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Fundamentos de

Control Automático

2º G. Ing. Tecn. Industrial

Tema 2: Representación y

modelado de sistemas dinámicos

Depto. Ing. Sistemas y Automática. Fundamentos de Control Automático. 2º G.Ing. Tecn. Ind.

Índice del tema

Tema 2: Representación y modelado de sistemas dinámicos

2.1 Señales y sistemas dinámicos

2.2 Modelado matemático de sistemas dinámicos

2.3 Régimen permanente y transitorio.

Característica estática de un sistema.

2.4 Sistemas dinámicos lineales y no lineales

2.5 Linealización

2

Depto. Ing. Sistemas y Automática. Fundamentos de Control Automático. 2º G.Ing. Tecn. Ind. 3

Señales y Sistemas Dinámicos

Señales y sistemas dinámicos

Sistemas: Conjunto de cosas que relacionadas entre sí

ordenadamente contribuyen a determinado objeto.

Señal o variable: toda magnitud que evoluciona con el

tiempo


Señales

• Caudal de vapor• Desplazamiento del pistón• Giro del eje• Velocidad del eje• Velocidad del regulador • Desplazamiento del regulador• Energía cinética del volante de inercia

Existen infinitas señales (reales o virtuales)


Señales

5

Clasificación de señales:

Continuas (en el tiempo): definida en todo instante.Ej: cuerpo que se desplaza a velocidad constante

Si impactase contra un muro, ¿Es continua la señal de velocidad?

pos

tiempo

vel

tiempo

vel

tiempo

No confundir con continuidad de la función v(t) respecto a t


Señales

6

Discontinuas (o discretas): definidas sólo en ciertos instantesEj. La deuda con el banco al contraer una hipoteca

Un tipo de señales discretas muy frecuente: señales muestreadas

(muestreo: medida de una magnitud en ciertos instantes)

Ejemplos: Posición de un avión medida con un radar. Análisis químico de un producto (la medida toma un tiempo)

D

tiempot1 t2 t3 t4

Las señales son secuencias de valores definidas en secuencias de instantes


Señales

7

Señales de prueba: (ideales pero bien conocidas)

t0 t0

t0 t0

Impulso Escalón

Rampa Senoide


Señales

Señales de prueba: Idealizaciones de señales dadas en la realidad

t0

Impulso señal que toma valor infinito en un tiempo infinitesimal…¿para qué sirve?

h(t) qs(t)

Qe

h(t) qs(t)

Qe1m3¿Qa?

8


Señales

9

•Interpretación del impulso:

m3/s

t1

21

m3/s

t1/2

4

m3/s

t1/4 t1/oo

oom3/s

área 1 área

1 área

1

área

1

co(t)


Señales

10

h(t) qs(t)

Qe31 m

h(t) qs(t)

Qe

3mk

)(tQa δ=

)(tkQa δ=


Señales

11

Trayectorias y comportamientos:Trayectoria de una señal: evolución temporal de una magnitud.

Comportamiento: el conjunto de trayectorias de todas la señales del sistema

M

y

g0 0.5 1 1.5

0

5

10

PO

SIC

IÓN

(m

)

0 0.5 1 1.5-15

-10

-5

0

VE

LO

CID

AD

(m

/s)

0 0.5 1 1.5-15

-10

-5

0

tiempoAC

EL

ER

AC

IÓN

(m

/s2)

TrayectoriaComportamiento

SeñalSistema


SeñalesEstado de un sistema dinámico:

El conjunto de variables que caracterizan el comportamiento del sistema.

Conocido el estado en t0 , se puede saber la evolución del sistema t>t0

Ejemplo: Cuerpo que cae

variables de estado: posición y velocidad.

Otros ejemplos:

• Circuitos eléctricos: tensión de los condensadores e intensidad en bobinas.

• Sistemas mecánicos: posición y velocidad por cada grado de libertad.

Orden: El número mínimo de variables de estado de un sistema.

Es una medida de su complejidad

M

y

g

12


Señales

13

Variables y parámetros:Tipos de variables:

• Entradas: son las causantes de la evolución del sistema.

• Salidas: son las señales que interesa

analizar o medir.

• Internas: el resto de las (infinitas)

señales

Ejemplos:

xx

x

x xxx

xx

xx x

x

x

Estados


Señales

Tipos de entradas: (desde el punto de vista tecnológico)

• Entradas manipulables: aquellas cuya evolución se puede fijar o manipular

• Perturbaciones: aquellas entradas que no son manipulables.

• Ejemplos:

Parámetros de un sistema: magnitud que caracteriza al sistema y que lo distingue de otro semejante.

• Ejemplo: Distinguir parámetros y señales de los sistemas anteriores

14


Sistemas Dinámicos

15

Tipos de señales

• Sistemas continuos: Señales continuas • Sistemas discretos: Señales discretas

Influencia del exterior• Sistemas autónomos: No tiene entradas (aislado)

Evoluciona por las condiciones de las que parte.Idealización

• Sistemas no autónomos: Si tiene entradas

Evoluciona por las entradas y por las condiciones iniciales.

M

y

g


Carácter dinámico• Sistema estático:

Las salidas sólo dependen de las entradas

• Sistema dinámicos:

Las salidas dependen de las entradas y de sus valores pasados (historia)

R

Ru y

u

R

RC

y

Variación con el tiempo de los parámetros

• Sistema variante en el tiempo

• Sistema invariante en el tiempo m m(t)

Sistemas Dinámicos

16


Índice del tema




2.3 Régimen permanente y transitorio.



2.5 Linealización

17


Modelado matemático de sistemasModelo: representación de un sistema

Representación matemática: Ecuaciones diferenciales

• Modelo bien planteado: Nº Ecuaciones=Nº variables independientes implicadas

Modelado a escala

18

Errores de modelado


Modelado matemático de sistemasSelección del modelo según su utilidad

• Análisis: Objetivo: estudio cualitativo del comportamiento.

Predecir la evolución del sistema.

Analizar el efecto de la variación de parámetros.

Estudiar el efecto de las entradas sobre la evolución del

sistema.

• Diseño de controlador:Objetivo: controlar el sistema original a partir de un modelo simplificado que recoja su dinámica.

• Simulación:Objetivo: reproducir con fiabilidad la evolución del sistemaEs una tarea más sencilla (integración numérica)Preferiblemente modelos con errores pequeños

19


Modelado matemático de sistemas

Identificación de un modeloDeterminación de los parámetros del modelo a partir de ensayos experimentales.

Muy importante en ingeniería

Exactitud frente a sencillez del modeloCompromiso

20

ErrorComplejidad



Clasificación de los modelosDeterministas y no deterministasParamétricos y no paramétricos

• Modelado paramétrico se basa enModelo de fenómenos elementalesEcuaciones de balance

• Modelado no paramétrico o caja negraEl modelo se determina a partir de la respuesta del sistema

Parámetros concentrados y distribuidos

u

R

Cy

21


Modelos matemáticosSistemas dinámicos en tiempo continuo:

Ecuaciones diferenciales ordinarias.

Descripción externa E/S

Descripción interna (estado)

Sistema


Modelos matemáticos

El péndulo invertido θ>0F

mgDescripción externa E/S

Descripción interna (estado)PénduloF

Estado:

(Un integrador por cada estado)

Parámetros: m,g,I,l


Modelos matemáticosSistemas dinámicos en tiempo discreto:

Ecuaciones en diferencias.

Sistema

Descripción externa E/S

Descripción interna (estado)



25

Ecuaciones que permiten obtener los modelos paramétricos:

Ecuaciones de los fenómenos elementalesEjemplo: un sistema mecánico• ec. que relaciona el desplazamiento de los extremos de un muelle

con la fuerza aplicada al mismo.• ec. que relaciona las velocidades de los extremos de un

amortiguador con la fuerza aplicada al mismo.• ec. que relaciona las aceleraciones que experimenta una masa con

la fuerza aplicada a la misma.

Ecuaciones de balance• suma de fuerzas igual a cero en cada elemento del sistema.

Sistema de EcuacionesAlgebráicasDiferenciales


Elementos idealesResistencia

Bobina

Condensador

Ecuaciones de Kirchoff

Ri

v

Li

v

Ci

v

Nudo: Bucle:


26


Ejemplo de modelos matemáticos de sistema eléctricos

u

R

Cy u

R

Cy

L

0 2 4 6 8 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 2 4 6 8 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4


27


dtdvCi

vRivdtdvCii

vRiv

s

si

i

ie

22

22

121

11

=

+=

=−

+=


28

Ecs. Alebraicas+

Ecs. Diferenciales



29


)()()( tqtqdt

tdVse −=

)()()( tqtqdt

tdVse −=

Ec. de balance

)()()( tqtqdt

tdVse −=


30


aapps pghpKppKq

thAV

−+=−=

⋅=

ρ21

)(

)()()( thKtqdt

tdhA e −=)()(

)()()(

thgptp

tqtqdt

tdV

a

se

⋅⋅+=

−=

ρ

Ec. de balance

Ec. Presión en el depósito

Volumen en función de h(t), para un área del depósito A

Ec. Caudal en tubería de salida


31


Motor de corriente continua:


32


⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

+=

=

=

++=++=

ωω

ω

motormotor

par

cece

ceceLR

BdtdJT

iKT

KV

VdtdiLiRVVVV

R L

vcev

vR vL

JmotorM

Bmotor

i

-

ω


33


⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

+++=

==

++=++=

ωω

ω

)()( cargacarga BBdtdJJT

iKTKV

VdtdiLiRVVVV

motormotor

par

cece

ceceLR

R L

vcev

vR vL

JmotorM Jcarga

Bmotor Bcarga

i

-

ω

ωTmecánicaPotenciaiVeléctricaPotencia

==


34


35

Mecanismos de transferencia de CalorConducción: Materiales en contacto a distintas temperaturas

Covección: Fluidos en contacto a distintas temperaturas

Radiación:

Mecanismos combinados:U Coeficiente global de transferencia de calor



Balance de Energía

(Simplificación)


36


Simulación de sistemasIntegración numérica de las ecuaciones diferenciales

Discretización del tiempo {t0, t1, t2,…} • Paso de integración

Determinación de las salidas {y0, y1, y2,…}

Ejemplo: método de Euler

Modelo

entradas salidas

condiciones iniciales

SIMULADOR

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= )()(1)( ty

AK

tqA

ty p&

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+= −−− 1k

p1k1kk y

AK

qA1hyy

Inicio: y0=y(0)Para k=1 hasta N

tk=k h

Fin


Índice del tema




2.3 Régimen transitorio y permanente.



2.5 Linealización

38


Régimen transitorio y permanente

0 5 10 15 20 25 30 35 400

0.5

1

1.5

2

0 5 10 15 20 25 30 35 400

0.5

1

1.5

2

Régimen permanente

Régimen transitorio

Régimen transitorio Régimen permanente

39


Punto de equilibrio


40

ss

e vdtdvRCv +=

ses vvv =cuandotanto,porycero,esdederivadalacuandoequilibrioenestá


Unicidad del punto de equilibrio para sistemas lineales:

•Para una entrada dada, por ejemplo ve= 1 voltio, el sistema evolucionará hasta alcanzar un único punto de equilibrio que corresponde a una salida vs=1 voltio

•Si se aplican a la entrada, por ejemplo ve= 2 voltios, el sistema evolucionará hasta conseguir un punto de equilibrio que corresponde a una salida vs=2 voltios

•Para una entrada dada sólo existe un único punto de equilibrio


ss

e vdtdvRCv +=


Característica Estática

42

Relación entre la entrada y la salida en régimen permanente.

Ejemplo:

ve

vs

en régimen permanente:

ss

e vdtdvRCv +=

se vv =



43

La característica estática en muchos casos se puede obtener de forma experimental:

Por ejemplo: Motor de corriente continua

Entrada: Tensión aplicada V (voltios)

Salida: Velocidad del eje (r.p.s.) revoluciones por segundo

+ _ V

ω

ω



44

V(v) R(r.p.s.)

0 0

1 0

2 0.2

3 1.3

4 3.2

5 5.1

6 6.5

7 7.2

8 7.4

9 7.4

Ensayo aplicando distintas tensiones de entrada y midiendo las revoluciones en régimen permanente:

R+ _ V

ω

ω

ω



45

Representación gráfica de la característica estática.

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1

2

3

4

5

6

7

8

9

V

ω


Índice del tema







2.5 Linealización

46


Sistemas dinámicos lineales y no lineales

47

0 5 10 15 20 25 300

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

0 5 10 15 20 25 300

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

0 5 10 15 20 25 300

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

0 5 10 15 20 25 300

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

0 5 10 15 20 25 300

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

0 5 10 15 20 25 300

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

u1

y1

u2 y2

u1+u2

y1+y2

En un sistema lineal se cumple el Principio de Superposición


0 5 10 15 20 25 300

2

4

6

8

10

12

0 5 10 15 20 25 300

2

4

6

8

10

12

0 5 10 15 20 25 300

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

0 5 10 15 20 25 300

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

0 5 10 15 20 25 300

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

u1

u2 y2

ut=u1+u2

0 5 10 15 20 25 300

2

4

6

8

10

12

y1

yt=y1+y2/

El Principio de Superposición NO se cumple en un sistema no lineal




49

)()(...)()()(...)()(11

1

1011

1

1 tubdt

tdubdt

tudbdt

tudbyadt

tdyadt

tydadt

tydmmm

m

m

m

nnn

n

n

n

++++=++++ −−

−

−−

−

Descripción externa

Sistema lineal: si f es lineal

Sistema no lineal: si f no es lineal



Característica estática

Sistema lineal

Sistema no lineal

50

u

y

1 2 3 4 5 6 7 8 9

123456789

V

ω


Índice del tema

Tema 2: Representación y modelado de sistemas

dinámicos






2.5 Linealización

51


Linealización

Objetivo:

obtener modelos lineales aproximados a partir de modelos no

lineales

Punto de funcionamiento:

Punto de equilibrio en torno al que se linealiza

Propiedades:

Representa bien al sistema en una cierta zona en torno a un punto

de equilibrio.

Fuera de la zona de validez, el modelo linealizado tiene un error

demasiado grande.

52


Linealización

x

y

xo

yo

dx

dyy=f(x) no lineal

Aproximación lineal

y = yo+(dy/dx)odx = yo+f(xo)’dx

53


Linealización

54

Consideraciones sobre la característica estática

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1

2

3

4

5

6

7

8

9R

V

Zona de comportamiento lineal

Zonas de comportamiento NO lineal


uyKestática Δ

Δ=

La ganancia estática permite determinar qué incrementos finales se producirán en la salida de un sistema como consecuencia de incrementos dados en la entrada al mismo.

Linealización


0 5 10012345678

Partiendo de los datos obtenidos de un ensayo sobre un sistema, ¿cuál es su ganancia estática ?

0 5 10012345678

?¿ estK

Linealización


1=Δu

0 5 10012345678

0 5 10012345678u y

3=Δy

1=Δu

15

253

13

1225

≠≠==−−

=ΔΔ

= estestest KKuyK


• La característica estática de un sistema permite determinar cuál es su ganancia estática en cada punto de funcionamiento o equilibrio: es la pendiente de la tangente de la curva.

1 2 3 4 5 6 7 8 9

123456789y

u

uyKestática Δ

Δ=

Linealización


• Las zonas lineales de la característica estática de un sistema tienen la misma pendiente, luego presenta la misma ganancia estática

1 2 3 4 5 6 7 8 9

123456789y

u

Zona de comportamiento lineal:

misma ganancia estática Kest

Zonas de comportamiento NO lineal:

Kest varía en cada punto de funcionamiento

Linealización


Linealización

)()(

)()()(

tnkty

tytudt

tdnA

=

−=

No lineal

60


Linealización

61

dnn

kyty0

0 2)( +≈

no lineal

aprox. lineal válida en el entorno de (n0, y0)

)()( tnkty =

n

y

no

yo

dn

dy


Linealización

62

Punto de Funcionamiento

Definiendo variables incrementales


Linealización

63

Buena aproximación en torno al punto de funcionamiento

Para variaciones grandes, el modelo lineal puede ser erróneo

Todas las señales del sistema evolucionan en torno a su valor en el punto de equilibrio


Linealización

64

Las variables incrementales dependendel punto de funcionamiento elegido


Linealización

65


Linealización

66

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