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Física y Mecánica de las ConstruccionesETSAM
TEMA 3.4Tracción y Flexion
Física y Mecánica de las ConstruccionesETSAM
3.4.1. Introducción
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
=⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
γβα
στττστττσ
zyzzx
yzyxy
zxxyx
z
y
x
ttt
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
αβα
εγγ
γεγ
γγε
εεε
zyzxz
yzyxy
xzxyx
21
21
21
21
21
21
2
2
1
ESTADO TENSIONAL:ESTADO DE DEFORMACIÓN:
uTt rr⋅= [ ] uD
rr⋅=ε
3.4.1. Introducción
Física y Mecánica de las ConstruccionesETSAM
ECUACIONES DE HOOKE: ECUACIONES DE LAMÉ:
)( zyx
x EEσσυσε +−=
Gxy
xy
τγ =
)( xzy
y EEσσυσ
ε +−=
Gzx
zxτγ =
)( yxz
z EEσσυσε +−=
Gyz
yz
τγ =
xyxy Gγτ =
xx µελεσ 23 +=
yy µελεσ 23 +=
yzyz Gγτ =
xzxz Gγτ =
zz µελεσ 23 +=
3.4.1. Introducción
Física y Mecánica de las ConstruccionesETSAM
CASO GENERAL:
- se conocen las fuerzas exteriores
SOLUCIÓN:
- TEORÍA DE LA ELASTICIDAD: solución exacta en casos particulares
- RESISTENCIA DE MATERIALES: resolución utilizando métodos aproximados e hipótesis simplificadoras
TRACCIÓN Y FLEXIÓN
3.4.1. Introducción
Física y Mecánica de las ConstruccionesETSAM
PRISMA MECÁNICO EN EQUILIBRIO ESTÁTICO:
SECCIÓN mn: plana, contenida en plano normal a línea media del prisma
EQUILIBRIO: acción parte eliminada: MRrr
,
3.4.1. Introducción
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COMPONENTES DE LA FUERZA RESULTANTE :Rr
Aplicada en el centro de gravedad G de la sección:
kTjTiNTNR zy
rrrrrr++=+=
:Tr
:Nr
separa ambas partes del prisma
desliza la sección respecto de una próxima
3.4.1. Introducción
Física y Mecánica de las ConstruccionesETSAM
COMPONENTES DEL MOMENTO RESULTANTE :Mr
Aplicado en el centro de gravedad G de la sección:
kMjMiMM zyT
rrrr++=
:TM momento TORSOR, giro sobre sí mismo
:kMjMM zyF
rrr+= momento FLECTOR, giro
lateral en XZ y XY
3.4.1. Introducción
Física y Mecánica de las ConstruccionesETSAM
Relación entre y y las componentes de la matriz de tensiones:Mr
Rr
∫∫Ω
Ω= dT xyy τ ∫∫Ω
Ω= dT xzz τ∫∫Ω
Ω= dN xσ
3.4.1. Introducción
Física y Mecánica de las ConstruccionesETSAM
Relación entre y y las componentes de la matriz de tensiones:Mr
Rr
kMjMiM
dddzykji
M
zyT
xzxyxrrr
rrr
r
++=
=ΩΩΩ
= ∫∫Ω ττσ
0
∫∫Ω
Ω= zdM xy σ
∫∫Ω
Ω−= dzyM xyxzT )( ττ
∫∫Ω
Ω= ydM xz σ
3.4.1. Introducción
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3.4.2.Solicitaciones exteriores sobre un prisma mecánicoFUERZAS Y MOMENTOS: 1) CARGAS: aplicadas directamente
2) REACCIONES
CLASIFICACIÓN DE CARGAS:
- FUERZAS DE VOLUMEN: sobre todos los puntos, fuerza gravitatoria
- FUERZAS DE SUPERFICIE: superficie exterior, concentradas o distribuidas
- CARGAS PERMANENTES: existen siempre, peso, techos, pavimentos..
- CARGAS ACCIDENTALES O SOBRECARGAS: personas, muebles, máquinas, vehículos, variaciones térmicas, acciones sísmicas...
- CARGAS ESTÁTICAS: no varían módulo, punto de aplicación o dirección
- CARGAS DINÁMICAS: varían con el tiempo, vibraciones de las estructuras
3.4.2. Solicitaciones exteriores sobre un…..
Física y Mecánica de las ConstruccionesETSAM
TRACCIÓN Y COMPRESIÓN CORTANTE
Cables….
Columnas y pilares…..
Conexiones atornilladas y remachadas..
3.4.2. Solicitaciones exteriores sobre un…..
Física y Mecánica de las ConstruccionesETSAM
FLEXIÓN TORSIÓN
Ejes de transmisión….Tuberías, vigas….
3.4.2. Solicitaciones exteriores sobre un…..
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3.4.3. Tracción y compresión
TRACCIÓN O COMPRESIÓN MONOAXIAL:en cada sección solo actúa el esfuerzo normal N
∫∫Ω
Ω= dT xyy τ ∫∫Ω
Ω= dT xzz τ∫∫Ω
Ω= dN xσ
∫∫Ω
Ω= zdM xy σ∫∫Ω
Ω−= dzyM xyxzT )( ττ
∫∫Ω
Ω= ydM xz σ
3.4.3. Tracción y compresión
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Ndydzx =∫∫Ω
σ 0)( =−∫∫Ω
dydzzy xyxz ττ
0=∫∫Ω
ydydzxσ0=∫∫Ω
dydzxyτ
0=∫∫Ω
zdydzxσ0=∫∫Ω
dydzxzτ
3.4.3. Tracción y compresión
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HIPÓTESIS SIMPLIFICATIVA:Hipótesis de Bernoulli o de conservación de las secciones planas
- secciones transversales: planas y perpendiculares a la línea media después de la deformación
- hipótesis comprobada experimentalmente
Ω=⇒=⇒= ∫∫∫∫
ΩΩ
NNdydzNdydz xxx σσσ
0=== yzxzxy γγγ
0=== yzxzxy τττ
3.4.3. Tracción y compresión
Física y Mecánica de las ConstruccionesETSAM
EJES PRINCIPALES:- ejes contenidos en el plano de la sección- eje del prisma
0=== yzxzxy τττ
0=== yzxzxy γγγ
TENSIONES PRINCIPALES:
Ω=
N1σ 032 ==σσ
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
000000001σ
T
DEFORMACIONES:
Ex
zyυσ
εε −==E
xx
σε = 0=== yzxzxy γγγ
3.4.3. Tracción y compresión
Física y Mecánica de las ConstruccionesETSAM
TEOREMA DE BERNOULLI: no es aplicable en secciones próximas a variaciones de Área. En ese caso, TEORÍA DE LA ELASTICIDAD.
3.4.3. Tracción y compresión
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3.4.4. Flexión pura
FLEXIÓN PURA:
en toda sección recta:- resultante nula de fuerzas- momento contenido en plano de la sección
FLEXIÓN PURA ASIMÉTRICA: MF componentes según dos ejes principales de inercia de la sección
FLEXIÓN PURA SIMÉTRICA: MF según un eje principal de inercia
3.4.4. Flexión pura
Física y Mecánica de las ConstruccionesETSAM
FLEXIÓN PURA SIMÉTRICA:
TRAMOS AB DE LAS SIGUIENTES VIGAS:
3.4.4. Flexión pura
Física y Mecánica de las ConstruccionesETSAM
FLEXIÓN PURA SIMÉTRICA:
∫∫Ω
Ω= dN xσ ∫∫Ω
Ω= dT xyy τ ∫∫Ω
Ω= dT xzz τ
∫∫Ω
Ω−= dzyM xyxzT )( ττ
∫∫Ω
Ω= zdM xy σ
∫∫Ω
Ω= ydM xz σ
0=∫∫Ω
dydzxyτ 0=∫∫Ω
dydzxzτ0=∫∫Ω
dydzxσ
0)( =−∫∫Ω
dydzzy xyxz ττ 0=∫∫Ω
zdydzxσ Fzx MMydydz ==∫∫Ω
σ
3.4.4. Flexión pura
Física y Mecánica de las ConstruccionesETSAM
DESCRIPCIÓN DEL PRISMA:
FIBRA NEUTRA:- ninguna tensión- contiene G de las secciones
FIBRAS COMPRIMIDAS
FIBRAS ALARGADAS
3.4.4. Flexión pura
Física y Mecánica de las ConstruccionesETSAM
HIPÓTESIS SIMPLIFICATIVAS (comprobación experimental):
1. Límites de elasticidad proporcional
2. H. de Bernoulli: las secciones transversales se mantienen planas
DE LA SEGUNDA HIPÓTESIS:
Secciones planas: no se producen deformaciones angulares
),,( xxzxy σττ00 ==⇒== xzxyG ττγτ
:xσ LEY DE NAVIER
MÉTODO GEOMÉTRICO
3.4.4. Flexión pura
Física y Mecánica de las ConstruccionesETSAM
MÉTODO GEOMÉTRICO:
AB: fibra neutra
ρ: radio de curvatura
DE – CF: dos secciones rectas
MN: acortamiento fibra encimade fibra neutra
HF: alargamiento fibra debajode fibra neutra
Deformación para fibra situada a distancia “y” de la fibra neutra:
ABHF
ABMN
dxdxdx
=−
=−
=´ε
3.4.4. Flexión pura
Física y Mecánica de las ConstruccionesETSAM
MÉTODO GEOMÉTRICO:
⇒=−
=−
=ABHF
ABMN
dxdxdx´ε
TRIÁNGULOS SEMEJANTES: MNB - ABO
ρy
AOMB
ABMN
==
ρε y
−=
LEY DE HOOKE:
yEyEE x
xx
ρσ
ρσσ
ε −=⇒−=⇒=
LEY DE NAVIER
3.4.4. Flexión pura
Física y Mecánica de las ConstruccionesETSAM
MÉTODO GEOMÉTRICO: LEY DE NAVIER
yEρ
σ −=
yEρ
σ =
3.4.4. Flexión pura
Física y Mecánica de las ConstruccionesETSAM
MÉTODO GEOMÉTRICO:
0=⇒Ω= FddF σFLEXIÓN PURA:
0=Ω=Ω= ∫ ∫ ydEdFρ
σ
yEρ
σ =
0=Ω∫ yd
La fibra neutra contiene G de todas las secciones
3.4.4. Flexión pura
Física y Mecánica de las ConstruccionesETSAM
MÉTODO GEOMÉTRICO:
Ω= ddF σzF IEdyEdyydFM
ρρσ =Ω=Ω== ∫ ∫∫ 2
yEρ
σ = :zI momento de inercia respecto eje Z
yI
MI
ME
z
F
z
F =⇒= σρ LEY DE NAVIER
3.4.4. Flexión pura
Física y Mecánica de las ConstruccionesETSAM
3.4.5. Flexión simple
FLEXIÓN SIMPLE:
en toda sección recta:- resultante cortante de fuerzas- momento flector
yxy Tdydz =∫∫Ω
τ zxz Tdydz =∫∫Ω
τ0== ∫∫Ω
dydzN xσ
yx Mzdydz =∫∫Ω
σ zx Mydydz =∫∫Ω
σ0)( =−= ∫∫Ω
dydzzyM xyxzT ττ
3.4.5. Flexión simple
Física y Mecánica de las ConstruccionesETSAM
Fuerza cortante: tensiones cortantes y deformaciones angulares
yxy Tdydz =∫∫Ω
τ zxz Tdydz =∫∫Ω
τ
Alabeo de las secciones transversales:
3.4.5. Flexión simple
Física y Mecánica de las ConstruccionesETSAM
¿Es válida la LEY DE NAVIER en flexión simple?
1) se admite alabeo: tensiones cortantes
2) se desprecia alabeo relativo: AoBo ⇒ AB~A´B´
- Si tensión cortante constante en sección: resultado exacto
- Si tensión cortante varía: error despreciable si dimensiones transversales pequeñas comparadas con longitud
yI
M
z
F=σ
3.4.5. Flexión simple
Física y Mecánica de las ConstruccionesETSAM
EJEMPLOS: Viga simplemente apoyada
0=−+ PRR BA
20
22PRRlRlR BABA ==⇒=−
xPxRM Ax 21 ==
:2
0 lx ≤≤
)(2
)2
(2 xlPlxPxRM Ax −=−−=
:2
lxl≤≤
21PRT Ax ==
BAx RPPRT −=−=−=22
3.4.5. Flexión simple
Física y Mecánica de las ConstruccionesETSAM
TENSIONES CORTANTES:
En general, tensiones cortantes no constante:)()(
xSxT
≠τ
- Dos secciones: (x, x+dx)- Momentos flectores: (M, M+dM)- Equilibrio de la parte cortada a una distancia “y “de la fibra neutra
3.4.5. Flexión simple
Física y Mecánica de las ConstruccionesETSAM
yI
M
z
F=σ
Tensiones normales parte izquierda:
∫∫ =Ω=Ω=zz I
MmdyIMdN 1σ Ω∫= dym 1
Tensiones normales parte derecha:
zIdMmdN =
zImdMMdNN )( +
=+
3.4.5. Flexión simple
Física y Mecánica de las ConstruccionesETSAM
Teorema de Cauchy
τ⇒=zI
dMmdNzyyz ττ =
zz ITdxm
IdMmbdx ==τ
zbITm
=τ
TEOREMA DE COLIGNON
3.4.5. Flexión simple
Física y Mecánica de las ConstruccionesETSAM
zbITm
=τ
Puntos superior e inferior de la sección:
00 =⇒= τm Ω∫= dym 1
- Punto superior: área nula
- Punto inferior: coordenada Y del CM
3.4.5. Flexión simple
Física y Mecánica de las ConstruccionesETSAM
Distribución de tensiones tangenciales:
a) Sección rectangular
zbITm
=τ
)4
(22
22
2/2/ 2
1 yhbbyybdydym
h
y
h
y
−=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡==Ω= ∫∫
12322
32/
0
2/
0
322
1bhbybdyydyI
hh
z =⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡==Ω= ∫∫
3.4.5. Flexión simple
Física y Mecánica de las ConstruccionesETSAM
Distribución de tensiones tangenciales:
a) Sección rectangular
2
22
3
22
3
22)4(
23)4(
23
12
)4(8
hyhT
bhyhT
bhb
yhbT
bITm
z
−Ω
=−
=−
==τ
3.4.5. Flexión simple
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Distribución de tensiones tangenciales:
b) Sección circular
zbITm
=τ
[ ] 2/3222/322221 )(
32)(
32)2( yRyRdyyRyybdydym
R
y
R
y
R
y
−=−−=−==Ω= ∫ ∫∫
∫∫ ==Ω=2/
0
422
1 42
h
zRbdyydyI π
3.4.5. Flexión simple
Física y Mecánica de las ConstruccionesETSAM
Distribución de tensiones tangenciales:
b) Sección circular
2
22
422
2/322
34
42
)(32
RyRT
RyR
yRT
bITm
z
−Ω
=
−
−==
πτ
3.4.5. Flexión simple
Física y Mecánica de las ConstruccionesETSAM
Tensiones principales:
yI
M
z
zx =σ
0== zy σσ
zyz bI
Tm=τ
0== xzxy ττ
3.4.5. Flexión simple
Física y Mecánica de las ConstruccionesETSAM
3.4.6. Flexión: deformaciones
Dos magnitudes definen la deformación:
:Aθ ángulo girado por sección transversal
:Ay desplazamiento perpendicular al eje de la viga del centro de gravedad
(desplazamiento despreciable en eje X)
3.4.6. Flexión: deformaciones
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ELÁSTICA DE LA VIGA
Extremo de la viga Línea media de la viga
Pequeñas deformaciones:
z
z
EIM
xdyd=2
2
ECUACIÓN DIFERENCIAL
APROXIMADA DE LA ELÁSTICA
3.4.6. Flexión: deformaciones
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VALIDEZ:
- flexión pura
- flexión simple: - T(x) constante
- T(x) no constante: dimensiones transversal << longitud
ECUACIÓN DIFERENCIAL APROXIMADA DE LA ELÁSTICA
DOBLE INTEGRACIÓN: dos constantes de condiciones de contorno
z
z
EIM
xdyd=2
2
Flecha: Ymax, deformación máxima
Y(x)
3.4.6. Flexión: deformaciones
Física y Mecánica de las ConstruccionesETSAM
Ejemplo: Viga simplemente apoyada con carga uniformemente repartida
2plRR BA ==
222
2pxxplxpxxRM A −=−=
pxplpxRT A −=−=2
3.4.6. Flexión: deformaciones
Física y Mecánica de las ConstruccionesETSAM
Ecuación diferencial:
z
z
EIM
xdyd=2
2
222
2pxxplxpxxRM A −=−=
22
2
22x
px
plxdyd
EIM zz −==
KCxxpxplyEI z ++−= 43
2412
Integrando dos veces:
Condiciones de contorno:
0)0( =y
0)( =ly
3.4.6. Flexión: deformaciones
Física y Mecánica de las ConstruccionesETSAM
Condiciones de contorno:
0)0( =y
0)( =ly
00)0( =⇒= Ky
KCxxpxplyEI z ++−= 43
2412
240
24120)(
344 plCClplplly −=⇒=+−⇒=
ECUACIÓN DE LA ELÁSTICA:
)242412
(1 343 x
plx
px
plEI
yz
−−=
3.4.6. Flexión: deformaciones
Física y Mecánica de las ConstruccionesETSAM
Representación gráfica:
)242412
(1 343 x
plx
px
plEI
yz
−−=
3.4.6. Flexión: deformaciones