

se conecta un generador de tensión Vg, dotado de una impedancia interna zg, y a la salida se

conecta una impedancia zR , siendo V2 la tensión que se crea en la impedancia zR .

Escribimos el sistema de ecuaciones dada por la Ec. [14] para los parámetros de transmisión y

teniendo en cuenta la inversión en el sentido de la corriente I2.

221221

. .. DI V C I

I BV AV += += [61]

z02

B

z01

z12 = z21

z11≠ z22

Fig.35

z01

z02

A

I2

zR

+

Vg V2zg V1

I1

Fig. 36



210

Dividiendo miembro a miembro obtenemos la impedancia de entrada.

D I

V C

B I

V A

I DV C

I BV A

I

V z e

+

+=

++

==

2

2

2

2

22

22

1

1

.

.

..

..

Pero

R z I

V =

2

2 D z C

B z A z

R

Re +

+=∴

.

. [62]

De la misma forma, si obtenemos los parámetros inversos A’, B’, C’, D’

112

112

''.

'.'.

I DV C I

I BV AV

−=

−=

Cambiando el sentido de la corriente como se indica en el circuito de la Fig 37( -I1 = I1), nos queda:

112

112

''.

'.'.

I DV C I

I BV AV

+=

+=

Pasando de los parámetros A’, B’, C’, D’ a los A, B, C, D, por Tabla I, nos queda:

112

112

.

..

I D

V C

I

I B

V D

V

γ γ

γ γ

Δ+Δ=

Δ+

Δ=

Que, resulta para V2 e I2 y teniendo en cuenta que Δγ = A.D - B.C = 1 por tratarse de

cuadripolos pasivos da:

⎩⎨⎧

+=

+=

112

112

..

..

I AV C I

I BV DV [63]

Dividiendo miembro a miembro, se obtiene la impedancia de salida

A Z C

B Z D z

A I

V C

B I

V D

I AV C

I BV D z

R

RS S +

+=⇒

+

+=

+

+=

.

.

.

.

..

..

1

1

1

1

11

11 [64]

I2

VgZR V2V1

I1

Fig. 37

+ Zg

A.D-B.C=1

A≠D



211

De acuerdo a la definición de impedancia imagen, si cargamos a la salida con z02 vemos a la

entrada z01 y viceversa.

Por lo tanto:

D z C

B z A z

+

+=

02

02

01 .

. y

A z C

B z D z

+

+=

01

01

02 .

. [65]

Las relaciones [65] establecen el sistema de ecuaciones simultáneas

0....

0....

02010201

02010201

=−+−

=−−+

B z A z D z z C

B z A z D z z C

Sumándolos miembro a miembro resulta

C B z z /. 0201 =

Mientras que restándolos se deduce

D A z z // 0201 =

De donde

DC

B A z

.

.01 = y

C A

D B z

.

.02 = [66]

Las relaciones [66] demuestran que las impedancias imagen son parámetros característicos del

cuadripolo, e independientes de su terminación



212

Función de propagación

Al igual que en cuadripolos simétricos, se necesita muchas veces conocer la relación entre las

tensiones (o entre las corrientes) en ambas puertas de un cuadripolo pasivo.

Supongamos primero que el extremo de salida está terminado con la impedancia imagen, es decir

que zR = z02.

Las Ecs. [61] pueden escribirse:

221 BI AV V += ∴ 22

21 V

V

I B AV ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ += ∴ 2

021 .V

z

B AV ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=

221 DI CV I += ∴ 22

21 . I D

I

V C I ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ += ∴ ( ) 2021 .. I D z C I += [67]

Por consiguiente, las relaciones entre las tensiones en ambos extremo son:

⎟ ⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ +=+=+= C B D A

D

A

D B

C A B A

z

B A

V

V ...

.

..

022

1 [68]

Y las relaciones entre las corrientes

⎟ ⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ +=+=+= C B D A

A

D D

C A

D BC D z C

I

I ...

.

... 02

2

1 [69]

Si ahora se conecta en los bornes de entrada la impedancia z01 en vez del generador,desplazando este a los bornes de salida, se obtiene la situación (representada en la Fig. 37),

adecuada para la evaluación de las conexiones de propagación de derecha a izquierda, así

poniendo en [63] I1 = V1/z01, resulta:

101

2 .V z

B DV ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ += ; ( ) 1012 .. I A z C I += [70]

De donde teniendo en cuenta la relación [66]

⎟ ⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ += C B D A

A

D

V

V ...

1

2

[71]

⎟ ⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ += C B D A

D

A

I

I ...

1

2



213

Recordando que D A z z // 0201 = tenemos que

n z

z

D

A==

02

01 [72]

Cuya magnitud puede considerarse como relación de transformación de la red, puesto que

representa la raíz cuadrada de la relación entre las impedancias terminales (impedancia imagen)

y, además, multiplica la relación de las tensiones y divide la relación de las corrientes

El otro factor que figura en ambas ecuaciones [71] puede expresarse en la forma exponencial

como se definió en cuadripolos simétricos

γ eC B D A =+ .. [73]

Siendo )()()( ω ω ω β α γ j+=

La “función propagación” para cuadripolos asimétricos, que al igual que en cuadripolos

simétricos, es una magnitud compleja, función de la frecuencia y que puede considerarse como

la medida del efecto del cuadripolo sobre las ondas de tensión o de corriente, que se propagan de

un extremo a otro.

Las partes real e imaginarias de γ son:

α(ω) = “función de atenuación”, dado que el módulo de la relación entre las corrientes ytensiones es eα .

β(ω) = “función de fase”, debido a que mide efectivamente el desfasaje que sufren la corriente yla tensión en su propagación a través del cuadripolo

Como es el caso de cuadripolos simétricos vamos a hallar las relaciones que expresan la tensión

y la corriente de entrada, en término de la función propagación γ y de las impedancias imagen z01

y z02 .

Para ello se introduce la Ec. [73] en la [71]

γ enV

V .

2

1 = ;n

e

I

I γ

=2

1 [74]

Recordando que por ser pasivos se cumple que A.D - B.C = 1

C B D AeC B D A

C B D A

C B D Ae ..

..

..

..

1−=⇒

−

−=

+= −− γ γ [75]

Sumando y restando [73] y [75] miembro a miembro resulta



214

2

.2

2

....

2cosh

D AC B D AC B D Aee=

−++=

+=

−γ γ

γ

D A.cosh =∴ γ [76]

2.2

2....

2C BC B D AC B D Aee senh =+−+=−=

−γ γ

γ

C B senh .=γ [76]

Con ello las ecuaciones [61] pueden escribirse

( )γ γ senh z I V nC A

D BC B I D AV

D

AV 0222221 .cosh.

.

..... +=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+ [77]

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=⎟

⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ += γ γ cosh..

1.....

.

.. 2

02

2221 I senh

z

V

n I D AV C B

C B

C A

A

D I [78]

Esta relación es validas para cuadripolos asimétricos, pasivos y cargados en ambos extremos con

su impedancia imagen.

Ya veremos mas adelante el caso de cuadripolos desadaptados.-



215

Determinación de la función de propagación e impedancia imagen, a partir de las impedancias en

cortocircuito y circuito abierto

Para ello trabajamos con la tabla I de equivalencia

=== eca z z C A 11 Impedancia de entrada con la salida en circuito abierto

=== ecc z y D

B

11

1 Impedancia de entrada con la salida en cortocircuito

=== sca z z C

D22 Impedancia de salida con la entrada en circuito abierto

=== scc z y A

B

22

1 Impedancia de salida con la entrada en cortocircuito

Combinando estas relaciones con la Ec. [66], resulta:

ecceca z z D

B

C

A z ..01 == y sca scc z z

C

D

A

B z ..02 == [79]

Es decir, las impedancias imagen son las medias geométricas de las impedancias terminales, con

el otro extremo del cuadripolo en cortocircuito y circuito abierto, respectivamente.

Por otra parte, combinando las relaciones vista con las Ec. [76] se tiene:

sca

scc

eca

ecc

z

z

z

z

D A

C Btgh ===

.

.γ [80]

Las expresiones subradicales son las relaciones entre las impedancias terminales en cortocircuito

y circuito abierto en cualquiera de los dos extremos.

Este resultado es evidente, dado que γ no depende de las terminaciones sino de los parámetros

intrínsecos del cuadripolo.



216

Cuadripolo asimétrico desadaptado

Si se termina el cuadripolo con dos impedancias cualesquiera, zg y zR , distintas de las

impedancias imagen, la relaciones [74] entres las corrientes y tensiones evidentemente ya no se

cumplen.

Sin embargo, reconsiderando el razonamiento anterior, aun pueden hacerse intervenir los

parámetros imagen.

En efecto, para el cuadripolo de la Fig.36 se tiene:

11 . I z V V g g −= ; 22 . I z V R= [81]

Pero en base a la Ec. [77]

)..(cosh 0221 γ γ senh

z

z nV V

R

+= [82]

Que junto con [78] y la primera Ec. [81], da:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+=

γ γ

γ γ γ γ

sh z n

z

z

z n

z n

z nV V

z senh

z n

Z V senh

z

z nV V

g

R R

g g

R

g

R g

..

.cosh

..

cosh11

..

.cosh.

02

022

02

2022

Eliminando n con ayuda de [72] obtenemos:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++⎟

⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=

γ γ

γ γ

senh z z

z z z z

z

z z

z

z z

Z

V V

senh z

z

z

z

z

z

z

z

z

z V V

R g g R

R g

g

R R

g g

..

..cosh..

.cosh.1..

02010201

01

02

02

012

01

02

01

02

02

012

Si se sustituye en el último desarrollo las funciones hiperbólicas por las exponenciales, resulta:

+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +++= γ e

z z

z z z z

z

z z

z

z z

z

V V

R g g R

R g .

.

....

2 02010201

01

02

02

012

γ −

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−−++ e

z z

z z z z

z

z z

z

z Z

z

V R g g R

R

..

....

2 02010201

01

02

02

012 [83]



217

A cuya expresión puede darse una forma más conveniente.

γ

γ

−⎟⎟ ⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛

−−++

+⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ +++=

e z z

z z z

z

z z

z

z z

z

z

z

z z

e z z

z z z

z

z z

z

z z

z

z

z

z z

V

V

g

R R

g

g

R R

g g

..

.....

..2

1

..

.....

..

2

1

0201

02010201

01

0201

02

0201

0201

02010201

01

0201

02

0201

2

γ e z z z

z z z z z z z z z z z z z z z z

V

V

R

R g g R g .

..2

............

0201

020102010201020201010201

2 ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ +++=

γ −⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −−++ e

z z z

z z z z z z z z z z z z z z z z

R

R g g R.

..2

............

0201

020102010201020201010201

+⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ +++= γ e

z z z

z z z z z z z z z z

V

V

R

R g R g .

..2

).(..).(..

0201

02020102010201

2

γ −

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −−−+ e

z z z

z z z z z z z z z z

R

R R g .

..2

).(...).(..

0201

02010201020201

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

++

−−−

++=∴

−−−

++=

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡ −−−

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡ ++=

−

−

−

γ γ

γ γ

γ γ

2

0201

0201

0201

0201

2

0201

0201

0201

0201

2

0201

02010201

0201

02010201

2

.)).((

)).((1..

..2

)).((

...2

)).((.

..2

)).((

...2

.).).((.

..2

.).).((

e z z z z

z z z z e

z z z

z z z z

V

V

e z z z

z z z z e

z z z

z z z z

V

V

e z z z

z z z z z z e

z z z

z z z z z z

V

V

R g

R g

R

R g g

R

R g

R

R g g

R

R g

R

R g g

Multiplicando y dividiendo al primer factor por g z .2 nos queda.

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

++

−−−⎟

⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ +⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ = − γ γ 2

0201

0201

02

02

01

01

2.

)).((

)).((1..

.2.2..2 e

z z z z

z z z z e

z z

z z

z z

z z

z

zg

V

V

R g

R g

R

R

g

g

R

g [84]

La Ec. [84] nos da la relación entre la tensión de entrada y la de salida, de un cuadripolo pasivo,

asimétrico y totalmente desadaptado, en función de la función propagación y de las impedancias

imagen.



218

En una forma enteramente similar a lo visto en cuadripolos simétricos y desadaptados, en la Ec.

[84] definiremos algunos factores.

Llamando a:

γ

e z z

z z

z z

z z

z

z

F R

R

g

g

R

g

⎟⎟ ⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛ +⎟⎟ ⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛ +

⎟⎟ ⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛

= ..2...2..202

02

01

01

[85]

Al factor F se le llama “factor de iteración” de la carga al generador donde:

==⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ +OG

g

g F

z z

z z

..2 01

01 Factor de interacción en el extremo transmisor o entrada

==⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛ +

OR R

R F z z

z z

..2 02

02 Factor de interacción en el extremo receptor o salida

Si la salida está adaptada es zR = z02 y FOR = 1.

Si la entrada está adaptada es zg = Z01 y FOG = 1.

Luego el factor F queda expresado como:

γ e F F z

z F OROG

R

g ....2= [86]

En cuanto al otro término, llamamos:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

++

−−−= −γ e

z z z z

z z z z F

R g

R g i .

)).((

)).((1

0201

0201 [87]

Llamado “factor de reflexión”, siendo:

( ) =

+

−=

R

g

OG z z

z z

01

01 ρ Coeficiente de reflexión en el extremo transmisor o entrada.

( )( )

=+

−=

R

ROR

z z

z z

02

02 ρ Coeficiente de reflexión en el extremo receptor o salida.

Luego el factor Fi queda expresado como:

γ ρ ρ 2..1 −−= e F OROGi [88]

En este factor Fi también se cumple que:

a) Cuando por lo menos un extremo está adaptado el coeficiente ρ se anula y es Fi = 1.



219

b) Cuando un cuadripolo esta desadaptado en ambo extremos es siempre Fi < 1

c) Cuando el circuito está abierto (zR =∞ ) es ρOR = -1 ;lo mismo en la entrada es ρOG = -1.

d) Con la entrada o salida en cortocircuito es ρOG = 1 ó ρOR = 1.

Finalmente podemos decir que a los diferente factores de la Ec. [84] se le puede dar la misma

interpretación física que en el caso de cuadripolos simétricos y desadaptados, visto anteriormente.

Factor de inserción

La Ec. [84] puede escribirse de la forma:

2

20

202

.

V

V

V

V

V

V g g =

Donde R

R g g

z

z z

V

V +=

20

Es la relación de tensiones de entrada y salida cuando la carga se conecta directamente al

generador, tal como lo indica la fig.36, el otro término se denomina “factor de inserción”.

[ ]

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ +

−⎟⎟ ⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛ +

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ +

===

−

g

R

R

g

OROG R

R

g

g

j

g

g

z

z

z

z

ee z z

z z

z z

z z

e N V V

V V

V

V

.2

1

..1...2..2.

/

/

2

02

02

01

01

20

2

2

20

γ γ

η ρ ρ

[89]

Por consiguiente al igual que en cuadripolo simétrico desadaptado, N.e jη es el término (en

módulo y fase) debido a la inserción del cuadripolo y de ahí su nombre.

Pérdida de inserción

Se ha visto que la inserción de un cuadripolo entre un generador y una carga, origina una

variación de la potencia absorbida por ésta.

Así la Ec. [89] expresa la relación entre la tensión de salida, sin y con el cuadripolo intercalado,

en la forma:

η je N V

V .

2

20 = [90]

Las corrientes en la carga en ambos casos son:



220

R z

V I 20

20 = ; R z

V I 2

2 =

Resultando la relación entre ellas:

η je N V

V

I

I .

2

20

2

20 == [91]

Recordando la expresión que da la potencia activa disipada en las cargas, para regímenes

senoidales es:

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡==

R z V I V P

1.Re..

2

1..Re.

2

1 22020

*2020

y [ ] ⎥⎦⎤⎢

⎣⎡==

R z V I V P 1.Re..

21..Re.

21 222*22

Donde V*2 es el complejo conjugado de la tensión V2 y Re [] significa la parte real del complejo

en cuestión.

Haciendo la relación entre las potencias nos queda:

22

2

202

2

20

2

20 N I

I

V

V

P

P =−= [92]

La cantidad de pérdida (o ganancia) de potencia ocasionado por la inserción de cuadripolo,

puede evaluarse en unidades de N2.

Sin embargo físicamente es más representativo, y en los cálculos es más cómodo, emplear

unidades logarítmicas.

Si se utiliza logaritmos neperianos, se define la pérdida de inserción mediante la relación:

Pérdida de inserción = )ln()/ln( 220 N P P = (neperios) [93]

Resultando que la pérdida de un neper se produce para N = e, es decir cundo

4.72

2

20 == e P

P

Estas unidades se prestan a una interpretación particularmente simple cundo el cuadripolo es

simétrico (z01 = z02) y se lo termina en ambos extremos por su impedancia característica, ya que

en este caso la fórmula [89] da:

)(. β α γ η j j eee N +==



221

Y por lo tanto, N = eα, es decir:

α =⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ =⎟

⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

2

20

2

20 lnlnV

V

I

I (Neperios) [94]

α 2lnln2

2

20

2

20 =⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ =⎟

⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

V

V

P

P (Neperios) [95]

En los cuadripolo asimétricos (Z01 ≠ Z02) pero adaptados (es decir terminados en sus

impedancias imagen), las pérdidas de inserción que se deducen de la Ec. [89] son:

⎟⎟⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎜

⎝

⎛

+

=⎟⎟ ⎠ ⎞⎜⎜

⎝ ⎛ =⎟⎟

⎠ ⎞⎜⎜

⎝ ⎛

01

02

02

012

20

2

20 .2lnlnln

z

z

z

z

e I I

V V α

Luego:

α α ⟨

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

+==

01

02

02

012

20

2

20 2lnlnln

z

z

z

z I

I

V

V [96]

α α 24

ln2lnln2

01

02

02

01

2

2

20

2

20 ⟨

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

+=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ =⎟

⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∴

z

z

z

z V

V

P

P [97]

Si en el cuadripolo que se inserta, α es suficientemente pequeño, resulta ln (P20/P2) < 0, lo que

equivale a una ganancia, originada por la inserción del cuadripolo.Como estamos tratando con cuadripolo pasivos, físicamente esto se interpreta en el sentido de

que un cuadripolos posee propiedades de adaptación de impedancia y puede emplearse, en

determinada circunstancia, en sustitución del transformador.

En aplicaciones prácticas 1 Neperio es una unidad excesivamente grande.

Una unidad más cómoda en las medidas es el decibelio que se define por la relación:

⎟⎟ ⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛ =

2

1log10 P

P S

db

[98]

Donde P1 y P2 son dos potencias cualesquiera.



222

Es de observar que las unidades logarítmicas se aplican para relacionar dos potencias (por

ejemplo en dos puntos del circuito, en un mismo punto ante y después de la inserción de un

transformador, etc.), sin distinción de su origen o efecto.

Cuando se trata de las pérdidas que resultan de la inserción de un cuadripolo en un sistema de

transmisión, la formula [98] da:

N I

I

V

V

P

P S db log20log.20log.20.log10

2

20

2

20

2

20 ===⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ = [99]

Puesto que ln x = 2.30.Log x, la medida de una misma magnitud en ambas unidades se expresa

como:

dbS I

I

I

I Snep .115.0log.20.20

30.2.log.30.2

21

21 === [100]

Analizando la Ec. [100] podemos decir que un decibelio equivale a 0,115 neperios y a la inversa,

un neperio equivale a 20. log e = 8.686 decibelios.

Hasta ahora se a hablado de las “perdida de inserción” que se miden en los extremos de una

misma impedancia (por ejemplo en los terminales de salida), por la relación entre, las potencias

antes y después de la inserción del cuadripolos, y también por las “perdidas de atenuación” cuyo

valor en Neperios es α (en cuadripolo simétricos, terminados en su impedancia característica) yéstas también son las perdidas de inserción.

En una red cualquiera se definen las “pérdidas de transmisión”, o simplemente “pérdidas”, como

disminución de la potencia en la transmisión de la señal de un punto a otro.

Las “pérdidas de transmisión” se miden, como antes, en neperios o decibelios, definido por la

relaciones [93] ó [98], respectivamente.

Sin embargo, debe tenerse presente que en el caso general I1/I2 ≠ V1/V2, por lo cual las pérdidas

ya no pueden expresarse como 20.Log.| I1/I2 | ó 20.Log.| V1/V2 |.

Debe observarse, asimismo, que las “perdidas de inserción” de una red dependen, tanto del lugar

de inserción, como de las impedancias terminales, de modo que su valor no es característico de

la red.

Las pérdidas de atenuación, cuyo valor (en neperios) es independiente de las terminaciones e

igual a α (parte real de la constante de atenuación γ), constituyen en cambio, un parámetro

especifico de un cuadripolo, o de una asociación en cadena de un grupo de cuadripolos

idénticos._

Adaptación de impedancias



223

Como una aplicación a lo ya visto en el desarrollo de este capitulo, vamos a ver el tema

adaptación de impedancias:

El principio de adaptación de impedancias se basa en dos teoremas sobre máxima transferencia

de potencia

Uno que dice:

“Una red absorberá la máxima potencia de otra (unida a la primera por dos terminales), si las

impedancias de las dos redes vista desde los terminales, son recíprocamente conjugados.

Es decir si

R R = R G y XR = -XG [101]

Y el otro que dice:

“Si puede variarse la amplitud pero no el ángulo de fase de la impedancia de carga, se absorberá

la potencia máxima del generador, cuando la magnitud de la impedancia de carga sea igual a la

magnitud de la impedancia interna del generador”.

Esto es que:

| zR | =| zG | [102]

Esto dos teoremas expresan los valores óptimos de la impedancia de terminación de un

generador.

Dado que las cargas típicas, no son necesariamente los óptimos para los generadores que los

alimentan, es que se necesita de algún método para la transformación de la impedancia ofrecida

al generador, uno de estos métodos es a través de cuadripolos adaptadores de impedancia.

Este cuadripolo debe estar diseñado de tal manera que intercalado entre la carga y el generador

produzca la adaptación necesaria de acuerdo con los teoremas anteriores.

zG

zR Vg

+

zG

zR

+

Vg

Cuadripolotransformador deimpedancias

Fig. 381’

2’

2 1



224

Si el cuadripolo contiene componentes resistivos, la potencia entregada en los terminales 1-1’ de

la (Fig.38), será mayor que la potencia absorbida por la carga en los terminales 2-2’ y esta

pérdida de potencia es en general indeseable (excepto en el caso de “atenuadores”).

Por consecuencia, casi todas las redes transformadoras de impedancias se construyen con

elementos puramente reactivos.El método de adaptación a través del cuadripolo, se basa en la propiedad transformadora de

impedancias que tiene los cuadripolos pasivos y asimétricos.

Para ello recordamos que si un cuadripolo de esta característica se conecta entre un generador de

impedancia interna z01 y una carga cuya impedancia es z02, las impedancias estarán adaptados en

los dos empalmes y se absorberás la máxima potencia del generador, ya que se ha supuesto que

el cuadripolo está conformado por elementos puramente reactivos.

Recordando del desarrollo del tema de cuadripolo pasivos, asimétricos y en condiciones deadaptación, las expresiones de tres relaciones fundamentales:

11

1101

y

z z = [103]

22

2202

y

z z = [104]

1111.1 y z

tng =γ Donde γ = α (ω) +jβ (ω) [105]

Estas expresiones nos dan las impedancias imagen y la función de propagación, en función de

los parámetros propios del cuadripolo.

Quiere decir que haciendo cumplir las condiciones de adaptación, esto es que z01 sea igual a la

impedancia interna del generador, z02 igual a la impedancia de carga y en la constante o función

propagación, hacer la función de atenuación α = 0 (que es la condición para que el cuadripolo no

contenga elementos disipativos), podemos hallar los valores de los parámetros que cumplen con

la condición de máxima transferencia de potencia.



225

Ejemplo 8: Veamos el caso en que se desea adaptar por medio de un cuadripolo, un generador de

tensión de impedancia interna resistiva R a con una carga también resistiva R b.

Este podría ser el caso del amplificador de salida de un radio transmisor y la carga seria la antena

emisora.

Este cuadripolo debe estar diseñado de tal manera que intercalado entre la carga y el generador

produzca la adaptación de acuerdo con los teoremas anteriores

Además se le impone:

a) Que no consuma potencia (ya que nuestro propósito es la máxima transferencia de potencia).

b) Que introduzca una dada rotación de fase β.-

Podemos adoptar un circuito T o π.

Elegimos el π que es el más utilizado en la práctica como adaptador de antena.

Son datos: R a, R b y β.

Las incógnitas son: y1, y2 e y3

Por tratarse de un cuadripolo asimétrico y pasivo, la condición de adaptación se cumple haciendo

la impedancia imagen z01 = R a y la impedancia imagen z02 = R b.

Por tratarse de un cuadripolo π es más conveniente usar los parámetros de admitancia y por lo

tanto trabajaremos con la admitancia imagen.

De la Ec. [103] y de la tabla I.

Rb

Vg

+

Fig.39 cuadripolo π adaptador

Ra

y1 y3

y2

Ra

RbVg

+CuadripoloAdaptador deImpedancia



226

11

11

0101

1

z

y

z y == Pero

y

y z

Δ= 22

11

22

1101

.

y

y y y

Δ=∴ [106]

Lo mismo de la Ec. [104] y de la tabla I obtenemos:

11

2202

.

y

y y y

Δ= [107]

De la Ec. [105] y de la tabla I:

1122. y y

ytgh

Δ=γ [108]

Para que exista adaptación en ambos extremos debe cumplirse que:

a R y

101 =

b R y

102 =

Además por la Ec. [106] y [107]

1122

22110201 .... y

y y y

y y y y ΔΔ= ba R R

y y y.1. 0201 Δ=∴ [109]

Por lo tanto el determinante Δy debe ser un número real:

La matriz [y] del circuito π es:

[ ]ba R R

y y y y y y y y y

y y y y

.

1)).((

)(

)( 223221

322

221 =−++=Δ⇒⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−

−+= [110]

Calculando el parámetro y11 del circuito:

32222111133221 ;... y yY y y y y y y y y y y +=+=⇒++=Δ∴

Luego por la Ec. [108]

)).((. 32211122

2

y y y y

y

y y

ytgh

++Δ

=Δ

=γ

Cálculo de y2:



227

Por la Ec. [110]

22

2

y y

ytgh

+Δ

Δ=γ

22

222

2 ).(γ

γ tgh

y y y ytgh y y

Δ=+Δ⇒Δ=+Δ∴

⎟⎟ ⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛ −Δ=Δ−Δ=⇒Δ−Δ=∴ 2

2

2

2

22222 1..γ

γ γ

γ γ tgh

tgh ytgh

tgh y y y ytgh

y y

γ

γ

γ

γ

tgh

tgh

R R y

tgh

tgh y y

ba

2

2

2

21

..

11.

−=⇒

−Δ=∴

Peroγ γ

γ

senhtgh

tgh 11 2

=−

γ senh R R y

ba ..

12 =∴ ó γ senh R R z ba ..2 = [111]

Cálculo de y1:

De )( 3222 y y y += y)).(( 3221

2

y y y y

ytgh

++

Δ=γ

Esγ 2

2132

).()(

tgh y y y y y

+Δ=+ [112]

A su vez de [107]

02211

2211

22202

11

2202 .

.. y

y

y y

y

y y y

y

y y y

Δ=⇒

Δ=⇒

Δ=

Pero2

202

1

b R y = e 2111 y y y +=

221

221

.)(

b R y

y y y

Δ

+=∴ [113]

Peroγ 2

213222

)()(

tgh y y

y y y y

+

Δ=+= Por la Ec. [112]

Luego igualando [113] con [112]



228

γ γ 2

222

21221

21 .)(

).(

1.

)(

tgh

R y y y

tgh y y

y

R y

y y b

b

Δ=+⇒

+

Δ=

Δ

+

γ γ γ tgh R

y y

tgh R R

R

tgh

R y y y

aba

bb

.

1

..

.2121 =+∴=

Δ=+∴ [114]

21 .

1 y

tgh R y

a

−=∴γ

Recordando la Ec. [111]

γ γ

γ

γ γ

γ

senh R R

R R

sh R senh R R senh R y

ba

ba

abaa .

.

.

cosh

..

1

.

cosh1 −=−=

γ

γ

sh R R

R R R y

ba

bab

..

.cosh.1

−=∴ ó

bab

ba

R R R

senh R R z

.cosh.

..1

−=

γ

γ [115]

Por último, calculamos y3:

y

y y

R y y y

b Δ+

==+)(

.1 2122232 Por la Ec. [113]

221

23)(

.1

y y

y y

R y

b

−Δ+

=∴

Pero

γ tgh R y y

a.

1)( 21 =+ Por la Ec. [114]

γ γ

γ

γ γ

senh R R

R R

senh R senh R R R R

tgh R R

y

ba

ba

ababa

ab ..

.

.

cosh

.

1

.

..

1

2

3 −=−=∴

γ

γ

senh R R

R R R y

ba

baa

..

.cosh.3

−=∴ ó

baa

ba

R R R

senh R R z

.cosh.

..3

−=

γ

γ [116]

Habíamos impuesto que el cuadripolo no consumiera potencia, luego debe ser α = 0.



229

Por lo tanto se debe cumplir que:

β β α γ ω ω j j =+= )()(

Lo que significa que:

β senhj R R jX z ba ..22 == Por la Ec. [111]

Pero β β jsen senhj = y β β coscosh = j

Luego: β sen R R j jX z ba ..22 == β sen R R X ba ..2 =∴ [117]

Análogamente de la Ec. [115]

bab

ba

R R j R

senhj R R jX

.cosh.

..1

−=

β

β

bab

ba

R R R

sen R R X

.cos.

..1

−=∴

β

β [118]

Por último:

baa

ba

R R j R

senhj R R jX

.cosh.

..3

−=

β

β ∴

baa

ba

R R R

sen R R X

.cos.

..3

−=

β

β [119]

Veamos la rotación de fase:

Para 0 ≤ β ≤ 180º

Por ejemplo para β = 90º será

ba R R X .2 = De carácter inductivo

baba

ba R R R R

R R X ..

.1 −=−= De carácter capacitivo

baba

ba R R R R

R R X .

.

.3 −=−= De carácter capacitivo

Luego es:

ba R R X X X .321 ===

En este caso para β = 90º tenemos un adaptador de un cuarto de onda.



230

Luego el circuito finalmente nos queda:

ba R R .

ba R R .

ba R R .



234

GRÁFICOS

DE

SEÑAL




Año 1982



235

ÍNDICE Pág.

Introducción……………………………………………………………………………………………….. 236

Definición………….…………………………... ....................................................................................... 237

Propiedades básicas de los gráficos de señal………………………………... …........................................241

Terminología utilizada en los gráficos de señal……………………………………………….……..……..241

Determinación de un grafo de señal de un sistema de ecuaciones…….........................................................245

Reducción de un diagrama…………………………………………………………………………………..249

Reglas para reducir diagramas……………………………………………………………………………...249

Formula de Shannon-Mason………………………………………………………………………………...264

Aplicación de la ley de los lazos para encontrar la transferencia entre dos nodos cualesquiera…………... 266

Inversión de grafos de señal...........................................................................................................................272

Diagramas de Coates o Diagramas “C”…………………………………………………………………… 278

Diferencia entre Diagramas “M” y “C”..........................................................................................................280

Formula de Coates-Desder…………………………………………………………………………………..283

Determinación del grafo C directamente del circuito………………………………………...…………..…288

Aplicaciones………………………………………………………………………………………………....289



236

GRÁFICOS DE SEÑAL

Introducción:

En el análisis de los sistemas realimentados de control, los especialistas en automatismos

emplean un símbolo simplificado denominado diagramas de bloques.

La combinación de diagramas de bloques y función de transferencia de un sistema físico,

proporciona una representación gráfica de la relación causa a efecto entre la entrada y la salida

de sistema.

Por ejemplo, la representación por diagrama de bloques de la relación entre la Transferencia y la

Excitación de un sistema está dada por la ecuación R(p) = T(p).E(p) y se ilustra en la figura 1.

Las flechas del dibujo significan que el diagrama de bloques es unidireccional (como un

amplificador electrónico), es decir las señales solo circulan en el sentido que indican las flechas.

E(p) R(p) Fig.1

Aunque todos los sistemas (de entrada y salidas únicas) pueden simbolizarse por un solo bloque

conectado entre la entrada y la salida, la ventaja del concepto de diagrama de bloques radica en

el hecho de que los servosistemas están compuestos por varios elementos independientes cuyasfunciones de transferencia se determinan individualmente.

Recordemos que los servosistemas o servomecanismos, son una clase de reguladores

automáticos que realizan la función esencial de mantener, una magnitud física de entrada al

sistema, regulada a la salida, es decir ajustada al valor de referencia (por ejemplo los reguladores

de Tensión y velocidad de un Grupo Motor-Generador).

Lógicamente que para que esto suceda, debe existir entre las variables del sistema (Tensión,

velocidad, etc.), una secuencia cerrada de relaciones causa – efecto que denominamos“realimentación”

Por lo tanto un sistema completo puede representarse por la interconexión de los bloques de los

elementos individuales, de forma que pueda evaluarse su contribución a las características

globales del sistema.

La sencilla configuración de la figura 1 es en realidad el elemento básico en la construcción de

diagramas de bloques complejos.

T(p)



237

En la figura 2 por ejemplo, puede verse el diagrama de bloques de un servosistema típico.

Fig. 2

Cada bloque del diagrama representa un elemento independiente del sistema.

El diagrama de bloques de un servosistema complejo contiene normalmente muchas cadenas deretroalimentación y a su vez dichos bloques pueden tener funciones de transferencia tan

complicadas, que frecuentemente no puede realizarse un análisis detallado del sistema, desde los

puntos de vista de la transferencia de señales entre puntos del mismo y de los efectos que las

variaciones de los parámetros del sistema provocan, sobre características tales como ganancia,

impedancia y sensibilidad.

Los gráficos de señal también llamados diagrama de flujo debido a: S.J. MASON, pueden dar

una representación mas detallada de un sistema complejo que un diagrama de bloques.

Para los servosistemas, los grafos de señal no sólo representan la propagación de las señales por

el sistema, sino que también proporcionan una clara indicación de las cadenas de realimentación

que en él existen.

Pueden distinguirse dos tipos de diagramas.

1).- Diagramas de Mason (diagramas M).

2).- Diagramas de Coates (diagramas C).

Definición:

¿Que es un grafico de señal? Podemos contestar diciendo simplemente que es la representación

grafica de las relaciones entre las variables de un conjunto de ecuaciones algebraicas lineales.

Un grafo de señal es una red cuyos puntos de unión se denominan nodos; estos están unidos por

medio de curvas orientadas denominadas ramas o líneas.

La señal se propaga por una línea únicamente en la dirección de la flecha.

Consideremos un gráfico como en la figura 3., denominado diagrama de Mason (diagramas M).

Valor de

Referenc

R (p)

E(p)

E1(p)

Cadena de realimentación

Motor y Carga

Gc (p) A G1 (p)+

Amplificador -

R (p)

Elementoscompensadores

Medidor deError

ValorRegulado



238

Un diagrama M consta de dos tipos de elementos, los nodos y las ramas o líneas.

Cada nodo corresponde a una variable xk, dependiente o independiente y las líneas orientadas

gkj, relacionan dichas variables.

Este diagrama representa al siguiente conjunto de ecuaciones escritas en forma explicita:

∑=

= N

K

K Kj j x g x

1

siendo j = 1, 2…. N [1]

donde el coeficiente gkj llamado “transmitancia” o “función de transmisión”, representa la

contribución de la variable xk al valor de la variable xj.

El conjunto de ecuaciones pueden ser integro-diferenciales, es decir xk y xj pueden ser

funciones temporales, o ecuaciones transformadas en cuyo caso xk, xj y g son funciones de p en

este caso también el sistema de ecuaciones se escribe:

Efecto en j = ∑ (transmisión de k a j) x (causa en k)

La construcción de grafos de señal consiste básicamente en seguir las relaciones de causa efecto

a lo largo del sistema estableciendo la dependencia de cada variable consigo misma y con las

demás.

Por ejemplo la ecuación: 1122 x g x = [2]

Fig. 4

Se representa mediante el grafo de señal de la figura 4.

Los nodos x1 y x2 representan respectivamente las variables x1 y x2 y la línea orientada de x1 a

x2 , representa la dependencia de x2 respecto a x1 (pero no a la inversa).

x1 x2g12

Nodo NodoLínea

xj

g Nj

gkj

g2j

g1j

x N

xK

x2

x1

Fig. 3



239

La línea puede interpretarse también como un amplificador unidireccional de ganancia g12, de

manera que al aplicar una señal x1 a la entrada, la señal queda multiplicada por la de la línea

g12 y al nodo x2 se le aplica una señal de magnitud g12x1.

Consideremos como ejemplo el conjunto de ecuaciones de un cierto sistema:

3321122 x g x g x +=

4432233 x g x g x += [4]

4443342244 x g x g x g x ++=

4452255 x g x g x +=

El grafo de señal del sistema se ha construido en la figura 5.

Los nodos x1, x2, x3, x4, x5 se han colocado de izquierda a derecha.

Por la primera ecuación se ve que x2 depende de las dos señales g12x1 y g32x3 y en el gráfo de

señal de la fig. 5-a), la línea de ganancia g23 se ha dibujado del nodo x2 al x3 y el de ganancia

g43, se ha dibujado x4 a x3 (fig. 5-b), indicando la dirección de la línea por medio de una flecha.

x1 x2 x3

x4 x5

a)3321122 x g x g x +=

g12

g32

x2 x3 x4

x5

4432233 x g x g x += b)3321122 x g x g x +=

x1

g12

g32g43

g23



240

De forma similar, se ha definido la fig. 5-c a partir de la tercera ecuación.

La figura 5-d muestra el grafo de señal completo.

La línea de ganancia g44 representa la auto dependencia de x4.

x2 x3 x4

x5

x2 x3 x4 x5

c) 2321122 x g x g x += 4432233 x g x g x += 4443342244 x g x g x g x ++=

Fi . 5 Construcción del rafo de señal dado or las Ecs. 4

x1

x1

g12

g32

g23

g43

g34

g44

g24

g12

g32 g43

g23

g34

g24 g25

g44

g45



241

Propiedades básicas de los gráficos de señal.

A partir de aquí es conveniente resumir algunas de las propiedades importantes de los grafos de

señal.

a) Los nodos representan las variables del sistema.

Normalmente, los nodos se ordenan de izquierda a derecha siguiendo la sucesión de

causa a efecto a través del sistema.

Las variables que los nodos representan, pueden ser dependientes o independientes.

b) La línea orientada que va del nodo xk al x j representa la dependencia de la variable

x j respecto a la variable xk pero no a la inversa.

c) Las señales se propagan por las líneas sólo en la dirección de las flechas.

d) Al propagarse la señal xk por la línea que va de xk a x j queda multiplicada por la

transmitancia o ganancia gkj de dicha línea, por lo que al nodo x j, llega la señal gkj.xk .

Terminología utilizada en los gráficos de señal

En el tratamiento de los grafos de señal se emplean los siguientes términos:

1) Nodo transmisor: es aquel en el que el nodo representa una variable independiente y

por lo tanto las líneas salen de él. Ejemplo: el nodo x1 de la fig. 5).

2) Nodo receptor: es aquel en el cual el nodo representa una variable dependiente y por

lo tanto las líneas entran a él. Ejemplo: el nodo x5 de la fig. 5).

Sin embargo, el nodo receptor no siempre cumple esta condición.Por ejemplo, el grafo de señal de la fig. 6-a, muestra que el nodo tiene también una

línea de salida.

A fin de que se cumpla la condición enunciada, es necesario introducir una línea de

ganancia unidad y una variable x3 adicional, como se ve en la fig. 6-b.



242

Esto indica, que todo nodo que no sea transmisor, puede convertirse en nodo receptor por medio

de la operación arriba mencionada.

Sin embargo, no puede utilizarse un procedimiento similar para convertir un nodo que no sea

receptor en nodo transmisor.

Por ejemplo, el nodo x2 del grafo de señal de la fig. 6, no reúne las condiciones de nodo

transmisor.Si intentamos convertirlo en nodo transmisor añadiéndole una línea de ganancia unidad

procedente de otro nodo x2 idéntico, resulta el diagrama de la fig. 7.

Sin embargo la ecuación del nodo x2 es ahora:

33211222 x g x g x x ++=

Que es distinta de:

3321122 x g x g x +=

Así pues, podemos llegar a la conclusión de que la única forma de convertir x2 en nodo

transmisor es replantear las ecuaciones originales del sistema de forma que x2 aparezca sólo en

el segundo miembro de las ecuaciones.

3) Trayectorias: cualquier sucesión continua y unidireccional de líneas recorridos en el

sentido que indican las flechas.

Ejemplo: x 1 - x2 - x3 - x4 - x5; x2 - x3 - x4; etc., en la fig 5-d.

x2

1

x3x2x1g32

g23g12

Fig. 7_ Intento de convertir a x2 transmisor

x1

1 x4

x3x2x1

g32

g23g12x3

x2g32

g23g12

a) grafo original b) Grafo modificado

Fig. 6_ Transformación de un grafo de señal



243

4) Trayectoria directa: es la que va desde el origen al nodo final a lo largo del cual no se

repite ningún nodo.

Ejemplo: x1 – x2 – x3 – x4 - x5 ó x1 - x2- a través de g24 - x4 - x5; ó x1 - x2 a través de

g25 - x5 en la fig. 5-d.

5) Lazos: trayectoria que empieza y termina en el mismo nodo y a lo largo del cual no

se repite ningún nodo, excepto el inicial y final.

Ejemplo: x2 - x3 - x2 - x3 - x4 - x3; x4 - x4 a través de g44.

Sin embargo x2 - x3 - x4 - x3 - x2 no es una trayectoria de realimentación, ya que x3 esta

repetido dos veces. (fig.5).

6) Ganancia de una trayectoria: el producto de las ganancias de todas las líneas quecomponen la trayectoria.

Ejemplo: g12.g23.g34 para la trayectoria x1 - x2 - x3 - x4 en la fig. 5-d.7) Ganancia de un lazo: El producto de las ganancias de todas las líneas que forman el

lazo.

Ejemplo: g23.g32 para el lazo x2 - x3 - x2;

g34.g43 para el lazo x3 - x4 - x3;y g44 para el lazo x4 - x4 en la fig 5.

8) Nodo de paso: es aquel en el que entra una sola línea y sale también una sola.

9) Nodo contributivo: Es aquel en el que entran varias líneas y sale solo una.



244

10) Nodo distributivo: Es aquel en el que entran una sola línea y salen varias.

Los tipos 8) y 9) se denominan no esenciales.

11) Nodo esencial: Aquel en que la misma ganancia sale y entra nuevamente (pudiendo

haber otras líneas entrantes y salientes).

Ejemplo: el nodo x4 de la fig. 5 es un nodo esencial.



245

Determinación de un grafo de señal de un sistema de ecuaciones.

Consideraremos un sistema de ecuaciones representativas de un circuito de tres mallas, con tres

incógnitas I1, I2, I3 y tres generadores de tensión e1, e2, e3, uno en cada malla.

1) 3132121111 I z I z I z e ++=

2) 3232221212 I z I z I z e ++=

3) 3332321313 I z I z I z e ++=

Trabajaremos con el grafico M.

Cada ecuación indica el estado en la malla correspondiente.

Debemos despejar una incógnita de cada ecuación, colocándola en función de las demás y de los

datos.

Elegimos para despejar, de la ecuación 1), a I1

nos queda:

311

132

11

12

11

11 I

z

Z I

z

Z

z

e I −−= (1’)

De la ecuación 2) despejamos I2:

322

231

22

21

22

22 I

z

z I

z

z

z

e I −−=

(2’)

De la ecuación 3) despejamos I3:

133

312

33

32

33

33 I

z

z I

z

z

z

e I −−=

(3’)

Dibujamos a continuación los tres nodos transmisores que corresponden a las tres fuentes e1, e2,

e3, y los tres nodos receptores correspondientes a las tres corrientes incógnitas I1, I2, I3.

Luego representamos los valores y sentidos de las líneas según las relaciones (1’), (2’), (3’),

resultando el siguiente gráfico de señal.



246

Se sobreentiende que la forma geométrica del diagrama no tiene ninguna importancia.

Lo importante es conservar las relaciones de dependencia que existen entre las variables y

escribir los valores correctos de las ganancias para transferencias, recordando que siempre debe

cumplirse:

∑ ==

n

k k kj j x g x1

Siendo gkj las transferencias de las líneas que entran al nodo x j provenientes de los nodos xk .

Una características de los diagramas M es que el producto del valor de un nodo por una

transferencia que sale de él, tiene la dimensión de la magnitud que corresponde al nodo al que

llega esa línea.

Veremos como ejemplo para ilustrar la construcción de grafos de señal de sistemas lineales, el

caso de un amplificador con realimentación a través de la resistencia de carga.

La figura 9 representa el círculo lineal de un amplificador con realimentación.

E1 g e

e

g eμ

i p e1

R r p

g e 2e

e

≡k

Fig. 9

1/z333 I 3e

11

13 z

z −-z23/z22

-z32/z33

-z31/z33

-z21/z22 1e

111 z 1 I 2e2 I 22

1 z

Fig. 8



247

De estos dos circuitos vemos que:

)( pc f i Rk e ×= [5]

y ∴ ⇒×−= c p Rie2 k

ee

f −=2 [6]

Un conjunto de ecuaciones que define las relaciones causa a efecto del circuito puede ser:

f i g eee −= [7]

c

c

g f kR

r rp

ee ×

+

×=

[8]

k

ee

f −=2 [9]

Para plantear estas ecuaciones hemos elegido como variables del sistema e1, eg, ef y e2.

El grafo de señal correspondiente es el de las Fig. 10.

En este grafo de señal, la cadena de retorno de ef a eg muestra claramente el efecto de la

realimentación de tensión directamente de la salida a la entrada.

Fig 10. Grafo de señal que representa las ecuaciones [7],[8] y [9].

Normalmente las ecuaciones de un sistema físico pueden revestir distintas formas según lasvariables dependientes que se elija.

En este mismo problema si escogemos como nuevas variables a e1, eg, I p y e2, las ecuaciones del

circuito se transforman en :

pc g ikRee .1 −= [10]

c p

g

r r

ei p

+=

.μ

[11]

g e 1e 2e

k 1−

-1

f e

c pc

r r KR μ

+1



248

pc i Re .2 −= [12]

Cuyo gráfico de señal es el siguiente:

Figura 11. Grafo de señal que representa las ecuaciones [10],[11] y [12].

En la fig. 11 se ha dibujado el grafo de señal correspondiente a estas ecuaciones.

Esto demuestra que el grafo de señal de un sistema no es único; por lo tanto pueden construirsevarios gráficos de señal para un mismo sistema, según como se hayan escrito las ecuaciones del

circuito.

e 2e

C R−

pi

c p r r KRc

+μ

11e

C kR−



249

Reducción de un diagrama

Es el conjunto de operaciones que se efectúa para llevar un grafo en el que solo existen nodo

transmisor y el nodo receptor.

Es decir, en el diagrama anteriormente visto se trataría de llegar a otro que solo contuviera los

nodos e1 (transmisor) y e2 (receptor).

donde T es la transferencia total del sistema entre los nodos e1 y e2.

1

2

e

eT =

Reglas para reducir diagramas.

Se ha definido la reducción un diagrama como el conjunto de pasos necesarios para

transformarlos en otros, que solo contiene un nodo transmisor y otro receptor, unidos por una

línea cuya transmitancia es la transferencia total del sistema entre esos nodos.

Las siguientes reglas permiten reducir cualquier diagrama combinándolas adecuadamente.

1) Composición en paralelo: si se conectan en paralelo dos líneas su transmitancias se

suman, tal como la ilustra la figura 12-b.

Debe observarse la fundamental diferencia entre esta composición y el lazo formado por las

transmitancias g12.g21 en la figura 12-c.

Las transmitancias ga y gb en la figura 12-a no forman lazos, sino señalan dos caminos paralelos

entre x1 y x2, equivalente a uno sólo cuya transmitancia es la suma de las dos.

Fig.12. Composición en paralelo de transmitancias

a 12 g

≡ 1 x 2 1 x 2 x

1 2

b b)c)

ba +

21 g a)

e1 T e2



250

2) Eliminación del nodo de paso

Esta regla se justifica recordando que, por definición:

2233 . x g x = ∴ x3 = g12.g13.x1

12122 . x g x =

3) Composición en cascada: El grafo de la figura 13-a establece las siguientes relaciones

entre las variables x1, x2, x3 y x4.

1212 . x g x = 2323 . x g x = 3434 . x g x =

Sustituyendo la primera en la segunda se obtiene:

121323 x g g x =

Y luego sustituyendo en la tercera:12132434 x g g g x =

Eliminando de este sistema los nodos x2 y x3 se obtiene la relación reducida entre x1 y x4.

1144 xG x = x1 G14 x4

Donde: G14 = g43 g32 g21

De ello se deduce la posibilidad de eliminar nodos intermedios en un grafo en cascada,

multiplicandos las transmitancias de las sucesivas ramas.

g12g23 g23 g12

≡1 31 32

12 g 43 g

32 g

21 g

56 g

25 g

12 g 43 g 32 g 21 g

43216

5

43

2

1

a

bFig. 13



251

Si se aplican las reglas de composición lineal a los nodos del grafo de la fig. 13-b resulta:

1122 x g x =

2231133 x g x g x +=

3344 x g x =

4452255 x g x g x +=

5564466 x g x g x +=

Eliminando de este sistema los nodos x2, x3, x4 y x5 se obtiene la relación reducida entre x1 y x6.

1166 xG x =

x1 G16 x6Donde:

1223344556133445561225561223344613344616 g g g g g g g g g g g g g g g g g g g G ++++=

El examen del grafo de la fig. 13-b permite comprobar que la G16 hallada, es la suma de todos los

caminos abiertos entre los nodos x1 y x6, aplicándose en cada uno la regla de composición en

cascada de las transmitancias.

Esta regla es completamente general por ser la consecuencia directa de las leyes distributivas de

la suma y del producto que rigen a las composiciones en paralelo y en cascada respectivamente,

de las transmitancias y se aplican a grafos sin lazos de realimentación.

4) Eliminación del nodo contributivo:

Justificación:

2231133 x g x g x += ⇒ 23423134134 x g g x g g x +=

3344 x g x =

3423 g g

3413 g g

34 g 23 g

13 g

3 42

1

4

2

1

≡



252

5) Eliminación del nodo distributivo:

Justificación

x3 = g23 x2 x3 = g12g23 x1

x4 = g24 x2 ⇒

x4 = g12g24 x1 z2 = g12 x1

6) Eliminación del nodo contributivo - distributivo:

Justificación

x2 = g25 x5 x2 = g15 g52 x1 +g35 g52 x3

x4 = g54 x5 ⇒ x4 = g15 g34 x1+ g35 g54 x3

x5 = g15 x1+g35 x3

12 g

23 g

12 g

4

1

3

15 g

4

3

2

1

54 g

52 g

35 g 5

4

5415 g g 5435 g g

5235 g g 5215 g g

3

2

1

4

3

1≡

2312 g g

2312 g g

≡



253

7) Eliminación de un nodo contributivo: habiendo una realimentación que llega desde el

receptor:

El nodo 2 se elimina inmediatamente según la regla 2)

7`) Una variante posible es eliminar el lazo de realimentación creando el lazo propio en el

nodo 2)

Justificación de la regla 7’)

x2 = g12 x1 + g32 x3 x3 = g12 g23 x1+ g32 g23 x3 ⇒ x3 (1-g32 g23) = g12 g23 x1

x3 = g23 x2

Esta relación se cumple en el diagrama reducido.

Puede observarse que cuando aparece un lazo propio de transmitancia g.

La transmitancia total del grafo es la misma que había si le lazo no existiera y las líneas entrantes

al nodo esencial dividieran sus transmitancias por

(1-g) = diferencia de retorno

3223 g g

2312 g g

31

3223 g

3223 g g

23 g 321 12 g

1

32231

23123 x

g g

g g x

−=

≡

32 g

23 g

12 g

321321

12 g 23 g



254

1

8) El mismo caso que 7), pero con la realimentación que vuelve al nodo transmisor:

Luego se elimina el nodo 2 por la regla 2):

Las reglas 7 y 8 tienen en común la transformación de un nodo no esencial.

Pero también puede verse como el desdoblamiento de un nodo no esencial.

Todo ocurre como si el nodo 2 se desdoblar en 2` y 2``, ambos nodos de paso se eliminan.

9) Desdoblamiento de un nodo esencial:

El nodo 2 se desdobla en 2’ y 2” , conservando ambos el lazo propio.

El nodo 3 queda transformado en esencial.

1221 g g

12 g 23 g 23 g 12 g

21 g

3 22 11

≡ 3

32 g

23 g

23 g 23 g

22 g

22 g

12 g 12 g

2’’

33 2’2 1

≡ 32 g

22 g

1

32 g

23 g

12 g 23 g

32 g

12 g

2’’

33 2’2 11

≡

32 g

2812 g g

1221 g g

31



255

Se cumple que:

1322322

23121

22

3223

22

23123 1

)]1

1/()1

[( x g g g

g g x

g

g g

g

g g x

−−=

−−

−=

Justificación a través del diagrama inicial:

3322221122 x g x g x g x ++= ⇒ 3321122222 x g x g x g x +==

2233 x g x =

322

321

22

122 11

x g

g x

g

g x

−+

−=∴

Luego

322

32231

22

23122233 11

x g

g g x

g

g g x g x

−+

−==

=−

−∴ 322

32233 1

x g

g g x

1

22

2312

1 x

g

g g

− ⇒ =

−− )

11(

22

32233

g

g g x

1

22

2312

1 x

g

g g

−

Finalmente:

1

22

3223

22

2312

3

11

1 x

g

g g

g

g g

x

−−

−=

⇒ 322322

2312

1

3

1 g g g

g g

x

x

−−=

32 g 23 g

22 g

22

3223

1 g

g g

−

2’’

2322

12

1 g

g

g ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−2322

12

1 g

g

g ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−

≡

1 1 33



256

10) Descomposición de un nodo contributivo-distributivo en uno contributivo y otro

distributivo.

Como vemos dicha descomposición se efectúa agregando una transferencia unitaria.

Vamos a ver como ejemplo la reducción del siguiente grafo de señal.

1º paso: Eliminamos el nodo 3 aplicando la regla 8

2º paso: Eliminamos en nodo 4 aplicando la regla 7.

24 g

56 g 35 g

45 g 32 g 23 g

3

12 g 24

5

6

54 g

00≡

1 1

1

154 g

3523 g g 45 g

2

12 g 4

5 6

24 g

3223 g g

2

3523 g g

5

4524 g g

5445 g g

3223 g g

56 g

1 12 g

6



257

3º Paso: Aplicando la regla 1 a las líneas g24g45 y g23g35

4º paso: recordando que las líneas entrantes a los nodos esenciales dividen sus transferencias por

las diferencias de retorno de los lazos correspondientes tenemos la transferencia total del grafo

de señal.

156

5445

3223

352312452412

6 .)1(

)1( x g

g g

g g

g g g g g g

x−

−

+

=

∴ )1)(1(

)(

54453223

563523452412

1

6

g g g g

g g g g g g

x

x

−−

+=

Obtención del grafo de señal a partir del circuito

Una forma de obtener el grafo de señal es la que se ilustra con el siguiente ejemplo:

En el nodo 2 se cumple:

11

21 I Z

V V =

−

∴

1121 I Z V V =−

⇒

1112 I Z V V −=

1

6)35234524)(

3223112( g g g g

g g

g +

−

5445 g g

556 g

235234524 g g g g +

5445 g g 3223 g g

61

12 g

5 56 g

I1 VI

Z1 Z3 Z5

Y2 Y6 Y4 I3 I5

2 3 4



258

Análogamente:

3323 Z I V V −= y 5534 Z I V V −=

Luego el sistema de ecuaciones de tensiones del circuito es:

1112 I Z V V −= [13]

3323 Z I V V −= [14]

5534 Z I V V −= [16]

Escribimos ahora el sistema de ecuaciones de las corrientes

I1 = I3 + V2Y2 [17]

I3 = I5 + V3Y4 [18]

I5 = V4Y6 [19]

Se pasa ahora a representar las relaciones entre variables mediante el grafo de señal

Según cual sea el nodo que se tome como transmisor y el que se toma como receptor, el

diagrama nos permite calcular:

La transferencia de tensión1

4

V

V o la impedancia de entrada

1

1

I

V , etc.

Y6

Y4Y

-Z5 -Z3 -Z1

I5 I3 I1

V4 V3 V2

V1

1 11

11



259

Veremos ahora el efecto de un agregado en el circuito inicial sobre el grafo de señal.

La ecuación [18] se transforma.

7

314353 )(

Z V V Y V I I −++=

Agregándose al grafo de señal anterior las líneas punteadas

Puede comprobarse que el agregado de un elemento deja invariados los demás elementos del

grafo de señal.

Otro método posible, adopta una sistematización de manera que no es necesario escribir las

ecuaciones.

Se comienza por elegir un árbol del circuito dado, es decir un grafo que une todos los nodos del

circuito del físico, sin cerrarse.

Para el mismo circuito del ejemplo anterior, un árbol posible es el que se indica con línea llena:

432

I3 I5

Z7

1Z1

Y2

Z3

Y4 Y6

Z5

I1

V1

7

1

Z

7

1

Z

−

I5 I3 I1

V4 V3 V2 V1

-Z2 -Z3 Y Y6 -Z5

1 1 1

11

0

4

32

1



260

Se impone la condición de que en el árbol estén todas las ramas que contienen fuentes de tensión

y ninguna de las que contienen fuente de corrientes.

Las ramas del circuito faltantes en el árbol, constituyen el coárbol (al que se indica con línea de

trazos).

El trazado del grafo comienza dibujando los nodos, que representan las tensiones en ramas delárbol y las corrientes en las ramas del coárbol.

En nuestro caso, las tensiones V1, V2, V3 y V4; y las corrientes I1, I3 e I5.

Luego se escriben las tensiones en ramas del coárbol en función de las tensiones en ramas del

árbol y las corrientes en las ramas del árbol, en función de las corrientes en las ramas del

coárbol.

El diagrama se completa vinculando variables mediante las impedancias de las ramas del árbol y

las admitancias de las ramas del coárbol.El grafico a que se llega se denomina primitivo.

En nuestro ejemplo la aplicación de estas reglas lleva al siguiente grafo primitivo.

Este diagrama representa las mismas relaciones circuitales que el obtenido por el otro método.

Aunque es más fácil de deducir, resulta más complejo pero puede reducirse fácilmente, ya que

los nodos que no estaban en el diagrama anterior se eliminan inmediatamente mediante las reglas

conocidas.

Otro método para terminar los grafos de señal directamente del circuito, se puede realizar

eligiendo en forma intuitiva las variables a considerar, adoptando las variables para los nodos

“transmisor” y “receptor” de acuerdo al problema a resolver.

Las dependencias entre dichos nodos se determinan por la inspección del circuito y sus

transferencias, se calculan por sus derivadas parciales.

En efecto, si tenemos un nodo como el indicado:

3

1

Z 5

1

Z 1

1

Z

21Y

4

1

Y 6

1

Y

I5

I4

I3

I2

I1

V34 V23

V12

V4 V3

V1

-11-11

-11-1

1-11

V 2



261

Se puede escribir

4423321122 x g x g x g x ++= Donde las transferencias de las trayectorias tienen por expresión

1212

x x g ∂∂=

; 3232

x x g ∂∂=

; 4242

x x g

∂∂=

Veamos un ejemplo: Sea el siguiente circuito con una fuente controlada (representativo de un

amplificador):

Reagrupando:

Se adoptan las variables dependientes e independientes.

Nosotros tomaremos:

V1: independienteEg; I; V2: dependientes

V2

R’3

R 2 2

V1

R 1

1

I = gmegR’3 = rp//R3

0

R 1

0

R 2

V1

gmeg

1 2

rp+ R 3

4 x

32 g

42 g

25 g 2 x

3 x

1 x 5 x

12 g



262

El gráfico se traza por inspección del circuito.

Las transferencias a, b, c y d se determinan de la siguiente manera

bI aV E g += 1 ∴ tecons I

g

V

E a tan

1=∂

∂=

La condición I = constante, equivale a anular la fuente de corriente en el circuito incremental,

quedando:

Circuito 1

321

32

1 '

'

R R R

R R

V

E a

g

++

+=

∂

∂=

Luego para el cálculo de 0

11=

∂

∂= V

g

V

E b se anula la fuente de tensión V1 y haciendo el

equivalente de Thevenin en la fuente de corriente nos queda:

321 ' R R RVThi

++=

iE g

R’3

R 2

R 1

g

3' IRV Th =+

2V

m g

g E

1V

a

I

c b

d

+i

E g R’3

R 2

V1

R 1

g



263

1iR E g −=

⇒++

−= 1321 ' R

R R R

Vth E g

321

13

'

'

R R R

R IR E g ++

−=

=∂

∂=∴1 I

E b g

321

13'

' R R R

R R

++−

Para el cálculo de c y d se debe partir de la otra ecuación.

cI dV V += 12

Luego para el cálculo de c tomamos el circuito 2

02 1=∂∂

= V I

V c ⇒ =+−= )( 212 R RiV =+++− )(' 21

321 R R

R R R

VTh

( )'321

21

'

3 R R R

R R IR

++

+−

=∂

∂=∴

I

V c 2

321

213

'

)('

R R R

R R R

++

+−

Para el cálculo de d tomamos ahora el circuito 1… 01

2=∂

∂= I

V

V d

32 '. RiV = Pero

321

1

' R R R

V i

++

= ⇒

321

312

'

'

R R R

RV V

++

=

321

3

1

2

'

'

R R R

R

V

V d

++=

∂

∂=∴



264

Fórmula de Shannon-Mason

Esta fórmula nos permite hallar la transmitancia de un diagrama M entre dos nodos cualquiera,

sin reducirlo, lo que presenta ventajas apreciables en gráficos complejos.

Se basa en la ley de los lazos, que determinan el valor de la transferencia de un lazo cualquiera.

Ejemplos:

1)

2)

3)

De (1) 21 1 xa

e x

−= y reemplazamos en (2)

3232322

111

11

x

a

be

d xdx

a

be xdx x

a

be x

−−

=⇒=⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −

−→+−

=

1

3

c

de

a b

2

23

312

211

cx x

dxbx x

exax x

=

+=

+=

)3(

)2(

)1(

≡

a

≡ 12

21

bx x

ax x

=

= ⇒ a.b=1

2 x 1 x

b

c

≡ 12

121

cx x

axbx x

=

+= ⇒

212

21

1

.1

xa

bccx x

xa

b x

−==

−=

1

a

2

b

1

1

=

−

∴a

bc



265

⇒

−−

= 22

11

x

a

be

cd x

1

11

=

−−

a

be

cd

[4]

De donde cualquiera sea el número de lazos del sistema, la transferencia cerrada es siempre igual

a 1.

Además se deduce de [4]:

)(1 acd abecd −+++= [5]

Esta conclusión debe generalizarse enunciándola de la siguiente manera.

En todo circuito cerrado se cumple que la suma de las transferencias de los lazos, tomados de a

uno, menos la suma de los productos de las transferencias de los lazos que no se tocan, tomados

de a dos, más la suma de los productos de las transferencias de los lazos que no se tocan tomados

de a tres, etc. vale la unidad (Ley de los lazos) de donde en general:

∑ ∑ ∑ ++−= ......1 k ji jii L L L L L L [6]

Ejemplos:

En este caso aplicando la [6] tenemos:

acdjhcdjhbehjbefg ajhafg adc jh fg cd bea +−−−−−−++++=1

2)

54

321

hfc ba

ed

g j

VgV1

I5

-G3 Z1

G3 -G3

R 4

μZ2 R 4

Z1

I2 Y2

I3

V4

-Y2

Z1

-G3 V6

∝Y1



266

Aplicando la Ec. [6]:

1341132231114321 Z G RY Z G Z Y G Z Z Y RGY Z i L α μ α −+−+−−=∑

432143 RGY Z RG L L ji α −=∑

43214313411322311143211 RGY Z RG Z G RY Z G Z Y G Z Z Y RGY Z α α μ α +−−+−+−−=∴

Aplicación de la ley de los lazos para encontrar la transferencia entre dos nodos cualesquiera

Se trata de llevar el gráfico a una configuración cerrada por medio del agregado de una rama

adicional que cierre el camino entre el nodo transmisor y el nodo receptor.

Ejemplo: Sea el siguiente grafo de señal correspondiente a un circuito de dos mallas:

Este es un grafo de señal abierto, que cerramos mediante el agregado de la rama a:

Aplicando la ley de los lazos (Ec. [6] ) resulta:

42314143211 Y Y Z Z aY Z Y Z Y Z −+−−−=

Pero:

aV

V T

1

1

3 ==

Y2 Y4 -Z1

1I1

1 V2 V3

I2

-Z3

V1 1

V1

Y2 Y4 -Z1

1I1

1 V2 V3

I2

-Z3

a

1



267

Relación que podemos despejar de la Ec. [7]

42314143211

3

1

11

Y Y Z Z Y Z Y Z Y Z aV

V

++−+==

Hallaremos una expresión general. Llamaremos:

∑ ∑ =+−+∑−= 0....1 k ji jii L L L L L L H

Además

0')0( =+= aH H H

Donde H(0) es la suma de términos que no contienen a “a” ya

H H

∂

∂='

siendo a =Transferencia de la rama adicional.

La transferencia buscada será:

)0(

'1

H

H

aT −== [8] Fórmula de SHANNON-MASON

Ejemplo: Determinar la impedancia de entrada1

1

I

V Z e = en el grafo del ejemplo anterior.

La rama a cierra el camino entre el nodo transmisor V1 y el nuevo nodo receptor I1.

La ley de los lazos establece:

01 423143242434121 =+−−−+++= Y Y Z Z Y Z aY aY aY Y Z Y Z Y Z H

4231414321)0( 1 Y Y Z Z Y Z Y Z Y Z H ++++=∴

)(' 43242 Y Z Y Y Y H ++−= ∴ ')0(

1

1

H

H a

I

V Z e ===

α

Y2 Y4 -Z1

1I1

1 V2 V3

I2

-Z3

V1 1



268

42342

4231414321)0( 1

' Y Y Z Y Y

Y Y Z Z Y Z Y Z Y Z

H

H Z e ++

++++=

−=

Ejemplo: La figura siguiente muestra un diagrama funcional de bloque de un sistema de control

y a continuación se representa su grafo de señal.

Nótese que no se indican todas las variables.

Como E1 = M1-B1 = G1.E - H1.M2, no es necesario mostrar M1 y B1 explícitamente.

Este ejemplo es el de un sistema mas bien complejo, de manera que puede esperarse que la

ecuación resultante sea también compleja.

Sin embargo la aplicación de la formula de Shannon Mason produce la transferencia total de una

manera sistemática.

Este sistema tiene seis lazos cuyas transmitancias son:

-G2H1, -G5H2, aG1G2G3G5, aG1G2G4G5, –G1G2G3G5 y -G1G2G4G5

∑ −−++−−= 54215321542153212512 GGGGGGGGGGGaGGGGaG H G H G Li

∑ −−= ))(( 2512 H G H G L L J I

- B1 B2

E2

-+

+ M1 +

-

+ G1 G2 G3 G5

G4

H2 H1

e

B

E

2 E

a

-1

-H1

1 RR G5

-H2

G

G3

G2G1 E1eE1

M



269

Aunque hay cuatro lazos no hay ninguna terna de lazos que no se toquen por tanto:

∑ = 0k ji L L L

Luego la transferencia global de “e” a “R” es:

)0(

'1 H

H

ae

RT −==

∑

++

+−−+−=∑+−=

54215321

251254215321251211

GGGGGGGG

H G H GGGGaGGGGaG H G H G L L L H jii

=)0( H 54215321251225121 GGGGGGGG H G H G H G H G +++++

54215321' GGGGGGGG H −−=

==)0(

'

H

H T

5421532125122512

54215321

1 GGGGGGGG H G H G H G H G

GGGGGGGG

+++++

+

Veamos un ejemplo mas completo: Sea el circuito que a continuación se representa y que se

considera formado por elementos R, L, C que pueden representarse por medio de funciones

admitancia o impedancia Y(p) y Z(p) respectivamente.

≡

La transformada de Laplace de la tensión de entrada se designa por Een(p) y de la tensión de

salida por Es(p).

Een(p)

+

Z4(p)

I2(p)

Y3(p)

Es(p)Z2(p)

Y1(p)I1(p)

Figura 14 a

a-Y1

1 EsEs

-Z2

Y3Z2 I1

-Y3

I2 Z4 E2 YEen

Figura 14 b



270

Si empleamos las intensidades de rama y las tensiones de nodo indicadas en el circuito, el

conjunto de ecuaciones independientes es:

[9]

Que representan las relaciones de causa a efecto del circuito (se sobreentiende que todas las

funciones lo son de p).

El grafo de señal de la figura 14-b se ha construido ordenando las variables Een, I1, E2, I2, y Es, de

izquierda a derecha.

De este ejemplo y de otros vistos anteriormente podemos deducir que las ecuaciones adecuadas

para los grafos de señal no son las de mallas ni las de nodos, empleados, generalmente, en el

análisis de circuitos.

Vemos en este ejemplo que combinando en las ecuaciones las intensidades de rama y las

tensiones de nodo, se puede dibujar directamente el grafo de señal a partir de dichas ecuaciones.

Por otro lado hemos visto también que si se dispone de las ecuaciones de mallas o de nodos

como únicos datos, en primer lugar debemos reagrupar los términos de las ecuaciones de forma

que los efectos aparezcan en el primer miembro de las ecuaciones y las causas en el segundo, ya

que originalmente no están en la forma correcta causa-efecto.

Se puede ver fácilmente que para describir el circuito e la figura 14-a se precisan solo dos

ecuaciones de malla.

En cambio el grafo de señal correspondiente a las ecuaciones de mallas reordenadas tendrá

menos nodos y líneas que el de la Fig. 14-b) pero las transmitancias de línea serán más

complejas.

De hecho la ventaja del grafo de señal de la fig14-b) reside en que cada línea contiene en los

términos de la transmitancia a un solo elemento, admitancia o impedancia.

Veremos ahora el cálculo de la transferencia de tensión.

.

entr

sal

E

E T = aplicando para ello la

fórmula de Shannon-Mason.

Para ello en la figura 14-b, cerramos el gráfico con la línea de puntos que va de Es a Ee y de

transmitancia a.

24

323

2212

121

)(

)(

)(

I Z E

Y E E I

Z I I E

Y E E I

s

s

en

=−=

−=

−=



271

Por tanto:

sen aE E = ⇒ )0(.

. '1

H

H

a E

E

ent

sal −==

En este grafo existen cuatro lazos cuyas transmitancias son:

(Z2)(-Y1); (-Z2)(Y3); (Z4)(-Y3); (a)(Y1)(Z2)(Y3)(Z4).

Luego:

∑ =i L 4321343212 Z Y Z Y aY Z Y Z Y Z +−−−

∑ = ji L L 3412 Y Z Y Z

0∑ =k ji L L L

Por lo tanto:

01 31424321343212 =+−+++= Y Y Z Z Z Y Z Y aY Z Y Z Y Z H

3142343212)0( 1 Y Y Z Z Y Z Y Z Y Z H ++++=

4321 Z Y Z Y H −=

Luego:

=−==)0(.

. '

H

H T

E

E

ent

sal

3142343212

4321

1 Y Y Z Z Y Z Y Z Y Z

Z Y Z Y

++++



272

Inversión de grafos de señal:

La inversión de diagramas de flujo permite expresar un sistema dado de ecuaciones lineales

convirtiendo las variables dependientes en independientes y viceversa, pero conservando las

relaciones de causa a efecto originales.

Veremos algunas reglas de inversión de trayectorias y lazos.

1) Inversión de una trayectoria:

23

12

bx x

ax x

=

=

≡ 22

21

1

1

xb

x

xa

x

=

=

2) Inversión de una línea :

El hecho de que un nodo particular de un grafo de señal sea un nodo generador se debe a como

se hayan escrito las ecuaciones representadas por el grafo.

Reordenando las ecuaciones, lo que era un nodo generador puede convertirse en nodo nogenerador y recíprocamente.

Específicamente, consideremos una ecuación que dé x2, la cual se reordena para dar x1,

explícitamente de la manera siguiente:

4312 cxbxax x ++=

43211

x

a

c x

a

b x

a

x −−=

-1/ax1 x1

x3

x4

x2

-b/a

x4

x3

c

a

b

-c/a

≡

Figura 15 a Figura 15 b

x2

1/a 1/b bx x3 x2a

≡x1 x3 x2



273

El grafo correspondiente a la primera ecuación es el de la figura 15-a).

Análogamente, el grafo correspondiente a la segunda ecuación es el de la figura 15-b).

Fijémonos en la línea original de la transmitancia a que va desde x1 a x2.

En el grafo modificado se ha invertido el sentido y el valor de la transmitancia en el reciproco

del anterior.Observemos que ha sucedido al mismo tiempo con las otras líneas.

El que originalmente iba a x2 desde x3 se ha dirigido ahora hacia x1 y su transmitancia se ha

dividido por la de la línea que se invirtió, cambiada de signo.

Lo mismo le ha sucedido a la línea que originalmente llegaba a x2 desde x4.

En la ecuación vemos que cualquier otra línea que llegara a x2 sufriría la misma transformación.

El resultado de este proceso recibe el nombre de inversión de una línea.

Esta puede realizarse para cualquier línea que parta de un nodo transmisor o generador con elresultado de que este se convierte en un nodo receptor.

3) Inversión de las ramas que concurren a un nodo contributivo:

412 cxax x += a) ≡ 421

1 x

a

c x

a x −=

b)

32

1 x

b x =

Las ecuaciones a) y b) son equivalentes, dado que expresan las mismas relaciones, como puede

comprobarse fácilmente. En un nuevo grafico, el nodo transmisor x1 ha pasado a ser receptor y

viceversa.

1/ax1 x1

x3

x4

x2

1/b

x4

x3

c

a

b

x2

-c/a

≡

23 bx x =



274

4) Inversión de líneas o ramas que concurren a un nodo distributivo

211

xa

x =

123 caxcx x == ≡ 321

xc

x =

124 baxbx x == 24 bx x =

5) Caso en que hay un nodo esencial o lazo general.

En el primer grafo:

34 dx x =

312 cxax x +=

23 bx x =

Transformemos el nodo 1 en receptor, es decir, transformemos x1 en variable dependiente.

El lazo desaparece dando lugar a dos transferencias en paralelo.

Operando se obtiene:

34 dx x = 431

xd

x =

312 cxax x += 321 x

b x =

3211

xa

c x

a x −=

44431

11

.

1 xad

c

xabd xd a

c

xab x −=−=∴

-cc

x4 x4

1/a 1/b b

x1 x3 x2

a

x1 x3 x2

d 1/d

1/ax1

x1

x3

x4

x2

1/c

x4

x3

b

a

c

x2

b

≡

12 ax x =

23 bx x =



275

Quedando finalmente:

41 )1

(11

xcbd a

x −=

Resultando el siguiente grafo que responde a la última ecuación, el cual resulta más conveniente

que el anterior, por haber desaparecido el lazo.

Se observa que la línea c ha cambiado el signo de su transferencia, pero no su sentido.

Puede efectuarse el mismo proceso con una trayectoria constituida por un número cualquiera de

líneas que vayan de un nodo transmisor a otro nodo.La inversión se efectúa en una línea cada vez partiendo desde un nodo transmisor.

Vemos como ejemplo el caso de un circuito amplificador con retroalimentación de la figura 16.

La resistencia total de salida es R 3.

Figura 16

Escribimos las siguientes ecuaciones:

23

1V

R I =

I pc

V V b1

2 −=

I RV gR I gV RV aab 222 )( −=−−=

21 aV V V a +=

El grafo de señal representativo de este sistema de ecuaciones en el representado en la fig. 17-a)

donde se han representado los valores de transmitancias con símbolos, genéricos a, b, c etc.

V-

+

gVa

+

-

C

I

( ) 31 Ra−

aR 3

R 2 Va +

+

V2V1

-

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ − c

b

1

x4

1/a

x1 x3x2

1/d



276

Se desea invertir el camino de V1 a I.

Se invierte primeramente el nodo a , lo que conduce a la Fig. 17-b.

[fig 17]

I

1/a bf

cV2

Va

V

V1

b)

eg

-d/a

I

bf

d

cV2

Va

V

aV1

a’)

eg

a

1

pc

1−

V2

3

1

R-R 2

Va -gR 2

V

I

1V1

a)



277

Ahora Va es el nodo transmisor, por tanto puede invertirse el V b, lo que nos lleva a la figura

17-c.

Análogamente, pueden invertirse las líneas c y e en este orden.

El grafo de señal final, con el camino invertido es el representado en la figura 17-d.

[fig. 17]

Obsérvese que el grafo original de la figura 17-a, tiene tres lazos de realimentación.

En cambio el grafo con la trayectoria invertida es un grafo en cascada, que no tiene lazos de

realimentación.

Indudablemente es un grafo de señal, más sencillo.

I

-g/b

1/a

1/b

-f/c

1/cV2

Va

V

V1

d)

1/e

-d/a

I

e

-g/b

1/a

1/b

f

cV2

Va

V

V1

c)

-d/a



278

Diagramas de Coates o Diagramas “C”

En estos diagramas las ecuaciones se representan en forma implícita a diferencia de los grafos

M, que se expresaban en forma explicita.

Cada nodo no indica una variable, sino una ecuación que corresponde a dicha variable.

Ejemplo: Tenemos un sistema de ecuaciones de malla.

1313212111 e I Z I Z I Z =++

2323222121 e I Z I Z I Z =++

3333232131 e I Z I Z I Z =++

O sea:

01313212111 =−++ e I Z I Z I Z

02323222121 =−++ e I Z I Z I Z

03333232131 =−++ e I Z I Z I Z

Veremos ahora el procedimiento para la construcción del diagrama C en base al último sistema

de ecuaciones:

1) Asignamos arbitrariamente una ecuación a cada nodo del grafico, por ejemplo, el

nodo 1 de la ecuación 1, etc.

Decimos entonces que la primera ecuación representa al nodo 1 e igual para las

demás ecuaciones.

2) Se toma un nodo 0 como referencia. Este es el nodo transmisor general.Todas las tensiones salen de él.

3) Del nodo 0 al nodo 1 llevamos una línea de transferencia correspondiente a la

tensión aplicada a la malla 1 pero con signo cambiado.

Hacemos lo mismo con los otros dos nodos.

4) En cada nodo aparecen lazos propios, correspondientes a las causas que pertenecen a

la misma malla.

Tienen valores Z11 para el nodo uno, Z22 para el dos y Z33 para el tres.



279

5) Se agregan como líneas entrantes a cada nodo, los provenientes de la influencia de las

otras mallas.

Por ejemplo: al nodo uno entran las transferencias Z12 (provenientes del nodo dos) y

Z13 (provenientes del nodo 3).

Obtenemos para nuestro caso el siguiente diagrama.

En este diagrama, recordamos, cada nodo representa no una variable sino una ecuación que se da

en forma implícita.

Se obtienen en general diagramas mas cerrados que los de Mason.

En los diagramas de Coates, además, siguen valiendo las reglas de reducción vistos para

diagramas M, excepto, en lo referente a la reducción de un lazo propio.

-e3

-e2

-e1

Z33

I3

I1

Z31

Z11 Z22

Z21

Z12

Z13

Z 23

Z32

I2

Figura 18



280

Diferencia entre Diagramas “M” y “C”

La única diferencias entre estos dos diagramas, en lo que se refiere a reglas de reducción, es el

tratamiento de un nodo esencial.

Veremos dos casos:

A) Dado el nodo esencial en el diagrama M hallar el diagrama C equivalente.

12 1 xb

a x

−=

≡ 13 1

xb

ac x

−=

23 cx x =

Para hallar el equivalente C debemos buscar un el diagrama C que reducido me dé igual al M

reducido dado.

La solución es la siguiente:

0221 =−+ xbxax

23 cx x = ≡ 13 1

xb

ac x

−−=

Como vemos estos diagramas son equivalentes porque son iguales las expresiones reducidas

x3/x1.

1

c b

a

x3x2x1

Diagrama C equivalente

≡

x3 x1

b

ac

−1

Diagrama C reducido

x3 x1

c

b

a

x3x2 x1

b

ac

−1

≡

Diagrama M Diagrama M reducido



281

De las diferencias de expuestas se deduce la regla de pasaje de diagrama M al C:

“Para pasar de un diagrama M al diagrama C correspondiente, hay que agregar lazos propios de

transferencia (-1) en todos los nodos esenciales”

B) Dado el nodo esencial en el diagrama C hallar el diagrama M equivalente:

Diagrama C equivalente Diagrama C reducido

021 =+ bxax ≡ 13 xb

ac x −=

23 cx x =

Como vemos en el diagrama C no existe la diferencia de retorno dado por el lazo propio como

en el diagrama M.

Al igual que en el caso A), debemos hallar el equivalente M.

Para ello debemos buscar un diagrama M que reducido me dé igual al C reducido.

13 )1(1 cx

b

a x

+−=

⇒ 13 x

b

ac x −=

De las diferencias expuestas se deduce la regla de pasaje del diagrama C al M:

“Para pasar de un diagrama C al diagrama M correspondiente se deben agregar lazos de

transferencia (+1), en todos los nodos esenciales”

El diagrama C es generalmente mas fácil de hallar a partir del circuito que el diagrama M; perogeneralmente es más difícil de resolver.

x3 x1

b

ac−

Diagrama M reducido

x1

1

c

1+b

a

x3x2x1

≡cb

a

x3 x2

Diagrama M equivalente

≡

c b

a

x3x2x1

x3 x1

b

ac−

≡



282

Por ello un método conveniente en muchos casos puede ser el siguiente:

a) Escribir el diagrama C por inspección del circuito.

b) Transformar en un diagrama M.

c) resolverlo mediante reducción o fórmula de Shanon Mason.



283

Fórmula de Coates-Desoer

Esta fórmula nos permite hallar el valor de la relación x1/x0 entre una variable x1 y otra de

referencia x0, o el valor de la incógnita x1, si se hace x0 de valor uno.

Antes de ello dibujaremos el diagrama C de un sistema de dos ecuaciones:

01212111 =−+ e I Z I Z 02222121 =−+ e I Z I Z

La expresión de la formula de Coates- Desoer es:

( )[ ]

( )∑

∑

−−

−−

=

ρ

ρ

σ

σ

0)1(

10)1(

0

1

1G

GG

x L

L

Veremos el significado de los símbolos:

Denominador: G0 gráfico reducido (es el gráfico que no contiene el punto o)

En nuestro ejemplo es:

: ρ Numero de subconjuntos que se pueden formar en el grafico, en cada uno de los

casos de los cuales están todos los nodos y se forman lazos que no se tocan.

I1

Z11

Z12

Z21

I2Z22

-e2

-e1

Z22

Figura 19

Z11

I1

z12

I2

Z21

O

≡



284

: ρ L Numero de lazos de cada subconjunto.

Por estar (-1) elevado a este valor el signo será positivo para numero de lazos par

y negativo para numero impar.

Por lo tanto, el denominador es la sumatoria de los productos de las transferencias de los lazos de

los subconjuntos del grafico reducido.

Numerador:

G: Significa el grafico total (o sea el que incluye a o).

En el numerador aparece la suma de los productos de las trayectorias que van del

nodo 0 al nodo considerado 1, multiplicada por los productos de las transferencias

de todos los lazos disjuntos a esa trayectoria.

En nuestro ejemplo el denominador vale:

[ ] [ ] 2112221121121

22112 )1()1( Z Z Z Z D Z Z Z Z D −=⇒−+−=

Hallaremos ahora el numerador.

En él aparece la trayectoria a la incógnita que nos interesa, lo que no ocurriría en el

denominador, que es igual para todas las incógnitas.

Suponiendo que queremos calcular I2 o sea esa corriente o ese nodo es nuestra incógnita,

determinaremos a continuación las posibles trayectorias con sus correspondientes lazos con sus

correspondientes lazos disjuntos.

La trayectoria de la derecha no tiene ningún lazo disjunto.

0I1

I2

-e2 Z11

I1

-e1

Z21

I2

0

I1 I2

Z22

I1Z12

Z12

I2 Z11



285

El numerador será:

[ ] [ ] 2111122110

1121 )1()1( Z e Z e N Z e Z e N −=⇒−−+−−=

Luego I2 se obtiene de inmediato pro el cociente de estos dos valores:

21122211

2111122

Z Z Z Z

Z e Z e I −−=

Justificación: del sistema de ecuaciones original la escribimos en forma matricial.

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

2

1

2

1

2221

1211

e

e

I

I

Z Z

Z Z

D

N

Z Z Z Z

Z e Z e

Z Z

Z Z

e Z

e Z

I =−−

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

=∴21122211

211112

2221

1211

221

111

2

Como vemos el denominador no es más que el desarrollo del determinante del sistema.

Veremos otro ejemplo. Para ello tomamos el diagrama de la figura 18 y escribimos su diagrama

reducido.

I3

I1

Z31

Z11 Z22

Z21

Z12

Z13

Z 23

Z32

I2

Figura 18

Z33



286

En base a este diagrama reducido debemos formar todos los subconjuntos posibles en el cual en

cada uno de ellos están todos los nodos y se forman lazos que no se tocan.

Ya podemos calcular el denominador que vale:

[ ] [ ]3113222

3322113 )1()1( Z Z Z Z Z Z D −+−= [ ] [ ]211233

2322311

2 )1()1( Z Z Z Z Z Z −+−+

[ ] [ ]23313121

3221131 )1()1( Z Z Z Z Z Z −+−+

[ ] [ ]311322332211 Z Z Z Z Z Z D +−= [ ] [ ]211233322311 Z Z Z Z Z Z ++ [ ] [ ]2331312322113 Z Z Z Z Z Z −−

Hallaremos ahora el numerador.

Supondremos por simplicidad que las dos únicas excitaciones son e1y e2.

Z 23 Z31

I2

I3

I1

Z21

I3

I2

I1

I2

Z32

Z13

I2

Z33

I3

I1

Z13 I3

Z32

I2

I1

Z31

I3

I1

I3

Z22

I2

Z11

I1

Z33

Z22 Z11

Z 23

Z21

Z12Z12



287

Las trayectorias son:

La trayectoria del cuadrante superior derecho no tiene ningún lazo disjunto.

El numerador será:

[ ] [ ]312310

332111 )1()1( Z Z e Z Z e N −−+−−= [ ] [ ]31132

133112

2 )1()1( Z Z e Z Z e −−+−−+

31132331123123133211 Z Z e Z Z e Z Z e Z Z e N +−−=

Luego I2 será el cociente entre estos dos valores:

231231132231321321331221322311332211

311323311231231332112

Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z

Z Z e Z Z e Z Z e Z Z e I

−+−++−

+−−=

)(

)(

132231231231321321331221322311332211

311323311233211312312

Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z

Z Z e Z Z e Z Z e Z Z e I

−++−−−

−+−−=

)()()(

)()(

132223123132133312213223332211

3113331123321312312

Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z

Z Z Z Z e Z Z Z Z e I

−+−−−

−+−=

Que representa la solución matricial del sistema de ecuaciones.

I

0-

Z31 Z 23

I2

Z33

I3

I1

I3

I2

I1

I3

Z33

Z21

-

Z11

I1 -0 -0

Z31

I3

I1

Z13

0

I2



288

Determinación del grafo C directamente del circuito

El método se basa en las ecuaciones de malla o de nodo del circuito, previa transformación de las

fuentes de tensión o de intensidad respectivamente:

Ejemplo:

Tomamos un nodo de referencia 0, externo al circuito y además tomamos dentro de cada malla

un nodo que representara en el grafico la ecuación correspondiente a dicha malla.

Luego trazamos una línea partiendo de 0, que corte a la fuente y llegue al nodo correspondiente a

esa malla.

El valor de la transferencia de esa línea será el de la fuente, con signo cambiado.

Además se trazan entre cada par de nodos las transferencias que representan las impedancias

mutuas entre las respectivas mallas.

El diagrama se completa con los lazos propios de cada nodo, que representan las impedancias

propias de las mallas.

De esta manera obtenemos el diagrama sin necesidad de escribir las ecuaciones.

-e1

Z31

e1

Z32Z 23

Z12

Z21

Z13

Z22

Z33

I3

I2Z11

I1

Z1 Z3

Z4

Z5

0

Z2



289

Aplicaciones

Veremos, para ilustrar el caso en que hay dependencias activas entre mallas, el diagrama C para

un amplificador a transistor es:

≡

Las ecuaciones de malla del sistema son.

0121 =−− V h R I h I r Li

Resultando el siguiente diagrama C

-V1

I1 hi

-R Lh

hf /h0

I2(R L+1/h0)

0

--

+V1

v2R

hi

hrV2

+

-

1/h0

10

I h

f h

I2

-

-

+

V1 I1 v2

Circuito equivalente

-

+

R L

0)1

(0

20

1 =++h

R I h

h I L

f



290

Aplicación: Veamos el ejemplo de un circuito con fuente controlada , como es el caso de unAmplificador con realimentación negativa.

En este caso hay dependencia tanto activa como pasiva entre mallas.El diagrama se traza en primer término como si el circuito fuera pasivo.

Luego se toma en cuenta la influencia de las fuentes controladas.

Diagrama para circuito pasivo:

El generador dependiente afecta a las mallas 2 y 3, es decir, a las corrientes i2 e i3.

Pero como:

)( 212 ii Z e g −=

el generador controlado depende de i1 e i2, por ello, deben aparecer nuevas trayectorias que

partan de i1 e i2.

Las transferencias de esas nuevas ramas se pueden hallar como sigue:

Ejemplo: Línea que sale de i1 y entra a i2.

La ecuación de a malla 2 para el circuito pasivo era:

0)( 312322 =−−++ ir i Z r Z Z i p p

0V2

Z2+Z3+rp

i3i2-V1 i1

-Z2

-Z2-r p

r p+Z4

-r p

Z1+Z2

Z4

g e.

Z6 i1

Z1 Z3

Z2 i2 i3

R p

+

+

-

-

V1

Fig. 8

V2

eg = (i1 – i2) Z2



291

Que se ve refleja en el grafico anterior.

La ecuación de la misma malla considerando el generador controlado es:

g p p E ir i Z r Z Z i =−−++ 312322 )(

o sea : 2212312322 )( i Z i Z ir i Z r Z Z i p p μ μ −=−−++

0)( 3121222322 =−−−+++ ir i Z i z i z r Z Z i p p

Los términos adicionales subrayados representan las dos nuevas líneas entrantes al nodo i2, una

proveniente del nodo i1 y otra del nodo i2 mismo, es decir, un lazo propio.

Análogamente se hallan nuevas trayectorias a partir de la ecuación de la malla 3.

g p p E r i Z r i −=−+ 243 )(

O sea: 2212243 )( i Z i Z r i Z r i p p μ μ +−=−+

0)( 2221243 =−−++ p p r ii Z i Z Z r i

El diagrama definitivo es:

Se han subrayado las transferencias de las nuevas líneas.

0V2

i3

i2

-V1 i1

-μZ2

-Z2 -r pr p+Z4

-μZ2

Z1+Z2

Z4

μZ2

μZ2

-r p-Z2



292

Aplicación: caso en que se utilizan ecuaciones de nodos.

Veremos nuevamente la aplicación al amplificador con realimentación negativa del caso

anterior.

Como trabajaremos con las ecuaciones de nodo redibujemos nuevamente el circuito con los

valores de admitancia y fuente de intensidad.

El diagrama de flujo se traza de la misma manera que en el ejemplo anterior obteniéndose:

0

Y2+Y3+gp

V3V2-I0 V1

-Y2

-Y2-g p

g p+Y4

-g p

Y1+Y2

Y2 V3

g p

I0

)21( vvm g −

V2

Y4Y3Y1

V1



293

Luego incorporando el efecto del generador controlado nos aparecen las transferencias

subrayadas:

)()()( 21212323 V V g Y V V Y g V g V m p p −=−+++−

21213223 )( V g V g Y V g Y Y V g V mm p p −=−+++−

0)( 21213223 =+−−+++− V g V g Y V g Y Y V g V mm p p

0

Y2+Y3+g p

V3

V2

V1

-gm

-Y2-g p

g p+Y4

gm

Y1+Y2

g

-gm

-g p-Y2



294

REPRESENTACIONES

DE LA FUNCIÓN

TRANSFERENCIA,

EN BASE

A LA CONFIGURACION

DE POLOS Y CEROS




Año 1982



295

INDICE Pág.

Introducción……………….. ................................................................................................................... 296

Propiedades de la transferencia…………………………... ..................................................................... 296

Obtención de la respuesta frecuencial a partir de la configuración de polos y ceros. ….......................... 300

Influencia de la ubicación de los polos y ceros, sobre las curvasde respuestas en frecuencia de amplitud y fase…………………………….…………….………………304

Cero sobre el eje jω………………………………….............................................................................. 305

Cero próximo al eje jω con componente real y negativo........................................................................306

Polo sobre el eje jw…………………………..............................................................................................307

Polo próximo al eje jw con componente real negativa……………………….........................................309

Cero en el origen……………………………………..............................................................................310

Polo en el origen..……............................................................................................................................312

No existen polos ni ceros……….............................................................................................................312

Polos real negativo……..………………….…………...........................................................................312

Cero en el origen y polo real negativo....................................................................................................313

Cero en el origen y par de polos complejos conjugados....................................................................... 314

Par de polos complejos conjugados:..................................................................................................... 315

Funciones de amplitud constante………............................................................................................... 317

Funciones de fase mínima………………………………:…..................................................................318



296

PROPIEDADES Y REPRESENTACION DE LAS TRANSFERENCIAS, EN BASE A LA

CONFIGURACION DE POLOS Y CEROS

Introducción:

En clases anteriores se vio que un modelo circuital idealizado puede ser totalmente

caracterizado, trabajando en el domino de frecuencia compleja, mediante las funciones de

Transferencia, para dipolos y cuadripolos.

En este capitulo se tratará de mostrar que toda la información sobre las funciones transferencia

T (p) o respuesta R (p), está contenida en los valores de los polos, los ceros y la constante de

escala A0 de las mismas.Esta información será presentada gráficamente, en las llamadas configuraciones o constelaciones

de polos y ceros.

Se mostrará luego la forma de obtener la respuesta en frecuencia de la amplitud y la fase, a partir

de la configuración de polos y ceros, así como la correlación entre algunas constelaciones típicas

y sus respuestas frecuenciales asociadas.

A continuación se desarrollará la forma de determinar la función Transferencia conociendo su

módulo, fase y su parte real.Finalmente se introducirán los gráficos de Bode, para obtener las respuestas asintóticas de

frecuencia.

Propiedades de la Transferencia

Habíamos visto que toda función Transferencia puede escribirse como cociente de dos

polinomios en “p”:

( )01

11

011

1

...

...

b pb pb pb

a pa pa pa pT

nn

nn

mm

mm

+×++×+×

+×++×+×=

−−

−−

[1]

que puede escribirse, sacando factor común am en el numerador y bm en el denominador, para que

los términos de mayor grado tengan coeficiente unitario:



297

( )

mm

n

m

nn

mm

m

m

mm

m

m

b

b p

b

b p

b

b p

a

a p

a

a p

a

a p

b

a pT

0111

0111

...

...

+×++×+

+×++×+

×=−−

−−

[2]

ó también, llamandom

m

ba A =0 y expresando los polinomios como producto de factores:

))...()...(()(

))...()...(()()(

21

210

ni

mk

p p p p p p P p

z p z p z p z p A pT

−−−×−

−−−×−×= [3]

Donde z k son los ceros de la función, pi los polos y A0 un factor de escala.

Para que A0 tenga el valor correcto, antes de hallar los polos y los ceros (raíces de los polinomios

del denominador y numerador respectivamente), debe operarse algebraicamente de modo que noexistan términos con exponentes negativos para p y que los coeficientes de los términos de

mayor grado sean unitarios.

Puede verse en esta última expresión (Ec. [3]) que salvo el factor de escala A0, que afecta la

amplitud pero no la forma de T (p), toda la información sobre ésta, se halla contenido en los

valores de los polos y los ceros de la función.

Esto sugiere la conveniencia de representar dichos polos y ceros en el plano complejo, para

facilitar el análisis de la influencia que tienen sobre T(p) o sobre la respuesta, puesto que yavimos anteriormente que R(p) podía estar representado también por una expresión como la [1].

Este análisis es valido no sólo para la función transferencia T(p) o la función respuesta R(p), sino

también por las llamadas impedancias o admitancias de excitación de un dipolo o cuadripolo,

definidas a continuación:

salida

entrada

I

V p Z =)(

salida

entrada

V

I pY =)(

Existen ciertas restricciones respecto de las ubicaciones de los polos y ceros de estas funciones,

que serán estudiadas en primer término para las impedancias y admitancias de excitación.

a) _ Las funciones Z (p) e Y (p) son de la forma dada por la Ec [1], con todos sus coeficientes

reales y positivos, por ser combinaciones de los parámetros circuitales.

Por tanto en estas funciones, tanto los polos y los ceros deben estar en el semiplano izquierdo

(incluyendo el eje jω como caso ideal, pues siempre hay presente alguna resistencia).

Además los polos y ceros, ó son todos reales ó aparecen de a pares conjugados.



298

b) _Para las impedancias ó admitancias, la diferencia de grado entre numerador y denominador

puede ser: 1, 0, ó -1.

Los polos y ceros en el infinito, implícitos en estas funciones, sólo pueden ser simples.

Esto se deduce del comportamiento de los dipolos pasivos para frecuencias muy altas y muy bajas.

En efecto cuando la frecuencia tiende a infinito en la Ec. [1], resulta:

nm

n

m

pnn

mm

p p p

b

a

pb

pa pT −

∞→∞→∞→=

×

×= limlim)(lim [4]

Si m - n = +1, la Ec. [4] queda:

pb

a pT

n

m

p p ∞→∞→= lim)(lim

que corresponde a una impedancia en la que la componente inductiva es preponderante

e p L p Z .)( = .

Ó una admitancia en la que la componente capacitiva es la más importante e p C pY .)( =

Si m - n = -1, la Ec. [4] queda:

p

a

b pT

m

n p p ×=

∞→∞→

1lim)(lim

Que corresponde a una impedancia en la que es preponderante la componente capacitiva

e

p pC

Z 1

)( = .

Ó una admitancia en la que la componente inductiva es la más importante

e

p pL

Y 1

)( = .

Finalmente si m - n = 0, la ecuación [4] queda:

n

m

p p b

a pT

∞→∞→= lim)(lim

Que corresponde a una impedancia resistiva en la que las componentes reactivas no existen o han

sido cortocircuitadas por capacitores conectados en serie.

En resumen, los grados del numerador m y del denominador n, deben ser iguales o diferir en una

unidad.

Esto implica que exista un cero simple en el infinito (m – n = 1).Ó un polo en el infinito (m - n = -1).



299

Ó que no existan polos o ceros implícitos en el infinito (m - n = 0).

Análogamente, cuando la frecuencia tiende a 0, la Ec. [1] se reduce a:

01

0100

lim)(limb pba pa pT

p p ++≅

→→ [5]

En la Ec. [5] pueden darse las siguientes alternativas.

Si a 0 = 0 ⇒ pb

a pT

p p 0

1

00lim)(lim→→

≅

Que corresponde a e p L p Z .)( = ó e p C pY .)( =

Si b0 = 0

pa

b pT

p p ×≅

→→

0

100

1lim)(lim

Que corresponde a:e

p pC

Z 1

)( = óe

p pL

Y 1

)( =

Si 00 ≠a y 0≠b ∴ 0

0

00lim)(lim

b

a pT

p p →→≅

Que corresponde a Z(p) = Re ó Y(p) = Ge

Para el caso de la función transferencia, las restricciones son las siguientes:

a) _ Las funciones de transferencia son de la forma dada por la Ec.[1], con todos los coeficientes positivos.

En consecuencia son funciones reales, los polos y ceros son reales o aparecen de a paresconjugados.

b) _ Para que la respuesta esté acotada, los polos deben tener la componente real negativa o

como caso limite nula.

Esto es, deben encontrarse en el semiplano izquierdo o en el eje jω.

Los ceros pueden encontrarse en todo el plano complejo, incluyendo el semiplano derecho,

sin implicar inestabilidad.

Cuando T(p) tiene todos los ceros en el semiplano izquierdo, se denomina función de fase

mínima, por las razones que se verán mas adelante.

c) _ Para que la respuesta tenga sus ordenadas acotadas, en caso de existir polos sobre el eje jω,

estos deben ser simples.

No hay restricciones respecto de la multiplicidad de los ceros.

d) _ Para las funciones transferencia definidas como relaciones de tensiones o de corrientes, el



300

grado del polinomio del numerador debe ser menos o igual al denominador.

Obtención de la respuesta frecuencial de circuitos excitados por una señal senoidal,

a partir de la configuración de polos y ceros.

Para este análisis se utilizará la configuración de polos y ceros de T(p), para estudiar las

modificaciones que experimenta la respuesta de un circuito, excitado por una señal senoidal en

régimen permanente, cuando varia la frecuencia de la excitación, manteniendo constante su

amplitud y fase.Considérese una función operacional T(p) constituida por un cociente de polinomios como el

mostrado en la Ec. [3].

Esto es:

))...()...(()(

))...()...(()()(

21

210

ni

mk

p p p p p p P P


−−−×−

−−−×−×=

En régimen senoidal permanente (p = jω), la Ec. [3] se convierte en:

))...()...(()(

))...()...(()(

)( 21

210

ni

mk

p j p j p j P j

z j z j z j z j

A pT −−−×−

−−−×−×= ω ω ω ω [5]

Los fasores complejos eficaces de la excitación y la respuesta, están vinculados a través de la

expresión:

)()()( j E jT j R x×= [6]

Por tratarse de una igualdad de funciones de variable complejas, la Ec. [6] puede ser desdoblada

en dos igualdades reales, una para el módulo y otra para la fase.

Esto es:

)()()( x E T R ×= [7]y )(arg)(arg)(arg j E jT R x+= [8]

Las ecuaciones [7] y [8] muestran que si varía la frecuencia de la excitación Ex(t) , manteniendo

su amplitud Ex(ω) ([7]) y su fase arg.Ex(jω) ([8]) constantes, las formas de las curvas de respuesta

de amplitud R(ω) y de fase arg.R(jω), serán respectivamente las de T(ω) y arg. T(jω).

En consecuencia, bastará con estudiar las variaciones del módulo y el argumento de la Ec. [5]

con la frecuencia.

La fig. 1 - a) muestra que los factores de la forma (jω -zk ), son los fasores dirigidos desde el cerogenérico zk, al punto del eje j ω, correspondiente a la pulsación ω considerada.



301

Análogamente en la figura 1 b) se observa que los factores de la forma (j ω-pi) son los fasores

dirigidos desde el polo genérico pi, al punto del eje jω considerado.

En consecuencia la Ec. [5] puede ser expresado:

[9]

Finalmente desdoblando la ecuación [9], se obtienen las expresiones [10] y [11] para

la determinación de las respuestas en frecuencia de amplitud y fase respectivamente,

a partir de la configuración de polos y ceros.

[10]

−= ⎭⎬

⎫

⎩⎨⎧

== ∑m

k oconsiderad jωejedel pto.el hastacero,cada

desdedirigidos fasoreslosdeumentoslosde j ArgT

1

,arg)()( ω ω θ

(jω -pi)(jω -zk )

zk

jω

jω

jω

jω

pi

R R

a) b)

x

Fig.1

∏

∏

= ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

= ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

×=n

ioconsiderad jejedel puntoel hasta polo

cadadesdedirigidos fasoreslosde

m

k oconsiderad jejedel puntoel hastacero

cadadesdedirigidos fasoreslosde

AT

1,

1,

0)(

ω

ω

ω

∏

∏

= ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

= ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

×=n

ioconsiderad jejedel puntoel hasta polocada

desdedirigidos fasoreslosdemóduloslosde

m

k oconsiderad jejedel puntoel hastacerocada


AT

1,

,

1,

,

0)(

ω

ω

ω



302

∑= ⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧

−n

ioconsiderad jωejedel pto.el hasta polo,cada

desdedirigidos fasores,losdeumentoslosde

1

arg [11]

Si no existen ceros, el numerador de la Ec. [9] vale uno.

Los polos y los ceros en el infinito no se computan pues ya están implícitos en las ecuaciones.

El sentido positivo para el cómputo de los ángulos es el mostrado en la Fig. 2.

Ejemplo 1: La figura 3-b) es la configuración de los polos y ceros de la transferencia de

Tensiones, del circuito de la figura 3-a) siendo A0=1.

Calcular los valores de las respuestas de amplitud y fase para ω = 0, 0.5, 1, 2, 5 e ∞.

Con los valores obtenidos, representar gráficamente las curvas de respuesta en frecuencia de

amplitud y fase.

Өk Fig. 2

jω

zk

R



303

Se utilizan las expresiones [10] y [11].

Para ω = 0 , la fig. 3-c) muestra los fasores intervinientes.

Resulta:

0)( 0 == B

A A pT , ya que 0= A por existir un cero en ω = 0.

º90º0º90)0( =−=−= B A θ θ θ

Nótese que para ω = 0, es º90= Aθ .

En efecto, la fig. 3-d) muestra que para todo ω > 0, es2

π θ = A .

En consecuencia, en el límite, cuando ω→0, es º90= Aθ .

C

a)

RVs

R=1mΩ C= 2µf

Ve

x

jω

R p1

z1

ӨA

ω =0,5

ӨB

j0,5

jω

Ā= 0

ӨA=90º

ω=0

x

ӨB=0

c)

jω

ӨB

∞ ∞e) ω = ∞

ӨA

R R

R x

-0,5 -0,5

x

d)

b)

jω

B

B A

B A

-0,5

-0,5



304

Observemos ahora los fasores intervinientes para ω = 0,5.

Aplicando nuevamente las Ec. [10] y [11] se obtiene:

707.0

5.02

5.010)5,0( =

×

×==

B

A AT

º45º45º90)5,0( =−=−= B A θ θ θ

En forma similar se procede para ω = 2 y ω = 5, midiendo sobre la gráfica de polos y ceros, los

módulos y los ángulos de los fasores involucrados.

Finalmente para ω→0, la fig. 3-e) muestra que los módulos de A y B son infinitos y del mismo

orden, de modo que:

1)( 0 ===∞ A B

A AT o

º0º90º90)( =−=−=∞ B A θ θ θ

Representando gráficamente los valores de T(ω) y Ө (ω), se obtienen las respuestas en

frecuencias de amplitud y de fase de la figura 4-a) y b).

Influencia de la ubicación de los polos y ceros, sobre las curvas de respuestas en frecuencia

de amplitud y fase

En lo que sigue se analizará la forma en que afecta, a las curvas de respuesta de amplitud y fase,la proximidad de los polos y los ceros, en un entorno de su zona de influencia.

1

ω ω

T(ω ) Ө(ω )

Fig.41 2 3 4 1 2 3 4



305

Cero sobre el eje jω: La fig 5 muestra una configuración de polos y ceros, que incluye un cero

sobre el eje jω.

En la figura 5-a) se muestran los fasores que intervienen para la determinación de las respuestas

en frecuencias, de amplitud y de fase, para la pulsación genérica ωi < β, mientras que la fig 5-b)

muestra los mismos fasores para ωs > β.

Si se toma, un entorno lo suficientemente pequeño de ω alrededor de β, el único fasor que

experimenta modificaciones importantes es el Ā, ya que los restantes mantienen sus módulos y

argumentos sin alteraciones de consideración.

La Ec. [10] queda:

[12]

Por las razones precitadas, en un entorno alrededor de ω = β, las variaciones de T(ω) son

producidos por las modificaciones de A , el que llega a anularse cuando ω = β y crece

rápidamente para los valores menores o mayores de ω , dando lugar a la curva de la fig.6-a).

La Ec. [11] resulta

jω jω

θA

θA

resto de la config.de polos y ceros

jβ

jωi

Fig.5

R

B

A

C


jβ

jωs

R

C

A

D

D

B

∏= ⎭⎬

⎫

⎩⎨

⎧

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

×

×=n

i oconsiderad j puntoal poloslos


oconsiderad jω puntoal ceros,tesreslosdesde

dirigidos fasores,losdemóduloslosdeoducto A

AT

1 ,

,

tan

Pr

0)(

ω

ω

∑= ⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧

−

−⎭⎬⎫

⎩⎨⎧+=

n

i

A

oconsiderad ejedel pto.al polocada

desdedirigidos fasores,losdeumentosde

oconsiderad jωejedel pto.al cerostesreslosdesdedirigidos fasores,losdeumentosdeuma

1

)(

.

arg

,tanargSθ θ ω



306

[13]

donde las variaciones de Ө(ω), dependen fundamentalmente de las modificaciones de ӨA.

Este ultimo ángulo vale -90º, para todo ω < β y + 90º, para todo ω > β.

En consecuencia, la curva del argumento Ө(ω) presenta una discontinuidad de primer orden, con

un salto de +180º, para ω= β como se ve en la figura 6-b).

Cero próximo al eje jω, con componente real negativa: La fig. 7 muestra una configuración de

polos y ceros que incluye un cero con parte real negativa próximo al eje jω.-

Comparando con la fig 5, se observa que existe una gran similitud.

C B

D

jω

θA


j β

jωi

Fig.7

R

A

T(ω)

ω

Ө(ω)

Ө(w s)

Ө(ωi)

∆Ө=180º

ωβ β

b)a)

Fig. 6



307

En efecto las variaciones del módulo y la fase de T( jω ) dependen fundamentalmente del fasor A ,

siendo válidas las expresiones [12] y [13].

Como el módulo de A se hace mínimo para ω = β, pero no llega a anularse, la curva de T(jω)

presenta un mínimo zonal para ω = β, como se puede ver en la figura 8-a).

En cuanto a la fase, sufre una variación muy rápida en las proximidades de ω = β pero sin llegar

a presentar una discontinuidad, como muestra la fig. 8-b).

Cuanto más próximo al eje jω se encuentra el cero, más abruptas son las variaciones de las

curvas.

En efecto la fig.9 muestra el efecto de α sobre Ө(ω).

En el límite, cuando el cero queda sobre el eje jω, las curvas presentan las discontinuidades de la

fig. 6-b).

Polo sobre el eje jω:

a) b)

Ө(ω )

Ө(ω s )

Ө(ωi )

T(ω )

ωω

ΔӨ=+180

β β

Fig. 8

b)Ө(ω)

Ө(ωs)

Ө(ωi)

ω

ΔӨ = +180

β

α=0

α creciente

Fig.9



308

La fig. 10 muestra una configuración de polos y ceros que incluye un polo sobre el eje jω

Para ω = β:

Razonando como en los casos anteriores, se encuentra que las variaciones de las respuestas de

amplitud y fase están gobernadas por el fasor N .

En efecto:

[14]

Cuando ω = β, es 0= N y por lo tanto T(ω) se hace infinitamente grande.

Para ω > β ó ω < β, N aumenta rápidamente, dando lugar a la curva de la figura 11-a

En cuanto a la fase, resulta:

Ө(ω )

ω

ΔӨ = +180

β

T(ω)

ω β

Ө(ωi )

Ө(ωs)

C B

D

jω

θn

Resto de laconfig. de polos yceros

jβ

jωi

R

N

c)

a)

Fig. 10

Fig. 11

b)

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

×

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

×=∏

=

oconsiderad jejedel puntoel hasta polocadadesde

dirigidos fasorestesreslosdemóduloslosdeoducto

m

k oconsiderad jejedel puntoel hastacerocada


N

AT

ω

ω ω

,

,tanPr 1

,

,

0)(

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+−

−⎭⎬⎫

⎩⎨⎧= ∑

=

oconsiderad jωejedel pto.al polo,cada

desdedirigidostes,res fasoreslosdeumentosdeSuma

oconsiderad jωejedel pto.al cero,cadadesdedirigidos fasores,losdeumentosde

N

m

k

tanarg

arg1

)(

θ

θ ω



309

[15]

Para ωi < β, es Ө N = 2

π

− y para todo ωi > β, resulta Ө N = 2

π

+ .

De modo que Ө(ω) presenta un salto de -180º, debido al signo negativo que afecta a Ө N.

Polo próximo al eje j ω con componente real negativa: Un análisis similar al efectuado para los

casos anteriores, muestra que para una configuración como la de la fig.12, se obtienen respuestas

de amplitud y fase en un entorno de ω = β, como las mostradas en la fig.13



310

Hemos visto que la presencia de polos y ceros próximos al eje j ω, producen variaciones bruscas

de las respuestas de amplitud y fase.

Si por el contrario, se tiene polos y ceros con componentes reales mayores que las imaginarias,

las curvas presentan variaciones más suaves.

Además los polos producen elevaciones de las curvas de respuesta de amplitud y descensos de

la fase, mientras que los ceros producen un efecto contrario.

Con estos métodos y elementos de análisis, se estudian las respuestas de algunos circuitos y

configuraciones típicas de polos y ceros.

Cero en el origen: El diagrama de polos y ceros está representado en la fig. 14-a), pudiendo

corresponder, por ejemplo, a la impedancia de excitación de un inductor Z(p) = pL.

Para ω0 = 0, resulta T(0) = 0 , pues existe un cero en el origen.

a) T(ω)

ω

β

b) Ө(ω)

ω

β

Fig. 13

ΔӨ = -180

jω

θn


jβ

jωi

R

C B

A

N

Fig. 12



311

Para todo valor de ω > 0, crece linealmente y con él lo hace A AT ×= 0)(ω , dando lugar a

la curva de la fig. 14-b).

En cuanto al argumento, en la fig. 14-a) se ve que vale2

π + para todo ω > 0, dando lugar a la

respuesta de la fig. 14-c).

ω

jω

j ω A

Ө ω

R0

2

π +

T(ω)

Ө(ω)

a)

Fig. 14

c)

b)

ω



312

Polo en el origen: Esta configuración puede corresponder, por ejemplo, a la impedancia de un

capacitor pc

p Z 1

)( = y se la muestra en la figura 15-a).

Puesto que:

A AT

1)( 0 ×=ω

Al crecer ω y por lo tanto A linealmente, T(ω) decrece hiperbólicamente, según se ve en la fig.15-b), donde el polo en el origen hace que la respuesta sea infinita para ω = 0.

En cuanto a la fase, resulta:

cte A =−=−=2

º0)( π θ ω θ

Como muestra la figura 15-c)

No existen polos ni ceros: Ésta transferencia corresponde al circuito resistivo puro, siendo:

cte AT == 0)(ω

000)( ºº =−=ω θ

Polo real negativo: Esta configuración puede corresponder al circuito de la fig. 16-b), para el

cual, la transferencia de tensiones vale:

L R P

R

L R pL

R AT pv p

+=

+==

1)()(

En la fig. 16-b) se aprecia la configuración y el fasor A correspondiente a una pulsación ω

genérica.

0

2

π −

jω

j ω

Ө ω

R

Fig.15

T(ω)

Ө(ω)

ω

ω

a) b)

c)



313

Como A toma su mínimo valor para ω = 0 y crece monótonamente con ω, resulta que:

A AT

1)( 0 ×=ω

Parte del valormin

0 A

A

tiende a cero al aumentar ω1, como muestra la fig.16-c).

En cuanto a la fase ӨA aumenta de 0 a2

π , cuando ω tiende a cero o infinito, hasta que:

Aθ ω θ −= º0)(

Resulta el gráfico de la fig.16-d).

Nótese que esta configuración corresponde a un filtro pasa bajos.

Cero en el origen y polo real negativo: Este caso ya se desarrollo en el ejemplo en el ejemplo 1 y

se muestra en las figuras 3 y 4 corresponde a un filtro pasa altos.

R

j ω

ω

LR Vss(p)

Vee(p)

0

2

π −

T(ω)

Ө(ω)

ω

c)

d

min

0 A

A

a)

Ā

ӨA

b) Figura 16

jω

X



314

Cero en el origen y par de polos complejos conjugados: Esta configuración puede corresponder,

por ejemplo a la transferencia de tensiones del circuito de la fig. 17-a).

En efecto:

LC p L

R P

p

L

R

R pC pL

R pT

11)(

2 +×+

×=

++

=

Vemos que si LC L

R 1)

2( 2 < , en el denominador aparecen dos polos complejos conjugados,

resultando la configuración de la Fig. 17-b).

T(ω) se anula para ω = 0, pues existe un cero en el origen y también para ∞→ , pues hay un

cero implícito en el infinito (existen dos polos y un cero).

Además presenta un máximo para β ≅ , pues existe un polo próximo al eje jω.

La curva de T(ω ) se muestra en la fig.17-c) y corresponde a un filtro pasa banda.

Fig. 17

B

A

ӨA=φ

ӨB=-φ

-jβ

R

L

Vss(p) Vee(p)

c)T(ω)

ω β

d) Ө(ω)

ω

β

jω

jβ

R

a)

b)

2

π −

2

π

+

θc

X

X



315

En cuanto a la respuesta de fase, para ω = 0 es:

º90)(º90)()0( =+−−=+−= ϕ θ θ θ θ B Ac

y para ∞→ω :

º90)º90º90(º90)()( −=++−=+−=∞ B Ac θ θ θ θ

Para β ω ≅ , )(wθ se anula, dando lugar a la curva de la fig.17-d).

Par de polos complejos conjugados: Esta configuración, mostrada en la fig.18-b) puede

corresponder por ejemplo a la transmitancia de tensiones del circuito de la fig.18-a).

En efecto:

LC L

R

p P

LC

R pC pL

pC pv pT

111

1

1

)()(2

+×+

×=

++

=Δ=

Que para LC L

R 1

2

2

<⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ , da dos polos complejos conjugados.

Para ω = 0, la curva de T(ω ) parte del valor de:

22

0

222200

11

)0( β α β α β α +=⎟ ⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ +×⎟

⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ +×=××=

A

A B A AT

Para ω próximo a β, pasa por un máximo debido al polo próximo al eje jω.

Finalmente, para ∞→ω , la curva tiende a cero pues existe un cero implícito de do2 orden en

el punto impropio.

La fig.18-c) muestra la forma de T(ω ) la fase vale, para ω = 0:

( ) ( ) 0)0( =+−−=+−= θ θ θ B A

Para ∞→ es:

( ) π π π

θ θ θ −=⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−=+−=∞22

)( B A



316

En la figura 18-d) se muestra la curva Ө(ω).

T(ω)

d)

-π

B

A

ӨA=φ

ӨB = -φ

-jβ

C

L

Vss(p) Vee(p)

c)

ω

Ө(ω)

ω

jω

jβ

R

a)

b)

Fig. 18

ω= β

R

x

x



317

Funciones de amplitud constante: Son las funciones en las cuales los ceros son la imagen

especular de los polos, respecto del eje jω, como la configuración mostrada en la fig. 19-a).

Estas configuraciones deben corresponder a funciones transferencia para que sus ceros puedan

estar en el semiplano derecho.

En la figura 19 puede verse que los fasores dirigidos desde los ceros al punto jω considerado,tienen módulos que se corresponden con los fasores dirigidos desde los polos al punto j ω

considerado.

En consecuencia, la aplicación de la ecuación [10] dará el valor:

0)( AT =

para todo ω, como se muestra en la fig. 19-b).

De ahí su denominación de función amplitud constante o pasa todo.

Cabe destacar que la respuesta de fase presenta variaciones importantes a pesar de ser constantela amplitud.

Esta propiedad permite usar configuraciones de amplitud constante, para efectuar correcciones

de fase, sin alterar la respuesta de amplitud.

1α − 1α 2α − 2

-jβ

ω

A0

T(ω)

-jβ

Fi .19

X

X

XR

ω



318

Funciones de fase mínima:

Según se ha visto, las funciones de transferencia pueden o no tener ceros en el semiplano

derecho.

Si se observan las configuraciones de la fig. 20, se aprecia que para un cierto valor de ω, lasrespuestas de ambas son iguales:

a) b)

En efecto aplicando las Ec. [10] y [11] a la transferencia de la fig.20-a) nos queda:

E DC

B A AT

××

××= 01 )(ω y ( ) E DC B A θ θ θ θ θ θ ++−+=)(

º0)0( =θ y ( ) 2º90º90º90º90º90º90)(

π

θ −=−=++−+=∞

Luego para ω variando entre 0 y ∞ , )(θ varía de 0º a2

π −

Para la fig.20-b) en que se han trasladado los ceros al semiplano derecho tendremos:

E DC

B A AT

××

××= 02 )(ω y ( ) E DC B A θ θ θ θ θ ω θ ++−−−=)(

º0)0( =θ y ( ) 25º450º90º90º90º90º90)( π θ −=−=++−−−=∞

R

-ӨB

R α1

B -α3-α2 -α1

B

C

E

D

A

ӨC

ӨE

ӨA

ӨB

ӨD

-jβ2

- 1

jβ1

jβ2

j ω

jω

-α2

C

E

D

ӨC

ӨE

-ӨA

ӨD

jβ2

jβ1

jβ1

jβ2

jω

Fig 20

-α3



319

Como vemos para un cierto valor de ω, las respuestas de módulos son iguales ya que A A ′= y

B B ′= con lo que )()( 21 ω T T = .

Sin embargo no ocurre lo mismo con las respuestas de fase.

Así pues, una respuesta de amplitud, puede tener varias respuestas de fases asociados.Se denomina función de fase mínima, a la que tiene todos los ceros en el semiplano izquierdo o

sobre el eje j ω, como la configuración de la fig.20-a).

Las funciones que poseen por lo menos un cero en el semiplano derecho se denominan funciones

de fase “no mínima”.

Como vemos las funciones Transferencia de fase mínima se caracterizan por tener, para igual

comportamiento del módulo con la frecuencia, menos rotación de fase cuando ω varía de cero a

infinito. Las funciones de fase mínima son muy importantes, pues en ellas existe una relación univoca

entre las respuestas de amplitud y de fase, permitiendo la determinación de la segunda cuando se

conoce la primera.

Las funciones de fase no mínima pueden ser consideradas como el producto de una función de

fase mínima y un pasa todo de amplitud unitaria.

Esto se muestra en a fig.21 y aclara la posibilidad de efectuar correcciones de fase, sin modificar

la respuesta de amplitud, empleando funciones pasa todo.

Función de fase mínima

Función pasa todo unitaria

Función de fase nomínima

jω

R

jω

R

jω

R

Polos y ceroscancelados



320

Es interesante destacar que la configuración de polos y ceros correspondiente a la función de fase

no mínima, tiene una fase algebraicamente menor que la de fase mínima, (vemos el caso de la

fig. 20 que22

5 π π

−<− ).

La inconsistencia de la denominación se debe a que fue introducida por Bode para una funciónde transferencia definida inversamente a lo que se acostumbra actualmente.

Esto es:

Actuale

s

V

V pT =)( y Bode definió

s

e

V

V pT =)(

Sin embargo, esto no tiene importancia alguna, pues lo fundamental no reside en que la fase sea

mínima o no, sino en la posibilidad de determinar la respuesta de fase en función de la amplitud,

en forma univoca, para las funciones sin ceros en le semiplano derecho.-



321

GRAFICOS

DE

BODE




Año 1982



322

INDICE Pág.

Introducción al trazado logarítmico...……………….. ............................................................................ 323

Expresiones generales de la función transferencia espectral.................................................................... 324

Trazado de los diagramas logarítmicos de modulo y fase…………………………….............................326

Construcción de los gráficos asintóticos……………………………………………………..…………. 342



323

GRAFICOS DE BODE

Introducción a los trazados logarítmicos

Los trazados logarítmicos de la magnitud y ángulo de la función transferencia sistematizan y

simplifican el proyecto de sistemas realimentados de control.

La ventaja de los trazados logarítmicos es la de que las operaciones de multiplicación y división

se convierten en otras de suma o resta y que el trabajo para obtener la función transferencia es

más bien gráfico que analítico.

Los factores básicos de la función transferencia pertenecen a una de tres categorías que pueden

trazarse aproximadamente por medio de asíntotas.

El empleo del papel semi-logarítmico elimina la necesidad de tomar logaritmos de muchos

números y también extienden el margen de las bajas frecuencias, de primordial importancia.

Planteo general: El logaritmo neperiano, de un número complejo es, a su vez, otro númerocomplejo.

Sea:

R j j eT T

θ ω ω )()( = , donde =)(ω T módulo del complejo

R j j j eT T θ ω ω lnlnln )()( += = )()(ln ω ω θ R j jT + [1]

Vemos que el logaritmo de una variable compleja )( ω jT tiene una parte real igual al logaritmo

neperiano del módulo del complejo y una parte imaginaria igual al ángulo )(ω θ R , expresado en

radianes.

Ambas componentes son función de la frecuencia ω.

De igual forma, el logaritmo decimal de base diez de un número complejo es también otro

número complejo.

Así:

R j j j eT T θ ω ω logloglog )()( += = )()( .)434,0(log ω ω θ R j jT + [2]

Como podía preverse, la parte real es igual al logaritmo decimal del módulo del complejo

( ))(log ω T y la parte imaginaria es )(.)434,0( ω θ R j , empleándose en el resto del tema

solamente la parte proporcional igual a )(ω θ R , omitiéndose, por tanto el factor 0,434.

La unidad comúnmente empleada en el estudio de sistemas realimentados para el logaritmo de lamagnitud, es el decibelio.



324

El logaritmo de una función transferencia )( ω jT expresado en decibelios es:

)()( log20 ω ω jdbT T = [3]

Expresiones generales de la función transferencia espectral

La función transferencia espectral puede ponerse en forma generalizada como el cociente de dos

polinomios.

))...()...(()(

))...()...(()()(

21

210

ni

mk

p p p p p p p p


−−−×−

−−−×−×= [4]

en el que A0 es la ganancia.

El logaritmo de la función transferencia es una cantidad compleja, la parte real es proporcional al

logaritmo del módulo y la parte imaginaria proporcional al ángulo.

Se presentan dos ecuaciones separadas, una para el logaritmo del módulo y otra para el ángulo.

En los gráficos de Bode se representan estas dos ecuaciones separadas:

( )ω ω log1)( f T db

v = [5]

( ) ( )ω θ ω log2º f = [6]

La función transferencia de la ecuación [4] se convierte en la ecuación [7] para régimen senoidal permanente:

))...()...(()(

))...()...(()()(

21

210

ni

mk

p j p j p j p j

z j z j z j z j A jwT

−−−×−

−−−×−×=

ω ω ω ω [7]

Los factores del tipo ( )k z j −ω y ( )i p j −ω que intervienen en el numerador y el denominador de

la Ec. [7], pueden tomar algunas de las formas siguientes:

1) polo o cero, real negativo simple:

( ) ( ) ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=+=α

ω α α ω ω j j F j 11 [8]



325

2) polo o cero, real negativo de orden n:

( ) ( )n

nn j j j F ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=+=α

ω α α ω ω 12 [9]

3) Par de polos complejos conjugados con componente real negativa.

( ) ( )[ ] β α ω −+= j F j3 ( )[ ] ( )222 2 β α αω ω β α ω +++−=++ j j

Llamando a 20

22 ω β α =+ y definiendo la constante de amortiguamiento relativa0ω

α γ = ,

resulta:

( )

2

00

2

32 ω ω γω ω ++−= j F

jw ⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡+

⎟⎟ ⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛ −=

0

2

0

2

021

ω

ω γ

ω

ω ω j [10]

3’) Par de polos imaginarios conjugados.

Es un caso particular del anterior para 0=γ

( ) ( )( )⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=−+=

2

0

20'3 1

ω

ω ω β ω β ω ω j j j j F j

Considérese ahora un caso de la ecuación [7] que incluya todos los tipos de factores posibles,

dejando los polos imaginarios conjugados como un caso particular de los complejos conjugados.

[ ][ ]

[ ][ ])()())((

)()())(()(

666654

3333210

β α ω β α ω α ω α ω

β α ω β α ω α ω α ω ω

j j j j j j

j j j j j j A jT

n

m

++−+++

++−+++×= [11]

La ecuación [11] puede escribirse de acuerdo a las ecuaciones [8] a [10] inclusive:

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡+⎟

⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −++

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +++

×=

066

2

6054

033

2

0321

20654

203210

21)1()1(

21)1()1(

..

...)(

ω

ω γ

ω

ω

α

ω

α

ω

ω

ω γ

ω

ω

α

ω

α

ω

ω α α

ω α α ω

j j j

j j j

A jT

n

m

n

m

[12]

Resultando una nueva constante k modificada por cada uno de los polos y ceros de distinta

manera, según las características de estos.



326

En efecto

20654

20321

0..

...

ω α α

ω α α

n

m

Ak = [13]

De acuerdo a la ec. [3] y teniendo en cuenta las Ecs. [12] y [13], la respuesta de amplitud,expresada en decibeles es:

] −+−+++++=03

32

0321)( 2)(1log201log201log20log20

ω

ω γ

ω

ω

α

ω

α

ω ω j jm jk T

db

066

2

06542)(1log201log201log20

ω

ω γ

ω

ω

α

ω

α

ω j jn j +−−+−+− [14]

Donde puede verse que los factores debido a los polos, sólo difieren de los correspondientes a los

ceros del mismo tipo, en que están multiplicados por (-1).

La respuesta de la fase resulta:

−⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡+⎟

⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++=

4033

2

3021)( 12111

α

ω

ω

ω γ

ω

ω

α

ω

α

ω θ θ ω j Arg j Arg jmArg j Arg k

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

+⎟⎟ ⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛

−−⎟⎟ ⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛

+− 066

2

605 211 ω

ω

γ ω

ω

α j Arg

w

j Arg n [15]

Donde º0=k θ si k es positivo y π θ =k si k es negativa.

También en este caso resulta que los argumentos de los factores correspondientes a los polos son

iguales y de signo opuesto que los de los ceros de igual tipo.

Si se observan las Ecs. [14] y [15], tanto el log. del módulo como el ángulo, dado por estas

expresiones, son función de la frecuencia.

Cuando se trazan dichos valores en una grafica resultan curvas conocidas como diagramaslogarítmicos del módulo y de la fase.

Las ecuaciones [14] y [15] indican que las curvas resultantes se obtienen por suma o resta de los

términos individuales de la ecuación de la función transferencia.

Los diagramas logarítmicos del módulo y de la fase de la función transferencia se emplean para

analizar la respuesta de los sistemas realimentaos de control.

Se obtiene fácilmente de estos diagramas cierta información cualitativa sobre la estabilidad

relativa.



327

Pueden combinarse ambas curvas en otra única, que con las frecuencias como parámetro, da la

magnitud en función del ángulo.

Esta curva conocida como diagrama log. magnitud - ángulo, corresponde al trazado de Nyquist,y se emplea para apreciar valores cualitativos en el proyecto de un sistema realimentado quecumpla determinadas especificaciones de comportamiento.

Trazado de los diagramas logarítmicos del módulo y fase

Para encontrar la forma de construir los gráficos de Bode, bastará con analizar por separado la

influencia de cada uno de los términos de las Ecs. [14] y [15] y luego sumar los resultados para

cada gráfico.

El análisis será hecho en cada caso primero para el módulo y luego para el argumento.

1) Término constante: El primer término de la Ec. [14] es, de acuerdo a la Ec. [13]

20654

20321

0..

...log20log20

ω α α

ω α α

n

m

Ak = [16]

La Ec. [16] muestra que el término constante es la expresión en decibeles del factor de escala A0,

multiplicado por las constantes de atenuación de todos los ceros reales negativos elevados al

orden de los mismos y los cuadrados de las pulsaciones naturales correspondientes a los ceros

complejos conjugados, estando dividido por los mismos factores, debido a los polos.

Si se desarrolla la Ec. [16] queda:

210 log20log20log20log20 α α m Ak ++= 5403 log20log20log40 α α ω n−−+

06log40 ω − [17]

Que permite expresar la anterior ecuación de otra forma, ya que las contribuciones de los ceros

son la adición de:

α log20m , para ceros reales negativos de orden m

, para pares de ceros complejos conjugados0log40 ω



328

En el caso de los polos, los términos son iguales pero de signo opuesto.

En cuanto a k θ , como ya se dijo, será igual a 0 ó 180º según su valor sea positivo o negativo,

respectivamente.

En la Fig. 22 se representan gráficamente las componentes de las respuestas de amplitud y fase

debidas a este termino.

2) Cero real negativo: Para hallar la componente de la respuesta en frecuencia de amplitud

debida a un cero real negativo simple hay que considerar el segundo factor de la Ec. [14].

]⎥⎥

⎦

⎤⎢⎢

⎣

⎡⎟⎟

⎠ ⎞

⎜⎜⎝ ⎛ +=⎟⎟

⎠ ⎞

⎜⎜⎝ ⎛ +=+= 2

1

2

11)(1 1log101log201log20

α

ω

α

ω

α

ω ω j F

db [18]

Vamos a utilizar una aproximación asintótica para dibujar la curva.

Ella surge de analizar la Ec. [18] para ω tendiendo a cero e infinito.

Para 0→ω es2

11 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ >>

α

ω , resultando en la ecuación [18]

01log10

0

)(1 =≅

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎯→ ⎯ db

F

ω

ω Entonces 0)(1 =

db F ω [19]

Para ∞→ω es2

11 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ <<

α

ω , por lo que la ecuación [18] queda:

] ω α α

ω

α

ω

ω

ω log20log20log20log10 11

2

1)(1 +−==⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ≅

∞ ⎯→ ⎯

db F [20]

La Ec. [20] corresponde a una recta del tipo Mx y y += 0 donde:

)(ω θ

log ω

] k k db log20=

20654

20321

0log20ω α α

ω α α

n

m

A π

)0(º180)( <= k ω θ

( ) )0(º0 >= k ω θ

log ω

a) b)

Fig. 22



329

∞ ⎯→ ⎯

=

ω

ω db F y )(1

10 log20 α −= y

20=

log= x

La pendiente de la asintótica dada por la Ec. [20] es:

≅=ω

ω

log

)(1

d

dF M db 20

log

log201 =

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

ω

α

ω

d

d

[21]

La Ec. [21] dice que a un incremento unitario logΔ le corresponde un aumento de 20db.

Como:

logΔ 1logloglog1

212 ==−=

ω

ω ω ω

Equivale a una relación 101

2 =ω

ω , llamada década, resulta que la pendiente puede expresarse

década

db M 20=

También suele usarse una relación 21

2 =ω

, llamada octava, para la cual es:

logΔ 3,02loglog1

2 ===ω

ω

Tratándose de una recta, para un incremento 3,0log =Δ en lugar de 1 resultará:

3,0log)(1 =ΔΔ

ω ω F dbdb F 63,0203,01log)(1 =×=×Δ=

=Δ ω ω

Luego la pendiente de la asíntota resulta:

década

db M 20=

década

db6= [22]

En la Fig. 23 se representa la curva y sus asíntotas.



330

La intersección de las asíntotas se produce para 0log201

=α

resultando 1α =c que se

denomina pulsación de quebradura o ruptura.

El máximo apartamiento entre la curva real y la aproximación asintótica se produce para

1α =c , resultando, de acuerdo a la ecuación [18].

( )] db F dbc 32log101log102

1

11 ==

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=

α

α ω

Normalmente las asíntotas para ω igual a cero e infinito y el punto de la curva correspondiente a

la pulsación de quebradura 1α =c , bastan para trazar la curva real con suficiente

aproximación.En caso contrario, se pueden corregir los errores para otros puntos.

Por ejemplo para 5,01

=α

el error es igual a:

01log102

1−

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=

α

ω E ( ) =+= 25,01log10 0,969db db1≅

Análogamente para 21

=α

ω el error resulta:

Aproximaciónasintótica

Curva real

década

db M 20=

10

20

30

] 1)(1 1log20 α

ω

j F dbw +=

3db

logω

Fig. 23

110α ω =c1α ω =c



331

=−+=⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ += 2log20)21(log10log201log10 2

1

2

1 α

ω

α

ω E 0,969db db1≅

Del mismo modo se obtienen los errores para 1,01 =α y 101 =α que resultan de 0,04db.

Para completar el análisis de este término se estudiará la respuesta de fase dada por el segundo

factor de la Ec. [15].

Esto es:

( )11

1 )1arg(α

ω

α

ω ω θ arctg j =+= [24]

La aproximación asintótica es:

Para 0→ es º00)0(1 == arctg θ

Para ∞→ es º90)(1 +=∞=∞ arctg θ

Para 1α → es º451)( 11 == arctg α θ

La Fig. 24 muestra la curva de fase y su aproximación asintótica, completada en la parte central

con una recta.

3) Polo real negativo simple: El factor a considerar es el quinto de la Ec. [14]

]⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−=+−=

2

44)(2 1log101log20

α

ω

α

ω ω j F

db

Comparando la Ec [25] con la Ec [18] se ve que sólo difieren en el signo.


Curva real

45º

90º

30

110α ω =

log ω

Fig. 24

11,0 α ω =c 1α ω =

1

1 1arg)(

α

ω ω θ j+=



332

En consecuencia, la frecuencia angular de quebradura será, en este caso:

4α =c

y las asintotas serán el eje horizontal y una recta de pendiente negativa

década

db M 20=década

db6−=

que corta el eje horizontal para 4α =c

En la figura 25 se muestra la curva y la aproximación asintótica.

Análogamente, el argumento dado por el quinto termino de la Ec [15] es:

( )44

4 )1(argα α

ω θ arctg j −=+−=

Que resulta de igual valor y signo opuesto al de la Ec. [24].

En consecuencia, la respuesta de fase será la imagen especular respecto del eje horizontal, de la

representada en la fig. 24, como se muestra en la fig. 26.

década

db M 20=

AproximaciónCurva real-10

-20

-30

]4

1log20)(2α

ω ω j

db F +=

logω

Fig. 25

4α ω =c 410α ω =

3db



333

4) Ceros y polos reales negativos múltiples:

Para estudiar la respuesta de amplitud se deben analizar los términos 3º y 6º de la Ec. [14].

Ellos son:

]⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=+=

2

12)(3 1.log.101.log.20

α

ω

α

ω ω m jm F

db [26]

]⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−=+−=

2

55)(4 1.log.101.log.20

α

ω

α

ω ω n jn F

db [27]

La Ec. [26] es igual a la [18], multiplicada por m, mientras que la ecuación [27] es igual a n

veces la Ec. [25].

En consecuencia, las respuestas en frecuencia de amplitud, serán similares a las representadas en

la Fig. 23 y 24, pero con pendientes década

db

m20 y década

db

n20 respectivamente como se ve en

las Fig. 27 y 28.


Curva real-10

-20

-30

logω

Fig. 26

4α ω =c 410α ω =

41arg)(2

α θ

w jw +−=

41.0 α ω =



334

Los argumentos están dados por los términos 3º y 6º de la Ec. [15].

Son ellos:

223 .)1.()(

α α ω θ tg arcm j Arg m =+= [28]

( )55

4 .)1.(α α

ω θ tg arcn j Arg n −=+−= [29]

década

dbn M 20=

AproximaciónasintóticaCurva real

-n10

-n20

-n30

]5

1.log.20)(4α

ω ω jn

db F +−=

logω

Fig. 28

5α ω =c510α ω =

n3db


Curva real

década

dbm M 20=

m10

m20

m30

]2

1.log.20)(3α

ω jm

dbw F +=

m3dblogω

Fig. 27

2α ω =c 210α ω =c



335

Comparando la Ec. [28] con la Ec. [24], resulta evidente que la componente de la respuesta de

fase debido a un cero real negativo m, es igual a la de un cero real negativo simple (con la misma

pulsación de ruptura), multiplicada por m.

Análogamente la componente de respuesta de fase debida a un polo real negativo de orden n, se

obtiene multiplicando por n la correspondiente a un polo real negativo simple con la misma pulsación de quebradura.

Las curvas se obtendrán multiplicando las ordenadas de la Fig. 24 y 26 por m y n

respectivamente.

Si se trabajara con funciones de fase no mínima, el cero podría estar a la derecha del eje jω.

En este caso, el factor de la Ec. [9] se convierte en:

( ) mmm j j ⎟ ⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ −=−

α ω α α ω 1 [30]

Que conduce a la misma respuesta de amplitud que la Ec. [26]

( )]⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=−=2

3 1.log.101.log.20'α

ω

α

ω ω m jm F db

En cuanto al argumento resulta:

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=−=α

ω

α

ω ω θ tg arcm j Arg m .)1.()('3

Que tiene igual valor y signo opuesto que la ecuación [28].

5) Par de polos complejos conjugados: La componente de la respuesta de amplitud se obtiene

analizando el cuarto término de la Ec. [14].

( )]⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

2

033

22

03033

2

035 21log1021.log20

ω

ω γ

ω

ω

ω

ω γ

ω

ω ω j F

db

La aproximación asintótica es:



336

Para 0→ es ( )] 01.log101 5

2

03=≅∴⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ >>

∞ ⎯→ ⎯ ω

ω ω

ω db F

Que coincide con el eje logω.

Para ∞→ es2

031 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ <<

ω

ω

( )]⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ =

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ≅

∞ ⎯→ ⎯

23

2

03

2

03

2

03

23

4

035 4.log104.log10 γ

ω

ω

ω

ω

ω

ω γ

ω

ω ω

ω

db F

y como 23

2

03

4γ ω

ω >>⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ resulta:

( )] ω ω ω

ω ω

ω

log40log40.log10 034

035 +−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ =

∞ ⎯→ ⎯ db F [32]

La ecuación [32] es del tipo:

Mx y y += 0

De modo que en el par de ejes ( )]∞ ⎯→ ⎯

=ω

db F y 5 ; log= x representa una recta de pendiente

décadadb M 40= , que corta el eje horizontal en una pulsación de quebraduras o ruptura:

23

2303 β α ω ω +==c

La corrección a sumar a la aproximación asintótica para pasar a la curva real es:

Para 03ω ω <

( )] ] ]⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −==−=

→

2

033

2

035

055 21log10)()('

ω

ω γ

ω

ω ω ω ω

ω dbdbdb F F F c

[33]



337

Mientras que para 03> es:

( )] ] ] ==−=∞→

dbdbdb F F F c )()('' 555ω

03

2

033

22

03log4021log10

ω

ω

ω

ω γ

ω

ω −

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +

⎥⎥

⎦

⎤⎢⎢

⎣

⎡⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −= [34]

Las Ecs. [33] y [34] nos muestran que el error es función de la constante de amortiguamiento

relativa o normalizada

23

23

3

03

3

3 β α

α

ω γ +==

En la figura 29 se representa la aproximación asintótica y las curvas reales de la respuesta de

amplitud para γ= 0; 0,1; 0,3; 0,5; 0,707; y 1

03ω ω =


década

db40

10

20

30

]⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ −=

03

322

03

1log20)(5ω

ω γ

ω

ω ω jdb F

logω

40

13 =γ

5,0

3,0

1,0

03 =γ

-10

-20

031,0 ω ω =

0310ω ω =

Fig. 29

707,0



338

La componente de la respuesta de fase surge de analizar el cuarto término de la Ec. [15].

2

03

033

033

2

035

1

2

21)(

⎟⎟ ⎠ ⎞⎜⎜

⎝ ⎛ −

=⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ −=

ω ω

ω γ

ω

ω γ

ω

ω ω θ arctg j Arg [35]

Para 0→ es 12

03<<⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ω

ω , de modo que:

02

.lim)0( 033

05 =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ =

→ ω

ω γ θ

ω tg arc

Para ∞→ es 12

03

>>⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛

ω

ω , resultando:

º1802

.lim)( 0335 =⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=∞∞→ ω

ω γ θ

ω tg arc

Para 03ω ω = es:

º900

2.lim)( 3

305 ⇒⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ =∞→

γ ω θ

ω tg arc

En la Fig. 30 se muestran las curvas de respuesta de fase reales para γ= 0; 0,1; 0,3; 0,5; 0,707; y

1 y la aproximación asintótica con dos rectas horizontales de 0º a 180º y una vertical que pasa

por 03= .

Nótese que las respuestas de amplitud y fase para un par de ceros imaginarios conjugados se

obtienen como caso particular para 0=γ , en las ecuaciones y los gráficos.

Si se trabajara con funciones de fase no-mínima los ceros podrían aparecer en el semiplano

derecho.

En el caso, el factor a considerar en lugar del dado por la Ec. [10] sería:

⎥⎥

⎦

⎤⎢⎢

⎣

⎡ +⎟⎟ ⎠ ⎞

⎜⎜⎝ ⎛ −

0

2

0

20 21

ω

ω γ

ω

ω ω j

Que conduce a las siguientes respuestas de amplitud y fase:

( )]⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

2

0

22

00

2

05 21log1021.log20'

ω

ω γ

ω

ω

ω

ω γ

ω

ω ω j F db

[36]



339

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

−=⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

2

0

0

0

2

05

1

2

21)('

ω

ω

ω

ω γ

ω

ω γ

ω

ω ω θ arctg j Arg [37]

La Ec. [36] coincide con la [31], mientras que la Ec. [37] sólo difiere de la Ec. [35] en el signo.

6) Par de polos complejos conjugados: Las respuestas de amplitud y fase están dadas

respectivamente por los últimos términos de las Ecs. [14] y [15]:

]06

3

2

06)(6 21.log20

ω

ω γ

ω

ω ω j F db −⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−= [38]

=⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−=

063

2

066 21)(

ω

ω γ

ω

ω ω θ j Arg [39]

Comparando la ecuación [38] con la ecuación [30] y la ecuación [39] con la ecuación [35] se ve

que las componentes de las respuestas en frecuencia de amplitud y fase debidas al polo complejo

conjugado, son iguales en valor y con el signo opuesto a las del cero complejo conjugado de

igual γ y 0 , por lo que no se justifica el análisis y la representación gráfica.

También en este caso, para 0=γ se obtienen las respuestas correspondientes a un par de polos

imaginarios conjugados.

90º

180º

0310ω ω =

lo ω

Fig. 30

301,0 ω ω = 03ω ω =

)(ω θ

0,1

0,3

0,5

707,03 =γ

13 =γ

03 =γ

120º

40º



340

7) Ceros y polos en el origen: Si bien parece razonable tomar un cero o un polo en el origen

como el caso particular para 0=α de un cero o un polo real negativo, el enfoque con que se ha

encarado el desarrollo de los gráficos de Bode no lo permite.

En efecto, la Ec. [8].

( ) ( )n

nn j j j F ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=+=α

ω α α ω ω 1

Muestra que al tomar 0=α en el último miembro aparece una operación no permitida.

Por lo tanto, los ceros y los polos en el origen deben ser analizados sin afectar el valor de la

constante k de la Ec. [13] y [14], empleando los dos primeros miembros de la Ec. [8] con 0=α .

Esto es:

( ) ( ) ( )nn j j j F ω α ω ω =+= [40]

Para el caso de un cero de orden m en el origen, las componentes de la respuesta de amplitud

resultan:

ω ω ω log20log20)(7 m jm F db

=−= [41]

Que es la ecuación de una recta.

En efecto, si se denomina:

db F y )(7 ω =

m M 20=

log= x ∴ Mx y =

La recta corta al eje horizontal para ω = 1 y tiene una pendiente

década

dbm M 20=

octava

dbm6=

Como se muestra en la figura 31



341

En cuanto al argumento su expresión es:

( ) ctem j Arg w m === º90)(7 ω θ [42]

Que se representa en la figura 32

Para un polo en el origen de orden n es:

] ω ω

ω log201

log20)(8 n j

F ndb

−== [43]

Que sólo difiere de la Ec. [41] en el signo, y:

( )cten

j Arg

n =−== º90

1)(8

ω ω θ [44]

Que corresponde a la ecuación [42] con el signo cambiado.

m90º

m jw Arg w )()(7 =θ

logω

Fig. 32

10=ω 1.0=ω

Cte=)(7 ω θ

1=cω

década

db M 20=

-m20

m20

m40

ω ω .log.20)(7 mdb

F =

lo ω

Fig. 31

10=ω

1.0=ω

-m40

1=cω



342

En consecuencia, los gráficos serán los de la figura 31 y 32 con el signo, de las ordenadas y la

pendiente, cambiada.

En la figura 33 se resumen todos los casos elementales analizados.

Construcción de los gráficos asintóticos: Para construir los gráficos de las respuestas enfrecuencia de amplitud y fase, se procede de la siguiente manera:

1º) Se trazan los ejes.

2º) Se identifican las pulsaciones de quebradura en el eje horizontal

3º) Se calculan y representan en los gráficos de amplitud y fase, k log y k Arg ,

respectivamente.

Recordar que si k > 0 es 0=k Arg θ y para k < 0 es º180=k θ

4º) Se representan las asíntotas de las componentes correspondientes a los ceros y polos.

5º) Se suman las componentes.

6º) Se agregan las correcciones y se trazan las curvas reales

Nótese que los ceros producen quebraduras de la respuesta de amplitud en las pulsaciones de

ruptura ωc, en sentido antihorario, con variaciones de la pendientedécada

dbn20

década

dbn6=

donde n es el orden del cero.

En el caso de polos complejos conjugados ó imaginarios conjugados debe tomarse n = 2.Análogamente, los polos producen quebraduras en las pulsaciones de ruptura en sentido horario,

con variaciones de la pendiente de:

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −década

dbn20 ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=

década

dbn6

En cuanto a la fase, la variación total por cada cero de orden n ubicado en el semiplano izquierdo

es de n90º, y por cada polo (-n90º).

Ejemplo:

Hallar los gráficos de Bode correspondientes a la siguiente función transferencia:

)10()20(

)105()2(4)(

3

3

+×+

×+×+×=

p p

p p pT [45]

En régimen senoidal permanente resulta:

)10()20(

)105()2(

4)( 3

3

+×+

×+×+

×= ω ω

ω ω

ω j j

j j

jT

Que puede escribirse:



343

=+×+

×+×+

××

×××=

)10

1()20

1(

)105

1()2

1(

1020

10524)(

3

3

3

3

ω ω ω

j j

j j

jT

)10

1()20

1(

)105

1()2

1(

2

3

3

ω ω j j

j j

+×+

×+×+

× [46]

La transferencia dada por la ecuación [46] tiene una constante de escala ya modificada por los

ceros y los polos de valor:

( )2

10.20

10.524

.

.3

3

43

210 ===

x Ak

α α

α α

que contribuye a la respuesta de amplitud con un término constante:

] dbk k db 62.log20log20 ===

Existen dos ceros reales negativos simples que introducen pulsaciones de quebradura

seg

rad c 21 =ω y

seg

rad c

34 10.5=ω , con giros de

década

db

octav

db206 =+ en la curva.

Además hay dos polos reales negativos simples que producirán giros de

⎟

⎠

⎞⎜

⎝

⎛ −=⎟

⎠

⎞⎜

⎝

⎛ −década

db

octav

db206 para las pulsaciones de ruptura

seg

rad c 202 =ω y ⇒

seg

rad c

33 10=ω

En la figura 34 se han representado las componentes y la aproximación asintótica de la respuesta

de amplitud total, así como las correcciones y la curva real.

Con igual criterio se han dibujado las componentes, la aproximación asintótica y la curva real de

la respuesta de fase en la figura 35.

El argumento de k se ha tomado igual a cero por ser k> 0.



344

10=ω 1=ω

21 =cω

ω log

)(ω T

60

50

40

30

20

10

-50

-40

-30

-20

-10

ω=102 ω=104

ωc3=103 ωc2=20 ωc4=5x103

3db 3db

3db3db

.6

oct

db

.6

oct

db−

dbk 6.log20 =1

2

34

5

.6

oct

db

× ×

Fig. 34

0

____ Curva real- - - - Aprox. asintótica = 1 + 2 + 3 + 4 + 5

-30



345

-60º

-180º

-90º

-45º

-20º

2

60º

45º

21 =cω

ω log

)(ω T 180º

90º

20º

0

ωc3=103ωc2=20 ωc4=103

1

32

4

3 4

× ×

Fig. 35

ω=1 ω=10210=ω

6º 6º 6º

____ Curva real- - - - Aprox. asintótica = 1 + 2 + 3 + 4



346

FILTROS

DE

ONDAS




Año 1982



347

INDICE Pág.

Filtros de onda Introducción. ................................................................................................................... 319

Impedancia característica de una red de reactancias puras. ..................................................................... 351

Absorción de potencia por parte de una red de reactancias puras. …....................................................... 352

Constante de propagación de una red de reactancias puras. ................................................................... 353

Determinación de las bandas de transmisión y de atenuación. ............................................................... 355

Las redes escaleras, como filtros. .......................................................................................................... 358

Bandas de atenuación y de paso en los filtros. ....................................................................................... 359

Apéndice I. .............................................................................................................................................. 362

Clasificación de Los filtros mediante funciones hiperbólicas. ............................................................... 366

Filtros de K constante. ............................................................................................................................. 370

Apéndice II. ………………………….................................................................................................... 372

Representación gráfica de Z01,Z0π. ......................................................................................................... 373

Filtros pasa bajo de K constante elemental. ........................................................................................... 374

Proyecto de un filtro pasa bajo de K constante. ..................................................................................... 377

Filtro pasa alto de K constante. ............................................................................................................. 379

Filtros pasa banda de K constante. ........................................................................................................ 382

Apéndice III. .......................................................................................................................................... 386

Analogía entre pasa bajo y pasa banda. ................................................................................................. 388

Filtros elimina banda de K constante. ................................................................................................... 389

Apéndice IV. ......................................................................................................................................... 393

Análisis de los efectos disipativos en los filtros. ................................................................................... 395

Conclusiones. ......................................................................................................................................... 397

Filtros M-derivados secciones Tm-derivados. ....................................................................................... 399

Variación de α y β en filtros m- derivados. ............................................................................................ 402

Frecuencia de atenuación infinita. .......................................................................................................... 405

Medias secciones de terminación. ........................................................................................................... 407



348

Apéndice V. ............................................................................................................................................ 408

Propiedad adaptadora de las medias secciones. ...................................................................................... 408

Media sección derivada de la T prototipo. ............................................................................................... 410

Secciones π m-derivadas. ........................................................................................................................ 412

Media sección derivada π prototipo. ....................................................................................................... 414

Filtros compuestos. ................................................................................................................................. 416

Resumen de procedimientos de diseño. .................................................................................................. 417

Efectos de los elementos disipativos. ..................................................................................................... 421

Criterio de proyecto de un filtro completo. ........................................................................................... 427



349

FILTROS DE ONDA

Introducción

En los sistemas de comunicación, resulta a menudo conveniente discriminar entre distintas

bandas de frecuencia aceptando unos grupos y rechazando otros.

Las combinaciones que satisfacen este propósito se denominan en general “filtros de onda”.

Estas combinaciones difieren de los circuitos sintonizador ordinario por el hecho de que proveen

una transmisión sustancialmente constante dentro de las bandas aceptadas, cuyos límites puede

elegir a voluntad el proyectista.

Desde el punto de vista de lo ideal, los filtros no deberían producir atenuación alguna dentro de

la banda deseada y causar en cambio, una atenuación infinita en todas las otras frecuencias.

Estas bandas se llaman bandas de “transmisión” o “pasante” y de “atenuación” o “detenida”

respectivamente.

Los filtros reales no satisfacen esta exigencia ideal e introducen sólo una atenuación finita en las

frecuencias indeseadas.

La mayor o menor discrepancia entre los comportamientos de un filtro ideal y uno real, depende

de la cantidad de reflexiones debida a las desigualdades de las impedancias terminales , así como

de las pequeñas pérdidas introducidas por los conductores y dieléctricos imperfectos.

Estas consideraciones hacen que el filtro real posea una atenuación finita en la banda detenida,

pero ésta puede hacerse tan grande como se desee usando un número adecuada de mallas de

correcto diseño.

Por otra parte la transmisión de señales de alta calidad exige que los filtros estén exentos de las

distorsiones de amplitud o (frecuencia) y de retraso o (fase).

Suponiendo que las impedancias de terminación sean la impedancia característica para el caso de

un cuadripolo simétrico o la impedancia imagen por el de un cuadripolo asimétrico, la distorsión

de amplitud introducida por un cuadripolo depende de la forma de su característica de

atenuación.Para mantener la propiedad de las señales transmitidas, no deben alterarse las magnitudes

relativas de las componentes de frecuencia de la señal, por lo que la característica de atenuación

del filtro en la anchura de banda de las señales transmitidas deberá ser plana o nula.

Fuera de este intervalo de frecuencias, el filtro deberá tener una atenuación suficientemente

grande para suprimir las demás señales.

La distorsión de retrazo se introduce cuando la función de fase de un cuadripolo no es lineal.

Resulta entonces que las diferentes componentes de frecuencia de la señal, se transmiten a través



350

del filtro con diferentes velocidades de fase y por lo tanto, precisan diferentes “tiempos de

transito”.

En general, los efectos de esta distorsión se hacen importantes cuando se conectan en cascada

muchos cuadripolos, en cuyo caso se suman los tiempos de tránsito.

En los sistemas utilizados en la transmisión de voz, ésta distorsión de retraso no presenta mayorinconveniente dado que la distorsión de fase o retardo no es en general reconocida por el oído

humano.

Pero en la transmisión de imágenes, como por ejemplo en los sistemas de facsímil y de

televisión, se ha demostrado que la distorsión de retardo puede ser tan importante como la

distorsión de frecuencia.

En estos sistemas es imperativo tomar en cuenta la característica de fase o retardo.

De todo lo anterior, resulta evidente que la acción del filtro ideal restringe mucho lascaracterísticas de los cuadripolos

Cuando las características de atenuación y fase se apartan de las condiciones ideales en una

cantidad mayor que la permitida, por lo anteriormente visto, habrá que añadir al sistema de

filtros unas redes correctivas llamadas “igualadores” o “ecualizadores”, que pueden ser

igualadores de atenuación o igualadores de fase.

Es de destacar que existen dos diferentes criterios de diseños de los circuitos de filtros, llamados

en general “clásico” y “moderno”.

Según el criterio clásico, desarrollado por Campbell, se analiza una clase dada de redes con el

objeto de tabular sus características de atenuación y de fase en función de la frecuencia.

Luego dada una característica de atenuación deseada, el proyectista puede elegir la red en

particular cuya característica de atenuación se aproxime lo más posible a la deseada.

Según el criterio clásico, no se hace ningún intento para obtener simultáneamente características

de atenuación y de fase (o de retardo) independientemente establecidas.

Sólo se atiende a la atenuación α y el proyectista debe conformarse con la característica β con

ella asociada.

En contraste con este criterio, el proyectista, según el punto de vista moderno, parte de la

respuesta deseada tanto de α como de β y diseña la red necesaria, cuya configuración es

desconocida al principio del proceso (a este proceso se lo denomina síntesis).

En la practica es por lo común imposible satisfacer exactamente ambas, características y el

proyectista debe conformarse con aproximarse a ellas.

Este ultimo método aunque mas poderoso que el clásico, requiere herramientas matemáticas que

escapan, por ahora al alcance de este programa.



351

Por ultimo diremos que el estudio de los filtros eléctricos que a continuación iniciaremos,

comprenderá el examen de las funciones de “transmisión” o “propagación”, ya visto en teoría de

cuadripolo, dirigido a determinar su comportamiento como funciones de la frecuencia.

El estudio preliminar se realiza suponiendo que todos los filtros están terminados de manera que

se eliminen los fenómenos de reflexión.En los filtros simétricos por tanto es preciso que la terminación (impedancia de carga), sea igual

a su impedancia característica Z0.

En las estructuras asimétricas, será preciso que los dos pares de terminales estén cerrados

(cargados) mediante las impedancias imágenes Z01 y Z02 .

Luego cuando se conectan en cascada varios cuadripolos, las conexiones se realizarán, a menos

que se especifique otra cosa, sobre la impedancia imagen para estructuras asimétricas y sobre

impedancia característica en el caso de estructuras simétricas.Es evidente que al imponer dichas terminaciones, el estudio introduce limitaciones muy

definidas, cuya naturaleza se pondrá de manifiesto al ir desarrollando la teoría.-

Impedancia característica de una red de reactancias puras

Como se ha dicho mas arriba, un filtro ideal debería presentar una atenuación nula en la banda

pasante, condición que sólo puede satisfacerse si los elementos del filtros no tienen disipación y

que no puede así realizarse en la practica.Sin embargo, si los componentes son sólo inductores y capacitores de alto factor de calidad, sus

resistencia efectivas en serie serán pequeñas y también serán pequeñas las pérdidas en la banda

pasante.

Por esta razón, los filtros de onda se diseñan suponiendo que sus componentes están libres de

pérdidas lo que equivale a decir que el diseño se basa en elementos puramente reactivos.

Habíamos visto en teoría de cuadripolos que la impedancia característica de una red simétrica de

cuatro terminales es:

ecceca Z Z Z .0 = [1]

Si los elementos de una red son reactancia puras, hay cuatros posibles combinaciones de los

signos de Zeca y Zecc

Condición 1 Zeca = + j.Xa y Zecc = - j.X b

Condición 2 Zeca = - j.Xa y Zecc = + j.X b

Condición 3 Zeca = + j.Xa y Zecc = + j.X b Condición 4 Zeca = - j.Xa y Zecc = - j.X b



352

Donde Xa y X b son números reales positivos

De satisfacerse las condiciones 1 o 2

baba X X X X j Z ...20 ±=−= [2]

En este caso la impedancia característica es una resistencia pura.Sólo la raíz positiva corresponde a una terminación pasiva físicamente realizable.

Si se satisfacen las condiciones 3 o 4:

baba X X j X X j Z ...20 ±=+= [3]

En este caso la impedancia característica es una reactancia pura.

En otros términos, si las impedancias de entrada son reactancias de signos opuestos, la

impedancia característica es una resistencia pura, mientras que si aquellas tienen el mismo signo,la impedancia característica es una reactancia pura.

Al variar la frecuencia, puede variar el valor y aun el carácter de Zeca y Zecc.

Dentro de una gama de frecuencias Zo puede ser una resistencia pura, mientras que dentro de otra

gama, ella puede ser una reactancia pura.

Absorción de potencia por parte de una red de reactancias puras

Si la impedancia característica de una cascada de secciones es una resistencia pura y cadasección esta formada por reactancias puras, la cascada absorbe potencia de un generador si al

mismo tiempo esta terminada en su impedancia característica Zo.

Dado que los elementos del filtro no pueden absorber potencia alguna, toda la potencia de

entrada debe ser transferida a la carga o terminación.

Si no se pierde potencia y la impedancia característica es una resistencia pura, | E1 I1 | debe ser

igual a | E2 I2 |.

Además, en una cascada terminada en Zo es:2

1

2

1

I I

E E = .

Como resultado de estas igualdades es: 21 E E = e 21 I I = , con lo que la atenuación es

cero._

Si la impedancia característica de una cascada de secciones es una reactancia pura y la cascada

está terminada en Zo, ella no absorbe potencia alguna del generador y la tensión y la corriente

guardan una diferencia de fase de 90º en todos los puntos de la cascada.



353

Seria físicamente posible que tal línea tuviera, atenuación, porque cualquier disminución de

tensión o de corriente, no involucra disipación alguna de potencia cuando E e I tienen una

diferencia de 90º

Constante de propagación de una red de reactancias puras

Se había visto en teoría de cuadripolos, que la constante de programación de una red simétrica

está dada por la ecuación.

Zeca

Z tgh ecc=γ [4]

Si se satisface la condición 1 ó 2

Xa

X

j Xa

X

tgh bb

.=

−

=γ [5]

Mientras que si satisface la condición 3 ó 4

Xa

X

Xa

X tgh bb =

+=γ [6]

Esto demuestra que, si la impedancia característica es una resistencia pura, la tangente

hiperbólica de la constante de propagación es un imaginario puro, mientras que si Zo es una

reactancia pura, tgh γ es un número real.Pero:

β α β α

β α β α

β α

β α β α γ

senhj senh j

senhj j senh

j

j senh jtghtgh

.cosh.cosh

.coshcosh.

)cosh(

)()(

++

=++

=+=

Pero β β coscosh = j y β β jsen senhj =

β α β α

β α β α γ

sen jsenh

sen j senhtgh

.cos.cosh

.coshcosh.

+

+=∴

Racionalizando

β α β α

α α β β β β α α

β α β α

β α α β β α β β α β α α

β α β α

β α β α

β α β α

β α β α

22222222

2222

2222

.cos.cosh).(coshcos).(coscosh.

.cos.cosh

..cosh.cos.cos..coshcos.cosh.

).cos.(cosh

).cos.(cosh.

).cos.(cosh

).coshcos(

sen senh

senh jsen sen senh

sen senh

sen senh sen jsenh sen j senh

sen jsenh

sen jsenh

sen jsenh

sen j senh

+−++=

+

+−+=

=−−

++



354

Pero, 1)(cosh)1(cosh 2222 =−+= α α α α senh y senh

α β

β β α α

β β α β

β β α α

β α β α β

β β α α

β α β α

β β α α γ

222222

222222222

coscos.cosh.

).(coscoscos.cosh.

.cos.cos

cos.cosh.

.cos).1(

cos.cosh.

senh

jsen senh

sen senh

jsen senh

sen senh senh

jsen senh

sen senh senh

jsen senhtgh

++=

+++=

=++

+=

++

+=∴

Pero, 1)(cos 22 =+ β β sen

Luego nos queda:

β α

β β α α γ

22 cos

cos.cosh.

+

+=

senh

jsen senhtgh [7]

Si tgh γ es imaginario puro la ecuación [7] demuestra que:

0cosh. =α α senh [8]

Puesto que esto es solo posible con α = o, la atenuación será nula si Zo es una resistencia pura,

según ya se había previsto en el apartado anterior.

Si tgh γ es un numero real la ecuación [7] muestra que

0cos. = β β sen [9]

Por lo tanto si tgh γ es distinto de cero, α α cosh. senh debe ser mayor que cero y tiene que

haber atenuación.

Tal es el caso cuando Zo es una reactancia pura.

Estos principios pueden resumirse en el siguiente teorema:

En una red simétrica de reactancias puras, si la impedancia característica es una resistencia pura,

la constante de atenuación es cero, mientras que si la impedancia característica es una reactancia

pura, la constante de atenuación es distinta de cero.-



355

Determinación de las bandas de transmisión y de atenuación

Si se representan las reactancias que constituyen las impedancias en cortocircuito y en circuito

abierto de una sección de filtro, es fácil determinar el tipo de filtro de que se trata y la posición

de las bandas de transmisión y atenuación.

En efecto la atenuación es cero en todos los rangos de frecuencia en que estas reactancias tienen

distintos signo.

Analicemos la figura (1):

Las frecuencias críticas que corresponde a los ceros o los polos de Zeca o de Zecc están marcadas

f 1, f

2etc.

Es evidente que la atenuación es nula entre las frecuencias f 1 y f 4 y para las frecuencias

superiores a f 5, porque dentro de estos intervalos son opuestos los signos de Zeca y Zecc.

Las frecuencias que marcan los límites entre las bandas de atenuación y de transmisión se llaman

frecuencias de corte.

En la figura f 1, f 4 y f 5 son frecuencias de corte.

En la fig. (1) es evidente que se produce una frecuencia de corte donde quiera que una de las

curvas presente una frecuencia crítica que no coincida con una frecuencia crítica de la otra curva.

Donde coinciden dos frecuencias críticas, no hay punto de corte.

Estos puntos críticos resultan útiles para el control de la magnitud de la impedancia

características o de la constante de atenuación en las diversas bandas.

Por lo común no es muy conveniente trabajar con las impedancias de cortocircuito y de circuito

abierto.

Consideramos una configuración como el de la figura.

Transmisión

Zecc

Zeca

f 2 f 1 f 3 f 4 f 5

Zecc

f

Transmisión

Atenuación

Atenuación

Fig. 1

ZecaZecc



356

Imponemos, por simplicidad, la condición L1 C1 = L2 C2, es decir, la igualdad de las frecuencias

de resonancia de las dos ramas serie y la rama paralelo.-

Debemos analizar y representar Xeca y Xecc en función de la frecuencia.

Xeca corresponde al circuito a) y Xecc al circuito b)

Representamos a continuación las reactancias Xeca y Xecc en función de ω.

⇒ Zeca

L2 C2

Fig.3 a

⇒ Zecc

L1/2 2C1

a)

L2 C2

L1/2

2C1

b)

Fig.3 b

L1/2 2C1

Z1/2

L2 C2

Fig.2

Z2

L1/2 2C1L1/22C1

Z1/2



357

La curva de Xeca presenta un polo en ωo siendo:

22110 .1.1 C LC L ==ω [10]

La frecuencia en la que se producen resonancias serie y paralelos resultando una reactancia

infinita.

El cero de la izquierda se debe a una resonancia serie entre la capacidad equivalente al circuito

serie y la inductancia equivalente al circuito paralelo.

El cero de la derecha representa la resonancia serie entre la inductancia equivalente al circuito

serie y la capacidad equivalente al circuito paralelo.

Puede analizarse de la misma manera Xecc, resultando los polos y ceros intercambiados con Xeca yapareciendo dos nuevos ceros.

La banda de paso se halla simplemente como la zona en que Xeca y Xecc, tienen distintos signo.

Se deduce que ω1 y ω2 son las frecuencias de corte y el filtro resulta ser un pasa banda.

En la práctica cuando el filtro es conocido sólo como una “caja negra” , se pueden hallar las

frecuencias de corte en forma sencilla:

Excitando con un oscilador de frecuencia variable y midiendo la entrada con un voltímetro,

podemos detectar los polos y ceros Xeca

y Xecc,

mediante máximos y mínimos en la indicación

del instrumento.-

Banda de paso

Xecc

Xeca

ω

ω

ω0

ω0

Fig. 4

ω1 ω2

++

- -

XX

X



358

Las redes escalera como filtros

La estructura en escaleras es una de las más comúnmente usadas para la síntesis de los filtros

según el criterio clásico.

Los filtros mas utilizados dentro de las estructuras en escalera son, los reactivos y simétricos

cuya configuración general es la siguiente

Hay dos clases fundamentales de filtros escaleras:

(a) Reciprocos o de k = Cte.

(b) m - derivados (filtros con ceros de transmisión).

El filtro escalera general se estudia tomando secciones simétricas T o π.

Los valores de las impedancias se eligen de manera que al emplear varias secciones iguales entre

si, resulte la configuración general, con los valores Z1 en serie y Z2 en paralelo.

Las características de atenuación y fase son idénticas para circuitos T y π , pero sus impedancias

características son distintas o sea Z0T ≠ Zoπ.

Las secciones T y π no pueden interconectarse entre si por no poder adaptarse las impedancias.

Para ello se utilizan las medias secciones.

Z1/2Z1/2 Z1

2Z2 2Z2 Z2

Fig.6 a- Seccion T Fig.6 b- Seccion π

Z1

Zg

Z1

Z2 Z2 Z2 Z2

Fig.5



359

Bandas de atenuación y de paso en los filtros

Determinaremos ahora las relaciones que nos dan las bandas de paso y de atenuación, en función

de los elementos del filtro, y no en función de Xeca y Xecc, como se venia haciendo anteriormente.

Los resultados, naturalmente, serán validos sólo para la configuración considerada.En el capitulo sobre cuadripolos se demostró que la constante de transmisión de un cuadripolo

pasivo y simétrico, se podía poner en función de las constantes A B C D de dicho cuadripolo, en

la forma siguiente y recordando la definición de A.-

Veremos estos valores para el circuito T pasivo y simétrico.

Donde: 22121

112

Z Z y Z Z

Z =+=

⇒+==∴2

1

21

11

.21

Z

Z

Z

Z A

2

1

.21cosh

Z

Z A +==γ [12]

Esta expresión y las expresiones siguientes son también válidas para el circuitoπ

, como puede

verificarse fácilmente.

Z1/2

Z2 Fig.9- Circuito T

Z1/2

Fig.8

ABCD E2 E1

I1 I2

Z1/2 Z1/2

2Z2 2Z2

Fig.7

21

11

cosh

z

z A

y

j

Donde

A

=

+=

=

β α γ

γ

[11]

[ ]

⎥⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎣

⎡

+

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=

212

221

2

2

Z Z Z

Z Z Z

z



360

Habíamos dicho que los filtros estarían formados por elementos puramente reactivos, luego.

podemos decir:

11 jX Z = y 22 jX Z = [13]

Desarrollando la Ec. [11]real

Z

Z sen senh j j =+=+=+=

2

1

.21..cos.cosh)cosh(cosh β α β α β α γ [14]

La parte imaginaria se anula, quedando la parte real.

2

1

.21cos.cosh

Z

Z += β α [15]

Esta relación se cumple en las bandas de paso y de atenuación.

En la bandas de paso, la atenuación debe ser nula, esto es, debe ser α = 0 y por tanto cosh α = 1

2

1

.21cos

Z

Z +=∴ β [16]

Como el cosβ varía entre +1 y -1 o sea -1 ≤ cosβ ≤ 1 será:

1.2

112

1 ≤+≤− Z

Z [17]

Llegando así a la siguiente relación fundamental

Esta relación nos define la banda de paso para todo filtro escalera formada por elementosreactivos, en función de Z1 y Z2.

Podemos afirmar que las bandas de transmisión y de atenuación son independientes del hecho

de que Z1y Z2 se dispongan como una sección T o como una sección π.

(Ver apéndice 1)

Banda de paso

0

Fig.10

0.4

12

1 ≤≤− Z

Z Z1/4Z2 ∞−

[18]



361

Ejemplo: Consideremos el filtro de la fig 2 y representemos Z1 = f(ω) y 4Z2 = f(ω)

La banda de paso, es la zona limitada por las frecuencias ω1 y ω2 , en las que

Z1 = - 4.Z2

Si las frecuencias de resonancias para las ramas serie y paralelos no fueran iguales, tendrían dos

bandas de paso.

Banda de paso Fig. 11

-Z1

4Z2 Z1

-4Z2

ω

ω1 ω2 ω0



362

Apéndice I

Habíamos visto para el circuito T que:

2

1

.21cosh

Z

Z A +==γ [1]

Demostraremos aquí, que el valor de A es el mismo para el circuito π equivalente.

Calcularemos Z11 y Z21 en este cuadripolo π

12

21211 .4

)2.(.2

Z Z

Z Z Z Z Z eca +

+== [3]

Ahora calculamos Z21

221

12212 .2.

.2).2(" Z

Z Z

V V Z I V

+=⇒= [4]

⎟⎟ ⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛

+

+=⇒⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛

+

+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

++=∴21

2

2

12112

212

211212

11 .4 .4..2.4..2

.4.21.2 1 Z Z Z Z Z I V

Z Z Z Z Z V

Z Z Z V I

Remplazando V1 en la [4] nos queda:

).4(

).2.(.2.

).2(

.2.

.4

.4..2.

.2

.2

21

212

21

21

21

22

121

21

22

Z Z

Z Z Z

Z Z

Z Z

Z Z

Z Z Z I

Z Z

Z V

+

+

+=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

+

+=

).4(.4

212

2

1221

Z Z Z

I V Z

+==∴ [5]

V2 I’1

V1

I1

I’’1

Z1

2Z2 2Z2

Vale la misma definición de A en funciónde los parámetros [Z]:

21

11

Z

Z A = [2]

21

11

2

11

111

2'';

2'

'''

Z Z

V I

Z

V I

I I I

+==

+=

01

221

2 =

= I

I

V Z



363

Luego dividiendo la [3] con la [5]

2

1

2

21

22

21

12

212

.21

.2

.2

.4

).4(.

).4(

).2.(.2

Z

Z

Z

Z Z

Z

Z Z

Z Z

Z Z Z A +=

+=

+++

=

Como vemos la expresión de A, es igual tanto para el circuito T como π.Por lo tanto todo lo que deducimos sobre la condiciones para determinar las bandas de paso

sirven también para el circuito π.



364

Ejemplo: consideremos ahora el siguiente circuito:

Si hacemos de manera que las cuatro reactancias que están en paralelo resuenan en la misma

frecuencia que las ramas serie.

Para graficar Z1= f (ω) y 4Z2= f (ω), haremos las consideraciones siguientes:

A los efectos del análisis pondremos a Z1 y Z2 en función de L y C genéricos.

⇒⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=C

L j Z ω

ω 1

.1 Para ω = ω0 es Z1 = 0

En lo que hace a Z1 = f (ω) no hay dificultad en representarla.

Veremos ahora 4.Z2 = f (ω):

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=⇒⎟ ⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ −

=

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −

⎟ ⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ −−

=C

L j Z C

L j

C L j

C L

Z ω

ω ω

ω

ω ω

ω ω

1.2.4

2

1

1.2

1

2

2

2

Calculemos 4.Z2 para ω = 0

C

j Z

ω

2.4 2 −= Para ω = 0 => 4.Z2 = -∞

Además existe un cero de 4.Z2 en ω’.

a)

Z2 Fig.12

L1/22C1 L1/22C1



365

La banda de paso está limitada por ω1y ω2.

Las frecuencias ω’ y ω’’ constituyen ceros de transmisión o sea frecuencias de atenuación total,

si no consideramos la resistencia del circuito

De lo expresado anteriormente podemos ver que quedan delimitadas tres zonas. según los

valores de Z1/ 4Z2

Z1/4.Z2

Entre (-1) y 0 Zona I (banda de paso)

Negativa: Zona IIPositiva: Zona III Banda de atenuación

Banda de pasoFi .13

ω’ ω1

ω0

ω2ω’’

4Z2 Z1

ω

C L

C

L

C L

j Z

C L

C L j Z

ω ω

ω ω

ω ω

ω ω

1

.2.

1.

.2.4

1

1

.2.4

2222

2

2

2

−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+

=∴

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −

⎟ ⎠

⎞

⎜⎝

⎛

−=

Para0ω ω = es ±∞=2.4 Z

Por ultimo podemos poner a

4Z2



366

Clasificación de los Filtros mediante funciones Hiperbólicas

Es posible verificar las características de las tres zonas considerando una expresión de γ en

términos de función hiperbólicas.

Habíamos visto que:

2

1

.21cosh

Z

Z +=γ y que

2

1.2/1

2

1cosh

221 −+

=−

= Z Z

senh γ γ

2

1.42 Z

Z senh =∴ γ

[19]

Si Z1 y Z2 son ambos imaginarios puros, su relación y por lo tanto (Z1 / 4Z2) es un numero real.

Dado que Z1 y Z2 pueden tener cualquier valor entre – j ∞ y + j ∞ , Z1 /4Z2 puede tener

cualquier valor real entre estos mismos limites – ∞ y +∞ .

Entonces2

1

.42 Z

Z senh =

γ , tiene también limites infinitos, pero puede ser real o imaginario

según que Z1/ 4Z2 sea positivo o negativo.

Se demostrará que α y β adoptan distintos valores según el valor de Z1/ 4Z2. .

De la ec. [19] :

2

1.42

.2

cosh2

cos.2222 Z

Z sen j senh j senh senh =+=⎟ ⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ += β α β α β α γ [20]

Dividiremos en dos casos.

Caso A: Z1/ 4Z2 es negativo y por tanto es 21 .4/ Z Z imaginario.

Caso B: Z1/ 4Z2 es positivo y por tanto 21 .4/ Z Z es real.

Caso A: Z1/ 4Z2 es negativo, por lo tanto es 21 .4/ Z Z Imaginario

Llamando Z1/ 4Z2 = -x2 [21]

Luego jx Z

Z senh +==

2

1

.42

γ [22]

Luego en la ecuación [20] igualando las partes reales

0

2

cos.

2

= β α

senh [23]



367

y las partes imaginarias:

x sen =2

.2

cosh β α

[24]

Estas dos ecuaciones deben ser satisfechas simultáneamente por α y β.

De aquí se desprende dentro del caso A, las zonasІ y

П, puesto que la Ec. [23] se satisface

indiferentemente con α = 0 ó con β = ± л

Zona І: -1 ≤ Z1/ 4Z2 ≤ 0

Si α = 0, la ecuación [23] queda satisfecha

Por otra parte 12

cosh =α

Entonces la ecuación [24] queda:

x sen =2

β [25]

Pero el seno puede tener un valor máximo de solo 1, luego ésta solución es válida únicamente

paro Z1/ 4.Z2 negativa y magnitud máxima, igual a la unidad.

Por tanto resumiendo.

Zona І => α = 0 y β = 2 arc.sen x = 2arc. Sen.2

1

.4 Z

Z

y 0.4/1 21 ≤≤− Z Z ó 1101 2 ≤≤−⇒≤−≤− x x

Zona П: α ≠ 0 , entonces β = ±π.

Como vimos anteriormente la segunda posible solución de la ecuación [23] es para β = ±π.

Para este caso es sen 12/ ±= β y la Ec. [24] da :

⇒±=± x2cosh α

x=2coshα

[26]

Dado que 12

cosh ≥α

, esta solución es valida para Z1/ 4Z2 negativa y con una magnitud mayor

o igual que la unidad y puede resumirse así:

Zona П => α ≠ 0; β = ±π;2

1.4

cosh.2 Z

Z arc=α

1.4/ 21 −≤≤∞− Z Z ó 12 −≤≤∞− x



368

Caso B: Z1/ 4Z2 positivo2

1

.4 Z

Z ∴ real = ± x

Introduciendo este valor en la ecuación [20] e igualando las partes reales

x senh ±=2cos.2

β α [27]

Y las partes imaginarias

02

.2

cosh = β α

sen [28]

Una vez más α y β, deben satisfacer simultáneamente ambas ecuaciones.

Dado que 12

cosh ≥α

para cualquier valor real de α, la ecuación [28] puede ser satisfecha

solamente para β/2 = 0; ± π ó β = 0 (obsérvese que no hay diferencia física entre β = 0 y

β = 2 π)

Luego cos β/2 = ± 1 y la ecuación [27] se reduce a:

x senh =2

α [29]

Por consideraciones físicas, α sólo puede ser positivo.

Resumiendo:

Zona Ш:2

1

.4 Z

Z = real; β = 0

∞≤≤2

1

.40

Z

Z y

2

1

.4..2

Z

Z senharc=α

Representando las dos condiciones

Fig.14

II

II∞−

IBanda de paso

I

B.P-1 0

III

Z1/4.Z2 eje real

x eje imaginarioII

-1 0 +1



369

Como se ve, los tres límites de las Zonas І, П y Ш son mutuamente exclusivos y que, por lo

tanto, una ves conocido el valor de Z1/4.Z2, , es posible determinar inmediatamente a que caso

corresponde el filtro.

Como Z1 y Z2 se hacen con reactancias o combinaciones de reactancias de distintos tipos,

entonces al variar la frecuencia, el filtro pasa de una zona a otra.La Zona І corresponde a la banda de transmisión, mientras que, las Zonas П y Ш indican banda

de atenuación

Resumiendo hacemos la tabla siguiente:

Zona2

1

.4 Z

Z α β Carácter de Z0 Banda

I -1 a 0 02

1

.4..2

Z

Z senarc Resistencia

puraPasante

II ∞− a -12

1

.4cosh..2

Z

Z arc π ±

Reactancia pura

Detenida

III 0 a + ∞ 2

1

.4

..2 Z

Z senharc 0

Reactancia

pura

Detenida



370

Filtros de k constante

Dicese que una red en escalera es del tipo de k constante, cuando las impedancias Z1 y Z2 son

inversas, es decir si:

K R Z Z == 221. [30]

Esta ecuación establece que Z1 y Z2 son inversas si su producto es una constante, independiente

de la frecuencia.

En los filtros de este tipo la zona Ш no existe ya que X1 y X2 deben ser de distintos signos para

que su producto de una constante, o lo que es lo, mismo jX Z Z ±=21 .4/ es imaginario, y en

la zona Ш este valor es real.-

Veremos como ejemplo dos combinaciones particulares de estructuras inversas.

Si 11 . L j Z = y2

2 .1C j

Z ω

= se tiene que: 2

2

121. R

C

L Z Z == [30’]

independientemente de la frecuencia.

Luego, una reactancia inductiva y una reactancia capacitiva, son impedancias inversas.

Por otra parte, si Z1 = j( ωL1 - 1 / ωC 1), es un circuito resonante serie sin pérdidas y

)/1(

1

222

LC j Z

ω ω −=

un circuito antirresonante sin perdidas, se tiene:

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

−=

−−

=1

1

/1

/1.

222

112

1

2

22

1121

C L

C L

C

L

LC

C L Z Z

ω

ω

ω ω

ω ω

Como vemos el producto de Z1.Z2 puede hacerse independiente de la frecuencia si

L1.C 2 = L2.C2.

Por lo tanto, un circuito resonante en serie y un circuito resonante paralelo, son inversos siempre

que la frecuencia de resonancia de una coincida con la del otro y siL2 /C 1 = L1 / C2 = R 2

La relación definitoria del filtro de K constante, o sea la Ec. [30], puede combinarse con los

resultados del último apartado para obtener curvas universales que expresan α y β para este tipo

de filtro.

Luego de la ecuación [30]:

2

21

2

1

.4.4

R

Z

Z

Z =



371

ó jx R

X j

R

Z

Z

Z ±=±=±=

.2.2.411

2

1 [31]

Donde x puede ser identificado con el parámetro x de las zonas І y П de lo visto anteriormente.

Pueden usarse entonces los valores de la tabla anterior para dibujar las curvas universales de la

fig.15

La cantidad R de las ecuaciones [30] y [31] tiene un significado especial, que se advierte al

considerar la impedancia característica del circuito T. (ver apéndice 2)

Recordando que:

2

121

21

210 .41..

4.

Z

Z Z Z

Z Z Z Z T +=+=

Introduciendo la definición de K constante

2

10 .4

1. Z

Z R Z T += [32]

Luego R resulta ser el valor de Z0T para la frecuencia para la cual es Z1 = 0 y se la conoce

como impedancia nominal de la red.

Se toma la constante R, igual al nivel de impedancia de carga del filtro, siendo las resistencias

terminales de los filtros K aproximadamente iguales a R ohms.-

Estas curvas universales y el concepto de impedancia nominal son útiles para el proyecto de loscuatro tipos de filtros escalera de K constante.

1 2 3-3 -2 -1

x eje imag.

-1

-3

-4

1

2

3

4

-2

π α

β

Zona II Zona I. Zona III

x senarc..2= β

xarc cosh..2=α

Fig. 15. Curvas universales de α y β para los filtros de K constante

-

∝ ne per

β rad

α



372

Apéndice П

Impedancias características de los filtros de k c t e

Circuito T simétrico tipo

Luego ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ += 212 Z

Z Z ecc y

21

21

1

2

.2

2 Z

Z

Z Z

Z Z ecc

+

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛

+=

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛

+⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=∴ 2

12

112

21

21

12

10 .

2.

242

.2

2.

2 Z

Z Z

Z Z

Z Z

Z Z

Z Z

Z Z T

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛ +=

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛ ++=+=∴

2

121

2

121

21

210

4

1..

4

1.

4

. Z

Z Z Z

Z

Z Z Z

Z Z Z Z T

Finalmente: 20 1. x R Z T −= [1]

Circuito π simétrico tipo

).4.(

..4

).4(

..4

)2.2(

..2.

).4(

).2).(.2(

211

21

22

21

122

21

12

21

2120

Z Z Z

Z Z

Z Z

Z Z

Z Z

Z Z

Z Z

Z Z Z Z

+=

+=

++

+=∴ π

Z1

2Z22Z2

Z1/2

Z2

Z1/2Recordando la definición de impedancias

características

eccecaT Z Z Z .0 =

12

12

21

212

.2

..2

.4

)2).(.2(

Z Z

Z Z Z

Z Z

Z Z Z Z

ecc

eca

+=

++

=



373

4/.

.

.4

.

).4.(4

.

2121

210

21

21

21

22

211

21

22

0 Z Z Z

Z Z Z

Z Z Z

Z Z

Z Z Z

Z Z Z

+=⇒

+

=+

=∴ π π

4/.21210 Z Z Z Z T +=

).4/1(..

.

).4/1.(.

..

2121

21

2121

210

0

210

Z Z Z Z

Z Z

Z Z Z Z

Z Z Z

Z

Z Z Z

T +=

+=⇒=∴ π π

Finalmente

20

1 x

R Z

−

=π [2] ∴ 212

00 .. Z Z R Z Z T ==π

Representación gráfica de Z0T y Z0π

Habíamos visto que la zona І o banda pasante estaba delimitada por los valores de x

comprendidos entre -1 y +1.

Nosotros haremos la representación para x variando de 0 a 1.

Para ello representamos la Ecs. [1] y [2] entonces para 0 ≤ |x| ≤ 1

En la banda elimina banda, para la cual |x| > 1 , tanto Z0T como Z0π se tornan imaginarios.

Es evidente que una sección de esta clase no puede quedar correctamente cargada dentro de toda

la banda cuando el receptor es una simple resistencia.

Si se ajusta la carga para las frecuencias bajas, se producirán fuertes reflexiones en las

frecuencias altas y viceversa, si la carga se ajusta para las frecuencias altas.

En estas condiciones, la pérdida de transmisión no es igual ala perdida de atenuación.

Z0π

Z0T

Z0=R

R

x

0 1



374

Es por lo tanto deseable buscar una sección de filtro que ofrezca una menor variación de Z0

dentro de la banda pasante, cosa que se hará mas adelante con los filtro m derivados.

Gráficos de atenuación de filtros ideales:

Los gráficos de la atenuación α en función de la frecuencia de los diferentes tipos de filtros

ideales y perfectos, son como los de la fig.16.

Filtro pasa bajo de K constante elemental:

Por definición un filtro L.P. es uno que deja pasar sin atenuación todos las frecuencias inferiores

a la frecuencia de corte fc y atenúa todas las frecuencias superiores a fc.

La curva de α en función de la frecuencia de un filtro ideal perfecto, seria como el de la fig.16 a

Los filtros de K constante sólo se aproximan a esta curva ideal y se diseñan a partir de las Curvas

Universales de α.

En la fig 15 adviértase que el rango de x correspondiente a una sección L.P, es el que va de

0 a +∞ .

De acuerdo a la ecuación [31], existe una relación directa entre la impedancia Z1 y el parámetro

x de las Curvas, por lo que primero determinamos la X1 y luego por reciprocidad a X2

El problema consiste, entonces, en elegir las componentes de X1 de tal modo que cuando f varíe

de 0 a + ∞ , X1 ( y por tanto x) lo haga de 0 a + ∞ .

X1 debe proveer, por lo tanto, una proporcionalidad directa entre x y la frecuencia.

De acuerdo a la ecuación [31] x j R

X j .

.21 ±=± vemos que x es directamente proporcional a X1.

Por lo tanto si damos a X1 el carácter de una reactancia inductiva, obtendremos dicha

Fig.16 a) Pasa bajo b) Pasa alto c) Pasa banda d) Elimina banda

fc fc f 1 f 2 f 1 f 2

f f f f

∞ ∞ ∞ ∞

α α α α



375

proporcionalidad directa entre x y la frecuencia, por reciprocidad la X2 será un reactancia

capacitiva.

Por lo tanto el circuito T, será el de la figura.

2

..

4

.. 21)(

212

2 C L x

C L x

ω ω ω =⇒−=−∴ [33’]

Llamamos frecuencia de corte ωc a la que hace x(ω) = 1

Luego introduciendo en la Ec. [33’]

2

..1 21

C Lc

ω

= ∴ 21 .

2

C LC =ω [34]

Por consiguiente de la ecuación [33], será:

21

)(

.

2

C L

x ω = y de [34] =>C

xω

ω =)( [35]

Recordando de la tabla el valor de α y β para la zona І y П

C senarc β /...2= [36]

C arcα /.cosh..2= [37]

Dando valores a ω / ωc, se obtiene las atenuaciones

Fig.17

L1/2 L1/2

C2

2

2

1

2121

1.. R

C

L

C j L jCte Z Z ====

ω ω

4

..

4

..

.421

221

22

2

12)(

C LC L j

Z

Z x

ω ω ω

−===∴

[33]



376

Las Ecs. [36] y [37], nos dicen que las características de atenuación y de fase no dependen de la

frecuencia de corte ωc ni de R.

O sea que si la atenuación fuera insuficiente, habría que agregar más secciones en cascadas.

La sección π tiene las mismas características de α y β.

Lo que cambia es la impedancia característica, que tiene un mínimo para ω = 0 y aumenta

cuando ω→ωc (ver apéndice П)

Hasta ahora hemos hecho el desarrollo en base a expresiones tales como cosh γ = A, que

suponen al circuito cargado con su Z0.

Sin embargo Z0 es variable con ω.

Por ello se elige como su resistencia de carga verdadera, un valor del 75 % de la R nominal, que

produce una desadaptacion mínima en ambos extremos de la banda de paso.

ω/ωc α (db)

1,01 2,51,10 7,7

1,50 16,72,00 23

Fig.18

R

π α β β

α

Z0T

ω/ωc

ω/ωc

Inductivo

1

1



377

Proyecto de un filtro pasa bajo de K - c t e

Elegimos primeramente la sección tipo, por ejemplo la sección T del punto anterior.

Aplicando las expresiones [33] y [34]

[33] 2

2

1 RC

L= y

21.

2

C LC =ω [34]

De [33] 22

1 .C R L =⇒ y de [34]2

12

.

4

C LC

ω =

y reemplazando C2 en la anterior

C C C

R L

R L

L

R L

ω ω ω

.2.4

.

.412

2

12

21

2

1 =⇒=⇒= [36]

Y reemplazando L1 en la expresión de C2

⇒=2

2.

.24

c

C

RC

ω ω

C R

C ω .

22 = [37]

Por último, la mayor de las frecuencias para los que se fija α, nos da el número de secciones

necesarias.

Fig.19

α1

α2

ω1 ω2fc

Para realizarse el proyecto debemos tenercomo datos:

a) La resistencia de carga R b) La frecuencia de corte ωc

c) Uno o dos datos de α paraCiertas frecuencias

α



378

Ejemplo: Calcular el filtro anterior para R = 600 Ω y ωc = 1000 rad / seg

De [36] Hy L L 2,12,11000

1200

1000

600.211 =⇒===⇒

De [37] F xC C 62

552 103,310.

6

2

10.6

2

1000.600

2 −− =∴===

Luego el circuito del filtro para la sección T sería el de la fig 20 y para una sección π equivalente

sería el de la fig 21

3,3 μ F

Fig.20

0,6 Hy 0,6 Hy

Fig.21

1,65 μ F 1,65 μ F

1,2 Hy



379

Filtro pasa alto de K constante

Por definición un filtro pasa altos (H. P.), es uno que atenúa todas las frecuencias inferiores a una

frecuencia de corte f c y deja pasar sin atenuación todas las frecuencias superiores a f c..

La característica de atenuación ideal del filtro (H. P.) es la de la fig. 16 – b).

Los filtros de K constante sólo se aproximan a ésta curva ideal y se diseñan de manera análoga a

la de los filtros (L. P.)

En la fig 15, advertimos que el rango de x correspondiente a sección H.P. es el que va

de – ∞ a 0.

El problema consiste entonces, en elegir las componentes de X1 de tal modo que cuando f varíe

de 0 a + ∞ , X1 (y por lo tanto x) lo haga de – ∞ a 0.

X1 debe proveer, por lo tanto una proporcionalidad inversa entre x y la frecuencia.

De acuerdo a la ecuación [31], x j R

X j .

.21 ±=±

Vemos que x es directamente proporcional a X1.

Por lo tanto si damos a X1 el carácter de una reactancia capacitiva obtendremos dicha

proporcionalidad inversa entre x y la frecuencia.

Según la fig 15 el corte ocurre para x = -1.

Luego sustituyendo en la ecuación [31] para la condición de corte:

1)..2(.2 11....2 1.1.111

1 =⇒−=−∴−=− C f R j

C R j

C j jX

ccc π ω ω

De dondec f R

C ...4

11

π = [38]

La correspondiente ecuación de diseño para Z2 , resulta de las ecuaciones [30] y [30’].

Luego, para que Z1 y Z2 sean inversas:

21

1

22

1

222 .

./1.. RC j

C j

R L j Z

R L j Z ω ω

ω ω ==⇒== 12

2 .C R L =⇒ [39]

Reemplazando en [39] el valor de C1 hallado en [38] nos queda:

c f

R L

..42π

= [40]

Puede demostrarse una vez más, que x es una frecuencia normalizada puesto que, sustituyendo

X1 en la Ec. [31]:



380

1...2

1

C R x

ω −= y reemplazando C1 por la ecuación [38]

f

fc x

f

f f R

f R x c

c −=⇒−=−= ...4.)..2.(.2

1π

π [41]

Recordando las expresiones de α y β para las zonas І y П:

Zona II: f

f arc ccosh..2=⇒ α pero xh

xarc

11 sec1

cosh1

cosh −− == Ver pág.30 Schaum

c f

f harc sec..2=α

y π β −= para f < f c

Zona I: 0=⇒ α

y f

f senarc c..2−= β ó

c f

f arc csc..2−= β para f > f c Ver pág.18 Schaum

La expresión de la frecuencia de corte se obtiene combinando las Ecs. [40] y [38], de donde:

12 ...4

1

C L f c

π = [42]

La Fig. 22 a y b muestran dos filtros pasa alto con su estructura en T y π respectivamente y la

Fig. 22 c, muestra las curvas de repuestas o sea la atenuación α y su rotación de fase β.



381

Ejemplo: Calcular el filtro pasa alto anterior para una resistencia de carga R = 600Ω y

frecuencia de corte ωc = 1000 rad /seg.

De [38] F xC 61 1083,0

200000.1

1

600.1000.2

1 −=== F C 83,01 =∴

De [39] ( ) Hy L 3,0600.10.83,0 262 ==⇒ − Hy L 3,02 =∴

Las estructuras T y π resultantes son los de la Fig. 23 a y b respectivamente

Fig. 23- a

0,3 H y

1,66μ F

Fig.23- b

0,6Hy0,6 Hy

1,66μ F 0,83 F

a Circuito T.

L2

2C1

b) Circuito π

2L2

2C1

C1

2L2

Fig. 22 – filtros pasa alto de K constantec)

0

-π

α

f/fc

c f

f h 1sec2 −=α

c f

f 1csc2 −= β

fc



382

Filtro pasa banda de K constante

Un filtro pasa banda (B.P.), es uno que atenúa todas las frecuencias inferiores a una frecuencia

de corte inferior f 1 y todas las frecuencias superiores a una frecuencia de corte superior f 2.

Las frecuencias comprendidas entre f 1 y f 2 constituyen la banda pasante, que se transmite sin

atenuación.

La Fig. 16 – c muestra la característica ideal de atenuación del filtro B.P.

Para diseñar un filtro B.P. de K constante, se elige Z1 como un circuito resonante en serie, sin

pérdidas, es decir X1 = ω.L1-1/ ω.C1.

Así mientras la frecuencia varia de 0 a +∞, x lo hace de – ∞ a +∞ según lo indica la Ec.

[31].

El filtro B.P incluye asi todo el rango de variación de x en la Fig. 15.

La frecuencia inferior de corte f 1, corresponde a x = - 1 y la frecuencia superior de cortecorresponde a x = +1.

Estas observaciones se aprovechan para el diseño del filtro B.P.

De la [31] R

X x

.21=⇒

Sustituyendo la condición de corte superior en ésta, para ω2 :

1.2 ./1. 1212 =−= RC L x [43]

De modo similar para ω1:

1.2

./1. 1111 −=−

= R

C L x [44]

De las dos últimas ecuaciones simultáneas, puede despejarse L1 y C1 (ver apéndice III) lo que da.

).( 121 f f

R

L −= π [45] y 21

121 ....4 f f R

f f

C π

−= [46]

Ya se sabe que el elemento en paralelo inverso Z2 , será un circuito antirresonante con L2 y C2

en paralelo.

Por otra parte, para que Z1 y Z2 sean estructura inversas. (Ver Pág. 25)

2

2

1

1

2 RC

L

C

L== [47]

2211. C LC L = [48]



383

Despejando L2 y C2 :

De [48] 12

12 .C

C

L L =⇒ y de [47] es 2

2

1 RC

L=

12

2 .C R L =∴ y de [47] es 212 R

LC =

Remplazando en estas ultimas las Ecs. [45] y [46]

21

122 ...4

).(

f f

f f R L

π

−= [49]

).(.

1

12

2 f f R

C

−

=π

[50]

La Ec. [48] establece que la frecuencia de resonancia Z1 debe ser igual ala frecuencia de

antirresonancia de Z2, para que las dos impedancias sean inversas, es decir:

2211

2 11

C LC Lr ==ω [51]

Introduciendo los valores de los cuatros elementos de circuito se obtiene:

21

2

. f f f r = [52]

Lo que indica que la repuesta del filtro B.P., es posiblemente de simetría geométrica, respecto de

la frecuencia de resonancia f r .

Esto se verifica reduciendo a x, en términos de una frecuencia normalizada.

Por la Ec. [31]

1

112

111

...2

1..

.2

/1.

.2 C R

C L

R

C L

R

X x

ω

ω ω ω −=

−== [53]

Introduciendo la Ec. [52] y remplazando L1 por la [45] y C1 por la [46]

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

−=

f

f

f

f

f f

f x r

r

r .12

[54]

Según las Zonas I y II, la repuesta del filtro B.P esta dado por:

Zona I 0=⇒ α ;

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛ −

−=

f

f

f

f

f f

f senarc r

r

r

12

...2 β para f 1 ≤ f ≤ f 2



384

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

>+=⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

−=

<−=⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

−=

212

112

..;.cosh..2

..;.cosh..2

.

f f para f

f

f

f

f f

f arc

f f para f

f

f

f

f f

f arc

II Zona

r

r

r

r

r

r

π β α

π β α

Se puede verificar (ver apéndice III) que las expresiones de las frecuencias de corte, en términos

de los elementos de circuito son:

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ ++−=

1121211 .

1

.

1

.

1

.2

1

C LC LC L f

π [55] a

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

++= 1121212 .

1

.

1

.

1

.2

1

C LC LC L f π [55] b

La fig 24 muestra el filtro B.P. de K constante y sus curvas de repuesta.

L2 C2

Circuito T

L1/2 2C1

C2/2

f

Fig. 24-Filtro pasa banda de K constante.

Circuito π

L1 C1

L1/22C1

C2/2 2L2 2L2 0

α

-π

π

α

β

α β

f 1 f 2



385

Ejemplo: Calcular un filtro pasa banda de K constante que tenga una banda pasante comprendida

entre ω1= 2000 y ω2= 3000 rad/seg y trabaje sobre una resistencia de carga de 600 ohm

De la [45] y H L R

f f

R L 2.12,1

20003000

600.2.2

).( 11212

1 =⇒=−

=−

=−

=ω ω π

De la [46]

F C R f f R

f f C μ

ω ω π 139,010.139,0

3000.2000.600.2

20003000

...2....4 16

21

12

21

121 =⇒=

−=

−=

−= −

De la [49] Hy L R

f f

f f R L 05,005,0

3000.2000.2

)20003000.(600

..2

).(

...4

).(2

21

12

21

122 =⇒

−=

−=

−=

ω ω π

De la [50]

F C R f f R

C μ ω ω π

33,310.33,3600).20003000(

2

).(

2

).(.

12

6

12122 =⇒

−=

−=

−= −

En la Fig. 25. pueden verse las dos estructuras de filtros pasa banda

0,05 Hy

Fig. 25-a Circuito T

0,6 Hy 0,278 F

Fig. 25-b Circuito π

0,2 Hy0,6 Hy

0,1 Hy0,1 Hy3,33 F

0,278 F

1,66 F

0,139 F

1,66μ F



386

Apéndice III

A) Cálculo de L1 y C1. Ecs. [45] y [46]

De [44] 1.2

./1. 1111 −=−

R

C L ω ω => 11

111111..2

.

1.2

..

1 L R

C R

LC ω

ω ω ω +=∴=

−

2

1211

121

211

1

...2

.

1...2

1

ω

ω ω

ω ω ω

L R

C L R

C

+=⇒+=∴ [1]

De [43]

RC L R

C L.2./1.1

.2

./1.1212

1212 =−⇒=−

ω ω Remplazando por [1] nos queda.

212111222

1

2

1112 ..2...2..2...2. ω ω ω ω ω

ω ω ω R L R L R L R L =−−⇒=+−

).(.2)( 1221

221 ω ω ω ω +=−∴ R L

⇒−

=+−

+=

−

+=∴

).(.2

.2

)).((

)(..2

)(

)(.2

121212

1221

22

121

f f

R R R L

π ω ω ω ω ω ω

).( 121

f f

R L

−=π

[45]

De [1]

).(...4..4

1

...2

1

...21

12

2

1

2

1

12

111

12

111

f f

R f f L R

C

L RC

−+

=+

=

⇒+=

π π π ω ω

ω ω

21

2121

121

...4...4....4

)(

f R f R f f R

f f C

π π π +−

−=

⇒ 21

121 ...4

)(

f f R

f f C

π

−= [46]



387

B) Cálculo de f 1 y f 2. Ecs (55) a y b.

De la [44]

11112

12

11

11211111 ....41....4.2

.

1..1

.2

./1. 1 C R f C L f R

C

C L

R

C L x π π

ω

ω ω ω −=−⇒=

−⇒−=

−=

2

11111

21

2 .01....4....4C

L R peroC R f C L f ==−+ π π De la Ec. [47]

0...4

1

.01...4....4

1121

1

2

1

2111

2

12111

2 =−+⇒=−+∴C L

f L

C

L

f f C C

L f C L

π π π π

112

212

211

2121

21

21

...4

1

...4

1

...2

10

...4

1.

..

1

C LC LC L f

C L f

C L f

π π π π π ++−=∴=−+

⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++−=∴

1121211 .

1

.

1

.

1

.2

1

C LC LC L f

π [55] a

Para el cálculo de f 2 se parte de la Ec. [43]

1.2

./1. 1212 =−

= R

C L x

Y se procede de la misma forma que para f 1.

⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++−=∴

1121212 .

1

.

1

.

1

.2

1

C LC LC L f

π Ec. [55] b



388

Analogía entre pasa bajo y pasa banda

El diseño de las tres secciones básicas de filtros, se ha basado en las curvas universales de la

Fig. 15.

Por ejemplo para la red. L.P., se eligió Z1 de modo que la gama de las frecuencias reales

correspondiese a 0 ≤ x ≤ +∞, mientras que para la red B.P., la impedancia Z1 se eligió de

modo que la gama de la frecuencia reales correspondiese a – ∞≤ x ≤ +∞

Esto sugiere una estrecha analogía entre los casos L.P. y B.P.

En efecto, dada las ecuaciones de diseño de la red L.P., es posible derivar de ella la del caso B.P.

mediante una adecuada sustitución de variables.

Se observan las siguientes cantidades, correspondientes en los dos filtros.

L1 de la sección L.P., es remplazada en la sección B.P. por L1 y C1 en serie, siendo

ωr 2 = ω1. ω2 = 1/ L1.C1

C2 de la sección L.P., es remplazado en la sección B.P. por L2 y C2 en paralelo, siendo

ωr 2 = ω1. ω2 = 1/ L2.C2.

El ancho de banda que es igual a f c en el caso L.P., se hace igual al ancho de banda f 2 – f 1

en el caso B.P., con 21. f f f r = .

La Fig. 26 muestra un ejemplo de esta analogía.

La 26-a muestra un filtro L.P. diseñado para R = 600 Ω y f C = 3000 c/s.

La 26-b corresponde al filtro B.P. análogo con R = 600 Ω y f 1 = 1000 c/s y f 2 = 4000c/s

observando que L1 y C2 son idénticos para los dos diseños.

Fig. 26-a (L.P)

31,8 mHy

Fig. 26-b (B.P)

31,8 mHy

0,177μ F

0,199 F 31,8 mHy

35,7 mHy 0,177 F

31,8 mHy0,199 F



389

Filtro elimina banda de K constante

De acuerdo a las curvas universales de la Fig. 15, vemos que para diseñar un filtro elimina banda

(E.B.) debemos elegir Z1 de tal modo que cuando la frecuencia varia de 0 a f 1, x lo haga de

0 a + ∞ y cuando f varíe desde f 1 a +∞ , x lo haga desde -∞ a 0.

De acuerdo a esto, se elige a Z1 como un circuito resonante paralelo sin pérdidas es decir

X1 = j. ωL/1- ω 2LC , cuya gráfica en función de la frecuencia se representa en la Fig. 27.

Así mientras la frecuencia varía de 0 a +∞, X1 y por lo tanto x (por la Ec. [31]), lo hace desde

0 a +∞ para la frecuencia de corte inferior y de -∞ a 0 para la frecuencia de corte superior

que es lo que estábamos buscando.

El filtro E.B. incluye así todo el rango de variación de x en la Fig. 15, la frecuencia inferior de

corte f 1 corresponde a x = 1 y la frecuencia superior de corte corresponde a x = -1.

Sustituyendo la condición de corte inferior en la Ec. [31] para ω1:

1.2

..1/. 12111 =

−=

R

C L L x

ω ω [56]

De modo similar, para la frecuencia superior ω2

1.2

..1/. 122212 −=

−=

R

C L L x

ω ω [57]

De las dos últimas ecuaciones simultáneas, puede despejarse L1 y C1 (ver apéndice VI), lo que

da:

12

121 .

).(.2ω ω

ω ω −= R L [58] y

).(.21

121

ω ω −=

RC [59]

Fig.27- Reactancia Z1 de un circuito L-C paralelo

B,P B,P

ω1 ωL ω1 ωL

Z1

ω0

+∞

-∞

ω0

ω B,P B,P



390

Ya se sabe que el elemento en paralelo inverso Z2, será un circuito resonante serie con L2 y C2.

Por otra parte para que Z1 y Z2 sean estructura inversa (ver Pág. 20)

2

2

1

1

2 RC

L

C

L== [60]

2211 .. C LC L = [61]

Despejando L2 y C2

De la [61] 12

12 .C

C

L L = y de [60] 2

2

1 RC

L=

12

2 .C R L =∴ y de [60] es21

2

R

LC =

Reemplazando en estas últimas las Ecs. [58] y [59]

).(2 122

ω ω −=

R L [62]

21

122 ..

).(2

ω ω

ω ω

RC

−= [63]

La ec. [61] establece que la frecuencia de resonancia de Z1 debe ser igual ala frecuencia de

antirresonancia de Z2 para que las dos impedancias sean inversas, es decir:

2211

2

.

1

.

1

C LC Lr ==ω [64]

Introduciendo los valores de los cuatros elementos de circuitos se obtiene.

212 . f f f r = [65]

Lo que indica que la repuesta del filtro E.B. es posiblemente de simetría geométrica respecto de

la frecuencia de resonancia f r .

Esto se verifica reduciendo x en términos de una frecuencia normalizada.

Por la Ec. [31]:

)..1.(.2

.

.2

..1/.

.2 112111

211

C L R

L

R

C L L

R

X x

ω

ω ω ω

−=

−== [66]

Introduciendo la Ec. [65] y reemplazando L1 por la Ec. [58] y C1 por la Ec. [59] nos da:



391

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−=

r

r r

f

f

f

f f

f f x

1.12 [67]

Según las zonas I y II, la repuesta del filtro E.B. esta dada por:

Zona I:

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−==

r

r r

f

f

f

f f

f f senarc

1....2;0 12 β α Para f 2 ≤ f ≤ f 1

Zona II: π β α +=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−= ;

1..cosh..2 12

r

r r

f

f

f

f f

f f arc Para f ≥ f 1

π β α −=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−= ;

1..cosh..2 12

r

r r

f

f

f

f f

f f arc Para f < f 1

Se puede verificar (ver apéndice IV), que las expresiones de las frecuencias de corte en términos

de los elementos de circuito son:

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ ++−=

1112211 .

1

.

1

.

1

.2

1

C LC LC L f

π [68]

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++=

1112122 .

1

.

1

.

1

.2

1

C LC LC L f

π [69]

En la Fig.28 se muestra el filtro elimina banda de K constante en su circuito T y π y sus curvasde respuestas.



392

L2

C2

Fig. 28-a Circuito T

L1/2

2C1

f

Fig. 28

Fig.28-b Circuito π

L1/2

2C1

C2/2

2L2 2L2

α α

β

C1

L1

C2/2

f 1 f 2



393

Apéndice IV

A) Cálculo de L1 y C1, Ecs. [58] y [59]

De [56]

1.2

..1/. 112111 =

− R

C L L ω ω => 1111

2111

2111 .2....2...2.2. L RC L RC L R R L ω ω ω ω −=∴−=

R L

L RC

.2..

..2

121

111

ω

−=∴ (1)

De [57] => RC L R L R

C L L.2....2.1

.2

..1/.11

2212

112211 ω ω

ω ω +−=⇒−=

−

RC L R L .2....2. 112212 ω ω +−=

Remplazando C1 de (1) nos queda:

21

1122

22

21

121

111

2212

....2..2

.2..

)..2.(.2...2.

ω

ω ω ω ω

ω

ω ω ω

L R R

R L

L R R L R L

−+−=

−+−=

)(2........2..2.. 2211

2212

2111

22

22

2112

21

12ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω −=+⇒−+−= R L L L R R L

)).(.(.2).(.. 121221121 ω ω ω ω ω ω ω ω −+=+ R L

⇒ 21

121 .

)(.2

ω ω

ω ω −=/ R

L [58]

Reemplazando L1 en (1)

=−

+−=

−

−−

=−

−−

=).(..4

..2..2..2

).(..4

).(.2..2

.

).(.2..2

.

).(.2..2

1212

122

2

1212

2

122

21

1221

21

121

1ω ω ω

ω ω ω

ω

ω ω ω

ω

ω ω

ω ω ω

ω ω

R

R R R

R

R R

R R

R R

C

⇒−

=).(..4

..2

1212

11

ω ω ω

ω

R

RC

).(.2

1

12

11

ω ω −=

RC [59]



394

B) CÁlculo de las frecuencias de cortes f 1 y f 2. Ecs. [68] y [69]

De la [56]

⇒−=⇒−=−

112111

112111 ....2.2.1

.2

..1/.C L R R L

R

C L Lω ω

ω ω

0.2...2. 111121 =−+ R LC L R ω ω

⇒=−+ 02.2...2..4 112

1112 R f L f C L R π π

0...2..4

.2.

...2..4

..2

1121

112

121 =−+

C L R

R f

C L R

L f

π π

π

0...4

1.

...4

1

1121

1

21 =−+∴

C L f

C R f

π π Recordando la Ec. [60]

1

2

C

L R =

0...4

1.

...4

10

...4

1.

...4

1

1121

12

21

1121

11

2

21 =−+⇒=−+∴

C L f

C L f

C L f

C C

L f

π π π π

De la raíz positiva de esta ecuación se desprende el valor de f 1

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ ++−=

1112121 .

1

.

1

.

1.

.2

1

C LC LC L f

π Que nos da la Ec. [68]

Haciendo el mismo procedimiento a partir de Ec. [57] obtenemos:

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ ++=

1112122 .

1

.

1

.

1.

.2

1

C LC LC L f

π Que nos da la Ec. [69]



395

Análisis de los efectos disipativos en los filtros.

Si el filtro pasa bajo del ejemplo visto utilizase bobina de Q = 20 y suponiendo que se

mantuviese constante este valor para todo el intervalo útil de frecuencia, compárense las

funciones de atenuación y fase con la de una red ideal (Q =∞) y luego con el caso de una bobina

de Q = 200.

Los resultados obtenidos se hallan representadas gráficamente y tabulado en la Fig. 29 y han sido

extraído del libro “líneas de transmisión y filtro eléctricos” de KARKASH, pág.243.

A la vista de estos, se observa que para Q = 20, los efectos de la resistencia de la bobina son

despreciables, salvo en las regiones en la inmediata proximidad del corte.

En particular, la función de fase β se ve que tiende a su límite de π radianes en forma menos

bruscas que lo haría en el caso ideal (Q =∞), alcanzando dicho valor en la proximidad de

ω = 2.ωc en lugar de ω = ωc.

También se observa que para Q = 20, la componente imaginaria de Z1/4.Z2 es menor que el 5 %

del módulo de dicha expresión dentro de la banda pasante, por lo que serán muy pequeños los

errores que se introduzcan al sustituir la función:

ν μ j Z

Z +=

2

1

.4 por su parte real

La disipación parásita o incidental en las redes selectivas en general, y en los filtros en particular,

puede en ciertos casos, tener mucha importancia aun cuando se hayan despreciado los efectos de

la disipación en el estudio preliminar de los filtros que se ha realizado.

Como puede observarse de los resultados de la Fig. 29, los efectos de la disipación sobre α

introduciendo una atenuación pequeña, pero variable, en la banda pasante del filtro cuyos efectos

se acentúan en las proximidades del punto de corte.

MAYER demostró que la atenuación en la banda pasante, debido a las componentes disipativas

de la red, es proporcional a la derivada de la función de fase ( ω β d d / ), por lo que los filtros que

poseen característica de fase lineal en la banda pasante, tendrán en dicha banda pasante una

atenuación plana.

Estas condiciones son importantísimas, ya que implica que las frecuencias de la señal están

exentas, de los efectos de distorsión de amplitud y retrasos.-



396

Z1/4.Z2 Atenuación α ( neper ) Rotación de fase β (radian )

Ideal Caso disipativo Ideal Caso disipativo Ideal Caso disipativoC ω

ω

Q =∞ Q = 200 Q = 20 Q =∞ Q = 200 Q = 20 Q =∞ Q = 200 Q =20

0 0 0 0 0 0 0 0 0 00,2 -0,04 -0,04 + j0,0002 -0,04 + j0,002 0 0 0,01 0, 4 0,4 0,4

0,4 -0,16 -0,16 + j0,0008 -0,16 + j0,008 0 0,01 0,02 0,79 0,79 0,79

0,6 -0,36 -0,36 + j0,0018 -0,36 + j0,018 0 0,01 0,04 1,27 1,27 1,26

0,8 -0,64 -0,64 + j0,0032 -0,64 + j0,032 0 0,02 0,07 1,88 1,88 1,88

1 -1,00 -1,00 + j0,005 -1,00 + j0,05 0 0,03 0,32 3,14 3,08 2,80

1,2 -1,44 -1,44 + j0,007 -1,44 + j0,07 1,25 1,25 1,26 3,14 3,12 3,08

1,5 -2,25 -2,25 + j0,011 -2,25 + j0,11 1,92 1,92 1,92 3,14 3,13 3,08

2,0 -4,00 -4 + j0,02 -4 + j0,2 2,62 2,62 2,62 3,14 3,14 3,12

4,0 -16,00 -16 + j0,08 -16 + j0,8 4,12 4,12 4,12 3,14 3,14 3,14

0 1 2 3 4 0 1 2 3 4

4

3

2

1

a) b)4

3

2

1

ω/ωc ω/ωc

Fig.29-a) Función de atenuación y b) Función de fase, de un filtro pasa bajo

Q = 20 Q = 20

Ideal Ideal

α

ne per

β r ad



397

Conclusiones

Para concluir veremos los dos tipos de inconveniente que presenta los filtros escaleras de K

constante.

a) Variación de la impedancia característica con la frecuencia

Habiamos visto en el Apéndice II que tanto las secciones T o π, no podían quedar correctamente

cargada dentro de toda la banda de frecuencia, cuando el receptor es una resistencia pura.

Si se ajusta, la carga para las frecuencias bajas, se producirán fuetes reflexiones en las

frecuencias altas y viceversa si la carga se ajusta para las frecuencias altas.

En estas condiciones, la pérdida de transmisión no es igual a la perdida de atenuación.

Es por lo tanto deseable buscar una sección de filtro que ofrezca una menor variación de Z0

dentro de la banda pasante, lo que se hará más adelante. Con los filtros m-derivados

b) Variación de la atenuación con la frecuencia

Hemos visto ya que la atenuación en la banda atenuada es finita, de modo que el filtro no

representa una barrera perfecta para la transmisión de las señales comprendidas dentro de esta

banda.

La característica de atenuación de una sección L.P. sencilla está ilustrada en la Fig. 30-a

Fig. 30

L/2

C2

L/2a) b) L1/2

C2

L1/2

L2

fc

α

ffc

f

α

f ∞



398

Es por lo general deseable tener una gran atenuación cerca de la frecuencia de corte, como

también así en otros puntos.

En la Fig. 30–b se muestra otro tipo de filtro L.P.

Este filtro ofrece una atenuación muy grande para la frecuencia resonancia de Z2.

Eligiendo adecuadamente L2 y C2 esta frecuencia de atenuación (f ∞ ) teóricamente infinita puede situarse en cualquier punto de la banda eliminada.-

Concluyendo podemos decir que en general, los filtros de K constante, se emplean cuando no se

exigen requisito de selectividad muy estricto.

El lento aumento de la función de atenuación es particularmente perjudicial en los sistemas que

se requiere un corte neto.

Ni siquiera será útil la conexión de muchas secciones K en cascada, debido a los efectos

acumulativos de reflexión y disipación.Además desde el punto de vista económico, seria prohibitivo.

De todo lo anterior se deduce que para obtener una característica total mejor, cada filtro deberá

tener un número de elementos mayor que el que tiene un filtro tipo K., dando origen cada adición

a un nuevo parámetro, adquiriéndose así la mayor flexibilidad necesaria en muchos problemas de

filtros.



399

Filtro m-derivados

Secciones T m-derivadas

Sería muy conveniente poder asociar varias secciones de modo que cada una de ellas

contribuyera con una frecuencia de atenuación infinita∞

f , en un punto específico de la banda

atenuada, de modo de mantener así un elevado valor de α en toda esta banda.

Para poder conectar en cascada varias secciones de filtro sin que se produzcan reflexiones en los

empalmes, sería necesario que sus impedancias características se conserven iguales para todas

las frecuencias, las secciones tendrían la misma banda de transmisión, puesto que en esta banda,

y solo en esta banda, Z0 es una resistencia pura.

Concluyendo, los filtros m-derivados presenta como características importantes las siguientes:

a) Tienen en la banda de de atenuación, una frecuencia para la cual la atenuación es elevada.

Esta frecuencia se llama de atenuación infinita o cero de transferencia.

b) La media sección, presenta una impedancia característica mas uniforme en la banda de paso,

lo que permite una mejor adaptación.

En el análisis que sigue supondremos que los elementos del filtro son puramente reactivos.

Se presenta en la Fig. 31 un filtro m-derivado tipo T y el filtro K constante del que se deriva, este

último se denomina prototipo T m-derivado.

El filtro m-derivado debe cumplir con las siguientes condiciones:

a) Igualdad de banda de paso con el prototipo. b) Igualdad de impedancia característica con el prototipo.

La impedancia característica de la sección denominada prototipo es:

.4/. 21210 Z Z Z Z T +=

Llamemos Z’1 y Z’2 , las impedancias de ramas de la sección derivada y Z’0T su impedancia

característica.

Imaginemos que Z1 y Z’1 están relacionados por la ecuación:

1'1 . Z m Z = [70]

fig. 31-a Prototipo T

→'0T Z

Z /2Z /2

Z2

Z’ /2Z’ /2

Z’2

fi . 31-b ti o T derivado

'0T Z ← T Z 0←

→T Z 0



400

El problema es entonces, el de hallar una configuración de Z’2 tal que:

'00 T T Z Z = [71]

Si son validas las Ecs. [70] y [71]

4

.

..4

)(.4.

21

2'21

2'1'

2'1

21

21

Z m

Z Z m

Z

Z Z

Z

Z Z +=+=+

m

Z m

m

Z Z

.4

).1( 12

2'2

−+= [72]

Por lo tanto si se le da a Z’2 la configuración especificada por la Ec. [72] e ilustrada en la

Fig. 32, serán idénticas las impedancias características nominales y las frecuencias de corte de

las dos estructuras de la fig. 32.

Estos dos tipos de secciones pueden entonces conectarse en cascada sin reflexiones.

De las Ecs. [70] y [72] podemos ver que:

a) Z’1 es de la misma naturaleza que Z1

b) Z’2 tiene dos ramas, una de impedancias proporcional a la impedancias serie del prototipo, y

otra de impedancia proporcional a la de la rama paralelo del mismo.

El filtro estudiado es el m-derivado serie (llamado así porque la rama que produce atenuación

infinita esta formado por dos elementos en serie).-

Con respecto a los valores que podría tomar m vemos, por la Ec. [70] que no puede ser m < 0,

ya que esto llevaría a capacidades o inductancias negativas.

De la Ec. [72], surge otra condición adicional para evitar la aparición de impedancias negativas,

la que sea m < 1.

Por lo tanto:

0 < m < 1

Z1/2Z1/2

Z2

Prototipo fig. 32 Tipo derivado

m.Z1/2m.Z1/2

m

Z m

4

).1( 12−

m

Z 2



401

Por medio de la Ec. [72] y dando diferentes valores a m, puede obtenerse un número ilimitado de

secciones que difieren en algunos aspectos pero que se caracterizan todos por tener el mismo

valor de la impedancias característica semiserie y que pueden conectarse en cascada para formar

un filtro compuesto.-

La fig. 33 muestra la aplicación de este principio para el diseño de filtros L.P. y H.P.Es usual, tomar el tipo más sencillo del K constante como prototipo y derivar de él, las demás

secciones.

.L1/2

C2

.L1/2 m.L1/2

m.C2

m.L1/2

14

21 L

m

m−

2C1

L2

2C1 2C1/m

L2/m

2C1/m

1.21

.4C

m

m

−

Prototi o

Prototipo

Pasa bajos

Pasa altosTipo derivado

Tipos derivado – fig.33

Tipo derivado



402

Variaciones de α y β en filtros m – derivados

El análisis de las secciones de K constante se simplificó, gracias al empleo del parámetro x y

definido por la Ec [31], esto es 21 .4/ Z Z jx =± .

Una simplificación similar se obtiene para las secciones m – derivadas, definiendo un parámetroanálogo xm.

'2

'1

.4 Z

Z jxm =± [73]

ó elevando al cuadrado:

'

2

'12

.4 Z

Z X m −= [74]

Puede demostrarse que xm, está relacionado con x, introduciendo en ésta última, los valores de

Z’1 y Z’2 dados por las Ecs. [70] y [72]:

[ ] [ ] 22

22

212

2

12

12

2

12

).1(14/).1(1

1.

4.

4/).1(/4

.

xm

xm

Z Z m Z

Z m

m Z mm Z

Z m xm

−−=

−+−=

−+

−=

⇒

22

2

2'2

'

11

14 x

m

m x Z Z m

−−=−= [75]

Recordando en el párrafo de filtros escalera, la condición de banda de paso, resulta entonces para

el filtro m- derivado:

0

11

1

22

2≤

−−

≤−

xm

m [76]

Obsérvese cuando x = ± 1 ó nulo (0) es x = xm , independientemente del valor de m.



403

Representación gráfica de )(.4/ '2

'1 x f Z Z =

Para cierta absisa ∞ f , se cumple que:

2'2

'1

2

2

1

1

4

01

1m

f

Z

Z

f

m

−

±=⇒∞=⇒=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−− ∞

∞

Cuando.

⎭⎬⎫

−<−

>

∞

∞

f x

f x Es 0

.4 '2

'1 >

Z

Z y cuando ∞→ x , entonces

2

2

'2

'1

1.4 m

m

Z

Z

−→

Luego como analogía directa de la Ec. [20], puede escribirse para las secciones m derivadas:

'2

'1

42.

2cosh

2cos.

22 Z

Z sen j senh senh =+= β α β α γ [77]

Esta ecuación puede manejarse del mismo modo que la Ec. [20], resultando las siguientes zonas:

Caso A: 04/ '2

'1 < Z Z

Zona I Banda pasante: -1 ≤ x ≤ 1

α = 0

22 ).1(1..2..2 X m

m senarc senX arc

X m

−−== β [78]

(III) (II) (I) (I) (II) (III)

∞− f -1 1 ∞ f

Banda de paso

'2.4

'

Z

Z

'2.4

'

Z

Z −

2

2

1 m

m

−

x

Fig.34



404

Zona II Banda atenuada: (ver Fig. 34)

∞−>>−

∞<<+

f x

f x

1

1

22).1(1.cosh.2cosh.2

xm

marc xarc X m

−−==

±=

α

π β

[79]

Caso B 04/ '2

'1 > Z Z

Zona III Banda atenuada: ∞> f x y ∞∞∞ −<<+∴−< f x f f x

22

).1(1

..2

0

xm

m senharc X

−−

=

=

α

β

[80]

Estos resultados están representados en la fig. 35.

Debe observarse que en las regiones correspondientes a la zona I, se eligió el signo de β de modo

que su curva, tenga pendiente positiva.

La comparación de la fig. 35 con la fig. 15, muestra que las secciones m-derivadas tienen las

mismas bandas de transmisión que sus prototipos.

Zona III II Zona I II Zona III

α α

β

β

β

α

212

m

marcsenh

−

-π

π

ωc

Fig.35-Curvas universales de α y β para filtros m- derivados.En líneas de rayas los efectos disipativos de α y β

- ∞ f 1 1 ∞ f

x



405

Estoe era de esperar, ya que el diseño de una sección m-derivado, se basa en que los dos tipos de

sección tengan la misma impedancia característica para todas las frecuencias.

Se ha demostrado previamente que las bandas quedan unívocamente determinadas por el carácter

de Z0, es decir, según que ésta sea real o imaginaria.

Estos gráficos valen tantos para el filtros derivado serie como para el paralelo.-

Frecuencia de atenuación infinita

La fig. 34 o la fig. 35 muestran también que las secciones m- derivadas proveen atenuación

infinita en ciertas frecuencias, los que corresponden a 21/1 m x −= .

Podemos ver que adoptando valores de m cercanos a 1, la frecuencia ∞ f se aleja del valor

correspondiente a la frecuencia de corte

Si hacemos m = 1 , tenemos el filtro de K constante en el que ∞=∞ f

Esta relación puede aprovecharse para elegir m de manera que ∞ f coincida con el punto que se

desee de la banda atenuada.

Por ejemplo, por la Ec. [35] para el filtro pasabajo es x = f /f c .

Luego para ∞= f f

21

1

m fc

f x

−

== ∞

De donde

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

∞ f

fcm 1 [81]

Se puede observar en la fig. 33 que la atenuación infinita ocurre como consecuencia de la

resonancia de la rama en paralelo (Z’2) de la sección m- derivada, la que representa un

cortocircuito a través de la red.-

Pueden obtenerse expresiones correspondientes para los otros tres tipos básicos de filtros.Para valores pequeños de m, en cambio la frecuencia de atenuación infinita está cerca de la

frecuencia de corte, lo que mejora la pendiente de atenuación cerca de la frecuencia de corte,

pero la empeora a frecuencias alejadas.

Este último efecto hace que en la práctica sea:

0,25 < m < 1

Un valor habitual es m = 0,6 que tiene ciertas particularidades que ya veremos más adelante.-

Representaremos gráficamente el efecto de la variación de m sobre las características deatenuación.-



406

Por esta razón y para mejorar la atenuación en las frecuencias alejadas de las banda de paso, la

sección m – derivada rara vez se utiliza sola si no que se coloca en cascada con el filtro

m – derivado, uno de K constante.

Esta combinación de secciones diferentes da lugar a los filtros compuestos que veremos mas

adelantes.-

Fig. 36 x

m

α



407

Medias secciones de terminación

Las medias secciones de los filtros m-derivados se utilizan como adaptadores de impedancia.

Como se trata de cuadripolos asimétricos, en las medias secciones no se puede hablar de

impedancia característica, sino de impedancia imagen (ver apéndice V).-

Todas las secciones T discutidas hasta ahora, tanto la prototípica como la m- derivada, tienen una

impedancia característica Z0T dada (en el apéndice II) por la Ec. 20 1. x R Z T −= y representada

en el apéndice II.

Se observará que en la banda pasante, Z0T es una resistencia pura cuyo valor varía con la

frecuencia.

Es por lo tanto difícil terminar adecuadamente estas secciones.

Esta dificulta puede reducirse recurriendo al empleo de semisecciones

(o secciones L) como transformadoras de impedancia.

La fig. 37-a) muestra una sección T prototipo, en b) se muestra la sección Tm-derivada y en c) la

media sección Tm –derivada:

Z1/2Z1/2

Z2

Fig. 37 - a) b) c)

Z’2

m.Z1/2m.Z1/2

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎪

⎬

⎫−

m

Z

Z

m

m

42

1.

4

)21(

m.Z1/2

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎪

⎬

⎫−

m

Z

Z

m

m

22

1.

2

)21(

2Z’2



408

Apéndice V

Propiedades de las medias secciones

Consideremos la sección L básica de la fig. 1-a.

Si se conectan en cascadas dos de estas secciones L básicas, uniendo sus ramas en derivación.

Las dos ramas en derivación, tienen cada una el valor 2Z2, dando por resultado Z2, con lo que se

obtiene la sección T simétrica de la fig. 1-b.

En cambio, si las dos secciones básicas se unen en cascada de manera que se junten las dos

ramas serie, las dos ramas tienen cada una el valor Z1/2 y se combinan para dar Z1, obteniéndose

la sección π simétrica de la fig. 1-c.

Propiedad adaptadora de las medias secciones

Sea la sección L básica siguiente.

Como vemos es un circuito asimétrico, por tanto aquí no existe impedancia característica sino las

impedancias imágenes y vamos a calcularlas.

Por definición de impedancias imágenes, en base a las impedancias de entrada y salida, a circuitoabierto y en cortocircuito es:

( )ecceca Z Z Z .01 = y ( ) scc sca Z Z Z .02 =

Luego 21 2

2 Z

Z Z eca += ;

21 Z

Z ecc = ; 22 Z Z sca = ;

21

21

22

.

Z Z

Z Z Z scc

+=

Calculo de Z01

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=

4.

2.2

21

211

21

01 Z

Z Z Z

Z Z

Z Luego T Z Z 001 =

Z1/2

⇒01 Z 2Z2 02 Z ⇐

Z1/2

2Z2

f i . 1-a b c)

Z1

2Z2 22Y

Z1/2Z1/2

Z2 2Z2

22Y



409

Calculo de Z02

==

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +

=+

=⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+=

T Z

Z Z

Z Z Z

Z Z

Z Z

Z Z

Z Z

Z Z Z Z

0

21

121

21

12

221

21

21202

.

4

.

4/

.

22/

..2 020 Z Z =π

Por lo tanto la semisección L sirve como transformador de impedancia.

Es decir si a la semisección L se la carga con la impedancia característica de la sección π

equivalente, se ve a la entrada el valor de la impedancia característica de la sección T y

viceversa.-

Z1/2

→T Z 0 2Z2 π 0 Z



410

Media sección derivada de la T prototipo

La media sección Tm-derivada de la fig. 38-b) tiene la siguiente propiedad:

Si la impedancia imagen izquierda tiene un valor Z0T (impuesto por la sección de K constante de

la fig. 38-a), conectada a la izquierda), la impedancia imagen derecha tendrá el valor Zπm.

Este es el valor que corresponde a una sección m-derivada T, conectada como el circuito π.

Calcularemos la expresión de Zπm.

Recordando que la impedancia imagen es:

Zscc Zscam Z Z ..02 == π

=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −++

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+

=−

++

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+

−

=

m

mm

Z

m

Z

Z

Z m Z Z

Z

m

m

m

Z mZ

mZ

m

Z Z

m

m

Zscc)1(

.2

2

4).1(1.

.

4

)1(22

2

2.

2.

4

)1(2

212

2

1221

1

221

121

2

)4

1(.2

).1(1..

)4/.(2

).1(1..

)1.(2

2).1(1.

2

12

2221

12

2221

2212

2221

Z

Z Z

xm Z Z m

Z Z

xm Z Z m

mm Z

m

Z

xm Z Z

+

−−=

+−−

=−++

−−=

)1.(2

).1(1..2

221

x

xm Z m Zscc

−

−−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+=

−+=

4).1(

2.

2

)1(2 1221

22 Z m Z

m Z

m

m

m

Z Zsca

[ ]222 ).1(12

X mm

Z Zsca −−=

Luego:

[ ][ ]

[ ])1(

)1(1.

1(1.

2

.)1(2

)1(1

. 2

22221222

2

221

x

xm Z Z

xmm

Z

x

xmmZ

m Z −

−−

=−−−

−−

=π

Z /2Z /2

Z2

Fig.38-a) Prototipo Fig.38-b) ½ Sección derivada de T

m.Z1/2

m

Z

Z m

m

22

1.4

)21(2 −

⎭⎬⎫

⇐ m Z π →⇒⇒ T Z imponeSe 0..SeObtiene



411

[ ]22

2)1(1

1. xm

x

Rm Z −−

−=∴ π [82]

Es conveniente observar como varia Zπm con x de acuerdo con el parámetro m.

Para ello se ha representado en la fig. 39 la familia de curvas correspondientes a la Ec. [82].

Por razones de conveniencia, las curvas se han representado en forma normalizada, con la

variable Zπm/R invertida, es decir se ha representado su inversa R/ Zπm.

El uso de esta variable invertida limita la mayor parte de la curvas a valores finitos y facilita la

comparación.-

La inspección de las curvas muestra que para m = 0,6 , el valor de Zπm queda dentro del 4 por

ciento del valor de la impedancia nominal R para casi el 90 por ciento de la banda pasante.

Se aprovecha este hecho como solución satisfactoria para el problema de la terminación.

Cualquiera de las secciones T, prototipo o m-derivada, puede unirse a la sección de terminación

L, con m = 0,6.

Como carga de terminación se utiliza la resistencia R.

Así gracias a la propiedad transformadora de impedancia de la semisección, la sección T tiene

casi la terminación Z0T, para aproximadamente el 90 por ciento de la banda pasante.

1,8

1,6

1,4

1,2

1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

x

m Z

R

.π

m=0,2

m = 0m=0,4

m=0,6

m=0,8

Fig. 39. Variación de la Zπm de la sección π, relacionada a lasección Tm – derivada.



412

Secciones π m-derivadas

Hasta ahora, las secciones m-derivadas han sido secciones T diseñada sobre la base de la

igualdad de la impedancia característica semi serie Z0T.

Es también posible diseñar secciones m-derivadas de manera que Z0π sea la misma que para el

prototipo.

Estas secciones se llaman a menudo filtros m-derivados semiparalelos.

Para el cálculo de ésta sección partimos de la sección π del K-constante de la fig. 40 y

recordando la expresión de Z0π del apéndice II.

Planteamos la condición arbitraria.

m

Z Z 2'

2 = óm

Z Z 2'

2 .22 = [83]

Además debe ser Z0π = Z’0π .

Luego.

4/.

.

4/.

.2'

1''

''

2121

210

21

21

0

Z Z Z

Z Z

Z Z Z

Z Z Z

T Z

+=

+=

4 434 421

π

Reemplazando en esta igualdad a Z’2 por el valor dado en la Ec. [83]

222

2'1

2'12'

12

22

2'12'

1

2'1

0

21 /.44

...

4.

/..

0

21 m Z Z Z

m

Z Z

Z

Z Z

Z

m

Z Z

m Z Z

Z

Z Z

T T

=⎟⎟ ⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛ +⇒

+

=

2

22'

1

'1

2

22

212

2

22

21

2

222'

1'1

'12

2

22

.4

..

..

.4

..

000

21

m

Z Z

Z

Z

Z Z

m

Z

Z

Z Z

m

Z Z Z

Z

m

Z

Z

Z Z

T T T

=+⇒=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ +

Z1 Z’1

2Z’22Z2 2Z2 2Z’2

Fig. 40. Secciones π con idéntica impedancias características

⇐ 2Zπ ⇒



413

=−

=⇒⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ −=

).4(

4..

.

.

4

...

.

221

222

2

22

22

22

21'

12

22

2

22'

12

2

22

0

0

00

21

0

21

Z Z m Z Z

Z m

Z m

Z Z Z Z

Z

Z Z

m

Z Z

m

Z

Z

Z Z

T

T

T T T

( )=

−+=

−+=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ − 2

21

21

221

212

21

21

221

21222

2

222

14

.

.

4.

4.

.

44

4.

0

21

m Z

Z Z

Z mZ

Z m

Z Z Z

Z mZ

Z m Z Z

Z m Z Z

T

( )⎥⎦⎤

⎢⎣

⎡ −+ 2121

221

14

.

.

m Z

Z Z

Z mZ

( ) ( )⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎣⎡

−+−

=

−+

=

)1(4..

41

)).((

41.

)).((

2212

21

212

21'1

m Z Z m

Z mZ

m Z Z

Z mZ Z

A esta última expresión la multiplicamos y la dividimos por m

( )'1

221

221

221

221'

1

)1(

4.

.)1(

4).(

)1(

4..

4

1

)).(( Z

m

m Z mZ

Z m

mmZ

m

m Z mZ

m

mZ mZ Z =

−+

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−=

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

−+

−= [84]

Observando esta ultima expresión vemos que Z’1 esta formado por el paralelo de dos

impedancias.

Una rama en función de Z1 y la otra rama en función Z2.

Luego con la Ec. [83] y la Ec. [84], podemos armar el circuito π m-derivado y su media sección

de la fig. 41

La sección π m-derivada posee la misma propiedades de atenuación y fase que el filtro de K

constante tipo π.

El cero de transmisión se produce cuando resuenan las dos ramas en paralelo que forman Z’1.-

2Z2

Fig. 41

2Z’2 2Z2

Z1

m

Z 22 2

)21(

4 Z

m

m

−

mZ1

m

Z 22

m

Z 22

mZ1/2

2)21(

2 Z

m

m

−



414

Media sección derivada del π prototipo

Como se recordará en el caso de las secciones T, estas medias secciones de terminación son

utilizadas como adaptadores de impedancia.

La media sección derivada del π prototipo tiene la siguiente propiedad:

Si la impedancia imagen izquierda tiene un valor Z0π (impuesta por la sección de K constante.

conectado a la izquierda), la impedancia imagen derecha tendrá el valor ZTm.

Este es el valor que corresponde a una sección m-derivada π conectada como circuito T.-

Recordando que Zscc Zsca Z Z Tm .02 ==

Calcularemos el valor de esta dos última impedancia aplicado al circuito de la fig. 42-b).

[ ]22

1

221

22

21

2

221

221

221

4)1.(.

.2

.)1(2

4)1.(

)1(

.

.)1(

2

2

.)1(

22

Z m Z m

m Z Z

m

mZ mmZ

m

m Z Z

Z m

mmZ

Z m

mmZ

Zscc+−

=

−

+−

−=

−+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−=

[ ]221

2

122

21

)1(1.24

).1(1.4

.2

xm

mZ Zscc

Z

Z m Z

m Z Z Zscc

−−=⇒

⎥

⎦

⎤⎢

⎣

⎡−+

= [85]

[ ] [ ]22

2221

22

2212

)1(1.2

)1(1.42

)1(1.2

2

xmm

xm Z Z m

m

Z

xm

mZ

m

Z Zscc Zsca

−−

−−+=+

−−=+=

[ ]( )

[ ]22

22

222

122222

)1(1.

1.2

)1(1.2

41.4

xmm

x Z Zsca

xmm

Z

Z m xm x Z

Zsca−−

−=⇒

−−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++−

= [86]

Con las Ecs. [85] y [86] podemos calcular ZTm

2Z2

Fig. 42-a) Prototipo π Fig. 42-b) Media sección derivada de π

2Z’22Z2

Z1

Tm Z ← Se obtienem

Z 22

mZ1/2

2)21(

2 Z mm

−⇒← π 0 Z se impone ⇒π 0 Z



415

[ ] [ ] [ ]22

221

22

22

221

)1(1

1..

)1(1

)1.(2.

)1(1.2 xm

x Z Z

xmm

x Z

xm

mZ Z Tm

−−

−=

−−

−

−−=

[ ]22

2

)1(1

1.

xm

x R Z Tm

−−

−= [87]

Si observamos en la Ec. [87] la expresión R

Z Tm que la comparamos con la Ec. [82] en la que se

hizoTm Z

R , vemos que ambas expresiones son iguales, por lo tanto la representación gráfica de

R

Z Tm es exactamente igual a la dem Z

R

.π

la cual se ha graficado en la fig. 39.-



416

Filtros compuestos

Los filtros de una sola sección, rara vez proveen la atenuación necesaria para la mayoría de los

fines prácticos.

Si se unen en cascada varias secciones de idénticas impedancias características, la atenuación

total, a una frecuencia cualquiera, será la suma de las atenuaciones de las secciones individuales,

de modo que resulta así posible construir un filtro capaz de satisfacer los requisitos impuestos.

Si todas las secciones fueran similares a la de la fig. 30-a), la atenuación total no podría ser

nunca muy grande para las frecuencias apenas apartadas de la frecuencia de corte.

En cambio, si todas las secciones fueran como de la fig. 30- b), la atenuación se elevaría

rápidamente por encima de la frecuencia de corte hasta alcanzar∞ f pero decaería luego para las

frecuencias más altas.

Exígiese casi siempre que la atenuación sea grande para todas las frecuencias de la banda

atenuada.

Este requisito puede satisfacerse de manera conveniente usando varias secciones de iguales

frecuencias de corte y la misma impedancia característica, pero con diferentes frecuencias de

atenuación infinita.

El empleo de secciones m-derivadas, cada uno de ellos con un valor especifico de m, permite

llegar a este resultado sin que haya reflexiones en los empalmes.

Por otra parte, el empleo de semisecciones de terminación con m = 0,6, transforma Z0T en unaresistencia esencialmente fija R, igual a la impedancia de característica nominal.

Un filtro compuesto comprende por lo tanto, casi siempre, las siguientes componentes:

A) Una ó más secciones prototípica.

B) Una ó más secciones m-derivadas, en la que se elige m de manera de obtener las frecuencias

de atenuación infinita deseadas.

C) Dos semisecciones de terminación m = 0,6.

El diseño de un filtro compuesto típico será considerado mas adelante.



417

Resumen de procedimientos de diseño

Los datos fundamentales necesarios para el diseño de un filtro son, las bandas pasantes

(o las frecuencias de corte para los filtros L.P. y H.P.) y la impedancia característica nominal con

la que ha de trabajar.

A partir de estos datos se calculan los componentes del filtro con las Ecs. [36], [37], [38], [40],

[46], [49] y [50], según el tipo de filtro deseado.

Se construye entonces una o mas secciones según las relaciones de la fig. 37 ó fig. 41.

El número de secciones necesarias quedará determinado por los requisitos de atenuación, fuera

de la banda pasante y los valores de m se elegirán de manera de distribuir adecuadamente las

frecuencias de atenuación infinita.

Si el corte tiene que ser neto, se necesitará una sección de bajo valor de m.

Los extremos del filtro deben contener semisecciones con m = 0,6.La rama en paralelo de una semiseccion de terminación debe tener el doble de impedancia en

comparación con la rama en paralelo de la sección T, dado que la rama en paralelo de una

sección π es 2Z2.

Esto significa que deben duplicarse las inductancias y partirse por dos la capasitancias de la

rama en paralelo de la sección T.

Debe observarse que, en el tipo de diseño desarrollado en detalle se ha elegido como prototipo la

sección T correspondiente a la clase de filtro del caso, derivándose luego de la secciones

T m-derivadas, y finalmente, las semisecciones de terminación según las ecuaciones de la fig.

38.

Es también posible partir de un prototipo π, derivar otras secciones π según la fig. 41 y usar dos

secciones de rama Z1 y Z2 diseñadas según las ecuaciones de la fig. 41.

La fig. 43 ofrece un resumen de los diferentes tipos de sección con sus impedancias

características.

m1L/2

Fig. 44 Filtro LP compuesto derivado por las relaciones de la fig. 41

m2L m3L/2

C m

21

C m

22

C m

m

12

211−

C m

m

4

221 −

C m

22

L

2

C C m

m

32

231 −

2

C

C m

23

½ Sección derivada Sección π derivada ½ Sección derivada del π

Transforma Z0π en unaResistencia casiconstante

Por lo común m1 = m3 = 0,6Transforma Z0π en unaResistencia casi constante



418

Figura 43. Resumen de las impedancias características de las secciones del filtro L.P prototipitoy m- derivada, en función de la frecuencia.

mL

C m

m

4

21−mC/2

m.CC

m

m

2

21 −

Sección π derivada (Z0π independiente de m)

Sección derivada como π y reordenada como T (ZTm depende de m)

f

Z0T

f

ZTm

mL/2

L/2L/2

C2

m.L/2

m.C

m.L/2

Lm

m

4

21−

L

mC/2

mL

Lmm ..2

2

1 −

Sección rototi o T

Sección T derivada (Z0T independiente de m)

Sección prototipo π

Sección derivada como T y reordenada como π (Zπm depende de m)

f

Z0T

f

Z0T

f

Zπ

m

C/2f

Z0π



419

Los filtros diseñados según las relaciones de la fig. 41, tiene el aspecto general ilustrado en la

fig. 44, donde las capacitancias de las secciones adyacentes se combinarían en un solo capacitor.

Podría elegirse entre el diseño de la fig. 44, basado en la sección π y el de la fig. 45, basado en la

sección T, sobre la base de la conveniencia o economía de los elementos para realizar

físicamente el proyecto, o del efecto de la impedancia de entrada del filtro sobre elcomportamiento del sistema de transmisión en conjunto.

Por ejemplo, los terminales de entrada de un filtro pasa bajo del tipo de la fig.45, no podrían

disponerse en paralelo con los de un filtro H.P. destinado a dejar pasar las frecuencias superiores

a 1000c/s, porque la primera rama en paralelo resuena a 1250c/s y pondría así en cortocircuito la

entrada del filtro pasaalto en esta frecuencia, que debería pasar sin atenuación.

El filtro de la fig. 44 podría usarse más eficazmente, pues su impedancia de entrada, a esa

frecuencia, seria muy alta dado que la primera rama serie seria antirresonante.

No obstante en muchos casos, se necesitan fórmulas de cálculo más complicadas para diseñar

filtros que deben trabajar en paralelo con el fin de obtener adecuadas relaciones de impedancia.-

Como ejemplo de cálculo de un filtro L.P. compuesto, diseñaremos uno para una frecuencia de

corte de 1000 c/s y para trabajar con una carga de 600 Ω.

Con el objeto de lograr un corte neto, se elegirá un valor de f ∞ de 1050c/s.

Las semisecciones de terminación con m = 0,6 darán también, según la Ec. [81] un valor de

f ∞ en 1250c/s.

Se usaran secciones T.

Los valores de los componentes del prototipo serán según las Ecs. [36] y [37]

Hy L L 1910,01910,01000.

600

1 =⇒==

π

0,0955

Fig. 45. Filtro compuesto LP, de 600 Ω, frecuencia de corte =1 Kc/s

,0292

0,102

0,1595

0,0573 0,0955 0,05730,0292

0,531 0,162

0,1420,102

0,1595

0,1247

0,102

0,1595

0,1528 0,0865

0,531

0,142

0,162

0,102

0,1595

b)

⇒

m = 0,6 m = 1

Prototipo

m = 0,305 m = 06



420

F C C μ π

531,010.531,0600.1000.

11

61 =⇒== −

Para la sección π m-derivada y con f ∞ = 1050c/s, se tiene según la Ec. [81]

305,0305,0105010001 1

2

1 =⇒=⎟ ⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −= mm

Con este valor de m1 procedemos a calcular los componentes de la sección T m- derivada.

743,022,1

907,0

4

1

1

21 ==

−m

m

20292,0

2

.0292,0

2

1910,0.305,0

211111 Z

Hy Lm Lm

==⇒==

'2

1111

11

21

11

21

162,0162,0531,0.305,0

142,0.4

1142,01910,0.743,0.

4

1

Z

F C mC m

Hy Lm

m Hy L

m

m

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

=⇒==

=−

⇒==−

μ

Para la semi sección de terminación calculamos sus componentes con m2 = 0,6 por todo lo visto

anteriormente, resultando:

2/0573,02

'1

12 Z Hy Lm

==

'2

1212

12

22

12

22

2

319,0319,0531,0.6,0

051,0.4

1051,0191,0.2665,0.

4

1

Z

F C mC m

Hy Lm

m Hy L

m

m

⎪⎪

⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

=⇒==

=−

⇒==−

μ

El filtro completo es de la fig. 45.

Dado que no hay necesidad de preservar la identidad de los inductores en serie, los inductores

adyacentes de las ramas en serie se combinan en una unidad para dar así lugar a la estructura

final de la fig. 45- b.

Este procedimiento reduce el número de elementos y en general mejora el factor de calidad de

los elementos inductivos, de las ramas en serie.-



421

Efectos de los elementos disipativos. (Atenuación)

Puede obtenerse una estimación razonable de la repuesta del filtro, aplicando directamente la

teoría de las estructuras iterativas, sujeta a dos hipótesis a saber:

que los elemento del filtro no tienen pérdidas y que la sección está correctamente terminada para

todas las frecuencias.

Se observa que la pérdida total de transmisión, es la suma de la atenuación de cada una y todas

las secciones y que el desplazamiento de fase total, es la suma de los desplazamientos de fase

individuales.-

En la práctica, ninguna de estas hipótesis se ve satisfecha debido a las discrepancias que hay

entre los valores calculados y los medidos.

Consideremos ahora estas discrepancias.-

Si hay disipación, el empleo de la Ec. [20] exige en general el uso de tablas o ábacos defunciones hiperbólicas inversas y formulas tales como las que se encuentran en textos como

“Wave filters” de SHEA, ó “Líneas de transmisión y filtros eléctricos” de KARAKASH.

Sin embargo, los puntos para las cuales la disipación produce los mayores errores serán en

general las frecuencias de cortes y los de atenuación infinita.

Para estas frecuencias pueden hacerse algunas simplificaciones.

La disipación de los capacitares es casi siempre despreciable, en comparación con la de los

inductores.Para

∞ f , la disipación importante es la del inductor de la rama en paralelo.

Sea Q2 = factor de calidad de este inductor.

⇒−

= R

L

m

mQ 1

2

2 .4

)1.(ω Siendo R, la resistencia del inductor.

Luego, para el filtro L.P. m-derivado del tipo ilustrado en la fig. 33 y en la frecuencia∞ f , se

cumple que:

1'1 . L jm Z ∞= ω

2

12

'2

..

4

1

Q

L

m

m R Z ∞−

== ω

por resonancia.

De donde

º90

22

2

22

2

2

12 1'

2

'

111.

.4

14

.

4

∠

∞∞ −=−=

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −= m

Qm

m

Qm j

Q

L

m

m

L jm

Z

Z

ω

ω

[88]



422

ó

2/1º90

22

2

'2

'1

14 ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−=

∠

m

Qm

Z

Z

Recordando que:( )[ ] ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=+n

jsenn

jsen nn θ θ ρ θ θ ρ coscos /1/1

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +−

=+−

=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−∴

∠

22

12

2

1

14545cos

11 22

2

22

2

2/1º90

22

2 j

m

Qm jsen

m

Qm

m

Qm 321

321

θ

δ

( ) )1()1(2

1221 22

2

22

2

jm

Qm jmQm +−=+−=

)1(2)1(24 22

2

22

2

'2

'1

m

Qm j

m

Qm

Z

Z

−+

−=∴ [88a]

Luego la Ec. [20]

)1(22.

2cosh

2cos.

2 2

22

m

Qm sen senh

−==

β α β α [89]

Pero α es grande; luego:

22cosh

2

2/α α α e senh ≅≅ [90]

Y ≅ β 90º ya que en ese ángulo es:22

cos β β sen=

Por las Ecs. [89] y [90]

)1(22

1.

2 22

22/

m

Qme

−≅

α

Luego22

2

1

4ln

m

Qm

−≅α [91]

La Ec. [91] puede expresarse en términos de la relación c f f /∞ , usando la Ec. [81]



423

22

2

11 ⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=⇒⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

∞∞ f

f m

f

f m cc y

221 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ =−

∞ f

f m c

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ ≅∴

∞

1.4ln2

2 f

f Q cα [91 a]

Analizaremos ahora para la frecuencia de corte, ya que para esta frecuencia es importante la

disipación de los dos inductores.

En este caso:

⇒= R

LmQ c 1

1.

R = resistencia de los inductores L1.

luego: 11

'11'1 .1. Lm jQ

Z L jm R Z cc ω ω ⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=⇒+= [92]

21

2

2

'2

21

2'2 .

..4

1.

1

..

4

1

C m

j L

m

m j

Q Z

C m

j L

m

m j R Z

cc

cc

ω ω

ω ω −

−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=⇒−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −+=

Pero por las Ecs. [36]C

R L

ω

21 = y [37]

C RC

ω .

22 =

4

.1 12

2

L

C

C ω =

Y por lo tanto

m

L jm

Q

m L

mm

m j L

mQ

m Z c

cc 4

.1..

4

1

4

1.

4

1 12

2

2

1

2

12

2'2

ω ω ω

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −

−=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −

−+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −= [93]

En esto caso es conveniente hallar γ en términos del coseno hiperbólico.

Así según la Ec. [12]:

'2

'1

.21cosh

Z

Z +=γ

De modo que se necesita calcular la relación:

=

+⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +

−+

=

−−

+=

42

2

2

2

2

12

2

2

21

2

'

2

'1

1

1)./1.(2

/)1(

)/1.(2

.2 mQ

m

jmQ

m jQm

jmQm

jQm

Z

Z



424

42

2

2

1

2

2

22

21

2

2

1

1

.

1

.2

mQ

m

Q

m

Q

m jm

QQ

m

m

+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ −

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −

−+

⎟⎟ ⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛ −

−

=

Pero si Q1 Y Q2 son ambos grandes, los términos que contienen 22/1 Q ó 2./1 QQ son

despreciables.

Luego suponiendo QQQ =≅ 21 el término imaginario queda igual Q/1 .

Luego:

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−≅

Qm

j

Z

Z

2'2

'1 1.2

.2 [94]

Sustituyendo en la Ec. [12]:

Qm j

Z

Z sen senh j

.

21

.21..cos.coshcosh

2'2

'1 +−=+=+= β α β α γ [95]

1cos.cosh −=∴ β α [96]

Qm sen senh

.

2.

2= β α [97]

Si α es pequeño, β debe ser aproximadamente igual π y pueden hacerse las siguientes

aproximaciones.

Sea:

θ π β −= , donde θ es pequeño

)cos(.cos.cos)cos(cos θ θ π θ π θ π β −=+=−=∴ sen sen

Usando dos términos de la serie coseno (Ver Shaum pag. 111)

12

coscos2

−=−= θ θ β

θ θ θ π θ π θ π β ==−=−= sen sen sen sen sen .coscos.)( , para θ pequeño

Usando dos términos de la serie coseno hiperbólico (ver Shaum 112)

⎪⎭

⎪⎬

⎫

=

+=

α α

α α

senh

21cosh

2

, para α pequeña



425

Luego; Las Ecs. [96] y [97] quedan:

112

.2

122

−=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ +

θ α [96a]

Qm .

2.

2=θ α [97a]

Por la Ec. [96a]

04

.

22

2222=+−

θ α α θ

Si α yθ son pequeños, puede despreciarse 4/. 22 θ α , lo que da θ = α.

Introduciendo este valor en la Ec. [97a] nos queda:

Qm

2.

1=α [98]

Las Ecs. [91a] y [98] muestran que al reducirse m y aproximarse ∞ f a f c, aumenta la atenuación

en la frecuencia de corte, mientras que se reduce la atenuación en la frecuencia de atenuación

teóricamente infinita.

Esto impone un limite practico en el uso de secciones m-derivadas para obtener un corte neto enla frecuencia de corte, porque un valor demasiado pequeño de m conduce a un aumento de la

atenuación dentro de la banda pasante, cerca de la frecuencia de corte.

El aumento de la atenuación es tanto más alto cuanto mayor es el valor de Q.

El efecto general de la disipación sobre la atenuación de una sección de filtro esta ilustrado en la

fig. 46.-



En la práctica no es necesario obtener en la forma descripta, la curva entera de α, sino que sólo

interesa el apartamiento de las condiciones ideales para f = fc y para ∞= f f .

El resto de de la curva puede aproximarse “a ojo” , a partir de las curvas teóricas, que se

encuentran graficadas en forma universal.-

En lo referente a la modificacion de Z0, al pasar a las condiciones reales, ocurre que ya no es

totalmente resistiva en la banda de paso, sino que tiene una pequeña componente reactiva.

Ésta puede despreciarse en los cálculos.-

Fig.46

f

∞ f f c

Línea llena filtro sin disipación.

Línea cortada filtro con disipación

Teoria de Circuitos (Ingenieria UNNE)

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