Ao de la Integracin Nacional y el Reconocimiento de Nuestra Diversidad

DOCENTE:Lara Salcedo, Carlos EmilioALUMNO:Jos Emanuel Balden UrrunagaASIGNATURA:Anlisis Matemtico IHUANCAYO PER2012

Teorema del Valor MedioEs una propiedad de las funciones derivables en un intervalo.

Este teorema lo formul Lagrange. El teorema del valor medio de Lagrange de hecho es una generalizacin del teorema de Rolle que dice que si una funcin es definida y continua [ a , b ], diferenciable en el intervalo abierto ( a , b ) , y toma valores iguales en los extremos del intervalo, en otras palabras, f ( a ) = f ( b ); entonces existe al menos algn punto c en el intervalo ( a , b ) tal que la tangente a la curva en c es horizontal, es decir f '( c)=0.DemostracinEl conocimiento del significado de la derivada de una funcin en un punto, y de la ecuacin punto-pendiente de una recta, permiten deducir que la ecuacin de la recta tangente en un punto de la curva es:

Donde los pares de puntos (a, f (a)) y (b, f (b)) y son una pareja cualquiera de puntos de la curva. Vamos a demostrar que, una vez conocida una pareja de puntos de una curva continua y derivable, existe un punto c contenido en el intervalo (a, b) tal que la pendiente en dicho punto es paralela a la recta que une los puntos (a, f(a)) y (b, f (b)). Definimos una funcin:

Puesto que f es continua en [a, b] y diferenciable en (a, b), lo mismo se puede decir de g. Adems g satisface las condiciones del Teorema de Rolle ya que:

Por el Teorema de Rolle, como g es derivable en (a, b) y g(a)=g(b), existe un c perteneciente (a, b) tal que g '(c) = 0, y por tanto:

Y as

Como queramos demostrar.

Ejemplo:1. Se puede aplicar el teorema de Lagrange a f (x) = 4x2 5x + 1 en [0, 2]?

Aplicando la propiedad:

Entonces:f (x) = 4x2 5x + 1f (2) = 4(2)2 5(2) + 1f (2) = 71

f (x) = 4x2 5x + 1f (0) = 4(0)2 5(0) + 1f (0) = 12

Reemplazando

2. Se puede aplicar el teorema de Lagrange a f (x) = 3x3 + 4x - x2 + 4 en [1, 3]?

Aplicando la propiedad:

Entonces:f (x) = 3x3 + 4x - x2 + 4f (1) = 3(1)3 + 4(1) (1)2 + 4f (1) = 101

f (x) = 3x3 + 4x - x2 + 4f (3) = 3(3)3 + 4(3) (3)2 + 4f (0) = 882

Reemplazando

Teorema de Rolle:Si: f es una funcin continua definida en un intervalo cerrado [a , b] f es derivable sobre el intervalo abierto (a , b) f(a)=f(b)

Entonces: existe al menos un punto c perteneciente al intervalo (a, b) tal que f(c)=0.

1. Estudiar si se verifica el teorema de Rolle en el intervalo [0, 3] de la funcin:

En primer lugar comprobamos que la funcin es continua en x = 1.

En segundo lugar comprobamos si la funcin es derivable en x = 1.

Como las derivadas laterales no coinciden, la funcin no es derivable en el intervalo (0, 3) y por tanto no se cumple el teorema de Rolle.

2. Es aplicable el teorema de Rolle a la funcin f(x) = ln (5 x2) en el intervalo [2, 2]?En primer lugar calculamos el dominio de la funcin.

La funcin es continua en el intervalo [2, 2] y derivable en (2, 2), porque los intervalos estn contenidos en.Adems se cumple que f (2) = f (2), por tanto es aplicable el teorema de Rolle.

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