Persamaan gelombang linier didapatkan dengan cara mencari solusi dari persamaan Laplace dua

dimensi (persamaan 2.1). Didalam merumuskan persamaan gelombang ini digunakan beberapa

asumsi-asumsi, diantaranya

1. Zat cair homogen, incompressible, massa jenis konstan dan ideal (aliran tak rotasi);

2. Tegangan permukaan dan gaya Coriolis diabaikan;

3. Tekanan permukaan zat cair seragam dan konstan;

4. Kecepatan vertical dasar laut sama dengan nol, dasar laut tidak terdapat slope (horizontal)

dan impermeable;

5. Nilai amplitude kecil terhadap panjang gelombang dan kedalaman; dan

6. Gelombang ditinjau dalam dua dimensi.

∂2φ∂ x2 +

∂2φ∂ z2 =0 (2.1)

Dari asumsi-asumsi tersebut, didapatkan kondisi batas didalam memformulasikan persamaan

gelombang linier (tabel 2.4). Persamaan-persamaan kondisi batas telah dilinierkan dengan

mengabaikan suku-suku non linier, mengingat persamaan gelombang yang akan dicari adalah

persamaan gelombang linier.

Tabel 2.4. Kondisi-kondisi batas persamaan gelombang

Boundary Condition Persamaan Matematis

Bottom Boundary Condition (BBC) −∂φ∂ z

=0 , z=−h (2.2)

Kinematic Free Surface Boundary

Condition (KFSBC)

−∂φ∂ z

= ∂η∂ t, z=η (x , t) (2.3)

Dynamic Free Surface Boundary

Condition (DFSBC)η= 1

g∂φ∂ t |z=0

(2.4)

BBC merupakan kondisi batas perairan, dimana gradient potensial kecepatan pada dasar perairan

(z=-h) diasumsikan tidak ada (asumsi 4). KFSBC merupakan kondisi batas kinematic (kecepatan

vertical) yang merupakan perubahan elevasi muka air terhadap perubahan waktu. DFSBC

merupakan kondisi batas dimana gaya-gaya bekerja pada permukaan, seperti gaya gravitasi dan

tekanan atmosfer (Patm=0), sehingga memenuhi persamaan Bernoulli.

2.2.1. Solusi Persamaan Laplace

Penyelesaian persamaan Laplace dapat dilakukan dengan menggunakan metode pemisahan

variable. Metode ini dilakukan dengan mengkalikan setiap fungsi dari masing-masing variable

(persamaan 2.5).

φ ( x , z , t )=X ( x )Z ( z )T (t ) (2.5)

Dimana X(x) merupakan fungsi yang bergantung hanya pada variable x, dan Z(z) adalah fungsi

yang bergantung hanya pada variable z, sedangkan T(t) hanya pada waktu yang merupakan

fungsi periodic batasan lateral dengan nilai T(t)=sin (ωt).

φ ( x , z , t )=X ( x )Z ( z ) sin (ωt ) (2.6)

Subtitusi persamaan 2.6 kedalam persamaan Laplace (persamaan 2.1) hingga diperoleh

persamaan berikut,

∂2

∂x2 [ X ( x )Z ( z )sin (ωt )]+ ∂2

∂ z2 [X ( x )Z ( z ) sin (ωt )]=0

1X∂2 X∂x2 + 1

Z∂2Z∂z2 =0 (2.7)

Dari persamaan 2.7 dapat diperhatikan bahwa suku pertaman ruas kiri hanya bergantung pada

variable x, sedangkan suku kedua ruas kiri hanya pada variable z. Jika kita tinjau persamaan 2.7

hanya memiliki variasi pada variable z, hal ini akan membuat suku dengan variable x menjadi

konstanta, sehingga hal ini tidak memenuhi persamaan tersebut, atau dengan kata lain

penjumlahan dua variable tidak sama dengan nol, kecuali konstanta bernilai negative atau

sebaliknya (persamaan 2.8a dan 2.8b)

1Xd2 Xdx2 =−k2 (2.8a)

1Zd2Zdz2 =k2 (2.8b)

Solusi dari persamaan 2.8a dan 2.8b untuk k2 bernilai real dan lebih besar dari nol adalah,

X ( x )=A cos ( kx )+B sin (kx ) (2.9a)

Z ( z )=Cekz+De−kz (2.9b)

Dimana A, B, C, dan D merupakan konstanta yang belum diketahui. Dengan mensubtitusikan

persamaan 2.9a dan 2.9b kedalam persamaan 2.6, maka akan diperoleh,

φ ( x , z , t )=[A cos (kx )+B sin (kx)] [Cekz+De−kz ] sin (ωt)

φ ( x , z , t )=[ A cos (kx ) (Cekz+De−kz )sin (ωt )]+[B sin ( kx )(Cekz+De−kz)]sin (ωt ) (2.10)

Persamaan 2.10 memenuhi prinsip superposisi, sehingga dalam kesempatan ini peneliti hanya

menyelesaikan suku pertama dari persamaan tersebut.

φ ( x , z , t )=A cos (kx ) (Cekz+De−kz ) sin (ωt ) (2.11)

Subtitusi persamaan 2.11 kedalam persamaan BBC,

−∂φ∂ z

=0

−∂∂ z [ A cos (kx ) (Cekz+De−kz ) sin (ωt ) ]=0 , z=−h

−A cos ( kx ) (kCekz−k De−kz ) sin (ωt )=0 , z=−h

−Ak cos (kx ) (Ce kz−De−kz ) sin (ωt )=0 , z=−h

−Ak cos (kx ) (Ce−kh−Dekh ) sin (ωt )=0 (2.12)

Persamaan 2.12 bernilai benar untuk nilai x dan t, jika nilai didalam kurung (Ce -kh-Dekh) sama

dengan nol, atau bias kita asumsikan bahwa

C=De2kh

Sehingga persamaan kecepatan potensial menjadi,

φ ( x , z , t )=A cos (kx ) (De2khekz+De−kz ) sin (ωt )

φ ( x , z , t )=A Dekhcos (kx ) (ek(h+ z)+e−k(h+ z)) sin (ωt )

φ ( x , z , t )=2 A Dekhcos (kx )cosh k (h+z ) sin (ωt)

φ ( x , z , t )=Gcos (kx ) coshk (h+z ) sin (ωt) (2.13)

Dimana,

cosh k (h+z )= ek(h+ z)+e−k(h+ z)

2

G=2 A Dekh

Langkah selanjutnya adalah menentukan nilai konstanta G pada persamaan 2.13 dengan cara

mensubtitusi persamaan 2.13 kedalam persamaan DFSBC (persamaan 2.4).

η=1g∂φ∂ t, z=0

η=1g∂∂ t [G cos (kx ) cosh k (h+ z )sin (ωt )] , z=0

η=1gGω cos (kx ) cosh k (h+ z )cos (ωt ) , z=0

η=[Gω cosh (kh )g ]cos ( kx )cos (ωt ) (2.14)

Didalam persamaan 2.16, suku didalam kurung merupakan konstanta. Kita tahu bahwa nilai η

didapatkan dari hasil kali konstanta dengan suku-suku periodic dalam ruang dan waktu, sehingga

dapat dituliskan,

η=H2

cos (kx ) cos(ωt) (2.15)

Subtitusi persamaan 2.15 kedalam persamaan 2.14, maka kita akan dapatkan nilai konstanta G,

H2

=Gωcosh (kh )

g

G= H g2ωcosh (kh ) (2.16)

Subtitusi persamaan 2.16 kedalam persamaan kecepatan potensial (persamaan 2.13) untuk

mendapatkan solusi dari persamaan Laplace.

φ ( x , z , t )=H gcosh k (h+z )2ωcosh (kh )

cos (kx ) sin (ωt) (2.17)

2.2.2. Cepat Rambat Gelombang

Formulasi cepat rambat gelombang diperoleh dengan mensubtitusi persamaan 2.17 dan 2.15

kedalam persamaan KFSBC (persamaan 2.3).

−∂φ∂z |

z=0=∂η∂ t

−∂∂ z [H gcosh k (h+z )

2ωcosh (kh )cos (kx ) sin (ωt )]|z=0

=∂∂ t [ H2 cos (kx ) cos (ωt)]

−H gk sinh k (h+z )2ωcosh ( kh )

cos (kx ) sin (ωt )|z=0

=−H ω2

cos ( kx )sin (ωt )

−H gk sinh k (h+z )2ωcosh (kh )

=−Hω2

ω2=gk tanh(kh) (2.18a)

Persamaan 2.18a merupakan persamaan disperse gelombang. Telah kita ketahui bahwa nilai ω =

2π/T dan k = 2π/L, sehingga persamaan 2.18a menjadi,

( 2πT )

2

=g2πL

tanh 2π hL

(2.18b)

Kedua ruas dari persamaan 2.18b dibagi dengan (2π/L)2, maka akan diperoleh persamaan cepat

rambat gelombang,

( 2πT )

2

( L2 π )2

= g2πL ( L2 π )

2

tanh 2π hL

C=LT

=√ g L2πtanh 2 π h

L (2.19)