Teoria das Filas

1. Introduo

Os sistemas computacionais, tais como as redes de computadores, prestam relevantesservios compartilhando recursos de software e de hardware. Tendo em vista a magnitude desuas contribuies em todos os nveis da nossa sociedade, desnecessrio destacar suaimportncia e o seu alcance espao-temporal.

Uma caracterstica destes sistemas que um recurso pode atender, em geral, apenas umatarefa em dado intervalo de tempo e as outras tarefas que pretendem utiliz-lo devem esperarem uma fila. Este conceito, apesar da sua simplicidade, a ideia primria para a compreensodo mais simples ao mais complexo sistema computacionais, da performance de uma CPU grande rede mundial, a Internet, dos sistema de hardware aos sistemas de software.

Os modelos de filas so utilizados para a modelagem analtica, simulao e avaliao dodesempenho de sistemas computacionais, tanto em nivel de software quanto de hardware.Eles permitem descrever o estado destes sistemas quantificando suas variveis de estado esua dinmica temporal.

A simulao de sistemas computacionais pode ser vista como o estudo do comportamento desistemas atravs de modelos de filas. Ela utiliza muitos outros recursos tericos,principalmente estatstica, mas tambm nmeros aleatrios, matemtica discreta e de teoriados nmeros, alm de engenharia de software, clculo numrico, tcnicas de programao ecomputao grfica.

O uso da simulao pode oferecer vantagens quando necessrio estimar distribuio devariveis aleatrias, testar hipteses estatsticas, comparar cenrios representando diferentessolues de um problema, avaliar o comportamento de uma soluo analtica e avaliar umprocesso de tomadas de deciso em tempo real.

A execuo de modelos de simulao em computador tem potencial para fornecer resultadosmais precisos sem a necessidade de interferir nos sistemas reais, possibilitando gerarinformaes teis na tomada de decises para a soluo de problemas.

A simulao uma rea com grande potencial de aplicao comercial, pesquisa e consultoria,principalmente em sistemas de grande trfego. Mas vai alm, como banco de dados, sistemasoperacionais, comunicao, sistemas embarcados e projetos de hardware e software.

1.1. Sistema

O termo sistema pode ser definido como um conjunto estruturado de componente entre osquais pode-se definir alguma relao de funcionalidade. O valor dos atributos dos seuscomponentes, variveis de estado e parmetros, em um dado instante de tempo, define oestado do sistema.

Modelagem e Simulao file:///I:/ens/Livro MS/1.MS.htm

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Figura 1.1. Representao grfica da relao sistema-mundo real.

Para os propsitos deste livro, os sistemas de interesse so os sistemas computacionais queso recursos de software e de hartdware, tomados em parte ou no todo, de modo isolado ouem conjunto. E para sua representao so utilizados sistemas de filas.

1.2. Modelo

Modelos so descries de um sistema, concebidos atravs de uma abstrao da realidade,considerando seus aspectos relevantes, de modo que possam ser utilizados com os propsitosde controle e predio.

A construo de um modelo, em geral, busca viabilizar a soluo de um problema de umsistema, podendo existir um nmero variado de modelos para um mesmo sistema, cada umdeles considerando aspectos especficos do mesmo. muito comum ter vrios modelos pararesolver o mesmo problema de um sistema.

A utilidade de um modelo est diretamente relacionada sua capacidade de incorporarelementos reais de forma simples, contendo seus aspectos importantes sem que a suacomplexidade impossibilite a compreenso e manipulao do mesmo.

Figura 1.2. Representao grfica da relao sistema-mundo real-modelo.

Para os propsitos deste livro, os modelos de interesse so os modelos de fila, que somodelos matemticos capazes de representar sistemas computacionais de modo geral,simular seu comportamento, descrever seus aspectos relevantes, analis-los e fazer predio.

1.3. Simulao

Simulao consiste em manipular um modelo de um sistema, real ou hipottico, paracompreender seu comportamento ou avaliar sua operao.


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Figura 1.3. Representao grfica da relao sistema-mundo real-modelo-simulao.

Por meio da simulao possvel fazer uma estimativa do comportamento de um sistema,alm de estabelecer como mudanas no sistema, no todo ou em partes, podem afetar seucomportamento e desempenho.

A simulao pode ser classificada de vrias maneiras, a mais comum usa quatro categorias: a)simulao contnua; b) simulao Monte Carlo; c) simulao de eventos discretos e d)simulao baseada em trace.

1.3.1. Simulao Contnua

A simulao contnua leva em conta o tempo, utilizada para modelar sistemas cujo estadovaria continuamente no tempo, sendo comum a utilizao de equaes diferenciais para oclculo das mudanas das variveis de estado ao longo do tempo.

Um processo pode ser de estado discreto ou contnuo. Se os valores que suas variveis deestado podem assumir finito e enumervel, o processo chamado de processo de estadodiscreto. Por exemplo, o nmero de servidores em um sistema de fila pode ter valoresdiscretos iguais a 1, 2, 3 e assim por diante, portanto um processo de estado discreto.

Por outro lado, se as variveis de estado podem assumir qualquer valor real ele um processode estado contnuo. O tempo de espera numa fila, teoricamente, pode assumir qualquer valorreal e, portanto, um processo de estado contnuo.

1.3.2. Simulao Monte Carlo

O Mtodo de Monte Carlo um mtodo estatstico que utiliza amostragens aleatrias massivaspara obter resultados numricos, repetindo sucessivas simulaes para calcularprobabilidades. Tem sido utilizado como forma de obter aproximaes numricas de funescomplexas, utilizando alguma distribuio de probabilidade e uma amostra para aproximar afuno de interesse.

Simulao de Monte um modelo de simulao esttica, a passagem do tempo irrelevante.

1.3.3. Simulao de Eventos Discretos

Em simulao discreta, o estado do sistema s pode mudar nos tempos de eventos. Umevento discreto acontece em um momento do tempo. Como o estado de um evento discretopermanece constante entre tempos de eventos, uma descrio completa do estado do sistemapode ser obtida avanando o tempo de simulao.

Na simulao de sistemas computacionais, feita por meio modelos de modelos de filas, astarefas entram na fila e so atendidos pelo servidor. Estes processos de chegada e deatendimento so eventos discretos que ocorrem em pontos isolados do tempo.

1.3.4. Simulao de Trace


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Trace um registro ordenado no tempo de eventos ocorridos em um sistema real, como umlog de um servidor. A simulao baseada em trace utiliza este registro como dados de entradae, assim, permite avaliar o comportado do modelo.

Traces so teis para conhecer o comportamento de sistemas computacionais, so fontes dedados para obteno de funes de distribuio de dados para uso em simulao. Como sovalores medidos, podem tambm ser usados na validao e verificao de resultados dassimulo. Por serem dados medidos, traces devem ser amostras representativas docomportamento do sistema.

1.4. Simulao Computacional

A simulao computacional faz uso de computadores para realizar simulaes. Ela utilizalinguagens de programao para implementar os modelos matemticos de sistemascomputacionais em software e process-los em computadores, fazendo uso das capacidades evelocidades extremadas destas mquinas.No texto do livro, o termo simulao refere-se a simulao computacional. Neste sentido, osmodelos de Sistema de Filas sero apresentados e implementados em C++ e Javascript,viabilizando a simulao em diversas tipos de computadores e dispositivos mveis,navegadores e sistemas operacionais.

1.5. Etapas de um Estudo de Simulao

O processo de construo de modelos para representar sistemas reais pode ser organizadoem uma sequncia de estgios de forma a simplificar, agilizar e melhorar o modelo.Considerando a estreita relao entre a simulao e a orientao a objetos, as tcnicas deengenharia de software oferecem contribuies relevantes no trabalho de projeto de modelos.

Neste contexto, na Tabela 1.1 esto apresentados em linhas gerais os estgios da construode modelos para simulao de sistemas.

Tabela 1.1. Estgios da construo de modelos para simulao de sistemas segundo Jain(1991)

Identificao doProblema

o problema discutido no escopo do sistema real ou seu projeto. Uma vezidentificado o problema, pode-se avaliar a viabilidade do uso da simulao para suasoluo. Esta avaliao acontece em consonncia com os objetivos da simulao

Formulao doProblema

aps identificado, o problema ento formulado com vistas simulao. Devido natureza evolucionria da simulao, a definio do problema um processocontnuo, que ocorre em todos estes estgios

Objetivos

identificar os resultados a serem alcanados com a simulao, definir critrios paraavaliao destes resultados e apresentar suas aplicaes, restries e limites dassolues encontradas para o problema. Em seguida so definidos os objetivosespecficos, para enumerar as caractersticas internas do sistema que precisam serrepresentadas no modelo

Construo doModelo Conceitual

o modelo conceitual consiste de uma descrio esttica e de uma descriodinmica. A descrio esttica define os elementos do sistema e suascaractersticas. A descrio dinmica define o modo como estes elementos


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interagem causando mudanas no seu estado no decorrer do tempo. O modeladordeve conhecer bem a estrutura e as regras de operao do sistema e saber extrairo essencial do mesmo, sem incluir detalhes desnecessrios. A quantidade dedetalhes includa no modelo deve ser baseada no propsito para o qual construdo

Determinao dosDados de Entrada eSada

geralmente os valores de entrada so de incio, hipotticos ou baseados em algumaanlise preliminar. Depende do objetivo do modelo, amostras representativas dosistema so requeridas. So teis nos estgios posteriores do estudo da simulao

Construo doModeloComputacional

a traduo do modelo conceitual para uma forma reconhecida pelo computador

Verificaoconsiste em determinar se o modelo conceitual executado pelo computador comoesperado

Validao

busca comprovar que ele representa o sistema real com fidelidade suficiente paragarantir a obteno de solues satisfatrias para o problema. Normalmente soutilizados cenrios em que o comportamento real j conhecido previamente e quepode ser comparado com o comportamento obtido com a simulao. Tambm podeenvolver uma comparao da estrutura do modelo e do sistema, e comparaes donmero de vezes que decises fundamentais ou tarefas dos subsistemas sorealizadas. Outros modelos do mesmo sistema tambm podem ser utilizados navalidao

Plano de Ttica eEstratgia

refere-se ao estabelecimento das aes para a execuo da simulao, o planoestratgico consiste em um cronograma de atividades eficiente tanto para explicaras relaes entre os resultados simulados e as variveis controladas, quanto paradeterminar a combinao dos valores das variveis controladas que minimizariamou maximizariam a resposta simulada. J o plano ttico consiste em determinarcomo cada simulao deve ser realizada para se obter as informaes desejadassobre os dados

Experimentao eAnlise dosResultados

execuo do modelo computacional, interpretao e anlise dos resultados

Implementao dosResultados

os resultados da simulao so implantados no sistema real

Documentao doModelo

documentao do modelo utilizando os diagramas da UML ou equivalente

Relatrio daSimulao

relatrio tcnico da simulao e memria de clculo utilizando normas tcnicas ouequivalente

1.6. Sistemas de Fila

Sistemas de Fila so compostos por Tarefas, uma ou mais Filas e um ou mais Servidores,como exposto na Tabela1.2. O termo tarefa ser a nomenclatura deste livro embora,depedendo do contexto, possam ser encontrados vrios sinnimos equivalentes na literaturaespecializada.

Tabela 1.2. Componentes dos Sistemas de FilaTarefa a unidade que requer atendimento

Fila representa as tarefas que esperam atendimento, no inclui as tarefas sendo atendidas

Servidorcanal que realiza o atendimento da tarefa, pode ser um nico ou mltiplo

Sistemas de Fila podem ser descritos como terefas chegando para serem processadas e


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saindo do sistema aps serem atendidas. A formao de fila ocorre quando a procura maiordo que a capacidade de atendimento do sistema. O fluxo temporal das tarefas nas Filas e noServidor determina a dinmica do sistema.

A Figura 1.4 representa graficamente um Sistema de Fila, nela pode-se ver ainda a estruturadestes modelos, seus parmetros e as interrelaes entre eles. Nesta figura pode-se identificarseis parmetros bsicos dos Sistemas de Fila, eles so descritos na Tabela 1.3.

Figura 1.4. Representao grfica dos Sistemas de Fila, sua estrutura, parmetros bsicos esuas interrelaes (Jain, 1991).

Tabela 1.3. Os seis parmetros bsicos dos Sistemas de Fila

1. Processo dechegada

o processo de chegada de tarefas ou entrada na fila do sistema, medido emtermos de nmero mdio de chegadas por unidade de tempo ( taxa mdia dechegada) ou pelo tempo mdio entre chegadas sucessivas

2. Distribuio dotempo de servio

a distribuio do tempo de servio descrito pela taxa de servio ( nmero deservios atendidos em dado intervalo de tempo) ou pelo tempo de servio

3. Nmero deServidores

nmero de servidores em paralelo que prestam servios simultneamente. Umsistema de filas pode apresentar um ou mltiplos canais de atendimento operandoindependentemente um do outro

4. Capacidade doSistema

nmero mximo de tarefas permitidos no sistema ao mesmo tempo, tanto aquelassendo atendidas quanto aquelas nas filas

5. Tamanho dapopulao

tamanho potencial da populao de tareafs que demandam o sistema

6. Disciplina deServio

refere-se maneira como os servios so escolhidos para entrar no servidor apsuma fila ser formada

O modelo mais simples dos Sistemas de Fila aquele que possui uma nica fila e apenas umservidor, Figura 1.5. O modelo Fila+Servidor pode ser usado para analisar os recursos


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individuais de sistemas de computao como, por exemplo, se tarefas a serem processadaspor uma CPU so mantidas em uma memria, a CPU pode ser modelada por um Sistema deFila simples, onde a memria a Fila e a CPU o Servidor do sistema.

Figura 1.5. Representao grfica de Sistemas de Fila simples destacando sua estrutura, seusprocessos de entrada e sada, a formao da Fila com tarefas em espera e o Servidor.

O modelo Fila+Servidor a unidade bsica da simulao, embora possua estrutura simples ele bem estudado e tem sido bem sucedido em representar o comportamento dos sistemascomputacionais. Estes modelos podem ser associados em srie e,ou, em paralelo para simularsistemas computacionais como rede de computadores.

1.6.1. Notao de Kendall para Sistemas de Fila

De maneira geral, Sistemas de Fila podem ser descritos pela notao de Kendall (A/B/c/K/m/Z), Tabela 1.4, com seus valores apresentados na Tabela 1.5.

Tabela 1.4. Descrio dos parmetros da notao de Kendall para Sistemas de FilaA distribuio dos intervalos de tempo entre chegadas

B distribuio do tempo de servio

c nmero de servidores ou capacidade de atendimento

K nmero mximo de tarefas permitidas no sistema

mtamanho da populao de tarefas

Z disciplina da fila

Tabela 1.5. Valores dos parmetros da notao de Kendall para Sistemas de FilaSmboloDescrio Valores

A Distribuio de tempo entre chegadas

M Processo de Poisson (Markoviano)D DeterminsticaE Erlang ( = 1,2, ...)GI Geral e Independente

B Distribuio de tempo de servio M, D, E, GI

c Nmero de servidores 1, 2, ...,

K Capacidade do sistema 1, 2, ...,

m Tamanho da populao 1, 2, ...,

Z Disciplina da fila

FIFO primeiro que chega o primeiro a ser atendidoLIFO ltimo que chega o primeiro a ser atendidoSIRO servio com ordem aleatriaPRI prioridade

Assim, por exemplo, a notao M/E5/1/10//FIFO indica uma processo com chegadasMarcovianas (Exponencial Negativa ou Poisson), atendimento Erlang de quinto grau, umservidor, capacidade mxima do sistema igual a 10 tarefas, populao infinita e o primeiro quechega o primeiro a sair do sistema.


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A notao M/M/1 o sistema de fila mais simples, com chegadas e atendimento Marcovianos,um servidor, capacidade do sistema infinita, populao infinita e o primeiro que chega oprimeiro a sair do sistema, a abreviao de M/M/1///FIFO.

Em sistemas computacionais, principalmente em sistema que envolve hardware e sistemas detempo real, o escalonamento das tarefas so utilizados para decidir que tarefa deve entrar em servio. Alm das diciplinas de filas j citados temos ainda as seguintes:

RR (round robin) - uma tarefa escalonada atendida por um intervalo de tempo pequeno,um quantum. Se o servio no completado neste intervalo de tempo, ela colocada nofinal da fila e outra tarefa atendida at que esgote seu quantum ou termine o servioPS (processos sharing) - as tarefas dividem a capacidade do Servidor como seexecutassem em paraleloIS (infinite server) - no existe fila, as tarefas so atendidas assim que chegam no Sistemade FilaPRTY (nonpreemptive priority) - uma tarefa no Servidor no afetada quando outra tarefade maior prioridade chega no Sistema de FilaPRTYPR (preemptive-resume priority) - a chegada de uma tarefa com maior prioridade noSistema de Fila tira do Servidor a de menor prioridade

O desenvolvimento tanto terico quanto computacional dos modelos de Sistemas de Filapermitiram suas aplicaes nas Cincias e Engenharias, revelando-se um rico manancial parasimulaes de sistemas do mundo real.

1.6.2. Variveis Aleatrias dos Sistemas de Fila

As variveis de estado dos Sistemas de Fila podem assumir diferentes valores numricos paracada evento, conceitualmente so variveis aleatrias tem termos estatsticos. As variveisaleatrias fundamentais dos Sistemas de Fila esto representadas na Figura 1.6 e descritas naTabela 1.6.


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Figura 1.6. Variveis aleatrias utilizadas na anlise de Sistemas de Fila Simples, adaptado deJain (1991).

Tabela 1.6. Variveis aleatrias fundamentais dos Sistemas de Fila Simples (Jain, 1991).VarivelDescrio

tempo entre chegadas, isto , o tempo entre duas chegadas sucessivas

taxa mdia de chegada por unidade de tempo, = 1/E[]

s tempo de servio, tempo requerido para processar cada tarefa

taxa mdia de servio por servidor por unidade de tempo, = 1/E[s], a taxa total de servio param servidores m

n nmero de tarefas no sistema, inclui as tarefas sendo atendidas e as que esperam na fila

nq nmero de tarefas esperando na fila ou comprimento da fila

ns nmero de tarefas sendo atendidas

rtempo de resposta ou tempo no sistema, inclui tanto o tempo de espera para ser atendidoquanto o tempo de atendimento


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w tempo de espera, intervalo de tempo entre a chegada e o incio do atendimento da tarefa

Condio de estabilidade:

> m, m o nmero de servidores, esta condio de estabilidade no se aplica populao finita e aos sistemas de buffer finitonos sistemas de populao finita, o comprimento da fila sempre finito, o sistema nuncapode se tornar instvelsistemas de buffer finito (K finito) so sempre estveis desde que as tarefas que chegamsejam descartados quando o nmero de tarefas no sistema exceda a capacidade dosistema

Nmero no Sistema x Nmero na Fila

n = nq + n

s, n, n

q e n

s so variveis aleatrias

E[n] = E[nq] + E[n

s], o nmero mdio de tarefas no sistema igual soma do nmero

mdio na fila e o nmero mdio no servidorse a taxa de servio de cada servidor independente do nmero de tarefas na fila, tem-seque Cov(n

q,n

s) = 0 e V[n] = V[n

q] + V[n

s]. A varincia do nmero de tarefas no sistema

igual soma da varincia do nmero de tarefas na fila e da varincia do nmero de tarefasno servidor.

Nmero x Tempo

se as tarefas no so perdidas devido a capacidade do sistema, o nmero mdio detarefas em um sistema est relacionada com seu tempo mdio de resposta pela equao: nmero mdio de tarefas no sistema = taxa de chegada tempo mdio de serviosimilarmente: nmero mdio de tarefas na fila = taxa de chegada x tempo mdio deespera na fila

Estas equaes so conhecidas como a Lei de Little. Em sistemas de buffer finito, estas leispodem ser usadas desde que seja usada a taxa de chegada efetiva, ou seja, a taxa deservios que realmente entram no sistema e so atendidas pelo servidor.

Tempo no Sistema x Tempo na Fila

r = w + s, o tempo que uma tarefa fica em um sistema de filas igual soma do tempo deespera na fila e do tempo de servio, r, w e s so variveis aleatrias.E[r] = E[w] + E[s], o tempo mdio no sistema igual soma do tempo mdio de espera eo tempo mdio de serviose a taxa de servio independente do nmero de servios na fila, tem-se que Cov(w,s) =0 e V[r] = V[w] + V[s], a variao do tempo no sistema igual soma das varincias dotempo de espera e do tempo de servio

A Teoria de Filas, desenvolvido por A. K. Erlang em 1909, utilizada para descreveranaliticamente Sistemas de Fila por meio de frmulas matemticas. Seu uso permitedeterminar vrias medidas da efetividade destes sistemas, com a finalidade de indicar seudesempenho. Na Tabela 1.7 esto os resultados analticos da Teoria das Filas aplicada em


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Sistemas de Fila M/M/1.

Tabela 1.7. Resultados analticos de Sistemas de Fila M/M/1 segundo a Teoria das Filas (Jain,1991).

1. Parmetros = taxa de chegada de tarefas por unidade detempo = taxa de servio por unidade de tempo

2. Intensidade de trfego = /

3. Condio de estabilidade < 1

4. Probabilidade de zero tarefa no sistema p0 = 1-

5. Probabilidade de n tarefas no sistema pn = (1-)

n, n =0, 1, ...

6. Nmero mdio de tarefas no sistema E[n] = /(1-)

7. Varincia do nmero mdio de tarefas no sistema V[n] = /(1-)2

8. Probabilidade de k tarefas na filaP[n

q= k] = 1-

2, k = 0

P[nq= k] = (1-)

k+1, k > 0

9. Nmero mdio de tarefas na fila E[nq] =

2/(1-)

10. Varincia do nmero mdio de tarefas na fila V[nq] =

2(1+-

2)/(1-)

2

11. Funo de distribuio acumulada do tempo deresposta F(r) = 1-e

-r(1-)

12. Tempo mdio de resposta E[r] = (1/)/(1-)

13. Varincia do tempo de resposta V[r] = (1/2)/(1-)

2

14. q-Percentil do tempo de resposta E[r] ln[100/(100-q)]

15. 90-Percentil do tempo de resposta 2.3 E[r]

16. Funo de distribuio acumulada do tempo deespera F(w) = 1-e

-w(1-)

17. Tempo mdio de espera E[w] = (1/)/(1-)=E[r]

18. Varincia do tempo de espera V[w] = (2-)/[2(1-)

2]

19. q-Percentil do tempo de espera max{ 0, (E[w]/)ln[100/(100-q)] }

20. 90-Percentil do tempo de espera max{ 0, (E[w]/)ln(10) }

21. Probabilidade de n ou mais tarefas no sistema n

22. Probabilidade de executar n tarefas no perodoocupado (1/n)C(2n-2,n-1)

n-1/(1+)

2n-1

23. Nmero mdio de tarefas executadas no perodoocupado

1/(1-)

24. Varincia do nmero de tarefas executadas noperodo ocupado (1+)/(1-)

3

25. Durao mdia do perodo ocupado 1/[(1-)]

26. Varincia do perodo ocupado 1/[2(1-)

3]-1/[

2(1-)

2]

1.6.3. Processos Nascimento-Morte

Um processo nascimento-morte til para modelar sistemas em que as tarefas chegam umade cada vez e no em lotes. O estado destes sistemas podem ser representados pelo seunmero de tarefas n. A chegada de uma nova tarefa altera o estado do sistema para n+1, isto


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denominado nascimento. Da mesma forma, o atendimento de uma tarefa muda o estado dosistema para n-1, isto nomeado morte.

Se os estados futuros de um processo so independentes do passado e dependem apenas dopresente, o processo chamado de Processo de Markov, isto , para s e t > 0 ento P(X > s+t| X > s) = P(X > t). Esta propriedade dos Processos de Markov torna-os mais fcil de analisar jque no necessrio considera sua trajetria passada, conhecer seu estado atual suficiente.Um Processo Markov de estado discreto chamado de Cadeia de Markov. Estes nomes soem homenagem a A. A. Markov, que os definiu e os analisou em 1907.

Os Sistemas de Fila M/M/m podem ser modeladas atravs de Processos de Markov. Oatendimento dos Servidores nestes sistemas um Processo de Markov e a chegada de tarefasem Fila uma Cadeia de Markov.

Os Processos de Markov nos quais as transies so discretas e restritas aos estados vizinhosso Processos Nascimento-Morte. Assim possvel representar os estados por nmerosinteiros de tal forma que um processo no estado n pode mudar apenas para o estado n+1 oun-1. Por exemplo, o nmero de tarefas em uma fila com um nico servidor e chegadasindividual (e no em lotes) pode ser representada como um Processo Nascimento-Morte. Umachegada na fila (nascimento) faz com que o estado mude por +1 e uma partida da fila (morte),faz com que o estado mude por -1.

Se os tempos entre chegadas so independentes e igualmente distribudos (iid) eexponencialmente distribudos, o nmero de chegadas n em um determinado intervalo (t,t+x)tem uma distribuio de Poisson, o processo de chegada referido como um Processo dePoisson.

Os Processos de Poisson tem as seguintes propriedades:

fuso de k Processos de Poisson com taxa mdia resulta em um Processo de Poissoncom taxa mdia dada por =1/k

i.

um Processo de Poisson com taxa mdia pode ser divido em n processos com p1

1,

p2

2, ..., p

n

n, p

i= 1

a saida de um sistema de filas M/M/1 em que < um Processo de Poissona saida de um sistema de filas M/M/m com taxas de servios

1, ...,

n, em que <

i so

Processos de Poisson

A relao entre os processos estocsticos est representada graficamente na Figura 1.7.


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Figura 1.7. Relao entre processos estocsticos.

1.6.4. Probabilidade de Estado para Processos Nascimento-Morte

A Figura 1.8 apresenta o diagrama de transio de estado de um processo nascimento-morte.Este o sistema mais simples de fila em que servios chegam de acordo com um Processo dePoisson em um sistema de servidor nico. O modelo tambm assume capacidade infinita dainstalao, os servios so provenientes de uma populao infinita e a distribuio dosservios na base FIFO.

Figura 1.8. Diagrama de transio de estado de um processo nascimento-morte.

Quando o sistema estiver no estado n, os novos processos chegam a taxa n-1

e partem com

taxa de servio n. Assumindo que os intervalos entre chegadas e os tempos de servio so

exponencialmente distribudos, a probabilidade de estado estacionrio de um processonascimento-morte de estar no estado n dada pelo Teorema 1.1.

Teorema 1.1. A probabilidade do estado estacionrio pn de um processo nascimento-morte

estar no estado n dada por:

pn= p

0(

0

1

2...

n-1)/(

1

2

3...

n-1

n), em que p

0 a probabilidade da fila estar vazia, n = 0.

Esta expresso para pn pode ser utilizada para analisar Sistemas de Fila M/M/c/K/m, para

todos os valores de c, K e m.

1.6.5. Sistemas de Filas M/M/1

Este o Sistema de Fila mais simples, constitudo por uma fila e um servidor, em que astarefas chegam de acordo com um Processo de Poisson e o tempo para atende-las distribudo exponencialmente. Uma vez que neste sistema pode-se aumentar ou diminuir, nomximo, uma tarefa de cada vez, um Processo Nascimento-Morte com taxas homogneas


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de nacimentos e de morte . O diagrama de estado das taxas de transio de Sistemas deFila M/M/1 mostrado na Figura 1.9.

Figura 1.9. Diagrama de transio de estado de Sistemas de Fila M/M/1 destacando osvalores constantes das taxas de transio e .

O estado dessa fila dado pelo seu nmero de tarefas podendo variar, teoricamente, de 0 a .

Para n= e

n= , n [0,), o Teorema 1.1 nos d a seguinte expresso para a

probabilidade de n tarefas do sistema: =

0(/)

.

A quantidade / chamada de intensidade de trfego e indicada pelo smbolo . Assim pn =

np

0.

Uma vez que a soma de todas probabilidades deve ser igual a 1, tem-se a seguinte expresso

para a probabilidade de zero tarefas na Fila do sistema: 0=1/(1++

2++

)=1

Substituindo p0 em p

n, temos:

=(1)

.

Nota: =1

=/(1) |x| < 1, soma da progresso geomtrica infinita (Polyanin &

Manzhirov, 2007, pag. 357).

Pode-se derivar as propriedades das filas M/M/1 que foram apresentadas na Tabela 1.7. Porexemplo, a Utilizao do Servidor dada pela probabilidade de se ter um ou mais servios nosistema: U = 1-p

0 =

O nmero mdio de tarefas no sistema dado por: E[n]=npn=n(1)

=/(1)

Nota: a =

a

/

, |x| < 1 (Polyanin & Manzhirov, 2007, pag. 357).

A varincia do nmero de tarefas no sistema : []=[2 ]([])

2=

2 (1)

n-[/(1)]

2=

/(1)2

A probabilidade de n ou mais tarefas no sistema ()==

=

=

(1)

=

n

O tempo mdio de resposta pode ser calculado usando a Lei de Little, que estabelece que:nmero mdio de tarefas no sistema = taxa de chegada x tempo mdio de resposta, isto


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, E[n] = E[r].

[n]=[r] [] = [n]/ = [/(1)]/ = (1/)/(1) = (1)/

A funo de distribuio acumulada (fda) do tempo de resposta F(r) = 1-e-r(1-)

Note-se que o tempo de resposta distribudo exponencialmente. A partir desta distribuiopode-se calcular seus percentis. Por exemplo, o q-percentil do tempo de resposta pode ser

calculado por 1(1)

= /100 ou = (1/)(1) [100/(100)]

Da mesma forma, o fda do tempo de espera dado por F(w) = 1-e-w(1-)

Trata-se de uma distribuio exponencial truncada. Seu q-percentil dado por =(1/)(1)

[100/(100)]

Esta frmula se aplica somente se q maior do que 100(1-) sendo os demais percentis sonulos. Isto pode ser indicado pela equao:

={0,[]/ [100/(100)]}

O nmero mdio de tarefas na Fila dado por [n]=(1)

=(1)(1)

=

2/(1)

Quando no h servios no sistema, o servidor considerado ocioso; caso contrrio, oservidor est ocupado. O intervalo de tempo entre dois sucessivos intervalos ociosos chamado de perodo ocupado.

O seguinte exemplo ilustra a aplicao destes resultados na modelagem de um gateway derede, extrado de Jain (1991).

Exemplo 1.1. Em um gateway de uma rede, medies mostraram que os pacotes chegavama uma taxa mdia de 125 pacotes por segundo (pps) e o gateway levava cerca de 2milissegundos para transmiti-los. Usando um modelo M/M/1, analise o gateway. Qual aprobabilidade de estouro de buffer se o tamanho do buffer do gateway for igual a 13? Qual atamanho do buffer para que a perda de pacotes seja menor do que um pacote por milho?

Taxa de chegada = 125 pps

Taxa de servio = 1/0.002 = 500 pps

Intensidade do trfego no gateway = / = 0,25

Probabilidade de n pacotes no gateway = (1-) n = 0,75(0,25)

n

Nmero mdio de pacotes no gateway = /(1-)= 0,25/0,75 = 0,33

Tempo mdio gasto no gateway = (1/)/(1-)= (1/500)/(1-0,25)=2.66 ms

Probabilidade de estouro de buffer = P(mais de 13 pacotes no gateway) = n = 0,2513=


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1,49x10-8

15 pacotes por bilhes de pacotes

Para limitar a probabilidade de perda para menos de 1x10-6

, n < 1x10

-6 ou n > log (1x10

-6)/log

(0,25) = 9,96. O tamanho do buffer deve ser igual a 10.

Os dois ltimos resultados sobre buffer overflow so aproximados. Estritamente falando, ogateway deve realmente ser modelado como uma fila M/M/1/B. No entanto, uma vez que autilizao baixa e o tamanho do buffer est acima do comprimento mdio da fila, estesresultados so boas aproximaes.

1.7. Outra Formulao para os Passos de um Estudo deModelagem e Simulao

Freitas Filho (2008), no captulo 1 Modelagem e Simulao de Sistemas, discute umasegunda viso do processo de Formulao de um Estudo Envolvendo Modelagem eSimulao, tomada das principais fontes sobre o assunto, os textos clssicos de Banks, Law eKelton, Pegden e Kelton e Sadow ski. As etapas apresentadas na Figura 1.9 esto presentesem quase todos os livros e trabalhos gerais sobre o processo para solucionar problemasusando modelagem e simulao. As etapas desta figura so descritas na Tabela 1.8.

Figura 1.9. Diagrama com as etapas em um estudo envolvendo modelagem e simulao.

Tabela 1.8. Descrio das etapas em um estudo envolvendo modelagem e simulaoto

Formulao eAnlise doProblema

Todo estudo de simulao inicia com a formulao do problema. Os propsitos eobjetivos do estudo devem ser claramente definidos. Devem ser respondidasquestes do tipo:

Por que o problema est sendo estudado?1.Quais sero as respostas que o estudo espera alcanar?2.Quais so os critrios para avaliao da performance do sistema?3.Quais so as hipteses e prerrogativas?4.Que restries e limites so esperados das solues obtidas?5.


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Planejamento doProjeto

Com o planejamento do projeto pretende-se ter a certeza de que se possuemrecursos suficientes no que diz respeito a pessoal, suporte, gerncia, hardware esoftware para realizao do trabalho proposto. Alm disso, o planejamento deveincluir um a descrio dos vrios cenrios que sero investigados e um cronogramatemporal das atividades que sero desenvolvidas, indicando os custos enecessidades relativas aos recursos anteriormente citados.

Formulao doModelo Conceitual

Traar um esboo do sistema, de forma grfica (fluxograma, por exemplo) oualgortmica (pseudocdigo), definindo componentes, descrevendo as variveis einteraes lgicas que constituem o sistema. recomendado que o modelo iniciede forma simplificada e v crescendo at alcanar algo mais complexo,contemplando todas as suas peculiaridades e caractersticas. O usurio deveparticipar intensam ente desta etapa. Alguma s das questes que devem serrespondidas:

Qual a estratgia de modelagem? Discreta? Contnua? Uma combinao?1.Que quantidade de detalhes deve ser incorporada ao modelo?2.Como o modelo reportar os resultados? Relatrios ps-simulao?Animaes durante a execuo?

3.

Que nvel de personalizao de cenrios e cones de entidades e recursosdeve ser implementado?

4.

Que nvel de agregao dos processos (ou de alguns) deve serimplementado?

5.

Como os dados sero colocados no modelo? Manualmente? Leitura dearquivos?

6.

Coleta de MacroInformaesColeta de Dados

Macro-informaes so fatos, informaes e estatsticas fundamentais, derivadosde observaes, experincias pessoais ou de arquivos histricos. Em geral, macro-informaes servem para conduzir os futuros esforos de coleta de da dos voltadosa alimentao de parmetros do sistema modelado. Algumas questes que seapresentam so:

Quais so as relaes e regras que conduzem a dinmica do sistema? O usodediagramas de fluxos comum para facilitar a compreenso destas inter-relaes.

1.

Quais so as fontes dos dados necessrios a alimentao do modelo?2.Os dados j se encontram na forma desejada? O mais comum os dadosdisponveis encontrarem-se de maneira agregada (na forma de mdias, porexemplo), o que no interessante para a simulao.

3.

E quanto aos dados relativos a custos e finanas? Incorporar elementos decustos em um projeto torna sua utilizao muito mais efetiva. Custos deespera, custos de utilizao, custos de transporte etc., quando empregados,tornam os modelos mais envolventes e com maior credibilidade e valor.

4.

Traduo doModelo

Codificar o modelo numa lnguagem de simulao apropriada. Embora hoje osesforos de conduo desta etapa tenham sido minimizados em funo dosavanos em hardware e, principalmente, nos softwares de simulao, algum asquestes bsicas devem ser propriamente formuladas e respondidas:

Quem far a traduo do modelo conceitual para a linguagem de simulao? fundamental a participao do usurio se este no for o responsvel diretopelo cdigo.

1.

Como ser realizada a comunicao entre os responsveis pela programaoe a gerncia do projeto?

2.

E a documentao? Os nomes de variveis e atributos esto claramente3.


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documentados? Outros, que no o programador responsvel, podem entendero programa?

Verificao eValidao doModelo

Confirmar que o modelo opera de acordo com a inteno do analista (sem erros desintaxe e lgica) e que os resultado s por ele fornecidos possuam crdito e sejamrepresentativos dos resultados do modelo real. Nesta etapa as principais questesso:

O modelo gera informaes que satisfazem os objetivos do estudo?1.As informaes geradas so confiveis?2.A aplicao de testes de consistncia e outros confirma que o modelo estisento de erros de programao?

3.

ProjetoExperimental

Projetar um conjunto de experimentos que produza a informao desejada,determinando como cada um dos testes deva ser realizado. O principal objetivo obter mais informaes com menos experimentaes. As principais questes so:

Quais os principais fatores associados aos experimentos?1.Em que nveis devem ser os fatores variados de forma que se possa melhoravaliar os critrios de desempenho?

2.

Qual o projeto experimental mais adequado ao quadro de respostasdesejadas?

3.

ExperimentaoExecutar as simulaes para a gerao dos dados desejados e para a realizaodas anlises de sensibilidade.

Interpretao eAnlise Estatsticados Resultados

Traar inferncias sobre os resultados alcanados pela simulao. Estimativas paraas medidas de desempenho nos cenrios planejados so efetuadas. As anlisespodero resultar na necessidade de um maior nmero de execues (replicaes)do modelo para que se possa alcanar a preciso estatstica sobre os resultadosdesejados. Algumas questes que devem ser apropriadamente respondidas:

O sistema modelado do tipo terminal ou no-terminal?1.Quantas replicaes so necessrias?2.Qual deve ser o perodo simulado para que se possa alcanar o estado deregime?

3.

E o perodo de warm-up?4.

Comparao deSistemas eIdentificao dasMelhores Dolues

Muitas vezes o emprego da tcnica de simulao visa a identificao de diferenasexistentes entre diversas alternativas de sistemas. Em algumas situaes, oobjetivo comparar um sistema existente ou considerado como padro, compropostas alternativas. Em outras, a ideia a comparao de todas as propostasentre si com o propsito de identificar a melhor ou mais adequada delas. Asquestes prprias deste tipo de problema so?

Como realizar este tipo de anlise?1.Como proceder para comparar alternativas com um padro?2.Como proceder para comparar todas as alternativas entre si?3.Como identificar a melhor alternativa de um conjunto?4.Como garantir estatisticamente os resultados?5.

Documentao

A documentao do modelo sempre necessria. Primeiro para servir como umguia para que algum, familiarizado ou no com o modelo e os experimentosrealizados, possa fazer uso do mesmo e dos resultados j produzidos. Segundo,porque se forem necessrias futuras modificaes no modelo, toda a


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documentao existente vem a facilitar e muito os novos trabalhos. Aimplementao bem sucedida de um modelo depende, fundamentalmente, de que oanalista, com a maior participao possvel do usurio, tenha seguido os passosque, sumariamente, aqui foram relatados. Os resultados das anlises devem serreportados de forma clara e consistente, tambm como parte integrante dadocumentao do sistema. Como linhas gerais pode-se dizer que os seguinteselementos devem constar de uma documentao final de um projeto de simulao:

Descrio dos objetivos e hipteses levantadas;1.Conjunto de parmetros de entrada utilizados (incluindo a descrio dastcnicas adotadas para adequao de curvas de variveis aleatrias);

2.

Descrio das tcnicas e mtodos empregados na verificao e na validaodo modelo;

3.

Descrio do projeto de experimentos e do modelo fatorial de experimentaoadotado;

4.

Resultados obtidos e descrio dos mtodos de anlise adotados;5.Concluses e recomendaes. Nesta ltima etapa fundamental tentardescrever os ganhos obtidos na forma monetria.

6.

Apresentao dosResultados eImplementao

A apresentao dos resultados do estudo de simulao deve ser realizada por todaa equipe participante. Os resultados do projeto devem refletir os esforos coletivose individuais realizados, considerando os seus diversos aspectos, isto ,levantamento do problema, coleta de dados, construo do modelo etc. Durantetodo o desenvolvimento e implementao do projeto, o processo de comunicao,entre a equipe e os usurios finais, deve ser total e, portanto, durante aapresentao final no devem ocorrer surpresas de ltima hora. Os itens abaixo devem estar presentes como forma de encaminham ento das questes tcnicas,operacionais e financeiras no que diz respeito aos objetivos da organizao:

Restabelecimento e confirmao dos objetivos do projeto;1.Quais problemas foram resolvidos;2.Rpida reviso da metodologia;3.Benefcios alcanados com a(s) soluo (es) proposta(s);4.Consideraes sobre o alcance e preciso dos resultados;5.Alternativas rejeitadas e seus motivos;6.Animaes das alternativas propostas quando cabveis;7.Estabelecimento de conexes entre o processo e os resultados alcanadoscom o modelo simulado e outros processos de reengenharia ou dereformulao existentes no negcio;

8.

Assegurar que os responsveis pelo estabelecimento de mudanasorganizacionais ou processuais tenham compeendido a abordagem utilizada eseus benefcios;

9.

Tentar demonstrar que a simulao uma espcie de ponte entre a idia e suaimplementao.

10.

1.8. Recursos Didticos Pedaggicos

O modelo analtico do Sistema de Filas M/M/1, apresentado na Tabela 1.7, foi implementadoem uma classe Javascript, denominada clMM1Analitico.js, Quadro 1.1. Para fins decodificao, a letras , e foram trocadas por l, m e r, respectivamente.


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Tambm foi desenvolvido o software, MM1Analitico.html, para entrada de dados evisualizao dos resultados do modelo analtico, Quadro 1.2. O software MM1Analitico.htmlutiliza a classe clMM1Analitico.js, com dados de entrada (taxa mdia de chegada), (taxamdia de servio), n ( nmero de tarefas) e q (percentil). O valor de n requerido para osclculos de probabilidades, como no tem 5, e valor de q para os clculos de percentis, comono tem 14. No Quadro 1.3 esto os resultados modelo analtico de Sistema de Filas M/M/1utilizando o software MM1Analitico.html para = 0.100 s, = 0.400 s, n = 10 e q = 10.

Quadro 1.1. Classe clMM1Analitico.js para o modelo analtico de Sistemas de Fila M/M/1

function clMM1Analitico(){ this.f = function(n){ var p = 1; for( var i = n; i > 1; i-- ) p += i; return p; } this.C = function(n,p){ return this.f(n)/this.f(n-p)/this.f(p); } this.Calculate = function(l,m,n,q){ var r = l/m, P = [27]; for( var i = 0; i < 27; i++ ) P[i] = -1.0; P[2] = r; P[3] = "r >= 1"; if( r < 1.0 ){ P[ 3] = "r < 1"; P[ 4] = 1-r; P[ 5] = (1-r)*Math.pow(r,n); P[ 6] = r/(1-r); P[ 7] = r/Math.pow(1-r,2); P[ 8] = n > 0 ? (1-r)*Math.pow(r,n+1) : 1-r*r; P[ 9] = r*r/(1-r); P[10] = r*r*(1+r-r*r)/Math.pow(1-r,2); P[11] = 1-Math.exp(-m*r*(1-r)); P[12] = (1/m)/(1-r); P[13] = (1/Math.pow(m,2))/Math.pow(1-r,2); P[14] = (1/m)/(1-r)*Math.log(100/(100-q)); P[15] = 2.3*(1/m)/(1-r); P[16] = 1-r*Math.exp(-m*r*(1-r)); P[17] = r*(1/m)/(1-r); P[18] = (2-r)*r/(m*m*(1-r)*(1-r)); P[19] = (P[17]/r)*Math.log(100/(100-q)); P[20] = (P[17]/r)*Math.log(10*r); P[21] = Math.pow(r,n); P[22] = (1/n)*this.C(2*n-2,n-1)*Math.pow(r,n-1)/Math.pow(1+r,2*n-1); P[23] = 1/(1-r); P[24] = r*(1+r)/Math.pow(1-r,3); P[25] = 1/(m*(1-r)); P[26] = 1/(m*m*Math.pow(1-r,3))-1/(m*m*(1-r)*(1-r)); } return P;


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}}

Quadro 1.2. Cdigo do software MM1Analitico.html

Modelagem e Simulacao:: Sistemas de Fila M/M/1 Modelo Analtico

body,input,table { font-family: Arial; font-size: 22px }

function MM1AnaliticoTeste(){ var MM1Analitico = new clMM1Analitico(); var l, m, n, q, P = []; l = parseFloat(document.getElementById("l").value); m = parseFloat(document.getElementById("m").value); n = parseFloat(document.getElementById("n").value); q = parseFloat(document.getElementById("q").value); P = MM1Analitico.Calculate(l,m,n,q); for( var i = 2; i < 27; i++ ){ var id = i.toString(); if( P[2] < 1.0 ){ if( i != 3 ) document.getElementById(id).value = P[i].toFixed(6); else document.getElementById(id).value = P[i]; } else{ if( i == 3 ) document.getElementById(id).value = P[i]; else document.getElementById(id).value = "-"; } }}

Anlise de Fila M/M/1 - Modelo Analtico

1. Parmetros


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ir 2. Intensidade de trfego 3. Condio de estabilidade 4. Probabilidade de zero tarefa no sistema 5. Probabilidade de n tarefas no sistema 6. Nmero mdio de tarefas no sistema 7. Varincia do nmero mdio de tarefas no sistema 8. Probabilidade de n tarefas na fila 9. Nmero mdio de tarefas na fila 10. Varincia do nmero mdio de tarefas na fila 11. Funo de distribuio acumulada do tempo de resposta 12. Tempo mdio de resposta 13. Varincia do tempo de resposta 14. q-Percentil do tempo de resposta 15. 90-Percentil do tempo de resposta 16. Funo de distribuio acumulada do tempo de espera 17. Tempo mdio de espera 18. Varincia do tempo de espera 19. q-Percentil do tempo de espera 20. 90-Percentil do tempo de espera 21. Probabilidade de encontrar n ou mais tarefas no sistema 22. Probabilidade de executar n tarefas no perodo ocupado 23. Nmero mdio de tarefas executadas no perodo ocupado 24. Varincia do nmero de tarefas executadas no perodo ocupado 25. Durao mdia do perodo ocupado 26. Varincia do perodo ocupado


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Quadro 1.3. Resultados do modelo analtico de Sistema de Filas M/M/1 utilizando o softwareMM1Analitico.html. MM1Analitico

1.9. Referncias

Freitas Filho, Paulo Jos. Introduo Modelagem e Simulao de Sistemas com AplicaesArena. 2a ed. Florianpolis: Visual Books, 2008. 372p.

Jain, R. The Art of Computer Systems Performance Analysis: Techniques for ExperimentalDesign, Measurement, Simulation, and Modeling. Wiley-Interscience, 1991.

Polyanin, Andrei D.; Manzhirov, Alexander V. Handbook of Mathematics for Engineers andScientists. New York: Chapman & Hall/CRC, 2007. 1509p.

1.10. Questes

1. Discuta as maneiras de se estudar um sistema.

2. Compare as tabelas 1.1 e 1.8 e faa uma sntese das duas.

3. Caracterize e diferencie sistemas de fila, fila e atendimento.

4. Qual sistema de fila proporcionaria melhor desempenho: um sistema M/M/3/300/100 ou umsistema M/M/3/100/100?

1.11. Exerccios

1. Durante um intervalo de 1 hora, observou-se que um servidor de um sistema distribudorecebeu 10.800 solicitaes. O tempo de resposta mdio destes pedidos foi igual a um terode segundo. Qual o nmero mdio de consultas no servidor? Os processos deste sistemaso Poisson?

2. Eventos que chegam em um Sistema de Fila M/M/1 com intervalo entre chegadas iat = { 8,5, 12, 15, 8, 11, 9, 10, 7, 6 } e tempos de servio st = { 11, 10, 9, 12, 9, 11, 14, 8, 9, 10 }, calcule os resultados analticos deste sistema conforme a Tabela 1.7.

3. Em um Sistema de Fila M/M/1 tem-se iat = {3, 5, 4, 3, 8, 5, 9, 8, 7, 6 } e st = { 12, 12, 10, 9,2, 2, 1, 3, 2, 5 }. Calcule os resultados analticos deste sistema conforme a Tabela 1.7.

4. Repita o Exemplo 1.1 para:a) = 250 pps e = 500 pps


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b) = 350 pps e = 500 ppsc) = 450 pps e = 500 pps

5. Compare os resultados analticos do exerccio 4.a, 4.b e 4.c.


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Teoria das Filas

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