Tema V (Funciones Lineales)
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Tema VFunciones Lineales
Precálculo
Objetivos
• Determinar cuando una función es lineal.
• Graficar una función lineal, dados dos puntos, una tabla, una ecuación, o un punto y una pendiente.
• Utilizar la forma pendiente-intercepto y punto-pendiente para escribir funciones lineales.
• Escribir funciones lineales para resolver problemas.
Funciones Lineales
• Funciones lineales
– Son funciones con una razón de cambio constante.
– Pueden ser escritas de la forma y = mx + b, donde x es la variable independiente y m y b son constantes.
– La gráfica de una función lineal es una línea recta compuesta de todos los puntos que satisfacen y = f(x).
Reconociendo Funciones Lineales
Determina si los siguientes conjuntos de data representan una función lineal.
x 0 2 4 6
f (x) -1 2 5 8
x -1 2 5 8
f (x) 0 1 3 6
Pendiente
• La razón de cambio constante para una función lineal es la pendiente.
La de una función lineal es
cambio en risela razón o .
cambio
pendien
en
t
n
e
ru
f x
x
Graficando Rectas utilizando un Punto y la Pendiente
• Grafica cada recta.
2
La recta con pendiente que pasa por 1,1 .3
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y
Graficando Rectas utilizando un Punto y la Pendiente
• Grafica cada recta.
1
La recta con pendiente que pasa por 2,3 .3
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y
Graficando Rectas utilizando un Punto y la Pendiente
• Grafica cada recta.
4
La recta con pendiente que pasa por 3,1 .3
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y
Graficando Rectas utilizando un Punto y la Pendiente
• Grafica cada recta.
5
La recta con pendiente que pasa por 1, 3 .2
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y
Interceptos
• El intercepto en y es la coordenada y del punto donde la recta cruza el eje de y.
• El intercepto en x es la coordenada x del punto donde la recta cruza el eje de x.
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y Intercepto en y
Intercepto en x
Graficando Rectas Utilizando los Interceptos
Encuentra los interceptos de 2 3 12, y grafica la recta.x y
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-9-8-7-6-5-4-3-2-1
123456789
x
y
Graficando Rectas Utilizando los Interceptos
Encuentra los interceptos de 6 2 24, y grafica la recta.x y
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-9-8-7-6-5-4-3-2-1
123456789
1011121314
x
y
Graficando Rectas Utilizando los Interceptos
Encuentra los interceptos de 4 2 16, y grafica la recta.x y
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-9-8-7-6-5-4-3-2-1
123456789
x
y
Forma Pendiente Intercepto
Cuando una función lineal está escrita en la forma
, la función se dice estar escrita en la
forma porque es la pendiente
de la gráfica y
p
es el intercept
endiente-intercepto
o en .
y mx b
m
b y
y mx b
pendienteIntercepto en y
Graficando Funciones en la Forma Pendiente-Intercepto
• Escribe cada función en la forma pendiente-intercepto. Luego grafica.
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-9-8-7-6-5-4-3-2-1
123456789
x
y
3 5x y
Graficando Funciones en la Forma Pendiente-Intercepto
• Escribe cada función en la forma pendiente-intercepto. Luego grafica.
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-9-8-7-6-5-4-3-2-1
123456789
x
y
33
2y x
Graficando Funciones en la Forma Pendiente-Intercepto
• Escribe cada función en la forma pendiente-intercepto. Luego grafica.
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-9-8-7-6-5-4-3-2-1
123456789
x
y
4 1x y
Graficando Funciones en la Forma Pendiente-Intercepto
• Escribe cada función en la forma pendiente-intercepto. Luego grafica.
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-9-8-7-6-5-4-3-2-1
123456789
x
y
36
4x y
Rectas Verticales y Horizontales
Rectas Verticales Rectas Horizontales
La recta x = a es una recta vertical que
pasa por a.
La recta y = b es una recta vertical que
pasa por b.
x
y
x = a
x
y
y = b
Graficando Rectas Verticales y Horizontales
• Determina si cada recta es horizontal o vertical. Luego grafica.
1. x = -3
2. y = 1
3. x = 2
4. y = -4-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
Escribiendo la Forma Pendiente-Intercepto de la Ecuación de una Recta
• Escribe la ecuación de la recta graficada en forma pendiente-intercepto.
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-9-8-7-6-5-4-3-2-1
123456789
x
y
Escribiendo la Forma Pendiente-Intercepto de la Ecuación de una Recta
• Escribe la ecuación de la recta graficada en forma pendiente-intercepto.
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-9-8-7-6-5-4-3-2-1
123456789
x
y
Fórmula de Pendiente
1
2 1
2my
x
y
x
La fórmula de la pendiente de la recta que contiene los puntos (x1, y1) y (x2, y2) es:
Encontrando la Pendiente de una Recta dados Dos o más Puntos
• Encuentra la pendiente de cada recta.
1. La recta que pasa por los puntos (3, -2) y (-1, 2).
2. La recta que pasa por los puntos (-1, 1) y (2, -5)
Encontrando la Pendiente de una Recta dados Dos o más Puntos
• Encuentra la pendiente de cada recta.
3. 1
4. 1
x 2 5 8 11
y 1 6 11 16
x 4 8 12 16
y 2 5 8 11
Encontrando la Pendiente de una Recta dados Dos o más Puntos
• Encuentra la pendiente de cada recta.
1. De la recta mostrada.
2. De la recta mostrada.
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
Forma Punto-Pendiente
• La ecuación de una recta con pendiente m y el punto (x1, y1) es:
1 1y y m x x
Escribiendo Ecuaciones de Rectas
• Escribe la ecuación de la recta que contiene los puntos en la tabla en la forma pendiente-intercepto.
x -3 -1 1 3
y 1.5 1 0.5 0
Escribiendo Ecuaciones de Rectas
• Escribe la ecuación de la recta que contiene los puntos en la tabla en la forma pendiente-intercepto.
x -8 -4 4 8
y -5 -3.5 -0.5 1
Escribiendo Ecuaciones de Rectas
• Escribe la ecuación de cada recta en forma pendiente-intercepto.
1. Con pendiente -5 y que pasa por (1, 3).
2. Que pasa por los puntos (-2, -3) y (2, 5).
Rectas Paralelas y Perpendiculares
• Rectas paralelas
– Si ambas pendientes están definidas, las pendientes de rectas paralelas son iguales.
– Los pendientes de rectas verticales paralelas están indefinidas.
• Rectas perpendiculares
– Si ambas pendientes están definidas, las pendientes de rectas perpendiculares son recíprocos opuestos.
– Una recta vertical y una recta horizontal son perpendiculares.
Escribiendo Ecuaciones de Rectas Paralelas y Perpendiculares
• Escribe la ecuación de cada recta en forma pendiente-intercepto.
1. Paralela a y = 1.5x + 6 y que pasa por (4, 5).
2. Perpendicular a y = -¾x + 2 y que pasa por (6, -4).
3. Paralela a y = 1.8x + 3 y que pasa por (5, 2).
4. Perpendicular a y = -3/2 x – 1 y que pasa por (9, -2).