UNIVERZITET U NOVOM SADU

PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET

DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU

Tamara Maksimović -Tot

TENZORSKA POLJA I DIFERENCIJALNE FORME NA GLATKIM MNOGOSTRUKOSTIMA

-master rad-

Mentor:

Docent dr Sanja Konjik

Novi Sad, 2012.

2

SADRŽAJ

PREDGOVOR....................................................................................................................................... 3

DIFERENCIJABILNE MNOGOSTRUKOSTI.................................................................................... 4

1.1 PODMNOGOSTRUKOSTI U .............................................................................................. 4 1.2 APSTRAKTNE MNOGOSTRUKOSTI..................................................................................... 9 1.3 PARTICIJA JEDINICE............................................................................................................ 12 1.4 DIFERENCIRANJE. TANGENTNI PROSTOR..................................................................... 13 1.5 TANGENTNO RASLOJENJE, VEKTORSKA POLJA........................................................... 18

TENZORSKA POLJA I DIFERENCIJALNE FORME NA GLATKIM MNOGOSTRUKOSTIMA.................................................................................................................. 24

2.1 TENZORI................................................................................................................................... 24 2.1.1 TENZORI U VEKTORSKIM PROSTORIMA.................................................................. 25 2.1.2 KONTRAKCIJA................................................................................................................. 29 2.1.3 TENZORI NA MNOGOSTRUKOSTIMA......................................................................... 32 2.1.4 SIMETRIČNI TENZORI.................................................................................................... 41 2.1.5 RIMANOVA METRIKA.................................................................................................... 44

2.2 DIFERENCIJALNE FORME................................................................................................... 47

2.2.1 SPOLJAŠNJA ALGEBRA.................................................................................................. 47 2.2.2 DIFERENCIJALNE FORME NA MNOGOSTRUKOSTIMA........................................... 54

2.3 INTEGRALNI RAČUN NA MNOGOSTRUKOSTIMA......................................................... 62

2.3.1 STOKSOVA TEOREMA.................................................................................................... 67

LITERATURA.................................................................................................................................... 71

BIOGRAFIJA...................................................................................................................................... 72

3

PREDGOVOR

Predmet izučavanja ovog rada su tenzorska polja i diferencijalne forme na glatkim mnogostrukostima. Ovi pojmovi se prvo uvode i izučavaju na konačno-dimenzionalnim vektorskim prostorima, a zatim se proširuju na mnogostrukosti.

Ovaj rad ima dve glave. Prva glava je uvodna i posvećena je osnovnim pojmovima i tvrđenjima koja su neophodna za izučavanje tenzorskih polja i diferencijalnih formi na mnogostrukostima. Podsetićemo se pojma podmnogostrukosti u , apstraktne mnogostrukosti, glatkog preslikavanja na mnogostrukostima, tangentnog prostora, tangentnog raslojenja i vektorskih polja. Drugi deo rada je posvećen tenzorima i diferencijalnim formama. Definisaćemo tenzore tipa

, a zatim tenzorsko raslojenje, tenzorska polja, kontrakcije, simetrične tenzore, Rimanovu metriku, spoljašnji proizvod, Grasmanovu algebru, pullback i push-forward preslikavanja i ispitivati njihove osobine i međusobne veze. Na samom kraju ćemo dokazati Stoksovu teoremu, koja predstavlja generalizaciju osnovnih teorema kalkulusa (Grinove, Gausove i Stoksove teoreme).

Ovom prilikom se zahvaljujem svom mužu Edvardu, roditeljima Miloju i Zdenki i sestri Danijeli na nesebičnoj podršci ne samo tokom pisanja ovog rada, nego i u životu. Ogromnu zahvalnost dugujem svom mentoru, dr Sanji Konjik na korisnim sugestijama, primedbama i savetima, a pre svega na strpljenju.

Novi Sad, januar 2012. Tamara Maksimović-Tot

4

Glava 1

DIFERENCIJABILNE MNOGOSTRUKOSTI

Jedan od najvažnijih pojmova moderne matematike je pojam diferencijabilne mnogostrukosti. Primeri mnogostrukosti se mogu naći u analizi, teoriji Lijevih grupa, diferencijalnoj geometriji, ODJ i PDJ, kao i u mnogim granama fizike, npr. u klasičnoj mehanici, opštoj relativnosti i Jang-Milsovoj teoriji1. U ovoj glavi, upoznaćemo se sa osnovnim definicijama i teoremama o podmnogostrukostima u , apstraktnim mnogostrukostima, particiji jedinice, tangentnom prostoru, tangentnim raslojenjima i vektorskog polja. Teoreme ćemo dati bez dokaza, za više detalja pogledati [1], [2],[3], [4], [5], [6], i [7], slike su preuzete iz [6].

1.1 PODMNOGOSTRUKOSTI U

Pre same definicije -dimenzionalne podmnogostrukosti uvešćemo pojam regularnog preslikavanja.

1.1.1 Definicija

Neka je skup ⊂ otvoren i : ⟶ glatko preslikavanje ( ili ). Preslikavanje se naziva regularno preslikavanje ako je za sve ∈ rang Jakobiana ( ) maksimalan, tj. jednak

{ , }. Tada za rang ( ) od (takođe se naziva i rang preslikavanja ) imamo:

( ) = dim ( ( )) = dim( ) − dim(ker ( )).

Ako je ≤ , onda je ker ( ) = {0} i ( ) je injektivno za sve . U tom slučaju, se naziva imerzija. Za ≥ , ( ) je sirjektivno za sve i se naziva submerzija.

1.1.2 Definicija

Podskup od se naziva k-dimenzionalna podmnogostrukost od ( ≤ ) ako:

(P) Za svako ∈ postoji otvorena okolina od p u , otvoren podskup od i imerzija : ⟶ takvi da je : ⟶ ( ) homeomorfizam i ( ) = ∩ .

Preslikavanje se naziva lokalna parametrizacija od . (Slika 1.)

Dakle, je regularno preslikavanje koje identifikuje i ( ) = ∩ topološki ( ( ) = ∩ ima indukovanu topologiju od ).

1 Yang-Mills teorija nosi naziv po Chen Ning Yang i Robert Mills

5

Slika 1.

1.1.3 Primer

1. Jedinična kružnica .

Neka je : ⟶ (cos , sin ). Tada za svako ( , ) = (cos , sin ), : ( − , + ) ⟶ je parametrizacija od oko ( , ). Za se može uzeti,

recimo, ∖ {(− ,− )}. Dakle, je 1 −dimenzionalna podmnogostrukost od . Primetimo i da ne postoji jedna parametrizacija za celu kružnicu (ne postoji homeomorfizam otvorenog podskupa od na pošto je kompaktan skup) (Slika 2.).

Slika 2.

2. Jedinična sfera u .

Neka je ( , ) = (cos cos , sin cos , sin ). Tada je

=−sin cos −cos sincos cos − sin sin

0 cos

je parametrizacija od npr. na (0,2 ) × − , . Na ovom domenu je injektivna i

( ) = 2, pošto je cos ≠ 0na − , . Ponovo, potrebno je više od jedne parametrizacije da bi se prekrila sfera (Slika 3.)

6

Slika 3.

3. Mnogostrukost figura osam.

Neka je ≔ {(sin 2 , sin )| ∈ (0,2 )}. Preslikavanje : ⟶ (sin 2 , sin ) je injektivna imerzija. Zaista, ( ) = ( ) = (2 cos2 , cos ) ≠ (0,0) na (0,2 ) (Slika 4.).

Slika 4.

Ipak, nije podmnogostrukost od ‼!

Pretpostavimo da postoji parametrizacija Ψ: (− , ) ⟶ / (0,0) od oko = (0,0) takva da je Ψ: (− , ) ⟶ / (0,0) ∩ homeomorfizam. Tada, kako

(− , ) ∖ {0} ima 2 povezane komponente, a ∩ (0,0) ∖ (0,0) ima četiri, dolazimo do

kontradikcije (Slika 5.).

Slika 5.

Podmnogostrukosti od se mogu opisati na još tri načina, ovo pokazuje sledeće tvrđenje.

7

1.1.4 Teorema

Neka je ⊆ . Sledeća tvrđenja su ekvivalentna:

(P) (Lokalna parametrizacija) je − dimenzionalna podmnogostrukost od .

(Z) (Lokalno nula skup) Za svako ∈ postoje otvorena okolina od u i regularno preslikavanje : ⟶ (tj. ( ) = − ,∀ ∈ ) tako da važi.

∩ = (0) = { ∈ | ( ) = 0}.

(G) (Lokalno grafik) Za svako ∈ postoje (nakon prenumerisanja koordinata ako je potrebno) otvorena okolina ⊆ od ≔ ( ,… , ) i otvorena okolina ⊆ od

≔ ( ,… , ) i postoji ∞ −preslikavanje : ⟶ takvo da je.

∩ ( ∩ ) = {( , ) ∈ × , = ( )} = ℎ( ).

(T) (Lokalna trivijalizacija) Za svako ∈ postoje otvorena okolina od u , otvoren skup u ≅ × i difeomorfizam Ψ: ⟶ tako da važi.

Ψ(M∩W) = ∩ ( × {0}) ⊆ × {0} ≅ .

1.1.5 Primer

1. Kružnica u .

Nula skup lokalno: ≔ ∖ {(0,0)}, : ⟶ , ( , ) = + − , ∩ = (0).

Grafik lokalno: ∩ ( × ) = ℎ( ), : ↦ √ − . Lokalna trivijalizacija: Ψ: ( , ) = ( cos , sin ) ↦ ( , − ). Tada imamo (lokalno)

ψ ≔ Ψ| ∩ = ( , sin ) ↦ ( , 0), je odgovarajuća okolina.

2. Sfera u .

Nula skup lokalno: + + = . Grafik lokalno: ( , ) ↦ − − . Lokalna trivijalizacija: inverzne sferne koordinate sa fiksnim poluprečnikom.

Za podmnogostrukosti ⊆ i ⊆ preslikavanje : ⟶ se naziva glatko (ili ∞) ako za svako ∈ postoje otvorena okolina od u i glatko preslikavanje : ⟶ za koje važi

| ∩ = | ∩ .

Ako je bijekcija, a i glatka preslikavanja, tada se naziva difeomorfizam.

Nije teško proveriti da je kompozicija glatkih preslikavanja glatko preslikavanje.

8

Karte −dimenzionalnih podmnogostrukosti od se definišu na sledeći način: Karta ( , ) od je difeomorfizam : ⟶ , gde je ⊆ otvoren skup i otvoren podskup od . Karte su inverzna preslikavanja lokalnih parametrizacija.

Ako je −dimenzionalna podmnogostrukost od i ( , ) karta, tada za ∈ možemo pisati:

( ) = ( ),… , ( ) = ( ,… , ).

Glatke funkcije = ∘ se nazivaju lokalne koordinatne funkcije, a se nazivaju lokalne koordinate od .

Neka su i podmnogostrukosti, : ⟶ , ∈ , karta od oko i karta od oko ( ).Tada se ∘ ∘ naziva lokalna reprezentacija funkcije . Imamo

∘ ∘ = ( ,… , ) ↦ ( ) ,… , ( ) =: ( ),… , ( ) .

Funkcije se nazivaju koordinatne funkcije od u odnosu na karte i .

Korišćenjem karti, glatkost preslikavanja između podmnogostrukosti može biti karakterisana bez korišćenja Euklidskog prostora u kojem se podmnogostrukost nalazi:

1.1.6 Propozicija

Neka su ⊆ i ⊆ podmnogostrukosti i : ⟶ . Tada su sledeća tvrđenja ekvivalentna:

1. je glatka funkcija. 2. Za svako ∈ postoje karte ( , ) od oko i ( , ) od oko ( ) tako da je domen

( ∩ ( )) lokalne reprezentacije ∘ ∘ otvoren i ∘ ∘ : ( ∩ ( )) ⟶ ( ) je glatko.

3. je neprekidno i za svako ∈ postoji karta ( , ) od oko i postoji karta ( , ) od oko ( ) tako da je lokalna reprezentacija ∘ ∘ : ( ∩ ( )) ⟶ ( ) glatka.

4. je neprekidno i za svako ∈ , i za svaku kartu ( , ) od oko , i za svaku kartu ( , ) od oko ( ), lokalna reprezentacija ∘ ∘ : ( ∩ ( )) ⟶ ( ) je glatka.

9

1.2 APSTRAKTNE MNOGOSTRUKOSTI

Apstraktne mnogostrukosti su, grubo govoreći, objekti koji su lokalno difeomorfni sa , ali čija je globalna struktura različita i kompleksnija od . One uopštavaju pojam podmnogostrukosti od , tj. generalizacija pojma podmnogostrukosti od biće realizovana pomoću karti koje smo uveli u prethodnom poglavlju.

1.2.1 Definicija

Neka je skup. Karta ( , ) od je bijekcija iz ⊆ na otvoren podskup ⊆ ,: ⟶ . Dve karte ( , ), ( , ) su ( ∞−) kompatibilne ako su ( ∩ ) i ( ∩ )

otvoreni u i promena karti ∘ : ( ∩ ) ⟶ ( ∩ ) je ∞ −difeomorfizam (Slika 6.).

Slika 6.

∞ −atlas od je familija = {( , )| ∈ } po parovima kompatibilnih karti takva da je = ⋃ ∈ . Dva atlasa i su ekvivalentna ako je njihova unija ponovo atlas od , tj. ako su sve karte iz ∪ kompatibilne. Apstraktna mnogostrukost je skup zajedno sa klasom ekvivalencije atlasa. Takva struktura se naziva diferencijabilna ili ∞ −struktura na .

1.2.2 Primer

1. Neka je ⊆ otvoren skup, tada je mnogostrukost sa atlasom = {( , )}. Kao posledicu imamo da je svaki prostor glatka mnogostrukost.

2. Neka je = {( , )| + = 1} ⊆ . Definišimo:

= {(cos , sin )|0 < < 2 }

: ⟶ (0,2 ), (cos , sin ) ⟼

= {(cos , sin )|0 < < 2 }

: ⟶ (− , ), (cos , sin ) ⟼ .

Tada su ( , ) i ( , ) karte od i = ∪ . Pokazaćemo da su i kompatibilne. Prvo, ( ∩ ) = (0, ) ∪ ( , 2 ), ( ∩ ) = (− , 0) ∪ (0, ).

10

Dalje imamo

∘ |( , ) = ⟼

∘ |( , ) = ⟼ − 2 .

Sledi da je promena karti ∘ : ( ∩ ) ⟶ ( ∩ ) difeomorfizam. Dakle, = {( , ), ( , )} je atlas od .

3. Neka je = {(sin 2 , sin )| ∈ } figura osam. Neka je

= , : ⟶ (0,2 ), (sin 2 , sin ) = .

Tada je karta, a : = {( , )} atlas koji definiše ∞ −strukturu na .

Sa druge strane, neka je:

= , : ⟶ (− , ), (sin 2 , sin ) = .

Tada je i : = {( , )} atlas (Slika 8.).

Slika 8.

Ipak, i nisu ekvivalentni:

∘ :(0,2 ) ⟶ (− , )

⟼,

− ,− 2 ,

0 < < ( )= ( č )

< < 2 ( )

Dakle, ∘ nije neprekidno preslikavanje (Slika 9.). Iz prethodnog imamo da može biti snabdeveno sa različitim ∞ −strukturama. Sa svakom od tih struktura, je primer

∞ −mnogostrukosti koja nije podmnogostrukost od .

.

11

Slika 9.

Za glatku mnogostrukost sa atlasom , postoji jedinstven maksimalan atlas (to je atlas koji nije sadržan u nekom većem atlasu) na koji sadrži .

U nastavku ćemo pod kartom glatke mnogostrukosti podrazumevati elemenat maksimalnog atlasa od . Sledeći korak je da glatku mnogostrukost snabdemo prirodnom topologijom indukovanom kartama od . Ako je mnogostrukost sa maksimalnim atlasom = {( , )| ∈ }, onda je ≔ { | ∈ }baza topologije koja se naziva prirodna ili

topologija mnogostrukosti .

Topologija mnogostrukosti uvek zadovoljava aksiomu separacije i prvu aksiomu prebrojivosti, ali u opštem slučaju nije i ne važi druga aksioma prebrojivosti. U nastavku ćemo izučavati samo one glatke mnogostrukosti koje jesu Hauzdorfove (tj. zadovoljavaju aksiomu separacije ) i koje zadovoljavaju drugu aksiomu prebrojivosti.

S obzirom na topologiju mnogostrukosti od , svaka karta ( , ) je homeomorfizam otvorenog skupa od na otvoren podskup ( ) od .

1.2.3 Definicija

Neka su i ∞ −mnogostrukosti i : ⟶ preslikavanje. se naziva glatko ako je neprekidno i za svako ∈ postoje karta od oko i karta od oko ( ) takve da je ∘ ∘ glatko. se naziva difeomorfizam ako je bijekcija i ako su i i glatka

preslikavanja.

Lako se pokazuje da definicija ne zavisi od izbora karti i da je kompozicija glatkih preslikavanja glatko.

12

1.3 PARTICIJA JEDINICE

U diferencijalnoj geometriji i analizi na mnogostrukostima često se pojavljuju problemi koji mogu biti rešeni lokalno (u karti). Da bi se dobila globalna tvrđenja, potrebno je spojiti ove lokalne konstrukcije. Za to će od velike koristi biti particija jedinice.

1.3.1 Definicija

Neka je mnogostrukost.

Nosač preslikavanja : ⟶ se definiše ( ) ≔ { ∈ | ( ) ≠ 0}.

Familija podskupova od se naziva lokalno konačna ako svaka tačka ∈ ima okolinu koja seče samo konačno mnogo skupova ∈ .

Neka je otvoren pokrivač od . Particija jedinice koja odgovara pokrivaču je familija { | ∈ } glatkih preslikavanja : ⟶ za koje važi: 1. Familija nosača { | ∈ } je lokalno konačna. 2. ∀ ∈ postoji ∈ tako da ( ) ⊆ . 3. ∀ ∈ ∶ ∑ ( ) = 1.∈

Primetimo da iz 1. sledi da je suma u 3. konačna za svako ∈ .

1.3.2 Teorema

Neka je Hausdorfova mnogostrukost koja zadovoljava drugu aksiomu prebrojivosti. Tada za svaki otvoreni pokrivač od postoji particija jedinice | ∈ koja odgovara pokrivaču takva da je za sve ∈ , kompaktan skup i sadržan u karti.

1.3.3 Posledica

Neka je Hausdorfova mnogostrukost koja zadovoljava drugu aksiomu prebrojivosti i = { ∝| ∈ } otvoren pokrivač od . Tada postoji particija jedinice { | ∈ } sa osobinom ⊆ ∝, ∀ ∈ . ( neće imati kompaktan nosač u opštem slučaju).

13

1.4 DIFERENCIRANJE. TANGENTNI PROSTOR

U prethodnim poglavljima smo definisali glatka preslikavanja između mnogostrukosti, ali nismo definisali izvod glatkog preslikavanja. U , izvod preslikavanja je njegova najbolja linearna aproksimacija, što ima smisla samo u vektroskim prostorima, ali mnogostrukosti nemaju strukturu vektorskog prostora u opštem slučaju. Prema tome, diferenciranje na mnogostrukostima ćemo posmatrati kao proces aproksimacije u dva koraka: prvo, u bilo kojoj tački mnogostrukost se aproksimira vektorskim prostorom (tangentnim prostorom, koji odgovara tangentnoj ravni na površ). Zatim se izvod definiše kao linearno preslikavanje na tim tangentnim prostorima.

Pre svega definišimo regularnu parametrizovanu krivu.

Regularna parametrizovana kriva je neprekidno diferencijabilno preslikavanje : ⟶ , definisano na nekom intervalu ⊆ sa

̇( ) ≡ ( ) ≠ 0, ∀ ∈ .

1.4.1 Teorema

Neka je podmnogostrukost od i ∈ . Tada se sledeći podskupovi od poklapaju:

1. (0), gde je lokalna parametrizacija od i (0) = . 2. { (0)| : ⟶ ∞, ⊆ , (0) = } 3. ( ), gde je, lokalno oko , nula skup regularnog preslikavanja

: ⟶ ( = dim ). 4. ℎ ( ) , gde je lokalno oko , je grafik glatke funkcije i = , ( ) .

1.4.2 Definicija

Neka je mnogostrukost od i ∈ . Linearni potprostor od karakterisan u 1.4.1 naziva se tangentni prostor od u i označava sa dim = = dim . Elementi prostora se nazivaju tangentni vektori od u . Ako je podmnogostrukost od i : ⟶ glatko preslikavanje, tada neka je

: ⟶ ( )

(0) ⟼ ( ∘ ) (0)

se naziva tangentno preslikavanje preslikavanja u tački .

Preslikavanje je dobro definisano: neka su , : ⟶ ,dve krive koje prolaze kroz , tj. (0) = = (0), za koje je (0) = (0). Kako je glatko, sledi da lokalno oko postoji glatka funkcija : ⟶ , ⊆ otvoren, tako da važi | ∩ = | ∩ .

14

Tada je

∘ = ∘ , = 1,2,

pa je

( ∘ ) (0) = ∘ (0) = ( ) ∙ (0) = ( ) ∙ (0) = ⋯ = ( ∘ ) (0).

Šta više, imamo da je (0) = ( ) (0), pa je linearno preslikavanje.

1.4.3 Lema

Neka su , , podmnogostrukosti, : ⟶ , : ⟶ ∞ i neka je ∈ . Tada važi:

( ∘ ) = ( ) ∘ .

Želimo proširiti pojam tangentnog prostora i na apstraktne mnogostrukosti. Primetimo da za apstraktnu mnogostrukost i : ⟶ glatku krivu na , izvod (0) trenutno nema smisla zbog nedostatka Euklidskog prostora koji okružuje . Zato ćemo posmatrati karte:

1.4.4 Definicija

Neka je mnogostrukost, ∈ i ( , ) karta oko . Dve glatke krive , : ⟶ koje prolaze kroz (tj. (0) = = (0)) nazivaju se tangente u s obzirom na kartu ako je

( ∘ ) (0) = ( ∘ ) (0).

Gore navedena definicija je dobra, tj. tangentnost krivih u tački ne zavisi od izbora karte .

Na prostoru krivih koje prolaze kroz definišemo relaciju ekvivalencije: ∼ ako i samo ako je tangentno na u s obzirom na jednu (pa onda i svaku) kartu oko . Za krivu : ⟶ ,(0) = označimo sa [ ] klasu ekvivalencije kojoj pripada s obzirom na relaciju ekvivalencije ∼.

Tada se [ ] naziva tangentni vektor u .

1.4.5 Definicija

Tangentni prostor mnogostrukosti u ∈ je = [ ] | : ⟶ ∞, ⊆ , (0) = .

Primetimo, gore navedena definicija se u slučaju podmnogostrukosti od svodi na 1.4.2, jer je u tom slučaju preslikavanje (0) ⟷ [ ] bijekcija između „starog“ i „novog“ tangentnog prostora. Naime,

[ ] = [ ] ⇒ ( ∘ ) (0) = ( ∘ ) (0),

to je u stvari jednako

( ) (0) = ( ) (0) ⇒ (0) = (0),

pa je preslikavanje (0) ⟶ [ ] injekcija. Očigledno je i sirjekcija.

15

1.4.6 Definicija

Neka su i mnogostrukosti i : ⟶ glatka funkcija. Preslikavanje

: ⟶ ( )

[ ] ⟼ [ ∘ ] ( )

se naziva tangentno preslikavanje funkcije u tački .

U slučaju kada su i podmnogostrukosti od i , je upravo preslikavanje iz 1.4.2 u smislu gornje identifikacije (0) ⟶ [ ] .

1.4.7 Propozicija

Neka su , i mnogostrukosti, : ⟶ i : ⟶ glatke funkcije i ∈ . Tada je

( ∘ ) = ( ) ∘ .

Šta više, kako je ( ) = , za difeomorfizam : ⟶ je bijekcija i

( ) = ( ) .

U nastavku ćemo snabdeti strukturom vektorskog prostora. Kako bismo to uradili prvo ćemo detaljnije analizirati lokalnu situaciju:

1.4.8 Lema

Neka je ⊆ otvoren skup i ∈ . Tada je preslikavanje : ⟶ dato sa [ ] ⟼ (0) bijekcija, pa se može identifikovati sa . U terminima ove identifikacije, za glatko preslikavanje : ⟶ , ⊆ , imamo = ( ).

Neka je mnogostrukost, ∈ i ( , ) karta oko . Struktura vektorskog prostora je indukovana na bijekcijom : ⟶ ( ) ( ) ≅ . Na ovaj način smo snabdeli unutrašnjom strukturom (nezavisnom od karti) vektorskog prostora. Šta više ako je : ⟶ glatko, onda je : ⟶ ( ) linearno s obzirom na odgovarajuće strukture vektorskog prostora na i ( ) .

Proizvoljna karta od generiše bazu prostora : neka je ( , ) karta od oko i neka je ( ) = ( ( ),… , ( )) ( se nazivaju koordinatne funkcije od ). Označimo sa , 1 ≤ ≤ , −ti jedinični vektor u . Neka je ( ) = 0. Tada definišemo

| ∶= ( ) ∈ .

Preciznije, u smislu 1.4.9 imamo

| ∶= ([ ↦ ] ) = [ ↦ ( )] .

16

Dakle, | se dobija kao rezultat prenošenja tangentnog vektora koordinatne linije ↦ na

mnogostrukost pomoću karte . Kako je linearni izomorfizam sledi da | , … , | formira bazu prostora .

Ako je recimo, mnogostrukost od i lokalna parametrizacija oko ( sa (0) = ), tada je = karta oko , pa imamo

| = ( ) = ∘ ( ) (0) = (0) .

Odatle je | −ta kolona Jakobiana od i (0) = . Oznaka | sugeriše i drugu interpretaciju tangentnih vektora, kao izvoda u pravcu. Zapravo, svaki tangentni vektor može da se posmatra kao izvod u pravcu u sledećem smislu: neka je = [ ] ∈ . Neka ∈ ∞( , ) (ili ∞( ) kraće, prostor glatkih funkcija iz u ). Definišemo:

: ∞( , ) ⟶ , ≔ ( ) ∈ .

Koristeći identifikaciju iz 1.4.9 imamo

( ) = ( ) = [ ] = [ ∘ ] ( ) = ( ∘ ) (0),(1.4.1)

što odgovara diferenciranju u pravcu .

Konkretno, za = | imamo (pisaćemo umesto )

| ( ) = ∘ ( ↦ ) (0) = ( ∘ ) ( ) ,(1.4.2)

pa | odgovara parcijalnom diferenciranju u karti .

1.4.9 Definicija

Preslikavanje ∂: ∞( ) ⟶ se naziva izvod u ∈ ako je ∂ linearno i zadovoljava Lajbnicovo pravilo:

1. ( + ) = ∂ + ∂g 2. ( ∙ ) = ∂ ∙ ( ) + ( ) ∙ , za sve , ∈ ∞( ) i sve ∈ .

Vektorski prostor svih izvoda u se označava sa ( ∞( ), ).

1.4.10 Teorema

Preslikavanje

: ⟶ ( ∞( ), )

↦

je linearni izomorfizam.

17

Zahvaljujući ovom rezultatu možemo da identifikujemo i ( ∞( ), ).

1.4.11 Napomena

U literaturi se često sreće i obrnut prilaz tangentnim vektorima, tj. tangentni vektori se uvode kao izvodi u tački glatkih preslikavanja na mnogostrukostima (videti [10]). Preciznije, kako izvod funkcije zavisi samo od lokalnih osobina funkcije, tj. osobina u proizvoljno maloj okolini tačke u kojoj se izvod traži, uvodi se pojam klice funkcije na sledeći način: neka je ∈ . Za funkcije i , koje su definisane na otvorenom skupu koji sadrži , kažemo da imaju istu klicu u ako se poklapaju u nekoj okolini od . Ovo predstavlja relaciju ekvivalencije na skupu glatkih funkcija definisanih u okolini tačke : za dve funkcije kažemo da su ekvivalentne ako i samo ako imaju iste klice. Klasa ekvivalencije se naziva klica, a skup klica u se označava . Ako je glatka funkcija u okolini tačke , onda će označavati i klicu u kojoj pripada. Operacije sabiranja, množenja skalarom i množenja funkcija indukuje na strukturu algebre nad . Klica ima dobro definisanu vrednost u koja se označava sa ( ). Neka je ⊂ skup klica koje imaju vrednost nula u .

Tangentni vektor u tački ∈ je linearan izvod algebre . Za sve , ∈ i ∈ važi:

1. ( + ) = ( ) + ( ) 2. ( ∙ ) = ( ) ( ) + ( ) ( ).

Sa smo označili skup svih tangentnih vektora na u , taj skup se naziva tangentni prostor na u . Ako se definiše ( + )( ) i ( )( ) sa:

( + )( ) = ( ) + ( )

( )( ) = ( ) ,

gde su , ∈ i ∈ , tada su + i ponovo tangentni vektori u . Otuda je realan vektorski prostor.

1.4.12 Propozicija

Neka su , ∞ −mnogostrukosti, ∈ ∞( , ), ∈ , = ( ,… , ) je karta od oko , = ( ,… , ) je karta od oko ( ). Tada je matrična reprezentacija linearnog

preslikavanja : ⟶ ( ) s obzirom na baze = | ,… , | i

( ) = | ( ), … , | ( ) baš Jakobian lokalne reprezentacije : = ∘ ∘ funkcije

. Odatle

| = ( ∘ ∘ ) ( ) | ( ) = .

18

1.4.13 Posledica

Neka je mnogostrukost, ∈ , = ( , … , ) i = ( ,… , ) karte oko . Tada je

| = ( ∘ ) ( ) | ( ) = .

1.5 TANGENTNO RASLOJENJE. VEKTORSKA POLJA

Vektorsko polje na mnogostrukosti predstavlja preslikavanje koje svakoj tački ∈ pridružuje tangentni vektor iz .Međutim, pošto pojedinačni tangentni prostori još uvek nisu povezani u mnogostrukost, onda nam nedostaje pojam glatkosti takvih preslikavanja. Zbog ovoga uvodimo pojam tangentnog raslojenja koje predstavlja specijalan slučaj vektorskog raslojenja.

1.5.1 Definicija

Neka je glatka mnogostrukost. Tangentno raslojenje (ili tangentni prostor) od definisan je kao disjunktna unija vektorskih prostora ( ∈ ):

≔ ≔ { } × .∈ ∈

Preslikavanje : ⟶ , ( , ) ⟶ se naziva kanonička projekcija. Ako je : ⟶ glatka funkcija, onda je tangentno preslikavanje funkcije definisano sa

( , ) = ( ), ( ) .

Za glatke funkcije : ⟶ i : ⟶ važi ( ∘ ) = ∘ . Šta više, ( ) = , pa za difeomorfizam : ⟶ imamo ( ) = ( ).

Ako je glatka mnogostrukost sa atlasom = {( , )| ∈ }, tada je = ∝, | ∝ | ∈

∞ −atlas za . Topologija mnogostrukosti od je Hausdorfova i zadovoljava drugu aksiomu prebrojivosti, odatle sledi da je glatka mnogostrukost dimenzije 2 .

1.5.2 Napomena 1. Ako je : ⟶ glatko, tada je i : ⟶ glatko, jer za karte ( , ) od i

( , ) od imamo ∘ ∘ ( , ) = ( ∘ ∘ )( , )

= ( ∘ ∘ ( ), ( ∘ ∘ )( ) ∙ ), što je glatko na svom otvorenom domenu ∩ ( ) × = ∩ ( ) .

19

2. : ⟶ je glatko. To sledi iz činjenice da je lokalna projekcija: Neka je ( , ) karta od , tada ∘ ∘ ( , ) = ∘ ( ), ( ) = ( ) = = ( , ).

Detaljnijm ispitivanjem može se pokazati da ima bogatiju strukturu od „čiste“ mnogostrukosti: slike karti ∝( ∝) = ∝( ∝) × su proizvodi otvorenih podskupova od sa vektorskim prostorima. Promena karti očuvava ovu strukturu, pa su one oblika ( , ) ↦ ( ( ), ( ) ∙ ), gde je ( ) linearna funkcija za svako . Odatle sledi da je prvi primer vektorskog raslojenja u smislu sledeće definicije.

1.5.3 Definicija 1. Lokalna vektorska raslojenja (LVR): Neka su i (konačno dimenzioninalni, realni)

vektorski prostori i ⊆ otvoren. Tada se × naziva lokalno vektorsko raslojenje sa bazom . se identifikuje sa × {0}. Za ∈ , { } × se naziva vlakno nad . Vlakno je snabdeveno strukturom vektorskog prostora od . Preslikavanje

: × ⟶ ,( , ) ↦ se naziva projekcija od × . Tada je vlakno nad baš ( ). Preslikavanje : × ⟶ × između lokalnih vektorskih raslojenja se naziva homomorfizam lokalnih vektorskih raslojenja (resp. izomorfizam LVR) ako je glatko (resp. difeomorfizam) i ima oblik

( , ) = ( ( ), ( ) ∙ ), gde je ( ) linearno (resp. linearni izomorfizam) iz u (resp. na) za svako ∈ (Slika 10).

Slika 10.

2. Vektorska raslojenja: Neka je skup. Karta vektorskog raslojenja (u nastavku ćemo koristiti skaćenicu VR-karta) od je par ( , ), gde je ⊆ i : ⟶ × je bijekcija na LVR × ( i zavise od ). Atlas VR je familija = {( , )| ∈ } LVR-karti takvih da prekrivaju i da su svake dve VR-karte ( , ) i , iz sa

∩ ≠ ∅ kompatibilne u smislu da je ∘ : ( ∩ ) ⟶ ( ∩ )

LVR-izomorfizam i da su ( ∩ ) i ( ∩ ) LVR (Slika 11.). Dva VR-atlasa i su ekvivalentna ako je ∪ ponovo VR-atlas.

VR-struktura je klasa ekvivalencije VR-atlasa. Vektorsko raslojenje (VR) je skup zajedno sa VR-strukturom. Kako je svaki VR-atlas istovremeno ∞-atlas, je automatski i

∞-mnogostrukost. Ponovo ćemo zahtevati da je topologija mnogostrukosti od Hausdorfova i da zadovoljava drugu aksiomu prebrojivosti.

20

Slika 11.

1.5.4 Napomena 1. U svakom vektorskom raslojenju postoji izdvojen podskup , koji se naziva baza od ,

definisan sa:

: = { ∈ |∃ − ( , ), = ( , 0), ∈ }.

Može se pokazati da skup ima strukturu mnogostrukosti.

Postoji dobro definisana projekcija : ⟶ : neka ∈ , je VR-karta oko i ( ) = ( , ),( : ⟶ × ). Tada neka je ( ) ≔ ( , 0). Može se

pokazati da je glatko preslikavanje. Za ∈ , ( ) se naziva vlakno nad . Ono ima strukturu vektorskog prostora indukovanu VR-kartama.

Za otvoren skup ⊆ , neka je

| ≔ { } × ,∈

gde je ≔ ( ) vlakno nad b.

2. Vektorska raslojenja mogu da se opišu i na drugi način, koji se često koristi kao definicija: Vektorsko raslojenje je trojka ( , , ) koja se sastoji iz dve ∞-mnogostrukosti i , a : ⟶ je glatka sirjekcija takva da za svako ∈ važi: Vlakno ( ) ≔ je vektorski prostor. Postoji otvorena okolina od u i difeomorfizam : ≔ ( ) ⟶ × , koji

je linearan u vlaknima (tj. | ( ) je linearno, ∀ ∈ ) i takav da sledeći dijagram komutira. U našem slučaju je ≔ (( | ) × ) ∘ ).

( ) ⃗ ×

⃗

⃗

⃗

21

Iz prethodno rečenog proizilazi da je tangentno raslojenje ( , , ) vektorsko raslojenje sa bazom .

Sada ćemo definisati vektorsko polje na mnogostrukostima. Naime, tražimo preslikavanja koja glatko pridružuju svakom ∈ elemenat = ( ) iz .

1.5.5 Definicija

Neka je ( , , ) vektorsko raslojenje. Preslikavanje : ⟶ se naziva sečenje od (preciznije od : ⟶ ), ako je ∘ = . Skup svih glatkih sečenja od se označavaju sa Г( , ) ili (Г( )).

Dakle, vektorsko polje je sečenje od = , ∀ ∈ . Ako je ( , ),

= ( ,… , ) karta od , tada za svako ∈ vektori | formiraju bazu od .Kako

∈ , sledi da za svako postoje jedinstveno definisani ( ) ∈ takvi da je

= ( ) | ,

što se naziva lokalnom reprezentacijom na .

1.5.6 Propozicija

Neka je vektorsko polje na mnogostrukosti . Tada su sledeći uslovi ekvivalentni:

1. : ⟶ je glatko, tj. ∈ Г( ). 2. Za svako ∈ ∞( ),preslikavanje ↦ ( ): ⟶ je glatko. 3. Za svaku kartu ( , ) od , = ( , … , ), u lokalnoj reprezentaciji imamo:

( ) = ( ) | ,

gde ∈ ∞( , ), za sve = 1,2,… , .

Prostor glatkih vektorskih polja na se označava sa ( ).

1.5.7 Primer

Vektorska polja na .

Neka je ⊆ otvoren. Znamo: vektorsko polje je ∞ funkcija : ⟶ ,

( ) = ( ),… , ( ) = ( ) .

S druge strane, je mnogostrukost sa jednom kartom = i odgovarajućim atlasom = {( , )}. Iz 1.4.9 sledi da je = ( ) = , pa je | = ( ) = .

22

Kao izvod, | deluje na sledeći način:

| ( ) = ( ∘ ) ( ) = ( ) = ( ).

Odatle sledi = ∑ ( ) , resp. = ∑ ( ) |

odgovara vektorskom polju posmatranom kao vektor, resp. kao diferencijalni operator (izvod u pravcu ( ),… , ( ) ).

U slučaju podmnogostrukosti od može se pokazati da je

( ) = : ⟶ | ∞ ∈ ∀ ∈ .

U 1.4.11 smo identifikovali sa prostorom izvoda ( ∞( ), ) u tački . Dakle, za proizvoljno ∈ ( ) i ∈ , je izvod u . Preslikavanje ∞( ) ∋ ↦ ( ), gde je ( ) ≔ ↦ ( , ), je linearno i zadovoljava:

( ∙ ) = ( ) ∙ + ∙ ( ).

Naime, za ∈ imamo

( ∙ ) ( ) = ( ∙ ) = ( ) ∙ ( ) + ( ) ∙ ( )

= ∙ ( ) + ∙ ( ) ( ).

Kao posledicu imamo da je izvod u sledećem smislu:

R-linearno preslikavanje : ∞( ) ⟶ ∞( ) se naziva izvod algebre ∞( ) ako zadovoljava

( ∙ ) = ∙ ( ) + ∙ ( ).

Prostor svih izvoda na ∞( ) se označava sa ∞( ) .

Izvodi na ∞( ) su upravo glatka vektorska polja na , tj. ∞( ) = ( ). Preciznije, svako glatko vektorsko polje je izvod na ∞( ) i obrnuto, svaki izvod na ∞( ) je dat kao dejstvo glatkog vektorskog polja.

1.5.8 Definicija

Neka , ∈ ( ). Lijeve zagrade vektorskih polja i je definisana kao

[ , ]( ) ≔ ( ) − ( ), ∈ ∞( ) .

Sledi da je [ , ]: ∞( ) ⟶ ∞( ) linearno i zadovoljava Lajbnicovo pravilo, pa je [ , ] ∈ ( ).

23

1.5.9 Propozicija (Osobine Lijeve zagrade)

Neka , , ∈ ( ), , ∈ ∞( ). Tada:

1. ( , ) ↦ [ , ] je −bilinearno. 2. [ , ] = −[ , ] (tj. [, ] je antisimetrično). 3. , [ , ] + , [ , ] + , [ , ] = 0 (Jakobijev identitet). 4. [ , ] = ∙ [ , ] + ( ) − ( ) . 5. [, ] je lokalna: Ako je otvoren skup u , tada je [ , ]| = [ | , | ]. 6. Lokalna reprezentacija: Ako je ( , ) karta, = ( , … , ),

| = ∑ , | = ∑ , tada je

[ , ]| = ∑ ∑ − .

24

Glava 2

TENZORSKA POLJA I DIFERENCIJALNE FORME NA GLATKIM MNOGOSTRUKOSTIMA

Ova glava je posvećena tenzorima, spoljašnjem izvodu, diferencijanim formama, integralnom računu na mnogostrukostima i Stoksovoj teoremi. Ove pojmove ćemo prvo uvesti i izučavati na konačno-dimenzionalnom vektorskom prostoru, a zatim ćemo proširiti na mnogostrukosti. Prvo ćemo definisati tenzore tipa , a zatim tenzorsko raslojenje, tenzorska polja, kontrakcije, simetrične tenzore, Rimanovu metriku, pullback i push-forward preslikavanja i ispitivati njihove osobine i međusobne veze. Na kraju definišemo integralni račun na mnogostrukostima i dokazujemo Stoksovu teoremu. Za više detalja o pomenutim pojmovima pogledati [1], [4], [5] i [6].

2.1 TENZORI

Većina koncepata u teoriji glatkih mnogostrukosti je uvedena kako bi se omogućila primena linearne algebre na mnogostrukosti. Na primer, tangentni vektor se može posmatrati kao linearna aproksimacija krive, tangentni prostor na mnogostrukosti se može posmatrati kao linearna aproksimacija mnogostrukosti, push-forward glatkog preslikavanja kao linearna aproksimacija samog preslikavanja. Račun nam govori kako da aproksimiramo glatke objekte linearnim, a teorija apstraktnih mnogostrukosti omogućava interpretaciju ovih linearnih aproksimacija na koordinatno-invarijantan način. U ovom poglavlju, proširujemo ovu ideju uopštavanjem linearnih objekata na multilinearne. To dovodi do pojma tenzora i tenzorskih polja na mnogostrukostima. Na početku se definišu tenzori i tenzorski proizvod na realnim konačno-dimenzionalnim vektorskim prostorima, a zatim i tenzorska polja i tenzorsko raslojenje. Uvešćemo kontrakciju kao važnu operaciju na tenzorima, posebnu klasu tenzora simetrične tenzore, čija se vrednost ne menja prilikom permutacije argumenata i Rimanovu metriku.

25

2.1.1 TENZORI U VEKTORSKIM PROSTORIMA

Da bi se odredila površina neke zakrivljene površi, ili opštije, zapremina neke mnogostrukosti, potrebno je prvo aproksimirati tu površ sa njenim tangentnim prostorom, odrediti površinu tih aproksimativnih prostora, pa sumirati (ili integraliti) dobijene rezultate. Prema tome, prvo trebamo naći način na koji ćemo paralelopipedima u vektorskim prostorima pridružiti zapremine. Preslikavanje koje pridružuje zapreminu paralelopipedu sa ivicama , , , treba da zadovoljava:

1. ( , , , … ) = ( , , , … ) = ⋯ = ∙ ( , , , … ) 2. ( + , , , … ) = ( , , , … ) + ( , , , … ) analogno važi za i , … 3. ( , , , … ) = ( , , , … ) = ⋯ = 0.

Kako je 0 = ( + , + , , … ) = ( , , , … ) + ( , , , … ), onda sledi da je 3. ekvivalentno sa činjenicom da je antisimetrično. Iz 1. i 2. zaključujemo da treba posmatrati multilinearna preslikavanja na vektorskim prostorima (za nas najinteresantnija su ). Antisimetričnost iz 3. ćemo koristiti u sledećem poglavlju.

Podsetimo se osnovnih činjenica iz linearne algebre. Konačno dimenzionalne prostore, u nastavku, ćemo označavati sa , … , , , . Prostor multilinearnih preslikavanja iz × …× u označavamo sa ( , … , ; ). Specijalan slučaj je ( = 1) ( , ) = ∗, dual prostora tj. vektorski prostor linearnih funkcionela na . Ako je = { ,… , } baza od , tada funkcionele definisane sa

∝ ( ) = = 1, =0, ≠ , , = 1,2,… ,

formiraju bazu od ∗,dualnu bazu od . Za svako ∈ imamo reprezentaciju

= ∝ ( ) ,

i za svako ∝∈ ∗

∝= ∝ ( ) ∝ .

Bidualni prostor ∗∗ = ( ∗)∗ je kanonički izomorfan sa preslikavanje

: ⟶ ∗∗

( ) =∝↦∝ ( ),(∝∈ ∗)

je linearan izomorfizam.

26

2.1.1.1 Definicija

Neka je vektorski prostor. Tada se

( ) ≔ ( ∗, … , ∗ , , … , ; )

naziva prostor −puta kontra- i −puta kovarijantnih tenzora, ili kraće −tenzora. Elementi iz ( ) se nazivaju tenzori tipa .

Za ∈ ( ), ∈ ( ) tenzorski proizvod ⊗ ∈ ( ) je definisan sa

⊗ ,… , , , … , , , … , , , … ,

≔ ,… , , , … , ∙ , … , , , … , ,

gde je , ∈ ∗ , , ∈ .

Jasno je da je ⊗ asocijativno i bilinearno.

2.1.1.2 Primeri 1. Po definiciji je, ( ) = ( , ) = ∗ i ( ) = ( ∗ , ) = ∗∗ = . Elementi od

(vektori) su −tenzori, a elementi iz ∗ (kovektori) su −tenzori. 2. Neka je vektorski prostor sa skalarnim proizvodom ( , ) = 〈 , 〉. Tada je bilinearno

preslikavanje : × ⟶ , tj. je −tenzor. 2.1.1.3 Propozicija

Neka je dim( ) = . Tada je dim ( ) = . Ako je { , … , } baza od , a {∝ ,… , ∝ } baza dualnog prostora ∗, tada je

≔ ⊗…⊗ ⊗ ⊗…⊗ |1 ≤ , ≤

baza od ( ).

Dokaz:

Vektori u su linearno nezavisni, posmatrajmo

,…,,…,

,…,,…,

⊗ …⊗ ⊗ ⊗…⊗ = 0.

Primenjujući ovaj tenzor na vektore (∝ , … ,∝ , , … , ) i koristeći da je ∝ = ∝ = ,

dobijamo da su svi ,…,,…, = 0. generiše ( ): svako ∈ ( ) može se zapisati kao

= (∝ ,… , ∝ , , … , ),…,,…,

⊗…⊗ ⊗ ⊗…⊗ .

27

Da bismo ovo proverili dovoljno će biti da pokažemo da obe strane ove jednakosti definišu isto multilinearno preslikavanje. Neka je = ∑ ∝ ,… , = ∑ ∝ ∈ ∗ i = ∑ ,… ,

= ∑ ∈ .Tada je

( , … , , , … , ) = …,…,,…,

… ∝ , … ,∝ , ,… , =

(∝ , … , ∝ , , … , ),…,,…,

⊗…⊗ ⊗ ⊗…⊗ ( ,… , ).

Za svako linearno preslikavanje : ⟶ postoji adjungovano preslikavanje ∗ ∈ ( ∗, ∗), za ∈ ∗, ∈ stavimo ∗( )( ) ≔ ( ) . Ako je matrica preslikavanja s obzirom na baze od ,resp. , tada je matrica od ∗ s obzirom na odgovarajuće dualne baze od ∗, resp. ∗ .

Opštije, želimo da svakom linearnom preslikavanju ∈ ( , ) pridružimo linearno preslikavanje ∈ ( ), ( ) . Ako je linearni izomorfizam, takvo preslikavanje se dobija kombinovanjem i ∗.

2.1.1.4 Definicija

Neka je ∈ ( , ) bijekcija. Tada je ( ) = ∈ ( , ) definisano sa

( )( , … , , , … , ) ≔ ∗( ),… , ∗( ), ( ),… , ( ) ,

za ∈ ( ), , … , ∈ ∗, , … , ∈ .

2.1.1.5 Primer : = ( ) ⟶ ( ) = , ( )( ) = ∗( ) = ( )( ),

pa se može identifikovati sa .

: ∗ = ( ) ⟶ ( ) = ∗, (∝)( ) =∝ ( ) = ( )∗(∝)( ),

pa se može identifikovati sa ( )∗.

Dakle, ( ) = je istovremeno produženje od i ( )∗ na uopštene tenzorske prostore.

2.1.1.6 Propozicija

Neka su : ⟶ , : ⟶ linearni izomorfizmi. Tada:

1. ( ∘ ) = ∘ 2. ( ) = ( ) 3. : ⟶ je linearni izomorfizam i ( ) = ( ) . 4. Ako ∈ ( ), ∈ ( ), tada je ( ⊗ ) = ( )⊗ ( ).

28

Dokaz:

1. Primetimo prvo da je za ∈ ∗, ∈ imamo ( ∗ ∘ ∗)( )( ) = ∗ ∗( ) ( ) = ∗( ) ( ) = ( ) = ( ∘ )∗( )( ).

Neka , … , ∈ ∗, , … , ∈ i ∈ ( ). Tada je ( ( ) ( ,… , , , … , ) = ( ) ∗ , … , ∗ , ( ),… , ( ) =

= ∗( ∗ )( ∘ )∗

, … , ∗( ∗ ), ( )( ∘ ) ( )

, … , ( )

= ( ∘ ) ( ) ( , … , , , … , ). 2. Kako je = i ∗ = ∗ tvrđenje sledi iz definicije. 3. Sledi iz 1. i 2. 4. ( ⊗ ) ,… , , , … ,

= ( ⊗ )( ∗ , … , ∗ , ( ),… , ( )) = ( ∗ , … , ∗ , ( ), … , ( ))

∙ ( ∗ , … , ∗ , , … , ( )) = ( ) ⊗ ( ) , … , , , … , .

Radi pojednostavljenja notacije koristićemo Ajštajnovu konvergenciju o sumiranju: ako se sumiranje vrši po indeksima koji se pojavljuju i kao gornji i kao donji, oznaka za sumu će se izostavljati. Tako će se npr. umesto

,…,,…,

,…,,…,

⊗ …⊗ ⊗ ⊗…⊗

pisati samo ,…,,…, ⊗…⊗ ⊗ ⊗…⊗ .

29

2.1.2 KONTRAKCIJA

U multilinearnoj algebri, postoji važna operacija koja se definiše na tenzorima i koja se naziva kontrakcija. Kao rezultat kontrakcije nastaje tenzor čiji je rang smanjen za 2, na primer −tenzor se smanji primenom kontrakcije na −tenzor.

Pre svega definišimo unutrašnji proizvod. Unutrašnji proizvod vektora ∈ (resp. ∈ ∗) sa tenzorom ∈ ( ; ) je (resp., ) tenzor definisan sa

( )( ,… , , , … , ) = ( ,… , , , , … , )

( ,… , , , … , ) = ( , , … , , , … , ).

Jasno, : ( ; ) ⟶ ( ; ) i : ( ; ) ⟶ ( ; ) su linearno neprekidna preslikavanja, kao što su i ↦ i ↦ . Ako je = i dim( ) = ,onda ove operacije u komponentama uzimaju sledeći oblik. Neka je { , … , } baza prostora , a {∝ , … ,∝ } odgovarajuća dualna baza prostora ∗. Tada imamo da važi

⊗…⊗ ⊗∝ ⊗…⊗∝ = ⊗…⊗ ⊗∝ ⊗…⊗∝ ,

∝ ⊗…⊗ ⊗∝ ⊗…⊗∝ = ⊗…⊗ ⊗∝ ⊗…⊗∝ .

Sa 2.1.1.3 ove formule i linearnost omogućavaju računanje svakog unutrašnjeg proizvoda.

2.1.2.1 Definicija

Neka je dim( ) = .Kontrakcija -tog kontravarijantnog sa -tim kovarijantnim indeksom, ili kraće ( , ) −kontrakcija, je familija linearnih preslikavanja : ( ; ) ⟶ ( ; ) definisana za bilo koji par prirodnih brojeva , ≥ 1 sa:

( ,…,… ⊗ …⊗ ⊗∝ ⊗…⊗∝ )

= ,…, …… … ⊗…⊗ ̂ ⊗ …⊗ ⊗∝ ⊗…⊗∝ ⊗…⊗∝ ,

gde je { ,… , } baza od , a {∝ ,… , ∝ } dualna baza od ∗, a simbol ^ nad vektorom ili kovektorom znači da je on izostavljen.

Jednostavno se proverava da ne zavisi od izbora baze.

Kroneker delta je tenzor ∈ ( ) definisan sa ( , ) = 〈 , 〉. Ako je konačno dimenzionalan, onda odgovara identitetu ∈ ( , ) pri izomorfizmu ( ) ≅ ( , ). U odnosu na proizvoljnu bazu, komponente od su uobičajeni Kronekerovi simboli tj. = ⊗ .

Pretpostavimo da je konačno dimenzionalan realan prostor sa skalarnim proizvodom i bazom { , … , } i odgovarajućom dualnom bazom {∝ , … ,∝ } u ∗. Koristeći unutrašnji proizvod, sa matricom gde je = 〈〈 , 〉〉, dobijamo izomorfizam

30

: ⟶ ∗ dat sa ↦ 〈〈 ,∙〉〉, i njegov inverz : ∗ ⟶ .

Matrica od je , tj. ( ) = ,

a matrica od je , tj. (∝) = ∝ ,

gde su i ∝ redom komponente od i ∝. se naziva operator spuštanja indeksa, a se naziva operator podizanja indeksa.

Ovi operatori se mogu primeniti na tenzore, kako bismo proizveli nove. Na primer, ako je tenzor tipa , onda možemo definisati asocirani tenzor tipa sa

( , ∝) = ,∝ .

Komponente su

( ) = . (zbir je po ).

Uobičajeno je da se piše umesto .

2.1.2.2 Primer

Neka je konačno dimenzionalan realan prostor sa bazom { , … , } i odgovarajućom dualnom bazom {∝ ,… , ∝ }.

1. Ako je ∈ ( ), tada je (2,1) −kontrakcija data sa ⊗ ⊗∝ ⊗∝ ⊗∝ = ⊗∝ ⊗∝ .

2. Važan primer kontrakcije je trag od −tenzora. Naime, ako je ∈ ( ), tada je

( ) = ( ) =

gde je = ⊗∝ .

3. Komponente asociranog tenzora sa podizanjem drugog indeksa su = = . 4. Neka

∈ ( ), = ⊗ ⊗ ⊗∝ ⊗∝ . Tada ima veliki broj asociranih tenzora, što zavisi od toga koji indeks je spušten ili podignut. Na primer: = , = , = ,

= ,

i tako dalje.

31

5. Pozicioniranje indeksa u komponentama povezanog tenzora je veoma važno. Na primer, ako ∈ ( ), ranije smo videli da je = . Međutim, = , što je generalno drugačije

od kada nije simetričan tenzor. Na primer; ako je = sa = i devet komponenti od u standardnoj bazi su = 1, = −1, = 0, za sve parove , , onda = , = ,

tako da = = 1, dok = = −1. 6. Trag od −tenzora se definiše da bude trag asociranog −tenzora, tj. ako je = ⊗ ,

onda je ( ) = = .

Nameće se prirodno pitanje da li bi se dobio isti rezultat kada bi se smanjivao prvi a ne drugi indeks. Iz simetričnosti od imamo = = ,pa je zato definicija traga nezavisna od izbora indeksa koji će biti smanjen. Slično, ako

∈ ( ), ( ) = = = . Posebno, ( ) = = = dim( ).

32

2.1.3 TENZORI NA MNOGOSTRUKOSTIMA

Sve konstrukcije koje smo uveli do sada proširićemo na tangentne vektore, tj. na elemente vektorskih raslojenja. Prvo posmatramo slučaj lokalnih vektorskih raslojenja.

2.1.3.1 Definicija

Neka je : × ⟶ × , ( , ) = ( ( ), ( ) ∙ ) lokalni VR-izomorfizam. Definišemo preslikavanje : × ⟶ × sa

( , ) = ( ), ( ) ( ) , ∈ .

Primetimo da je ( ) izomorfizam za svako , pa je ( ) dobro definisano.

2.1.3.2 Lema

Preslikavanje definisano u 2.1.3.1 : × ⟶ × je lokalni VR-izomorfizam.

Dokaz:

Iz 2.1.1.6 (3.) imamo da je svako ( ) linearni izomorfizam, pa je bijekcija. Treba još pokazati da je ( , ) ↦ ( , ) glatko (odakle će takođe slediti da je ( ) = ( ) glatko). Znamo da je glatko.

Posmatrajmo . Primetimo da je na prostoru linearnih funkcija ( , ) (tj. prostoru matrica), preslikavanje ↦ ∗(= ↦ ) linearno, pa je onda i glatko. Šta više, prostor invertibilnih matrica ( , ) je otvoren u ( , ) (jer je ( , ) = { ∈ ( , )| det( ) ≠ 0}) i preslikavanje ↦ (što odgovara ↦ ) je glatko na ( , ) na osnovu formule za inverznu matricu. Dakle, funkcije ↦ ( )∗ i ↦ ( ) su glatke. Takođe su i funkcije , : ( , … , , , … , ) ↦ resp.↦ linearne, pa otuda i glatke. Uzimajući sve ovo u obzir

dobijamo da je

( , ) ↦ ( ) ( ) = ( , ) ↦ ( , ( )∗, … , ( )∗, ( ) , … , ( ) )

↦ ∘ ( ( )∗ ∘ , … , ( )∗ ∘ , ( ) ∘ , … , ( ) ∘ )

glatko (jer je poslednje preslikavanje multilinearno, a samim tim i glatko).

Svakom VR možemo pridružiti odgovarajuće tenzorsko raslojenje, čija su vlakna baš ( ) .

33

2.1.3.3 Definicija

Neka je ( , , )VR sa vlaknima = ( ). Definišemo

( ) ≔ ( ) = { } × ( )∈∈

−tenzorsko raslojenje (TR) na . Neka : ( ) ⟶ , ( ) = ,za ∈ ( ), označava kanoničku projekciju. Ako je ⊆ definišemo

( )| ≔ ( )∈

.

Pokazaćemo da ( ) ima strukturu VR sa bazom . Koristeći sledeću definiciju definisaćemo VR-karte za ( ) od VR-karti od .

2.1.3.4 Definicija

Neka su , VR i : ⟶ . se naziva VR-homeomorfizam, ako za svako ∈ postoji VR-karta ( , ) oko i VR-karta ( , ) oko ( ) tako da ( ) ⊆ i , = ∘ ∘ je lokalni VR- homomorfizam (pogledaj 1.5.3 (1.)). Ako je difeomorfizam i | : ⟶ ( ) linearni izomorfizam za svako ∈ , tada se naziva VR-izomorfizam. U tom slučaju definišemo

: ⟶

| ( ): = ( | ) ,∀ ∈ .

Može se pokazati da je glatka funkcija : ⟶ VR-homomorfizam ako i samo ako je linearno u vlaknima, tj. ako i samo ako je | : ⟶ ( ) linearno ∀ ∈ .

2.1.3.5 Primer 1. Neka su i mnogostrukosti i : ⟶ glatko. Tada je : ⟶

VR-homomorfizam, jer iz 1.5.2. (1.) imamo ∘ ∘ ( , ) = ( ∘ ∘ )( , )

= ( ∘ ∘ ( ), ( ∘ ∘ )( ) ∙ ). Ako je difeomorfizam tada je VR-izomorfizam.

2. Neka je VR i ( , ) VR-karta. Tada je : ⟶ × VR-izomorfizam. Dakle, ako je = imamo da je = VR-izomorfizam, gde je proizvoljna karta od .

2.1.3.6 Teorema

Neka je ( , , ) VR sa VR-atlasom = {( , )| ∈ }. Tada je ( ( ), , ) VR sa VR-atlasom = ( ) , ( ( )| ∝∩ )| ∈ . ( ( ), , ) se naziva tenzorsko raslojenje tipa

nad .

34

Dokaz:

Jasno je da ( )| ∝∩ pokrivaju . Neka su ∝ i VR-karte iz za koje je

∝ ≔ ∩ ≠ ∅. Kako je

| ∝ ∩ ≅ { } × ,∈ ∝ ∩

sledi da je ∝ oblika ∝( , ) = ∝ ( ), ∝ ( ) ∙ ,za ∈ , ∈ i ∝ ( ) je linearno za svako .

Sada se ( ) može definisati kao

( , ) ↦ ∝ ( ), ∝ ( ) ( ) ∈ ( ) .

Tada imamo

∘ ( , ) = ∝ ( ):

, ∝ ( ) ∙

= ( ∝ ( ) , ( ) ∝ ( ) )

=: ∝ ( ), ∝ ( ) ∙ .

Iz 2.1.1.6 (1.) i 2.1.3.1 sledi

( ) ∘ (( ) ) ( , ) = ( ∝ ( ), ( ∝ ( ) ) )( ))

= ( ∝ ( ) , ( ) ∝ ( ) ( ))

= ( ∝ ( ), ( ∝ ( )) ( ) = ( ∘ ∝ ) ( , ),

što je na osnovu 2.1.3.2 lokalni VR-izomorfizam. Odatle je ( ) . Kao i za , imamo da je ( )Hauzdorfova mnogostrukost i da zadovoljava aksiomu prebrojivosti.

Za dalje ispitivanje bitan nam je specijalan slučaj ove konstrukcije tj. = .

2.1.3.7 Definicija

Neka je mnogostrukost i : ⟶ tangentno raslojenje. Tada se ( ):= ( ) naziva vektorsko raslojenje r-puta kontravarijantnih i s-puta kovarijantnih tenzora na (resp. tenzori tipa ). Identifikujemo ( ) sa ∗ ( ∗ ≔ ( )) i ( ) se naziva kotangentno raslojenje od i označava se sa ∗ : ∗ ⟶ .

35

Iz 2.1.1.5 imamo ( ) = : ( ) = ∀ ∈ i = . Za svaku kartu od je ( ) = . Ako je = {( , )| ∈ } atlas od , tada je

= (( ) , ( )| )| ∈

VR-atlas od .

2.1.3.8 Definicija

Glatka sečenja od (tj. glatke funkcije : ⟶ , ∘ = ) se nazivaju −tenzori (resp. −tenzorska polja) na . Prostor Г(M, ) glatkih −tenzorskih polja se

označava sa ( ). Imamo ( ) = ( ). Slično, umesto ( ) pisaćemo Ω ( ). Elementi od Ω ( ) se nazivaju diferencijalne forme reda 1 (ili 1 −forme, kovektorska polja).

Ako ∈ ( ) i ∈ ( ), tada je : ↦ ( ) ( ) ∈ ( ) tenzorsko polje na . To znači da je ( ) sa operacijama +, ∙ ( ) −modul.

Kao i u slučaju ( ) = 01( ) hoćemo da nađemo lokalnu reprezentaciju tenzorskih polja u kartama. Posmatrajmo još jedan specijalan slučaj Ω ( ) = ( ) = Г(M, ),

= ( )∗∈

= { } × ( )∗.∈

VR-karte od = ∗ su oblika ( ) : | ⟶ ( ) × ( ) = ( ) × ( )∗ gde je ( , ) proizvoljna karta od . Kao i u slučaju = hoćemo da koristimo VR-karte da bismo

definisali bazu od ( )∗.Podsetimo se da je na taj način dobijena i baza | |1 ≤ ≤ od

, gde su | = ( ), tj. = ↦ ( ) ( ( ), ).

U slučaju označimo sa |1 ≤ ≤ dualnu bazu od { |1 ≤ ≤ } u ( )∗. Za bilo koje ∈ familija

| ≔ ( ),∝ ,(1 ≤ ≤ )

definiše bazu od ( )∗. Imamo

| ≔ [( ) ] ( ), ∝ =

= , ∝ =⏞. . . .

( ,∗

(∝ ))

= ,∗∝ .(2.1.3.1. )

Kako | ∈ ( )∗ i | ∈ , možemo primeniti | na | :

36

| | =∗∝ ( ( ))

=∝ ( ( ( )))

=∝ ( ) = ,

pa je | , 1 ≤ ≤ baš dualna baza za | , 1 ≤ ≤ u ( )∗.

Drugi način posmatranja proizilazi iz sledeće definicije:

2.1.3.9 Definicija

Neka je ∈ ( ). Tada se

: ⟶ ∗ , ↦

naziva spoljašnji izvod funkcije .

2.1.3.10 Napomena 1. ∈ ( ). To sledi iz činjenice da za proizvoljno ∈ je ∈ , = ( )∗, i

da je glatko, jer za proizvoljnu kartu oko ( ( ) = ) imamo

( ) ∘ ∘ ( ) = ,∗∘ = , ∘

= , ( ∘ ) = , ( ∘ )( ) .

( ) ⃗ ( ) × ( )∗

⃖

⃖

× ( ∘ )

⊇ ⃗ ( )

2. Ako ∈ ( ) i ∈ ( ), tada za svako ∈ , ∈ i | ∈ ∗, pa je ( ) ≔ ↦ | : ⟶ dobro definisano i važi:

| = | = ( )| . Dakle, ( ) = ( ).Takođe je ( ) ∈ ( ).

3. Neka je ( , ) karta, = ( , … , ). Tada je ( ) u smislu 2.1.3.9 baš gore definisano . Zaista, iz (2.) imamo da je

= =

tj. | |1 ≤ ≤ je baš dualna baza od | |1 ≤ ≤ ,za svako ∈ .

37

Ako je ( , ) karta od , = ( ,… , ), tada je za svako ∈ | |1 ≤ ≤ baza

od , a | |1 ≤ ≤ je odgovarajuća dualna baza od ∗. Otuda je na osnovu 2.1.1.3 za proizvoljno ∈

| ⊗ …⊗ ⊗ | ⊗…⊗ | |1 ≤ , ≤

baza od ( ) .

Prema tome, ako je sečenje od tada postoje jedinstveno određene funkcije ,…,,…, na takve

da je

| = ,…,,…, ⊗…⊗ ⊗ ⊗…⊗ (2.1.3.2)

(pogledaj specijalan slučaj vektorskih polja u 1.5.5 : | = ). Kao i kod vektorskih polja i ovde postoji karakterizacija glatkosti tenzorskih polja u lokalnim koordinatama:

2.1.3.11 Definicija

Ako je : ⟶ difeomorfizam i ∈ ( ), tada se ∗( ) = ( ) ∘ ∘ naziva push-forward (guranje napred) od t sa . Ako je ∈ ( ), onda se ∗ = ( )∗ naziva pull-back (povlačenje unazad).

2.1.3.12 Propozicija

Neka je sečenje od ( ).Tada su sledeći uslovi ekvivalentni:

1. je glatko, tj. ∈ ( ). 2. U svakoj lokalnoj reprezentaciji (2.1.3.2.) svi koeficijenti ,…,

,…, su glatke funkcije.

Dokaz:

Neka je ( , ) karta od . Tada je ( ) VR-karta od . Po definiciji je glatko ako i samo ako je push-forward

∗( ) ≔ ( ) ∘ ∘ : ( ) ⟶ ( ) × ( )

glatka funkcija za svaku kartu .

Za svako ∈ ( ) imamo (stavljajući da je ≔ ( )):

( ) ∘ ∘ ( ) =⏞( . . . .)

( ) ,…,,…, ( ) | ⊗ …⊗ |

= , ,…,,…, ( ) | ⊗ …⊗ |

38

=⏞. . . .( .)

⎝

⎜⎛

, ,…,,…, ( ) | ⊗ …⊗

∗

( | )

⎠

⎟⎞

= , ,…,,…, ( ) ⊗ …⊗ ⊗∝ ⊗…⊗∝

∈( )

.

Ovo preslikavanje je glatko ako i samo ako su sve funkcije ,…,,…, ∘ glatke, tj. ako i samo ako su

funkcije ,…,,…, glatke na .

Ako je ∈ ( ) i ∝ ,… , ∝ ∈ Ω ( ), , … , ∈ ( ), tada je

↦ ( )(∝ ( ),… ,∝ ( ), ( ),… , ( ))

dobro definisano preslikavanje ⟶ , koje ćemo označiti sa (∝ , … , ∝ , ,… , ).

Za ∈ (M) imamo

( ∝ , ∝ ,… ) = (∝ , ∝ ,… ) = ⋯ = (∝ ,… , ) = (∝ ,… , ).

To znači da je preslikavanje

(∝ , … , ∝ , ,… , ) ↦ (∝ , … , ) ( ) −multilinearno.

2.1.3.13 Propozicija

Neka je sečenje od . Tada su eledeći uslovi ekvivalentni:

1. je glatko (tj. ∈ ( )). 2. ∀∝ ,… , ∝ ∈ Ω ( ), ∀ , … , ∈ ( ), preslikavanje

(∝ ,… , ∝ , , … , ) ∈ ( ).

Dokaz:

Neka je ( , ) karta od , = ( , … , ).

(1. ) ⇒ (2. ) Neka su

= (1 ≤ ≤ ), = (1 ≤ ≤ )

lokalne reprezentacije s obzirom na kartu . Iz 2.1.3.12 sledi da su svi koeficijenti , ∝ , ,…,,…,

glatke funkcije na , pa je glatko i

(∝ , … , ) = ∝ … ∝ … ( , … , , , … , )

=⏞( . . . .)

∝ … ∝ … ,…,,…, .

39

(2. ) ⇒ (1. ) Iz 2.1.3.12 sledi da trebamo pokazati da je ,…,,…, glatko na za sve , … , , , … , .

Iz 1.5.6 sledi da možemo produžiti , … , u elemente od Ω ( ), resp. ( ). Tada je

,…,,…, = ( ,… , )

glatko na osnovu (2. ).

Prethodna razmatranja dovode do sledeće algebarske karakterizacije glatkih tenzorskih polja. Neka je

( )(Ω ( ) × …× Ω ( ) × ( ) × …× ( ) , ( ))

prostor ( ) − multilinearnih preslikavanja iz Ω ( ) × …× Ω ( ) × ( ) × …× ( ) u ( ). Tada važi sledeće tvrđenje:

2.1.3.14 Teorema

Preslikavanje

: ( ) ⟶ ( ) Ω ( ) × …× Ω ( ) × ( ) × …× ( ), ( )

↦ [(∝ ,… , ∝ , ,… , ) ↦ (∝ , … , )]

je ( ) −linearni izomorfizam.

Dokaz:

Iz 2.1.3.13 imamo da je za sve ∈ ( ), ( ) ∈ ( ) Ω ( ) × …× Ω ( ) × ( ) ×…× , ∞ , jasno je ∞ −linearno.

je injekcija: Neka je ( ) = 0, tada za svako ∈ i sve ∝ ,… , , ( ) ∝ ( ),… , ( ) = 0. Svi elementi od , resp. ( )∗ mogu se napisati na ovaj način (tj. oblika su ( ),resp. ∝ ( ) za određena glatka polja , ∝ : to važi jer se svaki dat konstantan (ko-)vektor može produžiti u glatko polje korišćenjem particije jedinice). Prema tome je ( ) = 0, ∀ ,tj. = 0.

je sirjekcija: Neka ∈ ( ) Ω ( ) × …× ( ), ( ) . Treba pokazati da postoji ∈ ( ) takvo da je ( ) = . Pokažimo prvo da (∝ ,… , )| zavisi samo od

∝ ( ),… , ( ). Dovoljno je proveriti da li je ∝ ( ) = 0, jer će iz toga slediti da je (∝ , … , )| = 0(analognovažiza ∝ ,… , ). Pokažimo ovo u dva koraka:

1. Ako je otvorena okolina od i ∝ | = 0, tada je (∝ , … , )| = 0 (tj. zavisi samo od lokalnog ponašanja ∝ ). Izaberimo okolinu od takvu da je ⊆ , tada postoji particija jedinice ( , ) koja odgovara pokrivaču { , ∖ }. Tada je ∝ = ∙ ∝ , pa je

(∝ ,… , )| = ∝ , ∝ , … , | = ( ) (∝ ,∝ , … , )| = 0.

40

2. Neka je ∝ ( ) = 0, neka je karta oko i neka je ∝ | =∝ . Iz 1. imamo (∝ ,∝ , … , )| = ∝ ,∝ ,… , | =∝ ( ) , ∝ ,… , | = 0.

Prema tome, za svako ∈ možemo definisati ( ) ∈ ( ) na sledeći način: ( ) ∝ ( ),… , ( ) ≔ (∝ ,∝ , … , )| ,

pa je sečenje od . Iz konstrukcije imamo da je za sve ∝ ∈ Ω ( ) i sve ∈ ( ) (∝ , … , ) = (∝ ,∝ , … , ) ∈ ( ),

pa ∈ ( ) na osnovu 2.1.3.13. Očigledno je ( ) = , dakle jeste sirjekcija.

Sve uobičajene operacije u multilinearnim algebrama se mogu preneti po vlaknima na tenzorska polja. Susreli smo se do sada sa:

∈ ( ), ∈ ( ) ⇒ ∙ ≔ ↦ ( ) ∙ ( ) ∈ ( ). ∈ ( ),∝ , … ,∝ ∈ Ω ( ), , … , ∈ ( ) ⇒ (∝ , … , ) ∈ ( ).

Šta više, za ∈ ( ), ∈ ( ) tenzorski proizvod ⊗ ∈ ( ) je definisan kao

⊗ : ↦ ( )⊗ ( ),

to je glatko preslikavanje, što sledi iz 2.1.3.12 ili iz 2.1.3.13.

41

2.1.4 SIMETRIČNI TENZORI

Simetrični tenzori su oni tenzori čija se vrednost ne menja prilikom preuređenja njegovih argumenata. Oni imaju veoma važnu ulogu u diferencijalnoj geometriji. Bavićemo se samo kovarijantnim simetričnim tenzorima, na sličan način se opisuju i kontavarijantni.

Kao i do sada uvešćemo prvo simetrične tenzore na vektorskim prostorima. Neka je konačno-dimenzionalan vektorski prostor. Za kovarijantni −tenzor na (tj. tenzor tipa ) kažemo da je simetričan ako njegova vrednost ostaje nepromenjena prilikom promene bilo kog para argumenata:

, … , , … , , … , = , … , , … , ,… , ,

za 1 ≤ , ≤ .

2.1.4.1 Propozicija

Za proizvoljan kovarijantni −tenzor na sledeći uslovi su ekvivalentni:

1. je simetrično. 2. Za bilo koje vektore , … , ∈ , vrednost ( , … , ) je nepromenjena kada se redosled

, … , izmeni. 3. Komponente ,…, od , u odnosu na proizvoljnu bazu prostora , su nepromenjene za bilo koju

permutaciju indeksa.

Dokaz sledi iz definicije.

Označimo skup simetričnih kovarijantnih −tenzora na sa Σ ( ), on je očigledno vektorski potprostor od ( ). Postoji prirodna projekcija : ( ) ⟶ Σ ( ) koja se naziva simetrizacija, koja je definisana na sledeći način. Prvo, neka označava grupu permutacija skupa {1, . . , }. Za dati kovarijantni −tenzor i permutaciju ∈ , definisaćemo novi kovarijantni −tenzor sa

( ,… , ) = ( ), … , ( ) .

Sada ćemo definisati sa

=1!

∈

.

2.1.4.2 Lema (Osobine simetrizacije)

a) Za svaki kovarijantni tenzor , je simetričan. b) je simetričan ako i samo ako je = .

42

Dokaz:

Pretpostavimo da ∈ ( ).Ako je ∈ bilo koja permutacija, onda

( ) ( ), … , ( ) =1!

∈

( ( ), … , ( ))

=1!

∈

( , … , )

=1!

( ,… , )∈

= ( )( , … , ),

gde je = , pri čemu prolazi kroz sve elemente iz , kao što to čini i . Ovim smo pokazali da je simetrično.

Ako je simetrično, onda iz 2.1.3.1. sledi da je = za sve ∈ , a iz toga imamo da je = . S druge strane, ako je = , onda je simetrično na osnovu a).

Ako su i simetrični tenzori na , onda ⊗ nije simetrično u opštem slučaju. Međutim korišćenjem operatora simetrizacije, moguće je definisati novi proizvod koji će biti simetričan. Neka ∈ Σ ( ) i ∈ Σ ( ). Definisaćemo njihov simetričan proizvod koji će biti ( + ) −tenzor

(nećemo koristiti oznaku za proizvod), sa

= ( ⊗ ).

Eksplicitno, delovanje na vektore , … , je dato sa

( , … , ) =1

( + )! ( ), … , ( ) ( ), … , ( ) .∈

2.1.4.3 Propozicija (osobine simetričnog proizvoda)

a) Simetričan proizvod je simetričan i bilinearan za sve simetrične tenzore , , i sve , ∈ , tj.

= , ( + ) = + = ( + ).

b) Ako su i kovektori, onda važi

=12( ⊗ + ⊗ ).

43

Dokaz:

Neka , ∈ ∑ ( ), ∈ ∑ ( ) i neka su , … , proizvoljni vektori.

a) Pokažimo: = . ( , … , ) = ( ⨂ )( ,… , ) = 1

( + )!( ⨂ ) ( ,… , ) =

∈

1( + )!

( ⨂ ) ( ), … , ( ) =∈

1( + )! ( ), … , ( ) ∙ ( ), … , ( ) =

∈

1( + )! ( ), … , ( ) ∙ ( ), … , ( ) =

∈

1( + )!

( ⨂ ) ( ), … , ( ), ( ), … , ( ) =∈

1( + )!

( ⨂ ) ( ,… , ) =∈

( ⨂ )( , … , ) = ( , … , ) Kako su vektori , … , proizvoljni sledi = . Jednakost ( + ) = ( + ) sledi iz = . Pokažimo: ( + ) = + . ( + ) ( ,… , ) = ( + )⨂ ( ,… , ) =

1( + )!

(( + )⨂ ) ( ,… , ) =∈

1( + )!

(( + )⨂ ) ( ), … , ( ) =∈

1( + )! ( + ) ( ), … , ( ) ∙ ( ), … , ( ) =

∈

1( + )! ( ), … , ( ) ∙ ( ), … , ( ) + ( ), … , ( )

∈

∙ ( ), … , ( ) = 1

( + )!( ⨂ ) ( ), … , ( ) + ( ⊗ ) ( ), … , ( ) =

∈

1( + )!

( ⨂ ) ( ), … , ( ) +∈

1( + )! ( ⨂ ) ( ), … , ( ) =

∈

1( + )!

( ⨂ ) ( , … , ) +∈

1( + )! ( ⨂ )

( , … , ) =∈

44

( ⨂ )( ,… , ) + ( ⊗ )( , … , ) = ( , … , ) + ( , … , ) = ( + )( , … , )

Kako su vektori , … , proizvoljni sledi ( + ) = + .

b) Neka su , kovektori tj. −tenzori.

Pokažimo: = ( ⨂ + ⊗ ).

( , ) = ( ⨂ )( , ) =12!

( ⨂ ) ( , )∈

=

12( ⨂ )( , ) + ( ⨂ )( , ) =

12( ⨂ )( , ) + ( ⨂ )( , ) =

12 ( ⨂ + ⨂ )

( , )

Kako su vektori , … , proizvoljni sledi = ( ⨂ + ⊗ ).

Simetrično tenzorsko polje na mnogostrukosti je kovarijantno tenzorsko polje čija je vrednost u svakoj tački simetričan tenzor. Simetrični proizvod dva ili više tenzorskih polja je definisan tačkasto, baš kao i tenzorski proizvod.

2.1.5 RIMANOVA METRIKA

Jedan od najvažnijih primera simetričnih tenzora na vektorskom prostoru su unutrašnji proizvodi (pogledaj 2.1.2). Unutrašnji proizvod omogućava da definišemo dužinu vektora i uglove između njih.

Prenošenjem ove ideje na mnogostrukosti, dobićemo jednu od najvažnijih primena tenzora u diferencijalnoj geometriji. Neka je glatka mnogostrukost. Rimanova metrika na je glatko simetrično 2 −tenzorsko polje koje je pozitivno definitno u svakoj tački. Rimanova mnogostrukost je par ( , ), gde je glatka mnogostrukost, a Rimanova metrika na .

Ako je Rimanova metrika na , onda za svaku tačku ∈ , je unutrašnji proizvod na . Iz tog razloga često se koristi notacija 〈 , 〉 da bi se označio realan broj ( , ), za , ∈ .

U proizvoljnoj karti = ( ,… , ), Rimanova metrika može da se zapiše lokalno kao

= ⊗ ,

gde je simetrična pozitivno definitna matrica 2 glatkih funkcija.

2 Simetrična matrica je pozitivno definitna ako i samo ako je

> 0, > 0, > 0, , … , > 0.

45

Primetimo, simetrija od nam omogućava da zapišemo u obliku simetričnog proizvoda:

= ⊗

= ( ⊗ + ⊗ ) (pošto je = )

=12 ( ⊗ + ⊗ )

= .

2.1.5.1 Primer

Najjednostavniji primer Rimanove metrike je Euklidska metrika ̅ na , definisana standardnim koordinatama

̅ = .

Uobičajena je upotreba skraćenice za simetrični proizvod tenzora sa samim sobom, pa se zato Euklidska metrika često zapisuje

̅ = ( ) + ⋯+ ( ) .

Primenjujući na vektore , ∈ , dobija se

̅ ( , ) = = = ∙ .

Evo nekoliko geometrijskih konstrukcija koje se mogu definisati na Rimanovoj mnogostrukosti ( , ):

Dužina ili norma tangentnog vektora ∈ se definiše: | | = 〈 , 〉 / = 〈 , 〉 / .

Ugao između dva nenula tangentna vektora , ∈ je jedinstven ugao ∈ [0, ] koji zadovoljava

cos =〈 , 〉| | | | .

Za dva vektora , ∈ kažemo da su ortogonalna ako je 〈 , 〉 = 0. Ako je : [ , ] ⟶ po delovima glatka kriva, dužina je:

( ) = | ( )| .

Pošto je | ( )| neprekidna osim u najviše konačno mnogo vrednosti , onda je integral dobro definisan.

Pretpostavimo da su ( , ) i , Rimanove mnogostrukosti. Glatko preslikavanje : ⟶ se naziva izometrija, ako je to difeomorfizam koji zadovoljava ∗ = . Ako postoji

izometrija između i ,onda kažemo da su i izometrijske kao Rimanove mnogostrukosti. se

46

naziva lokalna izometrija ako u svakoj tački ∈ postoji okolina takva da je | izometrija iz u otvoren podskup od .

Još jedna veoma korisna alatka na Rimanovoj mnogostrukosti je ortogonalni okvir. Neka je ( , ) -dimenzionalna Rimanova mnogostrukost. Lokalni okvir ( , … , ) za definisan na nekom otvorenom podskupu ⊂ se naziva ortonormiran ako je ( | , … , | ) ortonormirana baza za u svakoj tački ∈ ili drugim rečima ako je 〈 , 〉 = .

Na primer: koordinatni okvir ( ) je globalni ortonormirani okvir na .

2.1.5.2 Propozicija (egzistencija ortonormiranog okvira)

Neka je ( , ) Rimanova mnogostrukost. Za svako ∈ postoji glatki ortonormiran okvir u okolini od . (Dokaz pogledati u [5]).

2.1.5.3 Propozicija (egzistencija Rimanove metrike)

Na svakoj glatkoj mnogostrukosti može se definisati Rimanova metrika.

Dokaz:

Mnogostrukost se može pokriti koordinatnim kartama ( ∝, ). U svakom koordinatnom domenu, postoji Rimanova metrika ∝data sa Euklidskom metrikom u koordinatama. Neka je { } particija jedinice koja odgovara pokrivaču { ∝} i definiše

= ∝∝

.

Zbog lokalne konačnosti uslova za particiju jedinice, postoji samo konačno nenula sabiraka u okolini proizvoljne tačke, odatle sledi da je gore navedeni izraz glatko tenzorsko polje. Očigledno je i simetrično, pa nam ostaje samo da pokažemo pozitivnu definitnost. Ako je ∈ nenula vektor, onda važi

( , ) = ( )∝

∝| ( , ).

Ova suma je nenegativna, jer je svaki sabirak nenegativan. Najmanje jedna od funkcija je strogo pozitivna u (jer je zbir 1). Pošto je ∝| ( , ) > 0 sledi da je ( , ) > 0.

47

2.2 DIFERENCIJALNE FORME

U ovom poglavlju proučavamo alternirajuće multilinearne forme, prvo u vektorskim prostorima, a potom i na vektorskim raslojenjima.

2.2.1 SPOLJAŠNJA ALGEBRA

2.2.1.1 Definicija

Neka je konačno dimenzionalan vektorski prostor, multilinearno preslikavanje ∈ ∗( , ) se naziva alternirajuće ako važi:

, … , , … , , … , = − ,… , ,… , , … , ,1 ≤ < ≤ .

Označimo sa ∗ ≔ ( , ) prostor svih multilinearnih alternirajućih funkcija iz = × …× u .

Neka je ≔ { : {1, … , } ⟶ {1,… , }| } grupa permutacija reda . Tada za ∈ i ∈ ∗ važi

( ), … , ( ) = ( ) ( , … , ),

Za , ∈ , ( ∘ ) = ( ) ∙ ( ). Pošto je grupa sledi da je za svako ∈ preslikavanje

↦ ∘ : ⟶

bijekcija.

Primetimo, iz definiciji imamo da je ∗ = . Šta više,

∗ ≔ ( , ) = ( , ) = ∗.

∗ je potprostor od ( ), prostor svih multilinearnih preslikavanja × …× ⟶ .

2.2.1.2 Definicija

Preslikavanje

: ( ) ⟶ ( ),

( )( , … , ) ≔1!

( ) ( ( ), … , ( ))∈

se naziva alternator.

48

2.2.1.3 Lema

je linearna projekcija ( ) na ∗ , tj.

1. je linearno, ( ) ⊆ ∗ . 2. | ∗ = ∗ . 3. ∘ = . 4. ( ) = ∗.

Dokaz:

1. Jasno je da je linearno. Neka ∈ ( ), ∈ . Tada

( ) ( ), … , ( ) =1!

( ) ( ( ), … , ( ))∈

=1!

( ) ( ∘ ) ( ( ), … , ( ))∈

= ( ) ( )( , … , ).

2. Ako ∈ ∗, tada je

( )( ,… , ) =1!

( ) ( ( ), … , ( ))∈

= ( , … , ).

3 i 4. slede iz 1. i 2.

2.2.1.4 Definicija

Neka su ∝∈ ( ), ∈ ( ). Spoljašnji proizvod ∝ i se definiše kao:

∝∧ ≔( + )!

! ! (∝⊗ ).

Za ∝∈ ( ) = ∗ = stavimo ∝∧ = ∧∝=∝∙ .

2.2.1.5 Primer

Neka ∝, ∈ ∗ = ( ) = ∗. Tada je

(∝∧ )( , ) =2!1! 1!

1!2!

( )(∝⊗ )( ( ), ( ))∈

= (∝⊗ )( , ) − (∝⊗ )( , ) =

= (∝⊗ − ⊗∝)( , ).

49

2.2.1.6 Propozicija

Neka ∝∈ ( ), ∈ ( ) i ∈ ( ). Tada:

1. ∝∧ = (∝) ∧ =∝∧ ( ). 2. ∧ je bilinearno. 3. ∝∧ = (−1) ∙ ∧∝. 4. ∧ je asocijativno:∝∧ ( ∧ ) = (∝∧ ) ∧ .

Dokaz:

1. Za ∈ i ∝∈ ( ) neka je ( )( , … , ) ≔ ( ), … , ( ) . Tada je

( )( , … , ) =1!

( )∈

∝ ( ( ), … , ( ))

= ( )1!

( ) ( ( ), … , ( ))∈

= ( ) ( )( ,… , ).

Odatle je

( ) = ( ) ∙ ( ).(2.2.1.1. )

Koristeći jednakost (2.2.1.1. ) dobijamo

( (∝) ⊗ )( , … , ) = ( (∝)( ,… , ) ( , … , ))

= (1!

( ) ( ( ), … , ( )) ( ,… , )∈

)

= (1!

( )∈

(( ) ⊗ )( , … , ))

=1!

( )∈

(( ) ⊗ )( ,… , )) = (∗).

Definišemo ∈ sa

(1,… , + ) ≔ ( (1),… , ( ), + 1,… , + ).

Tada je ( ) = ( ) i ( )⊗ = (∝⊗ ),pa je

(∗) =1!

( )∈

( ( ⊗ ))( , … , )

=⏞. . . .

( ⊗ )( ,… , ).

50

Dakle, ( (∝) ⊗ ) = ( ⊗ ), i (∝) ∧ = ∧ . Druga jednakost u 2. sledi na isti način.

2. je jasno, jer je ⊗ bilinearno, a je linearno. 3. Neka je ∈ dato sa (1,… , + ) ≔ ( + 1,… , + , 1, … , ). Tada je

( ) = (−1) ∙ i ⊗ ( ,… , ) = ⊗∝ ( ), … , ( ) . Iz (2.2.1.1.) sledi

∧ =( + )!

! ! ( ⊗ ) =

( + )!! !

( ⊗∝) = (−1) ∙ ∧ .

4.

∧ ( ∧ ) =( + )!! ! ∝∧ ( ⊗ )=⏞

. ( + )!! ! ∝∧

( ⊗ )

=( + )!! !

( + + )!! ( + )! ( ⊗

( ⊗ ))( ⊗ )⊗

=( + + )!

! ! !( + )! !( + + )! ( ⊗ ) ∧

=⏞. ( + )!

! !( ⊗ )

∧

∧

= ( ∧ ) ∧ . 2.2.1.7 Definicija

∗ =⊗ ∗ sa operacijama +, ∙ i ∧ se naziva spoljašnja algebra (ili Grasmanova algebra) od .

Kao što ćemo ubrzo pokazati, ∗ = {0} za > , pa je

∗ =⊗ ∗.

Da bismo ovo pokazali potreban je pomoćni rezultat:

2.2.1.8 Lema

Neka ∝ ,… , ∝ ∈ ∗ = ∗ i , … , ∈ . Tada je

(∝ ∧ …∧∝ )( , … , ) = ( ) ∝∈

( ) ∙ … ∙∝ ( ) .

Dokaz:

Koristićemo matematičku indukciju da bismo dokazali da je

∝ ∧ …∧∝ = ! ∙ (∝ ⊗…⊗∝ ).

Za = 1 tvrđenje je tačno, pretpostavimo da važi i za − 1. Pokažimo da važi za

∝ ∧ …∧∝ =⏞. . . ( .)

∝ ∧ (∝ ∧ …∧∝ )

=⏞ ( − 1)! ∝ ∧ (∝ ⊗…⊗∝ )

51

=⏞. . . ( .)

( − 1)! ∝ ∧ (∝ ⊗…⊗∝ )

= ( − 1)!( )!( )! !

(∝ ⊗…⊗∝ )

= ! (∝ ⊗…⊗∝ ).

2.2.1.9 Propozicija

Neka je = dim( ). Tada je dim( ∗) = ,za 0 ≤ ≤ . Za > , ∗ = {0}. Prema tome je dim( ∗) = ∑ = 2 . Ako je { ,… , } baza od i {∝ , … ,∝ } odgovarajuća dualna baza, tada je

≔ ∧…∧ |1 ≤ < ⋯ < ≤

baza od ∗ .

Dokaz:

generiše ∗: neka ∈ ∗ ⊆ ( ). Iz 2.1.3 sledi da je oblika

= ,… , ⊗ …⊗ .

Iz 2.2.1.3 (2.) i 2.2.1.8 sledi

= ( ) = , … , ⊗ …⊗ =1! ,… , ∧ …∧ .

Pošto je antisimetrično, onda se svi članovi sume analiraju ako se pojave dva ista indeksa. Odavde sledi da je = 0 za > , pa je ∗ = {0} za ∀ > . Ako su svi indeksi različiti, tada za svako ∈ imamo

, … , ∧ …∧ = ( ) ( ) , … , ( ) ( ) ∧ …∧ ( ) .

Postoji ! takvih članova, pa dobijamo:

= ( , … , )⋯

∧ …∧ .

Ostalo je da pokažemo da je linearno nezavisan: neka je

…⋯

∧ …∧ = 0.

Treba da pokažemo da su svi … = 0. Neka je 1 ≤ < ⋯ < ≤ fiksirana −torka indeksa i izaberimo < ⋯ < tako da je { ,… , } ∪ { , … , } = {1,2,… , }.

52

Tada iz 2.2.1.6 sledi

0 = …⋯

∧ …∧ ∧∝ ∧ …∧∝ = ± … ∝ ∧ …∧∝ .

Kako je ∝ ∧ …∧∝ ≠ 0 (Iz 2.2.1.8 sledi da je ∝ ∧ …∧∝ ( ,… , ) = 1), dobijamo da je … = 0.

2.2.1.10 Definicija

Neka je dim( ) = , ∈ ∗ , ≠ 0. se naziva zapreminski element na . Dva zapreminska elementa , su ekvivalentna ako je = ∙ , za neko > 0 (od ranije znamo da je dim( ∗) = 1). Klasa ekvivalencije zapreminskih elemenata na se naziva orijentacija od .

Ubrzo ćemo videti vezu između zapreminskih elemenata i determinanti.

2.2.1.11 Propozicija

Neka su ∝ ,… , ∝ ∈ ∗. Tada su ∝ ,… , ∝ linearno zavisni ako i samo ako ∝ ∧ …∧∝ = 0.

Dokaz:

Ako su ∝ ,… ,∝ linearno zavisni, tada za svako važi

∝ = ∝

Zatim, pošto je ∝∧∝= 0, vidimo da je ∝ ∧ …∧ ∝ = 0.

Nasuprot tome, ako su ∝ ,… , ∝ linearno nezavisni, onda se mogu proširiti do baze ∝ ,… , ∝ . Tada je ∝ ,… , ∝ ≠ 0 na osnovu 2.2.1.6, pa je samim tim ∝ ,… , ∝ ≠ 0.

2.2.1.12 Propozicija

Neka je dim( ) = i ∈ ( , ). Tada postoji jedinstven broj det ∈ , determinanta od , tako da za pull-back preslikavanje (povlačenje unazad)

∗: ∗ ⟶ ∗

( ∗ )( , … , ) ≔ ( ( ),… , ( ))

važi ∗ = det ∙ , za sve ∈ ∗.

Dokaz:

Očigledno da je ∗ linearno preslikavanje iz ∗ u ∗. Iz 2.2.1.9 sledi da je dim( ∗) = 1. Prema tome je s obzirom na proizvoljnu bazu { } od ∗, preslikavanje ∗ dato 1 × 1 matricom ∈ . Odatle za proizvoljno = ∙ važi ∗ = ∙ ∙ , a otuda se dobija da je det ≔ .

53

2.2.1.13 Napomena

Determinanta u smislu 2.2.1.12 je upravo determinanta iz linearne algebre: neka je { , … , } =: baza od , a {∝ ,… , ∝ } odgovarajuća dualna baza, i ≔∝ ∧ …∧∝ .

Tada je

det = det ( ,… , ) = ∗ ( ,… , ) = ( ( ),… , ( ))

=⏞. . .

( )∈

∝ ( ) ∙ … ⋅∝ ( )

= ( )∈

( )… ( ),

gde je ( ) matrična reprezentacija od s obzirom na .

2.2.1.14 Definicija

Neka je ∈ ( , ), ∈ ( ), ∈ ( ).

Pullback od pod dejstvom je definisano sa ∗ ∶ ( ) ⟶ ( ),

∗( )( ,… , ) ≔ ( ),… , ( ) , , … , ∈ . Ako je bijekcija, tada je push-forward definisan sa

∗ ∶ ( ) ⟶ ( ), ∗ ≔ ( )∗, pa je

∗ ∝ ( , … , ) =∝ ( ),… , ( ) , , … , ∈ .

Tada je ∗ = u smislu 2.1.4.

2.2.1.15 Propozicija

Neka je ∈ ( , ), ∈ ( , ). Tada važi:

1. ∗: ( ) ⟶ ( ) je linearno, ∗( ∗) ⊆ ∗ . 2. ( ∘ )∗ = ∗ ∘ ∗. 3. Ako je = , onda je ∗ = ( ). 4. Ako je bijekcija, onda je i ∗ bijekcija i ( ∗) = ( )∗. 5. Ako je bijekcija, onda je i ∗ bijekcija i ( ∗) = ( )∗. Ako je i bijekcija, onda je

( ∘ )∗ = ∗ ∘ ∗. 6. Ako ∈ ∗, ∈ ∗, onda je ∗(∝∧ ) = ∗ ∝∧ ∗ .

54

Dokaz:

1. i 2. su očigledno jasni.

3. ( ∘ )∗ ∝ ( ,… , ) =∝ ( ) , … , ( ) = ( ∗ ∝) ( ),… , ( )

= ∗( ∗ ∝)( ,… , ).

4. sledi iz 2. i 3.

5. ( ∗) = (( )∗) =⏞.(( ∗) ) = ∗.

6. ∗(∝∧ )( ,… , ) = (∝∧ ) ( ),… , ( )

= . . .⏞. . . . . .

= ( ∗ ∝) ∧ ( ∗ ) ( ,… , ).

2.2.2 DIFERENCIJALNE FORME NA MNOGOSTRUKOSTIMA

Konstrukcije koje smo prethodno definisali sada ćemo preneti na vektorska raslojenja. Počećemo sa lokalnim vektorskim raslojenjima.

2.2.2.1 Definicija

Neka je : × ⟶ × lokalni VR-izomorfizam, definisan sa

( , ) = ( ( ), ( ) ∙ ).

Preslikavanje ∗ je definisano sa ∗: × ∗ ⟶ × ∗, ( , ) ↦ ( ), ( )∗( ) .

2.2.2.2 Napomena

Kako je ∗ = , iz 2.1.2.2 (i 2.2.1.15) sledi da je ∗ je lokalni VR-izomorfizam (LVR).

2.2.2.3 Definicija

Neka je ( , , ) VR, = ( ) vlakno nad ∈ . Tada

∗ ≔ ∗ = { } × ∗∈∈

i : ∗ ⟶ , ( ) = za ∈ ∗ . Za ⊆ stavimo da je ∗| = ∐ ∗∈ .

55

2.2.2.4 Teorema

Neka je ( , , ) VR sa atlasom = {( , )| ∈ }. Tada je ( ∗ , , ) VR sa atlasom = ( )∗, ∗| ∩ | ∈ , gde je ( )∗ = ( ) (pogledati 2.1.2.4), tj. ( )∗| ∗ = ( | )∗.

Dokaz:

∗| ∩ pokriva ∗ . Iz 2.2.1.15 (5.), ( )∗| ∗ su linearni izomorfizmi sa slikom { ∝ ( )} × ( )∗. Promena VR- karti su LVR-izomorfizmi u skladu sa 2.1.3.6 i 2.2.1.15. U stvari, ( )∗ = ( ) . Slično kao i u 1.5.1 i ovde sledi da je topologija ∗ Hausdorfova i da zadovoljava drugu aksiomu prebrojivosti.

Posmatrajmo specijalan slučaj = .

2.2.2.5 Definicija

Neka je mnogostrukost. ∗ ≔ ( )∗ se naziva vektorsko raslojenje spoljašnjih −formi na . Prostor glatkih sečenja od ∗ se označava sa Ω ( ) i njegovi elementi se

nazivaju diferencijalne forme reda ili (spoljašnje) −forme na .

Primetimo da je Ω ( ) = ( ) i Ω ( ) prostor 1 − formi (pogledati 2.1.3.8).

2.2.2.6 Napomena 1. Iz 2.2.1.1 sledi da je svako vlakno od ∗ , tj. svako ∗ je potprostor od ( )

koji se sastoji od alternirajućih −tenzora. Odatle sledi da su sečenja od ∗ određena −tenzorska polja koja su u svakom ∈ ∗ alternirajuća multilinearna preslikavanja.

2. Neka je ( , )karta od , = ( ,… , ). Iz 2.2.1.9 imamo da za svako ∈ familija | ∧ …∧ | |1 ≤ < ⋯ < ≤ formira bazu od ∗ ∗. Prema tome,

svako sečenje od ∗ može se lokalno predstaviti kao

| = …⋯

∧ …∧ ,(2.2.2.1. )

gde su … = ,… , . Pošto su VR-karte od ∗ oblika ( ) , je glatko ako i samo ako je za svaku kartu ( , ) preslikavanje

∗ = ( ) ∘ ∘ = ( )∗ ∘ ∘ glatko. Kao i u dokazu 2.1.3.12 i ovde sledi da je

∗ = …⋯

∘ ∝ ∧ …∧∝ .

Dakle, je glatko ako i samo ako su za svaku kartu sve lokalne komponente … glatke.

3. Iz 2. i 2.1.3.13 imamo da je sečenje od ∗ glatko ako i samo ako je za ∀ ,… , ∈ ( ), ( , … , ) ∈ ( ).

4. Iz 1. i 2.1.3.14 sledi da je Ω ( ) prostor svih ( ) −multilinearnih i alternirajućih preslikavanja ( ( )) ⟶ ( ).

56

5. Pored operacija +, ∙ i ⊗ koje smo do sada izučavali, za diferencijalne forme postoji i spoljašnji proizvod: neka ∝∈ Ω ( ), ∈ Ω ( ). Tada imamo:

∝∧ ≔ ↦ ( ) ∧ ( ) ∈ ∗. Sledi da je ∝∧ ∈ Ω ( ) (glatkost sledi iz 2. ili 3.).

Ω(M) ≔⊗ Ω ( ) sa ovim operacijama se naziva algebra diferencijalnih formi na .

U 2.1.3.9 i 2.1.3.10 uveli smo spoljašnji izvod glatke funkcije . Ovu operaciju ćemo proširiti sa Ω ( ) na Ω ( ).

2.2.2.7 Teorema

Neka je mnogostrukost. Za svaki otvoren skup ⊆ postoji jedinstveno definisana familija preslikavanja

( ): Ω ( ) ⟶ Ω ( ),

koju ćemo označiti sa , takva da važi

1. je −linearno i za ∝∈ Ω ( ), ∈ Ω ( ) imamo

(∝∧ ) = ∝∧ + (−1) ∝∧ .

2. Za ∈ Ω ( ) = ( ), je spoljašnji izvod iz 2.1.3.9. 3. ∘ = 0. 4. Ako su , otvoreni skupovi takvi da je ⊆ ⊆ i ∝∈ Ω ( ) tada je (∝ | ) = ( ∝)| tj.

dijagram komutira.

se naziva spoljašnji izvod.

Dokaz:

Jedinstvenost: Iz 4. sledi da je dovoljno pokazati da je jedinstveno definisano u proizvoljnoj karti ( , ). Neka ∈ Ω ( ). Iz 2.2.2.6 (2.),

= …⋯

∧ …∧ .

Prema tome, iz (1.),(2.) i (3.) dobijamo

= ( …⋯

∧ …∧ )

Ω ( ) | ⃗ Ω ( )

⃗

⃗

Ω ( ) | ⃗ Ω ( )

57

= …⋯

∧ ∧ …∧ (∗)

+ …⋯

∧ ( ) ∧ ∧ …∧ + 0 + ⋯+ 0,

odakle sledi jedinstvenost.

Egzistencija: Za proizvoljnu kartu definišemo sa (∗). Pokazaćemo da ovako definisano ima tražene osobine (1. ) − (4. ):

(1.) linearnost je očigledna, pa je dovoljno izračunati (∝∧ ) za ∝= ∧ …∧ , = ∧ …∧ . Primetimo da za proizvoljno ∈ ( ) važi ( )( ) = ( ) = ( ) + ( ) = ( + )( ), pa je

( ) = + . Prema tome je

(∝∧ ) = ( ∧ …∧ ∧ ∧ …∧ )

=⏞(∗)

( ) ∧ ∧ …∧ ∧ ∧ …∧ = ∧ ∧ …∧ + ∧ ∧ …∧ …∧ = ∝∧ + (−1) ∧ .

(2.) i (4.) su očigledni. (3.) Dovoljno je pokazati da važi ( ) = 0,∀ ∈ ( ). Iz (2.2.2.1.) je

= .

Prema tome,

( ) = ∧ =

č , ,

∧č

= 0.

Ostalo je da pokažemo da je dobro definisan globalno na . Neka je = ( ,… , ) druga karta, bez gubitka opštosti sa istim domenom . Definišimo sa (∗) (zamenjujući ↦ ). Iz dokaza jedinstvenosti sledi da je

= ……⋯

∧ ∧ …∧ = .

Prema tome, je istog oblika u svakoj karti, pa je globalno dobro definisano.

2.2.2.8 Primer 1. Neka je = ( , ) + ( , ) 1 −forma na . Tada je

= ∧ + ∧ =

= + ∧ + + ∧

= − ∧ .

58

2. Neka je = ( , , ) ∧ + ( , , ) ∧ + ( , , ) ∧ . Tada je

= + + ∧ ∧ .

2.2.2.9 Definicija

Neka su i mnogostrukosti i : ⟶ glatko preslikavanje. Za ∈ ( ), pullback od pod dejstvom je definisano sa

∗ ( ) ≔∗( ( ( )))

(pogledati 2.2.1.14).

Odatle za , … , ∈ imamo

∗ ( )( ,… , ) = ( ) ( ),… , ( ) .

Posebno, ∗ = ∘ za ∈ ( ) = Ω ( ).

2.2.2.10 Lema

Neka su funkcije : ⟶ , : ⟶ glatke. Tada

1. ∗: ( ) ⟶ ( ), ∗: Ω ( ) ⟶ Ω ( ). 2. ( ∘ )∗ = ∗ ∘ ∗. 3. ∗ = ( ) (resp. = ( )). 4. Ako je difeomorfizam, onda je ∗ linearan izomorfizam i ( ∗) = ( )∗.

Dokaz:

1. Iz 2.2.1.15 (1.) imamo da ∗( ( ( ))) ∈ ( ) resp. ∈

∗. Prema tome,

treba pokazati da je ∗ glatko. Neka su ( , ), ( , ) karte od resp. takve da je ( ) ⊆ . Tada su i = ∘ ∘ i ∗ = ( )∗ ∘ ∘ glatke funkcije (pogledati

2.1.3.12 i 2.2.2.6 (2.)). Iz 2.2.1.15 (2.) dobijamo (stavljajući = ( )): ( ( ))∗ = ( )∗ = ( ( ) ∘ ∘ ( ) )∗

= (( ) )∗

( )∗

∘ ( )∗ ∘ ( ( ) )∗(∗)

Prema tome, iz 2.1.3.12 i 2.2.2.6 (2.) sledi da je lokalna reprezentacija ∗( ∗ )( ) od ∗ s obzirom na kartu data sa

( )∗ ∘ ∗ ∘ ( ) = ∗ ∘∗

∘ ∘ ( )

=∗∘

∗∘ ( )

∗( ( ) ∗ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ( ))

=⏞(∗)

( ( ))∗ (( ∗ ) ∘ ( ))

što je glatko.

59

2. ( ∘ )∗( )( ) = ( ∘ )∗

∘ ( )

= ( ) ∘∗

∘ ( )

=⏞. . . ( .)

∗∘ ( )

∗ ( )

=∗ ∗ ( )

= ∗( ∗ )( ). 3. Očigledno 4. Sledi iz 2. i 3.

2.2.2.11 Teorema

Neka je preslikavanje : ⟶ glatko. Tada

1. ∗: Ω( ) ⟶ Ω( ) je algebarski homomorfizam, tj. ∗ je linearno i važi ∗( ∧ ) = ( ∗ ) ∧ ( ∗ ).

2. Za svako ∈ Ω( ), ∗( ) = ( ∗ ).

Dokaz:

1. Neka je prvo ∝= ∈ Ω ( ) = ( ).Tada je ∗( ∧ )( ) = ∗( ∙ )( ) =

∗ ( ) ( )

= ( )∗ ( )

∗( ( ( )))∗ ( )

= ( ∗ ∧ ∗ )( ). U opštem slučaju važi

∗( ∧ )( ) =∗∝ ( ) ∧ ( )

=⏞. . . ( .)

∗∝ ( ) ∧

∗ ( )

= ( ∗ ∝) ∧ ( ∗ ) ( ). 2. Na osnovu definicije od ∗ i 2.2.2.7 (4.) dovoljno je pokazati da svako ∈ ima okolinu

takvu da važi ( ∗ | ) = ( ∗ )| za sve ∈ Ω( ). Neka je ( , ) karta oko ( ) i okolina od takva da je ( ) ⊆ . Tada za ∈ Ω ( ) imamo

= …⋯

∧ …∧

= … ∧⋯

∧ …∧ ,

Iz 1. je

∗ | = ∗ … ∗ ∧ …∧ ∗ .(∗∗)

U opštem slučaju, za ∈ ( ),važi ∗( ) = ( ∗ ). Zapravo, ako ∈ , onda je

∗( )( )( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ( ))

60