Tensor tensão e vetor tensão -...
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Tensor tensão e vetor tensãoTensor tensão e vetor tensão
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Tensor tensão e vetor tensãoTensor tensão e vetor tensão
vetor tensão:
σxτxz
τxy
σy
τyzτyx
σz
τzxτzySz
Sx
Syn
x
y
z
θx
dAdA
θx
xz
y
n
A
C
B
nSrr
σ=
n = vetor unitário pertencente ao plano ABCS (Sx, Sy, Sz) = vetor tensão no plano ABCσx, σy, σz = componentes escalares de tensão normal
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Estado de tensão num pontoEstado de tensão num ponto- designando por dA a área onde atua a tensão desconhecida S (de componentes Sx, Sy, e Sz) e por l, me n os cossenos diretores do vetor unitário n, pode-se demonstrar que:
xzxxx S.n.ml. =++ ττσ y
yzyyxy S.n.ml. =++ τστ
zzyzxz S.n.ml. =++ σττ
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Estado de tensão num pontoEstado de tensão num ponto- ou, na forma matricial:
=
z
y
x
zyzxz
zyyxy
zxyxx
SSS
nml
σσ
σ
ττ
ττ
ττ
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Estado de tensão num pontoEstado de tensão num ponto
• Tensão é uma grandeza tensorial: [σ] - chamado tensor de tensões;
• Uma vez conhecidas as nove componentes do tensor de tensões, pode-se determinar o vetor tensão atuando sobre qualquer plano que passa pelo ponto;
• Pode-se mostrar que o tensor de tensões é simétrico, ou seja, σxy = σyx,σxz = σzx e σyz = σzy . Logo, [σ] possui apenas seis componentes independentes.
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Estado uniaxial de tensãoEstado uniaxial de tensão
Ex. – ensaio de tração
[ ]
=
00000000xσ
σ
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Estado plano de tensõesEstado plano de tensões
Ex. – peças de pequena espessura
[ ]
=
000
0σ
0σ
σ yxy
yxx
τ
τ
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Estado triplo de tensõesEstado triplo de tensões
[ ]
=
zyzxz
zyyxy
zxyxx
σσ
σ
σττ
ττ
ττ
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Tensões principais e planos Tensões principais e planos principaisprincipais
( )( )
( )0=
−
−
−
pzyzxz
zypyxy
zxyxpx
σσ
σσ
σσ
ττ
ττ
ττ
Dado o estado de tensão num ponto, os planos principais são definidos como aqueles planos onde a componente tangencial (cisalhante) do vetor tensão é nula.
Nestes planos, atuam as tensões principais (σp), as quais correspondem às máximas tensões normais existentes.
Matematicamente, a solução do sistema a seguir permite identificar tais tensões:
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Tensões principais e planos Tensões principais e planos principaisprincipais
o que leva a uma equação do 3º grau em σp, cujas raízes correspondem às tensões principais - σp1 > σp2 > σp3:
0322
13 =−+−∴ III ppp .. σσσ
yzxzxyxyxzyz
yzxzxy
I
I
I
ττττστστσσσσ
τττσσσσσσ
σσσ
........
...
zyxzyx
yzzxyx
zyx
22223
2222
1
+−−−=
−−−++=
++=onde:
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ExerciciosExercicios –– Tensões principaisTensões principais
Determine as tensões principais e os planos principais correspondentes:
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ExerciciosExercicios –– Tensões principaisTensões principais
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ExerciciosExercicios –– Tensões principaisTensões principaisNo ponto P do plano de uma dada seção transversal de uma viga atuam as tensões: 40MPa (tração) e 48MPa (no sentido oposto ao do eixo y).
Para tal ponto, pede-se determinar:a) as tensões normal e tangencial em um plano perpendicular ao plano xy, e cuja normal n forme com o eixo x um ângulo de 30º como indicado;b) as máximas tensões normais de tração e de compressão, indicando a orientação dos planos onde ocorrem.
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ExerciciosExercicios –– Tensões principaisTensões principais
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Circulo de Circulo de MohrMohr
Embora não seja mais usado como era até algumas décadas atrás, o Círculo de Mohr constitui uma maneira rápida e versátil de se analisar o estado de tensões em um ponto.
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Circulo de Circulo de MohrMohr -- ExemplosExemplos
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Circulo de Circulo de MohrMohr -- ExemplosExemplos
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Circulo de Circulo de MohrMohr -- ExemplosExemplos
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Circulo de Circulo de MohrMohr -- ExemplosExemplos
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Circulo de Circulo de MohrMohr -- ExemplosExemplos
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ExerciciosExercicios –– Circulo de Circulo de MohrMohrNum certo ponto de uma viga são conhecidas as seguintes
tensões: σx = + 50MPa; σy = -10MPa; τxy = τyx = -40MPa.Utilizando o Círculo de Mohr, pede-se determinar:
- as tensões principais;- a máxima tensão tangencial- a orientação dos planos principais.
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ExerciciosExercicios –– Circulo de Circulo de MohrMohr
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ExerciciosExercicios –– Circulo de Circulo de MohrMohrSão conhecidas as tensões atuantes no ponto K da viga
esquematizada. Utilizando o círculo de Mohr, determine as tensões e as direções principais.
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ExerciciosExercicios –– Circulo de Circulo de MohrMohr