Teori Trigonometri dan Lingkaran -...
Transcript of Teori Trigonometri dan Lingkaran -...
4. Trigonometri Sudut Berelasi a. Sudut 90! ± 𝛼
Segitiga 𝐴𝐶𝐵 siku siku di 𝐶 sehingga 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 180!𝛼 + 𝐵 + 90! = 180!𝐵 = 180! − 90! − 𝛼𝐵 = 90! − 𝛼
Gambar 17 sin 90! − 𝛼 = !"
!"= cos𝛼
cos 90! − 𝛼 = !"
!"= sin𝛼
tan 90! − 𝛼 = !"
!"= cot𝛼
Kesimpulan
sin 90! − 𝛼 = cos𝛼
cos 90! − 𝛼 = sin𝛼
tan 90! − 𝛼 = cot𝛼
Segitiga 𝐴𝐶′𝐵′ adalah segitiga 𝐴𝐵𝐶 yang diputar 90! berlawanan arah jarum jam sehingga ∠𝐶𝐴𝐵! = 90! + 𝛼 Kedua segitiga terletak di dalam lingkaran satuan 𝑟 = 1
Gambar 18 Gambar 19 𝐵 𝐴𝑏𝑠𝑖𝑠,𝑂𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡 = (𝑏,𝑎) 𝐵′ 𝐴𝑏𝑠𝑖𝑠,𝑂𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡 = (−𝑎, 𝑏) cos𝛼 = 𝐴𝑏𝑠𝑖𝑠 = 𝑏 sin 90! + 𝛼 = 𝑂𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡 = 𝑏 sin𝛼 = 𝑂𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡 = 𝑎 cos 90! + 𝛼 = 𝐴𝑏𝑠𝑖𝑠 = −𝑎 cot𝛼 = !"#$#
!"#$%&'= !
! tan 90! + 𝛼 = !"#$%&'
!"#$#= !
!!
Kesimpulan
sin 90! + 𝛼 = cos𝛼
cos 90! + 𝛼 = − sin𝛼
tan 90! + 𝛼 = − cot𝛼
b. Sudut 180! ± 𝛼 Segitiga 𝐴𝐶′𝐵′ adalah segitiga 𝐴𝐵𝐶 yang dicerminkan terhadap sumbu Y sehingga ∠𝐶𝐴𝐵! = 180! − 𝛼 Kedua segitiga terletak di dalam lingkaran satuan 𝑟 = 1
Gambar 20 Gambar 21 𝐵 𝐴𝑏𝑠𝑖𝑠,𝑂𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡 = (𝑏,𝑎) 𝐵′ 𝐴𝑏𝑠𝑖𝑠,𝑂𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡 = (−𝑏,𝑎) sin𝛼 = 𝑂𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡 = 𝑎 sin 180! − 𝛼 = 𝑂𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡 = 𝑎 cos𝛼 = 𝐴𝑏𝑠𝑖𝑠 = 𝑏 cos 180! − 𝛼 = 𝐴𝑏𝑠𝑖𝑠 = −𝑏 tan𝛼 = !"#$%&'
!"#$#= !
! tan 180! − 𝛼 = !"#$%&'
!"#$#= !!
!
Kesimpulan
sin 180! − 𝛼 = sin𝛼
cos 180! − 𝛼 = − cos𝛼
tan 180! − 𝛼 = − tan𝛼
Segitiga 𝐴𝐶′𝐵′ adalah segitiga 𝐴𝐵𝐶 yang diputar 180! berlawanan arah jarum jam sehingga ∠𝐶𝐴𝐵! = 180! + 𝛼 Kedua segitiga terletak di dalam lingkaran satuan 𝑟 = 1
Gambar 22 Gambar 23 𝐵 𝐴𝑏𝑠𝑖𝑠,𝑂𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡 = (𝑏,𝑎) 𝐵′ 𝐴𝑏𝑠𝑖𝑠,𝑂𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡 = (−𝑏,−𝑎) sin𝛼 = 𝑂𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡 = 𝑎 sin 180! + 𝛼 = 𝑂𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡 = −𝑎 cos𝛼 = 𝐴𝑏𝑠𝑖𝑠 = 𝑏 cos 180! + 𝛼 = 𝐴𝑏𝑠𝑖𝑠 = −𝑏 tan𝛼 = !"#$%&'
!"#$#= !
! tan 180! + 𝛼 = !"#$%&'
!!"#"= !!
!!
Kesimpulan
sin 180! + 𝛼 = − sin𝛼
cos 180! + 𝛼 = − cos𝛼
tan 180! + 𝛼 = tan𝛼
c. Sudut 270! ± 𝛼 Segitiga 𝐴𝐶′𝐵′ adalah segitiga 𝐴𝐵𝐶 yang diputar 90! searah jarum jam kemudian dicerminkan terhadap sumbu Y sehingga ∠𝐶𝐴𝐵! = 270! − 𝛼 Kedua segitiga terletak di dalam lingkaran satuan 𝑟 = 1
Gambar 24 Gambar 25 𝐵 𝐴𝑏𝑠𝑖𝑠,𝑂𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡 = (𝑏,𝑎) 𝐵′ 𝐴𝑏𝑠𝑖𝑠,𝑂𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡 = (−𝑎,−𝑏) cos𝛼 = 𝐴𝑏𝑠𝑖𝑠 = 𝑏 sin 270! − 𝛼 = 𝑂𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡 = −𝑏 sin𝛼 = 𝑂𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡 = 𝑎 cos 270! − 𝛼 = 𝐴𝑏𝑠𝑖𝑠 = −𝑎 cot𝛼 = !"#$#
!"#$%&'= !
! tan 270! − 𝛼 = !"#$%&'
!"#$#= !!
!!
Kesimpulan
sin 270! − 𝛼 = − cos𝛼
cos 270! − 𝛼 = − sin𝛼
tan 270! − 𝛼 = cot𝛼
Segitiga 𝐴𝐶′𝐵′ adalah segitiga 𝐴𝐵𝐶 yang diputar 90! searah jarum jam kemudian dicerminkan terhadap sumbu Y sehingga ∠𝐶𝐴𝐵! = 270! + 𝛼 Kedua segitiga terletak di dalam lingkaran satuan 𝑟 = 1
Gambar 26 Gambar 27 𝐵 𝐴𝑏𝑠𝑖𝑠,𝑂𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡 = (𝑏,𝑎) 𝐵′ 𝐴𝑏𝑠𝑖𝑠,𝑂𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡 = (𝑎,−𝑏) cos𝛼 = 𝐴𝑏𝑠𝑖𝑠 = 𝑏 sin 270! + 𝛼 = 𝑂𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡 = −𝑏 sin𝛼 = 𝑂𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡 = 𝑎 cos 270! + 𝛼 = 𝐴𝑏𝑠𝑖𝑠 = 𝑎 cot𝛼 = !"#$#
!"#$%&'= !
! tan 270! + 𝛼 = !"#$%&'
!"#$#= !!
!
Kesimpulan
sin 270! + 𝛼 = − cos𝛼
cos 270! + 𝛼 = sin𝛼
tan 270! + 𝛼 = − cot𝛼
d. Sudut 360! − 𝛼 atau Sudut –𝛼 Segitiga 𝐴𝐶′𝐵′ adalah segitiga 𝐴𝐵𝐶 dicerminkan terhadap sumbu X sehingga ∠𝐶𝐴𝐵! = 360! − 𝛼 Kedua segitiga terletak di dalam lingkaran satuan 𝑟 = 1
Gambar 28 Gambar 29 𝐵 𝐴𝑏𝑠𝑖𝑠,𝑂𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡 = (𝑏,𝑎) 𝐵′ 𝐴𝑏𝑠𝑖𝑠,𝑂𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡 = (𝑏,−𝑎) sin𝛼 = 𝑂𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡 = 𝑎 sin 360! − 𝛼 = 𝑂𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡 = −𝑎 cos𝛼 = 𝐴𝑏𝑠𝑖𝑠 = 𝑏 cos 360! − 𝛼 = 𝐴𝑏𝑠𝑖𝑠 = 𝑏 tan𝛼 = !"#$%&'
!"#$#= !
! tan 360! − 𝛼 = !"#$%&'
!"#$#= !
!!
Kesimpulan
sin 360! − 𝛼 = − sin𝛼
cos 360! − 𝛼 = cos𝛼
tan 360! − 𝛼 = − tan𝛼
Untuk sudut –𝛼 sama dengan sudut 360! − 𝛼