Teoreme i Dokazi (Ademir H.)
-
Upload
admir-pripo -
Category
Documents
-
view
53 -
download
14
description
Transcript of Teoreme i Dokazi (Ademir H.)
SEMINARSKI RAD IZ METODIKE
MATEMATIKETEMA:TEOREMI I
DOKAZITemu obradio: Ademir Hujdurovic
Šta je teorem? Teorem je matematička izjava čija se
istinitost utvrđuje dokazom. Teoremi proširuju i produbljuju znanje o
nekoj matematičkoj oblasti i njenim objektima.
Osim teorema postoje još i matematičke izjave koje se nazivaju aksiome i(ili) postulati.
Teoremi i dokazi
Aksiom(praistina) je osnovna tvrdnja u nekoj teoriji koja se smatra istinitom i ne dokazuje se!
Neki teoremi imaju posebne nazive: Propozicija-teorem za kojeg postoji kratak i
jednostavan dokaz. Lema-teorem koji (uglavnom) nije od nekog
posebnog značaja sam za sebe nego se koristi kao pomoć pri dokazivanju nekih važnijih i složenijih teorema.
Teoremi i dokazi
Posljedica(korolar)-direktno se dobija primjenom neke prethodno dokazane teoreme (dokaz posljedice je često toliko jednostavan da se ni ne navodi).
Teoremi i dokazi
Pod teoremom se uglavnom misli na tačnu izjavu.
U formulaciji teoreme razlikujemo dva dijela: pretpostavka(hipoteza) P i tvrdnja(teza,zaključak) Q.
Pretpostavka je jedna ili više izjava koje se smatraju istinitim, a tvrdnja je izjava koju treba dokazati.
Teoremi i dokazi
Primjeri teorema: Zbir unutrašnjih uglova u trouglu je 180°. Postoji beskonačno mnogo prostih brojeva. √2 je iracionalan broj.
Mnogo je lakše odrediti strukturu teoreme ako je ona data u obliku ”ako je P, onda je Q”, tj. P⇒Q.
Zapravo, mi svaku teoremu možemo zapisati u tom obliku.
Teoremi i dokazi
Tako, naprijed navedene primjere možemo zapisati i kao:
Ako je dati poligon trougao onda je zbir njegovih unutrašnjih uglova jednak 180°.
Ako je dat skup svih prostih brojeva onda on ima beskonačno mnogo elemenata.
Ako je promatrani broj √2 onda je on iracionalan.
Teoremi i dokazi
Uz svaki teorem oblika P⇒Q može se posmatrati i izjava oblika Q⇒P, koju nazivamo obrat teorema.
Obrat teoreme ne mora biti istinita tvrdnja. Ako je i obrat teoreme tačna izjava, tada te
dvije izjave često pišemo u obliku P⇔Q, i čitamo P ako i samo ako Q, ili P je ekvivalentno sa Q.
Teoremi i dokazi
Posebno su važni teoremi ekvivalencije jer oni daju karakterizaciju nekog svojstva.
Primjer: Broj a je nula polinoma f(x) ako i samo ako je polinom f(x) djeljiv sa x-a.
Treba voditi računa o tome da se ne miješaju definicije i karakterizacije!
Teoremi i dokazi
Teorema se može zapisati i tako da se pretpostavka i tvrdnja razdvoje u posebne rečenice: “Neka P. Tada Q”.
Dakle ključne riječi u formulaciji teorema su: “Ako P, onda Q” ili “Neka P. Tada Q”.
U teoremi se ne mogu naći riječi poput: “Kažemo da je...”
Teoremi i dokazi
Dokaz teorema P⇒Q u nekoj teoriji se sastoji od konačno mnogo istinitih tvrdnji Q₁,Q₂,...,Qn=Q te teorije gdje je svaka od tvrdnji Qi ili aksiom ili je dobivena na osnovu ranije dokazanih teorema.
P⇒ Q₁ ⇒ Q₂ ⇒...⇒Qn-1⇒Qn=Q
Dokazivanje tvrdnji se koristi u nastavi matematike. Dok uči dokazivati tvrdnje, učenik uči zaključivati, što je jedan od osnovnih zadataka nastave matematike.
Teoremi i dokazi
Učenik koji se u budućnosti neće baviti matematikom kao naukom, mora znati izvoditi zaključke u raznim situacijama svakodnevnog života.
Razlikujemo dvije vrste dokaza: DIREKTNI dokaz i INDIREKTNI dokaz.
Kod direktnog dokaza se uzima da je P tačno i na već opisani način dokazuje da je Q tačno.
Teoremi i dokazi
Primjer direktnog dokaza: Teorem: Zbir unutrašnjih uglova trougla je
180°. Dokaz:Dat je trougao ABC. Produžimo
stranicu AB, tj. c preko tačke B, tako da je c − B − c'. Povučemo paralelu b' sa stranicom AC, tj. b u tački B. Ugao u tjemenu A jednak je uglu u tjemenu B, tj. uglovi sa paralelnim kracima su jednaki, pa važe jednakosti:
Teoremi i dokazi
Teoremi i dokazi
Teoremi i dokazi ∡cAb= ∡c’Bb’=α, ∡bCa= ∡aBb’=γ Otuda je zbir uglova α, β i γ jednak
ispruženom , tj. 180°. (q.e.d) Posljedica 1: Vanjski ugao u trouglu jedak je
zbiru dva unutrašnja njemu ne susjedna ugla.
Posljedica 2:Zbir vanjskih uglova trougla jednak je 360°.
Teoremi i dokazi
Posljedica 3: Zbir unutrašnjih uglova četverougla je 360°.Dokaz: Povuče se jedna dijagonala, pa se posmatraju dva trougla.
Direktan dokaz može biti: PROGRESIVAN(SINTETIČKI) ili REGRESIVAN(ANALITIČKI)
U progresivnom hodu se kreće od pretpostavke P (ili neke druge tačne tvrdnje), i izvode se zaključci koji bi mogli voditi do tražene tvrdnje.
Primjer za progresivni dokaz: Teorem:Ako je a,b≥0, tada je:
Teoremi i dokazi
Dokaz: Polazi se od jednakosti koja je očito tačna:
(a-b)²≥0 ⇒ a²-2ab+b²≥0 ⇒ a²+2ab+b² ≥ 4ab ⇒ (a+b)²≥4ab ⇒ a+b≥2ab ⇒
(q.e.d)
Teoremi i dokazi
U progresivnom dokazu tvrdnje P⇒Q, polazi se od tvrdnje P i vidi se šta se može zaključiti iz tačnosti tvrdnje P. Zatim treba uočiti onaj zaključak koji nas vodi prema tvrdnji. Tako naprimjer, ako imamo pretpostavku da je p prost broj, neki od mogućih zaključaka su:
Jedini djelioci broja p su 1 i p Ako je p različit od 2 onda je on neparan Ako je p>3, tada je p=6k+1 ili p=6k+5, za
neki prirodan broj k.
Teoremi i dokazi
Sada bi u zavisnosti od tvrdnje koju trebamo dokazati pokušali odabrati onaj zaključak koji nam najbolje odgovara.
Međutim, često se u praksi pokazuje kao bolji način dokazivanja polazak od tražene tvrdnje Q i posmatranja onih uslova, iz čije tačnosti slijedi tačnost tvrdnje Q. Takav pristup pretstavlja represivni dokaz.
Teoremi i dokazi
Dakle, u represivnom dokazu se konstruiše tvrdnja Q₁ takva da Q₁⇒Q. Sada se traži tvrdnja Q₂ takva da Q₂⇒Q₁. Nastavljajući opisani način pokušava se doći do konačnog niza tvrdnji tako da vrijedi
P=Qn ⇒Qn-1 ⇒... ⇒ Q₂ ⇒ Q₁⇒Q
Teoremi i dokazi
Primjer represivnog dokaza: Teorem:Ako je a,b≥0, tada je: Dokaz: Polazimo od tražene tvrdnje
Ako posljednju nejednakost kvadriramo dobit ćemo
Teoremi i dokazi
Sada treba provjeriti da li vrijedi ⇒ Pošto znamo da za x,y≥0 vrijedi , a brojevi (a+b)/2 i ab su
nenegativni to je data implikacija tačna. Dakle, bitno je da vršimo reverzibilne tranformacije, tj. one transfomacije koje možemo vratiti unazad.
Teoremi i dokazi
Sada transformišemo izraz u izraz
Jasno je da vrijedi:
⇒
Sada tranformiramo posljednji rezultat i dobijamo:
Teoremi i dokazi
Očito je ispunjeno ⇒ Posljednji zahtjev možemo zamijeniti sa:
Odnosno sa: Posljednja nejednakost je uvijek tačna i
imamo:
Teoremi i dokazi
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
Teoremi i dokazi
Čitajući redove od dna prema vrhu imamo: ⇒ (q.e.d)
Sada smo dobili isti dokaz kao i primjenom progresivnog dokaza, samo što smo se u ovom slučaju kretali unazad.
Važno je voditi računa da se uzimaju dovoljni uslovi za traženu tvrdnju Q, a ne potrebni uslovi. Dakle, ako bi napisali:
Teoremi i dokazi
⇒ ⇒
⇒ ⇒ ⇒
⇒ ⇒
Ovo nije korektan dokaz!!!
Teoremi i dokazi
Kao što smo već pomenuli osim direktnog dokaza imamo i indirektni dokaz.
Indirektni dokaz za tvrdnju P⇒Q sastoji se u tome da se dokazuje da negacija tvrdnje Q tj. tvrdnja ˥Q ne može biti istinita.
Treba voditi računa o pravilnom negiranju tvrdnje Q!
Među indirektnim dokazima dva su najčešće korištena:dokaz kontrapozicijom i dokaz kontradikcijom.
Teoremi i dokazi
Dokaz kontrapozicijom ima u teorijskoj osnovi ekvivalenciju (P⇒Q)⇔(˥Q⇒˥P)
U ovom dokazu se pretpostavlja tačnost tvrdnje ˥Q i pokušava dokazati tačnost tvrdnje ˥P.
Primjer dokaza kontrapozicijom: Teorem: Ako je a cijeli broj i a² paran broj,
tada je i a paran broj.
Teoremi i dokazi
Pretpostavka(P): a∈Z, a² je paran broj Tvrdnja(Q): a je paran broj Negacija tvrdnje(˥Q): a nije paran broj, tj a
je neparan broj. Tada je a=2k+1 za neki cijeli broj k. Sada je a²=4k²+4k+1, što je neparan broj,
odnosno tačna je tvrdnja ˥P. Dokazali smo da vrijedi ˥Q⇒˥P, pa smo
(indirektno) dokazali i P⇒Q. (q.e.d)
Teoremi i dokazi
Osim dokaza po kontrapoziciji, indirektni dokaz može biti i tzv. dokaz svođenjem na kontradikciju(reductio ab apsurdum).
Ponovo se pretpostavalja tačnost tvrdnje ˥Q i nizom logičkih zaključaka pokušava dobiti neka očito lažna tvrdnja. Ovdje se takođe pretpostavlja i tačnost tvrdnje P.
Dakle, pokušava se dokazati da P∧˥Q⇒L, gdje je L neka neodrživa tvrdnja.
Teorijska osnova za ovakav način dokazivanja leži u ekvivalenciji: ˥(P⇒Q)⇔(P∧˥Q)
Teoremi i dokazi
Primjer dokaza kontradikcijom: Teorem: √2 nije racionalan broj. Dokaz: Pretpostavimo da tvrdnja nije tačna,
tj. pretpostavimo da je √2 racionalan broj. Tada je √2=a/b, gdje su a i b relativno prosti
cijeli brojevi. Kvadriranjem gornje jednakosti imamo 2=a²/b², odnosno a²=2b².
Broj a² je paran, pa mora biti a paran, odnosno a=2k, za neki cijeli broj k.
Teoremi i dokazi
Sada uvrštavanjem 2k umjesto a dobijamo: 4k²=2b², odnosno b²=2k², pa je i broj b
paran što je suprotno sa pretpostavkom da su a i b relativno prosti. (q.e.d)
Teorem: Postoji beskonačno mnogo prostih brojeva.
Dokaz: Pretpostavimo da data tvrdnja nije tačna, tj da postoji konačno mnogo prostih bojeva.
Teoremi i dokazi
Tada možemo odrediti najveći prost broj, neka je to p. Tada je skup svih prostih brojeva dat sa P={2,3,5,...,p}. Posmatrajmo broj:
q=2∙3 ∙... ∙p+1 Broj q je prirodan broj, pa on može biti prost
ili složen. Ako bi on bio prost, onda bi postojao prost broj veći od p, (jer je q>p) pa bi imali kontradikciju.
Teoremi i dokazi
Ako bi q bio složen, tada bi on morao imati prosti djelilac. Ali broj q pri dijeljenju sa bilo kojim prostim brojem (iz skupa P) daje ostatak 1, pa ne može biti djeljiv niti jednim prostim brojem, što je kontradikcija.
U oba slučaja smo dobili kontradikciju, čime smo pokazali neodrživost pretpostavke o konačnosti skupa prostih brojeva. (q.e.d)
Teoremi i dokazi
Važan postupak pri indirektnom dokazu je pravilno negiranje neke tvrdnje. Tako u našim primjerima:
negacija od “je racionalan” je “nije racionalan”
negacija od “jest beskonačan” je “jest konačan”
U nekim slučajevima neće biti tako jednostavno negirati tvrdnju.
Teoremi i dokazi
Neke karakteristične negacije: Q=“Barem jedan” ˥Q=“Niti jedan” Q=“Neki” ˥Q=“Niti jedan” Q=“Tačno jedan” ˥Q=“Nikoji,dva ili više” Q=“Svi elementi nekog skupa imaju neku
osobinu” ˥Q=“Barem jedan elemenat tog skupa
nema to svojstvo”
Teoremi i dokazi
Pronaći grešku u sljedećem dokazu! Teorem: Broj 1 je najveći cijeli broj. Pretpostavimo suprotno, tj. neka je n>1
najveći cijeli broj. Pošto je n pozitivan posljednju nejednakost možemo pomnožiti sa n, pa imamo n²>n. Dakle, dobili smo da n nije najveći cijeli broj (jer je n² veći od njega) što je kontradikcija. (q.e.d)
Teoremi i dokazi
Klasifikacija dokaza:
Teoremi i dokazi
DIREKTAN INDIREKTAN
PROGRESIVAN
REGRESIVANDOKAZ PO KONTRAPO
ZICIJI
DOKAZ PO KONTRADIK
CIJI
Na kraju dokaza teorema uglavnom se nalazi skraćeni q.e.d.-na latinskom “Quod Erat Demonstrandum” i znači “što je trebalo pokazati”.
Takođe se na kraju dokaza mogu naći kvadratići poput: ∎ □
Teoremi i dokazi