Tento text není samostatným studijním materiálem. Jde jen o...
Transcript of Tento text není samostatným studijním materiálem. Jde jen o...
Tento text není samostatným studijním materiálem. Jde jeno prezentaci promítanou na prednáškách, kde k ní pridávámslovní komentár. Nekteré duležité cásti látky píšu pouze natabuli a nejsou zde obsaženy.
Text muže být postupne upravován a doplnován. Datumposlední úpravy najdete u odkazu na stažení souboru.
Veronika Sobotíková
KAPITOLA 2: Funkce - úvod
reálná funkce (jedné) reálné promenné . . . f : A→ R . . .
. . . zobrazení množiny A ⊂ R do množiny reálných císel R
funkcní hodnota . . . y = f (x) (x – argument)
definicní obor . . . D(f ) (= A);
obor hodnot . . . H(f ) = { y ∈ R | y = f (x) pro nejaké x ∈ A }
D(g) = A1 ⊂ A2 = D(f ), f (x) = g(x) ∀x ∈ D(g) . . .
. . .
{g – zúžení funkce f ( (z A2) na A1 )
f – rozšírení funkce g ( (z A1) na A2 )
Príklady:
1) D(f ) = N . . . posloupnost
2) f (x) = a (∈ R) . . . D(f ) = R . . . konstantní funkce
3) f (x) = sin x . . . D(f ) = R;
g(x) = sin x , x ∈ 〈−π2 ,
π2 〉 . . . D(g) = 〈−π
2 ,π2 〉
g – zúžení funkce f , f – rozšírení funkce g
4) f (x) = sgn x =
−1 pro x < 0
0 pro x = 01 pro x > 0
. . . signum ( znaménko )
graf funkce f . . . { (x , f (x)) | x ∈ D(f )}
Príklady:
1) f (x) = |x | (x ≥ 0 : f (x) = x ; x ≤ 0 : f (x) = −x)
@@@@����
�
� @
@
y = x
f (x) = |x |
y = −x
2) f (x) = sgn x csc1
−1
3) f (x) = [x ]
s cs cs cs cs cs c1
2
−1
−2
−3
−3 −2 −11 2 3
f ≤ g na M . . . M ⊂ D(f ) ∩ D(g) a f (x) ≤ g(x) ∀x ∈ M
(analogicky ostatní nerovnosti)
Operace s funkcemi
h h(x) D(h)
soucet f + g f (x) + g(x) D(f ) ∩ D(g)
rozdíl f − g f (x)− g(x) D(f ) ∩ D(g)
soucin f · g f (x) · g(x) D(f ) ∩ D(g)
podílfg
f (x)g(x)
(D(f ) ∩ D(g)) \{x | g(x) = 0 }
násobek a · f a · f (x) D(f )( a ∈ R )
složená funkce . . . h = g ◦ f . . . h(x) = g(f (x))
(musí platit H(f ) ⊂ D(g))
f – vnitrní funkce, g – vnejší funkce
vliv skládání na zmenu grafu funkce . . .
viz skripta [JT-DIP] str. 28 (30), Veta 3.31
2.1 Vlastnosti funkcí
prostá funkce . . . f (x1) 6= f (x2) pro x1 6= x2
( tj. f (x1) = f (x2) ⇒ x1 = x2 )
inverzní funkce . . . f−1(x) = y ⇔ f (y) = x . . .
. . . D(f−1) = H(f ) ( f musí být prostá )
Definice:
Rekneme, že funkce f je zdola omezená na množine A ⊂ D(f ),jestliže existuje L ∈ R tak, že pro všechna x ∈ A platí:
L ≤ f (x) .
Rekneme, že funkce f je shora omezená na množine A ⊂ D(f ),jestliže existuje K ∈ R tak, že pro všechna x ∈ A platí:
f (x) ≤ K .
Definice:Rekneme, že funkce f je omezená na množine A ⊂ D(f ), jestližeexistuje S ∈ R tak, že pro všechna x ∈ A platí:
|f (x)| ≤ S .
Funkce je omezená na A, práve když je na A omezená zdola i shora.
Funkce je omezená práve tehdy, když je její obor hodnot omezenámnožina (analogicky funkce omezené z jedné strany).
Poznámka:Je-li A = D(f ), vynecháváme v názvu: „ na množine A”.
(Podobne i u dalších pojmu.)
Príklad 2.1: Funkce f (x) =1
x2 + 1je omezená.
Definice:
Rekneme, že funkce f je na množine A ⊂ D(f )
• neklesající ( nerostoucí ), jestliže
f (x1) ≤ f (x2) ( f (x1) ≥ f (x2) ) ∀ x1, x2 ∈ A, x1 < x2,
• rostoucí ( klesající ), jestliže
f (x1) < f (x2) ( f (x1) > f (x2) ) ∀ x1, x2 ∈ A, x1 < x2,
• monotonní, je-li na A neklesající nebo nerostoucí,
• ryze monotonní, je-li na A rostoucí nebo klesající.
rostoucí ⇔ ( f (x1)− f (x2) ) · (x1 − x2) > 0 ∀ x1, x2 ∈ A, x1 6= x2
klesající ⇔ ( f (x1)− f (x2) ) · (x1 − x2) < 0 ∀ x1, x2 ∈ A, x1 6= x2
(podobne pro nerostoucí a neklesající)
Platí:Je-li funkce f ryze monotonní na D(f ), pak je prostá a existujef−1. Funkce f−1 má stejný typ monotonie jako f .
Príklady:1) f (x) = [x ] . . . neklesající na D(f ) = R,
rostoucí napr. na Z nebo na { 12 + k | k ∈ Z}
2) f (x) =1x; D(f ) = (−∞,0) ∪ (0,∞) . . .
klesající na (−∞,0) a na (0,∞)
není ale klesající na celém D(f )
Poznámka:Budeme-li dále mluvit o intervalech, nebudeme brát v úvahu intervaly
jednobodové ( tj. intervaly typu 〈a, a 〉 ).
Definice:
Rekneme, že funkce f je sudá, jestliže pro každé x ∈ D(f ) platí
a) −x ∈ D(f ),b) f (−x) = f (x).
Rekneme, že funkce f je lichá, jestliže pro každé x ∈ D(f ) platí
a) −x ∈ D(f ),b) f (−x) = −f (x) .
• „ sudá · sudá = lichá · lichá = sudá ”
• „ sudá · lichá = lichá · sudá = lichá ”
Definice:
Rekneme, že funkce f je periodická s periodou T > 0, jestližepro každé x ∈ D(f ) platí
a) x ± T ∈ D(f ),b) f (x + T ) = f (x)
(= f (x − T )
).
T je perioda, k ∈ N ⇒ k · T je perioda
základní perioda . . . nejmenší perioda (pokud existuje)
- nemají ji napr.: konstantní funkce
Dirichletova funkce:
f (x) = 1 pro x ∈ Q
f (x) = 0 pro x 6∈ Q
2.2 Posloupnosti
posloupnost reálných císel . . .
. . . zobrazení množiny prirozených císel do mn. reálných císel
n -tý clen posloupnosti . . . hodnota zobrazení v bode n ∈ N
(Analogicky lze definovat i posloupnost komplexních císel.)
Znacení: cleny posloupnosti . . . an, bn apod.
posloupnost . . . (an)∞n=1, (an)n∈N, (a1, a2, a3, . . . )
( casto také : {an}∞n=1 apod. )
Obecneji: Množinu N nahradíme množinou N0 nebo
{ k , k + 1, k + 2, . . . }, k ∈ N ( k ∈ Z ) apod.
Platí: Posloupnost (an)∞n=1 je rostoucí práve tehdy, když pro každé
n ∈ N platí
an+1 > an neboli an+1 − an > 0.
(Analogicky pro další typy monotonie.)
Definice :Rekneme, že posloupnost (an)
∞n=1 je omezená ( shora omezená |
zdola omezená ), jestliže je množina jejích clenu omezená ( shoraomezená | zdola omezená ), tj. jestliže existuje K ∈ R takové, že
|an| ≤ K ( an ≤ K | K ≤ an ) pro všechna n ∈ N.
Poznámka : Posloupnost je omezená práve tehdy, když je omezenáshora i zdola.
Poznámka : Na omezenost ci neomezenost posloupnosti nemá vlivzmena konecne mnoha jejích clenu.
Definice :Rekneme, že posloupnost (an)
∞n=1 je neklesající ( nerostoucí ),
jestliže
an+1 ≥ an ( an+1 ≤ an ) pro každé n ∈ N.
Posloupnost nazveme monotonní, je-li neklesající nebo nerostoucí.
Rekneme, že posloupnost (an)∞n=1 je rostoucí ( klesající ), jestliže
an+1 > an ( an+1 < an ) pro každé n ∈ N.
Posloupnost nazveme ryze monotonní, je-li rostoucí nebo klesající.
Poznámka: Pro posloupnost
an = 8(n − 1)(n − 2)(n − 3) + 7n
platí
an+1 − an = 24(
n − 32
)2+ 1 > 0 ∀n ∈ N,
tedy je rostoucí.
Pro funkcif (x) = 8(x − 1)(x − 2)(x − 3) + 7x
stejne platí
f (x + 1)− f (x) = 24(
x − 32
)2+ 1 > 0 ∀x ∈ D(f ) = R.
Funkce f presto není rostoucí. Máme totiž napr.
115
> 2 a zároven f(11
5
)= 14− 17
125< 14 = f (2).
Pri zkoumání monotonie funkce tedy nestací porovnat její hodnoty v bodechx a x + 1.
Speciální prípady posloupností
• konstantní posloupnost: an = A ∈ R pro každé n ∈ N
• aritmetická posloupnost
dáno a1 ∈ R, d ∈ R (d − diference )
an+1 = an + d pro n ∈ N ( rekurentní zadání ),
tj.
an = a1 + (n − 1) · d pro n ∈ N ( zadání vzorcem pro n -tý clen )
Platí:
a1 + a2 + . . .+ an = sn =(a1 + an) · n
2=
(2a1 + (n − 1) · d) · n2
• geometrická posloupnost
dáno a1 ∈ R, q ∈ R (q − kvocient )
an+1 = an · q pro n ∈ N,
tj.
an = a1 · qn−1 pro n ∈ N
( pokládáme tu q0 = 1 pro každé q ∈ R )
Platí:
a1 + a2 + . . .+ an = sn = a1 ·1− qn
1− qpro q 6= 1
• geometrická posloupnost
dáno a1 ∈ R, q ∈ R (q − kvocient )
an+1 = an · q pro n ∈ N,
tj.
an = a1 · qn−1 pro n ∈ N
( pokládáme tu q0 = 1 pro každé q ∈ R )
Platí:
a1 + a2 + . . .+ an = sn = a1 ·1− qn
1− qpro q 6= 1
a1 + a2 + . . .+ an = sn = n · a1 pro q = 1
2.3 Elementární funkce
podrobne viz skripta [JT-DIP] strany 30 - 40 (32 - 42)
( je potreba znát dobre grafy ! )
1. Mocnina. Funkce xα, ax , loga x
A) OBECNÁ MOCNINA
f (x) = xα . . . α ∈ R − pevné
pro α racionální: D(f ) a H(f ) závisí na α,
vždy (0,∞) ⊂ D(f ), a pro α 6= 0 také (0,∞) ⊂ H(f )
pro α iracionální: D(f ) = (0,∞), H(f ) = (0,∞)
B) EXPONENCIÁLNÍ FUNKCE ( o základu a )
f (x) = ax . . . a > 0 − pevné
D(f ) = R, H(f ) = (0,∞) pro a 6= 1, H(f ) = {1} pro a = 1
speciálne
pro a = e ( Eulerovo císlo ) znacíme ex = exp(x)
. . . exponenciální funkce
( e .= 2,718, definuje se predpisem e = limn→∞ (1 + 1
n )n )
C) LOGARITMICKÁ FUNKCE ( o základu a )
( inverzní funkce k exponenciální funkci )
loga x = y ⇔ ay = x . . . a > 0, a 6= 1 − pevné
D(f ) = (0,∞), H(f ) = R
speciálne
pro a = e znacíme log e x = ln x . . . prirozený logaritmus
x
y
a > 1
0 < a < 1
1
graf funkce f (x) = loga x
Vlastnosti logaritmu ( a, b > 0, a, b 6= 1 ; x , y > 0 ; r ∈ R ):
• loga
(1x
)= − loga x
• loga( x y ) = loga x + loga y
• loga
(xy
)= loga x − loga y
• loga x r = r loga x
• loga x =logb xlogb a
, speciálne: loga x =ln xln a
Platí:
ax = ex ln a pro a > 0, x ∈ R
( protože ex ln a = eln axa funkce ln x je inverzní funkce k ex )
2. Goniometrické a cyklometrické funkce
A) GONIOMETRICKÉ FUNKCE
sin x . . . D(f ) = R, H(f ) = 〈−1, 1〉, lichá, 2π-periodická
cos x . . . D(f ) = R, H(f ) = 〈−1, 1〉, sudá, 2π-periodická
tg x =sin xcos x
. . . D(f ) =⋃k∈Z
(−π2
+ kπ,π
2+ kπ),
lichá, π-periodická
cotg x =cos xsin x
. . . D(f ) =⋃k∈Z
(kπ, (k + 1)π),
lichá, π-periodická
x
y
sin xcos x
−3π −2π −π π 2π 3π
1
−1
grafy funkcí sin x a cos x
x
y
tg x
cotg x−2π −π 0 π 2π
grafy funkcí tg x a cotg x
Vybrané vlastnosti funkcí sin x a cos x :
• sin x = cos (x − π
2) cos x = sin (x +
π
2)
• sin2 x + cos2 x = 1
• sin 2x = 2 sin x cos x cos 2x = cos2 x − sin2 x
• sin2 x =12(1− cos 2x) cos2 x =
12(1 + cos 2x)
• sin(x ± y) = sin x cos y ± cos x sin y
cos(x ± y) = cos x cos y ∓ sin x sin y
• sin x + sin y = 2 sinx + y
2cos
x − y2
sin x − sin y = 2 cosx + y
2sin
x − y2
cos x + cos y = 2 cosx + y
2cos
x − y2
cos x − cos y = −2 sinx + y
2sin
x − y2
Základní hodnoty goniometrických funkcí
0π
6π
4π
3π
23π4
π5π4
3π2
7π4
sin x 012
√2
2
√3
21
√2
20 −
√2
2−1 −
√2
2
cos x 1√
32
√2
212
0 −√
22−1 −
√2
20
√2
2
tg x 0√
33
1√
3 × −1 0 1 × −1
cotg x ×√
3 1√
33
0 −1 × 1 0 −1
CYKLOMETRICKÉ FUNKCE
( inverzní ke goniometrickým zúženým na vhodný interval )
f D(f ) H(f ) f−1 D(f−1) H(f−1)
sin x⟨−π
2,π
2
⟩〈−1,1 〉 arcsin x 〈−1,1 〉
⟨−π
2,π
2
⟩
cos x 〈0, π 〉 〈−1,1 〉 arccos x 〈−1,1 〉 〈0, π 〉
tg x(−π
2,π
2
)R arctg x R
(−π
2,π
2
)
cotg x (0, π ) R arccotg x R (0, π )
Poznámka: Cyklometrické funkce nejsou inverzními funkcemi kegoniometrickým funkcím jako takovým, ale jen k jejich zúžením naurcitý interval. Máme
arcsin(sin 0) = arcsin 0 = 0,
alearcsin(sin(π)) = arcsin 0 = 0 6= π,
arcsin(
sin(3
2π))
= arcsin(−1) = −π26= 3
2π.
Pro funkci arctg platí:
x ∈ (−π2
+ kπ,π
2+ kπ), k ∈ Z =⇒ x = arctg (tg x) + kπ.
x
y
arcsin x
arccos x
−π2
π2
π
−1 1
grafy funkcí arcsin x a arccos x
x
y
arctg x
arccotg x
−π2
π2
π
π4
1
grafy funkcí arctg x a arccotg x
HYPERBOLICKÉ FUNKCE
f D(f ) H(f )
sinh x =ex − e−x
2R R
cosh x =ex + e−x
2R 〈1, ∞ )
tgh x =sinh xcosh x
=ex − e−x
ex + e−x R (−1, 1 )
cotgh x =cosh xsinh x
=ex + e−x
ex − e−x R \ { 0 } (−∞, −1 ) ∪ (1∞ )
x
y
sinh x
cosh x
1 x
y
tgh x
cotgh x
−1
1
grafy hyperbolických funkcí
Vybrané vlastnosti funkcí sinh x a cosh x :
• | sinh x | < cosh x
• cosh2 x − sinh2 x = 1
• sinh 2x = 2 sinh x cosh x
cosh 2x = cosh2 x + sinh2 x
HYPERBOLOMETRICKÉ FUNKCE
( inverzní k hyperbolickým, prípadne zúženým na vhodný interval )
f D(f ) H(f ) f−1 D(f−1) H(f−1)
sinh x R R argsinh x R R
cosh x 〈0,∞ ) 〈1,∞ ) argcosh x 〈1,∞ ) 〈0,∞ )
tgh x R (−1, 1 ) argtgh x (−1, 1 ) R
cotgh x R \ { 0 } R \ 〈−1, 1〉 argcotgh x R \ 〈−1, 1〉 R \ { 0 }
y
x
sinh xcosh x
1
x
yargtgh x
argcotgh x
−1 1
grafy hyperbolometrických funkcí
Vyjádrení hyperbolometrických funkcí pomocílogaritmu
• argsinh x = ln(x +√
x2 + 1 ), x ∈ R
• argcosh x = ln(x +√
x2 − 1 ), x ∈ 〈1,∞)
• argtgh x =12
ln(
1 + x1− x
), x ∈ (−1,1)
( viz Príklad 2.2 )
• argcotgh x =12
ln(
1 + xx − 1
), x ∈ (−∞,−1) ∪ (1,∞)
Príklad 2.2: Pro |x | < 1 vyjádrete argtgh x pomocílogaritmické funkce.
Rešení: Oznacíme y = argtgh x . Pak
x = tgh y =ey − e−y
ey + e−y .
Po rozšírení zlomku výrazem ey postupne dostáváme
x =e2y − 1e2y + 1
(e2y + 1)x = e2y − 1
(x − 1)e2y = −1− x
e2y =−1− xx − 1
e2y =1 + x1− x
2y = ln(1 + x
1− x
).
Tedy
argtgh x =12
ln(1 + x
1− x
).