Temperatur, Druck im mikroskopischen Bild
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Temperatur, Druck im mikroskopischen Bild
Grundgleichung der kinetischen Gastheorie
Die allgemeine Gasgleichung
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Inhalt• Makro- und mikroskopisches Bild für Gase• Grundzüge der kinetischen Gastheorie
– Maxwell-Verteilung der Geschwindigkeiten• Das „ideale Gas“
– Teilchenzahl– Temperatur– Druck– Volumen
• Die Grundgleichung der kinetischen Gastheorie von Daniel Bernoulli (mikroskopisch)
• Die Allgemeine Gasgleichung (makroskopisch)
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Versuch: Modell zur Bewegung im Gas (2-dimensional)
• Mit einem bewegten Rahmen wird eine regellose Bewegung von Kugeln erzeugt – Keine Vorzugsrichtung– Bei Wandkontakt wird die Geschwindigkeit
geändert– Orte und Geschwindigkeiten sind „verteilt“
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Ideale Gase
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Reale Gase
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Anmerkung zur Animation „Reale Gase“
• Die Teilchen sind reale Körper mit eigenem Volumen– es gibt Stöße zwischen den Teilchen, bei
denen Energie ausgetauscht wird– Die Stöße können elastisch oder inelastisch
sein
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Inelastische Stöße bei „Realen Gasen“
• Es gibt bei realen Gasen -wie in dieser Animation- auch inelastische Stöße:– Die Summe der kinetischen Energien der
Partner ist nach dem Stoß ungleich der vor dem Stoß
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Die „Innere Energie“
• Der Zuwachs an Energie kommt offenbar „aus dem Inneren“ der Teilchen– aus einer Schwingung eines Moleküls– Jede Eigenschwingung zählt als ein „Freiheitsgrad“
• Beispiel: Das gekoppelte Pendel zeigt zwei Freiheitsgrade• Die gesamte Energie – kinetische plus der
Energie innerhalb der Teilchen - bezeichnet man deshalb als „Innere Energie“
• Im idealen Gas gibt es keine „inneren Freiheitsgrade“: – Die Innere Energie ist im idealen Gas gleich der
kinetischen Energie
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Das „ideale Gas“, mikro- und makroskopisch
N 1 Teilchenzahl
V 1 m3 Volumen
v 1 m/s Mittlere Geschwindigkeit
T K Temperatur
p 1 N/m2 Druck, p=F/A
V 1 m3 Volumen
A
F
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1 lVolumen, das ein Mol eines Gases bei Normalbedingung beansprucht
1 mbarNormalbedingungen
1 K
Einheit
1 mol
Avogadrokonstante, Einheit der Stoffmenge: Anzahl der Teilchen in einem Mol eines Stoffes
Die Teilchenzahl
2310022,6 AN
4,220 V
1013p
273T
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Zusammenhang zwischen den mikro- und makroskopischen Größen
• Die Temperatur ist proportional zur mittleren kinetischen Energie der Teilchen
• Der Druck ist ein Quotient:– Zähler: Kraft, die bei Änderung des Impulses
der Teilchen beim Auftreffen auf eine Fläche entsteht
– Nenner: Fläche
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Versuch: Modell zum Druck
• Kugeln rieseln auf eine Platte – Die Impulsumkehr der Kugeln bewirkt eine
Kraft auf der Platte – Eine Waage misst diese „Druck-Kraft“
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Einheit
1 J Mittlere kinetische Energie eines Teilchens im Gas
v 1 m/s mittlere Geschwindigkeit
m 1 kg Masse eines Teilchens
T 1 K Temperatur in Kelvin
1 J/K Bolzmannkonstante
Temperatur und kinetische Energie
TkvmEkin 23
22
23103807,1 k
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Zur Grundgleichung der kinetischen Gastheorie von Daniel Bernoulli
Mikroskopisches Bild:• Teilchen fliegen mit einer mittleren
Geschwindigkeit• Abzählung der Teilchen, die in eine der
drei Raumrichtungen fliegen• Berechnung der Kraft auf die Wand durch
Impulsumkehr pro Zeit– Druck ist der Quotient: Kraft durch Fläche
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Bewegung eines Teilchens
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Bewegung mehrerer Teilchen
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Koordinaten der Geschwindigkeit eines Teilchens
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Eine Komponente der Geschwindigkeit
VNn
0 l
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Modell mit mehreren Teilchen: Alle fliegen mit der mittleren Geschwindigkeit, sortiert nach den drei Raumrichtungen
1 m3 Volumen
1/m3 Teilchendichte
1 Mittlere Teilchenzahl Flugrichtung rechts
VnZ 6
V
n
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Volumen mit Teilchen, die in der Zeit Δt auf die Fläche A treffen
1 m3 Volumen, das in der Zeit Δt durchflogen wird
A 1 m2 Fläche der Wand
v 1 m/s Mittlere Geschwindigkeit
AtvVv
A
tv
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Anzahl der Teilchen, die in der Zeit Δt auf die Fläche A treffen
1Anzahl der Teilchen in dem in der Zeit Δt durchflogenen Volumen
AtvnVnZ v 66
A
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Impulsübertrag in der Zeit Δt auf die rechte Wand
1 Ns
Impulsübertrag eines Teilchens auf die Wand (Richtungsumkehr)
Impulsübertrag aller in der Zeit Δt die Wand erreichenden Teilchen
A
vmp 2
vmAtvnp 26
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Druck auf die Wand
1 N Kraft auf die Wand
1 N/m2Druck auf die Wand, Grundgleichung der kinetischen Gastheorie von Daniel Bernoulli
A
2
31 vmnp
tpF
Atp
AFp
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Das „ideale Gas“, mikroskopisch: Die Grundgleichung der
kinetischen Gastheorie von Daniel Bernoulli
1 N/m2 Druck
m 1 kg Masse eines Teilchens
v 1 m/s Mittlere Geschwindigkeit
n 1/m3 Teilchendichte
2
31 vmnp
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Das „ideale Gas“, makroskopisch: Die allgemeine Gasgleichung
1 J Allgemeine Gasgleichung
p 1 N/m2 Druck
V 1 m3 Volumen
N 1 Anzahl der Teilchen
T 1 K Temperatur in Kelvin
k 1 J/K Boltzmannkonstante
A
F
TkNVp
![Page 26: Temperatur, Druck im mikroskopischen Bild](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022070502/56814d75550346895dbad100/html5/thumbnails/26.jpg)
Äquivalenz zwischen mikro- und makroskopischer Aussage
1 J Allgemeine Gasgleichung
1 J Substituiere kT durch die kinetische Energie
1/m3 Setze für Teilchenzahl durch Volumen die Teilchendichte
1 Nm2 Grundgleichung der kinetischen Gastheorie
A
F
TkNVp
TkvmEkin 23
22
VNn /
23// vmVNp
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Zusammenfassung• Makro- und mikroskopisches Bild für Gase• Ideales Gas: punktförmige Teilchen ohne
Wechselwirkung untereinander, Energieaustausch nur bei Wandberührung
• Die Temperatur (in Kelvin ) ist proportional zur mittleren kinetischen Energie der Gasteilchen
• Mikroskopisches Bild für den Druck: Impulsübertrag auf die Wand– Grundgleichung der kinetischen Gastheorie
• Die Allgemeine Gasgleichung beschreibt den Zusammenhang zwischen– Teilchenzahl– Temperatur– Druck– Volumen
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Finis