SECCIÓN VI. Temas especiales C APÍTULO 50. Proteínas plasmáticas e inmunoglobulinas.
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Para llegar al tema que da nombre a este artículo, se comienza distinguiendo la
Educación Matemática de la Didáctica de la Matemática. Se presentan las principales
conceptualizaciones y características que definen la Didáctica de la Matemática como
un campo de investigación científica y tecnológica y el estado actual de desarrollo a
nivel internacional. Se abordan, de manera breve, los principales marcos teóricos o
Programas de Investigación de Didáctica de la Matemática de la actualidad y la
influencia de ellos en la mejora efectiva de la enseñanza y aprendizaje de la
Matemática. Cada uno de tales Programas será objeto de tratamiento en los próximos
números de la revista.
Palabras clave: educación matemática; didáctica de la Matemática; Programas de Investigación
en Didáctica de la Matemática; marcos teóricos en Didáctica de la Matemática..
Didáctica de la Matemática.
Programas de Investigación
El EquipoEl EquipoEl EquipoEl Equipo
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Con seguridad , las teorías y la investigación son las mejores
herramientas que tenemos para la práctica y la toma de
decisiones pedagógicas apropiadas”
Sfard, 2002, p.3
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Los textos de este artículo se ven enriquecidos por los aportes especiales de
dos destacados investigadores españoles, Juan Godino y Vicenç Font Mall,
hechos para el libro digital para profesores Temas de Didáctica de la
Matemática1 (Alderete, M. J.; 2008) a partir del cual El EquipoEl EquipoEl EquipoEl Equipo realizó una re-
escritura de algunas partes de los capítulos especialmente referidos a los
principales Programas de Investigación de la actualidad.
Hablamos de una re-escritura porque consideramos que es una relación
transformativa de una obra anterior nuestra para enriquecer otro texto. Se
produce algo así como un diálogo en el momento de la construcción del texto.
Es una relación creativa que genera un nuevo texto a partir del diálogo con otro
texto anterior. Esto es, construimos textos a partir de textos anteriores que a su
vez, fueron construidos a partir de textos de otros autores.
Alguien podría pensar que es un plagio de una obra. Pero no es así, porque
plagio es la imitación consciente de un modelo, sin indicar la fuente de
referencia. En este caso la hemos indicado. Y además, la autora de la
producción digital mencionada es parte integrante del El El El El EquipoEquipoEquipoEquipo.
1 Alderete, M. J. et al, (2008) Temas de Didáctica de la Matemática. Mendoza: FEEYE. UNCuyo. e-book
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1. INTRODUCCIÓN
2. DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA COMO DISCIPLINA
CIENTÍFICA
3. DIDÁCTICA POR CONTENIDOS
4. DIDÁCTICA E INVESTIGACIÓN
5 PRINCIPALES PROGRAMAS DE INVESTIGACIÓN
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INTRODUCCIÓN
Comenzamos el artículo realizando una clarificación terminológica entre
educación matemática y didáctica de la Matemática.
En muchos casos se utilizan las expresiones Didáctica de la Matemática y
Educación Matemática como sinónimas, mientras que en otros, como en los
países europeos continentales, se considera que la Didáctica de la Matemática
es la disciplina científica interesada principalmente, por el campo de la
investigación, más puntualmente por las cuestiones relativas a la enseñanza y
aprendizaje de la Matemática.
En el mundo anglosajón se emplea la expresión Mathematics Education para
referirse al área de conocimiento que en Francia, Alemania, España, etc. se
denomina Didáctica de la Matemática.
La Educación Matemática es una construcción relativamente nueva y, en
especial, su estatus como disciplina científica y académica se encuentra en un
proceso de definición, construcción y consolidación. Su incidencia en los
procesos educativos la coloca en relación estrecha con múltiples dimensiones
de la sociedad.
Sin duda, existen diferentes percepciones de lo que es la Educación
Matemática. Steiner, (1985, citado por Godino (2003)) ofrece varios ejemplos:
Entre los que piensan que la Educación Matemática existe como
ciencia, encontramos una variedad de definiciones diferentes, por
ejemplo, el estudio de las relaciones entre Matemática, individuo y
sociedad, la reconstrucción de la Matemática actual a nivel elemental,
el desarrollo y evaluación de cursos matemáticos, el estudio del
conocimiento matemático, sus tipos, representación y crecimiento, el
estudio del aprendizaje matemático de los niños, el estudio y desarrollo
de las competencias de los profesores, el estudio de la comunicación e
interacción en las clases, etc.
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En cuanto a la Didáctica de la Matemática es una ciencia, diferente de la
Educación Matemática. En efecto, la palabra didáctica proviene del griego
didaktiké, de didásko, enseñar. Tiene numerosas acepciones. Es un vocablo
enriquecido en la Europa continental y empobrecido por el doblete enseñanza-
aprendizaje anglo norteamericano.
Como actividad general ha tenido un amplio desarrollo en las cuatro últimas
décadas del siglo pasado. Una de las tareas fundamentales es la de
estructurar los distintos componentes que caracterizan el proceso de
enseñanza y aprendizaje: el contenido, las formas y métodos de enseñanza,
los medios de enseñanza, de modo tal de alcanzar el encargo social,
apoyándose para ello en las leyes y regularidades inherentes a dicho proceso,
a la dinámica del proceso. Desde esa mirada los didactas son organizadores,
desarrolladores de educación, autores de libros de texto, profesores de toda
clase, incluso los estudiantes que organizan su propio aprendizaje individual o
grupal.
Además de la didáctica general es posible considerar la didáctica de cualquier
área (didáctica especial) que significa, en palabras de Freudenthal (1991, p 45):
la organización de los procesos de enseñanza y aprendizaje relevantes para tal
materia. Según lo expresa Pérez Ferra (2000:54)2, la didáctica de cada
área/materia es interna o intrínseca a ella porque si bien hay una metodología y
principios generales o comunes, pertenecientes a la Didáctica general y
dependientes de una teoría del aprendizaje, también es cierto que cada
área/materia tiene modos específicos de enseñanza y una tradición didáctica
propia de sus profesores
Para el caso puntual de la Didáctica de la Matemática compartimos otras
miradas diferentes. En principio es una disciplina del conocimiento
relativamente reciente que se ocupa del estudio de los fenómenos didácticos
ligados al saber matemático. Abordar la problemática, circunscripta bajo ese
2 Pérez Ferra, M., (2000). Conocer el curriculum para asesorar en los centros. Colección de Pedagogía dirigida por Miguel Angel Santos Guerra. Málaga: Ediciones Aljibe.
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título, supone una descripción minuciosa de propuestas, conceptos y miradas
que se suceden en el tiempo, o una mirada en profundidad de supuestos y
teorías transferidos, con mayor o menor rigurosidad, al ámbito académico.
Subrayamos la complejidad del concepto Didáctica de la Matemática, puesto
que incluye una colección muy grande de actividades y está organizada por
múltiples dimensiones. Acerca de ella invitamos al lector a releer el artículo
Didáctica de la Matemática. Consideraciones, publicado en el Número 21 de
esta revista.
En este artículo el eje central está destinado a los principales Programas de
Investigación más relevantes de la Didáctica de la Matemática contemporánea.
Cabe destacar que utiliza formas de investigación diferente a las corrientes que
vienen del área de la psicología.
Hemos creído conveniente considerar, previamente, algunas
conceptualizaciones vinculadas con el tema central.
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DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA COMO DISCIPLINA
CIENTÍFICA
Todas las didácticas específicas son disciplinas, relativamente jóvenes
que, a pesar de su historia, se han consolidado y afirmado en los planes de
estudio y dirigidos a la formación de docentes. Ha habido, no obstante, que
atravesar algunas crisis de identidad antes de llegar a tal afirmación. Se trata
de campos de conocimiento en las Ciencias de la Educación.
Del estudio de las corrientes epistemológicas se desprende que las teorías
científicas no pueden ser realizaciones individuales ni hechos aislados; debe
haber una comunidad de personas entre las que exista un acuerdo, al menos
implícito, sobre los problemas significativos de investigación y los
procedimientos aceptables de plantearlos y resolverlos. Es preciso compaginar
la autonomía personal en la elaboración de ideas y conceptos nuevos con la
necesidad de que estas ideas sean contrastadas y compartidas. Las teorías
son pues frutos o consecuencias de las líneas de investigación sostenidas por
una comunidad más o menos grande de especialistas en un campo
determinado.
La Didáctica de la Matemática es una disciplina del conocimiento relativamente
reciente que se ocupa del estudio de los fenómenos didácticos ligados al saber
matemático. Abordar la problemática, circunscripta bajo ese título, supone una
descripción minuciosa de propuestas, conceptos y miradas que se suceden en
el tiempo, o una mirada en profundidad de supuestos y teorías transferidos, con
mayor o menor rigurosidad, al ámbito académico.
Construir la Didáctica de la Matemática como una disciplina científica es una
de las más importantes tareas que se realizan en estos momentos en la
comunidad matemática y educativa. Es un proceso reciente (menos de 50
años) nutrido de circunstancias diversas que ha incluido: la reforma de la
Matemática (bajo el comando de los matemáticos de las universidades en las
décadas 1950 y 1960), poderosos cambios en la filosofía de la Matemática
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(que enfatizan una dirección falibilista, no absolutista, heurística,
socioempírica), desarrollo sostenido de comunidades profesionales de
educadores de la Matemática (profesores, investigadores, administradores), y
todo dentro de un escenario histórico bañado por una nueva etapa que ha
hecho del conocimiento su piedra de toque, y en particular del uso intenso de
diversas tecnologías), con variables vigorosas como la globalización e
internacionalización de casi todos los aspectos de la vida cotidiana.
Con especial intensidad se han desarrollado trabajos por grupos de
investigadores en diferentes partes del mundo para aportar nuevas ideas y
modelos epistemológicos sobre la Matemática y su didáctica.
Para este apartado nos planteamos este interrogante: ¿Qué entienden por
Didáctica de la Matemática distintos especialistas? Respondemos al
interrogante consignando un abanico de conceptualizaciones acerca de la
Didáctica de la Matemática. Las mismas serán mejor comprendidas en el
marco de las teorías respectivas.
� Para Steiner (1985) la complejidad de los problemas planteados en la
Didáctica de la Matemática produce dos reacciones extremas. En la primera
están los que afirman que no puede llegar a ser un campo con fundamentación
científica y, por lo tanto, la enseñanza de la Matemática es, esencialmente, un
arte. En la segunda postura encontramos aquellos que piensan que es posible
la existencia de la didáctica como ciencia y reducen la complejidad de los
problemas seleccionando sólo un aspecto parcial al que atribuyen un peso
especial dentro del conjunto, dando lugar a diferentes definiciones y visiones de
la misma.
Considera que la Didáctica de la Matemática debe tender hacia lo que Piaget
denominó transdisciplinariedad, lo que situaría a las investigaciones e
innovaciones en didáctica, dentro de las interacciones entre las múltiples
disciplinas, (Psicología, Pedagogía, Sociología entre otras, sin olvidar a la
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propia Matemática como disciplina científica) que permiten avanzar en el
conocimiento de los problemas planteados.
� Según Michéle Artigue (1998):
En Francia, la Didáctica de las Matemática se ha desarrollado como un
área de investigación, al poner en primer plano la especificidad de las
relaciones entre la enseñanza y el aprendizaje ligadas a la especificidad
del contenido a enseñar: la Matemática, y al imponerse la ambición de
comprender el funcionamiento de estas relaciones entre la enseñanza y el
aprendizaje y de poner en evidencia las leyes que las gobiernan,
haciendo explícita, al mismo tiempo, la necesidad de distanciar la
voluntad de acción inmediata sobre el sistema educativo.
� Por su parte Chevallard (1997) expresa:
La Didáctica de la Matemática trata del estudio de la Matemática. Es la
ciencia del estudio y de la ayuda al estudio de la Matemática. Su objetivo
es llegar a describir y caracterizar y los procesos de estudio – o procesos
didácticos - para proponer explicaciones y respuestas sólidas a las
dificultades con que se encuentran todos aquellos (alumnos, profesores,
padres, profesionales, etc.) que se ven llevados a estudiar matemática o
ayudar a otros a estudiar matemática. Por lo dicho, la enseñanza aparece
como un medio para el estudio y continúa diciendo (...) “la didáctica de la
matemática, sin negar la importancia de los factores psicológicos y
motivacionales, ya no presupone que las explicaciones últimas de los
fenómenos didácticos deban buscarse en dichos factores – que pasan así
a ser considerados como consecuencias de determinados fenómenos, y
no como sus causas. (...).
Para Chevallard (1980) el verdadero objetivo de la didáctica es la construcción
de una teoría de los procesos didácticos que nos proporcione dominio práctico
sobre los fenómenos de la clase.
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� Juan Godino plantea estas cuestiones:
¿Se trata de un saber meramente práctico, una tecnología fundada y
dependiente de otras ciencias, o, por el contrario, existen problemas
cuyas características requieren un nivel de análisis teórico y de una
metodología propias de un verdadero saber científico?
Menciona estas posiciones extremas:
• La didáctica como arte.
• Enfoque pluridisciplinar aplicado.
• La didáctica como disciplina científica autónoma.
Con referencia a la tercera posición propone: “Es la disciplina científica y el
campo de investigación cuyo fin es identificar, caracterizar, y comprender los
fenómenos y procesos que condicionan la enseñanza y el aprendizaje de las
matemáticas.”
� Para Godino y Batanero (1996):
La Didáctica de las Matemáticas estudia los procesos de enseñanza /
aprendizaje de los saberes matemáticos- en los aspectos teóricos-
conceptuales y de resolución de problemas- tratando de caracterizar los
factores que condicionan dichos procesos. Se interesa por determinar el
significado que los alumnos atribuyen a los términos y símbolos
matemáticos, a los conceptos y proposiciones, así como la construcción
de estos significados como consecuencia de la instrucción.
� Brousseau enriquece la definición de la Didáctica de la Matemática
afirmando que es “La ciencia de las condiciones específicas de la difusión
(impuesta) de los saberes matemáticos útiles a las personas y a las
instituciones humanas”. Con posterioridad agrega: (...) “es el estudio de la
evolución de las interacciones entre un saber, un sistema educativo y los
alumnos, con objeto de optimizar los modos de apropiación de este saber por
el sujeto”.
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Expresa: “La Didáctica de la Matemática estudia las actividades didácticas, es
decir las actividades que tienen por objeto la enseñanza, evidentemente en lo
que ellas tienen de específico de la Matemática”
� Régine Doaudy (1984) plantea la noción de dialéctica herramienta – objeto:
proceso cíclico en el que se organizan los roles respectivos del docente y de
los alumnos, donde los conceptos matemáticos juegan alternativamente el rol
de instrumento para resolver un problema y de objeto que toma un lugar en la
construcción de un saber organizado.
� Vicenç Font Mall en su conferencia Epistemología y Didáctica de las
Matemáticas expresa: “¿Cómo enseñar mejor las matemáticas? es, sin lugar a
dudas, la pregunta que origina el área de investigación que, en muchos países,
se conoce como Didáctica de las Matemáticas.”
Presenta el diagrama que consignamos a continuación.
Continúa diciendo:
Para contestar a esta pregunta podemos focalizar nuestra atención sobre
la mente del sujeto que ha de aprender, lo cual nos lleva a entender la
“comprensión” como “proceso mental” y a reflexiones psicológicas que
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nos pueden ayudar a saber lo que sucede en la mente del alumnos y,
como consecuencia, nos pueden dar indicaciones sobre cuándo y cómo
enseñar. También podemos centrar la atención en las instituciones donde
se produce el proceso de instrucción, lo cual nos lleva a entender la
“comprensión” como “comprender las normas” y a reflexiones de tipo
sociológico y antropológico que nos pueden informar de las normas
sociales que regulan los procesos de instrucción.
Y sigue así:
Por otra parte, en la formulación de la pregunta se dice claramente que lo
que hay que enseñar son matemáticas. Por tanto, es natural que para
contestar a esta pregunta dirijamos nuestra atención a las matemáticas.
¿Qué tipo de matemáticas hay que enseñar? O ¿Por qué hay que
enseñar matemáticas? son preguntas cuya respuesta depende de cómo
se hayan contestado otras pregunta más básicas propias de la filosofía de
las matemáticas como, por ejemplo: ¿Qué son las matemáticas? (…).
� Gérard Vergnaud
Este didacta tiene fuerte influencia vygotskyana. Según Vergnaud los alumnos,
en general, no son capaces de explicar, de expresar en lenguaje natural sus
teoremas-enacción aunque sean capaces de resolver ciertas tareas
(situaciones). Considera que, en general, cualquier persona muchas veces es
incapaz de poner en palabras cosas que hace muy bien, conocimientos que ya
posee, que se actúa con el auxilio de invariantes operatorios sin expresarlos o
sin ser capaces de expresarlos y que un análisis cognitivo de esas acciones,
muchas veces revela la existencia de potentes teoremas y conceptos-en-acción
implícitos.
Ese conocimiento, sin embargo, no puede ser, apropiadamente, llamado
conceptual pues el conocimiento conceptual es necesariamente explícito.
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DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA POR CONTENIDOS
En este apartado realizamos breves consideraciones acerca de la
Didáctica de la Matemática diferenciada por contenidos.
Para reflexionar:
• Una cosa son los contenidos matemáticos (conocimientos didácticos sobre
contenidos matemáticos),
• Otra cosa, son los contenidos didácticos (contenidos didácticos sobre
contenidos didácticos)
• ¿A qué nos referimos con la expresión Didáctica de la Estadística?
• La Didáctica de la Matemática y la búsqueda de nuevas técnicas de
innovación relacionadas con la enseñanza de la Estadística.
• ¿Cómo interpreta la expresión Didáctica de la Matemática con
especialización en Estadística?
• Encontramos en la red: Una estrategia didáctica para la enseñanza del
álgebra lineal con el uso del sistema de cálculo algebraico DERIVE. ¿Se refiere
a la Didáctica del Álgebra o a una mirada (desde la Didáctica de la Matemática)
a un contenido específico del Álgebra.
Es seguro que tratar desde la Didáctica de la Matemática los contenidos de
Álgebra, no es lo mismo que abordar los contenidos de Estadística, aunque
existan cuestiones semejantes y se tengan iguales marcos teóricos.
Por otra parte, los constructos de esas teorías son usadas tanto para el aula
como para realizar investigaciones.
Una de las características de las investigaciones de los niveles medios y
superior que se realizan en muchos países es que el énfasis se desplaza hacia
la división de los contenidos de acuerdo con las disciplinas tradicionales, al
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mismo tiempo que se abandonan los aspectos sociológicos, psicológicos y de
interacción en el aula propiamente dichos.
Esta tendencia se nota más cuanto más se avanza en los niveles escolares. En
los estudios correspondientes al nivel de secundaria se empiezan a definir las
disciplinas, pero todavía están presentes algunos aspectos más generales del
desarrollo individual:
• Cultura y comunicación en el aula
• Resolución de problemas
• Habilidades matemáticas
• Desarrollo curricular
• Estudios diagnósticos
• Evaluación de material didáctico
En los estudios correspondientes al nivel superior, el trabajo está totalmente
determinado por el contenido matemático definido de acuerdo con la división
disciplinaria clásica.
En lo que se refiere a las disciplinas, los desarrollos más importantes están
concentrados, por una parte, en el Álgebra (principalmente para los niveles
medios) y, por la otra, en el Cálculo (en los niveles medio superior y superior),
en la Estadística, la Probabilidad y en la Geometría, lo que no es del todo
extraño ya que estas temáticas son las que mayor peso tienen en el curriculum
de estos niveles escolares.
Los trabajos varían en el tiempo, en lo que se refiere a los aspectos que atraen
la atención de los investigadores: hacia el inicio de la década de los ochenta se
ve un gran interés en el análisis del curriculum, el diseño y el desarrollo
curricular y el análisis de textos en esas disciplinas.
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DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA E INVESTIGACIÓN
Didáctica de la Matemática es la disciplina científica interesada
principalmente, por el campo de la investigación, más puntualmente por
las cuestiones relativas a la enseñanza y aprendizaje de la Matemática.
En la Didáctica de la Matemática el enfoque sistémico es claramente necesario,
pues, además del sistema de enseñanza de la Matemática en su conjunto, y de
los propios sistemas conceptuales hay que considerar los sistemas didácticos
materializados en una clase, cuyos subsistemas principales son; el profesor,
los alumnos y el saber matemático.
Cuando se estudian los sistemas didácticos se consideran hechos y fenómenos
epistémicos (relacionados con el saber matemático), cognitivos (propios de los
sujetos que participan en un determinado proceso de estudio) e instruccionales
(relativos al proceso de enseñanza y a las restricciones supra-institucionales.
Según Juan Godino: “La investigación en Didáctica de la Matemática, al igual
que en otros campos (medicina, agricultura, administración,…), requiere tanto
de desarrollos teóricos como prácticos, esto es, tanto el estudio de los
fundamentos del desarrollo cognitivo y las diferencias individuales para el
aprendizaje de la Matemática, como de los problemas de toma de decisiones
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Sistema didáctico estricto Chevallard y Johsua (1982)
Cada polo de la terna es un subsistema.
Profesor
Alumno
Saber
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en el aula, la escuela y los programas de formación de profesores (Begle y
Giba, 1980).
Se trata de un continuo que va desde la investigación pura, no directamente
aplicable a la investigación y desarrollo de tipo tecnológico hasta la elaboración
de materiales para la instrucción, después de su correspondiente ensayo y
evaluación en entornos tanto de laboratorio, como en clases normales.”
Vicenç Font Moll expresa: “La Didáctica de la Matemática, entendida como
disciplina didáctica, en estos momentos tiene una posición consolidada en la
institución universitaria de muchos países. Otros indicadores de consolidación
institucional son las tesis doctorales defendidas sobre problemas de enseñanza
y aprendizaje de las matemáticas; los proyectos de investigación financiados
con fondos públicos y las diferentes comunidades y asociaciones de
investigadores en Didáctica de la Matemática. Por otra parte, existe un divorcio
muy fuerte entre la investigación científica que se está desarrollando en el
ámbito académico y su aplicación práctica a la mejora de la enseñanza de la
Matemática. Esta consolidación convive, con una gran confusión en las
agendas de investigación y en los marcos teóricos y metodológicos disponibles,
situación propia de una disciplina emergente.
En cuanto a los métodos de investigación podemos decir que se ha pasado del
predominio de un enfoque psicoestadístico en la década de los 70 y parte de
los 80, a los métodos cualitativos. Hoy en día los escenarios naturalistas y los
estudios de casos gozan de clara preferencia sobre aquellos en los que se
controlan y manipulan circunstancias y variables. En cuanto a los marcos
teóricos, si bien el enfoque psicológico no ha perdido su importancia se están
desarrollando también investigaciones dentro de otros enfoques como el
interpretativo, etnográfico, antropológico, sociocultural, etc.”
La necesidad de construir teorías es evidente, ya que constituyen una guía
para el planteamiento de problemas de investigación y para interpretar los
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resultados de las mismas. Un marco teórico permite sistematizar los
conocimientos dentro de una disciplina, lo que constituye un primer paso para
conseguir una visión clara de la unidad que pueda existir en nuestras
percepciones.
La teorización es un requisito para que un área de conocimiento alcance la
categoría de científica y pueda desempeñar su papel explicativo y predictivo de
fenómenos; puede decirse que la investigación científica significativa está
siempre guiada por una teoría, aunque a veces lo sea de modo implícito.
Lester (2010, p. 70) distingue entre tres tipos de marcos de investigación:
1) Marcos teóricos. Un marco teórico guía las actividades de investigación
por su dependencia de una teoría formal; esto es, una teoría que ha sido
desarrollada usando una explicación coherente y establecida de ciertos
tipos de fenómenos y relaciones – la teoría de Piaget del desarrollo
intelectual y la teoría del constructivismo socio-histórico de Vygotsky son
dos teorías relevantes usadas en el estudio del aprendizaje de los
alumnos.
2) Marcos prácticos. Estos marcos guían la investigación usando ―lo que
funciona en la experiencia de hacer algo por las personas directamente
implicadas en ello. Este tipo de marco no está informado por la teoría
formal sino por el conocimiento práctico acumulado de los prácticos y
administradores, los descubrimientos de las investigaciones previas, y con
frecuencia los puntos de vista ofrecidos por la opinión pública. Las
cuestiones de investigación se derivan de este conocimiento base y los
resultados de la investigación se usan para apoyar, extender, o revisar la
práctica.
3) Marcos conceptuales. Se trata de modelos teóricos locales que
argumentan o justifican que los conceptos elegidos para la investigación,
y las relaciones entre ellos serán apropiados y útiles para un problema de
investigación dado.
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Como los marcos teóricos, los marcos conceptuales se basan en la
investigación previa, pero los marcos conceptuales se construyen a partir de
una matriz de fuentes más o menos usuales y diversas. El marco usado puede
basarse en diferentes teorías y diversos aspectos del conocimiento práctico,
dependiendo de lo que el investigador pueda argumentar acerca de lo que será
relevante e importante para el problema de investigación.
Burkhardt (1988) distingue entre las teorías que denomina fenomenológicas y
teorías fundamentales.
Las teorías fenomenológicas son las que surgen directamente de los datos,
constituyendo un modelo descriptivo de una porción particular de fenómenos.
Se caracterizan por el rango limitado de objetos a los que se aplican, pero son
detalladas y específicas en sus descripciones y predicciones, resultando con
frecuencia de utilidad en el diseño del currículo y en la comprensión de los
fenómenos que ocurren, por su proximidad a la realidad.
Una teoría de tipo fundamental es una estructura conceptual de variables y
relaciones entre ellas que comprende los aspectos esenciales de un conjunto
de fenómenos. Tiene un carácter descriptivo y predictivo y es completa dentro
de un dominio bien delimitado. Se trata, por tanto, de modelos analíticos que
pretenden explicar un rango amplio de fenómenos en términos de unos pocos
conceptos básicos. Esta definición se ajusta a ciertos casos típicos de los
campos de la física y la biología, como la mecánica de Newton, la teoría
genética de Mendel, etc.
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PRINCIPALES PROGRAMAS DE INVESTIGACIÓN
Según Vicenç Font Mall, “los diferentes Programas de Investigación en
Didáctica de la Matemática se posicionan, de manera explícita, o
implícita, sobre aspectos ontológicos y epistemológicos para fundamentar sus
constructos teóricos.
Los constructos de cada teoría sirven como marco teórico para realizar
investigaciones en Didáctica de la Matemática, pero también deben servir para
orientar la mejora de la enseñanza de esta disciplina escolar (en cualquier nivel
de la escolaridad) y, muy en especial, deben ser útiles en la formación inicial y
permanente del profesorado.
Cabe agregar que las principales teorías de la Didáctica de la Matemática
provienen de la denominada Escuela Francesa. A partir de una serie de
constructos teóricos introducidos en los últimos años (como el de situación
didáctica, contrato didáctico, transposición de saberes, ingeniería didáctica,
juego de marcos, dialéctica herramienta – objeto, obstáculo didáctico, etc.),
está en vías de constituir un núcleo duro de conceptos teóricos que sirva de
soporte a un programa de investigación en el sentido de Lakatos. Su capacidad
de plantear nuevos problemas de investigación y de enfocar los ya clásicos
desde una nueva perspectiva, se pone de manifiesto a través de la producción
científica de un conjunto de investigadores.
Los conceptos introducidos por la Escuela Francesa se utilizan cada vez con
mayor frecuencia como organizadores de las explicaciones producidas por
otros grupos de investigación en todo el mundo.
En lo que sigue se propone una breve reflexión acerca del estado actual y
perspectivas futuras de la Didáctica de la Matemática como disciplina científica.
Consignamos tres afirmaciones para tener en cuenta:
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1.- La Didáctica de la Matemática ha logrado en la actualidad una posición
consolidada desde el punto de vista institucional a nivel internacional, aunque
no homogénea en las diversas regiones y países.
2.- Existe una gran diversidad en las agendas de investigación y confusión en
los marcos teóricos y metodológicos disponibles, situación propia de una
disciplina emergente.
3.- Existe un divorcio fuerte entre la investigación científica que se está
desarrollando en el ámbito académico y su aplicación práctica a la mejora de la
enseñanza de las Matemática.
Hemos seleccionado los siguientes marcos teóricos.
Teoría de las funciones semióticas (TFS)
Se trata de una teoría que se sitúa en un nivel más local; apunta a modelar
situaciones de enseñanza de modo de permitir una elaboración y una gestión
controlada y se fundamentan en un enfoque eminentemente constructivista,
partiendo del principio que los conocimientos se construyen por adaptación a
un medio que aparece como problemático para el sujeto.
Juan D. Godino y sus colaboradores, en distintos trabajos: Godino y Batanero
(1994, 1998), Godino (2002), Godino, Contreras y Font; Godino, Batanero y
Roa, han planteado un modelo teórico que pretende articular las facetas
semiótica, epistemológica, antropológica y psicológica implicadas en la
enseñanza y aprendizaje de la Matemática, actualmente denominado “enfoque
ontosemiótico de la cognición e instrucción matemática” o “enfoque
ontosemiótico”. En algunas publicaciones se la designa como Teoría de las
funciones semióticas (TFS).
En el comienzo trabajan una teoría del significado de los objetos matemáticos,
descrita por Godino y Batanero (1994), que reconoce un papel fundamental a
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las situaciones-problema y a las acciones de las personas e instituciones en la
construcción del conocimiento matemático.
En dicha teorización proponen una reconceptualización de algunos constructos
básicos, como la noción de objeto matemático, significado y comprensión, así
como el estudio de sus relaciones mutuas. Asimismo, distinguen para dichos
constructos dos dimensiones interdependientes: personales e institucionales.
Actualmente amplían el conjunto de nociones teóricas que configuran “un
enfoque ontosemiótico de la cognición e instrucción matemática, por el papel
central que asignan al lenguaje, a los procesos de comunicación e
interpretación y a la variedad de objetos intervinientes" (Godino, Font,
Contreras, Wilhelmi, 2005).
En lo que sigue de este subapartado se hace una reseña de algunas de las
ideas de la Escuela Francesa de Didáctica de la Matemática que ha acuñado
un nuevo enfoque en la Didáctica de la Matemática. Pero, ¿qué es esta
Escuela?
Dentro de la comunidad de investigadores que, desde diversas disciplinas, se
interesan por los problemas relacionados con la educación matemática, se ha
ido destacando en los últimos años, principalmente en Francia, un grupo -
donde sobresalen los nombres de Brousseau, Chevallard, Vergnaud que se
esfuerza en realizar una reflexión teórica sobre el objeto y los métodos de
investigación específicos en Didáctica de la Matemática
El año 1993 representa un hito en esa comunidad de investigadores en razón
de un coloquio celebrado en París en junio de ese año bajo el título “Veinte
años de Didáctica de las Matemáticas en Francia: homenaje a Guy Brousseau
y Gérard Vergnaud”.
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Según Artigue (1998) "en Francia, la Didáctica de la Matemática se ha
desarrollado como un área de investigación al poner en primer plano la
especificidad de las relaciones entre la enseñanza y el aprendizaje ligadas a la
especificidad del contenido a enseñar: la Matemática, y al imponerse la
ambición de comprender el funcionamiento de estas relaciones entre la
enseñanza y el aprendizaje y de poner en evidencia las leyes que las
gobiernan, haciendo explícita, al mismo tiempo, la necesidad de distanciar la
voluntad de acción inmediata sobre el sistema educativo".
Si se compara la didáctica que se ha desarrollado en Francia con aquella que
se ha desarrollado en numerosos países, la didáctica francesa aparece como
más unitaria y más teorizada (Kilpatrick, 1994, Grouws, 1992).
Para otros autores, la denominada Escuela Francesa de Didáctica de la
Matemática, nació en el año 1970 como consecuencia de las preocupaciones
de un grupo de investigadores -en su mayoría matemáticos de habla francesa-,
por descubrir e interpretar los fenómenos y procesos ligados a la adquisición y
a la transmisión del conocimiento matemático.
En ese año se crearon de los primeros IREM: Institutos para la Investigación de
la Enseñanza de las Matemáticas, conjuntamente con la publicación de los
primeros artículos de Brousseau.
En esta escuela se destacan dos convicciones epistemológicas:
• por un lado, la de que la identificación e interpretación de fenómenos y
procesos objeto de interés supone el desarrollo de un cuerpo teórico, y no
puede reducirse a observaciones realizadas a partir de experiencias aisladas ni
a cuestiones de opinión;
• por otro lado, la convicción de que ese cuerpo teórico debe ser específico
del saber matemático, y no puede provenir de la simple aplicación de una
teoría ya desarrollada en otros dominios (como la psicología o la pedagogía).
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Los docentes e investigadores de los equipos IREM desarrollaron metodologías
de investigación propias de la tradición francesa, como la ingeniería didáctica
encontrada particularmente en los trabajos de Brousseau, Artigue, Douady,
Perrin y Robinet, la Teoría de Situaciones Didácticas y de obstáculos de
Brousseau, la Teoría de la Transposición didáctica de Chevallard, además de
aproximaciones histórica y didáctica de la Matemática que propician un
carácter más humano de esta ciencia y enfatiza la evolución de algunas
nociones.
Ese conjunto de investigadores son los que contribuyen a una concepción,
llamada por sus autores concepción fundamental de la didáctica, que presenta
caracteres diferenciales respecto de otros enfoques. En efecto, se trata de una
concepción global de la enseñanza, estrechamente ligada a la Matemática y a
teorías específicas de aprendizaje, y búsqueda de paradigmas propios de
investigación, en una postura integradora entre los métodos cuantitativos y
cualitativos. También cabe destacar el interés por establecer un marco teórico
original, desarrollando sus propios conceptos y métodos y considerando las
situaciones de enseñanza y aprendizaje globalmente. Los modelos
desarrollados comprenden las dimensiones epistemológicas, sociales y
cognitivas y tratan de tener en cuenta la complejidad de las interacciones entre
el saber, los alumnos y el profesor, dentro del contexto particular de la clase.
Si se compara la didáctica que se ha desarrollado en Francia con aquella que
se ha desarrollado en numerosos países, la didáctica francesa aparece como
más unitaria y más teorizada (Kilpatrick, 1994, Grouws, 1992).
Hay un llamado al carácter específico en la Didáctica de la Matemática; se
subraya entonces lo que es su punto de partida: la Matemática. La nueva etapa
o visión aporta nociones, términos, y métodos novedosos en la Didáctica de la
Matemática, todos interpretados como una reconstrucción teórica de las
fronteras de esta nueva disciplina. Colocar la Matemática como un componente
más genera una distorsión grave, por un lado coloca a los especialistas de las
otras disciplinas no matemáticas en imposibilidad de intervenir sobre los temas
que no saben (los contenidos matemáticos) y atrincherarse en sus
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formaciones. Brousseau es muy preciso al respecto: “Las vías de investigación
que se favorecen naturalmente son pues las que reposan sobre la hipótesis de
una vaga complementariedad en el seno de equipos pluridisciplinares, y que se
expresan en un lenguaje común a todo el mundo; quedan excluidas, casi con
toda certeza, las investigaciones sobre lo que es específico del conocimiento
que se pretende, en beneficio de asuntos más generales”. (Brousseau, 1991)
Por otro lado: empuja a los matemáticos a encerrarse exactamente en los
contenidos. “Los enseñantes y los especialistas de la disciplina en cuestión
(aquí los matemáticos que enseñan en las facultades de educación, a los que,
en algunos casos, se les ha llegado a llamar “fundamentalistas”) se ven
conducidos entonces a minimizar el papel de toda teoría, a poner en primer
plano el contenido puro o la experiencia profesional.” (Brousseau, 1991). La
formación de los profesores es entonces un “embutido”: “La formación de los
profesores se concibe como yuxtaposición de enfoques y de teorías
independientes, cuya integración y utilización se deja a cargo de los propios
profesores. En ausencia de una responsabilidad teórica y técnica sobre la
enseñanza misma, cada investigación en «didáctica» fundada sobre una de las
disciplinas conexas no tratará en el mejor de los casos más que uno de los
aspectos de la cuestión y desembocará en advertencias, observaciones,
análisis científicos lanzados al foro, señalando a los enseñantes. Estos
reproches, de nula utilidad para los profesores, están destinados en realidad,
muy a menudo, al público, y éste los transforma en exigencias impacientes, en
picotas ideológicas y finalmente en críticas obsesivas de la enseñanza.”
(Brousseau, 1991)
Los profesores en general (en formación o en actividad) se alejan de quienes
producen Matemática; y a la vez los matemáticos se alejan de los temas de la
enseñanza. ¿A cuál perspectiva conduce esto?
La Didáctica de la Matemática debe considerarse parte de la Matemática: “La
inclusión de la Didáctica de la Matemática en la Matemática se justifica por los
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conocimientos esperados de la conexión de las estructuras correspondientes”
(Brousseau, 1991).
Para Brousseau ésta es la única opción para preservar la nueva disciplina y no
subordinarse a las otras ciencias humanas (Educación, Historia, Sociología
etc.). Su posición es tajante: “La eficacia, la calidad y la coherencia de la
enseñanza ganarían con ello, pero, sobre todo, se trata de reafirmar los lazos
que se corre el riesgo de que no se anuden naturalmente y que son
indispensables: es poco probable que los didactas puedan mantenerse por más
tiempo a resguardo de las interpelaciones de las ciencias humanas o del medio
que pretenden tratar; por el contrario, nada concreto atrae verdaderamente a la
comunidad matemática a tratar seriamente y con respeto sus problemas
epistemológicos, sociológicos y morales mediante la didáctica. Hace falta, al
menos por ahora, que los didactas estén en la comunidad matemática porque a
ella es a la que deben hablar y sobre ella deberán actuar finalmente. ¡Que los
matemáticos los controlen, de acuerdo, pero que no puedan desembarazarse
de la responsabilidad de su acción, sea cual fuere la suerte que les reserven!”
(Brousseau, 1991)
Por supuesto, se busca también que los matemáticos asuman la didáctica
como una tarea intrínseca a sus quehaceres. No solo debido a que para hacer
didáctica hay que poseer dominio de la Matemática, sino especialmente porque
la transposición didáctica es parte de su práctica: “Reorganizar su pensamiento
para comunicarlo, o para enseñarlo, elegir lo que va a convencer, lo que va a
ser útil, etc., constituye una parte importante de la actividad de los productores
de matemáticas; pero reorganizar las matemáticas para enseñarlas y para
favorecer nuevas investigaciones es una competencia esencial de la propia
Investigación. Es un acto de matemático que es un efecto, controlado o no,
también del trabajo del enseñante. No es posible a los matemáticos controlar
esta transposición didáctica sobre la base de una transparencia ilusoria. La
complejidad de los fenómenos les obliga a ejercer esta fase esencial de su
actividad colectiva con la ayuda de los medios nuevos y apropiados que
propone la didáctica. Por todas estas razones, la Didáctica de la Matemática
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forma parte de la Matemática, incluso si la organización actual de los
conocimientos, profundamente estructuralista, no le puede reservar un sector
en el sentido clásico.” (Brousseau, 1991)
Es decir: no solo se asume que todo fenómeno didáctico posee un componente
matemático esencial (lo que hacía necesario convertir las prácticas
matemáticas escolares en objeto primario de investigación), sino que todo
fenómeno matemático tiene un componente didáctico esencial.
Hay otros conceptos relevantes como los de obstáculo didáctico y campo
conceptual que tenemos que mencionar en esta breve reseña. En relación con
el primero: “Un obstáculo es una concepción que ha sido en principio eficiente
para resolver algún tipo de problemas, pero que falla cuando se aplica a otro.
Debido a su éxito previo se resiste a ser modificado o a ser rechazado: viene a
ser una barrera para un aprendizaje posterior. Se revela por medio de los
errores específicos que son constantes y resistentes. Para superar tales
obstáculos se precisan situaciones didácticas diseñadas para hacer a los
alumnos conscientes de la necesidad de cambiar sus concepciones y para
ayudarles en conseguirlo.” (Godino, 2003)
Los campos conceptuales emergen debido a que las situaciones didácticas no
se pueden analizar solamente con un concepto. Entonces, un campo
conceptual refiere a varios conceptos, métodos y formas de representación.
Por ejemplo, las estructuras multiplicativas, las aditivas, etc.
Todo este tipo de consideraciones teóricas han llevado a una definición mucho
más general de la Didáctica de la Matemática: “ciencia de las condiciones
específicas de la difusión (impuestas) de los saberes matemáticos o útiles a las
personas y a las instituciones humanas” (Brousseau, 1994).
De esta manera, se amplía la aplicación del campo de la Didáctica de la
Matemática más allá del sistema escolar.
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Presentamos una síntesis de los principales Programas de Investigación de la
Escuela Francesa.
1. Teoría de las Situaciones Didácticas y Guy Brou sseau, 1986 .
Se trata de una teoría que se sitúa en un nivel más local; apunta a modelar
situaciones de enseñanza de modo de permitir una elaboración y una gestión
controlada y se fundamentan en un enfoque eminentemente constructivista,
partiendo del principio que los conocimientos se construyen por adaptación a
un medio que aparece como problemático para el sujeto.
2. Teoría de los Campos Conceptuales y Gérad Vergn aud.
Se preocupa del ecosistema en el que viven los distintos saberes y las
relaciones que aparecen ligando estos saberes a otros, por ejemplo: el campo
de las funciones lineales en IR comprende inseparablemente a los problemas
de la multiplicación.
3. Yves Chevallard: La Transposición Didáctica y l a Teoría
Antropológica de la Didáctica
La primera teoría apunta al análisis de los procesos que conducen desde los
productos legitimados por la institución matemática sabia a los objetos de
enseñanza que viven cotidianamente en las clases.
La segunda, es una apertura del campo de acción y de preocupación de la
didáctica, de tal forma que se tenga en cuenta todos esos “factores” que se
encuentran por fuera de las situaciones didácticas y que influyen en el proceso
de enseñanza y aprendizaje.
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4. Régine Douady: Juego de Marcos y la Dialéctica Herramienta –
Objeto.
La dialéctica herramienta - objeto y el juego de esquemas (marcos) permiten
proponer una metodología de trabajo dentro del aula en la que los alumnos
simulan la investigación y construyen y consolidan su conocimiento. Los
conceptos matemáticos pueden tener carácter de herramienta o de objeto para
el estudiante. La dialéctica herramienta-objeto provoca el desarrollo de una
Matemática con significado.
5. Michèlle Artigue: Ingeniería Didáctica
La operacionalización de la Teoría de Situaciones se constituye en la llamada
ingeniería didáctica, ingeniería por cuanto se ocupa tanto de la investigación
acerca del sistema de enseñanza como de la producción de objetos de
enseñanza.
Las siguientes propuestas no están entre los Programas anteriores de la
Escuela Francesa.
6. Raymond Duval: Teoría de los Registros de Expr esión o
Registros Semióticos
Para describir un objeto matemático es necesario recurrir a los registros de
expresión, que constituyen sistemas de signos que permiten expresar
nociones, ideas, etc. y que pueden ser de diversa índole: diagramas, gráficos,
registros figurales, expresiones algebraicas, etc. R. Duval ha estudiado, desde
las ciencias cognitivas, cuáles son los fenómenos que se producen al hacer
cambios desde un registro a otro.
Nota: Raymond Duval, psicólogo francés y creador de un modelo cognitivo del pensamiento
basado en los sistemas de registros semióticos.
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7. Van Hiele: Niveles de razonamiento.
Otra teoría relevante para la investigación didáctica es la de los niveles de
razonamiento de Van Hiele, con trabajos específicos en Geometría. La teoría
de Van Hiele tiene su origen en las disertaciones doctorales de Dina Van Hiele-
Geldof y su esposo, Pierre Van Hiele, en la Universidad de Utrecht, Holanda,
en 1957.
Pierre Van Hiele (1957-1984) propuso cinco fases de enseñanza que pueden
guiar al maestro o profesor en el diseño y facilitación de experiencias de
aprendizajes apropiadas para que el estudiante progrese en matemática. Las
fases son las siguientes: información (el estudiante trabaja con el material que
el maestro o el profesor le presenta para familiarizarse con la estructura del
material, guiado por preguntas que le proporciona el maestro o el profesor),
explicitación (el estudiante aprende a expresar lo que ha aprendido sobre el
material en un lenguaje correcto); orientación libre (el estudiante aplica ahora
su nuevo lenguaje en nuevas investigaciones sobre el material, esto se hace
posible realizando tareas que puede completar de diversas maneras), e
integración (el estudiante adquiere una visión general del material que ha
aprendido).
La principal razón de fracaso del currículo tradicional de geometría fue atribuida
por los esposos Van Hiele al hecho de que el currículo se presentaba a un nivel
más alto que el de los alumnos. La teoría de Van Hiele distingue cinco niveles
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ARTICULACIÓN DE LOS PRINCIPALES PROGRAMAS DE
INVESTIGACIÒN
Según Godino (1991): “La teorización es un requisito a fin de que un
área del conocimiento consiga la categoría de científica y pueda desarrollar su
papel explicativo y predictivo de los fenómenos.”
Hemos tratado de hacer una reseña con algunos de los desarrollos teóricos de
la didáctica de la matemática, particularmente de las grandes corrientes o
líneas de investigación actuales; este desarrollo es muy rico dado el carácter
relativamente reciente de esta área de conocimiento. El mismo puede definirse
como el de un campo de investigación emergente en el que se identifican un
cúmulo de teorías.
Juan Godino, (Universidad de Granada), Vicenç Font Mall, (Universidad de
Barcelona), Ángel Contreras (Universidad de Jaén), Miguel Wilhelmi
(Universidad Pública de Granada), consideran que el carácter relativamente
reciente del área de conocimiento de Didáctica de la Matemática explica que no
exista aún un paradigma de investigación consolidado y dominante.
Distintos autores como Sierpinska y Lerman (1996); Gascón (1998) y Font
(2002) realizaron trabajos con propuestas de organización de las producciones
de los distintos Programas de Investigación en Didáctica de la Matemática, y en
ellos podemos conocer el número y calidad creciente de las investigaciones en
el área, lo que nos permitiría decir que la didáctica de la matemática se está
consolidando como disciplina y como campo autónomo de conocimiento.
Nos pareció interesante finalizar con la metáfora de la tela de araña debida a
Mosterín (1987): “Somos como arañas, y las teorías como las redes o las telas
de las arañas, con las cuales buscamos captar y capturar el mundo. No es
necesario confundir estas redes o telas de araña con el mundo real, pero, sin
ellas, estaremos más alejados de poderlo captar y, por último, disfrutarlo!”.
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