Teorema-Teorema Limitpeople.usd.ac.id/~ydkristanto/wp-content/uploads/2018/02/...ย ยท 2018. 2....
Transcript of Teorema-Teorema Limitpeople.usd.ac.id/~ydkristanto/wp-content/uploads/2018/02/...ย ยท 2018. 2....
Teorema-Teorema Limit
Beberapa Limit Dasar
Teorema A Misalkan ๐๐ bilangan bulat positif, ๐๐ adalah konstanta. Maka1. lim
๐ฅ๐ฅโ๐๐๐๐ = ๐๐; 2. lim
๐ฅ๐ฅโ๐๐๐ฅ๐ฅ = ๐๐; 3. lim
๐ฅ๐ฅโ๐๐๐ฅ๐ฅ๐๐ = ๐๐๐๐.
Teorema Limit Utama
Teorema B Misalkan ๐๐ bilangan bulat positif, ๐๐ adalah konstanta, dan ๐๐ dan ๐๐ adalah fungsi-fungsi yang memiliki limit di ๐๐. Maka1. lim
๐ฅ๐ฅโ๐๐๐๐๐๐ ๐ฅ๐ฅ = ๐๐ lim
๐ฅ๐ฅโ๐๐๐๐ ๐ฅ๐ฅ ;
2. lim๐ฅ๐ฅโ๐๐
๐๐ ๐ฅ๐ฅ + ๐๐ ๐ฅ๐ฅ = lim๐ฅ๐ฅโ๐๐
๐๐ ๐ฅ๐ฅ + lim๐ฅ๐ฅโ๐๐
๐๐ ๐ฅ๐ฅ ;
3. lim๐ฅ๐ฅโ๐๐
๐๐ ๐ฅ๐ฅ โ ๐๐ ๐ฅ๐ฅ = lim๐ฅ๐ฅโ๐๐
๐๐ ๐ฅ๐ฅ โ lim๐ฅ๐ฅโ๐๐
๐๐ ๐ฅ๐ฅ ;
4. lim๐ฅ๐ฅโ๐๐
๐๐ ๐ฅ๐ฅ ๏ฟฝ ๐๐ ๐ฅ๐ฅ = lim๐ฅ๐ฅโ๐๐
๐๐ ๐ฅ๐ฅ ๏ฟฝ lim๐ฅ๐ฅโ๐๐
๐๐ ๐ฅ๐ฅ ;
5. lim๐ฅ๐ฅโ๐๐
๐๐ ๐ฅ๐ฅ๐๐ ๐ฅ๐ฅ
=lim๐ฅ๐ฅโ๐๐
๐๐ ๐ฅ๐ฅ
lim๐ฅ๐ฅโ๐๐
๐๐ ๐ฅ๐ฅjika lim
๐ฅ๐ฅโ๐๐๐๐ ๐ฅ๐ฅ โ 0;
6. lim๐ฅ๐ฅโ๐๐
๐๐ ๐ฅ๐ฅ ๐๐ = lim๐ฅ๐ฅโ๐๐
๐๐ ๐ฅ๐ฅ๐๐;
7. lim๐ฅ๐ฅโ๐๐
๐๐ ๐๐ ๐ฅ๐ฅ = ๐๐ lim๐ฅ๐ฅโ๐๐
๐๐ ๐ฅ๐ฅ , asalkan
lim๐ฅ๐ฅโ๐๐
๐๐ ๐ฅ๐ฅ > 0 jika ๐๐ genap.
Contoh 1Tentukan limit berikut dan berikan alasan pada setiap langkahnya.
lim๐ฅ๐ฅโ1
3๐ฅ๐ฅ2 โ 2๐ฅ๐ฅ + 5
PEMBAHASAN Kita gunakan teorema-teorema limit sebelumnya.lim๐ฅ๐ฅโ1
3๐ฅ๐ฅ2 โ 2๐ฅ๐ฅ + 5 = lim๐ฅ๐ฅโ1
3๐ฅ๐ฅ2 โ lim๐ฅ๐ฅโ1
2๐ฅ๐ฅ + lim๐ฅ๐ฅโ1
5
= 3 lim๐ฅ๐ฅโ1
๐ฅ๐ฅ2 โ 2 lim๐ฅ๐ฅโ1
๐ฅ๐ฅ + lim๐ฅ๐ฅโ1
5
= 3 12 โ 2 1 + 5= 6
Teorema B2 dan B3
Teorema B1
Teorema A3, A2, dan A1
Latihan 1
Tentukan limit berikut dan berikan alasan setiap langkahnya.
lim๐ฅ๐ฅโ2
3๐ฅ๐ฅ5 โ 7๐ฅ๐ฅ4 + 5๐ฅ๐ฅ โ 3๐ฅ๐ฅ3 โ 2๐ฅ๐ฅ2 + 1
Teorema Substitusi
Teorema C Jika ๐๐ adalah fungsi polinomial atau fungsi rasional dan ๐๐ berada di domain ๐๐, maka
lim๐ฅ๐ฅโ๐๐
๐๐ ๐ฅ๐ฅ = ๐๐ ๐๐
Latihan 2
Tentukan limit berikut.
lim๐ฅ๐ฅโ5
๐ฅ๐ฅ2 โ 25๐ฅ๐ฅ โ 5
Fungsi yang Berbeda di Satu Titik
Teorema D Jika ๐๐ ๐ฅ๐ฅ = ๐๐ ๐ฅ๐ฅ ketika ๐ฅ๐ฅ โ ๐๐, maka lim๐ฅ๐ฅโ๐๐
๐๐ ๐ฅ๐ฅ =lim๐ฅ๐ฅโ๐๐
๐๐ ๐ฅ๐ฅ dengan syarat limit-limitnya ada.
Contoh 2
Tentukan lim๐ฅ๐ฅโ5
๐๐ ๐ฅ๐ฅ dimana
๐๐ ๐ฅ๐ฅ = ๏ฟฝ๐ฅ๐ฅ + 5 jika ๐ฅ๐ฅ โ 5๐๐ jika ๐ฅ๐ฅ = 5
PEMBAHASAN Di sini fungsi ๐๐ terdefinisi di ๐ฅ๐ฅ = 5 dan ๐๐ 5 = ๐๐. Tetapi nilai limit ๐๐ ๐ฅ๐ฅ ketika ๐ฅ๐ฅ mendekati 5 tidak tergantung pada nilai fungsi di 5. Karena ๐๐ ๐ฅ๐ฅ = ๐ฅ๐ฅ + 5 untuk ๐ฅ๐ฅ โ 5, maka
lim๐ฅ๐ฅโ5
๐๐ ๐ฅ๐ฅ = lim๐ฅ๐ฅโ5
๐ฅ๐ฅ + 5 = 5 + 5 = 10
Pembahasan
0 2 4 6 8
5
10
๐ฅ๐ฅ
๐ฆ๐ฆ ๐ฆ๐ฆ = ๐๐ ๐ฅ๐ฅ
0 2 4 6 8
5
10
๐ฅ๐ฅ
๐ฆ๐ฆ ๐ฆ๐ฆ = ๐๐ ๐ฅ๐ฅ
Grafik fungsi f (Latihan 2) dan fungsi g (Contoh 2)
Latihan 3
Tentukan nilai limit-limit berikut.
(a) limโโ0
2+โ 2โ4โ
(b) lim๐ก๐กโ0
๐ก๐ก2+9โ3๐ก๐ก
Teorema Apit
Teorema E Misalkan ๐๐, ๐๐, dan โadalah fungsi-fungsi yang memenuhi ๐๐ ๐ฅ๐ฅ โค ๐๐ ๐ฅ๐ฅ โค โ ๐ฅ๐ฅuntuk semua ๐ฅ๐ฅ yang dekat dengan ๐๐, kecuali mungkin di ๐๐ dan
lim๐ฅ๐ฅโ๐๐
๐๐ ๐ฅ๐ฅ = lim๐ฅ๐ฅโ๐๐
โ ๐ฅ๐ฅ = ๐ฟ๐ฟ
maka lim๐ฅ๐ฅโ๐๐
๐๐ ๐ฅ๐ฅ = ๐ฟ๐ฟa
L
x
y
0
f
g
h
Latihan 4
Tunjukkan bahwa
lim๐ฅ๐ฅโ0
๐ฅ๐ฅ2 sin1๐ฅ๐ฅ
= 0
Ilustrasi
x
y
0
#HaveANiceDay