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TEMA 4: ANÁLISIS DE REDES.

4.0 OBJETIVOS4.1 MÉTODOS DE RESOLUCIÓN.4.2 TRANSFORMACIÓN DE FUENTES.

4.2.1 TRANSFORMACIÓN DE FUENTES REALES.4.2.2 TRANSFORMACIÓN DE FUENTES IDEALES.

4.3 ECUACIÓN DE DEFINICIÓN DE LA RAMA.4.4 MÉTODOS CIRCULARES.

4.4.1 MÉTODO DE LAZOS BÁSICOS.4.4.2 MÉTODO DE MALLAS.

4.5 MÉTODOS NODALES.4.5.1 MÉTODO DE GRUPOS DE CORTE BÁSICO.4.5.2 MÉTODO DE NUDOS.

4.6 CIRCUITOS CON ACOPLOS MAGNÉTICOS. 4.7 BIBLIOGRAFIA

2

• Conocer un modelo de “rama general de circuitos”.• Saber obtener la ecuación de definición de una rama general.• Conocer los distintos métodos generales de Análisis de Redes.• Estudiar la elección del método de análisis mas adecuado.• Discriminar entre métodos circulares y nodales para la obtención de un

sistema de menor dimensión.• Entender las diferencias entre circuitos conductivos y circuitos

inductivos.• Observar como la transformación de fuentes reales puede simplificar la

resolución de circuitos.

4.0 OBJETIVOS

3

4.1 MÉTODOS DE RESOLUCIÓN.

Fuentes de Corriente

No, Elección del nudo de referencia

(n-1)x (n-1)Tensiones de los nudos U n

Método de Nudos


Si(n-1)x (n-1)Tensiones de los grupos de corte básicos U gcb

Método de Grupos de Corte Básicos

Métodos NodalesBasados en la 1ª LK

Fuentes de Tensión

No(r-n+1)x(r-n+1)Corrientes de mallaI m

Método de Mallas

Fuentes de Tensión

Si(r-n+1)x(r-n+1)Corrientes de los lazos básicos I lb

Método de Lazos básicos

Métodos Circulares Basados en la 2ª LK

Fuentes del circuito

¿Hay que definir el árbol?

Dimensión de la matriz de coeficientes

IncógnitasEcuación

n: Número de nudos del circuitor: Número de ramas del circuito

( )( ) ( )mmm · EgIZ =

( )( ) ( )nIgUY =nn ·

( )( ) ( )lblblb · EgIZ =

( )( ) ( )gcbgcbgcb · IgUY =

4

4.2 TRANSFORMACIÓN DE FUENTES. (1)4.2.1 TRANSFORMACIÓN DE FUENTES REALES.

)()()()(

1)(

)()·()()(

1)(

tigDZtigDY

teg

tegDYtegDZ

tig

⋅==

==

)(1

)(DY

DZ =

)()(

1)(

)(1

)(

)()·()()(

tuDZ

tegDZ

ti

tiDZtegtu

−=

−=

Para que ambas fuentes sean equivalentes (tengan en bornes la misma tensión u(t) y corriente, i(t) ), obligatoriamente deben cumplirse las siguientes expresiones:

(a)

(b.1)

(b.2)

Z(D) i(t)

eg(t)u(t)

+

i(t)

Y(D)

i1(t)

u(t)

)()(

1)(

)(1

)(

)()·()()(

tiDY

tigDY

tu

tuDYtigti

−=

−=

ig(t)

5

A pesar de que las fuentes son vistas como iguales por el resto del circuito al que se conectan, su comportamiento interno es distinto.

Así, por ejemplo, los rendimientos son distintos en fuentes equivalentes. A continuación se ilustra con un ejemplo:

84%65

300250

··

generada

útil ≈=====EU

IEIU

PPη

=⋅−=

=→⋅=

V250105300)(

A10)()(30300

tu

titi

A5025051

)()D()(

S 51

)D(1

)D(

A605

300)D()(

)()(

1 =⋅=⋅=

==

====

tuYti

ZY

Zteg

tigti

17%61

6010

··

generada

útil ≈=====gg II

UIUI

PPη≠

25Ω=

5Ω i(t)

300V u(t)+ i(t)=10A

Y(D)

i1(t)

ig(t) 25Ωu(t)=250V

4.2 TRANSFORMACIÓN DE FUENTES. (2)4.2.1 TRANSFORMACIÓN DE FUENTES REALES.

6

PARA TRANSFORMAR FUENTES IDEALES ES NECESARIO TRANSFORMAR PREVIAMENTE LA GEOMETRIA DEL CIRCUITO .

Fuente de Corriente Ideal:

Se ha de transformar la geometría del circuito de forma que en paralelo a la fuente aparezcan impedancias, teniendo además en cuenta que el resto del circuito no se percate de la transformación realizada.

CD

AB

ig(t)

ig(t)ig(t)

CD

A B

2Ω1Ω

10A

6V

12V

3Ω

3Ω

+

+

2Ω1Ω

10A

6V

12V

3Ω

3Ω

10A

+

+

2Ω1Ω

6V

12V

3Ω

3Ω

10V 20V

+

+ +

+

4.2 TRANSFORMACIÓN DE FUENTES. (3)4.2.1 TRANSFORMACIÓN DE FUENTES IDEALES.

7

Fuente de Tensión Ideal:

Se ha de transformar la geometría del circuito de forma que en serie con la fuente aparezcan impedancias, teniendo además en cuenta que el resto del circuito no se percate de la transformación realizada.

eg(t)

AB

C

D

i1

i2

i3

+

eg(t)

A

B’

C

D

i1’

i2

i3

+

eg(t)

+ i1”

B”

2Ω1Ω

10A

12V

3Ω

3Ω

B

+

A

2Ω1Ω

10A

12V3Ω

3Ω

B’

12V

B’’

++

A

2Ω1Ω

10A

3Ω3Ω

4A 4A

A

4.2 TRANSFORMACIÓN DE FUENTES. (4)4.2.1 TRANSFORMACIÓN DE FUENTES IDEALES.

8

Cualquier elemento, activo o pasivo, en serie con u na fuente ideal de corriente se puede eliminar del circuito, para calcular las corrientes delcircuito. Una vez resuelto el circuito, el elemento, debe ser recuperado para calcular la tensión en bornes de la fuente de corriente, de la rama en la que estaba situado.

⋅==+

22

32

)()(

)()()(

Rtitu

tigtiti1)()()( Rtigtutug ⋅−=u(t), i2(t) e i3(t)

conocidos

4.2 TRANSFORMACIÓN DE FUENTES. (5)

R1

u(t)ig(t)

C3

R2R3

i2

i3R1

u(t)ig(t)

C3

R2R3 ug(t)

ig(t)·R1

u(t)ig(t)

9

Cualquier elemento activo o pasivo en paralelo con una fuente detensión, puede eliminarse para el cálculo de las tensiones. Una vez resuelto el circuito debe ser recuperado para el cálculo de corrientes.

1

1R

tegti

)()( = y

Pero ¡cuidado!

)()()( tititig21

+=

R1

ig(t)

eg(t)

R2

R3

i1(t)

i2(t)

+

322

)()(

RRteg

ti+

=

eg(t)

R2

R3

i2(t)

++

4.2 TRANSFORMACIÓN DE FUENTES. (6)

10

4.3 ECUACIÓN DE DEFINICIÓN DE LA RAMA.

+==

−=

)()()(

)(•)()(

)()()(

tigtiti

DZtitu

tegtutu

Z

ZZ

Z[ ][ ] )()()()()(

)()()()()(

tigtegtuDYti

tegtigtiDZtu

−+=−+=

ECUACIONES DE DEFINICIÓN DE LA RAMA

De la rama general y de sus ecuaciones de definición podremos obtener todos los casos particulares de configuraciones de ramas, sirvan de ejemplo:

LAS INCOGNITAS DE CADA RAMA SON DOS: TENSIÓN DE RAMA u(t) Y CORRIENTE DE RAMA i(t)

RAMA GENERAL DEL CIRCUITO: Aquella rama que contiene todos los elementos susceptibles de pertenecer a ella. Su esquema aparece a continuación, y de él se obtendrán las ecuaciones que la definen aplicando las leyes de Kirchhoff.

FUENTE REAL DE TENSIÓN

Cuando ig(t)=0 Cuando eg(t)=0 ig(t)=eg(t)=0

FUENTE REAL DE CORRIENTE

RAMA PASIVA

i(t)ig(t)

Z(D)iz(t)

u(t)

uz(t)

Y(D)

Z(D) iz(t)=i(t)

uz(t)=u(t)

Y(D)

Z(D)

iz(t)=i(t)

eg(t)

+

u(t)

i(t)

Y(D)

ig(t)

Z(D)

iz(t)

eg(t)

u(t)

uz(t)

+

11

Fuentes de Tensión

No(r-n+1)x(r-n+1)Corrientes de mallaI m

Método de Mallas

Fuentes de Tensión

Si(r-n+1)x(r-n+1)Corrientes de los lazos básicos I lb

Método de Lazos básicos

Métodos Circulares Basados en la 2ª LK





4.4 MÉTODOS CIRCULARES (1)

( )( ) ( )mmm · EgIZ =


12

PASOS A SEGUIR:

Transformar las fuentes de corriente en fuentes de tensión. Elegir el árbol del circuito ( n-1 ramas, abierto y conexo). Dibujar los lazos básicos. Asignar a cada lazo básico una corriente de lazo ( sentido de la

corriente de la rama eslabón). Montar sistema matricial. Resolver sistema matricial: Obtener las i lb

Obtener las corrientes de rama: ir, a partir de las ecuaciones que relacionan las corrientes de lazo y las de las ramas.

Obtener las tensiones de rama, u r, a partir de las ecuaciones de definición de las ramas.

4.4 MÉTODOS CIRCULARES (2)4.4.1 MÉTODO DE LAZOS BÁSICOS (I)

13

Z4(D)

eg2(t)

ig3(t)

C A B

D

+

r3

r5

r1 r2

r6

r4

+

Z2(D)

Z6(D)

Z5(D)

eg4(t)Z3(D)

Z1(D)

C A B

Di3

i5

i1 i2

i6

i4

iB

iA

iC

Z4(D)

eg2(t)

eg3(t)= ig3(t)·Z3(D)

C A B

D

+

r3r5

r1 r2

r6

r4

+

Z2(D)

Z6(D)

Z5(D)

eg4(t)

Z3(D)

Z1(D)

+

Transformar fuentes de corriente en fuentes de tensión:

Elección del árbol (azul), lazos básicos (rosa) y corrientes de lazos: iA, iB, iC.n=4; r=6;

r-n+1=6-4+1=3 nº lazos básicos

n-1=3 nº ramas del árbol

Observaciones:

• Cada lazo básico solo tendrá una rama eslabón (rama del coárbol).

• La corriente del lazo coincide con la corriente del eslabón.

• Elección del árbol: Dejar como eslabones aquellas ramas de las que queremos conocer la corriente; Elegir como ramas del árbol aquellas que tienen fuentes ideales de tensión, así en la matriz de coeficientes aparecerán ceros fuera de la diagonal principal facilitando la resolución del sistema matricial.

4.4 MÉTODOS CIRCULARES (3)4.4.1 MÉTODO DE LAZOS BÁSICOS (II)

14


++−−−−+++

−−++++

)D()D()D()D()D()D(

)D()D()D()D()D()D(

)D()D()D()D()D()D()D()D(

463664

662565

64654651

ZZZZZZ

ZZZZZZ

ZZZZZZZZ

+−−

+

)D()·()()(

)(

)()(

3324

4

42

Ztigtegteg

teg

tegteg

Construcción del sistema matricial:

•Dimensión: (r-n+1)x(r-n+1)=3x3

•Forma:

Los elementos de la diagonal principal, Z ii(D), son la suma de las impedancias de las ramas de cada lazo. Los términos de fuera de la diagonal principal Z ij (D) son la suma de las impedancias de las ramas

compartidas por dos lazos i y j. Los términos serán positivos si las corrientes de lazo coinciden en polaridad al pasar por el elemento y negativos en caso contrario.

La matriz es simétrica.

Cada término del vector se obtiene haciendo la suma de las fuentes de tensión de cada lazo. El signo es positivo si la corriente de lazo coincide con la polaridad de la fuente y negativo en caso contrario.

Matriz de impedancias:

Vector de fuentes de tensión:

Z4(D)eg2(t)

+

C A B

D

eg4(t)

i3

i5

i1 i2

i6

i4

iB

iA

IC

Z1(D)

Z2(D)

Z5(D)

Z6(D)Z3(D)

+

+

ig3(t)·Z3(D)

Vector de incógnitas:

Son las corrientes de lazo.

C

B

A

i

i

i

4.4 MÉTODOS CIRCULARES (4)4.4.1 MÉTODO DE LAZOS BÁSICOS (III)

15

Al resolver el sistema matricial se obtienen las corrientes de lazo. Las de las ramas se obtendrán a partir de las ecuaciones que relacionan las corrientes de rama y de lazo que en este ejemplo son las siguientes:

C A B

Di3

i5

i1 i2

i6

i4

iB

iA

iC

−+=+=−=

===

CBA

BA

CA

C

B

A

iiii

iii

iii

iI

ii

ii

6

5

4

3

2

1

Sistema Matricial:

++−−−−+++

−−++++

)D()D()D()D()D()D(

)D()D()D()D()D()D(

)D()D()D()D()D()D()D()D(

463664

662565

64654651

ZZZZZZ

ZZZZZZ

ZZZZZZZZ

+−−

+

)D()·()()(

)(

)()(

3324

4

42

Ztigtegteg

teg

tegteg

C

B

A

i

i

i

· =

Se determinan las corrientes de cada rama como suma o resta de las corrientes de lazo que la contienen. Si la corriente de lazo es de igual polaridad que la corriente de rama, se le da signo positivo, si no signo negativo.

Como se puede apreciar las corrientes de los eslabones ( ramas que no son del árbol) se obtienen directamente al resolver el sistema matricial ya que las corrientes de lazo coinciden con las corrientes de los eslabones.

Una vez conocidas la corrientes de todas las ramas se calculan las tensiones de rama con las ecuaciones de rama.

4.4 MÉTODOS CIRCULARES (5)4.4.1 MÉTODO DE LAZOS BÁSICOS (IV)

16

2Ω

3Ω

1 Ω

4Ω

1Ω

E2=16V

C A B

D

+

E4=28V

I3

I5

I1 I2

I6

I4

+

5Ω

+

E3=65V

2Ω

3Ω

1 Ω

4Ω

1Ω

E2=16V

C A B

D

+

E4=28V

r3

r5

r1 r2

r6

r4

+

5ΩJ3=13A

C A B

DI3

I5

I1 I2

I6

I4

IB

IA

IC

n=4; r=6;

r-n+1=6-4+1=3 nº lazos básicos

n-1=3 nº ramas del árbol CBA

BA

CA

C

B

A

IIII

III

III

II

II

II

−+=+=−=

===

6

5

4

3

2

1

Ejemplo: Sirva de ejemplo un circuito con la misma topología que el anterior pero con fuentes de continua.

4.4 MÉTODOS CIRCULARES (6)4.4.1 MÉTODO DE LAZOS BÁSICOS (V)

17

2Ω

3Ω

1 Ω

4Ω

1Ω

E2=16V

5Ω

65V

C A B

D

E4=28V

I3

I5

I1 I2

I6

I4

IB

IA

IC

=

−−

+=

−−−−

21

28

44

281665

28

1628

·

813

162

327

C

B

A

I

I

I

Resolvemos por CRAMER; se obtienen las corrientes de lazo:

255

813

162

327

=−−

−−

=∆R

A8255

8121

1628

3244

1 =−

−−

== IIA

A8255

2113

2862

4427

3 =−−

== IICA3

255

8213

1282

3447

2 =−

−−

== IIB

5ΩJ3=13A

I3=Ic=6AI8= 13A

C

D

I7=7A

35V

A5

A11

A2

A6

A3

A8

6

5

4

3

2

1

=−+==+==−=======

CBA

BA

CA

C

B

A

IIII

III

III

II

II

II

Se obtienen las corrientes de rama:

Se deshace el cambio en la fuentes de intensidad: Se obtienen las tensiones de rama:

=−===

=−==−=

====

V235·128

V1111·1

V122·216

V356·565

V124·3

V248·3

6

5

4

3

2

1

U

U

U

U

U

U

4.4 MÉTODOS CIRCULARES (7)4.4.1 MÉTODO DE LAZOS BÁSICOS (VI)

18

PASOS A SEGUIR:

Transformar las fuentes de corriente en fuentes de tensión. Dibujar las mallas( lazos que no contienen a otro en su interior) y , cuyo

número es: n-r+1 Asignar a cada malla una corriente de malla. Aquí hay dos opciones: Dar

a las corrientes de malla el sentido de la corriente de las ramas exteriores, o dar a todas el mismo sentido. De esta última forma todos los elementos de la matriz de impedancias fuera de la diagonal principal son negativos. Montar el sistema matricial.

Resolver el sistema matricial: Obteniendo las i m

Obtener las corrientes de las ramas: i r, con las ecuaciones que relacionan las corrientes de rama y las de malla.

Obtener las tensiones de las ramas; u r a partir de las ecuaciones de definición de las ramas.

4.4 MÉTODOS CIRCULARES (8)4.4.2 MÉTODO DE MALLAS (I)

19

Transformar fuentes de corriente en fuentes de tensión:

Pasamos a elegir las mallas que son aquellos lazos que no contienen otro en su interior. Coinciden con las ventanas del circuito, y su número será: r-n+1=6-4+1=3

eg1(t)

r2

ig5(t)·Z5(D)= eg5(t)

eg3(t)

r1 r3

r4

r5

Z4(D)

Z2(D)

Z1(D) Z5(D)

++

+

r6

eg1(t)

r2

ig5(t)eg3(t)

r1 r3

r4

r5

Z4(D)

Z2(D)

Z1(D)

Z5(D)+

+

r6

Las corrientes de malla coinciden con las corrientes de las ramas exteriores del circuito. Elegimos las corrientes de malla en el mismo sentido que las ramas que las definen.

Este método de mallas es adecuado cuando se desea conocer las corrientes exteriores del circuito. Ya que se obtienen directamente al resolver el sistema matricial.

eg5(t)

eg3(t)eg1(t)

i1

iAiB

i4

i2

i5

i3

iC

Z2(D)

Z1(D)

Z4(D)

Z5(D)

++

+

i6

4.4 MÉTODOS CIRCULARES (9)4.4.2 MÉTODO DE MALLAS (II)

20


•Dimensión: (r-n+1)x(r-n+1)=3x3

•Forma: ( )( ) ( )mmm · EgIZ =

eg5(t)= ig5(t)·Z5(D)

eg3(t)eg1(t)

i1

iAiB

i4

i2

i5

i3

iC

Z2(D)

Z1(D)

Z4(D)

Z5(D)

++

+

i6

Matriz de impedancias:

−−++

+

)D()D(0

)D()D()D()D()D(

0)D()D()D(

55

55244

441

ZZ

ZZZZZ

ZZZ

− )D()·()(

)D()·(

)(

553

55

1

Ztigteg

Ztig

teg

Los elementos de la diagonal principal, Z ii(D), son la suma de las impedancias de las ramas de cada malla.Los términos de fuera de la diagonal principal Z ij (D) son la suma de las impedancias de las ramas compartidas por dos mallas i y j. Los términos serán positivos si las dos corrientes de malla coinciden en polaridad al pasar por la impedancia y negativos en caso contrario. Si se toman todas las corrientes de malla en el mismo sentido, todos los elementos de fuera de la diagonal principal son negativos. La matriz es simétrica. Nótese que aparecen ceros fuera de la diagonal principal cuando las mallas no tienen ramas en común, por lo que es un método bueno para resolver circuitos en forma de escalera, tal y como el del ejemplo.

Cada término del vector se obtiene haciendo la suma de las fuentes de tensión de cada malla. El signo es positivo si la corriente de malla coincide con la polaridad de la fuente y negativo en caso contrario.

Vector de fuentes de tensión:

Vector de incógnitas:Son las corrientes de malla.

C

B

A

i

i

i

4.4 MÉTODOS CIRCULARES (10)4.4.2 MÉTODO DE MALLAS (III)

21

Al resolver el sistema matricial se obtienen las corrientes de malla. Las de las ramas se obtendrán a partir de las ecuaciones que relacionan las corrientes de rama y de malla que en este ejemplo son las siguientes:

Sistema Matricial:

Se determinan las corrientes de cada rama como suma o resta de las corrientes de malla que la contienen. Si la corriente de lazo es de igual polaridad que la corriente de rama, se le da signo positivo, si no signo negativo.

Una vez conocidas la corrientes de todas las ramas. Se calculan las tensiones de rama con las ecuaciones de rama.

−−++

+

)D()D(0

)D()D()D()D()D(

0)D()D()D(

55

55244

441

ZZ

ZZZZZ

ZZZ

· =

− )D()·()(

)D()·(

)(

553

55

1

Ztigteg

Ztig

teg

C

B

A

i

i

i

eg5(t)

eg3(t)eg1(t)

i1

iAiB

i4

i2

i5

i3

iC

Z2(D)

Z1(D)

Z4(D)

Z5(D)

++

+

i6

==−=+=

===

B

BC

BA

C

B

A

iii

iii

iii

ii

ii

ii

26

5

4

3

2

1

4.4 MÉTODOS CIRCULARES (11)4.4.2 MÉTODO DE MALLAS (IV)

22

Se eligen las mallas, cuyo número será:

r-n+1=6-4+1=3 Las corrientes de malla coinciden con las corrientes de las ramas exteriores del circuito: I3=IC, I1=IA,IB=I2

=

−=

−−

96

24

110

24120

24

110

·

12120

12227

075,7

C

B

A

I

I

I

Ejemplo: Sirva de ejemplo un circuito con similar topología que el anterior alimentado con fuentes de continua.

Se transforma la fuente de corriente en fuente de tensión:

E1=110V

I2

3Ω

3Ω

4Ω

12Ω

E3=120V

I1 I3

I4

I50,5Ω

J2 =2A

+ +

3Ω

3Ω

4Ω 12Ω

E2=24V

E3=120VE1=110V

I1

IAIBI4

I2

I5

I3

IC

0,5Ω

+ +

+

E1=110V

I2

3Ω

3Ω

4Ω 12Ω

E2=24V

E3=120V

I1 I3

I4 I5

0,5Ω

+ +

+

4.4 MÉTODOS CIRCULARES (12)4.4.2 MÉTODO DE MALLAS (V)

23

A5

12120

12227

075,712960

12247

01105,7

2 =

−−

−

== IIB

=

−=

−−

96

24

110

24120

24

110

·

12120

12227

075,7

C

B

A

I

I

IA10

5,75·7110

110·75,7 =−=→=+⋅ ABA III

A1312

5·129696·1212 =+=→=+⋅− CCB III

Por CRAMER planteamos la resolución de IB

Las otras dos corrientes se pueden obtener más fácilmente desarrollando la primera y la tercera fila del sistema matricial:

Las corrientes de las ramas se obtienen a partir de las corriente de malla:

====−==+=======

A8

5A1

3A1

A5

0A1

A526

5

4

3

2

1

B

BC

BA

C

B

A

III

III

III

II

II

II

=−=−==

====

===−=

V0

V12012·1224

V10515·7

V120

V155·3

V1055,0·10110

6

35

14

3

2

1

U

UU

UU

U

U

U

Las Tensiones de las ramas las obtendremos de las ecuaciones de definición de las ramas.

E1=110V

I2

3Ω

3Ω

4Ω 12Ω

E2=24V

E3=120V

I1 I3

I4 I5

0,5Ω

U1=U4

U2

U3=U5

++

+

4.4 MÉTODOS CIRCULARES (13)4.4.2 MÉTODO DE MALLAS (VI)

24

4.5 MÉTODOS NODALES (1)


No, Elección del nudo de referencia

(n-1)x (n-1)Tensiones de los nudos U n

Método de Nudos


Si(n-1)x (n-1)Tensiones de los grupos de corte básicos U gcb

Método de Grupos de Corte Básicos

Métodos NodalesBasados en la 1ª LK





( )( ) ( )nIgUY =nn ·


25

PASOS A SEGUIR:

• Transformar las fuentes de tensión en fuentes de corriente.• Elegir el árbol ( con n-1 ramas, abierto y conexo).• Dibujar los grupos de corte básicos respecto al árbol escogido: Son

aquellos grupos de corte que solo cortan una rama del árbol siendo el resto eslabones.

• Asignar a cada uno de los grupos de corte básicos, una tensión de grupo de corte. ( sentido: el de la tensión de la rama del árbol)

• Construir el sistema matricial.• Resolver el sistema matricial: Obtener las ugcb

• Obtener las tensiones de las ramas: ur a partir de las ecuaciones que relacionan las tensiones de rama y las de los grupos de corte básicos.

• Obtener las corrientes de rama; ir con las ecuaciones de definición de las ramas.

4.5 MÉTODOS NODALES (2)4.5.1 MÉTODO DE GRUPOS DE CORTE BÁSICOS. (I)

26

eg1(t)

Y3(D)

ig2(t)

r1

r3

r2

r4

r6

r5

+

Y5(D)Y1(D)

Y6(D)

Y2(D)

Y4(D)

Y3(D)

ig2(t)

r1

r3

r2

r4

r6

r5Y5(D)Y1(D)

Y6(D)ig1(t)=eg1(t)·Y2(D) Y2(D)

Y4(D)

Transformación de fuentes: fuentes de tensión en fuentes de corriente.

Elección del árbol (azul) de los grupos de corte básicos (rosa), y a continuación tensiones de los grupos de corte: uA, uB y uC n=4; r=6;

n-1=3= nº ramas del árbol=nº de grupos de corte básicos

Observaciones:

• Cada grupo de corte básico solo cortará una rama de árbol.

• La tensión del grupo de corte coincide con la tensión de la rama del árbol, que corta.

• Elección del árbol: Elegir como rama del árbol aquellas ramas de las que se desea conocer la tensión; Eligiendo como ramas del coarbolaquellas que tengan fuentes ideales de corriente se obtienen ceros en la matriz de coeficientes, fuera de la diagonal principal.

CBA

D UC

UBUA

GCB3GCB2GCB1

i1

i3

i2

i4

i6

i5

4.5 MÉTODOS NODALES (3)4.5.1 MÉTODO DE GRUPOS DE CORTE BÁSICOS. (II)

27



•Dimensión: (n-1)x(n-1)=3x3

•Forma:

Escritura de la matriz de admitancias:Los elementos de la diagonal principal Yii(D) serán la suma de las admitancias de las ramas que corta cada GCB.Los términos Yij (D) son la suma de las admitancias de las ramas cortadas simultáneamente por los dos GCB i y j. Las admitancias son positivas cuando dibujadas sobre las admitancias dos flechas en el mismo sentido

(entrantes o salientes al GCB) que las tensiones de referencia de los dos GCB que cortan la rama, son coincidentes y negativas en caso contrario.

+++−−+−−++−+−++

)D()D()D()D()D()D()D()D(

)D()D()D()D()D()D(

)D()D()D()D()D()D(

36414113

414511

131213

YYYYYYYY

YYYYYY

YYYYYY

CBA

D

UC

UB

UA

GCB3

GCB2GCB1

Y3(D)

ig2(t)

Y5(D)

Y1(D)

Y4(D)ig1(t)=eg1(t)·Y2(D) Y2(D) Y6(D)

ig2(t)

UB

SalienteUA

Saliente

Y1(D)

ig1(t)=eg1(t)·Y2(D) negativo

Saliente de B

Saliente de A

Término Y12(D)=Y21(D)

C

UC

Entrante

UA

Saliente

Y3(D)

Y5(D)

Y1(D)

Positivo

Entrante a C

Saliente de A

Entrante a C

Saliente de A


C

UB

Saliente

Y3(D)

Y1(D)

Y4(D)

Entrante a C

Saliente de B

Saliente de B

Entrante a C

negativoUC

Entrante


Matriz de admitancias:

4.5 MÉTODOS NODALES (4)4.5.1 MÉTODO DE GRUPOS DE CORTE BÁSICOS. (III)

28

−

)(

0

(D))·(

2

21

tig

Yteg

CBA

D

UC

UB

UA

GCB3

GCB2GCB1

Y3(D)

ig2(t)

Y5(D)

Y1(D)

Y4(D)ig1(t)=eg1(t)·Y2(D) Y2(D) Y6(D)

Vector de fuentes de corriente:

Cada término del vector se obtiene haciendo la suma de las fuentes de corriente de las ramas cortadas por cada GCB. El signo es positivo si la corriente de la fuente coincide con la tensión de referencia del grupo de corte ( es entrante o saliente al grupo de corte).

UASaliente

A

GCB1

ig1(t)=eg1(t)·Y2(D) Y2(D)

Entrante

Vector de tensiones de GCB:

C

B

A

u

u

u

4.5 MÉTODOS NODALES (5)4.5.1 MÉTODO DE GRUPOS DE CORTE BÁSICOS. (IV)

29

−=

+++−−+−−++−+−++

(t)ig

Yteg

u

u

u

YYYYYYYY

YYYYYY

YYYYYY

C

B

A

2

21

36414113

414511

131213

0

(D))·(

·

)D()D()D()D()D()D()D()D(

)D()D()D()D()D()D(

)D()D()D()D()D()D(

Sistema matricial:

C

B

CB

AC

A

CAB

uu

uu

uuu

uuu

uu

uuuu

==

+−=−−=

=−−=

6

5

4

3

2

1

Las ecuaciones que relacionan las tensiones de rama y las de losgrupos de corte, se construyen de la siguiente forma: Cada tensión de rama es la suma o resta de tantas tensiones de grupo de corte, como grupos de corte corten la rama. Si la tensión de la rama es del mismo sentido respecto al grupo de corte, que la tensión del grupo de corte, entonces signo positivo, si no, negativo. Es decir, para la tensión de la rama 1. Esta rama es cortada por los grupos de corte 1, 2 y 3, luego la tensión de la rama será una combinación de estas tres tensiones: UA,UB,UC; U1 es entrante respecto al GCB1siendo la tensión del grupo de corte, UB, saliente luego no coinciden y UA llevará signo negativo. U1 es saliente respecto al GCB2 al igual que la tensión UB luego la tensión UB es de signo positivo; Finalmente U1 es saliente respecto al GCB3 cuya tensión es entrante luego Uc se resta.

Quedando: U1=-UA+UB-UC;

Y así sucesivamente se construyen todas las ecuaciones que relacionan tensiones de rama y de grupo de corte.

GCB1

CBA

UC

U5=UBUA

GCB3GCB2I1

I3

I2

I4

I6

I5

U6=UC

U3

U1

U2=UA

U4

Una vez resuelto el sistema, se conocerán las tensiones de los grupos de corte básicos. Para determinar las tensiones de las ramas, hay que emplear las ecuaciones que relacionan las tensiones de rama y de grupo de corte.

4.5 MÉTODOS NODALES (6)4.5.1 MÉTODO DE GRUPOS DE CORTE BÁSICOS. (V)

30

1Ω

E1=9V

1Ω

2Ω

4Ω

5Ω J2=4A2Ω

r1

r3

r2

r4

r6

r5

+

1Ω

2Ω

4Ω

2Ω

r1

r3

r2

r4

r6

r5

5Ω J2=4AJ1=9A1Ω

CBA

D UC

UBUA

GCB3GCB2GCB1

I1

I3

I2

I4

I6

I5

Se transforma la fuente de tensión en fuente de corriente:

Se elige el árbol del circuito que tendrá n-1=4-1=3 ramas. A continuación, y respecto al árbol seleccionado se eligen los grupos de corte básico que son aquellos que solo cortan una rama de árbol. Y para finalizar se asigna a cada grupo de corte una tensión, en general de igual polaridad que la rama del árbol que contiene. Las tensiones que se obtienen al resolver el sistema matricial son precisamente esas tensiones de las ramas del árbol.


4.5 MÉTODOS NODALES (7)4.5.1 MÉTODO DE GRUPOS DE CORTE BÁSICOS. (VI)

31

Planteamiento del sistema matricial:

−=

−−−

−→

4

0

9

·

2,25,15,1

5,175,11

5,115,2

C

B

A

U

U

U

( )( )

−=

++++−+

+−++−

+−++

4

0

9

·

111

111

1111

51

21

21

21

21

21

21

41

21

21

C

B

A

U

U

U

S3625,2

2,25,15,1

5,175,11

5,115,2

=−

−−−

=∆Y

V83625,218,9-2,25,14

5,175,10

5,119

−==∆−

−−−

=Y

UA

Se resuelve, por ejemplo empleando CRAMER:

V43625,29,452,245,1

5,101

5,195,2

==∆

−−−

=Y

UB V103625,2

23,62545,15,1

075,11

915,2

==∆−

−−−

=Y

UC

1Ω

2Ω

4Ω

2Ω

CBA

D

UC

UB

UA

GCB3

GCB2GCB1

5Ω J2=4AJ1=9A1Ω

4.5 MÉTODOS NODALES (8)4.5.1 MÉTODO DE GRUPOS DE CORTE BÁSICOS. (VII)

32

A partir de las tensiones de los grupos de corte se obtienen las de las ramas:

10V

4V

V6104

V2810

8V

V21084

6

5

4

3

2

1

====

=+−=+−=−=+−=−−=

−===−+=−−=

C

B

CB

AC

A

CAB

UU

UU

UUU

UUU

UU

UUUUGCB1

CBA

D=0 UC

U5=UBUA

GCB3GCB2I1

I3

I2

I4

I6

I5

U6=UC

U3

U1

U2=UA

U4

Finalmente y para determinar las corrientes de las ramas se recurrirá a las ecuaciones de la rama.

( ) ( )

−=−=−=−=

======

−=−===+−=+=

===

A24·104·

1A4·0,2525,0·

A35,0·65,0·

A15,0·25,0·

1A·1981·

A21·21·

51

51

6276

55

44

33

122

11

UJII

UI

UI

UI

EUI

UI

I1

I3

I2

I4

I6

I51Ω

2Ω

4Ω

2Ω

I7

5Ω J2=4A

1Ω

E1=9V

+

4.5 MÉTODOS NODALES (9)4.5.1 MÉTODO DE GRUPOS DE CORTE BÁSICOS. (VIII)

33

PASOS A SEGUIR:

• Transformar las fuentes de tensión en fuentes de corriente.• Elección del nudo de referencia.

• Dibujar las tensiones de nudo, tensiones entre nudo de referencia y todos los demás. Lo más práctico y dibujarlas todas salientes o todas entrantes respecto al nudo de referencia.

• Construir el sistema matricial.

• Resolver el sistema matricial: Obtener las un

• Obtener las tensiones de las ramas: u r a partir de las ecuaciones que relacionan las tensiones de rama y las de los nudos.

• Obtener las corrientes de rama; i r con las ecuaciones de definición de las ramas.

4.5 MÉTODOS NODALES (10)4.5.1 MÉTODO DE NUDOS. (I)

34

Transformación de fuentes: fuentes de tensión en fuentes de corriente.

Elección del nudo de referencia (azul), a continuación se dibujan las tensiones de nudo entre el nudo de referencia y todos los demás cuy número es: n-1=4-1=3 y que denominaremos: uA, uB y uC

Observaciones:

•Las tensiones de nudo son las tensiones de las ramas que están entre el nudo de referencia y los subsiguientes. Y son las que se obtienen al resolver el sistema matricial, de modo que la elección adecuada del nudo sirve para seleccionar las ramas de las que deseamos conocer la tensión.

• El sentido de las tensiones pueden ser dos: Las de las tensiones de las ramas o todas salientes o entrantes. Si se eligen todas de igual polaridad la construcción de la matriz de admitancias se simplifica, pues todos los términos fuera de la diagonal principal serán negativos.

A B C

D=0

UAUB

UC

I4

I6

I1

I2I3

I5

ig2(t)=eg2(t)·Y3(D)

Y6(D)

r1r3

r2

r4

r6

r5Y5(D)

Y1(D) Y2(D)

Ig1(t)

A B C

D

Y3(D)

Y6(D)

r1r3

r2

r4

r6

r5Y5(D)

Y1(D) Y2(D)

eg2(t)

Ig1(t)

A B C

D

+

Y3(D)

4.5 MÉTODOS NODALES (11)4.5.1 MÉTODO DE NUDOS. (II)

35


Y6(D)

Y5(D)

Y1(D) Y2(D)

Ig1(t)

A B C

Y3(D)

D=0

UA

UBUC


•Dimensión: (n-1)x(n-1)=3x3

•Forma: ( )( ) ( )nIgUY =nn ·

Matriz de admitancias:

++−−−+−+

)D()D()D()D()D(

)D()D()D(0

)D(0)D()D(

35656

552

661

YYYYY

YYY

YYY

Los elementos de la diagonal principal Yii(D) son la suma de las admitancias de las ramas que llegan a cada nudo.

Los elementos de las posiciones ij y ji, Yij(D) son la suma de las admitancias de las ramas compartidas por los nudos i y j, Las admitancias son positivas cuando dibujadas sobre las admitancias dos flechas en el mismo sentido (entrantes o salientes al nudo) que las tensiones de los dos nudos de la rama, las flechas son coincidentes y negativas en caso contrario. Aunque si se toman todas las tensiones de nudo salientes o entrantes al nudo de referencia, las admitancias Yij(D) serán negativas y no hay que hacer el estudio del signo. Veámoslo:

UAEntrante

Y6(D)

Y5(D)Ig1(t)

A B C

UCEntrante

negativoTérmino

Y13(D)=Y31(D)

Entrante a C

Entrante a A

Y5(D)B C

UBEntrante

UCEntrante


Entrante a B

Entrante a C

negativo

4.5 MÉTODOS NODALES (12)4.5.1 MÉTODO DE NUDOS. (III)

36

)D()·(

0

)(

32

1

Yteg

tig

Vector de fuentes de corriente:

Cada término del vector se obtiene haciendo la suma de las fuentes de corriente de las ramas que llegan al nudo. El signo es positivo si la corriente de la fuente es de igual forma que la tensión del nudo (entrante o saliente al nudo).

Vector de tensiones de nudo:

C

B

A

u

u

u

Positivo

Entrante a A


Y6(D)

Y5(D)

Y1(D) Y2(D)

Ig1(t)

A B C

Y3(D)

D=0

UA

UBUC E

ntrante a C

Positivo

Sistema matricial:

=

++−−−+−+

)D()·(

0

)(

·

)D()D()D()D()D(

)D()D()D(0

)D(0)D()D(

32

1

35656

552

661

Yteg

tig

u

u

u

YYYYY

YYY

YYY

C

B

A

4.5 MÉTODOS NODALES (13)4.5.1 MÉTODO DE NUDOS. (IV)

37

Una vez resuelto el sistema matricial serán conocidas las tensiones de nudo las de rama se obtienen a través de las ecuaciones que relacionan las tensiones de nudo y de rama. Para obtenerlas basta con aplicar la segunda ley de Kirchhoff en distintos caminos cerrados del circuito.

A B C

D=0

UAUB

UC

I4

I6

I1

I2I3

I5

U6

U4 U5

AC

CB

BA

UUU

UUU

UUU

−=−=−=

6

5

4

Las corrientes de las ramas se determinarán a partir de la ecuación de definición de la rama.

4.5 MÉTODOS NODALES (14)4.5.1 MÉTODO DE NUDOS. (V)

38

10Ω

6Ω

4Ω

8Ω

10Ω

E2=260V

J1 =12A

A B C

D

UB +

Se transforma la fuente de tensión en fuente de corriente:


10Ω

6Ω

4Ω

8ΩJ1 =12A

A B C

D

10Ω J2=26A

10Ω

6Ω

8ΩJ1=12A

A B C

D=0

UAUB

UC

J2=26A4Ω10Ω

Se elige un nudo de referencia. A continuación, se determinarán las tensiones entre este nudo de referencia y los demás el número de nudos tensiones será: n-1=4-1=3. La polaridad de estas tensiones pueden ser las de la rama que definen o todas entrantes o salientes respecto al nudo de referencia esto último facilita la construcción de la matriz de admitancias, donde todas las de fuera de la diagonal principal serán negativas.

−=

++−−

−+

−+

26

12

12

·

101

61

81

81

61

81

81

41

0

61

061

101

C

B

A

U

U

U

4.5 MÉTODOS NODALES (15)4.5.1 MÉTODO DE NUDOS. (VI)

39

Resolución del sistema matricial por ejemplo empleando CRAMER:

V120

7200177

24094

81

26

81

83

12

61

012

=−

−−

−

=AU V8

7200177

24094

2661

81

120

61

12308

=−

−−

−

=BU V120

7200177

2681

61

1283

0

120308

=−−

−

=CU

7200177

24094

81

61

81

83

0

61

0308

101

61

81

81

61

81

81

41

0

61

061

101

=

−−

−

−

=

++−−

−

+

−

+

==∆ YY

A partir de las tensiones de nudo se obtendrán las tensiones de las ramas, sin más que aplicar la segunda ley de Kirchhoff se obtendrán las ecuaciones que relacionan tensiones de rama y de nudo:

V1121208

V0120120

V1128120

−=−=−==−=−=

=−=−=

CBBC

ACCA

BAAB

UUU

UUU

UUU

Las corrientes de rama finalmente a partir de las ecuaciones de la rama:

10Ω

6Ω

8ΩJ1 =12A

A B C

D=0

UAUB

UC

J2=26A4Ω10Ω

I4

I6

I1

I2I3

I5

I7

==

−=−==

==

−=+−=+−=

=−==

===

A0·

A14·112·

A12

A14120·2626

A2·8·

A12101

·120·

61

6

81

81

5

24

101

73

41

41

2

101

1

AC

BC

B

A

UI

UI

JI

II

UI

UI

4.5 MÉTODOS NODALES (16)4.5.1 MÉTODO DE NUDOS. (VII)

40

4.6 CIRCUITOS CON ACÓPLOS MAGNÉTICOS.(I)

Se resuelven aplicando métodos circulares. Todos pasos a seguir en la resolución del circuito son asíaquellos que se han indicado en la resolución de circuitos por mallas o lazos básicos. Sin embargo estos circuitos presentan ciertas particularidades a la hora de escribir de la matriz de impedancias. Particularidades que explicamos a continuación a través de un ejemplo.

Escritura de la matriz de impedancias:Aparecen términos del tipo Mij(D) que representan el acoplo magnético entre las ramas i y j en las que hay bobinas con acoplo magnético.Las tensiones de las ramas i y j son de la forma:

)(D)(D)(

)(D)(D)(

tiLtiMtU

tiMtiLtU

jjij

jiii

+±=

±=

Donde los términos ±MijD representan las impedancia operacional mutuas del acoplo .• Son + si las corrientes ( de malla o lazo) son entrante en ambas por los puntos correspondientes (puntos homólogos)• Son – si una de las corrientes es entrante y otra saliente.unaentrante otra saliente

=

⋅

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)D()D()D(

)D()D()D(

)D()D()D(

c

b

a

cccbca

bcbbba

acabaa

teg

teg

teg

ti

ti

ti

ZZZ

ZZZ

ZZZ

c

b

a

eg2(t)

eg1(t)

R1

R2

R3

L1D L2D

L3D

ia(t)ib(t)

ic(t)

M13D

M12D

M23D

+

+

41

Impedancias de malla:

++=−++=

++=

D(D)Z

)D(2DD)D(

D)D(

321cc

23323

131

LRR

MLLRZ

RRLZ

bb

aa )D()D()D( 13123 MMRZab −+−=

Impedancias compartidas por las mallas

M12 positiva entran las corrientes de malla por los puntos en las 2.

M13 negativa no entran las corrientes de malla por los puntos en las 2.

)D()D( 131 MRZac +−= M13 positiva entran las corrientes de malla por los puntos en las 2.

)D(D)D( 233 MLZbc +−= M23 positiva entran las corrientes de malla por los puntos en las 2.

Sistema matricial:

=

⋅

+++−+−+−−++−+−+−−+−++

)(

0

)(

DDDD

DDD2DDDD

DDDD

2

1

321233131

2332332313123

13113123131

teg

teg

i

i

i

LRRMLMR

MLMLLRMMR

MRMMRRRL

c

b

a

eg2(t)

eg1(t)

R1

R2

R3

L1D L2D

L3D

ia(t)ib(t)

ic(t)

M13D

M12D

M23D

+

+

4.6 CIRCUITOS CON ACÓPLOS MAGNÉTICOS.(II)

42

4.7 CIRCUITOS CON FUENTES DEPENDIENTES .(1)

SE RESUELVEN CON CUALQUIERA DE LOS MÉTODOS ANALIZADOS HASTA EL MOMENTO. A CONTINUACIÓN SE TRANSFORMA EL SISTEMA MATRICIAL:

FUENTE DE TENSIÓN DEPENDIENTE DE CORRIENTE (r =TRANSRESISTENCIA)

⋅+⋅−

=

⋅

++−−−++−−−++

)(

)()(

)()(

2

13

11

65454

55322

42421

teg

tirteg

tirteg

i

i

i

RRRRR

RRRRR

RRRRR

c

b

a

⋅

−−

=

⋅−⋅

−

=

⋅+⋅−

c

b

a

a

a

i

i

i

r

r

teg

teg

teg

tir

tir

teg

teg

teg

teg

tirteg

tirteg

000

00

00

)(

)(

)(

0

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)()(

)()(

2

3

1

6

3

1

6

13

11

)(

)(

)(

2

3

1

teg

teg

teg

=

⋅

−+

⋅

++−−−++−−−++

c

b

a

c

b

a

i

i

i

r

r

i

i

i

RRRRR

RRRRR

RRRRR

000

00

00

65454

55322

42421

=

⋅

++−−−++−−−−+++

c

b

a

i

i

i

RRRRR

RRRRrR

RRrRRR

65454

55322

42421

)(

)(

)(

2

3

1

teg

teg

teg

FORMA QUE TOMA EL VECTOR DE TENSIONES:

LLEVANDO ESTA TRANSFORMACIÓN AL SISTEMA MATRICIAL:

PASAMOS A LA DERECHA EL TERMINO NEGATIVO DE LA IZQUIERDA:

EXTRAER EL VECTOR DE CORRIENTES COMO MULTIPLO COMUN:

=

⋅

++−−−++−−−++

c

b

a

i

i

i

RRRRR

RRRRR

RRRRR

65454

55322

42421

⋅

−−

c

b

a

i

i

i

r

r

teg

teg

teg

000

00

00

)(

)(

)(

2

3

1

ib

R1 R3

i2(t)

+- r·i1(t)

R5R4i4(t) i5(t)

R2

R6i6(t)

eg3(t)ia

ic

eg2(t)

eg1(t)

43

FUENTE DE TENSIÓN DEPENDIENTE DE TENSION (µ )

FORMA QUE TOMA EL VECTOR DE TENSIÓN:

LO LLEVAMOS AL SISTEMA MATRICIAL Y PASAMOS EL SUMANDO NEGATIVO A LA DERECHA:

EXTRAYENDO COMO MULTIPLO COMUN EL VECTOR DE CORRIENTES:

eg6(t)

eg1(t) ib

R1 R3

i2(t)

+- µ·Ua(t)

R5R4 i4(t) i5(t)

R2

R6i6(t)

eg3(t)ia

ic

ua(t)

⋅+⋅−

=

⋅

++−−−++−−−++

)(

)()(

)()(

6

3

1

65454

55322

42421

teg

tuteg

tuteg

i

i

i

RRRRR

RRRRR

RRRRR

a

a

c

b

a

µµ

)()()( 441 tiRtegtua ⋅+=

ca iiti +−=)(4

caa iRtiRtegtu ⋅+⋅−= 441 )()()(

caa iRtiRtegtu ⋅⋅+⋅⋅−⋅=⋅ 441 )()()( µµµµY:

⋅

⋅−⋅⋅⋅−

−

⋅+⋅−

=

⋅⋅+⋅⋅−⋅+⋅⋅−⋅⋅+⋅−

c

b

a

ca

ca

i

i

i

RR

RR

teg

tegteg

tegteg

teg

iRiRtegteg

iRiRtegteg

000

0

0

)(

)()(

)()(

)(

)()(

)()(

44

44

6

13

11

6

4413

4411

µµµµ

µµ

µµµµµµ

=

⋅

⋅−⋅⋅⋅−

+

⋅

++−−−++−−−++

c

b

a

c

b

a

i

i

i

RR

RR

i

i

i

RRRRR

RRRRR

RRRRR

000

0

0

44

44

65454

55322

42421

µµµµ

⋅µ+⋅µ−

)t(eg

)t(eg)t(eg

)t(eg)t(eg

6

13

11

=

⋅

++−−⋅−−++⋅+−⋅+−−⋅−++

c

b

a

i

i

i

RRRRR

RRRRRRR

RRRRRRR

65454

4553242

4424421

µµµµ

⋅µ+⋅µ−

)t(eg

)t(eg)t(eg

)t(eg)t(eg

6

13

11

4.7 CIRCUITOS CON FUENTES DEPENDIENTES .(2)

44

4.7 BIBLIOGRAFIA

• V.M. Parra Prieto y otros, Teoría de Circuitos, Universidad Nacional de Educación a Distancia. Madrid 1990. Tema VII.

• E. Alfaro Segovia, Teoría de Circuitos y Electrometría. El autor, Madrid 1970.Capitulo IV, lecciones 8, 9, 10.

• R.L. Boylestad, Análisis Introductorio de Circuitos, Prentice Hall 1995.Tema 9.

• A. Bruce Carlson, Teoría de Circuitos, Thomson, Madrid 2002. Capítulo 4.• A. Gómez, J.A. Olivera, Problemas resueltos de Teoría de Circuitos, Paraninfo, Madrid

1990. Capitulo 2.• J.A. Edminister, M. Nahvi, Circuitos Eléctricos (Problemas resueltos) McGraw Hill, Madrid

1997. Capítulo 4.• UNE 21302-131 Vocabulario Electrotécnico. Parte 131: Teoría de Circuitos.

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