Računske Operacije u Skupu Realnih Brojeva q Sa Rešenjima Zadataka
Tehnološke operacije - zbirka zadataka · Veleučilište u Požegi Maja Ergović Ravančić...
Transcript of Tehnološke operacije - zbirka zadataka · Veleučilište u Požegi Maja Ergović Ravančić...
Veleučilište u Požegi
Maja Ergović Ravančić
Interna skripta
Tehnološke operacije - zbirka zadataka (radna verzija)
Požega, 2018. godine
1
1. MEĐUNARODNI SUSTAV MJERNIH JEDINICA – SI
U Tehnološkim operacijama u pravilu se primjenjuje iskazivanje fizičkih veličina i jedinica
u skladu s Međunarodnim sustavom jedinica (SI, Le Systeme International d'Unitès).
Međunarodni sustav mjernih jedinica – SI je ustanovljen 1960. te je prihvaćen u većini zemalja
svijeta. Stoga je ovaj sustav potrebno dobro poznavati kako bi se u tehničkoj praksi prilikom
različitih proračuna moglo s njim ispravno služiti.
Nazivi i definicije fizičkih veličina i jedinica mogu se naći u odgovarajućoj literaturi.
Pojmom fizičke veličine označava se neko fizičko svojstvo (pojava, tvari, tijela), koje
omogućuje njihovo kvalitativno razlikovanje i kvantitativno određivanje. Jedinicom se
označava mjera kojom se određuju vrijednosti mjerene veličine. Osnovne jedinice su one
jedinice koje su dimenzijski neovisne, a koriste se za opisivanje samo jedne veličine (npr.
duljine, mase ili vremena).
SI sustav obuhvaća:
osnovne jedinice SI
izvedene jedinice SI
dopunske jedinice SI
decimalne jedinice SI
iznimno dopuštene jedinice.
1.1. Osnovne jedinice SI sustava
Osnovne fizikalne veličine su one veličine koje su međusobno neovisne i ne mogu se svesti
jedna na drugu, a svaka ima svoju posebnu oznaku (Tablica 1.).
Osnovne jedinice su stalne, dogovorno utvrđene i određene vrijednosti fizikalnih veličina
za promatrani sustav koje imaju poseban naziv i oznaku (znak).
2
Tablica 1. Osnovne fizikalne veličine i jedinice u SI sustavu
FIZIKALNA VELIČINA OSNOVNA SI JEDINICA
Naziv
Oznaka Naziv Oznaka
duljina L (l) metar m
masa M kilogram kg
vrijeme t (τ) sekunda s
električna struja I amper A
termodinamička temperatura T kelvin K
količina tvari n mol mol
intenzitet svjetlosti Iv kandela cd
1.2. Izvedene fizikalne veličine i jedinice SI sustava
Izvedene fizikalne veličine i jedinice SI sustava definirane su međusobnim odnosima
nezavisnih veličina, odnosno jedinica SI sustava.
Ove izvedene veličine i jedinice mogu biti takve da imaju poseban naziv i oznaku (Tablica
2.) ili takve da nemaju poseban naziv i oznaku (Tablica 3.), ali i takve da u sebi sadrže izvedene
jedinice s posebnim nazivom i oznakom (Tablica 4.).
Tablica 2. Izvedene veličine i jedinice SI sustava koje imaju poseban naziv i oznaku
IZVEDENA VELIČINA IZVEDENA JEDINICA
Naziv veličine Naziv
jedinice
Oznaka Definicija
preko
izvedenih
jedinica
Definicija preko
osnovnih jedinica
frekvencija herz Hz - s-1
sila newton N - m·kg·s-2
tlak pascal Pa N/m2 kg·m-1·s-2
energija, rad, toplina joule J N·m m2·kg·s-2
snaga watt W J/s m2·kg·s-3
električni naboj coulomb C - A·s
električni potencijal volt V W/A m·kg·s·A
3
električni kapacitet farad F C/V m-2·kg-1·s4·A2
električni otpor ohm Ω V/A m2·kg·s-3·A-2
električna vodljivost siemens S A/V m-2·kg-1·s3·A2
magnetski tok weber Wb V·s m2·kg·s-2·A-1
magnetska indukcija tesla T WB/m2 kg·s-2·A-1
induktivitet henry H Wb/A m2·kg·s-2·A-2
tok svjetlosti lumen lm cd·sr m2·m-2·cd=cd
osvjetljenost lux lx lm/m2 m2·m-4·cd=m-2·cd
aktivnost zračenja becquerel Bq - s-1
apsorbirajuća doza ioniz.
zračenja
gray Gy J/kg m2·s-2
ekvivalent doze sievert Sv J/kg m2·s-2
katalitička aktivnost katal kat - mol·s-1
Celsius-ova temperatura st. celzijusa °C - K
Tablica 3. Izvedene veličine i jedinice SI sustava koje nemaju poseban naziv i oznaku
IZVEDENA VELIČINA IZVEDENA JEDINICA
Naziv veličine
Naziv jedinice Oznaka
površina kvadratni metar m2
volumen kubni metar m3
brzina metar po sekundi m/s
ubrzanje metar po sekundi na
kvadrat
m/s2
gustoća kilogram po kubnom
metru
kg/m3
specifični volumen metar kubni po kilogramu m3/kg
gustoća električne struje amper po kvadratnom
metru
A/m2
množinska koncentracija mol po kubnom metru mol/m3
jačina magnetskog polja amper po metru A/m
4
Tablica 4. Izvedene veličine i jedinice SI sustava koje sadrže izvedene jedinice s posebnim
nazivom i oznakom
IZVEDENA VELIČINA IZVEDENA JEDINICA
dinamički viskozitet Pa·s
moment sile N·m
površinska napetost N/m
kutna brzina rad/s
kutno ubrzanje rad/s2
gustoća toplinskog toka W/m2
entropija J/K
specifični toplinski kapacitet J/(kg·K)
specifična toplina J/kg
toplinska vodljivost W/(m·K)
gustoća električnog toka C/m2
1.3. Dopunske fizikalne veličine i jedinice SI sustava
Dopunske fizikalne veličine i jedinice SI sustava nazivaju se tako jer nije odlučeno jesu li
osnovne ili izvedene veličine, odnosno jedinice. To su sljedeće fizikalne veličine, odnosno
jedinice:
- kut – radijan [rad]
Radijan je naziv jedinice, a rad njena oznaka za fizikalnu veličinu. Radijan je kut između
dvaju polumjera koji na kružnici odrezuju luk čija je duljina jednaka polumjeru, a njegova
definicija preko osnovnih i izvedenih SI jedinica je:
m ・ m-1 = 1 (1)
- prostorni kut – steradijan [sr]
Steradijan je naziv jedinice, a sr njena oznaka za fizikalnu veličinu. Steradijan je
prostorni kut čiji se vrh nalazi u središtu kugle, a na njenoj plohi omeđuje površinu jednaku
kvadratu polumjera kugle.
Njegova definicija preko izvedenih SI jedinica je:
m2 ・ m-2 = 1 (2)
5
1.4. Decimalne jedinice SI sustava
Decimalne jedinice SI sustava nastaju stavljanjem prihvaćenog predmetka (prefiksa) i to
multiple jedinice ukoliko se stavlja decimalni višekratnik i submultiple jedinice ukoliko se
stavlja decimalni dio jedinice (Tablica 5.).
Tablica 5. Multiple i submultiple SI jedinice
PREDMETAK (PREFIKS) ZA:
multiple jedinice submultiple jedinice
faktor
prefiks oznaka faktor prefiks oznaka
1024 yotta Y 10-1 deci d
1021 zetta Z 10-2 centi c
1018 exa E 10-3 mili m
1015 peta P 10-6 micro µ
1012 tera T 10-9 nano n
109 giga G 10-12 pico p
106 mega M 10-15 femto f
103 kilo k 10-18 atto a
102 hecto h 10-21 zepto z
101 deka da 10-24 yoco y
1.5. Iznimno dopuštene jedinice u SI sustavu
Jedinice koje se inače nalaze izvan SI sustava, ali su vrlo važne i često se koriste, iznimno
su dopuštene za korištenje kao i SI jedinice (Tablica 6.).
Tablica 6. Iznimno dopuštene jedinice
NAZIV OZNAKA VRIJEDNOST U SI JEDINICAMA
minuta min 1 min = 60 s
sat h 1 h = 60 min = 3600 s
dan d 1 d = 24 h = 86400 s
stupanj ° 1° = (π/180) rad
6
grad (gon) g 1 g = (π/200) rad
minuta ' 1' = (1/160)° = (π/10800)rad
sekunda " 1" = (1/60)' = (π/648000) rad
litra L 1 L = 1 dm3 = 10-3 m3
tona t 1 t = 103 kg
morska milja - 1 nautička milja = 1852 m
astronomska milja ua 1 ua ≈ 1,49598·1011 m
ångström Å 1 Å = 0,1 nm = 10-10 m
ar a 1 a = 100 m2
hektar ha 1 ha = 104 m2
čvor - morska milja/h = 1852/3600 m/h
bar bar 1 bar = 105 Pa
elektronvolt eV 1 eV ≈ 1,60218·10-19 J
jedinica
unificirane
atomske mase
u 1 u ≈ 1,66054·10-27 kg; 1/12 mase atoma
nuklida 12C
1.6. Grčka abeceda
Grčku abecedu je važno poznavati radi razumijevanja označavanja određenih veličina u
prehrambeno–tehnološkom inženjerstvu (Tablica 7.).
Tablica 7. Grčka abeceda
NAZIV SLOVA SLOVO
alfa A α
beta B β
gama Г γ
delta Δ δ
epsilon E ε
zeta Z ζ
eta H η
theta Θ θ
7
jota I ι
kapa K κ
lambda Λ λ
mi М μ
ni N ν
ksi Ξ ξ
omikron O ο
pi Π π
ro P ρ
sigma Σ σ
tau T τ
ipsilon Y υ
fi Φ φ
xi X χ
psi Ψ ψ
omega Ω ω
1.7. Dimenzije i mjerne jedinice SI sustava
Svaka fizikalna veličina je definirana određenim kombinacijama (umnošcima osnovnih
dimenzija).
Osnovne dimenzije su:
1) MASA (oznaka m)
2) DULJINA (oznaka L)
3) VRIJEME (oznaka t ili τ)
4) TEMPERATURA (oznaka T).
Na temelju dimenzija od kojih se sastoji svaka fizikalna veličina izvode se i njihove
jedinice pri čemu su dimenzije univerzalne, a jedinice ovise o tome koji sustav mjernih jedinica
se koristi.
Primjeri izvedenih fizikalnih veličina:
GUSTOĆA (specifična (volumna) masa)
8
33 m
kg
L
M
V
m
V
m (3)
SILA (prema Newtonovom zakonu sila je umnožak mase i ubrzanja)
Ns
mkgLMamFamF
22 (4)
22
1
s
mLLa
dt
dwa
(5)
s
mLw
d
dLw
(6)
SILA TEŽA (sila kojom zemlja privlači tijelo)
Ns
mkgLMgmFgmF
22 (7)
TLAK (sila po jedinici površine)
Pam
N
L
LM
A
F
A
Fp
222 (8)
Pascal (Pa) je tlak što ga proizvodi sila od 1 N (Newtona) koja je jednako raspoređena i
djeluje okomito na ravnu površinu od 1 m2.
POTENCIJALNA ENERGIJA POLOŽAJA (energija koju imaju tijela u stanju
mirovanja, a koja mogu vršiti određeni rad zbog svoga položaja)
9
JmNs
mkgLML
LMzgmEzgmE pp
2
2
2
2
2 (9)
Joule (J) je jednak radu što ga izvrši sila od 1 N kada se njezino hvatište pomakne u pravcu
i smjeru sile za jedan metar.
POTENCIJALNA VOLUMNA ENERGIJA (rad kojeg može izvršiti fluid (tijelo)
određenog volumena kada se nalazi pod tlakom (p))
JmNLFL
FLEpVE vv
3
3 (10)
RAD (tijelo vrši rad ako se pod djelovanjem neke sile F giba po putu l)
JmNlFWlFW (11)
KINETIČKA ENERGIJA (energija koju ima tijelo mase m koje se giba brzinom w)
JmNs
mkgLM
wmE
wmE kk
2
2
2
222
2
1
22 (12)
SNAGA (omjer rada (W) i vremena (t) u kojem je taj rad izvršen)
Ws
J
s
mNLFWP
t
WP
(13)
1 Watt (W) je snaga kojom se obavi rad od jednog Joula (J) u 1 sekundi (s).
DINAMIČKA VISKOZNOST (viskoznost ili unutarnje trenje koje se javlja kao otpor
fluida protiv smicanja njegovih čestica)
dy
dwa
F
dy
dwAF
(14)
10
111
L
L
dy
dw (15)
sPa
m
sN
L
F
L
F
2212
(16)
Pa·s (pascal sekunda) je dinamička viskoznost homogenog fluida koji laminarno struji i u
kojem između dva ravna paralelna sloja s razlikom u brzini od 1 m/s na razmaku od 1 m nastaje
naprezanje na smicanje od 1 Pa.
KINEMATIČKA VISKOZNOST
s
mL
M
LLM
M
LF
L
M
L
F222
3
12
(17)
VOLUMNI PROTOK
s
mLLLwAQWAQ
332
(18)
MASENI PROTOK
s
kgM
L
MLLwAmwAQm
3
3 (19)
JEDINICA PLINSKE KONSTANTE
Kmol
J
Kmol
mN
Tn
LF
Tn
LLF
Tn
VpRTRnVp
32
(20)
11
molKJKmol
mPaR /314,8
2731
104,22101325 33
(opća plinska konstanta) (21)
1.8. Dimenzije i mjerne jedinice ostalih sustava
Osim SI sustava mjernih jedinica, postoji u svijetu više drugih sustava koji se sve više
napuštaju, ali budući da su u nekim zemljama u starijoj literaturi još u upotrebi, dobro je
poznavati i osnove tih najčešće korištenih sustava mjernih jedinica kako bi ih se moglo
pretvoriti u SI jedinice.
1.8.1. Tehnički sustav mjera
Tehnički sustav mjera (TSM) ima kao i SI sustav osnovne fizikalne veličine (Tablica 8.) te
izvedene fizikalne veličine i mjerne jedinice (Tablica 9.).
Tablica 8. Osnovne fizikalne veličine i mjerne jedinice TSM sustava
FIZIKALNA VELIČINA OSNOVNA JEDINICA
NAZIV NAZIV OZNAKA
duljina metar m
vrijeme sekunda s
sila kilopond kp*
*1 kp = 9,80665 N ≈ 9,81 N
Tablica 9. Glavne izvedene fizikalne veličine i mjerne jedinice TSM sustava
FIZIKALNA VELIČINA IZVEDENA JEDINICA
NAZIV OZNAKA
rad, energija kp·m
snaga kp·m/s
tlak kp/cm2 (at)
količina topline kcal
12
1.8.2. Fizikalni sustav jedinica
Fizikalni sustav jedinica (CGS cm-h-s) ima kao i SI sustav osnovne fizikalne veličine
(Tablica 10.) te izvedene fizikalne veličine i mjerne jedinice (Tablica 11.).
Tablica 10. Osnovne fizikalne veličine i mjerne jedinice CGS sustava
FIZIKALNA VELIČINA OSNOVNA JEDINICA
NAZIV NAZIV OZNAKA
duljina centimetar cm
vrijeme sekunda s
masa gram g
Tablica 11. Glavne izvedene fizikalne veličine i mjerne jedinice CGS sustava
FIZIKALNA VELIČINA IZVEDENA JEDINICA
NAZIV OZNAKA
rad, energija erg
sila dyn
dinamički viskozitet P (poise)
kinematički viskozitet ST (stokes)
tlak bar
Međuodnosi izvedenih CGS jedinica i SI jedinica:
1 dyn = 10-5 N
1 erg = 10-7 J
1 P = 10-1 Pa·s
1 St = 10-4 m2/s.
Odnos između anglosaksonskih mjernih jedinica koje se još uvijek koriste i SI jedinica:
1" inch (in) = 2,54·10-2 m
1 yd (yard) = 9,144·10-1 m
1 mile = 1609,344 m.
13
1.9. Potencije i znanstveni zapis
1.9.1. Pravila potenciranja
mnmn aaa (22)
mnmn aaa : (23)
mnmn
m
n
aaaa
a : (24)
nnnn cbaabc )( (25)
mnmn aa )( (26)
zmnzmn aa (27)
n
nn
b
a
b
a
(28)
n
nnn
a
b
a
b
b
a
(29)
10 a (30)
11 a (31)
a
a11
(32)
n
n
aa
1
(33)
14
MNOŽENJE: 102 · 105 = 107 --> baza 10 se prepiše, a eksponenti zbroje (2 + 5 = 7)
DIJELJENJE: 107 : 104 = 103 --> baza 10 se prepiše, a eksponenti oduzmu (7 – 4 = 3)
104 : 10-7 = 1011 --> PAZI --> 4 – (– 7) = 11
1.9.2. Znanstveni zapis
134,87 = 1,3487 · 102 --> decimalna točka se pomiče dva mjesta u lijevo, a broj ispred
decimalne točke mora biti manji od deset
0,0948 = 9,48 · 10-2 --> decimalna točka se pomiče dva mjesta u desno (10-2)
1340000000 = 1,34 · 109 --> decimalna točka se pomiče devet mjesta u lijevo (109)
15
2. PRIMJENA ZAKONITOSTI HIDRAULIKE NA STACIONARNA
STRUJANJA FLUIDA U CIJEVIMA
Stacionarno strujanje:
strujanje kod kojeg se u svakoj točki te struje brzina i tlak s vremenom ne mijenjaju,
i u svakoj točki, danog poprečnog presjeka struje, brzina i tlak ostaju stalno jednaki.
Zakon kontinuiteta:
u jedinici vremena kroz svaki poprečni presjek, pa prema tome i kroz presjeke 1, 2 i 3
prolazi po masi ista količina fluida, bez obzira na to, kako se veličina tog presjeka mijenja.
m’1 = m’1 = m’1 = konst.
m’ = Q’
Q’ = konst.
m’(kg/s) - maseni protok fluida,
Q’ (m3 / s) - volumni protok fluida,
(kg / m3) - specifična masa.
Kod kapljevina je = konst., pa stoga proizlazi da je i Q’ = konst. (u jedinici vremena
kroz sve presjeke prolazi isti volumen tekućine).
Q’ = A w
Q’ (m3 / s) = A1 w1 = A2 w2 = A3 w3 = konst.
A1 A2 A3
w1 w2 w3
1
1
2
2
3
3
16
A (m2) - površina presjeka,
w (m/s) - srednja brzina strujanja kroz odgovarajući presjek.
Ove relacije se mogu pisati i kao:
1
2
2
1
A
A
w
w ,
1
3
3
1
A
A
w
w ,
2
3
3
2
A
A
w
w
Što znači: pri stacionarnom strujanju srednje brzine strujanja kroz ravne presjeke su obrnuto
proporcionalne površinama presjeka okomitim na smjer tih strujanja.
Za slučaj kružnih cijevi vrijedi:
4
2dA pa je
2
1
2
2
2
1
d
d
w
w
A (m2) - površina presjeka,
w (m/s) - srednja brzina strujanja,
d (m) – promjer.
Bernoulli-ev teorem:
U jednom izoliranom hidrodinamskom sistemu zbroj svih vrsta energije konstantan.
Ep + Ev + Ek + Eu = konst.
Ep – potencijalna energija položaja.
Ep = m · z · g
Ev – potencijalna volumna energija.
Ev = pV
Ek – kinetička energija.
Eu – unutarnja energija.
2
2mwEk
17
Konačan izraz za Bernoulli-jevu jednadžbu za idealne kapljevine:
kg/J wp
gzWwp
gz22
2
222
2
111
Što znači da je energija u presjeku 1 plus izvana dovedena mehanička energija jednaka
energiji u presjeku 2.
Bernoulli-eva jednadžba za realne kapljevine :
R 22
2
2222
2
1111
wpgzW
wpgz
R - gubitak energije trenjem (J/kg),
α – Coriolis-ov koeficijent.
Što znači da je energija u presjeku 1 plus izvana dovedena mehanička energija jednaka
energiji u presjeku 2 plus gubitak energije trenjem koji nije prisutan u Bernoulli-evoj
jednadžbi za realne kapljevine.
18
Primjena Bernoulli-eve jednadžbe na mjerenje brzine strujanja fluida
1. Pomoću zaslona
2. Pomoću Venturi cijevi
2
2
1
2
221 wwpp
p
d
DCw
1
2
4
41
Za određeno strujanje vrijedi:
pKw
Kkonst
d
DC
1
4
4.
1
2
C = 0,98 – 1,15
20
Primjer 1.
U osi cjevovoda unutarnjeg promjera 320 mm smještena je Pitot-ova cijev čiji diferencijalni
manometar pokazuje pad tlaka od 5,8 mm H2O. Cjevovodom struji suhi zrak pod atmosferskim
tlakom, temperature 21 °C. Treba izračunati protok zraka u kg/h.
Rješenje:
d = 320 mm = 0,32 m
p =5,8 mm H2O x 9,80665 = 56,9 Pa
tzr. = 21oC, = 1,16 kg/ m3 (izračuna se linearnom interpolacijom i očitavanjem se iz
tablice Toplinska svojstva zraka pri tlaku zasićenja -
Prilozi)
m' =? [kg/h]
2
wp 2
wmax = s/m905,9
16,1
9,562p2
pošto je Pitot-ova cijev
smještena u osi cijevi, ona mjeri wmax
Budući da nije poznat odnos max
sr
w
w, izračunava se Remax:
D
21
5
6
max
max 1001,210284,18
16,132,0905,9dwRe
te se iz dijagrama ovisnosti wsr/wmax o Reynolds-ovom broju očita odnos max
sr
w
w pa slijedi:
3289059840840840 ,,,w,w,w
wmaxsr
max
sr m/s
skgwd
wAQm srsr /4
2''
'm = 32,816,14
32,0 2
kg/s
m' = 776,0 kg/s ·3600 =2793,4 [kg/h]
22
Primjer 2.
U vodoravni cjevovod promjera 3" umetnut je venturimetar s unutarnjim promjerom suženja
cijevi 41 mm i faktorom C = 0.98. Kroz cjevovod struji 568 l/min vode temperature 23 °C. Treba
odrediti što pokazuje U-manometar priključen na venturimetar?
Rješenje:
D = 3'' = 78 mm = 0,078 m (očita se iz tablice Nominalni promjeri čeličnih cijevi –
Prilozi)
d = 41 mm = 0,041 m
C = 0,98
Q'=568 l/min= 9,467 10-3 m3/s
t = 23 oC; =997,6 kg/m3 (izračuna se linearnom interpolacijom i očitavanjem iz
tablice Toplinska svojstva zraka pri tlaku zasićenja -
Prilozi)
Δp=? Pa
)(2023
2025
2025
2023 CC
CC
CC
CCtt
tt
)2023(2025
2,9981,9972,998
23
C
6,99723
C
kg/m3
23
Q' = 981,1078,0
10467,944
4 2
3
2
'
11
2
1
D
Qww
DwA m/s
12
1
24
4
2
2
1
4
41d
D
C
wpp
d
DCw
3,246606,9971041,0
078,0
98,02
981,14
4
2
2
p Pa
24
Primjer 3.
Cjevovodom promjera 2,5" struji 603 l/min vode temperature 27 °C. U cjevovod je umetnut
venturimetar s unutarnjim promjerom suženja cijevi 38 mm i faktorom C = 0.98. Treba odrediti
što pokazuje U-manometar priključen na venturimetar?
Rješenje:
D = 2,5'' = 62,8 mm = 0,0628 m (očita se iz tablice Nominalni promjeri čeličnih cijevi
– Prilozi)
d = 38 mm = 0,038 m
C = 0,98
Q' = 603 l/min= 10,05 10-3 m3/s
t = 27 oC; =996,26 kg/m3 (izračuna se linearnom interpolacijom i očitavanjem iz
tablice Toplinska svojstva zraka pri tlaku zasićenja -
Prilozi)
Δp=? Pa
)(2527
2530
2530
2527 CC
CC
CC
CCtt
tt
)2527(2530
1,9977,9951,997
27
C
26,99627
C kg/m3
25
Q' = 24,30628,0
1005,1044
4 2
3
2
'
11
2
1
D
Qww
DwA m/s
12
1
24
4
2
2
1
4
41d
D
C
wpp
d
DCw
05,3520426,9961038,0
0628,0
98,02
24,34
4
2
2
p P
26
3. IZRAČUNAVANJE GUBITAKA ENERGIJE TRENJEM
Laminarno strujanje:
je mirno i slojevito, brzina strujanja fluida je razdijeljena po presjeku prema zakonu
kvadratne parabole tako da je u osi presjeka najveća, a na rubovima jednaka nuli.
Turbulentno strujanje:
sastoji se od velikog broja sitnih vrtloga, što prouzrokuje da čestice pored brzine u
smjeru strujanja dobivaju komponente brzine u ostalim smjerovima, tako da im je gibanje
nepravilno, a to ima za posljedicu da se pojedini slojevi međusobno miješaju. Komponenta
brzine čestice, okomita na smjer strujanja stalno koči strujanje i povećava među slojevima
naprezanje na smicanje. Uslijed toga se otpor trenja kod turbulentnog strujanja znatno povećava
u odnosu na laminarno strujanje.
Hagen-Poiseuille-ov zakon laminarnog strujanja:
Ukoliko se izrazu za izračunavanje gubitaka energije trenjem:
21 ppR
uvrsti vrijednost za p1 – p2 iz jednadžbe za wsred tada Hagen-Poiseulle-ov zakon poprima
oblik:
sredwd
LR
2
32
Gubitak energije nastao trenjem (R) direktno je proporcionalan prvoj potenciji srednje brzine
strujanja.
Izračunavanje koeficijenta trenja λ:
ukoliko se jednadžba Hagen-Poiseuille-ovog zakona:
2
2w
d
LR
usporedi s općenitom Darcy-Weissbach-ovom jednadžbom za trenje:
27
wd
LR
2
32
Tada izjednačavanje dvaju jednadžbi poprima oblik:
wd
Lw
d
L
2
2 32
2
64
wd
Rewd
6464
ili
wdRe ili 64Re
što predstavlja bezdimenzionalni oblik Hagen-Poiseuille-ovog zakona. Vidljivo je da je λ
funkcija od Re.
Darcy – Weissbach-ova jednadžba:
kgJw
d
LR
p
2
2
Uvrštavanjem izraza za brzinu: 2
4
d
Qw
'
dobije se oblik jednadžbe: kgJd
QLR
22
28
λ = koeficijent trenja ili otpora
L = duljina cijevi [m]
ν = kinematički viskozitet fluida [m2/s]
µ = dinamički viskozitet fluida [Pa·s]
28
Darcy – Weissbach-ova jednadžba služi za izračunavanje gubitaka trenjem R. Kod toga prvo je
potrebno izračunati Reynolds-ov broj za taj slučaj (dat je izrazom
wdRe ) i relativnu
hrapavost (d
k ) a zatim se λ iz dijagrama očita kao funkcija od Re (dijagram se nalazi u
Prilozima).
Jednadžba za relativnu hrapavost d
k obuhvaća omjer vrijednosti za relativnu hrapavost za
različite vrste cijevi, k, i unutrašnjeg promjera cijevi, d.
Vrijednosti za relativnu hrapavost za različite vrste cijevi:
V R S T E C I J E V I k [mm]
Vučene i prešane
cijevi od bakra i
mjedi, staklene
cijevi od plastičnih
masa i nove tlačne
gumene cijevi
tehnički glatke, kao i cijevi prevučene metalom (bakar,
nikal, krom) …………………………….
glatke …………………………………………...
0.00135 do 0.00152
0.00162
29
Nove bešavne
čelične valjane ili
vučene
tipična valjana površina ………………………...
močene ……………………………….…………
nemočene …………………………….…………
metalizirane …………………………………….
fino pocinčne (uronjavanjem) …………………..
obično pocinčane ……………………………….
0.02 – 0.06
0.03 – 0.04
0.03 – 0.06
0.08 – 0.09
0.07 – 0.10
0.10 – 0.16
Nove varene cijevi
od čeličnog lima
tipična valjana površina
uzdužno varena ……………………….………...
bituminizirane …………………………………..
cementirane ……………………………………..
galvanizirane ……………………………………
0.04 – 0.10
0.01 – 0.05
oko 0.18
oko 0.008
Čelične cijevi
upotrebljavane
ravnomjerno zahrđale …………………………..
umjereno zahrđale (slabe inkrustacije)………….
srednje inkrustacije ……………………………..
jake inkrustacije ………………………………...
nakon duge uporabe očišćene …………………..
bituminizirane …………………………………..
nakon višegodišnje uporabe (srednja vrijednost za rasvjetni
plin) ………………………………..
talog zrnaste površine, vod rasvjetnog plina nakon 20
godina………………………………...
plinski vod nakon 25 godina uporabe, nejednolično
nataložen katran i naftalin………...
oko 0.15
0.15 – 0.4
oko 1.5
2 – 4
0.15 – 0.20
oko 0.1
oko 0.5
oko 1.1
oko 2.5
Zakivane cijevi od
čeličnog lima
nove, lako zakivane …………………..………...
nove, teško zakivane ……………………………
25 godina stare, jako inkrustirane cijevi………...
oko 1
do 9
12.5
Cijevi od lijevanog
željeza
nove, tipična lijevana površina ……….………...
nova, bituminizirane ………………….………...
upotrebljavane, zahrđale ………………………..
inkrustirane ……………………………………..
srednja vrijednost za vodove gradske kanalizacije
……………………………………..
jako zahrđale ……………………………………
0.2 – 0.6
0.1 – 0.13
1 – 1.5
1.5 – 4
1.2
4.5
Drvene cijevi nove …………………………………..………...
nakon duge uporabe (voda) …………..………...
0.2 – 1
0.1
Betonske cijevi
nove, izglađene ……………………….………...
nove, srednje hrapave …………………………..
nove, hrapave …………………………………...
nove betonske cijevi izrađene u čeličnoj oplati, brižljivo
izglađene …………….………………..
nove centrifugalno formirane betonske cijevi, glatko
ožbukane ……………….………………..
nove centrifugalno formirane betonske cijevi bez žbuke
……………………………………………
cijevi s glatkom žbukom nakon višegodišnje uporabe
(voda)………….……………………….
srednja vrijednost cjevovoda bez naslaga ………
srednja vrijednost cjevovoda sa naslagama .……
0.3 – 0.8
1 – 2
2 – 3
0.1 – 0.15
0.1 – 0.15
0.2
0.2 – 0.8
0.2 – 0.3
0.2
2.0
Azbestnocementne
cijevi
nove, glatke …………………………..………… 0.03 – 0.1
Cijevi iz keramike nove, pečene drenažne cijevi ……….…………..
novi vodovi od opeke …………………………..
oko 0.7
oko 9
30
Izračunavanje gubitaka energije trenjem u cjevovodima s fazonskim dijelovima
Gubitak energije trenjem u ravnoj cijevi:
2
2w
d
LRc
Gubitak energije trenjem u fazonskom dijelu:
2
2wR f
Ukupni gubitak energije trenjem:
2
2
1
w
d
LR
RRR
n
i
iuk
fcuk
i = koeficijent mjesnog otpora
Koeficijenti mjesnih otpora:
Gubici u kružnim lukovima
d/r 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20 1.40 1.80 2.00
ζ 0.14 0.16 0.21 0.29 0.44 0.66 0.98 1.98
Koeficijent mjesnog otpora za kružni luk savijen pod kutom
manjim od 90° izračunava se iz jednadžbe:
δ
31
Gubici u koljenima
Gubici pri naglom proširenju presjeka
Gubici pri naglom suženju cijevi
α α 90º 120º 135º 150º
ζ 1.1 0.55 0.35 0.2
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
ζ 1 0.64 0.36 0.16 0.04 0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
ζ 1 0.50 0.43 0.25 0.15 0
Pri ulazu iz spremnika u cijev je = 0,
ako su rubovi oštri ζ =0.50, dok su rubovi
zaobljeni ζ = 0.2.
32
Gubici na ventilima
Pri potpuno otvorenom ventilu koeficijenti mjesnih otpora za pojedine vrste ventila su
sljedeći:
33
Primjer 1.
Kroz neki vodoravni tlačni vod struji voda temperature 22 °C pod tlakom 2 bara. Brzina
strujanja vode iznosi 0,9 m/s. Vod je sastavljen od 100 m ravnih cijevi, unutarnjeg promjera
0,102 m, ali se u njemu nakupilo taloga tako da je slobodni presjek oko 80 mm. U cjevovod je
ugrađeno 24 pravokutna luka (d/R=0,6) i 17 pravokutnih lukova (d/R=0,4), te 2 normalna
ventila.
Koliki je otpor trenja i koji tlak će pokazivati manometar na kraju cjevovoda?
Rješenje:
w = 0,9 m
d = 80 mm = 0,080 m (čelične cijevi)
k = 2 mm = 2 10 –3 m ===== = d
k 0,025 [za jake inkrustacije k = 2-4 mm (pogledati
tablicu Vrijednosti za relativnu hrapavost za različite vrste cijevi - Prilozi)]
L = 100 m
1 = 24 · 0,16 = 3,84
2 = 17 · 0,14 =2,38
3 =2 · 3,9 = 7,8
t = 22 C; = 997,76 kg/m3 (izračuna se linearnom interpolacijom i očitavanjem iz
tablice Toplinska svojstva vode pri tlaku zasićenja -
Prilozi)
μ = 6103032,948 Pa·s (izračuna se linearnom interpolacijom i očitavanjem iz
tablice Toplinska svojstva zraka pri tlaku zasićenja -
Prilozi)
p1 = 2 bara
R = ? p2 = ?
)(2022
2025
2025
2022 CC
CC
CC
CCtt
tt
i = 14,02
34
)2022(2025
2,9981,9972,998
22
C
76,99722
C
kg/m3
)(2022
2025
2025
2022 CC
CC
CC
CCtt
tt
)2022(2025
10414,99310637,88010414,993
666
22
C
6
22103032,948
C Pa·s
kgJw
d
LpR i /
2)(
2
4
610·5,7
10·3032,948
76,99708,09,0·Re
dw
=08,0
102 3
d
k = 0,025
se očita iz Moodye-vog dijagrama ------ λ = 0,053
35
kgJp
R /51,322
9,0·)02,14
080,0
100·053,0(
2
32,018,3243776,997·51,32 PaRp bar
68,132,000,21221 pppppp bar toliko će pokazivati manometar
36
Primjer 2.
Pregrijana vodena para temperature 270 C i tlaka 5,88 bara, struji prstenastim prostorom
između dvije ravne koaksijalne cijevi izrađene od mjedi. Vanjski promjer unutarnje cijevi je 50
mm, a unutarnji promjer vanjske cijevi je 70 mm. Koliki je pad tlaka po dužnom metru cijevi,
ako je brzina strujanja pare 14 m/s. Kinematički viskozitet vodene pare za dane okolnosti je
8,21 10-6 m2/s , a gustoća 2,395 kg/m3?
Rješenje:
Pri t = 270 °C i p = 6 at : = 2,395 kg/m3
= 8,21 · 10-6 m2/s
d = 50 mm = 50 · 10-3 m
D =70 mm = 70 ·10-3 m
dekv = D – d = (70 – 50) ·10-3 = 0,020 m (u tom prostoru struji
pregrijana vodena para)
w = 14 m/s
L = 1 m/s
p ?
4
610·4,334104
10·21,8
020,0·14·Re
ekdw
turbulentno strujanje
)WeisbachDarcy(2
w·
d
LR
p 2
- cjelokupna razlika potencijalne volumne
energije troši se na savladavanje trenja
·2
·2w
d
Lp
k = 0,00162 ·10-3 m – [za glatke cijevi izrađene od mjedi k = 0,00162 mm (pogledati tablicu
Vrijednosti za relativnu hrapavost za različite vrste cijevi - Prilozi)]
d
D
37
= 5
ekv
101,820
00162,0
d
k
se očita iz Moodye-vog dijagrama ------ λ = 0,023
kg/J7,1122
14·
020,0
1·023,0
p 2
92,269395,2·7,112p·Rp Pa
38
Primjer 3.
U nekom vodoravnom tlačnom vodu stoji na raspolaganju voda temperature 6 C i tlaka 8 bara.
Cjevovod se sastoji od novih šavnih čeličnih cijevi promjera 40 mm, dužine 450 m. Voda teče
brzinom 0,95 m/s. Treba izračunati :
a) Koliki je volumen protekle tekućine u m3/s i m3/h ?
b) Koliki je gubitak energije trenjem ?
c) Koji tlak će vladati na kraju cijevi ?
Rješenje:
t = 6 C (Prilog 1); = 999,94 kg/m3
μ = 1487,081 ·10-6 Pa·s
p1 = 8 bar
d = 40 mm = 0,040 m
w = 0,95 m/s
L =450 m
Za nove varene cijevi s tipičnom valjanom površinom k = 0,04 – 0,1 mm (pogledati tablicu
Vrijednosti za relativnu hrapavost za različite vrste cijevi - Prilozi)
k = 0,05 mm (proizvoljno određeno)
Q´, R, p2 =?
Linearnom interpolacijom dobije se :
)(56
510
510
56 CC
CC
CC
CCtt
tt
)56(510
0,10007,9990,1000
6
C
94,9996
C kg/m3
39
)(56
510
510
56 CC
CC
CC
CCtt
tt
)56(510
10741,153410439,129610741,1534
666
6
C
6
610081,1487
C Pa·s
a) hmsmwd
wAQ /28,43600/10·19,195,0·4
·040,0·
4
· 33322
b) kgJw
d
LR /,
2··
2
4
610·55,288,25551
10·081,1487
94,999040,0·95,0·Re
dw
00125,040
05,0
d
k
se očita iz Moodye-vog dijagrama ------ λ = 0,027
40
kgJR /07,1372·04,0
95,0·450027,0
2
PaRpp
R 510·37,194,999·07,137·
c) Pabarppp 5
12 10·63,663,637,100,8
41
Primjer 4.
Kroz vodoravni cjevovod izrađen od lako zakivanog čeličnog lima promjera 600 mm i dužine
35 km struji 250 l/s vode temperature 12 °C. U cjevovod su ugrađena 2 DIN ventila i 10 lukova
(d/R=0,4; δ=90°). Koliki će biti pad tlaka i gubitak energije uslijed trenja u cjevovodu?
Rješenje:
d = 600 mm = 0,6 m
k = 1 mm = 1·10-3 m (očita se iz tablice iz priloga – Vrijednosti za relativnu hrapavost za
različite vrste cijevi)
l = 10 · 0,14 = 1,4
3 =2 · 3,9 = 7,8
L = 35 km = 35000 m = 35·103 m
Q = 250 l/s = 0,250 m3/s
t = 12 °C; ρ = 999,46 kg/m3
μ = 1232,101·10-6 Pa·s
R, Δp =?
Linearnom interpolacijom dobije se :
)(1012
1015
1015
1012 CC
CC
CC
CCtt
tt
)1012(1015
7,9991,9997,999
12
C
46,99912
C
kg/m3
)(1012
1015
1015
1012 CC
CC
CC
CCtt
tt
i = 9,2
42
)1012(1015
10439,129610610,113510439,1296
666
12
C
6
1210101,1232
C Pa·s
0017,06,0
101 3
d
k
smd
Q
d
Q
A
QwwAQ /885,0
1304,1
1
14,36,0
250,044
4
222
5
6103,4
10101,1232
46,9996,0885,0Re
dw
Iz Moody-evog dijagrama odredi se ------ = 0,0235
43
kgJw
d
LpR i /,
2)(
2
kgJp
R /44,5402
885,02,9
6,0
10350235,0
23
barPaRp 4,516,54014846,99944,540
44
Primjer 5.
Kroz neki vodoravni cjevovod struji voda temperature 22 °C. Brzina strujanja vode je 1,4 m/s.
Cjevovod je sastavljen od 155 m ravnih cijevi, unutarnjeg promjera 100 mm, a u njega je
ugrađeno 6 pravokutnih lukova d/R = 0,6 i 4 normalna ventila.
a) Koliki je protok, gubitak energije uslijed trenja i pad tlaka ako je cjevovod izrađen od čistih
čeličnih cijevi s valjanom površinom?
b) Kolika mora biti brzina strujanja, ako se želi zadržati isti protok kao u primjeru A ako se u
cijevima nakupilo toliko taloga da je slobodni presjek 80 mm te koliki su tada gubici energije
uslijed trenja i pad tlaka?
Rješenje:
a)
t = 22 °C
d = 100 mm = 0,1 m
k (nove bešavne čelične valjane ili vučene s tipičnom valjanom površinom) = 0,02 - 0,06 mm
= 0,05·10-3 m (očita se iz tablice iz priloga – Vrijednosti za relativnu hrapavost za
različite vrste cijevi)
L = 155 m
w = 1,4 m/s
Σςl = 6 · 0,16 = 0,96
Σςv = 4 · 3,9 = 15,6
Σςuk = 16,56
μ = 948,303·10-6 Pa·s
ρ = 997,8 kg/m3
R = ?
∆p = ?
Linearnom interpolacijom dobije se :
)(2022
2025
2025
2022 CC
CC
CC
CCtt
tt
45
)2022(2025
2,9981,9972,998
22
C
76,99722
C
kg/m3
)(2022
2025
2025
2022 CC
CC
CC
CCtt
tt
)2022(2025
10414,99310637,88010414,993
666
22
C
6
2210303,948
C Pa·s
smwd
wAQ /011,04,14
14,31,0
4
322
5
6-1047,1
948,303·10
76,9971,04,1Re
dw
0005,0100
05,0
d
k
Iz Moody-evog dijagrama odredi se ---------- = 0,0194
46
kgJw
d
LpR i /
2)(
2
kgJR /7,452
4,156,16
1,0
1550194,0
2
PaRp 41056,48,9977,45
b)
t = 22 °C
d = 80 mm = 0,08 m
k (čelične cijevi upotrebljavane s jakim inkrustracijama) = 2 - 4 mm = 2·10-3 m (očita se iz
tablice iz priloga – Vrijednosti za relativnu hrapavost za različite vrste cijevi)
L = 155 m
Σςl = 6 · 0,16 = 0,96
Σςv = 4 · 3,9 = 15,6
Σςuk = 16,56
μ = 948,303·10-6 Pa·s
ρ = 997,8 kg/m3
47
Q = 0,011 m3/s
w = ?
R = ?
∆p = ?
smd
Qww
dwAQ /2,2
02,0
044,0
14,308,0
011,044
4 22
2
5
6-1085,13803,185186
948,303·10
8,99708,02,2Re
dw
025,008,0
002,0
d
k
Iz Moody-evog dijagrama odredi se ------ = 0,0532
49
4. PRIJENOS TOPLINE
4.1. PRIJENOS TOPLINE KONDUKCIJOM
Kondukcija kroz planparalelnu stjenku
Jednoslojna stjenka:
A
QTT
sq
21 [W/m2]
Toplinski otpor:
sR [m2K/W]
Toplinska vodljivost: R
1[W/m2K]
Višeslojna stjenka:
n
i
n
i i
i R
T
s
Tq
A
Q
11
1
[W/m2]
n – broj slojeva stijeke
Kondukcija kroz stjenku cijevi
Jednoslojna cijev:
1
2
21
1
2
r
rln
TTLQ
[W]
1
2
21
ln1
2
d
d
TTLQ
[W]
s
ds
T 2
T 1
1
s1 s2 s3
T1
T2
T3
T4
dr
r2
r1
T1
T2
A1
A2
r
50
Višeslojna cijev:
n
i i
i
i
n
d
dln
TTLQ
1
1
11
1
2
[W]
Kondukcija kroz stjenku kugle
n
i iii
n
dd
TTQ
1 1
11
111
2
[W]
L – duljina cijevi [m]
r2 – vanjski polumjer cijevi [m]
r1 – unutarnji polumjer cijevi [m]
d1 – unutarnji promjer cijevi [m]
d2 – vanjski promjer cijevi [m]
n – broj slojeva
51
Primjer 1.
Šamotno dno neke peći ima površinu 10 m2, debljinu 1 m i koeficijent toplinske vodljivosti 1,3956
W/m K. Dno se nalazi ma glinenom podu, čiji je koeficijent toplinske vodljivosti 0,5815 W/m K.
Mjerenjem je ustanovljeno da na dubini od 7 m pod ima konstantnu temperaturu 10°C.
Temperatura peći je 1000 °C.
a) Treba izračunati količinu topline koja na sat prolazi kroz pod?
b) Kolika je temperatura između slojeva gline i šamota?
Rješenje:
s1 = 1 m
s2 = 7 m
1=1,3956 W/mK
2=0,5815 W/mK
A=10 m2
T1=1000°C=1273 K
T3= 10°C =283 K
?,Q
2
a)
[W/m2] – gustoća toplinskog toka
2
32
1
21
21
31
2
2
1
1
31
1
R
TTA
R
TTA
RR
TTA
ss
TT
s
TA
Qn
i i
i
[W]
717039651
1
1
1
1 ,,
sR
[m2K/W]
T3=283 K
T2
1 2
s2 s1
T1=1273 K
n
i i
is
T
A
1
52
038,125815,0
7sR
2
22
[m2K/W]
Ruk = R1 +R2 = 12,755 [m2K/W]
277675512
283127310 ,
,
Q
[W]·3600 = 2794417, 4 J/h = 2,794 MJ/h
b) Kod termičkih otpora u seriji odnosi se pad temperature pri pojedinom otporu prema ukupnom
padu temperature kao i pojedini otpor prema ukupnom otporu
uk
11
R
R
T
T
; T
R
RT
uk
11
Toplinski tok jednak je kroz svaki sloj u seriji!
2
32
1
21
21
31
2
2
1
1
31
1
R
TT
R
TT
RR
TT
ss
TT
s
T
A
Qn
i i
i
2
2
1
1
1
R
TA
R
TA
Q
s
T
A
Qn
i i
i
31
21
112
21
31
1
21 TTRR
RTT
RR
TT
R
TT
35,12172831273755,12
717,01273T2 [K] (944,3 °C)
53
Primjer 2 .
Industrijska peć ima cilindrični oblik unutarnjeg promjera 6 m i visine 10 m. Zid peći se sastoji
od četiri sloja, i to unutarnjeg sloja od vatrostalne opeke debljine 25 cm s koeficijentom toplinske
vodljivosti 1,145 W/mK, zatim sloja šamotne opeke debljine 25 cm toplinske vodljivosti 1,745
W/mK. Nakon toga je postavljen sloj dijatomejske zemlje s vodljivošću 0,070 W/mK i debljinom
35 cm i na kraju je peć obložena slojem građevinske opeke s toplinskom vodljivošću 0,442 W/mK
debljine 1 m. Temperatura površine vanjske stjenke građevinske opeke iznosi 55 °C, a temperatura
na granici sloja građevinske opeke i dijatomejske zemlje iznosi 300 °C.
Kolika je temperatura na površini unutarnje stjenke peći, te kolike su temperature na granicama
pojedinih slojeva ?
Rješenje:
d1 = 6 m
L= 10 m
s1 = 25 cm = 0,025 m
s2 = 25 cm = 0,025 m
s3 = 35 cm = 0,035 m
s4 =1 m
d2 = d1 + 2 · s1
d2 = 6,0 + 2 0,25 m = 6,5 m
d3 = d2 + 2 · s2
d3 = 6,5 + 2 0,25m = 7,0 m
d4 = d3 + 2 · s3
d4 = 7,0 + 2 0,35m = 7,70 m
d5 = d4 + 2 · s4
d5 = 7,70 + 2 1 m =9,70 m
1= 1,145 W/mK
2 = 1,745 W/mK
3 = 0,070 W/mK
4 = 0,442 W/mK
t5 = 55 °C
t4 =300 °C
t1, t2, t3 =?
d5
d1
d3
d2
d4
T5
T4
T3
T2
T1
1
2
3
4
54
1. vatrostalna opeka
2. šamotna opeka
3. dijatomejska zemlja
4. građevinska opeka
4
5
43
4
32
3
21
2
1
51
1
1
1
11
1111
2
1
2
d
dln
d
dln
d
dln
d
dln
TTL
d
dln
)TT(LQn
i i
i
n
Količina topline koja prolazi kroz jedan sloj, prolazi kroz sve slojeve pa će vrijediti:
4
5
4
54
3
4
3
43
2
3
2
32
1
2
1
21
1
2
1
2
1
2
1
2
d
dln
TTL
d
dln
TTL
d
dln
TTL
d
dln
)TT(LQ
W,
,
,ln
,d
dln
TTLQ8629466
707
709
4420
1
55300102
1
2
4
5
4
54
L
d
dln
Q
TT
2
1
3
4
343
C,,
,ln
,,
L
d
dln
Q
TT
55938102
07
707
0700
18629466
3002
1
3
4
343
55
C,,
,ln
,,
,L
d
dln
Q
TT
47958102
56
07
7451
18629466
559382
1
2
3
232
C,,
,ln
,,
,L
d
dln
Q
TT
25991102
06
56
1451
18629466
479582
1
1
2
121
56
Primjer 3.
20 m dugačka čelična cijev vanjskog promjera 4 cm, ima na vanjskoj površini temperaturu 200
˚C. Cijev je obložena slojem izolacije debljine 5 cm, čiji je koeficijent toplinske vodljivosti 0,0755
W/mK. Ako je temperatura na površini izolacije 40 ̊ C, koliko se topline gubi u okolinu za 24 sata?
Rješenje:
L = 20 m
d1 = 0,04 m
s1 = 0,05 m
d2 = d1 + 2 · s1
d2 = 0,04 + 2 · 0,05
d2 = 0,14 m
λ = 0,0755 W/mK
T1 = 200 °C = 473 K
T2 = 40 °C = 313 K
1
2
21
ln1
2
d
d
TTLQ
74,1211
04,0
14,0ln
0755,0
1
3134732014,32
Q W
694,10424360074,1211 Q MJ
57
Primjer 4.
Potrebno je odrediti gubitak topline kroz stjenku kotla oblika kugle unutarnjeg promjera 1,2 m
kojemu je debljina stjenke 5 mm. Kotao je izrađen od nehrđajućeg krom nikal željeza čiji je
koeficijent toplinske vodljivosti 16 W/mK, a izoliran je slojem izolacije debljine 100 mm s
koeficijentom toplinske vodljivosti 0,116 W/mK. Temperatura na unutarnjoj strani stjenke kotla
iznosi 140 °C, a na vanjskoj strani izolacije 40 °C.
Rješenje:
d1 = 1,2 m
sče = s1 = 5 mm = 0,005 m
siz = s2 = 100 mm = 0,100 m
d2 = d1 + 2 · s1
d2 = 1,2 + 2 · 0,005 = 1,21 m
d3 = d2 + 2 · s2
d3 = 1,21 + 2 · 0,1 = 1,41 m
λče = λ1 =16 W/mK
λiz = λ2 = 0,116 W/mK
T1 = 140 °C
T2 = 40 °C
n
i iii
n
dd
TTQ
1 1
11
111
2
[W]
621
41,1
1
21,1
1
116,0
1
21,1
1
2,1
1
16
1
4014014,32
Q W
58
Primjer 5.
Za koliko se poveća toplinski otpor željezne cijevi čiji je omjer unutarnjeg i vanjskog promjera
33/38 mm, ako se ona prevuče slojem emajla debljine 0,5 mm?
Koeficijent toplinske vodljivosti željeza je 58,15 W/mK, a emajla 0,58 W/mK.
Rješenje:
Ø 33/38 mm
d1 = 33 mm = 0,033 mm
d2 = 38 mm = 0,038 mm
s1 = (d2 – d1)/2 = (0,038 – 0,033)/2 = 2,5 mm = 2,5·10-3 m
s2 = 0,5 mm = 0,5·10-3 m
d3 = d2 + 2·s2
d3 = 0,038 + 2 · 0,0005 = 0,039 m
λ1 = 58,15 W/mK
λ2 = 0,58 W/mK
53
1
11 103,4
15,58
105,2
sR m2K/W
33
2
22 1086,0
58,0
105,0
sR m2K/W
435
21 1003,91086,0103,4 RRRuk m2K/W
Povećanje termičkog otpora:
21103,4
1003,95
4
1
R
Ruk puta
59
Primjer 6.
Parovod izrađen od čeličnih cijevi čiji je omjer unutarnjeg i vanjskog promjera 46/51 mm izoliran
je 30 mm debelim slojem izolacije s koeficijentom toplinske vodljivosti 0,116 W/mK.
Temperatura unutarnje strane parovoda je 175 °C, a vanjske strane izolacije 45 °C. Parovod je
dugačak 40 m. Koliko topline prolazi kroz izolaciju i čelik u jedinici vremena?
Rješenje:
Ø 46/51 mm
d1 = 46 mm = 0,046 m
d2 = 51 mm = 0,051 m
s2 = siz = 30 mm = 0,03 m
d3 = d2 + 2 · s2
d3 = 0,051 + 2 · 0,03 = 0,111 m
λiz = 0,116 W/mK
λče =50 W/mK
T1 = 175 °C
T3 = 45 °C
L = 40 m
n
i i
i
i
n
d
dln
TTLQ
1
1
11
1
2
[W]
8,4871
051,0
111,0ln
116,0
1
046,0
051,0ln
50
1
451754014,32
QW
60
Primjer 7.
Ravna stjenka neke peći sastoji se iz jednog sloja od 11 cm debelog vatrostalnog izolatorskog
kamenja s koeficijentom toplinske vodljivosti 0,15 W/mK, te od jednog sloja obične opeke 23
cm debljine s koeficijentom toplinske vodljivosti 1,4 W/mK. Temperatura stjenke iznutra je
760 °C, a izvana 77 °C.
a) Koliko se gubi topline na sat i m2?
b) Kolika je temperatura na granici između vatrostalnog kamenja i opeke?
Rješenje:
s1 = 11 cm = 0,11 m
s2 = 23 cm = 0,23 m
λ1 = 0,15 W/mK
λ2 = 1,40 W/mK
T1 = 760 °C
T3 = 77 °C
a)
i
in
i
n
i
n
i
n
UKs
TT
R
TT
R
T
A
1
11
1
11
sR
Za vatrostalno izolatorsko kamenje: 733,015,0
11,0
1
11
sR m2K/W
Za običnu opeku: 164,040,1
23,0
2
22
sR m2K/W
Za ravnu stjenku ukupno: 897,0164,0733,021 RRRuk m2K/W
9,758897,0
7776031
UKR
TT
A
W/m2
61
7,236009,758 A
Q MJ/m2h
b) Kod termičkih otpora u seriji odnosi se pad temperature u pojedinom otporu prema
ukupnom padu temperature kao pojedini otpor prema ukupnom:
R
R
T
T 11
;
R
RTT 1
1
558897,0
733,0)77760()( 1
311
1 R
RTT
R
RTT °C
Prema tome je temperatura među slojevima:
112211 TTTTTT
T2 = 760 – 558 = 202 °C.
Također se T2 može izračunati i iz jednadžbe prema kojoj su toplinski tokovi kroz sve
slojeve jednaki:
2
32
1
2131
R
TT
R
TT
R
TT
A
Q
20277760897,0
733,076031
112 TT
R
RTT °C
62
4.2. PRIJENOS TOPLINE KONVEKCIJOM
Prolaz topline kroz jednoslojnu planparalelnu stjenku
TkA
[W/m2]
Koeficijent prolaza topline:
21
11
1
s
k [W/m2K]
21
41
11
s
TTq [W/m2]
Koeficijent prijelaza topline:
Rs
1
[W/m2K]
Prolaz topline za svaki sloj posebno:
sloj laminarni drugi za
stjenkučvrstu za
sloj laminarni prvi za
432
32
211
TTq
TTs
q
TTq
fluid 1 fluid 2
T1
T2
T3 T4
1 2
s s1 s2
63
Prolaz topline kroz višeslojnu planparalelnu stjenku
n
i i
i
n
s
TT
A
Q
1 21
31
11
[W/m2]
n
ii
n
R
TT
A
Q
1 21
31
11
[W/m2]
n - broj slojeva čvrste stjenke.
PROLAZ TOPLINE KROZ STJENKU CIJEVI
Jednoslojna cijev:
221
2
11
41
1ln
2
11
dd
d
d
LTTQ
[W]
Višeslojna cijev:
n
i vvi
i
iuu
n
dd
dln
d
LTTQ
1
1
31
1
2
11
n – broj slojeva cijevi
Koeficijent prolaza topline po dužnom metru cijevi:
n
i vvi
i
iuu
L
dd
dln
d
k
1
1 1
2
11
[W/mK]
T
1 2
1
T 2 T 3
T 4 T 5
T 6
s 1 s 2 s 3
A2
r1
r2
d1
d2
1
2
A1
T1
T2
T4
T3
64
Toplina izmjenjena u jedinici vremena i dužnom metru cijevi:
TkL
Ql
[W/m]
KOEFICIJENT PRIJELAZA TOPLINE
1. Prijelaz topline s fluida koji turbulentno struji unutar čistih cijevi kružnog presjeka na stjenku
cijevi i obrnuto
dNu
duRe
cPr
d – unutrašnji promjer cjevovoda [m]
Za turbulentno područje – Re(10 000 - 500 000) i Pr(0.7 - 95) vrijedi Dittus – Bolter-ova
jednadžba:
408002250 ,, PrRe,Nu za slučaj kada se fluid grije
308002250 ,, PrRe,Nu za slučaj kada se fluid hladi
Za prijelazno područje – Re(2300 - 10000)
Korekcija faktorom vrijednosti za Nu u ovisnosti o vrijednosti Re broja kao slijedi:
4,08,0PrRe0225,0 Nu za slučaj kada se fluid grije
3,08,0PrRe0225,0 Nu za slučaj kada se fluid hladi
65
Re 2300 3000 4000 5000 6000 7000 8000
0,45 0,66 0,82 0,88 0,93 0,96 0,99
Za laminarno područje – Re(0 - 2300) vrijedi Sieder-Tate-ova jednadžba:
140330 ,
st
,
L
dPrRekNu
gdje vrijedi: 13L
dPrRe k = 1,86
135 L
dPrRe k = 1,62
5L
dPrRe
L
dPrRe,Nu 50
d – promjer cijevi [m]
L – duljina cijevi [m]
µ - viskozitet fluida na temperaturi fluida [Pa·s]
µst – viskozitet fluida na temperaturi stjenke cijevi [Pa·s]
k - konstanta
2. Prijelaz topline sa fluida koji struji prisilnom konvekcijom izvan cijevi na stjenku cijevi (i
obratno)
mnkNu PrRe
pri tome se Nu, Re i Pr izračunavaju kako slijedi:
DNu
66
f
wDRe
f
fpcPr
gdje je D – vanjski promjer cijevi [m], a indeks f se odnosi na laminarni sloj.
Vrijednosti za k, m i n ovise o Re broju:
Re k m n
0,1 - 5
50 - 10000
0,91
0,60
0,31
0,31
0,385
0,50
3. Prijelaz topline sa površine grijane prirodnom konvekcijom
Nu = a (Gr Pr)m
Vrijednosti konstanti a i m ovise o plohi (s koje se ili na koju se toplina prenosi) i o
vrijednosti umnoška Gr i Pr broja.
Sve fizičke karakteristike fluida uzimaju se kod srednje temperature filma.
Za manje, ravne, pravokutne površine kao karakteristična dužina uzima se srednja
vrijednost dužine i širine.
67
Za neke slučajeve njihove su vrijednosti date u slijedećoj tablici:
a m
Vertikalne površine
visine L < 1 m
(Gr Pr) < 104 1,36 1/5
104 < (Gr Pr) < 109 0,59 1/4
(Gr Pr) >109 0,13 1/3
Horizontalni cilindar
promjera D < 200 mm
(Gr Pr) <10-5 0,49 0
10-5 < (Gr Pr) < 10-3 0,71 1/25
10-3 < (Gr Pr) < 1 1,09 1/10
1 < (Gr Pr) < 104 1,09 1/5
104 < (Gr Pr) < 109 0,53 1/4
(Gr Pr) > 109 0,13 1/3
Horizontalne površine
okrenute prema dolje
105 < (Gr Pr) < 2107 0,54 1/4
2107 < (Gr Pr) < 31010 0,14 1/3
Horizontalne površine
okrenute prema gore 3105 < (Gr Pr) < 31010 0,27 1/4
68
Primjer 1.
Kroz cijev unutarnjeg promjera 23 mm struji zrak brzinom od 10 m/s i pri prolazu se zagrije s 0 °C
na 120 °C. Potrebno je odrediti koeficijent prijelaza topline ukoliko se zrak nalazi pod tlakom od 101
325 Pa.
Rješenje:
d = 23 mm = 0,023 m
w =10 m/s
tul =0°C
tiz =120 °C
tsr =60°C
Podatke za zrak na tsr (60°C) potrebno je pronaći u Termodinamičkim tablicama za zrak (Prilozi
– Toplinska svojstva zraka pri tlaku zasićenja)
cp =1017 J/kgK
=0,0279 W/mK
=19,90710-6 Pas
=1,025 kg/m3
57,8421110907,19
025,1023,010Re
6
dw
72002790
10171090719 6
,,
,cPr
p
dNu
dNu
4,08,0 PrRe0225,0 Nu
d
grije sezrak K W/m43,43023,0
0279,072,057,118420225,0PrRe0225,0 24,08,04,08,0
1 d
69
Primjer 2.
U nekom kotlu sa 2 m2 ogrjevne površine koji se poji vodom, proizvodi se suhozasićena para
tlaka 4 bara. Debljina stjenke kotla iznosi 5 mm, a kotao se s vanjske strane grije dimnim
plinovima temperature 500 °C. Potrebno je odrediti temperaturu stjenke na unutarnjoj i vanjskoj
strani, ako je kotao izrađen od:
a) čelika sa koeficijentom prijelaza topline 12 W/m2K i koeficijentom toplinske vodljivosti 50
W/mK;
b) bakra sa koeficijentom prijelaza topline 600 W/m2K i koeficijentom toplinske vodljivosti
372,16 W/mK?
Rješenje:
A = 2 m2
T1 = 500°C
T4 = 151,11°C
p = 4 bar
α1 = 12 W/m2K
α2 = 600 W/m2K
λ1 = λče = 50 W/mK
λ2 = λCu = 372,16 W/mK
skotl. = 5 mm = 0,005 m
a) Za kotao izrađen od čelika:
Tražene temperature se mogu izračunati po principu termičkih otpora u seriji kao da se radi
o planparalelnoj ploči, zbog toga što je mala debljina stjenke kotla, te je potrebno izračunati
pojedinačne termičke otpore.
uk
uk
R
T
R
T
R
Tq
2
2
1
1
0833,012
11
1
1
R m2K/W
0001,050
005,0.
če
kotl
sR
m2K/W
00167,0600
11
2
2
R m2K/W
70
Zbroj svih otpora:
0851,000167,00001,00833,02.1 RRRR kotluk m2K/W
Toplinski tok se računa prema jednadžbi:
79,40990851,0
11,15150041
ukR
TTq W/m2
Temperature stjenke se izračunavaju prema jednadžbi:
0833,0
50079,4099 2
1
21 T
R
TTq
49,1582 T °C
08,1580001,00833,0
50079,4099 3
3
.1
31
T
T
RR
TTq
kotl
°C
b) Za kotao izrađen od bakrenog lima:
Tražene temperature se mogu izračunati po principu termičkih otpora u seriji kao da se radi
o planparalelnoj ploči, zbog toga što je mala debljina stjenke kotla, te je potrebno izračunati
pojedinačne termičke otpore.
0833,012
11
1
1
R m2K/W
0000134,016,372
005,0.
Cu
kotl
sR
m2K/W
00167,0600
11
2
2
R m2K/W
Zbroj svih otpora:
0850,000167,00000134,00833,02.1 RRRR kotluk m2K/W
71
Toplinski tok se računa prema jednadžbi:
83,41030850,0
11,15150041
ukR
TTq W/m2
Temperature stjenke se izračunavaju prema jednadžbi:
0833,0
50083,4103 2
1
21 T
R
TTq
15,1582 T °C
10,1580000134,00833,0
50079,4099 3
3
.1
31
T
T
RR
TTq
kotl
°C
72
Primjer 3.
Ravna stjenka nekog rezervoara izrađena je od čeličnog lima debljine 12 mm, izoliranog 3 cm
debelim slojem mineralne vune, a sve zajedno je obloženo aluminijskim limom debljine 0,6
mm. Temperatura unutar rezervoara je 105 °C, dok je vanjska temperatura 15 °C. Koliki je
gubitak topline s vanjske strane stjenke po jedinici površine i vremena ako je koeficijent
prijelaza topline s unutarnje strane 400 W/m2K, a s vanjske strane 12 W/m2K?
Rješenje:
s1 = 12 mm = 0,012 m
s2 = 3 cm = 0,03 m
s3 = 0,6 mm = 0,0006 m
T1 = 105 °C
T6 = 15 °C
α1 = 400 W/m2K
α2 = 12 W/m2K
λ1 = λče = 50 W/mK
λ2 = λiz = 0,047 W/mK
λ3 = λAl = 209 W/mK
2
23
3
2
2
1
1
1
61
1 21
61
/25,124
12
1
209
0006,0
047,0
030,0
50
012,0
400
1
15105
1111
mWA
Q
sss
TT
s
TT
A
Qn
i i
i
73
Primjer 4.
210 kg/h metilnog alkohola struji kroz jednu cijev izmjenjivača topline. Unutarnji promjer
cijevi je 14 mm. Pri prolazu kroz cijev metanol se ugrije sa 10 °C na 50 °C. Treba odrediti
koeficijent prijelaza topline na strani alkohola.
Rješenje:
d = 14 mm = 0,014 m
m' = 210 kg/h = 0,0583 kg/s
tul =10°C
tiz =50 °C
tsr =30°C
Podaci za metanol na 30°C uzeti iz Termodinamičkih tablica!
cp =2498 J/kgK
=0,212 W/mK
=5,1010-4 Pas
=783 kg/m3
Najprije se odredi vrsta strujanja:
555,10394
1010,5
783014,04836,0Re
4
wd turbulentno strujanje
Budući da je:
wd
wAQm4
''2
4836,0783014,0
0583,04422
'
d
mw
Radi se o području potpune turbulencije za koje vrijedi Dittus-Boelterova jednadžba:
408002250 ,, PrRe,Nu metanol se grije
d
74
10 000<Re<500 000
0,7<Pr<95
L/d>0,60
62120
249810105 4
,
,cPr
p
4,7505,273,16340225,06555,103940225,0PrRe0225,0 4,08,04,08,0 Nu
77,1411d
Nu
[W/m2K]
75
Primjer 5.
Čeličnim cjevovodom promjera 100/110 mm struji 20 l/s vode temperature 98 °C. Treba odrediti
gubitke topline po metru duljine cjevovoda, i to:
a) ako cjevovod nije izoliran i
b) ako je cjevovod izoliran s 3 cm debelim slojem izolacije čiji je koeficijent toplinske vodljivosti
0,093 W/mK.
Temperatura okolnog zraka je 0 °C, a koeficijent prijelaza topline na strani zraka iznosi 10 W/m2K.
Isijavanje zanemariti!
Rješenje:
Q=20 l/s = 0,02 m3/s
d1 =100 mm = 0,1 m
d2 = 110 mm = 0,11m
d3 = 0,11 + 2 · 0,030 = 0,170 m
tv = 98 oC; = 959,8 kg/m3; cp =4 209 J/kgK; = 0,681 W/mK; = 283,412*10-6 Pas (linearnom
interpolacijom izračunati podaci iz tablice Toplinska svojstva vode pri tlaku zasićenja – Prilozi)
če = 50 W/mK
iz = 0,093 W/mK
Tzr = 0 oC
2 = αzr = 10 W/m2K
? L
Q
a) cjevovod nije izoliran
d1
d2
76
Re =
dw
2
,4
d
Qw
Iz gore navedenih jednadžbi slijedi: 84,8623871,010412,283
8,95902,044Re
6
,
d
Q
Turbulentno područje: Re(10 000, 500 000) –Dittus Boelterova jednadžba:
7516810
420910412283 6
,,
,cPr
p
; Re > 104 i 0,7< Pr < 100
Nu = 61,1491PrRe0225,0 3,08,0
1
d
voda se hladi !!!
882,1015775,184,8623891,0
681,00225,0PrRe0225,0 3,08,03,08,0
1 d
W/m2K
TmkL
QL
W/m
5,3
11,010
1
1,0
11,0ln
502
1
1,0882,10157
11ln
2
11
1 22
1
11
n
i i
i
L
dd
d
d
k W/mK
3430985,3
mL TkL
Q
W/m
77
b) cjevovod izoliran s 3 cm debelim slojem izolacije
mKW
dd
d
d
kn
i i
i
L
/07,1
17,010
1
11,0
17,0ln
093,02
1
1,0
11,0ln
502
1
1,0882,10157
1
1ln
2
11
1 32
1
11
36,10509807,1
mL TkL
Q
W/m
1
d1 d2 d3
2
78
Primjer 6.
Treba odrediti koeficijent prijelaza topline pri zagrijavanju mazivog ulja koje protječe kroz cijev
unutarnjeg promjera 50 mm, dužine 2 m brzinom 0,5 m/s. Srednja temperatura ulja je 50 °C, a
stjenke cijevi 100 °C.
Podaci za ulje na temperaturi 50 °C su:
cp = 1842 J/kgK
ρ = 910 kg/m3
λ = 0,174 W/mK
Ovisnost dinamičke viskoznosti ulja o temperaturi dana je u tablici:
T [°C] 25 50 75 100
µ[Pa·s] 0,1903 0,0429 0,0156 0,00573
Rješenje:
µ100°C = 0,00573 Pa·s
µ50°C = 0,0429 Pa·s
w = 0,5 m/s
d = 50 mm = 0,05 m
L = 2 m
Da bi se mogla odrediti vrsta strujanja potrebno je izračunati Reynolds-ov broj:
3,5300429,0
91005,05,0Re
dwlaminarno strujanje
Budući da je područje strujanja laminarno primjenjuje se za izračunavanje koeficijenta prijelaza
topline Sieder-Tate-ova jednadžba, ali je prethodno potrebno odrediti koeficijent jednadžbe:
140330 ,
st
,
L
dPrRekNu
13L
dPrRe k = 1,86
79
135 L
dPrRe k = 1,62
5L
dPrRe
L
dPrRe,Nu 50
15,453174,0
18420429,0Pr
pc
64,60072
05,015,4533,530PrRe
L
d>13k = 1,86
54,4300573,0
0429,0
2
05,015,4533,53086,1PrRe86,1
14,033,014,033,0
stL
dNu
52,15105,0
174,054,43
d
Nu W/m2K
80
Primjer 7.
Treba odrediti koeficijent prijelaza topline sa vanjske stjenke horizontalnog neizoliranog
parovoda na okolni zrak koji miruje. Promjer parovoda je 154/168 mm, temperatura vanjske
stjenke 115 °C, a temperatura okolnog zraka 21 °C.
Rješenje:
du = d1 = 154 mm = 0,154
dv = d2 = 168 mm=0,168 m
tv= 115°C
tzr = 21°C
= ?
Podaci za svojstva zraka uzimaju se na srednjoj temperaturi filma tj. na 68 °C.
KCtsr 341682
21115
Podaci za svojstva suhog zraka na 68 °C izračunati su linearnom interpolacijom iz podataka u
tablici Toplinska svojstva zraka pri tlaku zasićenja - Prilozi
= 1,002 kg/m3
= 20,30·10-6 Pa·s
cp = 1,018 kJ/kgK = 1018 J/kgK
= 0,0285 W/mK
002930341
11,
T f
1/K
Budući da se oko cijevi nalazi zrak koji miruje, toplina se prenosi prirodnom konvekcijom, te se
Nu broj računa:
mPr)Gr(aNu
du
dv
Tv=115°C
Tzr= 21°C
81
dNu
TGaGr
FrGa
2Re
gL
wFr
2
7
26
23
2
23
1012,31030,20
)21115(00293,081,9002,1168,0
TgdGr
72002850
1018103020 6
,,
,cPr
p
77 1031,272,01021,3Pr)Gr(
Prirodna konvekcija:
a m
Vertikalne površine
visine L < 1 m
(Gr Pr) < 104 1,36 1/5
104 < (Gr Pr) < 109 0,59 1/4
(Gr Pr) >109 0,13 1/3
(Gr Pr) <10-5 0,49 0
10-5 < (Gr Pr) < 10-3 0,71 1/25
82
Horizontalni cilindar
promjera D < 200 mm
horizontalno položene
cijevi
10-3 < (Gr Pr) < 1 1,09 1/10
1 < (Gr Pr) < 104 1,09 1/5
104 < (Gr Pr) < 109 0,53 1/4
(Gr Pr) > 109 0,13 1/3
Horizontalne površine
okrenute prema dolje
105 < (Gr Pr) < 2107 0,54 1/4
2107 < (Gr Pr) < 31010 0,14 1/3
Horizontalne površine
okrenute prema gore 3105 < (Gr Pr) < 31010 0,27 1/4
Za horizontalnu cijev ukoliko je:
104<Gr·Pr<109
104<2,31·107<109
vrijedi izraz
250530 ,Pr)Gr(,Nu
odnosno
23,6168,0
0285,01031,253,0
dNu
25,07 [W/m2K]