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Tema 3: Modelos de Propagación de gran Escala
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Modelos de propagación
La señal recibida por el móvil en cualquier punto del espacio puede estar constituida por un gran número de ondas planas con distribución aleatoria de amplitud, de fase y de ángulo de llegada.Es posible la recepción incluso cuando no hay visión directa entre Transmisor y Receptor.
• Bloqueo (shadowing)
Transmisor
Receptor
3
Modelos de propagación
Los modelos de propagación a gran escala predicen el comportamiento medio para distancias >> λ• Dependencia de la distancia y de
características del entorno• Independencia del ancho de banda• Útiles para modelar el alcance de un
sistema radio y para planificación.Modelos de pequeña escala (fading) describen las variaciones de señales sobre distancias del orden de λ• Fading: cambios rápidos de la señal
sobre distancias (intervalos de tiempo) cortos.
• Multitrayecto− Cancelación de fase− Atenuación constante
• Dependencia del ancho de banda de transmisión.
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Modelos de propagación
Mecanismos de Propagación de señal.• Espacio Libre (Path Loss, Line-of-Sight) • Bloqueo (debido a obstrucciones)
− Modelo Log-distancia− Modelo Log-normal
• Desvanecimiento por multitrayecto (interferencia con(des)structiva)
Pr/Pt
d=vt
PRPT
d=vt
v
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Modelos de gran escala: Path Loss, PL
Propagación en espacio libre
Path Loss
El modelo de propagación de espacio libre es sólo válido para campo lejano (d > d0)• Valores típicos de d0
− Celdas grandes (rural): 1 km.− Microceldas (urbano): 100 m− Indoor (WLAN): 1m.
[ ] 10 10PL( ) dB (32.44 20log 20log )d d f= + +f en MHzd en Km
2
Espacio libre
( )[ ] [ ]4R T T RP d W P W G G
dλπ
⎛ ⎞= × ⎜ ⎟⎝ ⎠
PL
GR
PRPT
GT
d
2
PL( ) dd πλ
4⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
[ ] [ ]2
00 0( ) ( ) , R R
dP d W P d W d dd
⎛ ⎞= × ≥⎜ ⎟⎝ ⎠
[ ] [ ]00
PL( ) dB PL( ) dB 20log dd dd
⎛ ⎞= + ⎜ ⎟
⎝ ⎠
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Existen modelos que pueden explicar “mejor” que el de “espacio libre”las pérdidas en un trayecto.
• Ejemplo: Modelo de Okumura-Hata: pérdidas en promedio
• Comparación con el modelo de propagación en espacio libre
donde: f : frecuencia (MHz) H1 : Altura efectiva de la antena transmisora (m) [30 a 200 m] H2 : Altura efectiva de la antena receptora (m) [1 a 10 m] d : distancia (km) a(H2) = (1.1 log( f ) − 0.7) H2 − (1.56 log ( f )− 0.8)
Modelos de gran escala: Path Loss, PL
( ) ( ) ( ) ( ) ( )Okumura 1 1 2PL [dB] 69.55 26.16log 13.82log 44.9 6.55log logf H H d a H= + − + − −⎡ ⎤⎣ ⎦
[ ] 10 10PL( ) dB (32,44 20log 20log )d d f= + + f en MHzd en Km
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En la práctica, existen condiciones del entorno que afectan a la potencia media recibida
Pérdidas medias en el trayecto
Modelos de gran escala: log-distancia
[ ] [ ] 00 0( ) ( ) ,
n
R RdP d W P d W d dd
⎛ ⎞= × ≥⎜ ⎟⎝ ⎠
Entorno Exponente, nEspacio libre 2Reflexión especular ideal 4Entorno urbano 2.7 - 3.5Entorno urbano (shadowing) 3 - 5En edificios (visión directa) 1.6 - 1.8En edificios (camino obstruido) 4 - 6En industria (camino obstruido) 2 - 3
[ ] [ ]00
PL( ) dB PL( ) dB 10 log dd d nd
⎛ ⎞= + ⎜ ⎟
⎝ ⎠ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1080
90
100
110
120
130
140
150
160
170
Distancia [km]
PL(
dB)
fc=1800 MHz
n=2
n=3
n=4
[ ] [ ]R R 00
P ( ) dBW P ( ) dBW 10 log dd d nd
⎛ ⎞= − ⎜ ⎟
⎝ ⎠
8
Pérdidas medias en el trayecto
• Lineal cuando la distancia se expresa en unidades logarítmicas− log-distancia
Modelos de gran escala: log-distancia
[ ] [ ]00
PL( ) dB PL( ) dB 10 log dd d nd
⎛ ⎞= + ⎜ ⎟
⎝ ⎠
10-1 100 10180
90
100
110
120
130
140
150
160
170
180
Distancia [km]
PL(
dB)
fc=1800 MHz
n=2
n=3
n=4
9
Microceldas urbanas
Dependiendo del perfil, el índice n puede variar
BA
D
C
log (distancia)log (distancia)
Potencia Media Recibida (dB) Potencia Media Recibida (dB)A
C
BA
D
Breakpoint
Breakpoint
n=2
n=4
n=2
n=4~8
15~20dB
Edificios
10
Variaciones entorno a la media
Modelos de gran escala: log-normal
[ ] 00
PL( ) dB PL( ) 10 log dd d n Xd σ
⎛ ⎞= + +⎜ ⎟
⎝ ⎠Variable aleatoria Gaussiana (0,σPL
2) [dB]
Componente de desvanecimiento Log-normal [dB]
RP
Celdas en forma de ameba
11
Variaciones entorno a la media
Modelos de gran escala: log-normal
[ ] 00
PL( ) dB PL( ) 10 log dd d n Xd σ
⎛ ⎞= + +⎜ ⎟
⎝ ⎠
Componente de desvanecimiento Log-distancia [dB]
Variable aleatoria Gaussiana (0,σPL2)[dB]
12
Ejemplo: Determinar “n” y σ2
Encontrar los parámetros del modelo log-normal• “n” y σ2
[ ] [ ]R R 00
P ( ) dBm P ( ) dBm 10 log dd d n Xd σ
⎛ ⎞= − +⎜ ⎟
⎝ ⎠
Componente de desvanecimiento Log-distancia [dB]
Variable aleatoria Gaussiana (0,σ2) [dB]
PR(dBm)
log(d)10n
PR(d0) (dBm)
log(d0)
σ2
13
Ejemplo: Determinar “n” y σ2
Asuma PR(d0) = 0 dBm y d0=100 mAsuma que la potencia recibida PR(d) se mide a distancias 100 m, 200 m, 1000 m y 3000 m, Encontrar los parámetros del modelo log-normal
• “n” y σ2
Distancia desde el transmisor
Potencia Recibida
100 m 0 dBm
200 m -20 dBm
1000 m -35 dBm
3000 m -70 dBm
[ ] [ ]R R 00
P ( ) dBm P ( ) dBm 10 log dd d n Xd σ
⎛ ⎞= − +⎜ ⎟
⎝ ⎠
Componente de desvanecimiento Log-distancia [dB]
Variable aleatoria Gaussiana (0,σ2) [dB]
14
Ejemplo: Determinar “n” y σ2
Modelo log-normal• Cálculo de n
Distancia PR(d) (dBm) media experimental
PR(d) (dBm) media Modelo log-normal
100m (d0) 0 0200m -20 -3n1000m -35 -10n3000m -70 -14.77n
[ ] [ ]R R 00
P ( ) dBm P ( ) dBm 10 log dd d nd
⎛ ⎞= − ⎜ ⎟
⎝ ⎠
15
Ejemplo: Determinar “n” y σ2
Modelo log-normal• Cálculo de n
• Error cuadrático− ε2(n) = (0-0)2 + (-20-(-3n))2 + (-35-(-10n))2 + (-70-(-14.77n))2
• Error cuadrático medio
Distancia PR(d) (dBm) media experimental
PR(d) (dBm) media Modelo log-normal
100m (d0) 0 0
200m -20 -3n1000m -35 -10n3000m -70 -14.77n
2
opt( ) 0d nn
dnε
→ = ( ) [ ]2opt dBnσ ε=
[ ] [ ]R R 00
P ( ) dBm P ( ) dBm 10 log dd d nd
⎛ ⎞= − ⎜ ⎟
⎝ ⎠
( ) ( ) ( )( )2 2 2 21(n) = 0 3 20 10 35 14.77 704
n n nε + − + − + −
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Cálculo de coberturas
El Modelo Log-normal (shadowing) nos permite definir probabilidades de coberturas.• La probabilidad de que PR(d) [dBm] supere γ [dBm]:
− Estadística Gaussiana
Y=PR(d) [dBm]PR(d)γ
Área sombreada( )2( ),RN P d σ
[ ] [ ]Pr ( ) dBm dBmRP d γ⎡ ⎤>⎣ ⎦
( )RP d γ−
Xz
Área sombreada( )0,1N
0
[ ]Pr ( )X z Q z> =
z Q(z) z Q(z) z Q(z) z Q(z)0.0 0.5 1.0 0.15866 2.0 0.02275 3.0 0.00135
0.1 0.46017 1.1 0.13567 2.1 0.01786 3.1 0.00097
0.2 0.42074 1.2 0.11507 2.2 0.01390 3.2 0.00069
0.3 0.38209 1.3 0.09680 2.3 0.01072 3.3 0.00048
0.4 0.34458 1.4 0.08076 2.4 0.00820 3.4 0.00034
0.5 0.30854 1.5 0.06681 2.5 0.00621 3.5 0.00023
0.6 0.27425 1.6 0.05480 2.6 0.00466 3.6 0.00016
0.7 0.24196 1.7 0.04457 2.7 0.00347 3.7 0.00011
0.8 0.21118 1.8 0.03593 2.8 0.00256 3.8 0.00007
0.9 0.18406 1.9 0.02872 2.9 0.00187 3.9 0.00005
σ 1
( ) YR
Y
YP d Y X μσ−
= → =
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Cálculo de coberturas
El Modelo Log-normal (shadowing) nos permite definir probabilidades de coberturas.• La probabilidad de que PR(d) [dBm] supere γ [dBm]:
• Efecto de la variación de la distancia ( γ [dBm] permanece constante). − Supongamos d1 < d2
[ ] [ ] [ ] [ ][ ]
dBm ( ) dBmPr ( ) dBm dBm
dBR
R
P dP d Q
γγ
σ⎛ ⎞−
⎡ ⎤> = ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎜ ⎟⎝ ⎠
PR(d) dBmPR(d)[dBm]γ
Área sombreada
[ ] [ ]1 2( ) dBm ( ) dBmR RP d P d→ >
PR(d) [dBm]PR(d2)
γ
Área sombreada
PR(d1)PR(d) [dBm]
PR(d1)γ
Área sombreada
PR(d2)
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Cálculo de coberturas
El Modelo Log-normal (shadowing) nos permite definir probabilidades de coberturas.• La probabilidad de que PR(d) [dBm] supere γ [dBm]:
Planificación de red:• Encontrar el valor de “d” para el que la potencia recibida media
supere el umbral γ [dBm] con una probabilidad α %.
[ ] [ ] [ ] [ ][ ]
dBm ( ) dBmPr ( ) dBm dBm
dBR
R
P dP d Q
γγ
σ⎛ ⎞−
⎡ ⎤> = ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎜ ⎟⎝ ⎠
PR(d) dBmPR(d)[dBm]γ
Área sombreada
d
[ ] [ ]Pr ( ) dBm dBm %RP d γ α⎡ ⎤> ≥⎣ ⎦
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Potencia recibida y PDF normal
Encontrar el valor de “d” para el que la potencia recibida media supere el umbral γ [dBm] con una probabilidad α %
• Ejemplo: γ = -88 [dBm]; σ= 5 dB; ¿cuánto tiene que valer PR(d) para que
-90 -88 -86 -84 -82 -80 -78 -76 -74 -72 -700.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
[ ] [ ]Pr ( ) dBm dBm %RP d γ α⎡ ⎤> ≥⎣ ⎦
[ ] [ ]Pr ( ) dBm 88 dBm 95%?RP d⎡ ⎤> − ≥⎣ ⎦
[ ]dBmγ [ ]¿ ( ) dBm ?RP d
95%
z Q(z) z Q(z) z Q(z) z Q(z)
0.0 0.5 1.0 0.15866 2.0 0.02275 3.0 0.00135
0.1 0.46017 1.1 0.13567 2.1 0.01786 3.1 0.00097
0.2 0.42074 1.2 0.11507 2.2 0.01390 3.2 0.00069
0.3 0.38209 1.3 0.09680 2.3 0.01072 3.3 0.00048
0.4 0.34458 1.4 0.08076 2.4 0.00820 3.4 0.00034
0.5 0.30854 1.5 0.06681 2.5 0.00621 3.5 0.00023
0.6 0.27425 1.6 0.05480 2.6 0.00466 3.6 0.00016
0.7 0.24196 1.7 0.04457 2.7 0.00347 3.7 0.00011
0.8 0.21118 1.8 0.03593 2.8 0.00256 3.8 0.00007
0.9 0.18406 1.9 0.02872 2.9 0.00187 3.9 0.00005
20
Potencia recibida y PDF normal
Ejemplo: γ = -88 [dBm]; σ= 5 dB; ¿cuánto tiene que valer PR(d) para que
• Equivalentemente...
-90 -88 -86 -84 -82 -80 -78 -76 -74 -72 -700.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
[ ] [ ] [ ] [ ][ ]
88 dBm ( ) dBmPr ( ) dBm 88 dBm 0.95?
5 dBR
R
P dP d Q
⎛ ⎞− −⎡ ⎤>− = ≥⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
[ ]dBmγ [ ]¿ ( ) dBm ?RP d
95%
z Q(z) z Q(z) z Q(z) z Q(z)
0.0 0.5 1.0 0.15866 2.0 0.02275 3.0 0.00135
0.1 0.46017 1.1 0.13567 2.1 0.01786 3.1 0.00097
0.2 0.42074 1.2 0.11507 2.2 0.01390 3.2 0.00069
0.3 0.38209 1.3 0.09680 2.3 0.01072 3.3 0.00048
0.4 0.34458 1.4 0.08076 2.4 0.00820 3.4 0.00034
0.5 0.30854 1.5 0.06681 2.5 0.00621 3.5 0.00023
0.6 0.27425 1.6 0.05480 2.6 0.00466 3.6 0.00016
0.7 0.24196 1.7 0.04457 2.7 0.00347 3.7 0.00011
0.8 0.21118 1.8 0.03593 2.8 0.00256 3.8 0.00007
0.9 0.18406 1.9 0.02872 2.9 0.00187 3.9 0.00005
[ ] [ ] [ ] [ ][ ]
( ) dBm dBmPr ( ) dBm 88 dBm 0.05?
5 dBR
R
P dP d Q
γ⎛ ⎞−⎡ ⎤< − = ≤⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
[ ] [ ][ ] [ ] [ ]( ) dBm dBm
1.6 ( ) dBm 5 1.6 88 80 dBm5 dB
RR
P dP d
γ−≥ → ≥ × − =−
21
Reflexión: Modelo de N-Rayos
Se aplica cuando, en la mayor parte del tiempo, llegan al receptor otras componentes distintas de la LOS.Reflexión en Tierra: Modelo de 2-Rayos• Campo recibido: contribución del rayo directo (RD) y del reflejado (RR)
hTXhRX
θ θ
Transmisor
Receptor
RD
je φΓ = ΓCoeficiente de reflexión
d1 d2
1 2 1
tan TX RX TXh h hd d d
θ += =
+
Imagen
hRX
( )1 1 2TX TX
TX RX TX RX
h hd d d dh h h h
= + =+ +
RR
2RX
TX RX
hd dh h
=+
Desfase proporcional a la diferencia de caminos
2
1j d
RX FS REFLEJADO FSVE E E E em
πλ
− Δ⎛ ⎞⎡ ⎤= + = +Γ⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦⎝ ⎠
22
Reflexión: Modelo de 2-Rayos
Desfase entre rayo directo y reflejado
• Distancia recorrida por el rayo directo
• Distancia recorrida por el rayo reflejado
• Diferencia
hTXhRX
θ θ
Transmisor
Receptor
RD
Imagenje φΓ = ΓCoeficiente de reflexión
d1 d2
hRX
RR
( ) ( )222
21 TX RXTX RX
h hd h h d
d−
+ − = +
( ) ( )2 22 2 2 TX RXTX RX TX RX
h hd d h h d h hd
Δ = + + − + − ≈
( ) ( )
( )
222
2
2
2
1
12
TX RXTX RX
TX RX
h hd h h d
d
h hd
d
++ + = +
⎛ ⎞+≈ +⎜ ⎟
⎜ ⎟⎝ ⎠
01 1
2x
xx→
+ ≈ +
( )2
212
TX RXh hd
d
⎛ ⎞−≈ +⎜ ⎟
⎜ ⎟⎝ ⎠
23
Reflexión especular en tierra
Casos prácticos: Γ≈-1, d>>hTX, hRX
Potencia recibida
Pérdidas en el trayecto (n=4)
hTXhRX
θ θ
Transmisor
Receptor
RD
Imagenje φΓ = ΓCoeficiente de reflexión
d1 d2
hRX
RR
iE
422 sinTX RX
TX RX TX RX
d h h
h h h hFd d
ππλ λ
⎛ ⎞= ⋅ ≈⎜ ⎟⎝ ⎠
22
R T T RP P G G Fd
λπ
⎛ ⎞= ⎜ ⎟4⎝ ⎠2
2TX RX
R T T Rh hP P G G
d⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
Atenuación [dB]hTX=30m, hRX=1m, f=1800 MHz
-15,000
-10,000
-5,000
0,000
5,000
10,000
1 10 100
Separación TX RX ( x 100 m)
Ate
nuac
ión
[dB
]
00
PL( ) PL( ) 40log dd dd
⎛ ⎞= + ⎜ ⎟
⎝ ⎠
( ) ( )PL( ) 40log 20log TX RXd d h h= −
24
Ejemplo: 2 rayos
Sistema GPRS Clase 10 (4+2)• fc = 1800 MHz, Ancho de Banda: 200 kHz• Régimen binario: 57.4 kbits/sec (downlink)• Distancia: 15 km. Modelo de 2 rayos.• Transmisor: Potencia: 2 W, hTX=40 m.• Receptor: hRX=1,5 m, Figura de ruido: 9 dB
¿Eb/N0?• PTX = 2 W → 10 log (2/10-3) = 33 dBm• PL[dB]=40log(d)-20 log(hTXhRX)=40log(15000)-20log(40×1,5)=131,48 dB• PRX = 33 dBm -131,48 dB = -98,48 dBm• Ruido:
− kTeqB=1.3803x10-23 x 290x(109/10 -1) × 2.0×105 = 5.5 x10-15W → -112,55 dBm.
[ ] ( )dB 98,48 dBm 112.55 dBm=14 dBSN
⎛ ⎞ = − − −⎜ ⎟⎝ ⎠
[ ] [ ]0 0
dB dB 10log 19,42 dBb b b
b
E R ES S BN N B N N R
⎛ ⎞ ⎛ ⎞×⎛ ⎞ ⎛ ⎞= → = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟×⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
25
Difracción
La difracción tiene lugar cuando el frente de la onda choca con el borde de un obstáculo.
• Se generan “ondas secundarias” que se propagan en la región de sombra
• Por el mayor recorrido se produce un desplazamiento de fase.
26
Modelando la Difracción
Difracción “filo de cuchillo”
• Donde EFS es el campo correspondiente a espacio libre.
Se demuestra en base a la teoría de Huygens
• donde ν se define como el “índice de difracción” que provoca el obstáculo.
( )2
( ) 2(1 )1 ( ) ( )2
tjj hRXdiff
FS
E jG v e F v e dtE
πφ
ν
∞ −− Δ += + = = ∫
1 2
1 2
2 d dv hd dλ+
=
h<0
d1 d2
q1q2
Q
TX RX
( )( )1 ( ) j hRX FS diffE E G v e φ− Δ= +
27-3 -2 -1 0 1 2 3
-5
0
5
10
15
20
25
Ate
nuac
ión
[dB
] adi
cion
al a
la d
e es
paci
o lib
re
ν Parámetro de difracción de Fresnel
Modelando la Difracción
Los resultados de la integral anterior (integral de Fresnel) se obtienen de tablas para distintos valores de ν
h<0
d1 d2
q1q2
Q
h>0
d1 d2
q1 q2
Q
1 2
1 2
2 d dv hd dλ+
=
20 lo
g 10|
F(ν)
|
ATENUACIÓN POR DIFRACCIÓN [dB]TX RX
TX RX
( )RX
FS
E F vE
=
28
Modelando la Difracción
Dependiendo del “despejamiento” (h), puede haber variaciones en la señal recibida
• Cuando el desfase es un múltiplo par de π radianes se produce una interferencia constructiva (suma en fase)
• Cuando el desfase es un múltiplo impar de π radianes hay interferencia destructiva (suma en contrafase)
h<0
d1 d2
q1q2
Q
TX RX( )( )1 ( ) j h
RX FS diffE E G v e φ− Δ= +
29
Diferencia de camino entre la trayectoria directa (d1-d2) ahora obstruida, y la trayectoria por Q, (q1-q2)
Para h << d1, d2 , se puede aproximar la diferencia de camino Δd por
h>0
d1 d2
q1 q2Q
Fuente Receptor
Modelando la Difracción
2 2 21 2 1 2
1 2 1 2
22 2
d d d dh h vd dd d d d
π π πφλ λ
+ +Δ = → Δ = Δ = =
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2d q q d d d h d h d dΔ = + − + = + + + − +
( )2 2
1 2 1 21 2
1 1h hd d d d dd d
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟Δ = + + + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
( )2 2
1 2 1 21 2
1 11 12 2
h hd d d d dd d
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟Δ ≈ + + + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
01 1
2x
xx→
+ ≈ +
30
n=2n=3
Modelando la Difracción
Existe una simetría cilíndrica en torno al eje d1-d2
• los hn determinan radios de círculos concéntricos en el plano perpendicular a la dirección de propagación. − Los haces dentro del primer círculo difieren en fase entre si, y como
mucho, en π. Para h1,el desfase entre el rayo directo y el refractado es de π radianes ⇔ la diferencia de caminos es de λ/2 metros
hn
d1 d2TX RX
21 2
1 2
1 2
1 2
2
n
d dhdd d
d dn h nd d
π πφλ λ
φ π λ
+Δ = Δ =
Δ = → =+
31
Modelando la Difracción
Tridimensionalmente, las regiones de Fresnel son elipsoidales con radios:
La difracción será más severa cuanto menor sea el índice n de las regiones afectadas.
• El grado obstrucción depende de la frecuencia (1/λ) y la posición del obstáculo (d1, d2)
Regla empírica: • cuando la primera zona de Fresnel
está despejada en al menos un 60 % un mayor despejamiento de zonas de Fresnel tiene poco efecto sobre el enlace.
1 2
1 2n
d dh nd d
λ=+
TX
RXd2
d1
1Si - 0.6h h>
h<0
d1 d2
q1q2
Q
TX RX
32
Propagación en gases
Absorción por gases en la troposfera• Dos contribuciones: Oxígeno y Vapor de agua• Atenuación específica: dB/km.