1. Tentukan bayangan segitiga ABC dengan titik A (0,0 ) , B (2,4) dan C (6,1) oleh

translasi T=(−23 ) dan sketsalah segitiga asal dan segitiga bayangannya!

Jawab:

Untuk titik A(0,0)

( x 'y ')=(00)+(−2

3 )=(0+(−2)0+3 )=(−2

3 ) Untuk titik B(2,4)

( x 'y ')=(2

4 )+(−23 )=(2+(−2)

4+3 )=(07) Untuk titik C (6,1)

( x 'y ')=(61)+(−2

3 )=(6+(−2)1+3 )=(44 )

Jadi, A (0,0 ) → A' (−2,3)

B(2,4) → B' (0,7)

C (6,1) → C '(4,4)

Gambar segitiga asal dan segitiga bayangan.

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 70

1

2

3

4

5

6

7

8

Y-Values

B (2,4)

C (6,1)

B'(0,7)

A (0,0)

A' (-2,3)

C' (4,4)

2. Suatau transformasi didefinisikan oleh persamaan:

x ’=3 x−4 y

y ’=2 x+ y

a. Tentukan matriks transformasinya!

b. Tentukan bayangan segitiga ABC dengan titik A(0,0), B(3,0), dan C (0,2) oleh

transformasi tersebut!

Jawab:

a). Persamaan transformasi

x ’=3 x−4 y

y ’=2 x+ y

Dapat diubah menjadi persamaan matriks

( x 'y ')=(3 −4

2 1 )( xy)

Jadi, matriks transformasi di atas adalah

M=(3 −42 1 ).

b).Menggunakan persamaan matriks transformasi yang telah ditentukan di atas

diperoleh:

Untuk titik A(0,0)

( x 'y ')=(3 −4

2 1 )(00)=(0

0)A(0,0)→A '(0,0)

Untuk titik B(3,0)

( x 'y ')=(3 −4

2 1 )(30)=(9

6)B(3,0)→B' (9,6)

Untuk titik C (0,2)

( x 'y ')=(3 −4

2 1 )(02)=(−8

2 )

C (0,2) → C '(−8,2)

3. Tentukan matriks transformasi linear yang memetakan titik A(1,1) ke A ’ (5,3) dan

titik B(2 ,−1) ke B’ (1,0).

Jawab:

Persamaan matriks yang menyatakan transformasi linear di atas adalah

( x ' A x ' B

y 'A y 'B)=(a b

c d)( x A xB

y A y B), dengan matriks transformasi M=(a b

c d )(5 13 0)=(a b

c d )(1 21 −1)

Menggunakan aturan invers dan kesamaan dua matriks, diperoleh:

(5 13 0)(1 2

1 −1)−1

=(a bc d)

(5 13 0) 1

−3 (−1 −2−1 1 )=(a b

c d)1

−3 (5 13 0)(−1 −2

−1 1 )=(a bc d )

1−3 (−6 −9

−3 6 )= (a bc d )

(2 31 2)=¿ (a b

c d )Jadi, matriks transformasinya adalah M=(2 3

1 2).

4. Suatu matriks transformasi linear didefinisikan oleh persamaan berikut. Tentukan

matriks transformasinya!

a). x ’=2 x+ y b). x ’=x−2 y c). x ’=2 x

y ’=+2 y y ’=−2x+ y y ’=−2 y

Jawab:

a). x ’=2 x+ y

y ’=+2 y

Dapat diubah menjadi matriks

( x 'y ')=(2 1

1 2)( xy)

Jadi, matriks transformasi di atas adalah

M=(2 11 2).

b). x ’=x−2 y

y ’=−2x+ y

Dapat diubah menjadi matriks

( x 'y ')=( 1 −2

−2 1 )( xy)

Jadi, matriks transformasi di atas adalah

M=( 1 −2−2 1 ).

c). x ’=2 x

y ’=−2 y

Dapat diubah menjadi matriks

( x 'y ')=(2 0

0 −2)(xy)

Jadi, matriks transformasi di atas adalah

M=(2 00 −2).

5. Tentukan bayangan tiap titik berikut oleh transformasi linear yang didefinisikan

oleh persamaan

x ’=x+2 y

y ’=−x−3 y

a). A(0,5) b). B(4,1) c). C (−4,1) d).D(−2 ,−3)

Jawab:

x ’=x+2 y

y ’=−x−3 y

a). Untuk titik A(0,5)

( x 'y ')=( 1 2

−1 −3)(05)=( 10

−15)A(0,5) → A ’ (10 ,−15)

b). Untuk titik B(4,1)

( x 'y ')=( 1 2

−1 −3)(41)=( 6

−7)B(4,1)→ B' (6 ,−7)

c). Untuk titik B(−4,1)

( x 'y ')=( 1 2

−1 −3)(−41 )=(−2

1 )C (−4,1)→ C ' (−2,1)

d). Untuk titik B(−2 ,−3)

( x 'y ')=( 1 2

−1 −3)(−2−3)=(−8

11 )D(−2 ,−3)→ D '(−8,11).

6. Tentukan bayangan tiap titik berikut oleh transformasi linear yang matriks

transformasinya adalah M=(1 −32 1 ).

Jawab:

M=(1 −32 1 )

a. Untuk titik A(3,0)

( x 'y ')=(1 −3

2 1 )(30)=(3

6)

A (3,0 ) → A '(3,6)

b. Untuk titik B(1,3)

( x 'y ')=(1 −3

2 1 )(13)=(−8

−3)B(1,3) → B' (−8 ,−3)

c. Untuk titik C (−2,1)

( x 'y ')=(1 −3

2 1 )(−21 )=(−5

−3)C (−2,1) → C ' (−5 ,−3)

d. Untuk titik D(−1 ,−2)

( x 'y ')=(1 −3

2 1 )(−1−2)=( 5

−4)D(−1 ,−2) → D '(5 ,−4).

7. Tentukan bayangan segitiga ABC dengan titik A (0,6 ) , B(−1,1) dan C (3,2) oleh

translasi T=( 5−2) dan sketsalah segitiga asal dan segitiga bayangannya!

Jawab:

Gunakan persamaan vektor transalasi ( x 'y ')=( x

y )+(ab)

Untuk titik A (0,6 )

( x 'y ')=(06)+( 5

−2)=( 0+50+(−2))=(54)

Untuk titikB(−1,1)

( x 'y ')=(−1

1 )+( 5−2)=( −1+5

1+(−2))=( 4−1)

Untuk titikC (3,2)

( x 'y ')=(32)+( 5

−2)=( 3+52+(−2))=(80)

Jadi, A (0,6 ) → A' (5,4)

B(−1,1) → B' (4 ,−1)

C (3,2) → C '(8,0)

Gambar segitiga asal dan segitiga bayangannya.

Bayangan dari suatu translasi adalah kongruen dengan bangun asal.

8.

Karena translasi T=(ab), bayangan titik A(−3,4) adalah A' (1,−2 ) . Tentukan translasi

T tersebut.

Jawab:

( x 'y ')=( x

y )+(ab)

(ab)=( x '

y ')−( xy )

(ab)=( 1

−2)−(−34 )

(ab)=( 4

−6)Jadi, translasi tersebut adalah T=( 4

−6)

9. Tentukan persamaan bayangan kurva y=x2 oleh translasi T=(32).

Jawab:

Misalkan P(x , y) adalah sembarang titik pada kurva y=x2 dan oleh translasi

tersebut dipetakan ke titik P '(x ' , y '). Menentukan bayangan kurva tersebut harus

-2 0 2 4 6 8 10

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

Y-Values

B (-1,1)B (-1,1)

A (0,6)

C (3,2)

B '(4,-1)

A' (5,4)

C' (8,0)

menyatakan x dan y sebagai fungsi dari x ’ dan y ’ dengan menggunakan

persamaan vektor translasi ( x 'y ')=( x

y )+(ab), diperoleh:

( x 'y ')=( x

y )+(32)( x

y )=( x 'y ')−(3

2)( x

y )=(x '−3y '−2)

Dari vektor di atas diperoleh persamaan

x=x ’−3…….(1)

y= y ’−2…….(2)

Subtitusikan persamaan (1) dan (2) persamaan kurva y=x2, diperoleh

y ’−2=(x2−3)2

y ’=(x ’−3)2+2

y ’=x ’2−6 x ' +9+2

y ’=x ’2−6 x ' +11

Jadi, bayangan kurva y=x2 oleh translasi T=(32) adalah

y ’=x ’2−6 x ' +11.

10. Tentukan bayangan setiap titik berikut oleh translasi T=( 4−6).

a. A(0,0) c. C (3,6)

b. B(2 ,−4) d. D(−5 ,−4)

\

Jawab:

Persamaan vector translasi ( x 'y ')=( x

y )+(ab).

a. A(0,0)

( x 'y ')=(00)+( 4

−2)=( 0+40+(−2))=( 4

−2)Jadi, A (0,0 ) → A ’ (4 ,−2).

b. B (2,−4 )

( x 'y ')=( 2

−4)+( 4−2)=( 2+4

−4+(−2))=( 6−6)

Jadi, B(2 ,−4) → B' (6 ,−6 ) .

c. C (3,6)

( x 'y ')=(36)+( 4

−2)=( 3+46+(−2))=(74 )

Jadi, C (3,6) → C ' (7,4)

d. D(−5 ,−4)

( x 'y ')=(−5

−4)+( 4−2)=( −5+4

−4+(−2))=(−1−6)

Jadi, D(−5 ,−4) → D '(−1 ,−6)

11. Tentukan bayangan persegi ABCD dengan koordinat titik A(0,0), B(4,0), C (4,4 )

dan D(0,4 ) oleh transformasi linear yang matriks transformasinya adalah

M=(1 20 1) serta sketsalah bangun asal dan bayangannya!

Jawab:

M=(1 20 1)

a. Untuk titik A(0,0)

( x 'y ')=(1 2

0 1)(00)=(00)

A (0,0 ) → A' (0,0 )

b. Untuk titik B(4,0)

( x 'y ')=(1 2

0 1)(40)=(4

0)B(4,0) → B' (4,0)

c. Untuk titik C (4,4 )

( x 'y ')=(1 2

0 1)(44)=(12

4 )C (4,4 ) → C ' (12,4)

d. Untuk titik D(0,4 )

( x 'y ')=(1 2

0 1)(04)=(8

4)D(0,4 ) → D '(8,4 ).

0 2 4 6 8 10 12 140

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5 C' (12,4)D' (8,4)C (4,4)

B (4,0)

A' (0,0)

A(0,0)

D(0,4)

Pada titik A(0,0) dan B(4,0) tidak berpindah karena transforamsi tersebut. Titik

yang bersifat demikian disebut Invarian.

12. Tentukan persamaan bayangan kurva y=x2, jika dicerminkan terhadap garis

y=x.

Jawab:

Misalkan titik P(x , y) adalah sebarang titik pada kura y=x2. dari

pencerminan tersebut bayangan titikP adalah titik P ’(x ’ y ’) dengan

( x 'y ')=M

y= x( x

y)= (0 1

1 0)( xy )

y=−√x

y=√x

y=x2 y=x

( x 'y ')=( x

y )Sehingga diperoleh hubungan x= y ’ dan y=x ’. Subtitusikan persamaan tersebut

ke kurva y=x2, maka diperoleh x ’= y2 atau y=±√ x ' .

Jadi, bayangan kurva tersebut adalah y=±√ x.

y

x

Gambar

13. Tentukan bayangan titik A(2,-4) jika dicerminkan terhadap:

a). garis x=3 b). garis y=−3

Jawab:

a). Rumus pencerminan terhadap garis x=a adalah (x , y ) → (2a−x , y ).

Jadi, untuk a=3 diperoleh

(2 ,−4) → (2 ∙3−2 ,−4)

(2 ,−4) → (4 ,−4)

Jadi, bayangan titik A(2,−4) adalah A ’ (4 ,−4 ).

b). Rumus pencerminan terhadap garis y=b adalah (x , y ) → (x ,2 b− y ).

Jadi, untuk b=−3 diperoleh

(2 ,−4) → (2,2 ∙(−3)−(−4))

(2 ,−4) → (2 ,−2)

Jadi, bayangan titik A(2,−4) adalah A(2,−2) .

14. Tentukan bayangan tiap titik berikut, jika dicerminkan terhadap sumbu x dan

sumbu y.

a). A(4,2) b). B(5,6) c). C (−2,6) d). D(−6,12)

Jawab:

a). A(4,2)

Matriks transformasi pencerminan terhadap sumbu x adalah

M y=0=(1 00 −1), bayangan titik A(4,2) dapat ditentukan oleh

( x 'y ')=(1 0

0 −1)(42)

( x 'y ')=( 4

−2)Jadi, A(4,2) → A ’ (4 ,−2)

Matriks transformasi pencerminan terhadap sumbu y adalah

M x=0=(−1 00 1), bayangan titik A(4,2) dapat ditentukan oleh

( x 'y ')=(−1 0

0 1)(42)

( x 'y ')=(−4

2 )Jadi, A(4,2) → A ’ (−4,2)

b). B(5,6)

Matriks transformasi pencerminan terhadap sumbu x adalah

M y=0=(1 00 −1), bayangan titik B(5,6) dapat ditentukan oleh

( x 'y ')=(1 0

0 −1)(56)

( x 'y ')=( 5

−6)Jadi, B(5,6) → B' (5 ,−6)

Matriks transformasi pencerminan terhadap sumbu y adalah

M x=0=(−1 00 1), bayangan titik B(5,6)dapat ditentukan oleh

( x 'y ')=(−1 0

0 1)(56)

( x 'y ')=(−5

6 )Jadi, B (5,6 ) → B' (−5,6)

c). C (−2,6)

Matriks transformasi pencerminan terhadap sumbu x adalah

M y=0=(1 00 −1), bayangan titik C (−2,6) dapat ditentukan oleh

( x 'y ')=(1 0

0 −1)(−26 )

( x 'y ')=(−2

−6)Jadi, C (−2,6) → C ' (−2 ,−6)

Matriks transformasi pencerminan terhadap sumbu y adalah

M x=0=(−1 00 1), bayangan titik C (−2,6)dapat ditentukan oleh

( x 'y ')=(−1 0

0 1)(−26 )

( x 'y ')=(26)

Jadi, C (−2,6 ) → C ' (2,6)

d). D(−6,12)

Matriks transformasi pencerminan terhadap sumbu x adalah

M y=0=(1 00 −1), bayangan titik D(−6,12) dapat ditentukan oleh

( x 'y ')=(1 0

0 −1)(−612 )

( x 'y ')=( −6

−12)Jadi, D(−6,12) → D '(−6 ,−12)

Matriks transformasi pencerminan terhadap sumbu y adalah

M x=0=(−1 00 1), bayangan titik D(−6,12)dapat ditentukan oleh

( x 'y ')=(−1 0

0 1)(−612 )

( x 'y ')=( 6

12)Jadi, D (−6,12 ) → D '(6,12)

15. Tentukan bayangan titik berikut, jika dicerminkan terhadap garis y=x dan

garis y=− x

a). A(0,2) b).B(−2,4) c). C (4 ,−5) d). D(−1 ,−3)

Jawab:

a) A(0,2)

Matriks transformasi pencerminan terhadap garis y=x adalah

M y=x=(0 11 0). Bayangan titik A ¿) dapat ditentukan oleh

( x 'y ')=(0 1

1 0)(02)( x '

y ')=(20)Jadi, A(0,2) → A ’ (2,0)

Matriks transformasi pencerminan terhadap garis y=− x adalah

M y=− x=( 0 −1−1 0 ), bayangan titik A(0,2) dapat ditentukan oleh

( x 'y ')=( 0 −1

−1 0 )(02)

( x 'y ')=(−2

0 )Jadi, A(0,2) → A ’ (−2,0)

b) B(−2,4)

Matriks transformasi pencerminan terhadap garis y=x adalah

M y=x=(0 11 0). Bayangan titik A ¿) dapat ditentukan oleh

( x 'y ')=(0 1

1 0)(−24 )

( x 'y ')=( 4

−2)Jadi, B(−2,4) → B’ (4 ,−2)

Matriks transformasi pencerminan terhadap garis y=− x adalah

M y=− x=( 0 −1−1 0 ), bayangan titik B(−2,4) dapat ditentukan oleh

( x 'y ')=( 0 −1

−1 0 )(−24 )

( x 'y ')=(−4

2 )Jadi, B(−2,4) → B’ (−4,2).

c) C (4 ,−5)

Matriks transformasi pencerminan terhadap garis y=x adalah

M y=x=(0 11 0). Bayangan titik C (4 ,−5) dapat ditentukan oleh

( x 'y ')=(0 1

1 0)( 4−5)

( x 'y ')=(−5

4 )Jadi, C (4 ,−5) → C ’ (−5,4)

Matriks transformasi pencerminan terhadap garis y=− x adalah

M y=− x=( 0 −1−1 0 ), bayangan titik C (4 ,−5) dapat ditentukan oleh

( x 'y ')=( 0 −1

−1 0 )( 4−5)

( x 'y ')=( 5

−4)Jadi, C (4 ,−5) → B’ 5 ,−4¿.

d) D (−1 ,−3 )

Matriks transformasi pencerminan terhadap garis y=x adalah

M y=x=(0 11 0). Bayangan titik D (−1 ,−3 )dapat ditentukan oleh

( x 'y ')=(0 1

1 0)(−1−3)

( x '

y ' )=(−3−1)

Jadi, D (−1 ,−3 )→ D (−3 ,−1 )

Matriks transformasi pencerminan terhadap garis y=− x adalah

M y=− x=( 0 −1−1 0 ), bayangan titik D (−1 ,−3 ) dapat ditentukan oleh

( x 'y ')=( 0 −1

−1 0 )(−1−3)

( x 'y ')=(31)

Jadi, D (−1 ,−3 ) → D (3,1 ).

16. Tentukan bayangan titik A(−2,1), jika dicerminkan terhadap:

a). garis x=2 b). garis y=5

Jawab:

a). Rumus pencerminan terhadap garis x=a adalah (x , y ) → (2a−x , y ). Jadi

untuk a=2 diperoleh:

(−2,1) → (2.2−(−2) ,1)

(−2,1) → (6,1)

Jadi, bayangan titik A(−2,1) adalah A ’ (6,1) .

b). Rumus pencerminan terhadap garis y=b adalah (x , y ) → (x ,2 b− y ). Jadi

untuk b=5 diperoleh:

(−2,1) → (−2,2.5−1)

(−2,1) → (−2,9)

Jadi, bayangan titik A(−2,1) adalah A ’ (2,9).

17. Tentukan bayangan titik A(2,−4) oleh dilatasi dengan pusat O(0,0) dan faktor

skala k=3.

Jawab :

Matriks transformasi yang bersesuaian dengan dilatasi tersebut adalah D3=(3 00 3),

bayangan titik A(2,−4) dapat ditentukan sebagai berikut:

( x 'y ')=D3( x

y)¿(3 0

0 3)( 2−4)=( 6

−12)Jadi, bayangan titik A (2 ,−4 ) oleh dilatasi tersebut adalah A' (6 ,−12).

18. Tentukan bayangan titik A(2,−2) oleh rotasi terhadap titik asal O(0,0) sebesar

45 °.

Jawab:

( x 'y ')=R45° (x

y)= (cos 45 ° −sin 45 °

sin 45 ° cos 45 ° )( 2−2)

= (12√2

−12

√2

12√2

12√2 )( 2

−2)

= (2√20 )

Jadi, oleh rotasi tersebut bayangan titik A(2,−2) adalah A' (2√2 ,0).

19. Tentukan bayangan garis x+2 y=4, jika dirotasikan dengan pusat O(0,0) dan

sudut rotasi −90 °.

Jawab:

Matriks transformasi yang bersesuaian dengan rotasi tersebut adalah

R−90°=( 0 1−1 0), dengan demikian diperoleh persamaan berikut

( x 'y ')=R−90 °( x

y )=( 0 1

−1 0)( xy )

( x 'y ')=( y

−x)x ’= y → y=x ’

y ’=−x→ x=− y ’

Subtitusikan nilai tersebut ke persamaan garis x+2 y=4, diperoleh

− y ’+2 x ’=4

2 x ’− y '=4

Jadi, bayangan garis x+2 y=4 oleh rotasi tersebut adalah 2 x− y=4.

20. Tentukan bayangan titik A(4,6) oleh rotasi sebesar 90 ° dengan titik

P(3 ,−2) .

Jawab:

Rotasi yang sudah dipelajari adalah rotasi berpusat di titik O(0,0). Oleh karena itu

pusat rotasi tersebut ditranslasikan sehingga berpindah ke titik asal dengan translasi

T 1=(−32 ), Akibatnya titik A(4,6) juga ikut bergeser menjadi A(1,8) . Titik

inilah yang selanjutnya dirotasikan sebesar 90 ° berpusat di titik O(0,0)

dengan menggunakan rumus

( x ' 'y ' ')=R90° (x '

y ' )¿(0 −1

1 0 )(18)

¿(−81 )

Jadi, titik A ’ (1,8) berpindah menjadi titik A ’’ (−8,1) selanjutnya titik

A ’’ (−8,1) ditranslasikan lagi dengan lawan translasi T 1 yaitu T 2=( 3−2) yang

menghasilkan titik A ’’’ (−5 ,−1).

Jadi, bayangan titik A(4,6) oleh rotasi di atas adalah titik A ’’’ (−5 ,−1) .

21. Tentukan bayangan titik A(3 ,−4 ), jika dicerminkan terhadap:

a). Sumbu x b). Sumbu y

c). Sumbu y=x c). Sumbu y=− x

Jawab:

a). Matriks transformasi pencerminan terhadap sumbu x adalah M y=(1 00 −1)

Bayangan titik A(3 ,−4 ) dapat ditentukan oleh

( x 'y ')=(1 0

0 −1)( 3−4)

( x 'y ')=(34 )

Jadi, A(3 ,−4 ) → A ’ (3,4)

b). Matriks transformasi pencerminan terhadap sumbu y adalah M x=(−1 00 1)

Bayangan titik A(3 ,−4 ) dapat ditentukan oleh

( x 'y ')=(−1 0

0 1)( 3−4)

( x 'y ')=(−3

−4)Jadi, A(3 ,−4 ) → A ’ (−3 ,−4)

c). Matriks transformasi pencerminan terhadap sumbu y=x adalah

M y=x=(0 11 0)

Bayangan titik A(3 ,−4 ) dapat ditentukan oleh

( x 'y ')=(0 1

1 0)( 3−4)

( x 'y ')=(−4

3 )Jadi, A(3 ,−4 ) → A ’ (−4,3)

d). Matriks transformasi pencerminan terhadap sumbu y=− x adalah

M y=− x=( 0 −1−1 0 )

Bayangan titik A(3 ,−4 ) dapat ditentukan oleh

( x 'y ')=( 0 −1

−1 0 )( 3−4)

( x 'y ')=( 4

−3)Jadi, A(3 ,−4 ) → A ’ (4 ,−3)

22. Tentukan bayangan titik A(−2,5) oleh dilatasi dengan pusat P(1 ,−1) dan faktor

skala k=2.

Jawab :

Matriks transformasi yang bersesuaian dengan dilatasi tersebut adalah D2=(2 00 2),

gunakan rumus di atas, bayangan titik A adalah:

( x 'y ')=(k 0

0 k )( x −ay −b)+(a

b)( x '

y ')=(2 00 2)(−2 −1

5 −(−1))+( 1−1)

( x 'y ')=(2 0

0 2)(−36 )+( 1

−1)( x '

y ')=(−612 )+( 1

−1)( x '

y ')=(−511 )

Jadi, bayangan titik A(−2,5) adalah A ’ (−5,11) .

23. Tentukan bayangan tiap titik berikut karena dilatasi dengan pusat O(0,0)dan faktor

skala k=2.

a). A(0,5) b). B(4,1) c). C (−4,1) d). D(−2 ,−3)

Jawab :

a). D2=(2 00 2), bayangan titik A(0,5) diperoleh:

( x 'y ')=(2 0

0 2)(05)( x '

y ')=( 010)

Jadi, bayangan titik A(0,5) oleh dilatasi tersebut adalah A ’ (0,10).

b). D2=(2 00 2), bayangan titik B(4,1) diperoleh:

( x 'y ')=D2( x

y)( x '

y ')=(2 00 2)(4

1)( x '

y ')=(82)Jadi, bayangan titik B(4,1)oleh dilatasi tersebut adalah B' (8,2).

c).D2=(2 00 2), bayangan titik C (−4,1) diperoleh:

( x 'y ')=D2( x

y)( x '

y ')=(2 00 2)(−4

1 )( x '

y ')=(−82 )

Jadi, bayangan titik C (−4,1) oleh dilatasi tersebut adalah C (−8,2),

d). D2=(2 00 2), bayangan titik D(−2 ,−3) diperoleh:

( x 'y ')=D2( x

y)( x '

y ')=(2 00 2)(−2

−3)( x '

y ')=(−4−6 )

Jadi, bayangan titik D(−2 ,−3)oleh dilatasi tersebut adalah D(−4 ,−6).

24. Tentukan bayangan titik A(2,−3) oleh translasi T 1=(−23 ) dilanjutkan T 2=(3

2)

Jawab :

Translasi tunggal yang mewakili komposisi translasi tersebut adalah

T=(−23 )+(32)=(15), bayangan titik A ditentukan sebagai berikut:

( x 'y ')=( x

y )+T

¿( 2−3)+(15)

¿(32)

Jadi, bayangan titik A (2 ,−3 ) oleh komposisi translasi tersebut adalah A '(3,2).

25. Tentukan bayangan titik A(3,2) karena pencerminan terhadap garis x=−2

dilanjutkan pencerminan terhadap garis x=1.

Jawab :

A(3,2) → A' (3+2 (1+2 ) , 2)

A' (3+6,2)

A' (9,2)

Jadi, bayangan titik A(3,2) oleh komposisi pencerminan tersebut adalah A' (9,2).

26. Tentukan bayangan titik A(2,−5) karena rotai sebesar 30 ° dilanjutkan rotasi

pencerminan terhadap garis x=−2 dilanjutkan pencerminan 60 ° dengan pusat

O(0,0).

Jawab :

Transformasi tunggal yang mewakili komposisi rotasi tersebut adalah rotasi sebesa

30 °+60 °=90 ° dengan pusat O(0,0), sehingga bayangan titik A adalah

( x '

y ' )=R90 °( xy)

¿(0 −11 0 )( 2

−5)¿(5

2)Jadi, bayangan titik A(2,−5) karena komposisi rotasi tersebut adalah A '(5,2).

27. Tentukan matriks transformasi tunggal yang menyatakan pencerminan terhadap

garis y=x dilanjutkan rotasi dengan sudut rotasi 90 °.

Jawab :

Matriks transformasi yang bersesuaian dengan kedua transforamasi tersebut adalah

M y=x=(0 11 0) dan R90 °=(0 −1

1 0 )sehingga matriks transformasi tunggalnya adalah

R90 ° × M y= x=(0 −11 0 )(0 1

1 0)

¿(−1 00 1)

Jadi, matriks yang bersesuaian dengan komposisi transformasi tersebut adalah

(−1 00 1).

28. Tentukan bayangan A(3,4) oleh pencerminan terhadap sumbu x dilanjutkan

pencerminan terhadap sumbu y .

Jawab :

Matriks transformasinya adalah M y=0=(1 00 −1) dan M x=0=(−1 0

0 1).Misalkan bayangan titik A(3,4) oleh komposisi transformasi tersebut adalah

A ’ (x ’ , y ’), maka ( x 'y ')=M x=0× M y=0

¿(−1 00 1)×(1 0

0 −1)×(34 )¿(−1 0

0 −1)(34)

¿(−3−4)

Jadi, bayangan titik A(3,4) oleh komposisi transformasi tersebut adalah

A '(−3 ,−4).

29. Tentukan persamaan bayangan lingkaran x2+ y2=1 oleh suatu transformasi yang

matriks transformasinya adalah M=(4 00 3).

Jawab :

Matriks transformasinya adalah M=(4 00 3) dan det .M =12, sehingga transformasi

tersebut adalah transformasi nonsingular, dengan demikian berlaku hubungan:

( xy )=M−1( x '

y ')¿ 1

12 (3 00 4)( x '

y ')

( xy )= 1

12 ( 3 x '4 y ')

¿ [ 14

x '

13

y ' ]

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Gambar.

30. Tentukan persamaan bayangan garis x− y=1 oleh transformasi t dilanjutkan

transformasi s yang matriks transformasinya berturut-turut adalah T=(1 11 2) dan

S=(1 10 1).

Jawab :

Matriks komposisi transformasi tersebut adalah

M=S×T=(1 10 1)(1 1

1 2)=(2 31 2)

dan determinan M=(2 ) (2 )−(3 ) (1 )=1

Sehingga transsformasi tersebut adalah transformasi nonsingular dan

M−1=( 2 −3−1 2 ) bayangan kurva tersebut dapat dicari sebagai berikut:

x2

16+ y2

9=1

x2+ y '=1

( xy )=M−1( x '

y ')¿( 2 −3

−1 2 )( x 'y ')

( xy )=(2 x'−3 y '

−x '+2 y ')Sehingga diperoleh :

x=2x '−3 y 'y=− x'+2 y '

Dengan mensubtitusikan nilai tersebut pada persamaan x− y=1, diperoleh:

(2 x '−3 y ' )−¿(−x '+2 y ' ¿=1

3 x '−5 y '=1

Jadi, oleh komposisi transformasi tersebut persamaan garis x− y=1 berubah

menjadi 3 x−5 y=1.