TECNOLOGIA DA DEFORMAÇÃO PLÁSTICA VOL I – … · Aços carbono Aços ligados Aços...
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TECNOLOGIA DA DEFORMAÇÃO PLÁSTICA
VOL I – FUNDAMENTOS TEÓRICOS (Enunciados de Exercícios Complementares)
Nota Introdutória Este documento é um anexo ao livro Tecnologia Mecânica – Tecnologia da
Deformação Plástica, Vol. 1 (Fundamentos Teóricos) editado pela Escolar Editora e
contém enunciados de exercícios destinados a complementar o auto-estudo dos
leitores.
Os exercícios não estão resolvidos e, portanto, aconselha-se que os leitores efectuem
um estudo detalhado dos problemas resolvidos que se encontram incluídos no livro
antes de tentarem resolver os problemas que são propostos neste documento.
A numeração dos enunciados inicia-se no número imediatamente seguinte ao do
último exercício resolvido que se encontra disponível no correspondente capítulo do
livro.
CAPÍTULO 1 Introdução aos Processos de Fabrico Problema 1.1 Proceda a uma recolha de informações que lhe permita completar as tabelas que se
apresentam a seguir.
Materiais metálicos de engenharia
Preço médio (Euros/kg)
Densidade média (g/cm3) Exemplos de Aplicações
Aços carbono
Aços ligados
Aços inóxidáveis
Ferros fundidos
Ligas de Alumínio
Ligas de Magnésio
Cobre
Latões
Bronzes
Ligas de Zinco
Ligas de Titânio
Ligas de Níquel
Estanho
Chumbo
Crómio
Tungsténio
Ouro
Prata
Platina
Paladium
Tabela 1.1.I – Principais materiais metálicos de engenharia.
Materiais poliméricos de engenharia
Preço médio (Euros/kg)
Densidade média (g/cm3) Exemplos de Aplicações
Termoplásticos
Polietileno
Polipropileno
Poliestireno
Policarbonatos
ABS
PVC
Teflon
Nylons
Plexiglass
Termoendurecíveis
Poliuretano
Epoxys
Baquelite
Elastómeros
Silicone
Neopreno
Tabela 1.1.II – Principais materiais poliméricos de engenharia.
Materiais compósitos de engenharia
Preço médio (Euros/kg)
Densidade média (g/cm3) Exemplos de Aplicações
Epoxy reforçado com fibras de aramido
Epoxy reforçado com fibras de carbono
Epoxy reforçado com fibras de vidro
Poliéster reforçado com fibras de vidro
Nylon reforçado com fibras de carbono
Tabela 1.1.III – Principais materiais compósitos de engenharia.
Problema 1.2 Pretende seleccionar o material para um varão sujeito a tracção uniaxial de modo a
minimizar o seu peso e a maximizar a sua resistência mecânica.
Os seus constrangimentos de projecto são o comprimento L do varão e a carga F
que o varão deverá ser capaz de suportar em regime elástico.
a) Converta o gráfico da figura 1.4 do livro num gráfico do tipo bi-logarítmico.
b) Discuta a metodologia de selecção do material do varão com base na
representação gráfica do índice de performance ρσ=Ρ /2.0 sobre o gráfico que
tinha sido representado na alínea anterior.
Problema 1.3 Explique a razão pela qual os metais que apresentam uma estrutura cristalina do tipo
HC são menos dúcteis do que aqueles que apresentam estruturas do tipo CFC e CCC.
Problema 1.4 Exemplos de questões de escolha múltipla relativas a este capítulo:
1.4.1 Os polímeros possuem uma estrutura (seleccionar uma resposta):
a) Cristalina.
b) Não-cristalina.
c) Mista.
1.4.2 O ferro fundido contém teores em Carbono (seleccionar uma resposta):
a) Inferiores a 2%.
b) Entre os 2% e os 4%.
c) Praticamente nulos.
1.4.3
Quais destas características são típicas dos aços inoxidáveis martensíticos
(seleccionar uma ou mais respostas):
a) Boa resistência à corrosão.
b) Não temperáveis sendo geralmente fornecidos no estado hipertemperado.
c) Magnetizáveis.
d) Endurecem por precipitação de uma forma natural.
e) Endurecem por precipitação de uma forma natural e artificial.
1.4.4 A fundição em areia verde utiliza (seleccionar uma resposta):
a) Moldes permanentes.
b) Moldes não permanentes.
1.4.5 A designação ‘areia verde’ está associada ao facto das moldações (seleccionar uma
resposta):
a) Incorporarem aditivos que lhe transmitem uma cor verde.
b) Incorporarem uma mistura de sílica, argila e água que depois de vitrificada adquire
uma cor verde.
c) Incorporarem uma mistura de sílica, argila e água que depois de curada adquire
uma cor verde
d) Incorporarem uma mistura de sílica, argila e água.
1.4.6 Quais das seguintes vantagens podem ser apontadas à fundição injectada
(seleccionar uma ou mais respostas):
a) Boa qualidade superficial e dimensional.
b) Fácil automatização.
c) Muito boa adequação ao fabrico de peças numa gama alargada de dimensões e de
complexidade geométrica.
d) Excelente adequação ao fabrico de peças em pequenas e grandes séries de
produção.
CAPÍTULO 3 Elasticidade Problema 3.9
Considere o sistema de forças zyx FFF ,, que se encontra aplicado no cubo metálico
representado na figura.
x
x
y
y
z
z
4 cm
3 cm
2 cm
F
F
F O
As forças valem 1200=xF N, 3000−=yF N e 2000=zF N e provocam deformação
elástica.
a) Determine o estado de tensão do cubo e apresente o correspondente tensor das
tensões referido ao sistema de eixos cartesianos zyx ,, .
b) Determine os cosenos directores do plano do cubo que se encontra representado a
cinzento.
c) Calcule o valor das tensões nσ e nτ no plano do cubo que se encontra
representado a cinzento.
d) Calcule o valor da tensão efectiva σ .
Problema 3.10
O estado de tensão ijσ num ponto pode ser expresso por intermédio de dois dos três
tensores que se apresentam a seguir:
1) ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
− 20000050000100
MPa
2) ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−
03.103031.1400500
31.140003.3 MPa
3) ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−
63.40059.1400500
59.140029.102 MPa
a) Qual dos tensores não representa o estado de tensão no ponto?
Resposta: tensor 3)
b) Qual o valor da tensão de corte máxima no ponto?
Resposta: 150max =τ MPa
Problema 3.11 Indique quais dos seguintes tensores podem representar extensões, rotações ou
ambas.
a) 310214
153431
−×⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
b) 310110113015
−×⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
c) 310214153431
−×⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
Resposta: a) extensões, b) ambas, c) rotações.
Problema 3.12 O estado de tensão num ponto é dado pelo seguinte tensor das tensões,
MPa11201260005
ij⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−=σ
a) Determine as tensões e as direcções principais no ponto.
Resposta: , e , MPa
.k53j
54i0nek0j0i1n,k
54j
53i0n 321 ⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+⋅=⋅+⋅−⋅=
b) Proceda à representação do estado de tensão no plano de Mohr e determine a
tensão de corte máxima maxτ .
Resposta: A tensão de corte máxima 5.12max =τ MPa e actua num plano que é
bissector dos planos onde estão aplicadas as tensões principais 1σ e 3σ .
c) Determine os invariantes do tensor das tensões.
Resposta: 10I1 −= MPa, 125I2 = (MPa)2 e 750I3 = ( MPa)3 .
d) Determine a tensão média mσ e proceda à decomposição do tensor das tensões
na soma do tensor hidrostático ou de tensões médias com o tensor desviador.
Resposta: 310
m −=σ MPa
Tensor desviador MPa1120
1260005
310
310
310
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+−−+−
+−, Tensor hidrostático MPa
000000
310
310
310
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−
e) Determine o vector tensão nS no plano cuja normal é definida por
k32j
31i
32n ⋅+⋅+⋅=
Resposta: MPa3/10
103/10
Sn⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−
−= , MPa
970
n −=σ e MPa9
5010n =τ
f) Determine a tensão octS no plano octaedral.
CAPÍTULO 4 Plasticidade
Problema 4.10 Explique a diferença entre tensão de corte e tensão limite de elasticidade ao corte.
Problema 4.11
A aplicação de um estado triaxial de tensão 801 =σ MPa, 452 =σ MPa, 303 −=σ MPa,
sobre um componente metálico provoca-lhe uma deformação de natureza elástica.
Explique se o componente permanece em deformação elástica no caso de lhe ser
sobreposto um carregamento adicional de natureza hidrostática em que 50−=σ MPa.
Problema 4.12 Pretende-se dimensionar um pequeno reservatório cilíndrico de parede fina com um
raio médio igual a 300 mm de modo a ser capaz de suportar uma pressão interior
máxima de serviço igual a 60 bar (6 MPa).
O reservatório deverá ser construído num aço carbono com uma tensão limite de
elasticidade 316=σe MPa.
a) Calcule a espessura mínima teórica admissível do reservatório de modo a
assegurar que o seu funcionamento seja sempre efectuado no regime elástico.
Utilize o critério de plasticidade de Tresca.
b) Repita a alínea anterior utilizando o critério de plasticidade de von Mises.
c) Proceda à representação dos resultados que foram obtidos nas alíneas a) e b) no
espaço das tensões principais. Comente os resultados obtidos.
Problema 4.13 Pretende-se dimensionar um reservatório esférico com um raio médio de 500 mm para
armazenagem de um gás. O reservatório deverá ser construído com uma espessura
de 30 mm num aço carbono com uma tensão limite de elasticidade 316=σe MPa.
Utilize o critério de plasticidade de Tresca para determinar a pressão máxima de
funcionamento do reservatório admitindo um coeficiente de segurança de 2.
Problema 4.14 Um componente estrutural entra em deformação plástica quando é submetido a um
estado de tensão definido por intermédio de seguinte tensor das tensões,
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−=σ
15005001000500100
ij (MPa)
Apresente uma estimativa do valor da tensão limite de elasticidade do material
utilizando os critérios de plasticidade de Tresca e de von Mises.
Problema 4.15 O ensaio de tracção uniaxial de uma liga metálica forneceu os seguintes valores de
tensão limite de elasticidade e de tensão de rotura; 200=σe MPa e 350=σR MPa.
a) Utilize o critério de plasticidade de Tresca para avaliar se a liga metálica está em
deformação elástica ou plástica quando é solicitada por um carregamento definido
por intermédio das tensões 100=σ x MPa, 150−=σ y MPa e 80−=σ z MPa.
b) Admita que o valor das tensões xσ e zσ permanece constante e igual ao da alínea
anterior e calcule entre que valores deverá variar a tensão yσ de modo a que a liga
metálica permaneça sempre em deformação elástica.
Nota: Resolva esta alínea no plano de Möhr e no espaço das tensões principais.
Problema 4.16 Calcule o incremento de trabalho plástico por unidade de volume para os seguintes
tipos de carregamento:
a) Tracção uniaxial.
b) Deformação plana 02 =εd com 03 =σ .
Problema 4.17
Um cubo de um material metálico com uma tensão limite de elasticidade igual a eσ é
submetido a duas tensões normais 1σ e 2/13 σ−=σ .
a) Determine o quociente 21 / εε dd . Utilize as relações tensão-incremento de extensão
plástico de Levy-Mises.
b) Determine o valor da tensão de corte máxima maxτ no limite de elasticidade
utilizando o critério de plasticidade de von Mises.
Problema 4.18 Os processos tecnológicos de deformação plástica de chapa são habitualmente
estudados em condições de tensão plana 0=σ k .
a) Assinale as zonas de trabalho características destes processos tecnológicos no
espaço das tensões principais admitindo que pelo menos uma das tensões
principais actuantes é de tracção.
b) Identifique a maior tensão de tracção que pode ser suportada por uma chapa plana
submetida a um carregamento biaxial de tracção e determine o corresponde valor
do quociente ji σσ / .
Problema 4.19 O veio da hélice de um ultraleve movido a pedais
encontra-se sujeito a um momento torsor 40=T N.m e
a uma força de compressão de 400 N.
O veio deverá ser fabricado a partir de um tubo com
20 mm de diâmetro de uma liga de Alumínio com uma
tensão limite de elasticidade 125=σe MPa.
a) Determine a espessura mínima admissível para a parede do tubo. Utilize o critério
de plasticidade de Tresca.
Resposta: 0.85 mm
b) Resolva a alínea anterior admitindo um coeficiente de segurança igual a 2 e uma
disponibilidade do mercado para apenas fornecer tubos nas seguintes gamas de
espessuras: 1 mm/2 mm/3 mm
Resposta: 2 mm
Problema 4.20 Demonstre que o incremento de extensão plástica efectiva εd é igual ao incremento
de extensão plástico 1εd no caso do estado de tensão ser uniaxial e o material ser
homogéneo e isotrópico.
Problema 4.21 Proceda à representação dos círculos de Mohr correspondentes aos estados de
tensão e extensão de um material que apresenta um comportamento rígido-plástico e
se encontra submetido a um estado de deformação plana 02 =ε .
Considere que o quociente entre os incrementos de extensão 31 / εε dd permanece
constante durante a totalidade da deformação plástica.
Resposta: O elemento de volume representado permite obter os seguintes círculos de
Mohr.
τ xy
x
k
σ σ
yxτ
1σ
xσ
σ=zσ 2
O
σ
ε xy
σ3
y
σy
τ
z =z 2
ε yx
0
xε
zεε1
ε= =2
x
Oε
γε 3
y
yε/2
x
xσ
τ xy
τ yx
y
yσ
Problema 4.22 A deformação plástica de chapas é habitualmente realizada em condições de tensão
plana 0=σ z . Determine o quociente entre os incrementos de extensão principal
321 :: εεε ddd numa chapa metálica submetida a um carregamento do tipo 4/xy σ=σ
e proceda à sua representação gráfica no plano das tensões principais, utilizando;
a) O critério de plasticidade de von Mises.
Resposta: 5:2:7:: 321 −−=εεε ddd .
b) O critério de plasticidade de Tresca.
Resposta: 1:0:1:: 321 −=εεε ddd .
Problema 4.23 Considere os instantes inicial e final da operação de deformação plástica que se
encontra indicada na figura.
Utilize esta figura para estabelecer a condição de incompressibilidade 0321 =ε+ε+ε
que é característica da deformação plástica dos materiais metálicos.
Sugestão: Aplique logaritmos ao quociente 1/1 =oVV .
Problema 4.24 Durante os ensaios experimentais de deformação plástica de
chapas é habitual marcarem-se redes de círculos na superfície
das chapas para avaliar o modo como o material se deforma.
Considere um ensaio no qual se marcaram grelhas de círculos
com um diâmetro inicial igual a 3 mm que se transformaram em
elipses com um eixo maior e menor respectivamente iguais a
3.598 e 2.896 mm.
O comportamento mecânico do material da chapa pode ser aproximado por intermédio
da seguinte equação empírica tensão-extensão (quantidades verdadeiras),
ε+=σ 40300 MPa. Nestas condições determine:
a) O valor da tensão efectiva σ admitindo que o quociente entre os incrementos de
extensão 21 / εε dd permanece constante durante a deformação plástica da chapa e
que o estado de tensão é plano, 03 =σ .
Resposta: 7.307=σ MPa.
b) O valor das tensões 1σ e 2σ antes da descarga.
Resposta: 3.3491 =σ e 1.1192 =σ MPa.
CAPÍTULO 5 Aspectos Fenomenológicos de Elasticidade e Plasticidade Problema 5.10 Um provete com 13 mm de diâmetro e um comprimento inicial de referência igual a 50
mm é submetido a uma carga uniaxial de tracção igual a 50000 N.
Admitindo que a deformação plástica resultante da aplicação de carga é uniforme e
que o comprimento de referência em carga é igual a 64 mm determine:
a) A tensão e a extensão nominais.
b) A tensão e a extensão verdadeiras
c) O diâmetro do provete em carga.
Problema 5.11 Um clip de papel possui um diâmetro de arame igual a 1 mm.
Calcule as extensões verdadeiras e nominais que o material do clip sofre nas
direcções longitudinal, radial e tangencial durante o processo de fabrico por trefilagem
a partir de um arame com 10 mm de diâmetro inicial.
Problema 5.12 Uma pré-forma cilíndrica com 100 mm de diâmetro e 40 mm de altura é comprimida
entre pratos de maior extensão que a peça, sem atrito, numa prensa hidráulica com
uma velocidade constante 1.0=v m/s.
Calcule as velocidades de deformação verdadeira e nominal para o instante de tempo
em que a altura do cilindro é igual a 10 mm.
Problema 5.13 Considere o ensaio biaxial de tracção de uma chapa fina com dimensões iguais
segundo o comprimento e a largura (geometria quadrada).
Calcule o valor da extensão verdadeira efectiva no ponto de instabilidade admitindo
que as cargas são iguais em ambas as direcções e que a lei de comportamento
tensão-extensão verdadeira do material é do tipo nK ε=σ .
Problema 5.14 Considere o ensaio de tracção uniaxial de um provete de uma liga de Magnésio com
um diâmetro inicial 120 =D mm e um comprimento de referência inicial 300 =l mm.
Durante o ensaio foram registados os seguintes valores de força e deslocamento:
Após fractura o provete mede 32.61 mm e o seu diâmetro é igual a 11.74 mm.
a) Proceda à representação gráfica da evolução força-deslocamento e tensão
nominal-extensão nominal.
b) Determine a tensão limite convencional de elasticidade a 0.2%, 2.0σ .
c) Determine a tensão (nominal) de rotura.
d) Determine o módulo de elasticidade da liga de Magnésio.
e) Determine a extensão nominal após fractura.
f) Determine o coeficiente de estricção (ou redução de área).
G Indique a tensão nominal na fractura.
h) Determine a tensão verdadeira na fractura.
i) Determine o módulo de resiliência.
Força F (kN)
Deslocamento lΔ (mm)
0 0.0000 5 0.0296 10 0.0592 15 0.0888 20 0.15 25 0.51
26.5 0.90 27 (força máxima) 1.50
26.5 2.10 25 (fractura) 2.79
Problema 5.15 Durante o ensaio de caracterização mecânica de uma liga de Alumínio foram
registados os seguintes valores de tensão e extensão nominais:
Estes valores foram obtidos em regime plástico e a tensão de rotura da liga de
Alumínio é igual a 420 MPa.
a) Proceda à determinação da equação tensão-extensão empírica rígido-plástica de
Ludwik-Holloman nK ε=σ (quantidades verdadeiras) e à sua representação gráfica.
b) Calcule o valor da tensão verdadeira que corresponde a uma extensão nominal
igual a 0.06.
c) Calcule o valor da tensão nominal que corresponde a uma extensão nominal igual a
0.06.
Problema 5.16 Dois materiais metálicos foram ensaiados à torção. Um dos materiais apresenta um
comportamento dúctil enquanto que o outro apresenta um comportamento frágil.
Indique, justificando, qual das figuras a seguir indicadas corresponde ao material dúctil
e qual corresponde ao material frágil.
Material A
Material B
Tensão nominal (MPa)
Extensão nominal
298 0.010 348 0.040
Problema 5.17 Considere o ensaio de torção de um provete de uma liga metálica com um diâmetro
inicial 250 =D mm e um comprimento de referência inicial 450=L mm.
Durante a realização do ensaio foram registados os seguintes valores do momento de
torção em função do número de ¼ de voltas:
Momento de torção Mt(Nm)
No. de 1/4 voltas
0 0 639.4 1
700.56 2 755.048 3 789.52 4 813.984 5 845.12 7 861.8 9
886.82 12 900.72 15 920.18 18 947.98 24 976.336 32 1001.912 38 1023.04 39
Considere ainda que o módulo de elasticidade da liga metálica 100=E GPa e que a
deformação plástica tem início quando o momento e o ângulo de torção valem
respectivamente 556 Nm e 10º.
a) Proceda à representação dos gráficos momento de torção-ângulo de torção e
tensão de corte-distorção.
b) Determine a tensão limite de elasticidade em corte puro.
c) Determine a tensão de rotura em corte puro (módulo de rotura).
d) Determine o módulo de elasticidade transversal G da liga metálica.
e) Determine o coeficiente de Poisson ν da liga metálica.
Problema 5.18 O domínio plástico da curva tensão-extensão verdadeira do ensaio de tracção uniaxial
é habitualmente representado ligeiramente acima do domínio plástico da curva tensão-
extensão nominal (ver, por exemplo, a figura 5.14 do livro).
Será que esta posição relativa entre as duas curvas também é valida para o ensaio de
compressão uniaxial? Justifique a sua resposta.
Problema 5.19 Após ter efectuado uma pesquisa na literatura da especialidade conseguiu obter os
valores das constantes K e n das equações tensão-extensão empíricas rígido-plásticas
de Ludwik-Holloman correspondentes aos dois materiais metálicos que pretende
utilizar no seu projecto.
Será possível, a partir desta informação, concluir sobre qual dos dois materiais deverá
possui uma maior tenacidade? Justifique a sua resposta.
Problema 5.20 Demonstre que as extensões verdadeiras são aditivas e que as extensões nominais
não são aditivas.
Problema 5.21 Demonstre que a condição de incompressibilidade de um material metálico pode ser
matematicamente expressa através do anulamento do primeiro invariante 1L do tensor
das extensões.
03211 =ε+ε+ε=ε+ε+ε=ε=Δ
= zyxvVVL
Será possível escrever a mesma igualdade com base em extensões nominais?
Problema 5.22 Calcule a tensão de rotura verdadeira e a tensão de rotura nominal de um material
metálico que apresenta a seguinte equação empírica tensão-extensão (quantidades
verdadeiras), 35.0700ε=σ MPa.
Resposta: 485 MPa e 342 MPa
Problema 5.23 O ensaio de tracção uniaxial de uma liga metálica permitiu obter a seguinte equação
empírica tensão-extensão (quantidades verdadeiras), ( ) 35.02.0600 ε+=σ MPa.
a) Calcule o valor da velocidade de deformação nominal e& sabendo que o ensaio de
tracção foi realizado com uma velocidade constante de 5 mm/min e que o
comprimento de referência inicial do provete de tracção 300 =l mm.
Resposta: 31078.2 −×=e& s-1
b) Calcule o valor da extensão verdadeira rε no ponto de instabilidade.
Resposta: 15.0=ε r
c) Calcule o módulo de tenacidade TU do material admitindo que o provete de tracção
fractura no ponto de instabilidade.
Resposta: 12.57=TU MPa
Problema 5.24 Um material frágil com comportamento elasto-perfeitamente plástico possui um
módulo de elasticidade 200=E GPa, uma tensão limite de elasticidade
1200=σe MPa e uma extensão verdadeira na fractura (tracção uniaxial) 01.0=ε f .
a) Determine o valor do módulo de resiliência.
Resposta: 6.3=RU MPa ou 6.3 MJ/m3
b) Determine o valor do módulo de tenacidade.
Resposta: 4.8=TU MPa ou 4.8 MJ/m3
Problema 5.25 Pretende-se reduzir a secção transversal de um varão por intermédio de uma
sequência de 3 operações de extrusão directa. Cada uma operações de extrusão
efectua uma redução de secção igual a 10%.
a) Determine o valor da extensão total no final do processo.
Resposta: 316.0=ε final
b) Estabeleça uma relação entre o comprimento final do varão e o comprimento inicial.
Resposta: 037.1 ll final ×=
c) Determine o valor da extensão nominal no final do processo.
Resposta: 37.0=finale
Problema 5.26 Um cabo bi-metálico é fabricado a partir de dois cabos individuais com secções
transversais diferentes:
Cabo A:
Área da secção transversal: 40 =A mm2
Relação tensão-extensão (quantidades verdadeiras): 5.0600ε=σ MPa
Cabo B:
Área da secção transversal: 50 =A mm2
Relação tensão-extensão (quantidades verdadeiras): 5.0400ε=σ MPa,
a) Determine o valor da carga de tracção que o cabo consegue suportar no instante
correspondente ao inicio da estricção.
Resposta: 1887.9 N
b) Explique de que forma poderia resolver a alínea a) caso as áreas das secções
transversais 0A dos cabos A e B fossem iguais e os expoentes de encruamento
das equações empíricas tensão-extensão dos respectivos materiais fossem
diferentes.
Sugestão: Admita a hipótese de após um cabo entrar em estricção não ser mais capaz
de suportar carga de tracção.
Problema 5.27
Um aço carbono possui uma temperatura de fusão 1400=fT ºC.
a) Determine a temperatura de aquecimento do aço carbono a partir da qual a
deformação plástica pode ser considerada no regime de trabalho a quente.
Resposta: 840>T ºC
b) Relacione a temperatura calculada na alínea anterior com o diagrama Fe-C
simplificado e conclua sobre as estruturas metalúrgica e cristalina que são
características da gama de temperaturas do regime de trabalho a quente.
Problema 5.28 Durante o ensaio de caracterização mecânica de uma liga metálica foram registados
os seguintes valores de tensão e extensão verdadeiras:
Estes valores foram obtidos em regime plástico.
a) Proceda à determinação da equação tensão-extensão empírica rígido-plástica de
Ludwik-Holloman nK ε=σ (quantidades verdadeiras) e à sua representação gráfica.
Resposta: 1.604=K MPa, 369.0=n
b) Calcule o valor da tensão que corresponde a uma extensão igual a 0.30.
Resposta: 4.387=σ MPa
c) Proceda à determinação da equação tensão-extensão empírica rígido-plástica de
Voce [ ])(exp1 ε−−σ=σ Asat (quantidades verdadeiras) e à sua representação
gráfica.
Resposta: 5.315=σsat MPa, 1.20=A
d) Utilize a equação tensão-extensão empírica rígido-plástica de Voce para calcular o
valor da tensão que corresponde a uma extensão igual a 0.30.
Resposta: 7.314=σ MPa
Problema 5.29 Sabendo que uma liga de Zinco apresenta um coeficiente de sensibilidade à
velocidade de deformação 07.0=m determine o quociente entre as tensões que
resultam de duas deformações plásticas realizadas com velocidades de deformação
muito diferentes, 31 10−=ε& s-1 e 3
2 10=ε& s-1.
Resposta: 63.2/ 12 =σσ
Tensão (MPa)
Extensão
200 0.05 300 0.15
CAPÍTULO 6 Método da Energia Uniforme
Problema 6.1 Um cilindro de aço AISI 1015 com 20 mm de diâmetro e 30 mm de altura que se
encontra à temperatura ambiente ( 15.2930 =T K) é comprimido entre pratos de maior
extensão que a peça em condições adiabáticas e sem atrito.
Utilize o método da energia uniforme, admitindo que a percentagem de trabalho
plástico que é convertido em calor 85.0=α , para obter a evolução da temperatura do
cilindro com a deformação que se encontra representada na figura.
Informações adicionais relativas ao aço AISI 1015:
Curva tensão-extensão: 262.0)02512.0(722 +ε=σ MPa
Massa específica: 7870=ρ kg/m3
Calor específico: 479=pc J/kgK
290
330
370
410
450
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Extensão verdadeira
Tem
pera
tura
(K)
Método da Energia Uniforme
Problema 6.2 Um cilindro de latão C26000 (70 Cu-30 Zn) com 20 mm de diâmetro e 30 mm de altura
é comprimido, entre pratos de maior extensão que a peça e sem atrito, numa prensa
hidráulica com uma velocidade constante v= 40 mm/s até ser obtida uma altura final
igual a 8 mm.
a) Calcule o valor da força de compressão no instante correspondente ao final da
operação. Admita que a operação de compressão se realiza a frio.
b) Obtenha a evolução da força de compressão com o deslocamento do prato
superior. Admita que a operação de compressão se realiza a frio.
c) Determine a quantidade de energia a fornecer pela prensa para se realizar a
totalidade da operação de compressão.
d) Apresente uma estimativa do valor da potência que é exigida à prensa hidráulica no
instante final da operação de compressão.
e) Calcule o valor da força de compressão no instante correspondente ao final da
operação. Admita que a operação de compressão se realiza a quente.
Informações adicionais relativas ao latão C26000:
Curva tensão-extensão a frio (25ºC): 41.0500 ε=σ MPa
Curva tensão-extensão a quente (600ºC): 24.0100 ε=σ & MPa
Problema 6.3 Um varão de cobre (99.94%) é extrudido a frio de modo a obter uma tensão limite de
elasticidade igual a 320 MPa. A secção transversal do varão extrudido deverá, por
imposições de projecto, ser igual a 500 mm2.
a) Indique qual deverá ser o valor do diâmetro inicial do varão a extrudir e calcule a
redução de área que se encontra associada a esta operação.
b) Determine os valores da pressão e da força de extrusão.
Informações adicionais relativas ao cobre(99.94%):
Curva tensão-extensão a frio (25ºC): 33.0450 ε=σ MPa
Problema 6.4 Um cilindro com 25 mm de diâmetro e 25 mm de
altura é comprimido a frio, entre pratos de maior
extensão que a peça e sem atrito, até ser
alcançada uma redução em altura igual a 60%.
Represente graficamente a evolução da força de
compressão com a redução em altura.
Informações relativas ao material:
Curva tensão-extensão a frio (25ºC): 54.0350 ε=σ MPa
Resposta:
0
100
200
300
400
500
600
0 10 20 30 40 50 60 70Redução em altura (%)
Forç
a (k
N)
Sem atrito
Problema 6.5 Um varão de Alumínio AA1100-O com um diâmetro
inicial igual a 150 mm é sujeito a uma operação de
extrusão directa a frio destinada a obter um
diâmetro final igual a 50 mm.
A energia consumida na deformação redundante é igual a 40% da energia necessária
à deformação plástica (energia ideal) enquanto que a energia consumida por atrito é
igual a 25% da energia total necessária à realização da operação de extrusão.
a) Calcule a tensão limite de elasticidade do varão extrudido.
Resposta: 210.8 MPa.
b) Calcule a força de extrusão.
Resposta: 12.75 MN.
Informações relativas ao material:
Comportamento mecânico do Alumínio AA1100-O: 20.0180 ε=σ MPa.
Problema 6.6 Um arame (ou fio) de Latão 70Cu-30Zn recozido
com 10 mm de diâmetro é submetido a uma
operação de trefilagem destinada a obter um
diâmetro final igual a 8 mm.
A trefilagem é efectuada a velocidade constante e igual a 0.5 m/s
A soma da energia consumida para vencer as forças de atrito e a deformação
redundante é igual a 40% da energia necessária à deformação plástica (energia ideal).
a) Calcule a força de trefilagem.
Resposta: 13.5 kN.
b) Calcule a potência necessária para realizar a trefialgem.
Resposta: 6.8 kW.
Informações relativas ao material:
Comportamento mecânico do Latão 70Cu-30Zn: 49.0895 ε=σ MPa.
Problema 6.7 Um arame (fio) com 5 mm de diâmetro é submetido a uma operação de trefilagem. A
soma da energia consumida para vencer as forças de atrito e a deformação
redundante é igual a 25% da energia necessária à deformação plástica (energia ideal).
a) Calcule a extensão máxima admissível (limite de enformabilidade).
Resposta: 1.333.
b) Calcule o valor do diâmetro mínimo admissível à saída da fieira (matriz).
Resposta: 2.57 mm.
Informações relativas ao material:
Equação tensão-extensão empírica rígido-plástica do material: ε+=σ 15050 MPa.
Problema 6.8 Um tubo de cobre com um diâmetro exterior igual a 90 mm e uma espessura igual a
5 mm é trefilado a frio com o objectivo de reduzir o diâmetro exterior para 30 mm e a
espessura para 2.5 mm.
A operação de trefilagem realiza-se sem atrito e com uma velocidade constante e igual
a 30m/min. Despreze a energia que é consumida pela deformação redundante.
a) Calcule a potência de trefilagem.
Resposta: 55.6 kW.
b) Calcule a potência necessária para realizar a deformação pretendida no caso de se
utilizar extrusão directa.
Resposta: 55.6 kW.
c) Comente se um mesmo motor é adequado para realizar ambos os processos
tecnológicos.
Informações relativas ao material:
Comportamento mecânico do material: 54.0315 ε=σ MPa.
CAPÍTULO 7 Método da Fatia Elementar Problema 7.4 Durante a resolução das equações diferenciais que resultam da aplicação do método
da fatia elementar existiu a necessidade de introduzir o critério de plasticidade de
Tresca. Explique a razão dessa necessidade.
Problema 7.5 Considere a operação de compressão com atrito máximo ( k=τ ) de uma barra de
secção rectangular entre pratos de maior extensão que a peça em condições de
deformação plástica plana.
a) Calcule o valor da pressão de compressão adimensionalizada com a tensão limite
de elasticidade do material, kp 2/ .
b) Obtenha o valor máximo de kp 2/ .
c) Obtenha o valor médio de kp 2/ .
d) Represente graficamente a variação de kp 2/ com a distância x .
Problema 7.6 Considere a operação de compressão com atrito máximo ( k=τ ) de uma pré-forma
cilíndrica entre pratos de maior extensão que a peça em condições axisimétricas.
a) Calcule o valor da pressão de compressão adimensionalizada com a tensão limite
de elasticidade do material, ep σ/ .
b) Obtenha o valor máximo de ep σ/ .
c) Obtenha o valor médio de ep σ/ .
Problema 7.7 Uma pré-forma cilíndrica com 100 mm de diâmetro e 25 mm de altura é comprimida a
frio nas condições do problema 7.6 (atrito máximo ( k=τ )).
Calcule o valor da força de compressão que é necessário aplicar para dar início à
deformação plástica do material.
Nota: Admita que a lei de comportamento tensão-extensão do material da pré-forma
pode ser aproximada por intermédio de um modelo rígido-perfeitamente plástico em
que 300=σe MPa.
Sugestão: Recorra às expressões que foram deduzidas no problema 7.6
Problema 7.8 Uma pré-forma cilíndrica com 100 mm de diâmetro e 25 mm de altura é comprimida a
frio nas seguintes condições de atrito: 0=μ (sem atrito) e 2.0=μ .
a) Escreva a equação que permite calcular o valor da pressão de compressão
adimensionalizada com a tensão limite de elasticidade do material, kp 2/ , no início
da deformação plástica do material para as duas condições de atrito.
b) Compare as equações obtidas com as que resultariam da aplicação do método da
energia uniforme.
c) Calcule o valor da força de compressão que é necessário aplicar para dar início à
deformação plástica do material nas duas condições de atrito.
Nota: Admita que a lei de comportamento tensão-extensão do material da pré-forma
pode ser aproximada por intermédio de um modelo rígido-perfeitamente plástico em
que 300=σe MPa.
Sugestão: Recorra às expressões que se encontram deduzidas na secção 11.6 do
Capítulo 11 do livro.
Problema 7.9 Considere a operação de compressão com atrito máximo ( k=τ ) de uma barra de
secção quadrada com 50 mm de lado entre pratos de maior extensão que a peça em
condições de deformação plástica plana.
a) Obtenha o valor máximo de kp 2/ .
b) Obtenha o valor médio de kp 2/ .
c) Calcule o valor da força de compressão que é necessário aplicar para dar início à
deformação plástica do material.
d) Calcule o valor da força de compressão que é preciso aplicar no instante
correspondente a 50% de redução em altura.
Nota: Admita que a lei de comportamento tensão-extensão do material da barra pode
ser aproximada por intermédio de um modelo rígido-perfeitamente plástico em que
100=σe MPa.
Sugestão: Recorra às expressões que foram deduzidas no problema 7.5
Problema 7.10 Resolva o problema 6.4 para o caso da
compressão ser realizada com atrito.
Considere duas situações distintas;
1.0=μ e 2.0=μ .
Sugestão: Utilize a distribuição de pressão média médiap obtida por intermédio do
método da fatia elementar:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ μ+σ≅
hRp média 3
21 .
Resposta:
0
100
200
300
400
500
600
0 10 20 30 40 50 60 70
Redução em altura (%)
Forç
a (k
N)
Sem atrito
Coef. atrito 0.1
Coef. atrito 0.2
Problema 7.11 Considere a operação de compressão com atrito ( 3.0=μ ) de uma barra entre pratos
de maior extensão que a peça em condições de deformação plástica plana. A barra
tem 100 mm de comprimento e uma secção rectangular com 20 mm de largura e 25
mm de altura (espessura)
a) Determine, sem utilizar a equação da distribuição da pressão média médiap , o valor
da força de compressão no instante correspondente a 20% de redução em altura.
Sugestão: Utilize a distribuição de pressão obtida por intermédio do método da fatia
elementar:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −μ
σ=x
Lhp 2
2
exp
Resposta: 616.0≅F MN.
b) Determine, utilizando a equação da distribuição da pressão média médiap , o valor da
força de compressão no instante correspondente a 20% de redução em altura.
Resposta: 603.0≅F MN.
c) Esboce o gráfico de variação das tensões xσ , yσ e zσ no interior da peça no
instante correspondente a 20% de redução em altura, indicando os valores máximo
e mínimo para cada uma das tensões.
Informações relativas ao material:
Curva tensão-extensão: 5.0400 ε=σ MPa
p
ponto neutro
τ
Problema 7.12 Uma chapa com uma espessura inicial de 3 mm e
uma largura de 200 mm é laminada a frio num
laminador de dois rolos com o objectivo de obter
uma espessura final igual a 2.5 mm.
O diâmetro dos rolos é igual a 500 mm e o
coeficiente de atrito 1.0=μ .
Considere que o material é rígido-perfeitamente plástico com uma tensão limite de
elasticidade 250=σe MPa.
a) Determine a força de separação dos rolos.
Sugestão: Utilize a distribuição de pressão média médiap correspondente à compressão
em condições de deformação plana.
Resposta: 673.0≅F MN.
b) Determine o valor do momento de laminagem.
Resposta: 7520≅M Nm.
CAPÍTULO 8 Método das Linhas de Escorregamento
Problema 8.4 Considere a solução de linhas de escorregamento para a extrusão directa sem atrito,
em condições de deformação plana, com uma relação de extrusão 3=R , que se
encontra representada na figura.
0vh /20
r
0
2k
2k
0 0 0
45°
1,I
1,II
45°
E0
90º O=I,II,III
0
h /21
q
α
1,III
β
rq
C AB
v1
1,IV
a) Determine o campo de tensões e proceda à sua representação no plano de Mohr.
b) Calcule o valor da pressão de extrusão adimensionalizada com a tensão limite de
elasticidade do material, kp 2/ .
c) Determine o campo de velocidades e proceda à sua representação no hodógrafo.
Problema 8.5 Considere a solução de linhas de escorregamento para a operação de deformação
plástica sem atrito, em condições de deformação plana, que se encontra representada
na figura.
1,I
0v h /20
45°
5,I
4,I
45°
90ºO=I,II,III
α
3,I
β
C AB
v1
2,I
v2
zona morta
a) Determine o campo de tensões e proceda à sua representação no plano de Mohr.
b) Determine o campo de velocidades e proceda à sua representação no hodógrafo.
Problema 8.6 Considere a solução de linhas de escorregamento para a operação de compressão
sem atrito de um varão de secção octogonal, em condições de deformação plástica
plana, que se encontra representada na figura.
3,I
O
L p
p
q q
0v
1,ID
ACB
α
β2,I
45º45º
0v
a) Determine o campo de tensões e proceda à sua representação no plano de Mohr.
b) Calcule o valor da pressão de compressão adimensionalizada com a tensão limite
de elasticidade do material kp 2/ que é aplicada pelo cunho.
c) Determine o campo de velocidades e proceda à sua representação no hodógrafo.
d) Proceda à representação das linhas de fluxo.
Problema 8.7 Considere a solução de linhas de escorregamento para a operação de corte por
arranque de apara em condições de deformação plana (corte ortogonal) que se
encontra representada na figura. Admita que existe atrito entre a apara e a face de
ataque da ferramenta e que o coeficiente de atrito é igual a μ .
T
R
Sv0
v1
α
α
β
φ
h0
h1
a) Determine o campo de tensões e proceda à sua representação no plano de Mohr.
b) Obtenha a relação matemática 4π
=θ+α−φ correspondente ao modelo de corte
ortogonal de Lee & Schaffer.
c) Determine o campo de velocidades e proceda à sua representação no hodógrafo.
d) Obtenha a relação matemática que permite calcular o valor do grau de encalque
através de φα−φ
=sin
)(cos
0
1
hh
Nota: O coeficiente de atrito μ relaciona-se com o ângulo de atrito θ através da
expressão θ=μ tg .
Problema 8.8 Considere a solução de linhas de escorregamento para a extrusão directa sem atrito,
em condições de deformação plana, com uma relação de extrusão 2=R , que está
resolvida no problema 8.1 do livro e proceda a uma nova resolução do problema
utilizando o problema de elementos finitos I-FORM que se encontra disponível para
download na página da disciplina.
a) Determine a distribuição da velocidade de deformação efectiva e compare os
resultados obtidos com a solução de linhas de escorregamento.
b) Determine a distribuição de velocidade total e compare os resultados obtidos com a
solução de linhas de escorregamento.
c) Determine a distribuição de tensões médias e compare os resultados obtidos com a
solução de linhas de escorregamento.
d) Calcule o valor da força de extrusão e compare o resultado obtido com a solução de
linhas de escorregamento.
Nota: Admita que o material tem um comportamento rígido-perfeitamente plástico com
uma tensão limite de elasticidade 1=σe MPa e que não existe atrito entre o material e
as ferramentas.
e) Resolva as alíneas anteriores para vários valores do factor de atrito. Comente os
resultados obtidos.
Problema 8.9 Considere a operação de compressão sem atrito em condições de deformação plana,
utilizando pratos de menor extensão que a peça que se encontra representada na
figura.
hpeça
V=1
V=1prato de compressão
a) Proponha um campo de linhas de escorregamento para a resolução do problema.
Justifique a sua resposta (ver problema 8.3).
b) Determine o campo de tensões e proceda à sua representação no plano de Mohr.
c) Calcule o valor da pressão adimensionalizada com a tensão limite de elasticidade
do material kp 2/ que é aplicada pelos pratos de compressão.
d) Determine o campo de velocidades e proceda à sua representação no hodógrafo.
e) Proceda à representação das linhas de fluxo.
Problema 8.10 Considere a operação de extrusão inversa, em condições de deformação plana e com
uma relação de extrusão R=1, que se encontra representada na figura.
A figura inclui uma representação esquemática do campo de linhas de
escorregamento (incompleto) que permite resolver o problema do ponto de vista
estático e cinemático.
45° 45°
zona morta
v0
v1
45°
v1
punção
A
O
a) Indique, justificando, qual o tipo de atrito que deverá existir na superfície da base do
cunho (OA) e na parede do contentor.
b) Resolva o campo de tensões procedendo à sua representação no plano de Möhr.
c) Determine o campo de velocidades e proceda à sua representação no hodógrafo.
Problema 8.11 Considere a solução de linhas de escorregamento para a extrusão inversa sem atrito,
em condições de deformação plana, com uma relação de extrusão 2=R , que se
encontra representada na figura.
0vh /20
r
0
2k
2k
0 0 0
45°
1,I
1,II
45°
E0
90º O=I,II,III
0
h /21
q
α
1,III
β
rq
C AB
v1
1,IV
a) Determine o campo de tensões e proceda à sua representação no plano de Mohr.
b) Calcule o valor da pressão de extrusão adimensionalizada com a tensão limite de
elasticidade do material, kp 2/ .
c) Determine o campo de velocidades e proceda à sua representação no hodógrafo.
Problema 8.12 Demonstre que o valor da intensidade (módulo) da descontinuidade de velocidade
deve ser constante ao longo da totalidade de uma linha de descontinuidade de
velocidade.
Nota: )(0)(0 β=φ+α=φ− uddvvddu
CAPÍTULO 9 Método do Limite Superior
Problema 9.4 Considere a solução limite superior para a extrusão directa sem atrito, em condições
de deformação plana, com uma relação de extrusão 2=R , que se encontra
representada na figura.
0v
h /20
45°
45º
O
h /21
zona morta
v1
45ºA
B
C
OA=OB=OC
a) Determine o campo de velocidades e proceda à sua representação no hodógrafo.
b) Calcule o valor da pressão de extrusão adimensionalizada com a tensão limite de
elasticidade do material kp 2/ , que é aplicada pelo cunho.
c) Compare o valor obtido na alínea b) com o resultado do problema 8.1 (pág. 449) do
livro e justifique as diferenças encontradas.
Problema 9.5 Considere a solução limite superior para a operação de compressão sem atrito, em
condições de deformação plástica plana, que se encontra representada na figura.
45º
v0
O
L
v0
3L
v1 v1
v0
90º
v1 v1
a) Determine o campo de velocidades e proceda à sua representação no hodógrafo.
b) Calcule o valor da pressão de compressão adimensionalizada com a tensão limite
de elasticidade do material kp 2/ que é aplicada pelo cunho.
Problema 9.6 Considere a solução limite superior para a extrusão directa sem atrito através de uma
matriz inclinada, em condições de deformação plana, com uma relação de extrusão
2=R , que se encontra representada na figura.
0v
h /20 O
h /21v1
A
B
C
50.3
°
45º
45º
35º50º
a) Determine o campo de velocidades e proceda à sua representação no hodógrafo.
b) Proceda à representação das linhas de fluxo.
c) Calcule o valor da pressão de extrusão adimensionalizada com a tensão limite de
elasticidade do material kp 2/ , que é aplicada pelo cunho.
d) Proponha uma outra solução limite superior que lhe permitisse resolver o problema.
Problema 9.7 Considere a solução limite superior para a operação de forjamento em condições de
deformação plástica plana sem atrito que se encontra representada na figura
60°
30°
v0
v0v0
a) Determine o campo de velocidades e proceda à sua representação no hodógrafo.
b) Calcule o valor da pressão de compressão adimensionalizada com a tensão limite
de elasticidade do material kp 2/ , que é aplicada por cada um dos pratos
compressores.
Problema 9.8 Considere a operação de compressão com atrito de uma pré-forma cilíndrica de raio
exterior 0r e altura 0h entre pratos de maior extensão que a peça.
O
r
y
V
rO
V=0
Oh
a) Determine o campo de velocidades em coordenadas cilíndricas.
b) Determine o campo de velocidades de deformação em coordenadas cilíndricas.
c) Calcule o valor da pressão de compressão adimensionalizada com a tensão limite
de elasticidade do material ep σ/ no caso do factor de atrito ser igual a m .
d) Comente o resultado obtido na alínea c) para o caso de não existir atrito ( 0=m )
entre a pré-forma e os pratos compressores.
Problema 9.9 Considere a seguinte afirmação:
“Duas linhas de escorregamento de famílias distintas intersectam-se sempre a 90º
enquanto que as linhas de descontinuidade de velocidade utilizadas na resolução do
método do limite superior podem intersectar-se segundo ângulos não-rectos”
Comente a afirmação em face dos requisitos intrínsecos aos métodos completos e
não-completos.
CAPÍTULO 10 Método dos Elementos Finitos Problema 10.1 Considere a operação de compressão de uma barra entre pratos de maior extensão
que a peça em condições de deformação plástica plana. A barra tem 100 mm de
comprimento e uma secção rectangular com 20 mm de largura e 25 mm de altura
(espessura).
a) Determine a evolução da força de compressão com o deslocamento do prato
superior através do método da fatia elementar até ao instante correspondente a
20% de redução em altura. Admita que existe atrito ( 1.0=m ).
b) Determine a evolução da força de compressão com o deslocamento do prato
superior através do programa de elementos finitos i-form2 até ao instante
correspondente a 20% de redução em altura. Admita que existe atrito ( 1.0=m ).
c) Compare a distribuição de tensão e extensão efectivas que são fornecidas pelo
método da fatia elementar e pelo programa de elementos finitos i-form2 no instante
correspondente a 20% de redução em altura. Considere as seguintes situações de
atrito ( 0.0=m e 1.0=m ).
Informações relativas ao material:
Curva tensão-extensão: 5.0400 ε=σ MPa
Problema 10.2 Considere a operação de achatamento por compressão a frio do varão cilíndrico de
Alumínio tecnicamente puro (99.95%) que se encontra representada na figura.
O varão possui diâmetro e comprimento iniciais respectivamente iguais a 20 e 60 mm
e a relação tensão-extensão do Alumínio, obtida por intermédio de ensaios de
compressão, é a seguinte:
19.046.177 ε=σ MPa
A operação de compressão foi lubrificada com um óleo aconselhado para operações
medianamente severas de forjamento e a caracterização tribológica das condições de
atrito na interface de contacto entre o material e o lubrificante foi efectuada por
intermédio de ensaios de anel, tendo sido obtido um factor de atrito 12.0/ =τ= km .
A evolução experimental da carga de compressão com o deslocamento do prato
superior foi registada por intermédio de uma célula de carga e de um transdutor de
posição ligados a um sistema de aquisição de dados e encontra-se representada na
figura seguinte.
0
100
200
300
400
500
0 2 4 6 8 10 12
Deslocamento (mm)
Car
ga (K
N)
.
Experimental
Nestas condições, utilize o programa de elementos finitos I-form2 para efectuar a
simulação numérica desta operação de compressão procurando analisar as seguintes
questões:
a) Principais aproximações que irão ser efectuadas na construção dos modelos de
elementos finitos e qual deverá ser a sua influência na qualidade final dos
resultados obtidos.
b) Evolução da carga de compressão com o deslocamento do prato superior obtida
através do programa de elementos finitos i-form2.
c) Distribuição de extensão efectiva, de tensão média e de dano (modelo de Cockcroft-
Latham normalizado), obtida através do programa de elementos finitos i-form2, para
o instante de deformação correspondente a 50% de redução do diâmetro inicial do
varão.
d) Sensibilidade dos resultados obtidos com o programa de elementos finitos i-form2 à
malha utilizada no modelo computacional. Sugestão: varie o número de elementos
e o tipo de malha e discuta qual a influência destas variações na qualidade final dos
resultados obtidos e no tempo total de computação.
e) Sensibilidade da formulação de escoamento plástico ao incremento de
deslocamento. Sugestão: efectue simulações numéricas com incrementos de
deslocamento variáveis e apresente um gráfico de variação da perda normalizada
de volume com o incremento normalizado de deslocamento.
f) Sensibilidade da formulação de escoamento plástico ao valor da constante de
penalidade. Sugestão: efectue simulações numéricas com diferentes valores da
constante de penalidade (a retirar do intervalo 102 1010 − ) e discuta a influência da
constante de penalidade na distribuição de tensão média, na perda normalizada de
volume, no tempo total de computação e na estabilidade do programa de elementos
finitos.
Problema 10.3 Considere a operação de inversão externa da extremidade de um tubo de uma liga de
Alumínio AA6060 que se encontra representada na figura.
t
cdr
0r0t
0l v
E
D
C
B
A
A
B
0
10
20
30
40
50
60
0 5 10 15 20 25 30 35 40
Deslocamento (mm)
Car
ga (k
N)
Experimental
O tubo possui diâmetro exterior, comprimento e espessura iniciais respectivamente
iguais a 40, 70 e 2 mm e a relação tensão-extensão da liga Alumínio, obtida por
intermédio de ensaios de tracção e compressão uniaxiais, é a seguinte:
09.03.298 ε=σ MPa
A operação de inversão externa foi lubrificada com um óleo aconselhado para este tipo
de operações e a caracterização tribológica das condições de atrito na interface de
contacto entre o material e o lubrificante permitiu obter o seguinte valor para o factor
de atrito 09.0/ =τ= km .
A evolução experimental da carga de compressão com o deslocamento do prato
superior foi registada por intermédio de uma célula de carga e de um transdutor de
posição ligados a um sistema de aquisição de dados e encontra-se representada na
figura anterior.
Nestas condições, utilize o programa de elementos finitos I-form2 para efectuar a
simulação numérica desta operação de compressão procurando analisar as seguintes
questões:
a) Evolução da carga de compressão com o deslocamento do prato superior obtida
através do programa de elementos finitos i-form2.
b) Distribuição de extensão efectiva, de tensão média e de dano (modelo de Cockcroft-
Latham normalizado), obtida através do programa de elementos finitos i-form2, para
o instante final da deformação.
c) Trajectória de deformação característica da extremidade deformada do tubo no
plano das extensões principais.
d) Influência do atrito no processo de fabrico.
e) Influência das condições de fornecimento do material do tubo na enformabilidade do
processo, analisando o resultado que seria previsivelmente obtido caso se
efectuasse a inversão externa a partir de tubos sujeito a tratamento prévio de
recozimento (415 ºC / durante 1h) seguido de arrefecimento ao ar. A relação
tensão-extensão da liga de Alumínio nestas condições é aproximada pela seguinte
equação,
180.05.154 ε=σ MPa
CAPÍTULO 12 Enformabilidade
Problema 12.6
Considere a operação de expansão da extremidade de um tubo metálico de parede
fina que se encontra representada na figura.
15°
R182
(dimensões em mm)
dc
O material do tubo é uma liga de Alumínio AA6060, com a seguinte relação tensão-
extensão,
09.03.298 ε=σ MPa
O limite de enformabilidade do material do tubo foi determinado através de ensaios
experimentais e o valor do dano crítico correspondente ao critério de Cockcroft-Latham
normalizado vale,
42.00
1 =εσσ∫ε
df
Nestas condições determine:
a) A altura dc da parte cónica do tubo no instante correspondente ao início da
fissuração.
b) A espessura da parede do tubo no local e no instante correspondentes ao início da
fissuração.
c) O valor da tensão efectiva no local e no instante correspondentes ao início da
fissuração.
CAPÍTULO 13 Teoria da Flexão em Domínio Plástico Problema 13.5 Uma chapa com 1 mm de espessura é submetida a um momento flector que lhe impõe
um raio de curvatura igual a 130 mm. O material da chapa possui um comportamento
elasto-perfeitamente plástico e uma tensão limite de elasticidade 300=σe MPa.
Nestas condições determine:
a) A fracção da chapa (em termos da secção transversal) que permanece em regime
elástico.
b) O valor do momento flector aplicado
c) O valor aproximado do momento flector aplicado desprezando a componente
elástica.
Problema 13.6 A quinagem de chapa é um processo
tecnológico de flexão em domínio plástico
em que a curvatura não pode ser
desprezada.
a) Determine a distribuição das tensões que actuam na chapa, admitindo que a
solicitação exterior consiste na aplicação de um momento puro.
b) Determine a posição da linha neutra na operação de quebra do nervo (quinagem a
fundo) admitindo que a força aplicada no final da operação é igual a qnF .
c) Mostre que a quebra do nervo reduz o efeito de mola.