Teori Graph Matemathics Discrit
-
Upload
christian-aditya -
Category
Documents
-
view
232 -
download
0
Transcript of Teori Graph Matemathics Discrit
7/21/2019 Teori Graph Matemathics Discrit
http://slidepdf.com/reader/full/teori-graph-matemathics-discrit 1/19
Course Content
Template
Product Development Center, Bina NusantaraDC-PDC-4
Ver. 1.0 22/08/2005 18:!:00
Matematika Disk it
"#pe: $C$D%&'C C()*+%Code: 01
7/21/2019 Teori Graph Matemathics Discrit
http://slidepdf.com/reader/full/teori-graph-matemathics-discrit 2/19
Table of Content
Table of Content............................................................................................................................. 0
Course Content..............................................................................................................................0
TEORI GRAPH............................................................................................................................ 01.P%N-%*"'$N (&P(N%N -*$P................................................................................02.%N'+%N'+ -*$P............................................................................................................ 0
"raversale 3rap4.................................................................................................................. 0%uler 3rap4........................................................................................................................... 0ameltonian 3rap4................................................................................................................ 0
.-*$P )+)+ :................................................................................................................ 0. &$"*'+ -*$P................................................................................................................. 0
'somorp4ic -rap4................................................................................................................. 0omeomorp4ic -rap4........................................................................................................... 0
5.6$B%6%D -*$P................................................................................................................ 0Directed 3rap4 7di3rap4................................................................................................... ..... 0!.P6$N$* -*$P 73rap4 idan3............................................................................................09.P%$*N$$N -*$P........................................................................................ .......... ........ 0
Activity........................................................................................................................................... 0 ;ui</%=am/+el>$ssess......................................................................................................... .... 0
7/21/2019 Teori Graph Matemathics Discrit
http://slidepdf.com/reader/full/teori-graph-matemathics-discrit 3/19
Part
Course Content1TEORI GRAPH
Sasaran :
&a4asis?a dapat men3erti tentan3 de>inisi 3rap4, @omponen@omponen 3rap4, Aenis 3rap4 ai@ #an3
traversael, euler, 4amiltonian, dan ipartite 3rap4 serta dapat menulis@an entu@ 3rap4 @e dalam
model penulisan matri@s. Demi@ian Au3a den3an modul ini ma4asis?a dapat meman>aat@an teori
3rapa4 dalam men#elesai@an era3ai apli@asi @e idan3 ilmu lain seperti ilmu @ete@ni@an, manaAemen
maupun ilmu ilmu sosial.
Pokok Bahasan :
Pen3ertian 3rap4 dan omponen 3rap4
enisAenis 3rap4
+tru@tur 3rap4
-rap4 @4usus, matri@s 3rap4
6aeled 3rap4
Planar 3rap4
Pe?arnaan 3rap4
7/21/2019 Teori Graph Matemathics Discrit
http://slidepdf.com/reader/full/teori-graph-matemathics-discrit 4/19
1.PENGERTIAN !OMPONEN GRAPH
-rap4 ermula dari masala4 dua pulau di ten3a4 laut, di mana @edua pulau terseut 4enda@
di@unAun3i den3an s#arat tida@ ole4 men33una@an Aematan #an3 ada lei4 dari satu @ali. al ini
dapat diilustrasi@an seperti pada 3amar di a?a4 ini.
e1,e2,...,e9 Aematan
&asala4n#a adala4 : $pa@a4 ada cara untu@ datan3 @edua pulau terseut 7dapat lei4 1@ali den3an
mele?ati masin3masin3 Aematan 4an#a satu @ali
)ntu@ men#elesia@an masala4 terseut, ma@a teori 3rap4 a@an di3una@an.
Pada dasarn#a 3rap4 dapat dide>inisi@an sea3ai 4impunan titi@[email protected]@ dimulai dan
dia@4iri den3an titi@. +edan3@an apli@asi 3rap4 adala4 3amaran lo3i@a dari suatu @eAadian, proses,
peristi?a, @e3iatan atau 4al4al lain #an3 salin3 er@aitan, #an3 memili@i )nsurunsur -rap4 :
Verte= / titi@titi@ simpul / no@ta4 dan %d3e / rusu@.
Conto4 :
$ dan B di@ata@an : erde@atan / erdampin3an / adAacent
e1 dan e2 di@ata@an : ertemu / incident di $
omponen lain dari 3rap4 dapat erupa :e
e
1
e
2 e
!
e
5e
$
B
D
%
e1,...,e! ed3e
$,B,C,D,% verte=
Pulau Pulau
daratan
daratan
e5
e1 e7
e3 e4
e2
e6
sungai
e4 e1
e2
e6
e5
e3
A
B
C
D
E
7/21/2019 Teori Graph Matemathics Discrit
http://slidepdf.com/reader/full/teori-graph-matemathics-discrit 5/19
Multira!h adala4 3rap4 #an3 mempun#ai rusu@ 3anda #an3 men34uun3@an 2 titi@.
"oo! adala4 ed3e #an3 uAun3n#a satu verte= 73elun3.
Ps#u$ora!h adala4 3rap4 #an3 mempun#ai rusu@ 3anda dan loop.
misal :
Tri%ial ra!h adala4 3rap4 #an3 4an#a terdiri satu titi@.
D#ra&at ' $#r## suatu %#rt#( ≡ an#a@n#a rusu@ #an3 incident pada titi@ terseut.
)#rt#( #na! adala4 verte= #an3 de3reen#a 3enap
)#rt#( an&il adala4 verte= #an3 de3reen#a 3anAil.
"eorema :
umla4 de3ree semua verte= 2 @ali an#a@n#a rusu@.
Conto4 :
multi3rap4
Pseudo3rap4
de3 7$
de3 7B de3 7C de3 7D 2de3 7% 2de3 7 2de3 7- 2
EEEEEEEE F
∑ de3ree 18
∑ rusu@ G ∑ de3ree 2• ∑
ma@a Σ de3ree 2. Σ rusu@
CA
B
D E
G F
7/21/2019 Teori Graph Matemathics Discrit
http://slidepdf.com/reader/full/teori-graph-matemathics-discrit 6/19
Conn#*ti%it+ :
Connectivit# adala4 @erter4uun3an simpul satu den3an simpul #an3 lain dalam 3rap4. Dalam 4al ini
ada eerapa @eter4uun3an #an3 dapat diuat, diantaran#a :
1" al@ adala4 lintasan dari suatu titi@ @e suatu titi@ #an3 lain.
#" Closed ?al@ adala4 ?al@ #an3 titi@ a?aln#a titi@ a@4irn#a.
$" "rail adala4 ?al@ #an3 semua ed3en#a erlainan.
%" Pat4 adala4 ?al@ #an3 semua titi@n#a erlainan.
&" C#cle adala4 pat4 #an3 tertutup.
'" -irt4 adala4 panAan3 c#cle #an3 terpende@ suatu 3rap4.
(" Circum>erence adala4 panAan3 c#cle #an3 terpanAan3 suatu 3rap4.
Conto4 :
ara@ 2 titi@ adala4 pat4 terpende@ dari 2 titi@ terseut, d7µ1, µ2.
1" %@sentrisitas suatu titi@ adala4 Aara@ terpanAan3 suatu titi@ terseut ter4adap titi@
#an3 lain, e7µ.
#" ariAari adala4 e@sentrisitas ter@ecil diantara e@sentrisitas #an3 ada, r7-.
$" Diameter adala4 Aara@ teresar antara 2 titi@ #an3 ada, d7-.
D E
B
G
A
$BC%B ?al@ $B%D$ closed ?al@ $D%BC trail $BC% pat4BC%B c#cle-irt4 Circum>erence 5
7/21/2019 Teori Graph Matemathics Discrit
http://slidepdf.com/reader/full/teori-graph-matemathics-discrit 7/19
Conto4 :
Titik s#ntral G adala4 titi@ simpul #an3 e@sentrisitasn#a sama den3an AariAarin#a.
Pusat - adala4 4impunan titi@titi@ sentral
Conto4 : pada 3rap4 diatas, titi@ sentraln#a $,C,dan D pusat - H$,C,DI
Gra!h t#rhu,un adala4 suatu 3rap4 #an3 di antara verte=n#a ada pat4n#a.
Cut point 7titi@ poton3
i@a suatu verte= 3rap4 din#ata@an sea3ai titi@ poton3, ma@a verte= terseut dan semua ed3e #an3
insiden di titi@ terseut di4ilan3@an.
Conto4 :- dipoton3 di P ma@a #an3 tin33al : -VP #aitu :
- P
Dalam conto4 ini titi@ P di amil sea3ai cut point, se4in33a terentu@ 3rap4 #an3 aru seperti pada
3amar eri@utn#a.
#.)ENI*+)ENI* GRAPH
-rap4 dapat di@elompo@@an dalam eerapa Aenis antara lain :
Tra,ersable -rap
"raversale 3rap4 adala4 3rap4 #an3 semua rusu@n#a dapat dilalui masin3masin3 se@ali. $tau
7 dalam pra@te@n#a : 3rap4 terseut dapat di3amar tanpa pata4 / an3@at pensil
Conto4 :
B
C
A D E
G
d 7B,%8 5 r 7-8 2e 7$8 2 d 7-8 5e 7B8 5e 7C8 2e 7D8 2e 7%8 5
P
G
2
3
1
5
4
7/21/2019 Teori Graph Matemathics Discrit
http://slidepdf.com/reader/full/teori-graph-matemathics-discrit 8/19
alann#a diseut traversale trail.
untu@ men33amar @emali 3rap4 terseut i@uti ana@ pana4 dan urutan nomorn#a.
+elain cara di atas traversale 3rap4 dapat Au3a ditentu@an den3an meli4at titi@ simpul dari 3rap4terseut apa@a4 tepat memili@i dua ua4 simpul #an3 erderaAat 3anAil.
Euler -rap
%ulerian 3rap4 adala4 3rap4 #an3 memili@i trail tertutup #an3 menca@up semua rusu@.
Conto4 :
Hameltonian -rap
ameltonian 3rap4 adala4 3rap4 #an3 mempun#ai pat4 tertutup #an3 menca@up semua titi@.
Contoh :
T#ori Eul#r /0/ - /12
+emua 3rap4 ter4uun3 #an3 mempun#ai dua verte= 3anAil adala4 traversale
"raversale trailn#a dimulai dari verte= 3anAil pertama dan dia@4iri pada verte= 3anAil
@edua.
-rap4 %ulerian Ai@a semua verte=n#a 3enap.
amelto
nian
Ciri-ciri : semua titikberderajat genap
Eulerian
7/21/2019 Teori Graph Matemathics Discrit
http://slidepdf.com/reader/full/teori-graph-matemathics-discrit 9/19
$.GRAPH !H/*/* 0
1" -rap4 len3@ap adala4 3rap4 #an3 setiap verte=n#a ter4uun3 den3an semua titi@
#an3 lain den3an 4an#a rusu@ 7notasi : n
misal :
#" -rap4 teratur / re3uler adala4 suatu 3rap4 #an3 setiap titi@n#a erderaAat sama.
misal : 2 re3uler
$" Bipartite 3rap4 adala4 suatu 3rap4 #an3 titi@titi@ pada 3rap4 dapat di@elompo@@an
menAadi dua, titi@titi@ dalam satu @elompo@ ta@ ter4uun3, dan titi@titi@ antar
@elompo@ ter4uun3 len3@ap.
%. MATRI!* GRAPH
-rap4 dapat din#ata@an den3an matri@s, adapun Aenis matri@s 3rap4 #an3 dima@sud adala4:
1" %d3e matri= 74uun3an antara rusu@ den3an rusu@
#" $dAacenc# matri= 74uun3an antara simpul den3an simpul
$" 'ncidence matri= 74uun3an antara simpul den3an rusu@
e1 e2
e3
e4
A
e1 e2 e3 e4
e1 e2 e3 e4
e
e
e
e
Edge matrix
A B C
B
C
Adjacenc
incidence matrix
1100
1011
0111
C
B
$
011
101
110
0111
1011
1101
1110
7/21/2019 Teori Graph Matemathics Discrit
http://slidepdf.com/reader/full/teori-graph-matemathics-discrit 10/19
Isomorpi Grap
'somorp4ic 3rap4 adala4 dua 3rap4 #an3 mempun#ai 3rap4ical proporties #an3 sama 7ereda tetapi
stru@tur sama, Aumla4 sisi #an3 sama dan Aumla4 simpul #an3 sama.
Conto4 :
-1 dan -2 isomorp4is, er@orespondensi 11 antara titi@titi@ dan rusu@rusu@.
orespondensi 11 terseut iala4 :
$; e1@2 J B* e2@J C" e@5 J DP e@1 , e5@
Homeomorpi Grap
#aitu : dua 3rap4 #an3 diperole4 dari 3rap4 #an3 sama / isomorp4ic den3an menama4 seAumla4
verte= tertentu #an3 masin3masin3 erderaAat 2 pada rusu@rusu@n#a.
Conto4 :
&.2A3E2ED GRAPH
#aitu : 3rap4 #an3 rusu@rusu@n#a dieri esaran/data ilan3an, #an3 men#ata@an esaran ?a@tu
ean4ar3aAara@dan lainlain. Den3an demi@ian dalam laeled 3rap4 dapat di4itun3 nilai optimum
dari suatu masala4.
&isaln#a : pat4 terpende@ trail terpanAan3
-1 dan -2 4omeomorp4ic
e 2
e 1
e 3
e 4
e 5
A
D C
B
! 1
! 2
! 3
! 4
! 5
P "
# $
G 1 G 2
7/21/2019 Teori Graph Matemathics Discrit
http://slidepdf.com/reader/full/teori-graph-matemathics-discrit 11/19
Conto4 :
Direte4 -rap 54i-rap"
+uatu sistem #an3 er3era@ di3amar@an dalam di3rap4, #aitu 3rap4 #an3
memper4ati@an ara4 #an3 ditunAu@@an ole4 ed3en#a.
%d3e di3rap4 serin3 diseut arcus 7arc. Conto4 :
6aeled di3rap4 adala4 di3rap4 #an3 arcn#a mempun#ai esaran.
Conto4 : P, ;, * ermain / lempar ola
P 4an#a melempar @e ;
; mun3@in melempar @e P dan @e *
* mun3@in melempar @e P dan @e ;
&asala4 terseut dapat di3amar@an den3an laeled di3rap4 sea3ai eri@ut:
paralel arc
1
2 3
4
2
$
C
B
D
11
2
1
2
1
2
1
2
P
" $
7/21/2019 Teori Graph Matemathics Discrit
http://slidepdf.com/reader/full/teori-graph-matemathics-discrit 12/19
arcus menunAu@@an ara4 dari/@e mana ola dilempar esaran men#ata@an peluan3 masin3masin3
lemparan
P pasti / 4an#a melempar @e ;→ KP,;L1
; mun3@in melempar @e P atau @e * → K;,PL K;,*L 1/2
* mun3@in melempar @e P atau @e ; → K*,PL K*,;L M
DeraAat verte= pada di3rap4
inde3ree P adala4 Aumla4 ed3e #an3 datan3 / masu@ @e ara4 P
outde3ree P adala4 Aumla4 ed3e #an3 per3i / @eluar menin33al@an P
Conto4 :
Verte= #an3 inde3reen#a 0 diseut sumer / asal / source
Verte= #an3 outde3reen#a 0 diseut tuAuan / sin@
Di@enal ti3a macam 4uun3an dalam di3rap4 :
1" ea@ 7lema4 : i@a dan 4an#a Ai@a ada 2 titi@ #an3 mempun#ai spannin3 semi?al@
Conto4 : $ dan B masin3masin3 semii?al@ 7$P BP
A
B C
D
indegree B % 1
&utdegree B % 2
dan lain'lain
A
B
C
A % s&urce
B % sin!
A
B
P
7/21/2019 Teori Graph Matemathics Discrit
http://slidepdf.com/reader/full/teori-graph-matemathics-discrit 13/19
2). )nilateral 7sepi4a@ : Ai@a dan 4an#a ada 2 titi@ #an3 mempun#ai spannin3 ?al@.
Conto4 :
$ dan B terdapat spannin3 ?al@ #aitu :APB
32. +tron3 7@uat Ai@a dan 4an#a Ai@a ada spannin3 ?al@ #an3 tertutup
Contoh :
'.P2ANAR GRAPH 5-rap bi4an-"
Planar 3rap4 adala4 suatu 3rap4 #an3 rusu@rusu@n#a terleta@ pada idan3 datar, dan tida@ salin3
erpoton3an selain di verte=n#a.
Conto4 :
A!lanar Gra!h ra!h s#,i$an2
#aitu : 3rap4 #an3 dapat dipancan3@an / di3elar menAadi 3rap4 idan3.
Contoh :
A
B
P
A
P
B
C
A
D C
A B
D
(lanar gra() *u!an (lanar gra()
D
7/21/2019 Teori Graph Matemathics Discrit
http://slidepdf.com/reader/full/teori-graph-matemathics-discrit 14/19
Dia3ram 3rap4 idan3 diseut &ap 7peta
-rap4 idan3 rusu@rusu@n#a memisa4@an idan3 leta@n#a 7 idan3 3amar atas daera4daera4 /
re3ion.
Conto4 :
DeraAat / de3ree daera4 r adala4 an#a@n#a ed3e #an3 mematasi r terseut.
Ruus-ruus Eul#r:
i@a suatu map, an#a@n#a verte= V, an#a@n#a re3ion * dan an#a@n#a ed3e %
&a@a erla@u :
D
A B
C
da(at dijadi!an
D
A
a(lanar gra()
(lanar gra()
r 1
r 2
r 3 r 4
3 regi&n tertutu( % r 1+ r 2+ r 31 regi&n ter*u!a % r 4 6 ,ertex- edge
deg .r 1/ % 3deg .r 2/ % 3
deg .r 3/ % 4
deg .r 4/ % 6
r 1
r 2
r 3 r 4
7/21/2019 Teori Graph Matemathics Discrit
http://slidepdf.com/reader/full/teori-graph-matemathics-discrit 15/19
( )
( )
10 $ E 2
20 deg r 2 edge 2 E
30 E 3 6 *u!ti untu! 3
masing masing deg r 3
2E 3$ $
2
3 E
rumus+ 2 E 2
3E
6 3E 3 2E
E 3 6 ed .ter*u!ti/
+ − =
= • = •
≤ − → ≥
− ≥
≥ → ≤
→ + − ≤
+ − ≤
≤ − →
∑∑
q
-rap4 seidan3 ma@simum, Ai@a den3an penama4an rusu@ selalu men34asil@an 3rap4 #an3 tida@
seidan3. -rap4 seidan3 ma@simum diseut 3rap4 datar ma@simum ila 3rap4 terseut merupa@an
3rap4 datar.
5ntuk #na,ah at#ri +an t#lah a$a6 An$a $a!at #lihat at#ri lain +an a$a !a$a alaat
7#, ,#rikut ini6 $an klik 4ttp://???.asint.com/aisee/
(.PE6ARNAAN GRAPH
Dalam pe?arnaan 3rap4 terdapat ti3a macam/cara pe?arnaan, #aitu :
a. Pe?arnaan titi@
. Pe?arnaan rusu@
c. Pe?arnaan daera4
a2. P#7arnaan titik :
#aitu me?arnai titi@titi@ suatu 3rap4 sedemi@ian 4in33a titi@titi@ #an3 ter4uun3
?arna erlainan, dan an#a@n#a ?arna seminim mun3@in.
Ban#a@ ?arna minimum diseut ilan3an @romati@ → =7-
Conto4 :
)ntu@ mencari = 7- %6C P(%6 memeri petunAu@ lan3@a4lan3@a4n#a :
3
2 3
1
2
)ntu@ mem2eda@an ?arnadi3una@an an3@a1an3@a
Berarti : =7-8
7/21/2019 Teori Graph Matemathics Discrit
http://slidepdf.com/reader/full/teori-graph-matemathics-discrit 16/19
urutkan titik-titik dari derajat tinggi ke rendah beri warna “1” titik terdepan (urutan
tersebut) dan titik-titik ang tidak terhubung dengan tadi! beri warna “"” titik di
be#akangna (urutan tersebut)!
Conto4 :
Pern#ataanpern#ataan eri@ut euivalence untu@ -rap4 -.
1" - ter?arnai titi@ 2
#" - adala4 ipartite
$" +etiap c#cle dari - mempun#ai ed3e 3enap.
Conto4 :
-rap4 len3@ap : =7n n
Conto4 :
$%$&A' &&-&& BC*+A,
(.) / 0
C
A
2
1
2
F4
D
E
3
3
1
2
1 2
2
G terwarnai 2
G = K 2.3
setia c cle mem un ai ed e
1
2 3
4
x . 4/ % 4
7/21/2019 Teori Graph Matemathics Discrit
http://slidepdf.com/reader/full/teori-graph-matemathics-discrit 17/19
Po4on ter?arnai 2
Conto4 :
,2. P#7arnaan rusuk
#aitu : me?arnai rusu@rusu@ suatu 3rap4, sedemi@ian 4in33a rusu@rusu@ #an3
insiden ?arna erlainan dan an#a@ ?arna minimum.
Conto4 :
Pe?arnaan rusu@ untu@ 3rap4 len3@ap 7n
′ =−
x K n n ganjil
n n genap. /
+
+
1
Conto4 :
)ntu@ 5 :
beri warna rusuk-rusuk ang insiden disatu titik / 1-"--0 kemudian rusuk-rusuk ang
tidak insiden dengan rusuk di atas → warna sama kemudian rusuk ang terakhir warna 2
)ntu@ ! :
kerjakan dahu#u untuk 23 kemudian rusuk-rusuk ang insiden di titik ke 4 dengan warna
ang be#um digunakan pada setiap titik ang #ain.
1
2
1 1
1 1
2
1 2 1
2 1
14
1
3 22 3
x′ .G/ % 4
3
1
3
2
2
4
x′ . 4/ % 3
7/21/2019 Teori Graph Matemathics Discrit
http://slidepdf.com/reader/full/teori-graph-matemathics-discrit 18/19
c.Pewarnaan Daerah :
Pewarnaan daerah di#akukan dengan ter#ebih dahu#u membentuk graph tersebut menjadi
graph p#anar kemudian me#akukan pewarnaan untuk tiap daerah ang berbeda pada
daerah ang berdekatan! 5um#ah warna diambi# ang pa#ing minimum!Contoh : 6akukan pewarnaan graph secara daerah untuk kasus gambar graph
sebe#umna!
Untuk menambah materi yang telah ada, Anda dapat melihat materi lain yang
ada pada alam web berikut ini, dan klik
http://www.math.getech.edu/~thoma/!"/#ourcolor.html
7/21/2019 Teori Graph Matemathics Discrit
http://slidepdf.com/reader/full/teori-graph-matemathics-discrit 19/19
Part
Ati,it7#8ui9:E;am:*elf+Assess
Soal :
1.-amar@an seua4 3rap4 den3an lima verte@s #an3 mempun#ai deraAat 2, , , , O
2.Carila4 diameter dari 8n 3rap4 len3@ap pada n verte@s. O
."unAu@@an a4?a Aumla4 ma@simum dari rusu@ dalam seua4 3rap4 n verte@s adala4
n7n 1/2 O
. "unAu@@an a4?a semaran3 3rap4 #an3 mempun#ai empat verte@s atau @uran3
adala4 planar O