TEMA 1: ÁLGEBRA MATRICIAL
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Profesora: Almudena Casares Fernández
TEMA 1: ÁLGEBRA MATRICIAL
Una matriz es una ordenación numérica en filas y columnas, donde cada
elemento queda perfectamente determinado nombrando su fila y su columna.
11 12 1
21 22 2
1 2
m
m
n n nm n m
a a a
a a a
a a a
Los números ija se llaman elementos o términos de la matriz. Los números
naturales i y j representan respectivamente la fila y la columna a las que
pertenece el elemento ija .
Todos los elementos de la misma fila tienen en común el primer subíndice y
todos los elementos de la misma columna tienen en común el segundo
subíndice.
Para expresar una matriz se hará con A, (A), ó (ija ).
Se llama orden o dimensión de una matriz al número de filas y de columnas
que tiene dicha matriz, y se escribe n m (n filas y m columnas)
En una matriz n×n (con mismo número de filas que columnas):
Se llama diagonal principal la que va del extremo superior izquierdo al
extremo inferior derecho. Sus elementos son iia .
Se llamará diagonal secundaria a la que va del extremo superior derecho al
extremo inferior izquierdo. Sus elementos cumplen que 1i j n .
1. TIPOS DE MATRICES
a) Matriz cuadrada: n m
b) Matriz rectangular: n m
c) Matriz fila o vector fila: 1 m
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11 12 1ma a a
d) Matriz columna o vector columna: 1n
11
21
1n
a
a
a
e) Matriz nula: 0 i,jija .
f) Matriz opuesta: Es la que se obtiene cambiando el signo de todos los
elementos de A. Se representa por -A. Si A ij ija A a .
Para matrices cuadradas tenemos:
g) Matriz diagonal: Matriz cuadrada que tiene todos los elementos 0, menos
los de la diagonal principal que pueden o no serlo.
0 i jija
11
22
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0 nn
a
a
a
h) Matriz escalar: Cuando siendo diagonal, los elementos de la diagonal son
siempre iguales.
i) Matriz unidad: Matriz escalar siendo los elementos de la diagonal la
unidad.
nI = Identidad o unitaria
En general:
i j
i j
i j
j) Matriz triangular inferior: Matriz cuadrada donde los elementos situados
por encima de la diagonal principal son nulos.
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0;ija i j
11
21 22
31 32 33
1 2 3
0 0 0
0 0
0
0
n n n nn
a
a a
a a a
a a a a
k) Matriz triangular superior: Matriz cuadrada donde los elementos situados
por debajo de la diagonal principal son nulos.
0;ija i j
11 12 13 1
22 23 2
33 3
0
0 0
0 0 0
m
m
m
nn
a a a a
a a a
a a
a
Al conjunto de las matrices de orden n×m se nota n m . Cuando las matrices
son cuadradas n .
2. MATRICES IGUALES
Dos matrices son iguales si tienen el mismo orden y los términos que ocupan el
mismo lugar (homólogos) son iguales.
,ij ijA B a b i j
3. OPERACIONES CON MATRICES 3.1 SUMA DE MATRICES
Para que dos matrices puedan sumarse es necesario que tengan el mismo orden.
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:
( , )
n m n m n m
A B A B C
(Ley de composición interna1)
Dadas , n mA B M la matriz suma es otra matriz n mC M tal que i,jij ij ijc a b .
Es decir, para sumar dos matrices, sólo tenemos que sumar los elementos
homólogos.
Ejemplo:
2 1 0 6 5 4 8 6 4
7 3 1 1 2 2 6 5 3
La diferencia de dos matrices se define como: A B A B .
Ejemplo:
2 1 0 6 5 4 4 4 4
7 3 1 1 2 2 8 1 1
P R O P I E D A D E S D E L A S U M A
Sumar matrices es sumar números reales, por lo tanto tiene todas las
propiedades de los números reales.
a) Asociativa: A B C A B C
b) Conmutativa: A B B A
c) Elemento neutro: 0A A , la matriz nula.
d) Elemento simétrico: -A; la matriz opuesta. 0A A
3.2 PRODUCTO DE ESCALAR POR MATRIZ
Para multiplicar un número por una matriz, se multiplica cada término de la
matriz por ese número.
:
( , ) ·
n m n m
A A
(Ley de composición externa2)
1 Una ley de composición interna sobre un conjunto no vacío A, es cualquier aplicación de AxA
en A, que a cualquier par de elementos de A le hace corresponder un único elemento de A.
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entonces ·ij n m ijA a M A a
Se puede hacer el proceso contrario. Si observamos que una matriz está
multiplicada por un número, puedo sacar ese número de la matriz.
Ejemplo:
2 1 0 4 2 02·
7 3 1 14 6 2
P R O P I E D A D E S D E L P R O D U C T O P O R E S C A L A R
a) Distributiva respecto de la suma de matrices: · · ·A B A B
b) Distributiva respecto a la suma de escalares: · · ·A A A
c) Asociativa mixta: · · ·A A
d) Elemento neutro, unitario o unidad:1 A A
, ,·n m donde hemos definido una ley de composición interna llamada suma,
y una ley de composición externa llamada producto por escalar, se dice que
tiene estructura de espacio vectorial por cumplir estas ocho propiedades.
3.3 PRODUCTO DE MATRICES
Para multiplicar dos matrices es necesario que el número de columnas de la
primera coincida con el número de filas de la segunda.
En tal caso, el producto es otra matriz cuyos elementos se obtienen
multiplicando cada vector fila de la primera por cada vector columna de la
segunda, del siguiente modo:
1
, ·
·
n p p m n m
p
ij ik kj
k
A B C A B
c a b
Ejemplo:
2 1 1 2 3 2 5 4·
0 3 4 1 2 12 3 6
2 Una ley de composición externa en A con dominio de operadores K es cualquier aplicación de
KxA en A que atribuye a todo par (k,a) un elemento de A.
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P R O P I E D A D E S D E L P R O D U C T O
a) Asociativa: ( ) ( )A B C A B C
b) ¡No es conmutativa! 2×3, 3×5 si se invierte el orden no se pueden
multiplicar. No es conmutativa aunque podamos encontrar alguna
matriz que lo cumpla.
c) Elemento neutro: A A I A y I A An m m n
d) Propiedad distributiva del producto respecto a la suma de matrices:
( ) y A B C A B A C B C A B A B C
3.4 TRASPOSICIÓN DE MATRICES
La matriz traspuesta se obtiene permutando entre sí filas por columnas.
t
m n n mA A
Ejemplo:
2 3
3 2
2 72 1 0
1 37 3 1
0 1
tA A
P R O P I E D A D E S D E L A T R A S P O S I C I Ó N
a) ( )t tA A
b) ( )t t tA B A B
c) ( )t tA aA
d) ¡La traspuesta del producto no es el producto de las traspuestas!
2×3 3×5
3×2 5×3 no se pueden multiplicar
e) ) ·( · t t tA B B A
Como consecuencia de la trasposición tenemos los siguientes tipos de matrices:
a) Matriz simétrica: ; t
nA M A A
Ejemplo: Primera fila igual a primera columna, segunda fila igual a segunda
columna,…
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1 2 3
2 4 8
3 8 2
b) Matriz antisimétrica: ; t
nA M A A o equivalentemente 0tA A .
Ejemplo:
0 2 4
2 0 3
4 3 0
4. UTILIZACIÓN DE LAS MATRICES EN
LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Problema 1: Para viajar de A a C, no hay vuelo directo. Necesariamente hay que
hacer escala a alguno de los aeropuertos intermedios.
a) ¿Cómo representar matricialmente esta situación?
b) ¿Cuántas combinaciones hay de A a C?
Solución:
a)
1
21 2 3 4
3
4
C
3
0;
(1 2 0 3) 2
2
B
BB B B B
BA
B
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b)
3
01 2 0 3 · 9
2
2
Problema 2: El número de estudiantes en cierta academia es: 100 en 1º, 90 en 2º
y 80 en 3º. Al finalizar el curso pasan a 3º: el 20% de los que había en 3º
(repiten), el 70% de los de 2º, y el 5% de los de 1º que han tenido un
aprovechamiento extraordinario. ¿Cuántos alumnos habrá en 3º?
Solución:
0,051º 2º 3º
; 0,70(100 90 80)
0,20
0,05
100 90 80 · 0,70 84
0,20
Problema 3: En una ciudad A hay tres aeropuertos internacionales, A₁, A₂, A₃;
en una ciudad B hay cuatro B₁, B₂, B₃, B₄, y en una ciudad C hay dos, C₁, C₂. Las
combinaciones para ir de A a C vienen dadas en el gráfico siguiente:
Aplicar el producto de matrices para obtener las combinaciones para ir de cada
aeropuerto de A a cada aeropuerto de C pasando por alguno de B.
Solución:
1 2 3 4
1
2
3
B B B B
1 0 2 0
0 1 1 1 ;
0 0 0 1
A
A
A
1 2
1
2
3
4
C C
3 2
1 0
1 0
0 2
B
B
B
B
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Al multiplicarlas nos da la matriz:
1 2
1
2
3
C C
5 2
2 2
0 2
A
A
A
.
Problema 4: En la academia del ejercicio 2 se han dado los resultados
siguientes:
Primer curso: 25% repiten, 60% pasan a 2º, 5% pasan a 3º (el resto
abandona)
Segundo curso: 30% repiten, 70% pasan a 3º.
Tercer curso: 20% repiten.
Utiliza el producto de matrices para obtener el número de alumnos que habrá el
próximo año en cada nivel (salvo los nuevos).
Solución:
Están en 1º 2º 3º
Pasan a 1º 0,25 0 0
2º 0,60 0,30 0
3º 0,05 0,70 0,20
;
1º 100
2º 90
3º 80
Al multiplicarlas nos da la matriz:
Pasan a 1º 25
2º 87
3º 84
5. N-UPLAS DE NÚMEROS REALES
A una colección de n números ordenados, se llama n-upla.
Una combinación lineal (C.L.) de varias n-uplas es el resultado de multiplicar
cada una de ellas por un número y sumarlas.
Varias n-uplas se dicen que son linealmente dependientes (L.D.) cuando
alguna de ellas se puede poner como combinación lineal de las demás; en caso
contrario se dicen linealmente independientes (L.I.).
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Ejemplos:
a) {(1,3), (2,0)} son L.I.
b) {(1,1), (2,2)} son L.D.
Un conjunto de n-uplas donde esté la n-upla cero 0,0,0, ,0 es siempre
linealmente dependiente.
6. RANGO DE UNA MATRIZ
Llamamos rango de una matriz al número de filas que son linealmente
independientes.
Teorema: El número de filas L.I. coincide con el número de columnas L.I. Según
esto, el rango de una matriz es el número de filas o de columnas L.I.
Las transformaciones a las que se somete una matriz cuando aplicamos el
método de Gauss no modifica el rango, es decir, se conservan las relaciones de
dependencia o independencia lineal de la fila transformada con las restantes.
Por tanto, para hallar el rango de una matriz, podemos proceder a "hacer ceros".
M É T O D O D E G A U S S
El objetivo del método de Gauss es pasar de una matriz, mediante
transformaciones elementales, a otra equivalente (con el mismo rango) pero
siendo esta escalonada.
El rango de una matriz escalonada final es, el número de filas distintas de
0,0,0, ,0 .
Transformaciones elementales:
1) Si se cambian el orden de las filas la matriz obtenida es equivalente.
2) Si multiplico una fila por un número distinto de cero, la matriz obtenida
es equivalente.
3) Si en la matriz quito una fila que sea C.L. de otras obtengo una matriz
equivalente.
4) Si en una matriz sustituyo una fila por una C.L. de otras donde ella esté,
obtengo una matriz equivalente.
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Ejemplo:
a)
2 1
3 1 3 2
25 4
1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1
2 3 4 4 0 1 8 6 0 1 8 6 3
5 1 3 16 0 4 13 21 0 0 45 45
F FF F F F
A Rg A
b)
2 1
3 1 3 21 2
23·
2 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 2
1 2 2 2 2 1 0 6 3 0 6 3 2
1 0 1 1 0 1 0 2 1 0 0 0
F FF F F FF F
B Rg B
7. MATRIZ INVERSA
Una matriz se dice inversible o que tiene inversa, si existe una matriz A⁻¹
llamada inversa de A tal que:
1 1A A A A I
Por lo tanto, es claro que A y A⁻¹ deben ser cuadradas y del mismo orden.
Si una matriz tiene inversa se llama regular. En caso contrario se llama
singular.
La condición necesaria y suficiente para que una matriz A tenga inversa es
que su rango coincida con su orden.
Para calcular la matriz inversa se puede utilizar el método de Gauss-Jordan por
filas.
1A I I A
Ejemplo:
1 1 0
1 0 0
0 1 1
A
;
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3 22 1
1 2 21·
1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0
1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0
0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1
1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0
0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0
0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1
F FF F
F F F
Por lo tanto, la inversa de A es: 1
0 1 0
1 1 0
1 1 1
A
.
P R O P I E D A D E S
a) La matriz inversa si existe es única.
b )
11A A
c )
1 1 1· ·A B B A
d )
11
ttA A
A P L I C A C I Ó N
El cálculo de la inversa sirve para resolver ecuaciones matriciales.
1 . AX B X A B
8. APLICACIÓN DEL ÁLGEBRA
MATRICIAL A LA TEORÍA DE GRAFOS
8.1 INTRODUCCIÓN: Algo de historia La teoría de grafos tiene un claro origen y comienzo en un trabajo publicado en
1736 por el matemático suizo Leonhard Euler relacionado con el popular
problema conocido como “los siete puentes de Königsberg”. La antigua ciudad
de Königsberg pertenecía a Prusia y hoy es denominada Kaliningrado. Ésta se
encuentra a orillas del Mar Báltico, en territorio ruso, a unos 50 kilómetros de la
frontera con Polonia. Uno de sus habitantes más ilustres fue el filósofo Kant.
“En la antigua ciudad de Königsberg, sobre el río Pregel, se construyeron siete
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puentes que unían las dos partes de la ciudad asentada sobre ambas orillas y en
dos islas situadas sobre el río (tal como se ve en el dibujo). En estas
circunstancias geográficas, el problema a resolver era: ¿Sería posible circular a
lo largo de la ciudad iniciando y finalizando en el mismo lugar del paseo de tal
forma que los puentes se crucen una sola vez?” (La respuesta fue “No”).
Ciudad; Puente
Hoy en día, los grafos se están convirtiendo en una herramienta muy poderosa
de múltiples disciplinas. Ingeniería eléctrica, redes de comunicación,
computación, economía, sociología, etc. Tanto por su simplicidad como modelo
de muy variadas situaciones, como por su sencillez en dar solución a los
problemas, en muchos casos, en forma de algoritmos computables en
ordenador. Aparecen en diferentes campos bajo denominaciones distintas:
“redes” en ingeniería eléctrica, “estructuras moleculares” en química, “mapas
de carreteras”, “sociogramas”, “redes de telecomunicaciones” etc. El modelado
es simple pues se tomarán los objetos (lugares, aparatos, personas, …) como
vértices y las conexiones (cables, relaciones, tratos, …) como aristas.
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8.2 Tipos de grafos. Elementos de un grafo 3.
Definición: Un grafo es un par de conjuntos finitos, G=(V, A), donde V es el
conjunto de vértices y A es el conjunto de aristas. Una arista es un par no
ordenados de vértices, esto es, cada arista conecta dos vértices que llamaremos
extremos de la arista {vi,vj}.
En un grafo nos podemos encontrar:
Lazos o bucles: aristas cuyos extremos coinciden.
Aristas múltiples o paralelas: cuando dos vértices están conectados por
más de una arista. En este caso se habla de multígrafo.
Vértices aislados: vértices que no están conectados a ningún otro vértice.
Ejemplo:
En este grafo tenemos 7 vértices (representados con puntos) y 9 aristas
(representadas con líneas)
3 3,v v es un lazo o bucle.
1 6,v ves una arista múltiple.
7v es un vértice aislado.
Cuando un grafo no posee ni aristas múltiples ni bucles, se dice que se trata de
un grafo simple.
3 Hay que advertir que la terminología utilizada en la teoría de grafos no está estandarizada,
pudiendo variar de unos textos a otros.
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La figura 1 es un grafo que no es simple ya que tiene un bucle, la figura 2 es un
multigrafo y la figura 3 es un grafo simple.
También podemos hablar de grafos dirigidos donde cada arista tiene una
dirección de recorrido. Estos grafos se utilizan, por ejemplo, como modelo para
una distribución de agua por la red de tuberías de una ciudad, la red viaria con
calles de sentido único, etc.
Definición: Un grafo dirigido o dígrafo está formado por un par de conjuntos
finitos, D=(V,A), donde V es el conjunto de vértices, y A es el conjunto de
aristas dirigidas o arcos; En este caso los arcos son pares ordenados de
elementos de V. Cada arco conecta dos vértices que llamaremos
respectivamente extremo inicial y extremo final del arco, ,i jv v
. (Nótese que
ahora utilizamos los paréntesis en vez de llaves {}).
Si los grafos se representan con puntos y líneas que los unen, los dígrafos se
representan con puntos y flechas entre ellos.
Definición: Un grafo o un digrafo es conexo es conexo si cada par de vértices
está conectado por un camino; es decir, si para cualquier par de vértices (a, b),
existe al menos un camino posible desde a hacia b. En caso contrario se dice no
conexo o disjunto.
Ejemplo:
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Los grafos (a) y (b) son conexos. El (c) no es conexo.
Definición: Un grafo (no dígrafo) o multigrafo, es un árbol si es conexo y no
contiene ciclos (es decir, un camino que no posee aristas ni vértices repetidos y
en el que coinciden los vértices inicial y final).
Ejemplo:
G1, es un grafo conexo que no posee ciclos, por lo tanto, es un árbol.
G2, es un grafo conexo que posee el ciclo abc, por lo tanto, no es un árbol.
G3, no es conexo, por lo tanto, no es un árbol.
8.3 Representación de grafos. Matriz de adyacencia. Matriz de incidencia.
Definición:
a) En un grafo no dirigido, el número de aristas incidentes en un vértice se
denomina grado del vértice, gr(v).
b) En un digrafo, se denomina ingrado de un vértice al número de arcos
incidentes en un vértice, ing(v), y exgrado al número de arcos salientes
del vértice, exg(v).
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Definición: Dado un grafo G = (V, E) con n vértices 1{ , , }nv v su matriz de
adyacencia es la matriz de orden n×n, ( )ijA G a donde ija es el número de
aristas que unen los vértices iv y
jv .
Ejemplo:
Nota: La matriz de adyacencia de un grafo (no dirigido) es simétrica. Si un
vértice es aislado entonces la correspondiente fila (columna) está compuesta
sólo por ceros. Si el grafo es simple entonces la matriz de adyacencia contiene
sólo ceros y unos (matriz binaria) y la diagonal está compuesta sólo por ceros.
Definición: Dado un grafo dirigido o dígrafo D = (V, E) con n vértices 1{ , , }nv v
su matriz de adyacencia es la matriz de orden n×n, ( )ijA D a donde ija es el
número de arcos que tienen a iv como extremo inicial y a jv como extremo
final.
Ejemplo:
Nota: La matriz de adyacencia de un dígrafo no es simétrica. Suponiendo el
grafo simple entonces es una matriz binaria. El número de unos que aparecen
en una fila es igual al grado de salida del correspondiente vértice (exgrado) y el
número de unos que aparecen en una determinada columna es igual al grado
de entrada del correspondiente vértice (ingrado).
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Definición: Dado un grafo simple G = (V, E) con n vértices 1{ , , }nv v y m aristas
1,..., ,me e su matriz de incidencia es la matriz de orden nxm, ijB G b ,
donde 1ijb si iv es incidente con
je y 0ijb en caso contrario.
Ejemplo:
La matriz de incidencia será:
1 2 3 4
1
2
3
4
1 1 1 0
0 1 0 1
1 0 0 1
0 0 0 1
e e e e
v
B G v
v
v
8.4 Para saber +
A la hora de dibujar un mapa de cartografía, se representan los respectivos
países con colores distintos con el fin de distinguir aquellos fácilmente. Esto no
supone problema alguno si se dispone de un gran número de colores. Pero la
cuestión es encontrar el número mínimo de estos con los que completar un
determinado mapa y tratando que dos zonas adyacentes no sean del mismo
color.
Por ejemplo, para colorear el mapa M1, que posee cinco zonas, en las
condiciones que acaban de enunciarse, serían necesarios, como mínimo tres
colores.
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Este problema se puede representar mediante un grafo si cada país se le hace
corresponder con un vértice del grafo y de forma que los lados conecten dos
vértices siempre y cuando los países tengan frontera común. El problema es
asignar colores a vértices de manera que no existan vértices adyacentes con el
mismo color.
Este problema descrito sería análogo a este otro:
En un laboratorio farmacéutico es conveniente por seguridad, que
determinados compuestos químicos para la fabricación de medicamentos no
estén almacenados unos próximos a otros. Por ello, habrá que prever que los
agentes químicos incompatibles se almacenen en áreas separadas. El problema
será determinar el total de compartimentos a disponer.
Otro problema sería cómo planificar los exámenes en un centro formativo para
que no le coincidan a un alumno dos exámenes al mismo tiempo.
Todos estos problemas se traducen en problemas de grafos.
Como diría el matemático ruso del siglo XIX Lobachevski:
“No hay ninguna rama de la matemática, por abstracta que sea que no pueda
aplicarse algún día a los fenómenos del mundo real”.