“Tecnología y Componentes Electrónicos y Fotónicos” · los sólidos cristalinos y, entre...

Universidad de Sevilla

Escuela Superior de Ingenieros

DEPARTAMENTO DE

INGENIERÍA ELECTRÓNICA APUNTES DEL PRIMER PARCIAL DE LA ASIGNATURA

“Tecnología y Componentes

Electrónicos y Fotónicos”

Francisco Colodro Ruiz

Juan García Ortega

Carlos Janer Jiménez

2

Tabla de contenidos:

CAPÍTULO 1 ...................................................................................................................... 6

INTRODUCCIÓN A LOS SÓLIDOS CRISTALINOS .................................................. 6

1.1 SÓLIDOS CRISTALINOS. MATERIALES SEMICONDUCTORES ....................................... 6

1.2 EL ÁTOMO DE HIDRÓGENO. NÚMEROS CUÁNTICOS. ................................................. 9

1.3 ÁTOMOS COMPLEJOS.............................................................................................. 12

1.4 BANDAS DE ENERGÍA ............................................................................................. 14

1.5 PORTADORES DE CARGA EN UN SEMICONDUCTOR: ELECTRONES Y HUECOS........... 17

CAPÍTULO 2 .................................................................................................................... 21

CONCENTRACIONES DE PORTADORES EN EQUILIBRIO TÉRMICO........... 21

2.1 INTRODUCCIÓN. ..................................................................................................... 21

2.2 DENSIDAD DE ESTADOS EN LAS BANDAS DE VALENCIA Y CONDUCCIÓN. .............. 22

2.3 PROBABILIDAD DE OCUPACIÓN DE ESTADOS ......................................................... 24

2.4 CONCENTRACIÓN DE ELECTRONES Y HUECOS EN EQUILIBRIO TÉRMICO ............... 25

2.5 SEMICONDUCTORES EXTRÍNSECOS EN EQUILIBRIO TÉRMICO. ................................ 30

CAPÍTULO 3 .................................................................................................................... 37

PROCESOS DE TRANSPORTE DE CARGA.............................................................. 37

3.1 INTRODUCCIÓN. ..................................................................................................... 37

3.2 MECANISMOS DE DISPERSIÓN DE PORTADORES. .................................................... 39

3.3 CORRIENTE DE ARRASTRE ...................................................................................... 41

3.4 EFECTO DE LA TEMPERATURA Y EL DOPADO SOBRE LA MOVILIDAD. EFECTO DE

SATURACIÓN EN LA VELOCIDAD DE ARRASTRE. ............................................................................ 45

3.5 DIFUSIÓN DE PORTADORES. ................................................................................... 47

3.6 COMPONENTES DE CORRIENTE EN UN SEMICONDUCTOR........................................ 49

3.7 EFECTOS DEL CAMPO ELÉCTRICO EN LAS BANDAS DE ENERGÍA .............................. 51

3

CAPÍTULO 4 .................................................................................................................... 53

GENERACIÓN Y RECOMBINACIÓN DE PORTADORES DE CARGA EN

DESEQUILIBRIO .......................................................................................................................... 53

4.1 INTRODUCCIÓN. ..................................................................................................... 53

4.2 CUASINIVELES DE FERMI. ...................................................................................... 54

4.3 TIEMPO MEDIO DE EXISTENCIA DE PORTADORES EN DESEQUILIBRIO. ................... 57

4.4 TIPOS DE RECOMBINACIÓN. ................................................................................... 59

4.4.1 Recombinación entre Bandas. ........................................................................ 59

4.4.2 Recombinación en Centros de Captura.......................................................... 60

4.4.3 Recombinación superficial ............................................................................. 60

CAPÍTULO 5 .................................................................................................................... 61

ECUACIONES DE CONTINUIDAD ............................................................................. 61

5.1 INTRODUCCIÓN. ..................................................................................................... 61

5.2 ECUACIONES DE CONTINUIDAD.............................................................................. 62

5.3 HIPÓTESIS SIMPLIFICADORAS. ................................................................................ 66

5.4 ECUACIÓN DE DIFUSIÓN DE LOS PORTADORES....................................................... 67

CAPÍTULO 6 .................................................................................................................... 70

EL DIODO DE UNIÓN PN ............................................................................................. 70

6.1 LA UNIÓN P-N EN EQUILIBRIO TÉRMICO.................................................................. 70

6.2 LA UNIÓN P-N POLARIZADA.................................................................................... 74

6.3 CARACTERÍSTICA ESTÁTICA DEL DIODO DE UNIÓN ................................................ 77

6.3.1 Procedimiento de cálculo ............................................................................... 77

6.3.2 Característica estática I-V.............................................................................. 79

6.3.3 Corrientes de generación y recombinación en la RCE .................................. 82

6.3.4 Dependencia de la característica con la temperatura ................................... 83

6.4 CORRIENTES DE PORTADORES EN LAS REGIONES NEUTRAS .................................... 84

6.5 POTENCIALES Y CAMPOS EN LAS CERCANÍAS DE UNA UNIÓN P-N............................ 85

6.6 MECANISMOS FÍSICOS DE RUPTURA EN LAS UNIONES P-N ....................................... 89

4

6.7 EFECTOS CAPACITIVOS DE LA UNIÓN P-N. .............................................................. 91

6.7.1 Dinámica de la unión...................................................................................... 91

6.7.2 Capacidad de Transición................................................................................ 92

6.7.3 Capacidad de difusión .................................................................................... 93

6.7.4 Corriente total por un diodo........................................................................... 95

6.8 REPUESTA DINÁMICA DEL DIODO EN PEQUEÑA SEÑAL Y CONMUTACIÓN ......... 95

6.8.1 Modelo de pequeña señal del diodo ............................................................... 95

6.8.2 Respuesta en conmutación y tiempo de recuperación .................................... 98

CAPÍTULO 7 .................................................................................................................. 101

CIRCUITOS CON DIODOS ......................................................................................... 101

7.1 MODELOS DE GRAN SEÑAL DEL DIODO ................................................................. 101

7.1.1 Introducción.................................................................................................. 101

7.1.2 Análisis gráfico de circuitos con diodos....................................................... 103

7.1.3 Modelos aproximados del diodo................................................................... 104

7.1.4 Análisis en continua de circuitos con diodos ............................................... 109

7.2 CIRCUITOS RECTIFICADORES ................................................................................ 112

7.2.1 Fundamentos de la rectificación .................................................................. 112

7.2.2 Circuito rectificador de media onda............................................................. 114

7.2.3 Circuito rectificador de onda completa........................................................ 117

7.3 CIRCUITOS RECTIFICADORES CON CONDENSADOR................................................ 119

7.4 CIRCUITO REGULADOR CON DIODO ZENER .......................................................... 122

7.5 DETECTOR DE ENVOLVENTE ................................................................................ 126

CAPÍTULO 8 .................................................................................................................. 133

DISPOSITIVOS FOTÓNICOS ..................................................................................... 133

8.1 INTRODUCCIÓN .................................................................................................... 133

8.2 EL DIODO EMISOR DE LUZ (LED) ......................................................................... 134

8.2.1 Mecanismos de recombinación de portadores ............................................. 135

8.2.2 Semiconductores de Transición Directa e Indirecta. ................................... 136

8.2.3 Materiales para emisores de luz. .................................................................. 138

5

8.2.4 Característica de los dispositivos semiconductores emisores de luz ........... 139

8.3 DISPOSITIVOS FOTODETECTORES. ........................................................................ 139

8.3.1 Fotoconductores ........................................................................................... 141

8.3.2 El Fotodiodo PIN......................................................................................... 143

8.3.3 El fotodiodo de Avalancha (APD) ................................................................ 146

8.4 LA FIBRA ÓPTICA ................................................................................................ 146

6

CAPÍTULO 1

INTRODUCCIÓN A LOS SÓLIDOS CRISTALINOS

1.1 SÓLIDOS CRISTALINOS. MATERIALES SEMICONDUCTORES

Las sustancias sólidas que se encuentran en la naturaleza pueden clasificarse según el

modo como se organizan los átomos que las constituyen. En los sólidos cristalinos, los átomos se

organizan siguiendo un patrón de regularidad que se repite en todo el espacio ocupado por el

cuerpo (Figura 1). En los sólidos policristalinos existen también determinados patrones de

regularidad que se repiten en regiones locales del cuerpo y que pueden variar de una de estas

regiones a otra. Y por último existen sólidos llamados amorfos donde los átomos constituyentes

están localizados de una manera arbitraria, no pudiéndose encontrar ningún patrón de regularidad.

En la actualidad todos los dispositivos electrónicos están construidos sobre sustratos de material

semiconductor cristalizado. Por ello, desde el punto de vista de la ingeniería electrónica, sólo los

sólidos cristalinos tienen interés. El resto de este apartado se dedica a resumir brevemente algunas

características de éstos.

Los sólidos cristalinos tienen una estructura muy regular. Los átomos que los constituyen

están ordenados en el espacio de una manera periódica casi perfecta, de forma que el sólido puede

verse como un “mosaico”, en el que existe un bloque elemental que se repite regularmente. En la

Figura 2 se muestran distintos ejemplos, donde se observa que la red puede describirse por medio de

un paralelepípedo elemental (celdilla elemental) que se repite periódicamente en el espacio

construido sobre los tres vectores de translación asociados a sus aristas. Esta estructura lleva a que

los cristales sean sustancias anisótropas, es decir, sustancias cuyas propiedades dependen de la

7

dirección o el plano en que se midan. No es difícil convencerse de esto si se observa que existen

direcciones y planos esencialmente distintos, donde la periodicidad en la repetición de átomos es

distinta.

Figura 1. Ilustración de los diferentes tipos de sólidos para un cuerpo bidimensional: (a) cristalino, (b)

policristalino y (c) amorfo

Figura 2. Algunos ejemplos de celdas elementales

8

Los cristales poseen numerosas simetrías, es decir, existen distintas direcciones no

paralelas y planos no paralelos estructuralmente idénticos unos a otros. Estas propiedades de

simetría tienen una influencia importante en las propiedades de los sólidos, ya que el diagrama de

bandas del sólido (se introducirá más tarde) refleja estas simetrías. Todas las propiedades físicas de

los sólidos cristalinos y, entre ellas, las propiedades eléctricas, dependen del comportamiento

colectivo de los átomos que los forman, átomos que, como se ha dicho anteriormente, están

ordenados en una red tridimensionalmente periódica.

La mayoría de los materiales que poseen propiedades semiconductores o que se combinan

con otros para la fabricación de semiconductores pueden encontrarse en los grupos II B, III A, IV A,

V A y VI A de la Tabla Periódica de los Elementos Químicos (ver Tabla 1). La columna IV tiene un

especial interés por encontrarse los semiconductores elementales. En los primeros años del

desarrollo de la electrónica de estado sólido, el material más usado fue el Ge. Sin embargo, en la

actualidad la mayoría de dispositivos y componentes electrónicos que se comercializan están

construidos sobre Si. Una de las características de estos dos materiales es que no son fotoemisivos.

Tabla 1. Recuadrados los elementos utilizados en la fabricación de semiconductores

II B III A IV A V A VI A

B (Boro) C (Carbono) N (Nitrógeno) O (Oxígeno)

Al (Aluminio) Si (Silicio) P (Fósforo) S (Azufre)

Zn (Zinc) Ga (Galio) Ge (Germanio) As (Arsénico) Se (Selenio)

Cd (Cadmio) In (Indio) Sn (Estaño) Sb (Antimonio) Te (Teluro)

Hg (Mercurio) Tl (Talio) Pb (Plomo) Bi (Bismuto) Po (Polonio)

A diferencia de ellos, la mayoría de los compuestos binarios formados por elementos de

los grupos III y V de la tabla tienen la propiedad de poder emitir radiación óptica en el intervalo

espectral del infrarrojo cercano y luz visible. Algunos de estos son: GaAs, InP, InSb, ... El GaAs

es un material semiconductor con especial relevancia en las comunicaciones por fibra óptica, pues

fue el material más empleado en los comienzos de éstas para la realización de dispositivos emisores

9

de luz (λ=0.85 µm). También por algunas de sus características1 se emplea en la generación de

microondas para la telecomunicación. En la actualidad se están usando también en el terreno de las

comunicaciones ópticas compuestos ternarios y cuaternarios (Ej: AlGaAs, InGaAsP, ... ) El

compuesto GaP permite la realización de dispositivos fotoemisores que irradian luz visible, y

dependiendo de las impurezas2 con que se dope, se puede conseguir luz verde o roja. El compuesto

ternario GaAsP también emite luz visible.

1.2 EL ÁTOMO DE HIDRÓGENO. NÚMEROS CUÁNTICOS.

Las propiedades eléctricas y térmicas de los sólidos están caracterizadas por la estructura de

las bandas de energía de los mismos. La formación de estas bandas surge por la interacción de los

electrones de los átomos constituyentes del sólidos y por la naturaleza cuántica de los mismos. Por

ello, será necesario en este apartado introducir algunos de los resultados más importantes de la

rama de la física conocida como Mecánica Cuántica. La Mecánica Cuántica estudia el mundo

subatómico, y en particular la interacción de las partículas que forman a los átomos y las fuerzas de

enlace de los sólidos. Para ilustrar la presentación de los resultados que tienen interés para nosotros,

utilizaremos como ejemplo el sistema físico constituido por un protón y un electrón, es decir, un

átomo de hidrógeno.

Según el modelo del átomo de hidrógeno clásico, el protón, que tiene una masa 1836 veces

mayor que la del electrón, permanece en reposo, mientras el electrón gira a su alrededor. El sistema

permanece en equilibrio dinámico3 cuando se iguala la fuerza eléctrica de atracción entre ambas

partículas con la fuerza centrífuga del electrón. El estado del sistema está caracterizado por la

posición y la velocidad del electrón en cualquier instante de tiempo. El sentido físico de ambas

magnitudes es bien conocido por el alumno. Ahora bien, según el Principio de Incertidumbre de

Heisenberg, es imposible medir simultáneamente la posición y el momento lineal de una partícula,

1 Como se vera en capítulos posteriores presenta una resistencia de pequeña señal negativa para ciertos valores de polarización 2 Por impurezas en este caso entendemos átomos diferentes al Ga y al P que se insertan en la red cristalina del compuesto GaP de una manera controlada. El GaP es un semiconductor de transición indirecta, esto quiere decir que por si sólo no es un material fotoemisor, por ello la necesidad de utilizar impurezas 3 En realidad, según la mecánica clásica, el electrón es una particula acelerada que irradia energía electromagnética y que por tanto acaba precipitándose sobre el protón. Es un sistema inestable.

10

es decir, no es posible saber simultáneamente la posición y la velocidad de la partícula. Por tanto,

para definir el estado del electrón, y así estudiar el átomo de hidrógeno como un ente cuántico, hay

que renunciar a las ideas clásicas. En mecánica cuántica, el estado de una partícula4 es definido por

la función de onda )(rrψ . El sentido físico de la función de onda es dado por la interpretación de la

cantidad Vr ∂2|)(| rψ como la probabilidad de encontrar al electrón en el pequeño volumen de valor

V∂ situado en el punto del espacio rr .

Figura 3. Funciones de densidad de probabilidad del átomo de hidrógeno.

Una de las conclusiones inmediatas que se pueden obtener es que el electrón ya no se

puede considerar como una partícula localizada en un punto determinado, sino que se encuentra

localizado en una región difusa en torno al núcleo. A esta región se conoce con el nombre de

4 Entendemos por estado en este caso todo lo que físicamente se puede conocer de la partícula.

11

orbital5 y la probabilidad de encontrar al electrón en la misma es alta. En la Figura 3 se representa la

apariencia tridimensional del módulo al cuadrado de varias funciones de onda de un electrón

perteneciente a un átomo de hidrógeno aislado. Las regiones sombreadas indican dónde existe una

probabilidad mayor de encontrar al electrón.

Uno de los resultados de la Mecánica Cuántica es que no siempre las magnitudes físicas

pueden tomar infinitos valores de un intervalo continuo. Por ejemplo, la energía del electrón en el

átomo de hidrógeno, según las ideas clásicas, era una función continua de la distancia al núcleo, es

decir, )(rEE = . Como r toma valores en el intervalo ),0( +∞ , E toma también valores en otro

intervalo continuo. Sin embargo, la teoría cuántica nos dice que en la realidad la energía del

electrón sólo puede tomar valores de un conjunto discreto, es decir, ,...3,2,1== nEE n En

la Figura 4 se muestran los diferentes valores de energía que puede tomar el átomo de hidrógeno.

Como se observa, en el estado fundamental ( 1=n ), la energía es eVE 6.131 −= . Por tanto, para

ionizar al átomo es necesario suministrar externamente al átomo la energía de 13.6 eV. Cada vez

que el electrón pasa de un nivel de energía superior a uno inferior, la diferencia de energía se emite

como un fotón. Si ocurre el proceso contrario, es decir, un electrón pasa de un nivel energético

inferior a uno superior, el átomo absorbe un fotón. La relación entre la energía del fotón y su

frecuencia es dada por la ley de Planck, hfE = , donde Jsh 3410625.6 −⋅= es la constante de

Planck. El índice n utilizado para enumerar los diferentes valores de energía del átomo se conoce

por número cuántico principal y toma valores desde 1 hasta ∞+ .

Cada nivel de energía se corresponde con un estado electrónico6, teniendo asociado una

función de onda (o un orbital). Sin embargo, en el átomo existen otras magnitudes físicas que se

conservan, que toman valores discretos y que pueden ser medidas simultáneamente junto con la

energía. Por tanto, los valores que estas magnitudes toman están indexados por variables enteras l

y m . El número cuántico orbital l nos indica el valor del módulo del momento angular alrededor

5 En la mecánica cuántia el electrón recorría una trayectoria perfectamente definida y era posible predecir donde estaría en instantes futuros de tiempo. Por ello se hablaba de órbita, concepto acuñado por la similitud del átomo con un sistema planetario. Como en realidad no es posible predecir la posición del electron, se ha acuñado el concepto de orbital. 6 En la realidad, el átomo de hidrógeno es degenerado, es decir, diferentes estados electrónicos pueden tener el mismo valor de energía. Este hecho se observa en la Figura 3, donde diferentes orbitales poseen el mismo número n .

12

del núcleo que puede tomar un electrón en un determinado estado y el número cuántico magnético

m nos indica el valor que puede tomar la proyección del momento angular del electrón alrededor

del núcleo sobre una dirección arbitraria del espacio. Para un valor determinado n del número

cuántico principal, los valores que puede tomar el número cuántico orbital son 1,...,1,0 −= nl . Y

para un valor determinado l , los posibles valores que puede tomar el número cuántico magnético

son llm ,...,0,...,−= .

Figura 4. Los cinco niveles menores de energía del átomo de hidrógeno y el nivel de ionización.

Existe un cuarto número cuántico conocido como spin, que sólo puede tomar dos valores

2/1,2/1 +−=s y que está relacionando con las dos únicas orientaciones de giro del electrón

entorno a sí mismo. Por tanto, podemos concluir, que para definir el estado electrónico de un

electrón en el átomo, es necesario indicar cuatro números cuánticos. O dicho de otra manera, la

función de onda del electrón en un estado estacionario es función del vector de posición rr y de

cuatro parámetros que son números enteros )(,,, rsmlnrψψ = .

1.3 ÁTOMOS COMPLEJOS

El átomo de hidrógeno es el más sencillo de analizar por tener un sólo un electrón. Sin

embargo, muchas de las conclusiones a las que se han llegado en el apartado anterior siguen siendo

válidas para átomos con un número mayor de electrones. Concretamente, los valores energéticos

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que pueden tomar los electrones son discretos y cada estado electrónico es definido por los cuatros

números cuánticos. Se dice que todos los electrones que ocupan estados con el mismo número

cuántico principal constituyen una capa. Dentro de una capa, todos los electrones con el mismo

número cuántico orbital forman una subcapa. A cada valor de l se le asigna una letra, tal y como se

muestra en la Tabla 2. Así pues, una subcapa se puede identificar indicando los números cuánticos

n y l . Por ejemplo, la notación 33p indica que en la subcapa 1=l de la capa 3=n , sólo hay tres

estados electrónicos ocupados de los 6 estados totales. El número máximo de electrones que puede

haber en una subcapa figura también en la Tabla 2 y se deja como ejercicio que el alumno

compruebe de donde se obtienen los mismos.

Tabla 2 Letras asignadas al número cuántico orbital y número máximo de electrones en cada subcapa

Número cuántico orbital 0 1 2 3

Letra s p d f

Número máximo de electrones 2 6 10 14

La ocupación de los estados electrónicos de un átomo con un número determinado de

electrones se rige por dos principios físicos fundamentales7. Estos son:

1. Principio de la mínima energía. Todos los electrones tienen la tendencia natural de ocupar

los estados de menor energía.

2. Principio de Exclusión de Pauli. No puede haber dos o más electrones con los cuatro

números cuánticos iguales. Si esto fuera posible, todos los electrones de un átomo ocuparían

el estado fundamental o de menor energía.

Por tanto, los electrones ocupan los estados electrónicos de menor a mayor energía sin

poder haber más de un electrón en el mismo estado. La configuración electrónica de un átomo

7 En realidad sería necesario una tercera regla de ocupación, el principio de máxima multiplicidad o regla de Hund. Pero en nuestro caso no tiene interés.

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nos indica como los electrones se distribuyen por las diferentes subcapas del mismo. Como ejemplo

pondremos algunos elementos semiconductores del grupo IV A de la tabla periódica.

• El número de electrones del Si es 14 y su configuración electrónica es:

22622 33221 pspss .

• El Ge tiene 32 electrones y por tanto: [ ] 2210 443 psdAr . El símbolo [ ]Ar refiere la

configuración electrónica del gas noble argón.

Las propiedades eléctricas de los sólidos están íntimamente relacionadas con los electrones

de la última capa de los átomos constituyentes. Para el caso de los semiconductores del grupo IV A,

en su última capa ( 3=n para el Si y 4=n para el Ge) hay cuatro electrones.

1.4 BANDAS DE ENERGÍA

En este apartado y el siguiente se pretende describir, de una forma aproximada, el

comportamiento de aquellos electrones de un sólido que son responsables de sus propiedades

eléctricas, es decir, su mayor o menor capacidad para conducir la electricidad. Si se consideran los

átomos aislados, antes de formar el sólido cristalino, resulta que son los electrones de la última

capa los que, al formarse el sólido, determinan las propiedades eléctricas de éste. Se tendrá, pues,

que para conocer las propiedades eléctricas de un sólido es preciso describir el comportamiento de

mN × objetos cuánticos (electrones), donde N es el número de átomos del sólido y m el número de

electrones de la última capa del átomo aislado.

La extensión espacial de la función de onda asociada a los electrones de un átomo es tanto

mayor cuanto mayor sea el nivel energético del electrón. Por ello, son precisamente las funciones

de onda de los electrones de valencia las que en mayor medida interaccionan entre sí cuando se

forma el sólido cristalino. Esto justifica el considerar separadamente el conjunto formado por el

núcleo del átomo y los electrones internos, por un lado, y los electrones de valencia por otro.

Cuando dos átomos están lo suficientemente separados, los electrones de uno y otro no

interaccionan entre sí. Las regiones sombreadas de la Figura 3 correspondientes a electrones

equivalentes de estos dos átomos no se solapan. Aquellos electrones que ocupan niveles similares

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en ambos átomos tienen la misma energía y están descritos por funciones de onda iguales (mientras

no haya interacción entre ambos). Sin embargo, a medida que se aproximan dos átomos, las

funciones de onda que describen el comportamiento de dos electrones comienzan a solaparse con lo

que se ven perturbadas, es decir, se modifican ambas funciones. Cualitativamente se observa un

desplazamiento en los niveles energéticos de ambos electrones de forma que éstos no coincidan.

Esto es debido a que los electrones son un tipo particular de entes cuánticos, los fermiones, que

poseen una característica muy especial: dos o mas fermiones no pueden ocupar un mismo estado

cuántico8. Por este motivo se separan los niveles energéticos de los electrones al aproximarse para

formar la red cristalina.

Figura 5. Formación de las bandas de valencia y conducción de un cristal de carbono.

En la Figura 5 se observa lo que ocurre a medida que se acercan los N átomos de una red

cristalina de carbono. Los 2N niveles energéticos 2s de los átomos, así como los 6N niveles 2p,

empiezan a separarse, formando, inicialmente, dos “bandas” de niveles energéticos, una

correspondiente a los niveles 2s de los átomos y otra correspondiente a los niveles 2p. Si el

acercamiento entre átomos continúa, las dos bandas se funden en una sola. Si la aproximación

8 Es una forma diferene de enunciar el principio de exclusión de Pauli.

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continúa, esta banda se divide en dos, cada una de las cuales contiene 4N niveles energéticos. La

banda inferior recibe el nombre de banda de valencia y la superior banda de conducción. En la

figura se ha representado también la distancia de separación entre átomos en la red del diamante, es

decir, la distancia para la cual la energía total del sistema se hace mínima. El intervalo de

separación entre ambas bandas recibe el nombre de banda prohibida y la diferencia de energía

entre ellas anchura de la banda prohibida.

A una temperatura igual a 0K, los electrones ocupan los niveles de energía más bajos. El

diamante cuenta con cuatro electrones en su última capa, por lo que la banda de valencia estará

totalmente ocupada, mientras que la banda de conducción estará totalmente vacía. Para que un

electrón pueda desplazarse como una partícula a lo largo de la red cristalina (condición

indispensable para que sea conductor de la electricidad) debe tener estados de energía superiores

accesibles (vacíos) dentro de la banda a la que pertenece. Por ello se puede deducir que a 0K el

diamante es un aislante perfecto. A temperaturas superiores a 0K los electrones no tienen por qué

ocupar necesariamente los niveles energéticos más bajos posibles y existe una probabilidad no nula

de que un electrón ocupe un estado energético de la banda de conducción. La probabilidad de que

un electrón que a 0K ocupa la banda de valencia pueda ocupar la banda de conducción, depende

tanto de la temperatura como de la anchura de la banda prohibida. En el diamante la anchura de la

banda prohibida es lo suficientemente grande como para que a temperatura ambiente la

probabilidad de que esto ocurra sea ínfima. Por ello el diamante es una excelente aislante incluso a

temperaturas altas.

Figura 6. Diferencias entre metales, metales de transición, dieléctricos y semiconductores.

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Los metales son buenos conductores de la electricidad debido a que la banda de conducción

no está vacía sino que se encuentra parcialmente llena, o bien puede ocurrir que la banda de

valencia y la banda de conducción se solapen entre sí (este es el caso de los metales de transición),

tal como se muestra en la Figura 6.

Hay determinados sólidos cristalinos que presentan características de conducción eléctrica

intermedias entre las de los aislantes y los metales. Son los semiconductores, entre los que cabe

destacar el Silicio, el Germanio y el Arseniuro de Galio. En estos materiales la anchura de la banda

prohibida es lo suficientemente pequeña para que a temperatura ambiente haya una concentración

no despreciable de electrones en la banda de conducción. Este tipo de materiales es aislante a

temperaturas bajas y su conductividad eléctrica crece a medida que aumenta la temperatura. En el

siguiente apartado se discutirá con mayor detalle el proceso de conducción de corriente en un

semiconductor.

1.5 PORTADORES DE CARGA EN UN SEMICONDUCTOR: ELECTRONES Y

HUECOS

Antes de introducir el concepto de huecos es conveniente recordar la naturaleza del enlace

covalente. Como se sabe de química, la tendencia natural de todo átomo que se combina consigo

mismo o con otros elementos de la tabla periódica para formar una molécula o un sólido es alcanzar

la configuración electrónica de un gas noble. Los gases nobles son elementos no reactivos, es decir,

no se combinan con ningún otro elemento, debido a que su última capa está cerrada. Por capa

cerrada entendemos la existencia de ocho electrones, y su configuración electrónica es 62 pns ,

donde n es el número cuántico principal. Un ejemplo muy ilustrativo es el enlace iónico de la sal

común o cloruro sódico NaCl. El Na tiene en su última capa sólo un electrón y el Cl le falta uno

para completar la capa 3sp. Por tanto, el Na ([Ne]3s1) entrega su electrón de valencia al Cl

([Ne]3s23p5) y ambos átomos se quedan con la configuración electrónica del Ar y Ne,

respectivamente. Como consecuencia de ello, el átomo de Na queda ionizado positivamente y él de

Cl negativamente, formándose el sólido por atracción electrostática.

Sin embargo, las sustancias semiconductoras se unen mediante el enlace covalente.

Recordamos que el silicio ([ ] 223 psNe ) tiene en su capa de valencia cuatro electrones. Cuando este

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elemento se combina para formar el sólido, el átomo comparte sus cuatro electrones de valencia

con los cuatro electrones situados a su alrededor. A su vez estos comparten con el átomo uno de sus

electrones. Como se observa en la Figura 7, el átomo A1 comparte sus electrones con los átomos

vecinos, de tal modo que los dos electrones de un enlace covalente pertenecen por igual a los dos

átomos unidos por ese enlace. De esta manera, cada átomo tiene ocho electrones en su última capa

formando un sistema estable.

A la temperatura del cero absoluto (0K), sin presencia de ninguna excitación externa, todos

los electrones de la red están “localizados” en sus respectivos enlaces covalentes. Por tanto, el

semiconductor se comporta como un aislante. Por ejemplo, ninguno de los dos electrones del

enlace A6-A7 (enlace entre el átomo A6 y el A7) puede ubicarse en los estados del enlace A6-A1

porque, al estar estos últimos ocupados, lo impide el principio de exclusión de Pauli. Esta situación

se correspondería con la banda de valencia completa y la banda de conducción vacía. Sin

embargo, como se observa en el átomo A2 de la figura, cuando la temperatura del material es

superior al cero absoluto, algunos electrones adquieren suficiente energía térmica para liberarse del

enlace. Este caso se correspondería con la generación térmica de un par electrón-hueco, que

visto en la estructura de bandas de energía, supondría una transición de un electrón desde la banda

de valencia a la banda de conducción (Figura 8). Al enlace “roto” en A2 se le llama hueco. Si ahora

se aplica un campo eléctrico externo, el electrón de la banda de conducción se movería en el

sentido contrario al campo, generándose corriente eléctrica. En la banda de valencia también se

generaría corriente, puesto que ahora sí hay estados electrónicos desocupados. Este proceso se

ilustra en la Figura 7 donde por acción térmica se generó un par e-h en el átomo A5. El electrón es

desplazado hacia la izquierda (proceso en la banda de conducción) mientras que un electrón de un

enlace vecino pasa a ocupar el hueco generado. El proceso de transferencia de un electrón de un

enlace completo a un enlace roto continúa hasta que finalmente el hueco acaba en el átomo A3.

Nótese que la ausencia de un electrón en un enlace supone que el átomo se queda ionizado

positivamente y con el desplazamiento del hueco desde A5 hasta A3 se ha producido un

desplazamiento neto de una carga positiva hacia la derecha. Por tanto, podemos concluir que a

efectos prácticos un enlace roto se comporta como una partícula de carga positiva, libre (se

puede desplazar por la red cristalina) y de valor igual a la carga del electrón.

19

Tanto los electrones como los huecos en el interior de la red cristalina no son partículas

libres ni clásicas. Sin embargo, se puede demostrar que en los extremos de las bandas9 ambas

partículas obedecen las leyes de Newton ante la excitación de un campo eléctrico o magnético

externo con tal que redefinamos el valor de sus masas inerciales. A los nuevos valores los

llamaremos masas efectivas. A lo largo de esta asignatura utilizaremos la siguiente notación:

• mn masa efectiva del electrón

• mp la masa efectiva del hueco

Una justificación rigurosa de este hecho no se dará en esta asignatura por la complejidad de

la misma, pero si podemos justificarlo diciendo que el electrón (o el hueco) no sólo se ve sometido

a la fuerza del campo aplicado externamente, sino también a las fuerzas internas del cristal (núcleos

atómicos, impurezas ionizadas, otros electrones de la red, ...). Para no incluir las fuerzas internas en

nuestros análisis y considerar sólo las fuerzas externas, debemos modificar el valor de la masa.

Figura 7. Representación bidimensional del enlace covalente en el silicio. Generación térmica de un par e-h en el

átomo A2. Desplazamiento por un campo eléctrico del par e-h generados térmicamente en el átomo A5 (Flechas

de trazo continuo: Movimiento de portadores. Flechas de trazo discontinuo: Generación de pares de e-h

9 Electrón en el mínimo de la BC y el hueco en el máximo de la BV

20

Por último aclaramos que cuando se genera un par e-h, el electrón tiende a ocupar los

estados de menor energía, es decir, aquellos que están entorno al mínimo de la banda de

conducción (BC). Sin embargo, con los huecos ocurre lo contrario. El hueco es un estado

electrónico vacío, por lo que tiende a estar en los valores más altos de energía, como una burbuja de

aire en una botella de agua tiende a estar siempre arriba.

Figura 8. Generación de un par e-h. Por acción térmica, un electrón de la banda de valencia es transferido a la

banda de conducción.

21

CAPÍTULO 2

CONCENTRACIONES DE PORTADORES EN EQUILIBRIO TÉRMICO

2.1 INTRODUCCIÓN.

A la temperatura de 0K el sólido cristalino posee una energía mínima. A medida que

aumenta la temperatura la energía del sólido crece, de forma que los elementos que lo componen,

núcleos de la red cristalina y electrones de la banda de conducción, adquieren energías cada vez

mayores. Los núcleos de la red comienzan a vibrar alrededor de sus posiciones de equilibrio. Por

otro lado, los electrones, que a 0K ocupaban todos los estados energéticos de la banda de valencia y

ninguno en la banda de conducción, empiezan a ocupar estados cuánticos de la banda de

conducción (que son más energéticos).

Se observa, pues, que las propiedades eléctricas de los semiconductores dependen de la

temperatura, ya que la concentración de portadores de carga, electrones y huecos, es función de la

temperatura. La dependencia de los estados vibratorios de los núcleos de la red con la temperatura

también hace que las propiedades eléctricas de los semiconductores cambien con ella ya que, según

se verá en otro tema, uno de los mecanismos de dispersión de los portadores de carga es la

interacción de éstos con los núcleos de la red cristalina; esta interacción es tanto más probable

cuanto mayor sea la energía de vibración de los núcleos de la red.

22

En esta lección se pretende determinar la concentración de portadores de carga (electrones y

huecos) que, a una temperatura dada, existe en un semiconductor. En primer lugar se centrará el

estudio sobre los semiconductores intrínsecos, es decir, aquellos en los que electrones y huecos se

crean exclusivamente mediante excitación térmica. Los portadores de carga creados de esta manera

reciben el nombre de portadores intrínsecos y la conductividad debida a estos portadores (la única

que existe en los semiconductores intrínsecos), conductividad intrínseca. En un semiconductor

intrínseco el número total de electrones en la banda de conducción es igual al número total de

huecos en la banda de valencia ya que, al pasar un electrón de la banda de valencia a la de

conducción, éste deja un hueco en la banda de valencia. Para hallar la conductividad de un

semiconductor hay que determinar previamente dos cosas: La densidad de estados energéticos en

las bandas de conducción y valencia y la probabilidad de ocupación, a una temperatura dada, de

los niveles energéticos.

A partir del análisis hecho para los semiconductores intrínsecos, se estudiarán los

semiconductores extrínsecos, es decir, aquellos cuyas propiedades eléctricas dependen de unas

impurezas que se añaden al semiconductor.

2.2 DENSIDAD DE ESTADOS EN LAS BANDAS DE VALENCIA Y CONDUCCIÓN.

Figura 9. Discretización de estados energéticos dentro de las bandas de valencia y conducción

23

Los niveles de energía permitidos en un sólido cristalino son discretos, aunque están

separados entre sí por saltos de energía extremadamente pequeños (Figura 9). Por esta razón, en

general, se supone que los niveles energéticos forman una banda continua. Para definir el concepto

de densidad de estados se considerarán niveles discretos, ya que la definición resulta más intuitiva.

Considérese un nivel de energía situado en la banda prohibida. Según se dijo en apartados

anteriores, un electrón de un semiconductor ideal no puede tener ese valor de energía y, por tanto,

si consideramos un intervalo de energías alrededor de ese valor, resulta que el número de estados

energéticos accesibles para un electrón en dicho intervalo es 0 y, por consiguiente, la densidad de

estados, es decir el número de estados accesibles dividido por la anchura del intervalo considerado,

es 0 en la banda prohibida. Si se considera una energía superior al mínimo de la banda de

conducción, resulta que ese estado sí es accesible para un electrón y, por consiguiente, la densidad

es mayor que 0.

La separación entre estos niveles no es constante, sino que es menor para niveles más

separados de la banda prohibida. Es decir, la densidad de niveles energéticos aumenta cuanto

mayor es la energía en la banda de conducción o menor en la banda de valencia. Las expresiones de

las densidades de estados de los electrones en la banda de conducción y de los huecos en la banda

de valencia son:

Ecuación 1

vvhh

ccee

EEEEmh

EN

EEEEmh

EN

<−=

>−=

2/33

2/33

28)(

28)(

π

π

donde Ec es la energía del mínimo de la banda de conducción y Ev es la energía del máximo

de la banda de valencia. Por tanto, a medida que nos adentramos en la banda de conducción, el

número de estados accesibles para los electrones crece con la raíz cuadrada de la energía. La

afirmación análoga es cierta para los huecos en la banda de valencia. El coeficiente de

proporcionalidad no es en ambos casos el mismo ya que, en general, las masas efectivas de

electrones y huecos no son iguales.

24

2.3 PROBABILIDAD DE OCUPACIÓN DE ESTADOS

Para determinar el número de portadores de carga en la banda de conducción y en la banda

de valencia se necesita conocer, además de la densidad de estados energéticos N(E), la probabilidad

de que el estado de energía E esté ocupado. Esta característica viene definida por una función f(E,T)

de distribución donde E varía de -∞ a +∞. El sentido de esta función es claro. Supóngase un estado

de energía E*; supuesto que este valor de energía pertenece a la banda de conducción (estado

accesible de energía) la probabilidad de que esté ocupado por un electrón es f(E*,T).

La expresión de f(E,T) es la siguiente:

Ecuación 2

kTEE feTEf

/)(1

1),(

−+=

donde la constante k=1.38x1023 J/K es la constante de Boltzmann. Esta función recibe el

nombre de función de distribución de Fermi-Dirac y describe el comportamiento estadístico de

cualquier población de fermiones y, en particular, de los electrones y huecos en un sólido cristalino.

Ef es una “constante” en el sentido de que no es función de E, pero depende, aunque sea

débilmente, de la temperatura. Ef recibe los nombres de potencial químico, nivel de Fermi o

energía de Fermi.

Figura 10. Función de distribución de Fermi-Dirac a 0K y a T > 0k

25

En la Figura 10 se ha representado la función de distribución de Fermi-Dirac para distintas

temperaturas. En ella se observa que a 0K los estados de energía E > Ef tienen una probabilidad

nula de estar ocupados, mientras que si la energía es inferior a Ef la probabilidad es 1. A

temperaturas superiores a 0K un estado de energía igual al nivel de Fermi tiene una probabilidad

0.5 de estar ocupado. A temperatura ambiente de funcionamiento en los materiales

semiconductores, la función de Fermi tiene una apariencia no excesivamente distinta de la que tiene

a 0K, ya que tiene un comportamiento exponencialmente decreciente para energías superiores al

nivel de Fermi. En una sección posterior se verá cómo se determina Ef y cómo depende de la

temperatura.

2.4 CONCENTRACIÓN DE ELECTRONES Y HUECOS EN EQUILIBRIO TÉRMICO

La concentración de electrones en la banda de conducción, es decir, el número de electrones

que hay por unidad de volumen en un intervalo infinitesimal de energía (E,E+dE), se obtiene

multiplicando la función de densidad de estados en la banda de conducción por la probabilidad de

que dichos estados estén ocupados, es decir, por la función de distribución de Fermi-Dirac f(E,T).

Integrando este producto para energías superiores al mínimo de la banda de conducción se obtiene

la concentración total de electrones libres en la banda de conducción (no). El subíndice o refiere la

condición de equilibrio térmico. La concentración de huecos en la banda de valencia se obtiene

multiplicando la función de densidad de estados en la banda de valencia por la probabilidad de que

dichos estados no estén ocupados (ésta es la probabilidad de que exista un hueco), es decir 1-f(E,T).

Integrando este producto para energías inferiores al máximo de la banda de valencia se obtiene la

concentración total de huecos libres en la banda de valencia (po). Esto es:

Ecuación 3.

[ ] ∫∫

∫∫

∞−−

∞−

+∞

−

+∞

⋅+

−⋅−=⋅−⋅=

⋅+

⋅−=⋅⋅=

v

f

v

c

f

cE

kTEEvh

E

ho

EkTEEce

Eeo

dEe

EEmh

dETEfENp

dEe

EEmh

dETEfENn

)1

11(

28),(1)(

1

128),()(

/)(2/3

3

/)(2/3

3

π

π

26

Figura 11. Concentración de electrones y huecos en las bandas de un semiconductor intrínseco.

La interpretación gráfica de las integrales de la Ecuación 3 se ilustra en la Figura 11 donde se

representan las funciones de densidad de estados en ambas bandas y la función de Fermi-Dirac. La

concentración de electrones no en la banda de conducción se corresponde con el área de la región

rayada de la figura en el intervalo energético E > Ec. Esta región está delimitada por el eje vertical

de la energía y el producto de funciones ),()( TEfENe ⋅ . De igual manera la concentración de

huecos se corresponde con el área de la región delimitada por el eje y el producto de funciones

[ ]),(1)( TEfENh −⋅ .

Las integrales de la Ecuación 3 no tienen solución analítica y su solución requiere de técnicas

numéricas. Sin embargo, en la mayoría de los casos prácticos el nivel de Fermi se encuentra en la

27

banda prohibida y alejado de Ec y Ev varias veces la cantidad kT (a temperatura ambiente, T=298K,

kT=0.026eV )10. En tal caso se puede hacer la aproximación de Maxwell-Boltzmann:

Ecuación 4. Aproximación Maxwell-Boltzmann

kTEEsiee

TEf

kTEEsiee

TEf

fkTEE

kTEE

fkTEE

kTEE

f

f

f

f

>>−≈+

=−

>>−≈+

=

−+−−

−−−

/)(/)(

/)(/)(

1

1),(1

1

1),(

Si sustituimos la Ecuación 4 en la Ecuación 3 las integrales se resuelven analíticamente y las

concentraciones de portadores toman el valor

Ecuación 5. Concentraciones de un SC en equilibrio térmico

2/32

/)(

2/32

/)(

)2

(2;

)2

(2;

h

kTmUeUp

h

kTmUeUn

hv

kTEEvo

ec

kTEEco

vf

fc

π

π

=⋅=

=⋅=

−−

−−

donde los coeficientes Uc y Uv reciben el nombre de densidades efectivas de estados en la

banda de conducción y de valencia, respectivamente. La aproximación de Boltzmann tiene una

interpretación: la estadística de electrones y huecos pasa de ser una estadística cuántica a ser una

estadística clásica11.

Semiconductores intrínsecos

Se dice que un semiconductor es intrínseco si en su red cristalina no hay impurezas ni

irregularidades. Como se verá en el apartado posterior, hay veces que interesa sustituir átomos

nativos del semiconductor por otro tipo de átomos, que se introducen en la red cristalina de una

manera controlada. En tal caso, se dice que el semiconductor es extrínseco. También pudiera

10 Por definición 1 eV es la energía que libera o se comunica a un electrón en un desplazamiento entre dos puntos con una caida de potencia de 1V. Id. 1 eV=1.609x10-19J 11 Las concentraciones de portadores en los extremos de las bandas son mucho menores las concentraciones de estados. Por ello, un electrón (hueco) encuentra a su alrededor muchos estados libres en los que alojarse y el principio de exclusión de Pauli no tiene efecto.

28

ocurrir que en la red cristalina haya irregularidades (microfracturas, vacantes –posiciones en la red

donde no hay átomo-, ...) o átomos de impurezas que se introducen en al red, de una manera no

controlada, durante el proceso de fabricación o por el entorno en el que se encuentra el

semiconductor. En un semiconductor intrínseco todos los electrones de la banda de conducción

provienen de la banda de valencia por generación térmica (id. Los electrones que se mueven libres

por la red cristalina provienen de la ruptura de enlaces covalentes). Por ello el número de electrones

es igual al de huecos (id. oo pn = = ni). Por definición la concentración intrínseca ni es el valor

de la concentración de portadores (electrones o huecos) en un semiconductor intrínseco. Por

el contrario, en un semiconductor extrínseco las concentraciones de portadores no tienen porque ser

iguales.

Si mh y mn son exactamente iguales, las curvas de densidad de estados en las dos bandas son

totalmente simétricas, por lo que la energía de Fermi queda exactamente en el centro de la

banda prohibida en un semiconductor intrínseco (ver Figura 11). Si no fuera así, la población de

electrones en la banda de conducción y la de huecos en la banda de valencia no coincidirían. Si mh

y mn no son iguales (y esto suele ocurrir en la realidad), el nivel de Fermi debe desplazarse

ligeramente hacia arriba o hacia abajo de forma que al efectuar las integrales se obtengan valores

iguales de las concentraciones. En este caso, el nivel de Fermi se desplaza ligeramente desde el

centro de la banda prohibida a la banda de portadores con menor masa efectiva. Este hecho se

muestra en la Figura 11 para el caso nh mm > , donde Ef se desplaza hacia el mínimo de la banda de

conducción Ec.

Si en la Ecuación 5 se igualan las expresiones de las concentraciones puede obtenerse la

dependencia del nivel de Fermi, para un semiconductor intrínseco, con la temperatura. Se aconseja

al alumno que demuestre la siguiente expresión:

Ecuación 6. Nivel intrínseco de un semiconductor

n

hvcSCfi m

mTk

EEEE ln

43

2int, ⋅⋅⋅++

==

Ei recibe el nombre de nivel intrínseco y por definición es el nivel de Fermi en un

semiconductor intrínseco.

29

A continuación se demuestra que el producto no· po es una función de la anchura de la banda

prohibida, las masas efectivas y la temperatura, siendo independiente del nivel de Fermi. Los

semiconductores extrínsecos pueden describirse (ver el próximo apartado) considerando que su

nivel de Fermi está desplazado con respecto del nivel intrínseco Ei. Por no depender no· po del nivel

de Fermi, la expresión que sigue, calculada tomando no= ni y po= ni, es válida también para los

semiconductores extrínsecos.

Ecuación 7. Ley de acción de masas

kT

E

heioo

g

emmh

kTnpn

−==⋅ 2/33

22 )()

2(4

π

El hecho de que el producto de la concentración total de electrones y huecos sea

independiente de la cantidad de impurezas en un semiconductor extrínseco, va a ser utilizado con

profusión por lo que debe tenerse siempre en mente. La relación dada por la Ecuación 7 recibe el

nombre de Ley de Acción de Masas y se cumple en semiconductores que verifican la

aproximación Maxwell-Boltzmann en ambas bandas bajo las condiciones de equilibrio térmico.

Figura 12. Concentración intrínseca en función de la temperatura.

30

También de la Ecuación 7 se obtiene la dependencia de la concentración intrínseca con la

temperatura ( kT

E

i

g

eTn 22/3 −∝ ). En la Figura 12 se representa la concentración intrínseca en función

de la temperatura para distintos materiales semiconductores. Se observa que si aumenta la

temperatura aumenta la concentración (hay mayor energía térmica para la generación de pares e-h).

También destacamos que los semiconductores con menor anchura de banda prohibida (Eg) tienen

mayor concentración de portadores (la energía mínima para romperse un enlace covalente es

menor).

2.5 SEMICONDUCTORES EXTRÍNSECOS EN EQUILIBRIO TÉRMICO.

Se puede introducir cantidades muy pequeñas de sustancias como arsénico, antimonio u

otros elementos pertenecientes al grupo V de la tabla periódica, en cristales puros de silicio o

germanio, como impurezas de sustitución, es decir, como átomos de impurezas que ocupan

posiciones de la red cristalina que normalmente estarían ocupados por átomos del semiconductor.

Los átomos del grupo V tienen cinco electrones de valencia. Cuatro de ellos se usan para formar

enlaces covalentes con átomos vecinos del semiconductor y el quinto se enlaza al átomo de

impureza con fuerzas electrostáticas muy débiles. El enlace es tan débil que, incluso a

temperaturas muy bajas (entorno a 20K), la energía de agitación térmica de la red es suficiente

para ionizar el átomo de impureza, liberándose el quinto electrón del núcleo de la impureza. Este

electrón ya puede circular libremente por la red cristalina y por tanto se encuentra en la banda de

conducción. Nótese que en este proceso no se ha generado un hueco en la banda de valencia. Esto

puede interpretarse como la existencia de estados energéticos accesibles para los electrones por

debajo, pero muy próximos al mínimo de la banda de conducción (Figura 13).

Si en lugar de los átomos del grupo V se introducen en la red átomos del grupo III

(Al,Ga,In,etc.), se observará un fenómeno muy distinto. Estos átomos tienen sólo tres electrones de

valencia que se usan para formar enlaces covalentes con tres átomos vecinos, pero el cuarto posible

enlace carece de electrón. Esto puede interpretarse como que existen estados energéticos accesibles

para los electrones por encima, pero muy próximos al máximo de la banda de valencia (Figura 14).

La proximidad es tan grande que el aporte de una cantidad mínima de energía hace que los

31

electrones de la banda de valencia pasen a estos estados energéticos, produciéndose un hueco en la

banda de valencia. En este caso no se generan electrones en la banda de conducción.

Figura 13. Estados energéticos donadores

Figura 14. Estados energéticos aceptores

En el primer caso, el átomo de impureza que queda se convierte en un ión positivo y fijo.

Esta situación se ilustra en la Figura 15. Estos semiconductores se denominan de tipo n, designados

así porque la mayoría de los portadores de carga son, a temperaturas normales de

funcionamiento, electrones libres. La componente de conductividad eléctrica que se produce por

32

los átomos de impureza se llama conductividad de impureza. Los átomos de sustitución del grupo

V se llaman átomos donadores, ya que cada uno de ellos dona un electrón libre adicional al cristal.

Figura 15. Electrones y huecos libres procedentes de átomos de impurezas

En el segundo caso, el átomo de impureza que queda se convierte en un ión negativo y fijo.

Esta situación se ilustra también en la Figura 15. Estos semiconductores se denominan de tipo p,

designados así porque la mayoría de los portadores de carga son, a temperaturas normales de

funcionamiento, huecos libres. Los átomos de sustitución del grupo III se llaman átomos

aceptores, ya que cada uno de ellos acepta un electrón de la banda de valencia produciéndose un

hueco adicional en el cristal.

En un semiconductor en equilibrio térmico por cada electrón libre (en la banda de

conducción) hay un hueco si se ha generado térmicamente (transición del electrón desde la BV a la

BC) o una impureza donadora ionizada positivamente si el electrón proviene de la impureza.

Recíprocamente, por cada hueco libre hay un electrón (generación térmica) o una impureza

aceptora ionizada negativamente. Por tanto, todo el cristal debe ser eléctricamente neutro. Esta

condición de neutralidad de cargas puede expresarse igualando la suma algebraica de cargas

positivas y negativas:

Ecuación 8. Ley de neutralidad de cargas

aodoTT

aodo NnNpNnNp ui +=+ →+=+ >−+

33

donde po, no, Nd+ y Na

- son las concentraciones de huecos, electrones, impurezas donadoras

ionizadas e impurezas aceptoras ionizadas, respectivamente. Como se dijo en un párrafo anterior,

para temperaturas superiores a un umbral Tui relativamente bajo (T > Tui , valiendo el umbral en

torno a 60-100K) casi todas la impurezas están ionizadas pudiéndose aproximar Nd+ = Nd

y Na- =

Na. Donde Nd y Na son las concentraciones totales de impurezas donadoras y aceptoras,

respectivamente.

La concentración de portadores en las bandas de conducción y valencia se puede encontrar a

partir de las ecuaciones de neutralidad de cargas y acción de masas. Por ejemplo, si despejamos po

o no de la Ecuación 7 y sustituimos en la Ecuación 8 se obtiene:

Ecuación 9. Concentraciones de un SC extrínseco

adidada

o

adiadad

o

NNnNNNN

p

NNnNNNN

n

≤+−

+−

=

≥+−

+−

=

;4

)(2

;4

)(2

22

22

Si no hay impurezas ( 0== ad NN ) el semiconductor es intrínseco y las concentraciones de

portadores son iguales a la concentración intrínseca ( ioo npn == ). En caso de que el SC esté dopado

y las concentraciones de impurezas sean iguales ( 0>= ad NN ), las concentraciones de portadores

continúan siendo iguales a la concentración intrínseca ( ioo npn == ), pero la movilidad12 de los

portadores será menor que la de un semiconductor intrínseco. Si ad NN > hay más electrones que

huecos (SC extrínseco tipo n) y si ad NN < , hay más huecos que electrones (SC extrínseco tipo p).

Para semiconductores fuertemente extrínsecos ( iad nNN >>− || ), estas fórmulas se

simplifican considerablemente. Se deja como ejercicio que el alumno compruebe las siguientes

expresiones:

12 Parámetro eléctrico que se definirá en el próximo capítulo.

34

Ecuación 10. Concentraciones de un SC. Fuertemente extrínseco

idadada

iodao

iadadad

ioado

nNNyNNsiNN

nnNNp

nNNyNNsiNN

npNNn

>>−>−

≈−≈

>>−>−

≈−≈

;;

;;

2

2

Las expresiones anteriores parecen indicar que, mientras la concentración de portadores

minoritarios depende fuertemente de la temperatura ( kT

E

i

g

eTn 22/3 −∝ ), la de los portadores

mayoritarios no depende de ésta. Esta afirmación es relativamente cierta en un amplio intervalo de

temperaturas. En la Ecuación 10 se ha despreciado la contribución de los portadores intrínsecos

frente a los extrínsecos a la hora de determinar la concentración de portadores mayoritarios. Sin

embargo, tal como se muestra en la Figura 12, esta contribución crece rápidamente con la

temperatura, por lo que cuando ésta es muy elevada, la contribución de portadores intrínsecos se

hace comparable a la de los extrínsecos. Se sugiere al alumno que estime a qué temperatura un

semiconductor, que en principio era extrínseco, pasa a comportarse como uno intrínseco. A

temperaturas muy bajas no todas las impurezas están ionizadas y habría que sustituir Nd por Nd+ y

Na por Na-. Las expresiones de la Ecuación 10 van a utilizarse sistemáticamente a lo largo de los

temas siguientes, por lo que es muy importante ser consciente de las simplificaciones que se han

hecho para llegar a ellas y conocer las condiciones en las que son aproximadamente ciertas.

Las concentraciones de portadores se pueden expresar también en función de la

concentración intrínseca y del valor del nivel intrínseco. Se deja como ejercicio que el alumno

demuestre las siguientes expresiones

Ecuación 11. Concentraciones de portadores

kT

EE

io

kT

EE

iofi

if

enp

enn−

−

⋅=

⋅=

Las expresiones de la Ecuación 11 ponen de manifiesto que en un semiconductor tipo n el

nivel de Fermi es mayor que el nivel intrínseco, y que cuanto más fuertemente extrínseco sea, más

35

se aproximará al mínimo de la BC. Recíprocamente, en un semiconductor tipo p, el nivel de Fermi

será menor que el nivel intrínseco y a mayor dopado más se aproximará a la BV.

Figura 16. Concentración de electrones en silicio con una concentración de impurezas donadores Nd=1016 cm-3.

En línea discontinua la concentración intrínseca.

En la Figura 16 se representa la variación de la concentración de electrones en un

semiconductor de silicio fuertemente dopado con una concentración de impurezas donadoras

Nd=1016cm-3. En la gráfica se pueden distinguir tres regiones de comportamiento diferente. A

temperatura de 0K no hay ninguna energía térmica para excitar los electrones de las impurezas ni

para romper enlaces covalentes, por tanto el valor de la concentración es cero. Conforme la

temperatura aumenta se van ionizando las impurezas y va aumentando la concentración. A la

región de temperaturas desde 0K a 100K se denomina de ionización. Sin embargo, cuando se

alcanzan una temperatura entorno a 100K casi todas las impurezas ya están ionizadas y la

concentración de mayoritarios permanece constante e igual a no = Nd aún si sigue subiendo la

temperatura. Al intervalo de temperaturas donde la concentración permanece constante se

denomina región extrínseca. En la región extrínseca la concentración de minoritarios crece

proporcionalmente al cuadrado de la intrínseca (ver Ecuación 10).

36

En la misma figura se ha representado también la concentración intrínseca como referencia

del peso que en el proceso tiene la generación térmica (electrones provenientes de la BV). Cuando

la temperatura es suficientemente alta la contribución de electrones procedentes de la BV no es

despreciable, la aproximación dodo NpNn ≈+= no se puede hacer, y ya no permanece constante

no. A muy altas temperaturas, la concentración intrínseca es mucho mayor que la cantidad de

electrones procedentes de las impurezas y el semiconductor adopta el carácter de intrínseco. Nos

encontramos en la región intrínseca y se verifica ioodo nppNn ≈≈+= .

37

CAPÍTULO 3

PROCESOS DE TRANSPORTE DE CARGA

3.1 INTRODUCCIÓN.

En un semiconductor en equilibrio térmico los portadores de carga, electrones y huecos, se

encuentran en constante movimiento, es decir, aún en ausencia de gradientes de temperatura y en

ausencia de campos externos, se mueven13. En capítulos anteriores se dijo que electrones y huecos

pueden considerarse como partículas libres con una cierta energía cinética. Esta energía es, en

ausencia de perturbaciones exteriores, de origen térmico y hace que se desplacen en el seno del

cristal. La dirección en la que se mueven estos portadores no está, en principio, determinada.

Además, los portadores de carga están intercambiando continuamente cantidad de movimiento

(chocando) con la red cristalina14. Tras pocas colisiones la trayectoria que sigue el portador no

guarda correlación alguna con la trayectoria que seguía en un principio.

A una temperatura dada, el movimiento térmico de los portadores de carga puede verse

como un proceso aleatorio de dispersión de éstos en los nodos de la red cristalina, en los átomos de

impureza y en las imperfecciones del cristal. Dado que la dispersión es un proceso aleatorio, no

existe un movimiento neto de un grupo grande de portadores en ninguna dirección en particular.

13 A temperatura ambiente, la velocidad media de los portadores es de unos 100Km/s. 14 El tiempo medio entre choques, a temperatura ambiente, toma valores comprendidos entre 10-10s y 10-12s, dependiendo del semiconductor.

38

Esto no es, evidentemente, cierto para portadores individuales, tal como se observa en la Figura 17.

La probabilidad de que un portador vuelva a su punto de partida al cabo de un tiempo t es

infinitesimal. Sin embargo, si se considera un grupo grande de portadores, no existirá ninguna

dirección de desplazamiento preferente para el conjunto y, por tanto, no existirá flujo de corriente

Figura 17. Trayectoria aleatoria de un electrón de la banda de conducción en una red cristalina.

Si se aplica un campo eléctrico en el semiconductor, cada portador de carga experimenta

una fuerza que tiende a desplazarlo según la dirección y el sentido del campo (huecos) o según la

dirección y sentido contrario al del campo (electrón). La perturbación que sufre en su trayectoria un

portador es pequeña debido a que las velocidades de agitación térmica son muy grandes. Sin

embargo el comportamiento conjunto de los portadores de carga es radicalmente distinto ya que

ahora se produce un desplazamiento medio del colectivo que no es nulo.

La componente de la velocidad de un portador de carga debida a la presencia del campo

eléctrico se denomina velocidad de arrastre y, a menos que el campo eléctrico sea muy intenso, su

módulo es pequeño en comparación con el módulo de la velocidad (media) de agitación térmica.

Sin embargo, esta velocidad tiene la misma dirección y valor medio para todos los portadores

de carga. De ahí que aparezca una corriente dentro del semiconductor.

El movimiento neto de los portadores de carga no es un movimiento acelerado (una

partícula sometida a una fuerza constante adquiere un movimiento uniformemente acelerado) sino

constante. Esto es debido a la dispersión por interacciones con la red cristalina, que tiende a

aleatorizar la velocidad del portador tras el choque con la red. Por tanto, tras el choque de un

portador se ha perdido, en promedio, la componente de arrastre de la velocidad total. Puesto

39

que la velocidad de agitación térmica suele ser mucho mayor que la velocidad de arrastre, los

mecanismos de dispersión no dependen de esta última.

La velocidad media de arrastre (velocidad que, en promedio, alcanza la componente de

arrastre entre dos colisiones sucesivas con la red cristalina) es, en principio, proporcional a la

intensidad del campo eléctrico aplicado. El coeficiente de proporcionalidad recibe el nombre de

movilidad y toma, en general, valores distintos para los electrones y los huecos. Esta relación de

proporcionalidad es válida siempre que la velocidad de arrastre sea pequeña frente a la velocidad de

agitación térmica. Si el campo eléctrico aplicado es suficientemente intenso, el arrastre puede

hacerse comparable a la agitación térmica y la movilidad comienza a decrecer con el campo

eléctrico aplicado.

3.2 MECANISMOS DE DISPERSIÓN DE PORTADORES.

La energía potencial de un electrón en una red cristalina es una función periódica en el

espacio. La justificación de esta afirmación se entiende bien atendiendo a la Figura 18.

Figura 18. Potencial periódico de un electrón en una red cristalina unidimensional. Con línea discontinua el

potencial de un átomo aislado. Con línea continua el potencial total

En esta figura se representa la ubicación espacial de los núcleos atómicos en una red

cristalina unidimensional. Con línea de trazo discontinuo se representa la energía potencial de un

electrón para cada uno de los núcleos, supuestos éstos aislados. Ahora bien, por el principio de

superposición, la energía potencial del electrón en la red cristalina es la suma de la contribución de

todos los núcleos atómicos. Como resultado de la suma (línea de trazo grueso y continuo)

observamos que el potencial resultante es periódico. En la discusión anterior no se ha considerado

la contribución que el resto de electrones de la red tiene sobre el potencial total. No obstante,

40

considerando que éstos van a estar distribuidos uniformemente en la red cristalina, su efecto no

afectará sobre la periodicidad del potencial.

Cualquier irregularidad del cristal que distorsione la periodicidad del potencial de la red,

es un centro de dispersión. Los factores que más alteran esta periodicidad son las vibraciones de los

núcleos de la red alrededor de sus posiciones de equilibrio y la presencia de átomos de impureza.

La amplitud de las vibraciones crece con la temperatura. Una temperatura de 0K significa que todas

las partículas que forman el sólido cristalino ocupan los estados de mínima energía. A medida que

aumenta la temperatura, estas partículas empiezan a ocupar estados energéticos superiores. Los

núcleos de la red cristalina dejan de estar parados y comienzan a vibrar alrededor de sus posiciones

de equilibrio y los electrones de valencia empiezan a ocupar estados energéticos en la banda de

conducción. En cristales relativamente puros y poco dopados la dispersión en iones de impureza es

sólo dominante a temperaturas muy bajas. Esto quiere decir que a temperatura ambiente los

portadores se dispersan como consecuencia de las vibraciones de los núcleos de la red. En

semiconductores muy dopados, la dispersión térmica (producida por vibraciones de los núcleos) de

la red sólo es dominante a temperaturas altas. Esto quiere decir que a temperatura ambiente los

portadores se dispersan en los iones formados por los átomos de las sustancias dopantes.

La descripción de los procesos de dispersión se simplifica mucho si se emplea el concepto

de tiempo de relajación que es igual al tiempo que tiene que transcurrir para que un portador de

carga tenga una velocidad totalmente incorrelada con la velocidad que inicialmente tenía15. Para

poder emplear este concepto hay que admitir que la energía cinética de los portadores cambia poco

(el módulo de la velocidad permanece constante) durante la interacción con el centro de dispersión.

Además, los procesos de dispersión deben producir una distribución aleatoria de velocidades tras la

interacción del portador de carga con el centro de dispersión.

El tiempo medio entre choques depende, en ambos mecanismos dispersivos, de la energía

cinética del portador de carga. Para describir el comportamiento dispersivo del conjunto de

portadores de carga se promedian estos valores, ponderando los tiempos de cada intervalo de

energía por la cantidad de electrones cuya energía está dentro del intervalo considerado. Ambos

15 En esta asignatura consideraremos que el tiempo de relajación es igual al tiempo medio entre colisiones

41

mecanismos dependen fuertemente de la temperatura, de ahí que la movilidad dependa también de

ésta.

Figura 19. Mecanismo de dispersión de portadores por impurezas

En un semiconductor extrínseco cada ión de impureza origina a su alrededor un campo

eléctrico. Bajo la acción de este campo el portador se desvía de su dirección inicial, tal como se

muestra en la Figura 19. El portador se desvía más cuanto menor es su velocidad y más cerca pase

del ión de impureza. Por esta razón el tiempo de relajación asociado a la presencia de impurezas

decrece a medida que disminuye la temperatura, puesto que la velocidad media de agitación

térmica crece con la temperatura. La dispersión de los portadores será también más probable cuanto

mayor sea la concentración de impurezas, por lo que el tiempo de relajación debido a impurezas

será menor cuanto mayor sea el dopado del semiconductor.

Los átomos de la red cristalina experimentan oscilaciones caóticas con respecto a su

posición de equilibrio debido al movimiento térmico. Esto perturba la periodicidad del campo de la

red, lo que da lugar a la dispersión de los portadores de carga. La teoría de las oscilaciones térmicas

de los átomos de un cristal tridimensional es lo suficientemente compleja como para que no se

aborde aquí. Sin embargo resulta evidente que el tiempo medio de relajación debido a este efecto

decrece a medida que aumenta la temperatura, ya que la amplitud de las oscilaciones crece.

3.3 CORRIENTE DE ARRASTRE

En apartados anteriores dijimos que la velocidad media de arrastre va de un portador de

carga era proporcional al campo eléctrico ξ y que al factor de proporcionalidad lo llamábamos

movilidad eléctrica µ. En general, la movilidad de los electrones de un semiconductor no tiene que

42

ser igual a la movilidad de los huecos, por ello, tendremos que distinguir ambos parámetros

añadiendo un subíndice. Así pues, µn y µp serán los valores de movilidad de los electrones y los

huecos, respectivamente. Matemáticamente, esta discusión se puede escribir como

Ecuación 12. Velocidades de arrastre del electrón y del hueco

ξµξµ

⋅=⋅−=

pap

nan

v

v

Puede demostrarse que el valor de la movilidad viene dado por16

Ecuación 13. Expresiones de la movilidad del electrón y del hueco

;;p

rpp

n

rnn m

tq

mtq ⋅

=⋅

= µµ

donde trn, trp, mn y mp son los tiempos de relajación y las masas efectivas de los portadores.

Las expresiones de la Ecuación 13 ponen de manifiesto que al disminuir el tiempo de relajación, es

decir, al ser más frecuentes los procesos de dispersión, disminuye la movilidad y que las partículas

más pesadas (mayor masa) tienen menor valor de movilidad.

El flujo de portares Φ se define como el número de éstos que atraviesa la unidad de

superficie perpendicular al movimiento por unidad de tiempo. Para calcular el flujo de huecos

cuyo movimiento es producido por la presencia de un campo eléctrico externo consideramos un

volumen infinitesimal como el de la Figura 20. El número total de huecos contenido en el volumen

es xApN p ∆⋅⋅=∆ . Si la velocidad de arrastre es vap, en el intervalo temporal apvxt /∆=∆ el número

pN∆ de huecos habrá atravesado por la superficie A. Por tanto

Ecuación 14. Flujo de arrastre de huecos de un semiconductor

ξµ ⋅⋅=⋅=∆⋅

∆=Φ pap

pap pvp

tA

N

16 La movilidad se define como un parámetro positivo, de hay que en la Ecuación 12 para el electrón aparezca el signo menos. Debido a la carga negativa del mismo, éste se mueve en dirección contraria al campo.

43

Procediendo de igual manera se puede concluir que el flujo de arrastre para los electrones

es dado por

Ecuación 15. Flujo de arrastre de electrones de un semiconductor

ξµ ⋅⋅−=⋅=∆⋅

∆=Φ nan

nan nvn

tAN

donde el signo menos aparece por el valor negativo de la carga del electrón (el electrón se mueve

por arrastre en sentido contrario al campo).

Desde el punto de vista eléctrico es más interesante conocer la cantidad de carga, en vez

del número de portadores, que atraviesa la unidad de superficie perpendicular al movimiento

por unidad de tiempo. Esta magnitud eléctrica recibe el nombre de densidad de corriente J y está

relacionada con el flujo por J=q· Φ, donde q es la carga de cualquiera de los portadores. En este

caso:

Ecuación 16. Densidades de corriente por arrastre en un semiconductor.

ξσξµ

ξσξµ

⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅−=∆⋅

∆=

⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅=∆⋅

∆=

nnann

an

ppapp

ap

nqvnqtA

QJ

pqvpqtA

QJ

)(

donde los parámetros pp pq µσ ⋅⋅= y nn nq µσ ⋅⋅= son las conductividades eléctricas de los

huecos y electrones, respectivamente. Nótese que para ambos tipos de portadores, la conductividad

se define como un parámetro positivo.

Si consideramos un material semiconductor por el que circulan portadores positivos y

negativos, la conductividad total y la densidad de corriente por arrastre se obtendrá mediante las

sumas respectivas

Ecuación 17. Densidad de corriente y conductividad de un SC.

;; npJ σσσξσ +=⋅=

44

Figura 20. Volumen de control para el cálculo de la densidad de corriente

Supongamos un paralelepípedo de sección transversal A y de longitud L, formado con

material homogéneo17 de conductividad σ y al que se le aplica una tensión V entre sus extremos

(Figura 21). Debido a que el material es homogéneo el campo eléctrico es constante y de valor V/L.

Por tanto, la corriente eléctrica que circula por el dispositivo es

Ecuación 18. Demostración de la ley de Ohm

IRVVL

AAAJI A

LR⋅= →

⋅=⋅⋅=⋅= ⋅

=σσξσ

De la Ecuación 18 se comprueba que el valor de la resistencia, como cabría esperar, es

proporcional a la longitud e inversamente proporcional a la conductividad y a la sección transversal

del dispositivo.

Figura 21. Resistencia.

17 La conductividad eléctrica es constante en todo el volumen

45

3.4 EFECTO DE LA TEMPERATURA Y EL DOPADO SOBRE LA MOVILIDAD.

EFECTO DE SATURACIÓN EN LA VELOCIDAD DE ARRASTRE.

El otro parámetro que tiene influencia sobre la movilidad de los portadores es el tiempo de

relajación o tiempo medio entre colisiones; éste depende fuertemente de la temperatura y del

dopado del semiconductor (Figura 22).

Figura 22. Representación de la movilidad en función de la temperatura donde se aprecia los comportamientos

asintóticos a bajas y altas temperaturas.

Como se dijo en apartados anteriores, los dos mecanismos principales de dispersión de

portadores de carga son la dispersión por impurezas y la dispersión por vibraciones de la red

cristalina. El mecanismo de dispersión por impurezas es siempre dominante a bajas temperaturas,

debido a que las vibraciones de los átomos de la red decrecen con la temperatura. Por ello, aún

cuando el semiconductor sea muy puro (tenga pocas impurezas que intervengan en los procesos de

dispersión), si se reduce suficientemente la temperatura la dispersión por impurezas llega a hacerse

dominante. La temperatura a partir de la cual la dispersión por vibraciones empieza a ser

importante y, eventualmente, llega a ser dominante, depende de la pureza del semiconductor.

Cuanto más puro sea, más baja será esta temperatura. En cualquier semiconductor existirá un rango

de temperaturas en el que la dispersión por impurezas será dominante (desde 0K hasta una

46

temperatura crítica) y otro (por encima de esta temperatura crítica) en el que la dispersión por

vibraciones dominará.

El tiempo medio entre colisiones por dispersión en impurezas crece con la temperatura

debido a que la velocidad térmica de los portadores de carga también crece. Cuanto más

rápidamente se desplace un portador de carga, menor es la probabilidad de que se vea afectado por

el campo electrostático creado por un ión y, por consiguiente, aumenta el tiempo medio entre

colisiones, aumentando la movilidad. La movilidad, cuando está determinada por las impurezas,

crece proporcionalmente a 2/3T . El tiempo medio entre colisiones debido a la dispersión en los

núcleos de la red disminuye a medida que aumenta la temperatura, disminuyendo la movilidad. La

movilidad, cuando está determinada por la dispersión en los núcleos de la red, decrece

proporcionalmente a 2/3−T .

Hasta ahora se ha supuesto que la movilidad no depende del módulo del campo eléctrico.

Sin embargo, si el campo eléctrico es muy intenso (del orden de 103 V/cm), la velocidad de arrastre

(y por consiguiente la densidad de corriente) ya no muestra una dependencia lineal con respecto al

campo eléctrico aplicado, tal como se muestra en la Figura 23.

102 103 104 105 ξξ (V/cm)

107

106

105

GaAs

Si (electrones)

Si (huecos)

Ideal

Va (cm/s)

Real

Figura 23. Dependencia de la velocidad de arrastre con el campo eléctrico aplicado.

Esta figura muestra cualitativamente esta dependencia para el Si y el GaAs. Por ser el

campo eléctrico muy intenso, la velocidad de arrastre llega a hacerse comparable a la velocidad de

agitación térmica, con lo que crece la velocidad media de los portadores de carga de una forma

47

significativa. Al crecer la velocidad media de los portadores de carga, el tiempo medio entre

colisiones disminuye, al menos a temperaturas de funcionamiento normales, en las que el

mecanismo dispersivo que predomina es debido a las vibraciones de la red cristalina. Nótese que

un tramo de la curva Va-ξ del GaAs tiene pendiente negativa18. Este hecho permite diseñar

dispositivos con resistencia diferencial negativa ( 0<=dIdV

Rdif ) que se pueden utilizar como

osciladores y amplificadores de microondas (diodo Gunn).

3.5 DIFUSIÓN DE PORTADORES.

Considérese un gas contenido en una caja cerrada. Esta caja está dividida en dos zonas por

una pared que no permite el paso de moléculas de una zona a la otra. En la mitad izquierda la

concentración de moléculas es mayor que en la mitad derecha. En un determinado momento se

suprime la pared que separa las dos cavidades de la caja. Experimentalmente se comprueba que

existe un flujo neto de partículas desde la parte izquierda a la derecha que tiende a equilibrar la

concentración de moléculas en todo el volumen. Las moléculas se difunden desde las zonas de

alta concentración hasta las zonas de baja concentración.

El proceso de difusión es el resultado natural del movimiento aleatorio de las moléculas

individuales. Todas las moléculas sufren movimientos aleatorios de agitación térmica y chocan

unas con otras, de forma que cada molécula se mueve en una dirección aleatoria hasta que choca

con otra, momento en el que comienza a desplazarse en una nueva dirección. Considérese ahora lo

que ocurre en el plano donde estaba situada la pared de separación. Si el movimiento es realmente

aleatorio, una molécula que pertenezca a la zona izquierda tiene la misma probabilidad de

desplazarse hacia la derecha que hacia la izquierda. Por ello, la mitad de las moléculas de la parte

izquierda que están en la zona de separación se desplazarán hacia la derecha y la otra mitad hacia la

izquierda. Existe, pues, un flujo neto de moléculas de izquierda a derecha, debido a que la

concentración de moléculas a la izquierda es mayor que a la derecha. Este proceso continúa hasta

18 El GaAs tiene más de un mínimo en la banda de conducción (BC) y en cada uno de estos los electrones tienen diferente valor de movilidad. Para valores pequeños de campo todos los electrones se encuentran en el mínimo de la BC que tiene mayor movilidad. Sin embargo, para campos intensos, parte de los electrones se transfieren al otro mínimo de menor movilidad produciéndose la pendiente negativa.

48

que las moléculas se distribuyen uniformemente en todo el volumen. En otras palabras, la difusión

existe mientras haya gradientes de concentraciones de moléculas.

En los semiconductores la situación es análoga. Los portadores de carga tienden a

difundirse por la presencia de gradientes de concentración y los mecanismos de choque son la

dispersión en los núcleos de la red y en las impurezas. Así, por ejemplo, un exceso de electrones

inyectados en x=0 y t=0 se irá extendiendo a lo largo del tiempo tal como se muestra en la Figura

24. Inicialmente el exceso de electrones se concentra en x=0. A medida que transcurre el tiempo los

electrones se difunden hacia regiones de baja concentración hasta que la distribución de electrones

se hace constante. Puede probarse que las expresiones de las densidades de corriente de electrones

y de huecos debidas a la difusión son las siguientes:

Ecuación 19. Componentes difusivas de la densidad de corriente en un SC

xxp

qDxJ

xxn

qDxJ

pdp

ndn

∂∂

−=

∂∂

=

)()(

)()(

Figura 24. Evolución del exceso de portadores en función del tiempo.

49

Es importante destacar el que tanto electrones como huecos se desplazan en la misma

dirección, es decir, se mueven desde regiones de alta concentración a regiones de baja

concentración. Como electrones y huecos tienen cargas de signo contrario, dan lugar a corrientes

que tienen sentidos distintos.

Los parámetros Dn y Dp reciben el nombre de coeficientes de difusión y puede demostrarse

que están relacionados con las movilidades por medio de las siguientes ecuaciones:

Ecuación 20. Relaciones de Einstein.

qkTDD

p

p

n

n ==µµ

De las relaciones de Einstein se puede deducir que si un semiconductor conduce bien por

arrastre (tiene una movilidad alta) también lo hará por difusión (coeficiente de difusión grande).

3.6 COMPONENTES DE CORRIENTE EN UN SEMICONDUCTOR.

Si en un semiconductor, además de existir un gradiente de portadores, se aplica un campo

eléctrico, las densidades de corriente debidas a electrones y huecos tendrán una componente de

difusión y otra de arrastre:

Ecuación 21. Densidad de corriente de electrones y huecos

xxp

qDpqxJ

xxn

qDnqxJ

ppp

nnn

∂∂

−⋅⋅⋅=

∂∂

+⋅⋅⋅=

)()(

)()(

ξµ

ξµ

y la densidad de corriente total es la suma de las densidades de corriente provocadas por el

flujo de electrones y huecos:

Ecuación 22. Densidad de corriente en un SC

)()()( xJxJxJ pn +=

50

En la Figura 25 se representan las distintas componentes de la corriente, suponiendo unos

perfiles de las concentraciones de portadores y un campo eléctrico aplicado como los que se

muestran en dicha figura. El sentido creciente del eje x coincide con el sentido en que se aplica el

campo eléctrico. Las derivadas que aparecen en Ecuación 21 son negativas y la difusión de

portadores se hace en el sentido del eje x. Las densidades de corriente asociadas a la difusión de

electrones y huecos (Jn(dif) y Jp(dif)) tienen sentidos distintos ya que los flujos tienen la misma

dirección y sentido pero la carga de los electrones es negativa y la de los huecos es positiva.

Figura 25. Componentes de corriente de un SC.

Los huecos se arrastran en la dirección del campo eléctrico dado que su carga es positiva,

mientras que los electrones son arrastrados en sentido contrario. En ambos casos se produce una

densidad de corriente debida al arrastre que va hacia la derecha. Nótese que las componentes de

difusión y arrastre de la densidad de corriente debidas a los huecos son aditivas cuando el campo

eléctrico se aplica en la dirección y sentido de la disminución de concentración de huecos. Para las

componentes de la densidad de corriente debidas a los electrones ocurre lo contrario.

Un resultado importante que se deriva de la Ecuación 21 es que los portadores minoritarios

pueden contribuir significativamente en la corriente total a través del término difusivo. Las

densidades de corriente debidas al arrastre son proporcionales a la concentración de los portadores

por lo que los portadores minoritarios casi nunca generan una densidad de corriente de arrastre

51

importante. Por el contrario, la difusión es proporcional a la derivada de las concentraciones y por

tanto el término difusivo de los portadores minoritarios puede ser muy importante.

3.7 EFECTOS DEL CAMPO ELÉCTRICO EN LAS BANDAS DE ENERGÍA

Hasta ahora hemos explicado los procesos de transporte usando la imagen de los

portadores como partículas clásicas. En este apartado sólo se estudiará como se ve afectadas las

bandas de energía de un semiconductor por presencia de un campo eléctrico. Intentar explicar estos

procesos considerando que los portadores son partículas cuánticas requeriría utilizar conceptos de

mecánica ondulatoria que el alumno desconoce.

Consideremos un electrón en la banda de conducción. Obviamente, cuanto mayor sea la

velocidad del mismo, mayor será su energía cinética, y por tanto mayor su energía total. Como la

energía mínima que puede tener el electrón es Ec (mínimo de la banda de conducción), ésta puede

ser considerada como la energía potencial.

Figura 26. Curvatura experimentada en los extremos de las bandas por la presencia de un campo eléctrico.

La energía potencial Ep, por definición, está relacionada con la fuerza Fx que se ejerce

sobre la partícula mediante la relación diferencial, x

EF p

x ∂

∂−= . Teniendo en cuenta que por la

presencia de un campo eléctrico ξ sobre el electrón se ejerce la fuerza ξ⋅−= qFx , podemos

relacionar el mínimo de la banda de conducción con el campo

Ecuación 23. Relación entre los extremos de las bandas en un SC. y el campo eléctrico

xE

qxE

qvc

∂∂

=∂

∂=

11ξ

52

La segunda igualdad de la Ecuación 23 se justifica atendiendo a que la anchura Eg de la

banda prohibida es constante y que el máximo Ev de la banda de valencia es Ev=Ec-Eg. Las

expresiones de la Ecuación 23 ponen de manifiesto que los extremos de las bandas de un

semiconductor se curvan por presencia de un campo eléctrico, aumentando en la dirección del

campo. Este hecho se representa en la Figura 26. En la misma figura se ilustra también el arrastre de

portadores. El electrón, que se mueve en la dirección contraria al campo, intercambia energía

potencial por cinética hasta que por un proceso de dispersión libera la energía cinética ganada

retornando de nuevo al mínimo de la banda. La energía perdida la gana la red cristalina en forma de

calor (efecto Joule).

53

CAPÍTULO 4

GENERACIÓN Y RECOMBINACIÓN DE PORTADORES DE CARGA EN DESEQUILIBRIO

4.1 INTRODUCCIÓN.

Examinemos un semiconductor de tipo n que se encuentra en equilibrio térmico. Debido a

la excitación térmica los electrones que ocupaban los estados energéticos donadores pasan a la

banda de conducción. También se tiene que los electrones que ocupan la banda de valencia tienen,

por agitación térmica, una cierta probabilidad (muy pequeña) de pasar a la banda de conducción,

produciéndose un par electrón-hueco. Simultáneamente al proceso de generación tiene lugar el

proceso de recombinación: electrones de la banda de conducción vuelven a estados libres de la

banda de valencia, con lo que desaparece un par electrón-hueco. En condiciones de equilibrio

térmico estos procesos se equilibran totalmente, de forma que el número de pares electrón-hueco

generados es igual al número que desaparece por recombinación. Designaremos por g el número de

pares electrón-hueco generados, y por r, el número de ellos recombinados por unidad de tiempo y

volumen. La tasa de recombinación es proporcional al producto de los portadores libres de carga19:

19 La tasa de recombinación definida en la Ecuación 24 es válida tanto en equilibrio térmico como en desequilibrio.

54

Ecuación 24. Tasa de recombinación

pnr r ⋅⋅= γ

donde γr es un coeficiente de proporcionalidad llamado coeficiente de recombinación. Para

el estado de equilibrio del semiconductor se cumple la igualdad:

Ecuación 25. Balance de generación y recombinación en eq. térmico

TérmicoEqooTérmicoEq rrgg .. || ===

Además de la generación térmica, existen otros mecanismos que dan lugar a la formación

de portadores de cargas libres. Por ejemplo, pueden formarse al exponer el semiconductor a la luz,

por la rotura de enlaces de valencia en campos eléctricos intensos o a causa de la inyección

mediante la unión p-n. En todos estos casos se crea una concentración de electrones nnn o ∆+= y

de huecos ppp o ∆+= libres de desequilibrio. A n∆ y p∆ se les llama exceso20 de portadores

libres en desequilibrio.

4.2 CUASINIVELES DE FERMI.

Cuando existe algún proceso distinto del térmico que tiende a formar portadores de carga,

el semiconductor se encuentra fuera del equilibrio térmico. Supóngase, por ejemplo, que a partir de

un instante determinado se ilumina un semiconductor con una luz de frecuencia apropiada (f >Eg/h)

de forma que ésta sea absorbida, provocando que electrones que estaban en la banda de valencia

pasen a la banda de conducción (Figura 27). En esta situación se tiene que el término de generación

es g=go+gop es superior al término de recombinación por lo que la concentración de portadores

tiende a aumentar (gop es la tasa de pares e-h generados ópticamente o tasa de generación óptica) .

A medida que crece la concentración de portadores crece también la tasa de recombinación (a

mayor cantidad de portadores mayor recombinación –ver Ecuación 24-), por lo que acaba llegándose

a una situación estacionaria, es decir, independiente del tiempo, en la que se alcanzan unas

20 Si son positivas hay un exceso de portadores respecto de la concentración en equilibrio térmico. Si son negativas hay un defecto.

55

concentraciones estacionarias de portadores nnn o ∆+= y ppp o ∆+= para las que se cumple

)()( ppnngopgo oo ∆+⋅∆+⋅=+ γ donde, de nuevo, la generación de pares electrón-hueco está

totalmente compensada por la recombinación. Sin embargo esta situación estacionaria no es una

situación de equilibrio térmico, donde ya no es válida la distribución de Fermi-Dirac para

determinar la probabilidad de ocupación de los estados energéticos accesibles.

Ec

Ev

Eg f

h· f

E2

E1

Figura 27. Absorción de un fotón de frecuencia f absorbido en la generación de un par e-h. La energía del fotón

se distribuye en superar la banda prohibida (Eg) y en calentamiento de la red cristalina (E1+E2).

Los portadores de carga que aparecen en las bandas de valencia y conducción como

consecuencia de la absorción de luz, pueden tener energías muy superiores a la energía media de

los portadores generados térmicamente (que a temperaturas no muy altas, incluyendo la

temperatura ambiente, están próximos al mínimo de la BC –electrones- o al máximo de la BV –

huecos-). Sin embargo estos portadores ceden rápidamente por colisiones este exceso de energía a

la red cristalina (el tiempo característico de este proceso de relajación es inferior a 100ps), por lo

que rápidamente los electrones por un lado (en la banda de conducción) y los huecos por otro (en la

banda de valencia) llegan a una situación de "equilibrio", es decir, los portadores generados

ópticamente se hacen indistinguibles de los generados térmicamente (en un principio eran distintos

puesto que tenían una energía muy superior). Se tienen, pues, dos poblaciones de portadores de

carga que tiene cada una de ellas una situación de equilibrio. Las dos poblaciones de portadores no

están en equilibrio entre sí puesto que la fuente de luz lo impide. Esta situación puede describirse

utilizando dos funciones de distribución distintas para describir la probabilidad de ocupación de

estados energéticos en las bandas de conducción y valencia. Por tanto, se definen dos cuasiniveles

de Fermi, uno para la banda de conducción y otro para la banda de valencia. La probabilidad de

56

que un electrón ocupe un nivel de energía E y la concentración en la banda de conducción vienen

dadas por las expresiones:

Ecuación 26. Probabilidad de ocupación y concentración de electrones en desequilibrio.

;;1

1),(

/)(TkFE

cokTFE

cc

ceUnnn

eTEf ⋅

−−

−⋅=∆+=

+=

donde Fc es el cuasinivel de Fermi de la banda de conducción.

Para llegar a esta expresión se han hecho las mismas suposiciones que para determinar el

número de electrones en condiciones de equilibrio térmico. La probabilidad de que un hueco ocupe

un nivel de energía E y la concentración de huecos en la banda de valencia vienen dadas por:

Ecuación 27. Probabilidad de ocupación y concentración de huecos en desequilibrio

;;1

11),(1),(

/)(TkEF

vokTFEh

vv

ceUppp

eTEfTEf ⋅

−−

−⋅=∆+=

+−=−=

Para llegar a esta expresión se han hecho las mismas suposiciones que para determinar el

número de huecos en condiciones de equilibrio térmico.

Lo expuesto hasta ahora puede hacer pensar que la posición que ocupe el cuasinivel de

Fermi de la banda de conducción es independiente de la posición que ocupe el de la banda de

valencia. Esto en realidad no es así. Considérese el caso de la generación óptica de portadores en

exceso. Por cada electrón en exceso que pase a la banda de conducción, se produce un hueco

en la banda de valencia. De ahí que se verifique la igualdad np ∆=∆ , que junto con

)()( ppnngopgo oo ∆+⋅∆+⋅=+ γ nos permite calcular los portadores en exceso ( p∆ y n∆ ).

Conocidas las concentraciones de portadores y las expresiones dadas por Ecuación 26 y la Ecuación 27

se puede determinar la posición de los cuasiniveles de Fermi. Nótese que los cuasiniveles de Fermi

se han desplazado en sentidos contrarios con respecto al nivel de Fermi, el de la banda de

conducción ha subido, indicando que hay más electrones que en equilibrio térmico, y el de la banda

de valencia ha bajado, indicando que hay más huecos.

57

En la Figura 28 se pueden comparar una situación de equilibrio con otra en la que se ha

iluminado el semiconductor. En el primer caso existe un único nivel de Fermi porque ambas bandas

están en equilibrio. En el segundo caso, la luz no permite el equilibrio entre ambas bandas y es

necesario considerar dos cuasiniveles de Fermi. Repetimos que esto está justificado porque los

tiempos de relajación de los portadores son tan pequeños que los portados de una banda están en

equilibrio entre si.

Ef

Fc

Fv

Equilibrio térmico: n· p=ni2 Iluminado: n· p>n i

2

Figura 28. Semiconductor en equilibrio térmico e iluminado.

4.3 TIEMPO MEDIO DE EXISTENCIA DE PORTADORES EN DESEQUILIBRIO.

Para definir el término tiempo medio de recombinación de portadores, va a considerarse de

nuevo el caso de un semiconductor iluminado en el que se genera una cierta concentración de

portadores en exceso. Se va a suponer que, repentinamente, se interrumpe el flujo luminoso.

Después de interrumpir la luz excitadora, las concentraciones de huecos y electrones disminuyen a

causa de la recombinación. En este caso, la velocidad de decrecimiento del número de portadores

se determina por la diferencia de las velocidades de recombinación y de generación térmica:

Ecuación 28.

)( pnnppnpngdtdp

dtdn

oorro ∆⋅∆+∆⋅+∆⋅⋅−=⋅⋅−== γγ

58

Para llegar a la última igualdad se ha tenido en cuenta que la generación térmica es igual a

la recombinación en equilibrio térmico ( ooro png ⋅⋅= γ ) y que la concentración de portadores es la

suma de la concentración de equilibrio más el exceso (n=no+∆n y p=po+∆p).

La concentración en exceso de electrones es igual a la concentración en exceso de huecos

(∆n=∆p). Suponiendo ahora baja inyección, es decir, que las concentraciones de los portadores en

exceso son pequeñas con respecto a la suma de las concentraciones de equilibrio (∆n,∆p<<(no+po))

resulta:

Ecuación 29. Dinámica de recuperación del equilibrio en inyección débil

ott

ooor

ttsietntnpn

ndt

nddtdn

o ≥⋅∆=∆⇒+

=∆

−=∆

= −− τ

γτ

τ/)()()(

)(1

;

La constante τ, que tiene dimensiones de tiempo, recibe el nombre de tiempo medio de

vida (o recombinación) de los portadores de carga en desequilibrio. De la Ecuación 29 también se

puede definir la constante media de vida como el tiempo que debe transcurrir para que la

cantidad de portadores recombinados sea igual al 63% del valor inicial, es decir,

)()63.01()()( 1ooo tnetntn ∆⋅−≈⋅∆=+∆ −τ . Otra interpretación que se puede hacer de τ es el

tiempo medio que transcurre desde que se genera un electrón hasta que se recombina.

El valor de este tiempo es función del tipo de material semiconductor y del grado de

pureza. Puede variar en un amplio rango (desde 0.01s hasta 10ns) pero, en cualquier caso, es muy

grande en comparación con el tiempo de relajación de los portadores, es decir, un portador sufre

muchas colisiones con la red cristalina antes de recombinarse. Por ello, un portador generado

ópticamente pasa rápidamente (en un intervalo del orden del tiempo de relajación –100ps-) a estar

en equilibrio con el resto de portadores de la banda, situación en la que permanece durante

“mucho” tiempo (τ) antes de recombinarse.

La expresión que se ha obtenido para el tiempo medio de existencia de portadores es, en

principio, sólo válida si el mecanismo dominante de recombinación es entre bandas. Los tipos de

mecanismos de recombinación van a exponerse en la próxima sección.

59

4.4 TIPOS DE RECOMBINACIÓN.

Según el mecanismo se distinguen tres tipos de recombinación:

1. Recombinación entre bandas.

2. Recombinación en centros de captura (o trampas).

3. Recombinación superficial.

4.4.1 Recombinación entre Bandas.

La recombinación entre bandas se produce cuando el electrón libre transita directamente

de la banda de conducción a la banda de valencia, lo que produce la eliminación de un electrón

libre y de un hueco libre. En este proceso tienen que conservarse constantes la energía total y la

cantidad de movimiento total. El diagrama de bandas de un semiconductor relaciona la energía de

los electrones con su cantidad de movimiento. Al pasar un electrón de la banda de conducción a la

banda de valencia, éste pierde una energía igual a la energía de la banda prohibida. Esta energía

perdida por el electrón se traduce en la creación de un quanto de energía electromagnética, es decir,

de un fotón. La energía del fotón es, evidentemente, igual a la energía de la banda prohibida.

Va a analizarse ahora la segunda condición que debe cumplirse para que se produzca una

recombinación entre bandas: la conservación de la cantidad de movimiento. Los fotones poseen una

cantidad de movimiento (o impulso) que es despreciable en comparación con la cantidad de

movimiento del electrón. Por tanto, a menos que intervenga alguna otra partícula en el proceso de

recombinación, ha de cumplirse que la cantidad de movimiento del electrón en la banda de

conducción ha de ser igual a la cantidad de movimiento en la banda de valencia. Esto quiere decir

que el mínimo de la banda de conducción y el máximo de la banda de valencia deben darse para un

mismo valor del vector kr

, es decir, el semiconductor debe ser de transición directa. Si el

semiconductor no es de transición directa, es necesario que intervenga la red cristalina, de forma

que ésta ceda o absorba la diferencia de cantidades de movimiento. En este caso, dado que para que

se produzca una recombinación entre bandas es necesario que intervenga la red cristalina, resulta

que la probabilidad de que ésta se produzca es muy baja. De hecho la recombinación entre bandas

60

es el proceso dominante en semiconductores de transición directa, mientras que la recombinación

por centro locales de impurezas es dominante en los de transición indirecta.

Existe otro tipo de recombinación entre bandas, la recombinación por choque o

recombinación Auger, en la que la energía liberada se cede a un portador libre de carga. Este

mecanismo de recombinación no va a ser estudiado.

4.4.2 Recombinación en Centros de Captura.

La recombinación de pares electrón-hueco puede estar inducida por la presencia de

imperfecciones en la red cristalina, principalmente impurezas que provocan la presencia de estados

energéticos accesibles dentro de la banda prohibida, lejos de las bandas de valencia y conducción.

Este mecanismo de recombinación es dominante en los semiconductores de transición indirecta. La

teoría de Shockley-Read predice unos valores de tiempos medios de recombinación que se ajustan

bastante bien con los medidos experimentalmente. La exposición de esta teoría no va a hacerse en

estos apuntes.

4.4.3 Recombinación superficial

En la superficie del cristal se produce una ruptura abrupta de la red cristalina. Un átomo

próximo a la superficie tiene un entorno completamente diferente que un átomo que se encuentra en

el interior (en el volumen). Esta irregularidad se traduce en la aparición de altas densidades de

estados electrónicos situados en la banda prohibida del semiconductor. Estos estados pueden

atrapar y liberar tanto electrones como huecos. El proceso de recombinación se produce porque el

electrón pasa a uno de estos estados, y de estos a la banda de valencia.

61

CAPÍTULO 5

ECUACIONES DE CONTINUIDAD

5.1 INTRODUCCIÓN.

En esta lección se va a estudiar el comportamiento de un semiconductor que, por causa de

algún factor externo, se aparta de las condiciones de equilibrio térmico. En este caso las

concentraciones de electrones y huecos libres son funciones de las coordenadas espaciales y del

tiempo, n(x,y,z,t) y p(x,y,z,t). Las ecuaciones de continuidad permiten determinar las expresiones de

estas dos funciones.

Las ecuaciones de continuidad se van a deducir para una muestra homogénea

unidimensional, en la que las concentraciones de electrones y huecos libres dependen,

espacialmente, sólo de la coordenada x, tal como se muestra en la Figura 29. Supóngase que en el

instante t la concentración de electrones es n(x,t); entonces el número de electrones en este volumen

es n(x,t)Adx, donde A es el área de la sección transversal del semiconductor. En el instante t+dt este

número es n(x,t+dt)Adx, y el la variación del número de electrones en el tiempo dt en el volumen

Adx es:

Ecuación 30

[ ] dtdxAdtdn

dxAtxndttxn ⋅⋅⋅=⋅⋅−+ ),(),(

Esta variación del número de electrones (o de huecos) puede ocurrir debido a distintas

causas. En la Figura 29 se indican los distintos fenómenos físicos que pueden hacer que varíe el

número de portadores que hay dentro del volumen rayado: la generación, la recombinación y la

62

existencia de un flujo de portadores no constante. En lecciones anteriores se vio que los

mecanismos de arrastre y difusión eran los responsables de la existencia de flujos de portadores de

carga.

Figura 29. Términos que intervienen en la ecuación de continuidad.

5.2 ECUACIONES DE CONTINUIDAD.

La variación del número de electrones dada por la Ecuación 30 puede ocurrir debido a los

procesos de generación, recombinación, así como a la difusión y arrastre de estos portadores de

carga. Se va a examinar uno a uno cada uno de estos procesos:

1. Generación. Por procesos de generación se sobreentienden todos los mecanismos mediante

los cuales los electrones pueden ser excitados y transferidos a la banda de conducción. Hay

que tener en cuenta tanto la generación de portadores libres por efectos térmicos como por

causas externas (por ejemplo una fuente de luz). Se van a designar las tasas de generación

de estos dos tipos de generación por go y g. Entonces la velocidad de generación será igual a

go+g. Por tanto, el número de portadores generados en el volumen A· dx y durante el

intervalo dt es:

Ecuación 31. Número de electrones generados.

dtdxAgg o ··)·( +

63

2. Recombinación. El número de portadores de carga en el volumen A· dx varía también a

causa de la recombinación. El número de portadores generados en el volumen A· dx y

durante el intervalo dt es:

Ecuación 32. Número de electrones recombinados.

dtdxApnr ⋅⋅⋅⋅⋅γ

3. Procesos de difusión y deriva. La variación de la cantidad de portadores de carga en el

volumen dx puede deberse, además, a los procesos de difusión y deriva. Recordamos que

),( txnφ es el flujo de electrones (número de electrones que atraviesa una unidad de

superficie transversal a la dirección x y por unidad de tiempo). Si ),( txnφ es diferente que

),( tdxxn +φ , por la cara lateral derecha del volumen de control de la Figura 29 salen una

cantidad de electrones diferente a los que entran por la cara izquierda, por tanto varía la

cantidad de electrones interior al volumen. La variación de esta cantidad se puede calcular

restando a los que entran lo que salen:

Ecuación 33. Variación de los electrones debida a los flujos de corriente.

[ ] dtdxAx

dtAtdxxtx nnn ⋅⋅⋅

∂∂

−=⋅⋅+−φφφ ),(),(

La variación del número total de portadores que en el tiempo dt se ha producido en el

volumen A· dx viene dada por la Ecuación 30. Esta variación es igual a la suma de términos que

ocurren por diferentes fenómenos físicos, a saber, generación, que se evalúa por medio de la

Ecuación 31, recombinación, evaluada por la Ecuación 32 y difusión y deriva, representada por la

Ecuación 33. Esto lo expresamos así:

dtdxAx

dtdxApndtdxAggdtdxAdtdn n

ro ⋅⋅⋅∂∂

−⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅φγ)(

de donde:

64

Ecuación 34. Ecuación de continuidad de los electrones.

xpngg

dtdn n

ro ∂∂

−⋅⋅−+=φγ)(

Procediendo de una manera similar podemos obtener la expresión recíproca a la Ecuación 34

para los huecos:

Ecuación 35. Ecuación de continuidad de los huecos.

xpngg

dtdp p

ro ∂∂

−⋅⋅−+=φ

γ)(

Si dividimos por la carga eléctrica del portador las expresiones de la densidad de corriente

dadas en la Ecuación 21

Ecuación 36. Flujo de los portadores.

xp

Dpq

Jxn

Dnq

J

ppp

p

nnn

n

∂∂

⋅−⋅⋅==

∂∂

⋅−⋅⋅−=−

=

ξµφ

ξµφ)(

Por último, si sustituimos las expresiones de la Ecuación 36 en Ecuación 34 y Ecuación 35

llegamos a las ecuaciones de continuidad

Ecuación 37: Ecuaciones de continuidad de los portadores de un SC.

2

2

2

2

)()(

)()(

xp

Dx

ppngg

dtdp

xn

Dx

npngg

dtdn

ppro

nnro

∂∂

+∂

⋅∂−⋅⋅−+=

∂∂

+∂

⋅∂+⋅⋅−+=

ξµγ

ξµγ

Estas dos expresiones son las ecuaciones de continuidad de electrones y huecos. Vemos que

en ambas interviene el campo eléctrico. Este campo puede expresarse como la suma del campo

aplicado sobre el semiconductor y un campo interno que se origina por la aparición de regiones del

semiconductor cargadas eléctricamente bajo determinas circunstancias, es decir:

65

apin ξξξ +=

Figura 30. Efecto del campo eléctrico interno.

El campo interno se produce porque los coeficientes de difusión de electrones y huecos

pueden ser, y generalmente los son, diferentes. Si los electrones y huecos pudieran moverse de un

modo independiente, las especies de difusión más rápida tenderían a adelantarse a las más lentas,

dejando a éstas atrás. Esto conlleva una separación de cargas positivas y negativas con lo que,

según la ecuación de Gauss, se establece un campo eléctrico interno que tiende a retardar a las

partículas de difusión rápida y a acelerar a las de difusión lenta. Este es el campo ξin de la relación

anterior. Finalmente este campo se hace lo suficientemente fuerte como para contrarrestar cualquier

tendencia de las cargas positivas y negativas a separarse más todavía y, consiguientemente, las

partículas positivas y negativas se difunden juntas. El coeficiente de difusión efectivo es mayor que

el de las especies lentas, pero menor que el de las rápidas. Este fenómeno, denominado difusión

ambipolar, se ilustra en la Figura 30. Por tanto es evidente que las ecuaciones de continuidad

(Ecuación 37) contienen tres variables desconocidas, n, p y ξ, ya que la componente interna del

campo no se conoce. El conjunto de ecuaciones se puede completar escribiendo la ecuación de

Gauss que relaciona el campo eléctrico y la densidad neta de carga:

Ecuación 38. Ecuación de Gauss en un semiconductor

s

ad

s

NNnpqx εε

ρξ )( −+−==

∂∂

donde εs es la permitividad eléctrica del semiconductor. Debe hacerse notar que el campo

eléctrico aplicado es constante (sus fuentes y sumideros están fuera del semiconductor) y se verifica

que xxin

∂∂

=∂∂ ξξ

para el caso unidimensional. Se ha llegado, pues, a un sistema de tres ecuaciones

66

diferenciales con tres incógnitas que, en principio, puede resolverse. Desafortunadamente no parece

existir un medio para llegar a una solución analítica directa. Por tanto es necesario hacer

aproximaciones físicas razonables que permitan llegar a una solución que, aunque no sea exacta,

sea adecuada para la mayoría de los casos de importancia práctica.

5.3 HIPÓTESIS SIMPLIFICADORAS.

Las hipótesis simplificadoras que vamos a emplear son las siguientes:

1. Neutralidad de cargas. Es decir, que np ∆≈∆ .

2. Inyección débil. Esto quiere decir que oo pnMaxnp ,<<∆≈∆ .

3. Dopado uniforme . Las concentraciones de impurezas son constantes en las regiones del

semiconductor donde aplicamos las hipótesis simplificadoras.

4. Dopado fuerte. Es decir, se cumple que oo pn >> o que oo np >> .

Como se ha explicado en el apartado 5.2 por el proceso de difusión ambipolar los

portadores de carga se difunden a la misma velocidad, aún teniendo diferentes coeficientes de

difusión. Por ello, en las situaciones prácticas de interés en este curso los excesos de portadores

serán siempre iguales (primera hipótesis simplificadora). Por tanto, si somos capaces de determinar

el perfil de concentración de una de las especies de portadores (por ejemplo los minoritarios), el

perfil de concentración de la otra especie (los mayoritarios) es aproximadamente igual al primero.

Como se vio en el apartado 4.3, la hipótesis de inyección débil nos permitirá sustituir

pngg ro ⋅⋅−+ γ)( por τ/pg ∆− , donde τ era la constante de vida de los portadores.

Dopado uniforme quiere decir que las concentraciones de portadores en equilibrio térmico

son constantes en la región del semiconductor bajo estudio. Ello nos permitirá sustituir en las

ecuaciones de continuidad xp

∂∂

o xn

∂∂

por xp

∂∆∂

o xn

∂∆∂

, respectivamente.

67

La hipótesis de dopado fuerte tiene unas implicaciones más difíciles de explicar. Hemos

visto que el campo eléctrico interno es el responsable de que se verifique la aproximación de

neutralidad de carga. Este campo crea un flujo de arrastre que tiene tendencia a frenar a los

portadores que tienen coeficientes de transporte mayores y a acelerar a los portadores que tienen

coeficientes de transporte más pequeños. Imaginemos una región del semiconductor fuertemente

extrínseca y neutra eléctricamente. Por algún procedimiento separamos instantáneamente los

portadores de manera que aparezca carga neta y campo interno y dejamos que es sistema

evolucione libremente. Por la presencia del campo interno se producen corrientes de arrastre que

tienden a recuperar la neutralidad de carga, acabando el proceso cuando desaparezca de nuevo el

campo. Estas corrientes son debidas principalmente a portadores mayoritarios, apenas a

minoritarios21. Por tanto, podemos concluir diciendo que los portadores minoritarios no son

afectados por el campo interno y que en su ecuación de continuidad podemos anular los

términos donde aparezca éste.

Atendiendo a estas hipótesis, las ecuaciones de continuidad de los portadores minoritarios

quedan:

Ecuación 39. Ecuaciones de continuidad de los portadores minoritarios

oopapp

oonapn

pnsix

pD

xpp

gdt

pd

npsix

nD

xnn

gdt

nd

>>∂

∆∂+

∂∆∂

−∆

−=∆

>>∂

∆∂+

∂∆∂

+∆

−=∆

2

2

2

2

ξµτ

ξµτ

5.4 ECUACIÓN DE DIFUSIÓN DE LOS PORTADORES.

Un caso de gran importancia es la solución en estado estacionario ( 0=∆dt

pd) de una

muestra semiconductora que se extiende desde x=0 hasta x=+∞. Los portadores en exceso se crean

a través de una fuente uniforme y plana de generación que, para mayor facilidad, se supondrá que

coincide con el plano x=0. En este caso no se tiene campo aplicado alguno ( 0=ξ ) y sólo

21 Si la concentración de mayoritarios es 1015 y de minoritarios 105, simplificando el razonamiento, por cada portador minoritario que se mueva para recuperar la neutralidad, se mueven 1010 portadores mayoritarios.

68

generación térmica (g=0) de portadores en exceso en la muestra. En estas condiciones la densidad

de portadores en exceso variará sólo a lo largo de la dirección x. Se supondrá que la muestra es de

tipo n fuertemente extrínseca en la que la densidad de portadores en exceso es en todas partes muy

inferior a la densidad de portadores mayoritarios (baja inyección). En estas condiciones, tal como

se vio en la lección anterior, la ecuación de continuidad se reduce a:

02

2

=∆

−∂

∆∂τp

x

pD p

Reordenando las constantes esta ecuación queda22:

Ecuación 40. Ecuación de continuidad de los portadores minoritarios

τ⋅==∆

−∆

ppp

DLL

p

dx

pd 222

2

;0

El término Lp recibe el nombre de longitud de difusión de huecos. Téngase en cuenta que

los portadores que se generan en exceso en x=0 empiezan a alejarse por difusión. A medida que

nos alejemos de x=0 la probabilidad de que el hueco no se haya recombinado decrece, ya que ha

trascurrido un tiempo mayor desde que se generó en x=0. Por consiguiente la concentración de

huecos en exceso decrece a medida que x crece.

Las soluciones de Ecuación 40 se pueden expresar de forma general:

Ecuación 41. Solución de la ecuación de minoritarios

pp LxLx eBeApoxpxp //)()( −⋅+⋅=−=∆

donde A y B son constantes arbitrarias. Puesto que se tiene una fuente plana de portadores

en x=0, se crea en esta superficie una concentración de portadores mayor que la de equilibrio

térmico, ∆p(0), que supondremos conocida.

22 Por ser la concentración sólo función de de la variable x hemos sustituido las derivadas parciales por derivadas totales

69

Puesto que existe una tasa de recombinación volumétrica diferente de cero, la densidad de

los portadores en exceso deben tender a cero al alejarnos de x=0 (∆p(+∞)=0). Estas condiciones de

contorno requieren que A=0. Además, resulta evidente que B=∆ p(0).

Por tanto la solución es

Ecuación 42. Solución particular de minoritarios en exceso.

pLxepxp /)0()( −⋅∆=∆

La concentración de electrones en exceso, de acuerdo con la hipótesis de neutralidad de

cargas, es aproximadamente igual a la concentración de huecos en exceso. En la Figura 31 se

muestran los perfiles de concentración resultantes. La concentración de portadores en exceso se

pierde exponencialmente en ambos lados de la fuente plana, con una distancia característica de

decaimiento de Lp. Por tanto podemos definir la longitud de difusión Lp como la distancia que hay

que recorrer para que la concentración en exceso de minoritarios se recombine en un 63% de

su valor inicial (1-e-1=0.63). También se puede interpretar como la distancia media que recorre

por difusión un portador minoritario sin recombinarse.

∆p(x) po

∆n(x) no

n(x)= no+∆n(x)

p(x)= po+∆p(x)

x

Figura 31. Perfiles de concentración de portadores provocados por un proceso de difusión.

70

CAPÍTULO 6

EL DIODO DE UNIÓN PN

6.1 LA UNIÓN P-N EN EQUILIBRIO TÉRMICO

El diodo de unión está constituido por un material semiconductor en el que existe una

región extrínseca tipo n y una región extrínseca tipo p separadas por una zona de transición

estrecha. Esta región de transición se denomina unión p-n y su estudio es muy importante, puesto

que los fenómenos físicos que ocurren en ella constituyen la base del funcionamiento de la mayoría

de los dispositivos electrónicos semiconductores. La transición entre las regiones p y n puede ser

abrupta o graduada, tal como se muestra en la Figura 32. Se va a dar mayor énfasis a las uniones

abruptas, puesto que es una buena aproximación de las uniones p-n de la mayoría de los

dispositivos importantes y se simplifica el estudio.

Figura 32: Tipos de uniones p-n.

71

Supóngase que de alguna manera se forma instantáneamente una unión abrupta p-n

poniendo en contacto una muestra uniforme de tipo p con otra de tipo n para formar un único

cristal. En el instante de formación existe una concentración nn0 de electrones y pn0 de huecos en el

lado n, y una concentración uniforme pp0 de huecos y np0 de electrones en el lado p. Puesto que la

concentración de electrones del lado n es mucho mayor que la del lado p, en el instante de

formación existe un gradiente enorme de concentración de electrones en la zona de la unión. Lo

mismo ocurre con respecto a la concentración de huecos. Los gradientes iniciales de concentración

establecen corrientes de difusión que hacen que los electrones de la región n y los huecos de la

región p se desplacen hasta la región opuesta, dejando la zona próxima a la unión vacía de

portadores mayoritarios. No obstante, este flujo de difusión inicial no puede continuar

indefinidamente, ya que las cargas de los iones fijos donadores y aceptores cercanos a la unión ya

no están balanceadas por las cargas de los portadores, de modo que se establece un campo eléctrico.

La dirección de este campo se opone al flujo de los electrones que salen de la región n y al flujo de

los huecos que salen de la región p, contrarrestando la tendencia de los portadores mayoritarios a

difundirse. Entonces se establece una condición de equilibrio dinámico (las corrientes de difusión

cancelan a las de arrastre) en la que la región cercana a la unión queda vacía de portadores

mayoritarios, existiendo un campo eléctrico intenso (Figura 33.).

La presencia de la región de carga espacial hace que se establezca una diferencia de

potencial entre las regiones n y p que denotaremos V0. Por tanto la energía potencial de un electrón

en reposo situado dentro de la región p es superior a la de un electrón en reposo situado dentro de la

región n en una cantidad igual a qV0. Lo mismo puede afirmarse de un hueco en reposo en la zona n

respecto a la zona p. Sin embargo, puesto que el estado del sistema es de equilibrio térmico, el nivel

de Fermi Ef debe ser el mismo en todo el semiconductor. Estas consideraciones permiten describir

las bandas de energía del semiconductor tal como se muestra en la Figura 34. La curvatura del

diagrama de bandas está provocada, precisamente, por la región de carga espacial que hace que la

energía de un electrón situado en el mínimo de la banda de conducción o la de un hueco situado en

el máximo de la banda de valencia, vayan cambiando a medida que se atraviesa esta zona. El salto

energético que hay desde la zona difusiva n hasta la zona difusiva p es qV (x).

72

Figura 33: Región de carga espacial.

-xp x xn

qV0 qV(x)

Ecp

Evp

Ecn

Evn

Ef Ef

0

- - -

-

-

-

+ + +

+

+

+ p n

+ - V0

+ - V(x)

-xp x xn

φmp φmn + - + -

RCE RN,p RN,n

metal

A K

Figura 34: (Izquierda) Regiones neutras p y n (R.N. p y R.N. n) y región de carga espacial (RCE), y las

diferentes caídas de tensión en la RCE. (Derecha) Bandas de energía, curvadas en la RCE por efecto del campo

en la misma, y diferencias de energía potencial en las diferentes regiones.

73

El valor del potencial de contacto interno en equilibrio térmico, V0, se determina

fácilmente a partir de las concentraciones de los portadores (electrones o huecos) en equilibrio a

ambos lados de la unión, lejos de la región de carga espacial:

Ecuación 43. Concentraciones de electrones a ambos lados de la unión

kT

fEpcE

kT

fEncE

eUn

eUn

cp

cn

−

−

−

−

=

=

0

0

Operando con estas dos expresiones se llega fácilmente a:

Ecuación 44

0

00 ln

p

ncc

nn

qkT

q

EEV np =

−=

Si ahora se tiene en cuenta que np0 · pp0 = ni2 y si suponemos que el semiconductor está

fuertemente dopado (nn0 ≅ Nd y pp0 ≅ Na) se deduce:

Ecuación 45. Potencial de contacto de una unión pn abrupta.

qkT

Vn

NNVV T

i

adT == ;ln 20

siendo VT el potencial equivalente de temperatura y Nd y Na las concentraciones de

impurezas en el lado n y p, respectivamente. Para el silicio, temperatura ambiente y valores

prácticos de las concentraciones (VT = 0.025V, Nd = Na = 1016cm-3 y ni = 1.5x1010cm-3), el

potencial de contacto toma el valor V0 = 0.67V.

Si la unión pn se conecta al exterior mediante dos terminales metálicos se obtiene un

dispositivo electrónico que recibe el nombre de diodo (Figura 34). El terminal conectado al

semiconductor p recibe el nombre de ánodo (A en la figura) y el terminal en el lado n se llama

cátodo (K en la figura). La unión de un metal y un semiconductor recibe el nombre de contacto

74

óhmico, por su presencia aparecen las caídas de potencial φmp y φmn mostradas en la figura y desde

el punto de vista eléctrico se comportan como dos fuentes de tensión constantes con el tiempo23.

Las características eléctricas del diodo dependen de los fenómenos físicos que ocurren en la RCE y

las regiones adyacentes a ésta. Por ello, en este capítulo estudiaremos exclusivamente estos

fenómenos. Por último, hay que decir que por la ley de las tensiones de Kirchoff se verifica que

00 =++ mpmn V φφ .

6.2 LA UNIÓN P-N POLARIZADA

A continuación se va a examinar lo que ocurre cuando se aplica una diferencia de

potencial entre los extremos de la unión (Figura 35). Las regiones de carga espacial, puesto que están

vacías de portadores de carga, tienen una resistividad mucho más alta que el resto del

semiconductor (regiones neutras). Como consecuencia, la tensión aplicada desde el ánodo al cátodo

(VD en la Figura 35) cae, principalmente, en esta región. Si VD es positiva se dice que el diodo está

polarizado en directa. Por efecto de esta tensión la energía potencial de los electrones del lado n

aumenta respecto de los del lado p y la barrera de potencial que separa ambos lados se reduce al

nuevo valor de q (V0 -VD). Si la tensión VD es negativa se dice que el diodo está polarizado en

inversa. En este caso la energía potencial de los electrones del lado n disminuye respecto de la

energía potencial de los electrones del lado p y la barrera potencial aumenta al valor q (V0 +VR).

En la Figura 35 se muestran también los flujos de portadores que atraviesan la RCE. Por

difusión los portadores se mueven desde las regiones donde son mayoritarios a las regiones donde

son minoritarios, esto es, electrones desde n a p y los huecos desde p a n. Por el contrario, el campo

eléctrico de la RCE genera flujos de portadores desde las regiones donde son minoritarios a las

regiones donde son mayoritarios. En equilibrio térmico (VD = 0) el flujo de arrastre de uno de los

portadores se cancela con el flujo de difusión del mismo portador, siendo la corriente neta igual a

cero. En el caso de la polarización directa disminuye la barrera de potencial que retiene a los

23 En un tema posterior se estudiarán las uniones metal-semiconductor y se verá como también pueden presentar comportamientos eléctricos diferentes a los descritos aquí.

75

portadores mayoritarios en sus respectivas regiones y se produce un aumento muy grande24 de las

corrientes de difusión. En polarización directa la corriente desde el ánodo al cátodo puede ser

muy grande . Por el contrario, en polarización inversa se produce un aumento de la barrera de

potencial y las corrientes de difusión se pueden hacer tan pequeñas que a efectos prácticos pueden

considerarse nulas. Si además consideramos que los flujos son pequeños en equilibrio térmico y

que los flujos de arrastre no dependen25 del valor la tensión VD, en polarización inversa la

corriente neta desde el cátodo al ánodo es producida sólo por los flujos de arrastre, siendo

casi constante y muy pequeña.

En resumen, el comportamiento de la unión es muy distinto dependiendo de que ésta se

polarice en directa o en inversa. Si se polariza directamente, el dispositivo es un excelente

conductor de la electricidad, mientras que si se polariza inversamente su resistencia es muy

elevada.

En la Figura 35 se han representado también los niveles de Fermi. Para el caso de equilibrio

térmico existe un único nivel de Fermi en todo el sistema. Sin embargo, cuando la unión pn se

polariza (VD distinto de cero) hay que distinguir entre los cuasiniveles de Fermi de huecos y

electrones. A lo largo de este capítulo consideraremos las hipótesis de neutralidad de carga

(∆np(x)=∆pp(x) y ∆pn(x)=∆nn(x) ) y de inyección débil. Esta última nos dice que los excesos de

portadores minoritarios son muy pequeños respecto de las concentraciones de portadores

mayoritarios en equilibrio térmico. Por ejemplo, en las regiones neutras se pueden hacer las

siguientes aproximaciones:

De la Ecuación 46 podemos concluir que las concentraciones de mayoritarios son iguales a

las que habría en equilibrio térmico y que los respectivos cuasiniveles de Fermi permanecen a la

misma distancia de los extremos de las bandas, es decir, el cuasinivel de Fermi de los electrones Fn

24 Se comprobará en este capítulo que los flujos difusivos crecen exponencialmente con la tensión aplicada ( TD VV

d e /∝φ ) 25 Aunque el campo eléctrico puede hacerse muy grande en la RCE cuando el dispositivo está en polarización inversa, el número de portadores por unidad de tiempo que cruza esta región es constante e igual a la tasa de generación de los portadores minoritarios que se generan térmicamente en la en las regiones adyacentes a la RCE (es decir, en la regiones neutras más próximas a la RCE que una longitud de difusión). Sin embargo, como se verá posteriormente, la longitud de la RCE aumenta cuanto más polarizado en inversa esté el dispositivo y el número de portadores generados

76

está a la misma distancia de EC en la región neutra n y el cuasinivel de Fermi de los huecos Fp está

a la misma distancia de EV en la región neutra p. Este hecho se ilustra en la Figura 35. Por el

contrario las concentraciones de los portadores minoritarios y sus respectivos cuasiniveles de Fermi

pueden variar respecto de sus valores de equilibrio térmico. Los cuasiniveles de Fermi de los

portadores minoritarios no se representan en la Figura 35.

Ecuación 46. Concentraciones de mayoritarios en las regiones neutras.

00

00

)()(

)()(

nnnn

pppp

nxpnxn

pxnpxp

≈∆+=≈∆+=

q (V0-VD)

p n

VD=0V

q V0

(a)

p n

VD>0V

(b)

Fp Fn

φdp

φap

φdn

φan

φdp

φap

φdn

φan

p n

(a)

φdp

φap

φdn

φan

VD= -VR<0V

Fn

Fp q (V0+VR)

Ecp

Ef q V D

xn -xp

Figura 35: Bandas de energía y flujos de portadores a través de la RCE en a) equilibrio térmico, b) polarización

directa y c) polarización inversa. Los subíndices de los flujos indican: “d” difusión, “a” arrastre, “p” flujo de

huecos y “n” flujo de electrones.

térmicamente por unidad de tiempo en la RCE aumentará ligeramente. La consecuencia es que la corriente en inversa aumenta ligeramente con la polarización inversa.

77

En la mayor parte de las ocasiones se puede suponer que la posición de los cuasiniveles de

Fermi varía poco dentro de la región de carga espacial. Esta suposición es razonable puesto que la

región de carga espacial es muy estrecha, por lo que la distribución de energía de los portadores

(definida por la posición de los cuasiniveles de Fermi) no se altera apreciablemente durante su paso

por dicha zona. Esta hipótesis lleva a una condición de contorno en las concentraciones de

portadores que será de gran utilidad más adelante. Remitiéndonos de nuevo a la Figura 35 (en

particular a los niveles de energía en las figuras (a) y (b)) se observa que Fn=qVD+Ef y podemos

desarrollar

Ecuación 47. Concentración de electrones en la interfaz RCE-RN,p

( ) TDTD

fnVV

pVVkT

EEcp

ckT

FEcp

cpp eneeUeUxn /0

/ ⋅=⋅

⋅=⋅=−

−−

−−

Siguiendo un razonamiento similar, las concentraciones de huecos a ambos lados están

relacionadas por:

Ecuación 48. Concentración de huecos en la interfaz RCE-RN,n

( ) TD VVnnn epxp /

0 ⋅=

Si bien la Ecuación 47 y la Ecuación 48 han sido calculadas mediante la comparación de los

niveles energéticos de la unión en equilibrio térmico y polarizada en directa, ambos resultados se

pueden aplicar para cualquier estado de polarización del dispositivo.

6.3 CARACTERÍSTICA ESTÁTICA DEL DIODO DE UNIÓN

6.3.1 Procedimiento de cálculo

Como se ha discutido en el apartado anterior, los portadores se mueven tanto por arrastre

como por difusión en la RCE. Sin embargo, el transporte de portadores minoritarios en las regiones

neutras es sólo difusivo, tal y como se explicó en el Capítulo 5. Sin pérdida de generalidad

centraremos nuestra discusión en la región neutra tipo n (RNn) para el caso de polarización directa.

Debido al aumento de los flujos difusivos en la RCE se produce una inyección de huecos en la

78

RNn. Estos portadores se difunden desde la superficie de inyección (interfaz RCE-RNn) hacia el

interior de la RNn. Por tanto, la corriente total producida por la inyección de huecos se puede

calcular evaluando sólo la componente de difusión en la superficie de inyección de huecos de la

RNn (ver Figura 36).

Ecuación 49. Corriente total de huecos que circula por un diodo.

)())()(()( +−− ⋅⋅=+⋅⋅= ndpnapndpnp xAqxxAqxI φφφ

donde A es la sección transversal de la unión pn.

Superficie de inyección de huecos

RN tipo n RCE

x=xn

φdp(xn-)

-φap(x n-)

+ φp(x n

-) φdp(x n+)

Superficie de inyección de electrones

x=-xp

-φdn(-xp+)

φan(x p+)

-φn(-x p+) -φdn(-x p

-) RN tipo p

Figura 36. Inyección de huecos en la región neutra tipo p.

Siguiendo el mismo procedimiento en la superficie de inyección de electrones, esto es, en

la superficie de separación entre la RCE y la región neutra tipo p (RNp) situada en x = -xp, se

obtiene que la corriente total producida por los electrones toma el valor

Ecuación 50. Corriente total de electrones que circula por el diodo.

)()())()(()()( −++ ⋅⋅−=+⋅⋅−=− pdnpanpdnpn xAqxxAqxI φφφ

La corriente total que circula por el diodo puede ahora evaluarse sumando ambas

expresiones26

26 En rigor esta expresión es sólo aproximada pues las corrientes totales de electrones y huecos deberían evaluarse en la misma posición y no en dos puntos –xp y xn diferentes. La aproximación es buena debido a que los procesos de generación térmica y recombinación en la RCE tienen poca importancia. Dicho de otra manera, todo hueco inyectado en la RNn a través de la superficie RCE-RNn a atravesado también la superficia RNp-RCE si no hay generación y recombinación en la RCE.

79

Ecuación 51. Corriente total por el diodo en función de los flujos de minoritarios.

[ ])()()()( −+ −⋅⋅=−+= pdnndppnnpD xxAqxIxII φφ

Esta fórmula expresa la densidad de corriente total que atraviesa el dispositivo como suma

de dos densidades de corriente asociadas a dos flujos de portadores minoritarios. Nótese que los

electrones son minoritarios en la región correspondiente a valores de x negativos y que los huecos

son portadores minoritarios en la zona donde x toma valores positivos. El motivo por el que se ha

expresado la densidad de corriente total de esta manera es sencillo: El flujo de los portadores

minoritarios es muy fácil de evaluar siempre que se cumplan las hipótesis de inyección débil y

fuerte dopado. Si se verifican ambas hipótesis el campo interno prácticamente no afecta al flujo de

minoritarios. Además, puesto que prácticamente toda la diferencia de potencial aplicada

externamente cae en la región de carga espacial, se puede suponer que para x > xn+ y para x < -xp

–

el campo eléctrico aplicado es prácticamente nulo, por lo que el flujo de los portadores minoritarios

es casi exclusivamente un flujo difusivo. En cambio, el flujo de portadores mayoritarios es muy

difícil de calcular ya que previamente habría que calcular el campo eléctrico interno, puesto que

éste influye de un modo importante sobre ellos.

6.3.2 Característica estática I-V

En la lección anterior se probó que un flujo puramente difusivo de portadores provocaba

un perfil exponencial de portadores en desequilibrio. En la Figura 37 se muestran los perfiles típicos

de los portadores minoritarios y mayoritarios de una unión p-n. Los perfiles de portadores

mayoritarios se obtienen, sencillamente, aplicando la hipótesis de neutralidad de carga. Nótese que

existe una discontinuidad en la concentración de ambos tipos de portadores, es decir, que n(-xp-) y

p(-xp-) no son iguales a n(xn

+) y p(xn+), respectivamente. Esto no debe extrañar, puesto que entre los

puntos en los que se evalúan las concentraciones está la región de carga espacial. La dependencia

de la concentración de portadores frente a la coordenada longitudinal dentro de la región de carga

espacial no va a evaluarse puesto que no es necesario para determinar la corriente que atraviesa el

dispositivo.

80

n(x)=npo+∆n(x)

-xp xn x

pno=n i2/Nd

npo=ni2/Na

nno=Nd

ppo=Na n(x)=nno+∆n(x)

p(x)=pno+∆p(x)

p(x)=ppo+∆p(x)

n(x)=npo+∆n(x)

RNp RNn

a) polarización directa

-xp xn x

pno=ni2/Nd

npo=ni2/Na

nno=Nd

ppo=Na

n(x)=nno+∆n(x)

p(x)=pno+∆p(x)

p(x)=ppo+∆p(x)

RNp RNn

a) polarización inversa

Figura 37: Perfiles de las concentraciones de portadores.

Las expresiones analíticas de los portadores minoritarios de carga que se evaluaron en el

Capítulo 5 son:

Ecuación 52. Concentraciones de los excesos de portadores minoritarios

( ) ( )( ) ( ) n

L

xx

n

pLn

xx

p

xxsiexpxp

xxsiexnxn

p

n

p

≥∆=∆

−≤−∆=∆−

−+

+−

Por lo que resulta inmediato evaluar los flujos φ dp (xn+) y φ dn (-xp

-):

Ecuación 53. Flujos de portadores que atraviesan la unión

( ) ( )

( ) ( )n

pnnpn

p

nppnp

L

xnD

dxnd

Dx

L

xpD

dxpd

Dx

−−

++

−∆⋅−=

∆−=−

∆⋅=

∆−=

φ

φ

La corriente total que atraviesa el dispositivo es:

81

Ecuación 54

( ) ( )

−∆+

∆⋅⋅=

−+

n

pn

p

npD L

xnD

L

xpDAqI

Se observa que para evaluar esta corriente basta con calcular el exceso de la concentración

de portadores minoritarios en desequilibrio en ambas orillas de la región de carga espacial. Esto es

fácil de hacer si se recuerda que los excesos de portadores se definieron como ∆p(xn+)=p(xn

+)-pn0 y

∆n(-xp-)=n(-xp

-)-np0, donde np0 y pn0 son las concentraciones de portadores minoritarios en

equilibrio, que son perfectamente conocidas ya que dependen sólo de la concentración intrínseca,

de los dopados de las regiones n y p y de la temperatura. Los valores de las concentraciones p(xn+)

y n(-xp-) ya fueron calculados en la Ecuación 47 y la Ecuación 48. La expresión final de la corriente

total que atraviesa el dispositivo es:

Ecuación 55. Característica estática I/V de un diodo.

+

⋅⋅=

+

⋅⋅=

−⋅=

a

i

n

n

d

i

p

pp

n

nn

p

pkTqV

D N

n

L

D

N

n

L

DAqn

L

Dp

L

DAqIeII

D 22

0000 ;1

I0 recibe el nombre de corriente inversa de saturación y no depende de la tensión de

polarización VD, sino que es una función exclusiva de los dopados, del tipo de semiconductor y de

la temperatura. En la Figura 38 se ha representado la característica estática de un diodo de unión. Se

observa en ella que, cuando el dispositivo se polariza directamente, la corriente que lo atraviesa

crece exponencialmente a medida que sube la tensión de polarización. Si el dispositivo se polariza

inversamente circula una corriente negativa que toma un valor muy pequeño. De la Ecuación 55 se

deduce que con tensiones de polarización negativas pequeñas (del orden de 3 o 4 veces kT), la

corriente es constante y próxima a -I0.

Nótese que la corriente total del diodo puede descomponerse como suma de dos términos.

La corriente generada por la difusión de huecos en la RNn

82

Ecuación 56. Término de corriente por difusión de huecos en la RNn.

−⋅⋅⋅= 10)(

kT

qV

np

ppD

D

epL

DAqI

y la corriente generada por difusión de electrones en la RNp

Ecuación 57. Término de corriente por difusión de huecos en la RNp.

−⋅⋅⋅= 10)(

kTqV

pn

nnD

D

enL

DAqI

6.3.3 Corrientes de generación y recombinación en la RCE

En la obtención de la característica estática I-V del diodo se han ignorado las corrientes de

generación y recombinación en la RCE. Si se genera un par electrón-hueco en la RCE, el campo

eléctrico rápidamente arrastra al electrón hacia la RNn y al hueco hacia la RNp. Por tanto se genera

una corriente equivalente a una carga positiva que atravesara la RCE desde el lado n al lado p. Por

el contrario, si se recombinan en la RCE un electrón inyectado desde n con un hueco inyectado

desde p se generaría una corriente equivalente a una carga positiva que atravesara la RCE desde el

lado p al lado n.

Sabemos que bajo las condiciones de equilibrio térmico la generación térmica de

portadores es igual a la recombinación, es decir, go = γr· no· po. Por tanto, las corrientes de

generación se cancelan con las de recombinación. Sin embargo, si la unión está polarizada en

directa a través de la RCE están fluyendo más portadores por difusión que lo harían en equilibrio

térmico. Por ello, el producto de las concentraciones es mayor que en el caso de equilibrio (n· p >

no· po) y las corrientes de recombinación son mayores que las de generación. Puede demostrarse que

la corriente de recombinación en la RCE es proporcional al término )2/(· TD VVi en ⋅ a diferencia de las

corrientes por difusión de minoritarios en las regiones neutras, calculadas anteriormente, que son

proporcionales al término TD VVi en /2 · . Por el contrario, las corrientes de generación en la RCE son

mayores que las de recombinación en polarización inversa.

83

Para tener en cuenta estas corrientes, la característica estática dada de la Ecuación 55 se

modifica por la expresión

Ecuación 58. Característica I-V modificada

−⋅= 1·

0T

D

V

V

D eII η

donde η recibe el nombre de coeficiente de emisión. Para diodos de silicio η toma el valor

de 2 si la corriente es pequeña (domina la corriente de recombinación de la RCE respecto de las

corrientes de difusión en las regiones neutras) y de 1 si la corriente es grande. Para el germanio

siempre toma el valor de la unidad.

6.3.4 Dependencia de la característica con la temperatura

La corriente inversa de saturación de un diodo depende fuertemente de la temperatura a

través de la concentración intrínseca ( kTEio

GeTnI /32 −⋅∝∝ donde ∝ representa proporcionalidad).

De la Ecuación 55 es inmediato comprobar que TkT

E

TdTdI

Igo

o

131+= . En la práctica se comprueba que

tanto para el silicio como el germanio la expresión anterior toma el valor de 0.07 K-1 a temperatura

ambiente. Es decir, la corriente inversa de saturación aumenta un 7% por cada grado de

incremento en la temperatura. Esta última afirmación es equivalente a decir que la corriente inversa

de saturación se duplica si la temperatura aumenta 10 ºC

Ecuación 59. Dependencia de Io con T.

10/)(1

12)()( TToo TITI −⋅=

donde T1 es el valor de temperatura escogido de referencia. La corriente de un diodo

también depende de la temperatura por el argumento de la exponencial de la Ecuación 55.

En muchos casos prácticos la corriente del diodo es constante e impuesta por un circuito

externo. Un incremento de la temperatura causa que Io aumente y como la corriente del diodo es

84

constante se produce una disminución de la tensión que lo polariza. A temperatura ambiente y en

polarización directa el cambio de VD es aproximadamente –2.5mV/ ºC.

6.4 CORRIENTES DE PORTADORES EN LAS REGIONES NEUTRAS

La corriente total que circula a través del dispositivo es, en cualquier sección transversal y

en particular en las regiones neutras, la suma de dos componentes distintas: la corriente debida a los

portadores mayoritarios de carga y la debida a los portadores minoritarios. Es decir, ID =Idp(x)+In(x)

en la RNn y ID =Idn(x)+Ip(x) en la RNp, donde In(x) y Ip(x) son las corrientes de portadores

mayoritarios en sus respectivas regiones. Las corrientes de arrastre de minoritarios se pueden

despreciar en las RNs y las corrientes de minoritarios se determinan fácilmente a partir de las

expresiones calculadas en apartados anteriores.

Ecuación 60. Perfiles de las corrientes de minoritarios en las RNs.

( ) ( )( ) ( ) p

Ln

xx

pn

n

n

ndn

nL

xx

np

p

p

pdp

xxsiexnLD

AqL

xnDAq

dxnd

DnAqI

xxsiexpL

DAq

L

xpDAq

dxpd

DpAqxI

p

p

n

−≤⋅−∆⋅⋅⋅=∆⋅

⋅⋅=∆

⋅⋅⋅=

≥⋅∆⋅⋅⋅=∆⋅

⋅⋅=∆

⋅⋅⋅−=

+−

−−

+)(

Tanto las corrientes de mayoritarios como las de minoritarios dependen de la coordenada

longitudinal mientras que su suma es independiente de ésta, siendo el valor de esta suma la

cantidad dada por la Ecuación 55. Las componentes debidas al flujo de mayoritarios se pueden

calcular restándole a la corriente total las cantidades de minoritarios dadas en la Ecuación 60. Se deja

como ejercicio al alumno que determine las expresiones analíticas de estas corrientes tanto en la

zona n como en la zona p. La representación gráfica de ellas se muestra en la Figura 39 para el caso

de una polarización directa. Nótese que conocidos los perfiles de los portadores minoritarios en las

regiones neutras (∆n(x) = ∆p(x)) es inmediato calcular las corrientes de difusión de los portadores

mayoritarios. Conocidas éstas y la corriente total de mayoritarios, se pueden calcular también las

corrientes de arrastre y el campo eléctrico interno en las regiones neutras. De esta manera el

análisis de las regiones neutras es completo.

85

Remitiéndonos a la Figura 37 observamos que si nos alejamos varias longitudes de difusión

de la RCE la derivada de los perfiles de los portadores se hacen cero. Por tanto, también se anulan

las corrientes de difusión. Por ello, en las regiones neutras, a varias longitudes de difusión de la

RCE, las únicas corrientes existentes son debidas al arrastre de mayoritarios.

Figura 38: Curva característica estática del diodo.

6.5 POTENCIALES Y CAMPOS EN LAS CERCANÍAS DE UNA UNIÓN P-N

La densidad de carga eléctrica en un SC fuertemente extrínseco, tipo n y con todas las

impurezas ionizadas, puede representarse como ρ(x)=q(Nd+p(x)-n(x)). Si en la región del

semiconductor considerada existe un campo eléctrico ξ muy intenso los portadores de carga son

barridos (desalojados), quedando sólo la carga asociada a las impurezas donadoras ionizadas. Por

ello ρ(x)≈ q Nd. Esta aproximación recibe el nombre de aproximación de deserción. Esta

aproximación se puede enunciar en un diodo como: en la RCE las concentraciones de portadores

son tan pequeñas comparadas con las concentraciones de impurezas que se pueden considerar

despreciables. La densidad de carga neta en la RCE del lado n es dada por la expresión anterior.

Procediendo de forma similar para la RCE del lado p concluimos que ρ(x)≈ -q Na.

86

-xp xn

RCERNp RNn

Idp(x) Idn(x)

In(x)= Idn(x)+ Ian(x) Ip(x)= Idp(x)+ Iap(x)

Minoritarios

Mayoritarios

ID ID ID

x

Figura 39: Componentes de corriente del diodo. Las corrientes de minoritarios están dadas en la Ecuación 60.

Conocida ρ(x), mediante la aplicación de las leyes de la electrostática es posible calcular

los perfiles del campo y el potencial eléctrico, ξ(x) y V(x), respectivamente, a lo largo de la región

de carga espacial de la unión. Este análisis se ilustra en la Figura 40. Como el campo se obtiene por

integración de la densidad de carga que es constante, su perfil es triangular, con pendiente negativa

en el lado p (carga negativa) y pendiente positiva en el lado n (carga positiva). Debemos notar que

en las regiones neutras el campo es cero. Para determinar el perfil de la tensión integramos el

negado del campo que varía linealmente con la longitud. Este perfil tiene forma parabólica con las

ramas hacia arriba en el lado p y con las ramas hacia abajo en el lado n.

Para caracterizar completamente la RCE debemos conocer las variables xn, xp y ξo, donde

ξo es el valor máximo del campo eléctrico en la RCE. El valor máximo del campo puede

relacionarse con las otras dos variables teniendo en cuenta que es proporcional al área encerrada

entre ρ(x) y el eje horizontal.

Ecuación 61. Campo eléctrico máximo en la RCE.

s

pa

s

ndo

xNqxNqεε

ξ⋅⋅

=⋅⋅

=

87

donde εs es la permitividad eléctrica del semiconductor. También se puede relacionar la

tensión y el campo teniendo en cuenta que la caída de tensión V0 – VD es igual al área encerrada

entre ξ(x) y el eje horizontal.

Ecuación 62. Potencial y campo en la RCE.

onpD xxVV ξ⋅+⋅=− )(21

0

Resolviendo las tres igualdades de la Ecuación 61 y la Ecuación 62 obtenemos la anchura de

la RCE a ambos lados,

Ecuación 63. Anchura de la RCE a ambos lados.

( ) ( )

( )( )daa

dD

sp

dad

aD

sn

NNN

NVV

qx

NNNN

VVq

x

+−=

+−=

0

0

2

2

ε

ε

la anchura total de la RCE,

Ecuación 64. Anchura total de la RCE.

( )

+−=+=

adD

spn NN

VVq

xxx112

00

ε

y el valor máximo del campo eléctrico

Ecuación 65. Valor máximo del campo eléctrico en el RCE.

( )0

02x

VV Do

−=ξ

88

x

ρ

xn

-xp

-q · Na

q · Nd

x

ξ xn -xp

-ξo

- - -

-

-

-

+ +

+

+

+ + p n

+ - V0 -VD

+ - V(x)

ξ(x)

duuxx

xs p

⋅= ∫− )(1

)( ρε

ξ

V(x)

xn -xp x

V0 -VD ∫−⋅−=

x

x p

duuxV )()( ξ

Figura 40: Carga, campo y tensión en la RCE. Se considera la unión polarizada por lo que la caída de tensión

entre las RNs es V0 -VD .

Nótese que xn, xp y ξo dependen de los niveles de dopado Na y Nd de modo directo y

también a través de V0 tal y como se ve en las ecuaciones anteriores, aunque la dependencia

logarítmica de V0 es mucho más débil que la directa. De las expresiones anteriores se pueden sacar

las siguientes conclusiones:

• La capa de carga espacial tiene mayor extensión en las regiones de tipo p o tipo n poco dopadas

que en las que están fuertemente dopadas. Para una unión dada, la región de carga espacial se

extiende más dentro de la región de dopado más débil.

89

• El valor máximo del campo eléctrico ξo es muy alto en las uniones donde las regiones n y p

están fuertemente dopadas, y mucho más pequeño si una o ambas regiones están débilmente

dopadas.

• A mayor polarización inversa, la anchura de la RCE se hace más grande. La región de carga

espacial puede hacerse muy grande en el lado (p o n) poco dopado de la unión.

• Para -VD >> V0 ( una gran polarización inversa), la extensión de las regiones de carga espacial

es proporcional a (-VD)1/2.

• En condiciones de polarización inversa, el campo máximo ξ0 se hace muy grande; a tensiones

altas de polarización inversa, es proporcional a (-VD)1/2.

Las relaciones que se han obtenido en este apartado son bastante aproximadas para las

condiciones de polarización inversa y a tensiones pequeñas de polarización directa. Sin embargo,

no debe esperarse que describan bien lo que ocurre en el dispositivo a tensiones grandes de

polarización directa. En este último caso, se tienen grandes flujos de corriente (la aproximación de

deserción deja de ser válida) y existen caídas de tensión apreciables en las regiones del

semiconductor situadas fuera de la región de carga espacial.

6.6 MECANISMOS FÍSICOS DE RUPTURA EN LAS UNIONES P-N

Si el voltaje de polarización inversa se incrementa suficientemente, se llega a un punto en

el que la corriente de circulación empieza a crecer de un modo repentino y abrupto, tal como se

muestra en la Figura 41.

Este fenómeno se conoce como ruptura y la tensión a la que se produce se denomina

tensión de ruptura del dispositivo. Si éste funciona mucho más allá del punto de ruptura se generará

internamente una gran cantidad de calor, ya que tanto la tensión como la corriente son grandes, por

lo que puede quemarse en un intervalo de tiempo muy corto. Existen dos mecanismos importantes

que producen la ruptura del cristal: la ruptura Zener y la ruptura por avalancha.

90

Figura 41: Zona de ruptura (Zener) en característica estática del diodo.

Figura 42: Mecanismo de ruptura en el diodo.

91

La ruptura Zener se produce en uniones con concentraciones dopantes muy altas. La RCE

es muy angosta, el campo eléctrico de la unión es muy intenso y la magnitud del mismo puede

incrementarse aún más por la aplicación de un voltaje de polarización inversa, como se muestra en

la Figura 42. Si el campo eléctrico aplicado, o lo que es lo mismo, la pendiente del diagrama, es lo

suficientemente grande, se consigue que los electrones de la parte superior de la banda de valencia

de la zona p tengan enfrentados a muy poca distancia una gran cantidad de estados libres en la

banda de conducción de la zona n. Como la RCE es muy estrecha, por efecto túnel se produce el

trasvase de electrones desde la banda de valencia de la RNp a la banda de conducción de la RNn.

La corriente así producida es bastante grande. La ruptura Zener se provoca para tensiones inversas

de polarización pequeñas. A mayor dopado de impurezas, menor será la tensión de ruptura.

En el mecanismo de avalancha, los portadores de carga que atraviesan la región de carga

espacial, debido a que son fuertemente acelerados por el intenso campo eléctrico interno, adquieren

suficiente energía cinética entre dos colisiones sucesivas como para generar un par electrón-hueco

tras el choque con la red cristalina. Los electrones y huecos que se generan de esta manera pueden,

a su vez, adquirir la suficiente energía cinética como para crear otros pares, iniciando un proceso

que lleva a intensidades de circulación inversa que pueden ser muy elevadas. Recordamos que el

campo eléctrico en uniones con dopados ligeros es relativamente pequeño. Para provocar la ruptura

por avalancha es necesario, en tal caso, tensiones inversas de polarización muy altas.

En conclusión, si los dopados son altos el mecanismo dominante es la ruptura Zener y

la tensión de ruptura es baja. Por el contrario, para dopados ligeros, la ruptura se produce por

avalancha para tensiones altas.

6.7 EFECTOS CAPACITIVOS DE LA UNIÓN P-N.

6.7.1 Dinámica de la unión

En secciones anteriores se determinó la curva característica estática del diodo (Ecuación 55),

que relaciona la tensión de polarización con la corriente que circula por el dispositivo. Cuando se

integraron las ecuaciones de difusión de los portadores minoritarios en las regiones n y p, se

supusieron condiciones estacionarias (apartado 5.4) de forma que las derivadas parciales con

92

respecto al tiempo se anulaban (en la Ecuación 39 se anuló el término dt

pd∆ ). Evidentemente, si se

cambia bruscamente la tensión de polarización del diodo, los perfiles de concentración de los

portadores cambian con el tiempo, ya que han de evolucionar de la forma que tenían inicialmente a

la que corresponde a la nueva tensión de polarización (capacidad de difusión). También cambia con

el tiempo la anchura de la región de carga espacial (capacidad de transición). Estos procesos tienen

una cierta dinámica, es decir, transcurre un cierto intervalo de tiempo hasta que se llega a la nueva

situación estacionaria. Mientras tanto, al término de corriente estacionaria hay que sumar otros

términos de corriente de carácter capacitivo. Por tanto, si se modifica la tensión de polarización del

diodo con el tiempo, la característica estática puede no describir las variaciones de la corriente de

circulación con el tiempo. La describirá de una forma bastante aproximada sólo si el tiempo

característico de variación de la tensión de polarización es muy grande comparado con el tiempo

asociado a la dinámica del diodo.

6.7.2 Capacidad de Transición

Los resultados del apartado 6.5 sugieren claramente que la unión p-n se comporta de modo

análogo a un condensador de placas paralelas. Se tienen dos capas de carga espacial que contienen

cantidades iguales y opuestas de carga, y la cantidad de carga aumente conforme se incrementa la

tensión de polarización inversa. La carga almacenada es la siguiente:

Ecuación 66. Carga total neta en cualquiera de los lados de la RCE.

( ) ( )da

daDspandT NN

NNVVqAAxqNAxqNQ

+−=== 02 ε

Un pequeño incremento del voltaje aplicado ∆VD se ve acompañado por un cambio ∆Q de

la carga almacenada que genera una corriente que se le suma a la calculada para el caso estático

(Ecuación 55). El incremento de corriente toma el valor

Ecuación 67. Corriente de un diodo debida a la capacidad de transición.

dtdv

Cdt

dvdvdQ

dtdQ

i DT

D

D

TTT ⋅=⋅−=−= )(

93

donde CT recibe el nombre de capacidad de transición27,

Ecuación 68. Capacidad de transición de una unión abrupta.

( ) ( ) osda

da

D

sT x

ANN

NNVV

qAC ⋅=

+−=

εε 12

2 0

De acuerdo con esta expresión, se llega a la conclusión de que las uniones en las que tanto

la región n como la p están fuertemente dopadas, tendrán una capacidad muy alta, en tanto que si la

región n o la p, o bien ambas, están poco dopadas, la capacidad será mucho menor. Si las tensiones

de polarización inversa sobrepasan notablemente el potencial de contacto interno, se tiene que CT

varía proporcionalmente con (-VD)-1/2. Esta variación de la capacidad es característica de las

uniones abruptas. Las uniones graduales presentan una capacidad por unidad de área que depende

más lentamente de la tensión inversa aplicada. Nótese que la segunda igualdad de Ecuación 68 nos

recuerda la expresión de la capacidad de un condensador de placas planas si identificamos A con el

área de las placas y xo con el grosor del óxido.

Para rectificadores de unión abrupta, la medida de la capacidad permite medir de una

manera sencilla el potencial de contacto interno V0. Operando con la Ecuación 68 se llega a:

( )da

da

T

sD NN

NNC

AqVV

+=− 2

2

0 2ε

La capacidad CT se puede medir experimentalmente. Si se representa gráficamente 1/CT2

en función del voltaje inverso –VD los puntos medidos deben estar sobre una línea recta. Si

extrapolamos la línea recta a la región de polarización directa, el punto de cruce con el eje de

tensiones es el potencial de contacto V0.

6.7.3 Capacidad de difusión

En presencia de polarización externa aparecen excesos de portadores minoritarios en las

regiones neutras. Estos podrán ser más grandes, incluso superar en varios ordenes de magnitud, a la

27 A diferencia de un condensador ideal, la capacidad de transisción no es constante, sino que depende del valor de la tensión aplicada en el diodo

94

correspondiente concentración en equilibrio térmico. Conocidas las concentraciones de los excesos

de minoritarios dadas en la Ecuación 52 es posible calcular la suma total de carga en las regiones

neutras debidas a ellos,

Ecuación 69. Cargas de los portadores en exceso en las RNs.

)(/

)(/

)1()(

)1()(

nDn

x VVponn

pDpx

VVnopp

IenLAqdxxnAqQ

IepLAqdxxpAqQp

TD

n

TD

⋅=−⋅⋅⋅⋅=⋅∆⋅⋅=

⋅=−⋅⋅⋅⋅=⋅∆⋅⋅=

∫∫

−

∞−

+∞

τ

τ

donde ID(p) e ID(n) son las corrientes por difusión de minoritarios en sus respectivas RNs

según vienen dadas en la Ecuación 56 y la Ecuación 57, respectivamente. La segunda igualdad de

cualquiera de las ecuaciones de Ecuación 69 tiene un sentido físico muy claro. Por ejemplo, en la

RNn tenemos que la corriente por inyección de huecos ID(p) es igual a la carga total de huecos Qp

que se recombina en promedio cada intervalo temporal de duración τp, es decir, ID(p) = Qp/τp. La

corriente total que circula por el diodo podría escribirse también como ID = (Qp /τp)+(Qn /τn).

La Ecuación 69 pone de manifiesto que los excesos de portadores almacenados en las

regiones neutras dependen de la polarización de la unión. Si la tensión cambia temporalmente, las

cargas Qn y Qp también lo hacen, y a la corriente estática que suministra los portadores minoritarios

que se recombinan en las regiones neutras hay que sumar un término adicional que suministre los

portadores necesarios para los cambios ∆Qn y ∆Qp. Esta corriente tiene carácter capacitivo y su

valor es

Ecuación 70. Término de corriente debido a la capacidad de difusión.

dtdv

Cdt

dvdv

dQ

dtdv

dvdQ

dt

dQ

dtdQ

i DD

D

D

pD

D

npnDif ⋅=⋅+⋅=+=

donde CD recibe el nombre de capacidad de difusión y su valor es

Ecuación 71. Capacidad de difusión de una unión pn abrupta.

T

D

V

V

T

pn

T

np

D

p

D

nD e

V

nqL

V

pqLA

dv

dQ

dvdQ

C ⋅

+⋅=+= 00

95

6.7.4 Corriente total por un diodo

Si la tensión aplicada entre los terminales de un diodo varía temporalmente, la corriente

que circula por el mismo es la suma de tres componentes: el término estático dado en la Ecuación 55,

el término debido a la capacidad de transición dado en la Ecuación 67 y el término debido a la

capacidad de difusión dado en la Ecuación 70.

Ecuación 72. Corriente no estática del diodo.

dtdv

Cdt

dvCIti D

DD

TDD ⋅+⋅+=)(

A diferencia de un condensador ideal las capacidades del diodo dependen de la tensión

aplicada al mismo. La capacidad de transición depende de la inversa de la raíz cuadrada de la

tensión, varía suavemente con la tensión y es dominante en polarización inversa (hay muy pocos

portadores minoritarios en exceso). La capacidad de difusión depende exponencialmente de la

tensión y es mucho más grande que CT en polarización directa (hay muchos portadores minoritarios

en exceso), siendo la capacidad dominante.

6.8 REPUESTA DINÁMICA DEL DIODO EN PEQUEÑA SEÑAL Y CONMUTACIÓN

A continuación se estudia cualitativamente el comportamiento dinámico del diodo, para lo

cual se van a considerar dos situaciones muy distintas. En un primer caso se supondrá que la

tensión de polarización del diodo sufre pequeñas fluctuaciones alrededor de un valor medio

conocido, lo cual lleva a un modelo lineal de dispositivos llamado modelo de pequeña señal. Por

el contrario puede ocurrir que las variaciones de la tensión de polarización tengan una amplitud

grande, en cuyo caso el modelo dinámico del dispositivo es fuertemente no lineal. En particular se

va a considerar el comportamiento del diodo en conmutación.

6.8.1 Modelo de pequeña señal del diodo

En la Figura 43 se representa un diodo que se polariza con dos fuentes de alimentación, una

genera una diferencia de potencial constante entre sus extremos y la otra una diferencia de

potencial variable con el tiempo y de media cero. Las fluctuaciones de tensión generadas por esta

96

fuente son, por hipótesis, muy pequeñas. Si se polarizara el diodo sólo con la primera fuente, la

corriente que circularía sería la dada por la característica estática (ver Figura 44). Sin embargo, al

existir el segundo generador, la corriente fluctúa con el tiempo alrededor de este valor de equilibrio.

El modelo de pequeña señal del diodo permite calcular estas fluctuaciones.

Figura 43: Superposición de una pequeña señal a la tensión de polarización del diodo.

Para calcular estas fluctuaciones se va a suponer, en primera instancia, que la tensión de

polarización fluctuante cambia lentamente con el tiempo, de forma que la característica estática

describe bien el comportamiento del dispositivo. Puesto que lo que se pretende es calcular las

fluctuaciones alrededor del punto de equilibrio (el valor de corriente constante no interesa), resulta

conveniente hacer un cambio de ejes coordenados cuyo origen coincide con el punto de

polarización (ver Figura 44). Si las fluctuaciones son de amplitud pequeña no se comete un error

apreciable si en vez de considerar la curva característica se toma la recta tangente a ella en el punto

de polarización. En definitiva, lo que se obtiene es una relación lineal entre la componente

fluctuante de corriente y la componente fluctuante de la tensión de polarización, por lo que el

modelo de pequeña señal del diodo es una conductancia, g, de valor la pendiente de la curva

característica en el punto de polarización (resistencia de valor 1/g en la Figura 45). El valor de la

pendiente en el punto de polarización se puede obtener mediante diferenciación de la característica

estática

Ecuación 73. Parámetro de conductancia de pequeña señal del diodo.

T

D

T

VV

VvD

D

V

I

VeIo

dv

dig

TD

DD≈

⋅== =

/

|

97

donde ID y VD son la corriente y tensión en el punto de polarización del diodo (valor de

corriente y tensión del diodo si la fuente alterna de pequeña señal se anula). La aproximación que

se hace en la ecuación anterior es valida si el diodo está fuertemente polarizado en directa

( 1/ >>TD VVe ). La corriente g· v representa la corriente fluctuante que atraviesa el dispositivo, cuya

conductividad es g, debido a los cambios de tensión en torno al punto de polarización.

Figura 44: Oscilaciones de pequeña señal en el diodo.

Si la tensión de polarización fluctuante cambia rápidamente con el tiempo, el modelo de

pequeña señal del diodo se complica. Al término estático de la Ecuación 72 que en pequeña señal se

modela por la conductancia g, hay que añadir en paralelo la capacidad de difusión y de transición.

Ambas se evalúan en el punto de polarización (CT = CT(VD) y CD = CD(VD)) y en pequeña señal se

consideran constantes. En la Figura 45 se muestra el modelo completo de pequeña señal del diodo.

La resistencia Ro se incluye en el modelo porque en las regiones neutras, la conductividad, aunque

es alta, no es infinita, y hay caídas de tensión proporcionales a la corrientes que circulan por las

mismas. El valor típico de Ro es del orden de algunos ohmios. La capacidad de difusión suele ser

mucho mayor que la de transición para tensiones de polarización directas mientras que ocurre lo

contrario para tensiones de polarización inversas.

98

6.8.2 Respuesta en conmutación y tiempo de recuperación

El circuito equivalente de la Figura 45 es sólo útil cuando se aplican tensiones de

polarización constantes perturbadas por pequeñas variaciones. Sólo bajo esta hipótesis los

parámetros g, CT y CD toman valores aproximadamente constantes con respecto al tiempo.

Figura 45: Modelo de pequeña señal del diodo.

Cuando el diodo funciona en conmutación, la tensión de polarización cambia de un valor

positivo a uno negativo bruscamente con objeto de hacer pasar al diodo de un estado de conducción

al de corte. En la Figura 46 se representa un circuito en el que la tensión se aplica al conjunto diodo-

resistencia se cambia bruscamente de un valor positivo a uno negativo en t = 0. Lo que se pretende

saber es cómo evoluciona la corriente del diodo con el tiempo. Para ello hay que conocer qué

ocurre con los perfiles de los portadores minoritarios. Se va a suponer que la región p está mucho

más dopada que la n, por lo que, en primera aproximación, sólo hay que considerar la distribución

de huecos en la zona n para determinar la evolución de la corriente con el tiempo.

Figura 46: Onda cuadrada sobre una unión p-n.

Los cambios en la distribución de huecos en la región n se verifican por difusión. Para que

cambie la distribución de huecos correspondiente a una polarización directa a otra en inversa (Figura

99

37), el exceso de huecos en desequilibrio junto a la unión debe pasar de un valor positivo a uno

negativo, por lo que existe un paso por cero (∆pn = 0) (Figura 47). Dependiendo de que la

concentración de minoritarios sea mayor o menor que cero el comportamiento dinámico del diodo

se puede dividir en dos fases distintas, I y II, tal como se muestra en la Figura 48, siendo el tiempo

de almacenamiento tI el que marca la transición de una fase a la otra.

Durante la fase I domina el término de la capacidad de difusión de la Ecuación 72 y la

concentración de huecos pn en la unión es superior a la concentración de equilibrio térmico pn0, por

lo que la unión está todavía directamente polarizada (aunque la tensión que se aplica al conjunto

resistencia-diodo sea negativa). Por estar la unión directamente polarizada, la caída de tensión en

ella es pequeña, por lo que la corriente inversa que circula está limitada sólo por la resistencia R, es

decir, iD=-Ir=-(E+Vf)/R≈-E/R. Durante la fase II domina el efecto capacitivo de transición de la

Ecuación 72 y la concentración de huecos en la unión es inferior a la de equilibrio térmico, por lo que

la unión está inversamente polarizada. La caída de tensión empieza a decrecer hasta llegar a la

tensión -E, por lo que la corriente empieza a crecer del valor -Ir hasta cero.

Figura 47: Variación del perfil de concentraciones en la conmutación del diodo.

100

Figura 48: Corriente y tensión en el diodo en la conmutación.

101

CAPÍTULO 7

CIRCUITOS CON DIODOS

7.1 MODELOS DE GRAN SEÑAL DEL DIODO

7.1.1 Introducción

En apartados anteriores se ha estudiado uno de los dispositivos electrónicos de estado

sólido más sencillo de construir. Tal y como se vio, el diodo está construido con una única unión

pn. Del estudio de los principios físicos de funcionamiento se llegó a establecer la característica

estática Tensión-Corriente, es decir, la expresión matemática que permite relacionar la caída de

tensión entre ánodo y cátodo (VD) y la corriente (ID) que fluye desde el ánodo al cátodo:

Ecuación 74. Característica estática V-I del diodo.

qTkVeII TVV

oDTD /);1( / ⋅=−=

donde Io es la corriente inversa de saturación y VT el potencial equivalente de temperatura.

Una de las desventajas que tiene dicho modelo desde el punto de vista de la analítica es la

relación exponencial. Siempre que los elementos que componen un circuito sean lineales

(resistencia, condensador, bobina, fuentes de tensión y corrientes independientes,...), éste puede ser

analizado utilizando alguna o varias de las técnicas analíticas y numéricas que se han desarrollado

para el análisis de sistemas y circuitos lineales. Sin embargo, si el circuito tiene algunos de los

dispositivos electrónicos que se estudian en este curso, en la mayoría de los casos no se encuentran

102

soluciones analíticas y las técnicas numéricas requieren un alto coste computacional28. Para ilustrar

este párrafo procedamos con un ejemplo.

Figura 49. Circuito rectificador de media onda utilizado en la presentación de los modelos del diodo.

Supongamos conocida (bien porque la suministra el fabricante en las hojas de

características del dispositivo o bien porque se mide en laboratorio) la corriente inversa de

saturación del diodo de la Figura 49. Aplicando la ley de Kirchhoff de las tensiones al circuito, la

ecuación que tenemos que resolver para conocer VD es

Ecuación 75

DVV

oS VeIRV TD +−⋅= )1( /

La Ecuación 75 no admite solución analítica y es necesario recurrir a técnicas numéricas, en

la mayoría de los casos asistidas por ordenador. En este último caso, el ordenador tendrá que

evaluar varias veces la función exponencial29 siguiendo un determinado algoritmo hasta encontrar

la solución. El problema aún se agrava más cuando el circuito que queremos analizar está

constituido por decenas o incluso centenas de dispositivos no lineales. En tal caso el tiempo

requerido para el análisis puede ser tan grande que el diseño del circuito resulta una tarea

impracticable.

En este apartado presentaremos algunos modelos del diodo que permitan la obtención de

soluciones analíticas de circuitos sencillos con diodos. Estos modelos se caracterizan porque las

fuentes de tensión que alimentan los circuitos, o las señales que son procesadas por los mismos,

toman valores relativamente altos cuando se comparan con los valores típicos de tensiones

28 Tiempo empleado por un ordenador en resolver un problema.

103

umbrales de los diodos (0.6V para el silicio y 0.35V para el germanio). Por ello reciben el nombre

de modelos de gran señal. Los modelos aproximarán la curva característica del diodo, dada por la

Ecuación 74, por una curva poligonal (construida por tramos rectos). De esta manera, en

determinadas regiones de funcionamiento del diodo, éste se aproximará por un circuito lineal

constituido por la combinación de fuentes de tensión independientes y resistencias, facilitando el

análisis.

7.1.2 Análisis gráfico de circuitos con diodos

El circuito de la Figura 49 puede también ser resuelto mediante la aplicación de técnicas

gráficas. Si bien estas técnicas son bastante intuitivas, su aplicación se restringe a casos muy

sencillos donde, de manera inmediata, suministran ideas cualitativas del funcionamiento del

circuito, amén de algunos resultados numéricos.

La Ecuación 75 que permite obtener el valor de VD puede formularse como

Ecuación 76

R

V

R

VIVRIV SD

DDDS +−=→+=

Por tanto, por la aplicación de las leyes de Kirchhoff, además de la relación exponencial

de la curva ID -VD dada por la Ecuación 74, existe una relación lineal30 ID -VD, dada por la Ecuación 76.

Si ahora representamos gráficamente ambas expresiones sobre el mismo plano ID -VD, como la

corriente y la tensión del diodo deben verificar ambas ecuaciones, la solución que buscamos será

necesariamente la intersección de la curva exponencial y la recta. Este método está ilustrado en la

Figura 50.

29 Esta es una operación con mayor coste computacional que la suma y el producto, operaciones a las que se reduce el análisis de un circuito lineal 30 Esta relación es conocida en el argot electrónico como recta de carga. El nombre se justificará cuando se estudie el transistor bipolar

104

Figura 50. Solución gráfica del circuito rectificador.

7.1.3 Modelos aproximados del diodo

En la Figura 51.(a) se representa de nuevo la característica Tensión-Corriente del diodo

junto con su símbolo. La corriente es prácticamente nula para tensiones pequeñas y negativas. Sin

embargo, debido al carácter exponencial de la relación V-I, la corriente crece drásticamente cuando

la tensión se aproxima a un valor de tensión Vγ. En la práctica, cuando el dispositivo está

polarizado en directa (estado ON) la corriente no puede ser tan grande como se quiera31, si a esto

unimos que pequeñas variaciones de tensión provocan bruscas variaciones de corriente, en

polarización directa la tensión real del diodo será aproximadamente Vγ. Por todo ello, en la práctica

se utilizan con profusión el modelo representado en la Figura 51.(c).

Según este modelo, cuando la tensión VD es menor que Vγ el diodo estará polarizado en

inversa (estado OFF) y a través de él no circulará corriente (se comporta como un circuito abierto).

No obstante, cuando esté polarizado en directa, VD estará fijada a una tensión igual a Vγ

independientemente de la corriente que fluya entre sus terminales (se comporta como una fuente

constante de tensión). Matemáticamente:

31 La potencia que disipa el diodo es VD x ID. Por tanto, si ID es muy grande y el dispositivo no es capaz de transmitir al exterior el exceso de calor, la temperatura será tan alta que éste puede destruirse.

105

Ecuación 77. Modelo simplificado del diodo.

0

0

≥=≤=

DD

DD

IsiVV

VVsiI

γ

γ

Figura 51. Diferentes modelos eléctricos del diodo.

En la mayoría de los diodos reales la tensión umbral es sólo unas décimas de voltio,

pudiéndose simplificar aún más el modelo de la Figura 51.(c), igualando Vγ a cero, como se

representa en la Figura 51.(b). En este último caso, cuando el dispositivo esté polarizado en directa se

comportará como un cortocircuito. Un modelo más exacto se representa en la Figura 51.(d) donde se

ha incluido una pequeña resistencia Ron en serie con la fuente Vγ. Esta resistencia modela la

desviación de la curva exponencial respecto de una línea recta vertical. Ron es un efecto asociado a

la propia unión pn, es decir, existiría independientemente de que hubiera o no caída de tensión en

las regiones neutras del diodo y su valor es la inversa de la pendiente de la recta de la Figura 51.(d).

Como ya se sabe, la hipótesis de que toda la tensión aplicada externamente entre los

terminales del diodo recae en la región de carga espacial no es cierta en dispositivos reales. Las

regiones neutras están fabricadas con un material (semiconductor tipo p o n) con una conductividad

muy alta pero finita, ofreciendo alguna resistencia a la circulación de corriente. También ofrecen

106

alguna resistencia al paso de la corriente los contactos óhmicos. Este efecto puede ser modelado

incluyendo una resistencia serie RS, la cual suele tomar un valor entorno al ohmio, produciendo

caídas de tensiones despreciables para valores bajos y moderados de corriente. Sin embargo, para

los valores altos de corriente, típicos en dispositivos de potencia, a la caída de tensión Vγ hay que

sumarle la caída de tensión en RS, perdiendo la relación ID-VD el carácter exponencial. Este efecto

se ilustra en la Figura 52. Ahora, la tensión VD vista externamente en el diodo es la suma de Vγ

(región de carga espacial) y ID · RS (regiones neutras y contactos óhmicos).

En el primer párrafo de este apartado se dijo que la corriente del diodo no podía ser tan

alta como se quisiera. En caso contrario el dispositivo sufriría daños. Por ello no es práctica

aconsejable conectar directamente una fuente de tensión con los terminales del diodo. En todo

circuito real será necesario limitar el valor de la corriente que pueda circular por un diodo. Esto

puede ser realizado fácilmente conectando en serie con el diodo una resistencia con un valor no

muy pequeño tal y como se observa en la Figura 49.

A continuación haremos un estudio comparativo entre los modelos (a), (b) y (c)

representados en la Figura 51. Se analizó el circuito de la Figura 49 variando la fuente de tensión VS

entre -0.5 y 5V. En la Figura 53 se representan la corriente ID en función VS a partir de los resultados

obtenidos.

Ejemplo:

Utilizando el modelo (a), la ecuación que hay que resolver para obtener VD en función de

VS, y a partir de ésta ID, viene dada por la Ecuación 75. No obstante, se procedió simulando el circuito

con SPICE. El modelo del diodo que se usó fue el más sencillo, especificando como único

parámetro la corriente inversa de saturación32 Io=1pA. En la simulación se utilizo una temperatura

de 25oC=298K. El fichero de entrada SPICE para la simulación del circuito rectificador es dado en

la Tabla 3.

32 Los valores de la constante de Boltzmann y de la carga del electron utilizados en el argumento de la exponencial de (7.1.1) son k =1.38066 x 10-23J/K y q =1.60218 x 10-19C

107

Figura 52. Efecto de la resistencia serie del diodo en polarización directa para dispositivos reales.

Tabla 3. Código SPICE para la simulación del circuito rectificador.

.Simulación con diodo VCC 1 0 DC 0 VD 1 2 0 R1 2 3 1K D1 3 0 DIDEAL .model DIDEAL D(Is=1p) * ANALISIS DC .DC vcc -0.5 +5 0.01 .PRINT DC I(VD) .END

Para el circuito rectificador de media onda utilizando los modelos (b) y (c), el análisis se

hará en dos pasos. Primero se considerará que el diodo esté cortado. En tal caso, éste se comportará

como un circuito abierto (ID=0A), por lo que no habrá caída de tensión en la resistencia y la tensión

en el diodo será igual a la de la fuente (VD=VS). Como la tensión en el diodo no puede ser mayor

que la tensión umbral, cuando VS>Vγ, la tensión VD=Vγ y comenzará a circular corriente por R,

comenzando de esta manera a conducir el diodo. Por tanto, las ecuaciones que nos dan la corriente

por el diodo usando cualquiera de los dos modelos (b) o (c) son:

108

Ecuación 78

γγ

γ

VVsiR

VVI

VVsiI

SS

D

SD

>−

=

≤= 0

La diferencia entre ambos modelos es la tensión umbral. En el modelo (b) Vγ =0 y en el

modelo (c) Vγ =0.6V (valor típico del silicio).

De los resultados representados en la Figura 53 se observa que los tres modelos son

equivalentes33 para tensiones negativas y positivas grandes. No obstante, el error relativo comienza

a destacar para valores positivos pequeños. Como cabría esperar, el modelo (c), que es más

complejo que el (b), da mejores resultados.

En la resolución del circuito que nos sirve como ejemplo, utilizando el modelo de la Figura

51.(c), estando el diodo conduciendo, hemos asumido el valor de la tensión VD conocido e igual a

0.6V. Conocida esta tensión, mediante la aplicación de las leyes de Kirchhoff al circuito hemos

calculado ID mediante la ecuación inferior de Ecuación 78. Este procedimiento da muy buenos

resultados con tensiones grandes. No obstante, debido al carácter exponencial de la característica

estática I-V del diodo, si intentamos calcular directamente el valor de la corriente ID mediante la

sustitución del valor aproximado VD = 0.6V en la ecuación Ecuación 74, EL ERROR PUEDE SER

CONSIDERABLE. Sirva como ejemplo el caso en que VS = 5V y aproximamos la tensión umbral

al valor 0.6V. El valor de la corriente predicho por el modelo (c) es ID = 4.4mA y los valores

obtenidos de evaluar la Ecuación 75 para la corriente y la tensión del diodo son 4.4293mA y

5.5706549V, respectivamente. Si intentásemos calcular34 ID sustituyendo VD = 0.6V en la Ecuación

74, el valor obtenido para la corriente sería 14.033mA, es decir, un error relativo35 de 127%.

33 La diferencia de corriente entre el modelo (b) y (c) es constante e igual a VS /R-(VS-Vγ )/R=0.6mA. Valor que resulta despreciable cuando la corriente es grande 34 Se recomienda al alumno que obtenga estos valores o que verifique que son correctos 35 El error relativo se puede calcular mediante la expresión: 100xCorriente del modelo (c)-Corriente del modelo (a)/ Corriente del model (a)

109

Figura 53. Corriente que circula por el diodo en función de la tensión de alimentación VS usando los modelos

(a) con Io= 1pA, (b) con V γγ = 0.6V y (c) con V γγ = 0.6V

Figura 54. Circuito rectificador y su representación equivalente cuando se usa el modelo (c) del diodo.

7.1.4 Análisis en continua de circuitos con diodos

La principal diferencia entre los modelos aproximados del diodo dados en el apartado

anterior y el modelo más exacto dado en la Ecuación 74 es que éste último es un modelo de continua

110

genérico, es decir, es válido para cualquier valor de tensión entre los terminales del dispositivo. No

obstante, si en el análisis de un circuito utilizamos cualquiera de los tres modelos aproximados,

dependiendo de si el diodo está en directa o en inversa, tendremos que sustituirlo por un circuito

abierto o una fuente de tensión constante (con una resistencia en serie si procede). En general no se

puede determinar a priori si los diodos que forman parte de un circuito están en directa o en

inversa. Por tanto, a priori no sabremos por cual de las dos opciones del modelo aproximado

sustituiremos los diodos. En general, el método de análisis que emplearemos será:

1. Hacer una suposición razonada del estado de cada diodo.

2. Dibujar el circuito sustituyendo los diodos conforme al estado supuesto en el punto anterior.

3. Mediante el análisis del circuito determinar la corriente en cada diodo en conducción y la

caída de tensión en cada circuito abierto que represente un diodo en corte.

4. Comprobar si las suposiciones hechas para cada diodo son correctas, es decir, si no se

incurre en ninguna contradicción. Entendemos por contradicción una corriente negativa en

un diodo en conducción o una tensión en el diodo cortado mayor que la tensión umbral.

5. Si hay contradicciones, los resultados obtenidos no son válidos y volvemos al punto 1

haciendo una nueva suposición sobre los estados de los diodos. Si no hemos incurrido en

ninguna contradicción validamos los resultados obtenidos dentro de las propias limitaciones

impuestas por el modelo usado. Si las tensiones que se manejan son grandes, cualquiera de

los modelos dará resultados aproximados a los valores del circuito real.

Para ilustrar como se aplica el método procederemos a analizar el circuito de la Figura

55.(a). El diodo del circuito estará en directa o cortado dependiendo de los valores de las tensiones

VA y VB. Pero como éstas no son conocidas procederemos según los pasos enunciados en el párrafo

anterior y utilizando el modelo de la Figura 51.(c) con Vγ =0.6V.

Supondremos inicialmente que el diodo está cortado y lo sustituimos por un circuito

abierto (Figura 55.(b)). En tal caso, como ID=0, por las resistencias de 2KΩ y 8KΩ circula la misma

corriente y el circuito de la izquierda se comporta como un divisor de tensión. Ahora es inmediato

comprobar que VA=VS · 8/10=16V. Aplicando la ley de Ohm al circuito de la derecha obtenemos

111

que VB = 10KΩ · 1mA =10V. Como por la resistencia de 1K no circula corriente la tensión entre sus

terminales es cero y por tanto la caída de tensión en el diodo es VD=VA-VB=6V ≥ Vγ . Como esta

tensión es mayor que la tensión umbral, el diodo no puede estar cortado y nuestra suposición inicial

fue errónea.

Sustituyendo el diodo por su modelo de conducción el circuito que tenemos que analizar

queda como en la Figura 55.(c). Aplicando la ley de Kirchhoff de las corrientes a los nudos A y B

obtenemos el conjunto de ecuaciones lineales que permiten resolver el circuito. Estas son36:

Ecuación 79

01101

6.0

01

6.082

20

=−+−+

=−−

++−

BAB

BAAA

VVV

VVVV

Resolviendo el sistema lineal de ecuaciones obtenemos: VA = 15.314V y VB = 14.286V.

Conocidos estos valores podemos calcular la corriente que circula por el diodo

A428 1

6.0 µ=Ω−−

KVV BA . Como esta corriente es positiva el diodo está polarizado en directa y los

resultados obtenidos son correctos.

Figura 55. Circuito utilizado como ejemplo para el análisis de circuitos con diodos.

36 En la formu lación de estas ecuaciones hemos tomado los valores de las resistencia en KΩ y de las tensiones en V. Por tanto, el valor de la fuente de corriente lo hemos tomado en mA

112

7.2 CIRCUITOS RECTIFICADORES

7.2.1 Fundamentos de la rectificación

Todos los circuitos electrónicos se alimentan con tensiones continuas. Sin embargo, a la

mayoría de estos circuitos se le suministra la potencia que consumen a través de la red eléctrica. La

red eléctrica suministra tensiones alternas (que varía senoidalmente con el tiempo) de 50Hz a 220

voltios eficaces. Por tanto, es necesario convertir la tensión alterna, con una componente de tensión

continua (valor medio) igual a cero, en una tensión con componente de continua no nula. Esta

función la realizan los circuitos rectificadores, pudiendo éstos estar construidos únicamente con

diodos. Pero antes de presentar este tipo de circuitos definiremos algunos parámetros que

caracterizan a las señales eléctricas periódicas.

Supongamos que tenemos una fuente de tensión v(t) que es periódica y con el periodo

igual a T. Se define el valor medio como:

Ecuación 80. Valor medio.

∫ ⋅==T

m dttvT

Vv0

)(1

Para la tensión v(t) definida anteriormente se define el valor eficaz como:

Ecuación 81. Valor eficaz.

∫ ⋅==T

eff dttvT

Vv0

22 )(1

Si bien el sentido del valor medio de una tensión periódica es bastante intuitivo,

intentemos darle sentido al valor eficaz. Supongamos que aplicamos la tensión v(t) entre los

terminales de una resistencia R. Como la tensión varía con el tiempo, la potencia que disipa la

resistencia es a su vez una función del tiempo de valor p(t)=v2(t)/R. A p(t) se le denomina potencia

instantánea. Si ahora quisiéramos conocer el valor medio de potencia consumida por R tendríamos

que evaluar la siguiente integral:

113

Ecuación 82

R

Vdttv

TRdttp

TPp effT T

m

2

0 0

2 )(11

)(1

=

⋅=⋅== ∫ ∫

De la última igualdad podemos definir el valor eficaz como:

“El valor eficaz de una tensión periódica es el que debería tener una fuente de tensión

constante para que suministrara la misma potencia media a una resistencia cualquiera”

De igual manera que se han definido el valor medio y eficaz para una tensión, pueden

definirse para una corriente. En este caso, la potencia media que disiparía una resistencia por la que

circulara una corriente periódica i(t) sería Ieff 2R.

Una forma de onda utilizada con profusión en ingeniería es la onda senoidal (por ejemplo

la de la red eléctrica). Esta puede representarse matemáticamente como )2

()( απ+⋅= t

TsenVtv p ,

donde Vp es la amplitud o valor de pico y α una constante que representa la fase. Variantes de esta

onda obtenidas mediante los circuitos de rectificación que estudiamos en este apartado, son las

versiones semirectificada y rectificada (Figura 56).

0 5 0 100 150 200 250 300 350-1

0

1

0 5 0 100 150 200 250 300 3500

0.5

1

0 5 0 100 150 200 250 300 3500

0.5

1

Figura 56. Onda senoidal (arriba) y sus versiones rectificada (enmedio) y semirectificada (abajo).

114

Tabla 4. Valores medios y eficaces de las ondas sinusoidales.

onda sinusoidal semirectificada rectificada

Vm

Veff

0

Vp/ 2

Vp/π

Vp/2

2·Vp/π

Vp/ 2

7.2.2 Circuito rectificador de media onda

El circuito rectificador de media onda fue ya utilizado (ver la Figura 49 ) en la discusión

acerca de los modelos de gran señal del diodo para el análisis en continua. En este apartado

consideraremos que la fuente de tensión que excitaba aquel circuito variará con el tiempo. No

obstante, supondremos que el periodo T de la onda será suficientemente grande (o recíprocamente,

su frecuencia 1/T suficientemente pequeña) para que las capacidades internas del diodo no surtan

ningún efecto sobre el circuito. Por tanto, la característica estática del semirectificador (es decir, la

tensión de salida VO en función de la tensión de entrada VS) nos permitirá realizar el análisis.

Figura 57. Circuito rectificador de media onda.

115

Como se observa en la Figura 57.(d), si despreciamos la resistencia interna Ron del diodo,

cuando VS sea mayor que la tensión umbral Vγ, el diodo conducirá y Vo=VS -Vγ. En caso que VS sea

menor que Vγ, el diodo estará cortado, no circulará corriente por la resistencia y V0=0. Por tanto, la

característica estática del circuito es:

Ecuación 83. Característica estática del circuito semirectificador.

>−≤

=γγ

γ

VVsiVV

VVsiV

SS

SO

0

La Ecuación 83 se ha representado gráficamente en la Figura 57.(a) para dos valores de

tensión umbral, 0 y Vγ . Como se puede ver en esta figura, para el caso de tensión umbral nula, en

los semiperiodos positivos de VS (curva b), el diodo conduce y VO = VS (curva c). Sin embargo, en

los semiperiodos negativos de VS, VO se hace cero. En general, para cualquier forma de la onda VS,

VO es una réplica exacta de ésta cuando sea mayor que Vγ y cero cuando sea negativa.

1 1 . 5 2 2 . 5 3- 2 0

- 1 5

- 1 0

-5

0

5

1 0

1 5

2 0

A m p . g r a n d e

1 1 . 5 2 2 . 5 3-3

-2

-1

0

1

2

3

A m p . p e q u e ñ a

Figura 58. Onda sinusoidal (trazo discontinuo) y versión semirectificada (trazo continuo) para amplitudes

grandes (20V) y pequeñas (3V).

116

Los resultados obtenidos con Vγ = 0 serán buenos siempre que el valor de pico VP de la

señal de entrada sea mucho mayor que unas décimas de voltio. En la Figura 58 se representa la onda

sinusoidal y su versión rectificada para una tensión umbral de 0.6V y dos valores de amplitud. Si la

amplitud es grande se observa que los semiperiodos positivos ambas curvas son prácticamente

iguales. En tal caso no importaría despreciar la tensión umbral (Vγ = 0). No obstante, si la amplitud

es pequeña las diferencias de las curvas en los semiperiodos positivos son considerables y el error

introducido por despreciar la tensión umbral (ello implica que los semiperiodos positivos son

iguales) sería a su vez considerable.

Cabe destacar dos aspectos importantes respecto de la onda semirectificada.

1. El valor máximo de la onda rectificada ya no es el valor de pico VP de la señal de entrada,

sino inferior e igual a VP -Vγ .

2. El intervalo de tiempo para el que la onda semirectificada es distinto de cero ya no es la

mitad del periodo (T/2) de la onda de entrada, sino inferior e igual a T/2-2· t1, donde

)(21

PV

Varcsen

Tt γ

π⋅=

Para calcular t1 tenemos que considerar que este tiempo es el retraso en comenzar a

conducir el diodo desde que la onda de entrada cruza por cero con pendiente positiva. Por tanto, si

la tensión de entrada es un seno, despejando de γπ

VtT

senVP =⋅⋅

⋅ )2

( 1 obtenemos t1

Los dos aspectos anteriores contribuyen a que el valor de continua de la señal rectificada

sea menor que el valor VP/π dado para el caso ideal en la Tabla 4. Por tanto el semirectificador

pierde prestaciones respecto del caso ideal Vγ =0. Hacemos notar también que cuando el diodo no

conduce debe soportar una tensión inversa igual al valor de pico VP de la tensión de entrada VS. Si

este valor fuera mayor que la tensión de ruptura en inversa del diodo, éste comenzaría a conducir y

no rectificaría. De toda la discusión argumentada en este párrafo podemos concluir diciendo que un

diodo rectificador es tanto mejor cuanto:

117

1. menor sea su tensión umbral Vγ

2. menor sea su corriente inversa de saturación Io

3. mayor sea la tensión inversa de ruptura BV

7.2.3 Circuito rectificador de onda completa

Con el circuito rectificador de media onda se puede pasar de una onda sinusoidal con valor

medio nulo a una onda semirectificada con valor medio VP/π . No obstante, si la onda resultante

fuera completamente rectificada, el valor medio se duplicaría (Tabla 4) para igual valor de pico de la

tensión de entrada.

En la Figura 59 se representa un circuito rectificador de onda completa. El subcircuito

constituido por los cuatro diodos recibe el nombre de puente de diodos y suele encontrarse en la

práctica integrado, es decir, todos los diodos fabricados sobre el mismo sustrato y con un único

encapsulado. Supuesto que las capacidades internas de los diodos son despreciables para la

frecuencia de trabajo, tal y como se hizo en el apartado 7.2.2, nos disponemos a calcular la

característica estática VS-V0 que posteriormente nos permitirá obtener gráficamente las ondas de

salida del circuito.

Figura 59. Circuito rectificador de onda completa y sus circuitos equivalentes cuando se sustituyen los diodos

por sus modelos ideales para tensiones de VS positivas y negativas.

Consideraremos que los diodo son ideales (Vγ = 0 y Ron = 0). Hacemos notar que en el

circuito el único elemento capaz de suministrar potencia es la fuente de tensión y la corriente

118

eléctrica debe salir de la fuente por el terminal cuya tensión es más positiva. Así pues, cuando VS es

positiva la corriente fluye de derecha a izquierda por la fuente y cuando llega al nudo A se

encuentra con dos diodos, D1 y D4. Evidentemente por D4 no puede derivarse ya que entonces,

éste estaría conduciendo en inversa. Por tanto, toda la corriente de la fuente se deriva por D1

(conduce). Cuando IS llega al nudo C se encuentra con D3, a través del cual no puede fluir puesto

que en tal caso, este diodo estaría conduciendo en inversa, y se deriva completamente por la

resistencia. Cuando la corriente llega al nudo D se encuentra con los ánodos de los diodos D2 y D4.

Pero como el cátodo de D4 se encuentra conectado al terminal positivo de la fuente y la caída de

tensión en la resistencia provoca que la tensión en el nudo D sea menor que en A, este diodo estará

cortado y la corriente retornará a la fuente de tensión a través del diodo D2, cerrándose el circuito.

Este situación se ha representado en la Figura 59.(b) donde los diodos D1 y D2, ambos en

conducción, se han sustituido por cortocircuitos, y los diodos D3 y D4, ambos cortados, se han

sustituido por circuitos abiertos. Como se observa en esta figura, VO=VS e IS=VS/R.

En caso que VS sea negativa se deja al alumno comprobar que la situación representada en

la Figura 59.(c) es correcta, donde D3 y D4 están conduciendo y D1 y D2 están cortados. Cabe

destacar que la corriente de nuevo circula a través de la resistencia desde su terminal superior al

inferior y que por tanto VO es de nuevo positiva, es decir, VO=-VS=|VS|.

La característica estática del circuito puede representarse matemáticamente como

Ecuación 84

>−≥

=0

0

SS

SSO VsiV

VsiVV

La Ecuación 84 nos dice que la salida del rectificador de onda completa coincide con la del

rectificador de media onda, cuando la tensión de entrada es positiva. Pero cuando esta última es

negativa, en los terminales de salida del rectificador de onda completa aparecerá la misma tensión

de entrada con signo positivo.

Se deja como ejercicio para el alumno, que en el caso de considerar una tensión umbral

mayor que cero, compruebe que la característica estática es

119

Ecuación 85. Característica estática de un puente de diodos

⋅−<⋅−−⋅<≤⋅−

⋅≥⋅−=

γγ

γγ

γγ

VVsiVVVVVsi

VVsiVV

V

SS

S

SS

O

22220

22

reduciéndose la tensión de salida una cantidad equivalente a dos veces la tensión en

conducción de un diodo.

Por último, decir que la tensión mayor que tienen que soportar los diodos en inversa es el

valor de pico VP de la onda de entrada cuando Vγ =0 (VP -Vγ si Vγ >0).

7.3 CIRCUITOS RECTIFICADORES CON CONDENSADOR

Como se ha visto en las secciones anteriores, los circuitos rectificadores, en el caso ideal,

generan a partir de una onda con valor medio nulo, ondas semirectificadas o completamente

rectificadas de valor medio VP/π o 2VP/π, respectivamente. El valor medio de las ondas rectificadas

puede ser aún mayor (próximo al valor de pico) si en paralelo con la resistencia se conecta un

condensador de gran valor.

Consideremos que en el circuito rectificador de la Figura 57 (d) conectamos en paralelo con

la resistencia un condensador, como se ilustra en la Figura 60.

Figura 60. Circuito rectificador de media onda con condensador y formas de las ondas a la entrada y a la salida.

120

Para el análisis de este circuito tendremos que considerar dos aspectos importantes:

1. Cuando el diodo conduce, ID es positiva, y el condensador se carga a través de éste. Como

la resistencia interna Ron del diodo es muy pequeña, la constante de carga τc =RonC del

condensador es mucho menor que el periodo T de la fuente y podemos suponer que la

tensión del condensador es igual a la tensión en la fuente. Este concepto se entiende

fácilmente en el caso de que el diodo fuera ideal. Entonces, éste se comportaría como un

cortocircuito y para todo instante de tiempo VC=VS (o en el caso que Vγ > 0 tendríamos

VC=VS-Vγ).

2. Cuando el diodo está cortado, ID=0, y el condensador se descarga a través de la resistencia

R con una constante de tiempo τd=R· C. Suponemos que τd es mucho mayor que T,

descargándose el condensador mucho más lentamente que la variación de la tensión en la

fuente.

Para aclarar estos conceptos se recomienda al alumno que realice el siguiente ejercicio.

Ejercicio: Supuesto que la tensión VS de la Figura 60 es constante e igual a 5V, y que VC=0V en

t=0, obténgase la ecuación de carga del condensador utilizando para el diodo el modelo de la Figura

51.(d).

(Nota: Compruebe previamente que el equivalente Thevenin del circuito entre los terminales a y b,

cuando el diodo conduce, es ( )( ) ( )γγ VVRR

RVVV s

onsth −≈

+−= y on

ononth R

RRR

RR ≈+

=)(

Supuesto que inicialmente el diodo está descargado, durante el intervalo temporal (0,T/4),

como la tensión en la fuente es positiva el diodo conduce. Además, como la constante de carga a

través del diodo es muy pequeña la tensión en el condensador es una réplica de la tensión en la

fuente. Ahora bien, en t=T/4 la tensión en la fuente comienza a decrecer con mayor rapidez que la

descarga del condensador a través de R, por lo que VC>VS y el diodo pasará a estar en corte. El

condensador se descargará con una evolución exponencial en el tiempo durante el intervalo (T/4,t1)

como en cualquier circuito R-C

1/)4/( 4/;)( ttTeVtv dTt

PC ≤≤⋅= −− τ

121

La descarga del condensador continuará hasta que el diodo comience a conducir de nuevo,

es decir, hasta que

Ecuación 86

dTtPPCS eVt

TsenVtvtv τπ /)4/(

1111)

2()()( −−⋅=⋅

⋅⋅→=

A partir de t1 los procesos de carga y descarga del condensador se van sucediendo tal y

como se representa en la Figura 60.

El valor medio de la onda obtenida mediante este circuito, siempre que la constante de

descarga del condensador sea grande, es aproximadamente el valor de pico VP de la tensión en la

fuente y se puede calcular mediante la expresión:

⋅⋅+⋅⋅

⋅⋅=⋅= ∫ ∫∫ −−2

1

3

2

13

1

/)(1)

2(

1)(

1 t

t

t

t

ttPP

t

t CC dteVdttT

senVT

dttvT

V dτπ

donde t1 es un valor ya conocido, t2=T+T/4 y t3 se obtiene por una ecuación simular a la

Ecuación 86, es decir,

dttPPCS eVt

TsenVtvtv τπ /)(

33323)

2()()( −−⋅=⋅

⋅⋅→=

En caso de utilizar un modelo del diodo más realista habría que tomar un valor para la

tensión umbral distinto de cero. En tal caso, la tensión máxima en el condensador ya no sería el

valor de pico de la tensión en la fuente, sino VP - Vγ. Este hecho se ilustra en la Figura 61 obtenida de

la simulación en SPICE del circuito considerado. El fichero de entrada al simulador es dado en la

Tabla 5. El alumno puede comprobar que si sustituye en el fichero de comandos SPICE el valor de la

amplitud de la fuente por un valor más grande (por ejemplo 40) el efecto de tensión umbral no nula

del diodo es despreciable.

122

Tabla 5. Código SPICE para la simulación del circuito rectificador con condensador.

.Simulación del circuito semirectificador VS 1 0 sin(0 4 50 0 0) * El valor 4 es la amplitud de la fuente D1 1 2 D1MODELO Rl 2 0 1k Cl 2 0 100u .MODEL D1MODELO D(Is=1p) * ANALISIS TRAN .TRAN 0.1e-3 60e-3 .PRINT TRAN V(1) V(2) .END

Figura 61. Formas de las ondas a la entrada y a la salida del circuito semirectificador con condensador cuando

se considera que un diodo real.

7.4 CIRCUITO REGULADOR CON DIODO ZENER

En el circuito de la Figura 49 se comprobó que el diodo, para valores de entrada VS mayores

que la tensión umbral, se comportaba como una fuente de tensión. Es decir, VD tomaba el valor de

123

tensión próxima a Vγ independientemente de la corriente que circule entre los terminales del diodo.

El inconveniente de utilizar este circuito como regulador de tensión37 es que la tensión umbral de

un diodo viene determinada por el tipo de semiconductor que se utilice en su fabricación y por

tanto, para un determinado material semiconductor, la tensión que suministra el circuito siempre

tomará aproximadamente el mismo valor (aproximadamente 0.6 V en silicio).

No obstante, si se utiliza un diodo zener funcionando en su región de ruptura (Figura 62), a

través del diodo podrán derivarse corrientes comprendidas entre un valor mínimo (Iz,min) y un valor

máximo (Iz,max) sin que apenas varíe la tensión (Vz) entre sus terminales. A Vz se le llama tensión

zener. El valor de la tensión zener puede hacerse variar desde algunas décimas hasta decenas de

voltio dimensionando adecuadamente los parámetros de fabricación del diodo. El valor máximo de

corriente que puede circular en inversa por el diodo viene limitado por la potencia máxima (Pz,max)

capaz de disipar el dispositivo. Ambos valores están relacionados mediante la expresión

Ecuación 87. Potencia máxima capaz de disipar el diodo zener.

max,max, zzz IVP ⋅=

Figura 62. Característica estática del diodo zener y circuito utilizado como regulador de tensión.

37 Un circuito regulador es aquel que suministra una tensión constante frente a variaciones de la tensión de alimentación y para diferentes valores de corriente de salida

124

Nótese en la Figura 62 que cuando la corriente en inversa del diodo es menor que Iz,min, la

pendiente de la curva es pequeña. Esto quiere decir que cambios en la corriente suponen cambios

en la tensión, no permaneciendo ésta constante. Por tanto, para que el diodo regule bien (mantenga

su tensión constante) es necesario que esté trabajando en la región a alta pendiente.

Para ilustrar esta discusión resolvamos un ejemplo numérico referido al circuito de la

Figura 62.

Ejemplo de regulador con diodo Zener:

Para los parámetros siguientes, calcular para que intervalo de valores de tensión VS el

diodo regula correctamente.

Datos: R=0.5K, RL=1K, Vz=10V, Iz,min=1mA y Pz,max=200mW.

Solución: De la Ecuación 87 sabemos que la corriente máxima que puede circular por el

diodo sin que éste se dañe es 20mA. Si aplicamos la ley de Kirchoff de las tensiones al circuito de

la Figura 62, teniendo en cuenta que la corriente que circula por R es Iz+ IL=Iz+Vz/RL, podemos

plantear la siguiente ecuación:

)1()(L

zzSzLzS RR

VIRVVIIRV ++⋅=→++⋅=

Si en esta ecuación sustituimos los valores máximo y mínimo de Iz obtenemos que:

VVsV 255.15 <<

Según los resultados obtenidos, si la tensión en la fuente VS varía entre 15.5 y 25 voltios la

tensión en los terminales de la resistencia de carga RL permanecerá aproximadamente constante

entorno al valor Vz=10V. Para valores de tensión VS mayores de 25V el diodo correría el peligro de

fundirse al no ser capaz de disipar al exterior todo el calor generado por el efecto Joule y para

valores menores que 15.5V la tensión en RL ya no permanecería igual a 10V.

125

Figura 63. Regulador con diodo zener excitado con la salida de un rectificador de media onda.

El circuito regulador con diodo Zener puede utilizarse junto con el rectificador de media

onda con condensador para la alimentación con tensión constante de circuitos electrónicos que

consuman poca potencia. El circuito referido está representado en la Figura 63. La tensión de entrada

VS podría ser obtenida de la red eléctrica a través de un transformador. Mediante el diodo y el

condensador podría obtenerse la onda VC, que tal y como se muestra en la figura, tiene una alta

componente de continua. No obstante, el rizado (diferencia de tensión entre el valor máximo y el

valor mínimo) de esta onda puede resultar intolerable para la alimentación de circuitos electrónicos.

Ahora bien, mediante el circuito regulador (diodo Zener) el rizado disminuye considerablemente

(algunos milivoltios como valor típico) obteniéndose una tensión de alimentación casi constante.

En el circuito de la Figura 63 el condensador se descarga a través de la resistencia R, que a su

vez es la resistencia que limita la corriente que circula por el diodo Zener como en el circuito de la

Figura 62. Por tanto, la constante de descarga es τd=R · C. La resistencia Rp es una resistencia de

valor pequeño e igual a la resistencia de salida de la fuente de tensión VS. En caso que VS fuera

obtenida de la red eléctrica mediante un transformador, como la resistencia del secundario de éste

es pequeña, Rp podría eliminarse.

126

Ejemplo: Como obtener 10V de tensión continua a partir de la red eléctrica

Para obtener una tensión continua de salida de 10V desde la red eléctrica utilizando el

circuito de la Figura 63 se podría proceder como se detalla.

Elegiríamos un transformador reductor de 220V a 15V, ambos eficaces, para generar la

tensión alterna VS. De ésta manera el valor de pico de VS sería 152 ⋅ =21.2V, un valor en el

intervalo de tensiones calculadas en el ejemplo anterior. De esta manera el diodo Zener regularía

correctamente38. Por tanto, para los valores usados en el ejemplo anterior, la tensión en RL sería

aproximadamente 10V.

7.5 DETECTOR DE ENVOLVENTE

En comunicaciones analógicas, una señal de alta frecuencia puede transportar información

útil usando la técnica llamada modulación de amplitud, conocida también por el acrónimo

anglosajón AM. De esta manera es posible transmitir información a grandes distancias utilizando el

espacio radioeléctrico. El ejemplo más significativo es la radio comercial en la banda de

frecuencias comprendida entre 540 y 1600KHz. Como su propio nombre indica, una señal39

modulada en amplitud se corresponde con una señal sinusoidal de alta frecuencia (en el intervalo de

frecuencias dado en este párrafo) cuya amplitud no es un valor constante, sino que varía

temporalmente. Matemáticamente:

Ecuación 88. Señal modulada en amplitud.

)2())(1()( tfsentvmVtv pmPAM ⋅⋅⋅⋅⋅+⋅= π

38 Nótese que el valor máximo de la tensión VC sería aproximadamente 21.2-0.6=20.6V y por otro lado habría que asegurarse que la constante de descarga del condensador fuera suficientemente grande para que el valor mínimo de VC fuera mayor que 15.5V 39 Para ser precisos diremos que en el argot técnico por señal se entiende cualquier forma de onda que soporte información. Puesto que la Ingeniería de Telecomunicación trata el procesado y transmisión de la información, a partir de ahora hablaremos de señales y no de ondas, tal y como hemos hecho en los apartados anteriores, donde los circuitos rectificadores se han utilizado para la conversión de energía alterna en continua.

127

En la Ecuación 88, VP es una constante con dimensiones de tensión, m es una constante

adimensional, positiva y menor que la unidad, llamada índice de modulación y fP es la frecuencia

portadora. La información que porta la señal vAM es la tensión vm(t), también llamada señal

moduladora, que toma valores en el intervalo (-1V,1V). En la realidad, la forma de vm(t) podría ser

una réplica exacta de la forma de una onda acústica, transformada en tensión eléctrica mediante un

transductor (micrófono). En la 7.5 se representa una tensión AM cuando la señal moduladora es un

tono puro, es decir, vm(t)=sen(2 π fm t), donde la frecuencia fm es mucho menor que fp. En ésta

misma figura se ha representado también la envolvente extraída mediante el detector que se explica

en este apartado.

Un detector de envolvente es un circuito electrónico que forma parte en un receptor de onda

media y cuya función es extraer la información de una señal AM, es decir, generar a partir de ésta

una tensión que sea una réplica de la envolvente. El detector de envolvente más sencillo se puede

construir usando un único diodo, con una topología idéntica al rectificador de media onda con

condensador estudiado en el apartado 7.2.2. Este circuito se ha representado de nuevo en la Figura

65.a.

2.3 2 .4 2 .5 2 .6 2 .7 2 .8 2 .9 3 3.1 3 .2 3 .3

- 1 5

- 1 0

-5

0

5

1 0

1 5

Figura 64. Señal modulada en amplitud vAM (trazo discontinua, fp=20 kHz y fm=1 kHz) y señal a la salida de un

detector de envolvente vC (trazo continuo).

128

Figura 65. El circuito detector de envolvente es representado en (a). En (b), al circuito detector de envolvente se

le ha añadido el subcircuito RL-Cb para filtrar la componente de continua.

Supongamos que la señal vAM es una tensión modulada en amplitud por una tensión

sinusoidal, tal y como se representa en la Figura 64, donde las frecuencias portadora fp y moduladora

fm son 20Hz y 1Hz, respectivamente. Como ya se dijo en el apartado 7.2.2, cuando el diodo conduce

el condensador se carga a través de éste con una constante de tiempo τc=Ron· C, donde Ron es la

resistencia en directa del diodo. Como Ron es muy pequeña, a su vez la constante de carga del

condensador es también pequeña. Por tanto, para que la tensión en el condensador sea capaz de

seguir a la tensión vAM, τc debe ser mucho más pequeña que el periodo (Tp=1/fp) de la señal

portadora. Si esto es así, cuando la pendiente de la envolvente sea positiva se garantiza que la

tensión en el condensador seguirá a ésta. Este hecho se representa en la primera gráfica de la Figura

66 donde con línea continua se representa la tensión vAM(t) y con discontinua la tensión en el

condensador vC(t). Resaltamos que cuando vAM>vC + Vγ el diodo conduce y vC, al ser τc<<Tp, es

capaz de seguir a vAM.

Ahora bien, cuando la pendiente de la envolvente es negativa, la tensión en el condensador

debe descargarse con suficiente rapidez. No obstante, como el diodo no puede conducir en inversa,

el condensador sólo puede descargarse a través de R1, con una constante de tiempo τd=R1 C1. Para

garantizar que la descarga sea suficientemente rápida (en caso contrario ocurriría lo que se muestra

en la gráfica de la izquierda de la Figura 67 ) se debe verificar que τd<<Tm, donde Tm es el periodo

de la señal moduladora (Tm=1/fm). Si se verifica esta condición ocurre lo que se muestra en la

gráfica de la Figura 64. Sin embargo, el valor de τd no puede hacerse tan pequeño como se deseé.

Por ejemplo, si éste fuera del mismo orden o menor que Tp, en un semiperiodo de la señal portadora

el condensador se descargaría del todo y no mantendría el valor de la envolvente, tal y como se

129

ilustra en la gráfica de la derecha de la Figura 67. Por tanto la condición que debe verificar la

constante de descarga del condensador es:

Ecuación 89. Condición que debe verificar la constante de descarga del condensador

mdp TT <<<<τ

Una solución de compromiso es asignarle a τd el valor de la media geométrica de Tp y Tm,

es decir,

Ecuación 90. Valor recomendado de la constante de descarga

mpd TT ⋅=τ

2.15 2 . 2 2 .25 2 . 3 2 .35 2 . 4

12

12 .5

13

13 .5

14

14 .5

15

15 .5

16

16 .5

Figura 66. Vista detallada de la Figura 64. La constate de carga ττc es suficientemente pequeña para que la

tensión vC (línea discontinua) sea capaz de seguir a la portadora cuando el diodo conduce. La constate de

descarga ττd es suficientemente pequeña para que el condensador, al descargarse, sea capaz de seguir a la

envolvente en los intervalos en los que ésta tiene pendiente negativa. Con línea continua la señal AM.

130

En la Figura 65.(b) se representa el circuito detector de envolvente donde se han añadido la

resistencia RL y el condensador Cb. La función de estos elementos es eliminar la componente de

continua de la tensión vC(t). Si el condensador tiene un valor de capacidad alto se comportará,

aproximadamente, como una fuente de tensión constante, cuyo valor será el valor medio de vC. Por

tanto, la tensión en RL será CC vv − , es decir, deja pasar a la resistencia sólo la componente de

alterna. La tensión en RL puede verse en la gráfica de la 7.5

2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3

2

4

6

8

10

12

14

16

1.4 1 . 4 2 1 . 4 4 1 . 4 6 1 . 4 8 1.5 1 . 5 2 1 . 5 4 1 . 5 6 1 . 5 8 1.6

0

2

4

6

8

10

12

14

(a) (b)

Figura 67. Efectos no deseados en el detector de envolvente. En (a), ττd es más grande que Tm y el condensador no

se descarga con suficiente rapidez. En (b), ττd es más pequeño que Tp en el condensador se descarga

completamente en los simiperiodos positivos.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

5

1 0

1 5

2 0

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-10

-5

0

5

1 0

Figura 68. Envolvente detectada. La gráfica de arriba es la tensión vC(t) en R1. La gráfica de abajo es la tensión

en RL después de restarle a vC(t) su valor medio.

131

Tabla 6. Código SPICE para la simulación del circuito detector de envolvente.

.Simulación del circuito detector de envolvente *Generador de la onda AM .SUBCKT generaAM 30 *Genera una senal AM con fp=455K y fm=10K VCAR 10 0 SIN(0 10 455k) RCAR 10 0 1 VMOD 20 0 SIN(1 0.7 10k) RMOD 20 0 1 EAM 30 0 POLY(2) 10 0 20 0 0 0 0 0 1 RAM 30 0 1 .ENDS generaAM *Modelo del diodo 1n4148. Hacemos notar que Rs=16 .MODEL D1N4148 D(Is=0.1p Rs=16 CJO=2p Tt=12n Bv=100 Ibv=0.1p) *Circuito detector AM XAM 1 generaAM D1 1 2 D1N4148 RL 3 0 100k C1 2 0 1.373n R1 2 0 11k CB 2 3 1u ic=8.005 .TRAN 0.01u 0.5m uic .END

Ejemplo de diseño del circuito detector de envolvente:

Supongamos que queremos diseñar un detector de envolvente para aplicarlo a un circuito

receptor AM de la banda comercial. Si bien el intervalo de frecuencias que puede tomar la señal

portadora está comprendido entre 540 KHz y 1600 KHz, mediante un procesamiento previo

(realizado con un circuito llamado mezclador) la frecuencia portadora fp de la señal que ataca al

detector es 455 KHz. Si bien el oído humano es capaz de oír hasta 20 KHz, éste es un caso extremo.

Por tanto, es razonable elegir como frecuencia moduladora máxima de la señal recibida fm =10

KHz. Por tanto la constante de descarga τd = R1 · C1 la vamos a calcular como la media geométrica

de los valores inversos de ambas frecuencias: sff mp

d µτ 82.141

=⋅

= .

132

Supuesto que la resistencia serie del diodo sea Ron=16Ω, como la constante de carga τc

debe ser mucho más pequeña que Tp, eligiendo un valor 100 veces menor podemos calcular C1:

nFCTCR ponc 373.101.0 11 =→×=⋅=τ

Conocido C1, a partir del valor calculado para τd calculamos que R1=10.79KΩ. Dando el

valor RL=100KΩ (>>R1) y Cb=1µ F, ya que estos deben ser grandes, acabamos el diseño.

Con estos valores hemos obtenido las curvas de las figuras 7.5 y 7.5 mediante simulación

SPICE. El fichero de entrada SPICE utilizado está escrito en la tabla 7.5.

Al final del apartado 7.2.2 se enumeran las características que debe tener un diodo

rectificador. A diferencia de éste, un diodo utilizado en la detección de envolvente trabaja a niveles

bajos de tensión y potencia, no siendo la tensión de ruptura ni la potencia máxima capaz de disipar

parámetros críticos. Sin embargo, como en el ejemplo anterior, debe tener una respuesta buena a

altas frecuencias. A los diodos con muy buenas características a alta frecuencia se les llama

diodos de señal.

Una de las características de los circuitos detectores de envolvente es que manejan señales

de bajo voltaje, siendo un inconveniente la tensión umbral del diodo. En la práctica se pueden

construir circuitos rectificadores o detectores de envolvente, usando amplificadores operacionales

(circuitos que se estudiarán el curso próximo), que corrigen este defecto. El comportamiento de

estos circuitos es el mismo que los circuitos estudiados en el caso de que los diodos usados tuvieran

una tensión umbral nula.

133

CAPÍTULO 8

DISPOSITIVOS FOTÓNICOS

8.1 INTRODUCCIÓN

Se entiende por dispositivo fotónico aquel dispositivo electrónico basado en un

semiconductor, capaz de emitir, recibir o transmitir señales luminosas.

A continuación se muestra el espectro de radiación electromagnética. El rango de

longitudes de onda más interesante desde el punto de vista de las comunicaciones ópticas es el

comprendido desde los 600 nm hasta los 1550 nm aproximadamente, es decir, la zona visible e

infrarroja.

λ

Eg (eV)0 1 2 3 4

InSb Ge Si AsGa GaP CdS SiC ZnS

(µ m)0.350.512357

Figura 69. Espectro de radiación electromagnética.

En este tema se pretende familiarizar al alumno con algunos de los dispositivos más

comunes utilizados en comunicaciones. Un conocimiento más profundo se abordará en la

asignatura de Comunicaciones Ópticas en cursos superiores.

134

En primer lugar se establecerán los principios básicos de funcionamiento del LED (diodo

emisor de luz), que es el dispositivo emisor más simple y más usado en la actualidad.

Posteriormente, nos centraremos en estudiar el comportamiento del diodo PIN, que con su

particular estructura es capaz de detectar señales luminosas y convertir la potencia óptica en

potencia eléctrica. En tercer lugar, se hará un breve repaso de la fibra óptica, que es el medio

transmisor más usado en comunicaciones ópticas.

En la actualidad existen otros dispositivos, que siendo igual de importantes, no se verán

con tanta profundidad ya que su funcionamiento es bastante más complicado, tales como el láser,

diodos APD, y otros.

8.2 EL DIODO EMISOR DE LUZ (LED)

Tras unir dos semiconductores fuertemente dopados, uno de tipo p y otro de tipo n, se

establece un flujo de electrones de la zona n a la p y otro de huecos de la zona p a la n. Este flujo

provoca la ionización de los átomos cercanos a la superficie de unión, con lo que aparece, en lo que

era un semiconductor neutro en toda su extensión, una zona cargada eléctricamente, denominada

zona de carga espacial. Como consecuencia aparece un campo eléctrico que crea un flujo de

arrastre en sentido opuesto al de difusión. El equilibrio se alcanza cuando ambos flujos, el de

difusión y el de arrastre se igualan.

Si aplicamos una diferencia de potencial positiva en el diodo (entre p y n), disminuirá la

barrera energética que limita el flujo de electrones de n a p y de huecos de p a n, lo que facilitará el

flujo por difusión, estableciéndose corrientes netas en el dispositivo que crecen rápidamente con el

potencial aplicado.

Sin embargo, al polarizarlo inversamente, el campo eléctrico aumenta, pero no así las

corrientes de arrastre, ya que éstas están limitadas por la velocidad de generación de minoritarios en

los alrededores de la zona de carga espacial.

135

Pno

Nno

Npo

Ppo

Pn

Nn

Np

Pp

Figura 70. Concentración de portadores en polarización directa.

En la Figura 70 se muestra los perfiles de concentración de portadores minoritarios de carga

(electrones en la zona p y huecos en la zona n) en una unión directamente polarizada. Se puede

observar como éstas son mayores que en el caso de tener equilibrio térmico. Como consecuencia,

los mecanismos de recombinación serán muy importantes

Si el semiconductor es de transición directa (S.T.D.), la mayor parte de las

recombinaciones serán radiativas, es decir, emitirán un fotón de frecuencia f = Eg /h donde Eg es la

energía de la banda prohibida.

En resumen, mediante una señal eléctrica (Id) se genera un flujo difusivo que incrementa la

concentración de portadores por encima del nivel de equilibrio térmico, lo cual incrementa a su vez

la generación de fotones por recombinación de portadores en exceso, generando así una señal

luminosa.

8.2.1 Mecanismos de recombinación de portadores

En capítulos anteriores se ha comentado la existencia de diferentes mecanismos de

recombinación, pudiéndose agrupar en dos: Entre Bandas e implicando Centros de Recombinación.

Otra clasificación de éstas es atendiendo a la posibilidad de emisión de fotones, teniendo

recombinaciones radiativas y no radiativas. Las primeras ceden la energía sobrante en forma de

fotón de luz y las segundas en forma de calor.

136

Q hf

Q Q

tipo 1 tipo 2 tipo 3 tipo 4

Figura 71. Varios ejemplos de mecanismos de recombinación.

En la Figura 71 aparecen reflejadas algunas de las múltiples formas de recombinación

existentes. Como se puede observar, la mayoría supone un intercambio energético en forma de

calor con la red. En todos los semiconductores se producen los diferentes tipos de recombinación

señalados. De las cuatro mostradas en la figura, solo la primera genera un fotón de luz (radiativas),

siendo las dos siguientes las principales competidoras.

Cada uno de los diferentes mecanismos de recombinación tiene asociado un tiempo

característico distinto (ti). Los semiconductores donde predominen las recombinaciones radiativas

frente a las no radiativas, (tr<tnr), serán buenos candidatos para construir dispositivos emisores de

luz.

8.2.2 Semiconductores de Transición Directa e Indirecta.

En la Figura 72 se puede observar los diagramas de energía (Energía – Cuasi impulso) de

dos semiconductores diferentes40. El primero corresponde a un semiconductor de Transición

Directa (STD) y el segundo a uno de Transición Indirecta (STI).

El Cuasi-impulso hk se puede asociar al vector Cantidad de Movimiento del portador. De

esta manera, en la primera gráfica se puede observar como los electrones situados en el mínimo de

energía de la Banda de Conducción tienen el mismo valor de hk que los huecos situados en el

137

máximo de la Banda de Valencia. Una recombinación directa entre bandas (proceso radiativo), en

este caso, se produciría sin variar esa cantidad hk.

En un STI se pueden dar dos tipos de transición: directa (o radiativa) e indirecta (o no-

radiativa). Como en todo proceso físico se han de verificar las leyes de conservación de la energía y

del impulso lineal. Ello supone que en la transición directa, un electrón que pase directamente

desde el mínimo de la BC al máximo de la BV, se libere un fotón de energía próxima a Eg. Sin

embargo, también debe intervenir la red cristalina aportando el incremento de cuasi-impulso ∆(h· k).

Las (pseudo-)partículas de la red cristalina que intervienen en estos procesos reciben el nombre de

fonones. Debido a la necesidad de intervención de tres agentes (electrón, fotón y fonón) estas

transiciones son muy poco probables, y por consiguiente, están caracterizadas por un tiempo medio

de recombinación (tr) muy grande. Por el contrario, las recombinaciones indirectas, es decir,

transiciones a través de centros de recombinación o trampas, son muy probables y están

caracterizadas por tiempos medios de recombinación (tnr) muy pequeños. Como se observa en la

figura, el electrón, tras liberar como calor la energía Q, es atrapado en uno de estos centros. Si el

electrón atrapado no vuelve a regenerarse, el centro suministra el cuasi-impulso necesario para que

tras una segunda transición, liberando a la red cristalina el resto de energía Q’, el electrón llegue al

máximo de la BV (se termina el proceso de recombinación).

Como resumen de este apartado diremos que en términos generales:

a) En todo semiconductor coexisten dos tipos de procesos de recombinación:

§ Aquellos que se dan entre bandas del semiconductor y son ópticamente

activos (procesos radiativos).

§ Aquellos que suceden por medio de trampas y con cesión de la energía

calorífica a la red cristalina (procesos no radiativos).

40 Una partícula libre sólo tiene energía cinética y su energía es función parabólica de la cantidad de movimiento o impulso lineal, es decir, E=p2/mo= (h· k )2/mo. Los portadores (electrón y hueco) en un semiconductor no son partículas libres y la sus respectivas funciones E(p) son más complejas que la relación anterior.

138

b) En los S.T.D., el tiempo medio de recombinación radiativa tr será mucho menor que

el tiempo medio de recombinación no radiativa tnr, siempre y cuando existan pocos

defectos en la red cristalina.

c) En los S.T.I., tnr<<tr ocurrirá siempre. Por este motivo, la recombinación no será

entre bandas, sino que suele producirse en centros de captura.

d) Por ello, en la fabricación de dispositivos emisores de luz se usan principalmente

semiconductores de transición directa.

h·k

E

SC de T. directa

h·k

E

h·f

∆(h·k)

Q Q’

SC de T. indirecta

Ec Ec

Ev Ev

h·f Eg

Figura 72. Recombinación de portadores. En los SC de transición indirecta es más probable la recombinación

por trampas (emisión de energía térmica Q) que la recombinación radiativa (emisión de energía óptica h· f).

8.2.3 Materiales semiconductores emisores de luz.

La mayoría de los dispositivos utilizados en fotónica son compuestos ternarios o

cuaternarios formados por semiconductores de los grupos III y V de la tabla periódica.

Si se quiere trabajar en el rango de longitudes de onda comprendido entre 650 nm y 880

nm se elige el compuesto ternario Alx Ga1-x As donde x representa el tanto por uno de átomos de Ga

sustituido por átomos de Al. Variando x entre 0 y 0.45 se obtiene una variación continua en la

energía de la banda prohibida del material, manteniéndose éste como semiconductor directo.

139

Para poder trabajar en el rango que va desde los 1.000 nm hasta los 1700 nm se recurre al

In1-x Gax Asy P1-y , donde x e y representan los tantos por uno de átomos de In y P sustituidos por

átomos de Ga y As, respectivamente.

8.2.4 Característica de los dispositivos semiconductores emisores de luz

Los parámetros de interés en el funcionamiento del LED (diodo emisor de luz) son los

siguientes:

Potencia luminosa-corriente inyectada. En el LED, esta dependencia es casi lineal y muy

sensible hasta llegar a intensidades muy grandes en las cuales la curva se empieza a saturar.

Características espectrales. Por un lado, la longitud de onda donde la densidad espectral

de potencia es máxima (λp), y por otro el intervalo espectral de emisión (∆λ). En los LED, el

segundo de los parámetros llega a ser grande, y el cociente entre ambos del orden del 2%.

Distribución espacial de potencia luminosa. Depende de la geometría de la región activa

donde se genera la luz. Los LED se clasifican en dos grandes grupos: los de emisión superficial

(SLED), y los de emisión lateral (ELED). En los primeros la distribución espacial de la intensidad

luminosa es perpendicular a la base cilíndrica que los caracteriza mientras que la región activa

paralelepípeda de los segundos da como resultado una emisión lateral.

8.3 DISPOSITIVOS FOTODETECTORES.

Supongamos que tenemos un semiconductor sobre el cual incide luz de una frecuencia f

(hf>Eg) por una de sus caras. Si denotamos por P0 la potencia total incidente sobre la superficie, se

tendrá que una fracción de ésta, R· P0 , será reflejada por la superficie, donde R es el coeficiente de

reflexión de la interfase aire-semiconductor. Por tanto, se tiene que solo la cantidad (1-R)· P0

penetrará en el interior del volumen. A medida que los fotones de energía hf vayan penetrando en el

semiconductor irán siendo absorbidos de manera que generarán pares electrón-hueco.

140

P0

P0(1-R)

P0(1-R) e -α α x

hνν

xx=0

Figura 73. Distribución de fotones en el interior del semiconductor.

La Figura 73 muestra la concentración de fotones en el volumen del semiconductor. Se

puede observar como la caída es exponencial, con una longitud característica (α -1) que da idea del

orden de magnitud de la distancia recorrida por los fotones antes de desaparecer por absorción. Al

índice α se le denomina coeficiente de absorción y en general su valor depende del material y la

longitud de onda de la radiación.

0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8

10

10

1

10

103

2

1

-1

Ge

In Ga AsAsGa

Si

10

10

10

10

105

4

3

2

0.53 0.47

Pro

fund

idad

de

pene

trac

ión

(µm

)

Longitud de onda (µ m)

-1C

oefic

ient

e de

abs

orci

ón (

cm )

Figura 74. Coeficiente de absorción para diferentes semiconductores.

141

En la Figura 74 se muestran los coeficientes de distintos materiales semiconductores en

función de la longitud de onda. Se observa como este coeficiente disminuye al aumentar la longitud

de onda de la radiación. Es decir, al disminuir la energía de los fotones, la probabilidad de que estos

sean absorbidos va disminuyendo. Al mismo tiempo, se muestra como la disminución del

coeficiente conlleva un aumento en la profundidad de penetración de la radiación.

Un fotodetector tiene como objetivo convertir una señal óptica en eléctrica para

posteriormente ser amplificada y procesada. Entre las propiedades que debe exigirse a un buen

fotodetector están las siguientes:

• Buena sensibilidad a la longitud de onda de trabajo. Es decir, elevada capacidad de

convertir potencia óptica en eléctrica en el rango de longitudes de onda para el que ha

sido diseñado.

• Velocidad de respuesta elevada. Esto es necesario cuando se están manejando grandes

cantidades de datos en tiempos pequeños, como es el caso de comunicación digital por

fibra óptica.

• Bajo nivel de ruido. Dada la escasa potencia de la luz incidente, se hace

imprescindible que el fotodetector no introduzca ruido adicional.

En lo sucesivo, se intentará justificar los diferentes tipos de fotodetectores atendiendo a

las características anteriormente mencionadas.

8.3.1 Fotoconductores

El dispositivo detector de luz más sencillo que se puede construir consiste en un simple

trozo de semiconductor escasamente dopado. Como ya es conocido, la conductividad del

semiconductor crece directamente proporcional a la concentración de portadores. Cuando se

ilumina este material con luz de una frecuencia tal que la energía de los fotones hf es superior a la

anchura de la banda prohibida Eg , ésta es absorbida creándose pares electrón-hueco. Como

resultado de esta generación óptica de portadores se puede conseguir un aumento significativo de

esta conductividad. A los dispositivos diseñados para que se comporten de esta forma se le

denominan fotoconductores.

142

Ejemplo:

Consideremos un semiconductor intrínseco al que se le ilumina de forma que la tasa de

generación óptica se puede considerar uniforme y de valor gop= 1021 PEH/s· cm3. Calcularemos la

corriente que resulta si se aplica una tensión externa de Vs = 10V antes y después de iluminar,

siendo µn = 0.15 m2/v· s, µp = 0.06 m2/v· s, ni = 1.5 · 1010 cm-3, γr = 10-7 cm3/s

Antes de iluminar, la conductividad será σi = q · ni · (µn + µp) = 5.04 10-6 (Ω· cm) -1 y la

resistencia, Ri = L / (σi · W · H) = 396.8 kΩ

La corriente de oscuridad (en ausencia de iluminación) será: ARVI S

OSC µ2.25==

Después de iluminar y una vez establecido el régimen permanente, suponiendo hipótesis

de alto nivel de inyección: gop = γr · ∆n2 ⇒ ∆n = (gop / γr)1/2 = 1014 cm-3

La nueva conductividad será de σi = q · ∆n · (µn + µp) = 0.0336 (Ω· cm) –1 mientras que la

resistencia resulta ser Ri = L / (σi · W · H) = 59.52 Ω

Y el valor de la corriente de iluminación será: mARVI S

OP 168==

Este tipo de dispositivo tan simple presenta un problema de incompatibilidad entre

sensibilidad y bajo tiempo de respuesta. Ya sabemos que bajo iluminación óptica:

nOP

ng

τδ

= => nOPgn τδ ⋅=

Es decir, el exceso de portadores en condiciones de iluminación es directamente

proporcional a la intensidad luminosa y al tiempo medio de vida de portadores en desequilibrio.

Para una intensidad luminosa dada, si los portadores tienden a desaparecer rápidamente después de

su creación, la concentración siempre será baja. Si esta tendencia es a más largo plazo la

concentración será alta. En el primer caso la conductividad será más cercana a la intrínseca que en

el segundo, por lo que la corriente obtenida será menor (menor sensibilidad).

143

Por otro lado, sabiendo que el tiempo de respuesta del semiconductor ante una variación

de las condiciones de equilibrio depende de τn podemos decir que sí:

τn es grande => δn es grande => lentitud en la respuesta y alta sensibilidad.

τn es pequeño => δn es pequeño => rapidez en la respuesta y baja sensibilidad.

8.3.2 El Fotodiodo PIN

Con objeto de mejorar tanto la velocidad de respuesta como la sensibilidad del

fotodetector se utilizan uniones pn polarizadas en inversa.

I=Io (e (qV/KT) – 1)

Figura 75. Característica estática de la unión pn.

En la Figura 75 se muestra la característica estática de una unión pn. En ella podemos

observar como ante una tensión positiva se obtiene una corriente elevada y positiva, debido a la

dependencia exponencial de las corrientes difusivas con respecto a la tensión aplicada. Por el

contrario, si se le aplica una tensión negativa a los extremos de la unión la corriente permanece

limitada a valores muy pequeños y con sentido negativo. Esto es debido a que tras anular las

componentes difusivas, solo permanecerán las corrientes de arrastres en la unión. Esta última está

compuesta tanto por electrones de la zona p y huecos de la zona n, que encontrándose cercanos a la

144

unión experimentan un arrastre producido por el intenso campo eléctrico existente.Cualquier

mecanismo que aumente la velocidad de generación de estos portadores traerá como consecuencia

un aumento en la corriente inversa de saturación. Si iluminamos la unión en inversa con luz tal que

(hf>Eg), se estará favoreciendo la creación pares electrón-hueco mediante la absorción de esta

energía. Como consecuencia aparecerá una corriente de arrastre Iop adicional a la ya existente I0 .

Este hecho se observa en la Figura 76 como un descenso de toda la curva I-V del diodo en una

cantidad constante Iop.

Iop

ID

VD

ID=Io (e (qV/KT) – 1) - Iop

Figura 76. Característica estática del diodo de unión pn bajo iluminación.

El diodo PIN resulta de optimizar el diseño con objeto de maximizar la cantidad de

portadores que, una vez generados ópticamente, pasan a formar parte de la corriente de arrastre. Las

siglas corresponden a las tres zonas que se pueden diferenciar en el diodo, zona p+, zona casi

intrínseca y zona n+. En la Figura 77 se representa el esquema de un diodo PIN polarizado en

inversa. Se puede observar como la carga iónica generada en la zona p+ no puede ser compensada

por el escaso dopado de la zona intrínseca, haciendo que la región de carga espacial se extienda

hasta la zona n+. Como consecuencia se tiene que el campo eléctrico actuará sobre una extensión

bastante más ancha que en un diodo pn normal. En principio, solo aquellos portadores generados

dentro de la zona de carga espacial o en las proximidades de ésta podrán ser arrastrado por el

intenso campo eléctrico. Suponiendo que la luz incide por la capa p+ interesa que ésta sea estrecha,

145

ya que es aquí donde se produce el mayor porcentaje de absorción de fotones. Si la zona intrínseca

es lo suficientemente ancha se habrán recogido prácticamente todos los fotones dentro de la zona

con campo eléctrico no nulo. La corriente así generada será bastante elevada.

Por otra parte, si la iluminación desaparece de forma brusca el campo eléctrico será el

encargado de barrer de forma rápida el exceso de portadores existente en la zona intrínseca. El

resultado es una velocidad de respuesta elevada..

R

i

hf

ρ

ε

P

n +p+

Vs

Figura 77. Diodo PIN (estructura P-I-N polarizada en inversa, distribución de carga en RCE, campo eléctrico en

RCE y distribución de potencia luminosa en el interior del dispositivo).

146

8.3.3 El fotodiodo de Avalancha (APD)

Los dispositivos descritos hasta ahora no presentan ganancia interna, es decir, en ellos se

generan un solo par electrón-hueco por cada fotón absorbido. El fotodiodo de avalancha es un

dispositivo cuya estructura permite tener una cierta ganancia interna.

La diferencia con el diodo PIN estriba en la inclusión de una capa intermedia de dopado p+

entre la zona intrínseca y la zona n+. Esta modificación da como resultado un aumento importante

del campo eléctrico de forma localizada. Aplicándole una fuerte polarización en inversa, se

conseguirá que los portadores que aparezcan en la zona intrínseca sean acelerados fuertemente

cuando se acerquen a la interfase p+- n+. Cuando estos portadores colisionan con los átomos de la

red ceden parte de su energía cinética creando nuevos pares eletrón-hueco que a su vez son

acelerados por el campo eléctrico. El resultado es un efecto multiplicativo o de avalancha.

El fotodiodo de avalancha tiene un tiempo de respuesta peor que el diodo PIN y necesita

de tensiones de polarización mayores, pero como contrapartida posee mayor sensibilidad.

8.4 LA FIBRA ÓPTICA

Cuando se quiere transmitir una señal óptica a corta distancia se puede utilizar como

medio transmisor el aire. Sin embargo, si las distancias son significativas hay que acudir a otro

medio que presente mejores características de atenuación: la fibra óptica.

ϕ

ϕ

ϕ

2

r

1

n

n

2

1

Figura 78 : Fenómeno de refracción de un rayo luminoso al atravesar una interfase entre dos medios.

147

Supongamos que tenemos un medio dieléctrico sobre el que se propaga una señal

luminosa. Podemos relacionar la velocidad a la que se transmite esa señal por el medio dieléctrico

(v) con la velocidad de la luz en el vacío (c) a través del índice de refracción del material (ni), de

manera que:

inc

V =

La Figura 78 muestra el paso de un rayo de luz de un medio dieléctrico de índice de

refracción n1 a otro medio de índice n2. Se puede demostrar que la relación entre los ángulos

incidentes y transmitido es la siguiente:

n1 · senϕ1 = n2 · senϕ2 (Ley de Snell)

Si n1 > n2 se tiene que ϕ1 < ϕ2. En el caso de que el rayo incida en la superficie de

separación con un ángulo ϕ1 > arcsen (n2/n1) se verificará que ϕ2 > π/2, con lo que el rayo no

escapará del medio 1. Al valor ϕc = arcsen (n2/n1) se le llama ángulo crítico. Este fenómeno,

mostrado en la Figura 79, se denomina reflexión total, y es aprovechado para confinar haces de luz

dentro de la fibra óptica.

ϕ

ϕ

ϕ

c

r

1

n

n

2

1

Figura 79 : Reflexión total de un rayo luminoso.

Como se observa en la Figura 80, una fibra óptica está compuesta por un núcleo y una

corteza de material dieléctrico, con la particularidad de que el índice de refracción del núcleo es

mayor que el de la corteza (n1>n2). De esta manera se producirá un efecto de guiado óptico por el

núcleo de la fibra. Para que esto ocurra, los rayos de luz deben entrar en la fibra con un ángulo

148

menor que un determinado valor denominado ángulo máximo de aceptación (αα m). En esta misma

figura se muestra el efecto de guiado sobre varios rayos, uno de ellos con un ángulo de entrada

mayor que (αm).

αm

ϕ c

rayo no guiado

rayo guiado

Núcleo

Cubierta

n

n

2

1

Figura 80. Guiado de rayos y distribución de índices de refracción dentro de una fibra óptica.

Tabla 7. Magnitudes físicas más comunes.

Magnitud Simbolo Valor Unidades

Carga del electrón q 1,6 · 10-19 C

Constante de Planck h 6,625 · 10-34

4,14 · 10-15

sJ ⋅

seV ⋅

Constante de Boltzman k 1,38 · 10-23

8,62 · 10-5

KJ /

KeV /

Velocidad de la luz c 3 · 108 sm /

Masa del electrón 0m 9,11 · 10-31 Kg

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