Técnicas de Processamento Imagens
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Técnicas de Processamento Imagens
Fourier 1D e 2D
Transformada de Fourier
A Transformada de Fourier– Toda função pode ser escrita como um
somatório de senos e cosenos– A TF consiste em converter uma função
em componentes senos e cosenos– Seja f(t) uma função no tempo, aplicando a
FT, temos F(s) que corresponde a função no espectro (espaço de Fourier).
Uma onda quadrada pode ser expressa como uma série de senos:
A1*sin(x) + A2*sin(3x) + A3*sin(5x) + …
0 1 2 3 4 5 6 7-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
Exact1 3 5 7 9
Transformada de Fourier (sinal contínuo)
– Onde s é a função no espectro e t no tempo
Inversa
Observe que estamos trabalhando com números complexos!!!
Exemplos:
Onda quadrada - Pulso
0 1 2 3 4 5 6 7-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
Exact1 3 5 7 9
Algumas propriedades da FT
Linearidade
x(t) + y(t) X(f) + Y(f)
Simetria
H(t) h(-f)
Seja h(t) e H(f) pares da transformada de Fourier então:
Escala no tempo e na freqüência
Escala no tempo
Escala na freqüência
h(kt) 1/|k|*H(f/k)
1/|k|*h(t/k) H(kf)
Deslocamentos no tempo e na freqüência Deslocamentos no tempo (fase)
h(t-t0) H( f )e-j2ft0
Deslocamento na freqüência
h(t) ej2f0 H( f -f0)
Convolução
A propriedade mais importante da FT
h(t) H( f ) e g(t) G( f )
(h*g)(t) H( f )G( f )
h(t)g(t) (H * G)( f )
Conservação da energia
Teorema de Parseval
Amplitude e fase
Fase e amplitude
O espaço FT pode ser visualizado diretamente através das suas componentes (real e imaginária)
Ou através da fase e amplitude do spectro
Calculando a fase e a amplitude Amplitude é determinada pelo módulo:
– seja z um número complexo definido como: z = x + yi
– z = |z| = x2 + y2
– | H(f) | = Re[H(f)]2 + Im[H(f)]2
Fase é dada por:
Im[ ( )]( ) arctan
Re[ ( )]
E tt
E t
Transformada Discreta de Fourier
DFT
Transformada Discreta de Fourier Para uma função definida como uma
amostragem constante de pontos no espaço (ou tempo) pode ser utilizada a transformada de Fourier Discreta (DFT)
Seja f[] uma função (vetor) definido por N pontos sua DFT é F[]:
F(u) = (1/N)(x=0:N-1)[f(x) e-j 2ux /N]
f(x) = (u=0:N-1)[F(u) e j2ux /N]
DFT - shifting Quando realizado a DFT de uma onda
quadrada obtemos:
0 1 2 3 4 5 6 70
50
100
150
200
250
300
350
Observe houve um deslocamento
DFT - shifting
A FT é centralizada na origem, mas a DFT é centralizada em N/2 É necessário realizar um deslocamento para corrigir o
resultado.
0 1 2 3 4 5 6 70
50
100
150
200
250
300
350
Sub-amostragem Time sampling too far apart Looks like sine wave of different freq
Over-sampled -- faithful representation
Under-sampled (solid lines)
Outro exemplo de sub-amostragem
Transformada Rápida de Fourier FFT - Fast Fourier Transform A DFT apresenta N2 operações Para reduzir o custo da DFT foi desenvolvido o
algoritmo da FFT. FFT apresenta NlogN operações
– É muito importante, quando N é grande– Muitas aplicações de processamento de sinais (ou imagens)
em tempo real seriam impraticáveis utilizando a DFT
Transformada de Fourier 2D
Contínua
Discreta
Algoritmo 2D de 1D
FFT 1D para cada linha
Matriz A Separar em linhas
Compor linhas em
matriz
Separar em colunas Matriz
FFT 1D para cada coluna
FFT 2D de A
Exemplos de DFT/FFT 2D
2
4
6
8
10
12
14
16Spectra
Pulso / Sync 2D
xy
f(x,y)
A 2D Discrete Fourier Transform
0
2
4
6
8
10
12
14
16
Amplitude e Fase
original
amplitude
fase
|F(u,v)|
F(u,v)
1D Spatial Frequencies
0 1 2 3 4 5 6 7-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-1
-0.5
0
0.5
1
2D Spatial Frequencies
0 1 2 3 4 5 6 70
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
-1
-0.5
0
0.5
1
-1
0
1
2
3
4
5
Propriedades DFT/FFT 2D
Rotação
Combinação Linear (soma)
+
+
=
=
Translação
|F(u,v)| F(u,v)
Expansão
Relação de freqüência espaço/espectro
Alguns pares...
Combinando Amplitude e Fase
As funções complexas podem ser decompostas em suas magnitudes e fases.
f(t) pode ser escrita: f(t) = Mag{f(t)} exp[ i Phase{f(t)}]
Do mesmo modo, F() = Mag{F()} exp[ i Phase{F()}]
Com estas propriedades podemos combinar a amplitude e a fases em imagens.
Pictures reconstructedusing the Fourier phase
of another picture
The phase of the Fourier transform is much more important than the magnitude in reconstructing an image.
Rick Linda
Mag{Linda}Phase{Rick}
Mag{Rick} Phase{Linda}
Combinando Amplitude e Fase