Tema2 estática de partículas.teoría
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Extracto de los textos:
“ MECANICA VECTORIAL para INGENIEROS-Estática” Beer, Johnston y Eisenberg. 8ª Edición.
“ MECANICA para INGENIEROS-Estática” Russell C. Hibbler. 6ª Edición.
2.ESTÁTICA DE PARTÍCULAS
Resumen de Teoría
1 TECNO ACADEMY- PP RUBIO
Mecánica-Estática. Ingeniería Civil
Estática de partículas.
Introducción. Objetivo del tema.
2 TECNO ACADEMY- PP RUBIO
Estudiar el efecto de las fuerzas sobre las partículas.
Sustituir dos o mas fuerzas por una sola fuerza equivalente o fuerza RESULTANTE.
Relaciones necesarias entre las fuerzas para el EQUILIBRIO de la partícula.
Mecánica-Estática. Ingeniería Civil
Estática de partículas.
Vectores.
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• Vector: Se define por su magnitud , dirección y sentido, y se
suman siguiendo la regla del paralelogramo. Ejemplos:
Fuerzas, desplazamientos, velocidades, aceleraciones.
• Vectores Iguales tienen la misma magnitud y dirección.
• Clasificación de vectores:
- Fijos: Su punto de aplicación no puede ser modificado sin
afectar al resultado.
- Libres: Pueden moverse libremente en el espacio sin afectar
al resultado.
- Deslizantes: Pueden aplicarse en cualquier punto de su línea
de acción sin afectar al resultado.
• El Vector Negativo de un vector dado tiene la misma magnitud
y dirección opuesta.
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Estática de partículas.
Resultante de 2 fuerzas
Las fuerzas son cantidades vectoriales que se
caracterizan por un punto de aplicación, una
magnitud, una dirección y un sentido. Se suman de
acuerdo con la ley del paralelogramo. La magnitud y
dirección de la resultante R de dos fuerzas P y Q se
pueden determinar ya sea gráficamente (la diagonal
del paralelogramo) o por trigonometría, utilizando
sucesivamente la ley de los cosenos y la ley de los
senos.
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Estática de partículas.
Componentes de una fuerza
Cualquier fuerza dada que actúe sobre una partícula puede
descomponerse en dos o mas componentes, es decir, se
puede reemplazar por dos o mas fuerzas que tengan el
mismo efecto sobre la partícula.
Se puede descomponer una fuerza F en dos componentes
P y Q al dibujar un paralelogramo que tenga a F por su
diagonal; entonces, las componentes P y Q son
representadas por los dos lados adyacentes del
paralelogramo y se pueden determinar ya sea en gráficas o
por trigonometría.
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Estática de partículas.
Componentes rectangulares. Vectores unitarios.
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Se dice que una fuerza F se ha dividido en dos componentes
rectangulares si sus componentes Fx y Fy son perpendiculares
entre si y se dirigen a lo largo de los ejes coordenados. Al
introducir los vectores unitarios i y j a lo largo de los ejes x e y,
respectivamente, se escribe
F x = Fx i Fy= Fy j y F = Fxi + Fy j
donde Fx y Fy son las componentes escalares de F. Estas
componentes, que pueden ser positivas o negativas, se definen
por las relaciones
Fx = F cos θ Fy = F sen θ (1)
Cuando se dan las componentes rectangulares Fx y Fy de una
fuerza F, el ángulo θ que define la dirección de la fuerza se
puede obtener al escribir
La magnitud F de la fuerza se puede obtener al resolver una de
las ecuaciones (1) o al aplicar el teorema de Pitágoras y escribir
Fy
Fxtan
22 FyFxF
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Ejemplo de expresión vectorial de una fuerza.
Determinar las componentes x e y de F1 y F2 de la figura (a).
Exprese cada fuerza como una expresión vectorial.
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Solución
Notación escalar. Ya que F1 actúa a lo largo del eje y
negativo y la magnitud de F1 es 100 N, las componentes
escritas en forma escalar son .
F1x = 0, F1y = -100 N Resp.
Por la ley del paralelogramo, F2 se resuelve en
componentes x e y, figura (b). La magnitud de cada
componente se determina por trigonometría. Ya que F2x
actúa en la dirección –x y F2y actúa en la dirección +y,
tenemos,
F2x = -200 sen 60° N = -173 N Resp.
F2y= 200 cos 60° N = 100 N Resp.
Notación vectorial. Habiendo calculado las magnitudes
de las componentes de F2 figura (b), podemos expresar
cada fuerza por sus componentes rectangulares.
F1 = 0i + 100 N(-j)= (-100j) N Resp.
F2 = 200 sen 60° N(-i) + 200 cos 60° N(j)
= (-173i + 100j)N Resp
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Ejemplo de componentes rectangulares de una fuerza.
Exprese la fuerza F que actúa sobre el gancho de
la figura a por sus componentes rectangulares.
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Solución
En este caso, los ángulos de 60° y 30° que definen la
dirección de F no son ángulos directores coordenados.
Mediante dos aplicaciones sucesivas de la ley del
paralelogramo, sin embargo, F puede resolverse en sus
componentes x, y y z como en la figura b. Primero, del
triángulo vertical
F' = 4 cos 30° = 3.46 kN
Fz = 4 sen 30° = 2.00 kN
Después, usando F' y el triángulo horizontal, Por tanto;
Fx = 3.46 cos 60° = 1.73 kN
Fy = 3.46 sen 60° = 3.00 kN
F = (1.73i + 3.00j + 2.00k) kN Resp . .
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Resultantes de varias fuerzas coplanares.
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Cuando tres o mas fuerzas coplanares actúan sobre una partícula, las
componentes rectangulares de su resultante R se pueden obtener al
sumar en forma algebraica las componentes correspondientes de las
fuerzas dadas.
R = P + Q + S
Si se descompone cada fuerza en sus componentes rectangulares, se
escribe
Rxi + Ryj = Pxi + Pyj + Qxi + Qyj + Sxi + Syj
= (Px + Qx + Sx) i + (Py + Qy + Sy)j
o, en forma breve,
FxRx FyRy
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Fuerzas en el espacio.
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Una fuerza F en un espacio tridimensional se puede descomponer en componentes
rectangulares Fx, Fy y Fz. Al simbolizar por medio de θx, θy y θz, respectivamente, los
ángulos que F forma con los ejes x, y y z, se tiene
Fx = F cos θx Fy = F cos θy Fz = F cos θz
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Cosenos directores.
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Los cosenos de θx, θy y θz se conocen como los cosenos directores de la fuerza F. Con la
introducción de los vectores unitarios i, j y k a lo largo de los ejes coordenados, se escribe
F=Fx i + Fy j + Fz k o F=F(cosθxi +cosθyj + cosθzk)
Lo que demuestra que F es el producto de su magnitud F y del vector unitario λ
λ =cosθxi +cosθyj + cosθzk
Puesto que la magnitud de λ es la unidad, se tiene que
cos2θxi +cos2θyj + cos2θzk = 1
Si conocemos las componentes rectangulares Fx, Fy y Fz de una
fuerza F, la magnitud o módulo F se obtiene de
222 FzFyFxF
y los cosenos directores de F serán
cosθx=Fx/F cosθy=Fy/F cosθz=Fz/F
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Cuando una fuerza F se define en un espacio
tridimensional por medio de su módulo F y de
dos puntos M y N sobre su línea de acción, sus
componentes rectangulares se obtienen:
1.Expresando el vector MN por sus componentes
rectangulares dx , dy y dz.
2.Se determina el vector unitario de MN, λMN de
la línea de acción de MN y F
(d= módulo de MN)
3. Como F=FλMN
de lo que se desprende que las
componentes escalares F son:
222
)(
zyx
zyx
MN
ddd
kdjdid
d
MN
kjid
F zyx dddF
d
xx
FdF
d
y
y
FdF
d
zz
FdF
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Resultante de fuerzas en el espacio.
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Cuando dos o más fuerzas actúan sobre una partícula en el espacio
tridimensional, las componentes rectangulares de su resultante R se pueden
obtener al sumar en forma algebraica las componentes de las fuerzas. Se tiene:
La magnitud y dirección de R se pueden determinar:
cosθx = Rx/R cosθy = Ry/R cosθz = Rz/R
xx FR yy FR zz FR
2
z
2
y
2
x RRRR
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Equilibrio de una partícula.
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Se dice que una partícula está en equilibrio cuando la
resultante de todas las fuerzas que actúan sobre ella
es cero. La partícula entonces permanecerá en reposo
(si originalmente se encuentra en reposo) o se moverá
con velocidad constante en una línea recta (si se
encontraba originalmente en movimiento).
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Diagrama de cuerpo libre.
17 TECNO ACADEMY- PP RUBIO
Para resolver un problema que se refiera a una partícula en equilibrio, primero
se deberá dibujar un diagrama de cuerpo libre de la partícula que muestre
todas las fuerzas que actúan sobre ella. Si solo actúan tres fuerzas coplanares
sobre la partícula, se puede dibujar un triangulo de fuerzas para expresar que la
partícula se encuentra en equilibrio. Este triangulo se puede resolver
graficamente o por trigonometria para no más de dos incógnitas. Si se incluyen
más de tres fuerzas coplanares, se deberán utilizar y resolver las ecuaciones de
equilibrio
Estas ecuaciones pueden ser usadas para no más de dos incógnitas
0 xF 0 yF
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Equilibrio en el espacio.
18 TECNO ACADEMY- PP RUBIO
0 xF 0 yF 0 zF
Cuando una partícula esta en equilibrio en el espacio tridimensional, deberán
usarse y resolverse las tres ecuaciones de equilibrio
Estas ecuaciones se pueden resolver para no más de tres incógnitas.
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Ejemplo de equilibrio de 3 fuerzas concurrentes coplanares.
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Determine la tensión en las cuerdas AB y
AD para el equilibrio de la caja de 10 kg de
la figura 3.6a.
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Solución
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El diagrama de cuerpo libre de la caja se muestra en la
figura b. Aquí el peso de la caja es (10 kg)(9.81 m/s2) =
98.1N. En consecuencia, la fuerza de la cuerda CA sobre
la caja debe también ser igual a 98.1 N para que esté en
equilibrio.
Por la tercera ley de Newton es igual pero opuesta en
sentido al actuar en la cuerda CA, figura C y, por tanto, la
cuerda se mantiene en equilibrio por la fuerza de 98.1 N
del anillo.
La fuerza en las cuerdas AB y AD podrá obtenerse ahora
investigando el equilibrio del anillo en A, porque esta
"partícula“ está sujeta a la acción de esas dos fuerzas.
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Diagrama de cuerpo libre.
Como se aprecia en la figura d, hay tres fuerzas
concurrentes que actúan sobre el anillo. Las tensiones TB
y TD tienen magnitudes desconocidas pero direcciones
conocidas. La cuerda AC ejerce una fuerza hacia abajo en
A que es igual a 98.1 N .
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Ecuaciones de equilibrio. Ya que las ecuaciones de
equilibrio requieren sumas de las componentes x y las
componentes y de cada fuerza, TB debe descomponerse en
sus componentes correspondientes.
Estas componentes, que aparecen en línea punteada en el
diagrama de cuerpo libre, tienen magnitudes de TB cos30°
y TB sen30°, respectivamente. Si se aplican las ecuaciones
de equilibrio, tenemos
Fx=0 TB cos 30° - TD = 0 (1)
Fy=0 TB sen 30° - 98.1 = 0 (2)
Al resolver la ecuación (2) en TB y sustituir en la ecuación
(1) para obtener TD, se tendrá
TB = 196 N TD =170N Resp.
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Ejemplo de equilibrio de una partícula en el espacio.
Determine la fuerza desarrollada en cada uno de los
cables que sostienen la caja de W=40 lb de la figura a.
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Solución
Diagrama de cuerpo libre.
Como se muestra en la figura b, se considera el diagrama de
cuerpo libre A para "exponer" las tres fuerzas desconocidas en los
cables y obtener por ese medio sus magnitudes.
Ecuaciones de equilibrio.
F=0; FB+FC+FD+W=0 (1)
Ya que las coordenadas de los puntos B y C son B (-3, -4, 8) y
C (-3,4,8), tenemos
= -0.318FBi-0.424FBj+0.848FBk
222B
843-
8k4j-3iF BF
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222C
843-
8k4j3iF CF
=-0.318FCi+0.424FCj+0.848FCk
FD=FDi
W=-40k
Al sustituir estas fuerzas en la ecuación (1) se tiene
-0.318FBi-0.424FBj+0848FBk-0.318FCi+0.424FCj
+0.848FCk+FDi-40k
Si se igualan las respectivas componentes i, j, k a cero:
Fx=0; -318FB-0.318FC+FD=0
Fy=0; -0.424FB+0.424FC=0
Fz=0; 0.848FB+0.848FC-40=0
Resolviendo el sistema
FB=FC=23.6 lb FD=15.0 lb Resp.
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Extracto de los textos:
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“ MECANICA para INGENIEROS-Estática” Russell C. Hibbler. 6ª Edición.
2.ESTÁTICA DE PARTÍCULAS
Resumen de Teoría
26 TECNO ACADEMY- PP RUBIO
Mecánica-Estática. Ingeniería Civil
Fin del resumen