Téma 1 Základní rovnice teorie pružnosti
description
Transcript of Téma 1 Základní rovnice teorie pružnosti
1Katedra stavební mechaniky
Fakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava
Pružnost a plasticita II., 3.ročník bakalářského studia, přednášky Janas 2010, 2011
Téma 1Základní rovnice teorie pružnosti
• Základní informace o výuce a hodnocení předmětu PP II• Úvodní poznámky a základní předpoklady• Napětí a deformace• Analýza napjatosti a deformace v okolí bodu tělesa• Rovnice rovnováhy• Geometrické rovnice• Fyzikální rovnice
2
Základní informacePředmět: 228-0211/01 - Pružnost a plasticita IIPřednášející: Doc. Ing. Petr Janas, CSc.Spojení:
tel: 59 732 1308 e-mail: [email protected]
Přednášky a informace:http://fast10.vsb.cz/janas
3
Osnova přednášek
1. Základní rovnice teorie pružnosti.2. Rovinný problém, stěnová rovnice. 3. Metody řešení stěn.4. Desky, technická teorie tenkých desek, tlusté
desky.5. Desky, metody řešení desek. 6. Kruhové desky.7. Skořepiny.8. Modely podloží, pružný poloprostor.9. Stabilita prutových konstrukcí, Eulerovo řešení.10.Nelineární chování materiálů, podmínky
plasticity.11.Rámy s plastickými klouby.
4
Osnova cvičení
1. Úvodní cvičení, transformace složek napětí2. Řešení stěn pomocí Airyho funkce3. Řešení stěn pravoúhlých metodou sítí, zadání 1. programu4. Řešení pravoúhlých stěn metodou sítí,
1. písemka transformace napětí5. Řešení pravoúhlých desek metodou sítí, zadání 2. programu6. Řešení pravoúhlých desek metodou sítí7. Řešení kruhových a mezikruhových desek8. Skořepinové konstrukce, membránový stav9. Nosník na pružném podkladě, numerické řešení
2. písemka, kruhové a mezikruhové desky 10. Stabilita prutových konstrukcí, numerické řešení11. Stabilita prutových konstrukcí, numerické řešení12. Mezní plastická únosnost prutových konstrukcí13. Mezní plastická únosnost prutových konstrukcí,
3. písemka, mezní únosnost nosníků14. Zápočet
5
Literatura[1] Dický, J., Mistríková, Z., Sumec, J., Pružnosť a plasticita v
stavebníctve 1, Slovenská technická univerzita v Bratislavě, 2004.
[2] Dický, J., Mistríková, Z., Sumec, J., Pružnosť a plasticita v stavebníctve 2, Slovenská technická univerzita v Bratislavě, 2006.
[3] Teplý, B., Šmiřák, S., Pružnost a plasticita II. Nakladatelství VUT Brno, 1993.
Další doporučená literatura:[4] Šmiřák, S., Pružnost a plasticita I. Nakladatelství VUT Brno,
1999. [5] Bittnar, Z., Šejnoha, J. Numerické metody mechaniky, ČVUT,
Praha, 1992[6] Novák, O. a kol Technický průvodce 3. Nauka o pružnosti a
pevnosti ve stavitelství, SNTL, Praha, 1963
6
Hodnocení zápočtuPředpoklady pro získání zápočtu: Uznaný zápočet z předmětu SSKI 70% účast na cvičení, neúčast musí být řádně omluvená Zvládnutí 3 písemných prací Zvládnutí 2 programů Získání minimálně 18 bodů z 35 možnýchBodování na cvičení: 3 písemky
- 7 až 4 bodů - první opravná - 6 až 4 body- další opravné – max. 4 body
2 programyvčas a správně 7 bodů, včas a chybně po první správné opravě 5 bodů, po druhé správné opravě 4 body, po další správné opravě 3 bodypozdě a správně 5 bodů, po první správní opravě 4 body, po další správné opravě 3 body
7
Hodnocení zkouškyPředpoklad zápisu ke zkoušce
- úspěšné absolvování zkoušky z SSK I- získání zápočtu z PP II
Podmínka úspěšného absolvování zkoušky- Úspěšné vykonání ústní i písemné části zkouškyPísemná část 0 až 35 bodůPodmínkou pro postup k ústní zkoušce je min. 18 bodů z písemné části zkouškyÚstní část 0 – 30 bodů, pro vykonání min. 15Známky: 86 – 100 bodů 1
66 – 85 bodů 251 – 65 bodů 3
8
Základní předpoklady teorie pružnostiLátka tělesa je homogenní, může být přitom
a) izotropní b) anizotropní dokonale pružná a to a) lineárně b) nelineárně (nebudeme se zatím zabývat) deformace tělesa působením vnějších vlivů jsou
malé – geometricky lineární teorie pružnosti počáteční napjatost je nulová, nepůsobí-li na
těleso vnější síly.
9
Lineární pružnostPokud formuluje podmínky rovnováhy na:nedeformovaném tělese (důsledek předpokladu malých deformací a jejich zanedbatelný vliv na tyto podmínky) hovoříme o teorii prvního řádu,deformovaném tělese (důsledek nezanedbatelného vlivu předpokladu i malých deformací) hovoříme o teorii druhého řádu. (nejedná se již o lineární pružnost)Předpoklad malých deformací a lineární závislosti mezi napětím a přetvořením (geometrická a fyzikální linearita) umožňuje využít princip superpozice
10
Princip superpoziceVýsledný stav, tj. výsledné zatížení a reakce, vnitřní síly, napětí, přemístění (deformace) je součtem jednotlivých zatěžovacích stavů.Nezáleží na pořadí v jakém jednotlivé zatěžovací stavy na těleso či konstrukci působí.
11
Klasifikace nosných konstrukcíPrut je trojrozměrné těleso, jehož jeden rozměr (délka) je podstatně větší než zbývající dva rozměry.Mohou mít proměnlivou délku, průřez, přímé i zakřivené. Plošný konstrukční prvek je trojrozměrné těleso, jehož dva rozměry jsou podstatně větší než zbývající jeden rozměr (tloušťka). Patří mezi ně desky, stěny s rovinnou střednicovou plochou a skořepiny se zakřivenou střednicovou plochou.Těleso je konstrukční prvek, jehož rozměry jsou srovnatelné.
12
Vnější síly a vnitřní síly Vnější síly:objemové (působí v elementech objemu), patří k nim: vlastní tíha, odstředivé síly atd.povrchové síly působí jako zatížení na ploše a to jako: spojité zatížení na ploše a na čáře (přímce) a bodové síly (singulární síly).
Objemové a plošné zatížení je reálné, bodové zatížení a zatížení na čáře je abstraktní, idealizuje zatížení plošné.
Vnitřní síly vznikají vlivem vnějšího zatížení, jsou jím indukovány.
13
Vnitřní síly Prutové prvky: o složkách vnitřních sil předpokládáme, že působí v těžišti. Jsou výslednicí elementárních sil (napětí) působících v určitém řezu a směru. Touto problematikou jste se zabývali v předmětu PP. Při jejich určení se vycházelo ze znalostí složek vnitřních sil
Plošné prvky a tělesa:je nutno se zabývat rozložením elementárních sil
14
Napětí
AFp n
n
Poměr elementární síly a velikosti plošky je poměrné napětí na této plošce:Směr napětí je shodný se směrem síly působící na danou plošku
n
n
n
n
An A
FAFp
ddlim
0
Zmenšujeme-li velikost plošky A k nule,dostaneme napětí pn v bodě:Základní jednotkou napětí je Pa [N/m2]
15
Napětí, pokračování
AV
AN
n dd
dd
nv
Při rozložení síly dFn do směru normály n a stopy v plošky dA je:
22nvnnp Platí přitom:
n je normálové napětí, působí ve směru normály n nv je smykové napětí, působí v rovině plošky dA ve směru stopy v síly dFn
16
Napětí, pokračování Smykové napětí nv lze na plošce dA
rozložit do směrů os t a s:
22ntnsnv Opět platí:
Bodem tělesa můžeme proložit libovolný počet řezů. Každé plošce odpovídá jiný vektor napětí pn.Množina vektorů napětí pn, odpovídající všem orientovaným ploškám v daném bodě, charakterizuje napěťový stav v tomto bodě.
17
Deformace
lll d´dd Změna délky:Poměrná délková změna:Změna úhlů, pootočení:
Pojem deformaceHledisko fyzikální: deformace pružné a nepružnéHledisko geometrické: posunutí a pootočení
tglll
ll
ddd
dd
18
Deformace, pokračování
zyxV
zzyyxxV
zyx ddd111´ddddddd´d
zyxVVV
VVV
dddddd
d´dd
Změněný objem:
Změna objemu:Poměrná objemová změna:Původní objem:
zyxxzzyyxzyx
zyx
zyxzyx
VVV
dddddd111
dd´d
Poměrná objemová změna:
Pro malé deformace jsou poměrné deformace řádově menší k jedničce a lze psát:
zyx
19
Analýza napjatosti v okolí bodu tělesa
Vektorový zápis pn:
Vektor pn je vždy vázán na orientovanou plošku určenou normálou n. Má tři složky:n ns nt
321 eeep ntnsnn
e1, e2, e3 jsou jednotkové vektory ve směrech n, s, tPro určení napětí v daném bodě M v libovolné plošce musíme znát tři složky napětí ve třech vzájemně kolmých ploškách např. s normálami n, s, t. Složek napětí v bodě je tedy 9.
20
Analýza napjatosti v okolí bodu tělesa, pokračování Zápis 9 složek napětí v maticovém tvaru
se nazývá tenzor napětí:
zzyzx
yzyyx
xzxyx
Označování indexů:U normálových napětí se zpravidla užívá jeden index, má směr normály k příslušné plošce a současně směr napětí. U smykových napětí má první index směr normály k příslušné plošce, druhý index směr smykového napětí.
21
Analýza napjatosti v okolí bodu tělesa, vzájemnost smykových napětí
xzzxyxxy
zyyz
zyyz
xt
zyxyzx
M
,
obdobně a úpravě po
02ddd2
2ddd2
0
Z momentové podmínky k ose x procházející těžištěm elementu vyplývá:
Vzájemnost smykových napětí protínajících se v jednom bodě na ortogonálních ploškáchVzhledem k těmto rovnostem lze napětí v bodě charakterizovat také vektorem napětí: Tzxyzxyzyx ,,,,,,
22
Transformace složek tenzoru napětíZnáme-li napětí v bodě, tj. ve třech vzájemně ortogonálních ploškách dAx,dAy, dAz můžeme určit napětí na libovolně orientované plošce dA. Orientace této plošky je dána normálou n. Transformační vztahy vyplývají z rovnováhy sil působících na čtyřstěnu ON1N2N3.
1
dd ,cos
dd ,cosdd ,cos
222
zyx
zzz
yyy
xxx
nnn
nAAznn
nAAynnnAAxnn
nx, ny,nz jsou směrové kosiny úhlů, které svíránormála n s osami x, y, z.
23
Transformace složek tenzoru napětí
222
:úpravě po
0dddd0
0dddd0
0dddd0
nznynxn
zzyyzxxznz
zzyyyxxyny
zzxyyxxxnx
zzyyzxxznzz
zzyyyxxynyy
zzxyyxxxnxx
pppp
nnnp
nnnp
nnnp
nAnAnAApF
nAnAnAApF
nAnAnAApF
np Tn
T
Podmínka rovnováhy sil na čtyřstěnu:
Platí:V maticovém tvaru lze zapsat: je transponovaná matice tenzoru napětí,
Tzyx nnnn ,,
24
Transformace složek tenzoru napětí, rozpis maticového zápisu
npnnn
ppp
Tn
z
y
x
zyzxz
zyyxy
zxyxx
nz
ny
nx
T
Tzyx nnnn ,,
zzyyzxxznz
zzyyyxxyny
zzxyyxxxnx
nnnp
nnnp
nnnp
Platí-li:
lze také zapsat:
je transponovaná matice
zzyzx
yzyyx
xzxyx
25
Transformace složek tenzoru napětí,pokračování
22
222
2
:úpravě a , , za dosazení po
nnnt
xzxzzyyzyxxy
zzyyxxn
nznynx
znzynyxnxn
p
nnnnnn
nnn
ppp
npnpnp
Normálová složka n vektoru pn je dána součtem průmětů složek pnx , pny a pnz do směru normály n
Směr výsledného smykového napětí nt je dán přímkou t, která je průsečnicí roviny plošky dA s rovinou danou normálou n a vektorem pn.
26
Transformace složek tenzoru napětí,pokračování
zsysxs
sss
szmymxm
mmm
m
spspsp
mpmpmp
z
y
x
z
y
x
znzynyxnxzxns
znzynyxnxyxnm
,cos,cos,cos
a ,cos,cos,cos
kde11
11
Na obr. je osa x1 pootočeného souřadného systému x1, y1, z1 totožná s normálou n. Složky smykového napětí nt=x1t , do směru m=y1 a do směru s=z1 jsou:
Po dosazení za pnx, pny, pnz je:
xzxzzyzyzyyz
yxyxxyzzzyyyxxxns
xzxzzyzyzyyz
yxyxxyzzzyyyxxxnm
nssnnssn
nssnsnsnsn
nmmnnmmn
nmmnmnmnmn
27
Transformace složek tenzoru napětíNíže uvedené rovnice umožňují získat tři složky tenzoru napětí na plošce s normálou n=x1 v souřadnicovém systému x1, y1, z1.
xzxzzy
zyzyyzyxyxxy
zzzyyyxxxnszx
xzxzzy
zyzyyzyxyxxy
zzzyyyxxxnmyx
xzzxzyyzyxxy
zzyyxxnx
nssn
nssnnssn
snsnsn
nmmn
nmmnnmmn
mnmnmn
nnnnnn
nnn
2
11
11
1
222
Obdobně lze získat složky tenzoru napětí na ploškách s normálami y1=m, z1=s.
28
Transformace složek tenzoru napětí,maticový zápis
,1
zzz
yyy
xxx
zzyzx
yzyyx
xzxyx
zyx
zyx
zyx
zyzxz
zyyxy
zxyxx
smnsmnsmn
sssmmmnnn
11111
11111
11111
Transformaci devíti složek napětí ze souřadnicového systému x, y, z do souřadnicového systému x1, y1, z1, lze maticově zapsat:
Maticový zápis lze zkráceně symbolicky zapsat:
TLL 1
jsou matice tenzoru napětí v souřadném systému x1, y1, z1 a x, y, z .
[L], [L]T jsou matice pootočení a transponovaná matice pootočení
29
Rovinný stav napjatosti tělesa
zzx
xzx
0000
0
Je-li v libovolném bodě tělesa ploška, ve které jsou složky napětí nulové, pak hovoříme o rovinné napjatosti.Nenulové složky napětí jsou pak s touto ploškou rovnoběžné. Na obr. jsou nulová napětí v rovině s normálou y, tj. v rovině xz. Složky napětí x,z,xz,zxjsou s touto rovinou rovnoběžné.Maticově lze tenzor napjatosti vyjádřit:
S rovinnou napjatosti se setkáváme např. u stěn nebo u nosníků.
Napětí při rovinné napjatosti lze vyjádřit také vektorově:
Txzzx ,,
30
Přímkový stav napjatosti tělesa
000
000
00x
Můžeme-li libovolným bodem tělesa proložit svazek rovin, ve kterých jsou složky napětí nulové, pak hovoříme o přímkové napjatosti.Jediná nenulové složka napětí je v přímce, ve které se svazek rovin protíná. Je-li touto přímkou osa x, lze maticově tenzor napjatosti vyjádřit:
Vektorově lze napsat:S přímkovou napjatostí se setkáváme např. u lan nebo u táhel.
Svazek rovin, ve kterých nepůsobí napětí
Společná přímka svazku rovin
x
31
Transformační vztahy pro rovinný stav napjatosti
TLL 1
10coscosm 090coscoscos
coscoscos sin90coscos
090coscos 090coscos -sin270coscos coscos
y
11
11
11
yyyzmyxmzzszxn
yzsyxnxzsxxn
zx
zz
yy
xx
Při transformaci je důležité si uvědomit orientaci úhlu (od osy x k ose x1 pravotočivě).Vyjdeme-li z rovnice: , pak je nutno vyjádřit matici [L]. Platí:
zxz
zxx
zzx
xzxT
zzz
yyy
xxxT
zyx
zyx
zyx
LL
smnsmnsmn
Lsssmmmnnn
L
cossinsincos
cossinsincos
:tzjednoduši lzenapjatost rovinnou Pro
cos0sin010
sin0cos
cos0sin010
sin0cos
111
1111
32
Transformační vztahy pro rovinný stav napjatosti
TLL 1Vyjdeme-li z rovnice:
cosc sin zde je
cossin
sincos
cossin
sincos
22222
2222
1
111
111
111
111
111
111
s
cscscsscssc
scscscsscscc
cssc
cssc
cs
sc
zxzzxxzxzzxx
zxzzxxzxzzxx
zzx
xzx
zxzzxz
zxxzxx
zzx
xzx
zxz
zxx
zzx
xzx
33
Transformační vztahy pro rovinný stav napjatosti
Po úpravě:
2sincossin
2sin2
2cos
2sinsincosje
cosc sin kde
22
22
2222
2222
1
1111
1
111
111
xzzxz
zxxzxzzx
zxzxx
zxzzxxzxzzxx
zxzzxxzxzzxx
zzx
xzx
s
cscscssccssc
scscscsscscc
z1 lze odvodit ze vzorce pro x1
je-li pootočení =+/2
34
Věta o 1. invariantu tenzoru napětí
zxzx
xzzxz
zxzxx
11
1
1
2sincossin
2sinsincos22
22
Sečteme-li normálová napětí,
platí
Součet normálových napětí v okolí bodu na libovolných dvou ortogonálních ploškách je konstantní
35
Hlavní normálová napětí
0 je 02sin212cos
protože ,02sin212cos
02cos2cossin2sincos2 Platí
2sinsincos
1111
1
1
22
zxzxxzzx
zxxz
xzzxx
xzzxx
dαdσ
Je-li znám tenzor nebo vektor napětí v souřadném systému x, y, pak je často nutné určit směry a hodnoty extrémních normálových napětí. Lze vyjít ze vzorce:
Největší normálové napětí je v rovině, v níž je smykové napětí nulové. Této rovině říkáme hlavní rovina a příslušnému normálovému napětí hlavní napětí. Úhel potočení e roviny xz do hlavní roviny neurčuje jednoznačně směr maximálního a minimálního napětí:
zx
xzetg
22
36
Hlavní normálová napětí
exzezeez
ezxexeex
ατασασpατασασp
cossinsinsincoscos
222,1 4
21
2 xzzxzx
e
Řešení těchto dvou rovnic vede ke kvadratické rovnici s řešením:
e hlavní normálové napětíZ rovnic rovnováhy ve směru x a z vyplývá:
Hlavním napětím přiřazujeme zpravidla indexy > 2
Směry 1, 2 hlavních napětí 1 a 2 lze jednoznačně určit ze vztahů:
z2
xz2
z1
xz1
tgtg
37
Maximální smyková napětíZnáme-li maximální normálová napětí,
lze normálové napětí x´ a smykové napětí xź´vyjádřit:
21s21extr
21´´
21´´2
22
1´
21
21
4
4
02cos 02cos221 0
2sin21 sincos
dd zx
zxx
Maximální (extrémní)smyková napětí budou na plochách hlavních smyků při hodnotách vyplývajících z rovnice:
Na těchto plochách budou působit maximální smyková napětí extr a normálové napětí s:
Hlavní roviny
38
Mohrova kružnice
z2
xz2
z1
xz1
tgtg
39
Mohrova kružnice
1. Souřadný systém volíme tak, že osa odpovídá x, osa pak ose z2. Vyneseme bod A (x, xz) - xz má stejnou orientaci jako t1, je proto kladné
(nahoru).3. Vyneseme bod B (z, zx) - zx má opačnou orientaci jako t1, je proto záporné
(dolů). Poznámka: pro orientaci je rozhodující směr otáčení ! Pozor na volbu os xz
případně xy.4. Střed kružnice S je průsečík spojnice AB s osou , poloměr odpovídá úsečce AS
a BS, maximální napětí je v bodě X(1, 0) kružnice, minimální bodě Y(2, 0) kružnice.
Extrémní hodnoty smykových napětí určují body C a D. 5. Pól Mohrovy kružnice P je průsečík kružnice a rovnoběžky s osou x (s) vedenou
bodem A, respektive průsečík kružnice s přímkou rovnoběžnou s osou z () vedenou bodem B.
6. Spojnice PX určuje směr hlavního napětí 1, spojnice PY směr hlavního napětí 2.
7. Chceme-li určit napětí na plošce s normálou x1 pootočenou od x o , vedeme rovnoběžky s osami x1 a z1 z pólu P – body M a N.
Orientace dle směru otáčení
40
Mohrová kružnice pro jinou orientaci osviz skripta Šmiřák, S., Pružnost a plasticita I. Nakladatelství VUT Brno, 1999.
Směr osy x odpovídá ,směr osy y odpovídá
41
Speciální případy napjatostiČistý smyk
Příklady rovinné napjatosti 3=0 s maximálními smykovými napětími
Přímková napjatost
42
Trajektorie hlavních napětíTažený prut
Ohýbaný nosník
43
Trajektorie hlavních napětí
Kroucený prutoba směry Mx
44
Diferenciální rovnice rovnováhy
dále a zkráceně nebo
),,(),,(),,(´
´´
´
dxx
dxx
dxx
dxx
zyxzyxzydxx
xzxzxz
xyxyxy
xxx
xxx
Složky napětí na posunutých ploškách lze zapsat:
45
Diferenciální rovnice rovnováhy, pokračování
0
dzdydxXdydxdydxdzx
dzdx
dzdxdyx
dzdydzdydxx
zxzx
zxyx
yxyxx
xx
Ve směru osy x platí podmínka
rovnováhy: Fx= 0
Po úpravě: 0
X
zyxzxyxx
46
Diferenciální rovnice rovnováhy, pokračování
Po rozepsání rovnic rovnováhy ve směru os x, y a z lze odvoditCauchyho rovnice rovnováhy:
0
0
0
Zzyx
Yzyx
Xzyx
zyzxz
zyyxy
zxyxx
47
Geometrické rovnice
yu
xv
yv
xu
yu
xv
dxyvdy
udyyuu
dxxudx
vdxxvv
yv
dy
vdyyvv
xu
dx
udxxuu
yx
yx
xy
xy
xw
zu
zw
zv
yw
yv
yu
xv
xu
zxz
yzy
xyx
V rovině:
V prostoru:
48
Geometrické rovnice, rovnice kompatibility (spojitosti)
:úpravě po
, ,
xy2
2
y2
2x
2
2
3
2
32
2
3
2
y2
2
3
2x
2
xyyx
yxxy
xyv
yxu
yxxyv
xyxu
y
xv
yu
yv
xu
xy
Obdobně lze odvodit:
yxzyxz
xzyxzy
zyxzyx
xzzxyzyz
zxyzxyz
yzxyzxy
xyzxyzx
zxxzyzzy
2
2
2
2
2
2
2
22
2
2
2
2
2
2
2
dále aRovnice kompatibility popisují vzájemnou závislost složek deformací, zachování spojitosti tělesa i po vzniku deformací
49
Fyzikální rovnice (konstituční vztahy), vztahy mezi napětími a deformacemi
zx
yz
xy
z
y
x
zx
yz
xy
z
y
x
dddddd
dddddd
dddddd
dddddd
dddddd
dddddd
666564636261
565554535251
464544434241
363534333231
262524232221
161514131211
Vztahy mezi napětím a poměrnými deformacemi závisí na fyzikálních vlastnostech látek. Pro lineárně pružný materiál je lze vyjádřit v maticové formě:
Zkráceně lze zapsat: D
D je matice tuhosti je vektor deformace je vektor napětídij jsou konstanty
vyjadřující velikost napětí při jednotkové poměrné deformaciMatice D je symetrická, dij=dji.
50
Fyzikální rovnice, vztahy mezi deformacemi a napětím
D
zx
yz
xy
z
y
x
zx
yz
xy
z
y
x
cccccc
cccccc
cccccc
cccccc
cccccc
cccccc
666564636261
565554535251
464544434241
363534333231
262524232221
161514131211
Inverzním vztahem k rovnici je
C je matice poddajnosti
je vektor deformace je vektor napětícij jsou koeficienty
deformace, vyjadřují poměrnou deformaci při jednotkovém napětí
Matice C je symetrická, platí cij=cji.
CD 1
51
Fyzikální rovnice, maticový a tenzorový zápis,anizotropní látka
CDD 1
Maticový zápis fyzikálních rovnic:
Tenzorový zápis fyzikálních rovnic:
klijklijklijklij cd
V anizotropní látce jsou fyzikální vlastnosti v každém směru různé.Počet nezávislých konstant nebo koeficientů je maximálně 21.
52
Fyzikální rovnice, izotropní látka vztahy mezi deformacemi a napětími, rozšířený Hookův zákon
zx
yz
xy
z
y
x
zx
yz
xy
z
y
x
E
1200000
0120000
0012000
0001
0001
0001
1
Počet nezávislých konstant je 2.E je modul pružnosti [Pa] resp. [MPa], [GPa] je Poissonovo číslo <0, 0,5>
V izotropní látce jsou fyzikální vlastnosti ve všech směrech stejné
53
Fyzikální rovnice, izotropní látka vztahy mezi deformacemi a napětími, rozšířený Hookův zákon, pokračování
GEE
GEE
GEE
E
zxzxzxyxzz
yzyzyzxzyy
xyxyxyzyxx
zx
yz
xy
z
y
x
zx
yz
xy
z
y
x
12 1
12 1
12 1
120000001200000012000000100010001
1
Po rozepsání
je
54
Fyzikální rovnice, izotropní látka vztahy mezi napětími a deformacemi, Hookův zákon
zx
yz
xy
z
y
x
zx
yz
xy
z
y
x
E
22100000
02210000
00221000
0001
0001
0001
211
Počet nezávislých konstant je 2.
V izotropní látce jsou fyzikální vlastnosti ve všech směrech stejné
55
Fyzikální rovnice, izotropní látka vztahy mezi napětími a deformacemi, Hookův zákon
zxxyzxyxzz
yzxyyzxzyy
xyxyxyzyxx
zx
yz
xy
z
y
x
zx
yz
xy
z
y
x
GEE
GEE
GEE
E
12 1
211
12 1
211
12 1
211
22100000
02210000
00221000
000100010001
211
je:
Po rozepsání:
56
Fyzikální rovnice, ortotropní látka vztahy mezi deformacemi a napětími, rozšířený Hookův zákon
zx
yz
xy
z
y
x
zx
yz
xy
zy
zy
x
zx
z
yz
yx
yx
z
xz
y
xy
x
zx
yz
xy
z
y
x
G
G
G
EEE
EEE
EEE
100000
010000
001000
0001
0001
0001
V ortotropní látce jsou fyzikální vlastnosti ve třech vzájemně kolmých směrech odlišné. Hovoří se o ortotropní anizotropii. Jestliže se směry os x, y, a z ztotožní se směry roviny pružné symetrie jepočet nezávislých konstant nebo koeficientů 9.Musí platit:
z
xz
x
zx
y
zy
z
yz
y
xy
x
yx
EEEEEE
Ex, Ey, Ez jsou moduly pružnosti ve směru os x, y, z
xy je Poissonovo číslo dané poměrem příčné deformace ve směru osy x k podélné deformaci ve směru osy y
Gxy, Gyz, Gzx jsou moduly pružnosti ve smyku s indexy označujícími rovinu smyku
57
Základní systém rovnice teorie pružnostiObsahuje 15 neznámých funkcí:6 složek napětí (x, y, z, xy, yz, zx)6 složek deformace (x, y, z, xy, yz, zx)3 složky posunutí (u, v, w)Těchto 15 neznámých lze určit ze:3 parciálních diferenciálních rovnic rovnováhy6 geometrických rovnic6 fyzikálních rovnicNa povrchu tělesa musí být splněny podmínky odpovídající zatížení a vazbám – okrajové podmínky
58
Druhy okrajových podmínek1. Statické okrajové podmínky, na povrchu tělesa
jsou zadána povrchová zatížení svými složkami Složky napětí na povrchu tělesa px, py, pz musí být
s nimi v rovnováze. Musí tedy platit:
zyx ppp ,,
zzyyxx pppppp
2. Deformační okrajové podmínky, na povrchu tělesa jsou zadány složky posunutínebo jejich derivace. Složky deformace povrchu u, v, w tělesa musí vyhovovat těmto podmínkám:
,, wvu
wwvvuu 3. Smíšené okrajové podmínky, na povrchu tělesa jsou zadána současně zatížení a deformace
59
Příklad, zadání, okrajové podmínky, zatížení
60
Příklad
Napětí x izolinie [MPa] barvy
61
Příklad
Napětí y izolinie [MPa] Napětí xy izolinie [MPa]
62
Příklad
Napětí 1 izolinie [MPa] Napětí 2 izolinie [MPa]
63
Použitá literatura
[1] Dický, J., Mistríková, Z., Sumec, J., Pružnosť a plasticita v stavebníctve 1, Slovenská technická univerzita v Bratislavě, 2004.
[2] Dický, J., Mistríková, Z., Sumec, J., Pružnosť a plasticita v stavebníctve 2, Slovenská technická univerzita v Bratislavě, 2006.