Tema 2: Diseño de ﬁltros analógicos -...

Tema 2:Diseño de filtros analógicos

Índice

1 Introducción

2 Diagramas de Bode

3 Filtros de primer orden

4 Filtros de segundo orden

5 Filtros de orden n

Introducción

1 IntroducciónObjetivosFunción de transferenciaRespuesta a una onda senoidalTipos de filtrosRespuesta a una función escalón

2 Diagramas de Bode




Introducción

Existen numerosas aplicaciones de la electrónica que requieren circuitosque dejen pasar señales con ciertas frecuencias y rechacen el resto.

Introducción

Objetivos

Conocer los distintos tipos de filtros y sus características.

Calcular la función de transferencia, ceros y polos de cualquier filtro.

Dibujar diagramas de Bode a partir de la función de transferencia

Diseñar filtros conforme a unas especificaciones dadas.

Introducción

Función de transferencia

Un filtro es un sistema que atenúa la amplitud de las señales aplicadas a suentrada en función de la frecuencia.La función de transferencia describe la relación entre la señal de salida y lade entrada.

H(s) =Vo(s)

Vi(s)H(s)

+

−Vi

+

−Vo

Para señales senoidales en régimen permanente s = jω y la función detransferencia se descompone en módulo y fase:

H(jω) = |H(ω)|eϕ(ω)

El módulo se suele expresar en decibelios:

|H(ω)|dB = 20 log |H(ω)|

O en forma de atenuación.

α(ω) = −20 log |H(ω)|

Introducción

Respuesta a una onda senoidal

La función de transferencia determina la amplitud y el desfase de la onda desalida en relación a la onda de entrada para cualquier frecuencia.

t

VA

T ∆t

Vi = Asen(ωt)

Vo = |H|Asen(ωt + ϕ) con ϕ = 2π∆t

T

Introducción

Tipos de filtros

Según el tipo de componentes

Los filtros pasivos están constituidos por resistencias, bobinas ycondensadores únicamente.

Los filtros activos contienen amplificadores operacionales. Evitan el uso debobinas.

Introducción

Tipos de filtros

Según las bandas filtradas

Filtro paso-bajo ideal

0 ωC ω

|H|

1

0

Filtro paso-alto ideal

0 ωC ω

|H|

1

0

Filtro paso-banda ideal

0 ωL ωH ω

|H|

1

0

Filtro rechaza-banda ideal

0 ωL ωH ω

|H|

1

0

Introducción

Tipos de filtros

Filtro ideal y filtro realEn la práctica las funciones detransferencia no son funcionesescalón (filtro ideal). Tienen unacaída suave (filtro real).

Frecuencia de corte (ωc)Frecuencia para la cual el módulode la función de tranferenciaexperimenta una caida 1/

p2, o

3 dB.ωc ω

0

1/p

2

1|H|

Introducción

Tipos de filtros

Filtros paso-banda y rechaza-banda

Banda estrecha. Filtros muy selectivos. Se implementan en una sola etapa.

Banda ancha. Banda de paso ancha. Se implementan asociando filtrospaso-bajo y paso-alto.

Paso bajo Paso alto

0 ωH ω

|H|

1

00 ωL ω

|H|

1

00 ωL ωH ω

|H|

1

0

× =

Introducción

Respuesta a una función escalón

Vi =

�

0 si t < 0

A si t > 0

Filtro paso-bajo

τ t

V

A

Vo =

¨

0 si t < 0

A(1− e−t/τ) si t > 0

Filtro paso-alto

τ t

V

A

Vo =

¨

0 si t < 0

Ae−t/τ si t > 0

con τ =1

ωCconstante de tiempo

Diagramas de Bode

1 Introducción

2 Diagramas de BodeDescomposición de la función de transferenciaRepresentación de módulo y faseEjercicio




Diagramas de Bode

Descomposición de la función de transferencia

La función de transferencia se puede escribir como cociente de dospolinomios de coeficientes reales:

H(s) =ansn + an−1sn−1 + · · ·+ a1s+ a0bmsm + bm−1sm−1 + · · ·+ b1s+ b0

= K(s− z1)(s− z2) · · · (s− zn)

(s− p1)(s− p2) · · · (s− pm)

z1, . . . ,zn: ceros de la función de transferenciap1, . . . ,pm: polos de la función de transferencia

Para señales senoidales en régimen permanente podemos escribir la funciónde transferencia como producto de módulos y fases:

H(jω) =

∏ni=0Ni(jω)

∏mk=0Dk(jω)

=

∏ni=0 |Ni(ω)|e

jϕi(ω)

∏mk=0 |Dk(ω)|e

jϕk(ω)= |H(ω)|ejΦ(ω)

El diagrama de Bode es la representación asintótica del módulo y la fase dela función de transferencia.

Diagramas de Bode

Descomposición de la función de transferencia

Módulo:

|H(ω)| =

∏ni=0 |Ni(ω)|

∏mk=0 |Dk(ω)|

Aplicando logaritmos se puede representar el módulo como suma ydiferencia de factores:

|H(ω)|dB = 20 log |H(ω)| =n∑

i=0

20 log |Ni(ω)| −m∑

k=0

20 log |Dk(ω)|

La fase se escribe directamente como suma y diferencia de factores:

Φ(ω) =n∑

i=0

ϕi(ω)−m∑

k=0

ϕk(ω)

Los términos positivos provienen de los ceros, los negativos de los polos.

El diagrama de Bode se puede representar como superposición dediagramas de módulo y fase de los factores Ni(ω) y Dk(ω) individuales.

Diagramas de Bode

Representación de módulo y fase

Los términos Ni(jω) y Dk(jω) siempre tendrán una de estas formas:

Constante real pura. Nos da la ganancia del filtro.

K

Término imaginario puro. Corresponde a un cero o un polo a frecuencia cero.

jω

Término binómico. Polos o ceros reales.

1 +jω

ω0

Término cuadrático. Polos o ceros complejos conjugados.

�

jω

ω0

�2

+ 2ξjω

ω0+ 1

Diagramas de Bode


Diagrama de Bode de una constante real

H(jω) = K

Módulo

|H|dB = 20 log |K| = cte.

Si |K| > 1 el filtro amplifica.Si |K| < 1 el filtro atenúa.

ω0

|H|dB

20 log |K|

Fase

�

Si K > 0 ⇒ ϕ(K) = 0◦

Si K < 0 ⇒ ϕ(K) = 180◦ ω

ϕ

0◦

Diagramas de Bode


Diagrama de Bode de un cero en el origen

H(jω) = jω

Módulo

|H|dB = 20 log |ω|

Recta de pendiente 20dB/dec que pasapor 0dB en ω = 1 rad/s

20dB/d

ec

0,1 1 10 ω

20

0

−20

|H|dB

Fase

ϕ(jω) =π

2

ω

ϕ

0◦

90◦

Diagramas de Bode


Diagrama de Bode de un polo en el origen

H(jω) = 1/ jω

Módulo

|H|dB = −20 log |ω|

Recta de pendiente −20dB/dec que pasapor 0dB en ω = 1 rad/s

-20dB/dec

0,1 1 10 ω

20

0

−20

|H|dB

Fase

ϕ(jω) = −π

2

ω

ϕ

0◦

−90◦

Diagramas de Bode


Diagrama de Bode de un cero a frecuencia ω0

H(jω) = 1 + jω/ω0

Módulo

|H|dB = 20 log(1 +ω2/ω20)1/2

Si ω� ω0 ⇒ |H|dB ≈ 0Si ω = ω0 ⇒ |H|dB ≈ 3dBSi ω� ω0 ⇒ |H|dB ≈ 20 logω/ω0

20dB/d

ec

0,1ω0 ω0 10ω0 ω

20

0

|H|dB

Fase

ϕ(jω) = arctanω/ω0

Si ω� ω0 ⇒ ϕ ≈ 0Si ω = ω0 ⇒ ϕ = π/4Si ω� ω0 ⇒ ϕ ≈ π/2

45◦ /de

c

0,1ω0 ω0 10ω0 ω

ϕ

0◦

45◦

90◦

Diagramas de Bode


Diagrama de Bode de un polo a frecuencia ω0

H(jω) = 1/(1 + jω/ω0)

Módulo

|H|dB = −20 log(1 +ω2/ω20)1/2

Si ω� ω0 ⇒ |H|dB ≈ 0Si ω = ω0 ⇒ |H|dB ≈ −3dBSi ω� ω0 ⇒ |H|dB ≈ −20 logω/ω0

-20dB/dec

0,1ω0 ω0 10ω0

ω

−20

0

|H|dB

Fase

ϕ(jω) = − arctanω/ω0

Si ω� ω0 ⇒ ϕ ≈ 0Si ω = ω0 ⇒ ϕ = −π/4Si ω� ω0 ⇒ ϕ ≈ −π/2

-45 ◦/dec

0,1ω0 ω0 10ω0

ω

ϕ

0◦

−45◦

−90◦

Diagramas de Bode


Diagrama de Bode de un cero/polo cuadrático

H(jω) = 1 + 2ξjω

ω0+

�

jω

ω0

�2

(cero)

H(jω) =

1 + 2ξjω

ω0+

�

jω

ω0

�2−1

(polo)

Las raíces del polinomio pueden ser:

1 Reales y diferentes si ξ > 1.

2 Reales e iguales (cero múltiple en ω = ω0) si ξ = 1.

3 Complejas conjugadas si ξ < 1.

El tratamiento de los casos 1 y 2 es igual que el de los ceros simples.

Diagramas de Bode


Módulo

|H|dB = ±20 logr

�

1− ω2/ω20�2

+�

2ξω/ω0�2 (+ cero, – polo)

Si ω� ω0 ⇒ |H|dB ≈ 0Si ω = ω0 ⇒ |H|dB = ±20 log2|ξ|Si ω� ω0 ⇒ |H|dB ≈ ±40 logω/ω0

-40dB/decξ =

(

0,11

10

0,1ω0 ω0 10ω0

ω

−40

0|H|dB

Diagramas de Bode


Fase

ϕ = arctan2ξω/ω0

1− ω2/ω20

Si ω� ω0 ⇒ ϕ ≈ 0Si ω = ω0 ⇒ ϕ = π/2Si ω� ω0 ⇒ ϕ ≈ π

90◦ /de

c

0,1ω0 ω0 10ω0 ω

ϕ

0◦

90◦

180◦

Diagramas de Bode

Ejercicio

Representar la función de transferencia siguiente en un diagrama de Bode:

H(jω) =100(1 + jω/10)

jω(1 + jω/100)

Descomposición en suma de factores de módulo y fase:Módulo

20 log |H(jω)| = 20 log100 + 20 log�

�

�

�

1 +jω

10

�

�

�

�

− 20 log |jω| − 20 log�

�

�

�

1 +jω

100

�

�

�

�

Fase

ϕ [H(jω)] = ϕ(100) + ϕ�

1 +jω

10

�

− ϕ(jω)− ϕ�

1 +jω

100

�

Diagramas de Bode

Ejercicio

Módulo

20 log |H(jω)| = 20 log100︸︷︷︸

(1)

+ 20 log |1 + jω/10|︸︷︷︸

(2)

− 20 log |jω|︸︷︷︸

(3)

− 20 log |1 + jω/100|︸︷︷︸

(4)

0,1 1 10 102 103 104 105−40

−20

0

20

40

60

ω (rad/s)

|H(ω

)|(d

B)

Diagramas de Bode

Ejercicio

Módulo

20 log |H(jω)| = 20 log100︸︷︷︸

(1)

+ 20 log |1 + jω/10|︸︷︷︸

(2)

− 20 log |jω|︸︷︷︸

(3)

− 20 log |1 + jω/100|︸︷︷︸

(4)

0,1 1 10 102 103 104 105−40

−20

0

20

40

60

ω (rad/s)

|H(ω

)|(d

B)

(1)

Diagramas de Bode

Ejercicio

Módulo

20 log |H(jω)| = 20 log100︸︷︷︸

(1)

+ 20 log |1 + jω/10|︸︷︷︸

(2)

− 20 log |jω|︸︷︷︸

(3)

− 20 log |1 + jω/100|︸︷︷︸

(4)

0,1 1 10 102 103 104 105−40

−20

0

20

40

60

ω (rad/s)

|H(ω

)|(d

B)

(1)

(2)

Diagramas de Bode

Ejercicio

Módulo

20 log |H(jω)| = 20 log100︸︷︷︸

(1)

+ 20 log |1 + jω/10|︸︷︷︸

(2)

− 20 log |jω|︸︷︷︸

(3)

− 20 log |1 + jω/100|︸︷︷︸

(4)

0,1 1 10 102 103 104 105−40

−20

0

20

40

60

ω (rad/s)

|H(ω

)|(d

B)

(1)

(2)

(3)

Diagramas de Bode

Ejercicio

Módulo

20 log |H(jω)| = 20 log100︸︷︷︸

(1)

+ 20 log |1 + jω/10|︸︷︷︸

(2)

− 20 log |jω|︸︷︷︸

(3)

− 20 log |1 + jω/100|︸︷︷︸

(4)

0,1 1 10 102 103 104 105−40

−20

0

20

40

60

ω (rad/s)

|H(ω

)|(d

B)

(1)

(2)

(3) (4)

Diagramas de Bode

Ejercicio

Módulo

20 log |H(jω)| = 20 log100︸︷︷︸

(1)

+ 20 log |1 + jω/10|︸︷︷︸

(2)

− 20 log |jω|︸︷︷︸

(3)

− 20 log |1 + jω/100|︸︷︷︸

(4)

0,1 1 10 102 103 104 105−40

−20

0

20

40

60

ω (rad/s)

|H(ω

)|(d

B)

(1)

(2)

(3) (4)

|H(ω)|

Diagramas de Bode

Ejercicio

Faseϕ [H(jω)] = ϕ(100)

︸︷︷︸

(1)

+ϕ(1 + jω/10)︸︷︷︸

(2)

− ϕ(jω)︸︷︷︸

(3)

− ϕ(1 + jω/100)︸︷︷︸

(4)

0,1 1 10 102 103 104 105−180◦

−135◦

−90◦

−45◦

0◦

45◦

90◦

135◦

180◦

ω (rad/s)

ϕ(ω

)

Diagramas de Bode

Ejercicio


︸︷︷︸

(1)

+ϕ(1 + jω/10)︸︷︷︸

(2)

− ϕ(jω)︸︷︷︸

(3)

− ϕ(1 + jω/100)︸︷︷︸

(4)

0,1 1 10 102 103 104 105−180◦

−135◦

−90◦

−45◦

0◦

45◦

90◦

135◦

180◦

ω (rad/s)

ϕ(ω

) (1)

Diagramas de Bode

Ejercicio


︸︷︷︸

(1)

+ϕ(1 + jω/10)︸︷︷︸

(2)

− ϕ(jω)︸︷︷︸

(3)

− ϕ(1 + jω/100)︸︷︷︸

(4)

0,1 1 10 102 103 104 105−180◦

−135◦

−90◦

−45◦

0◦

45◦

90◦

135◦

180◦

ω (rad/s)

ϕ(ω

) (1)

(2)

Diagramas de Bode

Ejercicio


︸︷︷︸

(1)

+ϕ(1 + jω/10)︸︷︷︸

(2)

− ϕ(jω)︸︷︷︸

(3)

− ϕ(1 + jω/100)︸︷︷︸

(4)

0,1 1 10 102 103 104 105−180◦

−135◦

−90◦

−45◦

0◦

45◦

90◦

135◦

180◦

ω (rad/s)

ϕ(ω

) (1)

(2)

(3)

Diagramas de Bode

Ejercicio


︸︷︷︸

(1)

+ϕ(1 + jω/10)︸︷︷︸

(2)

− ϕ(jω)︸︷︷︸

(3)

− ϕ(1 + jω/100)︸︷︷︸

(4)

0,1 1 10 102 103 104 105−180◦

−135◦

−90◦

−45◦

0◦

45◦

90◦

135◦

180◦

ω (rad/s)

ϕ(ω

) (1)

(2)

(3)

(4)

Diagramas de Bode

Ejercicio


︸︷︷︸

(1)

+ϕ(1 + jω/10)︸︷︷︸

(2)

− ϕ(jω)︸︷︷︸

(3)

− ϕ(1 + jω/100)︸︷︷︸

(4)

0,1 1 10 102 103 104 105−180◦

−135◦

−90◦

−45◦

0◦

45◦

90◦

135◦

180◦

ω (rad/s)

ϕ(ω

) (1)

(2)

(3)

(4)ϕ(ω)

Filtros de primer orden

1 Introducción

2 Diagramas de Bode

3 Filtros de primer ordenFunciones de transferenciaFiltros paso-bajoFiltros paso-alto




Funciones de transferencia

Función de transferencia general

H(s) =a1s+ a0

s+ω0

Función de transferencia del filtro paso-bajo

H(s) =a0

s+ω0

Función de transferencia del filtro paso-alto

H(s) =a1s

s+ω0


Filtros paso-bajo

Filtros pasivos

R

C

+

−

Vi

+

−

Vo

H(jω) =1/RC

jω+ 1/RC

ωC =1

RC

L

R

+

−

Vi

+

−

Vo

H(jω) =R/L

jω+R/L

ωC =R

L


Filtros paso-bajo

Filtros activos

R1

R2

C

ViVo

H(jω) = −R2

R1

1/R2C

jω+ 1/R2C

H0 = −R2

R1

ωC =1

R2C


Filtros paso-alto

Filtros pasivosC

R

+

−

Vi

+

−

Vo

H(jω) =jω

jω+ 1/RC

ωC =1

RC

RL

+

−

Vi

+

−

Vo

H(jω) =jω

jω+R/L

ωC =R

L


Filtros paso-alto

Filtros activos

R1

R2

CVi

Vo

H(jω) = −R2

R1

jω

jω+ 1/R1C

H0 = −R2

R1

ωC =1

R1C

NotaEn todos los circuitos presentados la frecuencia de corte depende de dosparámetros. En el proceso de diseño tendremos que fijar uno de ellosarbitrariamente.

Filtros de segundo orden

1 Introducción

2 Diagramas de Bode


4 Filtros de segundo ordenFunciones de transferenciaFiltros paso-bajoFiltros paso-altoFiltros paso-bandaFiltros rechaza-banda




Función de transferencia general

H(s) =a2s2 + a1s+ a0

s2 + 2ξω0s+ω20=

a2s2 + a1s+ a0

s2 + sω0/Q+ω20

ξ: coeficiente de amortiguamiento.Q = 1/2ξ: factor de calidad.ω0: frecuencia de resonancia.

Si Q > 1/p

2 aparece un pico en la función de transferencia.

Tipos de polos

s2 +ω0

Qs+ω20 = 0 ⇒ s1,s2 = ω0

−1

2Q±

√

√

√1

4Q2− 1

Reales y distintos si Q < 1/2.

Reales e iguales si Q = 1/2.

Complejos conjugados si Q > 1/2.



Funciones de transferenciaFiltro paso-bajo

H(s) =a0

s2 + sω0/Q+ω20

ωmax = ω0

√

√

√

1−1

2Q2

Hmax =|a0|Q

ω20

r

1− 14Q2

ωmax

Hmax

0,1ω0 ω0 10ω0ω

0

|a0/ω20||H|

Filtro paso-alto

H(s) =a2s2

s2 + sω0/Q+ω20

ωmax =ω0

r

1− 12Q2

Hmax =|a2|Q

r

1− 14Q2

ωmax

Hmax

0,1ω0 ω0 10ω0ω

0

|a2||H|



Filtro paso-banda estrecha

H(s) =a1s

s2 + sω0/Q+ω20

Hmax = |a1|Q/ω0BW = ω2 − ω1 = ω0/Q

ω20 = ω1ω2

ω1 ω0 ω2 ω0

Hmax

|H|

Hmaxp

2

Filtro rechaza-banda estrecha

H(s) = a2s2 +ω20

s2 + sω0/Q+ω20

BW = ω2 − ω1 = ω0/Q

ω20 = ω1ω2

ω1 ω0 ω2 ω0

|a2||H|

|a2|p

2


Filtros paso-bajo

Filtro pasivo

R L

C

+

−

Vi

+

−

Vo

H(jω) =1/LC

(jω)2 + jωR/L+ 1/LC

ω0 =1pLC

Q =1

R

√

√

√L

C


Filtros paso-bajo

Filtro activo. Celda de Sallen-Key

R R

C1

C2

ViVo

H(jω) =

1R2C1C2

(jω)2 + 2RC1 jω+1

R2C1C2

ωC =1

Rp

C1C2

Q =1

2

√

√

√C1

C2


Filtros paso-alto

Filtro pasivo

R C

L

+

−

Vi

+

−

Vo

H(jω) =(jω)2

(jω)2 + jωR/L+ 1/LC

ω0 =1pLC

Q =1

R

√

√

√L

C


Filtros paso-alto

Filtro activo. Celda de Sallen-Key

C C

R1

R2

ViVo

H(jω) =(jω)2

(jω)2 + 2R2C jω+1

R1R2C2

ωC =1

Cp

R1R2

Q =1

2

√

√

√R2

R1


Filtros paso-banda

Filtro pasivo

L C

R

+

−

Vi

+

−

Vo

H(jω) =RL jω

(jω)2 + RL jω+1LC

ω0 =1pLC

Q =1

R

√

√

√L

C


Filtros paso-banda

Filtro activo. Filtro Deliyannis.

R1

C

CR2

ViVo

H(jω) = −1

R1Cjω

(jω)2 + 2R2C jω+1

R1R2C2

H0 = −R2

2R1

ωC =1

Cp

R1R2

Q =1

2

√

√

√R2

R1


Filtros rechaza-banda

Filtro pasivo

L

C

R

+

−

Vi

+

−

Vo

H(jω) =(jω)2 + 1LC

(jω)2 + 1RC jω+1LC

ω0 =1pLC

Q = R

√

√

√C

L


Filtros rechaza-banda

Filtro activo. Filtro en T gemela.

2C

R/2

R R

C C

ViVo

(1− σ)RTσRT

H(jω) =(RCjω)2 + 1

(RCjω)2 + 4RC(1− σ)jω+ 1

ω0 =1

RC

Filtros de orden n

1 Introducción

2 Diagramas de Bode



5 Filtros de orden nEspecificación de características de filtrosRealización prácticaFiltro de ButterworthFiltro de ChebyshevTablas de filtros normalizadosEjercicio

Filtros de orden n

Especificación de características de filtros

Filtro paso-bajo

0 ωp ωa ω0

|H|

Ha

Hp

Banda depaso

Banda detransición

Bandaatenuada

Hp: Mínima ganancia en la banda depasoHa: Máxima ganancia en la bandaatenuadaωp: Máxima frecuencia de la bandade pasoωa: Mínima frecuencia de la bandaatenuada

Filtro paso-alto

0 ωa ωp ω0

|H|

Ha

Hp

Bandaatenuada

Banda detransición

Banda depaso

Hp: Mínima ganancia en la banda depasoHa: Máxima ganancia en la bandaatenuadaωp: Mínima frecuencia de la bandade pasoωa: Máxima frecuencia de la bandaatenuada

Filtros de orden n

Especificación de características de filtros

Parámetro de discriminación de un filtro

Kd =

√

√

√

√

1/H2p− 1

1/H2a− 1

=

√

√

√10αp/10 − 1

10αa/10 − 1

Si Hp � Ha ⇒ Kd � 1 y el filtro es de mejor calidad.

Parámetro de selectividad de un filtro

Ks =ωp

ωa

Si ωp ≈ ωa ⇒ Ks ≈ 1 y el filtro se aproxima al ideal.

Filtros de orden n

Realización práctica

Los filtros de orden n se implementan mediante asociación en cascada defiltros de orden 1 o 2:

H1(s) H2(s) Hm(s)

Filtros de orden n

Realización práctica

Transformación de filtrosEn la práctica se parte de filtros normalizados cuyos componentes setransforman para obtener el filtro deseado.

Transformación paso-bajo → paso-altoEn filtros pasivos:

s→ 1/s y L→ C = 1/L y C→ L = 1/C

En filtros activos:

s→ 1/s y R→ C = 1/R y C→ R = 1/C

Escalado de frecuencias ω→ αωEn filtros pasivos:

C→ C/α y L→ L/α

En filtros activos:C→ C/α o R→ R/α

Escalado de impedanciasEsta transformación mantiene la frecuencia de corte del circuito.

R→ βR y C→ C/β y L→ βL

Filtros de orden n

Filtro de Butterworth

El filtro de Butterworth tiene una función de transferencia máximamenteplana en la banda de paso.

Todos los ceros se encuentran en ω = ∞

|H| =1

Æ

1 + (ω/ωc)2n

ωc: frecuencia de corten: orden del filtro

0,1ωc ωc 10ωcω

0

1|H|

n =

(

125

Filtros de orden n

Filtro de Butterworth

Diseño del filtro de Butterworth

1 Cálculo del orden del filtro:

n ≥logKd

logKs2 Obtener la función de transferencia a partir de tablas para filtros

normalizados.

3 Escalar la frecuencia de corte y las impedancias.

Filtros de orden n

Filtro de Chebyshev

El filtro de Chebyshev exhibe un rizado en la banda pasante.

Es máximamente abrupto en la banda de transición.

Todos los ceros se encuentran en ω = ∞

|H| =1

Ç

1 + ε2C2n

(ω/ωc)Cn(x) =

¨

cos(ncos−1(x)) si x ≤ 1

cosh(ncosh−1(x)) si x ≥ 1

ωc: frecuencia de corten: orden del filtroε: parámetro de rizadordB = −20 log(1/

p

1 + ε2): rizado

0,1ωc ωc 10ωcω

0

1/p

1 + ε2

1|H|

n =§

25

Filtros de orden n

Filtro de Chebyshev

Diseño del filtro de Chevyshev

1 Cálculo del orden del filtro

n ≥

cosh−1 p

10αa/10 − 1

ε

!

cosh−1(1/Ks)

2 Cálculo del parámetro de rizado

ε =r

1/H2p− 1 =

Æ

10rdB/10 − 1

3 Obtener la función de transferencia a partir de tablas para filtrosnormalizados.

4 Escalar la frecuencia de corte y las impedancias.

Filtros de orden n

Tablas de filtros normalizados

Las tablas siguientes nos dan los polinomios del denominador de la función detransferencia para filtros de orden n y ωc = 1

Polinomios de Butterworth normalizadosn Polinomio de orden n

1 s+ 12 s2 + 1,4142s+ 13 (s+ 1)(s2 + s+ 1)4 (s2 + 0,7654s+ 1)(s2 + 1,8478s+ 1)5 (s+ 1)(s2 + 0,6180 + 1)(s2 + 1,6180s+ 1)6 (s2 + 0,5176s+ 1)(s2 + 1,4142s+ 1)(s2 + 1,9318s+ 1)

Filtros de orden n

Tablas de filtros normalizados

Polinomios de Chevyshev normalizados para rdB = 0,5 dBn Polinomio de orden n

1 s+ 2,8632 s2 + 1,426s+ 1,51643 (s+ 0,626)(s2 + 0,626s+ 1,42453)4 (s2 + 0,350s+ 1,062881)(s2 + 0,846s+ 0,35617)5 (s+ 0,362)(s2 + 0,224 + 0,012665)(s2 + 0,586s+ 0,476474)6 (s2 + 0,156s+ 1,022148)(s2 + 0,424s+ 0,589588)(s2 + 0,58s+ 0,157)

Polinomios de Chevyshev normalizados para rdB = 3 dBn Polinomio de orden n

1 s+ 1,0022 s2 + 0,6449s+ 0,7083 (s+ 0,299)(s2 + 0,2986s+ 0,83950649)4 (s2 + 0,17s+ 0,902141)(s2 + 0,412s+ 0,1961)5 (s+ 0,177)(s2 + 0,11s+ 0,936181)(s2 + 0,288s+ 0,3771145)6 (s2 + 0,076s+ 0,95402)(s2 + 0,208s+ 0,522041)(s2 + 0,286s+ 0,089093)

Filtros de orden n

Ejercicio

Diseñar un filtro de Butterworth de paso bajo con frecuencia de corte ωC =10 kHz y una atenuación de 15 dB a 20 kHz.

Cálculo del orden del filtro:

Kd =

√

√

√10αp/10 − 1

10αa/10 − 1

√

√

√ 103/10 − 1

1015/10 − 1= 0,18

Ks =ωp

ωa=

10kHz

20kHz= 0,5

n ≥logKd

logKs=

log0,18

log0,5= 2,47

Escogemos el primer entero mayor que 2,47:

n = 3

Filtros de orden n

Ejercicio

Función de transferencia normalizada (ωC = 1rad/s) y circuito:

H(s) =1

(s+ 1)(s2 + s+ 1)

R1

R1

C1

R2 R2

C2

C3

R3

R3

H(s) =

−1

R1C1

s+ 1R1C1

!

1R2

2C2C3

s2 + 2R2C2 s+1

R22C2C3

(−1)

Filtros de orden n

Ejercicio

Identificando funciones de transferencia:

R1 = 1 Ω; C1 = 1F

R2 = 1 Ω; C2 = 2F; C3 = 0,5F

Escalado de frecuencia:

ωC : 1rad/s −→ 2π · 104︸︷︷︸

α

rad/s

C1 : 1F −→1

2π · 104F = 15,9μF

C2 : 2F −→2

2π · 104F = 31,8μF

C3 : 0,5F −→0,5

2π · 104F = 7,95μF

Filtros de orden n

Ejercicio

Escalado de impedancia:

R1,R2 : 1 Ω −→ 104︸︷︷︸

β

Ω

C1 : 15,9μF −→15,9

104μF = 1,59nF

C2 : 31,8μF −→31,8

104μF = 3,18nF

C3 : 7,95μF −→7,95

104μF = 795pF

FiltrosIntroducciónObjetivosFunción de transferenciaRespuesta a una onda senoidalTipos de filtrosRespuesta a una función escalón

Diagramas de BodeDescomposición de la función de transferenciaRepresentación de módulo y faseEjercicio

Filtros de primer ordenFunciones de transferenciaFiltros paso-bajoFiltros paso-alto

Filtros de segundo ordenFunciones de transferenciaFiltros paso-bajoFiltros paso-altoFiltros paso-bandaFiltros rechaza-banda

Filtros de orden nEspecificación de características de filtrosRealización prácticaFiltro de ButterworthFiltro de ChebyshevTablas de filtros normalizadosEjercicio

Tema 2: Diseño de ﬁltros analógicos -...

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