Tema 2 Parte I

Mdulo 12865- Enlace Qumico y Estructura de la MateriaResponsable: Juan Jos Borrs ([email protected])Curso 2007-08Grupo D- Aula F9http://www.uv.es/~borrasj

Tema 2Estructura electrnica del tomo

Parte I

Bibliografa: Petrucci, temas 2 y 9Atkins, captulo 1

EQEM T-2Curso 2007-08

Contenidos del tema

Parte I

Introduccin

Bases experimentales de la Mecnica Cuntica

Parte II

Ecuacin de ondas de Schrdinger y orbitales atmicos

El tomo de hidrogeno: nmeros cunticos y tipos de orbitales atmicos

Representacin de los orbitales atmicos

Espn del electrn

Atomos hidrogenoides (monoelectrnicos)


Objetivos del tema

! Recordar las principales expresiones que relacionan la frecuencia, lalongitud de onda y la velocidad de la radiacin electromagntica.Especial atencin a las unidades.

! Conocer el mecanismo de generacin de un espectro y la diferenciaentre un espectro continuo y discontnuo.

! Utilizar la ecuacin de Rydberg para determinar la longitud de ondade las lneas del espectro de hidrgeno

! Conocer y utilizar la ecuacin de Planck

! Resumir las ideas de De Broglie y Heisenberg

! Entender las diferencias entre el modelo de tomo de Bohr y deSchrdinger

! Conocer las relaciones entre los diferentes nmeros cunticos

! Conocer qu es un orbital y dibujar el contorno de los orbitales s, p yd


Objetivos del tema

! Las partculas fundamentales constituyentes del tomo

! La naturaleza de la radiacin electromagntica

! El efecto fotoelctrico

! Dualidad onda-partcula

! Los principales caractersticas del espectro de emisin del tomo dehidrogeno y la cuantizacin de las energas permitidas para loselectrones en el tomo

! El Principio de incertidumbre de Heisenberg y la necesidad de lamecnica cuntica para abordar el estudio de la estructura

! Que las energias de los electrones en el tomo de hidrgeno estncuantizadas

! Que la ecuacin de Schrdinger puede ser resuelta de modo exacto parael tomo de hidrgeno

! Qu sentido fsico tiene un orbital atmico?

! Las reglas cunticas que describen a los orbitales atmicos

! Las formas de los orbitales atmicos s, p y dAl f

ina

l de

l te

ma

de

be

s e

nte

nd

er

lo s

igu

ien

te:


Introduccin

! La gua ms relevante para el estudio de la qumica de los elementos esque la estructura interna de los tomos es la clave para el diferentecomportamiento qumico que presentan.

! El aspecto clave de esta estructura interna es la disposicin ycomportamiento de los electrones: estructura electrnica del tomos

! La base de la teora actual sobre la estructura atmica descansa en losestudios llevados a cabo en los primeros aos tras la Primera GuerraMundial en Europa

! pero veamos algunos antecedentes .


Revisin histrica

18971897J.J. Thomson determina para el electrn m/e: el electrn es una partcula con carga negativa (Nobel de Fsica 1906)

1900 Max Planck introduce la teora cuntica:la energa es discontinua (Nobel Fsica 1918)

18881888 H. Hertz descubre el efecto fotoelctrico

19051905

Einstein explica el efectofotoelctrico: la radiacin electromagntica tiene propiedades corpusculares

Ernest Rutherford:tomo nuclear

1909-111909-11 la mayor parte del tomo est vaco.

Se basa en la teora cuntica


Revisin histrica

1920-251920-25

Dos ideas bsicas que conducen al modelo mecano-cuntico del tomo:Principio de incertidumbre de Heisenberg (Nobel Fsica 1932)Las partculas atmicas pueden tener propiedadesondulatorias (Louis de Broglie, Nobel Fsica 1929)

19131913Niels Bohr: resuelve el dilema del tomo de Rutherfordmediante una mezcla de teora clsica y cuntica (NobelFsica 1922)

19271927

Comprobacin de lahiptesis de De Broglie:Davisson y GermerG. P. Thomson

Erwin Schrdingerdesarrolla la MecnicaCuntica

19271927 sustitucin de lateora de Bohr

C.J.Davisson yG.P. Thomson(Nobel de Fsica1937)

1.- Introduccin

tomo nuclear: experimento de Rutherfordpartculas subatmicas

La luzpropiedades de las ondasespectro electromagntico


El tomo nuclear. Antecedentes

! Leucipo y Demcrito (450 aC)" La materia est formada por partculas muy pequeas e

indivisibles.

! John Dalton (1803) reintrodujo una teora atmica

sistemtica basada en los elementos de Lavoisier.

" Los tomos son indivisibles y no se pueden crear nidestruir en una reaccin qumica.

" Cada tomo de un elemento es exactamente igual a otrodel mismo elemento y diferente de otros tomos de otroselementos.

" Cuando los tomos se combinan entre s, lo hacen enproporciones de pequeos nmeros enteros.


Los tomos individuales se pueden ver

An STM image of a graphitesurfacetaken during Fall 2005 byDavenne Mavour, with imageprocessing by Chuck Pelton.


Experimento de Rutherford, 1910

4

2He!" #$

2+



Modelo atmico de Rutherford

! Existencia de un ncleo centralcon carga positiva = a lanegativa de los electrones" 99.9 % de la masa" rn:10-15 m =1/100000 ra

! Electrones fuera del ncleo.! La carga positiva de un tomo

se debe a los protones.

EA

Z

nmero atmico: Znmero neutrnico: Nnmero msico: A= Z+N


Inconvenientes del modelo de Rutherford

! Fsicamente inestable:" si el electrn estaba quieto debera ser atrado por el ncleo y finalmente

colapsar con el" si se mova orbitalmente, la teoria electromagntica predeca que ira

perdiendo energa y finalmente caer.

! Incapaz de predecir los espectros atmicos! La solucin

Niels Bohr

EQEM T-15Curso 2007-08 J. Chadwick

Estructura del tomo. Partculas subatmicas

! Electrn:" Como partcula con masa, energa y carga fue identificado y

caracterizado por J. J. Thomson (rayos catdicos, 1897) y Millikan(gota de aceite, 1909; relacin carga/masa).

" Responsable de la electricidad y de las reacciones qumicas." Masa: 9.109x10-31 kg" Radio < 10-18 m

! Protn:" Descubierto en 1886 por E. Goldstein. La partcula constituyente de

los rayos canales (Kanalstrahlen)

! Neutrn:" Existencia predicha en 1920 por E. Rutherford, su ayudante James

Chadwick lo encontr en 1932.


tomo nuclear. Particulas fundamentales

1,675 x 10-241,673 x 10-249,109 x 10-28Masa (SI)0+1-1Carga01,602 x 10-19-1,602 x 10-19Carga (SI)

Partculas subatmicas

12 minestableestableVida media1/21/21/2Espn

1,00871,007570,0005486Masa (uma)n, Np+, p, P, H+e-, e, !-Designacin

NeutrnProtnElectrn

Dimetro atmico ~10-8 cm (1)Dimetro nuclear ~10-13 cm


La luz

! Revision historica:" Newton (1675), teora corpuscular de la luz" Huygens, naturaleza ondulatoria" Young (1800), experimentos de difraccin:

teora ondulatoria, explicaba reflexin yrefraccin

" Fresnel (1815), base matemtica de la teoraondulatoria

" Rentgen (1895), descubri los rayos X" Maxwell: teoria de onda electromagnetica" Plank (1900), radiacin de cuerpo negro" Einstein (1905), efecto fotoelctrico" Compton (1922), dispersin de la luz


Caractersticas de la REM

! Los campos elctricos y magnticosse propagan como ondas a travsdel espacio vaco o a travs de unmedio

! Como toda onda, la radiacinelectromagntica transmite energa

! La luz es tipo de radiacinelectromagntica: campo electrico ymagntico oscilantes de identicaamplitud pero perpendiculares


Caractersticas de la REM

Baja frecuencia "

Alta frecuencia "


Magnitudes que definen la REM

! Frecuencia (") se mide en Hertz ! Hz o s-1

! Longitud de onda (#): distancia entre dos mximos ! m! Amplitud (A): desplazamiento desde un mximo al nivel

cero! Velocidad (c) ! 2,997925 108 ms-1

Constante para todas las radiaciones electromagnticascuando se transmiten en el vaco

velocidad c (ms-1)amplitud Alongitud de onda # (m)frecuencia " (s-1)

10-12 mpm

10-10 m

10-9 mnm

10-6 mm

10-2 mcm

!" = c


Espectro electromagntico

Se extiende desde las ondas de radio hasta los rayos gamma


Espectro electromagntico visible

! Visible al ojo humano. Otros organismos pueden detectar luz en otrasregiones ligeramente diferentes

! La regin del visible se extiende desde los 200 hasta los 900 nm.! La luz solar a nivel del suelo se encuentra entre los 400 y 700 nm, regin

en la que el ojo humano es ms sensible! Un objeto tiene, ante nosotros, el color de la luz que refleja, en lugar del

color de la luz que absorbe." La clorofila hace que las plantas aparezcan como verdes porque absorbe luz

roja (655 nm) y azul violeta (430 nm) mientras que refleja la luz verde haciael observador

2.- Una nueva fsica, la mecnica cuntica

Bases experimentales de la mecnica cunticaRadiacin de un cuerpo negro: Hiptesis de PlanckEfecto fotoelctricoEspectros electrnicos

El tomo de BohrNuevas ideas que condujeron a la mecnica cuntica

Hiptesis de De BrogliePrincipio de incertidumbre

Bases experimentales de la MecnicaCuntica

Radiacin de un cuerpo negroHiptesis de Planck

Efecto fotoelctrico: caractersticas e interpretacin


Emisin de un objeto radiante

Qu le ocurre al filamento deuna bombilla cuando se lehace pasar una corriente

elctrica?

Si el filamento se encuentra a bajatemperatura desprende luz rojaSi el filamento se encuentra a

temperatura elevada la luz es blanca(emite en todas las longitudes de

onda del espectro visible)

La teora ondulatoria no permiteexplicar la dependencia de la emisinde luz en funcin de la temperatura

Cualquier objetocaliente produceuna emisin de

radiacin

Dispositivosde visinnocturna


Radiacin de un cuerpo negro

Distribucin espectral de

la radiacin del cuerpo negro

Cuerpo ideal capaz de absorber radiacin decualquier longitud de onda y emitir, al calentarlo,todas las frecuencias del espectro.Experimentalmente: Cavidad con paredes a unacierta temperatura. Los tomos que componen lapared estn emitiendo energa y a su vezabsorbiendo la radiacin que otros emiten

cue

rpo

ne

gro

La evidencia experimental de que laintensidad vara con la longitud de onda

emitida, con un mximo a una # determinadapor la fuente no poda ser justificada por la

fsica clsica que predeca uncomportamiento creciente

La distribucin deintensidades slo

depende de latemperatura


Hiptesis de Planck

Max Planck, 1900Premio Nobel Fsica 1918

! Los tomos radiantes se comportancomo osciladores armnicos y cadauno oscila con una frecuencia $

! Cada oscilador puede absorber oemitir energa de radiacin(cuanto) en una cantidadproporcional a su frecuencia E=h$

! La energa de los osciladores estcuantizada En= n h $

En = nh"

La energa, como lamateria, es discontnua.

Est cuantizada

h (Constante de Planck) = 6,6260710-34 Js

Ni el mismo Planck se lo crea

Para explicar la radiacin de uncuerpo negro enuncia una hiptesis

revolucionaria


Por qu es una idea revolucionaria?

Energa de unsistemaFsica Clsica

La nuevaFsica Cuntica

Un sistema puedetener cualquier valor

de energa

Un sistema slopuede tener unos

determinados valoresde energa

hiptesis difcil de aceptar en 1900


El efecto fotoelctrico

! Observacin (H. Hertz, 1888): Cuando unaradiacin monocromtica de suficienteenerga incide sobre determinados metales Se emiten electrones

los metales alcalinos emiten e- con radiacin visible


El efecto fotoelctrico. Hechos experimentales

Estas observaciones NOeran justificables

mediante la teoraelectromagnetica clsica

FotoelectronesRadiacin incidente

#=#=

=#=#

EnergaNmeroFrecuenciaIntensidad

Obs

erva

cion

es e

xper

imen

tale

s La incidencia de luz sobre la superficie de ciertosmetales origina la emisin de electrones.

La emisin solamente ocurre cuando la frecuenciade la luz incidente excede un valor umbraldeterminado (no), caracterstico de cada metal

La energa de los fotoelectrones emitidos esindependiente de la intensidad pero proporcionala la frecuencia de la radiacin incidente

El nmero de electrones emitido depende de laintensidad de la radiacin incidente


Ec= h ! "!

o( )

Einsten sugiere una idea corpuscular de la luz: la luzse puede considerar como una corriente departculas (fotones) de energa cuantizada

P.Nobel, 1925

El efecto fotoelctrico. Einstein, 1905

! La energa aportada por el fotn, h", se invierte en:" arrancar al electrn de la superficie del metal" conferirle, una vez arrancado, una cierta energa cintica, Ec

h! = " +1

2mv

2

! = h"o


Naturaleza dual de la luz

! La luz se puede comportar como una onda y como una partcula:" Fenmenos ondulatorios:

$ interferencias$ difraccin

" Fenmenos fotnicos:$ emisin de un cuerpo radiante$ efecto fotoelctrico

! y la materia? tiene tambin una naturaleza dual?

L. De Broglie

La ENERGIALa ENERGIAtiene masatiene masa

E=mcE=mc22La MASA esLa MASA es

EnergaEnerga

La La materia parece pareceCONTINUACONTINUA

y

La teora atmicaLa teora atmicadice que la dice que la materiamateria

es es CorpuscularCorpuscular

pero

La La luzluz procedente de procedente deuna fuente calienteuna fuente calienteparece parece CONTINUACONTINUA

y

La luz tieneLa luz tienepropiedades depropiedades de

ONDAONDA: : n , # (n = c/#)

y tambin

No debera tener laNo debera tener lamateria propiedadesmateria propiedades

de ONDA?de ONDA?

dedonde

Teora Cuntica: LaTeora Cuntica: Laluz es es CorpuscularCorpuscular,,

masa: masa: mmnn=h=h"/c/c22

y

Espectros electrnicos

Espectro de emisin del tomo de hidrgeno


Espectros electrnicos

! Hecho experimental: los tomos emiten radiacin de una frecuenciaparticular:" Na: amarillo; K: violeta; Ba: verde, (pirotcnica). Test llama alcalinos

! Un espectro consiste en una representacin grfica de la intensidad dela radiacin, emitida o absorbida por una muestra, en funcin de la # dedicha radiacin

! Dos tipos de espectros:" absorcin: se irradia la muestra y se registra la intensidad de la radiacin

resultante (no absorbida) en funcin de #." emisin: se excita la muestra (irradindola o trmicamente) y se registra la

intensidad de la radiacin emitida al desexcitarse la muestra en funcin de #.$ El espectro de emisin lo produce los tomos al retornar sus

electrones a los estados de menor energa.$ Informan sobre los estados electrnicos del tomo.

! El espectro atmico es el registro de todas las transiciones electrnicasposibles de los electrones de un tomo


Espectros de absorcin y emisin

Los espectros soncaractersticos de cada

elemento

Huella dactilar

Elemento crucial para ladilucidacin de la

estructura del tomo

espectro de emisin

espectro de absorcin

luz amarilla del Na


Espectro de emisin del H

! Los tomos incandescentes emiten espectros discontinuos! La luz de una lmpara de hidrgeno se ve de color prpura rojizo (656,3

nm)! Aparecen otras tres lineas

" Azul verdosa a 486,1 nm" Dos violetas a 434 y 410,1 nm

Espectro emisin del tomo de hidrgeno en la zona visible



! En realidad el espectro de emision del H es bastante mas complejo y enel se reconocen conjuntos de lneas (series)

! Se denomina serie espectral al conjunto de lneas que se vanaproximando entre si al aumentar la frecuencia



Espectro emisin del tomo de H


Series espectrales para el H

RH: constante de Rydberg

1

!=R

H

1

ni

2"1

nf

2

#

$%&

'(

Regla de seleccin para transiciones electrnicas !n = 1, 2,

Rydberg (R) 10973731.568549(83) m-1

Rydberg (Rc) !3.289841960368(25)x1015 s-1

Rydberg (hRc) !2.17987490(17) x1018 J

Rydberg (hRc) !13.60569172(53) eV

1/#"

E=h"E=h"

Ecuacin de Balmernmero de ondas

1927IR56, 7, 8, .,"Pfund

1922IR45, 6, 7, .,"Brackett

1908IR34, 5, 6, .,"Paschen

1885 (antes de 1913)Vis23, 4, 5, .,"Balmer

1916UV12, 3, 4, .,"Lyman

Ao descubrimientoZona espectrohasta nfdesde niSerie

puedes calcular la l

lmite de cada serie?


Series espectrales para el H

Transicioneselectrnicasen el tomo dehidrgeno

E = !RH

n2

El modelo atmico de Bohr

Niels Bohr fue el primero en aplicar las nuevas ideasde la mecnica cuntica a la concepcin del tomo.Es el padre del tomo cuntico. Su modelo permite

interpretar de modo exacto el espectro de emisin deltomo de H (las series que se conocan en 1913)

no explicamos esteapartado

a m

od

o d

e r

eco

rda

tori

o


Teora de Bohr del tomo de H, 1913

! El electrn se mueve en rbitas circulares alrededor del ncleobajo la influencia de la atraccin electrosttica, obedeciendo lasleyes de la mecnica clsica (modelo planetario).

! En ausencia de absorcin o emisin de energa (radiacin), elelectron permanece en un estado estacionario. Estos estadosestacionarios son el conjunto de orbitas permitidas para el electrn" aquellos en los que le momento angular L es un mltiplo de h/2#

! A pesar de estar continuamente acelerando, en el estadoestacionario el electrn no emite energa. Por tanto, su energatotal permanece constante

! El electrn puede pasar de una rbita a otra absorbiendo oemitiendo una cantidad discreta y fija de energa (cuanto) cuyafrecuencia es

Niels Bohr (1885-1962):Director del Instituto de Fsicade Copenhage 1920 y 1930

Postulados de la T de Bohr

! =E1"E2

h

a m

od

o d

e r

eco

rda

tori

o


Radios atmicos y niveles de energa

RH = 2,179 10-18 J

rn = n2ao

E = !RH

n2

ao = 0,529

a m

od

o d

e r

eco

rda

tori

o


Diagrama de niveles de energa

E = !RH

n2

!E =RH1

ni2"

1

nf2

#

$ % %

&

' ( ( = h) = h

c

*

Un electrn absorbe o emite energia al pasar de una rbita a otra:

El modelo de Bohr permite explicar las seriesde Balmer y de Lyman

a m

od

o d

e r

eco

rda

tori

o


Debilidades del modelo de Bohr

! Slo explica el espectro de tomos hidrogenoides! No da ninguna explicacin de la formacin de molculas ni de la

naturaleza del enlace formado! Con el uso de espectrmetros mas refinados se observo que algunas

lineas eran en realidad dobletes espectrales

Habra que esperar hasta elsurgimiento de la mecanica cuantica

(1925) para explicar todas estasdebilidades (y otras)

Ideas que condujeron a la MecnicaCuntica

Hiptesis de De Broglie P de Incertidumbre


Naturaleza dual del electron

! Dualidad onda-partcula" Einstein sugiri que una concepcin de la luz

como partcula explicara el efecto fotoelctrico" Sin embargo los patrones de difraccin se

explicaran mejor si los fotones fueran unas ondas

! De Broglie, 1924" Pequeas partculas de materia pueden mostrar

al mismo tiempo propiedades de onda. Ondascorpusculares

Louis de BroglieNobel de Fisica,1929


Hiptesis de De Broglie

Postulado de De Broglie: a todo movimiento de unaparticula (fotnes, electrones, etc.) hay asociado una onda:

m! c2

= h! "

! =h

m" v

Generalizacin a cualquier velocidad: una partculade masa m que se mueva a una velocidad, v, se comporta

como una onda cuya # viene dada por:

E =m !c2

E = h !"

#$%

! =c

"

m !c2= h !

c

"

! =h

m "c


Evidencia experimental de las onda electrnicas

Difraccin de rayos X producida poruna hoja metlica

Difraccin electrones por una hojametlica, que confirman la naturalezaondulatoria de los electrones

Experimento de Davisson y Germer (1927):Difraccin de un haz de electrones por un cristal de Nquel.La # determinada experimentalmente era consistente

con la calculada mediante la expresin de De Broglie


Ejercicios

Valor de # es insignificante; no detectable por las tcnicasactualmente disponibles. Slo es posible detectarpropiedades ondulatorias para partculas de masa muypequea (electrn, protn, neutrn, etc.)

Calcula la # asociada a un electrn con v=0,01c.Dato: me=9,10910-31 kg

trabajamos en unidades MKS

! =hm" v

=6,626 #10$34J " s

9,109 #10$31kg( ) 0,01"3#107m" s( )

kg"ms

% & '

( ) * 2

1J

= 2,42 #10$11m = 24,2 pm= 2,42

Calcula la # asociada a un coche de masa 1000 kg yvelocidad 120 km/h

# =1,99x10-28


El principio de incertidumbre

Heisenberg establece que:No podemos medir simultneamentey con precisin arbitraria la posicin y elmomento asociados a partculas muy pequeas

Posicin y velocidad:describen comportamiento de las partculas macroscpicasexiste alguna restriccin en su aplicacin a las partculassubatmicas que tienen propiedades de onda?

Cuanto mayor sea la precisin en la posicin, menor ser laprecisin del momento lineal en ese instante, y viceversa

Heisenberg, 1927

!p " !x #h

4$!v " !x #

h

4$m%&'

()*


El principio de incertidumbre

! Con el objeto de observar un electrn, seranecesario emplear fotones que tienen una lmuy corta.

! Fotones con longitudes de onda cortatendran una frecuencia elevada y seranportadores de gran energa.

! Si uno de esos fotones incidiera sobre unelectrn producira un cambio en elmovimiento y la velocidad del electrn.

! Fotones de baja energa tendran un efectotan pequeo que no daran informacinprecisa sobre el electrn

Cuanto menor sea la masa de un objetomayor ser el producto de lasincertidumbres de su posicin y velocidad

!x " !v #h

4$m


Calcula la indeterminacin, en la medida simultnea de la velocidad de unelectrn (me= 0,910961x10-30 kg), cuya posicin queda determinada con unaprecisin de 0,01.

Si se quiere conocer con buena precisin la posicin del electrn, ser prcticamenteSi se quiere conocer con buena precisin la posicin del electrn, ser prcticamenteimposible conocer con precisin su velocidad, independientemente del instrumento deimposible conocer con precisin su velocidad, independientemente del instrumento demedida usado.medida usado.

Ejercicios

J = Nm = kgm

s2m = kg

m2

s2

!p " !x #h

4$% !v " !x #

h

4$m%

!v #h

4$m!x=

6,6262x10-34Js

4$0,91096110-30kg0,0110&10m

Nm

J

kgms2

N= 5,78107ms&1


Un coche de masa 1000 kg se mueve rectilneamente. Si mediante fotografassucesivas es posible medir su posicin con una precisin de la longitud de ondade la luz utilizada (l =5000 ), calcula la indeterminacin de la medida simultneade su velocidad.

Restriccin Restriccin mecanocuntica mecanocuntica despreciable respecto a los errores asociados aldespreciable respecto a los errores asociados alinstrumento de medida.instrumento de medida.

Ejercicio

!p " !x #h

4$% !v " !x #

h

4$m%

!v #h

4$m!x=

6,6262x10-34Js

4$103kg500010&10m

Nm

J

kgms2

N= 1,0510&31ms&1


Tienen masa

Es muy pequea

Dualidad onda-partcula

P incertidumbre

Ondas corpusculares

Cul es la naturaleza de electrones en el tomo?

Mecnica ondulatoria


Analoga de la cuantizacin

! Cuando se sube una rampa laenergia potencial aumenta de formauniforme y continua mientras que lade una persona sube una escalerade forma escalonada (cuantizada)


Reflexin

Dualidadonda-

partcula

PIncertidumbre

Fsica Cuntica

Modelo de Bohr

Fsica Clsica

Mecnica Cuntica


Experimento ideal de Heisenberg

! Se considera un focoemisor de electronescapaz de emitirhorizontalmente en unrecipiente, donde se hahecho el vacio un unicoelectron de velocidadinicial conocida

! Se dispone de unafuente de luz idealcapaz de emitir fotonesde energia definida

! Se dispone de unmicroscopio ideal paraseguir al electron emitido



Fotones debaja energa

(l%)

Fotones dealta energa

(l&)

Se afecta la velocidad del electrn.La posicin est definida

Velocidad del electrn poco modificada.Posicin indeterminada



Velocidad algo modificada.Posicin an definida

Fotonesde energaintermedia

Banda de indeterminacin

Tema 2 Parte I

Documents

Transcript of Tema 2 Parte I