Dr. PEDRO CORDOVA MENDOZA

ICA-PERU

CURSO:

INGENIERIA ECONOMICA AMBIENTAL Y

SANITARIA

8 de Abril del 2013

TEMA:

CONCEPTOS Y APLICACIONES

UNIVERSIDAD NACIONAL “SAN LUIS GONZAGA” DE ICA

FACULTAD DE INGENIERIA AMBIENTAL Y SANITARIAESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA AMBIENTAL Y

SANITARIA

101/05/2013

Universidad Nacional “San Luis Gonzaga” Ica-

Perú

01/05/2013 2

Si pudiéramos ver la belleza interior de cada

persona veríamos las más hermosas y

marchitas flores del mundo

Dr. PEDRO CORDOVA MENDOZA

Docente Principal de la Escuela Profesional de Ingeniería

Ambiental y Sanitaria de la FIAS-UNSLG

Conceptos y aplicaciones

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Matemática Financiera

Indispensable para el cálculo de las

operaciones financieras, tanto para el

análisis del costo del financiamiento,

como para evaluar la rentabilidad de la

inversión.

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Operaciones Financieras

Una operación financiera implica un

intercambio de flujos de dinero que son

“equivalentes” a una determinada tasa

de interés.

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Operaciones Financieras

Se componen de:

• Ingresos.

• Egresos.

• Plazo.

• Tasa de interés.

Tasa de interés:

• INVERSIÓN: Tasa

Interna de Retorno

(TIR).

• FINANCIAMIENTO:

Tasa Costo del

Crédito.

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Operaciones Financieras

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Se agrupan en operaciones de inversión y operaciones de

financiamiento.

INVERSIÓN:

Operación financiera que se

inicia con el aporte parcial

o total de requerimientos

necesarios para llevar a cabo

un determinado proceso de

producción.

Su esencia descansa en el

deseo de sacrificar consumo

presente, con la finalidad de

poder acceder a un mayor

consumo en el futuro.

FINANCIAMIENTO:

Responde a la pregunta:¿de

dónde obtengo el dinero? Su

significado debe asociarse al

logro del objetivo de obtener

los recursos necesarios para

adquirir los bienes que

requerimos.

El financiamiento puede

lograrse a través de deuda,

capital propio o una

combinación de éstos.

Valor del Dinero en el Tiempo

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El factor de equilibrio que hace que el

dinero tenga el mismo valor en el tiempo

es el interés. Dicho en otras palabras “el

precio del dinero presente medido en

unidades monetarias futuras”.

Este interés hace que se renuncie a la

disponibilidad inmediata de su dinero a

cambio de recibir una compensación

futura, como precio por esta renuncia.

Valor del Dinero en el Tiempo

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S/. 1,000 (VA) ≠ S/. 1,000 (VF)

Interés = f (VA, tiempo, riesgo, inflación, etc.)

VAs/ 1,000.00

MESES

0 1 2

interés VFs/ 1,200.00

CLASES DE INTERÉS

Interés y tasa de Interés

El interés es el costo

por las transacciones

de dinero.

El interés puede ser

simple o compuesto.

La tasa de interés es la

proporción que

representa el Interés

respecto del monto

tranzado.

La tasa de interés puede

ser nominal o efectiva.

Interesa esta última.

Interés Tasa de interés

Relación entre interés y tasa de

interés

Interés CompuestoInterés simple Tasa efectivaTasa nominal

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Interés simple

El interés es la diferencia que existe entre

un capital inicial (P) y uno final (F).

Se calcula sobre un capital que permanece

constante y el interés ganado se acumula

solo al término de la operación .

Capital

Inicial

Capital

Inicial

Interés

lapso de tiempo

Capital

final

P F

1 2 ..................... n0

i i i i

F1=P + i*P F2= F1 + i*P F3= F2 + i*P Fn = Fn-1+ i*P

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Interés Compuesto

El interés compuesto es una sucesión de operaciones de interés

simple, en la que después de la primera su monto constituye el

capital inicial de la siguiente, esto se llama capitalización de los

interéses.

El capital generado por una unidad de tiempo, se capitaliza, se

adiciona al capital anterior, formando un nuevo capital, el mismo que

genera un nuevo interés en la siguiente unidad de tiempo y así

sucesivamente durante el plazo pactado(n) .

P S

1 2 ..................... n0

i i i i

F1=P + P*i F2= F1 + F1 *i F3= F2 + F2 *i Fn = Fn-1+ Fn-1 *i

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Interés Simple y Compuesto

Interés simple: Cuando el capital se mantiene

fijo, en proporción directa a una tasa y tiempo.

Es decir el cálculo de los intereses se realiza al

final de la transacción y luego se suman al

monto del préstamo.

Donde:VF = Valor futuro o monto a calcularVA = Valor actual o monto del préstamoI = Intereses

Además:I = VA * i * t

i = tasa de interés

t = tiempo

IVAVF

Interés Compuesto Interés compuesto: Es cuando los intereses pasan a

formar parte del capital. Es decir se capitalizan. Es el de

mayor uso.

Capitalización: Es el proceso en el cual los intereses

forman parte del capital al final de un periodo, y generan

un nuevo monto para el siguiente periodo y así

sucesivamente.

Factor de Capitalización

niVPVF 1*

Nota: se tiene que tener en cuenta que la tasa de interés y el

tiempo deben estar en la misma unidad de tiempo.

Interés Simple vs Interés Compuesto

Interés Saldo Interés Saldo

0 P P

1 P*i P + P*i=P(1+i) P*i P + P*i=P(1+i)

2 P*i P(1+i) + Pi = P(1+2i) P(1+i) i P(1+i) + P(1+i) i = P(1+i)2

…

n P*i P(1+ni) P(1+i)n

Interés Simple Interés CompuestoPeríodo

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Tasa Nominal, Capitalización y Tasa Efectiva

1 + 1 = 3

En la vidacotidiana existenperíodos cortos(menores a 1 año)en los cuales esposible ganarintereses.

Estos períodospueden sersemestrales,trimestrales,mensuales, etc.

Supongamos el caso de un banco

que paga a sus depositarios 7%

de interés anual

Capitalizable Cada Año

¿Qué significa esto?

Sólo después de

transcurrido un año

es posible cobrar ese

interés.

En este caso al 7% se le llama

TASA NOMINAL ANUAL

y también,

TASA EFECTIVA ANUAL

Falta un año

Supongamos ahora el caso de otro banco que paga a

sus depositarios el mismo 7% de interés anual, pero

esta vez ...

CAPITALIZABLE CADA MES

¿Qué significa esto?

En este caso, el 7% sigue siendo la

TASA NOMINAL ANUAL

pero dado que se capitaliza en períodos menores a

un año

¿Qué sucede con la TASA EFECTIVA?

dado que se capitaliza en períodos menores a un año,

existe una

TASA EFECTIVA POR PERIODO (MENSUAL)

y otra TASA EFECTIVA ANUAL

Faltan cuatro trimestres

0 1 2 3 41 2

La tasa efectiva por período se obtiene dividiendo

la tasa nominal anual entre el número de

períodos que tenga el año

añopor Periodos de Número

Anual Nominal TasaPeriodopor Efectiva Tasa

Si la

TASA NOMINAL ANUAL

es del 7%, la

TASA EFECTIVA MENSUAL

será de

0.07 / 12 = 0.005833 = 0.5833%

La TASA EFECTIVA ANUAL

se obtiene aplicando:

11Anual Efectiva Tasan

i

Donde: i = Tasa Efectiva por Período

n = Número de períodos

En nuestro caso, si: i = 0.5833%

n = 12

TEA = (1+0.005833)12 -1= 0.0723 = 7.23%

Donde:

TEA = Tasa Efectiva Anual

Si la “Tasa Nominal Anual”

(TNA) = 7 %

¿Cómo será la Tasa Efectiva Anual (TEA) para

distintos períodos de composición?

Digamos:

Semestral,

Cuatrimestral,

Trimestral,

Bimestral,

Mensual y

Diario

Periodo Periodos Tasa Efectiva Periódica

TEA

de Anuales((1+i)^n)-1

Capitalización n i

Semestral 2 0.07/2 = 0.035000 7.1225%

Cuatrimestral 3 0.07/3 = 0.023333 7.1646%

Trimestral 4 0.07/4 = 0.017500 7.1859%

Bimestral 6 0.07/6 = 0.011667 7.2074%

Mensual 12 0.07/12 = 0.005833 7.2290%

Diario 360 0.07/360 = 0.000194 7.2501%

Tasa nominal vs Tasa efectiva

Tasa Nominal

Período de

Capitalización

(PC)

Tasa efectiva

del PC

12% Semestral 12% / 2 (1 + 12%/2)2

- 1 = 12.36%

12% Mensual 12% / 12(1 + 12%/12)

12 - 1 = 12.68%

12% Diario 12% / 360 (1 + 12%/360)360

- 1 = 12.75%

12% Anual 12% / 1 (1 + 12%/1) 1- 1 = 12.00%

Tasa Efectiva Anual (TEA)

Tasa nominal vs Tasa efectiva

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Tasa Nominal y Capitalización

• Tasa Nominal o referencial, susceptible

de proporcionalizarse (es decir, con ella

se pueden realizar operaciones de

DIVISIÓN y/o MULTIPLICACIÓN).

• Se aplica en operaciones de Interés

Simple (regla de tres simple).

Tasa Nominal y Capitalización

• Al transcurrir un período de tiempo, se

generan INTERESES; si éstos pasan a

formar parte del CAPITAL INICIAL

formando uno NUEVO ocurre la figura del

anatocismo, es decir: la CAPITALIZACIÓN

• Por tanto si a la TASA NOMINAL se añade

el efecto de la CAPITALIZACIÓN, resulta

la TASA EFECTIVA

Tasa Efectiva

• Es la variación neta de dos cantidades de

dinero en un período determinado de tiempo.

• Es la tasa que verdaderamente ocurre, es

decir, la tasa que efectivamente ocurre en una

operación financiera.

Dos o más tasas efectivas

correspondientes a diferentes unidades de

tiempo son equivalentes cuando producen

la misma tasa efectiva para un mismo

horizonte temporal.

Tasas equivalentes

Equivalencia entre tasas efectivas

x,y: en días

iy : Tasa conocida

ix : Tasa incógnita

Dos o más tasas son equivalentes cuando

capitalizándose en periodos distintos

generalmente menores a 1 año, el monto final

obtenido en igual plazo es el mismo.

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11 yx

yx ii

Ejemplos prácticos

1. La tasa efectiva anual que pagaun Banco por una cuenta a plazofijo es de 15%. ¿Cuál será la tasaefectiva mensual?

2. Una entidad financiera cobra porpréstamo una tasa efectivamensual de 5%.¿Cuál será laTasa Efectiva anual que cobra elBanco por préstamo?

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Resolución Ejemplo 1

Paso 1. DATOS

TEA: 15% TEM:?

La tasa de interés

mensual que paga el

banco por una cuenta

de ahorro a plazo fijo es

de 1.17%

Paso 2.SOLUCION

Convertir tasa anual a tasa mensual

iX = (1+iy)(x/y) – 1

i30 = (1+i360)(30/360) - 1

i30 = (1 + 0.15)1/12 -1

i30 = (1.01171492) - 1

i30 = 0.01171492

Paso 3.RESPUESTA

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Resolución Ejemplo 2

Paso 1. DATOS

TEM: 5% TEA: ?

La tasa de interés

anual que cobra el

banco por préstamo es

de 79.58%

Paso 2.SOLUCION

Convertir tasa de interés mensual a tasa anual

iX = (1+iy)(x/y) – 1

i360 = (1+i30)(360/30) - 1

i360 = (1 + 0.05)12 -1

i360 = (1.7958) - 1

i360 = 0.7958

Paso 3.RESPUESTA

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Ejercicios

• Luis realiza un préstamo a su primo Juan, por el

monto de US$ 1,000 a una tasa de interés del

10% semestral, durante 15 meses ¿Cuánto tendrá

que devolver Juan a Luis, luego de 15 meses.

• P = 1000

• i = 10% semestral

• n = 15 meses

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Ejercicios1. Si usted invierte S/. 28,000 a una tasa de interés

del 5.5% trimestral ¿Cuánto tendrá al cabo de 16

semestres?

2. Se ha tomado un préstamo de US$ 10,000 a 135

días, a una tasa de interés del 25% efectiva anual

– a) Calcule el monto que debe pagarse por el

préstamo

– b) Cuánto de interés se genera mensualmente

en esta operación?

– Si se realiza un pago por US$ 4000 el día 45 ¿

Con qué monto cancelaría el préstamo el día

135?

– Si se realiza un pago en día 45 de US$4,000 y

otro de US$ 2000 el día 90 ¿ Con qué monto

cancelaría el préstamo el día 135?

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Recursos y materiales en línea

http://www.produce.gob.pe/portal/

http://www.sunat.gob.pe/

www.businessplans.org/businessplans.html

www.mootcorp.org

www.emprendedores.cl/plan/plan.html

www.gov.on.ca/OMAFRA/english/busdev/facts/03-

051.htm

www.prod-dev.com/research.shtml

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Tenemos que cuidarlo esta en nuestras manos!!!!!!!

Gracias

Cel. 956-041243

pcordovam@hotmail.com01/05/2013 38