Tema 2: Integración numérica - ma1.eii.us.esma1.eii.us.es/Material/Cal_Num_itig_Pres2.pdf ·...
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Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 2: Integración numérica
Integración numérica
Fórmulas de cuadratura.
Fórmulas de Newton-Cotes.
Fórmulas del trapecio y Simpson.
Errores.
Tema 2:
V.Álvarez
J.A. Armario
F. Muñoz
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 2: Integración numérica
Problema
∫3
1dx
x
ex
Calcular la siguiente integral:
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 2: Integración numérica
Usaremos la integración numérica cuando, por el motivo que
sea, no podamos o no queramos usar la Regla de Barrow
para calcular una integral definida dada.
I�TEGRACIÓ� �UMÉRICA.
)()( )( aFbFdxxf
b
a
−=∫
Motivos:
V.Álvarez
J.A. Armario
F. Muñoz
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 2: Integración numérica
f(x) no admite primitiva expresable mediante funciones
elementales, como por ejemplo:
Motivos:
Cálculo de primitiva complicado.
Sólo disponemos de unos pocos valores de f(x), pero no
conocemos la función.
∫b
adx
x
xsen )(
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 2: Integración numérica
Son bastantes las integrales que no admiten primitivas
expresables mediante composición de funciones elementales;
por ejemplo:
I�TEGRACIÓ� �UMÉRICA.
∫b
a
x
dxx
e ∫ +
b
adx
x
x
1
)log(
∫+
b
dx
sen2
1
∫b
V.Álvarez
J.A. Armario
F. Muñoz
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 2: Integración numérica
∫+a
dxxsen
21 ∫
b
adxxsen )(
∫b
adx
xlog
1∫b
adxxsen )(
2
Entre otras muchas más.
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 2: Integración numérica
La idea será aproximar el valor de una integral dada
sustituyendo el valor del integrando f(x) por otra función que
la aproxime de manera eficiente.
I�TEGRACIÓ� �UMÉRICA.
Procederemos sustituyendo f(x) por su polinomio
interpolador en el intervalo de integración [a,b].
V.Álvarez
J.A. Armario
F. Muñoz
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 2: Integración numérica
∫∫ ≈b
a
n
b
a
dxxPdxxf )( )(
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 2: Integración numérica
Indice:
Fórmulas de cuadratura.
Fórmulas de Newton-Cotes:
Fórmula del Trapecio.
I�TEGRACIÓ� �UMÉRICA.
V.Álvarez
J.A. Armario
F. Muñoz
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 2: Integración numérica
Fórmula del Trapecio.
Fórmula compuesta de los Trapecios.
Fórmula de Simpson.
Fórmula compuesta de Simpson.
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 2: Integración numérica
Fórmulas de cuadratura.
I�TEGRACIÓ� �UMÉRICA.
Son fórmulas que permiten aproximar o calcular el valor de
una integral definida.
Si f(x) continua en un intervalo finito I = [a,b], podremos
encontrar formulaciones para aproximar el valor de una
V.Álvarez
J.A. Armario
F. Muñoz
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 2: Integración numérica
)x(fc)x(fc)x(fc
)x(fcdx)x(f
nn1100
i
n
0i
i
b
a
++++++++++++====
≈≈≈≈∑∑∑∑∫∫∫∫====
LL
encontrar formulaciones para aproximar el valor de una
integral
Las fórmulas serán del tipo:
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 2: Integración numérica
Fórmulas de cuadratura.
I�TEGRACIÓ� �UMÉRICA.
Consideramos una función f(x) continua en un intervalo
[a,b] de su dominio.
Consideramos el soporteTomaremos el soporte :
}..........,,,{210
bS xxxxa n== =
V.Álvarez
J.A. Armario
F. Muñoz
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 2: Integración numérica
}..........,,,{210
bS xxxxa n== =
Sabemos que para estos (n+1) nodos existe un polinomio
interpolador de Lagrange, a lo sumo de grado n, de la forma:
Todos los puntos están ordenados de menor a mayor y
ninguno se repite.
)()()(0
xxLP ii
n
iin
fx ∑=
=
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 2: Integración numérica
Fórmulas de cuadratura.
I�TEGRACIÓ� �UMÉRICA.
Consideramos el soporte
Si sustituimos la función f(x) por el polinomio de Lagrange ,
podemos escribir:
dxfdxxffI xxL ii
n
ii
b
a
b
a)()()()(
0
∑∫∫=
≈=
V.Álvarez
J.A. Armario
F. Muñoz
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 2: Integración numérica
dxffb
a iii
n
iii
n
ii
b
a xLxxxL ∫∑∑∫==
= )()()()(00
Como los )(xif son constantes
AxxLx i
n
ii
b
a iii
n
i
fdxf ∑∫∑==
=00
)()()(
Haciendo: AxL i
b
a iidx =∫ )(
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 2: Integración numérica
Fórmulas de cuadratura.
I�TEGRACIÓ� �UMÉRICA.
El error cometido será la integral del error de interpolación:
En definitiva:)()()(
0xA i
n
ii
b
afdxxffI ∑∫
=
≈=
fdxxf xAnb
)( )( =−= ∑∫ε
El error cometido será la integral del error de interpolación:
V.Álvarez
J.A. Armario
F. Muñoz
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 2: Integración numérica
Ahora sólo falta determinar los coeficientes Ai
dxxxn
x
fdxxf
xxf
xA
n
b
a
n
ii
a
n
)).....(()!1(
)(
)( )(
0
1
0
−−+
=−=
∫
∑∫+
ε
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 2: Integración numérica
Fórmulas de cuadratura.
I�TEGRACIÓ� �UMÉRICA.
Consideramos el soporte
Partimos de dxb
a iii xLA ∫= )(
Como los polinomios auxiliares de Lagrange sólo
dependen de los nodos del soporte [no dependen de la
función f(x) ], podemos usar para determinarlo cualquier
función, por ejemplo del tipo:
V.Álvarez
J.A. Armario
F. Muñoz
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 2: Integración numérica
función, por ejemplo del tipo:
xn
xf =)(
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 2: Integración numérica
Cálculo de los coeficientes.
I�TEGRACIÓ� �UMÉRICA.
Consideramos el soporte
:)( xn
xf =
.....
..... 1
22
10
++=−
⇒=
+++=−⇒=
xAxAab
AAA
xf
abfn
Formamos el sistema siguiente para calcular los coeficientes:
V.Álvarez
J.A. Armario
F. Muñoz
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 2: Integración numérica
Sistema de Van der Monde.
......01
.................................................................
.....2
0
11
00
++=+
−⇒=
++=−
⇒=
++
xAxAab
x
xAxAab
nnf
xf
n
n
nnn
n
nn
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 2: Integración numérica
Resolución del sistema.
I�TEGRACIÓ� �UMÉRICA.
Consideramos el soporte
Sistema siempre compatible determinado => solución única.
−
−
111 22
0
abA
abL
V.Álvarez
J.A. Armario
F. Muñoz
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 2: Integración numérica
+
−
−
=
++
1
2
11
1
10
10
nA
A
xxx
xxx
ab
ab
nn
n
n
n
nn
n
MM
L
MMM
L
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 2: Integración numérica
Cálculo del determinante
I�TEGRACIÓ� �UMÉRICA.
Consideramos el soporte
=
n
n
nn
n
xxx
xxxA
L
MMM
L
L
10
10
111
V.Álvarez
J.A. Armario
F. Muñoz
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 2: Integración numérica
A cada fila le restamos la anterior multiplicada por x0
Iremos reduciendo el determinante hasta dar con:
) ( 0)(det 0
jicuandoxxqueyaxxA ji
nij
ji ≠≠≠−= ∏≤<≤
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 2: Integración numérica
Fórmulas de �ewton-Cotes
I�TEGRACIÓ� �UMÉRICA.
Consideramos el soporte
Las fórmulas de newton-Cotes se obtienen por el procedimiento
descrito, integración del polinomio interpolador de Lagrange, pero
considerando soportes equiespaciados.
V.Álvarez
J.A. Armario
F. Muñoz
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 2: Integración numérica
Si el intervalo de integración [a,b] lo partimos en n trozos iguales,
cada trozo medirá:
n
abh
−=
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 2: Integración numérica
Fórmulas de �ewton-Cotes
I�TEGRACIÓ� �UMÉRICA.
Consideramos el soporte
En estas condiciones, los coeficientes Ai
tienen la propiedad de que: AA knk −=
Lo que nos permitirá que solo tengamos que calcular la mitad de ellos.
V.Álvarez
J.A. Armario
F. Muñoz
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 2: Integración numérica
Estos coeficientes sólo dependen del paso y no de los puntos
concretos del soporte, por lo que:
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 2: Integración numérica
Fórmulas de �ewton-Cotes
I�TEGRACIÓ� �UMÉRICA.
210
hAA ==⇒+= },{ haaSSi
Si ⇒++= }2,,{ hahaaS320
hAA ==
3
41
hA =
V.Álvarez
J.A. Armario
F. Muñoz
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 2: Integración numérica
3AA
3A
Ejemplo: si h=1:
2
110== AA
En el soporte de dos puntos; n = 1.
. 3
120
== AA3
41=A En el de tres puntos; n = 2.
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 2: Integración numérica
Fórmulas de �ewton-Cotes
I�TEGRACIÓ� �UMÉRICA.
Consideramos el soporte
Es importante resaltar que los coeficientes Ai
al depender exclusivamente del soporte, los podremos usar
para el cálculo de cualquier integral siempre que se mantenga
V.Álvarez
J.A. Armario
F. Muñoz
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 2: Integración numérica
el mencionado soporte.
Por ello, podemos concluir con las siguientes formulaciones:
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 2: Integración numérica
Fórmula de �ewton-Cotes para n =1
I�TEGRACIÓ� �UMÉRICA.
210
hAA ==⇒+= },{ haaSSi
hhb
V.Álvarez
J.A. Armario
F. Muñoz
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 2: Integración numérica
Esta es la llamada fórmula del Trapecio.
)]()([2
)]()([2
)(2
)(2
)(2
)(2
)()(
bfafab
bfafh
bfh
afh
hafh
afh
dxxffIb
a
+−
=
=+=+=
=++≈= ∫
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 2: Integración numérica
Fórmula de �ewton-Cotes para n = 2
I�TEGRACIÓ� �UMÉRICA.
Si ⇒++= }2,,{ hahaaS 320
hAA ==
3
41
hA =
)2(3
)(3
4)(
3)( haf
hhaf
haf
hdxxf
b
a=++++≈∫
V.Álvarez
J.A. Armario
F. Muñoz
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 2: Integración numérica
)]())2
((4)([3
)2(3
)(3
)(3
)(
bfba
fafh
hafhafafdxxfa
++
+=
=++++≈∫
Recuerda que
21
bax
+=
Esta es la llamada fórmula de Simpson.
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 2: Integración numérica
Fórmula del Trapecio.
I�TEGRACIÓ� �UMÉRICA.
( ) ( )( )bfafab
dxxfb
a+
−≈∫ 2
)(
V.Álvarez
J.A. Armario
F. Muñoz
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 2: Integración numérica
f(x)
a b
h= b –a
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 2: Integración numérica
I�TEGRACIÓ� �UMÉRICA.
f(a)
h = b-a
Interpretación geométrica de la fórmula del Trapecio.
V.Álvarez
J.A. Armario
F. Muñoz
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 2: Integración numérica
Area de un trapecio.
).(2
))()((
2
))()((ab
bfafh
bfafA −
+=
+=
f(b)
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 2: Integración numérica
Fórmula del Trapecio.
I�TEGRACIÓ� �UMÉRICA.
( ) ( )( )bfafab
dxxfb
a+
−≈∫ 2
)(
Error.( ) ( )( ) ε++
−=∫ bfaf
abdxxf
b
a 2)(
V.Álvarez
J.A. Armario
F. Muñoz
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 2: Integración numérica
Siendo
∫a 2
3
( )12
( ) ''b a fε ϑ= −−
)(2
2ϑfM ≥ en [ , ]a bϑ∀ ∈
Mab
2
3
12
)( −≤ε
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 2: Integración numérica
Ejemplo. Calcular:
I�TEGRACIÓ� �UMÉRICA.
Aplicando la fórmula del Trapecio:
( ) ( )( )bfafab
I +−
≈2
( )( )4 2
2 (4) 64.2
f f−
= + =
∫ +−4
2
3)84( dxxx
V.Álvarez
J.A. Armario
F. Muñoz
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 2: Integración numérica
2 2
Error:
M 2
3
12
)24( −≤ε
;6'' xf =como .242
=M
.162412
)24(3
=≤−
ε
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 2: Integración numérica
Ejemplo. Calcular:
I�TEGRACIÓ� �UMÉRICA.
Solución exacta:
∫ +−4
2
3)84( dxxx
52)84(4
2
3=+−∫ dxxx
V.Álvarez
J.A. Armario
F. Muñoz
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 2: Integración numérica
Error exacto:
2∫ x
.125264 =−=ε exacto
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 2: Integración numérica
I�TEGRACIÓ� �UMÉRICA.
Interpretación geométrica de la fórmula de Simpson.
Sustituimos f(x) por la parábola que pasa por los puntos:
)](,[ afa )]2
(,2
[ba
fba ++ )](,[ bfb
V.Álvarez
J.A. Armario
F. Muñoz
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 2: Integración numérica
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 2: Integración numérica
I�TEGRACIÓ� �UMÉRICA.
f(x)
Parábola
Fórmula de Simpson.
( ) ( )
+
++
−≈∫ bf
bafaf
abdxxf
b
a)
2(4
6)(
V.Álvarez
J.A. Armario
F. Muñoz
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 2: Integración numérica
f(x)
a b2
ba +
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 2: Integración numérica
Fórmula de Simpson.
I�TEGRACIÓ� �UMÉRICA.
( ) ( )
+
++
−≈∫ bf
bafaf
abdxxf
b
a)
2(4
6)(
Error.
( ) ( ) ε+
++
+−
≈∫ bfba
fafab
dxxfb
)(4)(
V.Álvarez
J.A. Armario
F. Muñoz
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 2: Integración numérica
Mab
fab
4
5
4
5
2880)(
2880
)()( −−≤−= ϑε
Siendo )(4
4ϑfM ≥ en ],[ ba
( ) ( ) ε+
++≈∫ bffafdxxf
a)
2(4
6)(
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 2: Integración numérica
Ejemplo. Calcular:
I�TEGRACIÓ� �UMÉRICA.
Aplicando la fórmula de Simpson:
∫ +2
0
4)1( dxx
( ) ( )
++
+−
≈ bfba
fafab
I )(4
V.Álvarez
J.A. Armario
F. Muñoz
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 2: Integración numérica
( )( ) ..666.83
26)2()1(40
6
02==++
−= fff
( ) ( )
++≈ bffafI )2
(46
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 2: Integración numérica
Ejemplo. Calcular:
I�TEGRACIÓ� �UMÉRICA.
Acotación del error
∫ +2
0
4)1( dxx
Mab
fab
4
5
4
5
2880)(
2880
)()( −−≤−= ϑε
ab5
)( − 4
f
V.Álvarez
J.A. Armario
F. Muñoz
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 2: Integración numérica
Mab
42880
)( −≤ε )(
4
4ϑfM ≥
24)(4
=ϑf Luego .244
=M
...2666.0242880
)02(5
=≤−
ε
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 2: Integración numérica
- Tomamos siempre 2 puntos:
- recta que pasa por ellos:
f(x ) f(x )f(x3)
y=mx+n
Fórmula compuesta de los Trapecios.
h=(b-a)/n
V.Álvarez
J.A. Armario
F. Muñoz
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 2: Integración numérica
x0 x1 x2 x3h h h
f(x0) f(x1) f(x2)
A1 A2 A3
Area = A1+A2+A3=
= h/2 (f(x0)+2f(x1)+2f(x2)+f(x3))
A1=h/2 (f(x0)+f(x1))
A2=h/2 (f(x1)+f(x2))
A3=h/2 (f(x2)+f(x3))
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 2: Integración numérica
Fórmula compuesta de los Trapecios.
I�TEGRACIÓ� �UMÉRICA.
Siendo:
( ) ( )1
1
( ) 2 ( )2
nb
ia
b af x dx f a f f b
nx
−− ≈ + +
∑∫
;0xa = xnb =
V.Álvarez
J.A. Armario
F. Muñoz
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 2: Integración numérica
Siendo: ;0xa = xnb =
Mn
ab22
3
12
)( −≤ε
Error:
)(''2 ϑfM ≥ en [a,b]
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 2: Integración numérica
Fórmula compuesta de los Trapecios;estimación del error.
I�TEGRACIÓ� �UMÉRICA.
Siendo: ;0xa = xnb =
)](')('[
2)(
afbfab
−≈−
ε
Estimación
V.Álvarez
J.A. Armario
F. Muñoz
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 2: Integración numérica
)](')('[12
2
)(afbf
n
ab−≈
−εción
del error:
)(' xfSiendo la derivada primera de la función.
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 2: Integración numérica
I�TEGRACIÓ� �UMÉRICA.
f(x)
( ) ( )1
1
( ) 2 ( )2
nb
ia
b af x dx f a f f b
nx
−− ≈ + +
∑∫
Trapecios.
V.Álvarez
J.A. Armario
F. Muñoz
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 2: Integración numérica
f(x)
x0 xnxi
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 2: Integración numérica
Ejemplo. Calcular:
I�TEGRACIÓ� �UMÉRICA.
1º) Aplicando la fórmula compuesta de los Trapecios con n = 3.
2º) Acotar el error .
∫4
1
1dx
x
V.Álvarez
J.A. Armario
F. Muñoz
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 2: Integración numérica
3º) Averiguar la partición necesaria para garantizar un error menor
que una centésima.
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 2: Integración numérica
Ejemplo. Calcular:
I�TEGRACIÓ� �UMÉRICA.
1º) Aplicando la fórmula compuesta de los Trapecios con n = 3.
∫4
1
1dx
x
( ) ( )14
11
12 ( )
2
n
i
b adx f a f f bx n
x−−
≈ + +
∑∫
V.Álvarez
J.A. Armario
F. Muñoz
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 2: Integración numérica
12x n
La partición será: {1, 2, 3, 4} y sus imágenes: { 1,1/2,1/3,1/4 }, por
Lo tanto:
..45833.124
35
4
1)
3
1
2
1(21
)3(2
1414
1==
+++
−≈∫ dx
x
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 2: Integración numérica
Ejemplo. Calcular:
I�TEGRACIÓ� �UMÉRICA.
2º) Acotar el error .
∫4
1
1dx
x
)(''2 ϑfM ≥
xxf
3
2)('' =
Claramente decreciente en el
intervalo de integración.
V.Álvarez
J.A. Armario
F. Muñoz
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 2: Integración numérica
.2)1(''2 == fM
5.02)(12 3
)14(2
3
=≤−
ε
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 2: Integración numérica
Ejemplo. Calcular:
I�TEGRACIÓ� �UMÉRICA.
3º) Averiguar la partición necesaria para garantizar un error menor
que una centésima.
∫4
1
1dx
x
nn22
3
2
92
)(1201.0
)14(=≥
−
V.Álvarez
J.A. Armario
F. Muñoz
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 2: Integración numérica
nn 2)(12
450)01.0(2
92=≥n Luego haciendo su raíz cuadrada:
Bastará con tomar n = 22 primer número natural que lo
cumple.
...2.21450 =≥n
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 2: Integración numérica
x0 x1 x2
y0y1 y2
x
y
x3 x4 x5 x6 x7 x8
y3y4
y5y6
y7 y8
Fórmula compuesta de Simpson
h=(b-a)/n
V.Álvarez
J.A. Armario
F. Muñoz
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 2: Integración numérica
)4242424(3
)4(3
)4(3
)4(3
)4(3
876543210
876654
432210
yyyyyyyyyh
yyyh
yyyh
yyyh
yyh
A y
++++++++=
++++++
+++++=
x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8
)42...24(3
A 12210 nnn yyyyyyh
++++++= −−
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 2: Integración numérica
Fórmula compuesta de Simpson.
)24(3
)( PIEn
abdxxf
b
a++
−≈∫
Donde E= suma de las imágenes de los puntos extremos.
I = suma de las imágenes de los puntos de subíndice impar
P = suma de las imágenes de los puntos de subíndice par.
V.Álvarez
J.A. Armario
F. Muñoz
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 2: Integración numérica
x0x1
x2
x2 xn 2−xn 1− xn
f(x)
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 2: Integración numérica
Fórmula compuesta de Simpson
I�TEGRACIÓ� �UMÉRICA.
Siendo:
( )PIEn
abdxxf
b
a24
3)( ++
−≈∫
;0xa = xnb =
V.Álvarez
J.A. Armario
F. Muñoz
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 2: Integración numérica
Siendo: ;0xa = xnb =
Mn
ab44
5
180
)( −≤ε
Error:
)(4
4ϑfM ≥ en [a,b]
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 2: Integración numérica
Fórmula compuesta de Simpson;estimación del error.
I�TEGRACIÓ� �UMÉRICA.
Siendo: ;0xa = xnb =
)]()([33
4
)(ab ff
ab−≈
−ε
Estimación
V.Álvarez
J.A. Armario
F. Muñoz
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 2: Integración numérica
)]()([180
33
4
)(ab ff
n
ab−≈
−εción
del error:
)(3
xfSiendo la derivada tercera de la función.
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 2: Integración numérica
Ejemplo. Calcular:
I�TEGRACIÓ� �UMÉRICA.
1º) Aplicando la fórmula compuesta de Simpson con n = 4.
2º) Acotar el error .
∫ +
5
1 1
4dx
x
x
V.Álvarez
J.A. Armario
F. Muñoz
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 2: Integración numérica
3º) Averiguar la partición necesaria para garantizar un error menor
que una milésima.
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 2: Integración numérica
Ejemplo. Calcular:
I�TEGRACIÓ� �UMÉRICA.
La partición será: {1, 2, 3, 4, 5} y sus imágenes: { 2, 8/3, 3, 16/3, 10/3 }
1º) Aplicando la fórmula compuesta de Simpson con n = 4.
∫ +
5
1 1
4dx
x
x
( )PIEdxx
x24
)4(3
15
1
45
1++
−≈
+∫
V.Álvarez
J.A. Armario
F. Muñoz
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 2: Integración numérica
La partición será: {1, 2, 3, 4, 5} y sus imágenes: { 2, 8/3, 3, 16/3, 10/3 }
Por lo tanto:
.3)(
15
88
5
16
3
8)()(
3
16
3
102)()(
2
31
40
==
=+=+=
=+=+=
x
xx
xx
fP
ffI
ffE
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 2: Integración numérica
Ejemplo. Calcular:
I�TEGRACIÓ� �UMÉRICA.
1º) Aplicando la fórmula compuesta de Simpson con n = 4.
∫ +
5
1 1
4dx
x
x
522881614 x
V.Álvarez
J.A. Armario
F. Muñoz
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 2: Integración numérica
6.1145
522)3(2
15
884
3
16
3
1
1
45
1==
++≈
+∫ dxx
x
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 2: Integración numérica
Ejemplo. Calcular:
I�TEGRACIÓ� �UMÉRICA.
2º) Acotar el error .
∫ +
5
1 1
4dx
x
x
)(4
4ϑfM ≥
)1()1(55
4 9696)(
++=−=
xxf x
Y su derivada es: 5 480)(
−=f x negativa siempre =>
en [1,5]
V.Álvarez
J.A. Armario
F. Muñoz
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 2: Integración numérica
Y su derivada es:)1(
6)(
+=x
f x negativa siempre =>
La derivada cuarta (en valor absoluto) es decreciente => el
máximo lo alcanzará en un extremo del intervalo de
integración.
)2(5
4 96)1( −=f
332
964
==M
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 2: Integración numérica
Ejemplo. Calcular:
I�TEGRACIÓ� �UMÉRICA.
Cota del error.
∫ +
5
1 1
4dx
x
x
332
964
==M
V.Álvarez
J.A. Armario
F. Muñoz
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 2: Integración numérica
..0666.03180 4
)15(4
5
=≤−
ε
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 2: Integración numérica
Ejemplo. Calcular:
I�TEGRACIÓ� �UMÉRICA.
3º) Averiguar la partición necesaria para garantizar un error menor
que una milésima.
∫ +
5
1 1
4dx
x
x
3180
001.04
5
)15(
n
−≥ ..66.170663
)001.0(180
)15(5
4=≥
−n
V.Álvarez
J.A. Armario
F. Muñoz
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 2: Integración numérica
3180
001.04
n≥ ..66.170663
)001.0(180=≥n
....43.11≥n
Bastará con tomar el primer entero par mayor que dicha cantidad:
n = 12
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 2: Integración numérica
Ejemplo. Calcular, con los datos proporcionados, el área
de la figura siguiente.
I�TEGRACIÓ� �UMÉRICA.
y
x
0 1 2 3 4 5 6
V.Álvarez
J.A. Armario
F. Muñoz
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 2: Integración numérica
X 0 1 2 3 4
Y 0.4 12 21 22 20
5 6
10 6
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 2: Integración numérica
♦ Podemos usar cualquiera de los métodos estudiados.
♦ Por los Trapecios:
( ) ( )
)6)1020222112(24.0(6
)(2
1
1
=++++++=
=
++
−≈ ∑
−
bffafn
abA
n
ix
V.Álvarez
J.A. Armario
F. Muñoz
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 2: Integración numérica
2.88
)6)1020222112(24.0(12
6
=
=++++++=
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 2: Integración numérica
♦ Por Simpson:
( )
))2021(2)102212(464.0(6
243
=++++++=
=++−
≈ PIEn
abA
V.Álvarez
J.A. Armario
F. Muñoz
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 2: Integración numérica
..1333.88
))2021(2)102212(464.0(18
6
=
=++++++=