Probleme mit der klassischen Physik

• Thermodynamik (Warmestrahlung)

• Photoeffekt

• Comptoneffekt

• Stabilitat von Atomen

Warmestrahlung (aus Physik I)

In Analogie (die in der Quantenmechanik begrundet wird) mit unserer Uberle-gung fur die barometrische Hohenformel oder die Maxwell-Boltzmann-Verteilungnehmen wir an, dass die Wahrscheinlichkeit, die Energie E = ihν aufzuweisenauch von der Form exp(−Energie/kT ) ist, namlich pi = exp(−ihν/kT ). Damitist N1 = N0 exp(−hν/kT ), und allg.Ni = N0 exp(−ihν/kT ). Wir definierenx

.= exp(−hν/kT ).

Die totale Energie des Systems stammt aus der Summe der Energien allerOszillatoren. Vom Grundzustand kommt kein Beitrag, vom ersten angeregtenZustand kommt N1hν = N0hνx, vom zweiten N22hν = 2N0hνx2, . . . ,Niihν =iN0hνxi. Die mittlere Energie des Systems ist also die totale Energie geteilt durch

die Anzahl Oszillatoren

〈E〉 =Etot

Ntot=

N0hν(

0 + x + 2x2 + 3x3 + . . .)

N0 (1 + x + x2 + x3 + . . .)= hν

∑∞i=0 ixi

∑∞i=0 xi

Die auftretenden Summen konnen einfach berechnet werden. Oben steht x maldie Ableitung nach x von der unteren. Die Ableitung ist eine lineare Operationund kann vor die Summe gezogen werden. Die Summe

∞∑

i=0

xi =1

1 − x

kann nun eingesetzt werden und man erhalt nach wenig Rechnen die fur die

Schwarzkoperstrahlung wichtige spektrale Abhangigkeit

1

ehν/kT − 1.

Eine Konsequenz dieser Abhangigkeit ist die Beobachtung, dass Elektronenaustrittaus Oberflachen nicht von der Intensitat des Lichtes, sondern von der Frequenz,also der Energie, der Photonen abhangt (Photoeffekt). Die erforderliche Energiedes Photons ist Eγ > WA, wo WA die Austrittsarbeit des Materials ist.

Atome

• griechisch ατoµoς Leukipp (ca. 440 v. Chr.) und Demokrit (ca. 460 - 370v. Chr.). Stoffe sind aus unveranderbaren Atomes zusammengesetzt (stati-sche Elemente (Parmenides)), die Zusammensetzung kann sich aber andern(Heraklit “alles fließt”). Mehr davon in D2.

• Chemie und dann Clausius (p · V = n3mvv2V ) , Maxwell (κ =

Cp

CV= f+2

f ),Boltzmann =⇒ Atome, bzw. Molekule!

• Dalton (1766 – 1844), Massenverhaltnisse konstant (z. B. Wasser 1:8 = H:O)=⇒ 3 Hypothesen:

– elementare Stoffe bestehen aus Atomen

– Atome desselben Elementes sind identisch– chemische Verbindungen jeweils in ganzzahligem Mengenverhaltnis, Einheit

ist 1 amu.= 1/12 der Masse von 12C = 1, 66055 · 10−27kg

• Avogadro (1776 – 1856) Molekule bestehen aus zwei oder mehr Atomen

• Große von Atomen aus verschiedenen Methoden:

– flussige ein-atomige Gase: Va ≈ VFlNA

=⇒ r ≈ 10−10 m– Van-der-Vaals Gleichung:

(

p +a

V 2M

)

(VM − b) = R · T, aus b = 4NAVA folgt VA = b/(4NA).

– Transportkoeffizienten (Diffusion, Warmeleitung, Viskositat) hangen vonmittlerer freier Weglange Λ = 1/(

√2nσ) ab, wobei σ = πr2

A.

Aufbau von Atomen

• Atome mussen aus elektrisch geladenen Teilchen bestehen:

– elektrolytische Stromleitung in Flussigkeiten– Gasentladungen im Magnetfeld– Ladungstrennung z. B. im Hall-Effekt– Radioaktivitat (Unterschiede α- und β-Strahlung)

Der Hall-Effekt

IU0

~B

~vD

I = b · d · |~j|

~b

~j = −ne · e · ~vD

e−

UH

Ladungstrager (elektronen oderLocher) werden durch Lorentzkraft

e·(~vD× ~B) abgelenkt. Daraus ergibtsich eine Ladungstrennung und esbaut sich ein elektrisches Feld ~EHall

auf, welches die lorentzkraft ge-rade kompensiert. Hall-SpannungUH = ~EH ·~b.

Kathodenstrahlen

+−

R

K

A

L

e−

-

+

Kathodenstrahlen gehen von derKathode (negativer Pol) aus. Siemussen also negativ geladen sein.Das Verhaltnis e/m kann durchAnlegen einer Spannung uberdem Kondensator bestimmt wer-den, oder durch Anlegen eines Ma-gnetfeldes (Fadenstrahlrohr).

Kanalstrahlen

R

L

+

A

K

−

Fullgas

Ion

-

+

Mittels Wien-Filter wurde e/mder Kanalstrahlen gemessen (Wien,1897), es war wesentlich kleiner alsbei Kathodenstrahlen, damit mus-sten die Ionen (Wandernden) we-sentlich schwerer als die Elektronensein.

Bestimmung der Elementarladung

Millikan (1910): Oltropfchen in Luft zwischen Kondensatorplatten.

n · e · E = m · g − FAuftrieb Tropf bleibt stehen,

m · g = FAuftrieb + FReibung Tropf sinkt mit v = const.,

FAuftrieb = ρLuft ·4π

3r3,

FReibung = 6πηrv Stokes.

Durch Umladung (n → n + ∆n) des Tropfchens folgt U → U + ∆u undn · U = (n + ∆n) · (U + ∆U) und damit ∆n = −n∆U/(U + ∆U).Minimales ∆N = 1, damit n und e bekannt.

=⇒ e = 1.60217653 · 10−19 C

Atomare Massen

Vf

φ

Start MCP

Hyperbola

"Vee"

Stop MCP

Carbon foil

Post−acceleration

Solar wind ions (E,m,q)

Secondaryelectrons

Stepped E/q analyzer entrance/deflection system

Bestimmung der Masse einzelner Atome mittelsMassenspektrometern. Links ein Beispiel einesweltraum-gestutzten isochronen Flugzeitmassen-spektrometers, SWIMS, auf der NASA Missi-on ACE (Advanced Composition Explorer, Start1997).

400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200rebinned ToF channel

1000

10000

coun

ts p

er c

hann

el

summed datasum of fitsfit to sum

Data for 2000

background not freefitting parameter ADC problem

not fitted

Integraler Streuquerschnitt

r

θ

dx

σ = πr2

Integraler Streuquerscnitt σ definiert als Flache umStreuzentrum herum, durch die ein Teilchen fliegenmuss, um um einen Winkel θ oder mehr gestreut zuwerden.

dN = −N · σ · n · dx

Also folgt

N = N0 · e−nσx, wo

N0 = N(x = 0).

Mittlere freie Weglange Λ.= 1/(nσ))

Streuung in dΩ: Differentieller Streuquerschnitt

b

vdb

r

dφ

dΩ

R

θ

dA′ = R2dΩ = R2 sin θdθdφ

dA = 2πbdb

dφ

dNN

dφ2π = bdb

dθdθdφ pro streuendes Teilchen

n streuende Teilchen pro Flache A streuen

Total pro Flache A alsodNN |tot = ndxbdb

dθdθdφ und damit dσdΩ = bdb

dθ1

sin θ

ndx mal mehr in Raumwinkel dΩ.

Das Thomsonsche Atommodell

Atom aus positiv und negativ geladenen Elementarteilchenzusammengesetzt. Es ist bekannt, dass die Anzahl vonElektronen im Atom ungefahr mit der Halfte der Massen-zahl A skaliert. Damit das Atom elektrisch neutral ist, musses auch dem Elektron entgegengesetzte Ladungstrager,Protonen, enthalten. Damit betragt die KernladungszahlZ ungefahr A/2. Atome sind elektrisch sehr neutral -

wurde es uns geben, wenn sie es nicht waren. Eine obere Grenze an die elektri-sche Neutralitat kann einfach gefunden werden (Vergleich mit Reibungskraft, dieuns nebeneinander im Horsaal halt, Vergleich mit molekularen Bindungsenergien,bzw. van der Waals Kraften (die Luft ware zu dunn zum Atmen!)).

Im Thomsonschen Atommodell wurde Emission von Licht (elektromagnetischer

Strahlung) durch Vibrationen der angeregten Elektronen im Hintergrundfeld derProtonen erklart.Beispiel: Berechne die Bahn eines Elektrons in einem homogenen Hintergrundsfledeines Thomsonschen Atomkerns.

F = − 1

4πε0

(

4π

3a3r

)

e

a2, wo ρ die Ladungsdichte ist.

F = −aρe

3ε0= −ka

also wird das Elektron immer eine harmonische Bewegung im Atom vollfuhren!Fur einen Atomradius von 10−10m ergibt sich eine Frequenz ν von ca. 2.5 ·1015Hz.Mit λ = c/ν ergibt sich λ ≈ 1200A, also ultraviolette Strahlung. Dummerweiseist die Frequenz und damit die Wellenlange abhanging von der Große des Atomsund ist damit vollstandig definiert. Es besteht keine Moglichkeit, dass ein Stoff(ein Atom) verschiedene Frequenzen (abgesehen von den harmonischen) emittiert.

Streuexperimente

θ

α

Zur genaueren Untersuchung desAtommodells wurden Streuexperi-mente durchgefuhrt, in denen He-liumkernen (Alpha-Teilchen) aufdunne Goldfolien geschossen wur-den. Erwartet wurden kleine Ab-lenkungen der α-Teilchen um einenWinkel, der gemaß dem Prinzip des

random walk (siehe Physik I) proportional zur Wurzel der Anzahl streuendenAtome,

√N , sein sollte,

√

〈Θ2〉 =√

N ·√

〈θ2〉,

wo√

〈Θ2〉 die “root mean square” Ablenkung ist und√

〈θ2〉 die “root mean

square” Ablenkung durch ein einzelnes Atom ist. Man findet fur√

〈θ2〉 ≈ 10−4

rad.Beispiel: Geiger und Marsden (1909) fanden mit ca. 10−6m dicken goldfolien

einen mittleren Ablenkwinkel von ca. einem grad, also etwa 2 · 10−2rad. Mit N ∼10−6m/10−10m ∼ 104 folgt eine mittlere Ablenkung pro Atom von ca. 10−4rad,was mit dem Modell ubereinstimmt. Mehr als 99% aller α-Teilchen wurden inWinkel kleiner als 3 gestreut, aber die Teilchen, die in großere Winkel gestreutwurden waren viel zu haufig! Die Statistik des random walk sagt uns, dass in einWinkelindervall dΘ eine Anzahl

N(θ)dΘ =2IΘ

〈Θ2〉e−Θ2/〈Θ2〉dΘ

gestreut werden muss. Einsetzen fur Θ > 90

N(Θ > 90)

I=

∫ 180

90N(Θ)dΘ

I= e−(90)2 = 10−3500,

beobachtet wurden ca. 10−4. Das Modell von Thomson musste falsch sein.

Das Rutherfordsche Atommodell

Die Schwierigkeiten mit dem Thomsonschen Atommodellwurden durch die Rutherfordschen Experimente offensicht-lich und konnten bald durch das Rutherfordsche Atommo-dell beseitigt werden. In diesem Modell sind schwere Kerneund leichte Elektronen getrennt.

Herleitung

des Rutherfordschen Streuquerschnittes

θ

θ/2

a

b~pi

~pf

Aus den geometrischen Beziehungen

a

b= tan

θ

2;

b

c= cos

θ

2,

der Energierehaltung

E =p2

i

2m=

p2f

2m=

p2A

2m− Ze

4πε0

1

c − a

und der Drehimpulserhaltung

L = pib = pfb = pA(c − a)

folgt

b =Ze

4πε0

1

2E

1

tan θ2

.

Damitdb

dθ=

−1

2

Ze

4πε0

1

2E

1

sin2 θ2

unddσ

dΩ= b

dσ

dθ

1

sin θ=

1

4

(

Ze

4πε0

1

2E

)21

sin4 θ2

.

Franck-Hertz